TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ

NHIÊN

TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

Mã đề : 321

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2016 – 2017

Môn : Toán học; Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1: Cho số phức 2 3z i . Tìm mô đun của số phức w 2 (1 )z i z

A. 4 B. 2 2 C. 10 D. 2

Câu 2: Đồ thị hàm số nào dưới đây không có tiệm cận ngang?

A. 2 1

1

xy

x

B.

2

1

1

xy

x

C.

1

2

xy

x

D.

1

1y

x

Câu 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình

2 2 2 2 4 2 2 0x y z x y z . Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu

A. 1; 2;1I và 2R B. 1;2; 1I và

4R

C. 1; 2;1I và 4R D. 1;2; 1I và

2R

Câu 4: Tìm đạo hàm của hàm số 2log 1y x

A.

' 1

1 ln 2y

x

. B. ' 1

1y

x

. C. ' ln 2

1y

x

. D.

'

2

1

log 1y

x

.

Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình 2 1 1

22

x x .

A. 1;2 . B. 0;1 . C. 1;0 . D. 2;1 .

Câu 6: Cho hàm số 4 22 1y x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 .

Câu 7: Tìm nguyên hàm 2 1I x dx

A. 32

2 13

I x C B. 1

2 2 1I C

x

C. 31

2 13

I x C D. 1

4 2 1I C

x

Câu 8: Cho bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

x -1 1

y' + + 0

y 3 2

1 -1

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số giá trị cực đại bằng 3 B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 2

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1 D. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1.

Câu 9: Cho số phức 2z i .

Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức

1 i z .

A. Điểm M B. Điểm N

C. Điểm P D. Điểm Q

Câu 10: Trong không gian với toạ độ Oxyz; tìm véc tơ

chỉ phương a của đường thẳng có phương trình

2

1

3 2

x t

y t

z t

A. 2;1;3a B. 1; 1;2a C. 1;1;2a D. 1;2;3a

Câu 11: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 22 4 1y x x x trên đoạn 1;3

A. 1;3ax 2m y B.

1;3ax 4m y C.

1;3

67ax

27m y D.

1;3ax 7m y

Câu 12: Cho hàm số 3 23 3y x x có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá

trị của tham số m để phương trình 3 23 0x x m có ba nghiệm phân biệt

A. 0 4m B. 4 0m C. 4 0m D. 0 4m

Câu 13: Tìm tập hợp nghiệm của bất phương trình 1

2

log 1 3x .

A. x < 7 B. x > 7 C. -1 < x <8 D. -1 < x < 7

Câu 14: Cho a,b > 0, rút gọn biểu thức 1 4

2

P log 4loga b

A. 2

2P log

b

a

B. 2

2P log b a C. 2

2P log ab D. 2

2P logb

a

Câu 15: Tìm tập hợp tất cả các tham số m để hàm số 3 211

3y x mx x đồng biến

trên R

A. 1 1m B. 1 1m C. 2 2m D. 2 2m

Câu 16: Cho hàm số 3 25y x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 D. Hàm số không có cực đại

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số 3y x x

A. 33

'2

xy B.

3

3'

2y

x C.

32'

3

xy D.

3

2'

3y

x

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số 2 13 xy

A. 2 1 1' 3 xy B.

2 1

2 1

ln 3' .3 xx

yx

C. 2 1

2

2 ln 3' .3

1

xxy

x

D. 2 1

2' .3

ln 3. 1

xxy

x

Câu 19: Cho số phức z = a +bi, với a, b R, thỏa mãn (1 + 3i)z – 3 +2i = 2 + 7i.

Tính tổng a+b

A. 11

5a b B.

19

5a b C. 1a b D. 1a b

Câu 20: Tìm nguyên hàm 1 ln x

I dxx

A. 21ln ln

2I x x C B. 2ln lnI x x C

C. 2lnI x x C D. 21ln

2I x x C

Câu 21: Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 2 = 0. Tính giá

trị của biểu thức 2016 2016

1 2P z z

A. P = 21009 B. P= 0 C. P = 22017 D. P = 22018

Câu 22: Tính tích phân 4

2

0

osI c xdx

A. 2

8I

B.

