ts pratikto diktat mt5 2010 portal

MEKANIKA TEKNIK 5

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN

CALCULATOR

Pratikto, ST, MSi

Jurusan Teknik Sipil Politeknik Negeri Jakarta

NOPEMBER 2010

BUKU AJAR

ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN CALCULATOR

(Untuk Program Studi Teknik Konstruksi Gedung)

PRATIKTO NIP. 19610725 198903 1 002

JURUSAN TEKNIK SIPIL Didanai dengan DIPA PNJ Tahun 2010

POLITEKNIK NEGERI JAKARTA

NOPEMBER, 2010

LEMBAR PENGESAHAN

1. Judul : Metode Perpindahan dengan Excel dan Calculator

2. Penulis

a. Nama : PRATIKTO .ST, MsI.

b. NIP : 19610725 198903 1 002

c. Jenis kelamin : Laki-Laki

d. Golongan/pangkat : IV a

e. Jabatan Fungsional : Lektor

f. Mata Kuliah yang diampu

Semester gasal : Mekanika Teknik 5 : Kerja Proyek Perencanaan

Semester genap : Kontruksi Beton 1 ; Lab Uji Bahan

g. Jurusan/Program Studi : Teknik Sipil/Teknik Konstruksi Gedung

h. Alamat rumah : Jl. Kakap3 , P15 ; RT3/8 ; Mampang Indah I DEPOK 16433

Alamat email : [email protected] [email protected]

3. Jumlah Anggota : -

4. Lama kegiatan penulisan : 5 (Iima) bulan

5. Biaya yang diperlukan : Rp.3.500.000,- (Tiga Juta Lima Ratus Ribu Rupiah)

6. Sumber dana : DIPA PNJ 2010

Depok, 14 Juni, 2010

Menyetujui, Pelaksana

Ketua Program Studi,

A.Rudi Hermawan, ST,MT PRATIKTO., ST, MSi.

NIP.19660118 199011 1 001 NIP.19610725 198903 1 002

Mengetahui

Ketua Jurusan,

Sidiq Wacono, ST, MT.

NIP. 19640107 198803 1 001

PRAKATA

ALHAMDULILLAH, Segala puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang

Maha Esa, karena anugerah-Nya kami dapat menyelesaikan penulisan diktat ini

yang berjudul

“ ANALISA PERPINDAHAN PADA STRUKTUR DENGAN EXCEL DAN

CALCULATOR “ .

Tulisan ini membahas mengenai analisa struktur dengan menggunakan dengan

alat bantu hitung seperti komputer dengan lembar kerja microsoft office excel

ataupun kalkulator. Dasar teori metode perpindahan akan dibahas pada bab 2

yang akan dilanjutkan aplikasinya pada : Struktur rangka batang bab 3 dan Balok

baik statis tertentu ataupun statis tak tentu pada bab 4. Pada bab5 pembaca akan

diajak untuk mengaplikasikan pada portal bentuk sederhana yang terdiri dari

elemen struktur seperti balok dan kolom. Pada tahap ini diberikan tugas untuk

menyelesaikan struktur Portal bertingkat dengan bantuaan lembar kerja excel yang

terdapat pada komputer. Untuk bentuk yang tidak beraturan sepeti portal dengan

kaki miring dibahas pada bab 6. Masalah ini biasanya digunakan untuk

menganalisa struktur tangga 2 dimensi

Dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sedalam-

dalamnya kepada semua pihak yang telah membantu penulisan ini terutama

kepada mahasiswa Jurusan Teknik Sipil Jurusan Teknik Sipil PNJ, yang telah

membantu kami dalam penyelesaian penelitian ini.

Kami menyadari bahwa penulisan laporan ini masih jauh dari sempurna,

maka kami mengharapkan kritik dan saran untuk perbaikan dimasa yang akan

datang.

Akhir kata penulis berharap semoga tulisan kami ini bermanfaat bagi

masyarakat..

penulis

DAFTAR ISI Halaman Sampul

Prakata

Daftar Isi

PENDAHULUAN

1.1 Gambaran Umum Mata Kuliah I-1

1.2 Hubungan Mata Kuliah dengan yang lain I-1

1.3 Tujuan Pembelajaran Umum I-2

1.4 Petunjuk Buku Ajar I-2

MODUL 1

DASAR METODE PERPINDAHAN

2.1 Pendahuluan II-1

2.2. Tujuan Pembelajaran Khusus II-3

2.3 Kegiatan Belajar II-3

2.3.1 Dasar Teori Perpindahan II-3

2.3.1.1 Pembagian elemen II-5

2.3.1.2 Beban Ekwivalen II-5

2.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan II-6

2.3.1.4 Solusi Persamaan Linear II-7

2.4 Rangkuman II-7

2.5 Daftar Pustaka II-8

MODUL 2

RANGKA BATANG

3.1 Pendahuluan III-1

3.2 Tujuan Pembelajaran Khusus III-1

3.3 Kegiatan Belajar III-2

3.3.1 Perpindahan Batang III-2

3.3.1.1 Matrik Deformasi dan Statis III-3

3.3.1.2 Beban Ekwivalen III-4

3.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan III-4

3.3.1.4 Solusi Persamaan Linear III-5

3.3.2 Latihan III-5

3.3.3 Tugas III-6

3.3.4 Evaluasi III-7

3.4 Rangkuman III-10

3.5 Daftar Pustaka III-11

MODUL 3

BALOK

4.1 Pendahuluan IV-1

4.2. Tujuan Pembelajaran Khusus IV-1

4.3 Kegiatan Belajar IV-1

4.3.1 Deformasi Balok IV-1

4.3.1.1 Pembagian elemen IV-3

4.3.1.2 Beban Ekwivalen IV-3

4.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan IV-5

4.3.1.4Momen Akhir IV-5

4.3.2 Latihan IV-6

4.3.3 Tugas IV-8

4.3.4 Evaluasi IV-8

4.4 Rangkuman IV-10

4.5 Daftar Pustaka IV-11

MODUL 4

PORTAL

5.1 Pendahuluan V - 1

5.2. Tujuan Pembelajaran Khusus V - 1

5.3 Kegiatan Belajar V - 2

5.3.1 Portal Tak Bergoyang V - 3

5.3.1.1 Pembagian elemen V - 3

5.3.1.2 Beban Ekwivalen V - 4

5.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan V - 4

5.3.1.4 Persamaan Linear V - 5

5.3.2 Portal Bergoyang V - 6

5.3.2.1 Pembagian elemen V - 7

5.3.2.2 Beban Ekwivalen V - 7

5.3.2.3 Pembentukan Matrik Kekakuan V - 8

5.3.2.4 Persamaan Linear V - 8

5.3.3 Latihan V - 10

5.3.4 Tugas V – 13

5.3.5 Evaluasi V - 15

5.4 Rangkuman V - 18

5.5 Daftar Pustaka V - 18

MODUL 5

PORTAL MIRING

6.1 Pendahuluan VI - 1

6.2. Tujuan Pembelajaran Khusus VI - 1

6.3 Kegiatan Belajar VI - 2

6.3.1 Deformasi Lentur Portal Miring VI - 3

6.3.1.1 Pembagian elemen VI - 3

6.3.1.2 Beban Ekwivalen VI - 4

6.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan VI - 4

6.3.1.4 Solusi Persamaan Linear VI - 4

6.3.2 Latihan VI - 5

6.3.3 Tugas VI - 13

6.3.4 Evaluasi VI - 13

6.4 Rangkuman VI - 18

6.5 Daftar Pustaka VI - 18

LAMPIRAN 1. Istilah

LAMPIRAN 2.Kalkulator CFX 9850 GB

LAMPIRAN 3.GBPP Mekanika Teknik 5

LAMPIRAN 4. Daftar Tabel dan Daftar Gambar

V - 1

MODUL 4

BAB V. PORTAL

5.1 Pendahuluan

Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom

baik miring ataupun tegak. Portal yang akan dibahas pada bab ini adalah portal

dengan bentuk beraturan. Semakin banyak jumlah lantai – tingkat pada portal , hal

ini akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel.

Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan

hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat

matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada

hasil matrik berikutnya. Berbeda denga rangka batang yaitu yang hanya

mempunyai deformasi aksial , pada portal ini umumnya deformasi aksial

diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Sehingga yang

terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi anguler-sudut dan pergoyangan

horizontal. Kolom portal merupakan bagian yang utama didalam menganalisa

gaya horizontal. Untuk analisa portal dengan kolom yang miring akan dibahas

pada bab berikutnya. Perilaku untuk balok portal ini sama dengan balok yang

yang sudah dibahas pada bab sebelumnya. Bila posisi sumbu balok searah dengan

gravitasi maka dinamakan kolom sehingga perilakunya sama dengan balok

disertai pergoyangan pada arah tegak lurus sumbu balok.

