transformada discreta de fouriertransformada discreta de...

Procesamiento Digital de Señales Transformada discreta de Fourier Setiembre de 2011 1 / 46

Transformada de Fourier Análisis tiempo frecuenciaTransformada discreta de Fourier

Transformada discreta de FourierTransformada discreta de Fourier

8 de setiembre de 2011

Procesamiento Digital de Señales

Licenciatura en Bioinformática

FI-UNER



Organización

1

2

Transformada discreta de Fourier

Transformada rápida de Fourier

3 Análisis tiempo-frecuencia



• Análisis de Fourier: consiste en aislar los componentes del sistema que tienen

una forma compleja para tratar de comprender mejor su naturaleza u origen.

Transformada de Fourier

IntroducciónIntroducción



• Se dedica al estudio de señales: periódicas o no periódicas, continuas o

discretas, en el dominio del tiempo, o de cualquier otra variable

unidimensional, bidimensional o multidimensional.

• En sus versiones más avanzadas estudia: procesos estocásticos y

funciones de distribución, pero sus fundamentos siguen siendo muy

simples.





• La transformada de Fourier es una representación de una función

en el dominio de la frecuencia

• Contiene exactamente la misma información que la señal original

• Sólo difiere en la manera en que se presenta





Dominio Temporal (t)





- 1/4

- - 1/2

2

T

3

T

2

T

3

T--

- 1/4

- - 1/2

2

T

2

T-

- 1/4

- - 1/2

2

T

3

T

2

T

3

T--





• la fundamental

• menos 1/3 de la 3er armónica...

• más 1/5 de la 5ta armónica...

• menos 1/7 de la 7ma armónica....

Una onda cuadrada puede obtenerse sumando:


IntroducciónIntroducción EjemploEjemplo



Curvas de sintonía de las fibras del nervio auditivo.


IntroducciónIntroducción El oído como analizador frecuencialEl oído como analizador frecuencial



• Entender la relación entre tiempo y frecuencia es útil:

– Algunas señales se visualizan mejor en la frecuencia.

– Algunas señales se visualizan mejor en el tiempo.

– Esto tiene que ver con la forma en que se presenta la

información en cada dominio.

• Por ejemplo: una onda senoidal utiliza mucha información para

definirse adecuadamente en el dominio del tiempo, pero no en el de

la frecuencia.


IntroducciónIntroducción Tiempo y frecuenciaTiempo y frecuencia



• Para representar una señal f en un espacio de n dimensiones generado por el conjunto {vi}, i=1..n puede usarse la siguiente combinación lineal:

f = c1.v1+ c2.v2+ ... +cn.vn

• Efectuando el producto interno con vi en ambos miembros:

f .vi = c1.v1.vi + c2.v2.vi + ... +cn.vn.vi

• Si el conjunto de generadores es ortogonal

f .vi = ci.vi.vi → ci = f .vi / (vi.vi)

Espacios de señalesEspacios de señales




Los coeficientes ci que permiten expresar a f en función de una

base ortogonal de vectores serán:

f

c1v1

c2v2

2i

i

ii

ii

v

v.f

v.v

v.fc ==





tfji e)f,t(v π=ϕ= 2





x(t)

periódicaSerie de Fourier

(discreta e infinita)

no periódica Integral de Fourier (continua)

muestreada

¿ Transformada Discreta de Fourier ?

Transformada de Fourier de una Secuencia Discreta(continua y periódica)



Funciones de FourierFunciones de Fourier





tnf2jni

0e)f,t(vπ=ϕ=

Series de FourierSeries de Fourier



Si x(t) = x(t+T) ∀ t

x ta

a kt T b kt T

donde

aT

x t kt T dt k

bT

x t kt T dt k

kk

k

k

T

T

k

T

T

( ) [ cos( / ) sen( / )]

( ).cos( / ) , , ,...

( ).sen( / ) , ,...

/

/

/

/

= + +

= =

= =

=

∞

−

−

∑

∫

∫

0

1

2

2

2

2

22 2

22 0 1 2

22 1 2

π π

π

π



Series de FourierSeries de Fourier



∫∞

∞−

−= dtetxfXtfj π2

)()(

∫∞

∞−

−= dfefXtxtfj π2

)()(



Integral de FourierIntegral de Fourier

¿Qué ocurre cuando T → ∞?



tf2ji e)f,t(v π=ϕ=



Integral de FourierIntegral de Fourier



En general la transformada de Fourier es una función de variable compleja

X(f)=R(f) + j I(f) = |X(f)| ejq(f)

R(f) es la parte real de la TF

I(f) es la parte Imaginaria

|X(f)| es la magnitud o espectro de Fourier de x(t)

q(f) es el ángulo de fase de la TF

PropiedadesPropiedades


=θ

+=

−)f(R

)f(Itan)f(

I)f(R)f(X

1

22





ExistenciaExistencia

∫∞

∞−∞<∃ dt)t(xsi)f(X

2(Energía finita).

