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Transformada Discreta de Fourier
ENGC33: Sinais e Sistemas II
Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA
05 de abril de 2017
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 25
Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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Introducao
Objetivos da aula de hoje:
Apresentar a transformada de Fourier rapida (FFT).
Discutir exemplos praticos de aplicacao.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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RevisaoTransformada e Serie de Fourier em tempo discreto
Serie de Fourier em tempo discreto (SFTD):
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n,
ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD):
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
E realmente necessario considerar N → ∞ para um sinal de tempofinito?
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RevisaoTransformada e Serie de Fourier em tempo discreto
Serie de Fourier em tempo discreto (SFTD):
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n,
ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD):
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
E realmente necessario considerar N → ∞ para um sinal de tempofinito?
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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RevisaoFormulacao via sinal periodico
Seja x [n] um sinal periodico e x [n] limitado no tempo.
0N−1
0N−1
x[n]
x [n]
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Representacao de sinais limitados no tempoObtencao da Transformada discreta de Fourier (sinais limitados no tempo)
Como x [n] e periodico, temos:
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n,
ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Por conveniencia escolheremos n = 〈N〉 de maneira que
ak =1
N
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
Para o intervalo em questao, x [n] = x [n], entao
ak =1
N
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n = X [k ].
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Pares de transformadaTransformada e Serie de Fourier
Serie de Fourier em tempo discreto (SFTD):
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n ⇐⇒ ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD):
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ ⇐⇒ X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
Transformada Discreta de Fourier (TDF) para 0 ≤ n ≤ N − 1:
x [n] =N−1∑
k=0
X [k ]ejk(2π/N)n ⇐⇒ X [k ] =1
N
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
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Pares de transformadaTransformada e Serie de Fourier em tempo discreto
Serie de Fourier em tempo discreto (SFTD):
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n ⇐⇒ ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD):
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ ⇐⇒ X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
Transformada Discreta de Fourier (TDF) para 0 ≤ n ≤ N − 1:
Nx [n] =N−1∑
k=0
NX [k ]ejk(2π/N)n ⇐⇒ NX [k ] =N
N
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
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Pares de transformadaTransformada e Serie de Fourier em tempo discreto
Serie de Fourier em tempo discreto (SFTD):
x [n] =∑
k=〈N〉
ak ejk(2π/N)n ⇐⇒ ak =1
N
∑
n=〈N〉
x [n]e−jk(2π/N)n.
Transformada de Fourier em tempo discreto (TFTD):
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ ⇐⇒ X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
Transformada Discreta de Fourier (TDF) para 0 ≤ n ≤ N − 1:
x [n] =1
N
N−1∑
k=0
X [k ]ejk(2π/N)n ⇐⇒ X [k ] =N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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Transformada rapida de Fourier (FFT)Ideia principal
Considerem uma sequencia finita no tempo determinada pelo par
x [n] =1
N
N−1∑
k=0
X [k ]ejk(2π/N)n ⇐⇒ X [k ] =
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
Para o calculo direto de X [k ] com k fixo:
N multiplicacoes complexas e N − 1 somas.
Para o calculo direto de X [k ], k = 0, 1, ...,N − 1:
N2 multiplicacoes complexas e (N − 1)N somas.
O problema pode ser reescrito como segue:
X [k ] =
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n =
N−1∑
n=0
x [n]W nkN
com WN = e−j(2π/N) ⇒ WN/2 = e−j[2π/(N/2)] = e−j(4π/N) = W 2N .
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Transformada rapida de Fourier (FFT)Ideia principal
Considerem uma sequencia finita no tempo determinada pelo par
x [n] =1
N
N−1∑
k=0
X [k ]ejk(2π/N)n ⇐⇒ X [k ] =
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n.
Para o calculo direto de X [k ] com k fixo:
N multiplicacoes complexas e N − 1 somas.
Para o calculo direto de X [k ], k = 0, 1, ...,N − 1:
N2 multiplicacoes complexas e (N − 1)N somas.
O problema pode ser reescrito como segue:
X [k ] =
N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n =
N−1∑
n=0
x [n]W nkN
com WN = e−j(2π/N) ⇒ WN/2 = e−j[2π/(N/2)] = e−j(4π/N) = W 2N .
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Transformada rapida de Fourier (FFT)Ideia principal
Considerem as seguintes sequencias x [n] =
f [n], n par;g[n], n ımpar.
sendo f [n] = x [2n] → x [0], x [2], ...x [N − 2] e
g[n] = x [2n + 1] → x [1], x [3], ...x [N − 1].
Assim, pode-se dividir o problema como segue
X [k ] =N−1∑
n=0
x [n]e−jk(2π/N)n
=
N/2−1∑
n=0
x [2n]e−jk(2π/N)2n +
N/2−1∑
n=0
x [2n + 1]e−jk(2π/N)(2n+1)
=
N/2−1∑
n=0
f [n]W nkN/2 + W k
N
N/2−1∑
n=0
g[n]W nkN/2
= F [k ] + W kNG[k ]
com F [k + N/2] = F [k ] e G[k ] = G[k + N/2].
