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Tratamiento de los Errores Accidentales
Clasificación de los Errores: Repaso
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MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Mar del Plata
Groseros Sistemáticos Accidentaleso fortuitos
Clasificación de los errores
Errores Groseros:
Son aquellos que por una cuestión inadvertida llevan a una evaluación
fallida de la medición.
Errores Sistemáticos:
Son aquellos que se repiten en magnitud y signo (en igualdad de
condiciones). Se los debería calcular y desafectar con alguna corrección.
Errores Accidentales:
Son aquellos que no se repiten siempre con la misma intensidad y signo
sino que siguen leyes del azar. No se los puede desafectar.
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En muchas aplicaciones es suficiente que el valor medido sea el resultado de
una única medición, y que la incertidumbre tome el valor de un Error Máximo o
Límite (como venimos haciendo).
Medición Única vs Varias Mediciones
Sin embargo, cuando se quiere aumentar la exactitud del resultado (es decir
acercarse más al valor verdadero) se pueden hacer varias mediciones del mismo
valor de la magnitud en las mismas condiciones experimentales, ya que si hay
en cada medición se cometen errores accidentales que siguen las leyes del
azar es posible que en una serie de mediciones haya por lo menos una
compensación parcial de esos errores accidentales. (Una medición
accidentalmente en exceso se compense con otra medición accidentalmente en
defecto).
Valor medido + Corrección ± E límite
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Si hay una compensación (aunque sea parcial) de los errores accidentales,
puede ser que algún valor representativo de esa serie de mediciones (por
ejemplo el promedio de ellas) sea más representativo del valor verdadero que una
medición tomada individualmente.
Medición Única vs Varias Mediciones
Conclusión general: Varias mediciones en las mismas
condiciones y un tratamiento estadístico posterior tienden a
mejorar la calidad de la medida
Además, si tomamos varias mediciones en lugar de una sola, podríamos
calcular algún índice que nos dé información acerca de la dispersión de los
valores medidos respecto del promedio, y si utilizamos ese índice de dispersión
como incertidumbre tendremos más información que si solo usamos el error
absoluto límite.
¡Para que esto suceda, los errores deben ser puramente aleatorios, lo que
implica que todas las correcciones por errores sistemáticos deben ser
realizadas previamente al tratamiento estadístico!
Conceptos Básicos sobre el Tratamiento Estadístico de una Serie de Mediciones
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Media aritmética:
Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones
Mediana (Mn):
Si llamamos v1 , v2 , ….. vn a las variantes de “n” mediciones independientes
obtenidas en las mismas condiciones se define:
Es el promedio de las “n” mediciones: 𝑣 =1
𝑛 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
Es aquella variante que divide el campo de observaciones en dos partes iguales.
Es decir la mitad de las mediciones son iguales o superiores a la mediana y la
mitad de las mediciones tienen valores iguales o menores que la mediana.
Si el número de variantes “n” es par se toma como mediana el promedio de los dos
valores centrales equidistantes de los extremos.
Modo (Mo):
Es aquella variante que se repite más veces.
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El Error Límite (E.L.) de una serie de mediciones:
Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones
Está determinado por los valores máximos de las desviaciones de la serie.
Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida puede expresarse el
resultado como:
10.000+25
-50
𝑣 = 𝑣 −𝐸𝐿+𝐸𝐿
No necesariamente los límites superior e inferior deben ser iguales, por ejemplo se
puede poner:
..LEv ..LEv v
100% de las
mediciones
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El Error Probable (E.P) de una serie de mediciones:
Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones
Se define como aquel valor tal que la mitad de las variantes resultan comprendidas
entre:
Error Medio (E.M.) de una serie de mediciones:Es el promedio de los valores absolutos de las desviaciones parciales.
𝐸. 𝑀. =1
𝑛 𝑣1 − 𝑣 + 𝑣2 − 𝑣 + ⋯ . + 𝑣𝑛 − 𝑣 =
1
𝑛 𝑣𝑖 − 𝑣
𝑛
𝑖=1
Si se usa este índice de dispersión para acotar una medida, la cota de error será
lógicamente menor que al usar E.L.
𝑣 = 𝑣 ± 𝐸. 𝑀.
