trasformata di fourier proprieta ed esempi
DESCRIPTION
La trasformata di FourierTRANSCRIPT
1 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
LA TRASFORMATA DI FOURIER:
PROPRIETA’ ed ESEMPI
2 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
LINEARITA’: la TDF della combinazione lineare (somma pesata) di due segnali
e’ uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali.
Proprieta’ della TDF (1)
a1
x1(t) +a
2 x
2(t) TDF a
1 X
1 (f) +a
2 X
2 (f)
SIMMETRIA: la TDF di una segnale REALE gode di simmetria complessa coniugata
(simmetria Hermitiana). La parte reale e il modulo sono simmetrici rispetto all’origine
(pari), la parte immaginaria e la fase sono antisimmetriche rispetto all’origine (dispari).
x(t) reale TDF X(f) = X*(-f)
DUALITA’:
z(t)=X(-t) TDF Z(f)=x(f)
x(t) TDF X(f)
SCALATURA TEMPORALE
z(t)=x(at) TDF Z(f)=(1/|a|)X(f/a)
a = -1, z(t)=x(-t) TDF Z(f)=X(-f)
z(t)=X(t) TDF Z(f)=x(-f)
3 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (2)
TDFx(t) reale pari X(f) reale pari
x(t) reale dispari X(f) immaginario dispari
TDF di una segnale REALE
f
A
f
Reale
Fase
A
f
Modulo
A
fImmag.
Casi particolari
|X(f)| = |X(-f)| fase X(f) = - fase X(-f)
Re{X(f)} = Re{X(-f)} Im{X(f)} = - Im{X(-f)}
4 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (3)
Valori nell’origine
{ } ∫∫∞
∞−=
∞
∞−
=
−⋅= dttxdtftjtxX
f
)(2exp)()0(
0
π
t
x(t)X(0)
{ } ∫∫∞
∞−=
∞
∞−
=
⋅= dffXdfftjfXx
t
)(2exp)()0(
0
π
f
X(f)
x(0)
5 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
x(t-t0
) e-j2πf t0 X(f) TDF
Proprieta’ della TDF (4)
Traslazione nei tempi: la TDF del segnale ritardato e’ uguale a quella del
segnale originale moltiplicata per un esponenziale complesso
Traslazione nelle frequenze: traslare in frequenza la TDF del segnale, equivale
a moltiplicare il segnale nei tempi per un esponenziale complesso
x(t ) ej2π f0 t X(f- f
0 )TDF
x*(t ) X*(-f )TDF
Coniugazione:
6 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: la trasformata di Fourier del coseno
Un impulso di area unitaria in frequenza ha come TDF inversa una costante
unitaria nei tempi:
{ } 12exp)( =∫∞
∞−
dfftjf πδ
La trasformata di Fourier del coseno si ricava da quella della costante utilizzando
le proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
{ } { }tfjtfjtftyooo
πππ 2exp2
12exp
2
1)2cos()( −+==
TDF
( ) ( )oofffffY ++−= δδ
2
1
2
1)(
Quindi la TDF di una costante unitaria e’ un impulso nelle frequenze.
7 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: la trasformata di Fourier del seno
La trasformata di Fourier del seno si ricava da quella della costante utilizzando le
proprieta’ di traslazione nelle frequenze e di linearita’:
{ } { }tfjj
tfjj
tftyooo
πππ 2exp2
2exp2
)2(sin)( −−==
TDF
( ) ( )oo ffj
ffj
fY −−+= δδ22
)(
8 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (5)
Derivazione: la TDF del segnale derivato nel tempo e’ uguale a quella del
segnale originale moltiplicata per una rampa immaginaria in frequenza:
dt
tdx )()( 2 fXfj πTDF
)(2 txtj πdf
dX(f) -TDF
Dualmente:
Integrazione:
( )∫∞−
t
dx ττ ( )ffXfj
δπ 2
1)(
2
1+TDF
TDF
Dualmente:
( )ttxtj
δπ 2
1)(
2
1+
− ( )∫∞−
f
dX ηη
9 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
X(f)Y(f) TDF
Proprieta’ della TDF (6)
Moltiplicazione nelle frequenze: la TDF inversa del prodotto delle TDF di due
segnali e’ uguale all’integrale di convoluzione dei segnali nei tempi. L’integrale di
convoluzione e’ un operatore utilizzato, per esempio, per descrivere come
vengono modificati i segnali quando passano attraverso sistemi lineari tempo-
invarianti.
