tratamento e apresentação de dados experimentais

1

Práticas de Laboratório - M. R. Silva

PRÁTICAS DE LABORATÓRIO

TRATAMENTO E APRESENTAÇÃO DE DADOS

EXPERIMENTAIS

M. Ribeiro da Silva

Instituto Superior TécnicoDepartamento de Física

1997

2


Índice

Introdução 1

1.0 - Tratamento de dados experimentais e erros associados 2

1.1 - Erros das medições 2

1.2 - Distribuição normal dos erros 5

1.2.1 - Erros e média aritmética 5

1.2.2 - Média, média quadrática, erro provável de uma medição 7

1.2.3 - Erro máximo (majorante) de uma medição 8

1.3 - Erros e precisão dos instrumentos de medida 12

2.0 - Registo das observações e apresentação dos dados 13

2.1 - Registos das observações, cálculos e algarismos significativos 13

2.2 - Representação gráfica dos resultados 14

2.2.1 - Normas 15

2.2.2 - Tipos de papel para gráficos 16

2.2.3 - Barras de erro e rectângulo de precisão 17

2.2.4 - Limite do erro de uma recta ajustada por pontos (gráfico) 17

2.2.5 - Ajuste de uma recta a pontos experimentais (analítico) 18

3.0 - Instrumentos de medida 19

3.1 - Nónios lineares e circulares 19

3.2 - Multímetro analógico 21

3.2.1 - Descrição do funcionamento 21

3.2.2 - Controles e precisão de operação 22

3.3 - Multímetro digital 23

3.3.1 - Descrição do funcionamento 23

3.3.2 - Medição de valores eficazes (RMS) 24

3.3.3 - Controles e precisão de operação 25

3.4 - Osciloscópio 26

3.4.1 - Funcionamento do tubo de raios catódicos (CRT) 26

3.4.2 - Sumário das funções, modos de operação e controles do osciloscópio 28

Apêndice - Aspectos matemáticos do cálculo do valor eficaz, RMS 33

3


INTRODUÇÃO

A física, um dos mais importantes ramos do conhecimento humano desenvolveu-se como uma ciência

fundamentalmente ligada à experimentação.

O primeiro passo para o estabelecimento das leis da física é a observação. A observação científica não é no entanto

uma tarefa fácil. Para o esclarecimento das leis de um determinado fenómeno físico é necessário saber distinguir os

seus elementos principais e, se possível, modificar as condições em que se desenvolve o fenómeno isto é, passar da

simples observação para a experiência controlada. Torna-se assim fundamental encontrar características quantitativas

do fenómeno (que possam ser medidas) e estabelecer de que maneira, e com que aparelhos, mediremos estas determinadas

características. Só depois podemos estabelecer leis quantitativas que demonstrem como se modificará um dos parâmetros

medidos em função da variação dos outros parâmetros.

Na sua definição mais abrangente, a experiência é uma parte necessária em qualquer processo do conhecimento

científico que, na generalidade, se pode considerar como dividido em três partes fundamentais:

1. Conhecimento - estudo primário do fenómeno através da observação;

2. Generalização - construção da hipótese que ligará os resultados individuais obtidos na observação, tanto

entre eles com outros resultados e leis já anteriormente conhecidas (na física fundamentalmente quantitativas).

Durante esta parte do processo do conhecimento serão eliminados os factores de interferência de maneira a

salientar o verdadeiramente essencial no fenómeno em estudo. Nesta altura são frequentemente necessários

dados complementares para a obtenção dos quais terão de ser feitas novas observações ou lançadas novas

experiências;

3. Verificação da veracidade da hipótese - experimentação em condições reais, considerando todos os factores

secundários anteriormente eliminados. No caso de a resposta ser positiva esta verificação eleva a hipótese à

categoria de teoria e as relações por ela estabelecidas à categoria de leis.

Será contudo errado considerar que com a verificação da hipótese pela experiência termina o processo do

conhecimento científico de um determinado fenómeno. Passado algum tempo é possível que novas observações, novas

experiências apareçam em contradição com a teoria anteriormente desenvolvida e obriguem a uma revisão do conjunto

dos factos conhecidos, seguindo novos pontos de vista. Este mecanismo possibilita o aparecimento, numa dada fase do

desenvolvimento científico, de uma teoria mais completa que por seu turno será substituída por outra mais avançada e

assim sucessivamente. O processo do conhecimento desenvolve-se continuamente.

Daqui se pode concluir que embora a experiência não seja o único meio ao alcance da investigação científica o seu

papel é decisivo, sobretudo como fonte e critério de veracidade. O experimentador tem por isso uma grande

responsabilidade não só na correcta obtenção dos resultados mas também na própria interpretação da experiência.

O trabalho experimental deverá ser organizado de tal maneira que não só não permita erros como não permita

diferentes interpretações dos resultados obtidos.

Mas a experimentação em física não esgota todas as suas possibilidades no conhecimento científico, pode também

estender a sua influência a outros campos da actividade humana.

O desenvolvimento da física é completamente determinado pelo desenvolvimento das técnicas e tecnologias do seu

tempo mas o contrário também é verdadeiro: o desenvolvimento de técnicas e tecnologias avançadas, por sua vez, é só

possível numa base de desenvolvimento das ciências exactas e, por conseguinte, da física. Efectivamente, toda uma

série de tecnologias avançadas foram criadas em resultado do desenvolvimento de diferentes domínios da física como,

por exemplo, a energia atómica, o laser e a microelectrónica. Neste processo da penetração da física na tecnologia à

experimentação está atribuído o papel de árbitro ao possibilitar a verificação, em condições reais, da aplicabilidade das

teorias a casos concretos.

Convêm ainda salientar que a experimentação física também têm actualmente uma importância fundamental em

muitas áreas mistas das ciências da natureza como a química, a biologia, medicina, electrónica e ciência dos materiais.

4


1.0 TRATAMENTO DE DADOS EXPERIMENTAIS E ERROS ASSOCIADOS

No início de um curso de engenharia os trabalhos práticos de física tem uma finalidade dupla: primeiro, dar ao

estudante a possibilidade de manipular aparelhos e instalações básicas de um laboratório enquanto adquire conhecimentos

básicos de medições em física; segundo, dar a possibilidade de um conhecimento mais profundo e ao mesmo tempo

prático de certos fenómenos e leis da natureza expostos nos cursos teóricos. Os trabalhos do segundo tipo, embora

tenham uma componente de medição, serão mais dedicados à discussão e estudo dos fenómenos físicos envolvidos.

Medir uma grandeza qualquer significa determinar quantas vezes uma grandeza semelhante, a unidade de medida,

"cabe" nela. A medição directa de uma determinada grandeza em física é relativamente rara (um comprimento com

uma régua ou uma tensão com um voltímetro, p.e.). Na grande maioria dos casos não é a grandeza a determinar que

será directamente medida mas sim um conjunto de outras grandezas com ela relacionadas por relações e fórmulas

conhecidas, derivadas das leis físicas do fenómeno estudado. A aplicação a essas fórmulas dos valores medidos permitirá

então calcular o valor da grandeza a determinar. Por exemplo, a aceleração da força da gravidade poderá ser determinada

através de uma formula onde figurem o comprimento de um pêndulo e período de oscilação a partir das conhecidas

fórmulas do pêndulo; a velocidade da luz poderá ser determinada pela diferença de fase entre dois raios laser, o emitido

e o reflectido.

1.1 ERROS DAS MEDIÇÕES

Os aparelhos de medida, por mais sofisticados que sejam, nunca terão uma precisão absoluta. Por outro lado os

nossos órgãos dos sentidos são imperfeitos e as suas capacidades variam de pessoa para pessoa. Estes dois factores

combinados levam a que todas as medições só poderão ser feitas com um certo grau finito de precisão. Por isso os

resultados das medições fornecem-nos não o verdadeiro valor da grandeza a medir, mas somente um valor mais ou

menos aproximado.

Uma boa medida é aquela em que se atinge a maior precisão permitida pelo aparelho ou instalação de medida

utilizados. A precisão duma medida depende dos instrumentos utilizados e dos próprios métodos de medição e, nestas

condições tentar ultrapassar este limite de precisão seria um gasto de tempo verdadeiramente inútil. Num bom laboratório

de física não é difícil atingir precisões da ordem dos 0,1%, mas já nas técnicas de engenharia são aceites precisões da

ordem de 1-4 % para muitos trabalhos. Em alguns casos pode ser obtida uma precisão muito mais elevada: ao pesar um

corpo com uma massa de cerca de 200 gr numa boa balança de laboratório é corrente atingir-se um erro de 0,1 mg, isto

é, uma precisão de 0,00005%. Noutros casos 5% é já um bom resultado, por exemplo medir uma temperatura de um

líquido que se encontra a 10∞C com um vulgar termómetro de álcool (valor da menor divisão da escala = 0,5∞C).

Daqui podemos concluir que mesmo antes de iniciar uma medição é conveniente identificar os limites de precisão

que poderão ser obtidos com os instrumentos utilizados.

Se ao longo de uma experiência for necessário medir grandezas diferentes com aparelhos de medida de níveis de

precisão diferentes então a precisão final pode ser limitada pelos valores obtidos com o aparelho de menor precisão.

Por exemplo, em medições calorimétricas a determinação da massa de água e do calorímetro pode ser feita por pesagem

com uma precisão de ª 0,0001%. Contudo, neste caso, podemo-nos limitar a uma pesagem muito menos precisa (por

exemplo 0,1%) uma vez que a medição da temperatura do calorímetro só poderá ser feita com uma precisão da ordem

de 1 a 2%.

Uma maneira de aumentar a precisão do resultado final será efectuar as medições físicas não uma vez, mas várias

vezes para as mesmas condições experimentais. Com efeito, nas medições e leituras cometemos sempre erros, mais ou

menos importantes. Estes erros, segundo a sua origem, são classificados em dois grupos: os erros sistemáticos e os

erros aleatórios.

Erros sistemáticos - são o resultado de causas permanentes como o estado deficiente ou má calibragem dos aparelhos

de medida, incorrecção do próprio método de medida ou falhas regulares no processo de observação por parte do

próprio experimentador. Regra geral dão sempre o mesmo resultado e é evidente que, sem mudar de método ou de

aparelho, o aumento do número de observações por um mesmo observador não conduz à diminuição destes erros. É

5


possível evitá-los (ou pelo menos diminuir a sua influência) através de uma aproximação crítica do método de medida,

da verificação do bom funcionamento dos aparelhos de medida e do cumprimento rigoroso das regras de execução dos

trabalhos.

Erros aleatórios - acidentais, impossíveis de prever, podem ser devidos quer à imperfeição dos nossos órgãos dos

sentidos (imprecisão das leituras que involuntariamente o experimentador possa introduzir no trabalho) quer a flutuações

de estabilidade no funcionamento dos próprios aparelhos de medida.

Os erros aleatórios obedecem às leis da probabilidade. Isto significa que se numa qualquer medição o resultado

obtido foi superior ao verdadeiro valor então numa qualquer medição seguinte teremos a mesma probabilidade de obter

um resultado inferior ao verdadeiro. É evidente que neste caso a repetição da mesma medição diminui a influência dos

erros aleatórios pois não existe argumento para que se possa considerar o desvio do valor verdadeiro mais provável

para um lado do que para outro. Assim a média aritmética de um grande número de resultados é sem dúvida muito mais

próxima do verdadeiro valor da grandeza medida do que a medição única.

A teoria das probabilidades permite calcular o erro provável do resultado médio (média) através dos desvios de

medições individuais em relação ao valor médio.

Apresentamos em seguida um resumo de regras úteis para a determinação da precisão do resultado obtidos (erro

provável).

Sejam por exemplo N1, N

2,…, N

k os resultados de k - medições individuais de uma determinada grandeza. Então o

valor da média aritmética, N,

N

N N N

kk=

+ + +1 2 L(1.1)

representa o valor mais próximo do verdadeiro valor da grandeza medida. Os desvios DNi de cada medição individual

em relação a este valor médio, isto é, as grandezas

N-N1 = DN

1 , N-N

2 = DN

2 , … ,

definem os erros absolutos de cada medições individual, em relação ao valor médio. Estes erros podem ter sinais

diferentes mas, de momento, só nos interessam os seus valores numéricos absolutos.

