semejanza y congruencia de triagulos
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Congruencias y semejanzas de figuras planas
Juan Serrano MA
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
bull 9G51
Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la
semejanza
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
bull
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
bull
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
bull 9G51
Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la
semejanza
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
bull
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
bull
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
bull
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
bull
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
bull
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
bull
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Congruencia
bull
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Triaacutengulos congruentes
bull Dos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
bull Sus lados correspondientes son congruentes
bull Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
bull En la figura
A
DFAC EFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
bull Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno sonrespectivamente congruentes con los de otro entonces lostriaacutengulos son congruentes
bull Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste soncongruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos deotro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos sonrespectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entreellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
bull Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otrolado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutenguloson congruentes con los del otro triangulo entonces lostriaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Postulado LLL
bull Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Postulado ALA
bull Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
AB
C
DE
ABC CDE
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Postulado AAL
bull Si dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Postulado LAL
bull Si dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
bull Ejemplos
bull 1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales iquestCuaacuteles triaacutengulos son congruentes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
bull 2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
bull Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
TEOREMA DE THALES
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
TEOREMA DE THALES
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
22
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N2
ACMN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionalesincluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y lasmedidas de las partes correspondientes Determina la relacioacutenproporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figurassemejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
25
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Semejanza
bull Dos figuras que tienen la misma forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
bull Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los
segmentos determinados por pares cualesquiera
de puntos correspondientes
son iguales
ML
M L es la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
30
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
33
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m
5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
34
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS AB
BC
AC
PQ
QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que laaltura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
38
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Distancias o alturas aplicando semejanza
bull Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
bull En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
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CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Criterios de semejanza de triaacutengulos
bull existen algunos principios que nos permitendeterminar si dos triaacutengulos son semejantessin necesidad de medir y comparar todos suslados y todos sus aacutengulos Estos principios seconocen con el nombre de criterios desemejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanzaTeorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo
Criterio LAL de semejanzaTeorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanzaTeorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
bull Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutenguloscongruentes son semejantes entre siacute
acute
acute
acute
Es decir Si acute acute de lo anterior se deduce que acute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos de sus
aacutengulos congruentes cumplen con el criterio AA
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
II Segundo criterio LLL
bull Dos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados
homoacutelogos entre siacute recibe el nombre de razoacuten de
semejanza
Es decir
aaacute =
bbacute =
ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
153
= =357
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos ldquocruzadosrdquo son iguales
15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
III Tercer criterio LAL
bull Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantesentre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute
=ccacute
c
cacute
y = acute
acute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
3
9= 4
12
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el
dibujo ambos son rectos
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Algunas aplicaciones de estos conceptos
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Ejercicio
bull Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
bull a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones65 10 = 65
528
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo
podemos ver la proporcionalidad entre las
medidas de los lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Ejercicio
bull Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5
x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3
=Y4
Z5
=31
=3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4
=3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
3012
= 4016
50
20=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de
las razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480ademaacutes
40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
p
o
s
t
e
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde = 675m
Son semejantes por que cumplen el
criterio AA tienen iguales el aacutengulo
recto y el aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el suelo
=3x
245
X = 3 bull 452Formamos la proporcioacuten
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Para terminar una pequentildea demostracioacuten
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones Razones
Demostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al
criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son
semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes