transferencia de calor y masa
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TRANSFERENCIA DE CALOR
OBJETIVO: conocer y comprender los diversos mecanismos de transferencia de calor y aplicar sus leyes en la solución de problemas de ingeniería. UNIDAD I FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
1.1 Conceptos Básicos, definiciones, objetivo, mecanismos de transferencia de calor.
1.2 Conducción, Ley de Fourier. 1.3 Convección, Ley de Newton. 1.4 Radiación, Ley de Stefan-Boltzman.
UNIDAD II CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA
2.1 Superficies planas simples y compuestas. 2.2 Superficies cilíndricas simples y compuestas. 2.3 Superficies extendidas ( Aletas ).
UNIDAD III CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL ESTACIONARIA
3.1 Ecuación de conducción bidimensional, condiciones de frontera. 3.2 Solución analítica, series de Fourier. 3.3 Solución numérica, método de diferencias finitas.
UNIDAD IV CONDUCCIÓN TRANSITORIA
4.1 Análisis Global, temperatura en función del tiempo. 4.2 Análisis gráfico de temperatura en función del tiempo en paredes planas,
cilindros y esferas. UNIDAD V CONVECCION FORZADA
5.1 Fundamentos de convección forzada, números adimensionales. 5.2 Convección forzada en flujo laminar. 5.3 Convección forzada en flujo turbulento.
UNIDAD VI CONVECCIÓN NATURAL
6.1 Fundamentos de convección natural, números adimensionales. 6.2 Convección natural en flujo laminar. 6.3 Convección forzada en flujo turbulento.
UNIDAD VII INTERCAMBIADORES DE CALOR
7.1 Generalidades de intercambiadores de calor. 7.2 Análisis de intercambiadores de calor por el método LMTD. 7.3 Análisis de intercambiadores de calor por el método eficiencia-NTU.
Bibliografía: 1.- Transferencia de calor H. P. Holman. Edit. Mc Graw-Hill,. 8a Edición (1ª en español).
UNIDAD I FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR DEFINICIONES Y CONCEPTOS BÁSICOS TERMODINAMICA: Estudia La relación entre calor y otras formas de energía. TRANSFERENCIA DE CALOR: Analiza la razón del calor transmitido en un sistema,
siempre que exista un gradiente de temperatura. En la primera Ley de la Temperatura hay dos tipos de energía de transferencia: el calor (Q) y el trabajo (W) y se relaciona mediante la siguiente expresión: Q-W=∆E La primera ley de la termodinámica es conocida también como ley de la conservación de la energía. TEMPERATURA: Es la propiedad del sistema que nos determina si este sistema esta en
equilibrio térmico con otro sistema. En otras palabras, los sistemas A y B en equilibrio térmico si sus temperaturas son idénticas, esto es:
TA = TB
LEY CERO DE LA TERMODINAMICA: Si los sistemas D y C están cada uno de manera
separada en equilibrio con un tercer sistema A, entonces B y C están en equilibrio.
TA = TB TB = TC, por lo tanto TC = TA
OBJETIVO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR: Es describir la manera en que la diferencia de temperaturas, digamos TA y TB gobierna la magnitud de la razón de transferencia de calor entre el sistema A y sus alrededores B, es decir, Q = Q [TA, TB, tiempo, propiedades termofísicas, geometría, flujo].
AREAS DE APLICACIÓN DE TRANSFERENCIA DE CALOR
a) Aislamiento térmico. b) Aumento de transferencia de calor. c) Control de temperatura.
MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
a) Conducción. b) Convección c) Radiación.
a) CONDUCCION Aplicando la 1ª Ley de la termodinámica al elemento diferencial
[ ]dtdEWxQxQx =−∆+−
Considerando W = 0
dtdExQxQx =∆+−
E = energía interna E = mU U = energía interna especifica m = masa del sistema m = Vρ V = A∆xρ E = ρA∆xU
Y a su vez: dU = C d T C = calor especifico
][dtdTxC
dtdE Α∆= ρ
LEY DE FOURIER EXPERIMENTAL
Qx = -KA dxdT
K = conductividad térmica A = área transversal
dxdT = gradiente de temperatura
Qx = -KA
∆−xTT 12
xdxdQxQxxQx ∆+=∆+
xdxdTKA
dxd
dxdTKAxQx ∆
−+−=∆+
dtdExQxQx =∆+−
dxdTxCAx
dxTdKA
dxdTKA
dxdTKA ∆=
∆
−+−−− ρ2
2
dtdTxCAx
dxTdKA ∆=∆ ρ2
2
dtdTC
dxTdK ρ=2
2
Tratamos de obtener una solución de la forma T(x,t) para derivar dxdT
dxdTKAQx −=
dtdTC
dxTdK ρ=2
2
Si divido entre K:
dtdT
KC
dxTd ρ=2
2
α1=K
CKρ
α = [Difusividad térmica]
Ecuación de conducción con generación interna de calor
dtdTq
dxTd
α1
2
2
=+
K, conductividad térmica; KmWo
Ley de Fourier:
dxdTKAq −=
dTKAdxqT
T∫∫ −=2
1
1
0
) )(( 12
2
0
2
1
TTKALqKATqxT
T−−=−⇒−= θ
−
−=LTT
KAq 12
NOTAS:
Las temperaturas pueden ser en ºC o ºK al final nos dará el mismo resultado. Cuando se multiplica por un diferencial de temperaturas las unidades de
temperatura no importan.
CONVECCCION Ley de Enfriamiento de Newton (?) La transferencia de calor por convección o simplemente convección es el que se lleva acabo por el flujo de un fluido. El fluido actúa como un acarreador de energía que es tomada (o entregada a ) una pared sólida.
El flujo de calor por convección obedece la Ley de Newton:
)( ATTwhq ∞−=
Donde h: Coeficiente de transferencia de calor por convección )( Kmw o2
La h, es el coeficiente de mayor importancia de la convección. Existen dos clasificaciones para la convección:
a) Libre o Natural b) Forzada
Convección Natural: Cuando un fluido es llevado a través de una pared por efectos de
flotación. Convección Forzada: Cuando un fluido es obligado a pasar a través de las paredes. La convección puede ser monofásica, bifásica ó puede darse con un cambio de fase
(ebullición y condensación).
RADIACCION En este caso hablaríamos de la energía radiante emitida por un cuerpo, debido a su temperatura trasmitida en el espacio. Según Planck la radiación es trasmitida en forma de fotones discretos. La radiación puede ser transmitida en el vació mientras que la conducción y convección requieren de un medio material. El máximo flujo ( )2m
w en que el calor puede ser radiado de una superficie es: 4" sTq σ=
Donde: TS= Temperatura absoluta en °K de la superficie σ = Constante de stephan Boltman )( 4
2867.5 KmwE −
La razón neta de intercambio de calor entre una superficie y sus alrededores por unidad de área es:
)( 4sup
4" TTwTq −= ε Donde: ε = Emisividad 0 1≤≤ ε Para un cuerpo negro 1=ε
• Cuando no me dan el valor ε , considero 1=ε • Siempre la temperatura debe estar dada en °K
NOTA: 273+°C=°K
1.-La superficie exterior de un muro de concreto de 0.2 m de espesor se mantiene a
una temperatura de -5 °C, mientras que la interior se mantiene a 20°C. la conductividad térmica del concreto es 1.2 w/m°K. Determinar la perdida de calor a través del muro de 10m de largo y 3m de alto. CONDUCCION
−
−=LTT
KAq 12
°−°−°−=
mCCmCmWq
2.0)20()5()30)(/2.1( 2
mKmCmWq
°°=
2
4500
Wq 4500=
2.- Se transfiere calor a razón de 0.1 KW a través de un aislante de fibra de vidrio (ρ=100 kg/m2) de 5cm de espesor y 2m2 de área. Si la superficie caliente esta a 70 °C, determine la temperatura de la superficie fría. CONDUCCION De tablas: K= 0.036 W/m°K
−
−=LTTKAq 12
KAqLTT
−+= 12
)2()/036.0()05.0(1.070 2
3
2 mKmWmWECT
°−+°=
CT °= 55.02
3.- Cuando la superficie de una placa plana de 0.1x0.5m se mantiene a 30°C, la tasa de transferencia de calor del aire caliente a 100°C que fluye a su lado es de 125W. cual es el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la placa y el aire. CONVECCION
)( ATTwhq ∞−=
)( ∞−=
TTAqhw
)30100)(5.0()1.0(125
CCmmWh
°−°=
CmWh °= 2/714.35
4.-Durante un invierno, la superficie de un rió desarrolla una capa de hielo de espesor desconocido l. se conoce la temperatura del agua del rió de es de 4°C, la temperatura del aire atmosférico es de -30°C, y la t5emperatura debajo de la capa de hielo de 0°C.
)( 111" TThq rio −= )( CCKmWq °−°°= 04/500" 21
21 /2000" mWq =
La conductividad térmica del hielo es K=2.25 w/m°K, los coeficientes de transferencia de calor sobre el lado del agua y del aire de la capa de hielo son h1=500w/m2°K y h2=100 w/m2°K respectivamente. Calcule la temperatura sobre la superficie superior de la capa de hielo y el espesor L del hielo. CONVECCION
CONDUCCION [ ])30(/100" 2
23 CTKmWq °−−°=
)(" 122 TTLKq −−=
KKmWmW °+−°
= )27330(/100
/20002
2
2T
T K°−= 2832
CONVECCION CT °−= 102
)( aireTThq −= 223" )(" 12
1
TTqKL −=
por la ley de la conservación )010(/2000
/25.22 CC
mWCmWL °−°−°=
mL 01125.0=
q1=q2=q3
5.- Un calentador radiante de franjas metálicas tiene 6mm de ancho, una longitud
total de 3m la emisividad de la superficie de la franja es 0.85. A que temperatura debe estar la franja para disipar 1600W de calor a un cuarto que esta a 25°C. RADIACION
)( 44SUPS TTAq −= σε
)( 44∞−= TTAq Wσε
44
∞+= TAqTW σε
4
24284 )298(
)018.0()/67.5)(85.0(1600 K
mKmWEWTW °+
°= −
4124 85.1 KETW °= Tw= 1166.6 °K Tw= 893.6 °C
6.- Un cilindro de 5 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200°C (473°K), mientras una corriente de aire a 30°C (303°K) y con una velocidad de 50 m/s le sopla transversalmente. Si la emisividad de la superficie es 0.7. Calcular la perdida total de calor por unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que esta colocado el cilindro esta a 10°C. CONVECCION + RADIACION
radconv qqq +=
)()( 44paredWaireW TTATThAq −+−= σε
Para este caso el valor de h fue tomado de la tabla 1.2 h= 180 W/m2°C
)()())()(C W/m2180( 44paredWaireW TTDLTTDLq −+−°= σεππ
[ ]44 )283()473()()()( −+−= σεππ DTTDhALq
aireW
mWmWLq /07.272/63.4806 +=
mWLq /5078=
7.- Una pared de 5cm de asbesto poco compacto esta colocada entre dos placas a 100 y 200 °C, calcular el calor transferido a través de la capa de asbesto (poco compacto) CONDUCCION Ley de Fourier
dxdTKAq −=
ley de Fourier por unidad de área
dxdTK
Aq −=
Calor por unidad de área
AQq =
−−=
LTTKq 12
°−°°−=m
CCCmWq05.0
)200()100()/149.0(
2/298 mWq =
8.- Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m°C ¿Cuál será el espesor necesario para que exista una caída de temperatura de 500°C para un flujo de calor de 400W/m2?
−
−=LTT
Kq 12
qTTKL )( 12 −−
=
qTKL ∆−=
)/400()500)(/10(
2mWCCmWL °−°−=
mL 5.12=
9.- Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15cm de espesor son 370°C y 93°C. La pared esta construida con un vidrio especial que tiene las siguientes propiedades: K=0.78W/m°C, ρ=2.700 kg/m3, Cp=0.84 KJ/kg°C, ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared en condiciones estacionarias?
