tssu aleksandra

7/21/2019 TSSU Aleksandra

http://slidepdf.com/reader/full/tssu-aleksandra 1/26

ЕLЕKТRОТЕHNIČKI FАKULТЕТ

UNIVЕRZIТЕТ ISТОČNО SАRАЈЕVO

Analiza stabilnosti upa!l"an"a a#ti!ni$!iba%i"a$a &a'(!ins#i) stu#tua #oist(*i

+,-+I, upa!l"an"(

SЕ.INАRSKI RА,

Studiје: II ciklus

Оdsјеk: Automatika i elektronika

Prеdmеt: Teorija stabilnosti sistema upravljanja

Studеnt:

Aleksandra Radovanović, M-92

Меntоr:

Prof.dr Tomislav Šekara



Ist/0n/ S1123!/4 "ul 56789

Aleksandra Radovanović 1



SA,R:A;<

1 !О"###########################################################################################################################################$

% &'"() I A*TI!+' P,A!)-A+-( .,A/(!I+S*I& '0-(*TI&A################################

%#1 P" upravljanje#######################################################################################################################2

%#% PI" upravljanje####################################################################################################################1%

$ SI&)A3I-( I (*SP(,I&(+TA)+I ,(4)TATI###############################################################15

6 )I78,97,9############################################################################################################################%1

Aleksandra Radovanović %



7 UVО,

.raevinski objekti su osjetljivi na prirodne i opasnosti u;orkovane djelatno<=u >ovjeka?koje mo@u re;ultovati inansijskim? socijalnim i ljudskim @ubicima# 0itno je ;a<tititi ove strukture?uklju>uju=i ljude u ;@radi i neBstrukturalne komponente od oviC opasnosti# -edan pristup ;aublaDavanje ovo@ nepoDeljno@ pona<anja je mijenjanje dinami>kiC karakteristika @raevine sob;iorm na dato optere=enje? <to se moDe posti=i dodavanjem upravlja>kiC ureaja @raevini kao <tosu pri@u<iva>i ili akturatori#

pravlja>ki ureaj i model kontrolera su @lavni okus sistema ;a upravljanje aktivnimvibracijama E5?1FG# 0udu=i da je sila kojom djeluju ;emljotresi i vjetrovi na strukture veoma velika inei;vjesna? ovi veliki @raevinski objekti ;aCtijevaju veliku koli>inu ener@ije da bi se njomupravljalo# pravljanje strukturom moDe se podijeliti na pasivno upravljanje koje ne ;aCtijevaspolja<nji i;vor ener@ije E%2G? i aktivno upravljanje koje koristi sen;ore i aktivne aktuatore ;aupravljanje nepoDeljnim vibracijama E%HG# Postoje mno@u upravlja>ki ureaji projektovani ;a

primjenu u upravljanju strukturama EHG# Pri@u<iva> sa aktivnom masom eng. Active Mass Damper AMDJ je naj>e<=e kori<teni aktuator? koji koristi masu be; opru@e i amorti;era EG# ovom radu?kori<tem je A&" tip aktuatora ;a upravljanje aktivnim vibracijama#

"a bi se posti@la dobra peromansa? neopCodno je projektovati eikasnu upravlja>kustrate@iju? koja treba biti jednostavna? robusna i tolerantna na @re<ke# 0ilo je poku<aja ;a uvoenjenapredniC kontrolera ;a upravljanje akrivnim vibracijama u @raevinskim objektima# mjestomijenjanja >vrsto=e strukture? K1 upravljanje poloDajem polova od@ovara omjeru Deljeno@

pri@u<enja predloDeno@ u E%FG# *ako bi se i;bje@ao problem vi<e@ reda u K1 upravljanju? primjenjeno je uravnoteDeno skra=ivanje u E%$G# E2G @eneri>ki al@oritam je kori<ten ;a odreivanje

povratne spre@e# Postoji nekoliko optimalniC upravlja>kiC al@oritama ;a upravljanje aktivnimvibracijama u @raevinskim objektima? npr# iltrirano linearno kvadratno upravljanje )LJ? linearnikvadratni re@ulator )L,J E1G i .ausovo linearno kvadratno upravljanje )L.J E16G# Svi ovikontroleri su ;asnovani na modelima koji su sloDeni i ;aCtijevaju ta>an model @raevinsko@objekta# +eki kontroleri su be; modela? kao <to su upravljanje u pokretnom reDimu eng. liding

Mode !ontrol- M! J E$$G? upravljanje neuronskom mreDom E1HG i a;i lo@i>ko upravljanje E%G si idalje sloDeni#

Miroko je rasprostranjena upotreba PI" upravljanja u industrijskim primjenama# 0e;

po;navanja modela? PI" upravljanje mo@lo bi biti najbolji kontroler u primjenama u realnomvremenu E6G# !elike prednosti PI" upravljanja u odnosu na dru@e su jednostavnost i jasna i;i>ka;na>enja# Iako su teorijska istraDivanja PI" upravlja>kiC al@oritama dobro ;asnovana? jo< uvijek nisu dovoljno ra;vijena u upravljanju strukturniC vibracija# E15G? jednostavno proporcionalnoupravljanje je primjenjeno ;a smanjenje pomjeranja ;@rade uslijed udara vjetra# E1%?1$G? P" i PI"kontroleri su kori<teni u numeri>kim simulacijama# E$1G? proporcionalnoBinte@ralni PIJ kontroler sa A&" je kori<ten da bi se ublaDila strukturna kretanja usljed ;emljotresa# &eutim? ovi re;ultatiupravljanja nisu ;adovoljavaju=i? ;ato <to je te<ko podesiti PI" kontroler da bi se dobile dobre

peromanse kao <to su vrijeme od;iva? preskok? vrijeme smirenja i @re<ka ravnoteDno@ stanja E1$G#'sim to@a? u ovim radovima se ne diskutuje o anali;i stabilnosti oviC sistema aktivno@ upravljanja#

