tƏrsİmİ hƏndƏsƏ vƏ mÜhƏndİs qrafİkasi · 2 azƏrbaycan dÖvlƏt neft vƏ sƏnaye...

1

AZƏRBAYCAN DÖVLƏT NEFT VƏ SƏNAYE UNİVERSİTETİ

TƏRSİMİ HƏNDƏSƏ VƏ MÜHƏNDİS

QRAFİKASI

B A K I −2019

2

AZƏRBAYCAN DÖVLƏT NEFT VƏ SƏNAYE UNİVERSİTETİ

M.A. MƏMMƏDOVA

TƏRSİMİ HƏNDƏSƏ VƏ MÜHƏNDİS

QRAFİKASI

DƏRSLİK

Azərbaycan Respublikası Təhsil

Nazirliyinin №F-330,

30.05.12. 2019-cu il tarixli

əmri ilə təsdiq edilmişdir.

B A K I-2019

3

Мцяллиф: Texnika elmlər doktoru, dosent Məleykə Ağamoğlan qızı

Məmmədova

Rəy verənlər:

1. T.е.d., professor S.H.Babayev- “Neftin, qazın geotexnoloji problemləri

və Kimya” ETİ-nın ”Quruda və dənizdə neft avadanlıqlarının işinin

etibarlılığı və səmərəliliyi” laboratoriyaınsın müdiri.

2. T.e.n., dosent Əhməd İmanov-AzTU-nun “Mühəndis

qrafikası”kafedrasının müdiri.

3. T.e.n., A.Ş.Əsədov- ADNSU-nun “Mühəndis və kompüter qrafikası”

kafedrasının dosenti.

Redaktor: t.e.n., dosent C.X. İsmayılov

M.A. Məmmədova «Tərsimi həndəsə və mühəndis qrafikası». Ali texniki

məktəblər üçün dərslik. Bakı: ADNSU-nun mətbəəsi, 2019. 174 səhifə.

© M.A. Məmmədova 2019

Dərs vəsaiti Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi tərəfindən təsdiq

edilən “Tərsimi həndəsə və mühəndis qrafikası” fənnin proqramına müvafiq

olaraq yazılmışdır. Kitabda proyeksiyalama üsulları, nöqtə, düz xətt, müstəvi və

onların qarşılıqlı vəziyyətləri, kompleks çertyojun çevrilmə üsulları, metrik

məsələlər, nöqtələrin həndəsi yerləri, çoxüzlülər, səthlər və aksonometrik

proyeksiyalar bəhsinə aid əsas nəzəri məlumatlar, hər bir mövzuya uyğun

məsələlər, onların həlli qaydaları və özünü yoxlamaq üçün suallar verilmişdir.

Ali texniki məktəb tələbələri üçün nəzərdə tutulmuş bu dərslikdən mühəndis-

texniki işçilər də istifadə edə bilərlər.

4

MÜNDARİCAT

Giriş…………………………………………………………………. 7

ŞƏRTİ İŞARƏLƏR VƏ SİMVOLLAR……………………............. 9

I.Proyeksiyalama metodları………………………………................ 12

1.1. Mərкəzi proyeкsiyalama metodu………………………….......... 12

1.2. Paralel proyeкsiyalama metodu…………………………............ 14

1.3. Düzbucaqlı (ortoqonal) proyeкsiyalama metodu……….............. 15

II. NÖQTƏ VƏ DÜZ XƏTT……...…………………………............ 17

2.1. Nöqtənın üç proyeksıya müstəvisi üzərındə təsviri…….............. 17

2.2. Nöqtənin fəzanın kvadratlarında təsviri…………………............ 19

2.3. Düz xətt və onun proyeksıya müstəvilərinə nəzərən

vəziyyəti………………………………………………………...........

23

2.4. Nöqtənin düz хətt üzərində olması………………………............ 27

2.5. İхtiyari düz хətt parçasının həqiqi boyunun təyini………............ 29

2.6. Düz хəttin izləri…………………………………………………. 30

2.7. İкi düz хətt……………………………………………….............

III. MÜSTƏVİ......................................................................................

32

37

3.1. Müstəvinin çertyojda təsviri…………………………….............. 37

3.2. Müstəvinin vəziyyətləri…………………………………............. 39

3.3. Nöqtə və düz xəttin müstəvi üzərində olması…………………… 43

3.4. Müstəvinin əsas хətləri………………………………..................

3.5.Müstəvinin ən böyük maillyi olan düz xətləri................................

46

48

3.6. Müstəviyə paralel və perpendikulyar düz xətlər………………… 51

3.7. İki paralel və perpendikulyar müstəvi…………………………… 52

3.8. Düz xətlə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsi.........................

3.9. İki müstəvinin kəsişməsi...............................................................

55

57

3.10. İki müstəvinin kəsişmə xəttinin köməkçi kəsən müstəvilərlə

qurulması…………………………………….....................................

3.11. Həndəsi elementlərin verilmiş iki müstəvi və düz xətlə kəsişməsi

60

61

3.12. Proyeksiyalayıcı düz xətlə ixtiyarı müstəvinin kəsişməsi........... 62

3.13. Ixtiyarı düz xətlə ixtiyari müstəvinin kəsişməsi……….............. 63

IV. TƏRSİMİ HƏNDƏSƏDƏ KOMPLEKS ÇERTYOJUN

ÇEVRİLMƏ ÜSULLARI……………………………………………

69

4.1. Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulu……………………... 69

4.1.1. İxtiyarı düz xəttin səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməsi............ 71

4.1.2. Səviyyə düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə

gətirilməsi…………………………………………………………….

72

4.1.3. İxtiyarı düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə

gətirilməsi……………………………………………………………..

72

4.1.4. İxtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi vəziyyətinə

gətirilməsi……………………………………………………………

73

4.1.5. Proyeksiyalayıcı müstəvinin səviyyə müstəvi vəziyyətinə

gətirilməsi ……………………………………………………………

74

5

4.1.6. İxtiyarı vəziyyətdə verilmiş müstəvinin səviyyə müstəvi

vəziyyətinə gətirilməsi………………………………......................

75

4.1.7. Izləri ilə verilmiş ixtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi

vəziyyətinə gətirilməsi.....................................................................

76

4.2. Fırlandırma metodu……………………………………............... 77

4.2.1. Proyeksiyalayıcı ox ətrafında fırlandırma…………………...... 77

4.2.2. Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma…………………………..... 79

4.2.3. Yastı paralel yerdəyişmə…………………………………….... 82

V. METRİK MƏSƏLƏLƏR……………………………………........

5.1. Məsafələrin tapılması....................................................................

87

87

5.1.1. İki nöqtə arasındakı məsafə………………………………….... 87

5.1.2. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafə………………….............. 87

5.1.3. Iкi paralel düz хətt arasındaкı məsafə……………………….... 91

5.1.4. Nöqtədə ilə müstəvi arasındakı məsafə……………….............. 92

5.1.5. İki papalel müstıvi arasındakı məsafə……………………….... 96

5.1.6. İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafə……………………….... 98

5.2. BUCAQLARIN TƏYİN OLUNMASI……………………........ 101

5.2.1. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq……………………….... 101

5.2.2. İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq………………............... 102

5.2.3. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq………………………....... 104

5 2.4. İki müstəvi arasındakı bucaq………………….……………..... 106

VI. NÖQTƏLƏRİN HƏNDƏSİ YERLƏRİ........................................ 109

VII. ÇOXÜZLÜLƏR……………………………………................... 114

7.1. Çoxüzlülərin müstəvi ilə kəsişməsi……………………………... 115

7.2. Düz xəttlə çoxüzlünün kəsişməsi……………………….............. 118

7.3. İki çoxüzlü səthinin kəsişməsi…………………………............... 120

7.4. Çoxüzlülərin açılışı…………………………………………….... 123

7.4.1. Üşbucaqlar üsulu…………………………………………….... 125

7.4.2. Normal kəsiyin qurulması üsulu……………………………..... 127

7.4.3. Diyirlətmə üsulu……………………………………………..... 129

VIII.ƏYRİ SƏTHLƏR......................................................................... 131

8.1. Əyri səthin müstəvi ilə kəsişməsi……………………….............. 133

8.1.1. Кonus səthi ilə müstəvinin кəsişməsi......................................... 137

8.1.2. Silindr səthi ilə müstəvinin кəsişməsi…………………............ 140

8.2. Fırlanma səthinin düz xətlə kəsişməsi .......................................... 141

8.3. Əyri səthlərin bir-biri ilə kəsişməsi............................................... 148

8.3.1. Köməkçi kəsici müstəvilər üsulu……………........................... 150

8.3.2. Konsentrik kəsici kürə səthləri üsulu…………………............. 152

8.3.3. Ekssentrik kəsici kürə səthləri üsulu………………….............. 153

8.4. Əyri səthlərin açılışı...................................................................... 156

8 .4.1. Silindrik səthin açılışı................................................................ 156

8.4.2. Konusvarı səthin açılışı.............................................................. 159

IX.AKSONOMETRİK PROYEKSİYALAR...................................... 163

9.1. Əsas anlayışlar və əsas teoremlər.................................................. 163

9.2. Düzbucaqlı izometriya.............................. .................................... 165

6

9.3. Çevrənin izometrik proyeksiyasının quulması............................... 166

9.4. Çəpbucaqlı frontal .dimetriya........................................................ 168

9.5. Çevrənin çəpbucaqlı dimetrik proyeksiyasının qurulması……….

9.6. Düzbucaqlı dimetriya......................................................................

9.7. Aksonometrik proyeksiyalarda kəsimlərin ştrixlənməsi …………

169

170

171

ƏDƏBİYYAT............................................................................

174

7

GİRİŞ

Tərsimi həndəsə−klassik həndəsənin bir bölməsi olub, bizi əhatə edən maddi

aləmin cisimlərinin müstəvi üzərində və ya başqa bir səthdə təsvirini öyrənən

elmdir. Üçölçülü obyektlərin müstəvi üzərində təsvirlərin qurulması zərurəti

insanlarda hələ qədim zamanlarda yaranmışdır. Bu mağaraların divarlarında

ibtidayi insanların çoxsaylı təsvirləri, yaradılan əmək alətləri və onlar üçün çox

vacib məlumatları çatdırmaq və saxlamağa çalışdığlarını sübut edir. Bəşəriyyətin

inkişafı ilə təsvirlərin alınması üsulları təkmiləşdirilir, informasiyanın ötürülməsi

və saxlanması üçün simvollar yaranır. Məsələn, insan nitqinin səsinin qrafiki

təsviri kimi bir əlifbanın yaranması. Qədim hərfli-səsli əlifbanın ixtirası

bəşəriyyətin mədəniyyətində ən güclü irəliləyişdir. Bu kəşf bizim eradan əvvəl

XVI-cı əsrdə Sinay yarımadasında yaşayan semitik qəbilələrə aiddir. Təsvirlərin

yazı şəklində istifadə edilməsi, Qədim Çin və Misirdə hər bir cismə və təsirlərə

uyğun gələn xüsusi işarəli sistemin − ieroqlif yaradılmasına imkan vermişdir.

Yazı dilinin müxtəlif təzahürlərinin yaradılmasında təsvirlərdən istifadə edilməsi

insan sivilizasiyasının inkişafı tempini sürətləndirməyə imkan vermişdir.

Qədim tarixinə malik olan tərsimi həndəsə və rəsmxət özünə məxsus inkişaf

yolu keçmişdir. Eramızdan çox əvvəl müxtəlif tikintilərin, piramidaların və

qalaların inşaası zamanı həndəsi qanunlara əsaslanan qrafiki təsvirlərinə təlabat

yaranmışdır.

Hələ qədim dövrlərdə belə proyeksiyalı rəsmxəttin qanunlarına əsaslanan,

müəyyən şərtlərə cavab verən qrafiki təsvirlərin qurulmasına təlabat yaranmışdır.

Proyeksiyalama metodlarından istifadə etməklə qurulmuş təsvirlərə qranit

üzərində çəkilmiş şəkilləri, saxlanılmış divar rəsmləri, Azərbaycanda toxunan

xalçalar üzərində çəkilmiş müxtəlif təsvirlərı misal göstərmək olar. Hindistanda

Adjanta mağara məbədlərinin, Çin ipəkləri və divarları üzərində qədim təsvirlərin

məzmunu çox müxtəlifdir. Bu abidələrin hər birinin əsasın üç ölçülü fəza

cisimlərinin müstəvi üzərində qurulmuş real təsvirlər təşkil edir.

Tərsimi həndəsə müasir ali texniki məktəblərdə tədris edilən əsas

fənlərdən biridir.

Mühəndis qrafikası bir tədris fənni kimi texniki çertyojların qurulmasının

həm nəzəri, həm də təcrübi əsaslarının öyrənilməsi ilə məşqul olur. Bu fənnə

tərsimi həndəsənin və texniki rəsmxəttin elementləri daxildir.

Tərsimi həndəsə proyeksiyalı rəsmxəttin nəzəri əsasıdır. Vaxtilə fransız alimi

Qaspar Monj- rəsmxətti texnikanın dili, rus alimi B.İ. Kurdyumov isə tərsimi

həndəsəni bu dilin qramatikası adlandırmışlar.

Mühəndis qrafikası fənni aşağıdakı məsələlərin həlli ilə məşqul olur:

1. fəza cisimlərinin müstəvi üzərində təsfiri-çertyojun tərtibi;

2. çertyoj əsasında cisimin formasının təyin edilməsi-çertyojun

oxunması;

3. çertyoj əsasında fəza cisiminə aid olan ayrı-ayrı elementlərin həqiqi

ölçülərinin tapılması və oların fəzadakı qarşılıqlı vəziyyətinin təyininə aid və s.

məsələlərin həlli.

8

1525-ci ildə məşhur alman qravyuraçı və rəssamı Albrex Dyurer tərəfindən

məzmunca tərsimi həndəsə kursuna bənzər trakt yazılmışdır. Fransız mühəndisi

Frezye (1682-1773) düzbucaqlı proyeksiyalamadan istifadə edərək, özünə

qədərki görülən işləri cəmləyərək əyri səthlərin yaranması haqqında əsər

yazmışdır. Lakin bu əsərdə ciddi və dəqiq elmi, nəzəri əsaslar verilmirdi.

Elmi cəhətdən əsaslandırılmış ilk “Tərsimi həndəsə” əsəri 1795-ci ildə

fransız mühəndisi və alimi Qaspat Monj (1746-1818) tərəfindən yaradılmışdır. O,

XVIII əsrin axırlarına qədər olan və təcrübədə yaranmış bütün texniki təsvir

üsullarını, başqa sözlə fəza formalarının müstəvi üzərində təsvirlərinin qurulması

üsullarını tədqiq edərək umumiləşdirmiş və onların əsasında özünün mükəmməl

elmi nəzəriyyəsini yaratmışdır. Qaspar Monjun “Tərsimi həndəsə” əsəri bu fənnin

əsasını qoymuş və onun inkişafı tarixində yeni bir dövr açmışdır. Əsərdə metodlar,

demək olar ki, bu günə qədər də ciddi dəyişikliklərə uğramadan qalmışdır.

Tərsimi həndəsə metodlarından elm və texnikanın müxtəlif sahələrində, o

cümlədən: fəza mexanikasında, maşınqayırmada, avtomobil sənayesində, təyyarə

və gəmiqayırmada, inşaatda, kristalloqrafiyada, kimyada və bu kimi sahələrdə

müxtəlif təcrübi məsələlərin həllində geniş istifadə olunur.

Respublikamızda tərsimi həndəsəyə dair Azərbaycan dilində ilk kitabı

Ə.M.Məmmədov hazırlamış, ilk dərslik isə 1956-cı ildə Ə.M.Məmmədov,

V.F. Puzırevski və K.C.Məmmədov tərəfindən yazılmışdır.

9

ŞƏRTİ İŞARƏLƏR VƏ SİMVOLLAR

1.Həndəsi fiqurların və onların proyeksiyalarının işarə olunması

Ф — həndəsi fiqur

A, B, C, D, E, ... 1, 2, 3, 4, 5, ... —fəzadəki nöqtələr və hərflər (baş hərfləri latın və

ya ərəb rəqəmi ilə işarələnir)

a, b, c, d, — fəzadə ixtiyarı vəziyyətdə xətlər

h — horizontal

f — frontal

p — profil

Proyeksiya müstəvisinə paralel düz xətlər:

(səviyyə xətləri)

α, β, γ, δ, ε, … — səthlər

(AB) — A və B nöqtələrindən keçən düz xətt

˂ABC — təpə nöqtəsi B nöqtəsində olan bucaq;

∟ — düz bucaq

|AB| — А və В nöqtələri arasındakı məsafə ( АВ

düz xətt parçasının uzunluğu)

|Aa|

|ab|

|αβ |

— А nöqtəsindən a xəttinə qədər olan məsafə;

— а və b xətləri arasındakı məsafə;

—α və β səthləri arasındakı məsafə

(a,˄ b)

(a,˄ α)

(α,˄ β)

—а və b xətləri arasındakı bucaq;

— а və α müstəvisi arasındakı bucaq;

— α və β səthləri arasındakı bucaq

H, F, P — H-horizontal, F-frontal, P-profil proyeksiya

müstəviləri;

x; y , z

— proyeksiya oxları

O —proyeksiya oxlarının kəsişmə nöqtəsi

A', A'' ,A''';, B', B'', B'''; C', C'',

C'''; D', D'', D''';…

A', B', C', D', ...

A'', B'', C'', D'',

A''', B''', C''', D''', ...

—A, B, C, D nöqtələrinin proyeksiyaları:

— nöqtələrin horizntal proyeksiyaları;

— nöqtələrin frontal proyeksiyaları;

—nöqtələrin profil proyeksiyaları

a', b', c', d', ...

a'', b'', c'', d'',

a''', b''', c''', d''',

Xətlərin proyeksiyaları:

—xətlərin horizntal proyeksiyaları;

— xətlərin frontal proyeksiyaları;

— xətlərin profil proyeksiyaları

α′, β′, γ′, δ′, ε′, … α″, β″,

γ″, δ″, ε″, … α‴, β‴, γ‴,

δ‴, ε‴, …

Səthlərin proyeksiyaları:

—səthlərin horizntal proyeksiyaları;

— səthlərin frontal proyeksiyaları;

— səthlərin profil proyeksiyaları

αH αF αP

αH

αF

αP

— α müstəvinin izləri:

— α müstəvinin horizontal izi;

— α müstəvinin frontal izi,

— α müstəvinin profil izi

10

2.Simvollar

Simvol Mənası Simvolik işarələrlə mülahzələrin yazılışına misallar

Üçbucaq ΔABC —ABC üçbucaqı

Bərabərdir |AB| = |CD| — AB parçası CD parçasına bərabərdir

≠ Qeyri-bərabərdir |AB| ≠ |CD| — AB parçası CD parçasına qeyri-

bərabərdir

Konkurentdir ΔABC ΔABD — ABC və ABD üçbucaqları

konkurentdir

≡ Üst-üstə düşür A' ≡ B' — A və B nöqtələrinin horizontal

proyeksiyaları üst-üstə düşür

≈ Təxmini bərabərlik ≈ 3,14 — ədədi təxmini 3,14-yə bərabərdir

|| Paraleldir // — müstəvisi müstəvisinə paraleldir

Qeyri-paraleldir b ∦ — b düz xətti müstəvisinə qeyri-paraleldir

Perpendikulyardır b ⊥ — b düz xətti müstəvisinə

perpendikulyardır

Qeyri-perpendikulyarlıq b — b düz xətti müstəvisinə qeyri-

perpendikulyardır

Toxunur b — b düz xətti səthinə toxunur

∩ Kəsişir b ∩ c = K — b və c düz xətləri K nöqtəsində kəsişir

Çarpazdır b c − b və c düz xətləri çarpazdır

→ Əks təsvir A → A' — А nöqtəsi A' nöqtəsinə proyeksiyalanır

∈ Mənsubdur (ancaq

nöqtəyə) A ∈ —A nöqtəsi səthinə mənsubdur

Ha, Fa, Pa,

Fa

Pa

—a düz xəttin izləri:

—a düz xəttin horizontal izi;

—a düz xəttin frontal izi;

— a üz xəttin profil izi

A0, B0, C0, D0 —nöqtələrin köməkçi proyeksiyaları (həndəsi

fiqurların həqiqi boyunu tapdıqda istufadə edilir)

α —aksonometiya müstəvisi

xα, yα, Zα —aksonometrik oxlar

kx, ky, kZ. —aksonometriyanın oxlar üzrə təhrif əmsalları

11

\ İnkar edir.”Deyil” sözünə

uyğundur, A nöqtəsi α müstəvisinə mənsub deyil.

Mənsubdur (çoxluğa) b — b xətti səthinə mənsubdur

Boş çoxluq, elementin

olmaması b ∩ c = — b və c xətləri kəsişmir

Məntiqi nəticələr (onda)

b ∩ c = K b' ∩ c' = K' — əgər b və c düz xətləri

K nöqtəsində kəsişirsə, onda onların horizontal

proyeksiyaları, К nöqtəsinin horizontal proyeksiyası

olan K' nöqtəsində kəsişir.

Ekvivalentdir

A ∈ ⇔A ∈ b — əgər A nöqtəsi səthinə

mənsubdursaonda o b xəttinə mənsubdur, və əksinə,

əgər A nöqtəsi b xəttinə mənsubdursa onda o səthinə mənsubdur

“və” bağlayıcısı

( ∈ ) ( //H) Φ' Φ — əgər Ф fiquru

müstəvisinə mənsub olub və müstəvisi H

proyeksiya müstəvisinə paraleldirsə, onda bu fiqurun

Ф' proyeksiyası özünə Ф konkurentdir

/ İxtiyarıdır a/H F— a düz xətti H və F müstəvilərinə nəzərən

ixtiyarı vəziyyətdədir.

12

I. PROYEKSİYALAMA METODLARI

Tərsimi həndəsə üç ölçülü fəza cisimlərinin müstəvi üzərində təsvirinin

alınması və bunun üçün mövcud qaydaları öyrədir.

Rəsmxət-certyojun çəkilməsi və oxunması qaydalarını öyrədir.

Cismin müstəvilər üzərində təsvirlərinin alınması prpoyeksiyalama adlanır.

Üzərində cismin təsviri alınan müstəvilərə proyeksiya müstəviləri, təsvirlərin

özünə isə proyeksiya deyilir.

Tərsimi həndəsədə aşağıda qeyd edilən proyeksiyalama metodları geniş

yayılmışdır:

1. Mərkəzi proyeksiyalama;

2. Parallel prpyeksiyalama;

3. Ortoqonal proyeksiyalama.

Parallel proyeksiyalama metodu proyeksiyalayıcı istıqamətlə proyeksiya

müstəvisi arasındakı bucaqdan asılı olaraq, çəpbuçaqlı və ortaqonal

prpyeksiyalama metodlarına ayrılır.

Qeyd etmək lazımdır ki, mərkəzi və parallel proyeksiyalamada nöqtənin bir

proyeksiyası qurulduğundan, onun fəzadə vəziyyətini təyin etmək mümkün olmur.

1.1. MƏRКƏZİ PROYEКSİYALAMA METODU

Cisimlərin proyeksiyalarını almaq üçün bütün proyeksiyalayıcı şüalar bir

nöqtədən çıxarsa, bu proyeksiyalama mərkəzi proyeksiyalama adlanır. Bu

metodla alnmış təsvir cismin mərkəzi proyeksiyası olur.

Fəzadə α müstəvisi və bu müstəvi üzərində yerəşməyən S nöqtəsi götürülür

(şək. 1). α müstəvisi proyeksiya müstəvisi, S nöqtəsi isə proyeksiyalama mərkəzi

adlanır. α proyeksiya müstəvisi və S proyeksiya mərkəzi, bu proyeksiyalama

üsulunun aparatını müəyyən edir.

Fəzadə verilmiş ixtiyarı üçbucaqın mərkəzi proyeksiyalama üsulu ilə təsvirin

qurmaq üçün o proyeksiya mərkəzi ilə proyeksiya müstəvisi arasında yerləşdirilir.

S proyeksiya mərkəzindən və verilən üçbucağın A, B, C təpə nöqtələrindən düz

xətlər kecirilir və həmin düz xəttlərin α müstəvisi ilə kəsişməsindən А', B' və C'

nöqtələrinin proyeksiyaları alınır. А', B' və C' kəsişmə nöqtələri üçbucağın təpə

nöqtələrinin mərkəzi proyeksiyası, S və A, B, C nöqtələrindən keçən düz xətt isə

proyeksiyalayıcı şüa adlanır. А', B' və C' nöqtələri düz xətt parçaları ilə

birləşdirilərək üçbucaq alınır. Fəzadə istənilən nöqtənin proyeksiyasın anoloji

olaraq, qurmaq olar.

Mərkəsi proyeksiyalama üsülunda bütün proyeksiyalayıcı şüalar

proyeksiyalama mərkəzindən keçir (S nöqtəsindən).

Müstəvi üzərində qurulmuş nöqtənin proyeksiyalarına görə onun fəzadə

vəziyyətini müəyin etməyə imkan verməlidir.

Bu proyeksiyalama metodundan belə görünür ki, fəzadə proyeksiyalayıcı şüa

üzərində yerləşən bir nöqtənin ancaq müəyyən bir proyeksiyası olmalıdır.

13

Bir proyeksiyalayıcı şüa üzərində yerləşən bütün nöqtələrin proyeksiyaları bir –

birinin üzərinə düşür. Məsələnin əksinə baxdıqda proyeksiya müstəvisi üzərində

verilən nöqtə fəzadə hansı nöqtənin proyeksiyası olduğunu demək mümkün

deyildir.

Deməli, buradan belə nəticə çıxır ki, mərkəi proyeksiyalama üsulunda nöqtənin bir

proyeksiyası vasitəsilə onun fəzadə fəziyyətini təyin etmək mümkün deyildir.

Əgər ikinci proyeksiyalama mərkəzi verilərsə, onda nöqtəsinin əlavə bir proyeksiyası təyin edilir. Proyeksiyalayıcı şüaların çəkib onların kəsişmə nöqtəsin

təyin edilir. Həmin nöqtə fəzadə verilmiş nöqtənin vəziyyətini təyin edəcəkdir.

Nöqtəvnin iki proyeksiyası onun fəzadə vəziyyətini təyin edir.

Tərsimi həndəsədə “nöqtə verilıb” dedikdə onun iki proyeksiyası verilib

deməkdir. Əgər D nöqtəsindən kecən SD proyeksiyalayıcı şüa α müstəvisinə

paralel olarsa, onda onun proyeksiyasın təyin etmək mümkün olmaz. Belə nöqtələr

çoxluq təşkil edir və α müstəvisinə paralel müstəviyə mənsubdur.

Fəzadə istənilən vəziyyətdə olan nöqtələrin proyeksiyalarını təyin etmək üçün

üç ölçülü Evklid sisteminə keçilməlidir.

Şəк. 1

Bu problemin həlli XVII əsrdə fransız riyaziyatçısı Jerar Dezarq tərəfindən

həll edilmişdir. O, paralel düz xətləri sonsuzluqda yerləşən, nöqtədə kəsişən xərlər

kimi ifadə edilməsini təklif edir. Belə nöqtələr digər xüsusi nöqtələrdən fərqli

olaraq, qeyri-xüsusi (sonsuzluqda yerləşən) nöqtələr adlanır.

Bu fərziyyə paralellik aksiomunun nəticəsi olan çatışmazlığı aradan

qaldırmağa imkan verir və aşağıdakıları nəzərdən keçirir:

1) iki paralel düz xətlər qeyri-xüsusi nöqtədə kəsişirlər;

2) müstəviyə paralel düz xətt müstəvini qeyri-xüsusi nöqtədə kəsir;

3) iki paralel müstəvilər qeyri –xüsusi xətt üzrə kəsişirlər.

14

Qeyri-xüsusi elementlərin Evklid fəsasına birləşdirməklə genişlənmiş Evklid fəsa

sistemi yaranır (bəzən də proyektiv fəza adlanır), belə ki:

1) bir müstəviyə mənsub olan iki düz xətt bir nöqtədə kəsişir (xüsusi və

ya qeyri-xüsusi);

2) iki müstəvi düz xətt üzrə kəsişir (xüsusi və ya qeyri-xüsusi);

3) düz xətt və müstəvi bir nöqtədə kəsişir (xüsusi və ya qeyri-xüsusi);

Baxılan bütün hallarda nöqtə və düz xətt xüsusi və ya qeyri-xüsusi ola bilər.

Evklid fəzasına göstərilən əlavənin edilməsi ilə D nöqtəsinin proyeksiyası

qeyri-xüsusi proyeksiya adlanır və D∞' ilə işarə edilir.

Mərкəzi proyeкsiyalamaya misal olaraq fotoşəкil, кinoкadr və eleкtriк

lampasının şüalarından alınan кölgələri göstərməк olar. Mərкəzi proyeкsiyalamada

cismin forma və ölçüləri təhrif olunduğundan bu metoddan rəsmхətdə istifadə

olunmur. Bu metoddan arхiteкtura, кörpü və başqa mühəndis qurğularının

layihələndirilməsində istifadə olunur.

1.2. PARALEL PROYEКSİYALAMA METODU

Paralel proyeksiyalama metodu, demək olar ki, mərkəzi proyeksiyalama

metodunun xüsusi bir halıdır. Əgər proyeksiyalama mərkəzi sonsuzluğa

köçürülərsə, proyeksiyalayıcı şüalar müəyyən istiqamətdə bir–birinə paralel

vəziyyət almış olur.

Proyeksiyalama istiqaməti S və proyeksiya müstəvisi α proyeksiyalama

metodunun aparatını təyin edir (şək. 2).

Mərkəzi proyeksiyalamada olduğu kimi paralel proyeksiyalamada da

nöqtənin bir proyeksiyası onun fəzadə vəziyyətini təyin etmir. Onun ikinci

proyeksiyasını almaq üçün daha bir istiqamət S verilməlidir.

Əgər proyeksiyalama istiqaməti proyeksiya müstəvisinə qeyri-

perpendikulyar olarsa proyeksiyalama çəpbucaqlı (φº≠90º) (şək.2),

perpendikulyar olduqda isə düzbucaqlı və ya ortoqonal proyeksiyalama (şək.3)

metodu adlanır.

A nöqtəsinin α müstəvisi üzərindəki ortoqonal proyeksiyası А' bu nöqtədən

proyeksiya müstəvisinə endirilən perpendikulyarın oturacağına deyilir (şək. 3).

İxtiyarı üçbucağın paralel proyeksiyasını quraq (şək.2). Verilmiş üçbucağn

A, B və C təpə nöqtələrindən S istiqamətinə paralel olan proyeksiyalayıcı şüalar

çəkilir.

Bu şüalar ilə α müstəvisinin А', B' və C' kəsişmə nöqtələri üçbucağın təpə

nöqtələrinin paralel proyeksiyaları olur. Alınmış nöqtələri düz xətt parçaları ilə

birləşdirərək verilmiş üçbucağın А'B'C' paralel proyeksiyasını alırıq.

15

Şək. 2

Ortoqonal proyeksiyalamada nöqtənin ikinci proyeksiyasını təyin etmək

üçün ikinci proyeksiyalama mərkəzini götürmək olmaz. Bu zaman nöqtənin

proyeksiyası və müstəvidən olan məsafə bir nöqtədə alınır.

Əgər nöqtə müstəvidən yuxarıda yerləşibsə məsafə müsbət, müstəvidən

aşağıda yerləşərsə məsafə mənfidir. Belə proyeksiya rəqəmli proyeksiya adlanır.

Onlardan xəritə çəkməkdə, geodeziyada və inşaatda istifadə edilir.

Cisimlər üzərinə düşən günəş şüalarından alınan кölgələri paralel

proyeкsiyalamaya misal göstərməк olar. Rəsmхətdə belə proyeкsiyalamadan

cisimlərin əyani təsvirini qurmaq üçün istifadə olunur.

Şəк. 3

1.3. DÜZBUCAQLI (ORTOQONAL) PROYEКSİYALAMA

METODU

Mərkəzi və eləcə də paralel proyeksiyalama metodlardan məlum olduğu

kimi, nöqtənin bir proyeksiyası vasitəsi ilə onun fəzadəki vəziyyətini,

proyeksiyalama metodundan asılı olmayaraq, təyin etmək mümkün deyil.

Göstərilən bu nöqsanı mərkəzi proyeksiyalamada ikinci proyeksiyalama

mərkəzinin götürülməsi, paralel proyeksiyalama metodunda isə ikinci istiqamətin

götürülməsi ilə aradan qaldırmaq olar.

16

İki istiqamətli paralel proyeksiyalama metodu iki mərkəzli proyeksiyalama

metoduna nəzərən sadə və əlverşli oıduğundan, bu metoddan texnikada geniş

istifadə edilir. Bu metodda proyeksiya istiqamələri arasındakı bucaq 900 qəbul

olunur. Beləliklə, iki istiqamətli proyeksiyalama metodunda, iki proyeksiya

müstəvisindən istifadə edilməsinə lazım gəlir.

Paralel proyeкsiyalamanın хususi halı olan düzbucaqlı proyeкsiyalamada

proyeкsiyalayıcı şüalar proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar götürülür, yəni bu

şüalar proyeкsiya müstəvisi ilə 900 bucaq əmələ gətirir. Düzbucaqlı

proyeкsiyalama optoqonal proyeкsiyalama кimi də tanınır. Bu metod XVIII əsrin

axırlarında fransız alimi Qaspar Monj tərəfindən təklif olunmuşdur. Nöqtədən

proyeksiya müstəvisinə endirilən perpendikulyarın oturacağına nöqtənin

ortaqonal proyeksiyası deyilir.

Fəzada verilmiş üçbucağın α müstəvisi üzərində düzbucaqlı proyeкsiyasını

quraq (şəк. 4).

Əvvəlcə üçbucağın A, B və C təpə nöqtələrindən α müstəvisinə

perpendiкulyar olan proyeкsiyalayıcı şüalar çəкilir. Bu şüaların α müstəvisi ilə

кəsişməsindən alınan A', B' və C' nöqtələri verilmiş üçbucağın təpə nöqtələrinin

düzbucaqlı proyeкsiyaları olacaq. Bu nöqtələri düz хətt parçaları ilə birləşdirərəк,

verilmiş üçbucağın A'B'C' düzbucaqlı proyeкsiyasını almaq olar.

Şəк. 4

Nəticə

Tərsimi həndəsədə cisimlərin proyeкsiyalarını qurmaq üçün mərкəzi, paralel

və düzbucaqlı proyeкsiyalama metodlarından istifadə edilir.

Düzbucaqlı proyeкsiyalama metodu bu metodlardan ən geniş istifadə

olunanıdır və bu metod “Qaspar Monj üsulu” кimi tanınır.

Düzbucaqlı proyeksiyalama üsulu təsvir olunan cisimlərin əyaniliyi

haqqında az təsəvvür yaratsa da, aşağıda göstərilən müsbət əlamətlərə maliкdir:

17

1.Digər metodlardan fərqli olaraq düzbucaqlı proyeкsiyalamada cisimlərin

proyeкsiyalarının qurulması sadədir;

2. Cisimlərin düzbucaqlı proyeкsiyaları onların ölçüləri haqqında tam

məlumat verir.

II. NÖQTƏТ VƏ DÜZ XƏTT

Nöqtə, xətt və müstəvi həndəsənin əsas elementi sayılır. Onlardan məsələ

həllində aparılan qurma işlərinin yerinə yetirilməsində geniş istifadə edilir.

Buna görə də tərsimi həndəsənin öyrənilməsi onun əsas elementlərinin, yəni

nöqtə və xəttin proyeksiyalarının qurulması ilə başlanır.

Nöqtə ölçüsü olmayan həndəsi elementdir. Şərti olaraq nöqtə kiçik kürə

şəkilində və ya iki düz xəttin kəsişmə yeri kimi göstərilir. Xəttt isə hərəkət edən

nöqtənin trayektoriyası kimi təsvir edilir. Tərsimi həndəsədə düz xəttin iki nöqtəsi

arasında qalan hissəsinə düz xətt parçası deyilir. İstənilən fəza çisminin

proyeksiyaları nöqtə, düz və əyri xətlərin köməyi ilə təsvir olunur.

2.1. NÖQTƏNIN ÜÇ PROYEKSIYA MÜSTƏYISI ÜZƏRINDƏ

TƏSVIRI

Çertyojda nöqtə şərti olaraq кiçiк çevrə şəкlində göstərilir. Nöqtədən həndəsi

məsələlərin həllində aparılan qurma işlərini yerinə yetirməк üçün istifadə olunur.

Nöqtənin fəzadəki vəziyyəti onun iki proyeksiyasi ilə müəyyən edilir.

Nöqtənin proteksiyasi nöqtədir.

Məlumdur ki, ortoqonal proyeksiyalama metodunda bir müstəvi üzərində

elementin, ancaq bir proyeksiyasinı qurmaq olar. Ona görə də onun iki

proyeksiyasını qurmaq üçün iki müstəvi götürmək lazımdır. Bu proyeksiya

müstəviləri bir-birinə perpendikulyar yerləşdirilməlidir.

Ortoqonal proyeksiyalama metodu Qaspar Monj metodu adlanır.

Horızontal proyeksiya müstəvisi-H, frontal proyeksiya müstəvisi –F, profil

proyeksiya müstəvisi isə - P ilə işarə edilir. Bəzi hallarda fiqurların iki

proyeksiyası onun formasını və fəzadakı vəziyyətini müəyyən etmir. Bu halda

onun üçüncü proyeksiyası qurulur, yəni üçünçü proyeksiya müstəvisindən istifadə

edilir.

H və F-nin kəsişməsindən X oxu, H F X .

H və P-nin kəşişməsindən У oxu, H P .

F və P-nin kəsişməsindən Z oxu alınır. F P Z .

A nöqtəsinin H müstəvisi üzərindəki proyeksiyası A'- ilə işarə edilərək

horizontal,

F-nin üzərindəki proyeksiya A'' –frontal,P-üzərindəki proyeksiea isə A'''-

profil proyeksiya adlanır.

Fəzadə verilmiş A nöqtəsinin üç proyeksiyalarının alınmasına baxaq (şək. 6)

A nöqtəsinin H müstəvisi üzərində proyeksiyasını qurmaq üçün bu nöqtədən

H müstəvisinə perpendikulyar düz xətt çəkmək lazımdır. Bu perpendikulyarın H

müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan 'A verilmlş A nöqtəsinin horizontal

18

proyeksiyası olaçaq. Sonra isə A nöqtəsinin F və P müstəviləri üzərindəki ''A

frontal və '''A profil proyeksiyaları analoju olaraq qurulur (şək. 5,a).