Moltiplicazione nei tempi (modulazione): la TDF del prodotto di due segnali e’
uguale all’integrale di convoluzione delle due TDF (nelle frequenze).
x(t )y(t) TDF
∫∞
∞−
− τττ dtyx )()(
∫∞
∞−
− ξξξ dfYX )()(
x(t ) cos (2πf
0t) (1/2)(X(f+ f
0 )+ X(f-f
0 ))TDF
Modulazione d’ampiezza:
10 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Proprieta’ della TDF (7)
Ponendo y(t)=x(t) si ottiene che l’energia di un segnale e’ uguale all’integrale del
modulo quadrato della sua TDF
=∫∞
∞−
dttx2
)( ∫∞
∞−
dffX2
)(
integrata su tutto l’asse delle frequenze fornisce l’energia del segnale.
Quindi rappresenta l’energia del segnale in ogni intervallo di frequenze
infinitesimo df.
viene detta DENSITA’ SPETTRALE DI ENERGIA
2
)( fX2
)( fX
2
)( fX
=xE
Relazione di Parseval:
=( )∫∞
∞−
dttytx *)( ∫∞
∞−
dffYfX )()( *
11 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Funzione di autocorrelazione:
Proprieta’ della TDF (8)
( )=τxr
Dalla relazione di Parseval si ottiene:
( )=τxr
cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione e’ la densita’ spettrale di
energia.
Proprieta’:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )τ
ττ
τττ
τττ
xx
xx
xx
xxx
x
rr
Er
rrtx
rrr
xxr
≥
=
−=
−=
−=
⇒
0
0
)(
*
*
*
5.
e)definizion (dalla 4.
:pari reale e' azioneautocorrell' reale e' Se 3.
)Hermitiana simmetria la vale reale e' di atrasformat (la 2.
1.
( ) ( ) ( )∫∫∞
∞−
∞
∞−
= dfefXdfefXfX fjfj τπτπ 222* ( )[ ] ( ) 2fXrx =⇒ τF
( ) ( )∫∞
∞−
+ dttxtx τ*
12 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Funzione di cross-correlazione:
Proprieta’ della TDF (9)
( )=τxyr
Dalla relazione di Parseval (per y(t) = x(t+τ )) si ottiene:
( )=τxyr
cioe’, la trasformata di Fourier della funzione di cross-correlazione e’ il cross-spettro tra i
segnali x e y (prodotto della trasformata del primo per quella coniugata del secondo).
Proprieta’:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
)()()()(
)()(
*
00
*
*
trrttxt
rrttx
rr
xyr
xyx
yxxy
yxxy
xy
y
y
−=−=
−=
−=
−=
ττ
ττ
ττ
τττ
: Se 4.
e reale e' necorrelazio-cross la reali sonoe Se 3.
2.
1.
( ) ( )∫∞
∞−
+ dttytx *τ
( ) ( )∫∞
∞−
dfefYfX fj τπ2* ( )[ ] ( ) ( )fYfXrxy*
=⇒ τF
13 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasformata di Fourier di segnali periodici (1)
In generale, un segnale periodico y(t) di periodo T0 si puo’ esprimere in funzione del
singolo periodo x(t):
( )∑∞
−∞=
−=n
nTtxty0
)(
( ) ( ) ( ) ( )
−⋅=
−= ∑∑
∞
−∞=
∞
−∞= nn
nTtfXnTttxfY00
*)( δδ FF
La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ una sequenza di impulsi alle
frequenze f=k/T0.
( ) ∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−
kn T
kf
TnTt
00
0
1δδF
∑∞
−∞=
−
=
k T
kf
T
kX
TfY
000
1)( δ⇒
( ) ( ) ( )00
* nTttxnTtx −=− δ
14 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Periodicizzare nei tempi x(t) con periodo T0 equivale a campionare nelle
frequenze X(f) con passo di campionamento 1/T0
La trasformata di Fourier di segnali periodici (2)
La trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) si ottiene a partire dalla
trasformata di Fourier X(f) del singolo periodo x(t):
1. moltiplicando X(f) per un treno di impulsi alle frequenze k/T0
2. scalando il risultato per 1/T0.
( )∑∞
−∞=
−=n
nTtxty0
)( ∑∞
−∞=
−
=
k T
kf
T
kX
TfY
000
1)( δ⇒
15 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Relazione fra serie e trasformata di Fourier di segnali periodici
Cioe’ l’area degli impulsi alle frequenze f=kf0 della trasformata di Fourier Y(f) e’ data
dai campioni Yk della serie di Fourier del segnale y(t).