2

4I

C.

1

3I D.

2

3I

Câu 23: Tìm nguyên hàm tan 2I xdx

A. 1

ln sin 22

I x C B. 1

ln os22

I c x C

C. 2ln sin 2I x C D. ln os2I c x C

Câu 24: Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập

phương đó

A. 24S a B. 2S a C. 21

3S a D.

24

3

aS

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm

1;1; 2I và đi qua điểm 2; 1;0M

A. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 9 B. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 3

C. (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z + 2)2 = 9 D. (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z - 2)2 = 3

Câu 26: Cho một hình hộp chữ nhật có 3 mặt có diện tích bằng 12, 15 và 20. Tính thể

tích của hình hộp chữ nhật đó

A. V = 960 B. V = 20 C. V = 60 D. V = 2880

Câu 27: Cho khối chop S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SA

vuông góc với mặt đáy và SA = 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. 32

2V a B. 31

2V a C. 34

3V a D. 3V a

Câu 28: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, A = 2a. Quay

tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta được một khối nón. Tính thể tích V của khối

nón đó

A. 32V a B. 34

3

aV

C. 34V a D.

32

3

aV

Câu 29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm 1;2;1A và mặt phẳng

( ) : 2 1 0P x y z . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với (P)

A. (Q): 2x – y + z + 3 = 0 B. (Q): 2x – y + z - 3 = 0

C. (Q): -x + 2y + z + 3 = 0 D. (Q): -x + 2y + z + 3 = 0

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm 0;1; 1A và 1;2;3B .

Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A và B

A. 1 1

:1 1 4

x y zd

B.

1 1:

1 3 2

x y zd

C. 1 1

:1 1 4

x y zd

D.

1 1:

1 3 2

x y zd

Câu 31: Tìm tập hợp tất cả các tham số m để hàm số 3 2 – – 1 1y x mx m x

đồng biến trên khoảng (1;2)

A. 11

3m B.

11

3m C. 2m D. 2m

Câu 32: Tìm tập hợp tất cả các tham số m để đồ thị hàm số

A. ;0 B. ;0 \ 5 C. ;0 D. ; 1 \ 5

Câu 33: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2 2log log 2x x m có nghiệm

A. 1 m B. 1 m C. 0 m D. 0 m

Câu 34: Phương trình 1 1 22 4 2x xx x có tổng các nghiệm bằng

A. 7 B. 3 C. 5 D. 6

Câu 35: Tìm nguyên hàm 2

2

ln 1

1

x xI dx

x

A. 2ln 1I x C B. 2 21ln 1

4I x C

C. 21ln 1

2I x C D. 2 2ln 1I x C

Câu 36: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 1 xy x e , trục hoành

0x và 1x

A. 2S e B. 2S e C. 2S e D. 1S e

Câu 37: Cho một hình nón có góc ở đỉnh bằng 90o và bán kính đáy bằng 4. Khối trụ

(H) có một đáy thuộc đáy của hình nón và đường tròn đáy của mặt đáy còn lại thuộc

mặt xung quanh của hình chóp. Biết chiều cao của (H) bằng 1. Tính thể tích của (H)

A. 9HV B. 6HV C. 18HV D. 3HV

Câu 38: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, SA vuông

góc với mặt đáy và SB tạo với mặt đáy một góc 45o. Tính thể tích V của hình chóp S.

ABC

A. 33

2

aV B.

33

4

aV C.

33

6

aV D.

33

12

aV

Câu 39: Cho các số phức z thỏa mãn 1 1 2z i z i . Tập hợp các điểm biểu diễn

các số phức z trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng. Viết phương trình đường

thẳng đó

A. 4 6 3 0x y B. 4 6 3 0x y C. 4 6 3 0x y D. 4 6 3 0x y

Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 2 1:

1 1 2

x y zd

điểm 2; 1;1A . Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết

phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A

A. 2 22 3 1 20x y z B.

2 22 1 2 5x y z

C. 2 2 2

2 1 3 20x y z D. 2 2 2

1 2 1 14x y z

Câu 41: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 9 12 16log log loga b a b . Tính tỉ số

aT

b

A. 4

3T B.