A média aritmética dos valores numéricos de erros individuais - |DN| - tem o nome de erro médio absoluto de uma

medição isolada,

D N

N N N

kk=

+ + +1 2 L(1.2)

As relações DN1/N

1, DN

2/N

2, … são definidas como o erro relativo de uma medição isolada (os erros relativos são

frequentemente expressos em percentagem), e finalmente a razão entre o erro médio absoluto DN e o valor médio da

grandeza medida chama-se erro médio relativo da medição - E,

DN / N = ± E ou ± E . 100 (%) (1.3)

Como já foi referido, os resultados finais de um trabalho experimental só raramente se obtém através da medição

directa da grandeza física a determinar. Na grande maioria dos casos este valor final é determinado através de uma

função em que entram as várias grandezas físicas medidas. Nesta situação os diferentes erros individuais “actuam entre

si”. Estamos na situação de “propagação de erros” e o erro final pode ser de determinação complexa.

Por exemplo, na determinação da gravidade terrestre pelo método das oscilações do pêndulo mede-se o período das

oscilações simples, T, e o comprimento do fio de suspensão, l, sendo o valor da aceleração g determinado como uma

função destes dois argumentos, combinados na fórmula

gl

T= p 2

2

.

O erro de g será uma combinação não evidente e nem simples dos erros de p, l e T. Generalizando, vemos assim a

necessidade de estabelecer regras que nos auxiliem na determinação dos erros a atribuir a funções elementares de uma

variável.

6


Determinação dos erros absoluto e relativo de funções de uma variável (casos particulares):

1.- Função exponencial

Suponhamos a função N = An, onde A representa o valor medido e n - um número exacto (inteiro ou real) e designemos

por DA o erro absoluto da grandeza A. Então o erro absoluto da grandeza medida N será

DN = (A + D A)n - An

Desenvolvendo a expressão e desprezando os termos DA com expoente igual ou superior a dois (uma vez que na

generalidade DA << A) obtemos a seguinte expressão para o erro absoluto de N

DN = n . An-1D A (1.4)

O erro relativo E da grandeza N será expresso por

EN

Nn

A

A= =D D

(1.5)

isto é, o erro relativo de uma função exponencial será igual ao erro relativo do argumento (valor medido) multiplicado

pelo expoente da função.

2.- Funções trigonométricas

Consideremos a expressão N = sin a , em que a representa um valor medido de uma grandeza física. Sendo medido

o valor do ângulo a está sujeito a erro e então teremos

N + DN = sin (a + Da) (1.6)

onde Da representa o erro absoluto da medida do ângulo a. Desenvolvendo em série a expressão e considerando como

anteriormente que o erro, Da, é pequeno temos cos Da ª 1 e sin Da ª Da e, substituindo na expressão (1.6) obtemos

N + DN = sin a + cos a . Da

e logo DN = cos a . Da (erro absoluto) (1.7)

e ainda E = DN/N = ctg a . a (erro relativo) (1.8)

De maneira análoga é possível calcular os erros absoluto e relativo para as outras funções trigonométricas.

3. - Funções compostas

Vejamos agora o caso de uma função qualquer. Na generalidade, os erros das medições são suficientemente pequenos

quando comparados com as grandezas medidas e por este facto podem ser desprezados as suas potências de ordem

superior à unidade (quadrados, cubos, etc.). Esta simplificação permite utilizar o cálculo diferencial na determinação

dos erros de medição.

Por exemplo, seja o valor N resultado da medição de uma única grandeza x relacionada com N por uma relação

funcional:

N = f(x) (1.9)

Suponhamos também que o erro médio absoluto da medição de x é ±dx ; este erro produz um erro correspondente de

± N na grandeza a determinar. Assim

N ± dN = f(x ± dx) (2.10)

Decompondo em série de Taylor a expressão (10) obtemos

N dN f x dx

df x

dx

dx d f x

dx± = ( ) ± ( ) ± ( ) ◊ ( ) ±

2 2

22!L

7


e desprezando os termos em dx com expoente superior à unidade simplificamos

N dN f x dxdf x

dx± = ( ) ± ( )

Tendo em conta a expressão (8) obteremos para o valor do erro absoluto:

dN dxdf x

dx= ± ( )

(1.11)

Generalizando: o erro absoluto duma função (composta) é igual ao erro do argumento multiplicado pela derivada

dessa mesma função. O erro relativo dessa mesma medição será determinado pela expressão

E = ± dN/N ou ainda Edx

f x

df x

dx= ± ◊ ( )

( )(1.12)

Adiante estudaremos o caso mais geral de funções compostas por várias variáveis independentes f(xi), com i =1,2,...,n .

1.2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL DOS ERROS

1.2.1 ERROS E MÉDIA ARITMÉTICA

Ao considerar os erros acidentais, inevitáveis na prática laboratorial, como um caso particular dos acontecimentos

aleatórios, Gauss formulou a lei da distribuição normal dos erros partindo dos postulados:

1º - em observações de igual confiança o valor mais provável é a média aritmética;

2º - a probabilidade de se cometer um erro x é função f (x) desse mesmo erro;

3º - a probabilidade de se cometer um erro muito grande é muito pequena e o sinais positivo ou negativo do erro

são igualmente prováveis.

4º - a probabilidade de se cometer um erro entre x e (x+dx) é dada pela expressão f (x).dx;Assim a quantidade de erros de uma dada grandeza deverá ser uma função decrescente e simétrica do valor do erro

aleatório:

D D Dn n f x x nh

nxh x= ◊ ◊ = ◊- ◊( ) exp

2 2

(1.13)

onde x - é valor do erro, Dn = (n . f (x) . Dx) - quantidade de medições para as quais o valor do erro está contido no

intervalo {[x, x+dx} e n - quantidade global de experiências realizadas. A curva y = f (x) é designada por curva de

Gauss ou curva da distribuição normal dos erros. O parâmetro "h" é definido como a "medida da precisão". A curva de

Gauss é geralmente normalizada de modo a que se cumpra a condição

f x d x( ) ( )-•

+•

Ú = 1 (1.14)

Na Fig.1.1 estão representadas curvas de Gauss para diferentes valores do parâmetro h. Quanto maior for a precisão

da medida mais rapidamente decresce o valor da função com o crescimento de x (ou, em termos práticos, tanto menor

é o número de medidas com grandes erros)

Suponhamos que foram feitas n medições de uma certa grandeza A0 e que foram obtidos os valores N

1, N

2, N

3, … .

Então o erro das medições individuais será

x1 = A

0 - N

1

x2 = A

0 - N

2(1.15)

… … … …

A probabilidade de aparecimento de erros com um valor compreendido entre x1 e (x

1+dx

1) é igual à relação entre o

número de medidas efectuadas com esse mesmo erro e a quantidade total de medidas, isto é,

P y dxh

e dxh x1 1 1 1

212

= = ◊ ◊-

p.

(1.14 )

8


A teoria das probabilidades permite afirmar que a probabilidade de aparecimento simultâneo de acontecimentos

independentes é igual ao produto das probabilidades destes acontecimentos. Assim a probabilidade de aparecimento de

um conjunto de medidas com as probabilidades x1, x

2, x

3, … pode ser escrita sob a forma

P

he dx dx dx dx

nh x x x x

nn= Ê

ËÁˆ¯̃

◊ ◊ ◊ ◊ ◊- + + + +( )p

212

22

22 2

1 2 3L

L (1.15)

O valor mais provável da grandeza medida (identificado pela letra A) pode ser determinado a partir das relações

anteriores. Não é demais salientar que este valor não é igual ao valor exacto A0, mas sim representa o valor mais

provável (ou seja o mais próximo do verdadeiro) calculado através dos resultados das medições. A este valor A corresponde

o valor máximo da probabilidade P e por conseguinte o menor valor da soma

x x x x xn i

i

n

12

22

32 2 2

1

+ + + + ==

ÂL

Para a determinar o valor de A exprimimos o somatório de xi2 através de A e n

1, n

2, …, tendo em conta a equação

(1.15) e substituindo ao mesmo tempo o valor desconhecido de A0 por A. Obtemos assim

z A x A Ni ii

n

( ) = = -( )=

ÂÂ 2

1

2

(1.16 )

e o valor de A será escolhido de maneira a obtermos um mínimo para a função z(A), o que acontece quando se verifica

a condição

∂∂

= ◊ -( ) ==

Âz

AA Ni

i

n

2 02

1

e daqui AN

ni= Â (1.16a)

A teoria de Gauss permite assim confirmar o postulado da média aritmética: “o valor mais provável da grandeza A0,

calculado a partir de séries de valores medidos N1, N

2, N

3, … é a média aritmética destes valores”.

E ainda: “o valor médio aritmético de uma grandeza distingue-se dos outros tipos de valores médios pelo facto de ser

mínima a soma dos quadrados dos seus erros”.

1.2.2 MÉDIA, MÉDIA QUADRÁTICA, ERRO PROVÁVEL DE UMA MEDIÇÃO

Na teoria gaussiana do erro a precisão de uma medida é completamente determinada pela "medida da precisão, h".

Este valor pode ser calculado se for construida a curva y = f (x). Contudo na teoria dos erros é normal caracterizar a

precisão de uma medida através de uma das três seguintes grandezas: erro médio r, erro médio quadrático (desvio

padrão) s e erro provável da medição h. Evidentemente cada uma destas grandezas pode ser expressa através de h.

Por definição o erro médio r é igual a (ver Fig.1.2)

r = ± =Â x

n

ii

n

1

e, utilizando a expressão (1.14) obtemos imediatamente

rp p

= ◊ ◊ =◊

•- ◊Ú2

1

0

2 2x

he dx

hh x

(1.17)

O erro médio quadrático ou desvio padrão - s é definido pela expressão

sp

r= = ◊ ◊ =◊

= ◊Â Ú•

- ◊x

nx

he dx

hh x

22

0

21

21 25

2 2, (1.18)

Finalmente o erro provável (h) de uma medida individual é definido como o valor que divide n erros aleatórios de

n medições em duas partes iguais: uma metade das medições tem erros menores que h e a outra metade - maiores que

h. Isto significa que h é igual à abcissa da curva de Gauss para a qual a área delimitada pela curva e compreendida entre

os limites ± h é igual a metade da área total

9


he dxh x

h

h

p ◊ =- ◊

-

+

Ú2 2 1

2 e daqui h s= =0 6745

1

20 6745, ,

h(1.19)

Chamamos a atenção para o facto de nas formulas (1.15) xi aparecer como a diferença entre a i-nésima medida e o

valor verdadeiro da grandeza a medir. No entanto o valor calculado da diferença é-lhe sempre próximo mas nunca igual

pois representa a diferença entre um valor médio A e o valor medido da grandeza. Este facto leva a que no denominador

da fórmula (1.18) n seja substituído por (n-1) e assim

s = ±-

Â x

ni2

1(1.20)

1.2.3 ERRO MÁXIMO (MAJORANTE) DE UMA MEDIÇÃO

Como alternativa à determinação do erro pelos processos anteriores podemos ainda utilizar o conceito de erro

máximo ou majorante no caso de funções de mais de uma variável. Para isso é calculado o erro máximo na medição da

grandeza N(x,y,z) para o caso de todos os erros na determinação dos valores de x, y e z modificarem o valor de N num

mesmo sentido.

Exemplos :

1.- Erro máximo absoluto e relativo para os valores de uma soma (ou diferença) de duas grandezas medidas N = A ± B .

Suponhamos que o erro absoluto da grandeza A é DA e que o erro absoluto da grandeza B é DB . Então

N ± DN = (A ± DA) ± (B ± DB) . (1.21)

O sinal dos erros DA e DB pode ser qualquer. Analisemos o caso mais desfavorável, quando os erros de medição sejam

os maiores. No cálculo da soma de duas grandezas medidas, A e B, o erro será máximo (majorado) se o erro da grandeza

A e o erro da grandeza B forem do mesmo sinal; no caso da diferença das grandezas A e B o erro será máximo se o sinal

dos seus erros for de sentido contrário. Em ambos os casos o erro máximo absoluto DN da grandeza N será igual à soma

dos erros absolutos das medidas das grandezas A e B :

± DN = ± (DA + DB) (1.22)

Os erros relativos (E) das medições serão expressos através das fórmulas:

para a soma EN

N

A B

A B= = +

+D D D

(1.23)

para a diferença EA B

A B= +

-D D

(1.24)

Assim num cálculo em que o resultado seja dependente da diferença de duas grandezas medidas o erro relativo da

medição será tanto maior quanto mais próximo estiverem os valores das grandezas medidas.