50% de las “n” variantes
𝑣 − 𝐸. 𝑃. 𝑣 𝑣 + 𝐸. 𝑃.
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Parámetros Característicos de una Serie de Mediciones
La Desviación Normal o Desviación Típica (σ):
Es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los errores aparentes o
desvíos respecto de la media aritmética:
𝜎 = 1
𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2
𝑛
𝑖=1
• Para salvar este inconveniente, y como en la
práctica el número de mediciones es acotado, se
reemplaza “n” por “n-1” con lo que la ecuación
anterior se modifica a:𝑠 =
1
𝑛 − 1 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2
𝑛
𝑖=1
• Si se realizaran dos mediciones (n = 2) se podría
calcular un valor medio y dos desvíos, pero ambos
desvíos serían iguales en magnitud. Por lo tanto hay
solo una desviación independiente para n = 2
(desviación típica
para muestras pequeñas)𝑉 = 𝜎2
• Al cuadrado de los errores aparentes, es decir,
el cuadrado de la desviación normal se lo llama
Varianza (V):
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Histograma de Frecuencias Relativas
Intervalo Lecturas
Frecuencia
Relativa (fr)
(lecturas/total de
lecturas)
(99,65 a 99,75] 1 0,02
(99,75 a 99,85] 3 0,06
(99,85 a 99,95] 12 0,24
(99,95 a 100,05] 18 0,36
(100,05 a 100,15] 11 0,22
(100,15 a 100,25] 4 0,08
(100,25 a 100,35) 1 0,02
Total = 50 Suma = 1
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
99,7 99,8 99,9 100 100,1 100,2 100,3
Es un gráfico que representa como se distribuyen las mediciones que se presentaron
(es decir con que frecuencia se repitieron)
Ejemplo de 50 mediciones:
• Al histograma de frecuencias relativas también se lo denomina histograma de
probabilidad.
fr
Cantidades medidas
Funciones de Distribución de Probabilidades
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Los histogramas de probabilidades pueden ser
reinterpretados al tomar una función continua que
sea envolvente del gráfico escalonado. Estas
envolventes se denominan “funciones se
distribución de probabilidades”
Así como la media para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la
transparencia 7:
Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de
probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando
esta expresión:
𝑣 =1
𝑛 𝑣𝑖
𝑛
𝑖=1
dvvfvv ).(.
fr
f(v)
v
Funciones de Distribución de Probabilidades
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Los histogramas de probabilidades pueden ser
reinterpretados al tomar una función continua que
sea envolvente del gráfico escalonado. Estas
envolventes se denominan “funciones de
distribución de probabilidades”
Así como la varianza para “n” variantes se calcula con la ecuación vista en la
transparencia 9:
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 =1
𝑛 (𝑣𝑖 − 𝑣 )2
𝑛
𝑖=1
Se puede demostrar que se llega a la siguiente ecuación usando una distribución de
probabilidades “f(v)” (una función continua) en lugar de las “n” mediciones, quedando
esta expresión:
dvvfvvVarianza ).(.)( 2
Funciones de Distribución de Probabilidades
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Hay cuatro funciones de distribución de probabilidad que son las de mayor utilización
en el campo de las medidas eléctricas.
Funciones de distribución de probabilidades
más usadas
Distribución rectangular o uniforme
Distribución triangular
Distribución de Gauss
Distribución Student o “t”
Recordemos que en toda función de distribución de probabilidad el área
debajo de la curva es “1”.
Funciones de Distribución de Probabilidades
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Distribución rectangular:
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)()(:
22 ab
VVarianza
2
)(:ba
Xmedia
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Distribución triangular:
Funciones de Distribución de Probabilidades
3
)(:cba
Xmedia
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)(:222
2 bcacabcbaVVarianza
• Es una función continua acampanada que está caracterizada por
dos parámetros: el centro de la campana (la media “μ”) y el ancho
de la campana (la desviación típica, “σ”).
• Su función de distribución es:
La curva normal adopta una forma acampanada con un número infinito
de variaciones, determinadas por sus parámetros μ y σ.