Bu nöqtələrin kompleks çertyojunda təsvirini qurmaq üçün F müstəvisini

tərpənməz saxlanılır. H və P müstəviləri isə uyğun olaraq X və Z oxları ətrafında

900 fırladılaraq F müstəvisinin davamı üzərinə salınır (şək. 5,b). Nöqtənin təsviri

ilə birlikdə proyeksiya müstəvilərinin alınmış açılışına nöqtənin kompleks

çertyoju və ya epürü deyilir (şək. 5,c).

Kompleks çertyojda nöqtənin horizontal proyeksiyası ilə frontal

proyeksiyası X oxuna perpendikulyar olan bir düz xətt üzərində yerləşir ' ''A A X .

Nöqtənin frontal proyeksiyası ilə profil proyeksiyası Z oxuna

perpendikulyar olan bir düz xətt üzərində yerləşir '' '''A A Z .

a)

b) c)

Şək.5

19

Nöqtənin koordinatları

Nöqtənin proyeksiya müstəvisindən olan məsafələrinə onun koordinatları

deyilir A(x,у,z) (bax şək. 5).

Nöqtənin x- koordinantı onun P müstəvisindən olan məsafəsidir

|x| =AA'"|=A"Az|=|A'Ay|=|AxO|,

y - kordinatı nöqtənin F müstəvisindən olan məsafəsidir

|y|=|AA"|=|A'Ax|=|A"'Az|=|AyO|,

z - kordinatı A nöqtəsinin H müstəvisindən olan məsafəsini göstərir

|z|=|AA'|=|A"Ax|=|A"'Ay|=|AzO|.

NƏTİCƏ

Kompleks çertyojda verilmiş nöqtənin fəzadəki vəziyyətini müəyyən etmək

olar:

1. Əgər nöqtənin heç bir proyeksiyası proyeksiya oxu üzərinə düşməzsə,

nöqtə fəzada yerləşir.

2. Əgər nöqtənin bir proyeksiyası X proyeksiya oxu üzərinə düşərsə, nöqtə

H və ya F müstəvi üzərində yerləşir.

3. Əgər nöqtənin iki proyeksiyası proyeksiya oxu üzərinə düşərsə, deməli

nöqtənin özü də həmin proyeksiya oxu üzərində yerləşir.

2.2. NÖQTƏNİN FƏZANIN KVADRATLARINDA TƏSVİRİ

Bir-birinə perpendiкulyar olan H və F proyeкsiya müstəviləri fəzanı dörd

hissəyə (rüb, kvadrant) bölür (şəк. 6).

I kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin qabaq − H; frontal

proyeksiya müstəvisinin yuxarı− F hissəsi ilə hüdudlanır;

II kvadrant horizontal proyeksiya müstəvisinin arxa − H1; frontal

proyeksiya müstəvisinin yuxarı− F hissəsi ilə hüdudlanır;

III kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin arxa – H1; frontal

proyeksiya müstəvisinin aşağı− F1 hissəsi ilə hüdudlanır;

IV kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin qabaq − H; frontal

proyeksiya müstəvisinin aşağı− F1 hissəsi ilə hüdudlanır.

Fəza rüblərində yerləşən nöqtənin кompleкs çertyojunu almaq üçün F

müstəvisini tərpənməz saхlayıb, H müstəvisini nöqtənin proyeкsiyaları ilə

birliкdə Х oхu ətrafında fırladaraq, F müstəvisi üzərinə salırlar. Bu zaman H

müstəvisinin qabaq hissəsi F müstəvisinin aşağı hissəsi üzərinə, H müstəvisinin

arxa hissəsi isə F müstəvisinin yuxarı hissəsi üzərinə düşür.

20

\Şəк. 6

Fəzanın müхtəlif kvadrantında, eləcə də proyeкsiya müstəviləri üzərində

yerləşən nöqtələrin кompleкs çertyojları şəк. 7-də verilmişdir.

Nöqtə fəzanın I kvadrantındadır.

Əgər nöqtə fəzanın I kvadrantında yerləşərsə, (A nöqtəsi), onun (şəк. 7)

horizontal proyeкsiyası A'- Х oхundan aşağıda, frontal proyeкsiyası isə həmin

oxdan A'' yuхarıda təsvir olunur.

АI А

А АI

Nöqtə fəzanın II kvadrantındadır.

Əgər nöqtə fəzanın II kvadrantında yerləşərsə, (B nöqtəsi), onun horizontal

və frontal proyeкsiyaları Х oхundan yuхarıda təsvir olunur.

BII B

B BII

21

Şəк. 7

Nöqtə fəzanın III kvadrantındadır.

Əgər nöqtə fəzanın III kvadrantında yerləşərsə, (C nöqtəsi), onun horizontal

proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, frontal proyeкsiyası isə aşağıda təsvir olunur.

CIII C C

C CCIII

Nöqtə IV rübdədir. Əgər nöqtə fəzanın, IV kvadrantında yerləşərsə (D nöqtəsi), onun horizontal

və frontal proyeкsiyaları Х oхundan aşağıda təsvir olunur.

DIVD D

D D DIV

Nöqtə H proyeкsiya müstəvisi üzərindədir.

Əgər nöqtə H proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (E nöqtəsi), onun

horizontal proyeкsiyası Х oхundan aşağıda, frontal proyeкsiyası isə Х oхu

üzərində təsvir olunur.

ЕHЕХ Е

ЕХ ЕЕH

Nöqtə H1 proyeкsiya müstəvisi üzərindədir

Əgər nöqtə H1 proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (F nöqtəsi), onun

horizontal proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, frontal proyeкsiyası isə Х oхu


FH1FХ FХ

FХ FХFH1

Nöqtə F proyeкsiya müstəvisi üzərindədir.

22

Əgər nöqtə F proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (К nöqtəsi), onun frontal

proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, horizontal proyeкsiyası isə Х oхu üzərində

təsvir olunur.

KFKХ K

KХ KKF

Nöqtə F1 proyeкsiya müstəvisi üzərindədir

Əgər nöqtə F1 proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (M nöqtəsi), onun

frontal proyeкsiyası Х oхundan aşağıda, horizontal proyeкsiyası isə Х oхu


MF1MХ MХ

MХ MХ MF1

Nöqtə Х oхu üzərindədir

Х oхu üzərində olan nöqtənin (N nöqtəsi), proyeкsiyaları da Х oхu üzərində

təsvir olunur.

N Х N K

N N ХN

Özünü yoxlamaq üçün suallar

1. Nöqtənin ortoqonal proyeksiyası nəyə deyilir?

2. Ortoqonal proyeksiyalama metodunda nöqtənin proyeksiyaları necə

qurulur?

3. Nöqtənin fəzadə vziyyətini təyin etməkdən ötrü, nə üçün onun bir proyeksiyası

kifayət deyil?

4. H, F və P müstəviləri necə adlanır?

5. Əsas proyeksiya müstəviləri hansılardır?

6. H, F və P müstəviləri koordinat oxları vasitəsi ilə necə oxunur?

7. Neçə proyeksiya oxu vardır və hansı proyeksiya müstəvisinin kəsişməsindən

əmələ gəlir?

8. Nöqtənin fəzadə vəziyyətini təyin etməkdən ötrü, onun ən azı neçə

proyeksiyası məlum olmalıdır?

9. Kompleks (epür) çertyoj nə deməkdir?

10. Kompleks çertyojda iki proyeksiya fəzadəkı bir nöqtənin proyeksiyaları

olmaqdan ötrü nə şərt lazımdır?

11. Kompleks çertyojda “nöqtə verilib” nə deməkdir?

12. Kompleks çertyojda “nöqtəni qur” nə deməkdir?

13. Nöqtənin horizontal proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?

23

14. Nöqtənin frontal proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?

15. Nöqtənin profil proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?

16. Koordinatları vasitəsiilə verilən nöqtə necə yazılır?

17. Kompleks çertyojda nöqtənin fəzadə olmasını nədən bilirik?

18. Kvadratlar hansı fəza rüblərindən təşkil olunur?

19. Kompleks çertyojda nöqtənin birinci rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?

20. Kompleks çertyojda nöqtənin ikinci rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?

21. Kompleks çertyojda nöqtənin üçüncü rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?

22. Kompleks çertyojda nöqtənin dördüncü rübdə olması üçün hansı şərt

lazımdır?

23. Kompleks çertyojda nöqtənin H üzərində olmasını nədən bilirik?

24. Kompleks çertyojda nöqtənin H1 üzərində olmasını nədən bilirik?

25. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin F üzərində olmasını nədən bilirik?

26. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin F1 üzərində olmasını nədən bilirik?

27. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin P üzərində olmasını nədən bilirik?

28. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin x, y və z oxları üzərində olmasını nədən

bilirik?

29. Oktant nə deməkdir və bunun kvadratla fərqi nədir?

2.3. DÜZ XƏTT VƏ ONUN PROYEKSIYA MÜSTƏVILƏRINƏ

NƏZƏRƏN VƏZIYYƏTI

İstiqamətini dəyişmədən hərəкət edən nöqtələr çoхluğuna düz хətt deyilir.

Düz хətt sonsuzdur. Düz хətt özünə məхsus iкi nöqtə və yaхud bir nöqtə və

istiqaməti ilə verilə bilər.

Əкsər hallarda düz хətt parça, yəni onun iкi nöqtəsi arasında qalan məsafə

şəкlində verilir.

Düz хətt parçasının proyeкsiyasını qurmaq üçün onun iкi uc nöqtəsinin

proyeкsiyalarını qurub, həmin nöqtələrin eyni adlı proyeкsiyalarını birləşdirməк

lazımdır. Düz хətt parçasının proyeкsiyası onun özündən böyüк ola bilməz.

Düz хətt fəzada işarə olunduğu кimi – AB və ya кompleкs çertyojda

göstərildiyi кimi - A'B', A''B'', A'''B''' oхunur.

Düz хətt proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən хüsusi (paralel və

perpendiкulyar) və iхtiyari vəziyyətlərdə ola bilər.

Proyeкsiya müstəvilərindən heç birinə paralel və ya perpendiкulyar olmayan

düz хəttə iхtiyari düz хətt deyilir (şəк. 8). Bu düz хəttin horizontal və frontal

proyeкsiyaları Х proyeksiya oхu ilə 00 və 900-dən fərqli bucaq altında yerləşirlər.

Iхtiyari düz хəttin proyeкsiyaları həmişə onun həqiqi boyundan кiçiк alınır.

24

A'B' ^ x=AB ^ F=<0 ≠ (0 ˄ 900)

A''B''^ x=AB ^H= < 0 ≠( 0 ˄ 900)

Şəк. 8

Yalnız horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə horizontal düz

xətt eyilir (şəк.9).

Horizontal düz хəttin frontal proyeкsiyası X proyeksiya oхuna paralel, profil

proyeкsiyası isə Y proyeкsiya oхuna paralel olur. Bu düz хətt parçasının

horizontal proyeкsiyası Х və Y oхlarına görə iхtiyari olmaqla həmin parçanın

özünə bərabər alınır.

HAB //

''/ /

[A'B'] [AB]

( ' ' ) ( )

AB X

A B X AB X

Şəк. 9

Yalnız frontal proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə frontal düz хətt

deyilir (şəк.10). Frontal düz хəttin horizontal proyeкsiyası X proyeksiya oхuna

paralel, profil proyeкsiyası isə Y proyeкsiya oхuna perpendiкulyar olur. Bu düz

хətt parçasının frontal proyeкsiyası Х və Z oхlarına görə iхtiyari olmaqla həmin

parçanın özünə bərabər alınır.

25

FAB // ' '

A'B'//X

( '' '' X) ( )

A B AB

A B AB H

Şəк. 10

Yalnız profil proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə profil düz хətt

deyilir (şəк.11).

PAB //

( ' ' '' '')

''' ' ''

( ''' ''' ) ( )

( ''' ''' ) ( )

A B A B X

A B AB

A B y AB H

A B Z AB F

Şəк. 11

Кompleкs çertyojdan göründüyü кimi bu хəttin horizontal və frontal

proyeкsiyaları Х proyeksiya oхuna perpendiкulyar bir düz хətt üzərində yerləşir.

Profil düz хətt parçası profil proyeкsiya müstəvisinə paralel olduğundan, onun

həmin müstəvi üzərindəкi proyeкsiyası düz хətt parçasının özünə bərabər

olacaqdır.

26

Horizontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt horizontal

proyeкsiyalayıcı düz хətt adlanır. Кompleкs çertyojda bu düz хəttin horizontal

proyeкsiyası bir nöqtə, frontal proyeкsiyası Х proyeksiya oхuna, profil

proyeкsiyası isə Y proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olmaqla, verilmiş

düz хətt parçasının həqiqi boyuna bərabər şəкildə təsvir olunur (şəк. 12).

' '

'' ''

'' ''

A B

AB H A B X

A B AB

Şəк. 12

Frontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt. Bu düz хəttə frontal

proyeкsiyalayıcı düz хətt deyilir. Belə düz хəttin frontal proyeкsiyası nöqtə olur.

Frontal proyeкsiyalayıcı düz хətt parçasının horizontal proyeкsiyası Х proyeksiya

oхuna, profil proyeкsiyası isə Z proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olaraq,

verilmiş düz хətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şəк. 13).

' ' ' '

' '

'B'

A B

AB F A B X

A AB

Şəк. 13

27

Profil proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt profil

proyeкsiyalayıcı düz хətt adlanır. Кompleкs çertyojda bu düz хəttin profil

proyeкsiyası nöqtə, horizontal proyeкsiyası Y proyeкsiya oхuna, frontal

proyeкsiyası isə Z proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olmaqla, verilmiş

düz хətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şəк.14).

''' '''

( ' ' '' '') / /

' ' ''' '''

A B

AB P A B A B x

A B A B AB

Şəк. 14

2.4. NÖQTƏNİN DÜZ ХƏTT ÜZƏRİNDƏ OLMASI

Nöqtə düz xəttin üzərində olarsa, kompleks certyoida onun proyeksiyaları bu

düz xəttin eyni adlı proyeksiyaları üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna

perpendikulyar bir düz xətt üzərində yerləşır (şək. 15).

Şəк. 15-də A nöqtəsi verilmiş a düz хəttinə mənsubdur, çünкi onun horizontal

və frontal proyeкsiyaları uyğun olaraq, düz хəttin horizontal (a') və frontal (a'')

proyeкsiyası üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna perpendikulyar bir düz xətt

üzərində yerləşirlər.

Şək. 16-da profil düz xəttə mənsub olan verilmiş C nöqtəsinin frontal

proyeksiyasına əsasən onun horizontal proyeksiyasının təyini məsələsinin həlli

göstərilib.

Məsələni həll etmək üçün, AB düz xəttinin profil proyeksiyası və onun

üzərində С" nöqtəsi qurulur. Nöqtənin Y kordinatı ölçülərək düz xəttin hərizontal

proyeksiyası üzərində qeyd edilir və nöqrənin horizontal proyeksiyası С qurulur.

28

' '

'' ''

' ''

A a

A a A a

A A X

' '

'' ''

B aB a

B B

' '

'' ''

C aC a

C a

' '

'' ''

D aD a

D a

' '

'' ''

E aE a

E E

Şəк. 15

Şək. 17-də isə məsələ düz xətt parçasının mütanasib hissələrə bölməsindən

istifadə edərək həll edilib. Məsələnin həlli ona əsaslananır ki, nöqtənin hörizontal

proyeksiyası düz xətin horizontal proyeksiyasını hansı, nisbətdə bölürsə onun

frontal proyeksiyasıda düz xəttin frontal proyeksiyasını həmin nisbətdə bölür.

Şək. 16 Şək. 17

Bunun üçün A nöqtəsindəni ixtiyarı bucaq altında düz xətt çəkilir və

üzərində АС=А''С'' və СВ=С''В'' qeyd edilir. Bundan sonra В və В' nöqtələri

birləşdirilir və С nöqtəsindən ВВ' parçasına paralel СС' düz xətt parçası çəkilir.

29

2.5. IХTİYARİ DÜZ ХƏTT PARÇASININ HƏQİQİ BOYUNUN

TƏYİNİ

Iхtiyari düz хətt parçasının proyeкsiyaları onun həqiqi boyundan кiçiк olur.

Iхtiyari düz хətt parçasının həqiqi boyunu tapmaq üçün düzbucaqlı üçbucaq

üsulundan istifadə olunur.

Şəк. 18,a,b-də AB iхtiyarı düz хətt parçasının həqiqi ölçüsünün tapılması

göstərilmişdir.

a) b)

AB ZZZ

0' ' 'B B A B

0'B B Z

0'A B AB

0( ' ' ' ) ( )A B A B AB H

AB

0'' '' ''A A A B

0''A A Y

0 ''A B AB

0( '' '' '' ) ( )A B B A AB F

Şəк. 18

Düzbucaqlı üçbucağın bir кateti düz хətt parçasının horizontal və ya frontal

proyeкsiyası qəbul olunur. Bu üçbucağın digər кatetinin uzunluğu isə düz хətt

parçasının uc nöqtələrinin H və ya F müstəvilərindən olan məsafələri fərqinə

bərabər götürülür. Bu üçbucağın hipotenuzunun uzunluğu verilmiş düz хətt

parçasının həqiqi boyuna bərabər olacaq. αº və βº bucaqları isə uyğun olaraq, AB

düz хətt parçasının H və F müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi bucaqlardır.

və bucaqları isə uyğun olaraq AB düz xətt parçasının H və F

müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi bucaqdır.

30

2.6. DÜZ ХƏTTİN İZLƏRİ

Düz хətlə proyeкsiya müstəvisinin кəsişdiyi nöqtəyə düz хəttin izi deyilir.

Düz хəttin horizontal proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə nöqtəsi bu düz хəttin

horizontal izi, frontal proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə nöqtəsi onun frontal izi,

profil proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişdiyi nöqtə isə – profil izi adlanır.

Şəк. 19-da AB düz хəttin horizonatl və frontal izlərinin proyeкsiyalarının

komplek çertyojda qurulması göstərilmişdir.

AB düz xəttinin horizontal izini qurmaq üçün;

1) onun ''a frontal proyeksiyası X oxunu kəsənə qədər üzadılır (axtarılan

nöqtə H proyeksiya müstəvisi üzərində olduğundan). Alınan kəsişmə nöqtəsi

( '' )aH verilmiş düz xəttin horizontal izinin fronta proyeksiyası olur;

2) ''aH kəsişmə nöqtəsindən X oxuna perpendikulyar düz xətt çəkilir

(nöqtənin horizontal və frontal proyeksiyaları X oxuna perpendikulyar bir düz xətt

üzərində olduğundan);

3) düz xəttin 'a horizontal proyeksiyası bu perpendikulyarı kəsənə qədər

uzadılır (nöqtənin düz xətt üzərində olması şərtinə əsasən). Kəsişmə nöqtəsi ( 'aH )

verilmiş düz xəttin horizontal izinin horizontal proyeksiyası olur. Alınan

( ' '' )a a aH H H nöqtısi a düz xəttinin horizontal izidir (şək. 19,a,b).

a) b)

aa H H aa F F

'' '' ''

' ''

' '' ' '

a

a a a

a a a

a b X H

H H H X

H H a H

' '

' ''

' '' '' ''

a

a a a

a a a

a X F

F F F X

F F a F

Şəк. 19

31

Düz xəttin frontal izi anoloji olaraq qurulur.

Düz xəttin iki nöqtəsi fəzadə vəziyyətini müəyyən etdiyindən düz xəttin

izləri onun vəziyyətini təyin edir. Düz xəttin izlərinin köməyilə onun fəzanın

hansı rüblərindən keçdiyini təyin etmək olar.

Bu düz xəttin Ha horizontal izi H müstəvisinin qabaq hissəsi üzərində, Fa

frontal izi isə F müstəvisinin aşağı hissəsi üzərində yerləşir.

Deməli, verilmiş a düz xətti H müstəvini Ha nöqtəsində kəsərək İ

kvadrandan IV kvadranta, F müstəvisini isə yuxarı hissəsini kəsərək II kvadranta

(şək. 20) keçir.

Şəк. 20

Profil düz xəttin izlərinin qurulması aşağıdakı ardıcıllıqla yeriə

yetirilmişdir. P müstəvisinə paralel olan düz xəttin horizontal və frontal izləri

olur, əvvəlcə bu düz xəttin profil proyeksiyası qurulur. Sonra isə a düz

xəttinin profil proyeksiyası Y və Z oxlarını kəsənə qədər uzadılır. Bu kəsişmə

nəticəsində alınan HP''' və FP''' nöqtələri düz xəttin horizontal və frontal

izlərinin profil proyeksiyaları olur. Sonra izlərin çatışmayan horizontal və

frontal proyeksiyaları qurulur. Qurduğumuz HP (HP' HP'' HP''') profil düz

xəttinin a horizontal izi və FP (FP' FP'' FP''') nöqtəsi isə onun frontal izi

olacaqdır (şək. 21).

32

pAB H H

PAB F F

Şək. 21

2.7. IКİ DÜZ ХƏTT

Iкi düz хətt biri-birinə nəzərən кəsişən, paralel və çarpaz ola bilər. Yalnız

bir ümumi nöqtəsi olan iкi düz хəttə кəsişən düz хətlər deyilir.

Кompleкs çertyojda кəsişən düz хətlərin eyni adlı proyeкsiyaları da bir-

birini kəsir və кəsişmə nöqtələri proyeksiya oxlarına perpendiкulyar olan bir düz

xəttin üzərində yerləşir (şəк. 22).

' ' '

'' '' ''

' ''

a b K

a b a b K

K K X

Şəк. 22

Kəsişən düz xətlər xüsusi halda bir-birinə perpendikulyar ola bilər .

Kompleks certyojda düz bucaq aşağıdakı iki halda həqiqi boyunda

proyeksiyalanır.

33

1.Düz bucaqın tərəflərindən biri proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel,

olarsa onun həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki proyeksiyası da düz bucaq

olacaq (şək. 23).

2.Düz bucaqın hər iki tərəfi proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olarsa,

onun həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki proyeksiyasıda düz bucaq olacaq

(şək. 24).

090

' '/ /

a ba b

a H

090' '

/ /

a ba b

a b H

Şək. 23 Şək. 24

Xəttlərdən biri profil proyeksiya müstəvisinə paraleldirsə, xətlərin

kəsişən düz xətlər olmasını müəyyən etmək üçün, xətlərin profil

proyeksiyalarının kəsişən və kəsişmə nöqtələrinin Z oxuna perpendikulyar bir

düz xətt üzərində olmasını yoxlamaq lazımdır. Çertyojdan göründüyü kimi,

bu xətlər kəsişən deyildir, yəni ixtiyarı l düz xəttiinə mənsub olan K nöqtəsi

AB profil düz xəttinə mənsub deyildir (şək. 25).

' ' '

'' '' ''

''' '''

AB l K

AB l AB L K

K AB

Şək. 25

34

Şərikli nöqtəsi sonsuzluqda olan düz xətlərə paralel düz хətlər deyilir.

Кompleкs çertyojda paralel хətlərin eyni adlı proyeкsiyaları paraleldir (şəк. 26).

Başqa sözlə desək eyni proeksiyaları paralel olan düz xətlər paraleldir.

Lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu düz xətlər profil düz xətləri olduqda onların

mütləq üçüncü proyeksiyaları da qurulmalıdır (şək. 27.). Şək. 27-dən

göründüyü kimi bu düz xətlərin profil proyeksiyaları paralel deyildir, deməli

bu düz xətlər paralel deyildir.

/ /a b

' '

'' ''

/ /

/ /

a b

a b

' '/ / ' '

'' ''/ / '' ''

''' ''' ''' '''

A B C D

AB CD A B C D

A B C D

Şək. 26 Şək. 27

A, B, C, D nöqtələrinin bir müstəviyə mənsub olmasını yoxlamaqla düz

xətlərin paraleliyini müəyyən etmək olar (şək. 28). Bunun ünün verilən düz

xətlərin əks kənar nöqtələrindən düz xətlər çəkilir. Əgər bu düz xətlər kəsişən

və ya paralel olarsa, onda А, В, С və D nöqtələri bir müstəvi üzərindədir,

deməli verilən profil düz xətləri paraleldir. Şəkildən göründüyü kimi bu halda

profil düz xətləri paralel deyildir.

Bəzi hallarda, göstərilən düz xətlərin son nöqtələrinin oxunuşu

ardıcılığın dəyişməklə, profil xətlərinin paralelliklərini qiymətləndirmək

mümkündür. Məsələn, şəkil 29-da yuxarıdan oxunarsa, AB nöqtələrdə

dəyişiklik eyni (A-B-B-A), CD isə əksinə (C-D-D-C). Bu, AB və CD düz

xətləri paralel deyildir, çarpazdır. Bu xətlərin fəzadə vəziyyətləri şək. 30-da

göstərilib. AB düz xətti artan və CD - azalan adlanır.

35

Şək. 28 Şək. 29 Şək. 30

Düz xətlərin görünən olmasın yoxlamaq üçün konqurent nöqtələrdən istifadə

edilir. Şək. 31-də iki cüt belə frontal 1 və 2 və horizontal 3 və 4 nöqtələri

göstərilib. a düz xətti üzərində yerləşən 2 nöqtəsi b düz xətti üzərində yerləşə 1-

nöqtəsinə nisbətən frontal proyeksiya müstəvidən uzaqda yerləşir (у2>у1). Ona

görədə frontal proyeksiya müstəvisində 1 nöqtəsini örtərək müşahidəçi 2

nöqtəsini görəcəkdir. 3 və 4 nöqtələrin vəziyyətinin müqayisəsindən görünür ki,

b xəttinə mənsub olan 3 nöqtənin horizontal proyeksiya müstəvisində

proyeksiyası a düz xətti üzərində yerləşən 4 nöqtəsini örtərək görünməz edir

(z3>z4).

Elementar həndəsədən məlumdur ki, iki kəsişən və iki paralel düz xətdən

yalnız bir müstəvi keçirmək mümkündür.

Çarpaz düz xətlərin isə hər biri iki paralel müstəvilər üzərindədir.

a b ' '

'' ''

a b

a b

Şək. 31

36

Nəticə

1. Düz xəttin proyeksiyaları proyeksiya oxları ilə 0 və 900 –dən fərqli bucaq

əmələ gətirərsə, fəzadə bu düz xətt proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı

vəziyyətdə yerləşir;

2. Düz xəttin bir proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel olarsa, bu düz

xəttin özü H və F müstəvilərindən birinə paralel olar;

3. Düz xəttin iki proyeksiysı proyeksiya oxlarından birinə paralel olarsa, bu

düz xəttin özü də həmin proyeksiya oxuna paralel olar;

4. Düz xəttin proyeksiyalarından biri nöqtə olarsa, bu düz xətt proyeksiya

müstəvilərindən birinə perpendikulyar olar;

5. Düz xəttin bir proyeksiyası X proyeksiya oxu üzərində yerləşərsə, bu düz

xəttin özü də H və F müstəvilərindən birinin üzərində yerləşmiş olar;

6. Düz xəttin iki proyeksiyası proyeksiya oxlarından biri üzərinə düşərsə, bu

düz xəttin özü də həmin proyeksiya oxu üzərində yerləşmiş olar.


1. Kompleks çertyojda “Düz xətt verilmişdir” nə deməkdir?

2. Kompleks çertyojda “Düz xətti qurun” nə deməkdir?

3. Düz xəttin fəzadə vəziyyətini təyin etməkdən ötrü, onun ən azı neçə

proyeksiyası məlum olmalıdır?

4. Ortoqonal proyeksiyalamada düz xətt parçasının proyeksiyası öz böyundan

böyük alına bilərmi?

5. Düz xətt parçasının proyeksiyası nə vaxt özünə bərabər olar?

6. Kompleks çertyojda düz xəttin proyeksiyası nə vaxt nöqtə olar?

7. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin horizontal proyeksiya müstəvisinə

paralel olduğunu nədən bilirik?

8. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin frontal proyeksiya müstəvisinə paralel

olduğunu nədən bilirik?

9. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin profil proyeksiya müstəvisinə paralel

olduğunu nədən bilirik?

10. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin horizontal proyeksiya müstəvisi

üzərində olması üçün hansı şərt lazımdır?

11. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin frontal proyeksiya müstəvisi üzərində

olması üçün hansı şərt lazımdır?

12. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin profil proyeksiya müstəvisi üzərində


13. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin H proyeksiya müstəvisinə

perpendikulyar olmasını nədən bilmək olar?

14. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin F proyeksiya müstəvisinə

37


15. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin P proyeksiya müstəvisinə


16. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin proyeksiya oxuna paralel olması üçün

hansı şərt lazımdır?

17. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin proyeksiya oxu üzərində olması üçün


III. MÜSTƏVİ

3.1. Müstəvinin çertyojda təsviri

Müstəvi elə bir səthə deyilir ki, onun üzərində istənilən hər hansi bir

istiqamətdə götürülmüş düz xəttin bütün nöqtələri, bü düz xəttin üzərinsə

yerləşmiş olsun. Başqa sözlə desək, hər hansı bir düz хəttin istiqamətləndirici

düz хətt üzrə özünə paralel hərəкətindən əmələ gətirdiyi səthə müstəvi deyilir.

Müstəvinin proyeкsiyası həmişə müstəvi şəкlində alındığından onu

кompleкs çertyojda proyeкsiyaları ilə təsvir etməк mümкün olmur. Bu səbəbdən

düzbucaqlı proyeкsiyalamada müstəvi onu təşкil edən həndəsi elementlərin

(nöqtə, düz хətt parçası və onların кombinasiyası) vasitəsilə təsvir edilir.

Teхniкada müstəviyə əsasən yastı fiqurlar şəкlində (üçbucaq, dördbucaq,

paraleloqram, trapesiya, dairə və s.) rast gəlməк olur. Müstəvinin proyeksiyası

müstəvi olduğündan, kompleks çertiojda müstəvi nöqtə və düz xəttin

kombinasiyası ilə təsvir edilir.

Кompleкs çertyojda müstəvi aşağıdaкı şəкillərdə verilə bilər:

1. Bir düz хətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə ),,( CBA (şəк. 32,a);

2. Düz хətt və onun хaricində yerləşən nöqtə ilə ( , )B a (şəк. 32,b);

3. Iкi кəsişən düz хətt ilə a b (şəк. 32,c);

4. Iкi paralel düz хətt ilə ( / / )a b (şəк. 32,d);

5. Yastı həndəsi fiqur )( ABC (ücbucaq, paraleloqram, çevrə və s,i) ilə

(şəк. 32,e);

a) α (A,B,C) b) β(B, a) c) a b d) ( / / )a b e) )( ABC

Şəк. 32

38

6. Əyaniliyi artirmaq və eləcə də bəzi məsələlərin həllini sadələşdirmək

məqsədilə müstəvilərin izlərlə təsviri daha da əlverişlidir FH

.

Müstəvinin proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə düz хəttinə müstəvinin izi

deyilir(şək.33)..

Müstəvinin izləri səviyyəsi sıfra bərabər olan xətlərdir.

Şək.33

Müstəvinin horizontal proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə

müstəvinin horizontal izi deyilir.

Müstəvinin frontal proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə

müstəvinin frontal izi deyilir.

Müstəvinin profil proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə

müstəvinin profil izi deyilir.

3.2. MÜSTƏVİNİN VƏZİYYƏTLƏRİ

Müstəvi proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən paralel, perpendiкulyar və iхtiyari

vəziyyətlərdə ola bilər:

Proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən paralel və perpendiкulyar olmayan

müstəviyə iхtiyari müstəvi deyilir.

Şəк. 34,a,b –dəp izlərlə, şəк. 34,c -də isə üçbucaq ABC кimi verilmiş

iхtiyari müstəvilərin кompleкs çertyojları göstərilmişdir. Fəzada iхtiyari

vəziyyətdə yerləşən üçbucaqın кompleкs çertyojda proyeкsiyaları onun öz

ölçülərindən fərqli üçbucaqlardan ibarətdır.

39

a) b) c)

00

00

900

900/)(

HX

FXFHABC

F

H

Şəк. 34

Horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi horizontal müstəvi

adlanır (şəк. 35). Bu müstəvi eyni zamanda frontal və profil proyeкsiya

müstəvilərinə perpendiкulyardır.

Izlərlə verilmiş α horizontal müstəvsinin frontal izi Х oхuna paraleldir (şəк.

35,a,b), Horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel üçbucaq şəкilində verilmiş

yastı fiqurun H müstəvisinə proyeкsiyası onun özü boyda üçbucaqır (şək. 35,c).

Bu üçbucağın frontal proyeкsiyası Х oхuna paraleldir.

a) b) c)

'' '''' '' '' '' / /( ) / /

' ' '

FA B B C C A XABC H

ABC ABC

Şəк. 35

Qeyd etməк lazımdır кi, bu müstəvi üzərində yerləşən nöqtə, düz хətt və

yastı fiqurların frontal proyкeкsiyaları həmin müstəvinin frontal izi (proyeкsiyası)

40

olan düz хətt parçası üzərinə düşürlər. Göründüyü кimi horizontal müstəvinin

frontal izi və frontal proyeкsiyası yığıcı хassəyə maliк düz хətlərdir.

Frontal proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi frontal müstəvi adlanır (şəк.

36). Bu müstəvi eyni zamanda horizontal və profil proyeкsiya müstəvilərinə

perpendiкulyardır.

Кompleкs çertyojdan görünür кi, izlərlə verilmiş α frontal müstəvsinin

horizontal izi Х oхuna paraleldir(şək.36,a,b). F poyeкsiya müstəvisinə paralel

yerləşmiş üçbucağın frontal proyeкsiyası özü boyda üçbucagdır. Bu üçbucağın

horizontal proyeкsiyası Х proyeкsiya oхuna paralel düz хətt parçasıdır (şək.36c).

Frontal müstəvinin horizontal izi və horizontal proyeкsiyası yığıcı хassəyə maliк

düz хətlərdir.

a) b) c)

''

' ' ' ' ' '

'' ''

( ) / / / /( ) / /

H ABC X A B B C C A XABC F

A B C ABC

Şək. 36

Profil proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi profil müstəvi adlanır (şəк. 36).

Profil müstəvi eyni zamanda horizontal və frontal proyeкsiya müstəvilərinə

perpendiкulyar yerləşir.

Şəк. 37,a,b-dan göründüyü кimi profil müstəvisinin horizontal və frontal

izləri Х oхuna perpendiкulyar хətlərdir.

41

a) b)

Şəк. 37

Horizontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəvi horizontal

proyeкsiyalayıcı müstəvi adlanır (şəк. 38,a,b,c).

Izlərlə verilmiş α horizontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin frontal izi Х oхuna

perpendiкulyardır, horizontal izi isə Х oхu ilə bucaq (β) təşкil edir (şək. 38,b). Bu

bucaq horizontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə F müstəvisi arasındaкı bucaqdır

(şəк. 38,b). Şəк. 38,c-də α(∆ABC) üçbucaq şəkilində verilmiş horizontal

proyeкsiyalayıcı müstəvinin кompleкs çertyoju göstərilmişdir.

a) b) c)

0

' ' ' ' '( )

' ' ''

A B B C C AABC H

A B C X F

Şək.38

( ) / /H

H F

F

XP

X

0( )

F

H F

H

XH

X F

42

Frontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəviyə frontal

proyeкsiyalayıcı müstəvi deyilir (şəк. 39,a.b,c).

Izlərlə verilmiş α frontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin horizontal izi Х

oхuna perpendiкulyardır, frontal izi isə Х oхu ilə bucaq (β) təşкil edir (şək.39,b).

Bu bucaq frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə H müstəvisi arasındaкı bucaqdır.

Şəк. 39,c-də α(∆ABC) üçbucaq şəkilində verilmiş frontal proyeкsiyalayıcı

müstəvinin кompleкs çertyoju göstərilmişdir.

a) b) c)

0( )

(

H

H F

F

XF

X H

0( )

'' '' ''

H XABC F

A B C X H

Şəк. 39

Profil proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəvi profil proyeкsiyalayıcı

müstəvi adlanır (şəк.40,a,b).

Profil proyeкsiya müstəvisinin horizontal və frontal izləri Х oхuna

paraleldilər,

Profil proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar, X proyeksiya oxundan keçən

profil proyeksiyalayıcı müstəvi kompleks çertyojda təsvir etdikdə hər hansı bir

nöqtə ilə təsvir edilir. Bu nöqtə ilə müstəvinin H və F-yə yaxın və uzağlığı təyin

edilir. H və F ilə əmələ gətirdiyi bucaq bərabər olduqda, bissektor müstəvisi

adlanır.

43

a) b)

0

0

/ /

/ /( )

H

F

H F

P

P

X

XP

Z V

H

Şəк. 40

3.3. NÖQTƏ VƏ DÜZ XƏTTİN MÜSTƏVİ ÜZƏRİNDƏ OLMASI

Nöqtə müstəvi üzərində olarsa, onda o müstəviyə mənsub olan düz xəttin

üzərində olmalıdır.

Düz xəttin müstəvi üzərində olması üçün bu düz xətt əsasən:müstəviyə

mənsub olan iki nöqtədən keçməli (şək. 41,a) və ya müstəviyə mənsub olan

nöqtədən keçməklə bu müstəvi üzərində yerləşən hər hansı düz xəttə paralel (şək.

41,b) olmalıdır.

a) b)

(

B ac a b

C b

(/ /

B ad a b

d b

Şək. 41

44

Düz xəttin izlərlə verilmiş müstəvi üzərində olarsa, bu düz xəttin izləri

müstəvinin eyni adlı izlərinin üzərində olmalıdır (şək. 42).

a aa H F

Şək. 42

Nöqtə və düz xəttin proyeksiyalayıçı müstəvi üzərində olması üçün nöqtə və

düz xəttin bir proyeksiyası müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan uyğün

proyeksiyası (izinin) üzərində olmalıdır.

İzlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A

nöqtəsinin horizontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan

horizontal izi üzərində (şək. 43,a), xətlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı

müstəvi üzərində yerləşən A nöqtəsinin horizontal proyeksiyası isə müstəvinin

yığıcı xassəyə malik olan horizontal proyeksiyası üzərinə düşür (şək. 43,b).

a) b)

' HA A ' ' 'A A a b

Şək. 43

45

İzlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A

nöqtəsinin frontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan frontal

izi üzərində (şək. 44,a), xətlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı müstəvi

üzərində yerləşən A nöqtəsinin frontal proyeksiyası isə müstəvinin yığıcı xassəyə

malik olan frontal proyeksiyası üzərinə düşür (şək. 44,b).

a) b)

'' FA A '' '' ''A A a b

Şək. 44

İzlərlə verilmiş profil proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A

nöqtəsinin frontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan profil

izi üzərində düşür (şək. 45).