Inoltre, fra i coefficienti della serie Fourier Yk e la trasformata di Fourier del singolo
periodo X(f) vale la relazione:
Abbiamo visto che la trasformata di Fourier Y(f) del segnale periodico y(t) e’ costituita
da impulsi alle frequenze f=k/T0:
( ) ( )∑∞
−∞=
−=k
kffkfXffY000
)( δ
{ }∑∞
−∞=
⋅=k
ktkfjYty0
2exp)( π
Dallo sviluppo in serie di Fourier di y(t) si ottiene:
( ) ( )∑∞
−∞=
−⋅=k
kkffYfY0
δ⇒
( )000kfkfXfY
k in impulso area==
16 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasformata di Fourier del coseno (2)
La serie di Fourier del coseno ricavata in precedenza e’ costituita da due
campioni di ampiezza 1/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1
)2cos()( tftyo
π=
( ) ( )oofffffY ++−= δδ
2
1
2
1)(
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
kY
k
±≠
±==
1per 0
1per /21
k
kYk
La TDF del coseno si ottiene dalla serie di
Fourier ponendo alle frequenze f=kfo, impulsi
di area pari ai campioni Xk della serie, dove
fo e’ la frequenza fondamentale del segnale
periodico
17 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
0
-0.5
0.5 kY
k
La trasformata di Fourier del seno (2)
±≠
−=+
+=−
=
1per 0
1per 2
1per 2
k
kj
kj
Yk
La serie di Fourier del seno ricavata in precedenza e’ costituita da due
campioni immaginari di ampiezza +j/2 e -j/2 rispettivamente in k= +1 e k= -1
)2(sin)( tftyo
π=
La TDF del seno si ottiene dalla serie di
Fourier ponendo alle frequenze f=kfo impulsi
di area pari ai campioni Xk della serie, dove
fo e’ la frequenza fondamentale del segnale
periodico
( ) ( )ooff
jff
jfY −−+= δδ
22)(
18 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
kY
k
0per
2
2sin
2
1≠= k
k
k
Ykπ
π
1/2
To /2T
o /2
t
Esempio: l’onda quadra a media nulla
Serie di Fourier
Trasformata di Fourier 0per
2
2sin
2
1)( ≠
= ∑
∞
−∞=
kT
kf- δ
k
k
fYok π
π
y(t)
19 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
1
To /2T
o /2
t
Esempio: l’onda quadra a media non nulla (1)
Trasformata di Fourier
y(t)
−= ∑
∞
−∞= ok T
kf
k
k
fY δπ
π
2
2sin
2
1)(
2
2sin
2
1
k
k
Yk
π
π
=Serie di Fourier
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0.2
0
0.2
0.4
0.6
kY
k
20 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Esempio: l’onda quadra a media non nulla (2)
2
2sin
2)( 0
fT
fTT
fXo
o
π
π
=
( )
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−
=
−=
k o
k ooo
oko
T
kf
k
k
T
kf
T
kX
T
T
kffX
TfY
δπ
π
δ
δ
2
2sin
2
1
1
1)(
0
0
To/2
2/To-2/To
0
1/2
0 2/To-2/To
f
f
Trasformata di Fourier del singolo
periodo x(t) {rettangolo di ampiezza
unitaria e durata To/2}
Trasformata di Fourier del segnale
periodico y(t)
21 Fondamenti di Segnali e Trasmissione
ESERCIZI PROPOSTI
1 Dati i segnali
a) x(t)=exp(j2π fo t) b) x(t)=cos(2π f
o t) c) x(t)= δ(t)
e i sistemi LTI con risposta in frequenza
a) H(f)=10exp(-j2πf/ fo) b) H(f)=exp{ - | f / f
o | - j2π f / f
o } c) H(f)=1/(1+j f/f
o )
che espressione hanno i segnali in uscita y(t)?
2 Dato il segnale x(t)= 3cos(π t / To)+5cos(2π t / T
o) che passa attraverso un sistema
LTI con risposta in frequenza H(f)=rect(f To/3), che espressione ha l’uscita y(t)?
3 Sia dato un segnale con Trasformata di Fourier X(f) riportata in figura e un filtro con
risposta in frequenza H(f) riportata in figura. Disegnare la trasformata di Fourier Y(f)
dell’uscita.
H(f) 1
1/2
-fc
fc
X(f)1
-2fc
2fc