−
−==LTT
KqAq 12"
°−°°−=m
CCCmWq15.0
)370()93()/78.0(
2/4.1440 mWq =
10.- una de las caras de una pared plana se mantiene a 100°C mientras que la otra se expone al ambiente que esta a 10°C, siendo h=10W/m2°C el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica K=1.6 W/m°C y un espesor de 40 cm. Calculese el flujo de calor a través de la pared. CONDUCCIÓN + CONVECCION
−
−=LTT
Kq cond12"
)( ∞−= TThq conv 2
"
convcond qq "" =
°−°−=
mCT
CmWq cond4.0100
)/6.1( 2"
4004 2" +−= Tq cond
)( CTCmWq conv °−°= 10/10 2
2"
10010 2" −= Tq conv
convcond qq "" =
100104004 22 −=+− TT
CT °= 71.352
)( CCCmWq conv °−°°= 1071.35/10 2"
2" /1.257 mWq conv =
11.- Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta en el ártico petróleo 30°C y esta expuesto a una temperatura ambiente de -20°C. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7mW/m°C cubre la superficie del oleoducto, el coeficiente de transferencia de calor es 12 W/m°C. Estímese la perdida de energía del oleoducto por unidad de longitud.
−
−=LTT
Kq cond12"
)( 32
" TThq conv −=
°−
°−= −
mCT
CmWEq cond05.030
)/7( 23"
[ ])20(/12 22" CTCmWq conv °−−°=
2.414.0 2
" +−= Tq cond
24012 2" += Tq conv
convcond qq "" =
240122.414.0 22 −=+− TT
CT °−= 42.192
)2042.19(/12 2" CCCmWAqq conv °+°−°==
2/96.6 mWAq =
2/96.6 mWLD
q =π
π)5.0(/96.6 2 mmWLq =
mWLq /93.10=
UNIDAD II CONDUCCION UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA PAREDES PLANAS SIMPLES O COMPUESTAS
El fenómeno se rige por al siguiente Ecuación:
dtdT
dxTd
α1
2
2
=
Por ser un fenómeno estacionario
0=dtdT
Por lo tanto:
02
2
=dxTd 1Cdx
dT =⇒ 21 CXCL
o
T
T
L
o
+T
0=
dxdT
dxd 21 CdxCdT L
oToL += ∫∫ ( ) 21 CoLCTT oL +−=−
0=
dxdTd Condiciones de frontera T 21
21
CxCCLCTT oL
+=+=−
1CdxdTd =
∫
L
o
TTLxTTox
=→==→=
Aplicando oTTox =→=
( ) 21 CoCTo +=
2CTo = Aplicando LTTLx =→=
oTXCT += 1
( ) oL TLCT += 1
oL TLCT += 1
LTT
C oL −=1
21 CXCT +=
ooL T
LTT
T +−
=
dxdTq
Thq
Κ−=
Α∆=
"
LTTC
dxdT oL −
== 1
−=Κ−=
L
oL
TTT
q"
[ ]oL TTL
qq −=ΚΑ−=Α= "
[ ]Lo TTL
−ΚΑ=
*Al término KAL se le conoce como resistencia térmica.
KALRt =
RtTT
q Lo −=
PAREDES COMPUESTAS
Pared Simple Pared Compuesta
RtTT
q Lo −=
RtTT
q FC −=
FC RRRRRRt ++++= 321
+
Κ+
Κ+
Κ+
Α
−=
Fc
FC
hLLL
h
TTq
111
3
3
2
2
1
1
Fc hKL
KL
KL
h
U11
1
3
3
2
2
1
1 ++++=
U = Coeficiente global de transferencia de calor.
( )FC TTUq −Α=
La caja aislada mostrada en la figura esta diseñada para mantener el aire atrapando
en ella a una alta temperatura de 50°C. La temperatura afuera es de 10°C. Para mantener constante la temperatura del aire. La transferencia de calor que sale por el aislante recupera mediante un calentador de resistencia eléctrica colocado en el centro de la caja. Calcular la potencia eléctrica disipada por el calentador; las dimensiones del espacio interno (aire) son x = 1m, y = 0.4m y z = 0.3m. La pared aislada consiste de una plana de 10 cm. de espesor de fibra de vidrio que se encuentra entre dos placas de madera de abeto cada una de 1 cm. de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interna y externa de la pared son Κo25 m
w y Κo2mw15 respectivamente.
Thq Α∆=
FFac hKL
KL
h
U121
121 +++
=
151
038.01.0
11.0
01.025
1
1
2
++
°
+
=
Cmwm
kmw
U
kmw
U
°
=
2
132.0
Cmw
U
°
=
2
11
32.0
wCmU °=
2
32.0
Áreas
Interior ( )( ) ( )( ) ( )(
264.13.0123.04.024.012
mAA
=++= )
Exterior ( )( ) ( )( ) ( )( )
262.354.024.1254.064.0264.024.12
mAA
=++=
Intermedia ( )( ) ( )( ) ( )( )
25424.242.012.1242.052.0252.012.12
mAA
=++=
] ][[ CCmCmwq °−°°
= 10505424.232.0 22
wq 54.32=
PLACAS CILINDRICAS
Simples y Compuestas a) Cilindro Simple
Q, se transfiere del centro de la tubería hacia la pared externa del mismo. Ley de Fourier
AqQ "= Tuberías: Ae: área exterior Ai: área interior
iiee AqAqQ "" == q”e=(2πreL)=q”i(2πriL) q”ere=q” iri
e
i
i
e
rr
qq =
""
Nota: la temperatura varia en x, hacia arriba y hacia abajo es constante.
Para un cilindro simple, las temperaturas se distribuyen de la siguiente manera:
)ln(
)ln()(
i
e
ieii
rrrr
TTTT −−=
Calculamos de la siguiente manera:
( )ei
i
eTT
rrKL −=
)(ln
2Q π
Nota: La temperatura y el calor están en función del radio. CILINDRO COMPUESTO
t
FC
RTTQ −=
ee
e
i
ii hLKr
r
LKr
r
LKrr
hRt
Α+
+
+
+Α
= 12
ln
2
ln
2
ln1
3
2
2
1
2
1
1
πππ
Lrii π2=Α Lree π2=Α
Nota: Los problemas se resuelven hasta donde me lo permitan los datos. Ejemplo: Datos:
Twext t
Fwext
RTTQ −=
TF como solo tengo he
he ee
t hR
Α= 1
( )Fwextee
ee
Fwext
TThh
TTQ−Α
=
Α
−= 11
Convección
( ) ( Fwexteew TThQTThAq −Α=⇔−= ∞ ) Convección
Una tubería de 2 in cedula 40, tiene una conductividad e 47 w/m°C. el fluido dentro del tubo tiene un coeficiente de convección de 170 w/m2°C, la superficie exterior de la tubería es cubierta con un aislante de fibra de vidrio de 12.5 mm de espesor y K=0.04 w/m°C. el coeficiente de convección para la superficie exterior del aislante es 12 w/m2°C. la temperatura del fluido dentro de la tubería es 160 °C y la temperatura ambiente es 21°C. Calcular:
a) la perdida de calor por metro de longitud b) la temperatura en cada una de las interfaces de la tubería y el aislante.
+
+
+
−=
ee
e
i
ii
ei
rhKr
r
Krr
rhL
TTQ
ππππ 21
2
ln
2
ln
211
2
1
1
1
+
+
+
−=
ee
e
i
ii
ei
rhKr
r
Krr
rh
TTLQ
ππππ 21
2
ln
2
ln
21
2
1
1
1
t
ei
RTTQ −=
ee
e
i
ii hLKr
r
LKrr
hRt
Α+
+
+Α
= 12
ln
2
ln1
2
1
1
1
ππ
LrhLKr
r
LKrr
LrhRt
ee
e
i
ii ππππ 21
2
ln
2
ln
21
2
1
1
1
+
+
+=
+
+
+=ee
e
i
ii rhKr
r
Krr
rhLRt
ππππ 21
2
ln
2
ln
211
2
1
1
1
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )mCm
wCm
wCm
wmCm
w
CCQ0426.02º12
1
º04.023.60
3.85ln
º4725.52
3.60ln
0263.02º1701
º21º160
2
2
ππππ
+++−=
Cmw
Cmw
CmwE
Cmw
CQ
º312.0
º38.1
º69.4
º035.0
º1394 +++
=−
mw
CmwC
LQ 5.80
º
º5.80 ==
t
i
RTTQ 1−=
( )( iii
ii
i
ii
i rhTT
rh
TTLQ
Lrh
TTQ π
ππ
2
21
21 1
11 −=−
=⇒−
= )
)
( )(
1
1
25.80
25.80
TTrh
rhTT
iii
iii
−=
−=
π
π
116009.285.80 T−=−
16009.285.80
1 +
−=T
CTT
º13.157865.2160
1
1
=−=
Si deseo calcular T2:
1
1
21
1
1
21
2
ln
2
ln
KrrTT
LQ
LKrrTTQ
ii
ππ
−
=⇒
−
=
211
1
2
ln5.80TT
Krr
i −=−
π
( ) 13.157
3.29514.05.80
2 +
−=T
CTET
º09.15781.313.157
2
22
=−= −
Si deseo calcular T3:
2
1
32
2
1
32
2
ln
2
ln
Kr
rTT
LQ
LKr
rTT
Qee
ππ
−=⇒
−=
322
1
2
ln5.80TT
Kr
re−=−
π
( )
−=
25.0346.05.80
23 TT
CT º68.453 =
Si deseo calcular Te:
Lrh
TTQ
ee
e
π21
3 −=
ee
e
rh
TTLQ
π21
3 −=
eee
TTrh
−= 325.80
π
+−=−
eee rh
TTπ2
5.803
−=
eee rhTT
π25.80
3
CTT
e
e
º62.2006.2568.45
=−=
SUPERFICIES EXTENDIDAS ALETAS
Al desarrollar el balanceo de energía se obtiene la siguiente ecuación diferencial de la aleta.
( ) 02
2
=∞−−Α TThPdxTdK C
Resolviéndose para:
1) Aleta larga 2) Aleta corta aislada en el extremo 3) Aleta corta con convección en el extremo
ALETA LARGA
∞−= TTSi x)(θ ( ) mxbx eTTTT −
∞∞ −+=)(
∞−= TTbbθ Si x = 0
eKAhPm = T
( )
bx
bx
mbx
TTTTT
eTTTT
=−+=−+=
∞∞
−∞∞
)1(
)0(
( )( ) ( mxTTTTmx
bx
b
−−=−−=
∞∞ expexp
)( )θθ
Nota: x debe ser en el punto donde se desea conocer la temperatura ( ) 2
1ρθ hKAq Cbb = ALETA CORTA AISLADA EN EL EXTREMO
( )[ ]( )
( ) ( )mLtghhPKAq
mLxLm
ebb
b
21
coshcosh
θ
θθ
=
−=
ALETA CORTA CON CONVECCION EN EL EXTREMO
( )[ ] ( )[ ]
( ) [ ]
( ) ( )Cebb
b
mLtghhPKAq
mLsenhmKhmL
xLmsenhmKhxLm
21
cosh
cosh
θ
θθ
=
+
−
+−
=
Donde: PALL C
C +=
EFICIENCIA DE ALETA
b
b
Ahq
calordeciatransferenMaxrealcalordeciatransferen
θη
exp
==
Donde: Aexp= área expuesta
bb Ahq θη exp=
El contenedor cilíndrico de una motocicleta es construido de duraluminio y tiene una altura de 0.15 mts. Y un diámetro externo de 50 mm. bajo condiciones típicas de operación la superficie exterior del cilindro esta a una temperatura de 500 ºK y expuesta al aire ambiente que se encuentra a 300ºK, con un coeficiente de convección de Km
wº250
.Aletas anulares de perfil rectangular son agregadas para incrementar la transferencia de calor a los alrededores. Se agregan 5 de estas aletas con un espesor de 6 mm. y una longitud de 20 mm., igualmente espaciadas ¿Cuál es el incremento de transferencia de calor debido a la adición de las aletas?
Kmwh
KT
º50
º300
2=
==∞
a) Transferencia de calor del cilindro sin aletas.