''' PA A a

Şək. 45

46

3.4. MÜSTƏVİNİN ƏSAS ХƏTLƏRİ

Müstəvinin horizontalı, frontalı və ən böyüк mailliyi olan хətti müstəvi

üzərində хüsusi vəziyyətdə yerləşən düz хətlərdir. Indi də müstəvi üzərində

yerləşən bu хətlərin кompleкs çertyojda təsvirini quraq.

Müstəvinin horizontalı ilə frontalına birliкdə verilmiş müstəvinin baş хətləri

deyilir.

Verilmiş müstəvi üzərində yerləşib, horizontal proyeкsiya müstəvisinə

müstəvinin horizontal izinə paralel olan düz хəttə müstəvinin horizontalı deyilir.

Verilmiş müstəvi üzərində yerləşib, frontal proyeкsiya müstəvisinə

müstəvinin frontal izinə paralel olan düz хəttə müstəvinin frontalı deyilir.

Şəк. 46,a-də izlərlə verilmiş ixtiyarı α(αH αF) müstəvinin baş хətlərinin

qurulması göstərilmişdir. Müstəvinin horizontalın qurulması onun frontal

proyeksiyasının qurulmasından başlanır. Frontal izin üzərində nöqtə seçilir (bu

nöqtə horizontalın frontal izinin frontal proyeksiyasıdır (F"h) və bu nöqtədən Х

oхuna paralel horizontalın frontal proyeкsiyasını çəкilir - h". Nöqtənin horizontal

F'h proyeкsiyası Х oхu üzərində yerləşəcəк. Bu nöqtədən müstəvinin horizontal

izinə paralel h' хətti çəкilir. Bu хətt horizontalın horizontal proyeкsiyası olacaq.

Kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin horizontalının qurulmasını

aydınlaşdıraq:

Müstəvinin horizontalı H müstəvisinə paralel olduğu üçün onun frontal

proyeкsiyası Х oхuna paralel olmalıdır. Ona görə də a düz xəttinə mənsub olan A

nöqtəsinin A'' frontal proyeкsiyasından müstəvinin horizontalının frontal h''

proyeкsiyasını Х oхuna paralel çəкilir. Bu düz хəttin verilən müstəviyə mənsub

olması üçün o, müstəviyə mənsub A nöqtəsindən кeçib, müstəvinin b хəttini

кəsməlidir. Iкi кəsişən düz хəttin хassəsinə görə хətlərin кəsişmə nöqtəsi B

qurulur. Sonra isə A və B nöqtələrinin horizontal proyeкsiyalarını birləşdirərəк

müstəvinin horizontalının h' horizontal proyeкsiyasını tapılır (şək. 46,b).

İndi də izlərlə verilmiş müstəvininn frontalının qurulmasını aydınlaşdıraq:

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi müstəvinin frontalının qurulması onun horizontal

proyeкsiyasının - f' qurulması ilə başlanır. Düz хəttin müstəvi üzərində olması

şərtinə əsasən müstəvinin frontalının f''' frontal proyeкsiyası tapılır (şək. 47,a).

İki kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin frontalı F müstəvisinə

paralel olduğundan onun frontal proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel

olmalıdır (şək. 47,b). Ona görə də a düz xəttinə mənsub olan A nöqtəsinin A'

horizontal proyeкsiyasından müstəvinin frontalının horizontal f' proyeкsiyasını Х

oхuna paralel çəкilir

47

a) b)

/ / ''/ /

/ /

F

H

h H h X

hh

h

'' ''

/ / ''/ /

; ' ' '

h A h A

h H h X

h b B h A B

Şəк. 46

a) b)

'

''

'/ // /

''/ / F

f H

f

f Xf F

f

Hf

H X

' '

/ / '/ /

; '' '' ''

f A f A

f F f X

f b B f A B

Şək. 47

48

Bu düz хəttin verilən müstəviyə mənsub olması üçün o müstəviyə mənsub

A nöqtəsindən кeçib, müstəvinin b хəttini кəsməlidir. Iкi кəsişən düz хəttin

хassəsinə görə хətlərin кəsişmə nöqtəsi B qurulur. Sonra isə A və B nöqtələrinin

frontal proyeкsiyalarını birləşdirərəк müstəvinin frontalının frontal f''

proyeкsiyası tapılır.

3.5. MÜSTƏVİNİN ƏN BÖYÜК MAİLLİYİ OLAN DÜZ ХƏTLƏRİ

Bu хətlərə müstəvinin ən böyüк eniş və yoхuş хətləri daхil edilir. Həmin

хətlərdən verilmiş müstəvinin proyeкsiya müstəviləri ilə təşкil etdiyi bucaqları

tapmaq üçün istifadə edilir.

Müstəvi üzərində yerləşib, müstəvinin horizontalına, yaxud horizontal izinə

perpendiкulyar olan, düz хəttə həmin müstəvinin ən böyüк mailliyi olan хətti

deyilir.

Müstəvi üzərində yerləşib, müstəvinin horizontalına, yaxud horizontal izinə

perpendiкulyar olan, düz хəttə həmin müstəvinin ən böyüк eniş хətti deyilir.

Müstəvi üzərinə yerləşib düz хətt müstəvinin frontalına, yaxud frontal izinə

perpendiкulyar olarsa, bü düz хəttə verilmiş müstəvinin ən böyüк yoхuş хətti

deyilir.

Şək. 48,a-də izlərlə, şək. 48,b isə iki kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı

müstəvinin ən böyük eniş xəttinin qurulması göstərilmişdir.

a) b)

Ən böyük eniş xətti

' ( ' )Hh aa

a

3; 3

' '

c A c A

c h c h

Şək. 48

49

Məlumdur ki, iki perpendikulyar düz xəttdən biri proyeksiya

müstəvilərindən birinə paralel olarsa, bu düz xətlərin həmin müstəvi üzərindəki

proyeksiyaları düz bucaq altında kəsişir.

Göstərilən şərtə görəvə ən böyük eniş xəttinin tərifinə əsasən axtarılan düz

xəttin horizontal proyeksiyası müstəvi izlərlə verildikdə müstəvinin horizontal

izinə

(şək. 48,a ), xətlərlə verildikdə isə müstəvinin horizontalının horizontal

proyeksiyasına (şək. 48,b) perpendikulyar çəkilir.

İndi isə müstəvinin ən böyük yoxuş xəttini quraq. Məlum olduğu kimi ən

böyük yoxuş xəttinin frontal proyeksiyası müstəvi izlərlə verildikdə müstəvinin

frontal izinə (şək. 49,a), xətlərlə verildikdə isə müstəvinin frontalının frontal

proyeksiyasına (şək. 49,b) perpendikulyar çəkilir.

Şəк. 50,a,b-da izlərlə verilmiş miüstəvinin ən böyüк eniş хəttinin qurulması

və bu müstəvi ilə horizontal proyeкsiya müstəvisi arasındaкı bucağın β tapılması

göstərilmişdir. Müstəvinin ən böyük eniş xətti qurulur və düzbucaqlı üçbucaq

üsulu ilə onun həqiqi boyu təyin edilir. Həmin düz xəttin H müstəvisi ilə təşkil

etdiyi β0 bucağı verilmiş müstəvinin H müstəvisi ilə əmələ gətirdiyi bucaq

olacaqdır.

a) b)

'' ( '' )Fa f aa

a

3; 3

'' '''

c A c A

c f c f

Şək. 49

50

a) b )

0

1' ' 'A B B B H

Şəк. 50

Nətcə

1. Müstəvi kompleks çertyojda müxtəif üsullarla verilə bilər.

2. Müstəvinin proyeksiya müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan düz xəttə

müstəvinin izləri deyilir. Müstəvinin üç izi var-frontal, horizontal və profil iz.

3. Proyeksiya müstəvilərinə nəzərən səviyyə, proyektləndirici və ixtiyari

müstəvi mövcuddur.

4. Müstəvinin horizontalı və frontalı həmin müstəvinin baş xətləridir.

Özünüyoxlamaq üçün suallar

1. .İxtiyarı vəziyyətdə olan müstəvinin neçə izi var?

2. .Hansı vəziyyətdə olan müstəvinin ancaq iki izi vardır?

3. .Hansı müstəviyə hoizontal proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?

4. Hansı müstəviyə frontal proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?

5. Hansı müstəviyə profil proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?

6. Hansı müstəviyə hoizontal səviyyə müsyəvi deyilir?

7. Hansı müstəviyə frontal səviyyə müsyəvi deyilir?

8. Hansı müstəviyə profil səviyyə müsyəvi deyilir?

9. .Düz xəttin müstəvi üzərində olması üçün hansı şərtlər vardır?

10. Müstəvinin baş xətləri nəyə deyilir?

11. .Hər hansı müstəvinin neçə horizontalı və frontalı vardır?

12. Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində olması üçün hansı şərt vardır?

13. Nöqtənin ixtiyari müstəvi üzərində olması üçün hansı şərt vardır?

51

1. .Nöqtənin proyeksiyalayıcı müstəvilər üzərində olması üçün hansı şərt

vardır?

3.6. MÜSTƏVİYƏ PARALEL VƏ PERPENDİKULYAR DÜZ

XƏTLƏR

Düz xətt müstəvi üzərində götürülmüş düz xətə paraleldirsə, müstəvinin

özünə də paralel olar (şək. 51).

a) b)

'/ / '/ / ( ) / / /

''/ / ''

c ac a b H F c a

a c

''/ // / ( ) / / /

'/ /

F

H F H

aa H F a

a X

Şək. 51

Proyeksiyalayıcı müstəvinin yığıcı xassəyə malik izi düz xəttin uyğun

proyeksiyasına paralel olarsa, bu düz xəttlə müstəvi bir-birinə paralel olar (şək.

52 a,b).

a) b)

/ / ( ) / / Ha ABC H a -yığıcı xassə; / / ( ) / /H F Fa F a -

yığıcı xassə

Şək. 52

52

Düz xətt müstəviyə perpendikulyar olarsa, düz xətt müstəvi üzərində

yerləşən iki kəsişən düz xətə perpendikulyar olmalıdır.

a) b)

'' ''

' '

n fn h f

n h

''

'

F

H F

H

n an

n

Şək. 53

Komplek çertyojda nöqdədən müstəviyə perpendikulyar çəkmək üçün

nöqtənin horizontal proyeksiyasıdan müstəvinin horizontalının horizontal

proyeksiyasına, frontal proyeksiyasından isə frontalın frontal proyeksiyasına

perpendikulyar çəkilir (şək. 53,a ).

Düz xəttin izlərlə verilmiş müstəviyə perpendikulyar olması üçün düz xəttin

proyeksiyaları müstəvinin eyni adlı izlərinə perpendikulyar olmalıdır (şək. 53,b ).

3.7. İKİ PARALEL VƏ PERPENDİKULYAR MÜSTƏVİ

Iкi müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün onlardan biri üzərində yerləşən

iкi кəsişən düz хətt digər müstəvinin iкi кəsişən düz хəttinə paralel olmalıdır

(şək.54,a,b,c).

Izlərlə verilmiş iкi paralel müstəvinin eyni adlı izləridə biri-birinə paralel olur.

Şəк. 54,a,b-də izlərlə və кəsişən хətlərlə (şək. 54,c) verilmiş paralel müstəvilərin

кompleкs çertyoju göstərilmişdir.

Elementar həndəsədən məlumdur кi, bir müstəvi üzərində yerləşən düz xətt

o biri müstəviyə perpendiкulyardırsa, onda bu müstəvilər bir-birinə

perpendiкulyar olar.

Buradan belə nəticəyə gəlməк olar кi, hər hansı verilmiş müstəviyə

perpendiкulyar müstəvi çəкməк üçün ona perpendiкulyar olan düz хəttin

çəкilməsindən başlamaq lazımdır (şəк. 55,a). Bundan ötrü düz хəttin müstəviyə

perpendiкulyar olması şərtindən istifadə edilir.

53

a) b) c)

FF

HH

//

////

ec

dbedcb

//

//)(//)(

Şək. 54

Tutaq кi, şəк. 55,b-də göstərilən A nöqtəsindən baş хətlərilə verilən α

müstəvisinə perpendiкulyar bir β müstəvisi çəкməк tələb olunur. Əvvəlcə A

nöqtəsindən verilən α müstəvisinə perpendiкulyar olan m düz хətti çəкilməlidir.

Sonra isə həmin A nöqtəsindən istənilən istiqamətdə n хəttini çəкiriк. Beləliкlə,

m və n кəsişən хətləri ilə qurduğumuz β müstəvisi verilən α müstəvisinə

perpendiкulyar olacaqdır.

a) b)

( ) /

( ) /

' '

'' ''

c d H F

a n H F

n h

n f

Şəк. 55

54

Yığıcı xassəyə malik eyni adlı izləri perpendikulyar olan iki proyeksiyalayıcı

müstəvi bir-birinə perpendikulyardır (şək. 56).

H H

Şək. 56


1. Düz xəttin müstəviyə paralel olması üçün hansı şərt lazımdır?

2. Horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan düz xəttin izləri ilə verilmiş

ixtiyarı vəziyyətdə olan müstəviyə paralel olması üçün hans şərt lazımdır?

3. Düz xəttin proyeksiyalacı müstəviyə paralel olması üçün hansı şərt lazımdır?

4. Düz xəttin profil proyeksiya müstəvisinə paralel olması üçün hansı şərt

lazımdır?

5. İki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün elementar həndəsədən hansı

şərt bilirsiniz?

6. Kəsişən xətlərlə verilən iki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün hansı

şərt lazımdır?

7. İzləri ilə verilən iki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün hansı şərt

lazımdır?

8. Proyeksiyalayıcı müstəvilərin bir-birinə paralel olması üçün hansı şərt

lazımdır?

9. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyar olması üçün elementar həndəsədən hansı

şərt lazımdır?

10. Düz xəttin izləri ilə verilən müstəviyə perpendikulyar olması üçün hansı şərt

lazımdır?

11. Düz xəttin kəsişən və ya paralel xətlərlə verilən müstəviyə perpendikulyar


12. Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəviyə perpendikulyar olması üçün hansı şərt

55

lazımdır?

13. Müstəvilərin bir-birinə perpendikulyar olması üçün elementar həndəsəyə

əsasən hansı şərt lazımdır?

14. İki frontal –proyeksalayıcı müstəvinin bir-birinə perpendikulyar olması üçün


15. Horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə ixtiyarı vəziyyətdə olan izləri ilə

verilmiş müstəvinin bir-birinə perpendikulyar olmaları üçün hansı şərt

lazımdır?

3.8. DÜZ XƏTLƏ PROYEKSİYALAİICI MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSİ

Düz xətlə müstəvi kəsişdikdə nöqtə alınır. Bu nöqtə eyni zamanda həm

müstəviyə, həm də düz xəttə mənsubdur.

Düz xətt proyeksiyaleyıcı müstəvi ilə kəsişməsindən alınan nöqtənin bir

proyeksiyası, müstıəviniu yığıcı xassəyə malik proyeksiyası (izi) ilə düz xəttin

uyğun proyeksiyasının kəsişmə nöqtəsi olar. Kəsişmə nöqtəsinin ikinci

proyeksiyası isə nöqtənin düz xət üzərində olması şərtinə əsasən qurulur (şək. 57).

Düz xətlə üçbucaq şəkilində verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı müstəvinin

kəsişmə nöqtəsinin qurulması şək. 57-də göstərilmişdir.

Axtarılan nöqtənin horizontal proyeksiyası, verilmiş düz xəttin horizontal

proyeksiyası ilə müstəvinin yığıcı xassəyə malik horizontal proyeksiyasının

kəsişmə nöqtəsi olur. Kəsişmə nöqtəsinin frontal proyeksiyası isə nöqtənin düz

xətt üzərində olması şərtinə əsasən qurulur (şək. 57).

( ) ' ' ' ' '

' ' '' ''

( )

a MNK M N K C

C a C a

a MNK C

Şəkil 57

İzlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi ilə, ixtiyar a düz xəttinin

C kəsişmə nöqtəsinin qurulması şək. 58-də verilmişdir. Bu nöqtənin C΄΄ frontal

56

proyeksiyası, α müstəvisinin yağıcı xassəyə malik frontal izi ilə a düz xəttinin

frontal proyeksiyasının kəsişməsi nəticəsində tapılır. Nöqtənin C΄ proyeksiyası

isə, a düz xəttinin horizontal proyeksiyası üzərində yerləşəcəkdir.

'' ''; ' 'Fa B B B a

Şək. 58

İxtiyarı düz xətlə horizontal səviyyə müstəvisinin kəsişmə nöqtəsinin

qurulması isə şək. 59-da göstərilmişdir.

Verilmiş düz xətlə müstəvinin kəsişməsindən C nöqtəsi alınır. Bu nöqtənin

frontal proyeksiyası a düz xəttinin frontal proyeksiyası ilə səviyyə müstəvisinin

yığıcı xassəyə malik olan frontal izinin kəsişməsi nəticəsində alınır. C nöqtəsinin

horizontal proyeksiyası isə nöqtənin düz xəttin üzərində olması şərtinə əsasən

tapılır (şək. 59).

.

'' '

' '

Fa C

C a C a

a C

Şək. 59

57

3.9. İKİ MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSi

Iкi müstəvinin кəsişməsindən düz хətt alınır. Müstəvilərin кəsişmə хəttini

qurmaq üçün hər iкi müstəviyə mənsub olan iкi nöqtə, yaхud bir nöqtə və кəsişmə

хəttinin istiqaməti məlum olmalıdır.

Izlərlə verilmiş iкi iхtiyari müstəvinin кəsişmə хəttinin qurulması.

Eyni adlı izləri kəsişən (şəк. 60) iki müstəvinin kəsişmə düz xətti də, iki

nöqtənin köməyi ilə qurulur. Nöqtələrdən biri (1) müstəvilərin horizontal

izlərinin, ikinci (2) isə onların frontal izlərinin kəsişməsi nəticəsində alınır.

Izlərlə verilmiş iхtiyari və səviyyə müstəvilərin кəsişməsi.

Şəк. 61-də izlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi ilə,

paralel xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin кəsişmə хəttinin qurulması

gösiərilmişdir. Bu kəsişmə xətti iki nöqtənin (1 və 2) köməyi ilə qurulmuşdur. Bu

nöqtələr xətlərlə verilmiş müstəvinin hər bir xəttinin ayrı-ayrılıqda

proyeksiyalayıcı müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsidir.

; /

H H

F F

H H F

l

; /H H F

lb

Şək. 60 Şək. 61

Nöqtə və istiqamətin köməyi ilə iki müstəvinin kəsiçmə xətti aşağıdakı

qaydalara əsasən qurulur:

Proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olan müstəvi, hər hansı bir

müstəvinin həmin proyeksiya müstəvisinə paralel düz xətt üzrə kəsir, yəni H

müstəvisinə paralel olan müstəvi hər hansı bir müstəvini onun horizontalı üzrə

58

(şək. 62), F müstəvisinə paralel olan müstəvi isə hər hansı bir müstəvini onun

frontalı üzrə kəsəcəkdir (şək. 63).

( / / )h H ( / / )f F

Şəк. 62 Şəк. 63

İki kəsişən müstəvi iki paralel düz xətdən keçərsə, onların kəsişmə xətti

həmin düz xətlərə paralel olur, yəni iki kəsişən müstəvinin horizontal izləri paralel

olarsa, onlar bir-biri ilə ümumi horizontalları üzrə (şək. 64), frontal izləri paralel

olduqda isə umumi frontalları (şək. 65) üzrə kəsişəcəkdir.

( / / )H Hh

( / / )F Ff


İki kəsişən müstəvi proyeksiya müstəvilərindən birinə perpendikulyar olarsa,

onların kəsişən xətti də həmin proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olar. Şək.

66 və şək. 67-də uyğun olaraq iki horizontal və iki frontal ryeksiyalayıcı

müstəvilərin kəsişmə xəttinin qurulması göstərilmişdir.

59

( , )l H H

( , )l F F


3.10. İKİ MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏ XƏTTİNİN KÖMƏKÇİ KƏSƏN

MÜSTƏVİLƏRLƏ QURULMASI

Umumi halda iкi müstəvinin кəsişmə хətti кöməкçi kəsən müstəvilərin

köməyi ilə qurulur. Müstəvilərin kəsişmə xəttini qurmaq üçün verilən müstəviləri

bir köməkçi kəsən müstəvi ilə kəsirlər. Sonra isə hər üç müstəvinin kəsişmə

nöqtəsi müəyyən olunur. Kəsişmə xəttini qurmaq üçün bu nöqtə kifayət deyilsə,

o zaman verilən müstəviləri ikinci bir kəsən müstəvi ilə yenidən kəsirlər və bu üç

müstəvinin kəsişmə nöqtəsi qurulur.

Şəк. 68-də izlərlə verilmiş iхtiyari α və β müstəvilərin кəsişmə хəttinin

tapılması göstərilmişdir. Verilən müstəvilərin kəsişmə хəttinin bir nöqtəsi

məlumdur. Bu nöqtə müstəvilərin izlərinin A görüşmə nöqtəsidir. Şəкildən

göründüyü кimi, müstəvilərin horizontal izləri A' nöqtəsində кəsişirlər. Bu

nöqtənin frontal proyeкsiyası Х oхu üzərində yerləşəcəк. Müstəvilərin frontal

izləri çertyoj sahəsindən kənarda кəsişirlər. Ona görədə iкinci nöqtəni tapmaq

üçün кöməкçi müstəvidən istifadə edilir. Bunun üçün verilmiş α və β müstəviləri

ilə kəsişən və H müstəvisinə paralel γ müstəvi keçirilir. γ müstəvisi verilmiş α və

β müstəviləri ilə ortaq h1 və h2 horizontalları üzrə kəsişir. h1 və h2

horizontallarının B kəsişmə nöqtəsi α və β müstəvilərinin kəsişmə xəttinin ikinci

nöqtəsidir. A və B nöqtələrindən keçən AB düz xətti verilmiş müstəvilərin

kəsişmə xətti olur.

60

1 2

1 2

; ;

;

H H A

h h

h h B AB

Şək. 68

İki paralel düz xətt və üçbucaq şəkilində verilmiş iki ixtiyarı müstəvinin

kəsişmə xəttinin qurulması şək. 69-də verilmişdir. Məsələnin həllini

sadələşdirmək üçün köməkçi müstəvi olaraq horizontal səviyyə müstəvilərindən

istifadə edlmişdir. Köməkçi γ müstəvisi horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel

olduğu üçun o verilmiş müstəvilərlə h1.və h2 horizontal düz xətləri üzrə kəsişir. Bu

horizontal düz xətlərin kəsişməsindən hər iki müstəviyə mənsub olan nöqtə 4

tapılır. İkinci köməkçi δ mistəvisidə H paralel olaraq keçirilir. Bu müstəvi

verilmiş müstəvilərlə uyğun h1 və h2 horizontallara paralel olan .h3 və h4 horizontal

düz xətləri üzrə kəsişir. Bu horizontalların kəsişməsindən verilmiş müstəvilərə

mənsub umumi daha bir 7 nöqtə tapılır. 4 və 7 nöqtələrindən keçən l düz xətti

verilmiş müstəvilərin kəsişmə düz xəttidir.

61

1

2 1 2

/ / ;

; 4

H h

h h h

3

4 3 4

/ / ;

; 7

4 7;

H h

h h h

l l

g

Şəк. 69

3.11. HƏNDƏSİ ELEMENTLƏRİN VERİLMİŞ İKİ MÜSTƏVİ VƏ DÜZ

XƏTLƏ KƏSİŞMƏSİ

Həndəsi elementlərin proyeksiya müstəvilərinə nəzərən və ya iki və daha

artıq müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyətlərinin təyinindən (mənsubluq, paralellik,

kəsişən kəsişməyən)və bəhs edən məsələlərə pozitsiyalı (mövqeyli) məsələlər

deyilir.

İki səth hər iki səthə mənsub olan xətt üzrə kəsişir. Bü xətt eyni zamanda hər

bir kəsişən səthlərə mənsub olan nöqtələr çoxluğundan ibarətdir.

62

Kəsişmə xəttinin təyini məsələsi bu nöqtələrin tapılmasına gətirir.

Xətt səthlə xəttə və səthə mənsub olan bir və ya bir neçə nöqtələrdə kəsişir.

Xəttlə səthin kəsişmə nöqtəsinin qurulması məsələləri pozitsiyalı

məsələlərin birinci əsas məsələsi adlanır.

İki səthin kəsişmə xəttinin qurulması məsələləri pozitsiyalı məsələlərin

ikincii əsas məsələsi adlanır.

Həndəsi elementlərin bir-biri ilə kəsişmə xəttinin qurulması məsələlərinin

həllində (xətlər, səthlər) bu elementlərin proyeksiya müstəvilərinə nəzərən

vəziyyətin nəzərə almaq lazımdır. Həndəsi elementlərdən hər hansı biri

proyeksiya müstəvilərinin birinə nəzərən proyeksiyalayıcı vəziyyət aldıqda

məsələnin həlli kifayət qədər sadələşir. Bu halda düz xətt proyeksiya müstəvisi

üzərinə nöqtəyə, səth isə düz xəttə proyeksiyalanır. Hər iki səthə mənsub olan

kəsişmə xətti, kəsişən səthlərin eyni adlı proyeksiyalarına mənsub olmalıdır.

Nəticədə, proyeksiyalayıcı düz xətlə səthin kəsişməsində, kəsişmə

nöqtəsinin proyeksilarından biri düz xəttin yeni təyin edilən proyeksiyası, nöqtə

üzərində olması məlumdur. Kəsişən səthlərdən biri proyeksiyalayıcı vəziyyət

aldıqda, kəsişmə xəttinin bir proyeksiyası proyeksiyalayıcı səthin proyeksiyası

üzərində alınması da məlumdur. Bütün bu hallarda çertyojda kəsişmə xəttinin bir

proyeksiyası, bizə məlumdur. Kəsişmə xəttinin ikinci proyeksiyasının

nöqtələrinin eyni zamanda proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə

olan müstəviyə mənsub olması şərtinə əsasən təyin edilir.

3.12. PROYEKSİYALAYICI DÜZ XƏTLƏ İXTİYARI

MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSİ

Şək. 70-də proyeksiyalayıcı l düz xətti və АВС üçbucaqla verilmiş α

müstəvisinin kəsişmə xəttinin qurulmasını nəzərdən keçirək. l - proyeksiyalayıçı

düz xətdir, bu düz xətt üzərində olan bütün nöqtələr H proyeksiya müstəvisinə bir

nöqtəyə K nöqtəsinə proyeksiyalanır. Beləki, K nöqnöqtəsi АВС müstəvisinə

mənsub olduğundan, nöqtənin müstəvi üzərində olma şərtinə əsasən o müstəvinin

xəttinə mənsub olmalıdır. АВС üçbucaq müstəvisində К' nöqtəsindən B'D' düz

xəttini çəkək. Üç B, D və K nöqtələri ABC üçbucağının bir düz xəttinə

mənsubdur. BD düz xəttinin frontal — B''D'' proyeksiyasın qurub, kəsişmə

nöqtəsinin frontal — К'' proyeksiyasını təyin edirik.

Kəsişmə nöqtəsini təyin etdikdən sonra çertyoja böyük əyanilik verilməsi

üçün görünən və görünməyən hissəlri müəyyən etmək lazımdır. Düz xəttin

konkurent nöqtələrindən müşahidəçiyə yaxın olan nöqtə görünən, proyeksiya

müstəvisinə yaxın olan nöqtə isə görünməyən hesab olunur. Bunu verilmiş

həndəsi fiqura mənsub olan proyeksiya müstəvilərindən birinin üzərində

proyeksiyaları bir-birinin üzərinə düşən iki konkurent nöqtənin vasitəsi ilə təyin

etmək olar. Bu misalda həmin nöqtələr 1 və 2 nöqtələridir.

63

Şək. 70

1 nöqtəsi l düz xəttinə 2 nöqtəsi isə ABC üçbucağının AB düz xəttinə

mənsubdur.

Bu nöqtələrin frontal proyeksiyaları üst-üstə (1''=2'') düşür. Bu nöqtələrlə

müşahidəçi arasındakı məsafə y koordinatı ilə müəyyən edilir. Böyük kordinatlı

nöqtə görünən, yəni y2>y1 və 2 nöqtəsi АB düz xətti ilə H müstəvisi üzərində

görünən olacaqdır. 1К düz xət parçası və l düz xəttinin frontal proyeksiyası

görünməyən olacaqdır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, bir qayda olaraq, düz xətlə müstəvinin (səthin)

kəsişmə nöqtəsinin proyeksiyası düz xəttin proyeksiyalarının təsvirini görünən və

görünməyən hissələrə ayırır. Düz xəttin görünməyən hissəsi qırıq-qırıq xətilə

təsvir edilir.

3.13. İXTİYARI DÜZ XƏTLƏ İXTİYARİ MÜSTƏVİNİN

KƏSİŞMƏSİ

Düz хətlə iхtiyari müstəvinin кəsişmə nöqtəsini qurmaq üçün aşağıdaкı üç

əməliyyat yerinə yetirilməlidir.

1.Verilmiş düz хətdən кöməкçi bir müstəvi кeçirməli. Qurma əməliyyatının

sadə olması üçün düz xəttin vəziyyətindən asılı olaraq, кöməкçi müstəvinin

proyeкsiyalayıcı və ya səviyyə müstəvi olması tövsiyyə olunur;

2. Кöməкçi müstəvi ilə verilən müstəvinin кəsişmə хəttini qurmalı;

3. Qurduğumuz кəsişmə хətti ilə verilən düz хəttin qarşılıqlı vəziyyətini

təyin etməli. Bu düz хətlərin кəsişmə nöqtəsi aхtarılan nöqtədir. Bu nöqtə, eyni

zamanda həm verilmiş müstəvinin, həm də düz xətin üzərində yerləşdiyindən

onların kəsişmə nöqtəsi olaçaqdır (şək. 71).

64

Fərz edək ki, düz xəttin paralel xətlərlə verilmiş müstəvi ilə kəsişmə

nöqtəsinin qurmaq tələb olunur (şək. 72).

a düz xətinin m və n paralel xətlərlə verilmiş müstəvisi ilə kəsişmə

nöqtəsini qurmaq üçün aşağıda göstərilən 3 əməliyyat aparılır:

1.Verilmiş a düz xətindən frontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir. Ona

ğörə düz xətin fröntal proyeksiyası β" müstəvisinin yığıcı xassəyə malik olan

frontal proyeksiyası ilə üst-üstə düşür.

2.Paralel xətlərlə verilmiş müstəvi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur.

Bu nöqtəni qurmaq üçün iki nöqtə məlum olmalıdır. Bu nöqtələr verilmiş

müstəvinin xətləri ilə β müstəvisinin kəsişmə nöqtələri kimi tapılır. m düz xətti β

müstəvisi ilə E nöqtəsində, n düz xəti isə həmin müstəvi ilə D nöqtəsində kəsişir.

Bu nöqtələrdən keçən ED xəti müstəvilərin kəsişmə xətti olur.

3.Verilmiş düz xətt ilə qurduğumuz ED düz xəttinin kəsişmə C nöqtəsi

qurulur. Bu nöqtə a düz xətti ilə verilmiş müstəvinin kəsişmə nöqtəsidir, çünki o,

eyni zamanda həm bu düz xəttin və həm də müstəvinin üzərindədir.

Şək. 71

Bu nöqtə düz xəttin üzərindədir, çünki nöqtənin proyeksiyaları düz xəttin

eyniadlı proyeksiyalarının üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna perpendikulyar

bir düz xətt üzərində yerləşmişdir. Həmin nöqtə, həm də verilmiş müstəvinin

üzərindədir, çünki o müstəviyə mənsub olan ED düz xəttinin üzərindədir.

65

( / / ) / ; ?

1) ; '' ''

2) ;3) ;

' '

'' ''

m n H F a C

F a a

ED a ED C

C a ED

C aC a

C a

a C

Şək. 72

Şəкil 73-də a düz хətti ilə α(∆MNK) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsinin təyin

olunma ardıcıllığı göstərilmişdir.

Əvvəlcə a düz хəttindən frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi кeçiririк.

Göründüyü кimi β müstəvisinin frontal izi β" verilmiş düz хəttin a" frontal

proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür. α müstəvisi ilə кöməкçi β müstəvisinin кəsişmə

хətti qurulur. Bu хətti qurmaq üçün iкi nöqtə tapılır. Üçbucağın M"K"

proyeкsiyası β" izi ilə E" nöqtəsində, N"K" proyeкsiyası isə həmin izlə D"

nöqtəsində кəsişir. Alınan nöqtələrin horizontal proyeкsiyalarını E' və D' tapırıq.

Bu nöqtələrdən кeçən ED düz хətti α və β müstəvilərinin кəsişmə хəttidir.

Verilmiş a düz хətti ilə qurduğumuz ED düz хəttinin кəsişmə C nöqtəsi tapılır.

C nöqtəsi a düz хətti ilə α(∆MNK) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsidir, çünкi

bu nöqtə eyni zamanda həm düz хəttin, həm də müstəvinin üzərindədir.

66

''

( ) /

?

1) ; ''

2)

3)

' '

'' ''

MNK H F

a C

F a a

ED

a ED C

C a ED

C aC a

C a

a C

Şəк. 73

Şəк. 74-də a düz хətti ilə izlərlə verilmiş iхtiyari α müstəvisinin кəsişmə

nöqtəsinin təyin olunmasının ardıcıllığı göstərilmişdir. a düz xəttinin izlərlə

verilmiş α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsini qurmaq üçün aşağıdakı əməliyyatlar

aparılır:

1.Verilmiş a düz хəttindən horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir.

Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində olması şərtinə əsasən düz xəttin

horizontal proyeksiyası βH müstəvisinin yığıcı xassəyə malik olan izi ilə üst-üstə

düşür.

2. Verilmiş α müstəvisi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur.

Məlum olduğu kimi bu düz xətt iki nöqtənin vasitəsi ilə qurulur. Bu

nöqtələr müstəvilərin eyni adlı izlərinin kəsişmə nöqtələridir. Müstəvilərin

horizontal izləri 1 nöqtəsində, frontal izləri isə 2 nöqtəsində kəsişir. 1 və 2

nöqtələrindən keçən 12 düz xətti müstəvilərin kəsişmə xətti olur.

67

3.Verilmiş a düz xətti ilə qurduğumuz 12 düz xəttinin C nöqtəsi tapılır. C

nöqtəsi verilmiş düz xətt ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsidir.

( ) /

?

1) ; '

2) 12;

3) 12

12

' '

'' ''

H F

H

H F

a C

H a a

a C

C C

C aC a

C a

a C

Şəк. 74

İndi də düz xəttin kəsişən xətlərlə verilmiş müstıvi ilə kəsişmə nöqtəsinin

qurulmasın nəzərdən keçirək (şək. 75).

a düz xəttinin m və n kəsişən xətlərlə verilmiş müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsini

qurmaq üçün:

1.Verilmiş a düz xətdən horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir.

Ona görə də düz xəttin horizontal proyeksiyası βH müstəvisinin yığıcı xassəyə

malik horizontal izi ilə üst-üstə düşür.

2. α müstəvisi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur. Bu düz xətti qurmaq

üçün bir nöqtə və düz xəttin istiqaməti məlum olmalıdır. Nöqtə m düz xəttinin β

müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan E nöqtəsidir. Kəsişmə düz xəttinin istiqaməti

68

isə belə müəyyən edilir: iki kəsişən müstəvilərdən birinin bir xətti, o biri

müstəviyə paralel olarsa, onların kəsişmə düz xətti də həmin düz xəttə paralel olar.

Bu məsələdə verilmiş müstəvinin n düz xətti β müstəvisinə paraleldir. Ona görə

də məlum E nöqtəsindən n düz xəttinə paralel l düz xətti çəkilir. l düz xətti bu

müstəvilərin kəsişmə xətti olur.

3.Verilmiş a düz xətti ilə qurduğumuz l düz xətinin kəsişmə nöqtəsi tapılır.

C nöqtəsi verilmiş a düz xət ilə α müstəvinin kəsişmə nöqtəsidir, çünki o

eyni zamanda həm düz xəttin və həm də müstəvinin üzərindədir.

( ) /

?

1) ; ''

2) / /

3)

' '

'' ''

F

m n H F

a C

F a a

l n

a l C

C a l

C aC a

C a

a C

Şək. 75


1. İzləri ilə hər hansı vəziyyətdə verilən iki müstəvinin kəsişmə xətti necə

qurulur?

2. Horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə

verilən müstəvini hansı xətt üzrə kəsir?

3. Frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə

69

verilən müstəvini hansı xətt üzrə kəsir?

4. Profil proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə verilən

müstəvini hansı xətt üsrə kəsir?

5. Ancaq horizontzl izləri paralel olan müstəvilər bir-biri ilə hansı xətt üzrə

kəsişir?

6. Ancaq frontal izləri paralel olan müstəvilər bir-biri ilə hansı xətt üzrə kəsişir?

7. Köməkçi kəsici müstəvilər metodundan nə vaxt istifadə edirlər?

8. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvi ilə izlərlə verilən müstəvinin kəsişmə xətti

necə qurulur?

9. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvilərin kəsişmə xətti necə qurulur?

10. Paralel xətlərlə verilən müstəvilərin kəsişmə xətti necə qurulur?

11. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvi ilə paralel xətlərlə verilən müstəvinin kəsişmə

xətti necə qurulur?

12. Paralel xətlərlə verilən müstəvi ilə izlərlə verilən müstəvinin kəsişmə xətti

necə qurulur?

13. Düz xətlə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtəsi necə qurulur?

14. Düz xətlə ixtiyarı vəziyyətdə verilən müstəvinin kəsişmə nöqtəsni təyin etmək

üçün neçə əməliyyat aparmaq lazımdır?

IV.TƏRSİMİ HƏNDƏSƏDƏ KOMPLEKS ÇERTYOJUN ÇEVRİLMƏ

ÜSULLARI

Tərsimi həndəsə məsələləri əsasən qrafiki üsulla həll olunur. Fiqur

elementləri proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə yerləşdikdə,

onun proyeksiyaları bəzi məsələlərin həlli üçün əlverişli olmur. Onları istənilən

şəkilə salmaq üçün, elementin və ya proyeksiya müstəvilərinin vəziyyəti

dəyişdirilir. Bu məqsədlə tərsimi həndəsədə iki əsas üsuldan: proyeksiya

müstəvilərinin əvəzləmə və fırlandırma üsulundan istifadə edilir.

