variabile aleatoare continue 1 - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms...
TRANSCRIPT
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare continue
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare continue
1 Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitate
2 Variabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
3 Functii de variabile aleatoare
4 Caracteristici numerice ale v. a. continue
5 Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitate
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Fie (E ,K,P) un camp infinit de probabilitate.K ⊆ P(E) este o σ-algebra de parti ale lui E(i) pentru orice A ∈ K avem A ∈ K;(ii) pentru orice An ∈ K, n ∈ N avem⋃
n∈NAn ∈ K.
P : K → [0,1 ] este o probabilitate:(i) P(E) = 1;(ii) pentru orice sir de multimi (An)n ∈ K, cu An ∩ Am = ∅,pentru orice n 6= m avem
P
(⋃n∈N
An
)=∑n∈N
P(An).
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Definitia unei variabile aleatoare ıntr-un camp infinit
Definitia 1.1O functie
X : E → R
se numeste variabila aleatoare daca
{X ≤ x} = {e ∈ E | X (e) ≤ x} ∈ K, ∀x ∈ R. (1.1)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Daca X este o variabila aleatoare atunci au loc:
{X < x} ∈ K, {X > x} ∈ K, {X ≥ x} ∈ K
{x1 < X < x2} ∈ K, {x1 ≤ X < x2} ∈ K,
{x1 < X ≤ x2} ∈ K, {x1 ≤ X ≤ x2} ∈ K.
Aceasta ınseamna ca putem calcula probabilitatile oricarorevenimente de forma precedenta.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Definitia variabilelor independente
Definitia 1.2Variabilele aleatoare X si Y se numesc variabile aleatoareindependente, daca pentru orice D1,D2 multimi reale deschiseare loc:
P({X−1(D1)} ∩ {Y−1(D2)}
)= P{X−1(D1)} · P{Y−1(D2)}.
X−1(D1) = {e ∈ E | X (e) ∈ D1}
Y−1(D2) = {e ∈ E | Y (e) ∈ D2}
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Functie de repartitie
Definitia 1.3Fie X o v. a. Se numeste functie de repartitie a lui X functiarealaF : R→ [0,1 ],
F (x) = P {X ≤ x} = P({e ∈ E | X (e) ≤ x})
pentru orice x ∈ R.
Functia de repartitie F asociaza oricarui numar real xprobabilitatea ca valorile lui X sa fie mai mici sau cel mult egalecu x .
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))
2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);
3. limx→−∞
F (x) = 0;
( limx→−∞
F (x) = limx→−∞
P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)
4. limx→+∞
F (x) = 1.
( limx→+∞
F (x) = limx→+∞
P{X ≤ x} = P(E) = 1.)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))
2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);
3. limx→−∞
F (x) = 0;
( limx→−∞
F (x) = limx→−∞
P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)
4. limx→+∞
F (x) = 1.
( limx→+∞
F (x) = limx→+∞
P{X ≤ x} = P(E) = 1.)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))
2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);
3. limx→−∞
F (x) = 0;
( limx→−∞
F (x) = limx→−∞
P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)
4. limx→+∞
F (x) = 1.
( limx→+∞
F (x) = limx→+∞
P{X ≤ x} = P(E) = 1.)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))
2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);
3. limx→−∞
F (x) = 0;
( limx→−∞
F (x) = limx→−∞
P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)
4. limx→+∞
F (x) = 1.
( limx→+∞
F (x) = limx→+∞
P{X ≤ x} = P(E) = 1.)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema. Fie X o v. a. cu functia de repartitie F : R→ [0,1 ].Atunci:1. daca x1 ≤ x2, atunci F (x1) ≤ F (x2), ∀x1, x2 ∈ R;({X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2} si se aplica monotonia functiei deprobabilitate, A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B))
2. F (x + 0) = F (x), ∀x ∈ R, (F este continua la dreapta);
3. limx→−∞
F (x) = 0;
( limx→−∞
F (x) = limx→−∞
P{X ≤ x} = P(∅) = 0.)
4. limx→+∞
F (x) = 1.