( )( )( )[ ]( )
Wq
KmmKmwq
TTAhq
I
I
bI
62.235
º20015.005.0º50 2
=
=
∞−=
π
b) Transferencia de calor del cilindro con aletas
qqII = base remanente + aletas q qBase remanente = hA base remanente ( ) ∞−TTb
( )[ ] ( )
( )( )[ ] (W
KmKmw
KtHKmw
5.188
º20003.015.0050.0º50
º2005º50
2
2
=
−=
−=
π
φπ
)
KTT
hAqaleta
bb
b
º200
exp
=−=
=
∞θθη
expA = (# aletas)(# caras de la aleta) ( )[ ]2int
2 rrext −π
)2)(5(exp =A ( ) ([ ]22 025.0045.0 −π )
2exp 0439.0 mA =
025.0006.0045.0
92.12
===
=+
i
o
i
o
rtrr
tr
KmwK
mtmLKm
wh
KtLhtL
º164
006.0020.0
º50
2486.022
2
2
23
=
==
=
=
+
( )( )( )( )w
KKmwmqaleta
44.421
º200º500439.096.0 22
=
=
wqII
5.61044.4215.188
=+=
1.- La caja aislada mostrada en la figura esta diseñada para mantener el aire atrapando en ella a una alta temperatura de 50°C. La temperatura afuera es de 10°C. Para mantener constante la temperatura del aire. La transferencia de calor que sale por el aislante recupera mediante un calentador de resistencia eléctrica colocado en el centro de la caja. Calcular la potencia eléctrica disipada por el calentador; las dimensiones del espacio interno (aire) son x = 1m, y = 0.4m y z = 0.3m. La pared aislada consiste de una plana de 10 cm. de espesor de fibra de vidrio que se encuentra entre dos placas de madera de abeto cada una de 1 cm. de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor sobre las superficies interna y externa de la pared son Κo25 m
w y Κo2mw15 respectivamente.
Thq Α∆=
FFac hKL
KL
h
U121
121 +++
=
151
038.01.0
11.0
01.025
1
1
2
++
°
+
=
Cmwm
kmw
U
kmw
U
°
=
2
132.0
Cmw
U
°
=
2
11
32.0
wCmU °=
2
32.0
Áreas
Interior ( )( ) ( )( ) ( )(
264.13.0123.04.024.012
mAA
=
++= )
Exterior ( )( ) ( )( ) ( )( )
262.354.024.1254.064.0264.024.12
mAA
=
++=
Intermedia ( )( ) ( )( ) ( )( )
25424.242.012.1242.052.0252.012.12
mAA
=
++=
] ][[ CCmCmwq °−°°
= 10505424.232.0 22
wq 54.32=
2.- Una tubería de 2 in cedula 40, tiene una conductividad e 47 w/m°C. el fluido dentro del tubo tiene un coeficiente de convección de 170 w/m2°C, la superficie exterior de la tubería es cubierta con un aislante de fibra de vidrio de 12.5 mm de espesor y K=0.04 w/m°C. el coeficiente de convección para la superficie exterior del aislante es 12 w/m2°C. la temperatura del fluido dentro de la tubería es 160 °C y la temperatura ambiente es 21°C. Calcular:
c) la perdida de calor por metro de longitud d) la temperatura en cada una de las interfaces de la tubería y el aislante.
+
+
+
−=
ee
e
i
ii
ei
rhKr
r
Krr
rhL
TTQ
ππππ 21
2
ln
2
ln
211
2
1
1
1
+
+
+
−=
ee
e
i
ii
ei
rhKr
r
Krr
rh
TTLQ
ππππ 21
2
ln
2
ln
21
2
1
1
1
t
ei
RTTQ −=
ee
e
i
ii hLKr
r
LKrr
hRt
Α+
+
+Α
= 12
ln
2
ln1
2
1
1
1
ππ
LrhLKr
r
LKrr
LrhRt
ee
e
i
ii ππππ 21
2
ln
2
ln
21
2
1
1
1
+
+
+=
+
+
+=ee
e
i
ii rhKr
r
Krr
rhLRt
ππππ 21
2
ln
2
ln
211
2
1
1
1
( ) ( )
( )( )
( )( ) ( ) ( )mCm
wCm
wCm
wmCm
w
CCQ0426.02º12
1
º04.023.60
3.85ln
º4725.52
3.60ln
0263.02º1701
º21º160
2
2
ππππ
+++−=
Cmw
Cmw
CmwE
Cmw
CQ
º312.0
º38.1
º69.4
º035.0
º1394 +++
=−
mw
CmwC
LQ 5.80
º
º5.80 ==
t
i
RTTQ 1−=
( )( iii
ii
i
ii
i rhTT
rh
TTLQ
Lrh
TTQ π
ππ
2
21
21 1
11 −=−
=⇒−
= )
)
( )(
1
1
25.80
25.80
TTrh
rhTT
iii
iii
−=
−=
π
π
116009.285.80 T−=−
16009.285.80
1 +
−=T
CTT
º13.157865.2160
1
1
=−=
Si deseo calcular T2:
1
1
21
1
1
21
2
ln
2
ln
KrrTT
LQ
LKrrTTQ
ii
ππ
−
=⇒
−
=
211
1
2
ln5.80TT
Krr
i −=−
π
( ) 13.157
3.29514.05.80
2 +
−=T
CTET
º09.15781.313.157
2
22
=−= −
Si deseo calcular T3:
2
1
32
2
1
32
2
ln
2
ln
Kr
rTT
LQ
LKr
rTT
Qee
ππ
−=⇒
−=
322
1
2
ln5.80TT
Kr
re−=−
π
( )
−=
25.0346.05.80
23 TT
CT º68.453 =
Si deseo calcular Te:
Lrh
TTQ
ee
e
π21
3 −=
ee
e
rh
TTLQ
π21
3 −=
eee
TTrh
−= 325.80
π
+−=−
eee rh
TTπ2
5.803
−=
eee rhTT
π25.80
3
CTT
e
e
º62.2006.2568.45
=−=
3.- Una tubería de vapor de radio externo de 4 cm esta cubierta con una placa de asbesto de 1 cm de espesor, que a su vez esta cubierto con fibra de vidrio con 3 cm de espesor. La superficie de la tubería de vapor esta a 330°C y la superficie exterior de la fibra de vidrio esta a 30°C. CALCULAR:
a) La temperatura de interfase entre el asbesto y la fibra de vidrio b) La transferencia de calor por metro de longitud de la tubería.
Asbesto Vidrio K1 = 0.149 W/mºC K2 = 0.038 W/mºC
( )( )[ ]
CT
T
T
º65.297
330238.09.135
238.0330
1
1
1
=
−=−
−9.135 =t
FC
RTTq −=
ee
e
e
ii hLKr
r
LKrr
hRt
Α+
+
+Α
= 12
ln
2
ln1
2
1
1
1
ππ
2
1
1
1
2
ln
2
ln
Kr
r
Krr
TTLq
e
e
FC
ππ
+
−=
mw
Lq 9.135=
1
1
1
2
ln
KrrTT
Lq
e
C
π
−=
4.- El contenedor cilíndrico de una motocicleta es construido de duraluminio y tiene
una altura de 0.15 mts. Y un diámetro externo de 50 mm. bajo condiciones típicas de operación la superficie exterior del cilindro esta a una temperatura de 500 ºK y expuesta al aire ambiente que se encuentra a 300ºK, con un coeficiente de convección de Km
wº250
.Aletas anulares de perfil rectangular son agregadas para incrementar la transferencia de calor a los alrededores. Se agregan 5 de estas aletas con un espesor de 6 mm. y una longitud de 20 mm., igualmente espaciadas ¿Cuál es el incremento de transferencia de calor debido a la adición de las aletas?
Kmwh
KT
º50
º300
2=
==∞
c) Transferencia de calor del cilindro sin aletas.
( )( )( )[ ]( )
Wq
KmmKmwq
TTAhq
I
I
bI
62.235
º20015.005.0º50 2
=
=
∞−=
π
d) Transferencia de calor del cilindro con aletas
qqII = base remanente + q aletas qBase remanente = hA base remanente ( ) ∞−TTb
( )[ ] ( )
( )( )[ ] (W
KmKmw
KtHKmw
5.188
º20003.015.0050.0º50
º2005º50
2
2
=
−=
−=
π
φπ
)
KTT
hAqaleta
bb
b
º200
exp
=−=
=
∞θθη
expA = (# aletas)(# caras de la aleta) ( )[ ]2int
2 rrext −π
)2)(5(exp =A ( ) ([ ]22 025.0045.0 −π )
2exp 0439.0 mA =
025.0006.0045.0
92.12
===
=+
i
o
i
o
rtrr
tr
KmwK
mtmLKm
wh
KtLhtL
º164
006.0020.0
º50
2486.022
2
2
23
=
==
=
=
+
( )( )( )( )w
KKmwmqaleta
44.421
º200º500439.096.0 22
=
=
wqII
5.61044.4215.188
=+=
UNIDAD III CONDUCCION BIDIMENSIONAL ESTABLE
02
2
22 =+
dyTd
dxTd
Condiciones de frontera
0=x T bTT = 0=y ∞=TLx = T ∞=TT Hy = ∞=T
Cambio de variable
TdddTdTT
22 ==
−= ∞
θθ
θ
Sustituyendo (3) en (1)
02
2
22 =+
dyd
dxd θθ
0=x ∞−= TTbθ
bθθ = Lx = 0=θ 0=y 0=θ Hy = 0=θ
Separación de variables
yxdxd '=θ 'xy
dyd =θ
yxdxd ''2
2
=θ ' '2
2
xydyd =θ
0"" =+yxyyx
0
"
=+
xyxyx
0"" =+yy
xx
2"" λ=−=
yy
xx
2" λ=
xx
xx 2" λ=
xx 2" λ=
0" 2 =− xx λ
2" λ=−
yy
yy 2" λ=−
02 =+− yy λ
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
±==
=−=−
===
22
22
22
2
00
"'
x
xx
x
x
x
eee
exex
ex
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
i
eee
eyeyey
y
yy
y
y
y
±=−=
=+=+
===
22
22
22
2
00
"'
( )
( )yiyi
y
xxx
eCeCy
eCeCxλλ
λλ
−
−
+=
+=
43
21
( ) ( ) ( )
( ) [ ][ yiyixxyx
yxyx
eCeCeCeC
yxλλλλθ ]
θ−− ++=
=
4321,
,
Identidades de Euler
yiSenhyCosheyiSenhyCoshexSenhxCoshexSenhxCoshe
yi
yi
x
x
λλλλλλ
λλ
λ
λ
λ
λ
−=+=+=
+=
−
−
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]
( )[ ] ( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ ]xBCosySenxACoshxSenhK
yiSenhyCoshCyiSenhyCoshC
xSenhxCoshCxSenhxCoshC
