triângulos pitagóricos

TTeemmaass TTrriinngguullooss PPiittaaggrriiccooss

PPrrooff.. CCaarrllooss NNeehhaabb Temas: TTrriinngguullooss PPiittaaggrriiccooss (v3) 1/5

IIIINTRODUONTRODUONTRODUONTRODUO

O mais conhecido dos tringulos retngulos , cer-tamente, o tringulo cujos lados possuem medidas 3, 4 e 5 unidades.

Tais valores satisfazem ao Teorema de Pitgoras (1), pois 52 = 32 +42.

Mas acredito que voc conhea outros tringulos retngulos cujas medidas de seus lados sejam tam-bm nmeros inteiros, como o 5; 12; 13 e o 7; 24; 25.

De todo modo, esse texto estudar exatamente a rica situao de triplas de nmeros inteiros, chamadas de Triplas Pitagricas, ou seja, triplas de nmeros inteiros que podem representar as medidas dos lados de um tri-ngulo retngulo.

Por exemplo, mais dois exemplos: 6, 8, 10 e 9, 12, 15. Embora triplas pitagricas so meio que um plgio da tri-pla 3, 4 e 5, pois representam tringulos retngulos com a mesma forma desse ltimo (vd figura).

Parece claro que as triplas de nmeros efetivamente in-teressantes so as que no so mltiplas de nenhuma outra, ou seja, os nmeros que a compem no possu-em fator comum so nmeros primos entre si!

Tais triplas, chamadas de primitivas, bem como os tri-ngulos retngulos associados, chamados de tringulos pitagricos primitivos so, ento, os menores tringu-los retngulos, com lados inteiros, que possuem de-terminada forma. Assim, 6; 8; 10 e 9; 12; 15 so triplas pitagricas mas no so primitivas.

Daqui por diante, para facilitar a notao vamos represen-tar as triplas pitagricas escrevendo-as entre colchetes, preferencialmente com as medidas em ordem crescente:

[3; 4; 5], [5; 12; 13], [7; 24; 25]

Agora, antes de esquentar os neurnios, mais algu-mas triplas pitagricas no to conhecidas:

[8; 15; 17], [12; 35, 37], [16; 63; 65]; [33; 56; 65] e [119; 120; 169].

(1) A rea do quadrado construdo sobre a hipotenusa a soma das

reas dos quadrados construdos sobre os catetos, ou seja: se a a medida da hipotenusa e b e c so as medidas dos catetos, ento a2 = b2 + c2.

EEEEXERCCIOSXERCCIOSXERCCIOSXERCCIOS

P1. Determine todos os tringulos pitagricos (primiti-vos ou no) com um lado medindo x = 12. Analise a possibilidade de x ser a medida da hipotenusa ou de um cateto! Repita o exerccio para x = 29 e x = 41.

P2. Voc capaz de exibir um tringulo pitagrico com todos seus lados maiores do que um milho? Pense um pouco. mais fcil do que voc imagina.

E se exigirmos que tal tringulo seja pitagrico pri-mitivo? Voc consegue?

P3. Dados trs nmeros a, b e c, o que voc acha mais simples? Verificar se a2 = b2 + c2 ou, de forma equi-valente, verificar se (a b)(a + b) = c2? Ento, mos-tre que as triplas a seguir so pitagricas primitivas.

a. S1 = [201; 20.200; 20.201] S2 = [2.001; 2.002.000; 2.002.001] S2 = [20.001; 200.020.000; 200.020.001]

b. T1 = [20; 99; 101] T2 = [200; 9.999; 10.001] T3 = [2.000; 999.999; 1.000.001]

c. Voc consegue identificar caractersticas inte-ressantes nos tringulos indicados? Consegui-ria obter, os prximos tringulos de cada gru-po, ou seja, S4 e T4?

P4. Analisando tringulos pitagricos primitivos anterio-

res, note que a hipotenusa sempre mpar e os ca-tetos possuem paridades diferentes: ou seja, um par e o outro mpar.

