tratamiento numérico y aplicación de la ecuación de

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS EAP. DE MATEMÁTICA

Tratamiento numérico y aplicación de la ecuación de advección difusión

TESINA

Para optar el Título de Licenciado en Matemática

AUTOR

Marlo Carranza Purca

LIMA – PERÚ 2009

UNMSM TESINA DE LICENCIATURA

Autor: Marlo Carranza PurcaTitulo: Tratamiento Numerico y Aplicacion de la Ecuacion de Adveccion DifusionFecha: 17 / 12 / 2009 Pginas: 95

Facultad: Facultad de Ciencias MatemticasEscuela: Matemticas

Asesor: Profesor Dr. Efraın Carbajal Pe na

Palabras: Ecuacion de Adveccion Difusion,Tratamiento Numericoclaves: Diferencias finitas,Estabilidad,Consistencia,Convergencia

2

3

Tratamiento Numerico y Aplicacion de la Ecuacion

de Adveccion Difusion


Tesina presentada a condicion del Cuerpo Docente de la Facultad de Cien-cias Matematicas, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, comoparte de los requisitos para obtener el Tıtulo profesional de Licenciado enMatematicas.

Aprobada por:

..............................................Dr. Hugo Lazaro Manrrique

..............................................Dr. Efraın Carbajal Pena

Lima - Peru

Diciembre-2009

4

DedicatoriaA quien me dıo la vida y guia mi camino.

A mi hermana Carito que siempre la lle-vo en mi corazon que con su entusiasmo yenergia siempre me alienta a seguir ade-lante.A mi esposa que con su cari no y compren-sion me ayuda a avanzar paso a paso.A mi hijo Hoking que ilumina mis dıas .

Sustentado, 17 /12 / 2009


5

Resumen

Diversos procesos naturales, tecnicos e industriales de interes medioam-biental se modelan a traves de la ecuacion de conveccion-difusion-reacciontransitoria ∂u

∂t−∇.(β∇u) + α.∇u = f que motiva el presente trabajo y ha-

ce ver su importancia. Segundo fundamentamos en general que tiene sentidohacer los calculos buscando la solucion numerica de la ecuacion de conveccion-difusion-reaccion, pues hacemos la demostracion de la existencia y unicidadde la solucion.Tercero, hacemos un analisis del metodo de diferencias fini-tas con el esquema explicito e implicito aplicado a la ecuacion de advecciondifusion, es decir afirmamos, fundamentamos y damos los intervalos de varia-cion para los pasos del tiempo y espacio para que la solucion aproximada seacerque infinitamente a la solucion analıtica, asi como tambiem estudiamosla estabilidad del algoritmo, los parametros de la misma ecuacion quedandeterminados por el mismo problema en particular, se obtienen en formaexperimental.En la region de estabilidad de la fig.(3.1) mostrado pertece alarticulo [Is],que en este trabajo esta region quedaria mas afinada en el inter-valo de (0,2)x(0,1) es decir mejoramos el resultado que aparece un algunosarticulos. Cuarto, mostramos algunos ejemplos hechos con nuestro progra-ma, donde vemos que si no tomamos en cuenta la region de estabilidad delmetodo, no nos aproximamos a la solucion, en el ej.1 , vemos discontinuida-des. en el ej.2 comparamos con un experimento hecho en un rıo, esto es unaforma de verificar tomando en cuenta un ej. real, bueno hecho en otro paıs,pues para recoger las mediciones sobre un rıo se necesitan materiales comoun espectometro, tinta fosforecente o un marcador en este caso rodamina al10 por ciento.

6

Abstract

Many natural process, technical and industrially of environmental inter-est are done through the equation of transitional convection -diffusion andreaction ∂u

∂t− ∇.(β∇u) + α.∇u = f that give a motivation to this work

and carry out its importance. Second, we support that making calculationlooking for the numerical solution of the equation of transitional convection-diffusion and reaction.We make a demonstration of the existence of the solu-tion . Third, we make an analyze of the method of differences finite with theexplicit and the implicit sketch used in the equation of diffusion advection;that’s means we declare foundation and we give the interval of variation forthe steps of time or space because the proximately infinity solution is nearof analytic solution .Also we study the stability of the algorithm, the foun-dations of the same equation are determinate for the same problem, we havein particular we have in experimental way. In the region of the stability offig.(3.1)that is show in the article [Is],in this work this region is more finein the interval (0,2)x(0,1),that’s means we improve the result that appear insame articles. fourth ,we show same examples that we have done with ourproblem where we see that if we don’t think in the region of the stabilityof the method ,we will be near the solution in the example of the exerciseej.1,we are able to see the discontinuity in the exercise ej.2.we can comparewith un experiment that is done in a river ,this is a way to verify taking areal example ,in other country because we need a un spectrometer ,highlightink or a scoreboard for make mediation on the river ;in this case rodaminaat 10 percent

Indice general

1. Preliminares 31.1. Definiciones y Teoremas sobre Analisis Funcional . . . . . . . 31.2. Metodo de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Tratamiento de un problema de evolucion . . . . . . . . . . . 12

2. Modelo Matematico, Aplicacion y Analisis. 152.1. Problemas de conveccion difusion transitorios . . . . . . . . . 152.2. Motivacion, Aplicaciones tecnologicas . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1. Modelacion del transporte de Solutos en rıos . . . . . . 162.2.2. Balance de Masa Unidimensional en un Reactor . . . . 222.2.3. Densidad de Poblacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.4. Economıa. La ecuacion de Fisher Black, Myron Scho-

les,Robert Merton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1. Existencia y unicidad de la solucion de la EcuacionParabolica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. La Ecuacion de Adveccion Difusion. 453.1. Diferencias finitas en la Ecuacion de Adveccion difusion . . . 45

3.1.1. Esquema Explicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.2. Esquema Implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Solucion de Grandes Sistemas de Ecuaciones Lineales 614.1. Metodo del Maximo Descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2. Metodo de la Gradiente Conjugada . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Simulacion Numerica 735.1. La Ecuacion de Adveccion Difusion . . . . . . . . . . . . . . . 74

7

8 INDICE GENERAL

5.2. La Ecuacion de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6. Conclusiones 85

A. Codigos 87

Bibliografıa 95

Introduccion

Diversos procesos naturales e industriales de interes fısico; biologico, etc.son fenomenos de adveccion, difusion y reaccion transitorios.Este es el caso, por ejemplo, del funcionamiento de los reactores quımicos;ladensidad de poblacion de una especie natural o el estudio de la propagacionde sustancias contaminantes en diferentes medios.La solucion de dicha ecuacion representa la concentracion de la sustancia quese dispersa y es una informacion muy importante en el estudio de diversosproblemas de interes ecologico como son: estimacion del impacto ambien-tal por derrames de petroleo, ubicacion optima de nuevas plantas industria-les,determinacion del sitio de una explosion nuclear y control de emisionesindustriales.Debido a la complejidad de estos problemas no es posible en general obteneruna solucion analıtica para la ecuacion de difusion-adveccion-reaccion, porlo que es necesario usar tecnicas numericas para hallar una solucion aproxi-mada.La modelizacion numerica de estas aplicaciones tecnologicas requiere del usotecnicas adecuadas para la resolucion aducuada de las dificultades numericasque se presentan debido a la propia naturaleza del problema traducido en laecuacion ası como de los problemas que surgen en el tratamiento numerico.

Objetivos

Se plantea la resolucion de la ecuacion de adveccion difusion longitudi-nal;(se pueden usar para resolver problemas de adveccion difusion en 2Dcomo en 3D );aplicando esquemas explicitos e implicitos en diferencias fini-tas.Presentar criterios de estabilidad sencillos, los cuales garantizan la estabilidadde los esquemas en diferencias finitas para resolver la ecuacion de adveccion

1

2 INDICE GENERAL

dispersion longitudinal; los criterios obtenidos deben garantizar la estabili-dad y convergencia, como funcion de los numeros de Couran y Peclet, contodo esto se tiene a disposicion metodos sencillos que son numericamenteestables y convergentes y asi no se considera necesario recurrir a metodosmas complicados para resolver la ecuacion de adveccion dispersion para elcaso unidimensional.

Extructura del trabajo

En el capitulo I hacemos un resumen de algunas definiciones y propieda-des del analisis funcional ası como del metodo de diferencias finitas para seraplicados a problemas de adveccion difusion para el caso unidimensional.

En el capitulo II presentamos el modelo matematico a estudiar ası co-mo a manera de motivacion algunas aplicaciones diversas y luego vemos laexistencia y unicidad de la solucion de nuestra ecuacion modelo.

En el capitulo III Presentamos a la ecuacion Adveccion difusion tran-sitoria y realizamos su correspondiente analisis numerico, nos ocupamos dela estabilidad la consistencia y la convergencia para los esquemas explicitoe implicito de Crank Nicolson respectivamente, necesarios para realizar laimplementacion computacional y ver algunos experimentos.

En el capitulo IV hacemos referencia a la resolucion numerica de los gran-des sistemas de ecuaciones lineales y revisamos los metodos iterativos masimportantes para tratar sistemas de ecuaciones lineales, en especial los siste-mas simetricos y definidos positivos que surgen en el tratamiento numerico delas ecuaciones diferenciales, en nuestro caso la ecuacion de adveccion difusionunidimensional.

En el capitulo V damos algunos ejemplos numericos sobre la ecuacion deadveccion difusion teniendo en cuenta el correspondiente analisis numericohecho en el capitulo III dode nos ocupamos de la estabilidad la consistenciay la convergencia para los esquemas explicito e implicito de Crank Nicolsonrespectivamente.

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Definiciones y Teoremas sobre Analisis

Funcional

Soporte de una funcion

sea Ω ⊂ ℜn,Ω es un conjunto abierto y una funcion u : Ω → ℜ el so-porte se denota y define :

Sop(u) = x ∈ Ω/u(x) 6= 0Ω

C∞(Ω) = u : Ω → R/ existen la derivadas de todos los ordenes y son continuas C∞

0 (Ω) = u ∈ C∞(Ω)/Sop(u) es compacto

Convergencia en C∞0 (Ω)

Sea ϕµ ⊂ C∞0 (Ω) una sucesion, diremos que ϕµ → 0 si:

i)∃K cpto. fijo tal que sop(ϕµ) ⊂ K, ∀µii)Para ∀α ∈ Nn, Dαϕµ → 0 uniformemente en KCon esta convergencia dada en C∞

0 (Ω), definimos

D(Ω) = (C∞0 (Ω),→)

El espacio de funciones test o de prueba con la topologıa lımite inductivo.

3

4 1.1. Definiciones y Teoremas sobre Analisis Funcional

Distribucion

Sea T : D(Ω) → K una funcion lineal, diremos que:a) T es continua en el sentido de la convergencia definida sobre D(Ω), si∀(ϕµ) ⊂ C∞

0 (Ω) tal que ϕµ → 0 en D(Ω) en R ( en el sentido de la conver-gencia en D(Ω) entonces 〈T, ϕµ〉 → 0 en RDenotaremos 〈T, ϕµ〉 = T (ϕµ)b) T es una distribucion sobre Ω si T es lineal y continuo en D(Ω)Al espacio de las distribuciones se le denotara por

D′(Ω) = T : D(Ω) → R/T es distribucion sobre Ω

Convergencia

Sea (ϕµ )µ ∈ N ⊂ D′(Ω), T ∈ D′(Ω) diremos que:a) Tµ → 0 en D′(Ω) si 〈Tµ, ϕ〉 → 0 en R, ∀ϕ ∈ D(Ω)b) Tµ → T en D′(Ω) si (Tµ − T ) → 0 en D′(Ω)

Espacios Lp(Ω)

sea Ω ⊂ ℜn f medible y 0 < p <∞

Lp(Ω) =

f medible /

∫

Ω

|f |p <∞

‖f‖ = (|f |p)1/p

Desigualdad de Yung

Si 0 < p <∞ 1p+ 1

q= 1 entonces ab ≤ ap

p+ bq

q∀a ≥ 0, b ≥ 0

Desigualdad de Holder

Para 1 ≤ p, q ≤ ∞ tal que 1 = 1p+1

qsi f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp(Ω) entonces

fg ∈ L1(Ω) y ‖fg‖L1(Ω) ≤ ‖f‖Lp(Ω) ‖g‖Lq(Ω)

Espacio L1loc(Ω)

Sea Ω ⊂ ℜn f medible , f es localmente integrable en Ω si∫

K

|f(x)|dx <∞ ∀K ⊂ Ω compacto

1. Preliminares 5

L1loc(Ω) = f medible /f es integrable

Para 1 < p <∞

Lploc(Ω) = f medible /

∫

K

|f(x)|pdx <∞∀K ⊂ Ω compacto

Teorema 1Si f y g ∈ L1

loc(Ω) entonces

Tf = Tg ( en el esentido de las distribuciones ) Si y solo si f=g

Espacios de Sobolev

W k,p(Ω) = f ∈ Lp(Ω)/Dαf ∈ Lp(Ω) , ∀α ∈ Nn 0 ≤ |α| ≤ k

Si p = 2 entonces W k,2(Ω) = Hk(Ω)

Observaciones

1) El espacio W k,p(Ω) es un espacio vectorial.

2)Dαf son derivadas en el sentido de las distribuciones; para cadaW k,p(Ω)definimos la norma de f dada por,

‖f‖pk,p =∑

|α|≤k

∫

Ω

|Dαf(x)|pdx

Teorema 2El espacio de Sovlolev es de Banach.

Espacio W k,po (Ω)

Wm,po (Ω) = D(Ω)

Wm,po (Ω)

si p=2 se escribe Hmo (Ω)

Corolario

D(Ω) es denso en Hko (Ω)

6 1.1. Definiciones y Teoremas sobre Analisis Funcional

Desigualdad de Sobolev

Suponga 1 ≤ p < n y 1q= 1

p− 1

ny co = (n−1)p

((n−p)entonces, para cada

ϕ ∈ D(Rn se tiene :

|ϕ| ≤ con

n∑

i=1

‖Diϕ‖Lp(Rn

Desigualdad de Gronwall

Sean f y g continuas en [a, b] yH constante no negativa; f, g : [a, b] → R+0

tales que:

f(t) = H +

∫ t

a

f(s)g(s)ds ∀t ∈ [a, b]

entonces

f(t) ≤ H exp(

∫ t

a

g(s)ds) ∀t ∈ [a, b]

Condiciones de Caratheodory

Consideremos el problema de valor inicial.

∣∣∣∣

x′ = f(t, x)x(to) = xo ............(∗)

donde D ⊆ Rn+1 es un abierto (to, xo) ∈ D, t ∈ R, x ∈ Rn

Se dice que f satisface las condiciones de caratheodory sobre D si1. f(t, x) es medible en t para x fijo2. f(t, x) es continua en x para t fijo3. Para cada conjunto compacto U ⊆ D existe una funcion real integrablemU(t) tal que

|f(t, x)| ≤ mU(t)∀(t, x) ∈ U

Teorema

Sea D un abierto de Rn+1 y f satisface las condiciones de Caratheodorysobre D entonces el problema (*) tiene solucion para cualquier (t, x) ∈ D

la dedmostracion se puede ver en MILLA MIRANDA, Analisis Espectralen espacios de Hilberth. Texto de Metodos Matmaticos, UFRJ -1988

1. Preliminares 7

1.2. Metodo de Diferencias Finitas

Este metodo de diferencias finitas consiste en reemplazar un dominio con-tinuo espacio tiempo por un conjunto de puntos (cada uno de ellos llamadosnodos) llamado malla o red computacional; plantearemos los esquemas de di-ferencias en cada uno de los nodos interiores del mallado teniendo en cuentalas moleculas computacionales. Es decir tenemos que prescindir de la ecua-cion (es) en derivadas parciales por un sistema de ecuaciones algebraicas,pues se aproximan a los operadores diferenciales por diferencia finita, de estaforma se obtiene una ecuacion algebraica en cada punto de la malla, estasecuaciones algebraicas involucran los valores de las funciones en el puntoconsiderado y en sus vecinos cercanos (llamado molecula computacional). Deesta manera nuestro problema se transforma en uno de algebra matricial.

Vamos a trabajar en un dominio Ω = [a, b]× [c, d] acotado en R2 con lasparticiones siguientes

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xM = b

c = t0 < t1 < t2 < · · · < tm = d

Donde el tamano de los pasos ∆t, ∆x,puede ser homogeneo o no, si lotomamos homogeneo en este caso tenemos

∆x = xi − xi−1 =b− a

M= h

∆t = tj − xj−1 =d− c

m= k

Tenemos entonces el dominio discreto.

D = (xi, tj)/i = 0, 1, 2, ...M, j = 0, 1, 2, ...m

Obtencion de formulas en diferencis finitas para la aproximacionde derivadas de funciones

La forma mas usual para obtener expresiones en diferencias finitas de losvalores de las derivadas de funciones consiste en combinar de forma adecuadadesarrollos en serie de Taylor de dichas funciones.

