transformadas de fourier.pdf

MatematicasAvanzadas

paraIngeniera:

Transformadade Fourier

Departamentode

Matematicas

F {f (x)}TI:F {f (x)}F {P (x)}Linealidad

Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Matematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada de Fourier

Departamento de Matematicas

MA3002


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Transformada de FourierDada una funcion f (x) una funcion, no necesariamenteperiodica, tal que

|f (x)| dx


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Codigo en la TI para la transformada deFourier

No olvide asignar adecuadamente la variable asumes antes deejecutar este programa. Puede inicializarla haciendo:true asumes


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 1Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

P (x) = f (x) =

0 para < x < 121 para 12 < x < 120 para 12 < x <

/2 /2

1

F {f (x)} = f (x) e i x dx=

/2/2 e

i x dx = 1 i[e i x

]x=/2x=/2

= 1 i[e i /2 e i /2]

= 1 i [(cos( /2) sen( /2) i)(cos( /2) + sen( /2) i)]

= 2sen( 12 )


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Solucion del ejemplo 1 en la TI


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Tabla

f (x) f ()

P (x) 2sen( 12 )


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Propiedad de LinealidadSi f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entoncestambien c1 f (x) + c2 g(x) la admite y

F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1F {f (x)}+ c2F {g(x)}

F1{c1 f () + c2 g()

}= c1 f (x) + c2 g(x)


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Tabla

f (x) f ()

P (x) 2sen( 12 )

12 P2 a(x)

sen(a)


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 2Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular dealtura b:

f (x) =

0 para < x < 12b para 12 < x < 120 para 12 < x <

F {f (x)} = F {b P (x)}= bF {P (x)}= b 2

sen( 12 )

= 2 bsen( 12 )


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 3Obtenga la transformada de Fourier del impulso (x) (delta deDirac):

Pensamos que la funcion (x)es el lmite de funciones pulsode ancho y con altura 1/ ,de manera que el area de losrectangulos formados sea 1.

(x) = lim0

1

P (x)

2 21/4

1 11/2

1/2 1/2

1

1/4 1/4

2

1/8 1/8

4

F {(x)} = lim0F{

1 P (x)

}= lim0

(1 2

sen( 12 )

)= lim0

sen( 12 )12

= 1


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion



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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Tabla

f (x) f ()

P (x) 2sen( 12 )

12 P2 a(x)

sen(a)

(x) 1


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

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Ejemplo 4Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponenciallateral f (x) = u(x) ea x :

f (x)

f () =

0

ea x e x i dx

=

0

e(a+ i) x dx

= limN

( 1a + i

[e(a+ i) x

]x=Nx=0

)= 1

a + ilim

N

(e(a+ i)N 1

)= 1

a + ilim

N

(eaN (cos(N) sen(N) i) 1

)= 1a+ i =

aa2+2

a2+2

i


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion



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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Tabla

f (x) f ()

P (x) 2sen( 12 )

12 P2 a(x)

sen(a)

(x) 1

u(x) ea x 1a+ i =a

a2+2

a2+2i


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 5Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = ea |x |:

f (x)

f (x)

F () = f () =2 a

a2 + 2


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion



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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Tabla

f (x) f ()

P (x) 2sen( 12 )

12 P2 a(x)

sen(a)

(x) 1u(x) ea x 1a+ i =

aa2+2 a2+2 i

ea |x| 2 aa2+2


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Ejemplo 2

F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Traslacion en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier xo tambien f (x xo) la admite y

F {f (x xo)} = ei xoF {f (x)} = ei xo f ()

F1{ei xo f ()

}= f (x xo)


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 6Calcule la transformada de Fourier de g(x):

g(x) =

{0 para t < 3 y t > 76 para 3 x < 7

3 7

6

5

4

Observamos que g(x) = 6P4(x 5), y por tanto

g() = F {6P4(x 5)} = 6 ei 5F {P4(x)}=

(6 ei 5

) (2

sen( 124)

)= 12 e5 i sen(2)


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 7Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):

G () =e2 i

5 + i

F1 {G ()} = F1{

e2 i

5+i

}= F1

{ei (2) 15+i

}= F1

{1

5+i

}x=x(2)

=[u(x) e5 x

]x=x+2

= u(x + 2) e5 (x+2)


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

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Traslacion

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Derivacion

Escalamiento en el primer ejeSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier a 6= 0 tambien f (a x) la admite y

F {f (a x)} = 1|a| F {f (x)}=/a =1

|a| f(a

)

F1{f(a

)}= |a| f (a x)

Otra propiedad: Simetra

F{f (x)

}= 2pi f ()


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Ejemplo 8Calcule las transformadas de Fourier de:

f (x) =

{1 |x | para 1 x 10 otro caso

g(x) =

{1 |7 x | para 1/7 x 1/70 otro caso

1 11/7 1/7

1

De la definicion de la transformada de Fourier:

f () = 22cos()2

g() =1414cos( 17 )

2

observamos que como g(x) = f (7 x), se cumpleg() = 17 f (

17 ).