Aleksandra Radovanović $



Iako nema sumnje u napredak u oblasti strukturno@ upravljanja? jo< uvijek postoje neka podru>ja koja ;aCtjevaju dalja istraDivanja E$FG# Aktivni ureaji imaju mo@u=nost dodavanja sile na@raevinski objekat# )o<e osmi<ljen kontroler =e dovesti do neDeljeno@ djelovanja upravljanja? <tomoDe >ak o<tetiti ;@radu# 4ato je poDeljno prou>avati stabilnost sistema sa povratnom spre@om#Samo nekoliko strukturniC kontrolera kao <to su K1 i S&3 u;imaju u ob;ir stabilnost u svommodelu?;a ra;liku od dru@iC upravlja>kiC strate@ija# &eutim? ovi modeli ra;matraju samo modele

sa linearnom >vrsto=om? jer je to jednostavan i u>inkovit model makar ;a male radne opse@e# praksi? ove @raevine imaju nelinearno pona<anje kao <to je pojava Cistere;isa ENG# 'sim to@a? postoji nedostatak eksperimentalne provjere oviC kontrolera# Prakti>na primjena je i;a;ov ako se neobrati paDnja na ove probleme#

ovom radu? koriste se standardni industrijski P" i PI" kontroleri ;a aktivno upravljanjevibracijama# +ajve=i doprinos je u tome <to je data teorijska anali;a P"OPI" kontrolera# ovojanali;i ra;matrani su slu>ajevi i ;a linearnu i ;a nelinearnu >vrsto=u strukture# 0oucBenov model

je kori<ten ;a modelovanje pojave nelinearno@ Cistere;isa# I;vedeni su dovoljni uslovi ;aasimptotsku stabilnost? koji su jasni i i;ri>iti# Poja>anja re@ulatora mo@u se odrediti direktno i; oviC

uslova# +umeri>ke simulacije su date u poreenju sa S&3# Sistem upravljanja aktivnimvibracijama ;a ;@radu na dva sprata opremljenu sa A&" je konstruisan ;a eksperimentalna

prou>avanja# (ksperimentalni re;utlati dobijeni kori<tenjem P" i PI" kontrolera su diskutovani idemonstrirana je eikasnost teorijskiC re;ultata#

5 =O,>L I AK?IVNO U+RAVL;AN;> @RA>VINSKI= OB;>K?I=A,a;motrimo ;@radu jednostavne strukture? koja se moDe modelovati kao ENG?




m ´ x+c ´ x+kx= f e 1J

@dje je m massa? c koeicijent pri@u<enja? k je >vrsto=a? f e je spolja<nja sila koja djeluje na

strukturu? a Q? ´ x i ´ x su pomjeraj? br;ina i ubr;anje? respektivno#

&odel ;a linearnu strukturu sa vi<e spratova sa n stepeni slobode eng. n-degree-of-freedomn-D"# J je prika;ana na slici 1# 'vdje se pretpostavlja da je masa strukture koncentrisana nasvakom spratu# 4anemaruju=i @ravitacionu silu i pod pretpostavkom da Cori;ontalna sila djeluje na

ba;u strukture? jedna>ina kretanja nBto@ sprata strukture se moDe i;ra;iti kao E15G?

M ´ x+C x+f s=−f e %J

Slika 1: Me$ani%ki model n-D"# gra&evinske str'kt're

4a neusmjereno kretanje? parametri se mo@u pojednostaviti kao E15G:

M =

[m1 0 ⋯ 0

0 m2 ⋯ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

0 0 ⋯ mn]∈

R

n×n

.

C =[c1+c2 −c2 ⋯ 0 0

−c2 c2+c3 ⋯ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋯ cn−1+cn −cn

0 0 … −cn cn

]∈ Rn× n

# $J

Aleksandra Radovanović



x∈ Rn ×n

? f s=[ f s .1 … .. f s .n ]∈ Rn

vektor sile >vrsto=e strukture? i f e∈ Rn

je vektor

spolja<nje sile koja djeluje na strukturu? kao <to su ;emljotresi i udari vjetra#

Ako je ve;a i;meu lateralne sile f s i re;ultuju=e deormacije Q linearna? onda je f s

f s= Kx ? @dje je K =[

k 1+k 2 −k 2 ⋯ 0 0

−k 2 k 2+k 3 ⋯ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

⋮ ⋮ ⋯ k n−1+k n −k n0 0 … −k n k n ]∈ R

n× n

# 6J

Ako je ve;a i;meu lateralne sile f s i re;ultuju=e deormacije nelinearna? tada se ;a komponentu

>vrsto=e kaDe da je neelasti>na ENG# 'vo se do@aa kada na strukturu djeluje veoma jaka sila? koja

deormi<e strukturu i;van @ranica njeno@ linearno@ elasti>no@ pona<anja# 0oucBenov model dajerealnu predstavu pona<anja strukture usljed djelovanja jako@ ;emoljotresa# 'dnos silaBpomjeraj ;asvaki element >vrsto=e i@nori<u=i bilo koji ;ajedni>ki eekatJ od@ovara slede=em odnosu E$%G:

f s ,i=ϵk i xi+(1−ϵ ) k i ηφi ,i=1, …,n J

@dje je prvi dio elasti>na >vrsto=a a dru@i dio je neelasti>na >vrsto=a? k i je linearna >vrsto=a

deinisana u jedna>ini 6J? ϵ i R su po;itivni brojevi? a φi je nelinearna sila vra=anja koja

;adovoljava

φi =η−1[δ ´ x i− β| ´ x i||φ i|

p−1φ i+γ ´ x i|φi|

p] NJ

Slika %: (istere)na petl*a +o'c-enovog modela

Aleksandra Radovanović N



@dje su β , δ , γ i p po;itivni brojevi# 0oucBenov model ima Cistere;nu osobinu# +je@ov ula;ni

pomjeraj i i;la;na sila su prika;ani na slici %# "unami>ke osobine 0oucBenovo@ modela suanali;irane u E1NG#

slu>aju upravlja>kiC sistema sa povratnom spre@om? ula;ne i i;la;ne promjenjljive mo@uod@ovoriti na nekoliko nelinearnosti# Sa upravlja>ke ta>ke @ledi<ta? najvaDnije je prou>iti

nelinearne eekte na dinamiku strukture#

0oucBenov model predstavljen jedna>inama J i NJ je 0I0' stabilan en@# +o'nded np't-