Las señales transitorias cumplen con esa condición

Las señales periódicas (-∞,∞) no cumplen con esa condición

Se requiere la utilización de funciones generalizadas o teoría de distribuciones



• Linealidad: x(t)+y(t) ⇔ X(f)+Y(f)

• Dualidad: X(t) ⇔ x(-f)

• Desplazamiento temporal: x(t-to) ⇔ X(f).e-j2πfto

• Modulación en frecuencia: X(f-fo) ⇔ x(t). e-j2πfot

• Escalamiento temporal: x(kt) ⇔ 1/k.X(f)

• Escalamiento frecuencial: X(kf) ⇔ 1/|k|.x(t/k)

• Otras…



Si x(t) ⇔ X(f) e y(t) ⇔ Y(f) entonces:



• Si x(t) es aleatoria no puedo conocer exactamente su espectro, debo estimarlo.

Estimación espectralEstimación espectral


Métodos paramétricos y no paramétricos.



t f

h(t) H(f)

Relación tiempo - frecuenciaRelación tiempo - frecuencia




. . . . . .

T

. . . . . .

h(t) H(f)

∆o(t) ∆o(f)

-1/T 1/T

t f





T

. . . . . .

h(t). ∆o(t) H(f)∗∆o(f)

-1/2T 1/2Tt f





Infinitas muestras

. . . . . .

h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)

-1/2T 1/2Tt f

T





. . . . . .

h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)

-1/2T 1/2Tt

f

T

Espectro continuo





. . . . . .

h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)

-1/2T 1/2Tt f

T

v(t)

t-To/2 To/2





. . . . . .

h(t). ∆o(t)H(f)∗∆o(f)

-1/2T 1/2Tt f

T

-To/2 To/2

v(t)

t -1/To 1/Tof

V(f)





Ventanas de Hamming y Blackman





N muestras

h(t).∆o(t).v(t)

-To / 2 To / 2

H(f)∗∆o(f) ∗V(f)

t f-1/2T 1/2T





1/T1

. . . . . .

-1/T 1/T

h(t).∆o(t).v(t)

-To / 2 To / 2 t f-1/2T 1/2T

f

∆1(f)

H(f)∗∆o(f) ∗V(f)





h(t).∆o(t).v(t)

-To / 2 To / 2 t

f

-1/2T 1/2T

. . .

. . .

-1/T 1/Tt

f

1/T1

-To To

∆1(t)

H(f)∗∆o(f) ∗V(f)

∆1(f)





[h(t).∆o(t).v(t)] ∗ ∆1(t) [H(f) ∗ ∆o(f) ∗ X(f)]. ∆1(f)

t f

N muestras N muestras



Par de transformada discreta de FourierPar de transformada discreta de Fourier

[ ] [ ] N

knjN

n

e.nxkX

π21

0

−−

=∑=



2

N..

2

N- k 1,-0..Nn N

nk2j

ek,niv ==

π

=ϕ=





−

−

−−

=

− ]1N[x

]1[x

]0[x

.

]1N[v]1[v]0[v

]1N[v]1[v]0[v

]1N[v]1[v]0[v

]1N[X

]1[X

]0[X

NNN

222

111

M

L

M

L

L

M

X = M.x

x: señal, x[n].

X: transformada discreta de Fourier de x[n], X[k].

M: matriz de transformación.





−

−−π−−π−−π−

−π−π−π−

−π−π−π−

=

− ]1N[x

]1[x

]0[x

.

N

)1N)(1N(2je

N

)1)(1N(2je

N

)0)(1N(2je

N

)1N)(1(2je

N

)1)(1(2je

N

)0)(1(2je

N

)1N)(0(2je

N

)1)(0(2je

N

)0)(0(2je

]1N[X

]1[X

]0[X

M

L

M

L

L

M





Transformada rápida de FourierTransformada rápida de Fourier


Algoritmo que calcula eficientemente la TDF.

Restricción: N = 2P



Multiplicaciones

Transformada rápida de FourierTransformada rápida de Fourier


N=1024N=512N=0

512 K

1 M

FFT

TDF

Cantidad de operacionesCantidad de operaciones




Análisis tiempo - frecuencia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

Seg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

Seg

)t102sin()n(x π=

)t802sin()n(x π=



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Seg

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

100

200

300

400

500

Hz







0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

-0.5

0

0.5

1

Seg

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200

250

Hz



Brinda una vista alternativa de la señal (3D).

El eje horizontal es el tiempo

El eje vertical es la frecuencia

La oscuridad o color es proporcional a la energía

EspectrogramaEspectrograma




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Time

Fre

quency

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

100





0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.5

0

0.5

1

Time

Fre

quency

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

20

40

60

80

100





Fin de la claseFin de la clase

transformada discreta de fouriertransformada discreta de...

Documents