2.- Erro máximo absoluto e erro relativo para os valores do produto (ou quociente) de duas grandezas N = A.B (ou

N = A/B). Se A for medido com o erro ± DA e B com o erro ± DB então

N ± DN = (A ± DA).(B ± DB) = A.B ± A.DB ± B.DA ± DA.DB

Uma vez que DA e DB são pequenos em relação aos valores de A e B o produto DA.DB pode ser desprezado como

grandeza de 2ª ordem, [(DA.DB) « A,B] e assim

DN = A.DB + B.DA (1.25).

Como anteriormente, devemos ter em conta o caso mais desfavorável, isto é, quando ambos os erros tiverem o

mesmo sinal. Deste modo o erro máximo absoluto de um produto é igual à soma do produto do erro absoluto do

10


primeiro multiplicador pelo segundo multiplicador e do erro do segundo multiplicador pelo primeiro. Daqui obtemos

para o erro relativo

EN

N

A B B A

A B

A

A

B

B= = ◊ + ◊

◊= +D D D D D

(1.26)

O erro relativo do produto é igual à soma dos erros relativos dos multiplicadores.

Analogamente, se N = A/B então

N NA A

B B

A A B B

B B

AB B A A B

B± = ±

±= ±( ) ◊ ±( )

- ( )= ± ±D D

DD D

DD D

2 2 2 (1.27)

Novamente são desprezados os termos de ordem superior dos erros (quadrados e produtos) e consideramos o caso

mais desfavorável isto é, quando o erro do numerador e o erro do denominador tem sinais contrários. Assim

D D DN

B A A B

B= +

2 (1.28)

O erro máximo absoluto de um quociente é igual à soma dos produtos do erro absoluto do numerador pelo

denominador e do erro absoluto do denominador pelo numerador, dividida pelo quadrado do denominador. O erro

relativo de um quociente é igual à soma dos erros relativos do numerador e do denominador. Efectivamente

EN

N

B

A

A B B A

B

A

A

B

B= = ◊ ◊ + ◊ = +D D D D D

2 (1.29)

NOTAR BEM - É necessário ter sempre em conta que a utilização automática destas regras pode conduzir a erros

de cálculo nos casos em que a grandeza medida entra mais do que uma vez na fórmula de cálculo

do resultado. Por exemplo, consideremos a expressão N=(A+B)/B à qual podem ser automatica-

mente aplicadas as fórmulas anteriores, considerando o quociente da divisão de duas grandezas:

C = (A+B) e B.

Então D D DN

B C C B

B= +

2 (1.30)

mas como DC = DA+DB

teremos assim D D D D D DN

B A B A B B

B

B A A B B

B= ◊ +( ) + +( ) ◊ = + +( ) ◊

2 2

2(1.31)

Por outro lado, é evidente que

DN = (B.DA+A.DB) /B2

pois N pode ser representado por N=(A/B) +1.

O erro introduzido pelo primeiro processo de cálculo é devido ao facto de termos considerado diferentes o sinal do

erro absoluto da medição que é repetido no numerador e no denominador da fórmula de B, analogamente ao que é feito

para o cálculo do erro do quociente de duas grandezas independentes. Neste caso é evidente que o erro absoluto DB no

denominador e no numerador teria de ser considerado com o mesmo sinal.

Assim, no caso de repetição de algumas grandezas nas fórmulas é necessário calcular o erro máximo médio da

medição em cada caso individual.

Como método geral de cálculo podemos utilizar a fórmula geral de propagação de erros (3), derivado do cálculo

diferencial, e que conduz à seguinte fórmula para o erro máximo:

dN dxN

xdx

N

xdx

N

xnn

= ± ◊ ∂∂

+ ◊ ∂∂

+ + ◊ ∂∂

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜1

12

2

L (1.32)

11


D DN xN

xiii

n

= ◊ ∂∂

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜

=Â

1(1.33)

Ao calcular o erro máximo é necessário ter em conta que, se a grandeza a definir for determinada por medidas de

uma série de outras grandezas então, o erro calculado fica na prática fortemente majorado pois a probabilidade que

erros de todas as grandezas medidas tenham um sinal tal que torne máximo o erro do resultado é tanto menor, quanto

maior for a quantidade de grandezas medidas. Por outro lado, se tanto a quantidade de grandezas medidas como o

número de medições forem muito pequenas então a utilização das fórmulas baseadas na distribuição de Gauss dará

uma precisão do resultado demasiado optimista. Nesta situação é usual a utilização de fórmulas derivadas de outras

distribuições estatísticas (Fisher-Student p.e.) de derivação mais complexa.

Tabela 1 - Compilação de fórmulas de erros e valores médios de medições

Valor médio de uma grandeza N

N N N N

nn

01 2 3=

+ + + L

Erro médio absoluto de uma medição rn

ii

n

N

N N

n= =

-=

ÂD

01

Erro relativo de uma medida isolada EN

N= D

Erro médio quadrático de uma medição s n

ii

n

N

N N

n= =

-( )=

ÂD

02

1

Erro provável de uma medição hn

ii

n

N N

n= ◊

-( )=

Â0 6745

02

1,relação entre s e r : sn = 1,25 rh para n > 30

Erro quadrático médio da média aritmética s sN

ii

n

n

N N

n n0

02

1

1= =

-( )-( )

=Â

Erro absoluto de uma função de uma só variável dN dxdf x

dx= ± ◊ ( )

Erro relativo de uma função de uma só variável EdN

N

dx

f x

df x

dx= =

( )◊ ( )

Erro médio quadrático de uma função de várias

s s s= ∂∂

◊ÊËÁ

ˆ¯̃

+ ∂∂

◊ÊËÁ

ˆ¯̃

+ f

x

f

yx y

2 2

Lvariáveis independentes

Erro máximo de uma função de várias variáveis

DN

f

xdx

f

ydymax = ∂

∂+ ∂∂

+ Lindependentes

Coeficiente de fiabilidade para r, s e h no caso de aaa

r

s

h

= 0,57

= 0,50

= 0,68

Ï

ÌÔ

ÓÔum grande número de medições :

12


Tabela 2 - Fórmulas para o erro absoluto e relativo para diferentes funções

Operação matemática Erro

absoluto relativo (%)

Funções de uma só variável

N An= ± - nA An 1D nA

A◊ D

N An= ±-

1

11

nA An D

1

n

A

A◊ D

N A= ( )sin ± ( ) ◊ cos A AD ctg A A ( ) ◊D

N A= ( )cos ± ( ) ◊ sin A AD tg A A ( ) ◊D

N tg A= ( ) ±( )

cos

DA

A2

2

2

◊( )DA

Asin

N ctg A= ( ) ±( )

sin

DA

A2

2

2

◊( )DA

Asin

Funções de mais de uma variável - erro máximo

N = A + B + C + ... ± + + +( ) D D DA B C L

D D DA B C

A B C

+ + ++ + +

L

L

N = A - B ± +( ) D DA BD DA B

A B

+-

N = A . B ± +( ) B A A BD DD DA

A

B

B+Ê

Ëˆ¯

N = A . B . C ± + +( ) BC A AC B AB CD D DD D DA

A

B

B

C

C+ +Ê

Ëˆ¯

NA

B= ± +

A B B A

B

D D2

D DA

A

B

B+Ê

Ëˆ¯

Funções de mais de uma variável - erro médio quadrático

N = A + B + C + ... ± + + + s s sA B C

2 2 2 L

s s sA B C

A B C

2 2 2+ + ++ + +

L

L

N = A - B ± + s sA B2 2 s sA B

A B

2 2+-

N = A . B . C ± ( ) + ( ) + ( ) BC AC ABA B Cs s s2 2 2 s s sA B C

A B C

2

2

2

2

2

2+ +

NA

B= ± + Ê

Ëˆ¯ ◊

ssA

BB

A

B

2

2 2

22 s sA B

A B

2

2

2

2+

13


1.3 ERRO DAS MEDIÇÕES E PRECISÃO DOS INSTRUMENTOS DE MEDIDA

A repetição de medições para a eliminação dos erros aleatórios só tem sentido se os erros aleatórios de medições

individuais forem superiores ao erro introduzido pelo próprio aparelho de medida.

A precisão do aparelho de medida (se a sua utilização não introduzir novos erros) é basicamente determinada pelas

características da sua construção e pela graduação da escala. Como regra geral, a precisão do mecanismo do aparelho

de medida é inferior à precisão da leitura feitas nas suas escalas. A precisão do aparelho de medida pode tanto ser

indicada no próprio aparelho como nas instrucções técnicas que o acompanham.

Alguns exemplos:

a) Ao medir um comprimento com uma régua não é difícil avaliar à vista alguns décimos de milímetro mas uma

régua vulgar nunca é construida com uma precisão tão elevada. Mesmo que repetíssemos as medições muitas vezes a

precisão do resultado obtido não pode ser melhor que a precisão com que foi fabricada a régua. Por outro lado, mesmo

que as divisões correspondentes aos milímetros fossem gravadas com extrema precisão (digamos 0,001 mm) este facto

não se reflectiria na medição efectuada pelo observador. Neste caso o factor limitativo seria a acuidade visual do

experimentador e a precisão da medição com a régua será determinada pela precisão de leitura visual que, como regra,

não ultrapassa no melhor dos casos 0,1 do valor da menor divisão da escala.

b) Ao medir uma resistência de algumas centenas de Ohms com um ohmímetro digital de precisão (resolução de

0,01 W, p.e.) as diferenças entre os valores de cada medição podem atingir alguns Ohms devido aos erros aleatórios das

medições (maus contactos das pontas de prova, flutuações da corrente de prova, etc.). Neste caso a medição deverá ser

repetida o número de vezes suficiente de maneira a permitir que o erro médio absoluto se aproxime do limite de

precisão do aparelho de medida (0,01 W).

Como regra, ao efectuar as medições deverá fazer-se o possível para que a precisão das medições se aproxime da

precisão nominal do aparelho de medida. Se medições sucessivas indicarem, ou o mesmo valor ou valores tão pouco

diferentes que a sua dispersão seja inferior à precisão nominal do aparelho de medida, então no cálculo da precisão do

resultado em lugar do erro absoluto dos diferentes valores medidos devemos escrever o valor da precisão do aparelho

de medida.

2 - REGISTO DAS OBSERVAÇÕES E APRESENTAÇÃO DE DADOS

2.1 - REGISTO DAS OBSERVAÇÕES, CÁLCULOS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

De uma maneira geral, no registo de observações (relatório) devem ser inscritos:

- a indicação da medida ou experiência a efectuar e o método e/ou fórmulas necessárias;

- o(s) nome(s) do(s) operador(es) ( ou alunos) que realizam a experiência e a data;

- se conveniente, a lista de aparelhos de medida que terão de ser empregues com a indicação da sua precisão de

medida nominal;

- se a experiência o permitir devem ser intoduzidos no relatório esquemas da montagem e/ou esquemas

simplificados das ligações eléctricas necessárias às medições;

- as observações (medidas), que devem ser expostas de forma clara e não ambígua, com as respectivas unidades

bem identificadas. Sempre que possível as medições devem ser expostas sob a forma de tabelas que incluirão

as unidades de medida, factores de escala e precisão do aparelho ou método com que foram obtidas.

Antes de começar os cálculos convém reflectir sobre a sua estrutura e que tipo de resultados parciais, se necessário,

será fundamental conservar. Em geral, convém dispor os resultados parciais e finais sob a forma de tabelas de modo a

facilitar a sua inspecção e verificação posterior mesmo por pessoas que não tenham directamente realizado o trabalho.