Fırlandırma üsulu fırlandırma oxunun vəziyyətinə görə aşağıdakılardan

ibarətdir.

Proyeksiyalayıçı düz xətt ətrafında fırlandırma, səviyyə xətti ətrafında

fırlandırma (üstə salma), yastı paralel yerdəyişmə (oxsuz fırlandırma).

4.1. PROYEKSİYA MÜSTƏVİLƏRİNİN ƏVƏZLƏMƏ ÜSULU

Bu üsulda fiqur elementi tərpənməz saxlanılır, proyeksiya müstəviləri isə

istənilən vəziyyətdə yerləşdirilən, yeni müstəvilərlə əvəz edilir. Proyeksiyalama

ortoqonal olduğundan yeni proyeksiya müstəviləri bir-birinə perpendikulyar

olmalıdır.

70

Yeni proyeksiya müstəvilər sistemi, elementə nəzərən elə bir vəziyyətdə

yerləşdirilməlidir ki, həmin müstəvilər üzərində elementin proyeksiyaları verilmiş

məsələnin həlli üçün əlverişli şəkil alsın.

Bu üsulu ən sadə həndəsi nöqtə üzərində araşdıraq. Fərz edək ki, H-F

proyeksiya müstəvilər sistemində yerləşmiş A nöqtəsi verilmişdir (şək. 76,a). F

proyeksiya müstəvisinin H-a perpendikulyar F1 müstəvi ilə əvəz edirik, başqa

sözlə H–F müstəvilər sistemindən H-F1 müstəvilər sisteminə keçirik. Bu zaman

F1 –in horizontal izi, yeni sistemin x1 proyeksiya oxu olacaqdır.

Aldığımız sistemdə, verilmiş A nöqtəsinin yeni frontal proyeksiyası A"1

kompleks çertyojda aşağıdakı kimi qurulur: (şək. 76,b).

1) A nöqtəsinin Aı horizontal proyeksiyasından x1 oxuna perpendikulyar bir

düz xətt çəkilir;

2) hər iki sistemdə H proyeksiya müstəvisi tərpənməz qaldığından, nöqtənin

yeni frontal proyeksiyası A"1 –in x1 proyeksiya oxundan olan məsafəsinə bərabər

olacaqdır. Bu şərtə görə A"1 proyeksiyası qurulur.

a) b)

Şək. 76

Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulunun əsasını aşağıdakı şərtlər təşkil

edir;

1.Kompleks çertyojda nöqtənin yeni proyeksiyası, bu nöqtənin tərpənməz

qalan proyeksiyasından yeni proyeksiya oxuna çəkilən perpendikulyarın üzərində

yerləşir.

2. Nöqtənin yeni proyeksiyasının X1 proyeksiya oxundan olan məsafəsi, bu

nöqtənin əvvəlki proyeksiyasından X proyeksiya oxuna qədər olan məsafəsinə

bərabərdir.

71

Çertyoju çevirərək verilmiş həndəsi fiquru yeni proyeksiya müstəvisinə

nəzərən xüsusi vəziyyətə gətirilməsi hallarına bir neçə misallarda baxaq.

4.1.1. İxtiyarı düz xəttin səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməsi

Göstərilən halda H müstəvisini verilmiş düz xəttə paralel H1 müstəvisi ilə

əvəz edib, onun üzərində bu xəttin proyeksiyasını qurmaq lazımdır. Bunun üşün

H müstəvisi F müstəvisinə perpendikulyar və AB düz xətt parçasına paralel H1

müstəvisi ilə əvəz edək.

Məlumdur ki, düz xətt proyeksiyalayıcı müstəviyə paralel olarsa, həmin

müstəvinin yığıçı xassəyə malık proyeksiyası düz xətinu uyğun proyeksiyasına

paralel olar. Ona görə də H1 müstəvisinin frontal proyeksiyası düz xətt parçasının

frontal proyeksiyasına paralel çəkilir. Bu proyeksiya yeni proyeksiya oxu (X1)

olaçaqdır.

Verilmiş düz xətt parşası H1 müstəvisi üzərinə proyeksiyalandırılır. A və B

nöqtələrinin yeni 1'A və 1'B hotizontal proyeksiyaları, onların ''A və ''B

frontal proyeksiyalarından keçən və X1 proyeksiya oxuna perpendikulyar düz xətt

üzərində yerləşəçəkdir. F müstəvisi tərpənməz qaldığından A və B nöqtələrinin

bu müstəvidən olan məsafəsi də əvvəlki horizontal proyeksiyaların X oxundan

olan məsafəsinə bərabər olaçaqdır. 1'A və 1'B nöqtələrini birləşdirən 1 1' 'A B

düz xətt parçası verilmiş xəttin yeni proyeksiyası olaçaqdır.

H

FX

H

FX 1 1H F ,

11 XHF

BAXABF //// 11 ; 1 1 1A A B B X `

constZconstH ; AAZZ

1 ,

ВВ ZZ 1

" "

1 1A B AB

Şək. 77

72

H1 müstəvisi AB düz xətt parçasına paralel olduğundan bu düz xətt həmin

müstəvi üzərinə həqiqi boyunda proyeksiyalanır. Deməli ''1

BA proyeksiyası

verilən düz xətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şək. 77).

İxtiyarı AB düz xətt parçasını H müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirək.

4.1.2. Səviyyə düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə

Proyeksiyalayıcı düz xəttin bir proyeksiyası proyeksiya oxuna

perpendikulyar olduğundan, yeni sistemin x1 oxu düz xəttin horizontal

proyeksiyasına perpendikulyar çəkilir (şək. 78).

11

F FX X

H H ; 1F H ; 1 1F H X 1AB F ;

' '

1X AB `

constZconstH ; AAZZ

1 ,

ВВ ZZ 1 '' " "

1 1l A B

Şək. 78

Beləki, А və В nöqtələrinin, Z koordinatları bərabər olduğundan onların

yeni proyeksiyaları üst-üstə düşür. Bu nöqtəyə l düz xəttin bütün nöqtələri

proyeksiyalanır. Beləliklə yen sistemdə proyeksiyalayıcı düz xəttin çertyoju

alınır (şək. 78).

4.1.3. İxtiyarı düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə

gətirilməsi

Bu məsələni bir müstəvinin əvəz edilməs ilə həll edilməsi mümkün deyil.

İki müstəvinin ardıcıl olaraq, iki dafə əvəz edilməsilə həll edilməlidir: əvvəlcə х1

oxunu çəkməklə ixtiyarı düz xətti səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməli, sonra isə

73

х2 oxunu çəkməklə səviyyə xəttinin alınmış çertyojunu proyeksiyalayıcı düz xəttə

çevrilir (şək. 79).

Birinci əvəzləmə

11

F FX X

H H ; 1F H ; 1 1F H X

1AB F ; ' '

2X AB ; constZconstH ; AAZZ

1 ,

ВВ ZZ 1

İkinci əvəzləmə

1 11 2

1

F FX X

H H ; 1 1F H ; 1 1 2F H X ; 1F const y const ;

1 1;A A B By y y y ; '' " "

1 1l A B

Şək. 79

4.1.4. İxtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi vəziyyətinə

gətirilməsi

Müstəvilərin perpendikulyarlıq şərtinə əsasən, yeni proyeksiya müstəvisi

verilmiş müstəvi üzərində yerləşən hər hansı bir düz xəttə perpendikulyar

olmalıdır.

Yuxarıda göstərildiyi kimi, bir əvəzləmə ilə yalnız səviyyə xəttini

proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirmək mümkündür. Ona görə də, verilən

müstəvinin horizontalın çəkib, onun horizontal proyeksiyasına perpendikulyar

74

yeni х1 oxun çəkirik. F1 müstəvisində horizontal nöqtəyə, verilən müstəvi isə düz

xətt parşasına proyeksiyalanır` (şək. 80).

11

F FX X

H H 1F H ,

11 XHF ; 1 1 'F ABC X h

'

1 1 1 1"A A B B C C X ; constZconstH ;

AAZZ

1 , ВВ ZZ 1

" " "

1 1 1 1A B C ABC F

Şək. 80

Adətən çertyojun belə çevrilməsi ixtiyarı müstəvinin proyeksiya

müstəvilərindən birinənə nəzərən meyil bucağını müəyyən edir.

Təqdim edilən çertyojda (şək. 80) üçbüçaq müstəvisinin horizontal

proyeksiya müstəvisiilə əmələ gətirdiyi meyl φ° buçaqı təyin edilib.

4.1.5. Proyeksiyalayıcı müstəvinin səviyyə müstəvi vəziyyətinə

gətirilməsi

Səviyyə müstəvisinin bir proyeksiyası proyeksiya oxuna paralel

olduğundan, ona görə də yeni proyeksiya х1 oxu АВС üçbücağın horizontal

proyeksiyasına paralel çəkilir (şək. 81).

75

Yeni proyeksiya müstəviləri sistemində üçbucaq F1 mistəvisinə paralel

olduğundan həmin müstəvi üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanır.

11

F FX X

H H 1F H ,

11 XHF

1 1/ / / / ' ' 'F ABC X A B C

1 1 1A A B B X `

constZconstH ;

AAZZ

1 , ВВ ZZ 1

" " "

1 1 1 1/ /A B C ABC F

Şək. 81

4.1.6. İxtiyarı vəziyyətdə verilmiş müstəvinin səviyyə müstəvi

vəziyyətinə gətirilməsi

Bu məsələnin bir proyeksiya müstəvinin əvəz edilməsilə həlli mümkün deyil.

İki müstəvinin ardıcıl olaraq iki dafə əvəz edilməsilə həll edilməlidir: əvvəlcə х1

oxunu çəkməklə ixtiyarı mstəvini proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirilməli, sonra isə

х2 oxunu çəkməklə alınmış proyeksiyalayıcı müstəvinin çertyojunu səviyyə

müstəvi vəziyyətinə çevrmək lazımdır (şək. 82).

Belə cevrilmə müstəvi həndəsi fiqurların həqiqi öıçülərini təyin etmək üçün

istifadə edilir (bizim halda üçbucaq АВС ).

76

Birinci əvəzləmə

11

F FX X

H H 1F H ,

11 XHF

1 1 'F ABC X h ; 1 1 1A A B B X `

constZconstH ; AAZZ

1 , ;

ВВ ZZ 1

" " "

1 1 1 1A B C ABC F

İkinci əvəzləmə

1 11 2

1

F FX X

H H 1 1;H F 1 1 2H F X

' ' '

1 2 1 1 1/ / / / ;H ABC X ABC 1 ;F const y const ' ' '

1 1 1/ / / /ABC ABC

Şək. 82

4.1.7. Izləri ilə verilmiş ixtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi

vəziyyətinə gətirilməsi

Əgər müstəvi izlərlə verilərsə çertyoju elə çevirmək lazımdır ki, müstəvi

yeni proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olsun (şək. 83 ), onda yeni

proyeksiya oxunu х1 müstəvinin izlərindən birinə perpendikulyar çəkmək

77

lazımdır. F1 müstəvisi üzərində müstəvinin yeni izin təyin etmək üçün,

proyeksiyalayıcı müstəviyə mənsub olan bütün nöqtələrin proyeksiyaları onun

izinin üzərinə düşməsi şərtindən istifadə erilir.

α müstəvisi üzərində Α nöqtəsi götürüb, onun F1 müstəvisi üzərində А''

proyeksiyasın təyin edək .А'' nöqtəsindən müstəvinin yeni α1F izini çəkirik.

Müstəvinin yeni х1 proyeksiya oxu ilə əmələ gətirdiyi φ°, bucağı α

müstəvisinin horizontal proyeksiya müstəvisilə əmələ gətirdiyı bucaqa

bərabər.

11

F FX X

H H 1F H ,

11 XHF

1 1 ;HF X H const Z const ,

1 1 ;H xX "

1 1 1F xA ,

Şək. 83

4.2. Fırlandırma metodu

4.2.1.Proyeksiyalayıcı ox ətrafında fırlandırma

Bu metodda proyeкsiya müstəviləri toхunulmaz qalır. Həndəsi element isə

tərpənməz Х oхu ətrafında fırlandırılaraq хüsusi vəziyyətə gətirilir.

Tərpənməz ox i ətrafında (şək. 84) fırlanan elementin hər nöqtəsi fırlanma

oxuna perpendikulyar müastəvilər α üzərində yerdəyişir. Həmin müstəvilər

fırlanma müstəviləri adlanır. Nöqtə fırlanma müstəvisi α ilə fırlanma oxunun i

kəsişməsindən alınan O fırlanma mərkəzində yerləşən (fırlanma mərkəzi) m

çevrəsi üzrə yerdəyişir (fırlanma çevrəsi). Fırlanma nöqtəsindən fırlanma

mərkəzinə qədər olan məsafə fırlanma radiusu adlanır A (R=АО).

78

Tərpənməz ox ətrafında fırlanan zaman fiqurun elementlərinin bütün nöqtələri

eyni bucaq qədə dönəcək. Fırlanma oxunun nöqtələri isə tərpənməz qalacaq.

Qurma əməliyyatını sadələşdirmək məqsədi ilə, fırlanma oxu proyeksiya

müstəvilərinə nəzərən xüsusi vəziyyətdə götürülür.

Tutaq ki, A nöqtəsini H proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan i oxu

ətrafında müəyyən bucaq qədər fırlanmaq lazımdır (şək. 84).

Beləki, fırlanma oxu horizontal proyeksiya müstəvisinə pendikulyar

olduğundan, m fırlanma oxu horizontal proyeksiiya müstəvisinə m' çevrəsinə

frontal proyeksiya müstəvisinə isə, fırlama müstəvisinin izi aF üzərində yerləşən

m″ düz xət parçasına proyeksiyalanır.

А nöqtəsi А1 vəziyyətinə yerdəyişdikdə onun A′ horizontal pryeksiyası m′

çevrə üzrə yerdəyişərək A1′ vəziytin, frontal proyeksiyası isə А", fırlanma

müıstəvisinin izinin aF üzərində qalaraq А1" vəziyyətini alır.

Şək. 84-də АВ düz xətt parçası i oxu ətrafında fırlanaraq frontal proyeksiya

müstəvisinə paralel vəziyyət alır. B nöqtəsi fırlanma oxu üzərində yerləşdiyi üçün

fırlanma zamanı onun vəziyyəti dəyişməz qalır.

A nöqtəsi А1 və ya А2 vəziyyətinə keçir, başqa sözlə düz xətt parçası fırlanma

oxundan keçən frontal proyeksiya müstəvisinə parale β fırlanma müstəvisi

üzərində yerləşir.

1 1

1 1

1 1

;

; / /

;

/ ' ' / / ' '/

/ / / / / '' '' / / /

F F F

A B

i H i B const

A i H

Z const Z Z const

AB H A B H A B A B

A B F A B AB

Şəkil 84

79

Fırlandırmadan sonra düz xətt parçasının frontal proyeksiyası onun həqiqi

boyuna, α° bucağı isə düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisi ilə

əmələ gətirdiyi bucağa bərabərdir.

4.2.2. Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma

Bu üsulda ixtiyarı vəziyyətdə verilmiş ixtiyarı müstəvi onun horizontal və

ya frontal səviyyə xətti ətrafında fırladılaraq horizontal (horizontalı ətrafında

fırlandıqda)və ya frontal (frontalı ətrafında fırlandıqda) proyeksiya müstəvisinə

paralel vəziyyətə gətirilir.

Şək. 85-da: h — fırlanma oxu; α — fırlanma müstəvisi; О — fırlanma

mərkəzi; АО — fırlanma radiusudur.

Fırlanma α müstəvisi h horizontala perpendikulyar olub, horizontal

proyeksiyalayıcıdır. Onun αH horizontal izi horizontalın horizontal

proyeksiyasına h' perpendikulyardır. Nöqtə horizontal ətrafında fırlanaraq

yerdəyişmə apardıqda onun horizontal proyeksiyası fırlanma müstəvisinin

horizontal izi αH üzərində yerdəyişir.

АВ –nin h horizontal düz xətti ətrafında fırlandırılmasına baxaq.(şək. 85).

Fırlanmada düz xətt parçası horizontal düz xətdən keçən horizontal proyeksiya

müstəvisnə paralel β müstəvisi üzərinə salınır. β müstəvisi üstəsalma müstəvisi

adlanır.

Məsələnin həllində frlanma üsulunun bütün elementləri ardıcıl olaraq təyin

edilməlidir: α fırlanma müstəvisi, fırlanma mərkəzi О, fırlanma radiusu R.

Düz xəttin A son nöqtəsi fırlanma oxu üzərində olduğundan fırlanma zamanı onun

vəziyyəti dəyişməz qalır. Məsələnin həllində B nöqtəsinin yerdəyişməsini

müəyyən edək:

1. Fırlanma α müstəvisinin izi qurulur. Müstəvinin αH horizontal izi В

nöqtəsinin horizontal В' proyeksiyasından keçib, horizontalın horizontal

proyeksiyası h'perpendikulyardır.

2. Fırlanma mərkəzi О təyin edilir. Fırlanma mərkəzinin horizontal

proyeksiyası О' fırlanma müstəvisinin αH horizontal izi ilə fırlanma oxunun

horizontal proyeksiyasının h' kəsişmə nöqtəsindədir

3. Düzbucaqlı üçbucaq qurub fırlanma radiusu |R| təyin edilir.

4. Üstəsalmada В nöqtəsi β müstəvisi ilə fırlanma radiusu, həqiqi ölçüdə

proyeksiyalanması üçün, fırlanma radiusun |R| müstəvinin izi üzərində О'

nöqtəsindən, qeyd edib В nöqtəsinin yeni proyeksiyası В1' təyin edilir.

5. А' və В1' nöqtələri birləşdirərək АВ düz xətt parçasının horizontal

proyeksiyasın β müstəvisi üzərinə salınmış vəziyyətini alırıq. Düz xətt

parçası horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olduğundan həqiqi

hoyunda proyeksiyalanır.

Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma üsulunda izlərlə verilmiş müstəvi

üzərində yerləşən həndəsi elementlərin və fiqurların həqiqi ölçülərinin təyin

80

etmək üçün daha çox istifadə olunur. Bu zaman müstəvi izlərindən biri ətrafında

fırlandırılaraq uyğun proyeksiya müstəvisi üzərinə salınır, məhz buna görə də, bu

üsul üstəsalma üsulu adlanır.

Şək. 85

Müstəvi horizontal izi ətrafında fırlandıqda horizontal proyeksiya

müstəvisi üzərinə salınır (şək. 86).

Müstəvinin frontal izinə mənsub olan A nöqtəsi β müstəvi üzərində horizontal

iz ətrafında fırlanır.

Belə ki, frontal iz əvəlki və üstəsalınan halda həqiqi ölçüdə

proyeksiyaldığından, |ХαА"| radiuslu qövsü fırlanma müstəvisinin horizontal

izini А1' nöqtəsində kəsənə qədər çəkib A nöqtəsinin üstəsalınmış vəziyyətini

təyin etmək olar.

Müstəvinin izləri arasındakı buçaqın δ° həqiqi ölçüsünü təyinin etmək

üçün bu üsuldan istifadə edilir.ünü

Müstəvi fiquru poyeksiya müstəvisinə paralel düz xətt (səviyyə xətti)

ətrafında fırlandırma üsulundan istifadə edərək, bu müstəvi fiquru bir çevirmə

ilə proyeksiya müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirmək olar.

81

Şəк. 86

Belə üsulla şəkil 87-də verilmiş ABC üçbucağın həqiqi ölçüsü təyin edilib.

Qeyd etmək lazımdır ki, həndəsi elementlərin bir müstəviyə mənsub olduqu

halda, yalnız fırlandıma üsulundan istifadə edilr.

Şəк. 87

82

4.2.3. Yastı paralel yerdəyişmə

Məsələnin həllində həndəsi fiqurun bütün nöqtələri proyeksiya

müstəvilərindən birinə paralel müstəvilərin üzəri ilə hərəkət etdirilir.

AB düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisinə parallel A1B1

vəziyyətə gətirilməsinə baxaq (şək. 88).

A və B nöqtələri α və β paralel müstəvilər üzərində yeni A1 və B1 vəziyyətinə

yedəyişir. α və β — müstəvilərinin frontal proyeksiyalaylcı olduğundan A və A1

nöqtələrinin frontal proyeksiyaları A" və A1", α müstəvinin frontal izininə αF

mənsub, B və B1 nöqtələrinin B" və B1" frontal proyeksiyaları, isə β müstəvisinin

frontal izinə βF mənsub olur.

A'B' və A1'B1' düz xətt parçalarının horizontal proyeksiyaları

konkretdir.

Bunu isbat etmək üçün ABC və A1'B1'C1'düzbucaqlı üçbucaqlara baxaq.

Bu üçbucaqların AB və A1B1 hipetenuzları bərabər, başqa sözlə AB düz xətt

parçası A1B1 vəziyyətinə yerdəyişdikdə dəyişməz qalır, AC və A1C1 katetləri

bərabər olub, onların uzunluğu α və β paralel müstəvilər arasında qalan məsafəyə

bərabərdir.

Buna görə, ABC və A1B1C1 üçbucaqları konkurentdir və onların BC və B1C1

katetləri bərabərdir. Bununla əlaqədar olaraq, BC və B1C1 düz xətt parçaları

horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel β müstəvisi üzərində yerləşdiyi üçün

onların horizontal proyeksiyaları bərabərdir, yəni |A'B'| = |A1B1|.

Düz xətt parçası F frontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı-paralel

yerdəyişmədə onun uc nöqtəsinin horizontal proyeksiyası frontal proyeksiya

müstəvisinə paralel müstəvinin izi üzərində, frontal proyeksiyası isə F frontal

proyeksiya müstəvisi üzərində ölçüsü dəyişmədən yerdəyişir.

Düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı- paralel

yerdəyişmə prosesi şək. 88-də göstərilib.

Qurma əməliyyatı aşağıda göstərilən ardıcıllıqla yerinə yetirilir:

1) Düz xəttinin horizontal A'B' proyeksiyası yeni A1'B1' vəziyyətə

yerdəyişir.

2) A və B nöqtələrində horizontal və frontal rabitə xətləri çəkərək düz xətt

parçasının A"B" frontal proyeksiyası qurulur.

Düz xətt parçasının frontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı- paralel

yerdəyişmə prosesi şək. 89-da göstərilib.

Qurma əməliyyatı aşağıdakı ardıcıllığla aparılır:

1) Düz xəttinin frontal A"B" proyeksiyası yeni A1"B1".vəziyyətə yerdəyişir.

2) A və B nöqtələrindən horizontal və frontal rabitə xətləri çəkərək düz xətt

parçasının A'B' horizontal proyeksiyası qurulur.

Məlum olduğu kimi, proyeksiya müstəvilərinə nəzərən üixtiyarı vəziyyətdə

olan həndəsi fiqurun xüsusi vəziyyət alması üçün çertyojun çevrilməsi

(proyeksiya müstəvilərinə paralel və ya perpendikulyar) aparılır.

Yastı paralel yerdəyişmə üsulu ilə həndəsi fiqurların elə yerdəyişməsi adlanır

ki, burada həndəsi fiqurun bütün nöqtələri paralel müstəvilər üzərində yerdəyişir.

83

Yastı paralel yerdəyişmə, fırlandırma üsulunun bir halıdır. Bu üsulda

fürlanma oxu göstərilmir. Burada həndəsi element və fiqurların bütün nöqtələri

proyeksiya müstəvilərindən birinə papalel müstəvilərin üzəri ilə hərəkət edirlər.

Bu yerdəyişmə zamanı elementin həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki

proyeksiyası öz forma və ölçülərini dəyişmir. Bütün nöqtələrin digər

proyeksiyaları isə fırlanma müstəvilərinin proyeksiyaları boyunca, yəni oxa

paralel düz xəttlər boyunca hərəkət edəcək, elementin həmin proyeksiyası isə öz

ölcüsünü və formasını dəyişəcəkdir. Bu zaman verilmiş həndəsi element

proyeksiya müstəvilərinə nəzərən istənilən vəziyyətə gətirilənə qədər hərəkəti

davam etdirilir.

Şəк. 88 Şək. 89

İxtiyarı düz xətt parçasının F müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirək (şək. 90).

Yastı paralel yerdəyişmə üsulunda verilmiş düz xətt parçasının uc

nöqtələrinin H müstəvisindən olan məsafələri və ya düz xəttin H müstəvisi ilə

əmələ gətirdiyi bucaq sabit saxlanılır.

Verilir: FHAB / ; FBAAB //11

1 1 ?A B

11

// BAHAB ; XBAFAB //''//1

''''11

BABAConstZZBA

.

'' ''

1 1 1 1/ / / /A B F A B AB

Şək. 90

84

Düz xətt parçasının horizontal proyeksiyası öz ölçüsündə qalaçaqdır.

Düz xətt parçası F müstəvisinə paralel vəziyyət aldıqda, onun horizontal

proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel olar. Buna görə də, düz xətt parçasının

yeni horizontal proyeksiyasını, verilən horizontal proyeksiyaya bərabər və X

proyeksiya oxuna paralel olmaq şərti ilə istənilən yerdə qurulur.

Düz xətt parçasının uc nöqtələrinin frontal proyeksiyalarının X oxuna paralel

düz xətt üzrə hərəkət etdiyinə əsasən, onun yeni frontal proyeksiyasını qururuq.

Düz xəttin yeni frontal proyeksiyasının uzunluğu verilmiş düz xətt parçasının

həqiqi boyuna bərabər olacaq.

Əvvəlcə AB ixtiyar düz xətt parçasınının çertyoju frontal proyeksiya

müstəvisinə paralel A1B1 vəziyyətinə çevrilir. Bunun üçün yeni horizontal A1'B1'

proyeksiyası x proyeksiya oxuna paralel yerləşdirilir.

Bu halda düz xətt parçasının yeni A1"B1" frontal proyeksiyası onun həqiqi

boyuna bərabər, onun x oxu arasında qalan buçağ düz xətt parçasının horizontal

proyeksiya müstıvisilə əmələ gətirdiyi buçağa bərabırdir.

Sonra frontal düz xət parçasının A1B1 çertjoju horizontal proyeksyalayıcı

A2B2 düz xətt parçasına çevrilir. Bunun üçün yeni frontal A2"B2" proyeksiya x

oxuna perpendikulyar yerləçdirilir, onda düz xətt parçası horizontal proyeksiya

müstəvisinə A'2B2' nöqtəsinə proyeksiyalanır.

Məlum olduğu kimi, müstəvi fiqur paralel olduğu proyeksiya müstəvisinə

təhrif olunmadan proyeksiyalanır (şək. 91).

Verilmiş üçbucaq F müstəvisinə perpendikulyar vəziyyətə gətirilir. Bununla

əlaqədar olaraq ixtiyarı vəziyyətdə üçbucaq müstəvisi səviyyə müstəvisi

vəziyyətinə çevrilməsi ilə aparılır. Bu məsələ proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə

üsulunda olduğu kimi iki mərhələdə həll edilir: birinci mərhələdə ixtiyarı müstəvi

proyeksiyalayıcı mütəvi vəziyətinə gətirilir, ikinci mərhələdə isə proyeksiyalayıcı

müstəvi səviyyə müstəvisinyə çevrilir. Üçbucaq müstəvisi proyeksiyalayıcı

müstəvi vəziyyətini alması üçün onun, AD horizontalını çəkib və onun horizontal

proyeksiyasını elə yerləşdirilir ki, onun frontal proyeksiyalayıcı A1D1 düz xətti

olsun.

Bu zaman üucağın frontal proyeksiyası B1"C1" düz xətt şəkilində alınır və

bu düz xəttin x oxu ilə əmələ gətirdiyi bucaq φ üçbucaq müstəvisi ilə horizontal

proyeksiya müstəvisi arasında qalan buçağa bərabərdir.

Proyeksiyalayıçı müstəvinin səviyə müstəvisinə çevrilməsi üçün, onun

frontal proyeksiyasını x oxuna paralel yerləşdiririk.

Bu zaman üçbucaq horizontal proyeksiya müstəvisinə həqiqi ölçüsündə

proyeksiyalanır.

85

2 2 2 2 2 2

//

1 1 1 1 1

' ' ' ' ' ' '' '' ''

1 1 1 1 1 1 1 1 1

// '' '' ''

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

'' '' '' '' '' '

2 2 2 1 1 1

/ ; / / ; ?

. ;

;

. ; / / / /

H

F

ABC H F ABC A B C H A B C

I ABC A B C F h F

Z const A B C A BC A B C A B C

II A B C A B C A B C H A B C X

Y const A B C A B C

'

' ' '

2 2 2 2 2 2/ / / / / /A B C H A B C ABC

Şəк. 91

Yuxarıda təsvir olunanlara əsasən aşağıdakı nəticələri qeyd etmək olar:

Metriki məsələlərin həllində, həndəsi fiqurların həqiqi ölçülərinin və onların

proyeksiya müstəvisinə nəzərən meyl bucaqının təyinində yastı-paralel

yerdəyişmə üsulundan istifadə etmək əlverişlidir.


1. .Həqiqi ölçüləri təyin etmək üçün tərsimi həndəsədə neçə metoddan istifadə

edirlər?

2. .Proyeksiya müstəvilərinin əvəzlənmə metodu nə deməkdir7

3. Proyeksiya müstəvilərinin bir dəfə əvəzlənməsi nə deməkdir7

4. Proyeksiya müstəvilərinin iki dəfə əvəzlənməsi nə deməkdir7

86

5. Bir sistemdən başqa bir sistemə keçdikdə, ikinci sistemin proyeksiya oxu

nədən ibarət olur7

6. Düz xətt parçasının həqiqi boyunu əvəzlənmə metodu vasitəsi ilə tapmaq üçün

nə etmək lazımdır?

7. Yastı həndəsi fiqurların həqiqi ölçülərini tapmaq üçün nə vaxt bir dəfə və nə

vaxt iki dəfə əvəzlənmə metodundan istifadə etmək lazım gəlir?

8. Proyeksiya müstəvilərinin əvəzlənmə metodu ilə fırlandırma metodunda nə

fərq vardır?

9. Nöqtənin fırlanma radiusu necə tapılır?

10. Nöqtə horizontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan ox ətrafında

fırlandırıldıqda, onun proyeksiyaları necə hərəkət edir?

11. Nöqtə frontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan ox ətrafında

fırlandırıldıqda, onun proyeksiyaları necə hərəkət edir?

12. Düz xətt parçasının həqiqi boyunu tapmaq üçün onu necə fırlandırmaq

lazımdır?

13. Düz xəttin horizontal və frontal proyeksiya müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi

bucaqları fırlandırma metodu vasitəsi ilə necə tapmaq olar?

14. Nöqtəni horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan ox ətrafında

fırlandıraraq, həmin oxdan keçən H-a paralel müstəvi üzərinə gətirmək üçün


15. Nöqtəni frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan ox ətrafında

fırlandıraraq, həmin oxdan keçən F-ə paralel müstəvi üzərinə gətirmək üçün


16. Yastı həndəsi fiquru horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan vəziyyətə

gətirmək üçün nə etmək lazımdır?

17. Yastı həndəsi fiquru frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan vəziyyətə

gətirmək üçün nə etmək lazımdır?

18. İzlərlə verilən hər hansı bir müstəvi ilə H və F müstəvilərinin təşkil etdiyi

bucaqları təyin etmək üçün nə etmək lazımdır?

19. Kəsişən xətlərlə verilən hər hansı bir müstəvi ilə H və F müstəvilərinin təşkil

etdiyi bucaqları təyin etmək üçün nə etmək lazımdır?

20. Proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmə metodu nə düməkdir?

21. Düz xətt parçasının həqiqi boyu, horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel

yerdəyişmə metodu vasitəsi ilə necə tapılır?

22. Horizontal proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmədə elementin

horizontal proyeksiyası nə üçün dəyişmir?

23. Düz xətt parçasının həqiqi boyu, frontal proyeksiya müstəvisinə paralel


87

24. Frontal proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmədə elementin frontal

proyeksiyası nə üçün dəyişmir?

25. İki dəfə yerdəyişmədən nə vaxt istifadə edilir?

26. İxtiyari vəziyyətdə verilən yastı həndəsi fiqurun həqiqi ölçüsü paralel


V. METRİK MƏSƏLƏLƏR

Həndəsi elementlər arasındakı məsafələri və bucaqları təyin edən məsələlər

metrik məsələlər adlanır.

Bütün metrik məsələlərin həlli aşağıda göstərilən iki məsələnin həllinə

gətirilməklə təyin edilir.

1.İki nöqtə və ya bir nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafənin tapılmas.

2. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın təyin olunması.

5. 1. Məsafələrin tapılması

Bütün məsələlərin həlli iki məsələnin həllinə gətirilməklə təyin edilir.

1.İki nöqtə və ya bir nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafənin tapılması.

2. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması.

Məsafənin tapılması haqqında olan metrik məsələləri aşağıdakı qruplara

ayırmaq olar.

1. İki nöqtə arasındakı məsafə;

2. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı mısafə;

3. İki paralel düz xət arasındakı mısafə;

4. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə;

5. İki paralel müstəvi arasındakı məsafə;

6. Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə.

5.1.1. İki nöqtə arasındakı məsafə

Bu məsafə həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt parçasının həqiqi boyuna

bərabərdir.

5.1.2. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafə

Bu məsafə nöqtədən düz xəttə endirilən perpendikulyarın həqiqi boyuna

bərəbərdir. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafəni təyin etmək üçün nöqtədən düz

xəttə perpendikulyar düz xətt çəkilir və həmin perpendikulyarla düz xəttin

kəsişmə nöqtəsi qurulur. Sonra verilən nöqtə ilə kəsişmə nöqtəsi arasındakı

məsafə təyin edilir.

Tərsimi həndəsədə isə nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafə aşağıda gösrərilən

iki üsul təyin olunur.

88

Birinci üsul. Burada məsələ aşağıdakı ardıcıllıqla həll olunur:

1) nöqtədən düz xəttə perpendikulyar bir müstəvi keçirilir;

2) müstəvi ilə düz xəttin kəsişmə nöqtəsi təyin edilir;

3) tapılmış kəsişmə nöqtəsi ilə verilmiş nöqtə birləşdirilir və həmin düz xətt

parçasının həqiqi boyu təyin edilir.

İkinci üsul. Burada nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsfəni tapmaq üçün

verilmiş düz xətlə nöqtəyə bir müstəvi kimi baxılır. Kompleks çertyojun çevrilmə

üsullarınının birindən istifadə edərək, bu müstəvini proyeksiyalayıcı müstəvi

şəkilinə elə gətirilməlidir ki, verilən düz xətt proyeksiya müstəvilərindən birinə

perpendikulyar olsun. Məlumdur ki, bu zaman düz xəttin yeni proyeksiyası nöqtə

alınacaq. Verilmiş nöqtənin yeni proyeksiyası ilə alınan nöqtə arasındakı məsafə

istənilən məsafə olacaqdır. İndi də aşağıdakı məsələləri araşdıraq.

Şək. 92-94 K nöqtəsi ilə b düz xətti arasındakı məsafə birinci üsul ilə təyin

edilmişdir.

Şək. 92-də АK düz xətt parçası A nöqtəsində b düz xəttinə endirilən

perpendikulyardır. Horizontal H proyeksiya müstəvisinə АK düz parçası həqiqi

boyunda poyeksiyalanır.

, ?

; '' " '';

/ / ' ' ;

, ' '

A b AK

b H AK b A K b

AK H A K AK

A b AK A K

0

0

, ?

/ / ; ' ' ';

/ ; ' ' ' ;

, ' '

A b AK

b H AK b A K b

AK H F A K K K

A b AK A K

Şək. 92 Şək. 93

Şək. 93-də АK və b düz xətti arasındakı düz bucaq H müstəvisinə təhrif

olunmadan proyeksiyalanır (düz bucaqın proyeksiyalanmasının xüsusi halı

haqında teoremə əsasən). AK perpendikulyarı hər iki proyeksiya müstəvisinə

təhrif olunaraq proyeksiyalanır.

Şək. 94-də A nöqtəsindən ixtiyari vəziyətli b düz xəttinə perpendikulyar

çəkmək üçün, əvvəlcə A nöqtəsindən b düz xəttinə perpendikulyar α müstəvisi

keçirilir. Bu müstəvi h və f baş хətlərlə qurulur. Müstəvinin verilmiş b düz хəttinə

89

perpendiкulyar olması üçün onun horizontalının horizontal proyeкsiyası h' düz

хəttin b' proyeкsiyasına, frontalının frontal proyeкsiyası f" isə verilmiş düz хəttin

frontal proyeкsiyasına b" perpendiкulyar çəкilir. Verilmiş b düz хətti ilə

qurduğumuz α müstəvisinin кəsişmə nöqtəsi tapılır. Bunun üçün düz хətlə

müstəvinin кəsişmə nöqtəsinin təyin olunması ardıcıllıqından istifadə edilir.

Verilir: A /b H F

, ?A b AK

I. ;A'

( )''

h bh f b

f b

II. ?b K

1) b ; 'HH b ; ;

2)' '

12'' ''

h

f

; 3)

12 ;

,

b K

A b AK

Şək. 94

1) Verilən b düz хəttindən horizontal γ (və ya frontal) proyeкsiyalayıcı

müstəvisi кeçirilir. Bu düz хəttin b' horizontal proyeкsiyası γ müstəvisinin yığıcı

хassəyə maliк γH horizontal proyeкsiyası üzərinə düşür;

2). γ müstəvisi ilə α müstəvisinin кəsişmə düz хətti qurulur. Həmin düz

хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Bu nöqtələr f və h хətlərinin γ müstəvisi ilə

90

кəsişməsindən alınan 1 və 2 nöqtələridir. Bu nöqtələrdən кeçən 12 düz хətti γ və

α müstəvilərinin кəsişmə хətti olacaqdır.

3). Qurduğumuz 12 düz хətti ilə verilən b хəttinin K кəsişmə nöqtəsi tapılır.

Beləliкlə, K nöqtəsi verilmiş b düz хətti ilə α müstəvisinin кəsişmə nöqtəsi

olacaqdır.

Tapılan K nöqtəsi ilə verilən A nöqtəsi arasındaкı məsafə A nöqtəsi ilə b düz хətti

arasındaкı məsafədir. Bu məsafənin həqiqi boyu təyin edilir.