Ello exige, admitir cierta regularidad para las funciones con las que se ope-re en el sentido de exigir que la funcion pueda desarrollarse en serie de Taylor

8 1.2. Metodo de Diferencias Finitas

Figura 1.1: Ej. de malla de diferencias finitas con nodo central (xo, yo)

hasta el ultimo termino que nos interese y siendo h > 0 y k > 0,consideremoslos desarrollos en series:

u(x∗ + h, y∗) = u(x∗, y∗) + h∂

∂xu(x∗, y∗) +

h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗) +

+h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗) +

h4

24

∂4

∂x4u(x∗, y∗) + ... (1.1)

u(x∗ − h, y∗) = u(x∗, y∗)− h∂

∂xu(x∗, y∗) +

h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗)−

−h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗) +

h4

24

∂4

∂x4u(x∗, y∗)− ... (1.2)

u(x∗, y∗ + k) = u(x∗, y∗) + k∂

∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗) +

+k3

6

∂3

∂y3u(x∗, y∗) +

k4

24

∂4

∂y4u(x∗, y∗) + ... (1.3)

u(x∗, y∗ − k) = u(x∗, y∗)− k∂

∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗)−

−k3

6

∂3

∂y3u(x∗, y∗) +

k4

24

∂4

∂y4u(x∗, y∗)... (1.4)

1. Preliminares 9

u(x∗ + h, y∗ + k) = u(x∗, y∗) + h∂

∂xu(x∗, y∗) + k

∂

∂yu(x∗, y∗) +

+h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗) + hk

∂2

∂x∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗) +

+h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗) +

h2k

2

∂3

∂x2∂yu(x∗, y∗) +

hk2

2

∂3

∂x∂y2u(x∗, y∗) +

+k3

6

∂3

∂y3u(x∗, y∗) + · · · (1.5)

u(x∗ + h, y∗ − k) = u(x∗, y∗) + h∂

∂xu(x∗, y∗)− k

∂

∂yu(x∗, y∗) +

+h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗)− hk

∂2

∂x∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗) +

+h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗)− h2k

2

∂3

∂x2∂yu(x∗, y∗) +

+hk2

2

∂3

∂x∂y2u(x∗, y∗)− k3

6

∂3

∂y3u(x∗, y∗) + · · · (1.6)

u(x∗ − h, y∗ + k) = u(x∗, y∗)− h∂

∂xu(x∗, y∗) + k

∂

∂yu(x∗, y∗) +

+h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗)− hk

∂2

∂x∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗)−

−h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗) +

h2k

2

∂3

∂x2∂yu(x∗, y∗)− hk2

2

∂3

∂x∂y2u(x∗, y∗) +

+k3

6

∂3

∂y3u(x∗, y∗) + · · · (1.7)

10 1.2. Metodo de Diferencias Finitas

u(x∗ − h, y∗ − k) = u(x∗, y∗)− h∂

∂xu(x∗, y∗)− k

∂

∂yu(x∗, y∗) +

+h2

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗) + hk

∂2

∂x∂yu(x∗, y∗) +

k2

2

∂2

∂y2u(x∗, y∗)−

−h3

6

∂3

∂x3u(x∗, y∗)− h2k

2

∂3

∂x3∂yu(x∗, y∗)−−hk

2

2

∂3

∂x∂y2u(x∗, y∗)−

−k3

6

partial3

∂y3u(x∗, y∗) + · · · (1.8)

Con los ocho desarrollos anteriores podemos obtener diferentes formas deaproximar las derivadas parciales (de primer y segundo orden ) de la funcionu en el punto (x∗, y∗) .

En efecto de (1) puede despejarse la primera derivada parcial de u respectoa x obtenindose

∂

∂xu(x∗, y∗) =

u(x∗ + h, y∗)− u(x∗, y∗)

h− h

2

∂2

∂x2u(x∗, y∗)− h2

6

∂3

∂x3− · · ·

Es decir:∂u

∂x≈ u(x∗ + h, y∗)− u(x∗, y∗)

h(1.9)

Es una formula en diferencias finitas progresiva, aproxima la derivadaparcial respecto a x de la funcion u en (x∗, y∗) con error de truncatura:

Etr = 0(h)

De (2) tenemos :

∂u

∂x≈ u(x∗, y∗)− u(x∗ − h, y∗)

h(1.10)

Es una formula de diferencias finitas progresiva, con un error de truncatura:

Etr = (h)

Restando (2) de (1) obtendramos la formula centrada

∂u

∂x≈ u(x∗ + h, y∗)− u(x∗ − h, y∗)

2h(1.11)

1. Preliminares 11

Con error de truncaturaEtr = o(h2)

De(3)y (4) se tiene para aproximar la primera derivada parcial respectoa y las formulas y errores.Progresiva

∂u

∂y≈ u(x∗, y∗ + k)− u(x∗, y∗)

k(1.12)

Etr = 0(k)

Regresiva∂u

∂y≈ u(x∗, y∗)− u(x∗, y∗ − k)

h(1.13)

Etr = 0(k)

Centrada∂u

∂y≈ u(x∗, y∗ + k)− u(x∗, y∗ − k)

h(1.14)

Etr = 0(k2)

Para aproximar la segunda derivada parcial de u respecto a x en el punto(x∗, y∗) podrıa, sumarse (11) con (12) lo que nos conducira a la formula.Centrada

∂u2

∂x2≈ u(x∗ − h, y∗)− 2u(x∗, y∗) + u(x∗ + h, y∗)

h2(1.15)

Etr = 0(h2)

Y sumando (3) con (4) se obtendra.

∂u2

∂y2≈ u(x∗, y∗ − k)− 2u(x∗, y∗) + u(x∗, y∗ + k)

k(1.16)

Etr = 0(k2)

Para aproximar la segunda derivada cruzada podran sumarse (5) y (8) ya esto restarle (6) y (7) y tendremos:

∂2u

∂x∂y≈ u(x∗ + h, y∗ + k)− u(x∗ − h, y∗ + k)− u(x∗ + h, y∗ − k) + u(x∗ − h, y∗ − k)

4hk(1.17)

Etr = 0(h3

k, h2, hk, k2,

k3

h)

12 1.3. Tratamiento de un problema de evolucion

1.3. Tratamiento de un problema de evolu-

cion

El tratamiento numerico mediante diferencias finitas de este tipo de pro-blemas se fundamenta en dos pasos: en primer lugar se procede a realizar unadiscretizacion temporal del problema y tras ello se realiza una discretizacionespacial, mediante un esquema de diferencias finitas como los esquemas plan-teados.

Siendo sencilla la idea sobre la que se sustenta los esquemas numericosen diferencias finitas para la resolucin aproximada de problemas evolutivoscomo el antes planteado, aparecen nuevas cuestiones que sera necesario ana-lizar tales como, ¿Que relacion debe haber entre el tama no de paso temporaly los tama nos de discretizacion espacial para garantizar la convergencia ?;¿Que error es de esperar que tengan las soluciones obtenidas mediante esteeste esquema numerico ? ¿cual es la diferencia entre la solucion exacta unjsobre los puntos de la malla y la solucion aproximada Un

j ? etc.

DEFINICION (ERROR DE TRUNCAMIENTO τ )

Dado el problema Lu = fL : Operador diferencial, complementado con ciertas condiciones del proble-ma lleva a

LhU = fh

Lh :Aproximacion al operador diferencial.Definimos error de truncatura como

Lhu− fh = τ

El cual es la cantidad por la que solucion exacta no satisface el esquemanumerico (Es lo que hay que eliminar a la EDP para para obtener las ecua-ciones discretas)

DEFINICION (CONSISTENCIA)

Un metodo es consistente con el problema en una cierta norma discretade ℜn cuando ∆t,∆x→ 0 si

1. Preliminares 13

lım∆x→0∆t→0

(

max0≤n∆t≤T

‖τn‖)

= 0

DEFINICION (ESTABILIDAD)

El concepto de Estabilidad de un esquema numerica nos permite anali-zar como peque nos errores iniciales se trasmiten en las sucesivas etapas decalculo de la solucion aproximada.

EL METODO DE VON NEUMANN

La idea de Von Neumann consiste en el estudio de las soluciones exactasdel tipo u(x, y) = f(t)eikx de la ecuacion en derivadas parciales. Al sustituiren la misma encontramos el valor de f(t) , una vez conocidas las propiedadesde las soluciones exactas de la ecuacion en derivadas parciales se trata dever si el esquema en en derivadas cumple las propiedades discretas analogastomando soluciones discretas Un

j = fneikj∆x con i =

√−1 Dado que al pasar

a la ecuacion discreta se pierde el caracter exacto de la solucion, logicamentetendremos una diferencia cuantitativa entre la solucion numerica y la exacta.Lo que se pretende con el analisis de estabilidad es decidir si al menos laspropiedades cualitativas de f(t) son conservadas por su aproximacion discretafn.

DEFINICION (CONVERGENCIA DEL ESQUEMA )

Diremos que un esquema numerico es convergente si en un punto cualquie-ra del dominio (x, t) ∈ (0, L)x(0, T ) se cumple que la solucion aproximada eneste punto tiende a la solucion de la ecuacion en derivadas parciales cuando∆x→ 0,∆y → 0 para un valor fijo de los valores iniciales.

Teorema 3 Teorema de LaxDado un problema de valores iniciales bien planteado matematicamente yuna aproximacion en diferencias finitas a el que satisface la condici’on deconsistencia, entonces la estabilidad es condicion necesaria y suficiente parala convergencia.

Consistencia + Estabilidad=Convergencia

14 1.3. Tratamiento de un problema de evolucion

Capıtulo 2

Modelo Matematico,Aplicacion y Analisis.

Nos introducimos en la resolucion numerica de ecuaciones en derivadasparciales, este es uno de los campos de mas actividad en la matematicaaplicada actual ya que se refiere a dicretizar gran variedad de problemasque aparecen en ciencias e ingeniera. Veremos problemas de evolucion dondetıpicamente tenemos una variable .espacial”, sobre la cual se da condiciones decontorno y una variable ”temporal”sobre la que se dan condiciones iniciales.

2.1. Problemas de conveccion difusion tran-

sitorios

Consideramos el dominio Ω ⊂ ℜn con n = 1 o n = 2 o 3 y su frontera∂Ω ,los problemas de conveccion difusion se pueden modelar como:

∂c∂t

+ v.∇c−∇.(ν∇c) + σ(c)c = f en Ω× (0, T ],∇c.n = 0 sobre ∂\Γ× (0, T ],c(x, 0) = c0 en Ω,

(2.1)

En nuestra ecuacion modelo tenemos que c(x, t) es la concentracion del con-taminante en el punto x e instante t , v(x) es la velocidad convectiva( oadvectiva ), ν > 0 es el coeficiente de difusividad, σ(c) es el coeficiente dereaccion, f(x, t) es el termino fuente, ∇ el operador nabla habitual y T eltiempo final de analisis. En la ecuacion transitoria el termino ∂c

∂tmodela la

15

16 2.2. Motivacion, Aplicaciones tecnologicas

variacion de la concentracion con respecto al tiempo; v.∇c es la convecciondebido al movimiento del fluido ambiental, ∇.(ν∇c) la difusion (dispersionde mayor a menor concentracion de moleculas de contaminantes),σ(c)c lareaccion no lineal y f la fuente externa. Ademas consideraremos que tanto ladifusividad ν como la velocidad convectiva v(x) son constantes.En los pro-blemas de dispersion de contaminantes se realizan diferentes simplificacionesen las reacciones quımicas con el fin de obtener una EDP lineal

2.2. Motivacion, Aplicaciones tecnologicas

El proposito de esta seccion es ilustrar sobre la aplicacion de los meto-dos numericos para resolver problemas de la vida real en particular comopodemos usar la ecuacion de conveccion difusion resuelta via diferencias fi-nitas para la resolucion de problems de adveccion y difusion como el flujode nutrientes ; contaminacion en los rios o de contaminantes en la atmosferaa la dinamica de poblaciones, a la economıa,o al fisiologıa respiratoria, etc.Diremos que un contaminante del aire es aquella componente que esta pre-sente en la atmosfera, a niveles perjudiciales a la vida de los seres humanos,plantas y animales.

Calcular la distribucion de una sustancia quımica dependiendo del tiempoa lo largo del eje longitudinal de un reactor rectangular.

Otro ejemplo es el problema donde P (t, x) sea la densidad de poblacionde una especie de peces en la posicion x y el tiempo t, donde la especie depeces vive sobre una recta, y el movimiento de los individuos sigue un movi-miento aleatorio.

La ecuacion de Black-Scholes-Merton que es un modelo de valoracionde derivados financieros publicado en el Journal of Political Economy demayo/junio de 1973, conocido en el ambito financiero como el modelo deBlack-Scholes-Merton, y aceptado desde entonces, como uno de los modelosmatematicos mas influyentes en grandes decisiones financieras a nivel mun-dial.

2.2.1. Modelacion del transporte de Solutos en rıos

La descripcion precisa de transporte de solutos en rıos es una componenteescencial en todos los modelos de estudio de la calidad del agua y de predic-cion de incidentes de contaminacion, los modelos unidimensionales, pueden

2. Modelo Matematico, Aplicacion y Analisis. 17

describir adecuadamenete los procesos de transporte de solutos en rıos, pe-ro en general los parametros de los modelos de transporte de solutos debenestimarse para cada rıo en particular. Veremos el problema de:

Flujo de nutrientes en un estuario

Las entradas de los nutrientes a un estuario pueden provenir del aportefluvial, del realizado por las aguas subterrneas, a traves la atmosfera o porla entrada de agua de mar.

Aporte fluvial:

los ros transportan una carga de materia soluble y particulada que pro-vienen de los lixiviados y escorrentas de la cuenca que drenan. Existe unafuerte correlacin entre las cargas de nitrgeno y fsforo total en los rıos con eluso de la tierra, y especialmente con las practicas agrıcolas (Moreau et al.,1998). Historicamente la carga de nutrientes en los ros ha ido aumentando deforma paralela al incremento de poblaciones humanas en sus cuencas, comoresultado tanto de las aguas residuales provenientes de los aportes humanoscomo de la de animales y al aumento de la aplicacin de fertilizantes en lastierras de cultivo.

Aporte de aguas subterraneas:

La entrada proveniente de las aguas subterrneas es generalmente desco-nocida y variabley por consiguiente no se la suele tener en cuenta.

Aporte atmosferico:

La entrada atmosferica es importante principalmente para el nitrogenoya que para el fosforo y el silicio, las formas gaseosas de estos compuestostienen un papel casi insignificante debido a que no han sido encontradas encantidades significativas en el medio natural.

Aporte del mar:

La entrada de nutrientes que aporta el mar al estuario es generalmentemuy baja y suele ser como mnimo, de un orden de magnitud inferior a la delrıo.


Modelos de nutrientes.

El modelado biogeoquımico involucra la simulacion matematica de variosconstituyentes biologicos y geoquımicos en un intento de comprender losciclos de estos constituyentes y los procesos que afectan sus distribuciones.Sin embargo, los modelos biogeoquımicos dependen intrınsecamente de losdatos, ya que sin ellos, poca aplicabilidad tendran en la resolucion de losproblemas (Gregg, 1997).

Los tipos de modelos biogeoquımicos actualmente en uso son diversos, yvan desde planteamientos simples hasta complejas investigaciones multidisci-plinarias con muchoscomponentes. No obstante, generalmente todos contie-nen un componente biologico de nivel bajo en la cadena trofica (usualmentefitoplancton representado por la clorofila), al menos un nutriente que es re-querido para el crecimiento y consumo de nutrientes, y un segundo niveltrofico (zooplancton o bacterias) para regenerar los nutrientes y consumir labiomasa fitoplanctonica (Gregg, 1997).

Los estuarios son la mayor fuente de materiales de desecho en el mar. Enmuchos casos los estuarios reciben descargas importantes tanto urbanas comoindustriales. La mayora de los modelos biologicos desarrollados se encuentranenfocados con los procesos marinos ordinarios (James, 1978).

Los constituyentes basicos del analisis son los nutrientes, el fitoplancton yel zooplancton, desarrollandose una ecuacion de balance de masas para cadauno de ellos. La ecuacion de balance de masa es de fundamental importan-cia para explicar los cambios de concentraciones en el ambiente marino. Elconcepto se basa (Runker y Bencala 1975) en la suposicion de que la acu-mulacion de masa en una unidad de volumen de agua es igual a la diferenciaentre la masa que entra y la que sale de ese volumen de agua, vea la figura.

