transformasi dan isometri
TRANSCRIPT
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
1/37
Lisanul Uswah Sadieda, M.Pd.
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
2/37
TRANSFORMASIDEFINISI
Suatu transformasi pada suatubidang V adalah suatu fungsi yangbijektif dengan daerah asalnya V
dan daerah nilainya V juga
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
3/37
CONTOHAndaikan A V. Ada perpetaan T dengan domain V
dan kodomain V. Jadi T : V V didefinisikan sbg
berikut:
T(A) = A
Apabila P A maka T(P) = Q dengan Q titik
tengah ruas garis
Selidiki apakah T suatu transformasi?
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
4/37
Bukti
1. Akan dibuktikan T surjektif (
YV
X
Vsedemikian shg Y = T(X))
Ambil sebarang titik lain YV Jika Y = A maka Y =A=T(A) (didefinisikan soal)
Jadi prapeta Y adalah A
Jika Y A, karena V bidang Euclides,ada satu garis melalui Y dan A (Postulat 1),
jadi ada sinar garis shg ada X tunggaldengan X sehingga AX = 2AY atau AY = YX(teorema penempatan titik)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
5/37
Jadi Y titik tengah yang merupakansatu-satunya titik tengah.
Sehingga Y= T(X) yang berarti X prapeta
dari Y.Terbukti bahwa YV X V Y = T(X)
T surjektif
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
6/37
2. Akan dibuktikan T injektif
Ambil sebarang P A. Q A dan PQP, Q, A tidak segaris.
Akan ditunjukkan T(P) T(Q)Andaikan T(P) = T(Q)
Karena T(P) dan T(Q) maka dan memiliki dua titiksekutu yaitu A dan T(P).
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
7/37
Ini berarti garis dan berimpit,sehingga Q Kontradiksi dengan yang diketahui.Pengandaian salah jadi T(P) T(Q)Jadi T injektif.Dari 1 dan 2 maka T bijektif.
Terbukti T suatu transformasi
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
8/37
ContohPilihlah pd bidang Euclides V suatu sistem
koordinat ortogonal. T adalah perpetaan
yang mengkaitkan setiap titik P dengantitik P yg letaknya satu satuan dari P
dengan arah sumbu X positif. Selidiki
apakah T transformasi?
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
9/37
Bukti1. Akan dibuktikan T surjektif, yaitu
AV B V A = T(B)Ambil sebarang A = (x,y) VAndaikan B = (x, y)
Jika B prapeta A maka berlaku
T(B) = A
(x+1, y) = (x,y)Sehingga
X+1 = x atau x = x -1
dan y = y
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
10/37
Jelas T(x-1, y) = ((x-1)+1, y) = (x,y)
Tampak bahwa x , y selalu adaTerbukti AV B VA = T(B) T surjektif
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
11/37
2. Akan dibuktikan T injektif.
Ambil sebarang P(x1, y1), Q(x2, y2) V,P Q.Akan ditunjukkan T(P) T(Q)T(P) = (x1+1, y1) dan T(Q) = (x2+1, y2)
Andaikan T(P) = T(Q)
Maka
X1+1 = x2+1 dan y1 = y2
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
12/37
Berarti x1 = x2 dan y1 = y2dgn kata lain P=Q
Kontradiksi dgn yg diket.
Pengandaian salah sehingga T(P) T(Q) T injektifDari 1 dan 2 terbukti T bijektif sehingga
T suatu transformasi
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
13/37
SoalAndaikang dan h dua garis yg sejajar pada bid.
Euclides V. A sebuah titik yg terletak di tengahantarag dan h. Sebuah T dengan daerah asalg
yang didefinisikan sebagai berikut:
Apabila Pgmaka P = T(P) =a. Apakah daerah nilai T?
b. Apabila Dg, Eg, DE, buktikan DE = DE ;D = T(D), E = T(E)
c. Apakah T injektif?
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
14/37
Diketahuif: V V. Jika P(x,y) makaf(P) = (x,y)
a. Tentukanf(A) jika A = (-3,6) ?
b. Tentukan semua prapeta dari titikB (4,2) ?
c. Apakah bentuk daerah nilaif?
d.Apakahfsuatu transformasi?
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
15/37
Diketahui tiga titik A, R, S yangberlainan dan tidak segaris. Adaperpetaan T yang didefinisikan sebagaiberikut:
T(A) = A, T(P) = P sehingga P titiktengah
a.Lukislah R = T(R)
b.Lukislah Z sehingga T(Z) = S
c.Apakah T suatu transformasi?