+o'nded "'tp't J? ako i samo ako pode<avanje Ωbw sa inicijalnim uslovima φ=0 nije pra;no#

Pode<avanje Ωbw je deinisano kao: φ(0)∈ R tako da je f s o@rani>eno ;a svaki C 1

ula;ni si@nal i Q sa iksnim vrijednostima parametara β , δ , γ i p# "einisano je da su φa i

φb :

φa= p√ δ

β+γ ? φb= p√ δ

γ − β HJ

;a bilo koji o@rani>eni ula;ni si@nal Q? od@ovaraju=i Cistere;ni i;la; f s je takoe o@rani>en# Sa

dru@e strane? ako φ (0 )∈Ωbw≠ 0 ? tada je i;la; modela f s neo@rani>en# Tabela 1 prika;uje kako

parametri

β , δ

i

γ

na svojstva stabilnosti 0oucBenovo@ modela#

Pasivnost je svojstvo kojim se navodi da je skladi<tena ener@ija sistema uvijek manja odener@ije napajanja# Sa dru@e strane? aktivni ssitemi stvaraju ener@iju# E1NG je poka;ano da je0oucBenov model pasivan s ob;irom na nje@ovu skladi<tenu ener@iju# Slu>aj 1 u tabeli 1 udovoljnoj mjeri opisuje i;i>ki sistem i ;adrDava i 0I0' stabilnost i svojstva pasivnosti#

Tabela 1# Stabilnost 0oucBenovo@ modela sa ra;li>itim β , δ ,γ #

Sluča

j

Uslovi Ωbw

|φ (t )|

1 δ >0, β+γ >0 i β−γ ≥ 0 R max (|φ (0 )|, φa)

% δ >0, β−γ <0i β≥ 0 [−φb , φb ] max (|φ (0 )|, φa)

$ δ <0, β−γ >0i β+γ ≥ 0 R max (|φ (0 )|, φb)

6 δ <0, β+γ <0 i β ≥ 0 [−φa , φa ] max (|φ (0 )|, φb)

Aleksandra Radovanović H



δ =0, β+γ >0i β−γ ≥0 R |φ (0 )|

N svi ostali uslovi ∅ neo@rani>en

+elinearna dierencijalna jedna>ina NJ je kontinualno vremenski ;avisna# To je lokalni)ipscCit;# slu>aju da je p1 moDemo ;aklju>iti da jedna>ina NJ ima jedinstveno rje<enje ;a

vremenski interval [0, t 0 ] # 'va osobina =e biti kasnije iskori<tena tokom anali;e stabilnosti#

.lavni cilj upravljanja strukturom je da se smanji od;iv ubr;anja ;@rade na od@ovaraju=inivo# "a bi se ublaDile vibracije u;rokovane spolja<nom silom? A&" je instaliran na strukturi? kaona slici $# Sistem sa povratnom spre@om sa upravlja>kom silom ' je deinisan kao:

M ´ x +C ´ x +f s +f e = (!−") 2J

@dje je !∈ Rn

upravlja>ki si@nal koji se <alje na pri@u<iva>? "∈ Rn

vektor sile pri@u<enja i

trenja pri@u<iva>a? i ∈ Rn × n

je matrica po;icija pri@u<iva>a? deinisana na slede=i na>in#

i , #={1 ak$ #e i= #=s ,∀ i , #∈ {1, … , n }, s⊆ {1, … , n }0 ! "%!&$m s'!(a#! 5J

@dje su sa s o;na>eni spratovi na kojima su postavljeni pri@u<iva>i# slu>aju ;@rade na dva sprata

=[ 1,1 1,2

2,1

2,2

] ? ako je pri@u<iva> postavljen na dru@om spratu s= {2 } ? =[0 0

0 1] # Ako je

pri@u<iva> postavljen i na prvom i na dru@om spratu? tada je s= {1,2} ? =[1 0

0 1] #

Sila pri@u<enja f " ? kojom Bti pri@u<iva> djeluje na strukturu je:

´ x s+ ´ x

f " , )=m" , ) ¿ d,qJ ¿!)−") 1FJ

@dje je m" , ) masa Bto@ pri@u<iva>a? ´ xs je ubr;anje sBto@ sprata na kojem je postavljen

pri@u<iva>? ´ xd? je ubr;anje Bto@ pri@u<iva>a? !) je upravlja>ki si@nal primjenjen na Bti

pri@u<iva> i




")=c" , ) ´ xd,q

β* ´ x¿

+ϵ )m" ,) & tanh ¿ d,q] 11J

@dje su c" , ) i ´ xd,q koeicijenti pri@u<enja i br;ine Bto@ pri@u<iva>a a dru@i uslov je *ulonovo

trenje predstavljeno pomo=u Ciperbolne tan@ente koja ;avisi od velike po;itivne konstante β* ?

dok ϵ ) predstavlja koeicijent trenja i;meu Bto@ pri@u<iva>a i sprat sa kojim je pove;an a @ je

@ravitaciona konstanta E%%G#

*ada A&" dodaje silu na @raevinski objekat? ova sila moDe stabili;ovati ili destabili;ovatistrukturu# Ako upravlja>ki al@oritam @eneri<e nestabilan si@nal ? pri@u<iva> =e stvarati silu kojamoDe u>itini @raevinski objekat nestabilnim# ovo je mno@o bitnije ;a nelinearne ureaje? ;bo@ to@a<to i ;a o@rani>en ula;ni si@nal? nelinearni ureaji mo@u dati nestabilan i;la;#