Acumulacion =masa(entra )-masa( sale ) (2.2)

donde cada termino de la ecuacion esta expresado en unidades de masapor tiempo [M/T ]

La ecuacion de balance de masa descrita anteriormente se desarrolla con-siderando los flujos de entrada y salida en un volumen de control. Para sim-plificarlo se asume que el flujo es espacialmente uniforme, de tal manera quela velocidad y el volumen no cambian con el tiempo. Finalmente se consideraunicamente que el flujo viaja en direccion x, despreciando los flujos en y yen z. Haciendo esto se asume tambien que la concentracion varıa solamenteen sentido del flujo (x) y que la masa del soluto esta uniformemente distri-


Figura 2.1: Volumen de control usado para desarrollar la ecuacion de balancede masa, considerando unicamente los fujos en la direccion x

buida en la seccion transversal del flujo (Fischer 1979). La primera ecuaciondescribe el cambio de masa con respecto al tiempo, y viene dada por:

Acumulacion =∆m

∆t=∂m

∂t(2.3)

donde m es la masa y t es el tiempo. Si la masa es igual a la concentracionpor el volumen y asumiendo el volumen constante:

Acumulacion =V∂C

∂t(2.4)

donde V es el volumen [L3] y C es el la concentracion del soluto [M/L3].El lado derecho de la ecuacion (2,2) esta desarrollado considerando el flujodel soluto a traves de las superficies 1 y 2 en la figura El flujo esta definidocomo la masa de soluto que atraviesa una unidad de area por unidad detiempo. El flujo que entra en el volumen de control es q1 y el que sale es q2.Cabe notar que q2 es igual al flujo que entra en el volumen de control (q1)mas el cambio del flujo dentro del volumen de control:

q2 = q1 +∂q

∂t∆x (2.5)

donde ∆x es la longitud del volumen de control [L] .Si ahora se consideran los flujos individuales debido a la adveccion y la

dispersion, el flujo advectivo en el volumen de control (a traves de la superficie1) es igual al producto de la velocidad advectiva, U(L/T ), y la concentraciondel soluto en la superficie 1, C1:

flujo entradaadv = q1adv = UC1 (2.6)


Empleando la ecuacion 2,5, el flujo advectivo que sale del volumen decontrol (a traves de la superficie 2 ) es:

flujo saleadv = q2adv = UC2 = UC1 + U∂C

∂x∆x (2.7)

donde C2 es la concentracion del soluto en la superficie 2.Los flujos debido a la dispersion se desarrollan considerando la ley de

dispersion de Fick, que establece que el flujo de masa debido a difusion mo-lecular es proporcional al gradiente de concentracion, dC/dx .Esta ley puedeser usada para describir el flujo de masa dispersiva,y esta dada por:

qdisp = −D∂C∂x

∆x (2.8)

donde D es una constante proporcional conocida como coeficiente de di-fusion [L2/T ]. El flujo dispersivo que entra y sale del volumen de controles:

flujo entradisp = q1disp = −D∂C∂x

|1 (2.9)

flujo saledisp = q2disp = −D∂C∂x

|2 = −D[∂C

∂x|1 +

∂2C

∂x2∆x

]

(2.10)

Una ecuacion diferencial correspondiente a la ecuacion 2,2 puede ensam-blarse usando los terminos de acumulacion y flujo descritos anteriormente,las ecuaciones 2,4, 2,6, 2,7, 2,9, y 2,10 se combinan para dar:

V∂C

∂t=

[

AUC1 − AD∂C

∂x|1]

︸︷︷︸

entra

−[

AUC1 + AU∂C

∂x∆x− AD

∂C

∂x|1 − AD

∂2C

∂x2∆x

]

︸︷︷︸

sale

(2.11)donde Aes la seccion transversal del flujo [L2]. Puesto que cada flujo esta

especificado en base a una unidad de area, los flujos se multiplican por Apara obtener las unidades usadas en la ecuacion 2,2 [M/T ]. Empleando larelacion V = A∆x, la ecuacion 2,11 queda simplificada de esta manera:

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U

∂c

∂x(2.12)


Esta es la Ecuacion de Adveccion - Difusion unidimensional con coeficien-tes constantes ( D es constante en el tiempo y en el espacio ) y describe lavariacion espacial y temporal de un soluto con concentracin C en un mediocon velocidad U(Runkel y Bencala, 1995).Las ecuaciones anteriores describenel proceso de difusion molecular.

Estudio de la dinamica de la calidad del agua en un tramo de unrıo

Modelo matematico

Un modelo de calidad del agua adecuado requiere la especificacion deuna formulacion apropiada de los procesos para tomar en cuenta aspectosdel transporte longitudinal, lateral y vertical. La prediccion de la calidaddel agua depende del procedimiento en el cual los procesos fsico-qumicos ehidrodinmicos sean simulados (Maskell 1991, Calow 1994). Es importante quelos metodos utilizados para representar los diversos procesos, sean apropiadosa la aplicacion del modelo. La finalidad de desarrollar un modelo de calidaddel agua es disponer de una herramienta capaz de simular el comportamientode los componentes hidrologicos y de calidad del agua de un sistema decorrientes y realizar con ello estudios de diagnostico y pronostico del estadodel sistema en condiciones.

En flujos superficiales con turbulencia homogenea y estacionaria la ecua-cion unidimensional de dispersion longitudinal se representa por la siguienteexpresion (Taylor, 1954 y Fischer 1979)

∂C

∂t+ u

∂C

∂x= K

∂2C

∂x2

donde C es la concentracion,u la velocidad media de la corriente, K el coe-ficiente de dispersion longitudinal,x la distancia, y t el tiempo.La deduccion de la ecuacion anterior puede ser hecha como el caso presen-tado anteriormente. Cuya solucion analıtica puede escribirse como (Crank1956 Fischer,1967,Fetter 1992):

C(x, t) =Co

2

[

erfc

(x− ut

2√Kt

)

+ exp(ux

K

)

erfc

(x+ ut

2√Kt

)]

Donde Co es la concentracion inicial, L es la longitud del cause. Utilizandoun esquema de diferencias finitas explıcito en el tiempo y centrado simetri-camente en el espacio, se puede calcular la concentracion para el siguiente


nivel en el tiempo como:

Cm+1j = Cm

j − α∆t

∆x

(Cm

j+1 − Cmj−1

)+ β

∆t

∆x2(Cm

j+1 − 2Cmj + Cm

j−1

)

Donde j es el ındice de seccionm ındice de tiempo, y delta denota incremento.De la ecuacion y sustituyendo los numeros de Courant y Peclet

Cr = α∆t

∆xnuemero de Courant 0 < Cr ≤ Pe

2< 1

Pe = α∆x

βnumero de Peclet

λ =Cr

Pe= β

∆t

∆x21

4≤ λ <

1

2

El esquema es explıcito, y por tanto suceptible de presentar problemas deestabilidad en la solucion. Criterios de estabilidad en funcin de Cr y Pe.

Cm+1j =

(

λ+Cr

2

)

Cmj−1 + (1− 2λ)Cm

j +

(

λ− Cr

2

)

Cmj+1

El valor de K se obtiene mediante la expresin (Gonzalez y Martinez, 1990)

K

Ru∗= 131,35 +

[0,1022f−0,527

] 1

s

Donde R es el radio hidraulico, u∗ la velociadad al cortante, s la pendientedel cause y f el factor de friccion de Darcy dado por la relacion.

f = 8

[u∗

u

]2

.

2.2.2. Balance de Masa Unidimensional en un Reactor

Los ingenieros quımicos utilizan mucho los reactores idealizados en sutrabajo de dise no, pues las experiencias de dichos procesos involucran unalto costo economico.

En la figura se muestra un reactor alargado de una sola entrada y unasalida: Este reactor puede caracterizarse como un sistema de parametros


Figura 2.2: Reactor alargado con un solo punto de entrada y salida

distribuidos. Si se supone que la sustancia quımica que se va a modelaresta sujeta a un decaimiento ( es decir que la sustancia quımica decae a unavelocidad que es linealmente proporcional a la cantidad de sustancia quımicapresente ) de primer orden, y que el tanque esta bien mezclado vetical ylateralmente, se realiza un valance de masa en un segmento finito de longitud∆x, como sigue:

v∆c

∆t= Qc(x)

︸︷︷︸

flujo de entrada

−Q

[

c(x) +∂c(x)

∂x∆x

]

︸︷︷︸

flujo de salida

− DAc∂c(x)

∂x︸︷︷︸

dispersion a la entrada

+DAc

[∂c(x)

∂x+

∂

∂x

∂c(x)

∂x∆x

]

︸︷︷︸

dispersion a la salida

− Kvc︸︷︷︸

reaccion de decaimiento

donde v = volumen (m3). Q = flujo volumetrico ( m3/h), c = con-centracion ( moles/ m3 ), D es un coeficiente de dispersion (m2/h). Ac es elarea de la seccion transversal del reactor (m2) y K es el coeficiente de de-caimiento de primer orden (h−1) . Observese que los terminos de dispersionestan basados en la primera ley de Fick.

flujo = −D∂c

∂x

Que es analoga a la ley de Fourier para la conduccion del calor. Esta ecuacionespecifica que la turbulencia de mezclado tiende a mover la masa desde regio-nes de alta hasta las de baja concentracion. EL parametro D , por lo tanto


determina la magnitud de la turbulencia de mezclado. Si ∆x y ∆t tienden acero . La ecuacion sera

∂c

∂t= D

∂2c

∂x2− U

∂c

∂x− kc

Donde U = QAc

es la velocidad del agua que fluye a travez del reactor.El balance de masa de la figura por lo tanto, se expresa ahora como unaecuacion diferencial parcial parabolica .

2.2.3. Densidad de Poblacion

Pondremos por ejemplo el problema donde P (t, x) sea la densidad depoblacion de una especie de peces en la posicion x y el tiempo t. Supoga-mos que la especie de peces vive sobre una recta, y el movimiento de losindividuos sigue un movimiento aleatorio. Suponiendo que en el movimientoaleatorio existe una preferencia de movimiento hacia la izquierda, es decir, laprobabilidad de movimiento hacia la izquierda es a > 0, 5 y la probabilidadde movimiento a la derecha es b < 0, 5 pero que a− b es muy pequeno.Tenemos que el camino aleatorio que presenta una poblacion, en la cual losindividuos se movilizan en linea recta, despues de un tiempo ∆ty dando unpaso de igual longitud ∆x. Los peces (los individuos ) deben tomar una delas dos posibilidades.I. Ir a la derecha xo +∆xII. Ir a la izquierda xo −∆x

Considerando que xo es la posicion inicial.Si consideramos esta dinamica en terminos de la concentracion de la pobla-cion en un tiempo y posicion dada en la misma probabilidad de desicion

p+ = b < 0, 5 y p− = a > 0, 5

TenemosP (t+∆x, xo) = p+P (t, xo +∆x) + p−P (t, xo −∆x) . . . . . . . . . . . . (∗)

Aplicamos el teorema de Taylor en t, x

P (t+∆x, xo) = P (t, xo) +

∂∂tP (t, xo)

∆t+ 1

2

∂2

∂t2P (t, xo)

∆t2 − . . .

Tambien con a > b a+ b = 1


aP (t, xo −∆x) = aP (t, xo)− a ∂∂xP (t, xo)∆x+

a2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 − . . . . . .

bP (t, xo +∆x) = bP (t, xo) + b ∂∂xP (t, xo)∆x+

b2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 − . . . . . .

Reemplazando en (∗) tenemos:

P (t, xo) +∂∂tP (t, xo)∆t+ . . . =

= (a+ b)P (t, xo) + (b− a) ∂∂xP (t, xo)∆x+

(a+b)2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x2 + . . . . . .

Es decir tenemos

∂∂tP (t, xo)∆t = (b− a) ∂

∂xP (t, xo)∆x+

(a+b)2

∂2

∂x2P (t, xo)∆x2

Nos queda

∂∂tP (t, xo) = (b− a)∆x

∆t∂∂xP (t, xo) +

(a+b)2

∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

∂∂tP (t, xo) + (a− b)∆x

∆t∂∂xP (t, xo) =

(a+b)2

∆x2

∆t∂2

∂x2P (t, xo)

Ahora tomamos

U = (a− b)∆x∆t

D = (a+b)2

∆x2

∆t

De donde tenemos la ecuacion de Conveccion Difusion

∂∂tP + U ∂

∂xP = D ∂2

∂x2P

2.2.4. Economıa. La ecuacion de Fisher Black, MyronScholes,Robert Merton

En 1973 Fisher Black, Myron Scholes y Robert Merton lograron uno delos mayores avances en la valuacion de opciones hasta ese momento, que esconocido como el modelo de Black-Scholes, que ha tenido una gran influenciaen la manera en que los agentes valuan y cubren opciones. Ha sido tambien unpunto de referencia para el desarrollo y exito de la ingeniera financiera desdeentonces. La importancia del modelo fue reconocida cuando Robert Merton yMyron Scholes fueron reconocidos con el Premio Nobel de Economıa; desafor-tunadamente Fisher Black fallecio en 1995, quien indudablemente tambienhubiera recibido el premio. En este seccion presentamos el modelo de Black-Scholes para la valuacion de una opcion call Europea sin pago de dividendos.


En primer lugar se mencionan algunas nociones de finanzas y probabilidad,necesarias para una mejor comprension de esta seccion; posteriormente sepresenta un modelo para el precio de un activo, el cual serıa necesario parapoder formular el modelo; en la siguiente seccion se presentan los supuestos ylas ideas generales de su deduccion y solucion en este caso, transformandoloen el problema clasico de la ecuacion del adveccion difusion; por ultimo seanaliza brevemente la formula en algunos casos de interes.

Nociones basicas

Activo. Llamaremos activo a cualquier posesion que pueda producirbenefcios economicos.

Subyacente el tipo de activo que puede ser comprado o vendido. Suprecio de mercado en un instante t se denotara por St

El precio de ejercicio (K) : el precio al que el subyacente debeser comprado si la opcion se ejerce

Portafolio Un portafolio es un conjunto de activos, que pueden seracciones, derivados, bonos, etc.

En la realidad existen costos para realizar operaciones financieras. Estoscostos de transaccion pueden depender de si se trata de una transaccion deun activo subyacente o un derivado, de si se trata de una compra o de unaventa, etc.Tambien se usara la llamada tasa de interes libre de riesgo que esaquella de una inversion ”segura”, libre de riesgo.

Esto en la practica no es del todo errado, ya que si se analizan activosy derivados en cortos perıodos de tiempo (por ejemplo trimestres), entoncesun bono del estado a veinte anos resulta una inversion segura, y hasta esrazonable suponer constante la tasa de ese bono en el corto plazo.

Rentabilidad Se llama ası a la ganancia relativa de una inversion, esdecir, si llamamos So a la inversion inicial, y ST a lo que se obtiene a untiempo T , la rentabilidad R es:

R =St − So

So

Arbitraje es el proceso de comprar un bien en un mercado a un preciobajo y venderlo en otro a un precio mas alto, con el fin de beneficiarse conla diferencia de precios. En el caso que nos ocupa, utilizaremos el principiode no arbitraje, es decir, no existe la posibilidad de realizar una inversionsin riesgo y ganar dinero (o por lo menos no mas que invirtiendo con la tasa


libre de riesgo). De no ser ası, existirıa claramente una forma de hacer dineroinfinito.

Los hedgers. Los hedgers, replicadores o cobertores son aquellosagentes que intentan reducir el riesgo al mınimo y tratan de no exponer-se a los cambios adversos de los valores de los activos. En general conformanportafolios con activos en una posicion (compra o venta) y algun derivadosobre estos en la otra. Ası, si el precio del activo se mueve de manera muydesfavorable, esta la opcion, por ejemplo, que amortigua la perdida.

Un mercado eficiente se puede describir mediante dos conceptos: Toda lainformacion del activo esta reflejada en el precio actual. Los mercados res-ponden inmediatamente a cualquier informacion nueva acerca de un activo.

Derivado financiero. Un derivado financiero o producto derivado,o simplemente derivado es un instrumento financiero cuyo valor dependede otros activos, como por ejemplo una accion, una opcion o hasta de otroderivado. Se llama payoff de un derivado, activo o portafolio al resultado finalde la inversion.

Opciones; call, europea ,americana,put. Opcion es un contratoque le da al dueno el derecho, pero no la obligacion, de negociar un activopredeterminado,llamado tambien el activo subyacente por un precio deter-minado K llamado el strike price o precio de ejercicio en un tiempo en elfuturo T , llamada fecha de expiracion.Opcion Call Da al dueno el derecho a comprar y una Put el derecho avender.La opcion se llama Europea si solo puede ser ejercida a tiempo T.Opcion se llama americana si puede ser ejercida a cualquier tiempo hastala fecha de expiracion.EL playoff de una call es maxST − K, 0 ya que si ST > K se ejerce aK y se vende a ST , lo que da una ganancia de ST −K. En el otro caso laopcion no se ejerce y el payoff es 0.EL playoff de una put, analogamente es maxK −ST , 0 .El hecho de queuno tenga el derecho y no la obligacion es lo que hace difıcil la valuacion deuna opcion.

