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Traitement des fréquences irrégulièresdans la méthode des éléments de frontière :
étude numérique d’un processus de moyennage
Antoine LavieAlexandre Leblanc
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Sommaire
1. Problématique
2. Considérations théoriques
3. Test de la source ponctuelle
4. Application à « l’œil de chat »
5. Conclusion
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Problématique
2( ) ( ) 0 fp k p r r r
f
r
r'
n'
( )( )n
pi v
r'
r' r'n'
2( )
lim ( ) ( ) 0RSR
r R
pikp dS
r
r rr
Problème à résoudre
Problème de Neumann :
i
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Problématique
Solutions
Représentation de Helmholtz extérieure (RHE) :
( ) ( , ) ( )( ) ( ) ( , ) ( )
4 f
g pp p g d
r r r' r'
r r' r r' r' rn' n'
Méthode de superposition des ondes (MSO) :
( ) ( ) ( , ) ( )i
i fp i q g d r
s s sr r r r r
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Considérations théoriques
Fréquences irrégulières
- RHE : valeurs propres du problème de Dirichlet intérieur associé
- MSO : valeurs propres de la géométrie générée par les sources de superposition
f
r
r'
n' i
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Considérations théoriques
Méthodes classiques
- CHIEF (méthode de Schenck) et dérivées
- Méthode de Burton et Miller
Méthode proposée
( , ) ( , )( , )
2
p k i p k ip k
r rr
Méthode de moyennage :
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Test de la source ponctuelle
Principe
Calcul analytique du rayonnement d’un monopole :
( )ik ikD
a
e ep A A
D
ar r
a
rr r
2
( ) 1ikDap e
A ikD D
a
rr r n
n
1
( ) ( )EQM
( )
N
c an
N
an=1
p p
p
n n
n
r r
r
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini (MSO)
2e fréquence irrégulière kb≈3,8
a
100 sourcesde superposition
1 monopole : x=0,05a ; y=0,1a
b=a/10
eau
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 2D : cylindre infini
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : cylindre axisymétrique (RHE)
a
b
eau
b=1,5a
100e fréquence irrégulière ka≈11,3
2 monopoles identiques :z=b/3 et z=b/3
z
RHE : EQM=592%Moyennage (=k200) : EQM=0,7%
k10 k20 k50 k100 k200 k500 k1000
EQM 164% 32% 5% 1,4% 0,7% 0,7% 1,4%
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : cylindre axisymétrique
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : sphère axisymétrique (RHE)
72e fréquence irrégulière ka≈25,0
2 monopoles identiques :z=a/4 et z=a/4
RHE : EQM=774%Moyennage (=k/200) : EQM=0,8%
a
z
eau
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Test de la source ponctuelle
Cas 3D : sphère axisymétrique
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Application à « l’œil de chat »
Cas 3D : œil de chat
2 2( ) ( )
1
kRp R cv R
k R
Chargement :- déplacement normal unitaire sur la partie sphérique ;- déplacement nul sur les 3 faces planes.
Au point arrière :
( ) ( )lim 1kR
p R v R
c
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Application à « l’œil de chat »
ε=k200
Cas 3D : œil de chat
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Conclusion
Méthode de moyennage entre kiε et kiε
Bilan :- facile à mettre en oeuvre- efficace : pour la RHE et pour la MSO ; sur une large gamme de fréquences ; pour des géométries complexes et variées.- pas de justification théorique : nécessite une pré-étude pour paramétrer ε.