.

5.2 Tujuan Pembelajaran Khusus

Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal sampai mendapatkan besarnya

gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal. Menganalisa pergoyangan

portal dengan mencari deformasi putaran sudut pada kolom akibat pergoyangan.

Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan ukuran ataupun

sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal berdasarkan

Kesetimbangan dan Kekakuan. Untuk masalah Kekuatan dipersilahkan meninjau

pada bab kekuatan bahan elemen.

V - 2

d1 d3

d2 d4

Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L

5.3 Kegiatan Belajar

Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka

Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal

ini terdiri dari balok dan kolom. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang

akan direview pada bab ini disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom.

Untuk balok :

d1 H1 H3 d3 d2-H2 d4 -H4

d1 = 1 unit H1=4EI/L ; H2=2EI/L

d1 d2 2EI/L

4EI/L

d2 = 1 unit H1=2EI/L ; H2= 4EI/L

d1 d2 4EI/L

2EI/L

Gambar 5.1 kekakuan elemen balok

Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau

pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran

sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat

axial deformasi

L

Gambar 5.2 Pergoyangan Portal

Δ Δ

V - 3

5.3.1 Portal Tak Bergoyang

Apakah yang dimaksud dengan struktur yang simetris? Struktur dikatakan

simetris bila seolah olah terdapat satu sumbu putar baik dari geometris struktur

ataupun beban yang bekerja. Pada portal yang simetris tidak akan terjadi

pergoyangan gambar 5.3 portal simetris.

Q=300 kg/m

B C given structure.

600kg 2EI 2m Draw the internal forces.

EI EI 600kg

3m

A D

5m

Gambar 5.3 portal simetris.

5.3.1.1 Pembagian elemen

Q1- D1 Q2-D2

2 kinematis 3 elemen

a) Diagram Q-D b) 3 elemen

H3-d3 H4- d4

H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6

c) Diagram Hd

Gambar 5.4 pembagian elemen.

V - 4

5.3.1.2 Beban Ekwivalen

1/12 q l2 = 1/12 300 52 = 625

P ab2 / L2 = 600 3 22 / 52 = 288

Q1 Q2

625 625 -193 +193

432 432

288 288

Gambar 5.5 Beban ekwivalen

{Q} = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

193193

5.3.1.3 Pembentukan Matrik Kekakuan

Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S

D1 d3 d4 D2 d2 d5

Gambar 5.6 Matrik Deformasi

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

001010010100

A [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5/45/200005/25/40000

005/85/400005/45/80000005/45/200005/25/4

S

V - 5

5.3.1.4 Persamaan Linear

[K] = [A]t [S][A] = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

6226

52EI

[K]-1 = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 62

26)436(2

5EI

{D} = [K]-1 {Q} = [K]-1⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

193193

= =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

21

DD

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

EIEI

8/9658/965

{H} = [S][A]{D} =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

25.485.965.965.965.9625.48

654321

HHHHHH

{M}={H} –{FEM} =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

75.2395.5285.528

5.5285.528

75.239

288432

625625

432.288

654321

HHHHHH

Perhatikan tanda pada matrik {M} bukan tanda untuk bidang momen

528.5 528.5

239.75 239.75

Free Body(exercise)

Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment

V - 6

528.5 720 239.75 Bidang Momen Bidang Lintang (exercise) Gambar 5.8 Bidang MDN

5.3.2 Portal Bergoyang

Pada umumnya struktur yang simetris banyak dijumpai pada peninjauan

akibat beban gravitasi dan tidak demikian untuk beban arah mendatar. Dengan ber

asumsi bahwa tidak terjadi perubahan panjang pada balok maka yang

mengandung perpindahan sudut atau putaran sudut hanya pada elemen kolom.

Mengenai besarnya sudut yang kecil ini secara matematis dapat dianggap sama

dengan besarnya tangen sudut tersebut.

P=1000 kg

B C given structure.

600kg 2EI 400kg Draw the internal forces.

EI EI 4m

A D 4m Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang

V - 7


Q2-D2 Q3-D3 Q1- D1



H3-d3 H4- d4

H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6

c) Diagram Hd



D1 Q2=-500 Q3=+500 D2 D3 500 500 Q1=1000

Restrained Fixed End Equivalent Structured Forces Forces D2 d3 d4 D3 D1=1 D1=1

d2 d5 d2 d5 d1 d1 d6

Gambar 5.11 Beban Ekwivalen

V - 8


[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

004/1104/1100010014/1004/1

A

[ ] EIS

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4/44/24/24/4

4/84/44/44/8

4/44/24/24/4

H3-d3 H4- d4

H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6

Gambar 5.12 H-d Diagram

[K] = [A]t [S][A] = 2/624/3264/34/34/34/3

EI⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5.3.2.4 Solusi Persamaan Linear

{D} = [K]-1 {Q} =

EIEI

/169.5769.55705.3282

500500

1000

1561

6315481563484848512

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

V - 9

{H} = [S][A]{D} =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

92.120107.117307.67307.1173

07.67392.951

654321

HHHHHH

{M}={H} – {FEM} =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

92.120107.117307.117307.673

07.67392.951

005005000.0

654321

HHHHHH

673.07 1173.07 1000

406.25 593.75 500 500 593.75

406.25 593.75 593.75 406.25 593.75 461.54

951.92 1201.92 93.75 1093.75

38.46 406.25 593.75961.54

Free Body

1173.07

673.07

1/4PL= 1000 951.92 1201.92 Bidang Momen Bidang Lintang n Normal (exercise)

Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam

V - 10

5.3.3 Latihan

GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM

40 kN

B 3EI C

7,5 m

1.2EI

2EI

D

2,5 m

A

10 m

H3-d3` H4- d4

H5 d5

H2 d2

H6-d6

H1 d1

Diagram H-d Diagram Q-D Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal

Q1- D1

Q2- D2 Q3- D3

Q5- D5

Q4- D4

V - 11

1. Hitung jumlah dari Elemen = KINEMATIS = Ukuran {Q}, =

[A] , = [S] =

Solusi Pers. Linear [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam

2. Perhitungan Q = A= 6*5 S = 6 x 6 K = At SA =

V - 12

3. Solusi

D =

4. Gaya Dalam Portal

{H} = SA D - M Primer H =

5. Gambar Gaya Dalam

-163,72 -177,2140

163,72177,21

0,00

0,00

-177,21

163,72

Gaya Dalam Momen

V - 13

5.3.4 Tugas

GAMBAR kan DIAGRAM GAYA DALAM

Fc' = 25 Mpa Fy = 400 Mpa kolom 400 400tinggi 4000 mm 4 m balok 400 600bentang 6000 7000 6000

_portal.xls/sheet1

Persiapkan Data perhitungan , Beban , dimensi , mutu bahan dsbnya.

Fc’ (Mpa) =

Fy (Mpa) =

Beban Q (DL) ; Q(LL) ; Q(EQ)

Dari dimensi untuk Inersia ( EI )

1. Hitung jumlah dari Elemen = ; KINEMATIS = Ukuran {Q}, =

[A] , = [S] =

Solusi Pers. Linear [D] dan Gaya Dalam [H] Gambar Gaya Dalam

Qdl 16 Qdl 13,2 Qdl 16Qll 10 Qll 10 Qll 10

40/604 40/40

Qdl 16 Qdl 13,2 Qdl 16Qll 10 Qll 8 Qll 10

40/60

4 40/40

6 7 6

V - 14

2. Perhitungan

Q = 14x1 A= 28x14 S = 28 x 28 K = At SA = 14x14

3. Solusi D = 14x1 Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer Gambar Gaya Dalam

V - 15

5.3.5 Evaluasi

DL LL HL DL LL HL DL LL HL DL LL HL DL LL HL1 30 0 8,138 18,731 30 -11,2692 10,83 0 0,301 9,875524 -30 39,8763 -10,83 0 -0,301 0,291871 40,83 -40,5384 -30 0 -8,138 -0,29187 -40,83 40,5385 30 0 6,263 -9,87552 30 -39,8766 10,83 0 0,723 -18,731 -30 11,2697 -10,83 0 -0,723 14,97134 30 -15,0298 -30 0 -6,263 8,711859 -30 38,712 0,0009 0 0 -3,131 0,701714 40,83 -40,128

10 0 0 -0,362 -0,70171 -40,83 40,12811 0 0 0,362 -8,71186 30 -38,71212 0 0 3,131 -14,9713 -30 15,02913 0 75 0,000 11,269 0 11,26914 0 50 0,000 10,33158 0 10,33215 0,662606 0 0,66316 0,873865 0 0,87417 -0,66261 0 -0,66318 -0,87387 0 -0,87419 -11,269 0 -11,26920 -10,3316 0 -10,33221 4,697083 0 4,69722 2E-15 0 0,00023 0,542562 0 0,54324 1,33E-15 0 0,00025 -0,54256 0 -0,54326 -1E-15 0 0,00027 -4,69708 0 -4,69728 2,22E-16 0 0,000

Q beban kerja DEFORMASI ( D ) H = SA * D F E M ( M Primer ) M AKHIR

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 013 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2514 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2515 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2516 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2517 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2518 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0,25 0,2519 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,25 0,2520 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,25 0,2521 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,2522 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,2523 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -0,2524 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -0,2525 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -0,2526 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0,2527 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -0,2528 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -0,25

A

Q1-D1 Q2-D2 Q3-D3 Q4-D4 Q13-D13 H1 H2 H3 H4 H5 H6

13 15 17 19Q5-D5 Q6-D6 Q7-D7 Q8-D8 14 16 18 20

Q14-D14 H7 H8 H9 H10 H11 H12

Q9-D9 Q10-D10 Q11-D11 Q12-D12 21 23 25 2722 24 26 28

DIAGRAM Q - D DIAGRAM H - d

V - 16

Matrik S

Matrik K

Gaya Dalam Portal {H} = SA D - M Primer

Lihat tabel diatas

Gambar Gaya Dalam MDN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 3,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,3752 1,13 5,2 0,97 0 0 0,5 0 0 0 0 0 0 -0,375 0,3753 0 0,97 5,2 1,13 0 0 0,5 0 0 0 0 0 -0,375 0,3754 0 0 1,13 3,26 0 0 0 0,5 0 0 0 0 -0,375 0,3755 0,5 0 0 0 4,26 1,13 0 0 0,5 0 0 0 -0,375 06 0 0,5 0 0 1,13 6,2 0,97 0 0 0,5 0 0 -0,375 07 0 0 0,5 0 0 0,97 6,2 1,13 0 0 0,5 0 -0,375 08 0 0 0 0,5 0 0 1,13 4,26 0 0 0 0,5 -0,375 09 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 0 -0,375

10 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 0 -0,37511 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 0 -0,37512 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0 0 0 1 0 -0,37513 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 0 0 0 0 0,75 -0,7514 0,375 0,375 0,375 0,375 0 0 0 0 -0,375 -0,375 -0,375 -0,375 -0,75 1,5

K =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 281 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 09 0 0 0 0 0 0 0 0 1,94 0,97 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10 0 0 0 0 0 0 0 0 0,97 1,94 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2,26 1,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 012 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,13 2,26 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 014 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 016 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 018 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 020 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 0 0 021 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 0 0 022 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 0 0 023 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 0 0 024 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 0 0 025 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,5 0 026 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1 0 027 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,528 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 1

S

V - 17

Bidang Momen

Bidang Lintang

Bidang Normal

V - 18

5.4 Rangkuman

Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah :

1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D

Untuk pergoyangan portal mempunyai kinematis tersendiri.

2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip

Gunakan penomoran yang mudah untuk di kontrol

3. Tentukan matrik A , S dan Q

4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D}

5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}.

6. Gaya Dalam = {H} - M Primer

7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat tanda positip yang dipakai

5.5 Daftar Pustaka

1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode

Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984

2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons

International Text Book Co., 1986

VI - 1

MODUL 5

BAB VI. PORTAL MIRING

6.1 Pendahuluan

Portal adalah bagian struktur dengan elemen yang berupa balok dan kolom

baik miring ataupun tegak. Semakin banyak jumlah kinematis pada portal , hal ini

akan mengakibatkan semakin besar ukuran matrik pada lembar kerja excel.

Sebagai pengontrol dari ukuran matrik yang besar disarankan melakukan dengan

hati hati perhatikan untuk tidak terdapat sel kosong, ukuran matrik dan sifat

matrik. Bila salah satu sel terdapat angka yang aneh atau salah akan berkibat pada

hasil matrik berikutnya. Pada rangka batang yaitu yang hanya mempunyai

deformasi aksial dan portal biasa dengan deformasi lentur dimana deformasi

aksial diabaikan dengan catatan bahwa nilainya sangat kecil sekali. Pada Portal

miring akibat pergoyangan , geometris elemen mengakibatkan komponen

horizontal harus diperhatikan sehubungan dengan panjang elemen yang tidak

berubah. Sehingga yang terjadi pada konstruksi portal adalah deformasi anguler-

sudut dan pergoyangan horizontal dan untuk portal miring pergoyangan translasi

yang terjadi diurai menjadi komponen yang horizontal dan vertikal.

Beberapa contoh aplikasi portal miring pada bangunan teknik sipil adalah :

rangka atap , tangga dansebagainya. Untuk rangka atap bangunan yang

menggunakan bentang panjang dengan profil baja umumnya disebut sebagai

Gable-frame . Pengaruh dari elemen struktur yang miring , baik kolom atao balok

akan mengakibatkan translasi yang mempunyai dua komponen yaitu : vertikal

dan mendatar.

.

6.2 Tujuan Pembelajaran Khusus

Tujuan pada bab ini adalah menganalisa portal miring sampai mendapatkan

besarnya gaya dalam baik momen , lintang ataupun normal dari portal miring.

Menganalisa pergoyangan portal miring dengan mencari deformasi putaran sudut

pada kolom akibat pergoyangan yang mempunyai dua komponen vertikal dan

VI - 2

horizontal . Mengatur dan mengoperasikan analisa perhitungan matrik dengan

ukuran ataupun sejumlah data yang besar. Mengontrol hasil perhitungan portal

miring berdasarkan Kesetimbangan dan Kekakuan.

6.3 Kegiatan Belajar

Perilaku untuk portal bertingkat sangat berbeda dengan struktur Rangka

Batang. Pada portal terdiri dari balok dan kolom sehingga deformasi untuk portal

ini terdiri dari balok dan kolom. Perbedaan dari portal miring dengan portal biasa

adalah komponen yang mendatar dan vertikal dari pergoyangan atau translasi

portal. Untuk balok sudah dibahas pada bab II yang akan direview pada bab ini

disertai dengan pembahasan deformasi untuk kolom.

Untuk balok :

d1 H1 H3 d3 d2-H2 d4 -H4

d1 = 1 unit H1=4EI/L ; H2=2EI/L

d1 d2 2EI/L

4EI/L

d2 = 1 unit H1=2EI/L ; H2= 4EI/L

d1 d2 4EI/L

2EI/L

gambar 6.1 kekakuan elemen balok

Untuk Kolom merupakan kombinasi balok dan perpindahan horizontal atau

pergoyangan. Akibat pergeseran Δ= 1 unit akan mengakibatkan deformasi putaran

sudut d1 sebesar Δ/L ( kenapa?) d2 =d1. Untuk balok tidak ada perubahan akibat

axial deformasi tetapi translasi arah vertikal. Bedakan antara deformasi axial (

VI - 3

d1 d3

d2 d4

Putaran sudut : d1= d2 = Δ/L d3= d4 = Δ/L

perubahan) dengan translasi ( pergeseran) . Besarnya sudut adalah Δ/L dengan

catatan bahwa Δ adalah komponen yang tegak lurus dengan sumbu elemen ,balok.

L

gambar 6.2 Pergoyangan Portal

6.3.1. Deformasi Lentur Portal Miring

perhatikan

1. Translasi 2. Tidak ada axial deformasi

gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring


Q1- D1 Q2-D2



H3-d3 H4- d4

H2 H5 d5 d2 d1-H1 H6-d6

c) Diagram Hd


Δ Δ

VI - 4


P ab2 / L2 = 1/8 PL = 500

Q1 Q2 600 600



Matrik Deformasi A dan Matrik Kekokohan S

D1 d3 d4 D2 D3 d2 d5


Perhatikan untuk balok ataupun kolom miring tidak mengalami perubahan panjang hanya pergeseran. Garis tegak lurus tidak merubah panjang elemen.

6.3.1.4 Persamaan Linear

[K] = [A]t [S][A] = {D} = [K]-1 {Q} =

{H} = [S][A]{D} =

{M}={H} – {FEM} =

VI - 5

6.3.2 LATIHAN

(1) Portal dengan Kaki Miring

P=1000 kg

C 400kg D given structure.

600kg 2EI 400kg 3m Draw the internal forces.