Probabilidad.

Se conoce como proceso estocastico a un conjunto de variables aleatoriasque dependen de un parametro, por ejemplo el tiempo, es decir, X(t)|t > 0.Un proceso estocastico Z(.) se llama movimiento browniano o proceso de


Wiener si:1. Z(0) = 02. ∀t > 0; ∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t) ∼ N(0; a).3. ∀t > 0; ∀a > 0; (Z(t+ a)− Z(t)sonindependientesdeZ(s)/0 ≤ s ≤ t

Un proceso de Wiener describe la evolucion de una variable con distri-bucion normal. La deriva del proceso es 0 y la varianza es 1 por unidad detiempo. Esto significa que, si el valor de la variable es xo al tiempo 0, entoncesal tiempo t es normalmente distribuida con media xo y varianza t .

Un proceso generalizado de Wiener describe la evolucion de una variablenormalmente distribuida con una deriva de a y varianza b2 por unidad detiempo, donde a y b son constantes. Esto significa que si, como antes, el valorde la variable es xo al tiempo 0 entonces es normalmente distribuida conmedia x0+ at y varianza bt al tiempo t. Puede ser definido para una variableX en terminos de un proceso de Wiener Z como

dX = adx+ bdZ

Un teorema del calculo estocastico, que sera fundamental para la deduc-cion de la Ecuacion de Black-Scholes es el siguiente:

Teorema 4 Lema de ItoSupongamos que S cumple la siguiente ecuacion diferencial estocastica:

dS = Sµdt+ SσdZ

donde Z(t) es un movimiento browniano. Sea V : R2 → R una funcionde clase C2 en su dominio, dada por V = V (S; t), entonces se satisface losiguiente:

dV =

(

σS∂V

∂Sdz

)

+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt (2.13)

Modelo para el Precio de un Activo

Para el precio de un activo, es necesario modelar la llegada de una nuevainformacion que afecte al precio, bajo el supuesto de que trabajamos en unmercado efciente, considerando a dicho precio como un proceso estocastico.


El cambio absoluto en el precio del activo no es significativo, sin embargo,si lo es el retorno, que como ya se ha definido,es el cambio sobre el preciooriginal:

R =ST − S

S

Supongamos ahora que en un tiempo t el precio de un activo es S, considere-mos un tiempo posterior t+ dt, en el cual S cambia a S + dS. El retorno deun activo es entonces dS

S. El modelo mas comun para modelar este retorno

se descompone en dos partes. Una parte es el retorno determinista similar alretorno libre de riesgo. Esta contribucion la podemos plantear como

µdt

donde µ es una medida del crecimiento promedio del precio del activo. Laotra parte modela la aleatoriedad en el cambio del precio de S, en respuestaa los cambios externos, como noticias inesperadas. Se representa como unmuestreo aleatorio obtenido de una distribucion normal con media 0 y agregaal retorno el termino

σdX

donde σ es la volatilidad, que mide la desviacion estandar de los retornos ydX es un movimiento browniano. Juntando los dos terminos, obtenemos laecuacion diferencial estocastica:

dS

s= µdt+ σdX

Hay que notar que de no existir el segundo termino, cuando σ = 0, tendrıamosla ecuacion

dS

s= µdt

que da como solucion el crecimiento exponencial en el valor del activo

S(t) = Soeµ(t−to)

donde So es el precio inicial y to es el tiempo inicial. Ahora usaremos el Lemade Ito para deducir el proceso seguido por lnS cuando satisface la ecuaciondSs= µdt+ σdX .

DefinamosV (S; t) = lnS


con lo que se obtienen las derivadas:

∂V

∂S=

1

S;∂2V

∂s2= − 1

S2,∂V

∂t= 0

Como suponemos que V satisface el lema de Ito, entonces

dV = Sσ1

SdZ +

(

µS1

S− 1

2σ2S2 1

S2

)

dt = σdZ +(µ− σ2

)

con µ y σ constantes, por lo que esta ecuacion indica que V = lnS sigueun proceso de Wiener genealizado con tasa de deriva µ − σ2

2y varianza σ2,

ambas constantes. El cambio en lnS entre el tiempo cero y el tiempo T es,por lo tanto, una distribucion normal con media

(

µ− σ2

2

)

T

y varianzaσ2T

esto significa que

LnST ∼ N

(

LnSo +

(

µ− σ2

2

)

T, σ2T

)

donde ST es el precio del activo en un tiempo futuro T y So es el precioinicial del activo. Esta ecuacion nos muestra que lnST tiene distribucionnormal. Una variable tiene distribucion lognormal si el logaritmo natural deesta variable esta normalmente distribuido.

Deduccion de la ecuacion de Black-Scholes-Merton

Recordemos un contrato de opciones financieras es un acuerdo que con-fiere al poseedor el derecho, pero no la obligacion, de comprar (call) o vender(put) un activo financiero en una fecha futura a un precio pactado en el mo-mento del contrato. El activo objeto del contrato es el activo subyacente, elprecio pactado es el precio de ejercicio (strike) y la fecha lımite para ejercer elderecho es la fecha de expiracion (expiry) o fecha de ejercicio o vencimientode la opcion. Las opciones son uno de los productos financieros habitualespara cubrir riesgos de carteras de valores.


Ahora veremos la ecuacion que modela cualquier derivado financiero enla forma continua. Enunciaremos los supuestos que vamos a requerir en elmodelo:1. El precio de un activo sigue un proceso de Wiener log-normal: dS =Sµdt+ SσdZ2. La tasa de interes libre de riesgo r y la volatilidad σ del activo se suponenconstantes durante el tiempo que dura la opcion.3. No hay costos de transaccion asociados a la cobertura del portafolio.4. El activo subyacente no paga dividendos durante la vida de la opcion.5. No hay posibilidad de arbitraje. La ausencia de arbitraje significa quetodos los portafolios libres de riesgo deben tener el mismo retorno.6. La compra y venta del activo puede tomar lugar continuamente.7. La venta y los activos son divisibles. Asumimos que podemos comprar yvender cualquier numero (no necesariamente entero) del activo subyacente yque esta permitido vender aunque no tengamos posesion, es decir, se tratade un mercado completo.Sea V (S; t) el valor de un derivado estilo europeo, en el instante t cuando elprecio del activo subyacente es S > 0 Construiremos un portafolio P libre deriesgo de la siguiente manera

P =

∆ Unidades del activo (Compra)1 Derivado (Venta )

(2.14)

Cuyo valor es Πu = ∆Su−Vu cuando el valor del activo sube y Πd = ∆Sd−Vdcuando el valor del activo baja. La estrategia es igual Πu a Πd, es decir,encontramos un ∆ tal que el portafolio tenga riesgo 0. Entonces , al igualarnos queda

∆Su − Vu = ∆Sd − Vd

Es decir

∆ =Vu − VdSu − Sd

=δV

δS

Tomando limite cuando δS → 0 resulta

∆ =∂V

∂S

que es la variacion del valor del derivado con respecto a S y es una medidade correlacion entre los movimientos del derivado y los del activo subyacente.En general, el valor del portafolio es Π = ∆S − V , con lo cual

dΠ = ∆dS − sV = ∆(Sµdt+ SσdZ)− dV


Suponemos que V tambien cumple los supuestos enunciados anteriormen-te, por lo que satisface las hipotesis del Lema de Ito, ası que tenemos unaexpresion para dV de la ecuacion:

dV =

(

σS∂V

∂SdZ

)

+

(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt

de donde obtenemos la ecuacion

dΠ = ∆Sµdt+∆SσdZ −(

σS∂V

∂SdZ

)

−(∂V

∂t+ µS

∂V

∂S+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt

Separando la parte determinıstica de la estocastica resulta

dΠ =

(

∆σS − σS∂V

∂S

)

dZ +

(

∆µS − ∂V

∂t− µS

∂V

∂S− 1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt

y sustituyendo ∆ = ∂V∂S

obtenido anteriormente, la ecuacion queda unica-mente determinıstica

dΠ = −(∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt

Ademas, por la hipotesis de no arbitraje, como P es un portafolio libre deriesgo tenemos que su retorno es igual al de un bono de tasa r

dΠ

Π= rdt =⇒ dΠ = Πrdt

igualando las dos ultima ecuaciones, llegamos a :

Πrdt−(∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

)

dt

Simplificando dt y sustiruyendo Π = ∆S − V = ∂V∂SS − V , nos queda

∂V

∂SSr − Vr = −∂V

∂t− 1

2σ2S2∂

2V

∂S2

Finalmente despejando rV , llegamos a la ecuacion de Black-Scholes-Fisher.

∂V

∂t+

1

2σ2S2∂

2V

∂S2

+ rS∂V

∂S= rV


Resolucion de la ecuacion de Black-Scholes -Merton

Obtenemos la solucion de la ecuacion de Black-Scholes -Merton, para elcaso de una opcion Call europea sobre un activo de precio S con precio deejercicio K y tiempo de expiracion T, Hacemos V=C tenemos:

∂C

∂t+

1

2σ2S2∂

2C

∂S2+ rS

∂C

∂S− rC = 0

con las condiciones de frotera C(0, t) = 0, C(S, T ) ≈ S si S −→ ∞ ya quecuando el precio del activo es nulo, tambien debe serlo el de la opcion (esclaro que no se va a ejercer). Y cuando el precio tiende a innito S −K se vaa aproximar a S . Tambien recordemos la condicion final, es decir, el payoffde la opcion C(S, T ) = maxS −K, 0

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂2C

∂S2 + rS ∂C∂S

− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)C(0, t) = 0 t ∈ [0, T 〉C(S, T ) ≈ S t ∈ [0, T 〉;S −→ ∞

es una ecuacion diferencial parabolica con derivada primera respecto altiempo y segunda derivada respecto a la variable S. Es una ecuacion diferen-cial backwards: dada una condicion final para la ecuacion, esta se resuelvede forma recursiva desde T final hasta to inicial. La unicidad de la solucionse asegura al imponer las condiciones de contorno. Estas son de dos tipos,condiciones de frontera y condiciones iniciales o finales. Las condiciones defrontera determinan la solucion en los extremos de los valores de S, mientrasque la condicion final determina el valor del activo en el instante final. En elcaso de que el activo pueda tomar cualquier valor entre [0,∞) no es necesarioimponer condiciones de contorno. Se consideran los cambios de variables: Nosconcentraremos en las dos primeras ecuaciones de , pues las ultimas dos, quedescriben el comportamiento de C en los bordes, tambien se van a satisfacer.Entonces nuestro modelo queda como sigue:

∂C∂t

+ 12σ2S2 ∂2C

∂S2 + rS ∂C∂S

− rC = 0 S ∈ (0,∞), t ∈ [0, T 〉,C(S, T ) = maxS −K, 0 S ∈ (0,∞)

(2.15)

Para resolver esta ecuacion, hagamos primero los cambios de variables

x = ln

(S

K

)

τ(t) =σ2(T − t)

2C(S, t) = Kv(x, τ)


∂C

∂t= −σ

2K

2

∂v

∂τ

∂C

∂S=K

S

∂v

∂x

∂2C

∂S2= −K

S2

∂v

∂x+K

S2

∂2v

∂x2

Como τ(T ) = 0, tambien tenemos una condicion iniciaal para v a partir dela condicion final deC

C(S, T ) = Kv(x, 0)entonces v(x, 0) = maxex − 1, 0

Sustituyendo estas relaciones en la ecuacion de Black-Scholes se obtiene:

σ2

2∂v∂τ

= −σ2

2∂v∂x

+ σ2

2∂2v∂x2 + r ∂v

∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x,=) = maxex − 1, 0 x ∈ R

Y si hacemos k = 2rσ2 el modelo queda

∂v∂τ

= σ2

2∂2v∂x2 + (k − 1) ∂v

∂x− rv x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

v(x, 0) = maxex − 1, 0 x ∈ R

Hacemos otro cambio de variables

v(x, τ) = eαx+βτu(x, τ)

. Eligiendo adecuadamente las funciones α y β, la ecuacion se transformaen la ecuacion de adveccion difusion. Las derivadas parciales respecto a lasvariables x y τ son:

∂v

∂x= eαx+βτ

[

αu+∂u

∂x

]

∂2v

∂x2= eαx+βτ

[

α2u+ 2α∂u

∂x+∂2u

∂x2

]

∂v

∂τ= eαx+βz

[

βu+∂u

∂τ

]


Sustituyendo en la ecuacion anterior y dividiendo entre el termino eαx+βτ yordenando se obtiene:

∂u

∂τ= (2α + k − 1)

∂u

∂x+∂2u

∂x2+ [(k − 1)α− k − β] u

Ahora elijamos α y β para que se anule u, tenemos

(k − 1)α− k − β = 0 y − 1 = 2α + (k − 1)

α =−k2

β = −k2 + k

2

y ası la ecuacion queda

∂u∂τ

+ ∂u∂x

= ∂2u∂x2 x ∈ R, τ ∈ [0, T σ2

2〉

u(x, 0) = maxe 2−k2

x − e−k2x, 0 x ∈ R

(2.16)

36 2.3. Existencia y unicidad

2.3. Existencia y unicidad

En esta seccion veremos la prueba de la existencia y unicidad de la so-lucion en de la ecuacion asociada al problema escalar de adveccion difusiontransitorio.

∂u

∂t−∇.(β∇u) + α.∇u = f

Donde

β =

β1,1 0··· 0β2,2··· 0

.... . .

...0 0··· βn,n

; βi,i > 0; α = (α1 · · ·αn)

Pero en nuestro caso α y β son constantes y Ω ∈ Rn , entonces la ecuacionde adveccion difusion transitoria se puede escribir ası

∂u∂t

− β∆u+ α.∇u = f en Q = Ω× (0, T ],u(x, t) = 0 en

∑= Γ× (0, T ],

u(x, 0) = u0(x) en Ω,(2.17)

2.3.1. Existencia y unicidad de la solucion de la Ecua-cion Parabolica

Problema

Conocidas las funciones f : Q→ R y uo : Ω → R encontraremosu : Q→ R tal que

∂u∂t

− β∆u+ α.∇u = f en Q = Ω× (0, T ],u(x, t) = 0 en

∑= Γ× (0, T ],

u(x, 0) = u0(x) en Ω,(2.18)

La funcion u : Q→ R es solucion debil del problema cuando:

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ddt(u′(t), v)− (β∆u(t), v) + (α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1

o (Ω)

en el sentido de D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω


Teorema 5 Existencia y UnicidadDados uo ∈ H1

o (Ω) y f ∈ L2(0, T, L2(Ω)) existe una unica solucion u : Q→ Rtal que

i) u ∈ L2(0, T,H1o (Ω))

ii) ddt(u′(t), v)−(β∆u(t), v)+(α.∇u(t), v) = (f(t), v) ∀v ∈ H1

o (Ω) en D′(0, T )

iii) u(0) = uo c.s. en Ω

Existencia de la solucion

Observacion

Podemos observar que de (i) u ∈ Co([0, T ], L2(Ω)) tiene sentido u(0)

Problema aproximado

Multiplicando la ecuacion por ϕ y luego integrando tenemos:

∫

Ω

∂u

∂tϕ−

∫

Ω

β∆uϕ+

∫

Ω

α.∇uϕ =

∫

Ω

fϕ

Ademas usando el teorema de Grenn tenemos

−∫

Ω

β∆uϕ =

∫

Ω

β∇u∇ϕ−∫

Γ

β∂u(s)

∂nϕ(s)ds

︸︷︷︸

0

tenemos:(u′, ϕ) + (β∇u,∇ϕ) + (α.∇u, ϕ) = (f, ϕ)

Sea wkuna base ortonormal deVm ⊂ H10 ⊂ L2 ∪Vmdenso en H1

0 (Ω)yL2(Ω)

(∇wi,∇wj) = 0 si i 6= j (wi, wj) =

1 para i = j0 para i 6= j

Tenemos

um(t) =m∑

i=1

gi,m(t)wi


Se tiene el sistema aproximado.

(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)um(0) = u0m → u0 en H1

0 (Ω)

Se tiene

(m∑

i=1

g′i,m(t)wi, wj

)

+

(m∑

i=1

gi,m(t)β∇wi,∇wj

)

+

(m∑

i=1

gi,m(t)α.∇wi, wj

)

= (f, wj)

m∑

i=1

g′i,m(t) (wi, wj)+βm∑

i=1

gi,m(t) (∇wi,∇wj)+m∑

i=1

gi,m(t) (α.∇wi, wj) = (f, wj)

(∇wi,∇wj) =

ai,i para i = j0 para i 6= j

(α.∇wi, wj) = bi,j

tenemos lo siguiente

g′i,m(t) + βgi,m(t)ai,m + (b1,j, · · · , bm,j) . (g1,m, · · · , gm,m) = (f, wj) = fj

g′1,m

g′2,m...

g′m,m

+β

a1,1 0··· 0a2,2··· 0

.... . .