Prove que, de fato, essas caractersticas esto pre-sentes em qualquer tringulo pitagrico primitivo.

P5. Nos tringulos [3; 4; 5], [5; 12; 13], [7; 24; 25] e [9; 40; 41] perceba que:

(1) o cateto maior e a hipotenusa so dois nme-ros consecutivos;

(2) o cateto menor um nmero mpar; (3) a soma do cateto maior com a hipotenusa...

Indique mais cinco tringulos pitagricos com essas caractersticas e em especial, um pitagrico primiti-vo com as trs medidas de seus lados maiores do que um milho (veja P2 e P3).

P6. No tringulo retngulo primitivo [8; 15; 17], assim como em [12; 35; 37] (vd P1) a diferena entre a hipotenusa e o maior cateto vale 2.

Fazendo a = b+2 e obtendo c em funo de b, exiba mais quatro tringulos desse tipo.



P7. O exerccio P5 sugere a anlise de tringulos pitag-ricos onde os dois maiores lados so inteiros conse-cutivos.

Mas no tringulo [3, 4, 5], tambm as medidas dos catetos so inteiros consecutivos. Dado que a hipo-tenusa do prximo tringulo com essa caracterstica tem medida entre 25 e 35, determine seus lados.

P8. Analise a seguinte mgica:

Escolha dois nmeros mpares consecutivos dife-rentes de 1. Calcule sua soma S e seu produto P.

Mostre que os valores obtidos para P e S podem ser as medidas dos catetos de um tringulo pitagrico primitivo.

a) Faa um ou dois exemplos numricos e, a se-guir, justifique a mgica.

b) Voc percebe que este procedimento fornece uma dica de como gerar uma quantidade infi-nita de tringulos pitagricos? Ento, crie uma tabela com os seis primeiros tringulos assim gerados.

c) Se voc escolher o par de mpares 999 e 1001, qual tringulo pitagrico ser gerado?

d) Perceba que a mgica tambm funciona se vo-c escolher dois inteiros consecutivos pares. Prove esse fato.

P9. Seja T um tringulo pitagrico com hipotenusa a.

a) Prove que existe um tringulo pitagrico T cuja medida da hipotenusa vale a2.

Os pares de triplas pitagricas T1 = [3, 4, 5] e T1 = [7, 24, 25], bem como T2 = [5,12, 13] e T2 = [119, 120, 169] ilustram essa situao...

Dica Uma algebrazinha mata a charada. Compare os quadrados das expresses x2 + y2 e x2 y2.

b) Exiba um tringulo pitagrico primitivo com hi-potenusa igual a 172.

c) Se o tringulo T for primitivo, voc pode garan-tir que existe T, tambm primitivo? Justifique.

P10. Sejam a e a as medidas das hipotenusas de dois tri-ngulos pitagricos.

a) Mostre que o produto aa hipotenusa de al-gum tringulo pitagrico.

Exemplos As triplas [3, 4, 5], [5, 12, 13] e [13, 84, 85] ilustram essa situao...

Dica Com uma simples algebrazinha, expresse como soma de quadrados o produto (b2+c2).(b2+ c2). Ins-pire-se, pois Diofante de Alexandria, que viveu entre 201 DC e 280 DC, aproximadamente, j sabia fazer isso...

b) Se, adicionalmente, a e a so primos entre si, mostre que aa hipotenusa de um pitagrico primitivo.

c) Usando o item a, gere algumas triplas pitagri-cas a partir de [3, 4, 5], [5, 12, 13] e [8, 24, 25].

P11. Analisando alguns dos tringulos pitagricos primi-

tivos anteriores, note que: (1) A hipotenusa nunca um mltiplo de 3. (2) A hipotenusa nunca um mltiplo de 4. (3) Exatamente um cateto mltiplo de 3. (4) Exatamente um cateto mltiplo de 4. (5) Exatamente um dos lados mltiplo de 5.

Prove que, de fato, todas essas caractersticas es-to presentes em todos os tringulos pitagricos primitivos.