EI EI α

B 1m

A

1m 4m 4m

Gambar 6.7 soal latih

Q3- D3 Q2-D2 Q1- D1


b) Diagram Q-D b) 3 elemen

Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis

H3-d3 H4- d4

H5 d5 H2 d2 H1-d1 H6-d6

Gambar 6.9 Diagram H-d

Asumsi arah positip

VI - 6

-100 500 333.33

400 500 500

500 500

666.66

500 833.33

600+400-666.66=333.33

Gambar 6.10 matrik gaya Q

[ ] { }⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=500100

333.34Q EI;

4/52/52/54/5

8/44/44/48/4

4/42/42/44/4

s

D1

D2 d3 d4 D3 D1=1

d2 d5 d2 d5

d6

d1 d1 α

3 α 5 5/3 4/3

4 D1

Gambar 6.11 pembentukan matrik A

VI - 7

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00?10?10?01?014/1004/1

A [K] = [A]t [S][A] = 2/EIxxxxxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

[K] = EI⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

8,2136,625,077,1

{ } [ ] { }EI

QKD 1

152.28421.3883.427

1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−== − ;

{H}=[S][A]{D}=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

284.79398.45101.56

221.5121.5

140.97

H6H5H4H3H2H1

{M}={H} –{FEM} =

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+−

−

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

79.28444.39844.398

48.2785.121

973.140

005005000.0

654321

HHHHHH

Perhatikan tanda positif dan negatif

4/3 4 4/3 4 5/3 5 5/3 5

VI - 8

400 278.5 398.44

121.53

284.79

140.97

400 kg 1000 kg 600 600 400 470 534.38 534.38 530 400

934.38

470 530

65.62

934.38

530

65.62

870

Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring

VI - 9

(2) Gable frame

10m

80B C D

15m

A

2 x 15m E

Q2-D2Q5-D5

Q1-D1Q4-D4

Q3-D3

DIAGRAM Q-D KINEMATIS

H4-d4 H5-d5

H6-d6

H3-d3H7-d7

H2-d2

H8-d8H1-d1

DIAGRAM H-d

VI - 10

Menentukan matrik Q

Menentukan matrik A

BCD ΣMD = 080 VB = 80*( 15+7.5)/30 = 60

VC = 80-60 = 2020

30 BC ΣMC = 0HB = ( 80*7.5 - 60*15 ) / 10

60 30 20 HB = 3080

-30-30

6030

Perhitungan gaya Q

2α

1

α1

2α

1

2αα

1

VI - 11

A = D1 D2 D3 D4 D5d1 0 0 0 -0,0667 0

d2 1 0 0 -0,0667 0d3 1 0 0 0,0500 -0,0500d4 0 1 0 0,0500 -0,0500d5 0 1 0 -0,0500 0,0500d6 0 0 1 -0,0500 0,0500d7 0 0 1 0,00 -0,0667d8 0 0 0 0,00 -0,0667

S = 0,2667 0,1333 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,1333 0,2667 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2667 0,13330,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,1333 0,2667

Q = 150-150

0-3030

Kinv 2,06 -0,63 0,44 7,45 11,30-0,63 1,44 -0,63 -4,69 -4,690,44 -0,63 2,06 11,30 7,457,45 -4,69 11,30 245,09 176,78

11,30 -4,69 7,45 176,78 245,09

K = 0,7111 0,2222 0,0000 0,0067 -0,03330,2222 0,8889 0,2222 0,0000 0,00000,0000 0,2222 0,7111 -0,0333 0,00670,0067 0,0000 -0,0333 0,0102 -0,0067

-0,0333 0,0000 0,0067 -0,0067 0,0102

SA*D FEM M akhirD1 5,182E+02 H1 75,18 0 75,18D2 -3,094E+02 H2 144,27 0 144,27D3 4,430E+01 H3 5,73 -150 -144,27D4 -2,281E+02 H4 -178,18 150 -28,18D5 4,447E+03 H5 28,18 0 28,18

H6 106,77 0 106,77H7 -106,77 0 -106,77H8 -112,68 0 -112,68

VI - 12

80 80,0040,009,00

61,25 -28,18 9,7518,75

-144,27 11,50 -106,77144,27 40,00

9,7575,18 61,25 -112,68

14,63 -14,63

FREE BODY

-28,18Gambar Gaya Dalam :Momen :

-144,27

180-106,77

-144,27-106,77

-75,18 -112,68

Lintang :

VI - 13

6.3.3 Tugas

6.3.4 Evaluasi

Beban (1) Beban (2)

0C

100 2 2

DB

1015 1 1

E

A15 15

{ Q }10

187,50

-187,50

-112,5112,5

10

10

187,5 -187,5 187,5 -187,5 112,5 -112,5 15 15 112,5 -112,5150 150

187,5 -187,5

-112,5 112,5

{ Q }20,00

-197,92-83,33

00

15025,00

VI - 14

10Hc+15Vc-q*(10/2)=010Hc-15Vc = 0Hc = q*(10/2)/20

-83,33 -25 25100

83,33 -75 -150 -25,00-75 150 25,00

-281,25150

0 -7575

10010

-25 MENCARI MATRIK GAYA LUAR-16,67 15 15 16,67 { Q } 7x1

A 1 0 0 0 0 -0,0667 00 1 0 0 0 -0,0667 00 1 0 0 0 0,0500 -0,05000 0 1 0 0 0,0500 -0,05000 0 1 0 0 -0,0500 0,05000 0 0 1 0 -0,0500 0,05000 0 0 1 0 0,00 -0,10000 0 0 0 1 0,00 -0,1000

S 0,2667 0,1333 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,1333 0,2667 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,00 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,4444 0,2222 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,2222 0,4444 0,00 0,000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,4000 0,20000,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,2000 0,4000

K 0,267 0,133 0,000 0,000 0,000 0,027 0,0000,133 0,711 0,222 0,000 0,000 0,007 0,0330,000 0,222 0,889 0,222 0,000 0,000 0,0000,000 0,000 0,222 0,844 0,200 0,033 0,0270,000 0,000 0,000 0,200 0,400 0,000 0,0600,027 0,007 0,000 0,033 0,000 0,010 0,0070,000 0,033 0,000 0,027 0,060 0,007 0,019

K in 10,242 0,396 0,605 2,815 4,753 62,942 41,0710,396 2,197 0,664 0,458 1,610 7,020 12,2580,605 0,664 1,498 0,829 0,855 9,364 8,4602,815 0,458 0,829 2,857 1,809 30,437 21,5834,753 1,610 0,855 1,809 10,412 55,582 58,778

62,942 7,020 9,364 30,437 55,582 664,523 472,00241,071 12,258 8,460 21,583 58,778 472,002 463,795

VI - 15

D(Q1) H=SAxD Mprimer M akh-3062,65 0,00 0 0,00

915,45 530,41 0 530,41132,60 -342,91 187,50 -530,41

-1445,87 -516,88 -187,50 -329,38322,18 516,88 187,50 329,38

-26049,19 166,11 -187,50 353,61-2671,71 -353,61 0 -353,61

0,00 0 0,00

Q3 - D3 Q4 - D4Q7-D7

Q6-D6 Q2 - D2

Q1 - D1 Q5 - D5

KINEMATIS ( 7 )

2α

1

α1

2α

1

2αα

1

VI - 16

Beban (2)

-329,38329,38

-530,41 353,61530,41

-353,61

-35,3608847515 15

35,360885

57,32 45,5323,57 23,5775,00 75,00

155,89 144,11

35,36088475300

-35,36088475

35,36

D(Q2)10596,97 0,00 0 0,00

979,95 -1282,27 -281,25 -1001,02-1609,63 1084,35 83,33 1001,025083,56 508,89 -83,33 592,229559,33 -592,22 0 -592,22

110869,47 895,15 0 895,1580674,11 -895,15 0 -895,15

VI - 17

592,22 -592,22

10010

1001,02 895,15-1001,02 10,48 -895,15

250 66,73-75 10

15 18,75150 15 15 -89,52

-160,48 -250,00OK ?

59,6820,20

-281,25 79,8779,87

-106,2233,33-6,99

-18,75 -79,87dari M Primer

-159,32 89,52 -89,52100 -30,29

-10,48 30,29 -59,22-10,48 159,32 89,52

-75 10,48 148,84

150-89,52

-75-160,48

30,72 -30,7257,83 -3,61-27,11 -27,11

-40,67 -40,67

352,46 -352,46 10515,02 406,65-515,02 -406,65

1015015 -150,00 -40,67

-109,3315 15

30,72 -30,72

VI - 18

6.4 Rangkuman

Secara garis besarnya , langkah2 metode ini adalah :

1. Memilih elemen-elemen dan menentukan kinematis struktur D

2. Buat Diagram Q-D dan H-d dan tentukan arah positip

3. Tentukan matrik A , S dan Q

Ingat bahwa deformasi arah aksial tidak ada.