( limx→+∞
F (x) = limx→+∞
P{X ≤ x} = P(E) = 1.)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Fie F : R→ [0,1 ] functia de repartitie a unei variabilealeatoare X . Atunci pentru orice numere reale a < b avem:P {X ≤ a} = F (a) = F (a + 0),P {X < a} = F (a− 0),P {X ≥ a} = 1− F (a− 0),P {X > a} = 1− F (a),P {a < X ≤ b} = F (b)− F (a),P {a < X < b} = F (b − 0)− F (a),P {a ≤ X < b} = F (b − 0)− F (a− 0),P {a ≤ X ≤ b} = F (b)− F (a− 0).
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Operatii cu v.a.
Daca X este o variabila aleatoare si λ ∈ R atunci urmatoareleoperatii definesc variabile aleatoare:
X + λ, λX , |X |, X r , r ∈ N,1X.
Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci
X + Y , X − Y , XY ,XY, max(X ,Y ), min(X ,Y )
sunt de asemenea variabile aleatoare.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Operatii cu v.a.
Daca X este o variabila aleatoare si λ ∈ R atunci urmatoareleoperatii definesc variabile aleatoare:
X + λ, λX , |X |, X r , r ∈ N,1X.
Daca X si Y sunt variabile aleatoare, atunci
X + Y , X − Y , XY ,XY, max(X ,Y ), min(X ,Y )
sunt de asemenea variabile aleatoare.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Exemplul 1.1
Fie X o v.a., F (x) =
0 pentru x ≤ 0x2
2pentru 0 < x < 1
1 pentru x ≥ 1.
Sa se calculeze P{X ≤ 12} si P{X 2 ≥ 1}.
P{
X ≤ 12
}= F (
12) =
18,
P{
X 2 ≥ 1}= 1− P
{X 2 < 1
}= 1− P {−1 < X < 1}
= 1− F (1− 0) + F (−1) = 1− 12+ 0 =
12.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Exemplul 1.1
Fie X o v.a., F (x) =
0 pentru x ≤ 0x2
2pentru 0 < x < 1
1 pentru x ≥ 1.
Sa se calculeze P{X ≤ 12} si P{X 2 ≥ 1}.
P{
X ≤ 12
}= F (
12) =
18,
P{
X 2 ≥ 1}= 1− P
{X 2 < 1
}= 1− P {−1 < X < 1}
= 1− F (1− 0) + F (−1) = 1− 12+ 0 =
12.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Densitate de probabilitate
Definitia 2.1
Spunem ca variabila aleatoare X este de tip continuu daca• functia de repartitie F : R→ [0,1 ] este continua• exista o functie f : R→ R cu o multime cel mult numarabilade puncte de discontinuitate de prima speta astfel ıncat
F (x) =∫ x
−∞f (t)dt (2.1)
pentru orice x ∈ R.Functia f se numeste densitatea de probabilitate a v. a. X .
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Proprietati:
• F ′(x) = f (x) (2.2)
ın toate punctele de continuitate ale lui f . In sens distributionalrelatia (2.2) are loc ıntotdeauna.
• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)
(f = F ′ si F este crescatoare)
•∫ +∞
−∞f (x)dx = 1. (2.4)
(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim
a→+∞
∫ a−∞f (x)dx = lim
a→+∞F (a) = 1.)
Geometric: (2.4)⇔ aria subgraficului functiei densitate deprobabilitate este unitara.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Proprietati:
• F ′(x) = f (x) (2.2)
ın toate punctele de continuitate ale lui f . In sens distributionalrelatia (2.2) are loc ıntotdeauna.
• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)
(f = F ′ si F este crescatoare)
•∫ +∞
−∞f (x)dx = 1. (2.4)
(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim
a→+∞
∫ a−∞f (x)dx = lim
a→+∞F (a) = 1.)
Geometric: (2.4)⇔ aria subgraficului functiei densitate deprobabilitate este unitara.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Proprietati:
• F ′(x) = f (x) (2.2)
ın toate punctele de continuitate ale lui f . In sens distributionalrelatia (2.2) are loc ıntotdeauna.
• f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. (2.3)
(f = F ′ si F este crescatoare)
•∫ +∞
−∞f (x)dx = 1. (2.4)
(∫ +∞−∞ f (x)dx = lim
a→+∞
∫ a−∞f (x)dx = lim
a→+∞F (a) = 1.)
Geometric: (2.4)⇔ aria subgraficului functiei densitate deprobabilitate este unitara.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Repartitia exponentiala
Important Conditiile esentiale ce trebuie verificate ca o functiesa fie densitate de probabilitate sunt (2.3) si (2.4).