Obs: pode ocorrer que um nico lado seja mltiplo de 3, 4 e 5, simultaneamente, como no tringulo [11; 60; 61].

P12. Dado um tringulo pitagrico primitivo, seja d a

diferena entre as medidas de sua hipotenusa e de seu cateto maior (vd P6).

a) Analisando os casos d = 7 ou d = e 11, justifique porque d no pode ser um primo mpar.

b) Ainda para ao caso de pitagricos primitivos, justifique o fato de que na decomposio de d

em fatores primos no haver fator do tipo p,

com p primo impar e impar ou ento com p = 2 e par. Por exemplo, analise d = 45 e d = 36.

c) Encontre quatro tringulos pitagricos primiti-vos para o caso d = 8.

P13. Mostre que no existe tripla pitagrica primitiva on-

de a diferena entre a hipotenusa e o maior cateto seja livre de quadrados, ou seja, um nmero cujo ni-co quadrado que o divide vale 1 (por exemplo, 60).

P14. rvore Ternria dos Pitagricos

Dado um tringulo retngulo T, de lados a > b > c,

criamos trs novos tringulos Te, Tm e Td, cujos lados so calculados como se segue:

Cateto

Menor

Cateto

Maior Hipotenusa

T c b a

Te 2a 2b + c 2 b + 2c 3a 2b +2c

Tm 2a + b + 2c 2 + 2b + c 3a + 2b + 2c

Td 2a + b 2c 2 + 2b c 3a + 2b 2c

a) Se o tringulo T = [a; b; c] pitagrico, mostre que Te,

Tm e Td tambm so pitagricos...



b) Determine Te, Tc e Td, quando T = [3; 4; 5].

c) Mostre que se os maiores lados de T so inteiros

consecutivos, tambm Te possui essa caracterstica.

Veja: [3; 4; 5] [5; 12; 13] [7; 24; 25] ...

d) Mostre que se os catetos de T so inteiros consecu-tivos, tambm Tm possui essa caracterstica.

Veja: [3; 4; 5] [20;21;29] [119;120;169] ...

e) Prove que so iguais as diferenas entre hipotenusa

e maior cateto em T e Td.

Veja: [3; 4; 5] [8; 15; 17] [12; 35; 37] onde 5 3 = 17 15 = 37 35 = 2

f) Partindo do tringulo pitagrico [3; 4; 5] e determi-nando recorrentemente Te, Tm e Td, montamos a chamada rvore Ternria dos Pitagricos Primitivos, que pode ser prolongada indefinidamente...

Te 9 40 41

Te 7 24 25 Tm 88 105 137

Td 60 91 109

Te 105 208 233

Te 5 12 13 Tm 48 55 73 Tm 297 304 425

Td 84 187 205

Te 95 168 193

Td 28 45 53 Tm 207 224 305

Td 44 117 125

Te 57 176 185

Te 39 80 89 Tm 336 377 505

Td 180 299 349

Te 217 456 505

3 4 5 Tm 20 21 29 Tm 119 120 169 Tm 696 697 985

Td 220 459 509

Te 175 288 337

Td 36 77 85 Tm 319 360 481

Td 52 165 173

Te 51 140 149

Te 33 56 65 Tm 252 275 373

Td 120 209 241

Te 115 252 277

Td 15 8 17 Tm 65 72 97 Tm 396 403 565

Td 136 273 305

Te 85 132 157

Td 12 35 37 Tm 133 156 205

Td 16 63 65

P15. Prove que:

a. Os raios do crculo inscrito e dos crculos exinscritos de um tringulo pitagrico so n-meros inteiros...

b. A altura relativa hipotenusa em pitagrico primitivo no pode ser um inteiro, mas h pi-tagricos no primitivos cuja altura inteiro.

P16. ngulos nos tringulos pitagricos...

a) Mostre que se o menor ngulo agudo de um tringulo pitagrico, ento 2 tambm ngulo agudo de um tringulo pitagrico.

