transformarea fourier - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms...

Definitie, exemple.Proprietati ale transformarii Fourier

Transformatele Fourier sinus si cosinus

Transformarea Fourier





1 Definitie, exemple.

2 Proprietati ale transformarii Fourier

3 Transformatele Fourier sinus si cosinus




Definitie, exemple.




Functia f : R→ C se numeste absolut integrabila dacaintegrala

+∞∫−∞

|f (t)|dt

este convergenta.

Definitia 1.1

Fie f : R→ C absolut integrabila. Functia complexa de variabilareala F : R→ C,

F (ω) =

+∞∫−∞

e−jωt f (t)dt , ω ∈ R, (1.1)

se numeste transformata Fourier a functiei f .




Deoarece f este absolut integrabila si∣∣e−jωt f (t)

∣∣ = |f (t)|,rezulta ca integrala

+∞∫−∞

e−jωt f (t)dt

este absolut si uniform convergenta ın raport cu parametrulω ∈ R.Vom nota tranformata Fourier a functiei f si astfel

F = F[f (t)], F (ω) = F[f (t)](ω), ω ∈ R,

evidentiind astfel si variabila t a functiei f si variabila ω atransformatei F . De multe ori se utilizeaza si notatia F (jω)aceasta numindu-se caracteristica spectrala sau spectrul ınfrecventa a semnalului f = f (t). Utilizam si notatia

f (t) =⇒ F (ω).




Observatii:Daca f este cu valori reale, situatie ıntalnita practic, atunci

F (−ω) = F (ω),

motiv pentru care este suficient sa cunoastem F (ω) pentruvalori ω > 0.Daca f = f (t) este functie original absolut integrabila,atunci transformata Fourier F (ω) este tocmai valoareatransformatei Laplace ın punctul s = jω. Din acest motivpentru transformata Fourier se mai foloseste notatia F (jω).

Pentru f (t) = σ(t)e−t transformata Laplace este

L[f (t)](s) =1

s + 1ın semiplanul Re s > 1, si atunci

transformata Fourier este F[f (t)](ω) =1

jω + 1, ω ∈ R.




Exemplul 1.1

Sa se determine transformata Fourier a semnaluluidreptunghiular de amplitudine A > 0 pe intervalul [−`, ` ], ` > 0,f : R→ R,

f (x) ={

A, x ∈ [−`, ` ] ,0, ın rest.




F (ω) = A

`∫−`

e−jωt dt =Ajω

(ejω` − e−jω`

), si, folosind formula

lui Euler sin z =ejz − e−jz

2j, deducem

F (ω) =2Aω

sinω` = 2`A saω`,

unde sa : R→ R, sa(x) =

sin x

x, x 6= 0,

1, x = 0

este functia

denumita sinus atenuat.




Proprietati ale transformarii Fourier




Teorema 2.1

(liniaritate) Daca f1, f2 : R→ C sunt doua functii absolutintegrabile iar

f1(t) =⇒ F1(ω),f2(t) =⇒ F2(ω),

atunci pentru orice c1, c2 ∈ C functia c1f1 + c2f2 este absolutintegrabila si

c1f1(t) + c2f2(t) =⇒ c1F1(ω) + c2F2(ω). (2.1)




Exemplul 2.1Sa se determine transformata Fourier pentru functiile rationale

f (t) =P(t)Q(t)

unde P si Q sunt polinoame, grad Q > 1 + grad P iar Q(t) 6= 0pentru orice t ∈ R.

Din consecinta teoremei reziduurilor avem

F (ω) = 2πj∑

Im zk>0

Rez(

P(z)Q(z)

e−jωz , zk

),

suma fiind extinsa la toti polii zk ai functieiP(z)Q(z)

situati ın

semiplanul superior.Transformarea Fourier



Teorema 2.2

(asemanare) Daca f : R→ C este functie absolut integrabila si

f (t) =⇒ F (ω),

atunci pentru orice a ∈ R, a 6= 0 are loc relatia:

f (at) =⇒ 1|a|

F(ω

a

). (2.2)




Teorema 2.3

(ıntarzierea argumentului) Daca f : R→ C este absolutintegrabila si

f (t) =⇒ F (ω),

atunci pentru orice t0 ∈ R are loc relatia:

f (t − t0) =⇒ e−jωt0F (ω). (2.3)




Teorema 2.4

(deplasare) Daca f : R→ C este absolut integrabila sif (t) =⇒ F (ω), atunci pentru orice λ ∈ R are loc relatia:

e−jλt f (t) =⇒ F (ω + λ). (2.4)




Teorema 2.5

Transformata Fourier F : R→ C a unei functii continue absolutintegrabile f : R→ C este o functie continua si

lim|ω|→∞

F (ω) = 0.




Transformarea Fourier este injectiva. Daca F[f (t)] = F[g(t)]deducem ca f (t) = g(t) aproape pentru toti t ∈ R. Spunem cao proprietate are loc aproape peste tot (a.p.t.) daca pentruorice ε > 0, multimea punctelor unde proprietatea nu are loc,poate fi acoperita cu intervale a caror lungime totala este maimica decat ε.Pentru clasa de functii rapid descrescatoare, transformareaFourier este si surjectiva, deci inversabila si atunci vom puteascrie

f (t)⇐⇒ F (ω).