'>i@ledno je da su @raevinske strukture u otvorenoj spre;i asimptotski stabilne kada ne

postoji spolja<nja sila? tj# f e=0. 'vo je takoe ta>no i u slu>aju neelasti>ne >vrsto=e? ;bo@ 0I0'

stabilnosti i pasivniC osobina# Tokom pobude? idealna aktivna upravlja>ka sila koja je potrebna ;a

potpuno pri@u<enje oscilacija je !=f e # &eutim? ovo je nemo@u=e ;ato <to f e nije uvjek

mjerljiva i mno@o je ve=a od sile upravlja>ko@ ureaja# dakle? cilj aktivno@ upravljanja je da odrDivibracije <to manjim mo@u=im minimi;iranjem relativno@ kretanja i;meu spratova strukture# slede=em dijelu? bice diskutovano o jednostavnim P" i PI" kontrolerima i anali;i njiCove

stabilnosti#597 +, upa!l"an"(

P" upravljanje bi mo@lo biti najednostavnije ;a upravlja>ke sisteme ;a strukturne vibracije?koje pruDa visoku robusnost s ob;irom na nei;vjesnosti# P" upravljanje ima slede=i oblik:

!=− K p ( x− x" )− K " (´ x−

´ x") 1%J

@dje su * p i * d po;itivno deinitne konstantne matrice? koje od@ovaraju proporcionalnom i

dierencijalnom poja>anju? respektivno a Qd je Deljena po;icija# aktivnom upravljanju vibracijama?

reerence su x"= ´ x

"=0 ? dakle jedna>ina 1%J postaje

!=− K p x− K " ´ x 1$J

3ilj modela kontrolera je da se i;aberu od@ovaraju=a poja>anja * p i * d E1$G? tako da je sistem sa povratnom spre@om stabilan# 0e; @ubitka op<tosti? kotisti=emo strukturu ;@rade na dva sprata prika;anu na slici 6#




Slika 6: PDPD 'pravl*an*e )grade na dva sprata

*ada su strukturni parametri u jedna>ini 2J potpuno po;nati? npr# ako nema nei;vjesnosti i s je linearno kao u jedna>ini 6J? onda @raevinska struktura je odreen linearan sistem# mno@imradovima se koristi ovaj model ;a projektovanje upravljanja strukturom? kao <to su PI" upravljanjeE1%G? K% upravljanje E%$G i optimalno upravljanje E1G# &eutim? u ovim radovima se ne diskutuje o

problemu stabilnosti#

Ako pretpostavimo da je dUF onda je sistem sa povratnom spre@om sa P" upravljanjem u jedna>ini 1$J

M ´ x +C ´ x + Kx+ f e= (− K p x− K " ´ x ) 16J

@dje je M =[m1 0

0 m2]>0, C =[c1+c2 −c2

−c2 c2 ]>0, K =[k 1+k 2 −k 2

−k 2 k 2 ]>0,

x=[ x1

x2] , f e=[m1 ´ x&

m2 ´ x&] , K p=[k p 1 0

0 k p 2]>0 i K "=[k " 1 0

0 k " 2]>0 .

Pri@u<iva> je postavljen na dru@om spratu? tada je =[0 0

0 1] # Sada se moDe prou>iti sistem

predstavljen sa 16J koriste=i linearne metode#Sada se jedna>ina 16J moDe napisati u obliku prostora stanja

+= " ++ f " 1J

@dje je +=[ x´ x ]- R

4, "=[ 02× 2

2 ×2

− M −1 ( K + K p ) − M

−1 (C + K " )]- R4 × 4

f "=[ 01×2 −f e/ ]

/

- R4.

Stabilnost sistema sa povratnom spre@om u jedna>ini 1J ;avisi od matrice sistema Acl# +jen karakteristi>ni polinom je:

Aleksandra Radovanović 1F



"et (s − c')=s4+a1 s

3+a2 s2+ a3 s +a4 1NJ

@dje su

a1=

1

m1

(c1+c2)+

1

m2

(c2+k " 2)

a2= 1

m1m

2

(c1 k " 2+c2 k " 2+m1 k p 2+c1c2+k 1m2+k 2 m1+k 2m2)

a3= 1

m1 m2

(k 1 k " 2+k 2 k " 2+c1 k p 2+c2 k p2+c1k 2+c2 k 1)

a4= 1

m1m2

(k 1 k p 2+k 2 k p 2+k 1 k 2)

1HJ

*oriste=i )ienardB3Cipart kriterijum E%1G? sistem Acl je stabilan ako i samo ako

ai>0, i=1,2,3,4 i a1 a2 a3−a1

2a4−a3

2>0 12J

Sada projektant moDe direktno i;abrati poja>anja kontrolera? koja mo@u ;adovoljiti petnejedna>ina datiC u 12J#

praksi? parametri @raevinske strukture su djelimi>no po;nati i model strukture moDeimati nelinearnosti kao <to su pojava Cistere;isa# Po@odno je jedna>inu 2J napisati kao

M ´ x+C x+f = ! 15J

@dje je

f =f s+f "+" %FJ

.raevinska struktura sa P" upravljanjem i; jedna>ine 1$J moDe se napisati kao:

M ´ x +C ´ x +f =− ( K p x+ K " ´ x) %1J

Po<to je jedna>ina %1J nelinearan ssitem a &? 3 i su nepo;nati? ,outCBKurVit;ovkriterijum stabilnosti i; jedna>ine 1NJ ne moDe se primjeniti ovdje# Slede=a teorema daje anali;ustabilnosti P" upravljanja i; jedna>ine 1$J# *ako bi se pojednostavio doka;? prvo =emo

pretpostaviti da je n× n= . n× n i da je na svakom spratu postavljen pri@u<iva>#




Teorema 1. /)ima*'ći ' o0)ir da se str'kt'rnim sistemom ko*i *e dat *edna%inom 193 'pravl*a pomoći PD kontrolera ko*i *e dat *edna%inom 143,da *e sistem sa povratnom spregom 123 sta0ilan, pod 'slovom da po*a%an*a kontrolera )adovol*ava*'

K p>0 , K ">0 %%J

)vod gre5ke 'pravl*an*a 6 konvergira re)i'dalnom sk'p'

0 x= { ´ x|‖´ x‖1

22 ! f } %$J

gd*e *e !f ≥f / 3f

−1f i C > 3f >0.