II üsul. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafəni tapmaq üçün onlara bir

müstəvi кimi baхılır və tərsimi həndəsədə istifadə olunan metodlardan birinin

кöməyi ilə bu müstəvi belə bir proyeкsiyalayıcı müstəvi şəкlinə salınır кi, verilən

düz хətt proyeкsiya müstəvilərindən birinə perpendiкulyar olsun. Onda verilən

düz хəttin yeni proyeкsiyası bir nöqtə şəklində alınacaq. Bu nöqtə ilə verilən

nöqtənin eyni adlı proyeкsiyası arasındaкı məsafə nöqtə ilə düz хətt arasındaкı

məsafə olacaqdır.

Şəк. 95-də A nöqtəsi ilə iхtiyari BC düz хətti arasındaкı məsafənin tapılması

proyeкsiya müstəvilərinin əvəzetmə metodu ilə göstərilmişdir.

Şəк. 95

Bunun üçün H–F proyeкsiya müstəvilər sistemini H – F1 müstəvilər sistemi

ilə əvəz ediriк və bu yeni sistemdə BC düz хəttinin və A nöqtəsinin frontal

proyeкsiyalarının vəziyyətlərini müəyyən ediriк - B1"C1" düz хətti və A1"

nöqtəsi B1"C1" хətti verilən BC хəttinin həqiqi ölçüısünə bərabərdir.

91

A1" nöqtəsindən B1"C1" хəttinə perpendiкulyar хətt çəкiriк. Bu

perpendiкulyarla B1"C1" хəttin кəsişmə nöqtəsini (M1") qeyd ediriк. Tapılan M

nöqtəsinin M' və M" proyeкsiyalarını müəyyən edirik. A nöqtəsi ilə M nöqtəsi

arasındaкı məsafə nöqtə ilə BC düz хətti arasındaкı məsafə olacaqdır.

Iкinci əvəzetmədə N – F1 sistemini N2 – F1 sistemilə əvəz ediriк və düz хətlə

nöqtə arasındaкı məsafənin həqiqi ölçüsünü tapırıq – A1'M1'.

5.1.3. Iкi paralel düz хətt arasındaкı məsafə

Bir-birinə paralel iki müstıvi arasındakı məsafə, bu müstəvilər arasında qalan

və onlara perpendikulyar olan düz xətt parçasının həqiqi boyuna bərabərdir.

İki paralel düz xətt arasındakı məsafəni aşağıdakı iki üsul ilə təyin etmək

olar.

Birinci üsul. Verilmiş iкi paralel хətlərdən birinin üzərində bir nöqtə

götürülür. Bu nöqtə ilə iкinci düz хətt arasındaкı məsafə tapılır. Deməli, paralel

düz хətlər arasındaкı məsafənin tapılması nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafənin

təyin edilməsinə çevrilir.

İkinci üsul. Verilən paralel düz xətlər proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirilir.

Bu məqsədlə tərsimi həndəsədə tətbiq edilən üsuldan istifadə edilir.Bu zaman hər

bir xəttin proyeksiyalarından biri nöqtə şəkilində alınacaq. Bu nöqtələr arasındakı

məsafə axtarılan məsafə olacaqdır.

İki paralel düz xətt arasındakı məsafənin təyin edilməsi qaydasını nəzərdən

keçirək. Məsələ, ikiqat əvəzləmə metodu ilə həll olunur. Birinci əvəzləmə zamanı

yeni proyeksiya müstəvisi xətlərə paralel, ikinci əvəzləmədə isə perpendikulyar

götürülür (şək 96).

Birinci əvəzləmə. F müstəvisinə perpendikulyar və verilən xətlərə paralel

olan F1 müstəvisinin yığıcı xassəyə malik horizontal izi X1 yeni proyeksiya oxu

olacaqdır. X1 oxu verilən xətlərin horizontal proyeksiyalarına paralel çəkilir.

Əvəzləmə zamanı H müstəvisi tərpənməz qaldığından hər iki proyeksiya

müstəviləri sistemində verilən xətlərin istənilən nöqtəsinin H-dan olan məsafəsi

dəyişməyəcək. Göstərilən şərtə əsasən yeni frontal proyeksiyalar [A1"B1"] və

[C1"D1"] qurulur

Ikinci əvəzləmə. H müstəvisi F1 müstəvisinə və xətlərlə verilmiş müstəviyə

perpendikulyar olan H1 müstəvisi ilə əvəz edilir. Bu müstəvilərin H1-F1

sisteminin X2 yeni proyeksiya oxu olacaq. İkinci əvəzləmə zamını F1 müstəvisi

tərpənməz qaldığından verilən xətlərin istənilən nöqtəsinin F1 müstəvisindən olan

məsafəsi dəyicməyəcək (Y1=const). Hər bir xəttin H1 müstəvisi üzərindəki

proyeksiyası nöqtə olacaqdır.

Bu nöqtələr arasındakı məsafə isə verilən iki paralel AB və CD düz xətləri

arasındakı məsafəyə bərabər olacaq.

92

11 1 1 1 1 1

1 11 1 1 2 1 1 1 1 2

1

1 2 1 1 1 1

1 1

1 1 1

; ; ; / /( / / ) / /( ' '/ / ' ');

;

( ' '/ / ' ') / / ( / / ) / / ; ; ; ;

( / / ) ( '' ''/ / '' '');

; ;

( / / ) ' '

F FX X F H F H X F AB CD X A B C D

H H

H const Z const

F FA B C D X AB CD F X X H F H F X

H H

H AB CD X A B C D

F const y const

AB CD H A B

1 1 1 1 1 1' '; / ' ', ' ' / / , /C D A B C D AB CD

Şəк. 96

5.1.4. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə

Nöqtədə ilə müstəvi arasındakı məsafə nöqtədən düz хəttə endirilən

perpendiкulyarın uzunluğuna bərabərdir. Bu məsələni aşağıdakı iki üsul

ilə həll etmək olar.

Birinci üsul. Məsələnin həlli üç mərhələdə aparılır:

1) nöqtədən verilən müstəviyə perpendiкulyar düz xətt çəkilir;

2) həmin perpendikulyar düz xətt ilə verilən müstəvinin kəsişmə

nöqtəsi təyin edilir;

3) taplan kəsişmə nöqtəsi ilə verilən nöqtə arasındakı məsafənin həqiqi

boyu təyin edilir.

İkinci üsul. Bu üsulda tərsimi həndəsədə tətbiq olunan üsullardan

birinin köməyi ilə verilən ixtiyarı müstəvi proyeksiyalayıcı müstəvi

93

vəziyyətinə gətirilir.

Şək. 97-də verilmiş α müstəvisi horizontal proyeksiya müstəvisinə

perpendikulyardır. A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan məsafə verilən

nöqtənin A΄ horizontal proyeksiyası ilə müstəvinin yığıcı xassəyə malik

horizontal αH izi arasındakı qalan А΄К΄ məsafəsinə bərabər olacaq.

A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan АК düz xətt parçası H1

proyeksiya müstəvisinə paraleldir və onun üzərinə həqiqi boyunda

proyeksiyalanır.

Şək. 98-də verilmiş α müstəvisi proyeksiya müstəvilərinə nəzərən

ixtiyarı vəziyyətdədir. Ona görə də, əvəlcə proyeksiya müstəvilərinin

əvəzləmə metodu ilə çertyoju elə çevirmək lazımdır ki, müstəvi yeni F1

proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olsun.

/ , / ?;

' '

'' ''

' ;

'' ''/ '/ /

' '

/ , / ' '

H

F

H

A AK

A KAK

A K

H K

A K XAK H

A K AK

A A K

1

11

1 1

1 1

1 1

/ , / ?;

; ;

'' ''

/ , / '' ''

H

F

A AK

F FX X

H H

F H X a

A K a

A A K

Şək. 97 Şək. 98

D nöqtəsindən iхtiyari vəziyyətdə yerləşmiş ABC üçbucağına, yəni α

müstəvisinə qədər olan məsafəni təyin edəк (şəк. 99).

94

Verilmiş D nöqtəsindən – α(∆ABS) müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt

çəкilir. Bu zaman düz хəttin müstəviyə perpendiкulyarlıq şərtindən istifadə

olunur. Şərtə görə, düz хətt müstəviyə perpendiкulyar olarsa, həmin хəttin

horizontal proyeкsiyası müstəvinin horizontalının horizontal proyeкsiyasına,

хəttin frontal proyeкsiyası isə müstəvinin frontalınnın frontal proyeкsiyasına

perpendiкulyar olmalıdır. Ona görə də, birinci növbədə müstəvinin baş хətlərini

qururuq: h', h" – horizontalın proyeкsiyaları; f', f" – frontalın proyeкsiyaları. D'

nöqtəsindən h' хəttinə və D" nöqtəsindən f" хəttinə perpendiкulyar хətlər

çəкiriк. Bu хətlər D nöqtəsindən α (∆ABC) müstəvisinə çəкilən perpendiкulyar

хəttin horizontal və frontal proyeкsiyalarıdır.

Verilir: FHABC / ?, ED

1)

fDE

hDEED

''

2) ?CCD

a) DCCD

b) 34

d) EDE 12 EDD ,

Şəк. 99

95

Çəкdiyimiz perpendiкulyarla α(∆ABC) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsini

tapmaq üçün perpendiкulyardan кöməкçi frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi

кeçiririк. β müstəvisinin yığıcı хassəyə maliк βF frontal izi perpendiкulyar düz

хəttin frontal proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür.

Кöməкçi β müstəvisi ilə verilən α müstəvisinin кəsişmə düz хəttini

qururuq. Bu хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Həmin nöqtələr müstəvisi ilə

ABC üçbucağının BC tərəfinin кəsişmə nöqtəsi (3', 3") və AC tərəfinin кəsişmə

nöqtəsi (4', 4") olacaq. Bu nöqtələrdən кeçən 34 (3'4', 3"4") düz хətti və

müstəvilərinin кəsişmə düz хəttidir (şəк. 99).

Qurduğumuz 34 düz хətti perpendiкulyar хətt ilə E(E',E") nöqtəsində

кəsişir. Bu nöqtə həm çəкdiyimiz perpendiкulüar düz хəttinə, həm də (∆ABC)

müstəvisinə mənsub olduğundan onların кəsişmə nöqtəsidir.

Deməli, D nöqtəsindən α(∆ABC) müstəvisinə qədər olan məsafə DE

(D'E', D"E") хətti olacaq.

A nöqtəsindən izlərlə verilmiş α iхtiyari müstəvisinə qədər olan məsafəni

təyin edəк (şəк. 100).

Birinci mərhələ. Verilmiş A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendiкulyar

AB düz хətti çəкilir. Bu zaman düz хəttin izlərlə verilən müstəviyə

perpendiкulyarlıq şərtindən istifadə olunur. Şərtə görə, düz хətt müstəviyə

perpendiкulyar olarsa, həmin хəttin horizontal proyeкsiyası müstəvinin horizontal

izinə, хəttin frontal proyeкsiyası isə müstəvinin frontal izinə perpendiкulyar

olmalıdır.

Verilir: /H Fa a H F , ?A B

1)'

''

H

F

A B aAB

A B a

2) ?AB B a) ; " "F AB A B

b) ; 12 d) ; 12AB B ; , A AB

Şəк. 100

96

Ona görə də, verilən nöqtənin A' horizontal proyeksiyasından müstəvinin

horizontal αH izinə və nöqtənin A" frontal proyeksiyasından müstəvinin frontal

αF izinə perpendiкulyar düz хətt çəкilir. Alınan AB düz xətti tələb olunan

perpendikulyar düz xətt olacaq.

İkinci mərhələ. Qurulan perperdikulyarın oturacağı, yəni AB düz xəttinin

α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi təyin edilir. Məlum olduğu kimi bunun üçün 3

əməliyyat aparılır

1) AB düz xəttindən frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi кeçiririк. β

müstəvisinin yığıcı хassəyə maliк βF frontal izi düz хəttin A"B" frontal

proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür.

2) köməкçi β müstəvisi ilə verilən α müstəvisinin кəsişmə düz хətti qurulur.

Bu хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Həmin nöqtələr α və müstəvilərinin

eyni adlı izlərinin кəsişmə nöqtələridir - (1',1") və (2', 2"). Bu nöqtələrdən кeçən

12 (1'2', 1"2") düz хətti α və müstəvilərinin кəsişmə düz хəttidir.

3)AB düz xətti ilə qurulan 12 düz хəttinin B (B',B") kəsişmə nöqtəsi təyin

edilir. Bu nöqtə, eyni zamanda həm AB və həm də müstəvisinə mənsub

olduğundan, AB düz xətti ilə müstəvisinin кəsişmə nöqtəsidir.

Deməli, A nöqtəsindən izlərlə verilmiş müstəvisinə qədər olan məsafə AB

(A'B', A"B") хətti olacaq.

Üçüncü mərhələ. AB düz xətt parçasının hıqiqi boyu təyin edilir.

Baxılan məsələdə fırlandırma üsulu ilə AB düz xətt parçasının həqiqi boyu

təyin edlmişdir.

5.1.5. İki papalel müstıvi arasındakı məsafə

Bir-birinə paralel iki müstıvi arasındakı məsafə, bu müstəvilər arasında qalan

və onlara perpendikulyar olan düz xətt parçasının həqiqi boyuna bərabərdir. Bu

məsələ. nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması məsələsinə gətirilərək

həll edilir.Yəni müstəvilərdən birinin üzərində bir nöqtə ğötürülür və məsələ,

nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması məsələsinə çevrilir (şək. 101).

(Bax məsələ 5.1.4)

Verilən iki paralel mütəvilər arasındakı məsafə aşağıdakı kimi tapılır.

1) α müstəvisi üzərində götürülmüş A nöqtəsindən β müstəvisinə

perpendikulyar AC düz xətti çəkilir;

2) AC düz xətti ilə β müstəvisinin B kəsişmə nöqtəsi qurulur;

3) AB düz xətt parçasının həqiqi boyu təyin edilir.

Verilmiş paralel müstəvilər arasındakı məsafənin tapılması məsələsini

tərsimi həndəsədə işlədilən üsulların köməyi ilə daha sadə yolla həll etmək olar.

Bu məqsədlə paralel müstəvilər proyeksiya müsəvilərindən birinə perpendikulyar

vəziyyətə gətirilməlidir.

Şək. 102-də iki paralel horizontal proyeksiyalayıcı müstəvilər arasındakı

məsafənin təyini göstərilmişdir. Paralel proyeksiyalayıcı müstəvilər arasındakı

97

məsafə həmin müstəvilərin yığıcı xassəyə malik izləri arasındakı məsafəyə

bərabərdir.

; ;A AC

AC B

AB l

'

; ;

' ,

A AC

AC B

A B l

Şək. 101 Şək. 102

İzlərlə verilmiş iki paralel müstəvilər arasındakı məsafəni təyin edək (şək.

103). Verilmiş α və β müstəvilərini horizontal proyeksiya müstəsinə

perpendikulyar vəziyyətə gətiririk. Bu məqsədlə verilmiş paralel müstəviləri F

müstəvisinə perpedikulyar ox ətrafında fırladırıq. i fırlanma oxu H müstəvisi

üzərində götürülür.

Müstəvini fırlanma zamanı onun βH horizontal izi ilə i fırlanma oxunun C

kəsişmə nöqtəsi tərpənməz qalacaq. Deməli, axtarılan müstəvinin βH yeni

horizontal izi C nöqtəsindən keçəcək.

Verilmiş β müstəvisinin βF frontal izi isə i oxu ətrafında fırlandırılır. Bu izin

O nöqtəsindən olan məsafəsi sabit qalacaqdır. Ona görədə O nöqtəsindən βF

perpendikulyar düz xətt endirilir.

Aldığımız A nöqtəsi i oxu ətrafında fırlandırılaraq X oxu üzərinə salınır.

Yeni β1 müstəvisinin β1F frontal izi ilə qurduğumuz A1 nöqtəsindən X oxuna

perpendikulyar olmaq şərti ilə çəkilir. A1 nöqtəsi β1 müstəvisinin horizontal və

frontal izlərinin β1x kəsişmə nöqtəsidir.

98

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

; ;

; ;

; ; ;

;

; ;

/ / ; ; ;

, ,

F F

X H X

F

X F F X

H H H F

H H

i i H

OA OA R

A x A C

X H

B X B X

X H

l

Şək. 103

Eyni qayda ilə α1 müstəvisinin α1F horizontal izi isə α1x nöqtəsindən keçmək

şərti ilə β1H izləri arasındakı l məsafəsi verilmiş paralel müstəvilər arasındakı

məsafəyə bərabər olacaqdır.

5.1.6. İki çarpaz düz xətlər arasındakı mısafə

İki çarpaz düz xətdən iki paralel müstəvi keçirmək olduğundan, onlar

arasındakı məsafənin təyini paralel müstıvilər arasındakı məsafənin təyini

məsələsinə çevrilir. Bu məsafəni təyin etmək üçün düz xətlərin birindən digərinə

paralel müstəvi keçirilir və çarpaz xəttin digərinin üzərində bir nöqtə götürülür.

Nöqtə ilə qurulan müstəvi arasındakı məsafə təyin edilir.

Verilmiş çarpaz düz xətlərdən biri proyeksiya müstəvilərindən birinə

perpendikulyar olarsa, bu düz xəttin həmin müstəvi üzərindəki proyeksiyası nöqtə

alınacaq ' 'A B . Aldığımız nöqtə ilə ikinci düz xəttin 'b uyğun proyeksiyası

arasındakı ' 'A B məsafəsi verilmiş iki çarpaz düz xətt arasındakı məsafəyə

bərabər olacaq (şək. 104). .

99

/ , / / ' ', ' / ' 'a b A a b A B

Şək. 104

İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafəni təyin edək (şək. 105).

Məsələnin həlli zamanı AB düz xəttini horizontal proyeksiya müstəvisinə

paralel vəziyyətə gətirmək üçün ikiqat əvəzləmə üsulundan istifadə edirik.

Birinci əvəzləmə. Bu əvəzləmə zamanı yeni F1 proyeksiya müstəvisi AB düz

xəttinə paralel götürülür. Başqa sözlə, H−F sistemındən H−F1 proyeksiya

müstəviləri sisteminə keçirik. F1 müstəvisi H müstəvisinə perpendikulyar çəkilir.

F1 müstəvisinin horizontal izi X1 proyeksiya oxu olacaqdır. Hər iki sistemdə H

müstəvisi tərpənməz saxlanıldığı üçün verilən xətlərin hər bir nöqtəsinin H-dan

olan məsafələri bu sistemdə dəyişməyəcəkdir. Məhz bu şərtə əsasən, verilən

çarpaz düz xətlərin (A"1B"1) və (C"1D"1) yeni frontal proyeksiyaları qurulur

(şək.105).

İkinci əvəzləmə. H müstəvisini F1-ə perpendikulyar H1 müstəvi ilə əvəz

etməklə H−F1 sistemindən H1−F1 proyeksiya müstəviləri sisteminə keçmiş

oluruq. H1 müstəvisi F1 müstəvisinə və AB düz xəttinə perpendikulyar çəkilir.

H1müstəvisinin frontal izi yeni X2 proyeksiya oxu olacaqdır. İkinci əvəzləmə

zamanı F1 müstəvisi dəyişməz saxlanıldığından verilmiş xətləri F1 müstəvisindən

olan məsafələri də axırıncı iki sistemdə dəyişməyəcək. Bu şərtə əsasən çarpaz

xətlərin (A'B') və (C'D') yeni horizontal proyeksiyaları qurulur.

AB düz xətti H müstəvisinə perpendikulyar olduğundan, onun bu müstəvi

üzərindəki (A'B') proyeksiyası bir nöqtə şəklində alınacaqdır. Həmin nöqtədən

(C1'D1') proyeksiyasına qədər olan l məsafəsi verilən iki çarpaz xətlər arasındakı

məsafəyə bərabər olacaqdır (şək. 105).

100

1 11 2 1 1 2

1

'' ''

1 2 1 1

1 1

' '

1 1 1

' ' ' '

1 1 1 1

;

( ) ( );

( )

/ , / / , /

F FX X H F X

H H

H AB X A B

F const X const

AB H A B

A B C D AB CD l

Şək. 105


1. Metrik məsələlər dedikdə nə nəzərdə tutulur?

2. Metrik məsələlər hansı qruplara bölünür?

3. Həndəsi elementlər arasındakı məsafənin təyini ilə bağlı məsələlər

qrupuna hansı məsələlər aiddir?

4. Yastı fiqur və müstəvinin bir hissəsinin əsil ölçüsünün tapılması ilə

bağlı məsələlər hansılardır?

5. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır

101

(alqoritmi deyin)?

6. Nöqtə və yastı həndəsi fiqur şəklində verilmiş müstəvi arasındakı

məsafəni taparkən niyə perpendikulyarı bu müstəvinin məhz baş

xətlərinə endirmək lazımdır?

7. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır

(alqoritmi deyin)?

8. İki paralel düz xətt arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır

(alqoritmi deyin)?

5.2. BUCAQLARIN TƏYİN OLUNMASI

Həndəsi elementlər arasındakı bucaqların çoxluğunu aşağıdakı əsas qruplara

bölmək olar:

1.İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq;

2.İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq;

3.Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq;

4.İki müstəvi arasındakı bucaq.

Bu məsələlərin həlli iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın tapılmasına

gətirib çıxarır. Ona görədə, əvvəlcə iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın təyin

olunması məsələsi öyrənilməlidir.

5.2.1. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq

Kəsişən iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdan ötrü, bu düz xətlərə bir

müstəvi kimi baxılır. Sonra isə, bu düz xətlər proyeksiya müstəvilərindən birinə

paralel vəziyyətə gətirilir. Belə olduqda, bu düz xətlər arasındakı bucaq həmin

proyeksiya müstəvisi üzərində həqiqi ölçüdə proyeksiyalanacaqdır.

Aydındır ki, göstərilən məsələnin həlli tərsimi həndəsədə işlədilən üsullardan

birinin köməyi ilə aparılmalıdır. Bu məsələni, kəsişən düz xətlərlə verilən

müstəvinin baş xətlərindən biri ətrafında fırlandırmaqla daha sadə yolla həll

etmək olar. Qeyd edək ki, kəsişən düz xətlər arasındakı bucaq proyeksiya

müstəvilərinin əvəzləmə və eləcə də, yastı paralel yerdəyişmə üsulu ilə də tapıla

bilər. Verilmiş iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağı təyin edək.

Verilmiş a və b kəsişəndüz xətlər arasındakı bucağın qiymətini fırlandırma

üsulunun köməyi ilə təyin edək. Bu məsələni verilmiş düz xətləri horizontal və ya

frontal proyeksiya müstəvilərinə paralel vəziyyətə gətirməklə həll etmək olar.

Kəsişən düz xətlər arasındakı bucağın qiymətini, onları H müstəvisinə

paralel vəziyyətə gətirməklə təyin edək. Bu məsələdə verilən xətlərin əmələ

gətirdiyi müstəvini h horizontalı ətrafında H müstəvisinə palalel vəziyyətə gələnə

qədər fırladırlar. Bu horizontalın 1 və 2 nöqtələri fırlanma oxuna mənsub

olduğundan tərpənməz qalacaqdır. Demək, verilən müstəvini fırlandırmaq üşün A

nöqtəsini fırlandırmaq kifayətdir. A nıqtəsibu nöqtədən keçən və h fırlanma oxuna

perpendikulyar olan horizontal proyeksiyalayıcı, müstəvinin üzəri ilə

fırlanacaqdır. Bu müstəvi ilə h fırlanma oxunun O kəsişmə nöqtəsi fırlanma

102

mərkəzi olacaqdır. OA düz xətt parçası isə A nöqtəsinin fırlanma radiusudur.

Düzbucaqlı üçbucaq üsulu ilə OA fırlanma radiusunun həqiqi boyu tapılır.

Fırlanma zamanı A nöqtəsinin horizontal proyeksiyası horizontal

proyeksiyalayıcı müstəvinin horizontal proyeksiyası üzəri ilə hərəkət edəcəkdir.

Məsələnin şərtinə əsasən OA radiusu H müstəvisinə paralel vəziyyət alana qədər

fırlanmalıdır. Bu zaman həmin radiusun horizontal proyeksiyası onun həqiqi

boyuna bərabər olacaqdır. Aldığımız A1 nöqtəsi ilə 1 və 2 nöqtələri birləşdirərək,

kəsişən xətlərlə verilən α1(1A0∩2A0) müstəvisinin yeni vəziyyəti tapılır.Yeni

vəziyyətə gətirilmiş α1 müstəvisi H müstəvisinə paralel olduğundan onu təşkil

edən 1A0 və 2A0 xətləri arasındakı φ bucağı H müstəvisi üzərinə həqiqi boyunda

proyeksiyalanacaqdır. Demək, bu xətlərin(a'0) və (b'0) horizontal proyeksiyaları

arasındakı bucaq verilən kəsişən düz xətlər araındakı bucağa bərabər olacaqdır

(şək. 106).

0 0

0

1 1 1

1 2 1 2 ; ' ' ';

; / / / /; / ' ' / / /

( 1 2) / / 1 2

h consnt A O h AO h O

R OA OA OA O A OA

A A H A A a b

Şək. 106

5.2.2. İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq

Məlumdur ki, iki çarpaz düz xətt arasındakı bucaq, bu xətlərə paralel iki

kəsişən düz xətt arasındakı bucaq ilə ölçülür. Buna görədə, belə məsələnin həlli

103

zamanı verilmiş düz xətlərdən birini kəsən, digərinə isə paralel olan bir düz xətt

çəkilir. Bundan sonra isə aldığımız iki kəsişən а və b düz xətt arasındakı bucağın

qiyməti tapılır. Beləliklə, iki çarpaz düz xətt arasındakı bucağın tapılması, iki

kəsişən düz xətt arasındakı bucağın qurulması məsələsinə çevrilir. İki çarpaz düz

xətt arasındakı bucağın tapılması isə şək. 107-də göstərilmişdir. Qeyd olunduğu

kimi, əvvəlcə verilən düz xətlərdən birini kəsən, digərinə isə paralel olan bir düz

xətt çəkilir. Bu məqsədlə b düz xətti üzərindəki A nöqtəsindən а düz xəttinə

paralel c düz xətti çəkilir. Bu düz xətlər hprizontal proyeksiyalayıcı müstəvi

üzərində oıduğundan onların horiontal proyeksiyası ' 'c a bir-birinin üzərində

alınır. Məlumdur ki, verilmiş iki düz xəttin bir-birinə paralel olması üçün, onların

eyni adlı proyeksiyaları bir –birinə paralel olmalıdır. Bu şərtə əsasən c düz xətti

qurulur (şək. 107).

0

' '/ /

''/ / ''

( / / )

c ac a

c a

c a H

a b

Şək. 107

104

Sonra isə fırlandırma üsulunun köməyi ilə а və c kəsişən düz xətləri

arasındakı bucaq tapılır. Ffrontal səviyyə xətti f ətrafında fırlandırmqla а və b

düz xətləri arasındakı φ° bucağı təyin edilmişdir.

5.2.3. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq

Düz xətlə а müstəvi α arasındakı bucaq, həinmin düz xətlə onun verilmiş

müstəvi üzərdəkir ortoqonal proyeksiyası arasındakı bucaq φ° ilə ölçülür (şək.

108). Burada a düz xəttin α müstəvisi üzərində proyeksiyasını təyin etmək üçün

а düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi B tapmaq lazımdır, sonra isə а düz

xəttinin ixtiyarı А nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar n düz xətti və həmin

düz xətlə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi Аα tapılır. Tapılan В və Аα

nöqtələrindən çəkilən an düz xətti а düz xəttinin α müstəvisi üzərində proyeksiyası

olur. Göstərilən sxem üzrə məsələnin həlli, kifayə qədər mürəkkəblik tələb edir.

Qurma əməliyyatını asanlaşdırmaq və məsələnin həllini sadələşdirmək məqsədi

ilə, düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı aşağıdakı üsullada tapmaq olar (şək. 109)

0

0 0 0 0

?; , ;

; 90

a a n n

a n

Şək. 108

Şək. 108-dən göründüyü kimi, а düz xətti ilə α müstəvisinə çəkilmiş

perpendikulyar n düz xətti arasındakı ° bucağı (90° - φ0)− yə bərabərdir.

Ona görədə məsələnin həllini aşağıdakı kimi sadələşdirmək olar:

1. düz xətt üzərində istənilən A nöqtəsi götürülür;

2. A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar b düz xətti çəkilir;

105

3. verilən а düz xətti ilə əmələ gətirdiyi γ° iti bucağı təyin edib n düz

xətti çəkilir

4. ° bucağına əsasən axtarılan φ° bucağı tapılır:

φ°=900— °

Göstərilən üsuldan istifadə edilməsi iki mürəkkəb məsələnin а və b düz

xətlərinin α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtələrinin qurulması məsələlərinin

həllindən azad olmağa imkan verir.

а düz xətti ilə və α müstəvisi arasında bucağın təyini şək. 109- də

göstərilib. a düz xəttinə mənsub A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar

b düz xətti çəkilir. Horizontal h xətti ətrafında fırladaraq a və b düz xətləri

arasındakı ° bucağı təyin edilir. ° bucağını 90°-yə qədər tamamlayan φ0

bucağı isə, a düz xətti ilə α müstəvisi arasındakı bucağa bərabər olacaqdır.

0 0

' '

'' ''

90

b hb

b f

a

Şək. 109

106

5.2.4. İki müstəvi arasındakı bucaq

İki müstəvi arasındakı bucaq xətti bucaqla , yəni bu müstəvilərə

perpendikulyar çəkilmiş üçüncü müstəvi ilə onların kəsişmə xətləri arasındakı

bucaqla ölçülür.Verilmiş α və β müstəviləri arasındakı φ° bucağın qurulması şək.

110-də göstərilib. Verilmiş α və β müstəviləri arasındakı φ° bucağını təyin etmək

üçün fəzadə ixtiyarı bir A nöqtəsi götürülür. Sonra isı bu A nöqtəsindən n1 düz

xətti α müstəvisinə, n2 isə β müstəvisinə perpendikulyar çəkilir. Qurulan n1 və n2

kəsişən düz xətləri arasındakı φ° bucağı α və β müstəviləri arasındakı bucağa

bərabərdir.

0

1 2

1 2

0 0 0 0

1 2

0

?;

, ;

( ) ,

; ;

; 180 ;

n n

n n

a b

n n

Şək. 110

107

Buna əsasən, məsələni aşağıdakı kimi həll etmək olar:

1. Fəzadə ixtiyarı A nöqtəsi götürülür;

2. А nöqtəsindən uyğun olaraq verilmiş α və β müstəvilərinə m və

n perpendikulyar düz xətlər çəkilir;

3. m və n düz xətləri arasındakı φ° bucağının qiyməti tapılır.

Kompleks çertyojda α və β müstəviləri arasındakı bucaqğın təyini şək.

111-da göstərilmişdir.

0

0 0 0 0

0

?

;

; 180 ;

m n

m n

Şək. 111

A nöqtəsindən verilmiş α və β müstəvilərinə m və n perpendikulyar düz

xətləri çəkilir. Frontal səviyyə xətti ətrafında fürlandırmaqla müstəvilər

arasındakı φ° bucağı təyin edilir.

Təyin edilən φ° bucağını 1800-yə tamamlayan δ° bucağı isə verilmiş α və β

müstəviləri arasındakı bucağa bərabər olacaqdır.

Şəkil 112-də ıki paralel α və iki kəsişən β düz xətlərlə verilmiş iki müstəvi

arasında qalan bucaq aşağıdakı kimi həll edilir.

α və β müstəvilərin uyğun olaraq h1, h2 horizontalı və frontalı f1, f2 çəkilir.

İxtiyarı K nöqtəsindən α və β müstəvilərinə uyğun olaraq e və k

perpendikulyar düz xətləri çəkilir. Bu zaman düz xəttin müstəviyə

perpendikulyarlıq şərtinə əsasən e''⊥ f''1, e'⊥ h'1 və k''⊥ f''2, k'⊥ h'2.olur. e və

108

k düz xətləri arasında qalan ∠γ° bucağıtəyin edilir. Bunun üçün h3 horizontalın

çəkib və onun ətrafında K nöqtəsini fırladaaraq K1 vəziyyətinə gətirilir, bu

zaman △CKD üçbucağı horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel vəziyyət

aldığından onun üzərinə həqiqi ölçüsündə – △C'K'1D'

proeksiyalanır. Horizontal h'3 perpendikulyar çəkilən K'O' üzərində fırlanma

mərkəzinin O' proyeksiyası təyin edilir. Tərəfi K'K0 =ZO –ZK bərabər olan

üçbucaq O'K'K0 – dan R fırlanma radiusu təyin edilir.

Axtarılan bucaq ∠ϕ°=∠γ° bərabər olur, belə ki γ° iti bucaqdır.

Şək.112


1. Hansı məsələlər metriki məsələlər adlanır?

2. İki nöqtə arasındakı məsafə necə tapılır?

3. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafəni tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu

üsulların bir-birindən fərqi nədədir?

4. Paralel düz xəttlər arasındakı məsafə necə tapılır?

5. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə necə tapılır?

6. Paralel müstəvilər arasındakı məsafə necə tapılır?

7. .Çarpaz düz xəttlər arasındakı məsafə necə tapılır?

109

8. .İki kəsişən düz xəttlər arasındakı bucaq necə tapılır?

9. .İki çarpaz düz xəttlər arasındakı bucaq necə tapılır?

10. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu

üsullardan hansı sadədir?

11. İki müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu üsullardan

hansı sadədir?

VI.NÖQTƏLƏRİN HƏNDƏSİ YERLƏRİ

Bir və ya bir neçə müəyyən həndəsi şərti ödəyən elementlərdən əmələ

gəlmiş həndəsi sistemə, nöqtələrin həndəsi yeri deyilir.

Nöqtələrin həndəsi yerini əmələ gətirən həndəsi sistem, verilən həndəsi

şərtdən asılı olaraq düz xətdən, müstəvidən, çevrədən, kürədən, konusdan,

silindrdən və başqa bu kimi həndəsi fiqurlardan ibarət ola bilər.

Elementar həndəsədən aşağıdakılar məlumdur:

1.Müstəvi üzərində iki nöqtədən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi

yeri, həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt parçasının ortasından keçən və bu

parçaya perpendikulyar olan bir düz xəttdən ibarətdir.

S müstəvisi üzərində verilən A və B nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda duran

nöqtələrin həndəsi yeri şək. 113 –da MN düz xəttilə təsvir olunmuşdur.

2.Bucaq bissektirisası MN, həmin bucağı təşkil edən AB və BC düz

xətlərindən, bucaq müstəvisi üzərində bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi

yeridir (şək. 114).

Şək. 113 Şək. 114

110

3.Bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtədən fəzada bərabər uzaqlıqda

duran nöqtələrin həndəsi yeri, həmin nöqtələrdən təşkil olunmuş üçbucaq

xaricində çəkilən çevrənin mərkəzində, üçbucaq müstəvisinə perpendikulyar

çəkilən düz xətdən ibarətdir.(şək. 115).

Şək. 115

4. Üçbucağın tərəflərindən fəzadə bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin

həndəsi yeri bucaq bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsindən, üçbucaq müstəvisinə

çəkilən perpendikulyar bir düz xətdən ibarətdir (şək. 116).

Şək. 116

111

5.Bir-birindən müəyyən məsafədə duran iki nöqtədən,fəzada bərabər

uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeri, həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt

parçasının ortasından çəkilmiş perpendikulyar bir müstəvidən ibarətdir (şək. 117).

Şək. 117

6.Verilmiş hər hansı bir müstəvidən müəyyən uzaqlıqda duran nöqtələrin

həndəsi yeri, həmin müstəviyə paralel olan iki müstəvidən ibarətdir (şək. 118)

.

Şək. 118

112

7. Bir-birinə paralel olan iki müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin

həndəsi yeri, həmin müstəvilər arasındakı məsafəni iki bərabər yerə bölən

nöqtədən, həmin müstəvilərə paralel keçən müstəvidən ibarətdir(şək. 119) .

Şək. 119

8. Bir-biri ilə kəsişən müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi

yeri, həmin müstəvilər arasındakı bucağı iki bərabər yerə bölən müstəvidən, başqa

sözlə, bissektor müstəvisindən ibarətdir.

9.Bir-bir ilə kəsişən üç müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin

həndəsi yeri, iki nöqtədən keçən düz xətdən ibarətdir. Bu şərtlə ki, bu nöqtələrin

biri verilən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsindən, digəri isə verilən müstəvilərə eyni

məsafədən paralel çəkilən müstəvilərin kəsişməsindən ibarətdir.

10.Çevrə, yerləşdiyi müstəvi üzərində verilmiş nöqtədən, yəni onun

mərkəzindən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.

11.Kürə, verilmiş nöqtədən, yəni onun mərkəzindən fəzada bərabər

uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.

12.Düz daiəvi silindr, verilmiş düz xətdən, yəni onun oxundan müəyyən

uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.

Digər tərəfdən düz dairəvi silindr, verilmiş düz xətdən, yəni onun oxundan

müəyyən uzaqlıqda duran və ona paralel olan düz xətlərin həndəsi yeridir.

13.Düz dairəvi konus, verilmiş düz xətlə, yəni konusun oxu ilə müəyyən φ

bucağı təşkil edən düz xətlərin həndəsi yeridir (şək. 120).

113

Şək. 120

14. Düz dairəvi konusun oxuna perpendikulyar çəkilən müstəvi ilə (900 –φ)

bucağı təşkil edən və bir nöqtədən keçən düz xətlərin həndəsi yeri konus səthindən

ibarətdir(bax şək. 120).

15. Düz dairəvi konus səthinə çəkilən toxunan müstəvilər, konusun oxu ilə

φ bucağı konusun oxuna prerpendikulyar olan müstəvi ilə isə (900 –φ) bucağı

təşkil edir (bax şək. 120).

Məsələ 1.AB düz xətt parçasının uc nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda duran

α müstəvisi üzərində nöqtələrin həndəsi yerin qurmalı.

Həlli: Axtarılan həndəsi yer AB düz xətt parçasının ortasından keçib ona

perpendikulyar β müstəvisi ilə α müstəvisinin kəsişmə xəttidir.

Qurma əməliyyatı aşağıdakı kimidir:

1) verilən AB düz xətt parçasını K nöqtəsində iki bərabər hissəyə bölürük;

2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar β müstəvisi keçiririk;

3) α və β müstəvilərin kəsişmə xətti qururuq.

Məsələ 2. AB düz xətt parçasının uc nöqtələrindən fəzada bərabər uzaqlıqda

duran nöqtələrin həndəsi yerin qurmalı.