yx
yx
λλλλθλλλλ
)
λλλλθ
++=−+=
++=
,
43
21,
Donde:
3
4
1
2
31
CCB
CCA
CCK
=
=
=
Aplicar condiciones de frontera X = L θ = 0
[ ][ ]
LCoshLSenhA
LACoshLSenhyCoshBySenhLACoshLSenhK
λλ
λλλλλλ
−=
=+++=
00
Sustituimos
( ) [ ]
( )
( )[ ]( )
( )( )[ ]( ) [ ]yCosBySenLCoshLxSenhK
xLCoshLxSenh
LCoshLCoshLSenhLLCoshSenh
aCoshbSenhbCoshaSenhbaSenhLCosh
LLCoshSenhLSenh
yCosBySenLCoshLCoshLSenhLSenhK
yx
yx
λλλ
λθ
λλ
λλλλ
λλλλ
λλλλλλθ
+−=
−
−±=±
−
+
+
−+=
,
,
y = 0 θ = 0
( )[ ]( ) [ ])0()0(0 λλλ
λ CosBSenLCoshLxSenhK +−=
B=0
( )[ ]( ) ySenLCoshLxSenhKyx λ
λλθ −=),(
y = H θ = 0
( )[ ]( )
( )
( )y
HnSen
LHnCosh
LxHnSenh
K
HnnHHSen
HSenLCoshLxSenhK
nnyx
ππ
π
θ
πλ
πλλ
λλ
λ
−=
=
==
−=
∑∞
=1,
0
0
x = 0 θ = θb Sustituyendo y para una Kn en particular
( )
∫ ∫
−=
−=
−=
H
y
H
nyb
nb
nb
ydHmSeny
HnSenL
HntghKyd
HmSen
YHnLSen
HntghK
yHnSen
LHnCosh
LHnSenh
K
0 0
0
ππππθ
ππθ
ππ
π
θ
[ ]
[ ]1
000
−−=
−−=−=∫
ππ
ππ
ππ
π
CosmmH
CosCosmmHy
HmCos
mHyd
HmSen
H
y
H
Con valores de: 0 para n par
πmH2 para n impar
y
H
ydHmySen
HnSen ππ
∫0
Con valores de: O para nm ≠
2H para m = n
22 H
HLntghK
mH
nbπ
πθ −= m = n = impar
HLntghn
K bn ππ
θ4−=
( )
( )y
HnSen
LHnCosh
LxHnSenh
HLnntgh
Kn
nb
yxπ
π
π
ππθθ
,141
, ∑∞
=
−=
Ecuación de condición
dtdT
dyTd
dxTd
α1
2
2
2
2
=+
02
2
2
2
=+dyTd
dxTd
Para x son valores en y Para y son valores en x Condiciones en la frontera
0=x bθθ = 0=y 0=θ Lx = 0=θ y H= 0=θ
Separación de variables
( ) ( ) ( yxyx yx=, )θ
yxdxd '=θ 'xy
dyd =θ
yxdxd ''2
2
=θ ' '2
2
xydyd =θ
Sustituimos en Ec.1
0""
02
2
2
2
=+
=+
xyyxdyd
dxd θθ
Dividido entre “y”
0"" =+yxyx
Dividido entre “x”
0"" =+yy
xx
2"" λ=−=yy
xx
000
2
2
2
≤
≥=
λλλ
2" λ=xx
xx 2" λ=
0" 2 =− xx λ
2" λ=−
yy
yy 2" λ=−
0"2 =+ yyλ
Resolvemos 0" 2 =− xx λ
x
x
x
exex
ex
α
α
α
αα
2"'==
=
[ ] 00
22
22
=−
=−
λαλα
α
αα
x
xx
eee
λαλαλα
±==
=−2
22 0
( )
xxx eCeCx λλ −+= 21
Resolvemos 0" 2 =+ yy λ
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
i
eee
eyey
ey
y
yy
y
y
y
±=−=
=+
=+=
=
=
22
22
22
2
00
"'
( )
yiyiy eCeCy λλ −+= 43
Decimos entonces:
( ) ( ) ( )
( ) [ ][ ]yCosCySenCeCeC
yxxx
yx
yxyx
λλθ
θλλ
4321,
,
++=
=−
Condiciones de Frontera
∞→= Lx 0=θ
[ ][ ]yCosCySenCeCeC LL λλλλ43210 ++= −
1=λ 01 =C
( ) [ ]yCosCySenCeC xyx λλθ λ
432, +=∴ − Y=0 θ=0
[ ]( ) ( )[ ]
( ) [ ]( )
( ) ySenKe
KCCySeneCC
ySenCeC
CCCeC
CosCSenCeC
xyx
xyx
xyx
x
x
λθ
λθ
λθ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=+=
+=
,
32
32,
32,
4
432
432
0100
000
Y=H θ=0
( ) yHnSeneK
Hn
nHHSenHSenKe
n
XHn
nyx
x
πθ
πλ
πλλλ
π
λ
∑∞
=
−
−
=
=
=∴==
1,
00
X=0 θ=0
yHnSenK
nnb
πθ ∑∞
=
=1
Para una n en particular
] [ ]10
00
00
−−=−=
−==
=
∫∫
∫∫
ππ
ππ
ππ
πππ
πππθ
CosmmHy
HmCos
mH
yHmCos
mHyd
HmSen
Hmyd
HmSen
ydHmSeny
HmSenKyd
HmSen
H
y
H
y
H
y
H
ny
H
b
Con valores de: 0 para m par
πmH2 para m impar
Integral de Fourier
∫ y
H
ydHmSeny
HmSen ππ
0
Con valores de: 0 para nm ≠
2H para m = n
( )πθ
πθπ
θ
πθ
nHnH
HnH
K
HKmH
bbb
n
nb
422
2
22
2
===
−=
( ) n
yHnSene
XHn
n
byx
π
πθθ
π−
∞
=∑−=
3,2,1,
4
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS
( ) ?, =yxT
a) Nodos interiores ( )6,4 TT
( )
( )604500
4046.86
654
6
4632
4
=−+++
=−+++
TTTT
TTTTT
b) Contorno aislado ( ) 2T
( )2042100 241 =−++ TTT
c) Esquina exterior ( ),1T
( )102 132 =−+ TTT
d) Contorno aislado ( )5,3TT
( )( )50420
3042
563
3451
=−++=−++
TTTTTTT
-2 1 1 0 0 0 T1 01 -4 0 2 0 0 T2 -1001 0 -4 2 1 0 T3 ═ 00 1 1 -4 0 1 T4 -86,60 0 1 0 -4 2 T5 0
0 0 0 1 1 -4 T6 -50
Tm Dif.Finita Sol.analítica T1 63,6 62,4 T2 72,1 71,1 T3 55,09 54 T4 62,47 61,7 T5 31,81 31,2 T6 36,07 35,2 Solución analítica
( )
=b
Cosh
bCosh
byCosh
T yx 6*
3
6100,π
π
π
CT º2000 =
Ejemplo 2
cmyxcmL
14
=∆=∆=
Nodos interiores
2512531
2
142
1
118101112810
11
10117
10
81157811957
8
71084
7
582458624
5
4751
4
422042
042
04200204200
0442.141
04204
04
04204
04
TTTTTTTT
TTTT
TTTTTTTT
TTTT
TTTTTTTTTT
TTTTT
TTTTTTTTTT
TTTTT
−+⇒=−++
=−+
=−++⇒=−+++
=−++
=−++⇒=−+++
=−++
=−++⇒=−+++
=−++
-4 1 2 0 0 0 0 0 T1 02 -4 0 2 0 0 0 0 T2 01 0 -4 1 1 0 0 0 T4 00 1 2 -4 0 1 0 0 T5 ═ 00 0 1 0 -4 1 1 0 T7 00 0 0 1 2 -4 0 1 T8 0
0 0 0 0 1 0 -4 1 T10 -
141,4
0 0 0 0 0 1 2 -4 T11 -200
EJEMPLO 1)
02
2
22 =+
dyTd
dxTd
Condiciones de frontera
0=x T bTT = 0=y ∞=TLx = T ∞=TT Hy = ∞=T
Cambio de variable
TdddTdTT
22 =
=−= ∞
θθ
θ
Sustituyendo (3) en (1)
02
2
22 =+
dyd
dxd θθ
0=x ∞−= TTbθ bθθ =
Lx = 0=θ 0=y 0=θ Hy = 0=θ
Separación de variables
yxdxd '=θ 'xy
dyd =θ
yxdxd ''2
2
=θ ' '2
2
xydyd =θ
0"" =+yxyyx
0
"
=+
xyxyx
0"" =+yy
xx
2"" λ=−=yy
xx
2" λ=
xx
xx 2" λ=
xx 2" λ=
0" 2 =− xx λ
2" λ=−
yy
yy 2" λ=−
02 =+− yy λ
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
±==
=−
=−=
=
=
22
22
22
2
00
"'
x
xx
x
x
x
eee
exex
ex
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
i
eee
eyeyey
y
yy
y
y
y
±=−=
=+
=+=
=
=
22
22
22
2
00
"'
( )
( )yiyi
y
xxx
eCeCy
eCeCxλλ
λλ
−
−
+=
+=
43
21
( ) ( ) ( )
( ) [ ][ yiyixxyx
yxyx
eCeCeCeC
yxλλλλθ ]
θ−− ++=
=
4321,
,
Identidades de Euler
yiSenhyCosheyiSenhyCoshexSenhxCoshexSenhxCoshe
yi
yi
x
x
λλλλλλ
λλ
λ
λ
λ
λ
−=+=
+=+=
−
−
( ) ( )[ ] ( )[ ][ ]
( )[ ] ( )[ ][ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ([ ]xBCosySenxACoshxSenhK
yiSenhyCoshCyiSenhyCoshC
xSenhxCoshCxSenhxCoshC
yx
yx
λλλλθλλλλ
)
λλλλθ
++=−+=
++=
,
43
21,
Donde:
3
4
1
2
31
CCB
CCA
CCK
=
=
=
Aplicar condiciones de frontera X = L θ = 0
[ ][ ]
LCoshLSenhA
LACoshLSenhyCoshBySenhLACoshLSenhK
λλ
λλλλλλ
−=
=+++=
00
Sustituimos
( ) [ ]
( )
( )[ ]( )
( )( )[ ]( ) [ ]yCosBySenLCoshLxSenhK
xLCoshLxSenh
LCoshLCoshLSenhLLCoshSenh
aCoshbSenhbCoshaSenhbaSenhLCosh
LLCoshSenhLSenh
yCosBySenLCoshLCoshLSenhLSenhK
yx
yx
λλλ
λθ
λλ
λλλλ
λλλλ
λλλλλλθ
+−=
−
−±=±
−
+
+
−+=
,
,
y = 0 θ = 0
( )[ ]( ) [ ])0()0(0 λλλ
λ CosBSenLCoshLxSenhK +−=
B=0
( )[ ]( ) ySenLCoshLxSenhKyx λ
λλθ −=),(
y = H θ = 0
( )[ ]( )
( )
( )y
HnSen
LHnCosh
LxHnSenh
K
HnnHHSen
HSenLCoshLxSenhK
nnyx
ππ
π
θ
πλ
πλλ
λλ
λ
−=
=
==
−=
∑∞
=1,
0
0
x = 0 θ = θb Sustituyendo y para una Kn en particular
( )
∫ ∫
−=
−=
−=
H
y
H
nyb
nb
nb
ydHmSeny
HnSenL
HntghKyd
HmSen
YHnLSen
HntghK
yHnSen
LHnCosh
LHnSenh
K
0 0
0
ππππθ
ππθ
ππ
π
θ
[ ]
[ ]1
000
−−=
−−=−=∫
ππ
ππ
ππ
π
CosmmH
CosCosmmHy
HmCos
mHyd
HmSen
H
y
H
Con valores de: 0 para n par
πmH2 para n impar
y
H
ydHmySen
HnSen ππ
∫0
Con valores de: O para nm ≠
2H para m = n
22 H
HLntghK
mH
nbπ
πθ −= m = n = impar
HLntghn
K bn ππ
θ4−=
( )
( )y
HnSen
LHnCosh
LxHnSenh
HLnntgh
Kn
nb
yxπ
π
π
ππθθ
,141
, ∑∞
=
−=
EJEMPLO 2)
Ecuación de condición
dtdT
dyTd
dxTd
α1
2
2
2
2
=+
02
2
2
2
=+dyTd
dxTd
Para x son valores en y Para y son valores en x Condiciones en la frontera
0=x bθθ = 0=y 0=θ Lx = 0=θ y H= 0=θ
Separación de variables
( ) ( ) ( yxyx yx=, )θ
yxdxd '=θ 'xy
dyd =θ
yxdxd ''2
2
=θ ' '2
2
xydyd =θ
Sustituimos en Ec.1
0""
02
2
2
2
=+
=+
xyyxdyd
dxd θθ
Dividido entre “y”
0"" =+yxyx
Dividido entre “x”
0"" =+yy
xx
2"" λ=−=yy
xx
000
2
2
2
≤
≥=
λλλ
2" λ=xx
xx 2" λ=
0" 2 =− xx λ
2" λ=−
yy
yy 2" λ=−
0"2 =+ yyλ
Resolvemos 0" 2 =− xx λ
x
x
x
exex
ex
α
α
α
αα
2"'==
=
[ ] 00
22