Exemplul 2.1
Sa se determine parametrul a ∈ R astfel ıncat functia f : R→ R+
f (x) =
a · e−λx , daca x ≥ 0
0, daca x < 0
sa reprezinte, pentru orice λ > 0, o densitate de probabilitate a unei v.a. X . Sa se determine functia de repartitie.V.a. X este repartizata exponential
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
a = λ;
F (x) ={
0, daca x < 01− e−λx , daca x ≥ 0.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Repartitia uniforma
Exemplul 2.2
Spunem ca variabila aleatoare X este repartizata uniform peintervalul [a,b ], a < b, daca ea are densitatea de probabilitatef : R→ R+,
f (x) =
1
b − a, daca x ∈ [a,b ]
0, ın caz contrar.
Sa se verifice ca f are proprietatile densitatii de probabilitate si sa sedetermine functia de repartitie.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
F (x) =
0, daca x < a
x − ab − a
, daca x ∈ [a,b ]
1, daca x > b.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Pentru o v.a. arbitrara au loc
P{x1 < X ≤ x2} = F (x2)− F (x1) (2.5)
P{X = x} = F (x)− F (x − 0). (2.6)
Daca X este v. a. continua atunci:
P{x1 ≤ X < x2} = P{x1 ≤ X ≤ x2} = P{x1 < X < x2}
= F (x2)− F (x1) =
∫ x2
x1
f (x)dx . (2.7)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Functii de variabile aleatoare
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Functii de variabile aleatoare
Fie X o v. a. continua cu functia de repartitie FX .Fie h : R→ R o functie monotona, derivabila cu h′(x) 6= 0,pentru orice x ∈ R.V. a. Y = h(X ) are functia de repartitie complet determinata.
Fie x = h−1(y) solutia unica a ecuatiei y = h(x).
Daca h este strict crescatoare, atunci avem:
FY (y) = P {Y ≤ y} = P{
X ≤ h−1(y)}= FX
(h−1(y)
).
Daca h este strict descrescatoare, atunci:
FY (y) = P {Y ≤ y} = P{
X ≥ h−1(y)}= 1− FX
(h−1(y)
).
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema 3.1Fie h : R→ R este o functie monotona, derivabila cu h′(x) 6= 0,pentru orice x ∈ R. Fie x = h−1(y) unica solutie a ecuatieih(x) = y. Atunci densitatea de probabilitate a variabileialeatoare Y = h(X ) este:
fY (y) = fX (h−1(y))∣∣∣∣(h−1(y)
)′∣∣∣∣ .
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Exemplul 3.1Fie X variabila aleatoare distribuita uniform pe intervalul [0,1 ]. Careeste densitatea de probabilitate a variabilei Y = 3X?
fX (x) ={
1, daca x ∈ [0,1 ]0, ın caz contrar.
Y = h(X ) = 3X , unde h(x) = 3x , h′(x) = 3 > 0.
FY (x) = P {Y ≤ x} = P {3X ≤ x} = P{
X ≤ x3
}= FX
(x3
).
Prin derivare ın raport cu x
fY (x) = F ′Y (x) =(
FX
(x3
))′= fX (
x3) · 1
3.
Deci v.a. Y este distribuita uniform pe intervalul [0,3 ].
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Caracteristici numerice ale v. a. continue
Ca si ın cazul variabilei discrete putem defini caracteristicelenumerice ale unei variabile continue. Fie X o variabilaaleatoare continua cu densitatea de probabilitate f : R→ R+.Toate definitiile urmatoare au sens atata vreme cat integraleleimproprii care apar sunt convergente.