1 3

2T

C.

1 5

2T

D.

8

5T

Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

1

1 3:

1 1 3

x y zd

và 2

1 1 4:

1 2 5

x y zd

. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

d1 và song song với d2.

A. 2 7 0x y z B. 2 1 0x y z

C. 2 7 0x y z D. 2 1 0x y z

Câu 43: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 4km. Trên

bờ biển có 1 cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7km. Người gác ngọn hải đăng

chèo thuyền từ ngọn hải đăng đến vị trí M trên bờ biển rồi đi bộ đến C. Biết rằng vận

tốc chèo thuyền là 3km/h và vận tốc đi bộ là 5km/h. Xác định vị trí điểm M để người

đó đến C nhanh nhất.

A. 3MN km B. 4MN km C. M trùng B D. M trùng C

Câu 44: Với các số phức z thỏa mãn 1 1 7 2i z i . Tìm giá trị lớn nhất của z

A. max 4z B. max 3z C. max 7z D. max 6z

Câu 45: Tìm tham số m đề phương trình 4ln x mx có đúng một nghiệm.

A. 1

4m

e B.

4

1

4m

e C.

4

4

em D.

4

4m

e

Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, AB = a. Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm đoạn OA. Góc giữa

A

B M C

mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích V của hình chóp

S.ABCD.

A. 33 3

4

aV B.

33

8

aV C.

33

4

aV D.

33

12

aV

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng 1 2

:2 2 3

x y zd

và

mặt phẳng : 2 3 0P x y z . Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên

mặt phẳng (P).

A. 2 1 1

1 1 3

x y z

B.

2 1 1

3 1 1

x y z

C. 2 1 1

3 1 1

x y z D.

2 1 1

1 1 3

x y z

Câu 48: Cho đồ thị hàm số 4 3y ax bx c đạt cực đại tại 0;3A và cực tiểu

1;5B . Tính giá trị của 2 3P a b c

A. 5P B. 9P C. 15P D. 3P

Câu 49: Cho a là một số thực khác 0, ký hiệu 2

a x

a

eb dx

x a

. Tính

3

a

x

a

dxI

a x e

theo a và b

A. b

Ia

B. a

bI

e C. I ab D. aI be

Câu 50: Cho một hình nón (N) có góc ở đỉnh bẳng 600 và bán kính đường tròn đáy

bằng r1. Mặt cầu (C) có bán kính r2 tiếp xúc với mặt đáy và mặt xung quanh của (N).

Tính tỉ số 2

1

rT

r

A. 1

2 3T

B.

1

1 3T

C.

3

3T D.

1

2T

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

MÃ ĐỀ 321.

1 C 11 A 21 A 31 C 41 C

2 A 12 D 22 A 32 D 42 D

3 D 13 D 23 B 33 D 43 A

4 A 14 D 24 B 34 A 44 D

5 C 15 B 25 C 35 B 45 A

6 D 16 A 26 C 36 C 46 C

7 C 17 D 27 B 37 A 47 C

8 B 18 B 28 B 38 D 48 C

9 D 19 C 29 A 39 B 49 B

10 B 20 A 30 C 40 D 50 C

Câu 1:

- Phương pháp : Tìm số phức w, sau đó tính w

- Cách giải:

Ta có 2 1 2 2 3 1 2 3w z i z i i i

24 68 2 3 2 3 4 6 2 3 2 3 3i i i i i i i

9 1 10w

Chọn đáp án C.

Câu 2:

- Phương pháp lim ; limx x

y y

- Cách giải: 2 21 1

lim ; lim1 1x x

x x

x x

Vậy hàm số này không có tiệm cận ngang.

Chọn đáp án A.