...0 0··· am,m

g1,m

g2,m

...gm,m

+

b1,1 b1,2··· b1,m

b2,1 b2,2··· b2,m

.... . .

...bm,1 bm,2··· bm,m

g1,m

g2,m

...gm,m

=

f1

f2

...fm

Denotando

−−−→gm(t)=

g1,m

g2,m

...gm,m

−−−→fm(t)=

f1(t)

f2(t)

...fm(t)

Am=β

a1,1 0··· 0

a2,2··· 0

.... . .

...0 0··· am,m

Bm=

b1,1 b1,2··· b1,m

b2,1 b2,2··· b2,m

.... . .

...bm,1 bm,2··· bm,m

Tenemos que nuestra ecuacion se escribe ası:−−−→g′m(t) + (Am +Bm)

−−−→gm(t) =

−−−→fm(t)

denotando−−−→Fm(t) =

−−−→fm(t)− (Am +Bm)

−−−→gm(t) tenemos:

−−−→g′m(t) =

−−−→Fm(t)

−−−→gm(0) =

−−→g0,m


este problema cumple las condiciones de Caratheodory y por teorema,

existe solucion−−−→gm(t) t ∈ [0, tm〉

Por lo tanto existe solucion um(t) t ∈ [0, tm〉

Estimativas y pasaje al Lımite

Tambien tenemos

(u′m(t), wj) + (β∇um(t),∇wj) + (α.∇um(t), wj) = (f, wj)

De aqui se tiene que:

(u′m(t), u′m(t)) + (β∇um(t),∇u′m(t)) + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 + (α.∇um(t), u′m(t)) = (f, u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 = (f, u′m(t))− (α.∇um(t), u′m(t))

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 ≤ |(f, u′m(t))|+ |(α.∇um(t), u′m(t))|

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 ≤ |f ||u′m(t)|+ |α.∇um(t)||u′m(t)|

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 ≤

√2|f | |u′

m(t)|√2

+√2|α.∇um(t)| |u

′m(t)|√2

|u′m(t)|2+ 12

ddt|β∇um(t)|2 ≤ (

√2|f |)

2

2+

(

|u′m(t)|√2

)2

2+(√2|α.∇um(t)|)

2

2+

(

|u′m(t)|√2

)2

2

|u′m(t)|2 + 12

ddt|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |u′

m(t)|24

+ |α.∇um(t)|2 + |u′m(t)|24

12|u′m(t)|2 + 1

2ddt|β∇um(t)|2 ≤ |f |2 + |α|| ∇um(t)|2

integramos de 0 a t ; 0 ≤ t ≤ tm ≤ T

∫ t

012|u′m(t)|2 +

∫ t

012

ddt|β∇um(t)|2 ≤

∫ t

0|f |2 + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2


∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 − 1

2|β∇um(0)|2 ≤

∫ t

0|f |2 + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2

∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 ≤

1

2|β∇um(0)|2 +

∫ t

0

|f |2︸︷︷︸

constante

+ |α|∫ t

0|∇um(t)|2

∫ t

012|u′m(t)|2 + 1

2|β∇um(t)|2 ≤ C + |α|

∫ t

0|∇um(t)|2

Por el lema de Gromwall, tenemos :

∫ t

0

1

2|u′m(t)|2 +

1

2|β∇um(t)|2 ≤ C

usando la desigualdad de Poncare

|um(t)| ≤ co|∇um(t)| ≤ C

Ası tenemos que

(um) es acotado en L2(0, T,H10 (Ω))

(u′m) es acotado en L2(0, T, L2(Ω))

Por lo tanto existen subsucesiones de (um) y (u′m) en L

2(0, T,H10 (Ω)) y en

L2(0, T, L2(Ω)) respectivamente, que denotaremos de la misma manera.

um → u debil en L2(0, T,H10 (Ω))

u′m → χ debil en L2(0, T, L2(Ω))

Debemos probar que:χ = u′

tenemos queum → u debil en L2(0, T,H1

0 (Ω)) = W es decir∫ t

0

∫

Ωum(x, t)v(x, t)dxdt→

∫ t

0

∫

Ωu(x, t)v(x, t)dxdt

tomamos v(x, t) = w(x)θ(t) donde θ ∈ D(0, T ) w ∈ L2(Ω)

Entonces se tiene que:∫ t

0(um(t), w(x)) θ

′(t)dt→∫ t

0(u(t), w(x)) θ′(t)dt


Tambien se tiene:∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→

∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . (∗)

Pero de lo anterior

∫ t

0ddt(um(t), w(x)) θ(t)dt = −

∫ t

0(um(t), w(x)) θ

′(t)dt→ −∫ t

0(u(t), w(x)) θ′(t)dt

∫ t

0ddt(um(t), w(x)) θ(t)dt→

∫ t

0ddt(u(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t

0

d

dt(um(t), w(x)) θ(t)dt

︸︷︷︸

→∫ t

0(u′(t), w(x)) θ(t)dt

∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt→

∫ t

0(u′(t), w(x)) θ(t)dt . . . . . . . . . . . . (∗∗)

Por unicidad del lımite de (*) y (**) se tiene∫ t

0(u′m(t), w(x)) θ(t)dt =

∫ t

0(χ,w(x)) θ(t)dt∀w ∈ L2(Ω), ∀θ ∈ L2(Ω)

Se tiene que χ = u′

Ademas tenemos que∫ t

0(β∇um(t),∇v(x)) dt→

∫ t

0(β∇u(t),∇v(x)) dt

∫ t

0(α.∇um(t), v(x)) dt→

∫ t

0(α.∇u(t), v(x)) dt

∫ t

0(um(t), v(x)) dt→

∫ t

0(u(t), v(x)) dt

Ademas las soluciones aproximadas um satisfacen:

(u′m(t), w) + (α.∇um(t), w) + (β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1, ∀w ∈ Vm

Luego

(u′m(t), w)+(α.∇um(t), w)+(β∇um(t),∇w) = (f, w) m > 1, ∀w ∈ ∪∞m=1Vm

Integrando∫ t

0(u′m(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(α.∇um(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(β∇um(t),∇w) z(t)dt =

∫ t

0(f, w)z(t)dt

donde z ∈ L2(0, T ) w ∈ ∪∞m=1Vm z, w ∈ L2(0, T,H1

0 (Ω))


Pasando al lımite tenemos:∫ t

0(u′(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(α.∇u(t), w) z(t)dt+

∫ t

0(β∇u(t),∇w) z(t)dt =

∫ t

0(f, w)z(t)dt

∫ t

0[(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w)z(t)] z(t)dt = 0 ∀ ∈ L2(0, T )

tenemos:

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w)− (f, w) = 0 , ∀w ∈ ∪∞m=1Vm

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w) , ∀w ∈ ∪∞m=1Vm

tenemos

(u′(t), w)+(α.∇u(t), w)−(βu(t), w) = (f, w) , ∀w ∈ ∪∞m=1Vm . . . . . . . . . . . . (α)

(u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t), w) = (f, w) , ∀w ∈ ∪∞m=1Vm

u′(t) + α.∇u(t)− β∆u(t) = f(t)

Nos falta ver que u(0) = u0

Para esto tenemos que:

(u′m(t), w)ψ(t) + (α.∇um(t), w)ψ(t) + (β∇um(t),∇w)ψ(t) = (f, w)ψ(t)∫ t

0(u′m(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β∇um(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β.∇um(t),∇w)ψ(t) =

∫ t

0(f, w)ψ(t)

Integrando por partes

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t) + (um(t), w)ψ(t)|t0 +

∫ t

0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +

+

∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =∫ t

0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(um(t), w)ψ′(t)− (um(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(β∇um(t),∇w)ψ(t) +

+

∫ t

0

(α.∇um(t), w)ψ(t) =∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . . . . . . . (∗ ∗ ∗)

Pero

ψ ∈ C ′([0, T ]);ψ(T ) = 0


um(0) = u0m → u0 en H10 (Ω) ⊂ L2(Ω)

tambien u0m → u0 en H10 (Ω)

entonces u0m → u0 en L2(Ω)

tenemos que (u0m, w) → (u0, w) ∀w ∈ L2(Ω) pues

|(u0m, w)− (u0, w)| = |(u0m − u0, w)| ≤ |u0m − u0| |w| < ε

Pasando al lımite (***)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) +∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗′)

Ademas de (α)

(u′(t), w) + (α.∇u(t), w) + (β∇u(t),∇w) = (f, w)

integrando∫ t

0(u′(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(α.∇u(t), w)ψ(t)+

∫ t

0(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

∫ t

0(f, w)ψ(t)

integrando por partes

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t) + (u(t), w)ψ(t)|t0 +∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t)

−∫ t

0

(u(t), w)ψ′(t)− (u(0), w)ψ(0) +

∫ t

0

(α.∇u(t), w)ψ(t) +∫ t

0

(β∇u(t),∇w)ψ(t) =

=

∫ t

0

(f, w)ψ(t) . . . . . . . . . (∗∗′)

Comparando de (∗′) y (∗∗′) tenemos u(0) = u0


Unicidad de la solucion

∂u∂t

− β∆u+ α.∇u = f en Ω× (0, T ]u(x, t) = 0 en

∑= Γ× (0, T ]

u(x, t) = u0(x) en Ω

Sean v; z soluciones de la ecuacion anterior, tenemos que w = v − z Sera so-lucion de la sgte ecuacion:

∂w∂t

− β∆w + α.∇w = 0 en Ω× (0, T ]w(x, t) = 0 en

∑= Γ× (0, T ]

w(x, t) = 0 en Ω

Tenemos que(w′, w(t))− (∆w,w(t)) + (∇w,w(t)) = 0

12

∂∂t|w(t)|2 + (β∇w,∇w(t)) + (α.∇w,w(t)) = 0

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) = −2(α.∇w,w(t))

∂∂t|w(t)|2 + 2(β∇w,∇w(t)) ≤ 2|α.∇w||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤

√

|β||∇w(t)| 2|α|√|β||w(t)|

∂∂t|w(t)|2 + 2 |β| |∇w(t)|2 ≤ |β| |∇w(t)|2 + |α|2|∇w(t)|2

|β|∫ t

0∂∂t|w(s)|2 + 2 |β|

∫ t

0|∇w(s)|2 ≤

∫ t

0|β| |∇w(s)|2 +

∫ t

0|α|2|∇w(s)|2

|β|

|w(t)|2+|β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0+

∫ t

0|α|2|∇w(s)|2

|β| y por el lema de Gronwel tenemos

0 ≤ |w(t)|2 + |β|∫ t

0|∇w(t)|2 ≤ 0et

De aqui se tiene que w = 0

entonces v = z es decir la solucion es unica

Capıtulo 3

La Ecuacion de AdveccionDifusion.

3.1. Diferencias finitas en la Ecuacion de Ad-

veccion difusion

El problema de transporte de contaminantes han sido estudiados amplia-mente, sin embargo las soluciones analıtias del fenomeno quedan restringidasa condiciones iniciales y de frontera extremadamente simples. Obtener resul-tados para condiciones iniciales y de frontera mas complicadas (ej. condicioninicial variada en el tiempo) requiere el uso de de metodos numericos paralas soluciones de las ecuaciones. Tambien ante la escaces de informacion pa-ra usar en muchos casos modelos matematicos mas complejos, es necesarioaplicar modelos de dispersion unidimensional, que por lo general enfrentanproblemas de estabilidad en la solucion numerica. Tradicionalmente para lasolucion de la ecuacion de dispersion longitudinal se separan efectos (con-veccion -difusion) y es comun llegar a construir esquemas que conducen aerrores en la solucion. Presentaremos la ecuacion de Dispersion Longitudi-nal y su solucion aplicando esquemas explicitos y esquemas implicitos endiferencis finitas.

Ecuacion de Adveccion Difusion Longitudinal

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ] (3.1)

45

46 3.1. Diferencias finitas en la Ecuacion de Adveccion difusion

donde f ∈ C2([0, b]) u ∈ C([0, b]× 〈0,∞〉) ∩ C2(〈0, b〉 × 〈0,∞〉)con α ,β , constantes positivas, llamados coeficiente convectivo, difusivo

respectivamente.

3.1.1. Esquema Explicito

El analisis de la convergencia de esta ecuacion es compilicado, esto se salvausando el teorema de equivalencia de Lax, por ello necesitamos analizar laconsistencia y estabilidad. Teniendo en cuenta

∂U

∂t=Um+1j − Um

j

∆t

∂U

∂x=Umj+1 − Um

j−1

2∆x

∂2U

∂x2=Umj+1 − 2Um

j + Umj−1

∆x2

Reemplazmos en la ecuacion 3,1 tenemos el esquema:

Um+1j − Um

j

∆t+ α

Umj+1 − Um

j−1

2∆x= β

Umj+1 − 2Um

j + Umj−1

∆x2

Um+1j = Um

j − α ∆t∆x

(Umj+1 − Um

j−1

)+ β ∆t

∆x2

(Umj+1 − 2Um

j + Umj−1

)

Donde.

Cr = α∆t

∆xnuemero de Courant

Pe = α∆x

βnumero de Peclet

λ =Cr

Pe= β

∆t

∆x2

Um+1j = Um

j − Cr

2

(Umj+1 − Um

j−1

)+ λ

(Umj+1 − 2Um

j + Umj−1

)

De aqui se tiene

Um+1j =

(

λ+Cr

2

)

Umj−1 + (1− 2λ)Um

j +

(

λ− Cr

2

)

Umj+1 (3.2)

3. La Ecuacion de Adveccion Difusion. 47

Con error de truncacion 0 (∆t,∆x2)

A continuacion presentamos el analisis de ecuacion de conveccion difusion

Teorema 6 Analisis de la Ecuacion de Adveccion Difusion Transi-torioLa ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ]

Con el esquema explicito:

Um+1j =

(

λ+Cr

2

)

Umj−1 + (1− 2λ)Um

j +

(

λ− Cr

2

)

Umj+1

Es Consistente de orden 1 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es Estable para 0 < Cr ≤ Pe

2< 1 1

4≤ λ < 1

2donde Cr = α ∆t

∆xPe =

α∆xβ

λ = CrPe

yEs Convergente.

Demostracion

Veremos el analisis de la consistencia:

Estudio de la Consistencia

En la ecuacion∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

Reemplazamos las formulas respectivas

Um+1j

−Umj

∆t− ∆t

2∂2

∂t2U(x∗,ξ)

∣

∣

∣

ξ+α

Umj+1−Um

j−12∆x

− ∆x2

3∂3

∂x3U(ς,y∗)

∣

∣

∣

ς=β

Umj+1−2Um

j +Umj−1

∆x2− ∆x2

12∂4

∂x4U(z,y∗)

∣

∣

∣

z=0

ξ ∈ [n∆t, (n+ 1)∆t] z, ς ∈ [(n− 1)∆x, (n+ 1)∆x]

El error de truncacion es

τnj =∆t

2

∂2

∂t2U(x∗, ξ)

∣∣∣∣ξ

+∆x2

3

∂3

∂x3U(ς, y∗)

∣∣∣∣ς

− ∆x2

12

∂4

∂x4U(z, y∗)

∣∣∣∣z


Como trabajamos en un conjunto R = (x, t)/ 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ t ≤ T existen constantes m1 y m2 para u suficientemente regular tal que

τnj ≤ m1∆t+m2∆x2 denotamos τnj = 0(∆t,∆x2)

Por lo tanto el problema con este esquema es consistente.