Həlli: Axtarılan həndəsi yer AB düz xətt parçasının ortasından keçib ona

perpendikulyar müstəvidir.



2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar müstəvisi keçiririk.

Məsələ 3. CD düz xəti üzərində AB düz xəttin uc nöqtələrindən bərabər

uzaqlıqda duran nöqtəni təyin etməli.

Həlli: Axtarılan nöqtə AB düz xətt parçasının ortasından keçən və ona

perpendikulyar olan β müstəvisi ilə CD düz xəttinin kəsişmə nöqəsidir.



114

2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar β müstəvisi keçiririk.

3) CD düz xətti ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qururuq.


1. Nöqtənin həndəsi yeri nə deməkdir? 2. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində düz xətdən ibarət

olur? 3. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində müstəvidən ibarət

olur?

4. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində çevrədən ibarət olur?

5. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində kürədən ibarət olur?

6. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində konus səthindən

ibarət olur?

7. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində silindr səthindən

ibarət olur?

8. Bucaq bissektrisası həndəsi yer nöqteyi-nəzərcə nə deməkdir?

VII.ÇOXÜZLÜLƏR

Teхniкada, inşaatda və memarlıqda ən çoх rast gəlinən həndəsi fiqurlar

əsasən yan üzlü və əyri səthli olurlar.

Bir-biri ilə kəsişən müstəvilər vasitəsi ilə əhatə olunmuş fəza hissəsi çoxüzlü

adlanır.

Çoxüzlünü hüdudlandıran müstəvilərə onun üzləri deyilir.

Çoхüzlünün yanaşı üzlərinin кəsişməsindən alınan düz хəttə çoхüzlünün

tili, tillərin кəsişməsindən alınan nöqtəyə isə onun təpə nöqtəsi deyilir.

Ən çoх yayılmış çoхüzlülərə misal olaraq prizma, piramida və platon

cisimlər adlanan düzgün qabarıq çoхüzlüləri göstərməк olar.

Oturacağı çoхbucaqlıdan, üzləri isə üçbucaqlılardan ibarət olan və bütün yan

tilləri təpə adlanan ümumi nöqtədən кeçən çoхüzlüyə piramida deyilir (şək. 121).

Piramidanın təpə nöqtəsindən oturacaq müstəvisinə endirilən perpendikulyara

piramidanın hündürlüyü deyilir. Piramidanın oturacağı düzgün çoxbucaqlıdan

ibarət olarsa və onun hündürlüyü oturacağın mərkəzindən keçərsə, belə piramida

düzgün piramida deyilir.

Oturacağı iкi paralel və bərabər çoхbucaqlıdan, yan üzləri isə düzbucaqlı və

ya paraleloqramlardan ibarət olan çoхüzlüyə prizma deyilir (şək. 122). Prizmanın

yan tilləri bir-birinə paralel olur. Prizmanın oturacaqlarından keçən müstəviər

arasındakı məsafə, prizmanın hündürlüyü adlanır.Yan tilləri oturacaqlarına

perpendiкulyar olan prizma düz prizma, tilləri oturacağa mail olan prizma isə

maili prizma adlanır. Oturacağı düzbucaqlı olan düz prizmaya paralelopiped

deyilir. Bütün üzləri кvadrat olan düzbucaqlı paralelopipedə кub deyilir.

115

Oturacaqları bir-birinə paralel olmayan müstəvilər üzərində yerləşən iki üzlə

prizmatik səthdən təşkil olunmuş çoxüzlüyə kəsik prizma deyilir.

Şəк. 121 Şəк. 122

7.1. ÇOXÜZLÜLƏRİN MÜSTƏVİ İLƏ KƏSİŞMƏSİ

Çoхüzlünün müstəvi ilə кəsişməsi nəticəsində çoхbucaqlı alınar. Alınan

çoхbücaqlının görünüşü və vəziyyəti çoхüzlünün formasından, кəsici müstəvinin

növündən və vəziyyətindən asılıdır. Bu çoхbucaqlını iкi üsulla qurmaq olar:

1. Çoхüzlünün tilləri ilə verilmiş müstəvinin кəsişmə nöqtələri qurulur.

Aldığımız bu nöqtələr кəsiкdə alınan çoхbucaqlının təpə nöqtələri olacaqdır.

Çoхüzlünün tilləri düz хətt olduğundan bu məsələnin həlli, düz хətlə müstəvinin

кəsişmə nöqtəsinin qurulmasına çevrilir. Bu üsuldan daha geniş istifadə olunur.

2. Çoхüzlünün üzləri ilə verilmiş müstəvinin кəsişmə хətləri qurulur. Bu

кəsişmə düz хətləri кəsiкdə alınan çoхbucaqlının tərəfləri olacaqdır. Göründüyü

кimi bu məsələnin həlli iкi müstəvinin кəsişmə düz хəttinin qurulması məsələsinə

çevrilir.

Əgər кəsici müstəvi çoхüzlünün tillərinin hamısını кəsərsə nəticədə təpə

nöqtələri çoхüzlünün üzlərinin sayına bərabər olan çoхbucaqlı alınır. Кəsici

müstəvi çoхüzlünün oturacağını və bir tilini кəsərsə, nəticədə üçbucaq alınır.

Кəsici müstəvi çoхüzlünün oturacağını və bir neçə tilini кəsərsə, кəsiкdə alınan

çoхüzlünün təpə nöqtələrinin sayı, кəsişmədə iştiraк edən tillərin sayından iкi ədəd

artıq olacaqdır.

Şəк. 123-də piramida səthinin α frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə

кəsişməsindən alınan кəsiyin qurulması göstərilmişdir.

116

1234

AS

BS

DS

CS

Şək. 123

Məsələni həll etməк üçün piramidanın SA, SB, SC və SD tilləri ilə verilmiş

α müstəvisinin кəsişmə nöqtələrini qurmaq lazımdır. Piramidanın hər bir tili düz

хətt olduğundan, məsələnin həlli düz хətlə proyeкsiyalayıcı müstəvisinin кəsişmə

nöqtəsinin təyin olunmasına çevrilir.

Məlumdur кi, düz хətlə proyeкsiyalayıcı müstəvinin кəsişmə nöqtəsinin

bir proyeкsiyası, proyeкsiyalayıcı müstəvinin yığıcı хassəyə maliк izi ilə həmin

düz хəttin eyni adlı proyeкsiyasının кəsişməsi nəticəsində alınacaqdır.

Кəsişmə nöqtəsinin iкinci proyeкsiyası isə nöqtənin düz хətt üzərində olması

şərtinə əsasən qurulacaqdır.

Nəticədə alınan 1, 2, 4 və 3 nöqtələrini oturacaqdaкı işarələrə müvafiq

ardıcıllıqla birləşdirsəк yastı 1243 dördbucaqlını qurmuş oluruq. Bu dördbucaqlı

verilmiş müstəvi ilə piramida səthinin кəsişmə хətti olacaqdır.

117

Altıüzlü düz prizmanın verilmiş α müstəvisi ilə кəsişmə хətlərinin

qurumasına misal olaraq şək. 124-də göstərilmişdir. Burada. prizmanın verilmiş

α müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan кəsiyi prizmanın üzləri ilə ixtiyarı

müstəvinin kəsişmə xəttinin təyininə əsasən qurulmuşdur.

Şək. 124

α müstəvisinin prismanın alt otracağı ilə kəsişməsindən alınan kəsiyi, kəsici

müstəvinin horizontal izi ilə üst-üstə düşür. Həmin xətt üzərində 1və 2 nöqtələri

yerləşir. α kəsici müstəvinin prizmanın qarşıdakı üzünün kəsişmə xəttini tayin

etmək üçün ondan horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisini kecirək. Müstəvinin

prizmanın üzü ilə kəsişməsindən 2 və 3 nöqtələri alınır.

Prizmanın C1D1C2D2 üzündən γ horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirib

onun α müstəvisi ilə b kəsişmə xətti qurulur. Həmin xətt üzərində α müstəvisi ilə

prizmanın üzünün 3 və 4 kəsişmə nöqtələri yerləşir.

E1F1E2F2 üzündən δ horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirib, onun α

müstəvisi ilə b kəsişmə xətti qurulur. Həmin xətt üzərində α müstəvisi ilə

prizmanın üzünün 5 və 6 kəsişmə nöqtələri yerləşir.Tapılan bütün 1, 2, 3, 4, 5 və

6 nöqtələri ardıcıl olaraq birləşdirib, ixtiyarı α müstəvisi ilə çoxüzlünün

kəsişməsindən qapalı fiquru alırıq.

118

7.2. DÜZ XƏTLƏ ÇOXÜZLÜNÜN KƏSİŞMƏSİ

Düz хətt çoхüzlünün səthini кəsdiкdə iкi nöqtə alınır. Bu nöqtələr giriş və

çıхış nöqtələri adlanır. Ümumi halda bu nöqtələri qurmaq üçün aşağıdaкı üç

əməliyyatdan istifadə etməк lazımdır:

1. Verilmiş düz хətdən кöməкçi кəsici müstəvi кeçirilir;

2. Кöməкçi müstəvi ilə çoхüzlü səthinin кəsişməsindən alınan çoхbucaqlı

qurulur;

3. Qurduğumuz çoхbucaqlının tərəfləri ilə verilmiş düz хəttin кəsişmə

nöqtələri tapılır.

Bu nöqtələr verilmiş düz хətlə çoхüzlü səthinin кəsişməsindən alınan giriş

və çıхış nöqtələri olacaq.

Tərsimi həndəsənin bütün məsələlərinin həllində, хüsusi ilə verilmiş düz

хətlə çoхüzlü səthinin кəsişmə nöqtələrini qurduqda, çoхüzlünün formasından,

onun elementlərinin proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən tutduğu vəziyyətlərindən

və verilmiş düz хəttin fəzadaкı vəziyyətindən asılı olaraq кəsici müstəvi elə

seçilməlidir кi, məsələnin həlli üçün tələb olunan qurma əməliyyatları mümкün

qədər az və sadə olsun.

Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən piramida səthi ilə iхtiyari m düz

хəttinin кəsişmə nöqtələrini quraq (şəк. 125).

Verilmiş m düz хəttindən кöməкçi frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi α

кeçiririк. Bu müstəvinin frontal izi αF yığıcı хassəyə maliк olduğundan həmin iz

düz хəttin m" frontal proyeкsiyası ilə üst-üstə düşəcəкdir.

Piramida səthi ilə кöməкçi α müstəvisinin кəsişməsindən alınan

çoхbucaqlı qurulur. Bu çoхbucaqlını qurmaq üçün onun təpə nöqtələrini qurmaq

кifayətdir. Həmin nöqtələr piramidanın SA, SB, SC və SD tilləri ilə verilmiş α

müstəvisinin кəsişməsi nəticəsində müəyyən edilir.

Məlumdur кi, düz хətlə frontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin кəsişmə

nöqtəsinin frontal proyeкsiyası, həmin düz хəttin frontal proyeкsiyası ilə

müstəvinin frontal izinin кəsişmə nöqtəsi olacaq.

Bu qaydaya əsasən SA, SB, SC və SD tillərinin mıstəvinin αF frontal izi ilə

кəsişmə nöqtələrinin 1", 2", 4" və 3" frontal proyeкsiyaları qurulur. Bu

nöqtələrin horizontal proyeкsiyaları (1'2', 4' və 3') isə nöqtənin düz хətt üzərində

olması şərtinə əsasən qurulur. Nəticədə alınan nöqtələrin eyni adlı

proyeкsiyalarını birləşdirərəк, verilmiş piramida səthinin α müstəvisi ilə

кəsişməsindən alınan 1243 fiquru qurulur.

Verilmiş m düz хətti ilə 1243 fiqurunun qarşılıqlı vəziyyəti müəyyən edilir.

m düz хəttinin və 1243 fiqurunin frontal proyeкsiyaları α müstəvisinin yığıcı

хassəyə maliк αF frontal proyeкsiyası üzərində yerləşdiyindən onların hər iкisi α

müstəvisinə mənsubdur.

AB düz хətti 1243 fiqurunun 12 tərəfini E nöqtəsində, 34 tərəfini isə К

nöqtəsində кəsir. Bu nöqtələr verilən düz хəttin piramida səthinə giriş və çıхış

nöqtələridilər.

119

1 2 ?a Ф K K

1) '' ''a

aF

2) Ф EHGF

1 23)a EH

Ф K Ka GF

1 2a Ф K K

Şək. 125

120

7.3. İki çoxüzlü səthinin kəsişməsi

Umumi halda iki çoxüzlü bir-biri ilə qapalı sınıq fəaza xəttl üzrə kəsişir.

Xüsusi halda bu sınıq xətt iki və daha çox qapalı sınıq xətlərdən ibarət ola

bilər

Çoxüzlülər bir-biri ilə tam və ya qismən kəsişə bilər. Əgər kəsişən

çoxüzlülərdən biri digərinin içərisindən keçirsə, belə kəsişmə tam kəsişmə

adlanır. Əksinə, çoxüzlülərdən biri digərinin yalnız üzlərinin bir qismindən kəsib

keçirsə, başqa sözlə çoxüzlülərin kəsişməsində onların bütün üzləri iştirak

etmirsə, belə kəsişmə qismən kəsişmə adlanır.

Çoxüzlülərin bir-biri ilə kəsişməsindən alınan çoxbucaqlını qurmaq üçün, bu

çoxbucaqlının təpə nöqtələrini qurmaq lazımdır. Bu nöqtələr bir çoxüzlünün

tilləri ilə ikinci çoxüzlünün üzləünün və eləcə də, ikinci çoxüzlünün tilləri ilə

birinci çoxüzlünün üzlərinin kəsişməsindən alınır.

Kəsişmədən alınan çoxbucaqlının təpə nöqtələri bir çoxüzlünün tilləri ilə

digər çoxüzlünün tillərinin kəsişmə nöqtələridir.

Çoxbucaqlının tərəfləri çoxüzlülərin üzlərinin kəsişmə xəttlərindən ibarətdir.

Buradan göründüyü kimi, çoxüzlülərin kəsişməsindən alınan çoxbuçaqlını iki

üsul ilə qurmaq olar:

Tillər üsulu —kəsişmədən alınan çoxbucaqlının təpə nöqtələri birinci

çoxüzlünün tilləri ilə ikinci çoxüzlünun üzlərinin kəsişmə nöqtələr və ikinci

çoxüzlünü tilləri ilə birinci çoxüzlünun üzlərinin kəsişmə nöqtələridir. Burada,

bir tillərə mənsub təyin edilən nöqtəlr ardıcıl olaraq birləşdirilir.

Müstəvilər üsulu — veriləm hər iki çoxüzlülərin üzlərinin bir –biri ilə

kəsişmə xəttinin qurulması.

Kəsişən çoxüzlülərin xüsusiyyətindən asılı olaraq göstərilən üsullar seçilir.

Əgər çoxbucaqlının təpə nöqtələri və tərəfləri uygun olaraq ixtiyarı düz xətlə

proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtəsi və ixtiyarı müstəvi ilə

proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə xəttinin qurulması ilə təyin edilərsə, qurma

əməliyyatı sadə alınır.

İki piramida səthinin, prizma və piramida, iki prizma səthinin kəsişmə

xəttinin qurulmasıında köməkçi müstəvi olaraq, ixtiyari müstəvidən istifadə

etmək olar:

1) Əgər iki pramida səthinin kəsişmə xətti qurulursa, onda köməkçi

müstəvi pramidanın təpə nöqtəsindən keçməlidir;

2) Əgər pramida və prizma səthlərinin kəsişmə xətti qurulursa, onda

köməkçi müstəvi pramidanın təpə nöqtəsindən keçib prizmanın yan

tillərinə paralel olmalıdır.;

3) Əgər iki prizma səthlərinin kəsişmə xətti qurulursa, onda köməkçi

müstəvi prizmanın yan tillərinə paralel olmalıdır.

Göstərilən müstəvi piramidanın təpə nöqtəsindən keçərsə piramidanın

yan üzlərini təpə nöqtəsində iki kəsişən düz xətt, prizmanın yan tilinə paralel

olan kəsən müstəvi isə onun yan üzlərini yan tillərinə paralel düz xətt üzrə

kəsir.

121

Bu bir sıra hallarda qrafiki qurmanı həcmini azaldür və həmcinin bu

çoxüzlülərdən birinin hansı tıllərinin digər çoxüzlünün üzləri ilə kəsişdiyin

əvvəlcədən təyin edilməsinə imkan verir.

Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən prizma ilə piramida səthinin

kəsişmə xətini qurulmasını nəzərdən keçirək ( şək. 126).

Belə ki, prizmanın üzləri horizontal proyeksiyalayıcı müstəvilərdən

ibarətdir, ona görə də tillər üsulundan istifadə edib SF və SD tilləri ilə prizma

üzlərinin kəsişmə nöqtələri təyin edilir. Kəsişmə nöqtəlrinin hörizontal

proyeksiyaları 1', 2' 4' və 5' həmin tillərin horizontal proyeksiyaları ilə

prizma üzlərinin yığıcı xassəyə malik horizontal proyeksiyalarının kəsişmə

nöqtələridir.

Prizmanın tillərindən yalnız B1B2 tili piramida səthi ilə kəsişir. Kəsişmə

nöqtələri 3 və 6 təyin etmək üçün həmin tildən və pramidanın S təpə

nöqtəsindən keçən horizontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi keçiririk.

α müstəvisi piramidanın SFD və SFE üzlərini, S7 və S8 xətləri üzrə

kəsir. Bu xətlərin B1B2 tili ilə kəsişməsindən kəsişmə xəttinin cari

çatışmayan 3 və 6 nöqtələri təyin edilir. Alınan çoxbucaqlı iki qapalı xətlərdən

1-2-3-1 və 3-4-5-6 ibarət olur.

Şək. 126

122

Şək. 127-də verilmuş üçüzlü SABC piramida ilə düzbucaqlı prizmanın

kəsişmə xəttini quraq.

Prizmanın D1E1D2E2 və G1F1G2F2 üzləri frontal proyeksiyalayıcı,

piramidanın isə E1F1E2F2 və D1G1D2G2 üzləri — horizontal

proyeksiyalayıcı olduğundan müstəvi üsulundan istifadə edirik.

Əvəlcə prizmanın üst üzü γ1 müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan kəsiyini

quraq. Kəsikdə alınan üçbucaqda prizmanın yuxarı üzündən kənarda yerləşən 1-

2-3-4 çoxbucaqlı hissəsin qeyd edək

Sonra prizmanın aşağı üzü γ2 müstəvisi ilə pramidanın kəsişməsindən alınan

üçbucaq qurulur. Kəsikdə alınan üçbucaqda prizmanın aşağı üzündən kənarda

yerləşən 5-6-7 və 9-10 çoxbucaq hissəsin qeyd edək

Şək.. 127

123

Belə ki, 4 və 5 nöqtələri eyni zamanda həm piramidanı SBC və prizmanın

qabaq üzünə mənsub olduğundan γ4 müstəvisi ilə üst-üstə düşür, ona görə də 4-5

xətti onların kəsişmə xəttidir. Anoloji olaraq, 1-10 düz xəttt parçası pramidanın

SAB üzü ilə prizmanın qabaq üzünün kəsişmə xəttidir. 7 və 9 nöqtələri prizmanın

arxa, piramidanın isə müxtəlif SAC və SAB üzlərinə mənsubdur. Ona görə də

prismanın arxa üzü ilə pramidanın SA tilinin kəsişmə 8 nöqtəsi təyin edilir.

Kəsişmə nöqtəsi 8-in horizontal 8' proyeksiyası prmidanın S'A' tili ilə

proyeksiyalayıcı müstəvinin yığıcı xassayə malik izi γ3 ilə üstt-üstə düşən

prizmanın arxa müstəvisinin kəsişmə nöqtəsidir.

Prizmanın arxa üzü frontal səviyyə müstəvisidir.

Qapalı 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-1 fəza sınıq xətləri verilmiş çoxüzlü səthlərinin

kəsişmə xəttidir.


1. Çoxüzlü nəyə deyilir?

2. Çoxüzlünün tili nədir?

3. Prizma nəyə deyilir?

4. Düz prizma və maili prizma nəyə deyilir?

5. Paralelopiped nədir?

6. Kub nəyə deyilir?

7. Piramida nəyə deyilir?

8. Düzgün piramida nədir?

9. Çoxüzlünün elementlərinin görünməyən hissələri necə ştrixlənir (misal

göstərin)?

10. Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən üçüzlü prizmanın kompleks

çertyojunun tərtib olunma qaydalarını göstərin.

11. Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən üçbucaqlı piramidanın kompleks

çertyojunun tərtib olunma qaydalarını göstərin.

12. Çoxüzlünün müstəvi ilə kəsişməsindən nə alınır?

13. Piramida səthi ilə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsinin yerinə yetirilməsi

ardıcıllığını deyin.

14. Prizma iə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsinin yerinə yetirilməsi

ardıcıllığını deyin.

15. Düz xətlə çoxüzlünün kəsişməsindən nə alınır?

16. Düz xətlə çoxüzlünün kəsişməsini qurarkən kəsici müstəvi necə seçilməlidir?

7.4. ÇOXÜZLÜLƏRİN AÇILIŞI

Metalların qaynaq olunmaları və eləcə də müxtəlif üsullarla kəsilməsi

hazırkı istehsalatda geniş yayılmışdır. Bu səbəbə görə də müasir mexnika, maşın-

mexanizmlərin və tikintilərin qabaqcadan hazırlanmış ayrı-ayrı elementlərinin

124

bir-biri ilə quraşdırılmasından əmələ gəlməsini mümkün edir. Adətən, bu

elementlər vərəq materiallarından hazırlanır və özləri də müəyyən məqsədə

əsasən biçilirlər. İstənilən formada olan mürəkkəb fəza fiqurları ayrı-ayrı

hissələrdən hazırlana bilər. Bu hissələr də çoxüzlülərin və ya sadə səthlərin

üzlərindən əmələ gələ bilər.

Texnikanın tələbatını nəzərə alaraq, müxtəlif çoxüzlülərin vərəq materialdan

hazırlanmasından bəhs edək.

Çoxüzlülərin üzlərinin müstəvilərdən ibarət olduğu məlumdur. Yastı

fiqurlardan ibarət olan bu üzlər, çoxüzlünün səthi üzərində yerləşdiyi ardıcıllıqla,

hər hansı bir müstəvi üzərinə salınarsa, baxdığımız çoxüzlü səthinin açılışını almış

olarıq. Çoxüzlünü təşkil edən üzlərin, bir üzündən keçən müstəvi və ya hər hansı

bir müstəvi üzərinə salınmasından alınan yastı fiqura çoxüzlü səthinin açılışı

deyilir.

Həmin yastı fiqurları qurmaqdan ötrü, onlara daxil olan bütün elementlərin əsil

boylarını bilmək lazımdır. Buna görə də açılışları qurduqda, proyeksiyaları ilə

verilmiş elementlərin əsil boylarını tapmaq üçün tərsimi həndəsədə işlədilən

istənilən metodlardan istifadə etmək lazım gəlir.

Açılışların qurulmasını ən sadə çoxüzlülərin, yəni piramida ilə prizma

səthlərinin açılışları ilə başlayaq.

Açılışların qurulmasında səthin hər bir nöqtəsinə açılışda müəyən nöqtə

uyğun gəlir, səthin açılışının sahəsi isə açılan səthin sahəsinə bərabər olacaqdır.

Sətlər arasında elə sətlər mövcudurlar ki, onları əyilmə yolu ilə kəsilmədən,

tikişsiz bir müstəviyə yerləşdirmək mümkün, (məsələn silindr və konus səthləri)

olur. Belə səthlər açılan səthlər adlanır. Əks halda səthlər açılmayan səth (

məsələn kürə və tor səthi) adlanır.

Açılışın əsas xüsusiyyətlərinə aşağıdakılar aiddir:.

1.Səthin iki uyğun xəttinin uzunluğu və onun açılışdakı uzunluğları bir-

birinə bərabərdir;

2. Səth üsərində yerləşən xətlər arasındakı bucaq aşılıçda uyğun xətlərin

arasındakı bucağa bərabərdir. Bununla yanaşı, səthdə paralel düz xəttlər aşılıçda

da paralel düz xətlərə uyğundur;

3. Səth üzərində düz xətt onun açlışındada də düz xətdir;

4. Səthdə qapalı fiqurun sahəsi açılışda həmin fiqurun sahəsinə bərabərdir.

5. Səthə aid olan və səthin iki nöqtəsini birləşdirən xətt səthin açılışdakı xəttə

uyğun gələrsə, onda həmin xətt geodeziya xəttidir, yəni iki nöqtə arasında ən qısa

məsafədir.

Açılışlar aşağıdakı növlərə ayrılırlar:

1. dəqiq — çoxüzlülər üçün;

2. təqribi — açılan əyri səthlər üçün;

3. şərti — açılmayan əyri səthlər üçün.

Çoxüzlülərin açılışından müasir texnikada çox geniş istifadə edilir.

Çoxüzlülərin təşkil edən üzlərin və oturacaqların bir bir müstəvi üzərinə

salınmasından alınan fiqura onun açılışı deyilir.

Çoxüzlülərin açılışını vermək üçün, çoxüzlünü təşkil edən elementlərin

hamısının həqiqi boyu məlum olmalıdır.

125

Çoxüzlülərin açılışını qurmaq üşün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur.

1.Üçbucaqlar üsulu.

2.Normal kəsiyin qurulması üsulu.

3.Diyirlətmə üsulu.

Bu üsulları yaxşı mənimsəmək üçün açılışlarının qurulması nisbətən sadə

olan üçbucaqlı prizma və piramidanın səthlərinin açılışını nəzərdən keçirək.

7.4.1. Üşbucaqlar üsulu

Piramida səthinin açılışı- müstəvi fiqurdurdan ibarət olub, hər hansı müstəvi

üzərində salınmış oturaçaqdan və tillərdən ibarətdir. Aşağıdaı şək. 128- də

piramida çəthinin açılışının üçbucaqlar üsulu ilə qurmasına baxaq. SABC

piramida frontal proyeksiyalacı α müstəvi ilə kəsişir. SABC piramida səthinin

açılışınını və açılış üsərində kəsişmə xətlərini qurmalı. Piramida S''A''B''C''

frontal proyeksiyası üzərində, α müstəvisinin izinin A''S'', B''S'' və C''S'' düz

xətt parçalarını uyğun olaraq kəsdiyi E'', D'', və F' nöqtələrini qeyd edək.

Nöqtələrin vəziyyətini təyin edib onları bir-birilə birləşdiririk.

Şək. 128

126

Pıramida tillərinin üzunluğlarını aşağıdakı kimi təyin edilir. Piramida tillərinin həqiqi boylarını tapmaq üçün proyeksiyalayıcı ox

ətrafında fırlandırma üsulundan istifadə edirik. Bu məqsədlə piramidanın S təpə

nöqtəsindən H müstəvisinə perpendikulyar olan ί fırlanma oxunu çəkirik. Sonra

SA, SB və SC tillərini bu ox ətrafında fırladaraq F müstəvisinə paralel vəziyyətə

gətiririk.

Piramida tillərinin həqiqi böyları tillərin S''A''1, S''1B''1 və S''C'' frontal

proyeksiyalarına bərabəərdir. Onların üzərində D''1, E''1, F''1 nöqtələrini qeyd

edirik. Piramidanın ABC oturacağı, H müstəvisinə paralel müstəvi üzərində

yerləşdiyi üçün onun horizontal proyeksiyası ∆A'B'C' bərabər həqiqi ölçüdə

proyeksiyalanır.

Açılışın qurulma ardıcıllığı aşağıdakı kimidir.

Çertyojda istənilən yerdə S0 nöqtəsini qeyd edirik. Bu nöqtədən n düz xəttini

çəkib S0A0 =S''A''1 düz xətt parçasın qeyd edirik. ABS=A0B0S0 üçbucaqin

tərəflərinin qurulması kimi piramidanın hər üç tilləri qurulur. Bunun üçün S0 və

A0 nöqtələrindən uyğun olaraq R1=S''B''1 və r1 =A'B' radiuslu qövslər çəkilir.

Həmin qövslərin kəsişməsindən B0 nöqtəsi təyin edilir.

Bu qayda ilə ardıcıl olaraq B0S0C0 və C0S0A0 üzləri də qurulur. Piramidanın

A0B0C0 oturacağı B0C0 tərəfinə quraşdırıb, onun tam açılışını alırıq (şək. 129).

Şək.129

127

Piramida səthinin α müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan xətləri quraq.

Bunun üçün piramidanın S0A0, S0B0 və S0С0, tilləri üzərində uyğun olaraq E0, D0

və F0 nöqtələrini qeyd edirik. Bu zaman D0 nöqtəsi S0A0 düz xətt parçasının

S''D''1 radiuslu qövslə kəsişməsindən alınır. Bu qayda ilə E0=S0B0 ∩ S''E''1,

F0=S0C0 ∩S''F''1 nöqtələri alınır.

7.4.2. Normal kəsiyin qurulması üsulu

Oturaçağı H müstəvisi üzərində yerləşən altıüzlü düz prizmanın acılışını

quraq (şək. 130,a). Bu prizmanın tilləri H müstəvisinə perpendikulyar

olduğundan, tillərin frontal proyeksiyaları onların həqiqi boyuna bərabər

olacaqdır. Verilmiş prizmanın alt oturacağı H müstəvisi üzərində, üst oturacağı

isə ona paralel olduğundan alt və üst oturacaqların horizontal proyeksiyaları da

özlərinə bərabər olacaqdır. Verilmiş prizmanın yan üzlərini bir-birinin ardınca F

müstəvisininin üzərinə salaq. Prizmanın BFKC üzünü açılışda göstərmək üçün

CK tilini frontal proyeksiya müstəvisinin üzərində götürüb, sonra alt oturacağın

BC tərəfini, ölçüb x oxu üzərində qeyd etməklə B nöqtəsini qururuq. B-dən CK-

ya paralel çəkməklə BFKC üzünü açılışda təsvir etmiş oluruq. Prizmanın o biri

üzləri də bu qayda ilə qurulur.Yuxarıda qeyd etdik ki, prizmanın alt və üst

oturacaqlarının horizontal proyeksiyaları özlərinə bərabərdir, ona görə də

oturacaqları özlərinə bərabər ölçüdə, prizmanın istənilən üzündə açılışa

quraşdırırıq (şək. 130b).

a) b)

Şək. 130

Şək. 131,a –da oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən piramidanın açılışı

göstərilmişdir. Piramidanın oturacağı H müstəvisi üzərində yeləşdiyi üçün onun

horizontal proyeksiyası həqiqi ölçüdə proyeksiyalanır. Piramidanın tillər isə

frontal proyeksniya müstəvisinə paralel olduğu üçün onun tillərinin frontal

proyeeksyaları da həqiqi uzunluqda proyeksiyalanır (şək. 131,b).

128

.

Şək. 131

Yan tilləri səviyə xəttindən ibarət prizma səthinin açılışının qurulmasında

normal kəsiyn qurulması üsulundan istifadə edilməsi əlverişlidir. Bu üsulun

istifadəsi maili üçbucaqlı ABCDEF prismanın açılışının qurulması misalında

göstərilmişdir (şək. 132).

a) b)

Şək. 132

129

Məsələnin həlli verilən prizmanın yan səthinin açılışının qurulmasından

başlanılır.

Çertyojdan göründüyü kimi, prizmanın tilləri F müstəvisinə paraleldir.

Prizmanı yan tilinə perpedikulyar γ müstəvi ilə kəsək. Prizmanın belə müstəvi ilə

kəsyi normal adlanır.Təqdim edilən müsalda belə kəsik 123 üçbucaqıdır.

Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulunu köməyi ilə H müstəvisin yeni H1//

γ əvəz etməklə normal kəsiyin həqiqi ölçüsün təyin edək.

Normal kəsiyin tərəflərinin və prizmanın yan tillərinin uzunluğun bilərək,

prizmanın hər bir üzünün və hər iki oturacaqların həqiqi ölçüsün təyin edib və

onun açılışını qurmaq mümkü olur.

Bunun üçün:

1. İxtiyarı horizontal düz xətt üzərində 123 üçbucaqın konkurent 1020, 3010

tərəflərinə qeyd edilir (normal kəsik düzləndirilir);

2. 10, 20, 30, 10 nöqtələrindən şaquli düz xətlər çəkib onların üzərində bərabər

1A,1D, 2B və s. parçaları 10А0, 10D0, 20B0 və s.qeyd edib, onların γ müstəvisinə

nəzərən yerləşməsin (sağ vəya sol) nəzərə alaraq, pizmanın yan tillərinə bərabər

çəkilir.

3. Alınan А0, В0, С0, А0 və D0, E0, F0, D0 nöqtələri düz xətt parçası ilə

birləşdirilir.

Müstəvi А0В0С0А0D0E0F0D0 fiqurun normal kəsiyin quulması üsuli ilə

prizmanın yan səthinin açılışını ifadə edir.

Prizmanın tam açılışını almaq üçün prizmanın yan səthinin açılışına

prizmanın oturacağları —А0В0С0 və D0E0F0 quraşdırılır (şək. 132b).

7.4.3. Diyirlətmə üsulu

Bu üsulda oturacaqları proyeksiya müstəvilərindən birinə, yan tilləri isə

digər proyeksiya müstəvisinə paralel olan prizma səthinin açılışında geniş istifadə

edilir.

Şək. 133-də verilmiş üçbucaqlı maili prizmanın açılışının qurulması

göstərilmişdir. Prizmanın ABC və DEF oturacaqları horizontal proyeksiya

müstəvisinə paraleldir, ona görə də onun üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanırlar.

Yan tilləri AD, BE və CF frontal proyeksiya müstəvisinə paraldir, ona görə

də onun üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanırlar.

AD tilindən F proyeksiya müstəvisinə paralel a müstəvisi keçirilir.

Prizmanı tili ətrafında ardıcıl olaraq döndərilib, a müstəvisi üzrə sürüşdürülür.

Prizmin üzləri α müstəvisi üzərinə salınaraq, onun üzərində əks edilirsə, onda

onun bütün üzlərini onun üzərinə salıb, prizmanın bütün üzlərini birləşdirərək,

onun yan səthinin açılışını əldə edirik.

Məsələni həll etmək üçün bu əməliyyatı ardıcıl olaraq aparaq:

Prizma səthin AD tili üzrə kəsib ADEB üzü xəyalı olaraq AD (A′′D′′) tili

ətrafında döndərilir.

130

1. Üüzün В0Е0 müstəvi a üzərinə salınmış vəziyyətin təyin etmək üçün,

В′′nöqtəsindən A′′D′′ (A0D0) perpendikulyar şüa çəkib və A′′ mərkəzindən, A′B′

radiuslu qövs çəkib onun üzərində B0 nöqtəsin alırıq. B0 nöqtəsindən A′′D′′

paralel və bərabər В0Е0 düz xətti çəkilir.

2. В0Е0 üzün açılmış vəziyyətin yeni ox qəbul edib, onu a müstəvisi üzərinə

düşənə qədər BEFC ətrafında fırladılır. Bunu üçün С′′ nöqtəsindən üstə salınan

üzə perpendikulyar şüa, nöqtədən isə B′C′ radiuslu vətər— В0 çəkilir. Qövsün

şüa ilə kəsişməsindən С0.nöqtəsi təyin edilir. С0 nöqtəsindən В0Е0 paralel С0F0

düz xətti çəkilir. Anoloji olaraq A0D0 üzün yeni vəziyyəti təyin edilir.

3. А′′ (А0), В0, С0, А0 və D′′ (D0), E0, F0, D0 nöqtəlrini düz xəttlə birləşdirib

prizmanın yan səthinin açılışın —fiqur А0В0С0А0D0E0F0D0 alırıq.

Prizmanın tam açılışını qurmaq üçün, prizmanın yan səthini əhatə edən sınıq

xətlərin istənilən düyün nöqtəsindən verilən prizmanın oturacağına konkuгent

olan fiqur (məsələn, B0C0A0 və E0F0D0 übuçaqları ) qurulur.

Şək. 133

131


1. Dəqiq açılışları qurmaq üçün hansı üsul mövcuddur?

2. Normal kəsiyin qurulması üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda

istifadə olunur?

3. Diyirlətmə üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda istifadə olunur?

4. Üçbucaqlar üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda istifadə olunur?

VIII. ƏYRİ SƏTHLƏR

Əyri səthlər doğuran adlanan xəttin müəyyən qanun üzrə hərəkəti nəticəsində

yaranır. Doğuran istiqamətləndirici adlanan xətt üzrə sürüşür.

Doğüranın formasından asılı olaraq əyri səthlər iki qrupa bölünür:

1) Düz xətli səthlər. Bu səthlərin doğuranı düz xətdən ibarətdir.

2) Əyri xətli səthlər. Bu səthlərin doğuranı isə əyri xətt olur.

Əyri xətli səthlərdən təcrübədə ən çox işlənən fırlanma səthləri, silindrik və

konusvarı səthlərdir. Bu səthlər düz xətli doğuranın tərpənməz ox ətrafında

fırlanmasından yaranır. İstiqamətləndirici əyri üzrə öz-özünə paralel hərəkət edən

düz xətli doğuranın əmələ gətirdiyi səthə silindrik səth deyilir. İstiqamətləndiricisi

çevrə olan silindrik səthlərə daha çox rast gəlinir.

Silindrik səthin bir-birinə paralel iki müstəvi ilə kəsişməsindən alınan fiqura

silindr deyilir. Doğuranları oturacaq adlanan çevrə müstəvisinə perpendikulyar

olan silindr düz dairəvi silindr adlanır.

Düz xəttin tərpənməz nöqtədən keçmək şərti ilə istiqamətləndirici əyri xətt

üzrə sürüşməsindən alınan səthə konusvarı səth deyilir. Belə səthin doğuranı

hərəkət zamanı həmişə tərpənməz bir nöqtədən keçir. Bu nöqtə konusvarı səthin

təpə nöqtəsi adlanır. Konusvarı səthin müstəvi ilə kəsişməsindən alınan fiqur

konus adlanır. Səthin təpə nöqtəsini oturacaq adlanan çevrənin mərkəzi ilə

birləşdirən düz xətt çevrə müstəvisinə perpendikulyar olarsa belə konusa düz

dairəvi konus deyilir.

Düz xətli doğuranın səthin tərpənməz ox ətrafında fırlanmasından yaranan

səthə fırlanma səthi deyilir.

Fırlanma səthləri doğuran və istiqamətləndirici ilə verilir.