22
=−
=−
λαλα
α
αα
x
xx
eee
λαλαλα
±==
=−2
22 0
( )
xxx eCeCx λλ −+= 21
Resolvemos 0" 2 =+ yy λ
[ ]
λαλα
λαλα
αα
α
αα
α
α
α
i
eee
eyey
ey
y
yy
y
y
y
±=−=
=+
=+=
=
=
22
22
22
2
00
"'
( )
yiyiy eCeCy λλ −+= 43
Decimos entonces:
( ) ( ) ( )
( ) [ ][ ]yCosCySenCeCeC
yxxx
yx
yxyx
λλθ
θλλ
4321,
,
++=
=−
Condiciones de Frontera
∞→= Lx 0=θ
[ ][ ]yCosCySenCeCeC LL λλλλ43210 ++= −
1=λ 01 =C
( ) [ ]yCosCySenCeC xyx λλθ λ
432, +=∴ − Y=0 θ=0
[ ]( ) ( )[ ]
( ) [ ]( )
( ) ySenKe
KCCySeneCC
ySenCeC
CCCeC
CosCSenCeC
xyx
xyx
xyx
x
x
λθ
λθ
λθ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=+=
+=
,
32
32,
32,
4
432
432
0100
000
Y=H θ=0
( ) yHnSeneK
Hn
nHHSenHSenKe
n
XHn
nyx
x
πθ
πλ
πλλλ
π
λ
∑∞
=
−
−
=
=
=∴==
1,
00
X=0 θ=0
yHnSenK
nnb
πθ ∑∞
=
=1
Para una n en particular
] [ ]10
00
00
−−=−=
−==
=
∫∫
∫∫
ππ
ππ
ππ
πππ
πππθ
CosmmHy
HmCos
mH
yHmCos
mHyd
HmSen
Hmyd
HmSen
ydHmSeny
HmSenKyd
HmSen
H
y
H
y
H
y
H
ny
H
b
Con valores de:
0 para m par
πmH2 para m impar
Integral de Fourier
∫ y
H
ydHmSeny
HmSen ππ
0
Con valores de: 0 para nm ≠
2H para m = n
( )πθ
πθπ
θ
πθ
nHnH
HnH
K
HKmH
bbb
n
nb
422
2
22
2
===
−=
( ) n
yHnSene
XHn
n
byx
π
πθθ
π−
∞
=∑−=
3,2,1,
4
EJEMPLO 3)
( ) ?, =yxT
e) Nodos interiores ( )6,4 TT
( )
( )604500
4046.86
654
6
4632
4
=−+++
=−+++
TTTT
TTTTT
f) Contorno aislado ( ) 2T
( )2042100 241 =−++ TTT
g) Esquina exterior ( ),1T
( )102 132 =−+ TTT
h) Contorno aislado ( )5,3TT
( )( )50420
3042
563
3451
=−++=−++
TTTTTTT
-2 1 1 0 0 0 T1 0 1 -4 0 2 0 0 T2 -100 1 0 -4 2 1 0 T3 ═ 0 0 1 1 -4 0 1 T4 -86,6 0 0 1 0 -4 2 T5 0
0 0 0 1 1 -4 T6 -50
Tm Dif.Finita Sol.analítica T1 63,6 62,4 T2 72,1 71,1 T3 55,09 54 T4 62,47 61,7 T5 31,81 31,2 T6 36,07 35,2 Solución analítica
( )
=b
Cosh
bCosh
byCosh
T yx 6*
3
6100,π
π
π
EJEMPLO 4)
cmyxcmL
CT
14
º2000
=∆=∆==
Nodos interiores
2512531
2
142
1
118101112810
11
10117
10
81157811957
8
71084
7
582458624
5
4751
4
422042
042
04200204200
0442.141
04204
04
04204
04
TTTTTTTT
TTTT
TTTTTTTT
TTTT
TTTTTTTTTT
TTTTT
TTTTTTTTTT
TTTTT
−+⇒=−++
=−+
=−++⇒=−+++
=−++
=−++⇒=−+++
=−++
=−++⇒=−+++
=−++
-4 1 2 0 0 0 0 0 T1 0 2 -4 0 2 0 0 0 0 T2 0
1 0 -4 1 1 0 0 0 T4 0 0 1 2 -4 0 1 0 0 T5 ═ 0 0 0 1 0 -4 1 1 0 T7 0 0 0 0 1 2 -4 0 1 T8 0
0 0 0 0 1 0 -4 1 T10 -141,4
0 0 0 0 0 1 2 -4 T11 -200
UNIDAD IV CONDUCCION TRANSITORIA ANALISIS POR BLOQUES Este es el caso más sencillo de conducción transitoria ya que se considera que el gradiente de temperatura dentro de un cuerpo es despreciable y por lo tanto la única variable independiente es el tiempo (t).
Aplicando la primera Ley de la Termodinámica Razón del flujo de = Razón de incremento de energía Calor hacia el sólido interna del sólido
( )[ ]dtdTVCTThA t ρ=−∞
( ) ( )[ ]dtdTTT
VChA
t =−− ∞ρ1
( )[ ]dtdTTT
VChA
t =+−− ∞ρ
Vm ρ=
Si VChA
ρ=m
( )
( ) ∞−=−
TTdT
mdtt
t
( )
( )
( )
∫ ∫ ∞−=−
t
o
T
Tt
tt
i TTdT
dtm
( )( )[ ] ( )t
i
T
Ttto TTmt
+∞−=− ln
( )[ ] ( )∞∞ −−−=− TTTTmt it lnln
( )
∞−∞−
=−TTTT
mti
tln
( )
∞−∞−
=−
TTTT
ei
tmt
( ) ( ) mt
it eTTTT −∞−+∞= Temperatura en función del tiempo. Nota:
a)
yxe
yxz
z =
=−
−
ln
b) yxyx lnlnln =−
c) 1º =e Definimos la longitud característica como:
AVLs =
Donde: V, volumen de la pieza A, área de la pieza Definimos al Número de Biot como:
KhLB s
i = Donde: K: Conductividad térmica de la pieza
Si entonces aplicaremos la teoría anterior. 1.0≤iB CONDUCCION TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL
( ) 01, 2
2
=−→dtdT
dxTdtxT
α
Solución T ( )tx, En la figura se observa una placa de espesor 2L que inicialmente se encuentra a la temperatura Ti y que es inmensa en un medio que esta a temperatura T . ∞
Si definimos:
( ) ( ) ∞−= TTtx tx,,θ el problema se puede expresar como:
dtdxdx
d θθ 12
2
=
Esta expresión es la ecuación de conducción unidimensional considerando al tiempo como variable, con condición inicial.
iθθ = en 0=t Donde ∞−= TTiiθ Y condiciones de frontera
0=dxdθ En x = 0
θθ hdxdK =− En x = 1
Utilizado el método de separación de variables y colocándoles las condiciones de frontera iniciales, se llega a una solución
( tx, )θ Para la cual se emplean series de Fourier para las siguientes 3 casos:
a) Placa plana b) Cilindro largo c) Esfera
Graficado mediante tres parámetros
1) Número de Biot
Khró
KhLB o
i =
2) número de Fourier
22o
o rTó
LTF αα=
3) Parámetro Geométrico
orró
Lx
Tomar L de tabla 2.3 Utilizar tablas 2.3, 2.38 y 2.39
Nota: Esfera 2
3
34
DA
rV
π
π
=
=
UNIDAD IV
1.- Una placa de hierro de 5cm de espesor, esta inicialmente a 225°C de repente la placa se expone a un ambiente que se encuentra a 25°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 500 W/m2°C. calcular la temperatura en el centro de la placa y a 1cm de profundidad a 2 minutos de comenzar el enfriamiento. Determinar la energía removida de la placa por metro cuadrado durante los 2 minutos. Propiedades
Tprom = ( )
2ti TT +
( )tT = 75° (supuesto)
Tprom = 150° C
3
25
897.7
452.0
034.2
º5.64
mKg
CKgKC
smE
CmwK
jp
=
°=
=
=
−
ρ
α
( )
( )9.3
025.0120034.22
5
2 ===−E
LTFo
α
( ) 16.5025.05005.641 ===
hLK
Bi
( )∞∞
∞∞ −
−−
+= TTTTTT
TT ii
oo
5.0=−−
∞
∞
TTTT
i
o
To = 25 + ( 0.5 ) ( 225 – 25 ) To = 125° C
( )
( )( )CT
T
TTTTTTTT
TTTT
LX
oo
o
°=−+=
−
−−
+=
=−−
==
∞∞
∞∞
∞
∞
1202512595.025
95.0
6.0025.0015.0
( )
( )[ ]( )( )[ ]
( ) ( )( )[ ]
2
3
61.15348
61.15348452.0897.7025.0243.0
200452.0243.0
43.0
43.0
mK
AQ
AQEAQ
ALQ
TTmCQ
TTCmQ
j
ip
o
ipo
=
==
=
−=
=
−=
∞
∞
ρ
2.- La temperatura de una corriente de gas es medida con un termocople, el acoplamiento puede ser aproximado como una esfera de diámetro 1mm, con una conductividad de 25 W/m2°C entre el acoplamiento, la densidad es igual a 8400 kg/m3 y un Cp= 400 J/kg°C. con un coeficiente de transferencia de calor de 560 W/m2°C entre el acoplamiento y el gas ¿Cuánto tiempo le toma al termocople registrar el 99% de la diferencia de temperaturas aplicada?
KhLBi =
6312
4434
2
3
2
3
drrr
r
r
AVLs =====
ππ
π
π
( )( )( )( ) sCV
Ahmp
114008400001.0
6560
00373.025
6001.0560
===
=
=
ρ
( ) ( )( )
( )
segt
t
tTTTT
eTTTT
eTTTT
i
t
mt
i
t
mtit
6.41
1001ln
1ln
=
=−
−=
−−
=−−
−+=
∞
∞
−
∞
∞
−∞∞
3.- Una barra de acero dulce de 6cm de diámetro a 38°C de repente se sumerge en un liquido a 93°C con un coeficiente de transferencia de calor de 110 W/m2°K. Determinar el tiempo requerido para que la barra se caliente hasta 88°C.
( ) ( ) mtit eTTTT −
∞∞ −+=
CKgjC
mKgCm
wK
p °=
=
=
473
7800
º43
3ρ
4006.0
44
2
==== DDL
LD
AVLs π
π
1.00038.043
4006.0110
⟨=
==KhL
B si
( )
( )( )( ) ( )
.1210198.039.2
0198.0555ln
555
55593389388
0198.0473006.07800
4110
0198.0
0198.0
0198.0
segtt
t
e
eeCC
Jw
CVAhm
t
t
t
p
=−=−
−=
=−−
−=−−+°=°
===
−
−
−
ρ
4.- Una esfera de cobre de 5cm de diámetro esta inicialmente a una temperatura uniforme de 250°C. La esfera se expone de forma rápida a un ambiente a 30°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m2°C. Utilizando el método de análisis de la capacidad global, calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 90°C.