Exemplos

(i) no tringulo [3, 4, 5], faamos tg = 3/4; como tg 2 = 2.tg /(1 tg2), substituindo, obtemos tg 2 = 24/7. Voc conhece algum tringulo pitag-rico de catetos 24 e 7?

(ii) no tringulo [5, 12, 13], faamos tg = 5/12; da, tg 2 = 2.tg /(1 tg2) = 120/119. Voc conhece algum tringulo pitagrico de catetos 120 e 119?

b) Se tg = p/q, com p < q (ou seja, < 45), de-termine os lados do tringulo pitagrico com um

ngulo interno 2. Surpreso?

c) Prove que se > so os menores ngulos agudos de dois tringulos pitagricos, ento

+ e tambm so ngulos agudos de tringulos pitagricos.

FFFFAMLIAS DE AMLIAS DE AMLIAS DE AMLIAS DE TTTTRIPLAS RIPLAS RIPLAS RIPLAS PPPPIIIITAGRICASTAGRICASTAGRICASTAGRICAS

Vamos analisar os exerccios P5, P6 e P7, que abordam famlias especficas de tringulos pitagricos, com o obje-tivo de a seguir, apresentar a Propriedade Geral das Tri-plas Pitagricas.

Exerccio P5

O exerccio sugere, essencialmente, que sejam analisados os tringulos retngulos onde o cateto maior e a hipote-nusa so inteiros consecutivos.

Veja uma possvel abordagem. Se a = b + 1, temos:

a2 = b2 + c2 c2 = a2 b2 c2 = (a b)(a + b)

c2 = a + b = 2b + 1

b = 2 1

2

c e

a = 2 1

2

+c

Escolhendo para c qualquer nmero impar maior do que 1 e calculando a e b, geramos a tabela a seguir:

T c b a a + b

1o 3 4 5 9

2o 5 12 13 25

3o 7 24 25 49

4o 9 40 41 81

5o 11 60 61 121

Tabela 1

Note que nessa tabela a soma do cateto maior com a hi-potenusa um quadrado perfeito!



A soluo desenvolvida deixa claro que qualquer inteiro impar maior do que 1 pode ser a medida do menor cateto de um tringulo pitagrico primitivo. Ento, o argumento desenvolvido justifica o fato de haver uma infinidade de tringulos pitagricos primitivos (veja P2). Exerccio P6

Esse exerccio sugere a anlise de tringulos pitagricos cuja diferena entre hipotenusa e cateto maior igual a 2. Por exemplo, [8, 15, 17] e [8; 35; 37].

claro, naturalmente, que dobrando os lados dos trin-gulos da Tabela 1 obtemos tringulos retngulos em que hipotenusa e cateto maior diferem de 2 unidades. Mas, tais tringulos no so primitivos...

Vejamos, ento, uma forma de abordar o problema.

Supondo b o cateto maior, ento, a = b + 2. Da:

a2 = b2 + c2 c2 = (b + 2)2 b2 c2 = 4(b + 1)

Logo, se b + 1 for um quadrado perfeito, c inteiro. Mas note que b deve ser o maior cateto e deve ser par (por-que?). Ento,

b > c b > 2 1+b b2 = 4(b + 1)

b2 4b 4 > 0 (b 2)2 > 8

b 5 (pois b > 0)

Portanto, fazendo b + 1 percorrer os quadrados perfei-

tos pares (com b +1 6) formamos a tabela a seguir:

b + 1 c = 2 1+b b a = b +2

1o 16 8 15 17

2o 36 12 35 37

3o 64 16 63 65

4o 100 20 99 101

5o 144 24 143 145

6o 196 28 195 197

7o 256 32 255 257

... ... ... ... ...

Tabela 2

Exerccio P7

No exerccio P7 sugerimos encontrar, alm do tringu-lo pitagrico [20, 21, 29] pelo menos mais um tringulo para o qual as medidas dos catetos fossem dois intei-ros consecutivos. Fazendo b = c + 1, vem:

a2 = b2 + c2 a2 = (c + 1)2 + c2 a2 = 2c2 + 2c + 1

Devemos identificar para quais valores inteiros de c a ex-presso 2c2 + 2c + 1 um quadrado perfeito. Infelizmen-te, no h uma soluo simples para essa questo.2

A Tabela 3 mostra os 10 primeiros tringulos pitagricos para os quais isso ocorre. Note que a hipotenusa do 8o tringulo desse tipo j maior do que 1 milho!