Câu 3:

- Phương pháp :

Để tìm tâm và bán kính mặt cầu ta đưa phương trình về dạng tổng quát

2 2 2 2x a y b z c R

Khi đó tâm I(a;b;c)

- Cách giải: Ta có 2 2 2 2 4 2 2 0x y z z y z

2 2 2

1 2 1 4x y z

Vậy mặt cầu có tâm 1;2; 1 ; 2I R

Chọn đáp án D.

Câu 4:

- Phương pháp: Ta sử dụng công thức '

log '.ln

a

uu

u a

- Cách giải: Ta có

2

1 ' 1log 1 '

1 ln 2 1 ln 2

xx

x x

Chọn đáp án A.

Câu 5:

- Phương pháp: Để giải phương trình mũ này ta đưa về cùng cơ số, sau đó cho số mũ

bằng nhau rồi tìm x.

- Cách giải: 2 21 1 1 2 2

012 2 2 1 1 0

12

x x x xx

x x x xx

Chọn đáp án C.

Câu 6:

- Phương pháp: Ta tính y'

Giải phương trình y'=0 tìm ra nghiệm x.

Lập bảng biến thiên

- Cách giải: 3' 4 4y x x

3

0

' 0 4 4 0 1

1

x

y x x x

x

Bảng biến thiên:

x - 0 1

v' + 0 - 0 + 0 -

v 2 2

1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đáp án D đúng.

Chọn đáp án D.

Câu 7:

- Phương pháp: Ta sử dụng phương pháp đổi biến thông thường

- Cách giải: Đặt

1

2 1 2 1 22

x t d x dt xdx dt dx dt

331 1 2 1

2 1 . 2 12 2 3 3

x dx tdt t C x C

Chọn đáp án C.

Câu 8:

- Phương pháp: Sử dụng kiến thức trong chương 1 khảo sát hàm số.

- Cách giải

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy

Hàm số không xác định tại 1x nên đáp án A không đúng.

Đáp án B đúng.

Chọn đáp án B.

Câu 9:

- Phương pháp: Ta tìm số phức w biểu diễn ở dạng w a bi

Khi đó điểm biểu diễn số phức w là điểm có toạ độ (a;b).

- Cách giải: 21 1 2 2 2 3w i z i i i i i i

Vậy điểm biểu diễn số phức z có toạ độ 3; 1

Chọn đáp án D.

Câu 10:

- Phương pháp: Vecto chỉ phương của đường thẳng là bộ các hệ số của tham số số t.

- Cách giải: Theo bài ra ta có ngay vecto chỉ phương 1; 1;2a

Chọn đáp án B.

Câu 11:

- Phương pháp: Ta tính y'

Giải phương trình ' 0y tìm nghiệm; giả sử tìm được nghiệm 0 1;3x

Tính 01 ; ; 3y y x y rồi so sánh các giá trị đó, tìm giá trị lớn nhất

- Cách giải: 2' 3 4 4y x x

2

2

' 0 3 4 4 0 2

3

x

y x xx

1 4; 2 7; 3 2y y y

Chọn đáp án A.

Câu 12:

- Phương pháp : Ta giải bài này bằng phương pháp đồ thị, số giao điểm của hai đồ thị

hàm số là số nghiệm của phương trình.

- Cách giải: Ta có

3 2 3 2 3 23 0 1 3 3 3 0 3 3 3x x m x x m x x m

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị hàm số 3 23 3y x x và

đường thẳng 3y m

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì 1 3 3 0 4m m

Chọn đáp án D.

Câu 13:

- Phương pháp : Trước hết ta tìm tập xác định.

Nếu 1a thì log c

a x c x a

- Cách giải: Điều kiện 1 0 1x x

11 22

2

log 1 3 log 1 3 log 1 3x x x

3

2log 1 3 1 2 7x x x

Vậy 1 7x

Chọn đáp án D.

Câu 14:

- Phương pháp : Đưa về cùng cơ số;

Sử dụng tính chất biến đổi tổng thành tích và hiệu thành thương và đưa số mũ vào

trong logarit.