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
16/37
(Refleksi)Definisi
Suatu pencerminan (refleksi) pd sebuahgrs s adalah suatu fgs Ms yg didefinisikanu/ setiap ttk pd bidang V sbg brk:
Jika P s maka Ms (P) = PJika P s maka Ms(P) = P shg garis sadalah sumbu
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
17/37
TeoremaSetiap refleksi pada garis adalah suatutransformasi
Bukti1. Akan dibuktikan Ms surjektif , yaituX V X V X = Ms (X)Ambil sebarang X V Jika X s maka X = M
s(X) = X
(definisi refleksi garis )Jadi ada X prapeta X
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
18/37
Jika XsDari sifat geometri ada X V shgs mjd sumbu
Berarti Ms (X) = X
Tampak bahwa
X V X VX = Ms (X) Ms surjektif
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
19/37
2. Akan dibuktikan Ms injektifAmbil sebarang A, B V.Jika A B akan ditunjukkan Ms (A) Ms (B) Kalau A s dan B s maka
A = Ms (A) = A dan B = Ms (B) = BJadi A B atau Ms (A) Ms (B)Kalau As dan B s, maka A = Ms (A) = ADengan kata lain A s
Sedangkan B = Ms (B) dan berdasarkandefinisi refleksi maka B s.Jadi A B atau Ms (A) Ms (B)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
20/37
Kalau A s, B sAndaikan Ms (A) = Ms (B)Jadi s dan s.Karena A = B berarti dari titik A ada duagaris berlainan yang tegak lurus pada s.Kontradiksi dengan teorema yang berbunyiPada sebuah bidang, melalui sebuah titik diluar garis, ada satu dan hanya satu garis yangtegak lurus garis itu.Pengandaian salah
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
21/37
Jadi Ms (A) Ms (B).Terbukti Ms injektifDari 1 dan 2 terbukti bahwa Ms suatutransformasi
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
22/37
Rumus PencerminanMisal pers. sumbu s adalahs : ax + by+c = 0 (*)Bila P = Ms(P) dan P(x,y), P(x,y) diluar smaka harus dipenuhi s jika
(**)Misal (x1, y1) titik tengah maka
dan (***)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
23/37
Substitusikan (***) ke (*) diperoleh :(****)
Dari (**) dan (****) diperoleh bx ay = bx ay
ax+by = -ax by-2cSehingga
(#)
(##)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
24/37
Jika s dinyatakan dalam bentuk normal
s: x cos + y sin - p = 0Dgn mensubstitusikan
a = cos ,
b = sin , c = -p
Ke persamaan (#) dan (##) diperoleh:
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
25/37
Kejadian Khusus Refleksi terhadap y = 0
Refleksi terhadap x = 0
Refleksi terhadap y = x Refleksi terhadap y = -x
Refleksi terhadap x = a
Refleksi terhadap y = b
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
26/37
ISOMETRIDefinisi
Suatu transformasi T adalah suatuisometri jika untuk setiap pasangtitik P, Q berlaku PQ = PQ dengan
P = T(P) dan Q = T(Q)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
27/37
TEOREMA
Setiap refleksi pada garis adalah suatu
isometri
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
28/37
Contoh Soal1. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal
dan A(1,3) sedangkan B(-2,-1) tentukanlahpersamaan sebuah garis g sehingga Mg (A) =B
2. Diketahui g = {(x,y) x = -3}a.Apabila A(2,1) tentukan A = Mg (A)
b. Tentukan C apabila Mg (C)=(-1, 7)
c. Apabila P (x,y) sebuah titik sebarangtentukanlah Mg (P)
3. Diketahui garis k = {(x,y) ax 3y + 1 = 0} dansebuah titik B (3, -1). Tentukan a apabila Mk
(B)=B
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
29/37
4. Sebuah transformasi T didefinisikanuntuk semua P(x,y) sebagai
T(P) = (y, 4x). Selidiki apakah T suatuisometri?
5. Diketahui titik-titik A (1, -1), B(4,0),
C(-4,1) dan D(-2, k). Apabila T suatuisometri sehingga T(A) = C dan T(B) = Dmaka tentukanlah k
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
30/37
Teorema
Suatu isometri bersifat:Memetakan garis menjadi garisMengawetkan besarnya sudutantara dua garisMengawetkan kesejajaran dua garis
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
31/37
Akibat
Apabila a b maka T(a) T(b)dengan T isometri
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
32/37
CONTOHDiketahui garis g = {(x,y) y = -x} dan garish = {(x,y) y = 2x-3}. Apabila Mg adalahrefleksi pada garis g. Tentukanlahpersamaan garis h = Mg (h)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
33/37
Jawabh suatu isometri maka h berupa garish akan melalui titik potong h dan g, misalnya R,
karena Mg (R) = R. Jadi R = (1, -1)Misalkan titik potong h dengan sumbu X adalah
Q, maka h akan melalui Q = Mg (Q). KarenaQ = (3/2, 0) maka Q = (0, -3/2)
Maka persamaan h = {(x,y) x 2y 3 = 0}
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
34/37
SoalDiketahui garis g = {(x,y) y = 0}
dan h = {(x,y) y = x}. Tulislahsebuah persamaan garis
g = Mh (g)
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
35/37
Isometri Langsung danLawan Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasiapabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1 , P2 , P3 )orientasinya sama dengan dengan orientasi peta-
petanya (P1 , P2, P3) dengan P1 = T(P1), P2 =T(P2) , P3 = T(P3 ) Suatu transformasi T membalik suatu orientasiapabila untuk setiap tiga titik tak segaris (P1 , P2 , P3 )orientasinya tdk sama dengan orientasi peta-petanya(P1 , P2, P3) dengan P1 = T(P1), P2 = T(P2) , P3= T(P3 )
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
36/37
DefinisiOrientasi dikatakan langsungapabila transformasi itumengawetkan orientasiSuatu transformasi dinamakan
transformasi lawan apabilatransformasi itu mengubah orientasi
-
8/2/2019 Transformasi Dan Isometri
37/37
SoalMisalkan R adalah yang didefinisikan untuk semua titikP(x,y) dengan R(P) = (-y,x)
Buktikan atau sangkal bahwa R itu isometri?
Apakah R isometri langsung atau isometri berlawanan?