Esfera Ti = 250° C d =0.05m
∞T = 30° C
h = Cmw
°228
T(t) = 90° C Propiedades
Tprom = C°=+ 1702
90250
T = 200°C
CKgKC
CmwK
mKg
jp °=
=
=
3831.0
º374
954.8 3ρ
( ) ( ) mt
it eTTTT −∞∞ −+=
pCVAhm
ρ=
KhL
B si =
AVLs =
32
53
85.74
54.63
4
−
−
==
==
ErA
ErV
π
π ( )
StmTTTT
t i
t
15.1327
ln
=−
−−
= ∞
∞
sEm 179.9 4−=
UNIDAD V CONVECCION FORZADA Conceptos básicos de Convección. La convección es el mecanismo de transferencia de calor debido al movimiento de un fluido. El problema fundamental en la transferencia de calor por convección consiste en determinar la relación entre el flujo de calor a través de la pared de un sólido (q”) y la diferencia de temperaturas que existe entre la pared y el fluido. El coeficiente que relaciona las dos cantidades anteriores han sido ya establecidos como:
( ∞−TTw )
q”=h ( ) ∞−TTwDonde h: Es el coeficiente de transferencia de calor por convección. La convección puede ser libre o forzada; el flujo es forzado cuando otro mecanismo lo empuja a pasar por un cuerpo sólido. En convección libre o natural el movimiento del fluido ocurre por si mismo sin asistencia de un mecanismo externo, se debe a la flotación relativa en diferentes regiones del fluido. Los flujos pueden ser internos o externos, laminares o turbulentos. Los fluidos pueden estar en una fase, bifásico o en cambio de fase (condensación y ebullición). PARAMETROS ADIMENCIONALES
Reynolds: vuLRe =
Prandtl: KNC
P pr =
Nusselt: KhLNu =
Donde: u, velocidad del fluido L, longitud característica Cp, capacidad calorífica K, conductividad térmica v, viscosidad cinemática µ, viscosidad dinámica del fluido NOTA: Si hablamos de tubería L = Ø Si hablamos de una placa L = longitud de la placa
FLUJO LAMINAR EN DUCTOS
Factor de fricción y caída de presión.
eDRf 64=
2
2u
DfLPh
ρ=∆
PDh
Α= 4
Α= um ρ
vuDR h
eD =
Donde: = diámetro hidráulico hD A = área de la sección transversal P = perímetro ρ = densidad
DDD
D
D
D
D
PDh ===
=Α=ππ
π
π
π
π
44
1
44
44
4 2
22
DDh =KhD
KhLNu h==
( )( )
aD
aaa
aaaD
h
h
=
===44
44 2
( )( )
32
64
132
4
32
4 2
2
aaa
a
a
a
aa
Dh ===
=
TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR Cuando el flujo esta completamente desarrollado y es laminar, el valor del coeficiente de transferencia de calor h, se puede obtener a través de una tabla (tabla 6.1). Existen dos casos:
a) Tubería a temperatura constante b) Tubería con flujo de calor constante
La evaluación de las propiedades físicas del fluido se hacen a la temperatura promedio:
( )oib TTT +=21
Thq ∆=" (Definición básica de convección) ( )∞−=∆ TTT w
Nota: si me dan longitud y me piden To, propongo una temperatura. DIFERENCIA DE TEMPERATURAS MEDIA LOGARITMICA
2
1
21
lnTTTTT
LTMDT
LM
LM
∆∆
∆−∆=∆
=∆
FLUJO TURBULENTO A TRAVES DE UN DUCTO
a) Factor de fricción y caída de presión
2
2u
DfLp ρ=∆
- diagrama de moody (tuberías lisas y rugosas)
f 4
1316.0
−= eRf 42ERe <
- Lisas 51
184.0−
= eRf 64 12 ERE e <<
a) Fórmula analítica de Colburn
328
r
tP
fs =
Donde: St = es el número de Stanton
uChsp
t ρ=
b) Fórmula pata tubería lisa.
3
18.0023.0 reu PRN = Considerando 64 12 ERE e <<
c) Fórmula de Dittus - Boelter
nreu PRN 8.0023.0=
Considerando:
524.12500
1207.0
ER
P
e
r
≤≤
≤≤
n = 0.4, si el fluido se esta calentando, T bw T>n = 0.3, si el fluido se esta enfriando, T bw T<
d) Fórmula de Seider – Tate
14.0
318.0027.0
=
wreu PRN
µµ
Preferentemente para fluidos muy viscosos. Donde: wµ , es la viscosidad del fluido a la temperatura de la pared (Tw) µ , viscosidad dinámica a Tb En todos los casos:
KhdNu = , de donde se despeja la h
UNIDAD V
1.- Por tubo de 60mm de diámetro entra agua a una temperatura de 20°C y un flujo masico de 0.01 Kg/s. considere que por la pared del tubo se transfieren 2000 W/m2 Calcular:
a) la longitud del tubo requerida para obtener una temperatura de salida de 80°C b) b) la temperatura superficial en la salida del tubo
Propiedades
CTT
T oib °=
+= 50
2
64.3º644.0
62.5
8.988
174.4
4
3
3
=
=−=
=
°=
−
r
p
PCm
wKsm
KgE
mKg
CKgjEC
µ
ρ
( )owsal TThq −="
768.5 −== EV
ρµ
smE
Amu 357.3 −==
ρ
11.377==vuDRe
Cmw
DKNh u
°== 225.39 657.3=uN ( tubería circular)
C
ThqT
TThq
owsal
owsal
°=
+=
−=
95.130
"
"
KDhNu =
23
2
82.24
mEDA −== π
2.- Fluye agua a una razón de 0.5 kg/seg a través de una tubería de 10cm de longitud con un diámetro interior de 2 cm. La tubería esta siendo calentada con flujo uniforme de calor en la pared de 5E10 W/m2. Evalué las propiedades del agua a 20°C. Calcular:
a) la caída de presión a lo largo del tubo b) el coeficiente retransferencia de calor basado en la teoría de Colburn c) el coeficiente de transferencia de calor con la teoría de Dittus-Beelter d) la diferencia de temperaturas de la pared y la temperatura local media del agua e) el incremento de la temperatura experimentada por la temperatura media del agua
desde la entrada hasta la salida. Propiedades del agua 20°C
78.6º604.0
8.9
4.997
179.4
4
3
3
=
=−=
=
°=
−
r
p
PCm
wKsm
KgE
mKg
CKgjEC
µ
ρ
smEV
2782.9 −==ρµ
sm
Amu 59.1==
ρ
10000009.32382 ⟨==vuDRe
0231.0184.0 5
1
==
−
fRf e
a)
( )( )( )( ) aP8.14561002.2
59.14.997100231.0 2
==∆Ρ
b) Teoría de Colburn
328
r
tP
fs =
uChsp
t ρ=
( )4
32 06.8
78.68
0231.0−== Est
( )( )( )
Cmwh
EEh
uCsh pt
°=
=
=−
2
34
05.42.53
59.1179.44.99706.8
ρ
c) Teoria de Dittus – Boelter
nreu PRN 8.0023.0=
Como se esta calentando n = 0.4
( ) ( )
Cmw
DKN
h
KDhN
NN
u
u
u
u
°==
=
==
2
4.08.0
1.6060
6.20078.69.32382023.0
d)
( )
CETT
hqTT
TThq
mw
mw
mw
°==−
=−
−=
25.871.6074
5
""
4
( ) ( )( )( )
mC
dxdT
EE
CmDq
dxdT
p
°=
==
5.1
179.45.002.05"
3
4 ππ
e) dxDqdTCm p π"=
3.- fluye agua a una razón de 5kg/seg a través de una tubería de 5 cm de diámetro y 10 m de longitud estando la pared a 80°C. Si el agua entra a 20°C, calcular la temperatura de salida del agua.
Propiedades
2oi
b
TTT
+=
Suponemos To = 60° C Tb = 40° C
04.4º637.0
16.6
6.990
174.4
4
3
3
=
=−=
=
°=
−
r
p
PCm
wKsm
KgE
mKg
CKgjEC
µ
ρ
smEV
2722.6 −==ρµ
( )( ) sm
EAmu 57.2
96.16.9905
3 === −ρ
( ) 23006.206591
22.605.057.2
7 ⟩=== −EvuDRe
Como: 20000 < Re < 1000000 Utilizo
nreu PRN 8.0023.0=
6.654=uN
KDhNu =
( )Cm
wDKN
h u
°=== 26.833905.0
637.06.654
Balance de energía Energia que gana el agua = Energia que es de la tubería = ( )iop TTCm − LLM ATh∆
( ) ( )DL
TTTTTT
hTTCm
ow
iw
ioiop π
−−
−=−
ln
( ) ( )
( )
pow
iw
ow
iwp
ioow
iw
io
io
iop
CmDLh
TTTT
TTTT
DLhCm
TTTTTT
DLTThTTTTCm
π
π
π
=
−−
−−
=
−
−−−
=−
−
ln
ln
ln
( )
CTe
T
Te
TTeTT
eTTTT
o
o
o
owiw
ow
iw
°=
−−=
−=−
−=−
=−−
48
8060
8060
63.0
63.0
63.0
63.0
Volvemos a calcular las propiedades
CTT
T oib °=+=
+= 34
24820
2
93.4º625.0
38.7
174.4
292.994
4
3
3
3
=
=−=
°=
=
−
r
p
PCm
wKsm
KgE
CKgjEC
mKgE
µ
ρ
smEV
2742.7 −=
smu 56.2=
23007.172506 ⟩=eR
nreu PRN 8.0023.0=
Cmwh
KDhN
N
u
u
°=
=
=
2875.7568
51.605
CTe
T
CmDLh
TTTT
o
o
pow
iw
°=
−−=
=
−−
07.46
8060
ln
57.0
π
4.- Considere el flujo de agua a una razón de 0.015 kg/seg a través de un ducto cuadrado de 2 cm de lado cuyas paredes se mantienen a una temperatura unidor me de100°C. Considere que es un flujo hidrodinámicamente y térmicamente desarrollado. Determine la longitud del ducto requerido para calentar agua desde 30°C hasta 70°C.
CTb °=+= 502
7030
smKgE
CKgjEC
mKg
CmwK
p
−=
°=
=
=
−4
3
3
62.5
174.4
8.988
º644.0
µ
ρ
smEV
2768.5 −==ρµ
( )24
2
2
402.0mE
lAT
−==
=
sm
Amu
Aum
T
T
0379.0==
=
ρ
ρ
( ) mm
EpAD
mplp
m
h 02.008.0
444
08.04
24
===
==
−
( ) 5.1334
68.502.00379.07 === −Ev
uDRe Laminar
Utilizando tabla 6.1 Tubería cuadrada, temperatura cte.
Cmw
mCmw
DKh
KDh
N
h
hu
°=
°==
==
282.9502.0
644.0976.2976.2
976.2
Energia que se lleva el agua
( )iop TTCm − Energia por convencción de la pared del flujo hacia el agua
LLM ATh∆ PLAL =
( ) PLThTTCm LMiop ∆=−
2
1
21
lnTTTTTLM
∆∆
∆−∆=∆
ow
iw
TTTTTT
−=∆−=∆
2
1
( )( )
CTTTTTT
TTTTTTTT
TTTTTTTT
T
ow
iw
io
ow
iw
owiw
ow
iw
owiwLM
°==
−−
−=
−−
+−−=
−−
−−=∆
2.473070ln
40
lnlnln
( ) PLThTTCm LMiop ∆=−
( ) ( )(
mLL
LCCmwCC
CKgEs
Kg
92.682.3614.2504
08.02.4782.9530701174.4015.0 23
==
°°
=°−°
°
)
5.- Considere el calentamiento de aire atmosférico fluyendo a una velocidad de 0.5 m/seg dentro de un tubo de pared delgada de 2.5 cm de diámetro en una región térmicamente desarrollada. El calentamiento puede ser hecho ya sea por condensamiento de vapor sobre la superficie inferior del tubo, de manera que se mantiene la temperatura constante o por calentamiento por resistencia eléctrica de manera que se mantiene una superficie con flujo de calor uniforme. Calcular el coeficiente de transferencia de calor para ambas condiciones de calentamiento, considerando propiedades del aire a 350°K en promedio.
smu 5.0=
Propiedades a 350° K
smEv
CKgjEC
CmwKm
Kg
p
26
3
3
76.20
0090.1
º03003.0
998.0
−=
°=
=
=ρ
( )( ) 12.602
76.20025.05.0
6 === −EvuDRe
Tabla 6.1 Completamente desarrollado Geometría Tubería redonda NuH = 4.364 Flujo de calor constante en pared axial NuH = 3.657 Temperatura constante en pared axial
a) Temperatura caliente en la pared
Cmwh
mCmw
DKh
KDhNuT
°=
°
==
==
239.4
025.0
03003.0657.3657.3
657.3
b) Flujo de calor constante en la pared
Cmwh
mCmw
DKh
KDhNuH
°=
°==
==
224.5
025.0
03003.0364.4364.4
364.4
UNIDAD VI CONVECCION NATURAL Convección: fluido con una pared sólida, existe transferencia de calor entre ellos . ( )Fc TT −
- Genera una h de valor pequeño. - El aire es el elemento que presenta mayor convección natural. - Debido a la diferencia de densidades el aire y una pared presentan
convección natural. En algunas situaciones de convección el movimiento del fluido es establecido sin forzar la velocidad. Consideremos una placa vertical caliente colocada en un fluido en reposo que esta a temperatura uniforme menor que la placa. La transferencia de calor se realizara primero por conducción pura y un gradiente de temperatura se establecerá en el fluido. Esta variación de temperatura dentro del fluido generara un gradiente de densidad provocando un movimiento convectivo como resultado de las fuerzas de flotación y es denominando convección natural o convección libre. El movimiento en convección natural generalmente es menor que en convección forzada y por lo tanto la transferencia de calor por convección natural es menor que en la forzada.