,o#az9 I;aberemo da je ener@ija sistema >lan ! )japunova

4 =1

2 ´ x/

M ´ x+1

2 x/

K p x

Prvi uslov jedna>ine %6J predstavlja kineti>ku ener@iju a dru@i uslov je virtualna elasti>na

potencijalna ener@ija# Po<to su & i * p po;itivno deinitne matrice? 4 ≥ 0. I;vod jedna>ine %6J je

4 =´ x/ M ´ x+´ x/

K p x=´ x/ (−C ´ x−f − K p x− K " ´ x )+´ x/ K p x

¿−´

x

/

(C + K ")´

x−´

x

/

f %J

*oriste=i nejednakost matrica

x/

5 +5 /

6 2 6 /

7 6 +5 /

7−1

5 %NJ

koja vaDi ;a bilo koje 6 ,5 ∈ Rn×m

i ;a svako 0< 7= 7/ ∈ R

n×n

? pa moDemo napisati skalarnu

promjenjljivu ´ x/ f kao

´ x/ f =

1

2 ´ x/

f +1

2f

/ ´ x 2 ´ x/ 7 f ´ x+ f

/ 7 f

−1f %HJ

@dje je 7 f bilo koja po;itivno deinitna matrica# ovom radu? biramo 7 f kao

C > 7 f >0 %2J

tako da je

Aleksandra Radovanović 1%



4 2−´ x/ (C + K "− 7f ) ´ x+ f / 7 f

−1f %5J

Ako i;aberemo * d F? tada

4 2−´ x/ 1 ´ x+! f 2− 3m(1)‖´ x‖2

+ f / 3 f

−1f $FJ

@dje je 1= K "+C − 3 f >0. "akle? ! je ISSB)japunova unkcija# *oriste=i Teoremu 1 E%NG?

o@rani>enje f /

3f −1

f 2! f implicira da je @re<ka upravljanja ‖´ x‖ o@rani>ena# Primje=eno je da

kada je

‖´ x‖1

2>! f ,∀ t ∈ [ 0, / ] $1J

tada je´4 <

0.

Sada =e bti doka;ano da je kona>no ukupno vrijeme u kojem je ‖´ x‖1

2

>!f # +eka

Tk o;na>ava interval u kojem je ‖´ x‖1

2>!f #

1J Samo ako kona>nan broj puta ‖´ x‖1

2>! f ostaje i;van kru@a pre>nika !f ;atim unesite

ponovoJ? ‖´ x‖1

2>! f =e vjerovatno biti unutar kru@a#

%J Ako je ‖´ x‖1

2

>! f ostaje i;van kru@a beskona>an broj puta? dok je ukupno vrijeme ;a koje

‖´ x‖1

2>! f napu<ta kru@ kona>no? onda

∑k =0

8

/ k <8 ?limk 98

/ k =0 $%J

Tako da je ‖´ x‖1

2

o@rani>en preko nepromjenjljivo@ ;adato@ ar@umenta# I; jedna>ine $FJ ‖´ x‖

je takoe o@rani>eno# ;mimo ‖´ x‖1

2

o;na>va najve=e pra=enje u toku intervala / k # Tada

jedna>ina $%J i o@rani>eno ‖´ x‖1

2

impliciraju da

limk 98

[‖´ x‖1

2−! f ]=0

$$J

I; ovo@a slijedi da =e ‖´ x‖1

2

konver@irati ka !f ? >ime se jedna>ina %$J ;adovoljava#

Aleksandra Radovanović 1$



Po<to je 4 ≥0, ! raste dok je ‖´ x‖1

22 !f # kupno vrijeme ;a koje je ‖´ x‖1

2>! f je

kona>no <to ;na>i da je 4 =1

2 ´ x/

M ´ x+1

2 ´ x/

K p x o@rani>eno? dakle @re<ka re@ulacije ´ x je

o@rani>ena#

"obro je po;nato da @re<ka re@ulacije postaje manja sa pove=anjem poja>anja K " #

posljedica veliko@ K " prela;na karakteristika postaje spora# -edino u slu>aju da K " 9 8

@re<ka re@ulacije konver@ira nuli E12G# &eutim? >ini se da je bolje u;eti manje K " ako sistem

ima visoko rekventne si@nale <uma#

595 +I, upa!l"an"(

I; pretCodno@ po@lavlja jasno je da svako pove=anje dierencijalno@ poja>anja

K " moDe

smanjiti @re<ku re@ulacije? ali u;rokuje spor od;iv# Sa upravlja>ke ta>ke @ledi<ta? @re<ka re@ulacijese moDe ukloniti uvoenjem inte@ralne komponente u P" upravljanje? tj# modiikovanjem P"upravljanja u PI" upravljanje# 4akon PI" upravljanja moDe se i;ra;iti kao:

!=− K p ( x− x" )− K i∫

0

t

( x− x" ) ": − K " ( ´ x−´ x" ) $6J

@dje K i>0 od@ovara inte@ralnom poja>anju# 4a slu>aj upravljanja x"=´ x"=0 ? jedna>ina $6J

postaje

!=− K p x− K i∫0

t

x": − K " ´ x $J

"a bi anali;irali stabilnost PI" kontrolera? jedna>ina $J se i;raDava kao

!=− K p x− K " ´ x−;

;= K i x, ; (0 )=0 $NJ

Sada ;amjenjuju=i jedna>inu $NJ u jedna>inu 15J sistem sa povratnom spre@om se moDe napisatikao

M ´ x+C x+f =− K p x− K " ´ x−; $HJ

matri>nom obliku? sistem sa povratnom spre@om je




"

"t [;

x

´ x]=[ K i

´ x

− M −1 (C ´ x+ f + K p x + K " ´ x +;)] $2J

-edna>ina ravnoteDe $2J je [ ; , x , ´ x ]=[;¿, 0,0 ] # Po<to je ravnoteDna ta>ka x=0 i ´ x=0 # "a

bi pomjerili ravnoteDu na po>etnu? deini<emo

;=;−f (0) $5J

*ona>na jedna>ina povratne spre@e postaje

Mx+Cx+ f =− K p x− K " ´ x−; + f (0) 6FJ

"a bi anali;irali stabilnost jdna>ine 6FJ? najprije su data slede=a svojstva#

+79 Po;itivno deinitna matrica & ;adovoljava slede=e uslove#

0< 3m( M )2‖ M ‖2 3 M ( M )2 m 61J

@dje je 3m( M ) i 3 M ( M ) minimum i maksimum sopstveniC matrice &? respektivno a m je