- Cách giải:

1 2

22

1 4 2 2 2 2 22 2

2

log 4log log 4log log 2log log log logb

P a b a b a b a ba

Chọn đáp án D.

Câu 15.

Phương pháp:

Điều kiện để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên ℝ

+ f(x) liên tục trên

+ f(x) có đạo hàm ' 0 0f x x và số giá trị x để ' 0f x là hữu hạn

Do y' là một tam thức bậc 2 nên ta sử dụng kiến thức:

20

0, ,0

aax bx c x x

Cách giải:

Ta có: 3 21x 1

3y x m x

2' 2 1y x mx

Ta có: Hàm số đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi

2

2

1 0' 0, 2 1 0, 1 1

' 1 0

tmy x x mx x m

m

Chọn đáp án B

Câu 16.

Phương pháp: Tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm tập xác định, tính đạo hàm.

Bước 2: giải phương trình ' 0y , tìm các nghiệm 1 2, ,..., nx x x thỏa mãn tập xác định và

những xi làm cho y' vô nghĩa.

Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại đâu

Cách giải:

3 25y x x

3 2

3 3

5 22' 5 .

3 3

xy x x

x x

' 0 2y x

' 0 ;0 2;y x

' 0 0;2y x

Lập bảng biến thiên ta được: hàm số đạt cực đại tại 0x ; hàm số đạt cực tiểu tại

2x

Chọn đáp án A

Câu 17.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm căn thức ''

2

uu

u

Cách giải: 1

4 223 3 3

3

2' ' ' '

3y x x x x

x

Chọn đáp án D

Câu 18.

Phương pháp: công thức tính đạo hàm của hàm ' '. .lnu ua u a a

Cách giải: 2 21 1

2

ln 33 .3

1

x xx

x

Chọn đáp án B

Câu 19:

- Phương pháp: Tìm số số phức z

- Cách giải: Ta có

1 3 3 2 2 7 1 3 3 2 2 7 3 3 3 2 2 7i z i i i a bi i i a bi ai b i i

3 5 0 23 5 3 5 0

3 5 0 1

a b aa b a b i

a b b

Chọn đáp án C

Câu 20.

Phương pháp: Ta thấy trong nguyên hàm có chứa hàm lnx và hàm xd

x nên ta đưa

hàm 1

x vào trong dx.

Cách giải: 21 ln 11 ln ln ln ln

2

xdx x d x x x C

x

Chọn đáp án A.

Câu 21

– Phương pháp: Tính giá trị biểu thức dạng " "

1 2x x với 1 2,x x là hai nghiệm phức của

phương trình bậc hai 2 0ax bx c

+ Giải phương trình bậc hai ra nghiệm 1 2;x a bi x a bi

+ Đưa về dạng 1 1 1 1 2 2 2 2cos sin ; cos sinx k i x k i

+ Dùng công thức Moivre: cos sin cos sinn nk i k n i n

– Cách giải

Phương trình bậc 2 đã cho có 2' 1 2 1 i Có 2 nghiệm

1

3 31 2 cos sin

4 4z i i

2 1 2 cos sin4 4

z i i

2016

2016 1008 1008

1

2016.3 2016.32 cos sin 2 . cos1512 sin1512 2

4 4z i i

2016

2016 1008 1008

2

2016 20162 cos sin 2 . cos504 sin 504 2

4 4z i i

10092P

Chọn đáp án A

Câu 22.

Phương pháp: Biểu thức trong tích phân là hàm lượng giác bậc chẵn, ta thường sử

dụng công thức biến đổi lượng giác hạ bậc rồi mới tính tích phân.

Cách giải.

4 4 4

2

0 0 0

1 1 1 2cos 1 cos 2 sin 2

2 2 2 8I xdx x dx x x

Chọn đáp án A.