En el esquema anterior se muestra el desarrollo del campo de velocidades enfrente de la placa vertical caliente debido a fuerzas de flotación. El fluido calentado enfrente de la placa sube entrando fluido de la región exterior en reposo. Una capa limite de velocidades es desarrollada con una velocidad pico que cae en algún lugar de la capa limite. La velocidad es cero, tanto en la superficie de la placa como en el borde de la capa limite. PARAMETROS ADIMENSIONALES DE CONVECCION LIBRE Número de Grashof (Gr)
( )2
3
vTTLg
G wr
∞−=
β
La ecuación anterior representa el radio de las fuerzas de flotación a las fuerzas viscosas actuando sobre el fluido. β es el coeficiente volumétrico de expansión térmica.
ρρρ
β
−=dTd1
L, es una longitud característica g, es la gravedad
asvisFuerzasFuerzasRe cos,
=
En convección libre la transición de flujo laminar a turbulento es gobernada por el valor critico del número de Grashof. Algunas veces el parámetro adimensional denominado número de Rayleig esta definido como:
[ ]α
βv
TTLgPGR wrra
∞−==
3
α , difusividad térmica Esta ecuación es usada en lugar de Grashof para correlacionar la transferencia de calor en convección natural, esto es:
( )rau PRfN ,= Mientras más viscoso sea un fluido mas pequeño es Reynolds.
vuDRe =
EVALUACION DE PROPIEDADES
[ ]⇒−= ∞TTT wf 21 Para encontrar propiedades del fluido
T1 (Para gases donde la temperatura es dad en ºK)
β Ver apéndice para líquidos. Transición de Laminar a Turbulento
( )( )turbulentoEP
arlaER
PR
G
r
ay
r
ayry
9
9
1
min1
≥
≤
=
Con 1 y 33 1EPE r ≤≤− ( )2
3
vTTyg w
ry∞−
=β
G
Para el aire:
72.0=rP , la ecuación anterior se reduce a:
( ) 41
515.068.0 ayuy RN +=
Nota: Si 91EPR
Gr
ayry ≈= y para [ ]33 11 EPE r ≤≤− el régimen es laminar.
Si 1G > el régimen es turbulento ,9Ery
PARED ISOTERMICA VERTICAL
(Placa vertical)
a) Laminar
( ) 41
41
21
492.0986.0671.0 ay
rr
ru R
PP
PN
++=
Donde:
( )α
βv
TTygR way
∞−=
3
Donde: y, altura de la placa
b) Turbulento La siguiente ecuación cubre todos los rangos (lamina y turbulento)
( )
2
278
169
61
492.01
387.0825.0
+
+=
r
ayuy
P
RN
Para el aire: se reduce a : 72.0=rP
( )[ ]26
1325.0825.0 ayuy RN +=
Nota: KhLNu = ;
LKNh u=
Si la placa es vertical L = y Si la placa es horizontal
PL Α=
PARED VERTICAL CON FLUJO DE CALOR UNIFORME Cuando es constante, la temperatura en la pared crece monotonicamente en la
dirección “y”. La diferencia de temperaturas se incrementa en función
wq"
( ∞−TTw ) 51y .
Una correlación valida para todos los números de Rayleig y Prandtl es la siguiente:
( )
2
278
169
61
437.01
387.0825.0
+
+=
r
ayuy
P
RN
En esta expresión, i es basada en la diferencia de temperaturas promedio en “y”, denominada T .
ayR
∞−Tw
PLACAS HORIZONTALES ISOTERMICAS
( )( )1073/1
7441
1115.0
1154.0
ERERN
ERERN
aLaLuL
aLaLuL
<<=
<<= A
( )1054
11127.0 ERERN aLaLuL <<= B
( )
αβ
vLTTgR w
aL
3∞−=
Siendo P
L Α=
Donde: A, área de la superficie plana P, perímetro del área
CILINDRO HORIZONTAL
( )
2
278
169
61
559.01
387.06.0
+
+=
r
auD
P
RN 125 11 ERE aD <<−
ESFERA
( )9
416
9
41
469.01
589.02
+
+=
r
aDuD
P
RN y 7.0≥rP "1ERaD ≤
En ambos casos:
( )v
TTDgR waD α
β ∞−=
3
UNIDAD VI
1.- Un calentador de inversión para agua consiste en una placa vertical delgada de forma rectangular de 8cm de altura y 15 cm de ancho, la placa es calentada eléctricamente y mantenida a 55°C, mientras que la temperatura promedio del agua que la rodea es de 15°C. Calcular: la razón de transferencia de calor eliminado por el calentador dentro del agua.
CTT
T wF °=
−= ∞ 35
2
Propiedades
825.4º6265.0
174.4
235.7
95.993
3
4
3
=
=
°=
−=
=
−
r
gp
g
g
PCm
wK
CKJEC
smKE
mK
µ
ρ
CmEKCg p
°= 310
2189.2
µρβ
( )
CKE
CKJE
mK
sm
Cmw
msK
ECm
E
g
g
g
g
°=
=
°
°
°
=
−
−
124.3
174.495.99381.9
6265.0235.7189.2
4
32
32
43
10
β
β
( )α
βv
TTygR way
∞−=
3
smE
CK
smEV
p
27
27
51.1
27.7
−
−
==
==
ρα
ρµ
( )( ) ( )( )( )
877
34
93.551.127.7
155508.024.381.9 EEE
ERay =−= −−
−
8
8
23.1825.4
93.5 EEPR
Gr
ayry === < 1 E9 ∴ Laminar
( )
( )83.93
93.5483.7825.4671.0
492.0986.0671.0
418
41
41
41
21
=
=
++=
uy
uy
ay
rr
ruy
N
EN
RPP
PN
Cm
wyKN
h
KhyN
uy
uy
°==
=
28.734
( )
( )(wq
qTThAq w
41.70540024.08.734
==
−= ∞
)
2.- Flujo de aire a través de un ducto de calentamiento rectangular largo de 0.75 de ancho y 0.3 m de alto, mantiene la superficie del ducto a 45°C. Si el ducto no estuviera aislado y esta expuesto al aire que esta a 15°C ¿Cuál es la perdida de calor del ducto por metro de longitud?
CTT
T wF °=
−= ∞ 30
2
° K = ° C + 273 = 303 ° K
707.0
2262.0
º0265.0
99.15
859.1
0059.1
166.1
24
26
5
3
3
=
=
=
=
−=
°=
=
−
−
r
g
gp
g
Ps
mE
CmwK
smEv
smKE
CKJEC
mK
α
µ
ρ
( ) KE
T K °== −
°
13.31 3β
ANALIZAMOS PLACAS VERTICALES
( )α
βv
TTygR way
∞−=
3
( )( ) ( )
( )7
846
33
25.7
93.52262.099.15
303.03.381.9
ER
EEE
ER
ay
ay
=
== −−
−
8025.1 E
PR
Gr
ayry == < 1 E9 Laminar
( )
57.47492.0986.0
671.0 41
41
21
=
++=
uy
ay
rr
ruy
N
RPP
PN
( )Km
wyKN
h
KhyN
uyy
uy
°===
=
22.43.00265.057.47
ANALIZAMOS PLACAS HORIZONTALES
[ ]α
βv
TTLgR wal
∞−=
3
( )( )
mLLL
LLLLLLLLL
LL
LL
PAL
375.0075.02
075.05.1275.025.1
75.025.125.1
75.0275.02
75.0
2
2
2
==+
=−+
=+=+
+=
+==
( )( ) ( )
( )( )8
864
34
42.1
93.599.152262.0
30375.03.381.9
ER
EEE
ER
ay
ay
=
== −−
−
Fluido Frío Arriba
( )25.78
42.115.0
15.0
318
31
==
=
uL
uL
aLuL
NEN
RN
Fluido Frío Abajo
( )47.29
42.127.0
27.0
418
41
==
=
uL
uL
aLuL
NEN
RN
KhLNuL =
Kmw
LKN
h uLs °== 253.5 Km
wLKN
h uLi °== 208.2
( )
( )[ ]( )( ) ( )( ) ( )([ ]
[ ]( )
)
mw
Lq
LqLq
LLLqLLLq
AhAhAhTTqTThAq
iissyyw
w
9.246
9.24623.830
56.115.425.23075.008.275.053.53.02.4230
2
=
==
++=++=
++−=−=
∞
∞
UNIDAD VII INTERCAMBIADOR DE CALOR Estudiaremos dos métodos diferentes de análisis para los intercambiadores de calor.
a) Método de diferencia de temperatura media logarítmica (LMTD) b) Método de número de unidades de transferencia (NTU).
Método LMTD Considerando un intercambiador de calor de doble tubería, los fluidos pueden circular tanto en corrientes paralelas como a contracorrientes y se calcularía la transferencia de calor en este dispositivo mediante: mTUq Α∆=" Si consideramos un intercambiador de calor distinto del de doble tubería, la transferencia de calor se calculara utilizando un factor de corrección que se aplica a la LMTD para un dispositivo de doble tubería a contracorriente con las mismas temperaturas fría y caliente para el fluido, entonces la ecuación anterior se expresa de la siguiente manera:
FTUq mΑ∆="
ei hKL
h
U11
1
++=
Determinando los coeficientes de convección ( obtendremos una U. )ei hh ,Donde: U, coeficiente global de transferencia de calor A, superficie de transferencia de calor consistente con la definición de U
mT∆ , diferencia media de temperaturas apropiada a través del cambiador de calor F, factor de corrección para diversos tipos de intercambiadores de calor. ( (Ver tablas 10.8 a 10.11).
Nota: Cuando interviene un cambio de fase, como el caso de la condensación o la ebullición (evaporación), el fluido permanece normalmente a una temperatura prácticamente constante y las relaciones se simplifican, entonces: F = 1, para ebullición o condensación
El factor de corrección depende también del tipo de intercambiador de calor.
a) Flujo paralelo b) Contra flujo c) Flujo cruzado
La diferencia de temperatura media logarítmica se expresaría de la siguiente manera:
2
1
21
lnTTTTTm
∆∆
∆−∆=∆
Balance de Energía
( )TmCq p∆= Fluido frío = ( )TmCp∆ Fluido caliente
ANALISIS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR POR EL METODO EFICIENCIA (Є)-NTU
El método LMTD para el análisis de intercambiadores de calor, es útil cuando las temperaturas de entrada y salida son conocidas o se pueden obtener con facilidad. Cuando tenemos que evaluar las temperaturas de entrada o salida de un intercambiador determinado, el análisis se debe realizar mediante un procedimiento iterativo, debido a la función logarítmica que aparece en la LMTD. En estos casos podemos realizar un análisis más fácil basado en la eficiencia del intercambiador de calor durante la transferencia de una entrada determinada de calor. Este método ofrece también ventajas para el análisis de problemas donde se tiene que comparar varios tipos de intercambiadores de calor, para elegir el mas adecuado para un objetivo de transferencia de calor particular. Definiremos la eficiencia como:
maxposiblecalor de ncia transfereMáxima
realcalor de ciaTransferenqq==ε
Donde podemos calcular a q como: ( ) ( )
CalientepFriap TmCTmCq ∆∆= Mientras para el intercambiador es conocido. maxq Debemos primero reconocer que este máximo valor podría ser alcanzado si uno de los fluidos desarrolla un cambio de temperatura igual a la máxima diferencia de temperaturas presente en el intercambiador de calor; que es la diferencia de las temperaturas de entrada entre los fluidos frío y caliente. El fluido que podría alcanzar esta máxima diferencia de temperatura es el que tiene un mínimo valor de ( ) ya que el balance de energía requiere que la energía recibida por un fluido sea igual al del otro fluido que se esta suministrando.
pmC
( ) [ ]entradaFentradaCp TTmCq −=
minmax Las expresiones para el cálculo de la eficiencia en función del flujo son:
a) Flujo Paralelo
( )[ ]C
CNTU+
+−−=1
1exp1ε
b) Contra Flujo
( )[ ]( )[ ]CNTUCCNTU
+−−+−−=1exp1
1exp1ε
Para Ambas
minCUANTU =
max
min
CCC =
( )( )
maxmax
minmin
p
p
mCC
mCC
=
=
Donde: NTU, number of thernal units (número de unidades de transferencia). A, área de transferencia de calor. U, coeficiente global de transferencia de calor.