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Distribución de Gauss:
Funciones de Distribución de Probabilidades
e 2
1)(
2
2
1-
v
vf
(media) y (desviación típica) son parámetros de la distribución
v = valores observados de la variable en estudio
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20 30 40 50 60 70 80
5
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Curvas gaussianas con distintas medias y desviaciones estándar
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Distribución de Gauss: Ejemplos
Funciones de Distribución de Probabilidades
µ20 30 40 50 60 70 80
50
40
60
v v
f(v)
e 2
1)(
2
2
1-
v
vf
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Distribución de Gauss:
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Funciones de Distribución de Probabilidades
La probabilidad de que una variante cualquiera “v” de las “n”mediciones se encuentre comprendida entre “a” y “b” será el aérea dela curva de distribución de probabilidades.
e 2
1)(
2
2
1-
v
vf
dv )()(
b
a
vfbvaP
Debido a que es muy laborioso resolver esta
integral para encontrar la probabilidad se realiza
un cambio de variable que simplifica el cálculo.
)( bvaP
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Funciones de Distribución de Probabilidades
Se define una variable auxiliar “z” 𝑧 =𝑣 − 𝜇
𝜎
La nueva variable z se distribuye como una Distribución de Gauss
normalizada o “distribución NORMAL” con media = 0 y
desviación típica = 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
z
68%
99%
95%
¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?
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𝜇 ± 𝜎 ≅ 68%
𝜇 ± 2𝜎 ≅ 95%
𝜇 ± 3𝜎 ≅ 99%
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¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?
Funciones de Distribución de Probabilidades
El área bajo la curva de esta distribución normal con media = 0 y
desviación típica = 1 en la variable “z” está resuelta, y sus valores
se muestran en distintas tablas.
Hay varios tipos de tablas de la
distribución normal
La que se explica aquí representa
áreas para diferentes valores de z
desde 0 hasta +
Entonces una vez transformada la variable “v” a valores de “z”
se busca en la tabla el área correspondiente
0+
Los valores negativos de z NOestán tabulados, ya que la distribución es simétrica
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Funciones de Distribución de Probabilidades¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .090.0 .50000 .49601 .49202 .48803 .48405 .48006 .47608 .47210 .46812 .464140.1 .46017 .45620 .45224 .44828 .44433 .44038 .43644 .43251 .42858 .424650.2 .42074 .41683 .41294 .40905 .40517 .40129 .39743 .39358 .38974 .385910.3 .38209 .37828 .37448 .37070 .36693 .36317 .35942 .35569 .35197 .348270.4 .34458 .34090 .33724 .33360 .32997 .32636 .32276 .31918 .31561 .312070.5 .30854 .30503 .30153 .29806 .29460 .29116 .28774 .28434 .28096 .277600.6 .27425 .27093 .26763 .26435 .26109 .25785 .25463 .25143 .24825 .245100.7 .24196 .23885 .23576 .23270 .22965 .22663 .22363 .22065 .21770 .214760.8 .21186 .20897 .20611 .20327 .20045 .19766 .19489 .19215 .18943 .186730.9 .18406 .18141 .17879 .17619 .17361 .17106 .16853 .16602 .16354 .161091.0 .15866 .15625 .15386 .15151 .14917 .14686 .14457 .14231 .14007 .137861.1 .13567 .13350 .13136 .12924 .12714 .12507 .12302 .12100 .11900 .117021.2 .11507 .11314 .11123 .10935 .10749 .10565 .10383 .10204 .10027 .098531.3 .09680 .09510 .09342 .09176 .09012 .08851 .08691 .08534 .08379 .082261.4 .08076 .07927 .07780 .07636 .07493 .07353 .07215 .07078 .06944 .068111.5 .06681 .06552 .06426 .06301 .06178 .06057 .05938 .05821 .05705 .055921.6 .05480 .05370 .05262 .05155 .05050 .04947 .04846 .04746 .04648 .045511.7 .04457 .04363 .04272 .04182 .04093 .04006 .03920 .03836 .03754 .036731.8 .03593 .03515 .03438 .03362 .03288 .03216 .03144 .03074 .03005 .029381.9 .02872 .02807 .02743 .02680 .02619 .02559 .02500 .02442 .02385 .023302.0 .02275 .02222 .02169 .02118 .02068 .02018 .01970 .01923 .01876 .01831
Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito
x?