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Transformada rapida de Fourier (FFT)Ideia principal
Dado o problema
X [k ] =
N/2−1∑
n=0
f [n]W nkN/2 + W k
N
N/2−1∑
n=0
g[n]W nkN/2
= F [k ] + W kNG[k ]
com F [k + N/2] = F [k ] e G[k ] = G[k + N/2].
Notar que W(k+N/2)N = e(−j2π/N)(k+N/2) = e(−j2π/N)k e−jπ = −W k
N .
Assim temos para 0 ≤ k ≤ (N/2)− 1
X [k ] = F [k ] + W kNG[k ],
X [k + N/2] = F [k ]− W kNG[k ].
Repetindo o procedimento sucessivas vezes ⇒ N log2(N) adicoescomplexas e N/2 log2(N) multiplicacoes complexas.
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Transformada rapida de Fourier (FFT)Ideia principal
Dado o problema
X [k ] =
N/2−1∑
n=0
f [n]W nkN/2 + W k
N
N/2−1∑
n=0
g[n]W nkN/2
= F [k ] + W kNG[k ]
com F [k + N/2] = F [k ] e G[k ] = G[k + N/2].
Notar que W(k+N/2)N = e(−j2π/N)(k+N/2) = e(−j2π/N)k e−jπ = −W k
N .
Assim temos para 0 ≤ k ≤ (N/2)− 1
X [k ] = F [k ] + W kNG[k ],
X [k + N/2] = F [k ]− W kNG[k ].
Repetindo o procedimento sucessivas vezes ⇒ N log2(N) adicoescomplexas e N/2 log2(N) multiplicacoes complexas.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Formulacao via sinal periodico
0−N1
N1 N−N
0−N1
N1
x[n]
x[n]
Podemos considerar
x [n] = x [n]rectN1[n],
sendo
rectN1[n] ,
1, |n| ≤ N1
0, |n| > N1
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Informacoes importantes
1
x[n] = x[n]rectN1[n] = rectN1[n]x[n].
2
FrectN1[n] =sen[Ω(N1 + 0.5)]
sen(Ω/2).
3
Fx [n] = 2π∞∑
k=−∞
akδ(Ω− 2πk/N).
4
Fx1[n]x2[n] =1
2π
∫2π
X1(ejθ)X2(e
j(Ω−θ))dθ.
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Informacoes importantes
1
x[n] = x[n]rectN1[n] = rectN1[n]x[n].
2
FrectN1[n] =sen[Ω(N1 + 0.5)]
sen(Ω/2).
3
Fx [n] = 2π∞∑
k=−∞
akδ(Ω− 2πk/N).
4
Fx1[n]x2[n] =1
2π
∫2π
X1(ejθ)X2(e
j(Ω−θ))dθ.
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Informacoes importantes
1
x[n] = x[n]rectN1[n] = rectN1[n]x[n].
2
FrectN1[n] =sen[Ω(N1 + 0.5)]
sen(Ω/2).
3
Fx [n] = 2π∞∑
k=−∞
akδ(Ω− 2πk/N).
4
Fx1[n]x2[n] =1
2π
∫2π
X1(ejθ)X2(e
j(Ω−θ))dθ.
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Informacoes importantes
1
x[n] = x[n]rectN1[n] = rectN1[n]x[n].
2
FrectN1[n] =sen[Ω(N1 + 0.5)]
sen(Ω/2).
3
Fx [n] = 2π∞∑
k=−∞
akδ(Ω− 2πk/N).
4
Fx1[n]x2[n] =1
2π
∫2π
X1(ejθ)X2(e
j(Ω−θ))dθ.
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Transformada de Fourier de tempo discreto (N < ∞)Comportamento em frequencia
Para N → ∞, temos
limN1→∞
sen[(Ω)(N1 + 0.5)]
sen[(Ω)/2]= δ(Ω).
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
50
100
sen[Ω(N1+0.5)]/sen(Ω n/2)
N1=10
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
50
100
N1=25
−3 −2 −1 0 1 2 3
0
50
100
Ω
N1=50
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ExemplosComportamento em frequencia
Calculando a FFT para um sinal do tipo x [n] = cos[(2π/10)n]truncado:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
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ExemplosComportamento em frequencia
Aumentado a largura da funcao rectN1[n]:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
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ExemplosSinal de voz
Portadora da voz humana (tipicamente 85 a 255Hz).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6
−0.5
−0.4
−0.3
−0.2Sinal de audio no tempo
0 500 1000 1500 2000 2500 30000
2
4
6
8x 10
−3 Sinal de audio na frequencia
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1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais limitados no tempo
4 Transformada rapida de Fourier
5 Transformada de Fourier de tempo discreto (limitado no tempo)
6 Comentarios Finais
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Comentarios Finais
Nesta discutiu-se sobre a transformada rapida de Fourier.
Na proxima aula discutiremos sobre:
Resposta em frequencia.
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