Trigonometrıa

1. Angulos

Hasta ahora se han considerado los angulos como la porcion del plano comprendida entre dos semirrectascon el origen comun. De esta manera, la medida de un angulo esta comprendida entre 0 y 360 grados.En este capıtulo, un angulo va a ser tambien considerado como la medida de un giro. Ası, los angulospodran ser mayores de una vuelta (360o) y podran tener dos sentidos: contrario al movimiento del relojal que asignaremos signo positivo, o segun el movimiento del reloj al que asignaremos angulos negativos.

O X

Y

ϕ

lr..........................

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Representaremos los angulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas tomandocomo origen de angulos el eje OX. Ademas de los grados sexagesimales, utilizaremos como unidad paramedir angulos el radian. La medida de un angulo en radianes es igual a la longitud del arco dividida porel radio:

ϕ =longitud del arco

radio=

l

r

Como el arco de circunferencia correspondiente a una vuelta mide 2πr, el angulo correspondiente (360o)mide 2πr/r = 2π radianes. El angulo llano (180o) mide π radianes y el angulo recto π/2. Para pasar degrados a radianes se multiplica por π/180 y para pasar de radianes a grados por el inverso de este numero180/π. Un radian es aproximadamente 57,2958o.

Algunos calculos se simplifican utilizando el radian como medida de angulos. Por ejemplo la longitud deun arco de circunferencia es l = rϕ y el area de un sector circular es S = 1

2r2ϕ.

Angulos inscritos en una circunferencia. Se llaman ası los angulos que tienen su vertice sobre una circunferencia ysus lados son secantes de ella. Los angulos inscritos tienen las siguientes propiedades:

� El angulo inscrito es igual a la mitad del angulo central que abarca el mismo arco.

� Todos los angulos inscritos en el mismo arco son iguales.

� Los angulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

1

2 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS 2

2. Razones trigonometricas de angulos agudos

En un triangulo rectangulo, llamemos a a la hipotenusa y b y c a los catetos; A sera el angulo recto y By C los angulos agudos tal como se representa en la figura: B es el angulo opuesto al cateto b y C es elangulo opuesto al cateto c.

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B A

C

ba

c

Entre los elementos del triangulo se cumple una relacion entre los lados, el teorema de Pitagoras:

a2 = b2 + c2

y una relacion entre los angulos:

B + C = 90o (B y C complementarios)

Vamos a definir unas funciones que relacionan los lados y los angulos de un triangulo rectangulo. Estasfunciones son las siguientes:

senB =cateto opuesto

hipotenusa=

b

a

cosB =cateto contiguo

hipotenusa=

c

a

tgB =cateto opuesto

cateto contiguo=

b

c

Para el angulo C, estas funciones serıan:

senC =c

acosC =

b

atgC =

c

b

Las recıprocas de estas funciones se llaman cosecante, secante y cotangente:

cosecB =1

senBsecB =

1

cosBcotgB =

1

tgB

Cuando se utilizan para resolver triangulos rectangulos, las formulas anteriores pueden recordarse de estamanera:

un cateto = hipotenusa ×{

seno del angulo opuestocoseno del angulo comprendido

un cateto = otro cateto ×{

tangente del angulo opuesto (al 1o)cotangente del angulo comprendido (por el 1o)

3. La escuadra y el cartabon

La escuadra es un triangulo rectangulo isosceles. Sus angulos agudos son ambos iguales a 45◦. El cartabones un triangulo rectangulo cuyos angulos agudos son iguales a 30◦ y 60◦.

4 ANGULOS CUALESQUIERA 3

La escuadra puede considerarse como el triangulo rectangulo que se forma cuando un cuadrado se divideen dos triangulos mediante la diagonal. El cartabon es el triangulo resultante de dividir un trianguloequilatero en dos partes iguales mediante una altura. Las proporciones entre las longitudes de los ladosde estos triangulos aparecen reflejadas en la figura adjunta.

De la figura se deducen los siguientes valores para las razones trigonometricas de los angulos de 30◦, 45◦

y 60◦.