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Media unei v. a. continue
Media variabilei aleatoare continue X este:
m = M[X ] =
∫ +∞
−∞xf (x)dx . (4.1)
Daca X si Y sunt variabile aleatoare atunci:
M[X + Y ] = M[X ] + M[Y ], (4.2)
iar, daca X ,Y sunt independente, atunci are loc si proprietatea:
M[X · Y ] = M[X ] ·M[Y ]. (4.3)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Momente de ordin r
Momentul initial de ordin r al variabilei X este:
mr = M[X r ] =
∫ +∞
−∞x r f (x)dx . (4.4)
Momentul centrat de ordin r al variabilei X este:
µr = M[(X −M[X ])r ] =
∫ +∞
−∞(x −mX )
r f (x)dx . (4.5)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Dispersia unei v. a. continue
Dispersia variabilei X este momentul centrat de ordinul 2
σ2 = D2[X ] = µ2 =
∫ +∞
−∞(x −mX )
2f (x)dx . (4.6)
Ca si ın cazul discret, are loc
D2[X ] = M[X 2]− (mX )2 . (4.7)
Daca X si Y sunt variabile independente, atunci are locproprietatea:
D2[X ± Y ] = D2[X ] + D2[Y ]. (4.8)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Abaterea medie patratica este
σ = D[X ] =√
D2[X ]. (4.9)
Covarianta variabilelor X si Y este definita prin:
Cov [X ,Y ] = M[(X −mX ) · (Y −mY )]M[X ·Y ]−mX ·mY (4.10)
Au locCov [X ,Y ] = M[X · Y ]−mX ·mY ; (4.11)
D2[X + Y ] = D2[X ] + D2[Y ] + 2Cov [X ,Y ]. (4.12)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Daca X este o variabila aleatoare si Y = g(X ) este o variabilaobtinuta printr-o transformare cu ajutorul functiei g : R→ R,continua si bijectiva, atunci media transformarii Y = g(X )este
M[Y ] =
∫ +∞
−∞g(x) · f (x)dx . (4.13)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Functia caracteristica
Functia caracteristica a v. a. continue X este ϕ : R→ Cdefinita prin:
ϕ(t) = M[ejtX ] =
∫ +∞
−∞ejtx · f (x)dx , j2 = −1. (4.14)
Functia caracteristica ϕ este transformata Fourier a densitatiide probabilitate f (care este functie absolut integrabila).
Din formula de inversiune a transformatei Fourier deducem sirelatia:
f (x) =1
2π
∫ +∞
−∞e−jtx · ϕ(t)dt (4.15)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Momentele initiale se obtin cu ajutorul functiei caracteristice,dupa formula:
M[X r ] =ϕ(r)(0)
j r. (4.16)
Daca variabilele X si Y sunt independente, atunci
ϕX+Y = ϕX · ϕY . (4.17)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Inegalitatea lui Cebasev
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Inegalitatea lui Cebasev
Teorema 5.1Daca variabila aleatoare X este de tip continuu cu media m sidispersia σ2, atunci pentru orice ε > 0 are loc
P{|X −m| < ε} ≥ 1− σ2
ε2 (5.1)
Inegalitatea (5.1) este echivalenta cu inegalitatea:
P{|X −m| ≥ ε} < σ2
ε2 . (5.2)
Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Demonstratie. Dispersia este data de
σ2 =
∫ ∞−∞
(x −m)2f (x)dx =∫ m−ε
−∞(x−m)2f (x)dx+
∫ m+ε
m−ε(x−m)2f (x)dx+
∫ +∞
m+ε(x−m)2f (x)dx .
Pentru x ∈ (−∞,m − ε) ∪ (m + ε,+∞) avem (x −m)2 ≥ ε2 sidispersia poate fi minorata prin
σ2 ≥ ε2(∫ m−ε
−∞f (x)dx +
∫ ∞m+ε
f (x)dx)
= ε2(
1−∫ m+ε
m−εf (x)dx
),
deoarece∫ ∞−∞
f (x)dx = 1. Atunci
σ2 ≥ ε2(1− P{m− ε < X < m + ε}) ≥ ε2(1− P{|X −m| < ε}),care este echivalenta cu relatia (5.1).Variabile aleatoare continue 1
Variabile aleatoare ıntr-un camp infinit de probabilitateVariabile aleatoare continue; densitate de probabilitate
Functii de variabile aleatoareCaracteristici numerice ale v. a. continue
Inegalitatea lui Cebasev
Exemplul 5.1Timpul mediu de raspuns al unui calculator este de 15 secunde pentruo anumita operatie, cu abaterea medie patratica de 3 secunde.Estimati probabilitatea ca timpul de raspuns sa se abata cu mai putinde 5 secunde fata de medie.
Vom folosi inegalitatea lui Cebasev cu ε = 5. Avem
P({|X − 15| < 5}) ≥ 1− 925
= 0,64.
Variabile aleatoare continue 1