2 A soluo exige formal exige o conhecimento da equao de Pell.

Embora haja uma infinidade de tringulos desse tipo (o que precisa ser provado), tais tringulos ocorrem de for-ma muito mais esparsa que os tringulos das Tabelas 1 ou 2 anteriores (veja P15).

n c b = c + 1 a = 122 2 ++ cc

1o 3 4 5

2o 20 21 29

3o 119 120 169

4o 696 697 985

5o 4059 4060 5741

6o 23.660 23.661 33.461

7o 137.903 137.904 195.025

8o 803.760 803.761 1.136.689

9o 4.684.659 4.684.660 6.625.109

10o 27.304.196 27.304.197 38.613.965

Tabela 3

PPPPITAGRICOSITAGRICOSITAGRICOSITAGRICOS:::: PPPPROPRIEDADE ROPRIEDADE ROPRIEDADE ROPRIEDADE GGGGERALERALERALERAL

Os exerccios P5 a P7 nos possibilitaram determinar uma infinidade de tringulos pitagricos primitivos.

A propriedade que se segue estabelece uma forma geral para gerar todos os pitagricos primitivos.

Propriedade 3

[a, b, c] uma tripla pitagrica primitiva se e somente se

existem m e n inteiros tais que m > n 1, m e n de pari-dades opostas, primos entre si e tais que

a b c

Caso1 m2 + n

2 m

2 n

2 2mn ou

Caso2 m2 + n

2 2mn m

2 n

2

Exemplos

Vamos analisar, preliminarmente, alguns exemplos.

Variando m de 2 a 7 e escolhendo m > n 1, obtemos os tringulos indicados na tabela a seguir:

m n Pitagrico m n Pitagrico 2 1 [3, 4, 5] 1 [12, 35, 37]

1 2 x [3, 4, 5] 2 8 x [3, 4, 5] 3

2 [5, 12, 13] 3 9 x [3, 4, 5]

1 [8, 15, 17] 4 4 x [5, 12, 13]

2 4 x [3, 4, 5]

6

5 [61, 11, 60] 4

3 [7, 24, 25] 1 2 x [25, 24, 7]

1 2 x [5, 12, 13] 2 [53, 45, 28]

2 [20, 21, 29] 3 2 x [29, 20, 21]

3 2 x [8, 15, 17] 4 [65, 33, 56] 5

4 [9, 40, 41] 5 2 x [12, 35, 37]

7

6 [13, 84, 85]

Tabela 4

Observe que os pitagricos primitivos so obtidos quando m e n so de paridades diferentes e primos entre si.

3 Diversos autores defendem a tese que essa propriedade j era

conhecida na Babilnia.



Vejamos, agora, uma situao curiosa: ser que exis-tem valores inteiros de m e n que permitam gerar a tri-pla [9, 12, 15], que no primitiva?

Vejamos. H dois casos a analisar:

Caso 1 Caso 2

a m2 + n

2 = 15 m

2 + n

2 = 15

b m2 n

2 = 9 2mn = = 9

c 2mn = 12 m2 n

2 = 12

No primeiro caso, se somarmos as equaes (i) e (ii), ob-temos m2 = 12; no segundo caso, se somarmos as equa-es (i) e (iii) obtemos 2m2 = 27; logo, em nenhum dos dois casos encontramos m e n inteiros que gerem o tri-ngulo desejado.

Voc tinha a expectativa de que todos os tringulos pi-tagricos pudessem ser gerados? Pois , eu tambm, mas, infelizmente, s podemos garantir que so gera-dos todos os pitagricos primitivos! Demonstrao

A Propriedade Fundamental dos Pitagricos uma du-pla implicao. Logo, devemos provar a ida e a volta...