S = {f : R→ C| f ∈ C∞(R), ∀ k ,q ∈ N,∃Ck ,q,∣∣∣xk f (q)(x)

∣∣∣ ≤ Ck ,q},

unde f (q) este derivata de ordin q a functiei f .Un exemplu de functie rapid descrescatoare este estef (t) = e−t2

.




Functiile din S sunt marginite si integrabile pe R.Intr-adevar, pentru f ∈ S au loc majorarile∣∣∣xk f (q)(x)

∣∣∣ ≤ Ck ,q

si ∣∣∣tk f (q)(t)∣∣∣ ≤ Ck+2,q

t2 .

Rezulta atunci∣∣∣xk f (q)(x)∣∣∣ ≤ min

{Ck ,q,

Ck+2,q

t2

}≤

C∗k ,q1 + t2

unde C∗k ,q este o constanta convenabil aleasa, iar functiaC∗k ,q

1 + t2 este absolut integrabila.




Teorema 2.6

(Derivarea transformatei) Daca f ∈ S atunci transformata saFourier F este indefinit derivabila pe R, F ∈ C∞(R), si pentruorice k ∈ N are loc

tk f (t) =⇒ jkF (k)(ω). (2.5)




Teorema 2.7

(Transformarea derivatei) Daca f ∈ S, si f (t) =⇒ F (ω) atunci,pentru orice k ∈ N are loc

f (k)(t) =⇒ (jω)kF (ω) (2.6)




Teorema 2.8

(Transformarea integralei) Daca f : R→ C este absolut

integrabila,

+∞∫−∞

f (t)dt = 0 si f (t) =⇒ F (ω) atunci are loc relatia:

t∫−∞

f (τ)dτ =⇒ 1jω

F (ω). (2.7)




Teorema 2.9Transformarea Fourier F : S → S este o aplicatie liniara sicontinua.




Teorema 2.10

(Formula de inversiune) Daca f ∈ S si

F (ω) =

+∞∫−∞

e−jωt f (t)dt = F[f (t)](ω), ω ∈ R

atunci are loc

f (t) =1

2π

+∞∫−∞

ejωtF (ω)dω, t ∈ R. (2.8)




Daca f ∈ S, atunci are loc formula

F[F[f ]](t) = 2πf (−t). (2.9)

Din formula de inversiune (2.8) scrisa sub forma

+∞∫−∞

ejωtF (ω)dω = 2πf (t), t ∈ R

rezulta+∞∫−∞

e−jωtF (ω)dω = 2πf (−t).

Cum membrul stang este transformata Fourier a functiei F (ω)relatia se scrie (2.9).




Teorema 2.11Daca f ,g ∈ S, si

f (t) =⇒ F (ω), g(t) =⇒ G(ω),

atunci au loc

+∞∫−∞

F (x)g(x)dx =

+∞∫−∞

f (x)G(x)dx (2.10)

+∞∫−∞

f (x)g(x)dx =1

2π

+∞∫−∞

F (ω)G(ω)dω (2.11)




Fie f1, f2 : R→ C. Functia f1 ∗ f2 : R→ C definita prin

(f1 ∗ f2)(t) =

+∞∫−∞

f1(τ) f2(t − τ)dτ, t ∈ R

se numeste produs ın convolutie a functiilor f1, f2.

Teorema 2.12(Imaginea convolutiei) Daca f ,g : R→ C f ,g ∈ S si

f (t) =⇒ F (ω) g(t) =⇒ G(ω),

atunci(f ∗ g)(t) =⇒ F (ω) ·G(ω). (2.12)




Teorema 2.13(Convolutia imaginilor) Daca f ,g : R→ C f ,g ∈ S si

f (t) =⇒ F (ω) g(t) =⇒ G(ω),

atuncif (t) · g(t) =⇒ 1

2πF (ω) ∗G(ω). (2.13)




Daca ın (2.11) alegem f = g, formula devine

+∞∫−∞

|f (x)|2dx =1

2π

+∞∫−∞

|F (ω)|2 dω. (2.14)

Formula (2.14) se numeste formula lui Parseval si,interpretata fizic, exprima o lege de conservare a energiei;primul membru reprezinta energia degajata de circuit, iar aldoilea energia spectrala.




Fie f : [0,+∞)→ C.

Definitia 3.1

Numim transformata cosinus functia Fc : [0,+∞)→ C,

Fc[f (t)](ω) = Fc[f ]](ω) =

√2π

+∞∫0

f (x) cosωx dx , ω ≥ 0. (3.1)




Din teorema de inversiune a transformatei Fourier rezulta caare loc formula de inversare

f (x) =

√2π

+∞∫0

Fs(ω) cosωx dω. (3.2)




Definitia 3.2

Numim transformata sinus functia Fs : [0,+∞)→ C,

Fs[f (t)](ω) = Fs[f ]](ω) =

√2π

+∞∫0

f (x) sinωx dx , ω ≥ 0. (3.3)




Din teorema de inversiune a transformatei Fourier rezulta caare loc formula de inversare

f (x) =

√2π

+∞∫0

Fs(ω) sinωx dω. (3.4)


transformarea fourier - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms...

Documents