30◦ 45◦ 60◦

seno1

2

√2

2

√3

2

coseno

√3

2

√2

2

1

2

tangente1√3

1√3

4. Angulos cualesquiera

O X

Y

ϕ

r

x

y

E(x, y)

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Representemos el angulo ϕ sobre una circunferencia centrada en el origen y tomemos el eje de abscisascomo origen de angulos. A cada angulo ϕ le corresponde un punto de la circunferencia de coordenadasE(x, y) (extremo del arco). Las razones trigonometricas de ϕ se definen a partir de las coordenadas de

4 ANGULOS CUALESQUIERA 4

este punto:

senϕ =ordenada de E

radio=

y

r; cosϕ =

abscisa de E

radio=

x

r; tgϕ =

ordenada de E

abscisa de E=

y

x

Si el radio de la circunferencia es igual a 1, el seno es la ordenada y el coseno la abscisa del extremo delarco.

O (1,0)(−1,0)

(0,1)

(0,−1)

r=1

++++−−

−+−−−+

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Puesto que el seno, coseno y tangente se han definido a partir de las coordenadas de un punto, puedenser positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto. En la figura se hanrepresentado los signos de las tres funciones en cada cuadrante.

Los puntos de corte de la circunferencia con los ejes de coordenadas se corresponden con los angulos de0o (o 360o), 90o, 180o y 270o. La abscisa y la ordenada de estos puntos cuando la circunferencia tieneradio 1 son, respectivamente el coseno y el seno de esos angulos. Estos valores se han senalado tambienen la figura.

Conocida una de las razones trigonometricas de un angulo, pueden calcularse las demas (salvo el signo)por medio de las siguientes relaciones:

� tg x =senx

cosx

senx

cosx=

yrxr

=y

x= tg x

� sen2 x+ cos2 x = 1

sen2 x+ cos2 x =y2

r2+

x2

r2=

x2 + y2

r2=

r2

r2= 1

� 1 + tg2 x =1

cos2 x

Se obtiene de la igualdad anterior dividiendo por cos2 x

� 1 + cotg2 x =1

sen2 x

Igual que la anterior pero dividiendo por sen2 x

La primera de las formulas relaciona las tres funciones de modo que conocidas dos de ellas puede calcularsela tercera. Las siguientes relacionan seno con coseno, coseno con tangente y seno con cotangente.

5 RESOLUCION DE TRIANGULOS 5

5. Resolucion de triangulos

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B C

A

ha b

c

a

Un triangulo tiene tres lados a, b y c, y tres angulos A, B y C. Conocidos tres de estos elementos que nosean los angulos, pueden calcularse los otros tres. Para ello son utiles los siguientes teoremas:

Teorema (Teorema del seno). En un triangulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senosde los angulos opuestos:

a

senA=

b

senB=

c

senC

La constante de proporcionalidad es el diametro de la circunferencia circunscrita al triangulo.

Demostracion. En la figura anterior, la altura ha divide el triangulo ABC en dos triangulos rectangulos.De aquı que:

ha = b senC = c senB =⇒ b

senB=

c

senC

Tambien puede demostrarse el teorema del seno a partir de la propiedad de los angulos inscritos en unacircunferencia:

Figura 1: Seno de un angulo inscrito y teorema del seno

Sea el angulo α inscrito en una circunferencia que abarca un arco con una cuerda c. Construimos otroangulo sobre el mismo arco en el que uno de sus lados es un diametro de la circunferencia. Este angulotambien valdra α puesto que esta inscrito con el mismo arco que el anterior. Pero, dado que el anguloinscrito en una semicircunferencia es recto, el triangulo A′BC es rectangulo y

senα =c

2R

5 RESOLUCION DE TRIANGULOS 6

es decir, el seno de un angulo inscrito en una circunferencia es igual al cociente de la cuerda y el diametro.

A partir del resultado anterior deducimos:

senA =a

2R

senB =b

2R

senC =c

2R

=⇒ 2R =

a

senA=

b

senB=

c

senC

es decir, los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los angulos opuestos y la razon deproporcionalidad es el diametro de la circunferencia circunscrita al triangulo.

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A C

B

h a

c

b

mn

Teorema (Teorema del coseno). Un lado al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otrosdos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del angulo que forman:

a2 = b2 + c2 − 2bc cosAb2 = a2 + c2 − 2ac cosBc2 = a2 + b2 − 2ab cosC

El teorema del coseno permite calcular tambien los angulos cuando se conocen los lados:

cosA =b2 + c2 − a2

2bccosB =

a2 + c2 − b2

2accosC =

a2 + b2 − c2

2ab

Demostracion. De la figura se deduce:

a2 = m2 + h2

= (b− n)2 + h2

= b2 + n2 − 2bn+ h2 (y puesto que n2 + h2 = c2)

= b2 + c2 − 2bn (y como n = c cosA)

= b2 + c2 − 2bc cosA

Area de un triangulo. El area de un triangulo es igual a la mitad de la base por la altura. Como base se puede tomarcualquiera de los lados de forma que:

S =1

2a ha

Como ha = b senC resulta:

S =1

2a b senC

es decir, el area de un triangulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del angulo que forman.