Gaya Q adalah Gaya Aksi bukan Reaksi

4. Perhitungan matrik [K] , [K]-1 dan {D}

5. Matrik gaya dalam [H} = [SA] {D}.

6. Gaya Dalam = {H} - M Primer

7. Gambar gaya dalam M, D, N. Ingat perjanjian tanda yang dipakai

6.5 Daftar Pustaka

1. Supartono F.X, dan Boen T ; Analisa Struktur dengan Metode

Matrix, Fakultas Teknik universitas Indonesia, UI Press, 1984

2. Wang , C.K : “ Matrix methods of Structural Analysisa” Scrantons

International Text Book Co., 1986

L I - 1

LAMPIRAN I.

BEBERAPA ISTILAH I. 1. Deformasi

Bila suatu struktur diberi beban, maka struktur tersebut (batang) akan mengalami

deformasi yaitu perubahan bentuk yang kecil, sehingga setiap titik2 pada struktur

akan berpindah ke posisi yang baru perpindahan akan terjadi pada umunya untuk

struktur kecuali pada tumpuan yang tidak dapat bergerak. Perpindahan merupakan

hal penting dalam analisa struktur.

Gambar L.1

Sebagai contoh diambil suatu

potongan elemen dari batang

stryktur rangka berbentuk lingkaran

panjangnya dx

Gaya2 yang bekerja adalah

NX = gaya axsial

Vy & Vz = gaya geser

My & Mz = momen lentur

T adalah forsi

Deformasi yang terjadi pada

penampung dx adalah deformasi

axial, geser lentur dan torsi seperti

diperlihatkan pada gambar (2).

Adapun material bahan yang

digunakan mengikuti Hukum Hooke

yang elastis linier.

Perpindahan (displacement) suatu struktur ditimbulkan oleh gabungan

pengaruh deformasi seluruh elemen. Dalam menentukan perpindahan suatu struktur

L I - 2

tidak semua jenis deformasi berpengaruh besar dan mungkin bias diabaikan.Pada

balok deformasi lentur biasanya merupakan satu-satunyayang terpentuing dai pada

deformasi axial yang biasanya diabaikan.

Untuk jenis struktur rangka batang, maka titik kumpul rangka dianggap

sebagai sendi dan semua beban bekerja pada titik kumpul, sehingga analisanya hanya

melibatkan deformasi axial batang. Jika terdapat beban di antara titik kumpul, maka

beban ini dipindahkan pada titik kumpul seperti analisa balok ber tumpuan

sederhana.

Pada portal bidang deformasi yangb berpengaruh adalah akibat lenturan dan

gaya axial. Pada balok silang deformasi lentur selalu penting dan deformasi punter

kadang kala turut diperhitungkan. Tergantung pada penampung yang digunakan, jika

penampung tersebut adalah berdendeng tipis seperti balok I, maka batang akan

sangat fleksibel terhadap punter dan tidak mengalami gaya punter yang besar.

Portal ruang merupakan jenis struktur rangka yang paling umum dlm

geometrid an pembebanannya. Oleh karena itu deformasi axial, lentur dan punter

mungkin seluruhnya perlu diperhitungkan tergantung jenis struktur dan bebannya.

Untuk deformasi geser pada struktur rangka biasanya sangat kecil, sehingga jarang

ditinjau dalam analisa.

I. 2. Aksi dan Perpindahan

Untuk menerangkan konsep dasar pada analisa struktur ada istilah yang akan

digunakan seperti AKSI dan PERPINDAHAN. AKSI atau gaya dapat berupa gaya

atau momen kopel ataupun gabungan keduanya. Selain Aksi luar pada struktur Aksi

dalam juga perlu ditinjau sebagai contoh adalah resultan distribusi tegangan akibat

momen lentur, gaya geser, gaya axial ataupun momen puntir.

Konsep dasar yang lain adalah perpindahan yang umunya berupa translasi atau rotasi

di titik struktur. Transaksi menun jukkan adanya pergerakan, sedangkan rotasi

menyatakan sudut perputaran antara garis singgung kurva elastis dengan posisi

semula.

L I - 3

Dalam analisa struktur kita sering dijumpai aksi dan perpindahan yang paling sesuai

dengan momen kopel ialah rotasi putaran sudut.

L/2 L/2

A1

A B D31

D11 D21

A2

A B D32

D12 D22

A B D33

D13 D23

gambar L.2

Contoh:

Notasi A dipakai untuk aksi gaya dan D

untuk perpindahan.

Pada gambar L2 terdapat aksi A1, A2 dan

A3

Perpindahan yang terjadi :

A1→ D1 (translasi) D11 D21 D31

A2→ D2 (translasi) D12 D22 D32

A3→ D3 (rotasi) D13 D23 D33

Perhatikan subscript yang dipakai

Perpindahan balok atas seluruh beban

D1 = D11 + D12 + D13

D2 = D 21 + D22 + D23

D3 = D 31 + D32 + D33

Penjumlahan ini adalah prinsip superposisi

yang dibahas lebih lanjut.

I. 3. Keseimbanan dan Kesesuaian

Tujuan analisa struktur di antaranya adalah menentukan berbagai aksi pada struktur

seperti reaksi tumpuan dari resultan tegangan, momen lentur, geser dan sebagainya.

Penyelesaian ini harus memenuhi syarat keseimbangan statis begitu juga pada bagian

struktur yang dianalisa sebagai benda bebas free body.

L I - 4

Enam buah persamaan yang terdapat pada keseimbangan statis dalamnya dimensi

adalah:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣFz = 0 vektor gaya

ΣMx = 0 ΣMy = 0 ΣMz = 0 momen terhadap sumbu x, y, z

Persamaan ini dapat dideduksi, apabila digunakan pada permasalahan struktur dalam

1 bidang. Dengan menganggap gaya terletak pada bidang x – y maka persamaan

menjadi ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMz = 0

Selain keseimbangan statis maka seluruh syarat kesesuaian harus terpenuhi dalam

analisa struktur. Syarat ini juga disebut syarat geometris karena harus menyatakan

kontinuitas perpindahan di seluruh bagian struktur.

Sebagai contoh adalah titik tumpuan jepit, harus dipenuhi kesesuaian perpindahan

dengan kondisi tumpuan yaitu tidak terjadi tranlasi dan rotasi terhadap sumbu

batang. Pada sambungan yang kaku antara dua batang maka perpindahan yang

terjadi (tranlasi dan rotasi) harus sama bila ditinjau per batang secara terpisah.

I. 4. Ketidaktentuan Statis dan Kinematis

Ketidaktentuan suatu struktur tergantung pada yang ditinjau aksi atau perpindahan.

Ketidaktentuan menunjukkan kelebihan aksi yang tidak diketahui terhadap jumlah

persamaan keseimbangan statis.

Jika persamaan keseimbangan cukup untuk menentukan aksi maka struktur bersifat

statis tertentu. Sebaliknya bila tidak dapat diselesaikan dengan persamaan

keseimbangan maka struktur mempunyai sifat statis tak tentu.

Gambar L3

Ketidaktentuan statis berderajad 3 ada

6 reaksi yang harus dicari

L I - 5

Ketidaktentuan statis bisa dibedakan atas ketidaktentuan luar dan dalam. Bila

berhubungan dengan reaksi struktur maka termasuk pada ketidaktentuan statis luar.

Sebagai contoh adalah struktur ruang mempunyai 6 buah persamaan dan untuk

struktur bidang mempunyai 3 buah persamaan. Apabila lebih di jumlah persamaan

keseimbangan statis, maka disebut bersifat statis tak tentu luar.

Ketidaktentuan statis dalam berhubungan dengan perhitungan resultan tegangan

dalam struktur dengan anggapan semua reaksi telah ditentukan sebelumnya.

Gambar L4

Ketidaktentuan statis luar adalah

bersifat statis tertentu untuk

ketidaktentuan statis dalam berdenyut-

denyut karena 2j – m = 3 yaitu 2 x 6 –

11 = 1. Ada dua batang yang

dipenggal artinya dengan melepas 2

gaya pada rangka batang, maka

struktur menjadi statis tertentu.

Jenis ketidaktentuan yang lain adalah ketidaktentuan kenematis yaitu yang

bertentangan dengan perpindahan titik kempul yang tidak diketahui. Pada struktur

rangka titik kempul dapat berupa perteman dua batang atau lebih, titik tumpuan dan

ujung bebas. Titik kumpul dapat mengalami transaksi atau rotasi.

A B

Gambar L5

Titik A terjepit tidak mengalami

perpindahan, sedangkan titik B

memiliki 2 perpindahan ber rotasi dan

bergeser.

L I - 6

Ketidaktentuan kenematis balok AB berderajat dua dan 2 perpindahan titik kempul

ini harus dihitung dalam analisa balok. Apabila deformasi axial balok diabaikan,

maka titik B hanya berrotasi, sehingga balok ini sebagai struktur dengan 1 derajat

ketidaktentuan kenematis.