Estudio de la Estabilidad

Sea la solucion discreta Umj = fne

ikj∆x i =√−1

reemplazmos en la ecuacion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

tenemos

fn+1eikj∆x = fne

ik(j−1)∆x(λ+ Cr

2

)+fne

ikj∆x (1− 2λ)+fneik(j+1)∆x

(λ− Cr

2

)

fn+1eikj∆x = fne

ikj∆x(λ+ Cr

2

)e−ik∆x + (1− 2λ) +

(λ− Cr

2

)eik∆x

fn+1 = fnλ(eik∆x + e−ik∆x

)− Cr

2

(eik∆x − e−ik∆x

)+ 1− 2λ

fn+1 = fn2λ cos(k∆x)− Cr

2[2i sin(k∆x)] + 1− 2λ

Agrupando la parte real y la parte imaginaria, tenemos

fn+1 = fn 1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)

fn+1 = fn−1 1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)2..

fn+1 = f0 1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)n+1

El factor de amplificacion G, tiene una parte real y otra imaginaria porVonn Neumann para la estabilidad del esquema debemos tener:|G| ≤ 1 , G = 1− 2λ+ 2λ cos(k∆x)− iCr sin(k∆x)


|G|2 ≤ 1

|G|2 = [(1− 2λ) + 2λ cos(k∆x)]2 + [Cr sin(k∆x)]2 , θ = k∆x

|G|2 = (1− 2λ)2 + 4λ2 cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (Cr)2 sin2 θ

sin2 θ = 1− cos2 θ

|G|2 = (4λ2 − (Cr)2) cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (1− 2λ)2 + (Cr)2 (3.3)

Lo que consideraremos como una ecuacion cuadratica con respecto acos θ con un maxımo o mınimo veamos que:

∂

∂ cos|G|2 = 2 cos(4λ2 − (Cr)2) cos θ + 4λ(1− 2λ)

∂2

∂ (cos θ)2|G|2 = 2(4λ2 − (Cr)2) (3.4)

caso 1∂2

∂(cos θ)2|G|2 = 2(4λ2 − (Cr)2) < 0

La funcion tiene maximo que se da si

∂∂(cos θ)2

|G|2 = 0

Es decir

2(4λ2 − (Cr)2) cos θ + 4λ(1− 2λ) = 0


(cosθ)delmax = − 4λ(1− 2λ)

2(4λ2 − Cr)2)=

2λ(2λ− 1)

4λ2 − (Cr)2(3.5)

Reemplazamos en (3,3)

|G|2max=(4λ2−(Cr)2)[

2λ(2λ−1)

4λ2−(Cr)2

]2+4λ(1−2λ)

[

2λ(2λ−1)

4λ2−(Cr)2

]

+4λ(λ−1)+(Cr)2+1

|G|2max=4λ2−2λ

4λ2−(Cr)2

(4λ2−(Cr)2)(4λ2−2λ)

4λ2−(Cr)2+4λ(1−2λ)

+4λ2−4λ+(Cr)2+1

|G|2max = 4λ2−2λ4λ2−(Cr)2

2λ− 4λ2+ 4λ2 − 4λ+ (Cr)2 + 1

|G|2max = − (4λ2−2λ)2

4λ2−(Cr)2+ 4λ2 − 4λ+ (Cr)2 + 1

|G|2max = (4λ2−2λ)2−(4λ2−(Cr)2)(4λ2+(Cr)2)+(4λ2−(Cr)2)(4λ−1)−(4λ2−(Cr)2)

|G|2max = 16λ4+4λ2−16λ3−(−16λ4−(Cr)4+16λ−4λ2−4λ(Cr)2+(Cr)2)−(4λ2−(Cr)2)

|G|2max = (Cr)4−4λ(Cr)2+(Cr)2

−(4λ2−(Cr)2)=

(Cr)2[(Cr)2−4λ+1](Cr)2−4λ2 ≤ 1

Pero requerimos que

|G|2max ≤ 1 4λ2 − (Cr)2 < 0 (3.6)

tenemos que

(Cr)2[(Cr)2−4λ+1](Cr)2−4λ2 ≤ 1 y (Cr)2 − 4λ2 > 0

Resolviendo

(Cr)4 − 4λ(Cr)2 + (Cr)2 ≤ (Cr)2 − 4λ2


(Cr)4 − 4λ(Cr)2 + 4λ2 ≤ 0

[(Cr)2 − 2λ]2 ≤ 0

[(Cr)2 − 2λ]2= 0 ∨ [(Cr)2 − 2λ]

2< 0

De donde solo se cumple que

(Cr)2 = 2λ (3.7)

Reemplazando (3,7) en (3,6)

4λ2 − (Cr)2 < 0

Resolviendo 4λ2 − 2λ < 0

2λ(2λ− 1) < 0

0 < λ <1

2∧ λ =

Cr

Pe−→ 0 < Cr <

Pe

2(3.8)

Tambien

0 < 2λ < 1 ∧ (Cr)2 = 2λ

tenemos

0 < (Cr)2 < 1 es decir 0 < Cr < 1Ademas como 4λ2 − (Cr)2 < 0 y λ = Cr

Petenemos 2 < Pe

en conclucion tenemos de (3,8)

0 < Cr <Pe

2∧ Cr < 1 ∧ 2 < Pe (3.9)


caso 2

La funcion tiene mınimo

∂2

∂ (cos θ)2|G|2 = 2

(4λ2 − (Cr)2

)> 0

(2λ+ Cr) (2λ− Cr) > 0

2λ− Cr > 0

2Cr

Pe− Cr > 0

2

Pe− 1 > 0

2− Pe > 0

2 > Pe

Ademas0 ≤ |G|2 ≤ 1

De (3,3) tenemos

|G|2 = (4λ2 − (Cr)2) cos2 θ + 4λ(1− 2λ) cos θ + (1− 2λ)2 + (Cr)2

De aqui2 > Pe ∧ ∆cosΘ ≤ 0

2 > Pe ∧ [4λ(1− 2λ)]2 − 4(4λ2 − (Cr)2)[(1− 2λ)2 + (Cr)2

]≤ 0

2 > Pe ∧ Cr ≤√4λ− 1

2 > Pe ∧ λ ≥ 1

4(3.10)

Tambien recuerde0 ≤ |G|2 ≤ 1

0 ≤ (4λ2−(Cr)2) cos2 θ+4λ(1−2λ) cos θ+(1−2λ)2+(Cr)2 ≤ 1; ∀cosΘ ∈ [−1, 1]


Si cosΘ = 1 Se tiene 4λ2 − (Cr)2 + 4λ(1− 2λ) + (1− 2λ)2 + (Cr)2 ≤ 1

1 ≤ 1

lo cual es cierto siempre

Si cosΘ = −1 Se tiene[4λ2 − (Cr)2

](−1)2 + 4λ(1− 2λ)(−1) + (1− 2λ)2 + (Cr)2 ≤ 1

16λ2 − 8λ ≤ 0

λ(2λ− 1) ≤ 0

De aqui

0 ≤ λ ≤ 1

2

0 ≤ Cr

Pe≤ 1

2(3.11)

Por lo tanto de (3,11) y (3,10) tenemos

0 ≤ Cr ≤ Pe

2< 1

1

4≤ λ ≤ 1

2

Asi tendremos la region de estabilidad para este caso

Ası del caso 1 y del caso 2 tenemos la region de estabilidad vea la fig.3.1

Estudio de la Convergencia

Aqui vamos a utilizar un resultado fundamental de la teorıa de Aproxi-macion en diferencias finitas, EL TEOREMA DE LAX, para este problemabien planteado que satisface la condicion de Consistencia y la condicion deEstabilidad, lo cual implica la convergencia de nuestro algoritmo.


Figura 3.1: Grafico de la curva de estabilidad numero de Peclet vs.Courant,estraido del Instituto Mexicano de Tecnologıa del agua,el cual hasido mejorado en el teorema 6

3.1.2. Esquema Implicito

El metodo de Crank-Nicolson Proporsiona un esquema implicito que esexacto de segundo orden tanto en espacio como en tiempo. Para proporcio-nar esta exactitud, se desarrollaron las aproximaciones por diferencias en elpunto medio del incremento en el tiempo . Tenemos:

un+1i − uni∆t

=∂

∂tun+ 1

2i +

1

24(∆t)2

∂3

∂t3un+ 1

2i + · · ·

∂

∂tU =

un+1i − uni∆t

0(k2)

La segunda derivada en el espacio puede ser determinada en el puntomedio al promediar las aproximaciones al inicio tn y al final tn+1 delincremento del tiempo.


un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

(∆x)2=

[∂2

∂x2un+ 1

2i +

(∆x)2

12

∂4

∂x4un+ 1

2i +

(∆x)4

360

∂6

∂x6un+ 1

2i + · · ·

]

+

+∆t

2

[∂3

∂t∂x2un+ 1

2i +

(∆x)2

12

∂5

∂t∂x4un+ 1

2i + · · ·

]

+ · · ·

Del mismo modo

uni+1 − 2uni + uni−1

(∆x)2=

[∂2

∂x2un+ 1

2i +

(∆x)2

12

∂4

∂x4un+ 1

2i +

(∆x)4

360

∂6

∂x6un+ 1

2i + · · ·

]

−

−∆t

2

[∂3

∂t∂x2un+ 1

2i +

(∆x)2

12

∂5

∂t∂x4un+ 1

2i + · · ·

]

+ · · ·

Tenemos

∂2

∂x2U =

1

2

[uni+1 − 2uni + uni−1

(∆x)2+un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

(∆x)2

]

0(k2)

Tambien

∂

∂xU =

1

2

[un+1i+1 − un+1

i−1

2∆x+uni+1 − uni−1

2∆x

]

0(h2) , 0(k2)

Reemplazando en la ecuacion (3,1)

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2

Tenemos el esquema

un+1i − uni∆t

+α

2

[un+1i+1 − un+1

i−1

2∆x+uni+1 − uni−1

2∆x

]

=

=β

2

[uni+1 − 2uni + uni−1

(∆x)2+un+1i+1 − 2un+1

i + un+1i−1

(∆x)2

]

un+1i − uni +

α∆t

4∆x

[un+1i+1 − un+1

i−1 + uni+1 − uni−1

]=

=β∆t

2(∆x)2[uni+1 − 2uni + uni−1 + un+1

i+1 − 2un+1i + un+1

i−1

]


Cr = α ∆t∆x

Numero de Courant

Pe = α∆xβ

Numero de Peclet

λ = CrPe

= β∆tβ

un+1i − uni +

Cr

4

[un+1i+1 − un+1

i−1 + uni+1 − uni−1

]=

=λ

2

[uni+1 − 2uni + uni−1 + un+1

i+1 − 2un+1i + un+1

i−1

]

un+1i +

Cr

4un+1i+1 − Cr

4un+1i−1 − λ

2un+1i+1 + λun+1

i − λ

2un+1i−1 =

= uni +Cr

4uni−1 −

Cr

4uni+1 +

λ

2uni+1 − λuni +

λ

2uni−1

Se tiene

(−Cr4−λ2)un+1

i−1 +(1+λ)un+1i +(

Cr

4−λ2)un+1

i+1 = (Cr

4+λ

2)uni−1+(1−λ)uni +(−Cr

4+λ

2)uni+1

(3.12)Con error de truncacion 0(∆x2,∆t2)


Teorema 7 (Analisis de la Ecuacion de Conveccion Difusion Transitorio)La ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ] (3.13)

Con el esquema implicito de Crank-Nicolson

(−Cr4−λ2)un+1

i−1 +(1+λ)un+1i +(

Cr

4−λ2)un+1

i+1 = (Cr

4+λ


4+λ

2)uni+1

Es Consistente de orden 2 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es incondicionalmente estable para Cr = α ∆t

∆xPe = α∆x

βy

Es Convergente.

Demostracion

Veremos el :

Analisis de la Consistencia

Al inicio de la seccion, tenemos que el error de truncatura es

τnj = − 1

24(∆t)2

∂3

∂t3u(x∗, ξ)

∣∣∣∣ξ

− (∆x)2

12

∂4

∂x4u(β, y∗)

∣∣∣∣β

β ∈ [(i− 1)∆x, (i+ 1)∆x] ξ ∈ [(n− 1)∆t, (n+ 1)∆t]

Como trabajamos en un conjunto

R = (x, t)/ 0 ≤ x ≤ L , 0 ≤ t ≤ T

existen constantes m1 y m2 para u suficientemente regular tal que

τnj ≤ m1∆t2 +m2∆x

2 denotamos τnj = 0(∆t2,∆x2)

Por lo tanto el problema con este esquema es consistente.


Analisis de la Estabilidad

Sea la solucion discreta

Unj = fne

ikj∆x i =√−1

reemplazando en (3,13) tenemos:

(

−Cr4

− λ

2

)

fn+1eik(j−1)∆x + (1 + λ)fn+1e

ikj∆x +

(Cr

4− λ

2

)

fn+1eik(j+1)∆x =

=

(Cr

4+λ

2

)

fneik(j−1)∆x + (1− λ)fne

ikj∆x +

(

−Cr4

+λ

2

)

fneik(j+1)∆x

fn+1

(

−Cr4

− λ

2

)

eik(j−1)∆x + (1 + λ)eikj∆x +

(Cr

4− λ

2

)

eik(j+1)∆x

=

= fn

(Cr

4+λ

2

)

eik(j−1)∆x + (1− λ)eikj∆x +

(

−Cr4

+λ

2

)

eik(j+1)∆x

fn+1

(

−Cr4

− λ

2

)

e−ik∆x + (1 + λ) +

(Cr

4− λ

2

)

eik∆x

=

= fn

(Cr

4+λ

2

)

e−ik∆x + (1− λ) +

(

−Cr4

+λ

2

)

eik∆x

fn+1

Cr

4

(eikj∆x − e−ikj∆x

)− λ

2

(eikj∆x + e−ikj∆x

)+ (1− λ)

=

= fn

−Cr4

(eikj∆x − e−ikj∆x

)+λ

2

(eikj∆x + e−ikj∆x

)+ (1− λ)

fn+1

Cr

42i sin(k∆x)− λ

22 cos(k∆x) + (1 + λ)

=

= fn

−Cr42i sin(k∆x) +

λ

22 cos(k∆x) + (1− λ)

fn+1

1 + λ− λ cos(k∆x) + iCr

2sin(k∆x)

= fn

1− λ+ λ cos(k∆x)− iCr

2sin(k∆x)


fn+1 = fn

1− λ+ λ cos(k∆x)− iCr2sin(k∆x)

1 + λ− λ cos(k∆x) + iCr2sin(k∆x)

Ası tenemos que

fn+1 = f0

1− λ+ λ cos(k∆x)− iCr2sin(k∆x)

1 + λ− λ cos(k∆x) + iCr2sin(k∆x)

n

Afirmamos que

∣∣∣∣∣

1− λ[1− cos(k∆x)]− iCr2sin(k∆x)

1 + λ[1− cos(k∆x)] + iCr2sin(k∆x)

∣∣∣∣∣< 1

En efecto, pues se quiere demostrar que

1− λ[1− cos(k∆x)]2 +

Cr2sin(k∆x)

2

1 + λ[1− cos(k∆x)]2 +

Cr2sin(k∆x)

2 < 1

Como 1− cos(k∆x) > 0 Se tiene que

0 < 2 2λ[1− cos(k∆x)]

es decir tenemos que

0<(1+λ[1−cos(k∆x)])+(1−λ[1−cos(k∆x)])(1+λ[1−cos(k∆x)])−(1−λ[1−cos(k∆x)])

0 < (1 + λ [1− cos(k∆x)])2 − (1− λ [1− cos(k∆x)])2

Sumando miembro a miembro[Cr2sin(k∆x)

]2

0<1−λ[1−cos(k∆x)]2+Cr2sin(k∆x)2

<1+λ[1−cos(k∆x)]2+Cr2sin(k∆x)2

se tiene entonces que

1− λ[1− cos(k∆x)]2 +

Cr2sin(k∆x)

2

1 + λ[1− cos(k∆x)]2 +

Cr2sin(k∆x)

2 < 1

Por lo tanto se tiene que lo que queremos probar


∣∣∣∣∣

1− λ[1− cos(k∆x)]− iCr2sin(k∆x)

1 + λ[1− cos(k∆x)] + iCr2sin(k∆x)

∣∣∣∣∣< 1

por lo que el esquema de Crank-Nicolson es incondicionalmente estable

Analisis de la Convergencia

Aqui usamos el teorema de LAX, Para este problema que cumple la condi-cion de Consistencia y Estabilidad, lo cual implica la Convergencia de nuestroalgoritmo.

Capıtulo 4

Solucion de Grandes Sistemasde Ecuaciones Lineales

En el capitulo anterior se discutio como proceder para transformar unproblema de ecuaciones diferenciales parciales con condicion inicial y valoresen la frontera en un sistema algebraico de ecuaciones y ası poder hallar lasolucion resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que se pueden expresaren la forma matricial siguiente

Au = b (4.1)

donde la matriz A es bandada y en problemas reales tiene grandes dimensio-nes. La eleccion del metodo especifico para resolver el sistema de ecuacionesdepende de las propiedades particulares de la matriz A, en la siguientes sec-ciones vamos a examinar varios metodos.Los metodos de resoluvcion de delsistema algebraico de ecuaciones Au = b se clasifican en dos grandes gru-pos; los metodos Directos y los metods iterativos. En los metodos directosla solucon u se alcanza en un numeros fijo de pasos y solo estan sujetos aproblemas de redondeo. En los metodos iterativos, se realizan iteraciones pa-ra aproximarse a las solucion u provechando las caracterısticas propias de lamatriz A, tratando de usar el menor numero de de pasos que en un meto-do directo. Los metodos iterativos rara vez se usan para resolver sistemasde ecuaciones sistemas lineales de dimension peque na ( El concepto de di-mension peque na es muy relativo), ya que el tiempo necesario para paraconseguir una exactitud satisfactoria rebasa el que requieren los metodos di-rectos. Sin embargo, en el caso de de sistemas de ecuaciones grandes con unalto procentaje de elementos cero, son eficientes tanto en almacenamiento

61

62 4.1. Metodo del Maximo Descenso

en la computadora como como el tiempo que se invierte en su solucion.Porestazon al resolver estos sistemas algebraicos de ecuaciones es preferible apli-car los metodos iterativos como son Jacobi, Gauss-Seidel, Sobrerrelajacionsucesiva, Descenso empinado, Gradiente conjugado. Cabe hacer mencion deque la mayoria del tiempo de computo necesario para resolver el problemade ecuaciones diferenciales parciales (EDP), es consumido en la solucion dedel sistema de algebraico de ecuaciones asociado a la discretizacion, por elloes necesario elegir aquel metodo numerico que minimice el tiempo invertidoen este proceso.