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Funciones de Distribución de Probabilidades¿Cómo se resuelve una integral sobre la distribución de Gauss?
Tabla Distribución Normal: Area desde +z a infinito(continuación)
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .092.1 .01786 .01743 .01700 .01659 .01618 .01578 .01539 .01500 .01463 .014262.2 .01390 .01355 .01321 .01287 .01255 .01222 .01191 .01160 .01130 .011012.3 .01072 .01044 .01017 .00990 .00964 .00939 .00914 .00889 .00866 .008422.4 .00820 .00798 .00776 .00755 .00734 .00714 .00695 .00676 .00657 .00639
2.5 .00621 .00604 .00587 .00570 .00554 .00539 .00523 .00508 .00494 .004802.6 .00466 .00453 .00440 .00427 .00415 .00402 .00391 .00379 .00368 .003572.7 .00347 .00336 .00326 .00317 .00307 .00298 .00289 .00280 .00272 .002642.8 .00256 .00248 .00240 .00233 .00226 .00219 .00212 .00205 .00199 .001932.9 .00187 .00181 .00175 .00169 .00164 .00159 .00154 .00149 .00144 .001393.0 .00135 .00097 .00069 .00048 .00034 .00023 .00016 .00011 .00007 .000054.0 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
x?
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EJEMPLO
Una fuente de tensión fue medida 100 veces dando un valor
promedio de 4V en las mismas condiciones experimentales,
obteniendo de las mediciones una desviación normal = 1.5 V
¿Cuál es la probabilidad de que una nueva medición tenga un
valor superior a 6 V asumiendo que los valores se distribuyen
según la distribución de Gauss?
v 6V → (P(v 6 ))
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?6-3 -2 -1 0 1 2 3 z
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Solución:
= 4 V = 1.5 V
Hallar P ( v > 6 )
1.- Transformamos la variable tensión en una variable z.
El valor de z para una tensión de 6 V será:
z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33
v μz
σ
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6
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Solución:
= 4 V = 1.5 V
Hallar P ( v > 6 )
2.- Hallamos P ( z > 1.33) de una tabla:
P ( z > 1.33) = 0,09176 →
.02275
.02872
.03593
.04457
.05480
.06681
.08076
.09680
.11507
.13567
.15866
.18406
.21186
.24196
.27425
.30854
.34458
.38209
.42074
.46017
.50000
.00
.02222
.02807
.03515
.04363
.05370
.06552
.07927
.09510
.11314
.13350
.15625
.18141
.20897
.23885
.27093
.30503
.34090
.37828
.41683
.45620
.49601
.01
.02169
.02743
.03438
.04272
.05262
.06426
.07780
.09342
.11123
.13136
.15386
.17879
.20611
.23576
.26763
.30153
.33724
.37448
.41294
.45224
.49202
.02
.02118
.02680
.03362
.04182
.05155
.06301
.07636
.09176
.10935
.12924
.15151
.17619
.20327
.23270
.26435
.29806
.33360
.37070
.40905
.44828
.48803
.03
.02068
.02619
.03288
.04093
.05050
.06178
.07493
.09012
.10749
.12714
.14917
.17361
.20045
.22965
.26109
.29460
.32997
.36693
.40517
.44433
.48405
.04
.02018
.02559
.03216
.04006
.04947
.06057
.07353
.08851
.10565
.12507
.14686
.17106
.19766
.22663
.25785
.29116
.32636
.36317
.40129
.44038
.48006
.05
.01970
.02500
.03144
.03920
.04846
.05938
.07215
.08691
.10383
.12302
.14457
.16853
.19489
.22363
.25463
.28774
.32276
.35942
.39743
.43644
.47608
.06
.01923
.02442
.03074
.03836
.04746
.05821
.07078
.08534
.10204
.12100
.14231
.16602
.19215
.22065
.25143
.28434
.31918
.35569
.39358
.43251
.47210
.07
.01876
.02385
.03005
.03754
.04648
.05705
.06944
.08379
.10027
.11900
.14007
.16354
.18943
.21770
.24825
.28096
.31561
.35197
.38974
.42858
.46812
.08