Devido à capacidade de cálculo das máquinas de calcular actuais a quantidade de dígitos disponíveis depois de

qualquer cálculo pode facilmente atingir 9 unidades ou mais. É óbvio que na grande maioria dos cálculos em engenharia,

e mesmo na física, nem todos este dígitos tem significado real. Assim, é necessário estabelecer critérios e regras que

14


permitam a eliminação dos algarismos não significativos, que só vão dificultar a leitura dos resultados da experiência

e compreensão dos cálculos.

De uma maneira geral podemos considerar 3 casos na aproximação dos resultados obtidos nos cálculos:

1º - basta conhecer a ordem de grandeza dos resultados (isto significa uma aproximação de 50 - 100%). Esta situação

é típica daqueles casos de engenharia em que se tomam, por exemplo, factores de segurança duas, três, ou mais

vezes maiores que o valor calculado.

2º - basta conhecer o resultado com uma aproximação de 1 - 10%. Neste grupo está incluída a grande maioria dos

cálculos técnicos e mesmo físicos.

3º - cálculos de precisão 0,5% ou mesmo superior. Neste caso estão normalmente incluídas as medidas efectuadas

num bom laboratório de física e medidas de calibragem de instrumentação, típicas em laboratórios de controlo de

qualidade e certificação.

Mas atenção, os resultados de uma medida tem fraco valor prático enquanto não soubermos qual o erro que lhe está

associado.

Será também o valor do erro, calculado ou esperado, que nos permitirá determinar, na generalidade, a quantidade de

algarismos significativos a apresentar num resultado. É claro que será inútil apresentar um resultado com 9 algarismos

se a precisão for de 1%, valor que só garante 3 algarismos significativos.

São geralmente aceites dois critérios para a determinação dos algarismos significativos:

1º - o resultado numérico é dado com 1 algarismo significativo a mais além dos exactos, ou seja o penúltimo algarismo

é correcto mas o último pode estar errado em várias unidades. Por exemplo, o resultado 137,43 significa que o

valor numérico exacto está entre 137,4 e 137,5. Este método é usado em física e, de uma maneira geral, nas

ciências exactas.

2º - o resultado é dado com tantos algarismos significativos quantos o rigor do cálculo permite, isto é, o último algarismo

significativo é provavelmente correcto com a aproximação de 1/2 unidade (arredondamento). Neste caso, os

cálculos tem de ser levados a mais uma casa decimal além daquela esperada para o resultado. Por exemplo, o

resultado 86 significa um valor entre 85,5 e 86,5 e o resultado 86,0 significa um valor entre 85,95 e 86,05.

Notar bem a importância dos zeros à direita que podem representar valores exactos ou, pelo menos, significativos. Este

método é geralmente usado em engenharia.

Ao escrever números de valor muito elevado ou muito baixo mas de precisão média ou reduzida convém utilizar

uma representação com potências de 10, por exemplo 25 600 00 deverá escrever-se 256.105 ou melhor ainda 2,56.107.

Por último, nos arredondamentos dos resultados numéricos deverá usar-se a regra do arredondamento para o dígito

imediatamente inferior ou superior conforme o valor a arredondar seja inferior a 5 ou igual ou superior a 5,

respectivamente p.e. 86,93 arredonda para 86,9 e 86,96 arredonda para 87,0.

Regras práticas para a fixação dos algarismos significativos:

a) quando se apresenta um erro provável duma medição ou cálculo basta conservar um algarismo significativo ou no

máximo dois, depois do arredondamento (p.e., o mesmo erro pode ser representado por ±0,3 ou 0,28).

b) nos valores médios calculados ou nos valores finais encontrados conservam-se tantos algarismos significativos

quantos os correspondentes ao último algarismo significativo do erro. Assim se a máquina de calcular apresentar o

valor 225,638427 e o erro for ± 0,28 deve-se apresentar apenas o valor (225,64 ± 0,28) como resultado.

c) nos cálculos efectuados à mão deve-se conservar apenas o número de algarismos significativos suficiente para

apresentar o resultado com a aproximação de uma unidade no último algarismo significativo. Por exemplo, para

somar (3,30±0,25) com (74,2873±0,0017) tomaremos os valores 3,30 e 74,30; o erro final será calculado

separadamente, com o auxílio de regras próprias (ver § 2.?).

Nas multiplicações e divisões manuais, como regra prática podemos aceitar que, se a precisão esperada for:

10% ou mais se tome 3 algarismos significativos

entre 10% e 1% se tome 4 algarismos significativos

entre 1% e 0,1% se tome 5 algarismos significativos

etc.

15


d) nos cálculos encadeados feitos com máquina de calcular não é necessário proceder a arredondamentos entre cada

cálculo, e mesmo entre cálculos diferentes, desde que os valores intermédios sejam conservados em memória. No

entanto, se tivermos de passar para o papel algum resultado intermédio, as convenções anteriores são para seguir.

NOTA - No caso de termos de indicar unidades de medida para um valor sujeito a erro devemos adoptar a seguinte

convenção de escrita:

( 5,34 ± 0,02 ) cm/s ou, no caso de potências, ( 5,34 ± 0,02 ).10-2 m/s

isto é, no caso de existirem as unidades abrangem ambos os valores, o calculado e o respectivo erro.

2.2 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS RESULTADOS

A experiência foi feita, registaram-se valores de grandezas físicas, mas nada disto terá valor se não conseguirmos

"mostrar" o que aconteceu, se não conseguirmos tirar conclusões daquilo que medimos. Normalmente as conclusões,

sejam elas de natureza quantitativa ou somente qualitativa, implicam o estabelecimento de relações entre as variações

de uma ou mais grandezas - a "causa" - e a correspondente modificação de um valor, medido ou calculado, - o "efeito".

Esta relação pode e é muitas vezes apresentada sob a forma de tabela numérica de duas (ou mais) variáveis: y - o

"efeito" função de x - a "causa".

Uma boa representação gráfica dos valores experimentais (resultado de uma medição directa ou do cálculo) não só

evidencia os aspectos particulares da dependência das grandezas permitindo uma análise rápida (e relativamente precisa)

como, em muitos casos, é a melhor hipótese que se apresenta ao investigador para solucionar o problema.

Algumas das vantagens de um gráfico :

- apresenta conjuntos extensos de dados de uma maneira compacta, num só "golpe de vista";

- mostra rápida e claramente a maior ou menor concordância dos resultados com o esperado e sugere ao mesmo

tempo o tipo de função que melhor representa o fenómeno físico;

- é um método rápido e fácil para obtenção de resultados intermédios por interpolação entre dois pontos medidos

ou de resultados fora do domínio medido, por extrapolação.

2.2.1- NORMAS PARA GRÁFICOS

Para ser efectivo um gráfico tem de ser funcional, objectivo e estritamente adaptado às dimensões e características

do fenómeno a descrever. Além disso, para poder ser comparado com outros gráficos e lido por diferentes pessoas

(mesmo pouco ao corrente do problema específico representado) o gráfico tem de apresentar uma informação simples

de apreender, inequívoca, completa e de preferência normalizada.

Suponhamos um conjunto de valores numéricos que representam a variação de y - variável independente, com x -

variável dependente. Então como regra :

1º - os valores da variável independente y serão representados em abcissa. Junto a cada eixo deverá ser inequivocamente

caracterizada a grandeza correspondente, assim como as respectivas unidades de medida de preferência no sistema

SI. A grandeza pode ser simples: temperatura T, comprimento L, etc. ou complexa: período de oscilação T=2p.÷(l/g).

Figura 2.1 - Exemplos de escalas e construção de gráficos

16


Dentro de um mesmo trabalho manter constante, sempre que possível, a área ocupada pelos diferentes gráficos :

1/4, 1/3 ou 1/2 do formato A4; utilizar formatos maiores só em caso de absoluta necessidade. Não esquecer que a

apresentação de um gráfico é equivalente a um "texto" e por isso devem ser previstas no papel margens em branco

de tamanho suficiente, como se tratasse de um texto corrente.

2º - as escalas devem ser escolhidas em função da gama de valores numéricos das variáveis a representar de maneira a

que possa ser feita uma leitura directa e fácil dos gráficos. No geral, as escalas devem permitir a obtenção da mesma

precisão que a das observações experimentais registadas, quer durante a construção, quer na leitura posterior do

gráfico. As escalas não tem, necessariamente, de incluir a origem do referencial (0,0), Fig.2.1.a.

O número de algarismos utilizados nas divisões das escalas deve estar adaptado às dimensões dos gráficos e permitir

uma leitura rápida, não se sobrepondo (Fig. 2.1.c); empregar sempre que necessário a factorização por potências de

10 (Fig.2.1.b). Este facto implica cuidado na adopção da relação de escala de modo a permitir uma leitura fácil dos

valores intermédios, p.e. - escalas de 1:3, 1:2, 2:1, 1:10, p.e. (será completamente a evitar as escalas "complicadas"

como, p.e., 1:4,6 ou 1:7, etc.).

3º - Os pares de valores (y,x) deverão ser assinalados no gráfico por um símbolo pequeno (+, *, o, D , x, etc.). No caso

de ser necessário representar no mesmo gráfico mais do que uma série de pontos, os pontos correspondentes a cada

série serão sinalizados com símbolos diferentes. A dimensão dos símbolos deve permitir a visibilidade da sua forma

mesmo que seja necessário traçar qualquer curva sobre eles.

Nos eixos serão indicados somente os valores que definem a escala. Nunca serão indicados nos eixos os valores dos

pontos do gráfico, assim como não serão desenhadas as linhas cujo cruzamento defina qualquer ponto experimental

a assinalar.

Através de uma escolha criteriosa das escalas deve-se evitar que as curvas ou grupos de pontos se desenvolvam

quase paralelos aos eixos coordenados (Fig. 3.1.c), a não ser que a função representada seja mesmo quase constante.

4º - Todos os gráficos devem ter uma legenda (eventualmente acrescida de um número de ordem) que identifique

completamente o seu conteúdo e que pode ser colocada por baixo do eixo das abcissas ou alternativamente num

espaço livre dentro do próprio gráfico (Fig. 2.1.b).

5º - Se for necessário traçar uma linha que melhor ajuste os pontos experimentais (muitas vezes só para "guiar a vista")

devemos procurar traçá-la de maneira a representar o andamento geral do conjunto de pontos e não é absolutamente

necessário que passe por todos os pontos. Não esquecer que, de um modo geral, as leis da física tem variações

regulares (suaves) sem "bicos" e mudanças bruscas de direcção.

2.2.2 - TIPOS DE PAPEL PARA GRÁFICOS

Existem vários tipos de papel para a representação de gráficos. Os mais utilizados tem duas escalas lineares

perpendiculares (papel milimétrico ou lin-lin) ou uma escala linear e outra logarítmica (semilog ou log-lin). Existem

ainda muitos outros tipos de papel especificamente adaptados à resolução gráfica de certos problemas : ambas as

escalas logarítmicas (papel log-log), escalas linear-polar, escalas estereográficas, escala triplas, etc..

Para a representação dos fenómenos físicos pode ser utilizada uma grande variedade de funções matemáticas.

Figura 2.2 - Exemplos de utilização de diferentes papéis para gráficos

17


Vejamos alguns casos típicos que ilustram o tipo de papel a utilizar:

1º - um grande número de fenómenos físicos podem ser representados por relações do tipo linear (y = kx + a).

Por exemplo:

Lei do movimento rectilínio e uniforme s = s0 + v . t

Velocidade de um corpo deslizando por um plano inclinado v = v0 + (g . sina) . t

Lei de Ohm V = R . I , etc.;

para relações lineares o papel milimétrico é o mais indicado para a representação gráfica deste tipo de funções;

2º - outras leis físicas existem em que as relações entre as variáveis são do tipo exponencial

Lei do movimento acelerado e = 1/2 . j . t 2

ou Amortecimento de oscilações y = y0 . e-ax (2.1)

Representar funções deste tipo em papel milimétrico levaria rapidamente a dimensões excessivas do gráfico e/ou à

impossibilidade de uma leitura correcta (Fig.2.2.a). Nestes casos justifica-se a utilização de papéis logarítmicos “log-lin”

(ou mesmo “log-log”), Fig.2.2.b.