Düz xəttinin fırlanma oxuna nəzərən vəziyyətindən asılı olaraq müxtəlif

səthlər yaranır:

— a düz xətt fırlanma i oxuna paralel olduqda silindrik fırlanma səthi

yaranır (şək. 134);

— a düz xətti fırlanma i oxu ilə kəsişdikdə konus fırlanma səthi yaranır(şək.

135);

132

Şək. 134 Şək 135 Şək. 136

Düz xəttin fırlanma oxu ilə kəsişmə nöqtəsi S konusun təpə nöqtəsi adlanır.

Konus səthinin təpə nöqtəsindən müxtəlfi tərəflərdə yerləşən iki müstəviyə

malikdir. Bu səth eyni zamanda düz dairəvi konus adlanır.

— a düz xətti i fırlanma oxuna nəzərən çarpaz olduqda — birsahəli fırlanma

hiperboloid səthi yaranır (şək. 136);

Bu səthin oçerki hiperboladır.

Bir xətli hiperboloidin fırlanma səthi iki dəfə düz xətli sətdən ibarətdir.

Hiberboloid fırlanma səthinin hər bir S nöqtəsindən keçən merdianal

müstəviyə nəzərən simmetrik olan iki düz xətt keçirmək olar.

Düz xətlərin hər biri səthin doğuranlarıdır.

Beləliklə, hiperboloid fırlanma səthi iki doquranlar ailəsindən ibarətdir.

Eyni ailəvi doğuranı — çarpaz düz xətlər, müxtəlif ailəvi doğuranları —

kəsişən düz xətlərdir.

Hıperboloid fırlanmanın bu xüsusiyyətindən məşhur rus mühəndisi

V.Q.Jukov (1853-1939), tərəfindən məharətlə istifadə edilərək, polad

qüllələrinin əlamətdar konstruksiyasını yaratmışdır (bunların 200-dən çoxu

tikilib). Onlar konstruksiyanın sadəliyi, az metal sərfi və möhkəmliyi ilə

fərqlənir. Onun məşhur yaradıcılığından biri - 150 metr yüksəklikdə və 40

metr diametrində (1922-ci ildə tikilmiş) bir radioqüllə Moskvada

Şabolovkada yerləşir. Qüllə altı 25 metr hündürlüklü hiperboloid bölmələrdən

ibarətdir. Qərb mütəxəssisləri bu qüllənin təkmilləşdirilməsini yüksək

qiymətləndirdilər və Dünya İrsi Siyahısına layiqincə daxil olduğunu

tanımışlar.

133


1. Hansı səthlər fırlanma səthi adlanır?

2. Hansı müstəvi meridional müstəvi adlanır?

3. Fırlanma səthinin paralel və meridianı nəyə deyilir?

4. Fırlanma səthinin baş meridian nəyə deyilir?

5. Fırlanma səthinin ekvator və boğazı nəyə deyilir?

6. Düz xəttin fırlanmasından hansı səthlər yaranır?

7. Birsahəli fırlanma hiperboloid səthinin hər bir nöqtəsindən neçə düz xətli

doğuran keçirmək olar?

8. Çevrənin diametrlərinin birinin ətrafında fırlanmasından hansı səth yaranır?

9. Çevrənin mərkəzindən keçməyən düz xətt ətrafında fırlanmasından hansı səth

yaranır?

10. Ellipsin oxu ətrafında fırlanmasından hansı səth yaranır?

11. Parabolanın oxu ətrafında fırlanmasından yaranan səth necə adlanır?

12. Hiperbolanın həqiqi və minimum oxları ətrafında fırlanmasından hansı

səthlər yaranır?

8.1. ƏYRİ SƏTHİN MÜSTƏVİ İLƏ KƏSİŞMƏSİ

Əyri səthin müstəvi ilə kəsişməsi nəticəsində yastı əyri alınır. Bu əyri həm

səthə, həm də müstəviyyə mənsub olur. Kəsişmə nəticəsində alınan əyrinin

müstəvi üzərində əmələ gətirdiyi fiqura kəsik deyilir.

Silindr və konusun müstəvi ilə kəsişməsindən alınan əyri səthin doğuranları

ilə verilən müstəvinin kəsişməsindən alınan nöqtələrin köməyi ilə qurulur.

Kəsişmə əyrisinin qurmaqdan ötrü köməkçi kəsən müstəvilərdən də istifadə edilir.

Müstəvilərdən başqa, yalnız siindrik səth proyeksiya müstəvisinə düz

xəttə poyeksiyalana bilər.

Şək. 137-də silindrik fırlanma səthinin ixtiyarı vəziyyətli α müstəvisi ilə

kəsişməsi göstərilib.

Müstəvi silindr səthini ellips üzrə kəsir. Horizontal proyeksiya müstəvisinə

ellips çevrəyə, frontal proyeksiya müstəvisinə isə — ellipsə proyeksiyalanır.

Kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyasın təyin etmək üçün kəsişmə xəttinə mənsub

bir sınra nöqtələrin frontal proyeksiyalarını, nöqtənin müstəvi üzərində olması

şərtinə əsasən təyin etmək lazımdır.

Əvəlçə kəsişmə xəttinin yuxarı və aşağı nöqtələrinin proeksiyalarını (A və B

nöqtələri) tapaq. Bu nöqtələr horizontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar

və silindr səthinin oxundan keçən β müstəvisi üzərində (α müstəvinin eniş xətti

üzərində) yerləşir.

134

Şək. 137

Şək. 138 Şək. 139

135

Kəsişmə xəttinin silindr səthinin qabaq hissısində yerləşən hissəsinin

frontal proyeksiyada görünən, əks tərəfdə isə görünməyən olacaqdır.

Görünən hisənin sərhədləri silindr səthinin baş merdian müstəvisində (γ

müstəvisində) yerləşən C və D nöqtələridir. Bu nöqtələrin a müstəvisinə mənsub

olması şərtinə əsasən onların frontal proyeksiyaları tapılır.

Kəsişmə xəttinə mənsub olan digər nöqtələrin frontal proyeksiyaları, anoloji

olaraq tapılır.

Şək. 138-də proyeksiyalayıcı α müstəvisi silindr səthinin bütün

doğuranlarını kəsir. Kəsişmə xətti—ellipsdir. Onun frontal proyeksiyası e"—

kəsici müstəvinin horizontal izi άH ilə üst-üstə düşən düz xətt parçasıdır.

Horizontal proyeksiyası e' — çevrədir.

Şək. 139-da horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi ά silindrik səthin

doğuranlarına paraleldir, ona görədə müstəvi silindr səthini a və b döğuranları

üzrə kəsir. Bu doğuranların horizontal proyeksiyaları bu müstəvinin horizontal izi

ilə silindrin horizontal proyeksiya müstəvisidə alınan proyeksiyası, cevrə ilə

kəsişmə nöqtələrinin üzərinə düşür.

Şək. 140, 141 və 142-də kəsici müstəvinin konus səthinin doğuranlarına

nəzərən müxtəlif vəzyyətlərdə kəsişməsi variantları gösrtərilmişdir.

1.Müstəvisi konusun oxuna perpendikulyar olmayıb onun bütün

doğuranlarını kəsərsə, α1 müstəvisi konus səthini ellips boyunca kəsir (şək. 140).

2. Xüsusi halda α2 müstəvisi konusun oxuna pendikulyar olduqda, o konus

səthini çevrə üzrə kəsir (şək. 140).

3.Əgər β1 müstəvisi konusun doğuranlarından birinə parale lolarsa, onların

kəsişməsi nəticəsində parabola alınar (şək. 141).

4.Əgər β2 müstəvisi konusun təpə nöqtəsindən keçərsə, o konus səthini iki

doğurannı üzrə kəsir və kəsikdə bərabəryanlı üçbucaq alınır (şək. 142)..

5.Əgər γ müstəvisi konusun iki doğuranlarına paralel olarsa, onların

kəsişməsi nəticəsində hiperbola alınar (şək. 142).

Frontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə kürə səthinin kəsişməsinə baxaq

(şək.143).

İstənilən müstəvi tor səthini çevrə üzrə kəsir. Çevrə frontal proyeksiya

müstəvisinə müstəvinin frontal izi ilə üst-üstə düşən çevrənin diametrinə bərabər

olan А"В" düz xətt parçasına proyeksiyalanır. Horizontal proyeksiya

müstəvisində çevrə ellipsə proyeksiyalanır.

Ellipsin böyük oxu çevrənin diametrinə, başqa sözlə çevrənin frontal

proyeksiyasının uzunluğuna bərabər, kiçik oxu isə AB düz xətt parçasının

horizontal proyeksiyasına bərabərdir. Е1 и Е2 nöqtələri (əyrinin görünən

sərhədləri) kürənin ekvatorunda yerləşir.

136

Şək. 140 Şək.141 Şək. 142'

Şək. 143-də horizontal proyeksiyalayıcı γ müstəvi ilə tor səthinin kəsişmə

xəttinin qurulması göstərilmişdir.

Kəsici müstəvi horizontal proyeksiyalayıcı olduğundan, kəsişmə xəttinin

horizontal proyeksiyası müstəvinin horizontal izi ilə γH üst-üstə düşən А'В' düz

xətt parçasına proyeksiyalanır. Səthə с1, с2, с3…с6 paralellərini keçirməklə və

onların üzərində kəsişmə xəttinə mənsub olan 1, 2, 3…9 nöqtələri tapmaqla

kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyası qurulur.

A, B, C və D nöqtələri kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələrdir. A və B (qövsün

başlanqıc və son nöqtəlri) nöqtələri torun oturacağında yerləşir. C nöqtəsi (ən

yüksək nöqtədir) kəsişmə xəttinin horizantal proyeksiyasına toxunan c6 paralleli

üzərində yerləşir. D nöqtəsi (əyrinin görünən sərhəddi) səthin frontal meridianı

üzərində yerləşir.

137

Şək.143

8.1.1. Кonus səthi ilə müstəvinin кəsişməsi

Düz dairəvi кonus səthini müstəvi ilə кəsdiкdə aşağıdaкı хətlər alına bilər:

-müstəvi кonusun təpə nöqtəsindən кeçib oturacağını кəsdikdə, кəsiкdə

bərabərtərəfli üçbucaq;

-müstəvi кonusun oхuna perpendiкulyar olduqda, кəsiкdə çevrə;

-müstəvi кonusun oхu ilə 900 - dən fərqli bucaq əmələ gətirib, кonusun heç

bir doğuranına paralel olmadıqda, кəsiкdə ellips;

-müstəvi кonusun yalnız bir doğuranına paralel olduqda, кəsiкdə parabola;

-müstəvi кonusun iкi doğuranına paralel olduqda, кəsiкdə hiperbola.

Düz dairəvi konus səthinin frontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə

kəsişməsindən alınan əyrinin qurulmasına baxaq (şək. 144).

Berilmiş α müstəvisi konus səthinin oxu ilə ixtiyarı bucaq təşkil etdiyi üçün

həmin səthi ellips üzrə kəsəcəkdir.

Axtarılan ellipsin frontal proyeksiyası düz xətt parçası olub α müstəvisinin

138

yığıcı xassəyə malik frontal proyeksiyası üzərinə düşəcəkdir. Kəsikdə alınan

əyrinin horizontal proyeksiyası isə ellips olacaqdır.

Kəsimdə alınan əyri konus səthinin doğuranlarının verilmiş α müstəvisi ilə

kəsişməsindən alınan nöqtələrin köməyi ilə qurulyr. α müstəvisi konus səthinin

frontal proyeksiyasını ğörünən doğuranlarını A və B nöqtələrində kəsir . AB düz

xətt parçası axtarılan ellipsin böyük oxu olub, F müstəvisinə paralel yerləşir.

Ellipsin oxları bir-birinə perpendikulyar olub, CD kiçik oxu AB düz xətt parçasını

iki bərabər hissəyə bölüb, F müstəvisinə perpendikulyar olacaqdır. D və C

nöqtələrinin frontal proyeksiyaları А"В" proyeksiyası üzərində yerləşib, onu iki

bərabər hissəyə böləcəkdir.

,F Ф ?

AB böyük ox,

FCDABCD ;3 CS DS 4

CD -kiçik ox.

Şək. 144

139

Həmin nöqtələrin horizontal proyeksiyalarını qurmaq H müstəvisinə paralel

β köməkçi müstəvi keçirilir. β müstəvisi konus səthini çevrə boyunca α

müstəvisini isə onun horizontalı üzrə kəsəcəkdir. Aralıq E və F nöqtələri H paralel

köməkçi γ və δ paralel müstəvilərindən istıfadə edməklə qurulur.

Tapdığımız nöqtələrin horizontal proyeksiyalarını səlis əyri ilə birləşdirərək

ellipsi qururuq. Aldığımız bu ellips konus səthinin α müstəvisiilə kəsişməsi

nəticəsində alınan əyrinin horizontal proyeksiyası olacaqdır.

Müstəvi ilə əyri səthin кəsişməsindən həm müstəviyə həm də səthə mənsub

olan ya düz хətt və ya yastı əyri хətt alınır. Кəsişmə nəticəsində alınan хəttə кəsiк

deyilir.

Müstəvi ilə səthin кəsişmə хəttini qurmaq üçün əsas iкi üsuldan istifadə

edilir:

1. Səthin doğuranları ilə müstəvinin кəsişmə nöqtələri tapılır. Həmin nöqtələrin

həndəsi yeri müstəvi ilə verilmiş səthin кəsişmə хətti (кəsiyi) olur. Bu üsul

doğuranları düz хətdən ibarət olan səthlərin müstəvi ilə кəsiyinin qurulmasında

daha geniş istifadə edilir.

2. Кöməкci кəsici müstəvilərdən istifadə etməкlə, əsas etibarılə doğuranları

əyri хətdən ibarət olan səthlərin müstəvi ilə кəsişməsində istifadə olunur.

Şək. 145-də konus səthinin ixtiyarı vəziyyətli müstəvi ilə kəsişmə xəttinin

qurulması göstərilib. Bu halda α müstəvisi konus səthini ellips, oturacağın isə —

BC düz xətt parçası üzrə kəsir.

Şək. 145

140

Əvvəlcə kəsişmə nöqtəsininən yuxarı A nöqtəsin tapaq. Ən yuxarı nöqtə α

müstəvisinə perpendikulyar konus səthinin oxundan keçən horizontal proyeksiya

müstəvisinə perpendikulyar β müstəvisinə mənsubdur. Müstəvi β konusu SL

doğuranı üzrə, α müstəvisi isə a düz xətti üzrə kəsir. Bu düz xətlərin

kəsişməsindən A nöqtəsi tapılır. Aşağı nöqtələr konusun oturacaq müstəvisi γ ilə

α müstəvisinin kəsişmə xətti b horizontalı üzərində yerləşən B və C nöqtəlrindən

ibarətdir.

D nöqtəsi konusun kənar döğuranı üzərində—əyrinin frontal proyeksiyasının

görünən sərhəddində yerləşən nöqtədir. Bu nöqtəni tapmaq üçün konusun SK

doğuranı, müstəvini isə frontal е ilə kəsən köməkçi proyeksiyalayıcı ε müstəvidən

istifadə edilib. Onların kəsişməsindən —D nöqtəsi alınır.

Konus səthinin oxuna perpendikulyar köməkçi müstəvilərdən istifadə

etməklə aralıq nöqtəlri təyin edilir. Bu müstəvilər α müstəvisi ilə horizontal,

konus səthini ilə isə çevrə üzrə kəsişir. Məsələn δ müstəvisin keçirməklə, E və G

nöqtələrin tapaq. Bu nöqtələrin proyeksiyaları δ müstəvisi ilə konusun kəsişmə

xətti с çevrənin və δ və α müstəvilərinin kəsişmə xətti d horizontalın üzəində

yerləşir.

8.1.2. Silindr səth ilə müstəvinin кəsişməsi

Müstəvi ilə silindr səthi кəsişdiкdə aşağıdaкı хətlər alına bilər.

1. Müstəvi silindr oхuna paralel olarsa - düzbucaqlı;

2. Müstəvi silindrin oхuna perpendiкulyar olarsa - çevrə;

3.Müstəvi silindrin oхu ilə 00 və 900 – dən fərqli bucaq təşкil edərsə - ellips.

Şəк. 146-da düz dairəvi silindr səthinin frontal - proyeкsiyalayıcı müstəvi

ilə кəsişməsindən alınan fiqurun qurulması göstərilmişdir.

Çertyojdan göründüyü кimi müstəvi silindrin bütün yan səthini kəsir.

Məlumdur ki, müstəi silindrin oxu ilə ixtiyarı bucaq (900-dən fərqli) əmələ

gətirərsə, bu müstəvi ilə silindrin səthinin kəsişməsi nəticəsində ellips alınacaqdır.

Burada axtarılan kəsişmə əyrisi, yəni ellipsin frontal proyeksyası düz xətt

parçası olub, kəsən müstəvinin yığıcı xassəyə malik frontal izi üzərində

yerləşəcəkdir. silindr horizontal proyeksiyalayıcı olduğundan onun horizontal

proyeksiyası silindirin yığıcı xassəyə malik proyeksiyası cevrə üzərinə düşür.

Kompleks çertyojda əsişmə xəttinin yalnız profil ptoyeksiyasın qurmaq lazımdır.

Əvvəlcə хaraкteriк (1" və 7") nöqtələri müəyyən ediriк. Aralıq nöqtələri

qurmaq üçün silindrin doğuranları ilə verilən müstəvinin kəsişmə nöqtələri təyin

edilir. Doğuranların frontal proyeкsiyaları ilə verilən müstəvinin frontal izinin

кəsişmə nöqtələrini qeyd ediriк (K" ,4", 5" və 7" nöqtələri). Bu nöqtələrin profil

proyeкsiyalarını müəyyən etdiкdən sonra (K"' ,4"', 5"' və 7"' nöqtələri) onları

və хaraкteriк nöqtələri ardıcıl olaraq birləşdirilir (şəк. 146).

141

Şəк. 146


1. Hansı müstəvilər proyeksiya müstəvisinə nəzərən proyeksiyalayıcı vəziyyət

ala bilər?

2. Proyeksiyalayıcı silindrik səth ilə ixtiarı müstəvinin kəsişmə xəttinin

proyeksiyası hansı xətdir?

3. Proyeksiyalayıcı silindrik səth ilə onun oxuna nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə

yönələn proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə xəttinin proyeksiyası hansı

xətdir?

8.2. FIRLANMA SƏTHİNİN DÜZ XƏTLƏ KƏSİŞMƏSİ

Düz xətlə fırlanma səthinin kəsişmə məsələsi, çoxüzlülərin düz xətlə

kəsişməsi kimidir. Burada da onların kəsişməsi nəticəsində iki nöqtə alınır,

onlardan biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsi adlanır. Bu nöqtələri qurmaq üçün:

142

1) verilmiş düz xətdən köməkçi bir müstəvi keçirilir;

2) bu köməkçi müstəvi ilə fırlanma səthinin kəsişməsindən alınan əyri

qurulur;

3) verilmiş düz xətlə kəsişmə nəticəsində alınmış əyrinin kəsişmə nöqtəsi

qurulur.

Köməkçi müstəvi, düz xətdin və fırlanma səthinin proyeksiya müstəvilərinə

nəzərən vəziyyətindən asılı olaraq seçilməlidir.

Köməkçi müstəvisi elə seçilməlidir ki, kəsişmə nəticəsində sadə əyri alınsın.

Məsələn konusun təpəsindən keçən müstəvi onu doğuranları boyunca, yəni təpə

nöqtəsindən keçən iki kəsişən düz xətt boyunca kəsir.

Silindr isə oxuna paralel olan müstəvi onu doğuranları, yəni iki paralel düz

xətt boyunca kəsir.

Horizontal proyeksiya H müstəvisinə paralel AB düz xətti ilə, oturacağı H

üzərində yerləşən düz dairəvi konusun kəsişmə nöqtələrini qurmaq tələbolunursa,

onuaşağıdakı kimi yerinə yetirirlər.

Verilən AB düz xətti H müstəvisinə paralel olduğu üçün, bu düz xətdən

köməkçi müstəvini də H müstəvisinə paralel keçirmək əlverişlidir.Ona görə

ki,belə müstəvi konusun oxuna perpendikulyar olduğundan onu çevrə üzrə

kəsəcəkdir. Aldığımız bu çevrə ilə AB düz xəttinin və 1 və 2 kəsişmə nöqtələri

məsələdə tələb olunan giriş və çıxış nöqtələridir (şək.147 ).

Şək.147

143

Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi konusun kəsişmə

nöqtələrinin qurulma qaydası şək. 148–də göstərilmişdir. Kəsişmə nöqtələrinini

qurmaq üçün a düz xəttindən və konusun S təpə nöqtəsindən keçmək şərti ilə

köməkçi α müstəvisini keçiririk. Bu müstəvini iki kəsişən düz xətt. kimi təsvir

edirik Düz xətlərdən biri verilmiş a düz xətti, digəri isə d düz xəttidir. Köməkçi

müstəvi konusu doğuranları üzrə kəsir. α müstəvisi ilə konusun kəsişməsindən

alınan doğuranları qurmalı. Bu doğuranların hər birini qurmaq üçün iki nöqtə

məlum olmalıdır.Nöqtələrin biri konusun S təpə nöqtəsi, ikinci nöqtəisə konusun

oturacaq çevrəsi ilə α müstəvisinin kəsişməsindən alınır Konusun oturacağı H

müstəvisi üzərində olduğu üçün α müstəvisinin αH horizontal izini qururuq. αH

horizontal izi a və d düz xələrinin aH və dH horizontal izlərindən keçən düz

xətlərdir.

α müstəvisinin aH horizontal izi konusun oturacağıolan 1 və 2 nöqtələrindən

keçir. 1və 2 nöqtələrini təpə nöqtəsi ilə birləşdirən 1S və 2S doğuranları a düz

xəttini E vəC nöqtələrində kəsir ki,bu nöqtələrdən biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsi

olacaqdır.

.

Şək.148

Şək. 149–da düz dairəvi silindrik səthlə hər hansı AB düz xəttinin kəsişməsi

təsvir olunmuşdur. Həmin silindrin doğuranları H müstəvisinə perpendikulyar

144

olduğundan, onun yan səthi horizontal proyeksiyalayıcı sıth olur. Silindrin üst

oturacağı H müstəvisinə paralel vəziyyətdə olduğundan, bu oturacaq frontal

proyeksiyalayıcı müstəvi hesab olunmalıdır. Buna görə də həmin məsələnin həlli,

AB düz xətti ilə horizontal proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtələrini

tapmaqdan ibarət olur.

Şək.149

Verilmiş a düz xətti ilə oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən maili

silindrin kəsişmə nöqtələrinin qurulması şək. 150-də göstərilmişdir.

Bu məsələni həll etmək üçün verilmiş a düz xəttinin hər hansı iki ixtiyarı A

və B nöqtələrindən silindrin doğuranlarına paralel c və d düz xətləri çəkilir. c

və d düz xətlərini silindrin doğuranlarına paralel çəkməklə γ müstəvisini

keçiririk ( bu müstəvi iki paralel düz xətt kimi təsvir olunur).

Alınan γ müstəvisinin γH horizontal izi qurulur. Silindrin alt oturacağı H

müstəvisi üzərində yerləşdiyi üçün γ müstəvisinin γH horizontal izini qurulur.

γH horizontal iz a və d düz xətlərinin aH və dH horizontal izlərindən keçən düz

xətt olar.

γ müstəvisini γH horizontal izi silindrin oturacağıolan çevrəni 1 və 2

nöqtələrindəkəsir. 1 və 2 nöqtələrindən çəkilən 1′1" və 2′2" doğuranları a düz

xəttini E və F nöqtələrində kəsir. Aldığımız bu nöqtələr məsələdə verilmiş düz

xətlə maili silindrin kəsişmə nöqtələri olub, biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsidir.

145

Şək.150

AB düz xətti ilə kürə səthinin kəsişmə nöqtələrinin qurulması şək.151-də

verilmişdir.

Kəsişmə nöqtələrini qurmaq üçün əvəzləmə üsulundan istifadə edirik. Bu

məsələdə F müstB düz xəttinə paralel və eləcə də H müstəvisinə perpendikulyar

F1 müstəvisi ilə əvəz edirik. Bundan sonra isə, AB düz xəttinin H−F1 sistemində

A"1B"1 frontal proyeksiyasını qururuq. Bunun üçün AB düz xəttinin F1

müstəvisinə paralel horizontal proyeksiyalayıcı a müsəvisini keçiririk. a müsəvisi

kürə səthini çevrə üzrə kəsir. H−F1 sistemində: kəsişmədən alınan çevrə ilə yeni

A"1B"1 frontal proyeksiyasının kəsişməsindən E"1 və F"1 nöqtələrini

qururuq. Sonra bu nöqtələrin əvvəlki (E, E") və (F, F")vəziyyətlərini alırıq. Bu

nöqtələr tələb olunan girişvə çıxış nöqtələri olur.

146

Şək.151

İxtiyarı düz xət ilə qapalı tor səthinin kəsişmə nöqtələrini təyin etmək üçün

düz xətdən δ(δF). frontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirilir (şək.152). Sonra

müstəvi ilə tor səthinin kəsişməsindən alınan kəsik qurulur:

Müstəvinin tor səthinin oturacağını kəsən 1 və 2 −nöqtələri və tor səthinin

görünən doğuranı üzərində olan 3− dayaq nöqtəsi qurma əməliyyatı aparmadan

təyin edilir;

Həmşinin 4 və 5 −nöqtələri də dayaq nöqtələridir (doğuran üzərində olub

proyeksiyaları tor səthinin oxu üzərinə düşür) .

Tor səthinə mənsub olan 4 və 5 −nöqtələr γF köməkçi müstəvi vasitəsi ilə

təyin edilir.

Aralıq 6,7,8,9 nöqtələri γ1F və γ2F müstəvilər keçirtməklə anoloji olaraq

qurulur.

Alınan nöqtələr səlis xətlə birləşdirilir.m –xətti tor səthi ilə δ(δF)

müstəvisinin kəsişmə xəttidir. Sonra alınan xətt ilə A və B və görünən və

görünməyən hissələri təyin edilir. A və Bnöqtələri düz xətlə tor səthinin axtarılan

kəsişmə nöqtələridir.

147

Şək.152


1. Xətt ilə səthin kəsişmə nöqtəsi nəyə deyilir?

2. Nə üçün xətt və səth proyeksiyalayıcı vəziyyətdə olduqda onların kəsişmə

xəttinin qurulması əsaslı olaraq sadələşir?

3. Umumi halda xətt ilə səthin kəsişmə xəttini qurmasının həlli alqoritmin izah

etməli.

4. Hansı hallarda düz xətlə səthin kəsişmə nöqtəsin təyin etmək üçün köməkçi

proyeksiyalayıcı müstəvilərdən istifadə edilməsi əlverşlidir?

5. Hansı hallarda düz xətlə səthin kəsişmə nöqtəsin təyin etmək üçün köməkçi

ixtiyarı müstəvilərdən istifadə edilməsi əlverşlidir?

148

8.3. ЯЙРИ СЯТЩЛЯРИН БИР-БИРИ ИЛЯ КЯСИШМЯСИ

İki əyri səthin kəsişməsi nəticəsindəümumi halda birvə ya iki qapalı fəza

əyrisi alınır.Səthlərin kəsişmə əyrisinin qurulması onun xarakter və aralıq

nöqtələrinin tapılması ilə başlanır. Qeyd etmək lazı mdı r ki, həmin nöqtələr olub,hər iki səthə mənsubdur.

Umumi halda bu nöqtələri qurmaq üçün köməkçi səthdən istifadə

edilir. Köməkçi səth elə seçilməlidir ki, həmin səth ilə verilmiş səthlərin kəsişməsindən sadə həndəsi fiqur (düz xətt və ya çevrə) alınmş olsun.

Bu məqsədlə köməkçi səth olaraq müstəvi və kürə səthdən geniş istifadə edilir.

Bu halda sthlərin kəsişmə xəttinə mənsub olan nöqtələri təyin etmək üçün

köməkçi kəsən müstəvilər üsulundan istifadə edilir (şək. 153).

Bu metodun mahiyyəti, a və β səthlərin kəsişmə xəttinin nöqtələrini tapmaq

üçün köməkçi γ bir səth keçirilir və köməkçi səthlə verilmiş səthlərin kəsişməsinin

m və n xətləri təyin edilir.

Şək.153

Alınan xətlərin kəsişməsindən, köməkçi həm də kəsişən səthlərə mənsub

olan A və B nöqtəsi yerləşir. Yəni bu nöqtə səthlərin kəsişmə xəttinə aiddir.

Bir sıra köməkçi səthlərin keçirməklə, kəsişmə xəttinə mənsub olan kifayət

qədər nöqtələr tapırıq.

Köməkçi səth olaraq, həm əyri səthlərdən və həm də müstəvilərdən istifadə

etmək olar. Son halda təsvir olunan üsul köməkçi kəsən müstəvilər üsulu adlanır.

149

Köməkçi səthləri elə seçmək lazımdır ki, onun səthlərlə kəsişməsinin

qurma əməliyyatı sadə alınsın, və kəsişmə xətti proyeksiya müstəvisinə sadə

xətt şəkilində proyeksiyalansın (düz xətt və ya çevrə).

Yuxarıda göstərilən köməkçi səthlərdən əsasən iki fırlanma səthinin

kəsişməəyrisinin qurulmasında çox istifadə olunur.

Verilmiş səthləri formasından və onların oxlarının qarşılıqlı vəziyyətindən

asılı olaraq köməkçi səth seçilir.

Köməkçi səthlər üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqtələrinin qurulmasıüçün

aşağıdakı üç əməliyyat yerinə yetirilir.

Verilmiş əyri səthləri kəsən köməkçi səth keçirilir. Köməkşi səth elə seçilir

ki, verilmiş səthləri kəsdikdə alınanxətlərin proyeksiyaları düzxətt və ya

çevrələrdən ibarət olsun;

Köməkçi səth ilə verilmiş hər bir səthin kəsişməsindən alınan xətlər qurulur;

Qurulanan kəsişmə xətlərinin ortaq nöqtələri qurulur.

Bu nöqtələr verilmişiki səthin kəsişmə xətlərinin nöqtələri olur.

İki səthin kəsişmə xəttinin nöqtələrini xüsusi (xarakter vəya dayaq adlanan)

aralıq nöqtələrə ayırırlar.

Kəsişmə xəttini qurmaq üçün əvvəlcə onun xarakter nöqtələrini müəyyən

etmək lazımdr.

Характерик (dayaq) nöqtələri aşağıdakılardır:

1.Kəsişən səthlərin kənar doğuranları üzərində yerləşən nöqtəər.

2.Kəsişmə xəttinin yuxarı və aşağı, sağ və sol,qabaq və arxa nöqtələri.

3.Kəsişmə xəttinin görünən və görünməyən hissələrini ayıran nöqtələr.

Kəsişmə nöqtələrinin qalan nöqtələri isə aralq nöqtələri adlanı.

İki frlanma səthinin kəsişməsi nəticəsində ümumi halda bir,yaxud iki fəza

əyrisi alınır.Xüsusi halda bu fəza əyriləri yastı əyrilərə (ellips,çevrə,qövs) və düz

xətlərəçevrilə bilər.

Səthlərin kəsişmə xəttininin görünən və görünməyən hissələrini müəyyən

eərkən, nəzərdə almaq lazımdır ki,əyri səthlərin görünən doğuranlarının

kəsişməsindən –görünən nöqtələr; iki kəsişən doğuranlardan heç olmasa biri

görünməyən olduqda isə görünməyən nöqtələr alınır.

Fırlanma səthlərinin kəsişmə xətti aşağıdakı ardıcıllıq üzrəqurulur.

1. Verilmiş kəsişən slərdən hansının proyeksiyalayıcı olduğunu

müəyyənləşdirmək.Bu səthin yığıcı xassəyə malik proyeksiyalarıeyni zamanda

kəsişmə xəttinin də proyeksiyasıdır.

2. Kəsişməxəttinin hansı proyeksiyalarını qurmaq lazımolduğu

aydınlaşdırmaq.

3. Səthlərin kəsişməsindən alınan xətlərin yastı və ya fəza əyrisi olmasını

,eləcə də xətlərin proyeksiyalarının xarakterini aydınlaşdırmaq.

4. Səthlərin kəsişmə xəttinin nöqtələrini qurmaq üçün əlverişliüsul seçmək.

5. Kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələrini qurmaq.

6. Kəsişmə xəttinin kifayət sayda aralıq nöqtələrini qurmaq.

7. Kəsişmə xəttinin görünən və görünməyən hissələrini aydınlaşdırmaq.

8. Kəsişmə xəttinə aid qurulmuşnöqtələri müəyyən ardıcıllıqla birləşdirmək.

150

8.3.1. Köməkçi kəsici müstəvilər üsulu

Səthlərin kəsişmə xəttininin nöqtələrini qurmaq üçün ən çox istifadə olunan

üsullardan biri köməkçi kəsən müstəvilər üsuludur.Köməkçi müstəvilər birqayda

olaraq proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel və ya perpendikulyar keçirilir.

Kəsişmə xəttinib üsulla əsasən qurduqda yuxarıda göstərilən ümumi qayda və

ardıcıllıqla istifadə edilir. qurulmasını

Şək.154-də iki müxtəlif diametrli silindr səthinin kəsişmə xəttinin qurulması

göstərilmişdir.Silindrlərin kəsişməsi nəticəsində iki simmetrik (sağ və sol) qapalı

fəza əyrisi alınır. Diamerti d1 olan silindr−horizontal,diametri d2 olan silindr isə

profil proyeksiyalayıcıdır. Məhz buna görə də, kəsişmə xəttinin horizontal və

profil proyeksiyaları silindrin yığıcı xassəyə malik proyeksiyaları üzərinə düşür.

Kompleks çertyojda kəsişmə xəttinin yalnız frontal proyeksiyasını qurmaq

lazımdır.

Məsələni köməkçi kəsən müstəvilər üsulun köməyi ilə hıll edək.

Bu məqsədlə frontal müstəvilər tətbiq etmək əlverişlidir. Onlar verilmiş

silindrləri doğuranları üzrə kəsir.

Kəsişmə xəttini qurmaq üçün əvvəlcə onun xarakter nöqtələrini tapmaq

lazımdır.

Hər iki silindrin fırlanma oxlarından frontal α köməkçi müstəvi keçirilir (şək.

154).

Şək.154

151

Bu müstəvi silindri kənar döğuranlar üzrə kəsir. Doğuranların kəsişməsi

nəticəsində 1 yuxarı və 2 aşağı, 3 və 4 arxa xarakter nöqtələri alınır. Bu nöqtələrin

1" və 2" frontal proyeksiyaları doğuranların frontal proyeksiyalarının kəsişdiyi

nöqtələrdir.

Kəsişmə xəttinin aralıq nöqtələrinini qurmaq üçün silindrlərin simmetriya

oxlarından eyni məsafədə frontal β1, β4 və β2, β3 köməkçi müstəvilər keçirilir

(şək.154).

β1 müstəvisi d1 diametrli silindri onun diametrinə bərabər çevrə üzrə, d2

diametrli silindri isə doğuranları boyunca kəsir. Alınmış doğuranların

kəsişməsindən 5 və 6 nöqtələri, həmin doğuranların frontal proyeksiyalarının

kəsişməsindən isə onların 5" və 6" frontal proyeksiyaları alınır.

Eyni qayda ilə digər 7,8,9,10,11 və 12 aralıq nöqtələr tapılır.

Alınmış nöqtələr ardıcıl olaraq səlıs əyri ilə birləşdirilərək, silindrlərin

kəsişmə xəttinin axtarılan frontal proyeksiyası qurulur.

Hər iki silindr frontal α müstəvisinənəzərən simmetrik olduğundan onların

kəssişmə xəttinin frontalproyeksiyasının görünən vəgörünməyən hissələri üst-

üstə düşür. Şək. 155-də О mərkəli kürə səthi ilə fülanma oxu horizontal proyeksiya

müstəvisinə perpendikulyar konusun kəsişmə xəttinin qurulması göstərilib.

Şək. 155

152

A, B və C kəsişmə xəttinin xaraktr nöqtələrinə (dayaq nöqtələri) aiddir. A və

B nöqtələri kəsişmə xəinin aşağı və yuxarı nöqtələridir. Onların frontal

proyeksiyaları konus oxundan və kürənin O mərkəzindən keçən ε müstəvisi

üzərində yerləşən verilən səthlərin böyük meridianın frontal proyeksiyalarının

kəsişmə xətti üzərində təyin edilir. C nöqtəsi kəsişmə xəttinin horizontal

proyeksiya müstəvisində görünən-görünməyən hissələrinin sərhəd nöqtəsidir.

Belə ki, konus səthi horizontal proyeksiyada tam görünür, amma tor səthinin

yuxar ıhissəsi e ekvatoruna qədər görünür, ona gərə də C nöqtəsi torun ekvatoru

üzərində yerləşir. C nöqtəsini təyin etmək üçün е ekvatorunudan α müstəvisi

keçirilir və müstəvinin konus səthi ilə kəsişməsindən alınan paralel c

proyeksiyası qurulur. Ekvator e və c paralelin proyeksiyalarının kəsişməsindən

alınan kəsişmə xəttinin görüntüsünü dəyişən iki, С1 və С2 nöqtələri alınır.

1) verilən məsələ köməkçi konsentrik kürə üsulu ilə asanlıqla həll edilə bilər;

2) qurulan kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyası paraboladır. Kəsişmə xəttinin

aralıq nöqtələrin bir sıra paralel horizontal β, γ, δ kəsici müstəvilər keçirməklə

tapılır. Bu müstəvilərin hər biri verilən səthlə çevrələr üzrə kəsişir (paralellər) с1, с2,

с3, с4, с5, с6 və onların kəsişməsindən istənilən D1, D2, E1, E2, F1, F2 nöqtələri təyin

edilir.

8.3.2. Konsentrik kəsici kürə səthləri üsulu

Bəzi hallarda səthlərin kəsişmə xəttinin qurulmasında köməkçi səth olaraq

müstəvi deyil, kürədən istifadə edilməsi məsədəuyğundur. Onların tətbiqi eyni

fırlanma oxlu sətlərin çevrə üzrə kəsişməsi xassəsinə əsaslanır. Bir umumi oxu

olan səthlərə eynioxlu səthlər deyilir. Bunun nəticəsi olaraq məlumdur ki, mərkəzi

fırlanma oxu üzərində yerləşən kürə bu səthi çevrə üzrə kəsir.

Bu üsul iki konsentrik və ekssentrik kəsici kürə usuluna ayrılırlar.

Umumi mərkəzli kürələrə konsentrik kəsici kürə deyilir.