D A

E B

F C

Gambar L6

Rangka batang statis tak tentu

berderajat 2 titik A, B, D dan E

mempunyai dua derajat kebebasan

masing-masing (translasi dalam 2 arah

tegak lurus). Titik c dan f masing-

masing adalah nol dan satu derajat

kebebasan. Jadi rangka batang

mempunyai 9 derajat kebebasan untuk

translasi titik kempul dan

ketidaktentuan kenematisnya

berderajat 9.

Untuk menentukan ketidaktentuan statis dan kenematis, maka ada aturan yang dapat

dipakai seperti.

I. Tentukan jumlah kelebihan gaya. Hitung jumlah pelepasan yang

diperlukan agar struktur menjadi statis tertentu.

II. Tentukan jumlah derajat kebebasan titik kempul. Hitung jumlah

pengembangan titik kempul yang diberikan agar struktur menjadi

kenematis tertentu tidak ada perpindahan titik kempul.

L I - 7

I. 5 Stabilitas

Pada pembahasan derajat kebebasan terlihat bahwa, apabila jumlah reaksi melebihi

jumlah persamaan, maka struktur bersifat statis taktentu luar. Dan jika jumlah ini

sama, maka struktur statis tertentu luar. Hal ini berlaku, bahwa struktur tidak akan

bergerak, apabila beban diberikan pada struktur tersebut.

Gambar L7

Pada contoh balok di atas 3 tumpuan

roller terdapat 3 reaksi yang sama

jumlahnya dengan persamaan

keseimbangan statis untuk gaya

perbidang.

Akan tetapi jelas bahwa balok akan bergerak ke kiri apabila beban dan yang mirin g

diberikan. Jenis struktur ini dikatakan bersifat tidak stabil.

Gambar L8 Struktur pada gambar L8 dikatakan

tidak stabil karena garis kerja gaya dan

tidak melalui 3 gaya reaksi yang

konkuren.

Jadi selain jumlah tumpuan struktur struktur yang cukup, maka tata letaknya harus

menjamin agar struktur tidak tidak dapat bergerak.

I. 6. Superposisi

Pada suatu struktur akan terdapat besaran aksi gaya dan perpindahan yang tertentu.

Aksi dan perpindahan ini menimbulkan aksi perpindahan lainnya pada struktur. Aksi

perpindahan semula merupakan penyebab, sedangkan yang terakhir adalah pengaruh.

Secara umum, nahwa pengaruh yang ditimbulkan oleh sejumlah penyebab dapat

diperoleh dengan menggabungkan pengaruh setiap penyebabnya.

L I - 8

A2 Mb

A1

Ra Rb

A1 M’b

R’a D’ R’b

M”b

R”a D” R”b

Gambar L9

Dari prinsip superposisi bahwa akibat

aksi dan perpibndahan A1 dan A2

dapat ditinjau secara terpisah.

RA = RA’ + RA”

RB = RB + MB”

MD = MB’ + MB”

D = D’ + D”

Prinsip superposisi ini hanya berlaku, apabila hubungan antara aksi dan perpindahan

pada struktur b ersifat linear. Hal ini terjadi apabila syarat-syarat b erikut terpenuhi:

(struktur elstis linear).

1. Bahan struktur mengikuti hokum Hooke

2. Perpindahan struktur kecil (small deflection)

3. Tidak ada interaksi antara pengaruh axial dan lentur.

I. 7. Matrik Kekakuan

Hubungan antara aksi dan perpindahan berperan penting dalam analisa struktur dan

digunakan dalam metode kekakuan. Untuk menyatakan hubungan aksi dan

perpindahan ialah dengan persamaan aksi dan perpindahan.

L I - 9

Sebagai contoh:

A

D’

Gambar L10

Aksi A yang b ekerja pada balok me

nimbulkan perpindahan D. Hubungan A

dan D ini dapat dengan beban sebagai:

A = S D

Di mana S adalah kekakuan yang didefinisikan sebagai aksi yang dikukuhkan untuk

menimbulkan perpindahan satu unit. Satuannya adalah gaya persatuan panjang.

Untuk keadaan yang lebih umum :

A1 A2 A3

a)

b) D1 D2 D3 1

c) S31

S11 S21

d) 1

S12 S22 S32

e) S13 S23 S33 1

Gambar L11

a Dalam gambar diperlihatkan

perpindahan balok yang selaras

A1,A2 dan A3. Dari superposisi

didapatkan :

D1 = D11 + D12 + D13

D11 : perpindahan yang selaras A1 diakibatkan oleh A1



Analog untuk D2 dan D3

D11 : perpindahan yang selaras A2

diakibatkan oleh A2 dst.

Persamaan aksi:

A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3

A2 : S2 D1 + S22 D2 + S23 D3

A3 : S31 D1 + S32 D2 + S23 D3

L I - 10

Di mana:

S adalah koefisien kekakuan yang menyatakan aksi akibat perpindahan satu

satuan.

S11 : aksi yang selaras dengan A1 bila satu satuan perpindfahan D1 diberikan

sementara perpindahan yang lain = 0 dan seterusnya.

Arah setiap koefisien kekakuan yang diperlihatkan dianggap positif, apabila searah

dengan aksi yang selaras. Persamaan aksi untuk struktur dengan n buah aksi adalah:

A1 : S11 D1 + S12 D2 + S13 D3

A2 : S21 D1 + S22 D2 + S23 D3

- - -

An : Sn D1 + S31 D2 + S33 D3

Dalam balok matrik

[ ] [ ][ ]DSAatau

Dn

DD

SnnSnSn

nSSSnSSS

An

AA

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

..21

..21........2..22211..1211

..21

Dimana A = Matrik aksi berukuran n x 1

D = Matrik perpindahan berukuran n x 1

S = Matrik kekakuan berukuran n x n

Koefisien kekakuan Sij didefibnisikan sebagai aksi ke – i akibat satu satuan

perpindahan ke- j sementara petrpindahan lainnya adalah nol.

I. 8. Beban Ekivalent

Analisa struktur mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja pada

titik kempul. Sebenarnya beban yang bekerja pada struktur tidak memenuhi syarat

tersebut. Agar supaya syarat terpenuhi beban pada batang harus diganti dengan

beban ekivalen pada titik kem pul. Beban ekivalen ini sedemikian rupa, sehingga

L I - 11

perpindahan struktur yang ditimbulkan sama dengan perpindahan akibat beban

sebenarnya. Beban ekivalen dapat dihitung berdasarkan gaya jepit ujung.

W M1 P1 P2

L L/2 L/2

1/12 WL2

wL/2 P1

PL/8 PL/8

.5P1 .5P1

WL/2

WL/2+.5P1 .5P1+P2

1/12 WL2

M1+1/12WL2-PL/8

Gambar L12

Titik kempul dikekang terhadap semua

perpindahan, sehingga menghasilkan 2

balok terjepit (gambar L12).

Di sini gaya ujung ditunjukkan sebagai

reaksi pengekangan pada struktur

terhekang. Jika reaksi pengekang ini

dibalik arahnya akan menjadi beban

yang ekivalen dengan beban yang

bekerja pada batang.

Beban titik kempul ini digabungkan,

sehingga dapat digunakan dalam analisa

struktur.

I. 9. Teori Energi

Pembahasan konsep energi ini terbatas pada struktur yang regan gan dan

perpindahannya kecil serta energinya tidak hilang selama proses pembebanan statis.

Dengan kata kain, kerja luar (external) dari beban yang diberikan secara perlahan-

lahan sama dengan energi yang disimpan dalam struktur.

Dari teori elastis, apabila ditinjau pada elemen yang sangat kecil akan terdapat

beberapa tegangan seperti pada gambar 17.

L I - 12

σy

τyx

τyz τxy dx

τzy σx

τzx

σz

Gambar L13

Terdapat 3 tegangan normal (σx, σy, σz)

dan 6 tegangan geser (τxy,τxz dst nya).

τxy = τyx (a.)

τyz = τzy

τzx = τxz

Jadi hanya 6 komponen tegangan yang

perlu ditin jau untuk pegangan berlaku.

u,v,w adalah translasi dalam arah x,y,z.

Єx = du/ dx

Єy = dv/ dy (b.)

Єz = dw/ dz

Untuk regangan geser γxy = γyx = Əu/Əy + Əv/Əx

γyz = γzy = Əv/Əz + Əw/Əy (c.)

γzx = γxz = Əw/Əx + Əu/Əz

σ =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

654321

σσσσσσ

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zxyxxyzyx

σσσσσσ

ε =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

654321

εεεεεε

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

zxyzxyzyx

εεεεεε

(d.)