.018312.0
.023301.9
.029381.8
.036731.7
.045511.6
.055921.5
.068111.4
.082261.3
.098531.2
.117021.1
.137861.0
.161090.9
.186730.8
.214760.7
.245100.6
.277600.5
.312070.4
.348270.3
.385910.2
.424650.1
.464140.0
.09z*
.02275
.02872
.03593
.04457
.05480
.06681
.08076
.09680
.11507
.13567
.15866
.18406
.21186
.24196
.27425
.30854
.34458
.38209
.42074
.46017
.50000
.00
.02222
.02807
.03515
.04363
.05370
.06552
.07927
.09510
.11314
.13350
.15625
.18141
.20897
.23885
.27093
.30503
.34090
.37828
.41683
.45620
.49601
.01
.02169
.02743
.03438
.04272
.05262
.06426
.07780
.09342
.11123
.13136
.15386
.17879
.20611
.23576
.26763
.30153
.33724
.37448
.41294
.45224
.49202
.02
.02118
.02680
.03362
.04182
.05155
.06301
.07636
.09176
.10935
.12924
.15151
.17619
.20327
.23270
.26435
.29806
.33360
.37070
.40905
.44828
.48803
.03
.02068
.02619
.03288
.04093
.05050
.06178
.07493
.09012
.10749
.12714
.14917
.17361
.20045
.22965
.26109
.29460
.32997
.36693
.40517
.44433
.48405
.04
.02018
.02559
.03216
.04006
.04947
.06057
.07353
.08851
.10565
.12507
.14686
.17106
.19766
.22663
.25785
.29116
.32636
.36317
.40129
.44038
.48006
.05
.01970
.02500
.03144
.03920
.04846
.05938
.07215
.08691
.10383
.12302
.14457
.16853
.19489
.22363
.25463
.28774
.32276
.35942
.39743
.43644
.47608
.06
.01923
.02442
.03074
.03836
.04746
.05821
.07078
.08534
.10204
.12100
.14231
.16602
.19215
.22065
.25143
.28434
.31918
.35569
.39358
.43251
.47210
.07
.01876
.02385
.03005
.03754
.04648
.05705
.06944
.08379
.10027
.11900
.14007
.16354
.18943
.21770
.24825
.28096
.31561
.35197
.38974
.42858
.46812
.08
.018312.0
.023301.9
.029381.8
.036731.7
.045511.6
.055921.5
.068111.4
.082261.3
.098531.2
.117021.1
.137861.0
.161090.9
.186730.8
.214760.7
.245100.6
.277600.5
.312070.4
.348270.3
.385910.2
.424650.1
.464140.0
.09z*
z = (6 V – 4V)/1.5V = 1.33
9,176%
25
26
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Sea una población de variantes que tiene una media μ y una distribución Gaussiana:
Sacamos su media
Supongamos que extraemos un subconjunto
(una muestra) de “n” variantes:
Las medias de distintas muestras de “n” mediciones cada una, forman también una distribución de Gauss, alrededor de µ que tiene una desviación normal
𝑣 1
𝑣 1 = 𝜇 ; 𝑣 1 < 𝜇 ; 𝑣 1 > 𝜇
µ
𝜎𝑣 =𝜎𝑣1
𝑛
Funciones de Distribución de Probabilidades
Puede ser que:
1v
nn
v
v
1
Sacamos su desviación 1v
v
v,
,Distribución de las
medias de las muestras
Distribución de la población
27
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Sucede que cuando el tamaño de la muestra (n) es muy pequeño, la muestra puede no ser representativa, entonces, la desviación normal de la muestra “S” (que es lo
que podemos calcular) solo sirve como primera aproximación para calcular la desviación de la media.
𝑣 1
µ
W. S. Goset bajo el seudónimo de “Student” abordó el problema e incorporó un factor “t” en el estudio, a partir del
cual se puede estimar la diferencia entre la media de una muestra de tamaño “n” ( ) y la media del universo ( μ )
como:
Funciones de Distribución de Probabilidades
n
Stv
v11
nv
𝑣
y
v
x
0
-x
v
µ 1v
1v
28
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𝑣 1
µ
El valor de “t” depende del tamaño de la muestra y de la probabilidad de ser cierta que se le quiere dar a la
desviación
Por lo tanto, los valores de “t” forman nuevas distribuciones, es decir, hay una familia de distribuciones
de “t” (una para cada tamaño de muestra).