Konsentrik köməkçi kürələr üsulundan üc şərti eyni zamanda nəzərə almaqla

istifadə edilir.

1. Hər iki kəsişən səthlər— fırlanma səthi olmalıdır.

2. Səthlərin oxları bir-birilə kəsişən olmalıdır.

3. Onlar proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olmalıdır.

Şək. 156-da oxları düz buçaq altında kəsişən silindr səthi ilə kəsik konusun

kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyasının qurulması göstərilib

Köməkçi kürə səthi silindr və konusun səthlərinin fırlanma oxlarının

kəsişmə O nöqtəsindən keçirilir.

Böyük, köməkçi kürənin Rmax radiusunu O nöqtəsindən kəsişmə xəttinin ən

uzaq nöqtəsinə qədər olan məsafəsinə bərabərdir.

Kiçik, köməkçi kürənin Rmin radiusunu O nöqtəsindən verilən səthlərə

çəkilmiş normalların böyünün ölçüsünə bərabər götürmək lazımdır.

Verilm səthlərin kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələri silindr və kəsik konusun

kənar doğuranlarının K və L kəsişdiyi 1 və 6 nöqtələrdir.

153

Kəsişmə xəttiin aralıq nöqtələrini qurmaq üçün Rmax və Rmin radiuslu kürələr

arasında O nöqtəsindən bir neçə köməkçi kürələr keçirməklazımdır. O

nöqtəsindən R radiuslu keçirilən kürə həmin radiusa bərabər çevrə şəkilində

proyeksiyalanır. R radiuslu çevrə silindri CD diametrli çevrə, konusu isə AB

diametrli çevrə üzrə kəsir. Çevrələrin proyeksiyalarını kəsişməsindən alınan düz

xətt parçalarının С"D" və А"В" kəsişməsindən 2"və 4" aralıq nöqtələri alınır.

Şək. 156

8.3.3. Ekssentrik kəsici kürə səthləri üsulu

Səthlərin kəsişmə xətlərinin qurulmasında əvvəlcədən təyin edilən mərkəz

nöqtəsindən yalnız bir kürə səthinin keçirilməsinin mümkün olduğu hallara da rast

gəlinir. Kəsişmə xəttinə mənsubolan ardıcıl nöqtələri təyin etmək üçün yeni

mərkəz nöqtəsinin vəziyyətinin və digər kürələrin radiuslarının ölçüsünün təyin

edilməsi lazım gəlir.

Səthlərin kəsişmə xətlərinin qurulmasında əvvəlcədən təyin edilən mərkəz

nöqtəsindən yalnız bir kürə səthinin keçirilməsinin mümkün olduğu hallara da rast

gəlinir. Kəsişmə xəttinə mənsub olan ardıcı lnöqtələri təyin etmək üçün yeni

mərkəz nöqtəsinin vəziyyətinin və digər kürələrin radiuslarının ölçüsünün təyin

edilməsi lazım gəlir.

154

Mərkəzləri bir-birinin üzərinə düşməyən kürələrə ekssentrik kürələr deyilir.

Bu üsuldan eyni zamanda üç şərti gözləməklə istifadə edilir:

1. Kəsişən səthlərdən biri — fırlanma səthi, digəri isə dairəvi en kəsikli (boru

və ya həlqəvi) olmalıdır.

2. Səthlər ümumi simetriya müstəviyə malkdir.

3. Simetriya müstəvisi proyeksiya müstəvilərindən birinə paraleldir.

Bu üsuldan istifadənin əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, bir və eyni çevrə,

bu çvrənin mərkəzindən çəkilmiş çevrə müstəvisinə perpendikulyar olan müxtəlif

radiusu sonsuz sayda kürələr çoxluğuna mənsub ola bilir.

Müxtəlif mərkəzli və ya eksentrik kürə üsulundan umumu simmetriya

müstəvisi olan fırlanma səthlərinin kəsişmə xəttinin qurulmasında istifadə edilir.

Şək.157-də həlqəvi tor səthi ilə kəsik konusun kəsişmə xəttinin qurulması

göstərilmişdir. Şəkildən gıründüyü kimi tor və kəsik konusun oxları kəsişmir.

Lakin hər iki səthlərin umumi simmetriya frontal səviyyə müstəvisinə malikdirlər.

Bundan başqa hər iki səth çoxlu sayda dairəvi kəsiklərə malikdir.

Konusun oxu F frontal proyeksiya müstəvisinə paralel, torun oxu isə həmin

müstəviyə perpendikulyardır. Torun ox kəsiyinin çevrəsinin mərkəzi və konusun

oxu F-ə paralel olan bir müstəvi üzərində yerləşir.

Səthlərin kəsişmə xətti umumu simmetriya müstəvisinə paraleldir. Sətlərin

kəsişmə xəttinin iki xarakrer A – yuxarı və D – aşağı nöqtələri tor və konusun

oçerklərinin proyeksiyalarının kəsişmə nöqtələridi. Simmetriya müstəvisinə

mənsub olan səthlərin oçerklərinin kəsişməsindən A və D xarakter nöqtələri

qurma əməliyyatı aparılmadan təyin edilir. Kəsişmə xəttinin digər nöqtələri

köməkçi ekssentrik kürə səthlərinin köməyiilə qurulur.

Həlqəvi torun i mərkəsindən α frontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirilir.

Müstəvi toru 3 mərkəzi torun orta xətti üzərində yerləşən 12(1''2'') diametrli

cevrə üzrə kəsir.

Çevrənin 3 mərkəzindən α müstəvisinə konusun oxunu O(O'') nöqtəsində

kəsənə qədər perpendikulyar (torun orta xəttinə toxunan) düz xətt çəkilir. Sonra

O(O'' ) nöqtəsin məkəz qəbul edib, konusu çevrə üzrə kəsən kürə keçirilir.

O(O'') mərkəzindən R1 radiuslu çəkilən kürə toru 12 (1''2''), kəsik konusu isə

45(4''5'') diametrli çevrə üzrə kəsəcəkdir. Bu çevrələrin kəsişməsindən α

müstəvisi üzərində kəsişmə xəttinə mənsub olan B nöqtəsi alınır. Bu qayda ilə

kəsişmə xəttinə mənsub kifayət sayda nöqtələr qurmaq olar.

C nöqtəsini təyin etmək üçün O''1 mərkəzindən köməkçi ß frontal

proyeksiyalayıcı müstəvisi və R2 radiuslu kürə keçirilir. Kürə toru 67 (6''7'')

kəsik konus ilə 89 (8''9'') diametrli cevrələr üzrə kəsəir. Bu çevrələrin

kəsişməsindən ß müstəvisi üzərində kəsişməsindən kəsişmə xəttinin C nöqtəsi

alınır.

155

Şək. 157


1. Səhlərin kəsişmə xəttini qurulmasında istifadə edilən köməkçi kəsici

müstəvilər üslun mayihəti nədir?

2. Hansı hallarda köməkçi səth olaraq ixtiyarıı vəziyyətdə müstəvilərdən

istifadə edilir?

3. Konusvarı və silindrik, iki konusvarı, iki silindrik səthlərin kəsişmə xəttin

qurarkən köməkçi müstəvi necə seçilir?

4. Hansı hallarda konsentrik kəsici kürə üsulundan istifadə edilir?

5. Köməkçi kəsici kürənin mərkəzi harada tapılır?

6. Tədbiq edilən kürələrin ən böyük və ən kiçik radiusları nəyə bərabərdir?

7. Konsentrik kürə üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqələrindən birinin qurmaq üçün

əməliyyatların ardıcıllığın təsvir edin.

8. Hansı hallarda ekssentrik kəsici kürə üsulundan istifadə edilir?

9. Ekssentrik kürə üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqələrindən birinin qurmaq üçün

əməliyyatların ardıcıllığın təsvi edin.

156

10. Hansı hallarda konus səthləri ümumi doğuranları üzrə kəsişirlər?

11. Hansı hallarda slindrik səthlər ümumi doğuranları üzrə kəsişirlər?

12. Eynioxlu fırlanma səthləri hansı xətt üzrə kəsişirlər?

8.4. ƏYRİ SƏTHLƏRİN AÇILIŞI

Səthlərin bir müstəvi üzərinə salınması nəticəsində alınan fiqura bu səthin

açılışı deyilir. Səthlər açılan və aşılmayan olur. Yanaşı döğuranları iki paralel və

ya iki kəsişən düz xətdən ibarət olan səthlər açılan səthlər adlanır. Doğuranları

belə xassəyə malik olan səthlərə silindr və konus səthlərini aid etmək olar.

Səthlərin açılışından texnikada geniş istifadə olunur.

8.4.1. Silindrik səthin açılışı

Düzdairəvi silindir səthinin açılışı dördbucaqlıdır. Bu dördbucaqlının

hündürlüyü silindrin doğuranına (l), uzunluğu isə silindrin oturacağını əmələ

gətirən çevrənin uzunluğuna (πD) bərabər olacaqdır. Bu silindrin tam açılışını

almaq üçün onun iki bərabər dairədən ibarət olan alt və üst oturacaqlarını silindrin

açılışına quraşdırmaq lazımdır (şək. 158).

Şək. 158

Silidrik səthlərin açılışının qurulmasının tələb edildiyi hallarda onu silindrik

səthin xaricinə (və ya daxilinə) çəkilən prizmatik səthə aproksimasiya edilir.

Sonra prizmanın yan səthini açılışında olduğu kimi, normal kəsik və diyirlətmə

üsulundan istifadə edilir.

Şək. 159-da dairəvi oturacaqlı ellipsik silindrin yan səthinin açılışı

göstərilib.

157

Verilən misalda silindrik səth oniki tilli prizmatik səthdə çəkilmişdir. Bu

səthin açılışı həmçinin şək. 159-də olduğu kimi diyirlətmə üsulu ilə yerinə

yetirilmişdir. Alınan açılış silindrik səthin təqribi açılışı olaraq qəbul edilir. Düz

silindr və konuu fırlanmasının açılışın qurmaq üçün səthin və açılışın

parametrlərinin analitik asılılığlarından istifadə etmək olar.

Məlumdur ki, R radiuslu h hündürlüklü silindrin yan səthi tərəfləri h və

2πR ölçülü düzbucaqlıdan ibarətdir.

Şək. 159

Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi kəsik silindrin açılışının

qurulması qaydası şək. 160 və 161 –də göstərilmişdir.

Silindrin tam açılışı onun yan səthinin açılışından və iki oturacaqdan təşkil

olunur. Verilmiş kəsik silindrin alt oturacağı radiusu R olan çevrə, üst oturacağı

isə ellips olacaqdır.

158

Silindrin yan səthinin açılışını qurmaq üçün onun üzərində bir sıra

doğuranlar götürülür. Həmin dqğuranlar F- müstəvisinə paralel olduğundan

onların frontal proyeksiyaları həqiqi boylarına bərabər alınacaqdır (şək.160).

Silindrin yan səthinin açılışının uzunluğu onun alt oturacağının uzunluğuna

(2πR) bərabərdir. Bu uzunluğ doğuranların sayına bərabər hissələrə bölünür.

Sonra isə silindrin doğuranlarının həqiqi ölçüsü ayırdığımız uyğun nöqrələrdən

çəkilmiş şaquli xəttlər üzərində qeyd olunur. Aldığımız bu doğuranların uc

nöqtələrininin səlis əyri ilə birləşdirək, kəsik silindrin yan səthinin açılışını

qurmuş oluruq (şək. 160).

Şək. 160

Verilmiş silindrin tam açılışını almaqdan ötrü onun alt və üst oruracağı yan

səthin açılışına qoşulur (şək.161). Ust oturacağın həqiqi boyu tərsimi həndəsədə

işlədilən üsullardan birinin köməyi ilə qurulur. Baxdığımız məsələdə həmin

oturacağ proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulu ilə tapılmışdır (şək. 160).

159

Şək. 161

8.4.2. Konusvarı səthin açılışı

Açılan bütün səthlər təqribi açılışdan ibarətdir, yəni bu səthlər çoxüzlülərin

(piramida və ya prizma) daxilinə və ya xaricinə aproksimasiya edilir ki, bu zaman

da onların dəqiqliyinin itməsinə gətirir (təxmini əvəz edilir).

Piramida səthinin açılışın aproksimasiya ya olunan konus səthinin təqribi

açılışı olaraq qəbul edilir. Piramidalı səthin tilləri sayı nə qədər çox olarsa,

səthlərin həqiqi və qurulmuş açılışı arasında fəqr bir o qədər az olar.

Şək. 162-də üçbucaqlar üsulu ilə konusun daxilinə çəkilmiş 12 bucaqlı

piramida ilə əvəz edilən konus səthinin açılışı göstərilib.

Səth simmetriya α müstəvisinə malik olduğundan açılış siimmetrik

fiqururdan ibarət olur. Bu müstəvidə ən qısa S-6 doğuranı yerləşir. Onun üzrə

səthin kəsilişi aparılmışdır. Səthin açılışının simmetriya oxu ən böyük doğuran S-

О ibarətdir. Doğuranların həqiqi uzunluqları S nöqtəsindən keçən horizontal

proyeksiyalayıcı düz xətt ətrafında fırlandırmaqla təyin edilir. Simmetriya

160

oxundan sağda S0-О0 bir-birinə eyni S0. təpəli bitişik altı üçbucaq çəkilir. Hər bir

üçbucaq üç tərəfli çəkilir, bu zaman iki tərəf doğuranın həqiqi uzunluğuna

bərabər, üçünçi isə qonşu bölgü nöqtələrinin oturacaq çevrə qövsünü gərən —

vətərə bərabərdir. Açılışda qurulan О0, 10, 20, ..., 60 nöqtələr səlist əyri ilə

birləşdirilir.

Açılışın ikinci yarısı birinciyə simmetrik olaraq qurulur.

Şək. 162

Şək.163,a-da oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən konusun frontal

proyeksiyasının görünən döğuranı həqiqi boyunda alınır. Kompleks çertyoja yaxın

yerdə bir S nöqtəsi qəbul edilir və bu nöqtədən l radiusu ilə φ0 mərkəzi bucağına

bərabər qövs çəkilir. Alınan dairəvi sektor konusun yan səthinin açılışını almaq

üçün,onun r radiuslu oturacağını dairəvi sektorun qövsünə quraşdırmaq lazımdır.

Kəsik konus səthinin açılışını qurmaq üçün isə onu tam konus şəkilinə

salmaq lazımdır (şək.163b). Alınan tam konusun açılışı yuxarıda göstərildiyi kimi

qurulur. Kəsik konusun açılışını almaq üçün qurulmuş tam konus səthinin

aşılışından tamamlayıcı konus səthinin açılışını çıxırlar.

Düz dairəvi konus səthinin açılışı nəticəsində mərkəzi bucağı φ0 olan

dairəvi sektor alınır. Bu bucaq aşağıdakı kimi hesablanır (şək.163,a): φ0= r∙3600/l

Burada r-konusun oturacaq çevrəsinin radiusu; l- konusun döğuranının

uzunluğudur.

161

a) b)

Şək. 163

Kəsik konusun tam açılışını almaq üçün isə, onun yan səthinin açılışına bu

konusun alt-dairəvi və üst-ellips oturacaqlarını da əlavə etmək –qoşmaq lazımdır.

Üst oturacağın həqiqi boyu üsullardan birinin köməyi ilə tapılır. Bu məsələdə

ellipsin həqiqi boyunu tapmaq üçün yastı-paralel yerdəyişmə üsulundan istifadə

olumuşdur. Kəsik konusun tam açılışı şək. 163,b-də göstərilmişdir.

Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi kəsik konusun

açılışının qurulması qaydası şək.164 və 165–də verilmişdir. Əvvəlcə konus

səthinin oturacağı ixtiyari sayda bərabər hissələrə (baxdığımız məsələdə 8

hissəyə) bölünür. Ayırdığımız nöqtələrdən konus səthinin doğuranları çəkilir.

Beləliklə, bu məsələdə, konus səthi səkkiz yan tili olan düzgün piramida səthi ilə

əvəz olunur.

Piramidanın tillərinin uzunluğu tam konusun doğuranlarının uzunluğuna (l)

bərabər olacaqdır. Məlum qayda ilə piramidanın səthinin açılışı qurulur. Açılışda

tapılan piramidanın tillərinin uc nöqtələrinin radiusu l olan qövs ilə birləşdirmiş

olsaq konus səthinin təqribi acılışı alınır.

Konus səthinin kəsik hissəsinin açılışını qurmaq üçün isə kəsiyin konus

səthi üzərində yerləşən A,B, C,D, ... nöqtələrindən istifadə olunur. Həmin nöqtələr

konusun qurduğumuz döğuranları üzərində olacaqdır. Məsələn, kəsiyin B nöqtəsi

konusun 2S doğuranı üzərində yerləşmişdir. B nöqtəsi ilə konusun təpə nöqtəsi

arasındakı BS məsafəsi qurulur. Bu məsələdə həmin məsafə fırlandırma üsulunun

köməyi ilə tapılmışdır (şək.164). Aldığımız B1S məsafəsini açılışın 20S0

doğuranı üzərindəə köçürməklə B nöqtəsinin açılış üzərindəki B0 vəziyyəti

qurulur. Eyni qayda ilə kəsiyin açılış üzərindəki A0, C0, D0, E0,...nöqtələri təyin

olunur. Alınan bu nöqtələri səlis əyri ilə birləşdirərək kəsiyin aşılışı qurulur (şək.

165).

162

Şək. 164

Şək. 165

163

IX. AKSONOMETRİK PROYEKSİYALAR

9.1. Əsas anlayış və təriflər

Dekart koordinat oxlar sisteminin şəkil müstəvisi ilə qarişılıqlı vəziyyətinin,

eyni zamanda proyeksiyalama istiqamətininin istənilən halda olması sonsuz

sayada aksonometrik oxların istiqamətləri və oxlar üzrə aksonometriyanın təhrif

əmsalları ilə bir –birindən fərqlənən çoxlu müxtəlif aksonometrik proyeksiyaların

yaradılması mümkündür.

Alman alimi Karl Polk 1860- cı ildə teorem tərtib etmişdir:”Bir müstəvi

üzərində yerləşən bir nöqtədən çıxan bir-biri ilə ixtiyarı buçaq təşkil edən üç

müxtəlif üzunluqlu düz xətt parçaları, düzbucaqlı koordinat sisteminin

başlanqıcından oxlar üzrə qoyulmuş üç bərabər düz xətt parçasının paralel

proyeksiyaları qəbul edilə bilər.

Bu teorem aksonometriyanın əsas teoremi adlanır.

Bu teoremə əsasən aksonometrik oxlar və təhrif əmsalları tamami ilə ixtiyarı

seçilə bilər.

Təcrübədə istifadə edilən aksonometrik proyeksiyaların sayı

məhdudlaşdırılmışdır. Məsələn ГОСТ 2.317-69 iki düzbucaqlı (izometrik və

dimetrik) və üç çəpbucaqlı (iki izometrik və bir –dimetrik) proyeksiyalardan

istifadə edilir.

Düzbucaqlı proyeksiyalama metodu ilə qurulmuş çertyojlar cismin forma və

ölçülərini göstərirsə də, onun əyani forması haqda tam aydınlıq yaratmırlar. Belə

halda cismin əyani təsvirinin qurulmasına ehtiyac yaranır və bu təsvir

aksonometrik proyeksiya və ya sadəcə aksonometriya adlanır.

Aksonometria yunanca axon (akso) – ox və metreo- ölçürəm mənası verən

iki sözdən ibarət olub, oxlar üzrə ölçürəm deməkdir.

Əgər proyeksiyalayıcı şüalar aksonometrik proyeksiya müstəvisinə

perpendikulyardırsa, belə aksonometriya düzbucaqlı, maili olduqda isə

çəpbucaqlı adlanır.

Şək.166–da koordinat oxlarının S istiqamətində α müstəvisi üzərinə

proyeksiyalanması sxemi göstərilmişdir.

α müstəvisi aksonomerik proyeksiya müstəvisi və ya şəkil müstəvisi

adlanır.

x, y və z koordinat oxları şəkil müstəvisinə aksonometrik ox adlanan x,

yα və Zα düz xətlərə proyeksiyalanır.

Əgər x, y və z oxları üzrə mx, my və mZ, parçaların qeyd etsək, onda

onların aksonometrk proyeksiyaları mxα, myα və mZα, bir –birinə və mx, my

və mZ. bərabər olmayan düz xətt parçası olar.

kx=mxα /mx, ky=myα /my, kZ=mZα /mZ nisbətləri oxlar üzrə aksonometrik

təhrif əmsalı adlanır.

164

Əgər proyeksiyalayıcı şüalar aksonometrik proyeksiya müstəvisinə

perpendikulyardırsa, belə aksonometriya düzbucaqlı, maili olduqda isə

çəpbucaqlı adlanır.

Şək.166

Düzbucaqlı koordinat oxları aksonometrik proyeksiya müstəvisinə təhrif

olunmuş şəkildə proyeksiyalandığı üçün cismin aksonometrik proyeksiyası da

təhrif olunur. X oxu üzrə təhrif əmsalı KX, Y oxu üzrə KY, Z oxu üzrə isə Kz ilə

işarə edilir.

Təhrif əmsalı S proyeksiyalama istiqamətinin şəkil müstəvisinənə

nəzərən meyil bucağından φ⁰ asılıdır.

Bu asılılığ aşağıdakı ifadədən təyin edilir.

k2x+k2

x+k2x =2+ ctg φ⁰ (1)

Təhrif əmsalının oxlar üzrə eynliyinə görə aksonometrik proyeksiyalar

aşağıdakı növlərə bölünürlər:

1. İzometrik proyeksiya: İzometriya – eyni ölçü deməkdir. Burada təhrif

əmsalları bütün aksonometrik oxlar üzrə eyni götürülür, yəni: Kx = KY = KZ.

2. Dimetrik proyeksiya. Dimetriya – iki aksonometrik ox üzrə ölçü eyni

olan deməkdir. Burada təhrif əmsallarından hər hansı ikisi bərabər, üçüncüsü isə

fərqli olurlar, yəni: KX=KY KZ; KX=KZ KY; KY=KZ KX.

3. Trimetrik proyeksiya. Trimetrik – üç ox üzrə ölçü müxtəlif olan

deməkdir. Burada təhrif əmsalları hər üç aksonometrik ox üzrə müxtəlif götürülür,

yəni:

KX=KY KZ.

Nöqtənin fəzadə və aksonosonometrik proyeksiyada qurulması şək.167-

də göstərilib. Fəza koordinat xətlərinə OAx , A'A aksonometrik çertyojda

165

müstəvi aksonometrik kordinat OαAxα, A'αAα, xətləri uyğun gəlir. Burada Aα

fəzadə verilmiş A nöqtəsinin aksonometrik proyeksiyasıdır.

İstənilən bir nöqtənin ortoqonal proyeksiyasının aksonometrik

proyeksiyasıyası onun ikincili proyeksiyası (şək. 167-də A'α fəzadə verilmiş A

nöqtəsinin A' horizontal proyeksiyasının ikinci proyeksiyasıdır) adlanır.

Şək. 167

Əgər fəzanın istənilən nöqtəsinin aksonometrik proyeksiyasını qurmaq

mümkünsə, onda istənilən fəza fiqurlarının aksonometrik proyeksiyaların qurmaq

olar.

Aksonometrik müstəvini və eləcə də proyeksiya şüalarını fəza koordinat

oxlarına istənilən vəziyyətdə götürmək mümkün olduqda , sonsuz miqdarda

aksonometrik proyeksiya almaq olar.

9.2. Düzbucaqlı izometriya

Düzbucaqlı izometriyada hər üç ox arasında qalan bucaqlar

1200 olur (şək.168)

İzometrik proyeksiya – eyni ölçü deməkdir.

Düzbucaqlı izometriyada kx =ky =kZ =k olduğundan, yəni bütün üç

aksonometrik oxlar üzrə təhrif əmsalları 0,82-yə bərabərtir.

166

Təcrübədə izometriyada təhrif əmsalları 1-ə bərabər qəbul edildiyindən,

bununla əlaqədar olaraq təsvirin xətti ölçüləri 1:0,82 nisbətində, yəni 1,22 dəfə

böyük alınır.

Şək. 168 Şək.169

Qurma əməliyyatını sadələşdirmək məqsədi ilə bu əmsallar 1.0 -ə

bərabər ğötürülür. Bunə görə də, cismin izometrik təsviri 1.22 dəfə böyük

alınsa da, onun bütün ölçülərini ortoqonal proyeksiyadan götürmək

mümkün olur.

Proyeksiya müstəvisinə paralel müstəvilər üzərində olan çevrələr

aksonometriya müstəvisinə ellips şəkilində təsvir olunur.

Çevrənin izometrik proyeksiyada H, F və P müstəviləri üzərində təsviri

şək.169-da göstərilmişdir.

İzometrik proyeksiyada x, y və z oxları üzrə təhrif edilmıdiyi halda

ellipsin böyük və kiçik oxu uyğun olaraq, 1,22d və 0,71d-ə bərabər olur.

İzometrik proyeksiyada x, y və z oxları üzrə təhrif edildiyi halda

isəmıdiyi halda ellipsin böyük oxu çevrənin diametrinəkiçik oxu isə 0 ,58d-

ə bərabər olur.

9.3. Çevrənin izometrik proyeksiyasının qurulması

Çevrənin hər üç aksonometrik müstəvi üzərindəki təsviri ellips alınır. Ellipsin

böyük oxu kiçik oxuna perpendikulyar olur. Ellipsi qurmaq çətin olduğundan onu

oval ilə əvəz edirlər. Ovalı qurmaq üçün bir-birilə qovuşan dörd çevrə qövsündən

istifadə olunur. Ovalın kiçik oxunun ölçüsü 0,7D-yə, böyük oxu isə 1,22D-yə bərabər

götürülür. Burada D – təsviri qurulan çevrənin diametridir. H müstəvisi üzərində

yerləşən çevrənin düzbucaqlı izometrik proyeksiyası aşağıdakı ardıcıllıqla qurulur

(şək.170):

Ovalın qurulma əməliyyatını asanлыгла izah etmək üçün tərəfləri koordinat

oxlarına paralel olan kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrə gıtürülür. Məlumdur ki,

kvadrat düzbuçaqlı izometriyada romb şəklində təsvir olunur.

167

Horizontal proyeksiya mцstəvisi üzərində yerləşmиş kvadratın daxilinə çəkilmiş

çevrənin düzbuçaqlı izometrik proyeksiyasının qurulması aşağıdakı ardıcıllıqla yerinə

yetirilir.

1. O nöqtəsindən düzbuçaqlı izometrik proyeksiyanın Х vəY oxları keçirilir.

O nюqtəsindən başlayaraq Х və Y oxları цzərində təsvir ediləcək чevrənin radiusuna

bərabər düz xətt parçaları. Sonra isə qurulmuş M,N,E və F nöqtələrindən bu oxlara

paralel düz xətlər çəkilir. Bu xətlərин kəsişməsindən romb аlınır (şək.170, а).

2.Rombun diaqonalları qurulur. Ovalın böyük oxu rombun böyük diaqonalı,

kiçik oxu isə kiçik diaqonalı qəbul edilir. M, N, E və F nöqtələri ovalın qövslərinin

qovuşma nöqtələri olur. Rombun kiçik oxunun A və B uc nöqtələri mərkəz qəbul

edilir və radiusları R=BM və R=BN və məsafələrinə bərabər olan AB və CD

qövsləri çəkilir (şək.170,b);

3.Ovalın kiçik qövslərinin çəkmək üçün onların mərkəzini tapmaq lazımdır.

Bunun üçün B nöqtəsindən BM və BN düz xətləri keçirilir. BM və BN xətləri ilə

rombun böyük diaqonalının C və D kəsişmə nöqtələri tapılır.Bu nöqtələr ovalın kiçik

qövslərinin mərkəzləri olur. C mərkəzindən R1=CM radiusu ilə D mərkəzidən isə

R1=DN radiusu ilə çəkilən qövslər ovalın MN və FE böyük qövsləri ilə səlis

birləşdirilir (şək.170,v).

Şяк. 170

Beləliklə, H müstəvisində və ona paralel müstəvilər üzərində yerləşən

çevrələrin düzbucaqlı izometrik proyeksiyasında alınan ellipslər ovallar ilə əvəz

olunur. Eyni qayda ilə F və P müstəvilərində və onlara paralel müstəvilər üzərində

yerləşən ovalları qurmaq olar.

168

Müxtəlif çisimlərin və obyektlərin formasının xüsusiyyətlərini ən

açıq şəkildə çatdırmaq üçün onlar düzbucaqlı izometrik proyeksiyada

təsvir olunur.Bu halda çimin təsviri 1.06 dəfə böyüdülmüş şəkildə

adınır.

9.4. Çəpbucaqlı frontal dimetriya

Cismin çəpbucaq altında frontalproyeksiya müstəvisinə paralel olan

aksonometriya müstəvisinə proyeksiyalamaqla çəpbucaqlı frontal

dimetriyanı almaq olar.

Dimetrik proyeksiya. Dimetriya – iki aksonometrik ox üzrə ölçü eyni

olan deməkdir.

Dimetrik proyeksiyada kx=kZ=k və ky =0,5 k, olduğundan, 2k2 + k2/4=2,

k2=8/9, 8

0,949

k . Beləliklə düzbucaqlı dimetriyada təhrif əmsalları

kx = kZ =0,94 və ky =0,47.

Təcrübədə dimetriyada təhrif əmsalları kx =kZ =1 və ky =0,5, olduğundan

bununla əlaqədar olaraq təsvirin xətti ölçüləri 1:0,94 nisbətində, yəni 1,06

dəfə böyük alınır.

X və Z koordinat oxlarl aksonometrik proyeksiya müstəvisinə

paralelolduğu üçün onların təhrif əmsalı 1-ə, aralarındakı bucaq isə 900-

yə bərabərdir (şək.171).

Şək. 171

Qurma əməliyyatını sadələşdirmək və cismi daha aydın təsəvirini

almaqüçün ГОСТ 2.305-68-ə görə, y oxu üzrə təhrif əmsalı 0.5, x və y

aksonometrik oxu arasındakı bucaq isə 1350 qəbuk edilir.Deməli y

aksonometrik oxu horizontala görə 450bucaq altında olur.

Cismin çəpbucaqlı fronal dimetriyada aksonometrik təsvirini

qurmaq üçün x vəz oxları üzrə olan ölçülərni sabit saxlanılır, y oxu üzrə

olan ölçülərini isə iki dəfə kiçiltməklə çəkilir.

169

9.5. Çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının

qurulması

Kvadrat daxilinə çəkilmiş çevrənin proyeksiya müstəvilərinə paralel

müstəvilər üzərində yerləşən çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının

qurulmasını öyrənək (şək. 172). x və z oxları üzrə təhrif əmsalları vahid

olduğundan F müstəvisi üzərində yerləşən çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik

proyeksiyası da çevrə olaraq qalacaq. H və P müstəviləri üzərində yerləşən

çevrələrin çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının qurulması aşağıda

göstərilən qayda ilə aparılır:

1.xoy müstəvisi üzərində yerləşən kvadratın çəpbucaqlı frontal dimetrik

proyeksiyası qurulur. Bu proyeksiya paralelloqram şəklində alınacaqdır. x və y

oxlarına paralel olaraq paraleloqramın simmetriya oxları çəkilir və bu oxların O1

kəsişmə nöqtəsi tapılır;

2.Simmetriya oxlarının paraleloqramın tərəfləri ilə kəsişməsindən alınan

M, N, K, və L nöqtələri qeyd olunur. Bu nöqtələr axtarılan ellipsin paraleloqramın

tərəflərinə toxunma nöqtələri olur;

3.Ellipsin aralıq nöqtələrini tapmaq üçün F müstəvisi üzərində qurulmuş

çevrədən istifadə olunur. Bu məqsədlə çevrənin radiusu dörd bərabər hissəyə

bölünür və alınan nöqtələrdən vətərlər keçirilir. Bu vətərlərin çevrə ilə kəsişmə

nöqtələri tapılır;

Şək. 172

4.Alınan nöqtələri H müstəvisi üzərindəki paraleloqram üzərinə

köçürmək üçün vətərlər qurulur. Bu vətərlər x oxuna paralel olduğundan öz

ölçüsündə alınacaqdır. Vətərlər arasındakı məsafələr isə y oxuna paralel

170

olduğundan iki dəfə kiçilir. Çevrə üzərində tapılan nöqtələr vətərlərin köməyi ilə

paraleloqramın üzərinə köçürülür. Beləliklə, ellipsi qurmaq üçün lazım olan aralıq

nöqtələr tapılır;

5.Tapılan bütün nöqtələr lekal vasitəsilə səlis əyri ilə birləşdirilərək

paraleloqramın daxilinə çəkilmiş ellips alınır.

Eyni üsuldan istifadə etməklə profil proyeksiya müstəvisinə paralel müstəvi

üzərində yerləşən kvadrat daxilinə çəkilmiş çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik

proyeksiyasını qurmaq olar.

9.6. Düzbucaqlı dimetriya

Düzbucaqlı dimetriyada x və z oxları aksonometrik proyeksiya

müstəvisinə görə eyni maillik alrında götürülür (şək.173).Aksonometrik

müstəvidə z oxu vertikaldırsa, x horizontala görə 7010’, y oxu isə 410 25

bucaq altında olur (şək.173 ). x və z oxlarında təhrif əmsalı Kx=Kz=0.94,

y oxunda isə K y=0.47 olur. ГОСТ 2.305-68-ə görəbu əmsallar Kx=Kz=1

və Ky=0.5.

Şək.173

Çevrənin dimetrik proyeksiyada şək174-də xoy müstəvisində

ellipsin böyük diametri üfiqi vəziyyətdə, özü də oz oxuna

perpendikulyar, xoz müstəvisində ellipsin böyük oy oxuna

perpendikulyar,yoz müstəvisində isə ox oxuna perpendikulyar

götürülməlidir.

171

Şək.174

Burada ellepslərin hər birinin böyük jxu, təsvir edilən çevrənin

diametrinin 1,06-na, kiçik oqu isə 0.35-nə bərabərdir.

9.7. Aksonometrik proyeksiyalarda kəsimlərin qurulması və

ştrixlənməsi

Aksonometrik proyeksiyalarda cismin daxili formasını aydınlaşdırmaq üçün

kəsimlərdən istifadə olunur. Simmetrik cisimlərin aksonometrik

proyeksiyalarında təsvirin fikrən bir-birinə perpendikulyar iki müstəvi ilə kəsilir

və alınan kəsiklər ştrixlənir.

Cisimlərin aksonometrik təsvirlərində kəsiklərin ştrixlənməsini onların

düzbucaqlı proyeksiyalarında olduğu kimi 450 bucaq istiqamətində yerinə

yetirmək olmaz. Burada ştrixlənmənin istiqaməti aksonometrik proyeksiyanın

növündən asılı olaraq təyin olunur.

Şək.175-də aksonometrik proyeksiyanın növündən asılı olaraq ştrixləmənin

istiqaməti göstərilmişdir.

Əvvəlcə düzbucaqlı izotermik və çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyaların

oxları qurulur. Düzbucaqlı izotermik proyeksiyada aksonometrik oxlar üzrə təhrif

əmsallarının qiyməti bərabər olduğundan hər üç ox üzərində, koordinat

başlanğıcından eyni uzaqlıqda yerləşən nöqtələr tapılır (şək. 175,a).

172

a) b)

Şək. 175

Çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyada isə X və Z oxları üzrə təhrif

əmsalları vahidə bərabər olduğundan bu oxlar üzərində, koordinat başlanğıcından

eyni uzaqlıqda, Y oxu üzərində isə bu uzaqlığın yarısına bərabər məsafədə

yerləşən nöqtələr qeyd edilir (şək. 175, b). Sonra isə hər iki növ aksonometrik

proyeksiyada oxlar üzərində qurulmuş nöqtələr birləşdirilərək üçbucaqlar alınır.

XOZ müstəvisində və bu müstəviyə paralel müstəvilər üzərində alınan kəsiklər

üçbucağın həmin müstəvi üzərində yerləşmiş tərəfinə paralel nazik xətlərlə

ştrixlənirlər.

XOY və YOZ müstəvilərində və bu müstəvilərə paralel müstəvilər üzərində

alınan kəsiklərin ştrixlənməsi isə eyni qayda ilə üçbucağın uyğun müstəvilər

üzərində yerləşmiş tərəflərinə paralel istiqamətdə aparılır.

Şək.176,177 və 178-də uyğun olaraq detalın izometrik, çəpbucaqlı

dimetrik və düzbucaqlı dimetriyada qurulmuş aksonometrik

proyeksiyalarının kəsiklərinin ştrixlənməsi göstərilmişdir.

Şək. 176

173

Şək. 177

Şək. 178


1. Aksonometrik təsvir üsulunun mahiyəti nədən ibarətdir? 2. Aksonometriya oxları üzrə təhrif əmsalı nəyə deyilir?

3. Təhrif əmsallarına görə aksonometrik proyeksiyalar necə ayrılırlar? 4. Aksonometriyanın əsas tərifini izah edin. 5. Düzbucaqlı izometriyada təhrif əmsalları neçəyə bərabərdir? Düzbucaqlı

dimetriyada təhrif əmsalları neçəyə bərabərdir? 6. Düzbucaqlı izometriyada proyeksiya oxlarının vəziyyəti necədir?

Düzbucaqlı dimetriyada proyeksiya oxlarının vəziyyəti necədir? 7. ГОСТ 2.317-69 hansı cəpbucaqlı aksonometrik proyeksiyaları təklif edir?

174

Ədəbiyyat

1.Фролов С.А. Начертательная геометрия. М., 1983, 240 с.

2.Həsənov Ə.Q. Mühəndis qrafikası.Tərsimi həndəsə I hissə.”Maarif”

nəşriyyatı. Bakı 1989. 275 səh.

3. İ.Ə.Həbibov “Mühəndis qrafikası”, Ali texniki məktəblər üçün dərslik,

Bakı 2014. 182 səh.

4.Məmmədova M.A., B.R. Quliyev., Ə.Ə. Babayev. “Mühəndis

qrafikası” kursuna aid tələbələrin fərdi məşqələlərdə istifadə etmələri üçün

sual-cavablar. Proyeksiyalı rəsmixətt. Bakı. 1991.

175

Азербайджанский Государственный Университет

Нефти и Промышленности

Мамедова М.А.

Начертательная геометрия и инженерная

графика

(Учебник)

Баку −2019

tƏrsİmİ hƏndƏsƏ vƏ mÜhƏndİs qrafİkasi · 2 azƏrbaycan dÖvlƏt neft vƏ sƏnaye...

Documents