Tegangan dan regangan pada sembarang titik untuk benda 3 dimensi

Dari diagram tegangan – regangan untuk bahan linear. Energi regangan

didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari tegangan selama pertambahan

regangan untuk pegangan total dan seluruh volume.

U = 21 ∑

=

5

1..

n

idViiσε = dVt

V

..2/1 εσ∫

L I - 13

Dimana : σt transpose matirk kolom

ns jumlah komponen regangan ε

U Energi regangan

σi

dσ

dЄ Єi gambar L14

Energi regangan komplementer didefinisikan sebagai integrasi kerja dalam dari

regangan pertambahan tegangan untuk tegangan total dan seluruh volume.

U* = 21 ∑

=

5

1..

n

i

dViiσε = dVt

V

..2/1 σε∫

Dimana : ε t transpose matirk kolom ε

Untuk kerja beban dapat dirumuskan sama seperti energi regangan.

Pj

dP

dΔ Δj

Gambar L15

W = 21 =Δ∑

=

5

1..

n

j

dVjPj 1/2 At D

W* = 21 =Δ∑

=

5

1

..n

j

dVjPj 1/2 Dt A

Dari prinsip kekuatan energi, bahwa kerja beban W = energi pegangan U yang

disimpan dalam struktur, sehingga:

U = W = ½ DT S.D

L I - 14

Teori costigliano I menyatakan bahwa jika energi regangan benda elastis

diunyatakan sebagai fungsi (himpunan) perpindahan, maka turunan parsial pertama

fungsi ini terhadap perpindahan sama dengan gaya aksi yang selaras.

DjU

∂∂

= ∑−

n

kSjk

1

Dk = Aj ( j = 1, 2, …..n )

Persamaan ini menyatakan n (himpunan) syarat keseimbangan. Apab ila persamaan

ini diturunkan terhadap Dk , maka akan diperoleh suku kekakuan umum Sjk

sebagai: DjU

σσ

DkDjU∂∗∂

∂ =

DkAj

∂∂ = Sjk j = 1, 2, ………… n

k = 1, 2, …………. N

Hubungan timbal balik (teorema Maxwell), jika untuk differensial dibalik, maka

hasilnya harus sama, sehingga: Sjk = Skj

Oleh karena itu semua pasangan kekakuan silang sama besar, sehingga matrik S

adalah simetris atau identik transposenya. S = ST

1.10. Rangkuman

• Bandungkan jenis2 struktur rangka seperti Rangka Batang , Balok

ataupun Portal. Perbedaan terletak pada gaya dalam dan deformasi

• Dasar2 analisa struktur seperti deformasi, Aksi dan Perpindahan ,

derajat kebebasan , derajat ketidak tentuan statis atau kinematis ,

stabilitas, Superposisi , Kekakuan , beban ekivalent dan teori energi.

L II - 1

LAMPIRAN II

PERINTAH UNTUK CALCULATOR CFX 9850GB

Matrix calculations

26 matrix memories (Mat A Through Mat Z) plus a matrix answer memory

(MatAns), make it possible to perform the following matrix operations.

Addition, subtraction, multiplication

Scalar multiplication calculations

Determinant calculations

Matrix transposition

Matrix inversion

Matrix squaring

Raising a matrix to a specific power

Absolute value, integer part extraction, fractional part extraction, maximum

integer calculations

Matrix modification using matrix commands

LII-1 before performing matrix calculations

LII-2 matrix cell operations

LII-3 modifying matrices using matrix commands

LII-4 matrix calculations

L II - 2

LII-1 Before Performing Matrix Calaulations In the Main Menu, select the MAT icon to enter the Matrix Mode and display its

initial screen.

{DEL}/{DEL.A} … deletes {a specific matrix}/{all matrices}

The maximum number of rows that can be specifies for a matrix is 255, and the

maximum number of columns is 255.

About Matrix Answer Memory (MatAns)

The calculator automatically stores matrix Answer Memory. Note the

following points about Matrix Answer Memory. Whenever you perform

a matrix calculation, the current Matrix Answer Memory contents are

replaced by the new result. The previous contents are deleted and cannot

be recovered. Inputting values into a matrix does not affect Matrix

Answer Memory contents.

Creating a Matrix

To create a matrix, you must first define its dimensions (size) in the

MATRIX list. Then you can input values into the matrix to specify the

dimensions of a matrix

L II - 3

Example : To create a 2-row x 3-column matrix in the area named Mat B

Highlight Mat B.

All of the cells of a new matrix contain the value 0.

All “Mem ERROR” remains next to the matrix area name after you input the

dimensions, it means there is not enough free memory to create the matrix you

want.

L II - 4

Displayed cell values show positive integers up to six digits, and negative

integers up to tive digits (one digit used for the negative sign). Exponential

values are shown with up to two digits for the exponent. Fractional values are

not displayed.

You can see the entire value assigned to a cell by using the cursor keys to move

the highlighting to the cell whose value you want to view.

The amount of memory required for a matrix is ten bytes per cell. This means

that 3 x 3 matrix requires 90 bytes of memory ( 3 x 3 x 10 = 90 ).

Deleting Matrices

You can delete either a specific matrix or all matrices in memory.

To delete a specific matrix

While the matrix list on the display, use and to highlight the matrix

you want to delete.

Press {DEL}

Press {YES} to delete the matrix or {NO} to abort the operation

without deleting anything.

The indicator “None” replaces the dimensions of the matrix you delete.

To delete all matrices

While the matrix list is on the display, press {DEL A}.

Press {YES} to delete all matrices in memory or {NO} to abort the

operation without deleting anything.

The indicator “None” is shown for all the matrices.

L II - 5

LII – 2 Matrix Cell Operations

Use the following procedure to prepare a matrix for a cell operations.

While the MATRIX list on the display, use to highlight the name

of the matrix you want to use.

And the function menu with the following items appears. {R.OP} …{row calculation menu}

{ROW}/{COL} … {row}/{column} operation menu

Row Calculations The following menu appears whenever you {R . OP} while a

recalled matrix is on the display.

{Swap} … {Row Swap}

{xRw} … {Product of specific row and scalar}

{xRw+} … {Addition of one and the product of a specific row with a

scalar}

{Rw+} … {Addition of specific row to another row}

To swap two rows Example : To swap rows 2 and 3 of the following matrix :

L II - 6

To calculate the product of a row :

Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix

and the scalar 4 :

To calculate the product of a row and add the result to another row

Example : to calculate the product of row 2 of the following matrix and the

scalar 4, then add the result to row 3 :

L II - 7

To add two rows together

Example : to add row 2 to row 3 of the following matrix :

Row Operations

The following menu appears whenever you {ROW} while a

recalled matrix is on the display.

{DEL} … {delete row}

{INS} … {insert row}

{ADD} … {add row}

To delete a row

Example : to delete row 2 of the following matrix :

L II - 8

To insert a row Example : To Insert a new row between rows 1 and 2 of the following matrix

:

To add a row

Example : to add a new below row 3 of the following matrix :

Column Operations The following menu appears whenever you (COL) while a recalled matrix is on the display.

{DEL} … {delete column}

{INS} … {insert column}

{ADD} … {add column}

To delete a column Example : to delete column 2 of the following matrix :

L II - 9

To Insert A Column

Example : to insert a new column between column 1 and 2 of the following

matrix :

To Add A Column

Example : to add a new column to the right of column 2 of the following

matrix :

L II - 10

LIII – 3 Modifying Matrices Using Matrix Commands

To Display The Matrix Commands

1. From the main menu, select the RUN icon and

The following describes only the matrix command menu items that are used for

creating matrices and inputing matrix data.

{Mat} … {Mat command (matrix specification)}

{M L} … {Mat List command (assign contents of selected column

to list file)}

{Aug} … {Augment command (link two matrices)}

{Iden} … {identify command (identify matrix input)}

{Dim} … {Dim command (dimension check)}

{Fill} … {Fill command (identical cell value)}

L II - 11

Matrix Data Input Format

The following showns the format you should use when inputing data to create a

matrix using the matrix operation menu’s Mat command.

an error occurs if memory becomes full as you are inputing data.

You can also use the above format inside a program that inputs matrix data.

To Input An Identify Matrix

Use the matrix operation menu’s identify to create an identify

matrix.

L II - 12

To Check The Dimensions Of A Matrix

Use the matrix operation menu’s Dim to check the

dimensions of an existing matrix.

The display showns that matrix A consists of two rows and three columns.

You can also use {Dim} to specify the dimensions of the matrix.

Modifying Matrices Using Matrix Commands

You can also use matrix commands to assign values to and recall values from an

existing matrix, to fill in all cells of an existing matrix with the same value, to

combine two matrices into a single matrix, and to assign the contents of a matrix

column to a list file.