Câu 23

– Phương pháp : Đưa tan 2x về dạng sin 2

cos 2 x

x

– Cách giải:

sin 2 1 1 1 1 1

tan 2 xdx . 2sin 2 . cos 2 .ln cos 2cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2

xdx xdx d x x C

x x x

Chọn đáp án B

Câu 24

– Tính chất

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng 2

a

Diện tích mặt cầu đó là 2 24 R 42

aS a

Chọn B

Câu 25

Tâm 1;1; 2I , bán kính mặt cầu là R = IM = 3 nên phương trình mặt cầu là

2 2 2

1 1 2 9x y z

Chọn C

Câu 26

– Tính chất: Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức 1 2 3V S S S với

1 2 3, ,S S S là diện tích các mặt (đôi một chung cạnh) của hình hộp đó.

Áp dụng tính chất, ta có V = 60

Chọn C

Câu 27

Có 3

.

1 1 1. . .

3 6 3S ABC ABCV SA S SA AB AC a . Chọn B

Câu 28

Hình nón thu được có bán kính đáy 2ar AC , chiều

cao h AB a nên có thể tích

321 4

r3 3

aV h

. Chọn B

Câu 29

Vì (P) // (Q) nên 2 mặt phẳng có cùng 2; 1;1VTPT

(Q) đi qua 1;2;1A nên có phương trình 2x 3 0y z

Chọn A

Câu 30

Đường thẳng AB nhận 1;1;4AB làm VTCP và đi qua 0;1; 1A nên có phương

trình 1 1

:1 1 4

x y zd

. Chọn C

Câu 31

– Phương pháp: Tìm m để hàm số bậc 3 biến x, tham số m đồng biến trên khoảng

;a b

+ Tính y‟ . Thiết lập bất phương trình ' 0 *y

+ Cô lập m, đưa phương trình (*) về dạng m f x hoặc m f x

2a

a

B

A C

+ Vẽ đồ thị hàm số y f x hoặc lập bảng biến thiên trên đoạn [a;b], từ đó kết luận

ra m thỏa mãn

– Cách giải

Có 2' 3x 2 x 1y m m

Với 1;2x thì 2

2 2 1 3' 0 3x 2 x 1 0 1 2 1 3x *

1 2

xy m m m m m

x

Hàm số đã cho đồng biến trên 1;2 khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng

1;2x

Xét hàm số 21 3

1 2

xf x

x

trên 1;2 có

2 2

2 2

6 1 2 2 1 3 6 6 2' 0, 1;2

1 2 1 2

x x x x xf x x

x x

1 2, 1;2f x f x

Vậy giá trị của m thỏa mãn là 2m

Chọn C

Câu 32

– Phương pháp:

Tìm m để đồ thị hàm số bậc 3 có 2 cực trị nằm ở hai nửa mặt phẳng khác nhau bở là

trục hoành (tức là hàm số có 2 giá trị cực trị trái dấu)

Tìm nhanh:

Điều kiện đề bài tương đương với phương trình bậc ba f(x) = 0 có 3 nghiệm thực phân

biệt. Ta thử từng giá trị m rồi giải bằng máy tính, nếu phương trình bậc 3 có 3 nghiệm

thực phân biệt thì giá trị m đó thỏa mãn.

– Cách giải: Thử giá trị 0,5m , giải phương trình bậc ba 3 2 0,5 1,5 0x x x bằng

máy tính thấyphương trình chỉ có một nghiệm 1x (2 nghiệm kia là nghiệm phức)

nên giá trị 0,5m không thỏa mãn ⇒ Loại A, B, C

Chọn D

Câu 33

Phương trình đã cho tương đương với 2log1

2

xm

x

x

Để phương trình đã cho có nghiệm thì đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

2logy f x với 2

xf x

x

trên khoảng 2;

Có

2

2' 0, 2

2f x x

x

và

2lim ; lim 1

xxf x f x

nên ta có các tập giá

trị của các hàm số 21; log 0;f x f x

Vậy 0 m

Chọn D

Câu 34

1 1 2 1 1 2 12 4 2 .2 4.2 4 0 4 2 0x x x x xx x x x x x x

1

4

2 0 *x

x

x

Xét hàm số 12xf x x trên , ta có:

1

0 2 0 0

1' 2 ln 2 1 0 1 log ; ' 0 ; ' 0

ln 2

xf x x x f x x x f x x x

nên phương trình 0f x có tối đa 1 nghiệm trong các khoảng 0; x và 0;x

Mà 1 2 0f f nên phương trình (*) có 2 nghiệm 1x và 2x

Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 7

Chọn A

Câu 35

Áp dụng công thức nguyên hàm hợp 2

2

2ln 1

1

xd x dx

x

2 2 2 21 1ln 1 ln 1 .ln 1

2 4I x d x x C

Chọn B

Câu 36

– Lý thuyết

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và các đường

thẳng x a và x b a b được tính theo công thức b

a

S f x dx

– Cách giải

Diện tích cần tính là 1 1

0 0

1 1 0,718... 2x xS x e dx x e dx e (sử dụng máy,

tính trực tiếp và so sánh với các đáp án)

Câu 37

Thiết diện qua trục của hình nón và hình trụ có

dạng như hình bên, với A là đỉnh nón, BC là đường

kính đáy nón, O là tâm đáy, D là 1 giao điểm của

đường tròn đáy hình trụ với BC

Có góc 090 , 4BAC OB OC OA

Chiều cao hình trụ bằng 1 nên áp dụng định lý Ta lét ta có 4 1OC CD CD

⇒ Bán kính đáy hình trụ là 3r OD

Thể tích hình trụ là 2 9V r h

Chọn A

Câu 38

Góc giữa SB và (ABC) là góc 045SBA

Hình chóp S. ABC có diện tích đáy là diện tích tam

giác đều cạnh a và bằng 2 3

4

aS

0. tan 45SA AB a

3

.

1 3.

3 12S ABC ABC

aV SA S

Chọn D

Câu 39

– Phương pháp: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn hệ thức cho

trước:

+ Đặt ,z a bi a b

4

1

B

A

CO D

S

B

CA

+ Chuyển hệ thức với z về hệ thức với a, b, rút gọn để tìm hệ thức liên hệ giữa a và b

⇒ Phương trình (đường thẳng, đường tròn) cần tìm.

– Cách giải

Giả sử ,z a bi a b . Ta có

1 1 2 1 1 1 2z i z i a b i a b i

2 2 2 2

1 1 1 2a b a b 4a 6 3 0b

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 4x 6 3 0y

Chọn B

Câu 40

– Phương pháp

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc (d): nhận VTCP của d (ud)

làm VTPT

+ Tìm giao của (d) và (P), là I

+ Tính R = IA. Viết phương trình mặt cầu

– Cách giải

Phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc (d) là 2z 1 0x y

Giao (P) và (d) là 1;2; 1I . Có 2 14IA . Phương trình mặt cầu là

2 2 2

1 2 1 14x y z

Chọn D

Câu 41

– Phương pháp: Đặt cả 3 logarit bằng nhau và bằng k

– Cách giải

Đặt 9 12 16log log logk a b a b

99 3

12 9 12 16 116 4

16

k

k kk k k k

k k

k

a

b

a b

Đặt 2 1 03 1 5

4 20

k

k

t tt t

t

4 1 5 1

3 2

k

k

bT

a t

Chọn C

Câu 42

– Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng (P) chưa đường thẳng d1 cho trước và

song song với d2 cho trước (d1 và d2 chéo nhau)

+ Tìm 1M d bất kì

+ Tính 1 2;P d dn u u

, viết phương trình (P)

– Cách giải

Có 10;1;3 dM . Mặt phẳng (P) đi qua M và nhận 1 2; 1; 2;1p d dn u u

làm

VTPT nên có phương trình 2 1 0 2 1 0x y z x y z

Chọn D

Câu 43

Để người đó đến C nhanh nhất thì M phải thuộc đoạn

BC

Đặt 7 0 7BM x CM x x

2 16AM x

Thời gian để người đó đi từ A đến C là

2 16 7

3 5

x xt f x

. Xét hàm số f(x) trên [0;7]