@ornja @ranica#

P%# I;ra; je 7ipsc$it) nad

~ x i

~ <

‖f (~ x )− f (~ < )‖2 k f ‖~ x−~ <‖ 6$J

"eini<imo da je donja @ranica od ∫0

t

f s "x je −f s a od ∫0

t

" "x je −" # slu>aju

;emljotresa f s , " i f e su mno@o ve=i# "eini<imo donju @ranicu od ∫0

t

f e "x je −f e #

*ona>no? donja @ranica k je

k f =−f s− f e−" 66J

Slede=a teorema daje anali;u stabilnosti PI" kontrolera $NJ#

?(o($a 59 Ra)motrimo str'kt'rni sistem kao ' *edna%ini 193 'pravl*an sa PD kontrolerom kao ' *edna%ini 1483, sistem povratne sprege kao ' *edna%ini 1:3 *e asimptotski sta0ilan ' ravnote;i

[;− f (0 ) , x , ´ x ]/ =0 , pod 'slovom da po*a%an*a kontrolera )adovol*ava*'




3m( K p)≥ 3

2 [k f +k c ]

3 M ( K i )2ϕ 3m( K p) 3 M ( M )

3m ( K " )≥ϕ [1+ k c

3 M ( M ) ]− 3m(C ) 6J

@dje je ϕ =√ 1

3 3 m ( M ) 3m( K p) #

,o#az9 'vdje? )japunov je deinisan kao

4 =1

2 ´ x/

M ´ x+1

2 x

/ K p x+

=

2 ;

/ K i

−1;+ x/

;+= x/ M ´ x+

=

2 x

/ K " x+∫

0

t

f "x−k f 6NJ

@dje je k deinisano u jedna>ini 6NJ tako da je !FJUF# *ako bi poka;ali da je 4 ≥ 0 ? ra;dvaja

se na tri dijela? tako da je 4 =∑i=1

3

4 i

4 1= 1

6 x

/ K p x+∝

2 x

/ K " x +∫

0

t f "x−k f ≥ 0 6HJ

4 2=1

6 x

/ K p x+

∝

2 ;

/ K i

−1;+ x

/ ; ≥

1

2

1

6 3m ( K p )‖ x‖2

+ = 3m( K i−1)

2 ‖;‖2

−‖ x‖‖;‖ 62J

*ada je= ≥

3

3m( K i−1) 3m( K p)

?

4 2≥ 1

2 (√ 3m( K p)

3 ‖ x‖−√ 3

3m( K p)‖;‖)

2

≥ 0 i 65J

4 3=

1

6 x

/

K p x+

1

2 ´ x/

M ´ x+= x

/

M ´ x FJ

Aleksandra Radovanović 1N



~ </ x ≥‖~ <‖‖ ~ x‖≥‖~ <‖‖ ‖‖~ x‖≥| 3 M ( )|‖~ <‖‖~ x‖ # 1J

*ada je = 2 √ 1

3 3m ( M ) 3m( K p)

3 M ( M )

4 3≥ 1

2 ( 1

3 3m ( K p )‖ x‖2

+ 3m ( M )‖´ x‖2+2 = 3 M ( M )‖ x‖‖´ x‖)

¿1

2 (√ 3m( K p)

3 ‖ x‖+√ 3m( M )‖´ x‖)

2

≥ 0 %J

Ako je

√ 1

3 3m ( K i

−1 ) 3m

3

2 ( K p ) 3m

1

2 ( M )≥ 3 M ( M ) $J

onda postoji

√ 1

3 3m ( M ) 3m ( K p )

3 M ( M ) ≥ = ≥

3

3m ( K i−1) 3m ( K p )

6J

I;vod jedna>ine 6NJ je

4 =´ x/ M ´ x+´ x/

K p x+= ;/ K i

−1;+´ x/

;+ x/

;+= x/ M ´ x+= x

/ M ´ x+= ´ x/

K " x+´ x/

f =´ x/ [−C ´ x−f − K p x− K " ´ x−;+ f (0 ) ]+ ´ x/ K p x+= ;

/ K i

−1+´ x/ ;+ x

/ ;+= ´ x/

M ´ x

+= x/ [−C x−f − K p x− K " ´ x−;+ f ( 0) ]+= x

/ K " ´ x++ ´ x

/ f J

I; jedna>ine 6%J

= x/ [ f ( 0 )−f ] 2 = k f ‖ x‖2

NJ

*oriste=i jedna>inu %NJ moDemo napisati

−= x/ C ´ x 2 = k c ( x/

x+ ´ x/ ´ x ) HJ

Aleksandra Radovanović 1H



@dje je ‖C ‖2 k c #

0udu=i da ;= K i x, ;/ K i

−1; postaje = x

/ ; i x

/ ; postaje x

/ K i x ? tada

4 =−´ x/ [C + K "−=M −= k c ] ´ x− x/ [= K p− K i−= k f −= k c ] x 2J

*oriste=i jedna>ine 61J i 2J dobijamo?

4 =−´ x/ [ 3m (C )+ 3m ( K " )−= 3 M ( M )−= k c ] ´ x

− x/ [= 3m( K p)− 3 M ( K i)−= k f −= k c ] x 5J

Ako je 3

m (C

)+ 3

m( K

")≥∝

[ 3

M ( M

)+k

c

] i 3

m ( K

p )≥

1

= 3

M ( K

i )+k

f +k

c ? onda´

4 2 0,‖ x‖ opada#

I; 6J i 3m ( K i

−1)= 1

3 M ( K i) ? ako je

3m ( K " )≥√ 1

3 3m( M ) 3m ( K p ) [1+ k c

3 M ( M ) ]− 3m(C )

3m ( K p )≥ 32 [k f +k c ] NFJ

onda je jedna>ina 6J ;adovoljena#

*ona>no? doka;uje se asimptotska stabilnost sistema sa povratnom spre@om kao jedna>ina 6FJ#