UNIDAD VII
1.- Gases calientes de escape entran a 300°C a un intercambiador de calor de flujo cruzado y salen a 100°C. Estos gases son usados para calentar agua que entran a una razón de 1kg/seg desde 35°C hasta 125°C. El calor especifico de los gases de escape es aproximadamente 1KJ/kg°K, el coeficiente global de transferencia de calor basado en la superficie del lado del gas es igual a 100 W/m2°K. Determinar el área requerida usando el método NTU.
KEC
CKJEC
CTT
T
pgases
gp
ofifb
3
3
1
194.4
802
=
°=
°=−
=
( ) KwCCKKK
sKQ
g
Jg 376100300188.1 =°−°
°
=
( )TmCq p∆= frío = ( )TmCp∆ caliente
( ) KwKKKK
sK
g
Jg 376351251942.41 =°−
°
( )( )
( )
( )s
K
KKK
KKK
sK
TC
TmCm g
g
J
g
Jg
gcp
aguap
gc 88.11003001
351251942.41=
−
°
−
°
=∆
∆=
( )( ) aguaaguap
gegcp
CmC
CmC
=
=
( )
min88739.1
88739.11
CKK
sK
KKK
CmC
w
g
g
J
gegcp
°=
°=
=
( )
max
max
1942.4
1942.41
CKK
KKK
sK
CmCC
w
g
Jg
aguaaguap
°=
°
=
==
[ ]
( )
%18.757518.0158.500
376158.500
3530088739.1
450.01942.4
88739.1
max
max
max
max
min
minmax
====
=
°−
°=
===
−=
Kq
KKKq
CCC
TTCq
w
w
entradafriaentradacal
ε
De figura 8.20 NTU = 2
( ) 23
min
min
75.37100
88739.12 mEA
AuCNTUCuANTU
==
=
=
2.- Un intercambiador de calor de tubo y coraza debe ser diseñado para calentar 2.5 kg/seg de agua desde 15°C hasta 85°C. El calentamiento se realiza pasando aceite de motor caliente que entra a 160°C. El aceite tiene un coeficiente de convección promedio de 400 W/m2°K sobre la parte exterior de los tubos. 10 tubos pasan el agua a través de la coraza, cada tubo es de pared delgada con un diámetro de 25 mm y hace 8 pasos a través de la coraza, si el aceite deja el intercambiador de calor a 100°C ¿Cuál es la razón de flujo de aceite? ¿Qué longitud deben tener los tubos para alcanzar el calentamiento deseado? masa = 1 Kg /s
Propiedades del agua
CTT
T ffb º50
221 =
−=
3
26
1.988
55.3
4178
556.0
º647.0
mK
PKKg
JCs
mEv
CmwK
g
r
p
=
=°=
=
=
−
ρ
Propiedades del aceite
CTT
T ffb º50
221 =
−=
3
2
26
5.834
455.1
2351
2.10
º134.0
mKEP
KKgJC
smEv
CmwK
g
r
p
=
=°=
=
=
−
−
ρ
sm
DAmu 510.0
41.998
25.02
=
==
πρ
( ) 6.22943556.0
025.0510.06 === −Ev
DuRe
A = 4.9 E-4 Balance de energía Qaceite = Qagua
( )( )[ ] ( )( )[ ] aguaffpaceitecalcalp TTCmTTCm 1221 −=− maceite = 5.18 Kg / s Longitud del tubo ( )
ei
LMaguap
hh
u
fTUATCm
111
+=
∆=∆
Dittus – Boelter Nu = 117.53 h = 3041.8
( ) ( )
KDhN
NN
PRN
u
u
u
reu
=
==
=
06.10855.36.22943023.0
023.0
31
54
31
54
( )
Cmwhi °== 26.2796
025.0647.006.108
( ) ( )89.79
1510085160ln
1510085160
º95.349
4001
6.27961
12
=
−−
−−−=∆
=+
=
LMT
Cmwu
( )( )( ) ( )( )( 87.089.7995.3491585417825.0 A
fTUATCmQ LMp
=−=
∆=∆=
)
Figura 8.13
( )
87.0
85.01585100160
48.0
12
21
21
12
=
=−−=
−−
=Ζ
=−−
=
fTTTTTTTT
p
ff
cc
cc
ff
73115 = 24323.03 A A = 3.006 m2
mDAL
LDA
27.38==
=
π
π
UNIDAD I : INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR
FLUJO DE CALOR POR CONDUCCIÓN (Ley de Fourier) Ecuación de conducción unidimensional.
tTg
∂∂=+
∂∂ ρ2
2
XTK
Ley de Fourier.
XTKAQ
∂∂−=
donde: K = conductividad térmica. A = área.
=∂∂XT diferencial de temperatura con respecto a X.
FLUJO DE CALOR POR CONVECCION (Ley de Enfriamiento de Newton ).
)( ∞−= TTwhAq donde: h = coeficiente de transferencia de calor.
temperatura del fluido. =Tw =∞T temperatura del material.
FLUJO DE CALOR POR RADIACIÓN (Ley de Stefan-Boltzman)
=∈q σ TwA( 4 -T sup 4) donde: σ =5.67x10-8 w m2-k4
siendo ∈ la emisividad
10 ≤∈≤
UNIDAD II : CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA
2.1.- Placas planas.
−−=
LTTKAq oL
Resistencia térmica de la placa. ( )tR
KLRt =
t
Lo
RTTq −=
donde : T temperatura interna. =o
T temperatura externa. =L
L = espesor.
2.2.- Pared compuesta.
tfttttc
fc
t
fc
RRRRRTT
RTT
q++++
−=
−=
321
AhAKL
AKL
AKL
Ah
TTq
fc
fc
11
3
3
2
2
1
1 ++++
−=
( )fc TTUAq −= donde U es el coeficiente global de transferencia.
fc hKL
KL
KL
h
U 111
3
3
2
2
1
1 ++++=
2.3.- Placa cilíndrica.
( )ei
i
e
TT
rrLn
KLq −
= π2
Resistencia térmica del cilindro. (Rt)
KLrrLn
R i
e
t π2
=
t
ei
RTTq −=
donde: radio exterior. =er radio interior. =ir T temperatura interior. =i T temperatura exterior. =e 2.4.- Cilindros compuestos.
t
fc
RTT
q−
=
donde: T temperatura caliente. =c
T temperatura fría. =f
donde: ( ) ( ) ( )ee
ei
ii AhLKrrLn
LKrrLn
LKrrLn
AhRt 1
2/
2/
2/1
3
2
2
12
1
1 ++++=πππ
2.5.- Superficies extendidas ( Aletas ). a) aleta larga.
m 2 =KAchP
( )
mxbx e−== θθθ
( ) 2/1KAchPq bb θ=
( ) ( ) mx
bx eTTTT −∞−−∞=
b) aleta corta y sin flujo de calor en el extremo.
[ ])cosh(
)(coshmL
xLmb
−= θθ
( ) (mLtghKAchPq bb2/1θ= )
c) aleta corta con flujo de calor en el extremo.
[ ] [ ]
)()cosh(
)()(cosh
mLsenhmKhmL
xLmsenhmKhxLm
b
+
−
+−
= θθ
( ) (mLctghKAchPq bb
2/1θ= )
siendo: PAcLLc +=
Eficiencia de Aletas. ( )η
=η transferencia de calor real máxima transferencia de calor
b
b
hAq
θη
exp=
bb hAq θη exp= Radio critico del aislante en tubería circular. ( )cr
hKrc =
UNIDAD IV : CONDUCCIÓN DE CALOR TRANSITORIA ANÁLISIS POR BLOQUES O CAPACIDAD GLOBAL.
( ) mt
i
t eTTTT −=∞−∞−
( ) ( ) mtit eTTTT −∞−+∞=
longitud característica.
AVS =
se define el No. de Biot como:
KhsBi =
si entonces aplicar teoría anterior. 1.0≤Bi
CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL. Graficado mediante tres parámetros.
a).- No de Biot, KhLBi = ó
Khro
b).- No de Fourier, 2LtFo α= ó 2
o
o
rrα
c).- Parámetro grafico, LX ó
orr
UNIDAD V : CONVECCION FORZADA. Parámetros adimensionales.
Reynolds.- υuL=Re u = velocidad del fluido.
L =longitud característica.
Prandtl .- KCpN=Pr Cp =capacidad calorífica.
=υ viscosidad cinemática del fluido.
Nusselt.- KhLNu =
5.2.- Flujo laminar en ductos. a).- factor de fricción.
Re64=f
b).- caída de presión.
uDfLP ρ
2=∆ 2
PADh 4= Dh = diámetro hidráulico.
A = área de sección transversal. P = perímetro.
( )oi TTTb += 2/1
uAm ρ=
ρµυ =
( io TTmCpq −= ) TlmAhq ∆=
2
1
21
TTIn
TTTlm
∆∆
∆−∆=∆
5.3.- Flujo turbulento en un ducto. a).- factor de fricción. (tuberías lisas).
=f 0.316Re-1/4 4102Re x≤
5/1Re184.0 −=f 64 10Re102 ≤≤x
factor de fricción. (tuberías lisas y rugosas). f = diagrama de Moody.
b).- coeficientes de transferencia de calor.
Formula analítica de Colburn.
3/2Pr8/fSt = donde
CpuhSt
ρ=
Formula general.
3/18.0 PrRe023.0=Nu 64 10Re102 ≤≤x
Formula de Dittus – Boelter.
nNu PrRe023.0 8.0= 120Pr7.0 ≤≤ 51024.1Re2500 x≤≤ n=0.4 si el fluido esta calentando. n=0.3 si el fluido esta enfriándolo.
Formula de Seider-Tate.
14.03/18.0 PrRe027.0
=NwNNu preferentemente para fluidos muy viscosos.
UNIDAD VI : CONVECCION NATURAL.
Numero de Grashof. ( )Gr
2
3 )(υ
β ∞−= TTwLgGr
Coeficiente volumétrico de expansión térmica. ( )β
pT
∂∂−= ρ
ρβ 1
No. De Rayleigh (Ra).
υαβ
υβ )(Pr)(Pr
3
2
3 ∞−=∞−== TTwLgTTwLgGrRa
Pared isotérmica. a).- laminar.
4/14/1
2/1 492.0Pr986.0PrPr671.0 RayNu
++=
υαβ )(3 ∞−= TTwygRay
β= 1/T (para gas, donde T esta en Kelvin).
Ver apéndice ( para líquidos).
PrRayGry = (laminar). 910≤
(turbulento). 910≥
Con 10 33 10Pr ≤≤−
2
3 )(υ
β ∞−= TTwygGry
b).- turbulento.
2
27/816/9
6/1
Pr492.01
387.0825.0
+
+= RayNuy
para el aire (Pr = 0.72 ) la formula anterior se reduce a:
26/1 )325.0825.0( RayNuy += Pared vertical con flujo de calor uniforme.
2
27/816/9
6/1
Pr437.01
387.0825.0
+
+= RayNuy
Placas horizontales isotérmicas. Placa caliente- fluido frío arriba 10 4/154.0 RaLNuL = 74 10≤≤ RaL Placa fría – fluido caliente abajo 10 3/115.0 RaLNuL = 97 10≤≤ RaL Placa caliente – fluido frío abajo 10 4/127.0 RaLNuL = 105 10≤≤ RaLPlaca fría – fluido caliente arriba
Cilindro horizontal.
2
27/816/9
6/1
Pr469.01
387.06.0
+
+= RayNu 10 125 10≤≤− Ray
Esfera.
9/416/9
4/1
Pr469.01
589.02
+
+= RayNu Pr y 7.0≥ 1110≤Ray
en ambos casos: ( )αυ
β ∞−= TTwDgRay3
UNIDAD VII : INTERCAMBIADORES DE CALOR.
Método LMTD. ( Logarithmic Medium Temperature Difference )
TlmFAUq ∆=
heKL
hi
U 111
++=
2
1
21
TTIn
TTTlm
∆∆
∆−∆=∆
Balance de energía.
( ) ( ) calientefluidofriofluido TmCpTmCpq −− ∆=∆=