A representação em papel log-lin é equivalente à logaritmização das expressões representadas:

e = 1/2 . j . t 2 Æ log e = 0,301+ log j + 2 log t

ou y = y0 . e-ax Æ ln y = ln y

0 - a x Æ equação de uma recta Y = Y

0 + BX (2.2)

Deste modo as curvas originais ficam linearizadas e os respectivos gráficos em papel log-lin são aproximados a rectas

com declive igual ao coeficiente de x (B) e de ordenada na origem igual ao termo constante (Y0

) (Fig.2.2.c) .

Analiticamente o declive B

By y

x x

y

y

x x

y

y

x x=

--

=-

=-

ln lnln , log

2 1

2 1

2

1

2 1

2

1

2 1

2 3026(2.3)

2.2.3 - BARRAS DE ERRO E RECTÂNGULO DE PRECISÃO

O resultado de toda e qualquer medição nunca é um valor exacto, tem sempre associado um certo erro (erro de

leitura, erro padrão, erro sistemático, etc.) ou seja, sendo G uma grandeza experimental a sua medida será G = g ± Dg

, em que g é a medição e Dg o erro associado. Isto significa que o valor mais provável de G estará situado no intervalo

[g - Dg , g+Dg] .

Desde que a escala o permita, um gráfico deve sempre revelar este facto, completando-se com as "barras de erro"

correspondentes a cada ponto representado, seja ele calculado ou experimentalmente medido. Tipicamente as barras de

erro são graficamente representadas por pequenos segmentos de recta de comprimento 2.Dg centrados nos pontos de

ordenada g (Fig. 2.2). No caso geral a cada ponto estão associadas duas barras de erro, uma paralela ao eixo das

abcissas e a outra paralela ao eixo das ordenadas. Quando existam simultaneamente, estas duas barras de erro definem

o chamado "rectângulo de precisão" do ponto experimental.

Em muitos casos um dos erros, geralmente o correspondente às abcissas, pode ser desprezado em face do valor do

outro. Nesta situação o rectângulo de precisão reduz-se a uma única barra de erro ou, no caso limite de a escala não o

permitir, não haverá lugar a representação da dimensão do erro.

Figura 2.3 - Limites superiores do erro de uma recta ajustada

18


2.2.4 - LIMITE SUPERIOR DO ERRO DE UMA RECTA AJUSTADA A PONTOS - MÉTODO GRÁFICO

Consideremos duas grandezas cuja interdependência possa ser definida por uma expressão do tipo linear y = a + k.x

em que a - ordenada na origem e k- coeficiente angular da recta são constantes, e a quantidade de pares de pontos

experimentais (xi , y

i) que a representam igual a n. Os erros experimentais fazem com que estes pontos não se distribuam

obrigatoriamente sobre uma recta. Neste caso podemos ajustar graficamente uma recta que melhor represente a variação

de y com x, procurando que os pontos que se situem "acima" da recta de ajuste sejam compensados pelos que se situem

por "baixo" (Fig.2.3).

Mesmo neste caso aproximado podemos (e devemos) determinar os limites superiores do erro para a ordenada na

origem - a e para o coeficiente angular da recta - k, que definem o erro total da recta ajustada.

NOTA:

- o uso de uma régua transparente para o fazer é conveniente. Assim teremos uma visão global do conjunto dos pontos

experimentais;

- a descrição simplificada dos métodos de ajuste analítico rigoroso (mínimos quadrados, c2, etc.) e a avaliação dos

respectivos erros será feita separadamente.

Procedimento:

1º - suponhamos que a recta de melhor ajuste R0, traçada de maneira a obtermos uma quantidade equilibrada de pontos

por "cima" e por "baixo" da recta, é definida pelos parâmetros a0, coeficiente angular e k

0, ordenada na origem;

2º - desenham-se duas rectas paralelas a R0 que passem pelos pontos experimentais mais afastados, por cima e por

baixo de R0 (1-2 e 3-4).

Nota - em primeira aproximação, um ou outro ponto excepcionalmente afastado da recta média poderá não ser

considerado pois a probabilidade de corresponder a uma medida incorrecta é muito grande;

Estas rectas serão intersectadas por duas paralelas ao eixo dos yy (1-4 e 2-3) que contém o primeiro e o último ponto

experimental representado. Os quatro pontos assim determinados (1,2,3,4) definem o "paralelogramo de incerteza".

3º - desenham-se as diagonais do paralelogramo de incerteza, R1 e R

2; determinam-se os parâmetros a e k para as três

rectas R0, R

1 e R

2. Com estes valores é calculado o limite superior do erro do coeficiente angular (Da) e da ordenada

na origem (Dk) para a recta de ajuste R0 :

D D D Da a= ( )-

= ( )-

* *

n

kk

n2 2(2.4 )

em que : (Da)* é o valor da maior das diferenças (a1 - a

0) e (a

2 - a

0)

(Dk)* é o valor da maior das diferenças (k1 - k

0) e (k

2 - k

0) .

Caso particular:

Em muitos trabalhos experimentais é frequente a dependência entre duas grandezas ser representada por uma

relação linear em que a ordenada na origem, a , é igual a zero e então a equação linear fica reduzida a y = k . x com

k - constante.

Como no caso geral, para n pares de pontos (xi,y

i) serão determinadas as rectas R

0, R

1 e R

2 só que, devido ao tipo da

equação, terão de obrigatoriamente de passar pela origem das coordenadas (0,0).

Notas:

a) a origem das coordenadas não é obrigatoriamente a origem dos eixos coordenados;

b) em primeira aproximação, um ou outro ponto excepcionalmente afastado da recta média não será considerado pois

a probabilidade de corresponder a uma medida incorrecta é muito grande;

c) este método faz depender o valor do limite superior do erro do coeficiente angular k, do valor adoptado para as

escalas : ampliando as escalas melhora a avaliação do erro.

Os coeficientes angulares de R1 e R

2 serão respectivamente

ky

xk

y

x11

12

2

2

= = (2.5 )

19


O limite superior do erro do coeficiente angular, (Dk), será então o maior dos valores obtidos nas diferenças (k1 - k

0)

e (k2 - k

0).

d) se dentro da precisão da representação gráfica os pontos experimentais estiverem alinhados sobre a mesma recta, o

limite do erro do coeficiente angular será tomado como o limite superior dos erros de leitura de x e de y no gráfico.

2.2.5 - AJUSTE DE UMA RECTA A PONTOS EXPERIMENTAIS - MÉTODO ANALÍTICO

Consideremos um conjunto de pares de pontos experimentais (xi,y

i) representando duas grandezas cuja

interdependência possa ser definida por uma expressão do tipo linear y = a + k . x em que: a - ordenada na origem

e k- coeficiente angular da recta são constantes. Os erros experimentais inerentes às medições fazem com que estes

pontos não se distribuam obrigatoriamente sobre uma recta perfeita. Teremos então que encontrar uma recta que melhor

descreva a distribuição espacial dos pontos.

De entre os vários métodos analíticos que permitem fazer este ajuste descrevemos o método da "regressão linear".

Método da Regressão Linear

A justificação matemática deste método baseia-se no método dos mínimos quadráticos: o ajuste da recta é efectuado

de modo a minimizar o somatório dos quadrados dos desvios dos pontos experimentais em relação à recta de ajuste.

Admitamos que medimos n pontos experimentais. Então os parâmetros da recta de ajuste

y = a . x + b (2.5)

são dados pelas expressões:

aC C C C

Db

C C C C

D=

◊ - ◊=

◊ - ◊1 5 1 5 2 4 1 5 (2.6)

onde D C C C= ◊ -2 5 32

Além disso: C x y C x C x C y C ni ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

11

22

13

14

15= ◊ = = = =

= = = =Â Â Â Â

Os erros associados aos valores do declive “a” e ordenada na origem “b” são dados por:

s sa

ii

n

b

ii

n

y y

n

n

D

y y

n

C

D=

-( )-

◊ =-( )

-◊= =

Â Â2

1

2

1 2

2 2 (2.7)

O valor de yi é obtido pela recta de ajuste para a abcissa x

i .

A qualidade do ajuste obtido pode ser definida por uma expressão matemática chamada “coeficiente de correlação - r”.

De acordo com o seu valor (r £1), podemos avaliar a qualidade do ajuste (muito boa com r ª 1) e eventualmente decidir

por um ajuste a um outro tipo de equação ou concluir que é necessário recolher outro conjunto de dados experimentais.

O coeficiente de correlação é calculado pela seguinte fórmula:

rC C C C

D C C C=

◊ - ◊◊ ◊ -( )1 5 3 4

6 5 42

onde C yii

n

62

1

==

Â (2.8).

Nota - A grande maioria das calculadoras científicas de bolso actuais tem capacidade para fazer estes cálculos (recta

de ajuste, erros e coeficiente de correlação), sendo para isso só necessário introduzir os valores dos pares de

pontos (xi , y

i).

20


3 - INSTRUMENTOS DE MEDIDA

Em paralelo com os métodos clássicos “mecânicos” são cada vez mais utilizados métodos e sistemas eléctricos e

electrónicos de medição nas medições efectuadas nos trabalhos de engenharia, e por maioria de razão nos laboratórios

de física,. Esta extensão dos métodos electrónicos de medição atinge domínios dantes tradicionalmente “mecânicos”

como a pressão, tempo, temperatura, etc..

Outras medições há que necessariamente são feitas directamente sobre parâmetros eléctricos: tensão e corrente

eléctrica, resistência, etc.. Actualmente a tendência para a digitalização das medições conduz ao facto de numa maioria

de situações o processo de medição ser reduzido à medição digital de uma tensão contínua ou variável, através de um

“detector” adequado e isto para as diferentes variáveis físicas a avaliar.

Nos pontos seguintes apresentamos os instrumentos de medição mais básicos, presentes em qualquer laboratório:

réguas com nónios para medições de comprimentos; multímetros para a medição básica de tensões, correntes e

resistências; osciloscópios para a medição e visualização de sinais eléctricos.

3.1 Nónios lineares e circulares

As medições de dimensões lineares são geralmente feitas com réguas ou fitas métricas. A precisão destas medidas

é geralmente baixa, muitas vezes não ultrapassando o milímetro. O nónio (pequenas escalas auxiliares que permitem

medir fracções da menor divisão da escala principal, tipicamente 1/10 ou 1/20) representa uma modificação muito

conveniente da régua (metálica), que aumenta de muito a sua precisão. Quando bem utilizado nos instrumentos

apropriados (micrómetro, p.e.) a precisão das medidas pode atingir 0,005 mm.

Na prática, o conceito de nónio é utilizado em instrumentos de medida de dimensões lineares ou angulares como

paquímetros, micrómetros, esferómetros, teodolitos, goniómetros, com os quais se podem atingir precisões absolutas

de décimos e mesmo de centésimos de milímetro e para os ângulos a precisão de minutos ou fracções de minuto.

Fundamentalmente, o “nónio linear” (Fig.3.1) é constituído por uma régua de pequenas dimensões, com divisões,

que desliza sobre uma outra régua de maiores dimensões - a “escala”, também com divisões gravadas.

........

10

m

m-1

0

0

105

5.........

Escala

Nónio

Fig 3.1 - Princípio do nónio

Escala

Nónio

0

k+1

��

∆L

n....

k+n1005

.........

k

L

Fig. 3.2 - Demonstração do funcionamento do nónio

21


As divisões da escala do nónio são gravadas de tal maneira que uma divisão do nónio seja igual a uma divisão da

escala multiplicada por um factor igual a

m

m m

-ÊË

ˆ¯ = -Ê

Ëˆ¯

11

1

em que m representa o número de divisões do nónio. A justificação do funcionamento do nónio é a seguinte:

seja y a distância entre dois traços consecutivos da escala e x a distância entre dois traços consecutivos do nónio.

Podemos escrever

x = y - (y/m) ou m.x = (m-1).y

A grandeza

Dx y xy

m= - = (3.1)

é designada por “precisão do nónio” e determina o valor do erro máximo do nónio. Além disso, qualquer que seja a

posição do nónio em relação à escala há sempre uma divisão deste que coincide com alguma outra divisão da escala.

O funcionamento do nónio pode ser demonstrado do seguinte modo:

seja L o comprimento da peça a medir (Fig.3.2); fazemos coincidir o início da peça com o início (zero) da escala e

suponhamos que o outro extremo da peça se situa entre as divisões k e (k+1) da escala.