Funciones de Distribución de Probabilidades
n
Stv
v11
𝑣
y
v
x
0
-x
v
µ 1v
1v
29
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Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):
Funciones de Distribución de Probabilidades
No hay una distribución de Student, sino una "familia" de
distribuciones Student, todas con la misma media cero, pero con su respectiva
desviación estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe
una “distribución t” p.ej. para una muestra de 10, otra para una muestra de 11,
y así sucesivamente.
Al igual que la distribución normal, son distribuciones continuas, acampanadas y
simétricas.
Las distribuciones de Student tienen una media de cero, son simétricas respecto
de la media y se extienden de - a + .
Las distribuciones de Student son más anchas y más planas en el centro que
la distribución de Gauss normalizada. Sin embargo, a medida que aumenta el
tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución de Gauss.
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Distribución de Normal vs Student:
Funciones de Distribución de Probabilidades
Distribución Normal (es única)
Distribución Student para n=2
Distribución Student para n=4
Distribución Student para n=30
Distribución Normal (es única)
Distribución Normal (es única)
30
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Funciones de Distribución de Probabilidades
¿Cómo se trabaja con una distribución de Student?
Se define una variable t :
Los valores de t están tabulados para distintas probabilidades de
ocurrencia y grados de libertad (n-1) existiendo distintas tablas con
ligeras variaciones en cuanto a como se las utiliza.
n
S
vt
1
Distribución de Gosset o Student (también llamada “t”):
n
Stv 131
Entonces se puede afirmar que:
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Distribución Student:
Funciones de Distribución de Probabilidades
Dada una muestra de “n”
variantes
1
)(
1
211
n
vvn
i
i
Sn
Stv 1
Es una afirmación con la probabilidad que se fijó de ser verdadera
f(y)
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𝑣 1
µ
Grados de libertad = n-1
Se fija una probabilidad
(por ende un valor de α dependiendo
de la tabla que se use)
Se extrae un valor de t de tabla
¿Cómo se trabaja con las distribuciones de Student?
33
Se realiza un estudio de consumo de agua en una pequeña ciudad, tomando
como referencia las mediciones en una muestra al azar de 10 viviendas,
arrojando los siguientes consumos diarios:
Vivienda Consumo [litros/día]
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EJEMPLO
Calcule cuanto consume en promedio
una vivienda de la ciudad con una
probabilidad del 90% de ser una
afirmación correcta.
34
díaln
n
vv
n
s
n
i
/93.61
)(1
2
En función de los grados de libertad y el índice de confianza se
determina el valor de t de la tabla de Student
díalv /168
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Solución:
35
MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica
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Distribución Student:
Calcule cuanto consume en
promedio una vivienda de la
ciudad con una probabilidad del
90% de ser una afirmación
correcta.
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Distribución Student:
37
díaln
n
x
n
s
n
i
/93.61
1
2
díal /)13168()93,6.833,1(168
díalitrospromedioconsumodíalitros /181/155
díalv /168
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Solución:
38
Distribución
de StudentCuando por
razones
económicas la
muestra está
acotada en
número
Distribución
de GaussCuando
disponemos de
un número
considerable de
muestras (>30)
Tamaño de
la muestra
En resumen:
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Medición de Corriente de Corte
de Fusibles
(ensayo destructivo)
CASO IICASO I
Medición de Capacitores
(ensayo no destructivo)
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Teoría de Gauss Teoría de Student
EJEMPLO
40
Ley de Propagación de la Varianza
)v,u(fw Sea una función que relaciona dos variables u y v:
),( vufW
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Ley de propagación de la Varianza
Y que se realicen una serie de “n” mediciones de u y v, demanera que se puedan calcular las medias aritméticas y lasdesviaciones típicas de esas variables:
Nos proponemos encontrar cuanto vale la desviación típica de la variable W, es decir, σw :
u u v v
u,.....,u ,u n21 v,....., v,v n21
42
111.)(.)( ,, vvuv
wuvuu
ww EEE
Podemos tomar los errores cometidos en la medición numero 1 de u (u1)
(llamémoslo Eu1) y en la medición 1 de v (v1) que podemos llamarlo Ev1 y
propagarlos con la ley de propagación del error, para obtener el error en la medición
1 de w (llamémoslo Ew1). Es decir:
1uE1v
EyPRIMERA MEDICION:
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Ley de propagación de la Varianza
Para otro par de mediciones u2 y v2 tendremos lo mismo:
222.)(.)( ,, vvuv
wuvuu
ww EEE
2uE2vEySEGUNDA MEDICION:
Genéricamente:
iii vvuvw
uvuuw
w EEE .)(.)( ,,
43
Es lo que vimos en la clase anterior
n
i
wwwww inE
nEEE
n 1
22222 1......
