TRIÁNGULOS

Lic. Meredy Siza Moreno

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Clasificación de Triángulos según la medida de sus lados:

Triángulos

Triángulo Isósceles

Dos lados iguales

Dos ángulos iguales

Triángulo escaleno

Lados y ángulos

desiguales

Triángulo Equilátero

Tres lados iguales

Tres ángulos iguales

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Clasificación de Triángulos según la medida de sus ángulos

Triángulos

Triángulo Rectángulo

Un ángulo de 90°

Tiene hipotenusa y

catetos

Triángulo Acutángulo

Todos los ángulos agudos

Triángulo Obtusángulo

Un ángulo mayor de 90°

RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS

Mediatriz:

Es la recta perpendicular

que pasa por el punto medio de cada lado.

Mediana:

Es la recta que pasa por el vértice y el

punto medio del lado opuesto.

Altura:

Es la recta perpendicular trazada desde

un vértice hasta el lado

opuesto.

RECTAS DE LOS TRIÁNGULOS

Mediatriz :

Es la recta perpendicular

que pasa por el punto medio de cada lado.

Mediana:

Es la recta que pasa por el vértice y el

punto medio del lado opuesto.

Altura:

Es la recta perpendicular trazada desde

un vértice hasta el lado

opuesto.

TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO

Mediana:

Las medianas de un triángulo se intersecan en un punto situado a dos tercios de la distancia de cada vértice con su lado opuesto.

TEOREMA DE LAS MEDIANAS DE TRIÁNGULO

• En el ABC, AX, BY y CZ son medianas.

– Si BH = 3, HC = ____

– Si AJ = 4, JH = ____

– Si BC = CF, CJ = ____

TEOREMAS DE LOS TRIÁNGULOS

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°

La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

La altura de un triángulo isósceles también es mediana correspondiente a la base.

EJERCICIOS

• La medida de los ángulos de la base de un triánguloisósceles se representa por x y el ángulo del otrovértice por 2x+30. Encuentre la medida de cadaángulo.

EJERCICIOS

• Sea el triángulo DEF isósceles con DE congruente conEF, Si DE = 4x+15 y EF= 2X+45 y DF=3x+15. Encuentrelas longitudes de los lados del triángulo.

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

Un lado del triángulo es siempre menor que la suma de los otros dos y mayor que

su diferencia.

A un ángulo mayor se le opone el lado mayor de un triángulo y viceversa.

La suma de las longitudes de dos lados de un triángulo es mayor que la longitud del

tercer lado.

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Postulado LAL

• Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes

Postulado ALA

• Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes

Postulado LLL

• Si tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

EJERCICIOS

• Determine si los triángulos son congruentes eidentifique los postulados LAL, ALA o LLL.

PQ XY, QR YZ, PR XZ ______PR XZ, RQ ZY, <R <Z ______<P <X, <R <Z, PQ XY ______ <Q <Y, <R <Z, QR YZ ______<P <X, <Q <Y, <R <Z ______

EJERCICIOS

• Dado EH BH, AH DH, AC DF, <F <C. Compruebeque EF BC

H

TEOREMAS DE CONGRUENCIA

Teorema de congruencia LAA

• Si en un triángulo dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correspondiente de un segundo triángulo, los triángulos son congruentes.

Teorema de la hipotenusa y el ángulo ( HA )

• Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema de la hipotenusa y el cateto (HC)

• Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo , entonces los triángulos son congruentes.

EJERCICIOS

• Determine si la información dada asegura que lostriángulos sean congruentes:

PQ ST, <P<S, <Q <T ______PQ TU, QR SU, <Q <U ______<P <S, <Q <T, <R<U ______ <Q <T, PQ ST, PR SU ______PQ SU, QR ST, PR TU ______

EJERCICIOS

• Determine si la información dada asegura que lostriángulos sean congruentes:

AB DE, ACDF ______<A <D, BC EF ______<B <E, AB DE ______ AC DF, <A<D ______

APLICACIONES

• Una escalera de 6 pies se coloca contra una pared con la basea 2 pies de la pared. A qué altura del suelo está la pared másalta de la escalera?

• Una persona viaja a 8 millas al norte, 3 millas al oeste, 7 millasal norte y 11 millas al este. A qué distancia está la persona delpunto original?

APLICACIONES

• Una caja tiene 24 cm de largo, 8 cm de ancho y 10cm de alto. Cuál es la longitud de la diagonal AB?

A

B

RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

B

Las bisectrices de los ángulos de un triángulo son concurrentes en un punto I que equidista de

los tres lados del triángulo.

El segmento DG es el radio de un círculo

inscrito

Las mediatrices de un triángulo son concurrentes

en un punto D que equidista de los tres

vértices del triángulo.

El segmento DA es el radio de un círculo circunscrito que toca los vértices del

triángulo.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

• Concepto de Proporción: es una igualdad entre dosrazones.

8 cm

6 cm

3 cm

4 cm

La razón 8:6, es la relación entre el alto y el ancho.

La razón 8:6 y la razón 4:3 forman una proporción:

8:64:3

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA PROPORCIONALIDAD

• Si una recta es paralela a un lado de un triángulo einterseca a los otros dos lados entonces esta rectadivide los dos lados proporcionalmente.

EJERCICIO

• Sea DE||AC. Determine el valor de x.

EJERCICIO

• Sea ABCD es un trapecio, EF||AB, EF||DC, AC =8,BC=18 y . Hallar BD y DC.

TEOREMA DEL SEGMENTO MEDIO

• El segmento que une los puntos medios de dos ladosde un triángulo es paralelo el tercer lado y tiene lamitad de su longitud.

EJERCICIO

• En los siguientes ejercicios, exactamente uno de lossegmentos a,b ó c, puede determinarse. Encuéntrelo

POSTULADOS DE SEMEJANZA

Postulado de la semejanza AA

• Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Teorema de la semejanza LLL

• Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo entonces los triángulos son semejantes.

Teorema de la semejanza LAL

• Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y sus lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, los triángulos son semejantes.

APLICACIONES

• Si un hombre de 6 pies de altura proyecta unasombra de 9 pies, qué sombra proyectará un postede 20 pies?

APLICACIONES

• Un método para encontrar la altura de un objeto es colocar unespejo en el suelo y después situarse de manera que la parte másalta del objeto pueda verse enel espejo. Qué altura tiene una torresi una persona de 150 cm de altura observa la parte superior de latorre cuando el objeto está a 120 m de la torre y la persona está a6m del espejo?

APLICACIONES

• Se va a instalar una fuente a 32 pies de una esquina de un edificio ya 27 pies de la otra esquina. El edificio tiene 40 pies de ancho. Serealizó el plano para este proyecto y se localiza un punto F,corresponde a triángulos semejantes?

F

F

200 mm

160 mm135 mm

EJERCICIO

• Si AB=4 y BC=7, encuentre

DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA

• Un número x es una media geométrica entre dosnúmeros a y b si:

En un triángulo rectángulo,

• La longitud de la altura a la hipotenusa es la mediageométrica entre las longitudes de los dos segmentos dela hipotenusa.

DEFINICIÓN MEDIA GEOMÉTRICA

Teoremas. En un triángulo rectángulo, la longitud de cadacateto es la media geométrica entre la longitud de lahipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusaadyacente al cateto.