Ida: Devemos provar que:

Se [a. b; c] um pitagrico primitivo, ou seja:

a2 = b2 + c2 e (i) a, b e c so primos entre si (ii)

ento h m > n, inteiros, de paridades diferentes, primos entre si, tais que

a = m2 + n2, b = 2mn e c = m2 n2 ou a = m2 + n2, b = m2 n2 e c = 2mn

Prova (ida) De P4, a impar e b e c possuem paridades opostas. Suponha-mos que b seja impar. Como (a c)(a + c) = b2 e a e c so im-pares primos entre si, o nico fator comum entre a c e a + c 2 (pois se houvesse outro fator comum, tal fator seria tambm divisor de 2a e 2c, o que impossvel. Logo, (a-c)/2 e (a+c)/2 devem ser quadrados perfeitos. Faamos, ento, (a c)/2 = n2 e (a + c)/2 = m2. Da decorre que a = m2 + n2, c = m2 n2 e b = 2mn. Naturalmente que m e n so primos entre si, caso con-trrio um fator comum a m e n tambm seria fator de a, b e c. Alm disso, m e n possuem paridades diferentes, pois c im-par e c2 = m2 n2.

Volta: Devemos provar que:

Se h m > n 1, inteiros, de paridades diferentes, primos entre si, tais que

a = m2 + n2, b = 2mn e c = m2 n2 ou a = m2 + n2, b = m2 n2 e c = 2mn

Ento [a. b; c] um pitagrico primitivo, ou seja:

a2 = b2 + c2 e (i) a, b e c so primos entre si (ii)

Prova (volta)

imediato que a, b e c assim definidos so inteiros e satisfa-zem ao teorema de Pitgoras. Resta provar que a, b e c so primos entre si.

Basta mostrar que b e c possurem fator comum tal fator va-le 1. Veja: se p divide b e c ento p divide c = 2mn e p divide

b = m2 n2 = (mn)(m + n). Note que p 2, pois m2 n2 impar; logo, p divide m ou n. Mas p divide b, ou seja, m + n ou m n. Ora, se p divide (m ou n) e p divide (m+n ou m n), conclua que p divide m e n, o que s possvel se p = 1, pois m e n so primos entre si.

EEEEXERCCIOSXERCCIOSXERCCIOSXERCCIOS

P17. Na Tabela 4, s vezes o menor cateto b, s vezes o menor cateto c.

Determine a relao entre os valores escolhidos de m e n com m > n para que o menor cateto seja c.

P18. Justifique, geometricamente, a seguinte proprieda-de dos tringulos da Tabela 3:

medida que c cresce, as razes a/b e a/c

se aproximam (cada vez mais) de 2... Dica: Hum..., 2 bem popular, no mesmo?

P19. Determine todos os tringulos pitagricos onde a rea e o permetro so medidos pelo mesmo n-mero inteiro.

CCCCOOOOMPLEMENTMPLEMENTMPLEMENTMPLEMENTO O O O ---- TTTTEOREMA DE EOREMA DE EOREMA DE EOREMA DE PPPPITGORASITGORASITGORASITGORAS

No livro The Pythagorean Theorem, de Eli Maor, publi-cado em 2007 pela Princeton University Press, so apre-sentadas, acredite, mais de 300 demonstraes do Teo-rema de Pitgoras! E voc? Conhece alguma?

Minha demonstrao preferida, estritamente geomtri-ca, a que se segue, cuja estratgia provar que as reas dos retngulos 1 e 2 so iguais s reas dos qua-drados 1 e 2, construdos sobre os catetos...

Veja as dicas...

a rea do quadrado BXYA igual rea do paralelo-gramo BXYC (mesma base e altura);

a rea do paralelogramo BXYC igual rea do pa-ralelogramo BAYC (rotao de 90 de BXYC...);

finalmente, a rea do paralelogramo BAYC igual rea do retngulo BHHC (mesma base e altura)...

triângulos pitagóricos

Documents