121
Con todos los errores cometidos sobre la variable W (Ew1, Ew2,….., Ewn) podemos
calcular la varianza σw aplicando su definición (transparencia 10):
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Ley de propagación de la Varianza
Pero como dijimos:
Entonces su valor al cuadrado será:
2,,
2.)(.)(
iii vvuvw
uvuuw
w EEE
iii vvuvw
uvuuw
w EEE .)(.)( ,,
iiiii vvuvw
uvuuw
vvuvw
uvuuw
w EEEEE .).(.).(2.)(.)( ,,
22
,
22
,
2
44
n
i
ww iE
n 1
22 1
Reemplazando:
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Ley de propagación de la Varianza
Pero:
n
i
vuvuvw
vuuw
n
i
vvuvw
n
i
uvuuw
w iiiiEEEE
n 1
,,
1
22
,
1
22
,
2)()(2)()(
1
2
1
21u
n
i
uiE
n
2
1
21v
n
i
viE
n
Esta expresión se conoce como ley de propagación de la varianza
n
i
vuvuvw
vuuw
vvuvw
uvuuw
w iiEE
n 1
,,
22
,
22
,
2 1)()(2)()(
Caso particular:
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Ley de propagación de la Varianza
Esta expresión se conoce como ley de propagación de la varianza
para variables no correlacionadas
01
n
i
vu iiEE
Si los errores que afectan a las variables u y v (Eui y Evi) son totalmente
independientes, es decir, un error aleatorio que afecte a u no tiene ninguna
relación con el error aleatorio que afecte a v, la expresión anterior se simplifica
porque:
22
,
22
,
2)()( vvuv
wuvuu
ww
Entonces:
MEDICIONES ELÉCTRICAS IDepartamento de Ingeniería Eléctrica y Electromecánica
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Ley de propagación de la Varianza
Esta expresión se conoce como ley de propagación de la varianza
para variables correlacionadas
01
1
n
i
vu iiEE
n
Si los errores que afectan a las variables u y v (Eui y Evi) no son totalmente
independientes, es decir, si están relacionados de alguna manera se cumple que:
),(cov)()(2)()( ,,
22
,
22
,
2vuvuv
wvuu
wvvuv
wuvuu
ww
Entonces:
v)(u, covarianza1
1
n
i
vu iiEE
n
A este término se lo denomina covarianza:
48
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• Las magnitudes de entrada u y v son independientes; por ejemplo,
cuando se han observado reiterada, pero no simultáneamente, en
diferentes experimentos independientes, o cuando representan
magnitudes resultantes de diferentes evaluaciones que se han realizado
de forma independiente.
• No existe información suficiente para valorar la existencia de una
correlación entre las magnitudes de entrada.
En la práctica, se considera que no hay correlación entre las variables
cuando:
Ley de propagación de la Varianza
Ejemplo:
Averiguar la desviación típica porcentual de una resistencia calculada a partir de
“n” mediciones de tensión y “n” mediciones de corriente, cuyos valores medios y
desviaciones típicas son: U = 100 V ± 12 V y I = 10 A ± 2 A.
22222 .)(.)( IIR
UUR
R
2222122 II
UUIR
2
2
2
2
2
22221 210
10012
10
12
II
UUIR
33.2444.1R %3.23% R
Una desviación del 12% en la tensión y del 20% en
la corriente contribuyen para que la desviación
normal en la resistencia calculada sea del 23%.
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10m
m
mI
VR
Fómula usada porque no hay datos para evaluar una correlación entre tensión y corriente
210mR