4.1. Metodo del Maximo Descenso

Este metodo nos servira para resolver sistemas de ecuaciones lineales dela forma

Ax = b

Dondex: vector de incognitas,b :vector conocido,A : matriz cuadrada conocida ademas simetrica y definida positiva

NotacionAx = b

a1,1 a1,2 · · · a1,na2,1 a2,2 · · · a2,n...

. . ....

an,1 an,2 · · · an,n

x1x2...xn

=

b1b2...bn

Teorema 8La forma cuadratica

f(x) =1

2xtAx− btx+ c (4.2)

Dondex: vector de incognitas,

4. Solucion de Grandes Sistemas de Ecuaciones Lineales 63

b: vector conocido,A: matriz cuadrada conocidac: escalar

Mostraremos que si A es simetrica y definida positiva f(x) es minimiza-da por la solucion de Ax = b

Demostracion

En efecto

=⇒Como A es definida positiva, la superficie de f(x) es un paraboloide.En el fondo del paraboloide la gradiente es cero, f(x) es minimizado cuandof

′(x) = 0,

f′(x) =

1

2Atx+

1

2Ax− b.......(∗)

como A es simetrica la ecuacion se reduce a

f′(x) = Ax− b (4.3)

Si igualamos a cero la gradiente (4,3) , obtenemos la ecuacion (4,1) Ası

f′(x) = Ax− b = 0

Ax = b

Observamos que la solucion de

Ax = b

es un punto critico de f(x).

⇐=Si A es definida positiva y simetrica, la solucion es un mınimo de f(x)Pues si Ax = b


En la ecuacion (4,2)

f(x+ e) =1

2(x+ e)tA(x+ e)− bt(x+ e) + c

=1

2(xt + et)(Ax+ Ae)− btx− bte+ c

=1

2(xtAx+ etAx+ xtAe)− btx− bte+ c

=1

2xtAx− btx+ c︸︷︷︸

f(x)

+1

2etAe+

1

2(etAx+ xtAe)− bte

= f(x) +1

2etAe+

1

2etAe+

1

2(etb+ bte)− bte

= f(x) +1

2etAe+

1

2etAe+

1

2(2bte)− bte

= f(x) +1

2etAe+ bte− bte

f(x+ e) = f(x) +1

2etAe

f(y) = f(x) +1

2(y − x)tA(y − x)

Si x 6= y entonces (y − x)tA(y − x) > 0 ∀ y − x 6= 0 pues A es definidapositivaAsı

f(y) > f(x) ∀ x 6= y

Ası x minimiza f.


Ahora si A no es simetrica la ecuacion (∗) queda

f′(x) =

1

2(At + A)x− b

insinua la solucion del sistema

1

2(At + A)x = b

Donde la matriz At + A es simetrica

Metodo del Maximo Descenso

Nosotros empezamos tomando un punto arbitrario x0 y deslizamos haciael fondo del paraboloide , nosotros tomamos una serie de pasos x1, x2, x3, ..,hasta que estemos satisfechos con la aproximacion para dar la solucion.Cuando nosotros tomamos un paso, nosotros escogemos la direccion en lacual f decrece mas rapidamente la cual es la direccion opuesta de f

′(xi) de

acuerdo a la ecuacion (4,3) esta direccion es

−f ′(x(i)) = b− Ax(i)

Figura 4.1: Cuando la matriz A,es simetrica y definida positiva el grafico def(x) se ve como un paraboloide

Vamos a intriducir unas definiciones.


El Error

e(i) = x(i) − x es un vector el cual indica que tan lejos estamos de lasolucion.

El Residual

r(i) = b − Ax(i) indica que tan lejos estamos del valor correcto de bvemos que r(i) = −Ae(i) pues

r(i) = b− Ax(i) (4.4)

= Ax− Ax(i)

= A(x− x(i))

= −A(x(i) − x)

r(i) = −Ae(i) (4.5)

Nosotros pensamos en el Residual como una transformacion por A dentrodel mism,o espacio que b .Mas importancia r(i) = −f ′

(x(i)) y debemos pensar inclusive en el residualcomo una direccion del descenso rapido.Cuando veamos Residual pensaremos en la direccion de la pendiente descen-dente. Supongamos que nosotros empezamos en x(0), nuestro primer paso,siguiendo la direccion del descenso rapido, caera en algun lugar sobre la lineade de direccion r(0) , nosotros escogemos un punto x(1) = x(0) + αr(0)Cual es el valor de α en la base de la parabola ?α minimiza f cuando la derivada direccional ∂

∂αf(x(1)) = 0 por la regla de la

cadena

∂

∂αf(x(1)) = f

′(x(1))

t ∂

∂αx(1) = f

′(x(1))

tr(0) = 0 pues x(1) = x(0) + αr(0)

Es decir α deberia ser escogida de manera que r(0) y f′(x(1)) sean ortogonales.

Es decir rt(1).r(0) = 0 pues f′(x(1)) = −r(1)

(b− Ax(1))t.r(0) = 0

[b− A(x(0) + αr(0))]t.r(0) = 0

[b− Ax(0) − αAr(0)]t.r(0) = 0


[b− Ax(0)]t.r(0) − α[Ar(0)]

t.r(0) = 0

[b− Ax(0)]t

︸︷︷︸

rt(0)

.r(0) = α[Ar(0)]t.r(0) = 0

rt(0).r(0) = αrt(0)(Ar(0))

α =rt(0).r(0)

rt(0)Ar(0)

Poniendo todo junto, el metodo de descenso rapido queda

r(i) = b− Ax(i)

α(i) =rt(i).r(i)

rt(i)Ar(i)(4.6)

x(i+1) = x(i) + α(i)r(i) (4.7)

El algoritmo como esta escrito requiere de dos matrices-vectores, multipli-cado por iteracion. En general el costo computacional del algoritmo iterativoes dominado por la productos matriz-vector, afortunadamente una puede sereliminada por premultiplicacion a los dos lados de la ecuacion (4,7) por −Ay agregando b nosotros tenemos.

r(i+1) = r(i) − α(i)Ar(i) (4.8)

A pesar de la ecuacion (4,4) es necesario conputar r(0), la ecuacion (4,8)puede ser usada por todas las iteraciones. El producto Ar, el cual ocurre endos ecuaciones (4,6)− (4,8) necesita solo ser computado una vez.La desventaja de usar estas recurrencias, es que la recurrencia definida por(4,8) es generada sin ningun retroalimentamiento del vector x(i) para conver-ger en algun punto cerca a x. El algoritmo modificado es el siguiente :

x(0) = dado

r(0) = b− Ax(0)

α(i) =rt(i).r(i)

rt(i)Ar(i)x(i+1) = x(i) + α(i)r(i)

r(i+1) = r(i) − α(i)Ar(i)

68 4.2. Metodo de la Gradiente Conjugada

Teorema 9Sea A una matriz simetrica y definida positiva, entonces el metodo de lagradiente conjugada es convergente para cualquier dato inicial que se tomex0 y

‖e(k+1)‖A ≤ k2(A)− 1

k2(A) + 1‖e(k)‖A, k = 0, 1, 2, ..

Donde ‖ · ‖A es la norma energia.

Demostracion

Sea xk la solucion generada por el metodo de la gradiente en el k-esimopaso. Entonces sea xk+1

R un vector generado por el metodo no precondicionadode Richardson con parametro optimo a partir de xk, i.e xkR = xk + αoptr

k.Del teorema 9 tenemos:

‖e(k+1)R ‖A ≤ k2(A)− 1

k2(A) + 1‖e(k)‖A

Donde e(k+1)R = x

(k+1)R − x

4.2. Metodo de la Gradiente Conjugada

Revisarenos el metodo de la gradiente conjugada para funciones cuadrati-cas. Este metodo fue desarrollado por Hastenes y stiefel (1952) para ecuacio-nes lineales, vamos a tomar un conjunto A-ortogonal de busqueda de direc-ciones d0, d1, ..dn−1 en cada direccion, nosotros tomaremos exactamente unpaso y ese paso queremos que sea justo del largo correcto. El metodo de lagradiente conjugada modifica la expresion

r(m) = b− Ax(m) = −f ′(x(m))

sustituyendola por otra expresion, que hace intervenir la direccion de bus-queda anterior d(m−1) en la forma siguiente

d(m) = r(m) + β(m−1)d(m−1)

El valor del coeficiente β(m−1) que es el paso se calcula con la condicion deque la nueva direccion de busqueda sea A−ortogonal (o conjugada ) respectoa la direccion anterior.


Definicion

d(m) es A-ortogonal con d(j) si dt(m)Ad(m) = 0

De aqui

dt(m−1)Ad(m) = 0 de aqui

dt(m−1)A(r(m) + β(m)d(m−1)) = 0

dt(m−1)Ar(m) + β(m−1)dt(m−1)Ad(m−1)

β(m−1) = −dt(m−1)Ar(m)

dt(m−1)Ad(m−1)

El algoritmo del metodo del gradiente conjugado procede ası:

x(0) = dado

d(0) = r(0) = b− Ax(0)

r(m) = b− Ax(m)

β(m−1) = −rt(m)Ad(m−1)

dt(m−1)Ad(m−1)

d(m) = r(m) + β(m−1)d(m−1)

α(m) =dt(m).r(m)

dt(m)Ad(m)

x(m+1) = x(m) + α(m)d(m)

Las expresiones del algoritmo anterior admiten simplificaciones.Por ejemplo .

r(m) = b− Ax(m) se puede reducir ası

r(m) = b− A(x(m−1) + α(m−1)d(m−1)

)

r(m) = b− Ax(m−1) − α(m−1)Ad(m−1)

r(m) = r(m−1) − α(m−1)Ad(m−1)


La ventaja de esta expresion es que se reduce a un unico producto Ad(m−1)

matriz por vector que hay que hacer en cada paso, con frecuencia este esel paso mas costoso de cada iteracion del (MGC). Tambien la expresionβ(m−1) puede simplificarse, usando propiedades de ortogonalidad que se veranposteriormente, se puede llagar a demostrar que

β(m−1) =rt(m)r(m)

rt(m−1)r(m−1)

Por lo tanto el algoritmo queda

x0 arbitrario

r(0) = b− Ax(0)

d(0) = r(0)

while err < err − tol y nit < nit.max

α(m) =dt(m).r(m)

dt(m)Ad(m)

x(m+1) = x(m) + α(m)d(m)

r(m+1) = r(m) − α(m)Ad(m)

β(m) =rt(m+1).r(m+1)

rt(m)r(m)

d(m+1) = r(m+1) + β(m)d(m)

err = nor(r) nit = nit+ 1

Teoremas de Ortogonalidad

los vectores que se van calculando con el metodo de la Gradiente Conju-gada satisfacen:

Teorema 10El gradiente −r(m+1) = f

′(m) es ortogonal a la direccion de d(m)

Demostracion

La demostracion se encuentra en [Al]


Observacion

Recordemos que

x(m+1) = x(m) + α(m)d(m) multiplicando por A y sumando b

obtenemos r(m+1) = r(m) − α(m)d(m)

Teorema 11r(m+1) es ortogonal a r(m)

DemostracionLa demostracion se encuentra en [Al]

Observacion

Recordemos quedt(m)Ad(m−1) = 0

α(m) =rt(m)d(m)

dt(m)Ad(m)

Teorema 12Se cumple para i = 1, 2, 3..ka. dt(k+1)Ad(i) = 0

b. rt(k+1)d(i) = 0

c. rt(k+1)d(i) = 0


Teorema 13Sea A ∈ M(n) simetrica y definida positiva, el metodo de la Gradiente Con-jugada termina en a lo sumo en N pasos obteniendo la solucion exacta.


DemostracionLas direcciones d0, d1, d2, ..dn−1 forman una baseA− ortogonal enRn ademasxk es optimo con respecto a las direcciones dj, j = 1, 2, 3..k − 1 es decir rkes ortogonal al espacio Sk−1 = span(d0, d1, d2, ..dk−1). Como consecuenciarn⊥Sn−1 = Rn ası tenemos rn = 0, lo que implica xn = x.

Teorema 14Sea una A una matriz simetrica y definida positiva y sean λ1 y λ2los autovalores maximo y mınimo, respectivamente. El metodo de la gradienteconjugada converge a la solucion del sistema Ax = b a lo sumo en Npasos ademas

‖e(k)‖A ≤ 2ck

1 + c2k‖e(0)‖A, c =

√

k2(A)− 1√

k2(A) + 1


Capıtulo 5

Simulacion Numerica

En este apartado veremos ejemplos para la simulacion de la ecuacion deAdveccon difusion en 1D con el esquema explicito y con el esquema com-pletamente implicito o de Crank Nicolson, observaremos que para ciertosparametros la ecuacion con el esquema explicito es inestable en unos casos yestatable en otros casos, pero con el esquema de Crank Nicolson siempre esestable.Cabe mencionar que el esquema implicito de Crank Nicolson nos produce unsistema de ecuaciones simetrico y definido positivo con matriz del sistemasparsa de alto orden, y para resolverlo hemos elegido y desarrollado topicosconcerniente al metodo de la Gradiente Conjugada; ası como otros metodosde resolucion, apropiados para estos casos de grandes sitemas de ecuacioneslineales. Luego veremos ejemplos de aplicacion de la ecuacion de advecciondifusion

73

74 5.1. La Ecuacion de Adveccion Difusion

5.1. La Ecuacion de Adveccion Difusion

Para realizar ejemplos con nuestros programas debemos recordar los teo-remas 7 y 8 del Capitulo 3 sobre el analisis numerico del metodo de dife-rencias finitas utilizado en nuestro estudio para la Ecuacion de AdveccionDifusion

Teorema7 Analisis de la Ecuacion de Adveccion Difusion Transi-

torio

La ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ]

Con el esquema explicito:

Um+1j =

(

λ+Cr

2

)

Umj−1 + (1− 2λ)Um

j +

(

λ− Cr

2

)

Umj+1

Es Consistente de orden 1 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es Estable para 0 < Cr ≤ Pe

2< 1 1

4≤ λ < 1

2donde Cr = α ∆t

∆xPe =

α∆xβ

λ = CrPe

yEs Convergente.

Teorema8 Analisis de la Ecuacion de Adveccion Difusion Transi-

torio

La ecuacion de conveccion difusion

∂u

∂t+ α

∂u

∂x= β

∂2u

∂x2x ∈ 〈0, b〉 t ∈ [0, T ] (5.1)

Con el esquema implicito de Crank-Nicolson

(−Cr4−λ2)un+1

i−1 +(1+λ)un+1i +(

Cr

4−λ2)un+1

i+1 = (Cr

4+λ


4+λ

2)uni+1

Es Consistente de orden 2 para el tiempo y de orden 2 para el espacio.Es incondicionalmente estable para Cr = α ∆t

∆xPe = α∆x

βy

Es Convergente.

5. Simulacion Numerica 75

Ejemplos

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂c∂t

+ a ∂c∂x

= k ∂2c∂2x

0 < x < 1c(x,0)=c0(x) 0 < x < 1c(0,t)=0

c(1,T )=1

co(x) =

2x, 0 < x < 1/22(1− x), 1/2 < x < 1

Figura 5.1: Simulacion del la solucion de la ecuacion de adveccion difusioncon el esquema explicito y parametros a = 1; k = 1; cr = 0,0079; pe

2=

0,005 es inestable

Figura 5.2: Simulacion de la superficie que genera la solucion de la ecuacionde adveccion difusion en este caso inestable


Figura 5.3: Simulacion de la superficie que genera la solucion de adveccion di-fusion con el esquema de Crank Nicolson con los parametros cr = 0,0079; pe

2=

0,005; t = 0,001 vemos que es estable pero el esquema explicito es inestable

Ej2. Veamos el mismo ejemplo anterior pero con diferentes parametrosnumero de pasos de tiempo es 100,∆t = 0,000049, cr = 0,0049; pe

2= 0,0050

en este caso el esquema explicito e implicito son estables

Figura 5.4: Simulacion de la superficie que genera la solucion de la ecuacion deadveccion difusion con el esquema explicito y parametros cr = 0,0049; pe

2=

0,0050 en este caso el esquema es estable


Figura 5.5: Simulacion de la superficie que genera la solucion de la ecuacionde adveccion difusion con el esquema de Crank Nicolson

Ej3. Veamos otro ejemplo con los parametros cr = 0,05 pe = 5, Co =100.