Si se conocen los tres lados, puede calcularse el area por la formula de Heron:

S =√

p(p− a)(p− b)(p− c) p = semiperımetro

6 REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE 7

6. Reduccion al primer cuadrante

Por la simetrıa de la circunferencia, basta conocer las razones trigonometricas de los angulos del primercuadrante para poder calcular las de todos los angulos. Las formulas que relacionan las razones trigonometri-cas de cualquier angulo con los del primer cuadrante son las siguientes:

� Angulos que difieren en un numero entero de vueltas.

ϕ

360o+ϕ

E(x,y)

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sen(360ok + ϕ) = senϕ

cos(360ok + ϕ) = cosϕ

tg(360ok + ϕ) = tgϕ

� Angulos negativos.

E(x,y)

E(x,−y)

ϕ

−ϕ

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sen(−ϕ) = − senϕ

cos(−ϕ) = cosϕ

tg(−ϕ) = − tgϕ

� Angulos suplementarios.

E(x,y)E(−x,y)

ϕ

180o−ϕ

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sen(180o − ϕ) = senϕ

cos(180o − ϕ) = − cosϕ

tg(180o − ϕ) = − tgϕ

7 SUMA DE ANGULOS 8

� Angulos que difieren en 180o.

E(x,y)

E(−x,−y)

ϕ

180o+ϕ

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sen(180o + ϕ) = − senϕ

cos(180o + ϕ) = − cosϕ

tg(180o + ϕ) = tgϕ

� Angulos que suman 360o

E(x,y)

E(x,−y)

ϕ

360o−ϕ

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sen(360o − ϕ) = − senϕ

cos(360o − ϕ) = cosϕ

tg(360o − ϕ) = − tgϕ

� Angulos complementarios.

E(x,y)

E(y,x)

ϕ90o−ϕ ..........................

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sen(90o − ϕ) = cosϕ

cos(90o − ϕ) = senϕ

tg(90o − ϕ) = cotgϕ

7. Suma de angulos

Las razones trigonometricas de la suma de dos angulos α y β se relacionan con las razones trigonometricasde los sumandos por las siguientes formulas:

sen(α+ β) = senα cosβ + cosα senβ

cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβ

tg(α+ β) =tgα+ tg β

1− tgα tg β

7 SUMA DE ANGULOS 9

Figura 2: Seno y coseno de la suma de angulos

Demostracion. De la figura (ver Figura 2) se deduce que:

sen(α+ β) = AE

= AB +BE

= senα cosβ + cosα senβ

De la misma forma se obtiene:

cos(α+ β) = OA

= OA′ −AA′

= cosα cosβ − senα senβ

La formula de la tangente se obtiene el seno entre el coseno:

tg(α+ β) =sen(α+ β)

cos(α+ β)=

senα cosβ + cosα senβ

cosα cosβ − senα senβ

=

senα cosβ

cosα cosβ+

cosα senβ

cosα cosβcosα cosβ

cosα cosβ− senα senβ

cosα cosβ

=tgα+ tg β

1− tgα tg β

Las formulas para la diferencia de angulos podemos obtenerlas sustituyendo en las formulas de la sumaβ por −β:

sen(α− β) = sen [α+ (−β)]

= senα cos(−β) + cosα sen(−β)

= senα cosβ + cosα senβ

y de forma similar:

cos(α− β) = cosα cosβ + senα senβ

tg(α− β) =tgα− tg β

1 + tgα tg β

8 ANGULO DOBLE Y ANGULO MITAD 10

8. Angulo doble y angulo mitad

Si en las formulas de la suma se hace β = α resulta para el angulo doble:

sen 2α = 2 senα cosα

cos 2α = cos2 α− sen2 α

tg 2α =2 tgα

1− tg2 α

A partir de estas formulas podemos deducir otras para el angulo mitad.Puesto que:

cos2 α+ sen2 α = 1

cos2 α− sen2 α = cos 2α

Sumado y restando estas dos ecuaciones resulta:

cos2 α =1 + cos 2α

2; sen2 α =

1− cos 2α

2

Estas formulas se utilizaran posteriormente en el tema de calculo integral. Haciendo el cambio α = A2 (y

por tanto 2α = A) obtenemos las siguientes formulas para el angulo mitad:

senA

2=

√1− cosA

2cos

A

2=

√1 + cosA

2tg

A

2=

√1− cosA

1− cosA

Las raıces deberan tomarse con signo mas o menos dependiendo del cuadrante en que se encuentre elangulo mitad.