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Traslacion en frecuenciaSi f (x) admite transformada de Fourier, entonces paracualquier o tambien e

io x f (x) la admite y

F{e io x f (x)

}= F {f (x)}=o = f ( o)

Su version la la transformada de Fourier inversa queda:

F1{f ( o)

}= e io x f (x)


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Diferenciacion respecto a la primera variableSea n un entero positivo. Suponga que

f (n1)(x) es continua; f (n)(x) es continua a pedazos en cada intervalo finito f (x) es absolutamente convergente en (,+); y que

limx f

(k)(x) = 0 = limx+ f

(k)(x)

para k = 0, 1, . . . , n 1. Entoncesentonces

F{f (n)(x)

}= (i)n f ()


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

EjemploResuelva la ecuacion diferencial

y (x) a y(x) = u(x) eb x

suponga que a y b con reales positivos (a 6= b).Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:

F {y (x) a y(x)} = F {u(x) eb x}F {y (x)} aF {y(x)} = F {u(x) eb x}

i f () a f () = 1b+ iDespejando y():

f () =1

(a + i) (b + i) =A

a + i +B

b + i

donde

A =1

b + (a i) i =1

b + ay B =

1

a + (b i) i = 1

a + b


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F {(x)}Ejemplo 4

Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

De

f () =1

(b + a) 1

(a + b i) 1

(a + b)

1

(b + i)

deducimos que

f (x) = F1{f ()

}=

1

(b + a)u(x) ea x 1

(a + b)u(x) eb x

Ejercicio: trate el caso a = b.


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSea n un entero positivo. Suponga que

f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito xn f (x) es absolutamente convergente en (,+);

entonces

F {xn f (x)} = in dn

dnf ()

Esta es una consecuencia de la Regla de Leibniz para ladiferenciacion bajo la integral:

d

d

f (x , ) dx =

(

f (x , )

)dx


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Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

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EjemploCalcule

F{x u(x) ea x

}F{x2 ea |x |

}suponga que a es real positivo.


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Ejemplo 5

Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Diferenciacion respecto a la variablefrecuenciaSuponga que

f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito f (x) es absolutamente convergente en (,+); f ( = 0) = 0

entonces

F

{ x

f (y) dy

}=

1

if ()

Recuerde que si

g(x) =

x

f (y) dy

entonces g (x) = f (x). Tambien observe que

limx g(x) = 0 = limx g(x)


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Traslacion x

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Traslacion

Derivacion x

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ConvolucionSean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real quecumplen:

1

ba

f (x) dx y

ba

g(x) dx existen para todo intervalo [a, b].

2 Para todo x |f (y) g(x y)| dy

converge.

En este caso la convolucion f g de f (x) con g(x) se definecomo la funcion

(f g)(x) =

f (y) g(x y) dy


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Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

EjemplosObservando que para senales f (x) y g(x) que son cero parax < 0:

(f g)(x) =

f (y) g(x y) dy = x0

f (y) g(x y) dx

Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:

http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/

Para senales que en el par no son cero calcule

ea |x | u(x)ea |x | eb |x |ea |x | sen(b x)


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Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

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Traslacion

Derivacion x

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Convolucion en el tiempoSean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada deFourier y sean f () y g() sus transformadas de Fourier.Entonces

F {(f g)(x)} = f () g()Es decir, la transformada de la convolucion entre dos funcioneses el producto de las transformadas de ambas funciones. Estaformula en su version para la transformada inversa queda:

F1{f () g()

}= (f g)(x)


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Traslacion x

Ejemplo 6

Escalamiento

Ejemplo 8

Traslacion

Derivacion x

Derivacion

Calcule:

F1{

1

(4 + 2) (9 + 2)

}

F{f(x)}TI:F{f(x)}F{P(x)}LinealidadEjemplo 2F{(x)}Ejemplo 4Ejemplo 5Traslacin xEjemplo 6EscalamientoEjemplo 8Traslacin Derivacin xDerivacin

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