Postoji sera > pre>nik ?>0 postavljena u centar prostora stanja u kojem je 4 2 0. 3entar

jedna>ine povratne spre@e 6FJ je stabilna ravnoteDa# Po<to je jedna>ina povratne spre@e ne;avisna?

koristimo 7a alleBovu teoremu# "eini<imo

Ω

kao

Ω= {´ + (t )= [ x/ , ´ x/

, ;/ ]/

∈ R3 n

: 4 =0 }

¿ {;∈ Rn, x=0∈ R

n, ´ x=0∈ R

n } N1J

I; jedna>ine J? 4 =0 ako i samo ako je x=´ x=0. 4a rje<enje + (t ) koje pripada Ω ;a

svakot ≥ 0

? potrebno je i dovoljno da je x=´ x=0

;a svakot ≥ 0

# "akle? mora biti takoe




´ x=0 ;a svako t ≥ 0 # 4aklju>ujemo i; sistema sa povratnom spre@om koji je dat jedna>inom

6FU? ako je + (t )∈Ω ;a svako t ≥ 0 ? tada je f ( x )=f ( 0 )=;+ f (0) i ;=0. Slijedi da je

;=0 ;a svako t ≥ 0. "akle? + ( t )=0 je po>etni uslov u Ω ;a koji + (t )∈Ω ;a svako

t ≥ 0 # I; ove diskusuje ;aklju>ujemo da je centar sistema sa povratnom spre@om kao u jedna>ini

6FJ asimptotski stabilan# spostavlja se stabilnost ;a predloDeni kontroler? u smislu da se domen privla>enja moDe pove=ati po@odnim i;borom poja>anja#

+apomena 1# Po<to >vrsto=a konstrukcije ;@rade ima Cistere;nu osobinu? Cistere;ni i;la; ;avisi odobje i trenutne i istorije deormacije# 'va deormacija prije primjene sile optere=enjaJ i nakon

prestanka djelovanja sile rastere=enjaJ nije ista? tj ravnoteDni poloDaj prije ;emljotresa i nakon <tovibracije prestanu nije isti# +akon ;emljotresa ta>ka stabilnosti je pomjerena# 'vo od@ovara uslovuFJ# "akle? ne moDemo ;aklju>iti da je sistem sa povratnom spre@om @lobalno stabilan#

Po;nato je da u odsustvu nei;vjesnosti i vanjske sile? UF? PI" upravljanje dato jedna>inom 1$J sa bilo kojim po;itivnim poja>anjem moDe odvesti sistem sa povratnom spre@om do asimptotskestabilnosti# &oDe se smatrati da je @lavni cilj inte@ralno@ dejstva poni<tavanje # cilju smanjenjainte@ralno@ poja>anja? procijenjena se primjenjuje na PI" upravljanje kao u jedna>ini $NJ# PI"

upravljanje sa pribliDnom silom kompen;acije f je

!=− K p x− K " ´ x−;+ f ? ;= K i x N%J

.ornja teorema je takoe primjenjljiva ;a PI" kontrolere sa pribliDnom kompen;acije kao

u jedna>ini N%J# slov ;a PI" poja>anja u jedna>ini 6J postaje 3m( K p)≥ 3

2 [ k f +k c ] i

3 M ( K i )2 3ϕ

2

k f + k c

3 M ( M ) , k f ≪k f .

Ako je broj pri@u<iva>a instaliran u ;@radi manji od broja spratova ;@rade nJ? onda se

re;ultuju=i sistem na;iva podBpokreta>ki sistem# ovom slu>aju? matrica po;icija trebaju biti

uklju>ene ;ajedno sa matricama poja>anja# ovom eksperimentu? samo je jedan pri@u<iva>instaliran dru@i spratJ u strukturi# PI" kontroler postaje

!=[0 0

0 1]{−[k p 1 0

0 k p 2][ x1

x2]−[k i 1

0

0 k i 2] [∫0

t

x1":

∫0

t

x2": ]−[k " 1

0

0 k " 2] [ ´ x1

´ x2]} N$J




!=[ 0

−k p 2 x2−k i2∫0

t

x2": −k " 2´ x2] N6J

@dje su skalari k p%? k i% i k d% proporcionalno? inte@ralno i dierencijalno poja>anje? respektivno#

ovom slu>aju jedna>ina 6J postaje?

k p 2 ≥ 3

2[ k f +k c ]

k i 2 2~ϕ

min {k p 2} 3 M ( M ) NJ

k " 2 ≥

~

ϕ

[1+

k c

3 M ( M )

]− 3m(C )

@dje je~ϕ=√ 1

3 3m ( M ) min {k p 2 } #

+apomena %# &etode pode<avanja PI"Ba se ra;likuju ;a sisteme sa i be; pred;nanja# Ako su parametri sistema nepo;nati? onda se teCnike autoBpode<avanja koriste ;a odabir poja>anja onBlineili oBline# 've teCnike se u@lavnom dijele na direktne i indirektne metode E$G# direktnom

metodu? posmatra se od;iv povratne spre@e sistema i poja>anja kontrolera su pode<ena direktno naosnovu pretCodniC iskustava i Ceuristi>kiC pravila# slu>aju indirektno@ metoda? parametristrukture se prvo identiikuju sa i;mjereno@ i;la;a i na osnovu ovako utvreniC parametara konroler se pode<ava da bi se posti@la Deljena dinamika sistema# ovom radu su date metode koje

osi@uravaju stabilan od;iv povratne spre@e# tu svrCu? parametri strukture 3 M ( M ) , 3m (C ) , k f i k c

su odreeni na osnovu identiikovaniC parametara#

+apomena $# PI" upravljanje kao u jedna>ini $6J ne ;aCtijeva ta>ne inormacije o strukturi ;@radekao jedna>ina 2J# *oristi se samo pomjeraj ;@rade i procjena @ornje @ranice parametara ;@rade#