9. Formulas de transformacion en producto

Sumando y restando las formulas de la suma y de la diferencia de angulos se obtiene:

sen(α+ β) = senα cosβ + cosα senβsen(α− β) = senα cosβ − cosα senβ

}=⇒

{sen(α+ β) + sen(α− β) = 2 senα cosβsen(α+ β)− sen(α− β) = 2 cosα senβ

Y de la misma forma:

cos(α+ β) = cosα cosβ − senα senβcos(α− β) = cosα cosβ + cosα cosβ

}=⇒

{cos(α+ β) + cos(α− β) = 2 cosα cosβcos(α+ β)− cos(α− β) = −2 senα senβ

llamando α+ β = A y α− β = B, estas formulas se pueden escribir:

senA+ senB = 2 senA+B

2cos

A−B

2senA− senB = 2 cos

A+B

2sen

A−B

2

cosA+ cosB = 2 cosA+B

2cos

A−B

2cosA− cosB = −2 sen

A+B

2sen

A−B

2

10. La formula de Heron

Anteriormente ya vimos la formula de Heron que da el area de un triangulo cuando se conocen los tres lados:

S =√

p(p− a)(p− b)(p− c); p =a+ b+ c

2

Ahora demostraremos esta formula. Hemos visto que el area de un triangulo es igual a la mitad del producto de dos ladospor el seno del angulo comprendido:

S =1

2bc senA

10 LA FORMULA DE HERON 11

Por otra parte, por el teorema del coseno sabemos que:

cosA =b2 + c2 − a2

2bc

La demostracion se basa en obtener el seno de A de la segunda de estas formulas para sustituirlo en la primera:

Puesto que

sen2 A = 1− cos2 A = (1 + cosA)(1− cosA)

vamos a calcular los dos factores 1 + cosA y 1− cosA, a partir del teorema del coseno:

1 + cosA = 1 +b2 + c2 − a2

2bc=

b2 + c2 + 2bc− a2

2bc=

(b+ c)2 − a2

2bc=

(b+ c+ a)(b+ c− a)

2bc

Como hemos llamado p al semiperımetro tenemos que b+ c+ a = 2p y ademas:

b+ c− a = b+ c+ a− 2a = 2p− 2a = 2(p− a)

con lo que tenemos que

1 + cosA =(b+ c+ a)(b+ c− a)

2bc=

2p · 2(p− a)

2bc=

2p(p− a)

bc(1)

De la misma forma obtenemos para 1− cosA:

1− cosA = 1−b2 + c2 − a2

2bc=

a2 − b2 − c2 + 2bc

2bc=

a2 − (b− c)2

2bc=

(a+ b− c)(a− b+ c)

2bc

En funcion de semiperımetro esto se puede escribir como:

1− cosA =(a+ b− c)(a− b+ c)

2bc=

2(p− c) · 2(p− b)

2bc=

2(p− b)(p− c)

bc(2)

Ya podemos obtener el seno de A:

sen2 A = (1 + cosA)(1− cosA) =2p(p− a)

bc·2(p− b)(p− c)

bc=

4p(p− a)(p− b)(p− c)

b2c2

con lo que:

senA =2

bc

√p(p− a)(p− b)(p− c)

y sustituyendo en la formula del area:

S =1

2bc senA =

1

2bc

2

bc

√p(p− a)(p− b)(p− c) =

√p(p− a)(p− b)(p− c)

De las formulas 1 y 2 y teniendo en cuenta que:

tgA

2=

√1− cosA

1 + cosA

se obtienen las siguientes formulas para los angulos de un triangulo cuando se conocen los lados:

tgA

2=

√2p(p− a)

(p− b)(p− c); tg

B

2=

√2p(p− b)

(p− a)(p− c); tg

C

2=

√2p(p− c)

(p− a)(p− b)

que se conocen como formulas de Briggs.