Figura 5.6: superficie de concentraciones para la solucion aproxiamda obteni-das con nuestro programa con cr = 0,05 pe = 5 se espera inestabilidad puesno cumple los criterios de buen comportamiento dados (solucion aproximada


Figura 5.7: Superficie de concentraciones para la solucion Exacta

Ej4. En este ejemplo estamos considerando u(i, 1) = sin(pi ∗ x),∆t =50, a = 2, k = 50

Figura 5.8: superficie de concentraciones para la solucion aproximada obte-nidas con nuestro programa con cr = 0,1222 pe = 32,7273 se esperabainestabilidad pues no se cumplen los criterios de etabilidad planteados.


Figura 5.9: superficie de concentraciones para la solucion exacta tomandou(i, 1) = sin(pi ∗ x),∆t = 50, a = 2, k = 50

Ej. Tomamos una simulacion sobre el rıo Copper Creeck en la que se ilus-tra el comportamiento oscilatorio de la solucion aproximada para diferentesparametros para la ecuacion.

Figura 5.10: comportamiento oscilatorio de las soluciones aproximadas conel esquema explicito para cr = 1,0 pe = 0,5 y cr = 0,5 pe = 0,25datosobtenidos del Instituto Mexicano de Tecnologia del agua,experimento sobreel rıo Copper Creeck

Ej. 5 Tomamos una simulacion hecha con el software profesional disper


version unidimensional.Se descarga un material fluorescente( tinta de Roda-mina B al 10% se hace el analisis de las muestras con un espectometro.[Is]

Figura 5.11: Comparacion de las concentraciones obtenidas con el programadisper en su version unidimensional y la solucion analıtica a lo largo delcause del rıo cooper extraido de la revista Internacional de Contaminacionambiental de Mexico 2007

Figura 5.12: Concentraciones obtenidas con nuestro programa que se aproxi-ma al software profesional disper cabe indicar que los parametros para estasimulacion son aproximadamente los mismo que los del experimento anteriorpues no los pude obtener exactamente


5.2. La Ecuacion de Black Scholes

Consideremos un opcin de compra (call) con vencimiento el 15de mayo de1998 . Queremos calcular el valor de la opcin el dıa 23 de abril de1998, paralo cual disponemos de los siguientes datos: Valor del precio de ejercicio E =10000. El precio de cruce de las negociaciones. hora de negociacion. Volatili-dad anualizada. Precio del subyacente. Tipo de interes diario anualizado.A la hora de calcular el precio de la opcion de compra se considerarn vo-latilidades medias diarias, por lo que se tomara la media de las volatilida-des diarias de las operaciones realizadas en un dıa. Es decir, a partir delos datos de los que disponemos, se divide cada volatilidad entre la raızde los dıas habiles de un a no. σdiaria = σanual√

252Del mismo modo, se con-

sideraran tipos de interes diarios, para lo cual se considera capitalizacioncompuesta.(1 + rdiario) = (1 + ranual)

252.

Figura 5.13: simulacion de la solucion aproximada esquema explicito,fuente[UC]

82 5.2. La Ecuacion de Black Scholes

Figura 5.14: simulacion Esquema explicito St ∈ [3400, 30000] ∆x = ∆t =0,015 las simulaciones fueron hechas con datos aproximados de los graficosde la fuente [UC] y nuestro programa.

Figura 5.15: simulacion de la solucion aproximada fuente [UC]


Figura 5.16: solucion aproximada, esquema explicito, con los datosxi = −1,4, xf = 0,2, numeros de pasos de tiempo y espacio es 10,∆t =0,01, Ui = 0, r = 0,05, σ = 0,3

Figura 5.17: Perfil de la solucion aproximada anterior,con el esquema explicito

84 5.2. La Ecuacion de Black Scholes

Capıtulo 6

Conclusiones

Es bien conocida la practica de "separar efectos" en la solucion de la ecua-cion de Adveccion difusion pero en los analisis de estabilidad no es siemprees la mejor forma de enfrentar este problema para la ecuacion de Advecciondifusion.

Al resolver la ecuacion de dispersion longitudinal aplicando esquemasexplıcitos en diferencias finitas, se garantiza la estabilidad la consistencia yla convergencia de los de los esquemas, como una funcion de los numerosde Courant y de Peclet combinados en una condicion que a su vez limitaa los incrementos de distancia y tiempo por ambos extremos mejorando losresultados dados en [Is] fig. (3.1) y proponiendo0 < Cr ≤ Pe

2< 1 1

4≤ λ ≤ 1

2donde Cr = α ∆t

∆xPe = α∆x

βλ = Cr

Pe.

Con esto, se tiene a disposicion metodos sencillos que son numericamenteestables y convergentes a las soluciones, y no se considera necesario recurrira metodos mas complicados para el caso de flujo unidimensional.

Este trabajo nos muestra que no debemos cerrar nuestros horizontes aotras areas, pues como vemos las matematicas, la fısica y las finanzas, quepareciera no tener alguna realcion entre ellas, coinciden en el modelo presen-tado.

85

Apendice A

Codigos

En esta seccion presentamos los codigos que han sido utilizados en estetrabajo .

%===========================================================

function [u,x,t]=dfinitas_cn(xi,xf,n,m,dt,alfa,beta,ui,uf)

% funcion que resuelve por diferencias finita la

% ecuacion de Adveccion difusion %Ut+aUx=kUxx

% por crank-nicolson

%===========================================================

%x:vector que tiene el mallado

%xi ,xf pto inicial y final del intervalo para x

%n #ptos para en que discretisamos el intervalo espacio

%m #pasos temporales

%dt paso de tiempo

%ui ;uf son los valores en los bordes izquierdo y derecho

%variables, incognitas, pasos del mallado, constantes del sistema

x=zeros(n+1,1);

b=zeros(n+1,1);

u=zeros(n+1,m+1);

A=zeros(n+1,n+1);

B=zeros(n+1,n+1);

%

h=(xf-xi)/n;

x=xi:h:xf;

cr=alfa*dt/h;

87

88

pe=alfa*dt/beta;

landa=cr/pe;

%

%variables para la gadiente

r=zeros(n+1,1);

f=zeros(n+1,1);

d=zeros(n+1,1);

alfaG=0;

betaG=0;

%

%cargamos datos iniciales

% fix es el maximo entero

%

n2=fix((n+1)/2);

for i=1:n2

u(i,1)=2*(x(i)-xi);

end

for i=n2+1:n+1

u(i,1)=2*(xf-x(i));

end

%cargamos las condiciones de borde

u(1,:)=ui;

u(n+1,:)=uf;

%cargamos las matrices A ; B

%segun el esquema de Crank-nicolson

for i=2:n

A(i,i-1)=-cr/4-landa/2;

A(i,i)=1+landa;

A(i,i+1)=cr/4-landa/2;

%matriz B

B(i,i-1)=cr/4+landa/2;

B(i,i)=1-landa;

B(i,i+1)=-cr/4+landa/2;

end

A(1,1)=1;

A(n+1,n+1)=1;

%cargamos el nuevo vector b para Au=(Bu+b) ,es decir el

% nuevo b es b=Bu+b resolvemos m sistemas de ecuaciones

A. Codigos 89

%esto te lo indica j=1..m+1 en j=1 el

%u(:,1) el conocido de la condicion inicial

for j=1:m

for i=2:n

b(i)=B(i,i-1)*u(i-1,j)+B(i,i)*u(i,j)+B(i,i+1)*u(i+1,j);

end

b(1)=ui;

b(n+1)=uf;

%resolver A*u(:,j+1)=b(:) para obtener u(:,j+1)

%gradiente conjugada modificada

tolerancia=0.001;

r=b-A*u(:,j);

d=r;

error=0;niterac=1;

while (error>tolerancia) & (niterac<=n)

alfaG=d’*r/(d’*A*d);

u(:,j+1)=u(:,j+1)+alfaG*d;

f=r;

r=r-alfaG*A*d;

betaG=r’*r/(f’*f);

d=r+betaG*d;

error=norm(r);

niterac=niterac+1;

end

t(j)=(j-1)*dt;

end

%=======================================================================

% GARFICO DE RESULTADOS

%=======================================================================

%escritura de los resultados

t(m+1)=m*dt;

% grafica

%=================================================================

%ANIMACION

%=================================================================

figure(1)

for j=1:m+1

plot(x,u(1:n+1,j),’b’);pause(0.01)

90

F(j)=getframe;

end

movie(F)

%(1:n+1) estaba como argumento de x

xlabel(’eje x’);

ylabel(’Concentracion’);

title(’Solucion Aproximada la Ecuacion Ut+aUx=kUxx metodo Implicito’);

legend(’solucion aproximada’)

%======================================================================

figure(2)

title(’ECUACION Ut+aUx=kUxx metodo Implicito y solucion aproximada’);

plot(x,u(1:n+1,1),’-.r’);

figure(3);

plot(x(1:n+1),u(1:n+1,m));



figure(4);

%subplot(1,2,2);

[X,T]=meshgrid(x,t);

surf(X,T,u’);


ylabel(’eje t’);

zlabel(’concentracion’);

title(’Solucion Aproximada Cran-Nicolson para la ecuacion Ut+aUx=kUxx’);

shading interp

cr

pe

%======================================================================

% Resuelve la ecuacion de adveccion difusion

%======================================================================

% Ut+aUx=kUxx

% usando diferencia finitas

% con el esquema explicito centrado para el espacio

% y adelantado para el tiempo

%=========================================================================

while(1)

clear;clc;

A. Codigos 91

fprintf(’_____________________________________________________________\n’)

fprintf(’ \n’)

fprintf(’...... Resolucion numerica de la ecuacion Ut+aUx=kUxx .....\n’)

fprintf(’ \n’)

fprintf(’ U(xi,t)= Ui \n’);

fprintf(’ U(xf,t)= Uf \n’);

fprintf(’ U(x,0) = Uo \n’);

fprintf(’ \n’)

fprintf(’ Metodo de diferencias finitas y esquema explicito \n’)

fprintf(’ \n’)

fprintf(’_____________________________________________________________\n’)

disp(’ ’);

disp(’ xi punto incial del intervalo de resolucion del intervalo ’);

disp(’ xf punto final de resolucion del intervalo ’);

disp(’ n numero de puntos en que discretizamos el intervalo en el espacio’);

disp(’ m numero de pasos temporales ’);

disp(’ dt paso del tiempo ’);

disp(’ a es el coeficiente de Conveccion ’);

disp(’ k es el coeficiente de difusion ’);

disp(’Ui, Uf valores de U en los bordes izquierdo y derecho respectivamente’);

disp(’ ’);

disp(’EJ. Esquema inestable con datos v= [ 0,1,100,100,0.0049,1,1,0,0 ] ’);

disp(’ ’);

disp(’EJ. Esquema inestable con datos v= [ 0,1,100,100,0.000079,1,1,0,0 ]’);

disp(’ ’);

disp(’EJ. Esquema estable con datos v= [ 0,1,100,100,0.000049,1,1,0,0 ]’);

disp(’ ’);

v=input(’Ingrese el vector con los datos iniciales v= ’);

xi=v(1);

xf=v(2);

n=v(3);

m=v(4);

dt=v(5);

a=v(6);

k=v(7);

ui=v(8);

uf=v(9);

x=zeros(n+1);

92

u=zeros(n+1,m+1); U=zeros(n+1,m+1);

h=(xf-xi)/n;

x=xi:h:xf;

%numero de couran, petclet,lamba

cr=(a*dt)/h;

pe=(a*h)/k;

lamba=cr/pe;

%la estabilidad se tiene si 0<=cr<=pe/2<1

%===================================================

%datos condiciones iniciales

n1=fix((n+1)/2);

for i=1:n1

u(i,1)=2*(x(i)-xi);%original

%u(i,1)=2*x(i);

end

%

for i=n1+1:n+1

u(i,1)=2*(xf-x(i));%original

% u(i,1)=2-2*x(i);

end

%for i=1:n+1

% u(i,1)=1

%end

%datos condiciones de frontera

u(1,:)=ui;

u(n+1,:)=uf;

%===================================================

% Algoritmo

for j=1:m

for i=2:n

u(i,j+1)=u(i-1,j)*(lamba+(cr/2))+u(i,j)*(1-2*lamba)

+u(i+1,j)*(lamba-(cr/2));

U(i,j)=0.5*( erfc( ( x(i)-a*j )/(2*sqrt(k*j)) )+

exp(x(i)*a/k)*erfc( (x(i)+a*j)/(2*sqrt(k*j))));

end

t(j)=(j-1)*dt;

end

t(m+1)=m*dt;

A. Codigos 93

%-------------------------------------------------------------------

% grafica

%-------------------------------------------------------------------

%animacion

figure(1)

%subplot(1,2,1);

for j=1:m+1

plot(x,u(1:n+1,j),’b’);

F(j)=getframe;

end

movie(F)

%(1:n+1) estaba como argumento de x



title(’Solucion Aproximada la Ecuacion Ut+aUx=kUxx metodo explicito’);

legend(’solucion aproximada’)

%solucion exacta ...............estoy probando.......borrar

figure(2)

for j=1:m+1

plot(x,U(1:n+1,j),’b’);

G(j)=getframe;

end

movie(G)

figure(3);

%subplot(1,3,3);


surf(X,T,u’);




title(’Solucion Aproximada la Ecuacion Ut+aUx=kUxx metodo explicito’);

shading interp

figure(4);

%subplot(1,3,3);


surf(X,T,U’);



94


title(’Solucion Exacta la Ecuacion Ut+aUx=kUxx metodo explicito’);

shading interp

cr

pe

if pe*0.5<1

if cr<pe*0.5 disp(’el esquema es estable’)

else disp(’el esquema es inestable’)

end

end

%legend(’Ut+aUx=kUxx’,’Numero de Courand cr’,’Numero de Petclet pe’,

’location’,’NorthEastOutside’)

%-----------------------------------------------------------------------

%opciones para continuar o culminar

%-----------------------------------------------------------------------

M=menu(’..MARLO DESEAS REALIZAR NUEVOS CALCULOS....’,’..SI..’,’..NO..’)

switch(M)

case 1

clear;

clc;

case 2

disp(’------------------------------------------------------’);

disp(’...........GRACIAS EL PROGRAMA HA FINALIZADO..........’);

disp(’------------------------------------------------------’);

close all;

break

end

end %while

Bibliografıa

[Al] Alfio quarteroni Ricardo Sacco Fausto Saleri. Numerical matematics. Springer 2007

[Aq] Alfio quarteroni Alberto Valli. Numerical Aproximations Partial Differential equa-

tions. Springer Berlin Heidelberg 2008

[En] Enrrique Zuazua. Metodos Numericos de Resolucion de Ecuaciones Diferenciales

Parciales.Universidad Autonoma de Madrid.espa na 2006

[Ho] Joe D. Hoffman. Numerical Methodds of engineersand Scientists.Marcel Dekker.incNew York 1992.

[In] Infante del Rio Rey Cabezas. Metodos Numericos Teorıa y problemas.EdicionesPiramide.Universidad Complutense de Madrid.2000

[Is] Instituto Mexicano de tecnologıa del Agua. Estudio y calibracion de un modelo

numerico en el rıo Lerma, Cooper G. Mexico Septiembre 1991

[Jo] Jonathan Richard Shewchuk An Introduction to the Conjugate Gradiente Met-

hod.School of Computer Science Carnegie Mellon University,Pittsburgh,1994.

[Ke] C.T. Kelley. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations.Siam Philadelp-hia 1995.

[La] Lapidus G. Pinder.Numerical Solution of Partial Differential Equations in Cience

and Engienering.Jhon Wiley Sons. Usa 1999.

[PC] Universidad Politecnica de Catalunya 2007. Revista internacional de metodos

numericos para calculo y dise no en ingeniera.

[St] Mario Storti, Rodrigo Paz. Metodos iterativos para la solucion de problemas lineales

y no-lineales. Notas del curso.Centro Internacional de metodos Computacionales enIngenieria.Disponible en http://www.cimec.org.ar/mstorti, [email protected]

[UC] Universidad Complutense de Madrid. Investigacion del Programa de Doctorado

Interuniversitario en Finanzas Cuantitativas julio 2004

[MM] Milla Miranda. Analisis Espectral en espacios de Hilberth. Texto de Metodos

Matmaticos. UFRJ − 1988

95

tratamiento numérico y aplicación de la ecuación de

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