Podemos escrever

L k y L= ◊ + Dem que DL - é uma fracção (por enquanto desconhecida) da menor divisão da escala. Encostamos agora o início (zero)

da escala nónio ao fim da peça a medir. Como o intervalo entre as divisões do nónio é menor que o das divisões da

escala encontramos (sempre !) uma divisão no nónio, n, que se aproxima o máximo (pode coincidir) da divisão (k+n)

da escala. Então

D DL n y n x n y x n x= ◊ - ◊ = ◊ -( ) = ◊

e por conseguinte o comprimento total da peça será dado por

L k y n x= ◊ + ◊Dou ainda, tendo em conta a expressão (3.1),

L k y ny

m= ◊ + ◊ (3.2)

ou seja: “o comprimento de uma peça medida com uma escala com nónio é igual ao número de divisões inteiras da

escala adicionado ao valor obtido na multiplicação da precisão do nónio pelo número da divisão do nónio que coincide

com alguma das divisões da escala”.

Neste tipo de medição o erro cometido será o correspondente à maior ou menor correspondência dos traços do

nónio com os da escala e, evidentemente, não será superior a (0,5.Dx), em Dx - é a precisão do nónio: “o erro do nónio

é igual a metade da sua precisão”.

Não é difícil de estender este tipo de medição linear com o nónio à medição de valores angulares (Fig.3.3).

k k+1

0 n

k+n

Dj

0 1 2

j

Fig. 3.3 - Demonstração do funcionamento do nónio circular

22


Neste caso um pequeno sector circular, equivalente ao nónio - o “limbo”, desliza em frente a uma escala circular,

graduada em graus, grados ou outra unidade angular conveniente. Também aqui m divisões da escala correspondem a

(m-1) divisões do limbo e, similarmente,

m m◊ = -( ) ◊a b1

onde a e b -

representam respectivamente, a menor divisão da escala e a

menor divisão do limbo. A precisão de um nónio angular será

também calculada por uma fórmula semelhante,

Da b=m

O valor de um ângulo (j) medido a partir do zero do limbo

também será calculado por uma fórmula equivalente

j b a= ◊ + ◊k n D (3.3)

3.2 - MULTÍMETRO ANALÓGICO

Os multímetros analógicos são bastante simples no seu princípio de funcionamento: dependem do equilíbrio entre

a força de uma mola e a força gerada pela interacção de uma corrente com um campo magnético.

No geral, os multímetros analógicos estão configurados para permitir a medida de diferentes parâmetros eléctricos:

tensões, correntes, resistências, características de transistores, no entanto, internamente, o seu funcionamento baseia-

se só na avaliação das correntes que os atravessam. Com efeito, tecnologicamente, a medição analógica directa de

tensões não é um processo acessível, mas já avaliar uma corrente ou o seu efeito ao atravessar uma resistência calibrada

R (relacionada com a tensão a medir através da lei de Ohm: V = R.I) é mais fácil.

3.2.1 - DESCRIÇÃO DO FUNCIONAMENTO

O princípio físico de funcionamento de um aparelho de medição de corrente baseia-se na interacção entre o campo

magnético produzido numa bobina pela corrente que é medida e um campo magnético exterior, permanente ou não. O

valor do binário produzido, e que desloca a agulha, está directamente relacionado com a corrente que passa através do

aparelho (Fig,3.4). Este funcionamento pode ser descrito, de um modo muito simplificado, pela equação

i

B

F

F

Fig. 3.4 - Princípio de um aparelho de bobina móvel

Fig. 3.5 - Esquema de funcionamento (a) e multímetro analógico típico (b)

➀

➁

÷➄

ªD

➇➈

➂

1 - Mostrador com as escalas

2 - Mecanismo da agulha

3 -Selector de gama de medida

4 -Ficha para medidas V, W, A

5 - Terminal comum (ponta de prova COM)

6 -Terminal para medidas DC-10 ampéres

7 - Ficha para verificação de transistores

8 - Ajuste do “zero” para escala de W

9 - +/- (inversão de polaridade)

a) b)

23


F = n.B.i.L (3.4)

em que F - força exercida sobre a bobina pelo campo magnético;

B - intensidade do campo magnético permanente;

n - número de espiras da bobina;

L - perímetro de uma espira;

i - corrente a medir que percorre a bobina.

A força F pode ser medida, p.e., observando a deflexão de uma agulha acoplada a uma mola, por sua vez rigidamente

ligada à bobine. Este tipo de construção é conhecido como aparelho de medida de agulha e bobina móvel do tipo

d'Arsonoval, inventados à mais de um século.

3.2.2 - CONTROLES E PRECISÃO DE OPERAÇÃO

A maioria dos multímetros de laboratório tem as seguintes fichas de entrada de sinal e botões de controle, Fig.3.5

(esta descrição corresponde a um multímetro tipo, podendo não corresponder “exactamente” a nenhum aparelho real):

Entradas de sinal

COM - terminal comum; a ponta de prova preta é sempre ligada a este terminal para todo o tipo de medições (tensões,

correntes, resistências, etc.) em todas as gamas;

DC10A - a ponta de prova vermelha é ligada a este terminal para medição de correntes na escala de 10A em DC;

V_W_A - a ponta de prova vermelha é ligada a este terminal para medição de todo o tipo de tensões (AC ou DC),

resistências e teste de continuidade e correntes contínuas de baixa intensidade;

Selector de gama - este botão, normalmente rotativo, selecciona o tipo de medição e respectiva gama; tem frequentemente

associada a função ON/OFF;

0W Adjust - ajuste do zero da escala (eléctrica) para medições de resistências;

-/+ (inversão de polaridade) - este botão permite a inversão da polaridade do sinal nas medições DC ou de resistências;

Deflexão nula - botão do tipo “cabeça de parafuso”, colocado em baixo e ao centro do mostrador, para ajuste do zero da

agulha da escala mecânica;

Precisão de medida

(estes dados podem ter variações em função dos tipos e modelos de aparelho)

O uso dos multímetros analógicos está limitado pela precisão que permite a leitura da posição da agulha do indicador

em face à escala (nos bons multímetros a agulha é a mais fina possível e desloca-se em frente a um espelho inserido na

escala). Aparece aqui um factor de erro importante, a paralaxe, variável de observador para observador.

Função Escala Precisão

DC_V todas ± 3% DC da escala completa

AC_V todas ± 4% AC da escala completa

DC_A até 10 A ± 3% da escala completa

W até 20 MW ± 3% da escala completa em graus

3.3 - MULTÍMETRO DIGITAL

Até à última década ou década e meia as medidas de tensão eram vulgarmente feitas com aparelhos de medida de

agulha e bobina móvel . Hoje, em quase todas as aplicações foram ou estão em vias de ser substituídos por voltímetros

ou multímetros digitais.

Uma das vantagens dos multímetros digitais sobre os analógicos é a sua facilidade de utilização. De facto o valor

medido é directamente apresentado como uma série de dígitos facilmente legíveis o que permite sempre a mesma

interpretação, independentemente do observador (não há paralaxe!). Além disso, estes multímetros possuem

24


posicionamento automático da vírgula, detecção automática da polaridade e, frequentemente, busca e mudança automatica

da escala de medida.

A mudança automática de escala é importante na medida em que permite ao multímetro realizar medições sempre

com a resolução optimizada, sem a intervenção do operador, quaisquer que forem as circunstâncias. Vamos esclarecer

este ponto:

tomemos por exemplo um voltímetro digital com um mostrador de 3 1/2 dígitos (ou seja em que o máximo da leitura

permitido no mostrador é 1999). Este máximo implica que para valores medidos superiores a 1999 a escala tem de ser

reduzida por um factor de 10 antes de estes serem apresentados (p.e. 201 mV serão apresentados como 0201 mV). Por

outro lado qualquer valor medido abaixo de 0200 pode ser apresentado com uma resolução multiplicada por um factor

de 10 (p.e. 195 mV será apresentado como 195,0 mV). resumindo, se o mostrador não alcança o valor de 0200

automaticamente a escala muda para uma outra mais sensível e, inversamente, se ultrapassar 1999 a escala de medida

é automaticamente mudada para uma menos sensível.

Devido à própria natureza do processo utilizado na conversão do sinal para leitura a precisão dos multímetros

digitais pode ser muito facilmente superior à dos analógicos e também tem uma grande vantagem sobre os analógicos:

apresentarem uma grande resistência de entrada (ª 108 a 1012 W). Este facto permite praticamente eliminar a influência

do aparelho de medida no valor obtido para as medições correntes.

3.3.1 - DESCRIÇÃO

Uma propriedade fundamental dos multímetros digitais é o facto de só medirem tensões directamente (recordamos

que os analógicos directamente medem correntes).

Um voltímetro digital, na sua forma mais simples , reduz-se a um circuito integrado que inclui um conversor do tipo

ADC - “conversor analógico-digital”, uma alimentação externa de baixa tensão ou bateria e um visor de cristais líquidos

ou LED’s. O coração do circuito integrado, e por maioria de razão do multímetro, é o conversor ADC, que converte a

tensão do sinal analógico de entrada em impulsos regulares de amplitude fixa que podem ser contados e cujo número

é proporcional ao valor da tensão. É esta contagem que acaba depois por ser convertida em caracteres alfanuméricos

e apresentada no visor.

Um multímetro, como o nome indica, também mede outros sinais correspondentes a tensões alternas, correntes

contínuas ou alternas, resistências, mas como o conversor ADC só pode converter sinais de tensão contínua o valor

destes parâmetros terão que ser transformados analogicamente em tensões contínuas, através de conversores adequados.

Os conversores básicos integrados na maioria dos multímetros são: atenuador CC, conversor corrente-tensão,

conversor AC-DC e conversor resistência tensão.

- Atenuador CC

Os sinais que podem ser recebidos na entrada do conversor ADC estão geralmente limitados a um máximo de 10 V.

Fig. 3.6 - Atenuador CC (a) e conversor Corrente-Tensão (b)

1 k

9 M

0,9 M

90 k

10 k

2000 V

200 V

20 V

200 mV/2V saída ADCentrada

200 mA

20 mA

2 mA

entradapara ADC

0,9 W

9 W

90 W

900 W

2 A

0,1 W

200 mA

prot

ecçã

o

a) b)

25


Isto significa que tensões contínuas superiores a este limite tem de ser atenuadas antes de analisadas pelo ADC.

Electronicamente esta operação é realizada com divisores de tensão com resistências calibradas (Fig.3.6).

- Conversor Corrente-Tensão

Na medição de correntes contínuas estas terão de ser primeiro convertidas em tensões. Electronicamente esta operação

pode ser realizada com “shunts” (resistências calibradas, em paralelo ) de modo que a tensão nos terminais do shunt

para o máximo da escala seja a mesma para todas as escalas e o mais baixo possível (Fig.3.6).

- Conversor AC-CC

Como a electrónica do ADC só trabalha com níveis de tensão contínua, no caso da medição sinais de corrente e/ou

tensão alternas temos primeiro de modificar o sinal num processo de conversão AC-CC. Esta conversão pode ser feita

através de um circuito detector de média simples ou com conversores RMS (média quadrática do sinal), electrónica

mais complexa baseada em amplificadores operacionais.

- Conversor Resistência-Tensão

O valor das resistências é medido fazendo passar uma corrente constante, conhecida, através da resistência,

desconhecida, e medindo a tensão resultante. Electronicamente é realizado por meio de circuitos relativamente complexos,

incluindo fontes de corrente contínua estabilizada e amplificadores operacionais.

3.3.2 - MEDIÇÃO DE VALORES EFICAZES (RMS)

Praticamente todas as medições de tensões e correntes alternas (variáveis no tempo) são hoje realizadas com

instrumentos electrónicos que avaliam o valor pico a pico (osciloscópios) ou o valor eficaz -RMS (multímetros).

Se uma quantidade física escalar é constante em relação ao tempo a definição dessa quantidade necessita de um só

parâmetro, p.e. uma tensão constante de 1,5 V fica absolutamente definida por este valor. No caso de quantidades

físicas periodicamente variáveis no tempo a situação é mais complexa e esta simplicidade já não é válida. Suponhamos

a tensão sinusoidal da Fig.3.7 . Também é possível descreve-la por um único número mas nem todos são válidos.