Với 0;7x thì 2

2

1' 0 5x 3 16 3

53 16

xf x x x

x

' 0, x 0;3 ; ' 0, 3;7f x f x x

37

3 , 0;715

f x f x

Dấu “=” xảy ra 3x

Chọn A

Câu 44

– Phương pháp:

+ Đặt ,z a bi a b

7 - x

4

x

A

B M C

+ Biến đổi điều kiện đề bài, sử dụng các bất đẳng thức cần thiết để đánh giá |z|

– Cách giải

Đặt ,z a bi a b . Điều kiện đề bài tương đương với

1 1 7 2 1 7 2i a bi i a b a b i

2 2

1 7 2a b a b

2 2 2 3 4 24 0 *a b a b

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

2 2 2 2 2 2 23 4 3 4 3 4 5a b a b a b a b

2 2 2 2 2 2* 0 10 24 4 6a b a b a b

6z

Dấu “=” xảy ra 18 24

5 5z i

Chọn D

Câu 45

Điều kiện 0x

+ với 0m , phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 1x

+ Với 0m , xét hàm số 4 ln 0f x mx x trên 0; , ta có với 0x thì

3

4 4 4

1 1 1 1' 4 0 ; ' 0 0 ; ' 0

4 4 4f x mx x f x x f x x

x m m m

Mặt khác 0

lim ; limxx

f x f x

nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

khi và chỉ khi nghiệm đó chính là 4

1

4x

m . Ta có

4 4

1 1 1 1 1 10 . ln 0 ln 4 ln 4 1

4 4 4 44 4f m m m m

m em m

( + Với m < 0, phương trình đã cho luôn có nghiệm

duy nhất)

Chọn A

O

S

C

D

B

A

EH

Câu 46

Gọi H là trung điểm OA SH ABCD

Vẽ HE CD tại E / /HE AD

Vì (SCD) giao (ABCD) theo giao tuyến CD và CD SHE nên góc giữa (SCD) và

(ABCD) là góc 060SEH

3 3

4 4

aHE AD

0 3 3.tan 60

4

aSH HE

3

.

1 3.

3 4S ABCD ABCD

aV SH S

Chọn C

Câu 47

– Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d (biết phương trình) trên

mặt phẳng

(P) (biết phương trình):

+ Tìm giao điểm M của (d) và (P)

+ Tính ;d pn u n

+ Viết phương trình đường thẳng qua M và nhận ; pu n n

làm VTCP

– Cách giải

Giao (d) và (P) là 1;0; 2M

; 1; 7;4d pn u n

; 18; 6; 6 6 3;1;1pu n n

Phương trình đường thẳng cần viết là 1 2 2 1 1

3 1 1 3 1 1

x y z x y z

Chọn C

Câu 48

Phương pháp

Hàm số đạt cực đại tại 0; 3A ta có ' 0 0; 0 3y y

Hàm số đạt cực tiểu tại 1; 5B ta có: ' 1 0; 1 5y y

Cách giải.

Hàm số đạt cực đại tại 0; 3A ta có: ' 0 0; 0 3y y

3c

Hàm số đạt cực tiểu tại 1; 5B ta có ' 1 0; 1 5y y

2a 0 2

2 4

b a

a b b

Thay vào P ta có: 2 8 9 15P

Chọn đáp án C

Câu 49

– Phương pháp:

Cho a = 1, tính tính phân bằng máy tính và so sánh với các đáp án

– Cách giải

Cho a = 1, sử dụng máy tính CASIO ta tính được:

1

1

x 1,087...2

xed b

x

2

0

x0, 400... I I

3 x

d b

x e e

Kết hợp với các đáp án, ta được a

bI

e

Chọn B

Câu 50

Giả sử thiết diện qua trục của nón là tam giác

ABC đều, với A là đỉnh nón, BC là đường kính

đáy nón, gọi H là tâm đáy

Khi đó thiết diện của mặt cầu (C) là đường tròn

(O) nội tiếp tam giác ABC. Ta có 2 1,OH r HC r

HOC vuông tại H có góc 030OCH nên 02

1

3tan 30

3

rT

r

Chọn C

r2

B

O

A

CH