L II - 13

To Assign Values To And Recall Values From An Existing Matrix

Use the following format with the matrix operation menu’s Mat

to specify a cell for value assignment anf recall.

Mat X [m, n]

X ………………… matrix name (A through Z, or Ans)

m ………………... row number

n …………………. Column number

To Fill A Matrix With Identical Values And To Combine Two Matrices Into A

Single Matrix

Use the matrix operation menu’s fill to fill all the cells of an

existing matrix with an identical value, or the Augment to

combine two existing matrices into a single matrix.

L II - 14

The two matrices you combine must have the same number of rows. An error

occurs if you try to combine two matrices that have different numbers of

rows.

To Assign The Contents Of A Matrix Column To A List File

Use the following format with the matrix operation menu’s Mat List

command (F2) to specify a column and a list file.

Mat List (Mat X, m) List n

X = matrix name (A through Z , or Ans)

m = column number

n = list number

You can use matrix answer memory to assign the results of the above

matrix input and edit operations to a matrix variable. To do so, use the

following syntax.

L II - 15

Fill (n, Mat α) Mat β

Augment (Mat α, Mat β) Mat γ

In the above, α, β, and γ are any variable names A through Z, and n is

any value.

The above does not affect the contents of Matrix Answer Memory.

LIV - Matrix calculations Use the matrix command menu to perform matrix calculation operations.

To Display The Matrix Commands 1. Fro the main menu, select the RUN icon and press ( EXE )

2. Press ( OPTN ) to display the option menu

3. Press ( F2 ) ( MAT ) to display the matrix command menu.

The following describe only the matrix commands that are used for matrix

arithmetic operations.

{Mat} … {Mat command (matrix specification)}

{Det} … {Det command (determinant command)}

{Trn} … {Trn comman (identity matrix input)}

{Iden} …{Identity command (identity matrix input)}

All of the following examples assume that matrix data is already stored in memory.

L II - 16

L II - 17

The two matrices must have the same dimensions in order to be added or

subtracted. An error occurs if you try to add or subtract matrices of different

dimensions.

For multiplication, the number of columns in matrix 1 must match the

number of rows in matrix 2. Otherwise, an error occurs.

You can use an identity matrix in place of matrix 1 or matrix 2 in the matrix

arithmetic format. Use the matrix command menu’s identity command ( F1 )

to input the identity matrix.

L II - 18

L II - 19

LII – 4 Matrix Calculations

L II - 20

L II - 21

L II - 22

Determinants and inverse matrices are calculated using the elimination

method, so errors (such as dropped digits) may be generated

Matrix operations are performed individually on each cell, so calculations

may require considerable time to complete.

The calculation precision of displayed results for matrix calculations is +/- 1

at the last siginificant digit.

If a matrix calculations result is too large to fit into matrix answer memory,

an error occurs.

You can use the following operatin to transfer matrix answer memory

contents to another matrix (or when matrix answer memory contains a

determinant to a variable)

MatAns Mat α

In the above, α is any variable name A through Z. the above does not affect the contents of matrix answer memory.

L III - 2

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN (GBPP)

Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik 5 Pengembang : Pratikto ,ST.MSi

Kode Mata Kuliah : TKG 5147 Tahun Dikembangkan : 2010

Sistem Kredit Semester : 5 Pendekatan Materi : Teori dan praktek

No Kompetensi Khusus

Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan

Sub Pokok Bahasan Metode Estimasi Waktu

Kepustakaan

1 REVIEW Mahasiswa mempersiapkan alat bantu hitung dan untuk mengingat kembali pelajaran mekanika teknik semester lalu

Pendahuluan 1. Analisa struktur bangunan 2. Kontrak Perkuliahan

Calculator dan Komputer 3. Review Rangka batang 4. Review bid M,D,N 5. Hubungan mata kuliah

dengan MK yang lain

Presentasi 90 menit

2. Mahasiswa mampu menggunakan calculator untuk operasi matrik Seperti: Casio FX9850GB

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan peralatan calculator untuk operasi matrik.

Operasi pada perhitungan matrik dengan Calculator

1. Definisi matriks ; Sifat matrik 2. Penjumlahan ; Perkalian 3. Invers matrik 4. Input data calculator 5. Transpose 6. Perkalian 7. Invers 8. Solusi Persamaan Linear

Presentasi , praktek

90 menit 1

3. Mahasiswa mampu menggunakan komputer untuk operasi matrik Seperti: EXCEL

Mahasiswa diajarkan bagaimana menggunakan Komputer untuk operasi matrik .

Operasi pada perhitungan matrik dengan Lembar Kerja EXCEL

1. Input data Lembar kerja 2. Transpose 3. Perkalian 4. Invers 5. Solusi Persamaan Linear

Presentasi , praktek

90 menit 1

L III - 3


Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan


Kepustakaan

5. Mahasiswa mampu menjelaskan Dasar teori metode perpindahan dalam bentuk matrik

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal.

Membentuk matrik kekakuan struktur dan menyelesaikan persamaan linear

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear

Presentasi, Conto soal, Latihan mandiri

2 X 180 menit

6 Mahasiswa mampu menghitung Rangka Batang dengan bentuk matrik

Dosen memberikan penjelasan dalam bentuk soal dan pemakaian alat hitung

Membentuk matrik kekakuan struktur Rangka Batang dan menyelesaikan persamaan l

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Rangka Batang


180 menit

6 Mahasiswa mampu menghitung Balok statis tertentu dan tak tentu dengan bentuk matrik


Membentuk matrik kekakuan struktur Balok dan menyelesai kan ersamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan Linear 6. Gaya Dalam Balok MDN


180 menit

EVALUASI – UTS- 90 MENIT

L III - 4


Pengalaman Belajar

Pokok Bahasan


Kepustakaan

7. Mahasiswa mampu menghitung PORTALdengan bentuk matrik


Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan

Linear 6. Gaya Dalam Balok

MDN


2 X 180 menit

8. Mahasiswa mampu menghitung PORTAL dengan kaki Miring dalam bentuk matrik


Membentuk matrik kekakuan struktur PORTAL MIRING dan menyelesai kan persamaan linear beserta Gambar MDN

1. Matrik Statis 2. Matrik Deformasi 3. Matrik Kekokohan 4. Matrik Kekakuan 5. Solusi Persamaan

Linear 6. Gaya Dalam Balok

MDN


2 X 180 menit

EVALUASI – UAS- 90 MENIT

L IV - 1

LAMPIRAN 4

DAFTAR TABEL dan DAFTAR GAMBAR Tabel 2.1 Derajat Kinematis Gambar 2.1 Diagram metode matrik Gambar 2.2.a. Beban ekwivalent Rangka Batang Gambar 2.2.b Beban ekwivalent Balok Gambar 3.1 Rangka Batang Gambar 3.2 Model Matematik Rangka Gambar 3.3 Hukum Hooke Gambar 3.4 contoh sederhana Gambar 3.6 Matrik Statis B Gambar 3.7 latihan Rangka Batang (1) Gambar 3.9 Tugas Rangka Batang Gambar 3.8 latihan Rangka Batang (2) Gambar 4.1 kekakuan lentur elemen balok

Gambar 4.2 kekakuan lentur balok

Gambar 4.3 illustrasi balok

Gambar 4.4 3 elemen, Diagram Q-D dan H-d

Gambar 4.5 matrik A

Gambar 4.6 matrik Kekokohan [S]

Gambar 4.7 matrik B

Gambar 4.8 Contoh Balok Menerus

Gambar 4.9 Kinematis dan elemen

Gambar 4.10 matrik Q dan A

Gambar 4.11 Matrik S dan B

Gambar 4.12 Penyelesaia

Gambar 4.13 Latihan 1

Gambar 4.14 Latihan 2

Gambar 4.15 Conto untuk evaluasi



L IV - 2

Gambar 5.3 portal simetris.

Gambar 5.4 pembagian elemen



Gambar 5.7 Hasil gaya dalam moment

Gambar 5.8 Bidang MDN

Gambar 5.9 illustrasi portal bergoyang


Gambar 5.11 Beban Ekwivalen

Gambar 5.12 H-d Diagram

Gambar 5.13 Diagram Gaya Dalam

Gambar 5.14 Portal Beban Horizontal



Gambar 6.3 Pergoyangan Portal Miring




Gambar 6.7 soal latihan

Gambar 6.8 Elemen dan Diagram Kinematis

Gambar 6.9 Diagram H-d

Gambar 6.10 matrik gaya Q

Gambar 6.11 pembentukan matrik A

Gambar 6.12 FREE BODY Portal Miring

ts pratikto diktat mt5 2010 portal

Documents