Podíamos por exemplo tentar descreve-la pela média do sinal mas, para um intervalo de tempo suficientemente longo

esta média é igual a zero (ou ª 0) qualquer que seja a amplitude do sinal. Uma outra maneira seria defini-la pela tensão

pico a pico (diferença entre o máximo e o mínimo da onda) mas outras formas de onda apresentam o mesmo valor pico

a pico (Fig.3.7) e certamente efeitos físicos muito diferentes.

O valor eficaz (ou RMS - root mean square) é um valor que caracteriza com significado físico quantidades

periodicamente variáveis no tempo.

Definindo: o valor eficaz de uma tensão alterna é definido como o valor equivalente em tensão contínua que

produza a mesma quantidade de energia no mesmo intervalo de tempo.

Para uma onda de tensão sinusoidal simétrica o cálculo (ver Apêndice) mostra que o valor eficaz da tensão será

VV

RMS = max

2(3.5)

em que VRMS

- valor eficaz do sinal e Vmax

- valor máximo (de pico) atingido pelo sinal.

No caso de um sinal de tensão rectangular simétrico teremos

T/2 T t

V

pV

0Vpp

V

t

pV

0

Vpp

T

Tp

Fig. 3.7 - Formas de tensão variável: sinusoidal, (a) e rectangular, (b)

26


V VT

T TRMSp

p

= ◊-max (3.6)

em que, além das definições anteriores temos: T - período

do sinal e Tp - largura do sinal.

3.3.3 - CONTROLES E PRECISÃO DE OPERAÇÃO

Um multímetro digital genérico utilizado em laboratórios terá

as seguintes fichas de entrada de sinal e botões de controle, como

indicado na Fig. 3.8 (notar bem que esta descrição corresponde

a um multímetro tipo, podendo não corresponder “exactamente”

a nenhum aparelho real):

Entradas de sinal

COM - terminal comum; a ponta de prova preta é sempre ligada

a este terminal para todo o tipo de medições (tensões,

correntes e resistências, etc.);

A - a ponta de prova vermelha é ligada a este terminal para

medição de correntes nas escalas de 2A e 10A, quer em

AC ou em DC;

mAmA - a ponta de prova vermelha é ligada a este terminal para

medição de correntes nas escalas de mA ou mA, quer

em AC ou em DC (geralmente até a um máximo de 1 ampère);

V_W - a ponta de prova vermelha é ligada a este terminal para

medição de todo o tipo de tensões (AC ou DC),

resistências e teste de continuidade;

Botões de controle

ON/OFF - este botão liga e desliga o multímetro;

HOLD - quando existe, este botão congela a leitura no visor do multímetro, para todas as funções e escalas;

Selector - botão único rotativo ou vários botões individuais que permitem seleccionar as várias funções e escalas de

operação.

Precisão de medida

(estes dados são típicos e podem apresentar variações, conforme os modelos de aparelho)

Função Escala Precisão

DC_V todas ± 0,5% da leitura, ± 1 dígito

AC_V até 200 V ± 0,8% da leitura, ± 3 dígitos

DC_A até 2 A ± 0,8% da leitura, ± 3 dígitos

AC_A até 2 A ± 1,0% da leitura, ± 3 dígitos

W até 2 MW ± 0,5% da leitura, ± 1 dígito

Nota - nos multímetros digitais, independentemente da precisão de conversão obtida no “conversor analógico-digital”,

temos ainda de considerar a precisão do visor, ou seja o último dígito à direita do visor é sempre conhecido com um

erro de, no mínimo, ± 1 dígito (representa o arredondamento do valor internamente convertido). Daí a necessidade de

fazer as medições com um máximo de sensibilidade para diminuir a influência deste erro no cômputo global dos erros

da medição.

Fig. 3.8 - Multímetro digital típico1 - botão Ligar_Desligar ; 2 - terminal de corrente (até 1A)3 - terminal 20 ampéres ; 4 - terminal V_W5 - terminal comum COM; 6 - selector de gama de medida7 - mostrador digital (3 1/2 dígitos)

÷

ª

➂

➀

➁➄

D

27


3.4 - OSCILOSCÓPIO

O osciloscópio é um dos mais úteis e versáteis instrumentos de medida utilizados no laboratório.

Na grande maioria das aplicações o osciloscópio, apesar da sua evidente complexidade, pode ser considerado como

um voltímetro de precisão que não só permite a medida de amplitudes de tensões, como também permite ver a variação

e evolução da forma dessa mesma tensão ao longo do tempo.

Passamos a descrever sumariamente os blocos constituintes e funções do osciloscópio.

3.4.1 -FUNCIONAMENTO DO TUBO DE RAIOS CATÓDICOS (CRT)

O esquema dos componentes fundamentais que constituem um tubo de raios catódicos vem representado na Fig.3.9.

No interior do tubo de raios catódicos é feito um vácuo de muito boa qualidade, que se mantém ao longo da vida útil

do tubo. A função do canhão de electrões é produzir um feixe intenso e estreito de electrões; constituem este módulo

este módulo: o cátodo - fonte de electrões, aquecido por resistência eléctrica, o ânodo - conjunto de eléctrodos cilíndricos,

que focam o feixe e o aceleram em direcção à superfície fosforecente. Quando esta superfície é atingida pelo feixe

produz uma imagem luminosa. Internamente o tubo é revestido por uma camada condutora para permitir o retorno ao

cátodo dos electrões que embatem na superfície frontal do tubo pois, caso contrário, esta superfície acumularia uma

carga negativa tal que eventualmente repeliria os electrões do feixe.

Dentro do tubo estão ainda colocados dois pares de placas deflectoras - verticais e horizontais que permitem controlar

- +

Va

Alvo

y

x

L

0

b

d

A

P

hCanhão de�electrões

Placas deflectoras

Fig.3.10 - Esquema do sistema de deflexão electrostática

Cátodo quente e�ánodo extractor�

(canhão de electrões)

V

H

Placas deflectoras �do feixe

Superfície�fosforecente

Feixe de�electrões

Capa condutora

Fig.3.9 - Esquema do tubo de raios catódicos

28


espacialmente o feixe, permitindo o funcionamento do tubo como instrumento de medida. Se for estabelecida uma

diferença de potencial entre qualquer par de placas deflectoras ou em ambos os pares, o feixe electrónico será deflectido.

Assim, se um sinal com a forma de uma tensão variável for aplicado a um dos pares de placas o feixe será deflectido de

acordo com a variação do sinal o que implica o desvio da mancha fosforecente na superfície frontal do tubo - a mancha

é controlada pelo sinal. É este o princípio da deflexão electrostática.

Observando este sistema mais em detalhe, podemos considerar como primeira aproximação que o afastamento

entre os vários electrões no interior do feixe é suficientemente grande para os estes não interagirem entre si. No estudo

da deflexão electrostática vamos utilizar o esquema da Fig.3.10 com o respectivo sistema de coordenadas: eixo dos xx

- paralelo às placas deflectoras e o início das coordenadas está localizado no extremo esquerdo destas placas. Assume-

se ainda que o campo eléctrico criado pelas placas é uniforme e só existe no interior do espaço por estas definido.

No canhão de electrões estes são acelerados pelo potencial Va e, se desprezarmos efeitos relativistas, o valor da

velocidade dos electrões ao abandonar o canhão será

VV e

mxa=◊2

(3.7)

Ao passar entre as placas os electrões sofrem uma aceleração no sentido do eixo dos yy. Se a placa superior for

positiva em relação à inferior e o potencial entre elas igual a Vd o campo eléctrico será igual a

EV

dyd= - (3.8)

e a aceleração exercida sobre os electrões

ae E

m

e

m

V

dyy d= -

◊= ◊ (3.9)

A velocidade dos electrões depois de abandonar o canhão, vx, é constante na direcção do eixo dos xx e por isso os

electrões ficam na região compreendida entre as placas durante o tempo T

Tb

Vb

m

V mx a

= = ◊◊2

Combinando estas expressões vemos que o electrão ao deixar a região espacial definida pela placas terá uma

componente de velocidade e um deslocamento segundo y respectivamente iguais a

vy = a

y.T e e

y = 1/2 . a

y .T2

e assim, no ponto P (Fig.3.10)

v Vb

d

m

V myP da

= ◊ ◊◊2 y

V

V

b

dPd

a

= ◊2

4 (3.10)

Assumindo que o campo eléctrico é igual a zero em todo o espaço exterior às placas temos que os electrões se

deslocam sobre uma trajectória recta uma vez abandonado o espaço entre as placas. A pendente da trajectória dessa

recta será igualv

vyP

xConsiderando que o centro das placas está à distância L da face do tubo podemos afirmar que o deslocamento total

dos electrões, h , será determinado pela expressão

h Lb v

vyyP

xP= -Ê

Ëˆ¯ +

2 (3.11)

substituindo nas equações anteriores e com alguma manipulação temos finalmente

h LV

V

b

dd

a

= ◊ ◊◊2 (3.12)

29


Na maioria dos casos o tubo de raios catódicos funciona com todas as suas tensões constantes excepto Vd , que varia

segundo um determinado potencial aplicado. Então a deflexão será proporcional ao sinal Vd . A equação anterior mostra

isso mesmo.

3.4.2 - SUMÁRIO DAS FUNÇÕES, MODOS DE OPERAÇÃO E CONTROLES

A representação visual do sinal analisado no osciloscópio é feita no tubo de raios catódicos - CRT (Fig.3.11) com o

auxílio de dois pares de placas-eléctrodos que controlam o deslocamento do feixe de electrões no tubo segundo os

eixos horizontal e vertical (respectivamente base de tempo e amplificador de sinal).

Quando um sinal é introduzido na entrada de um qualquer dos canais do osciloscópio ele é inicialmente amplificado

e depois dividido em duas partes. Uma das partes é aplicada às placas de deflexão vertical enquanto a outra é aplicada

ao circuito de arranque do gerador, que fornece uma tensão em forma de dente de serra (rampa linear não simétrica) às

placas de deflexão horizontal. É esta tensão que obriga o feixe de electrões a varrer o visor, horizontalmente e com uma

velocidade constante. Simultaneamente o feixe é deflectido verticalmente, proporcionalmente à amplitude do sinal de

entrada. É este conjunto de deslocações que produz no CRT uma linha que representa a variação do sinal de entrada em

função do tempo. Este é o princípio básico de funcionamento do osciloscópio.

3.4.2.1 - Banda passante e tempo de subida do sinal

A característica mais importante do amplificador vertical ( amplificação do sinal de entrada) é a sua banda passante,

que está intimamente ligada ao tempo de subida do sinal reproduzido. Este parâmetro fundamental define qual a

velocidade de variação máxima que pode ter o sinal de entrada para que ainda seja correctamente reproduzido, sem

distorção, pelo osciloscópio. Na prática de um laboratório de Física básica podemos considerar 40 MHz de banda

passante como suficientes para as medições usuais.

~

~

~

Canal 1

Canal 2

CRT

placas de deflexão�horizontal

placas de deflexão�vertical

Sincronização�(trigger)

Base de�tempo

Sincronização�externa

X externo

atraso

Comutador�electrónico

Fig. 3.11 - Diagrama de funcionamento do osciloscópio

30


Cada osciloscópio tem um tempo próprio de subida de sinal, ou seja, um sinal com uma frente de subida ideal

(tempo de subida = 0 segundos) será reproduzido como um sinal com uma frente de subida finita tosc

. Na prática

podemos utilizar a seguinte relação aproximada para o tempo de subida do osciloscópio tosc

(em nanosegundos)

tf MHzosc

dB

=[ ]350

3

(ns) (3.13)

onde f3dB

representa a largura de banda passante do osciloscópio, em MHz. O tempo de subida visualizado para um

sinal (impulso) de tempo de subida timp

será então uma combinação do tempo de subida próprio do sinal e do tempo de

subida ou reacção do osciloscópio. Para determinar o tempo de subida tvis

do sinal visualizado pode ser utilizada a

fórmula t t tvis imp osc2 2 2= + (3.14).

Por exemplo, num osciloscópio de 40 MHz de banda passante (tempo de subida = 8,75 ns) , um impulso com o

tempo de subida de 10 ns será visualizado como um impulso de 13,3 ns de tempo de subida. Inversamente, se com o

mesmo osciloscópio é medido um tempo de subida de 21 ns, então o verdadeiro tempo de subida do sinal será

t nsimp = - =21 8 75 19 12 2, , .

3.4.2.2- Controles e modos de operação

Modos de entrada de sinal

A maioria dos osciloscópios dos laboratórios básicos tem duas entradas de sinal que permitem a visualização de

dois sinais em simultâneo. A impedância de entrada dos canais do osciloscópio é muito elevada, usualmente 1 MW em

paralelo com uma capacidade de entrada pequena, 10 - 20 pF.

Para cada entrada podemos escolher o modo de acoplamento para o sinal:

AC -neste modo todo e qualquer nível de tensão constante (dc) será suprimido e só sinais variáveis (ac) serão visualizados;

DC - neste modo, quer os níveis de tensão constante (dc), quer os sinais de tensão variável (ac) podem ser visualizados.

Podemos assim observar níveis de tensão constante sobrepostos a sinais de tensão variável;

GND - neste modo a entrada do osciloscópio é directamente ligada à massa. Este modo é útil para calibrar o nível

"zero" no tubo do osciloscópio.

Sensibilidade horizontal e vertical

VERTICAL SENSIVITY ( Amplificação vertical) - este controle determina o valor da escala vertical. Na maioria dos

osciloscópios existe acoplado a este botão um outro de controle "fino", que permite um ajuste contínuo entre

marcas de escala. Notar que as marcas de valor de escala só são válidas quando o botão de controle fino está na

posição de "calibrated"!

TIME (Tempo) - este botão determina a velocidade com que é efectuado o varrimento horizontal pelo feixe electrónico

(escala horizontal - graduada em “unidade de tempo/cm”). Mais uma vez, notar que as marcas de valor de escala

só são válidas quando o botão de controle fino está na posição de "calibrated"!

Aos dois controles anteriores estão associados dois botões de deslocamento global, vertical e horizontal, da imagem

no CRT ( ›fl e ¤ ).DELAYED SWEEP (Varrimento retardado) - neste modo o varrimento é iniciado só depois de um tempo de atraso

determinado pela posição do botão de "delay".

EXTERNAL X (X externo) - nesta posição o gerador da base de tempo é desligado, permitindo que a deflexão horizontal

do feixe seja controlada por uma tensão externa aplicada no "Canal 2" ou numa entrada de sinal especial EXT-X.

Triggering (Sincronização)

A sincronização é o ajuste mais importante a fazer para uma correcta utilização do osciloscópio. No osciloscópio o

varrimento horizontal do feixe de electrões é activado só quando existe um sinal de sincronização que satisfaça algumas

condições específicas. Em função do modo de funcionamento escolhido este sinal de sincronização pode ser o próprio

31


sinal de entrada ou qualquer outro tipo de sinal externo adequado. Os parâmetros que definem o sinal de sincronização

são a sua pendente (+ ou -) e amplitude. O ajuste da sincronização permite que um ponto específico do sinal de entrada

seja escolhido para início do varrimento. Para um sinal repetitivo, por exemplo uma onda sinusoidal, um bom ajuste

produz uma imagem estável no tubo de raios catódicos, com a curva a começar sempre no mesmo ponto.

Fonte do sinal de sincronização

INTERNAL - a sincronização é feita pelo próprio sinal de entrada. Este é o modo de operação mais corrente.

EXTERNAL - a sincronização é controlada através de um sinal externo aplicado na entrada de sincronização EXT.

LINE - a sincronização é feita com a frequência da corrente alterna do sector, 50Hz.

Condições de sincronização

SLOPE - selecciona a pendente do sinal no ponto em que a sincronização vai ser feita. Como norma sinais positivos são

sincronizados na sua pendente positiva e sinais negativos são sincronizados na sua pendente negativa.

LEVEL / THRESHOLD - este controle define o nível de tensão a partir do qual arranca a

sincronização. Deste modo os sinais que não atinjam esta amplitude não serão visualizados (este é geralmente o

ponto mais crítico para quem começa a trabalhar com o osciloscópio).

CHANNEL 1 - admite como sincronizador o sinal presente na entrada do "Canal 1"

CHANNEL 2 - admite como sincronizador o sinal presente na entrada do "Canal 2"

Modos de sincronização

NORMAL - neste modo não há varrimento horizontal a não ser que esteja presente para sincronização um sinal com

parâmetros predefinidos. Se não existir esse sinal o monitor fica sem imagem.

AUTO - um varrimento contínuo é efectuado mesmo que não haja sinal de entrada em qualquer um dos canais. Esta

posição é útil para calibrar (nível de sinal "zero") e posicionar a traça no monitor. Quando existe sinal à entrada

este modo é em todo equivalente ao modo anterior.

SINGLE SWEEP - é feito um varrimento único, não repetido. Em muitos osciloscópios pode também ser iniciado

manualmente.

EXTERNAL ou X-input - nesta posição o gerador

de rampa interno é desligado e o movimento

horizontal do feixe de

electrões é controlado pela tensão aplicada na entrada

X-input (em alguns modelos pode coincidir com o

"Canal 2" d o

osciloscópio).

Modos de visualização

CHANNEL 1 - mostra só o sinal presente na entrada

do "Canal 1"

Ch1Ch2

T

Mode: Normal ou Auto

Monitor em Ch1Sinal

Sincr. em Ch1�Source: INTERNAL

Fig.3.12 Visualização normal de sinais

Ch1

T

Mode: Normal

Monitor em Ch1 Sinais

Sincr. em EXT

EXT�triggerCh1Ch2

T

Mode: Normal

Monitor em ALT Sinais

Sincr. em Ch1 ou Ch2�Source: INTERNAL

Fig.3.13 Comparação de sinais Fig.3.14 Comparação de sinais com EXT. trigger

32


CHANNEL 2 - mostra só o sinal presente na entrada do "Canal 2"

ALTERNATE - mostra os sinais presentes nas entradas do "Canal 1" e do "Canal 2" em varrimentos alternados, isto é,

um varrimento completo é efectuado alternadamente para cada canal. Esta posição é útil para comparar dois sinais

quando a frequência dos sinais é média ou elevada.

CHOP - neste modo, dentro do mesmo varrimento, ambos os sinais são mostrados em “fatias” finas de alta frequência

(usualmente 500 kHz). A aparência para o observador é, no entanto, de continuidade para os dois sinais. Esta

posição é útil para comparar dois sinais quando a frequência dos sinais é baixa.

ADD - a amplitude dos sinais dos canais 1 e 2 é adicionada e combinada numa só traça.

A Fig.3.12 mostra o esquema normalmente utilizado para visualizar sinais singulares.

Para comparar sinais em tempo e amplitude pode ser usado o esquema da Fig.3.13. O varrimento no osciloscópio é

sincronizado quer pelo sinal do "Canal 1" quer pelo "Canal 2", conforme o escolhido nas condições de sincronização.

Com o monitor em ALTERNATE podem ser comparados os sinais. Se osciloscópio não tiver dois canais pode ser

utilizado o sistema alternativo da Fig.3.14 com sincronização externa.

Exemplos e Notas

Se não for observada nenhuma traça no monitor convém verificar os seguintes pontos

(não obrigatoriamente segundo esta ordem):

1) Verificar se o feixe de electrões tem intensidade suficiente para ser visto no CRT (botões “Intensity” e “Focus”)

2) Verificar a SLOPE e o LEVEL da sincronização;

3) Verificar se a sincronização está na posição INTERNAL (ou EXTERNAL se for o caso);

4) Estará a traça do sinal visível dentro da área útil do monitor? Pôr a sincronização em AUTO e posicionar a traça

com os botões de controle vertical e horizontal;

5) Verificar as escalas horizontal e vertical. Estarão os factores de amplificação compatíveis com o sinal que se

espera observar?

6) Verificar que o botão de selecção do tipo de entrada não esteja na posição GND.

7) Tem a certeza de que tem sinal? Verificar o funcionamento com um sinal conhecido; pode ser o sinal de

autocalibragem fornecido pelo próprio osciloscópio.

33


Apêndice

Aspectos matemáticos do cálculo do valor eficaz (RMS)

Se aplicarmos uma tensão contínua , V , a uma resistência, R , esta vai aquecer por passagem de uma corrente,

segundo a lei de Ohm, V = R.I .

A quantidade total de energia libertada, E , pode ser calculada pela lei de Joule

EV

Rt= ◊

2

(A.1)

Para tensões , v , função do tempo podemos considerar t como infinitésimal e escrever a equação diferencial

dEv

Rdt= ◊

2

(A.2)

e então a quantidade total de calor liberto durante o intervalo de tempo, T , por uma tensão, v , com uma forma qualquer,

será dada pelo integral

ER

v dtT

= ◊ ◊Ú1 2

0(A.3)

O integral (A.3), se aplicado a uma tensão contínua, VCC

, conduz ao resultado

EV

RTCC= ◊

2

(A.4)

Considerando a definição de tensão eficaz (RMS) dada na pag.25,”o valor eficaz de uma tensão alterna é definido

como o valor equivalente em tensão contínua que produza a mesma quantidade de energia no mesmo intervalo de

tempo”, podemos escrever, para uma tensão qualquer v ,

1 2

0Rv dt

V

RT

TCC◊ ◊ = ◊Ú (A.5)

Mas, por definição de valor eficaz (RMS) VCC

= VRMS

, e então

v dt V TT

RMS2

02◊ = ◊Ú

e finalmente VT

v dtRMS

T= ◊ ◊Ú1 2

0(A.6)

Alguns exemplos simples:

1 - Tensão sinusoidal pura

Por definição a tensão sinusoidal com um valor de pico Vp , (Fig.A.1) pode ser escrita como

v V t com Tp= ◊ ◊( ) ◊ =sin w w p2 (A.7)

T/2 T t

V

pV

0Vpp

V

t

pV

0

Vpp

T

Tp

Fig. A.1- Formas de tensão variável: sinusoidal, (a) e rectangular, (b)

34


e então VV

Tt dtRMS

p T= ◊ ◊( )Ú

22

0sin w

ou aindaV VT

t t VT TRMS p

T

p= ◊ - ◊ ( )ÊË

ˆ¯ = Ê

Ëˆ¯

1 1

2

1

2

1

22

1 1

20wwsin

e finalmente VV

RMSp=2

(A.8)

2- Tensão do tipo impulso rectangular

Para uma tensão simétrica em relação a V = 0 , mas não em relação a t (ver Fig.A.1 para definição dos parâmetros),teremos

V T V V T Tp p pp p p◊ = -( ) ◊ -( ) (A.9)

ouV

T

T TVpp

pp=

-◊ (A.10)

e daqui VT

v dtT

V dt V V dtRMS

T

p pp pT

TT

p

p= ◊ = ◊ + -( ) ◊

È

ÎÍ

˘

˚˙ =Ú ÚÚ1 12

0

2 2

0

VT

V V V tRMS p

T

pp pT

Tp

p

= + -( )È

ÎÍÍ

˘

˚˙˙

1 2

0

2

e considerando a fórmula (A.10)

VT

V TT

T TV T TRMS p p

p

pp p= ◊ +

-

Ê

ËÁ

ˆ

¯˜ ◊ -( )

È

Î

ÍÍ

˘

˚

˙˙

1 2

2

2

e finalmente VT

T TRMSp

p

=- (A.11)

Nota - VRMS

será igual a Vp = V

max quando o sinal for simétrico também em relação ao tempo, T

p = 1/2.T

3 - Sinal periódico com componente contínua

Para um sinal de tensão V , periódico e simétrico em relação a V = 0 a potência desenvolvida por unidade de tempo

numa resistência com o valor R será

PV

RtRMS=2

Se o sinal contiver uma componente contínua VCC

, sobreposta à componente variável VAC

, a componente contínua

terá de ser adicionada ao valor eficaz (RMS), mas não linearmente

PV

R

V

RtCC RMS AC= +

Ê

ËÁˆ

¯̃

2 2_

ou seja para o valor eficaz total, VRMS_T

V V VRMS T CC RMS AC_ _2 2 2= + (A.12)

tratamento e apresentação de dados experimentais

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