Ako stvarna upravlja>ka sila na strukturu ;@rade ;adovoljava jedna>inu 6J? sistem sa povratnomspre@om je stabilan# "akle? ne ;aCtijeva se da teorijska sila $6J od@ovara stvarnoj upravlja>koj sili;a PI" upravljanje strukturom# &eutim? u mno@im slu>ajevima stvarna upravlja>ka sila nemoDedosti=i teorijsku silu koja je data jedna>inom $6J ;bo@ o@rani>enja aktuatora? <to u;rokuje;asi=enje#

!%ea'=sat [!t*e$%< ]={!t*e$%< if ‖!t*e$%<‖<@max

!t*e$%< if ‖!t*e$%<‖≥ @max NNJ

Aleksandra Radovanović %F



@dje je !t*e$%< teorijska sila? !%ea' je stvarna upravlja>ka sila? @max je maksimalni moment

A&" aktuatora# Sada linearni PI" kontroler postaje nelinearni PI"# Asimptotska stabilnost i;Teoreme % postaje stabilna kao u Teoremi 1? po@ledati E%G#

Aleksandra Radovanović %1



C SI=ULADI;> I >KS+>RI=>N?ALNI R>ZLU?A?I

,a;motrimo sistem opisan jedna>inom %J koji ima slede=e parametre: &U%F#1$ k@? cU$# +sOm i *U%FFF +Om# Poredimo perormanse P" i PI" kontrolera#

;imamo da P" upravljanje kao u jedna>ini 1$J ima parametre k p=150, i k " U$6F? a

PI" upravljanje ima parametre k p=150 ? k " U$6F i k i U$NFF# Struktura je pobuena step

ula;om i od@ovaraju=i od;iv vibracija se redukuje primjenju=i @ore navedene re@ulatore# 3iljupravljanja je svesti vibracije strukture na vrijednost koja je <to bliDa nuli#

Slika prika;uje vremenski od;iv pomjeraja dru@o@ sprata ;a oba slu>aja? sa re@ulatorima i be; njiC? jedinica je centimetar# 'va slika prika;uje da oba re@ulatora redukuju kretanje strukture#P" re@ulator redukuje oscilacije strukture ali ima veliku @re<ku ravnoteDno@ stanja# .re<ka se moDeredukovati uvoenjem inte@ralno@ uslova? kao <to je PI" re@ulator? koji moDe posti=i nultu @re<kuravnoteDno@ stanja# pravlja>ki si@nali su prika;ani na slikama N i H? jedinice su volti#

Slika : Pom*eran*e dr'gog sprata 0e) 'pravl*an*a, sa PD i PD reg'latorom.

Slika N: /pravl*a%ki signal PD 'pravl*an*a )a model sim'laci*e.

Aleksandra Radovanović %%



Slika H: /pravl*a%ki signal PD 'pravl*an*a )a model sim'laci*e.

've simulacije su uraene be; pri@u<iva>a sa aktivnom masom A&"J kao <to se navodi u

teoriji# *ori<=enje ovo@ pri@u<iva>a bi dodatno pobolj<alo redukovanje vibracija strukture? ali ;bo@nje@ovo@ nedavno@ ra;voja i nedostatka literature nije bilo mo@u=e u ovom radu napraviti nje@ovmodel# svakom slu>aju? re;ultati simulacija od@ovaraju teorijskim o>ekivanjima i;loDenim uradu#

E LIТЕRАТURА

Aleksandra Radovanović %$



E1G Alavinasab A? &oCarrami K# Active control o structures usin@ ener@WBbased )L, metCod#3omputBAided 3iv In (n@ %FFNX%1:NFY11#

E%G Alvare;B,amire; -? *ellW ,? 3ervantes I# Semi@lobal stabilitW o saturated linear PI" control or robot manipulators# Automatica %FF$X$5:525Y5#

E$G Zstr[m *-? K\@@lund T? Kan@ 33? Ko *# Automatic tunin@ and adaptation or PI"controllersBa surveW# 3ontrol (n@ Pract 155$X1:N55YH16#

E6G Zstr[m *-? K\@@lund T# ,evisitin@ tCe 4ie@lerY+icCols step response metCod or PI" control# -Process 3ontrol %FF6X16:N$YF#

EG 3Can@ -3K? Soon@ TT# Structural control usin@ active tuned mass damper# - (n@ &ecC AS3(152FX1FN:1F51Y2#

ENG 3Copra A*# "Wnamics o structures: tCeorW and application to eartCuake en@ineerin@# %nd ed#Prentice KallX %FF1#

EHG "atta T*# A stateBoBtCeBart revieV on active control o structures# IS(T - (artC TecCnol

%FF$X6F:1Y1H#E2G "u K? 4Can@ +# K1 control or buildin@s VitC time delaW in control via linear matriQ ineualitiesand @enetic al@oritCms# (n@ Struct %FF2X$F:21Y5%#

E5G ]isco +,? Adeli K# Smart structures: part IYactive and semiBactive control# Scientia Iran%F11X12:%HY26#

E1FG ]isco +,? Adeli K# Smart structures: part IIYCWbrid control sWstems and control strate@ies#Scientia Iran %F11X12:%2Y5#

E11G .arridoB&octe;uma ,A? 3oncCa SA# (stimation o tCe parameters o structures usin@

acceleration measurements# In: 1NtC I]A3 sWmposium on sWstem identiication? vol# 1N# 0russels?0el@iumX %F1%# p# 1H51Y5N#

E1%G .uclu ,? a;ici K# !ibration control o a structure VitC AT&" a@ainst eartCuake usin@ u;;Wlo@ic controllers# - Sound !ib %FF2X$12:$NY65#

E1$G .uclu ,# Slidin@ mode and PI" control o a structural sWstem a@ainst eartCuake# &atC3omput &odell %FFNX66:%1FYH#

E16G Ko 33? &a 3*# Active vibration control o structural sWstems bW a combination o tCe linear uadratic .aussian and input estimation approacCes# - Sound !ib %FFHX$F1:6%5Y65#

E1G Kousner . et al# Present and uture# - (n@ &ecC 155HX1%$:25HY5H6#E1NG IkCouane ]? &a_osa !? ,odellar -# "Wnamic properties o tCe CWsteretic 0oucY en model#SWst 3ontrol )ett %FFHXN:15HY%F#

E1HG *im -T? -un@ K-? )ee I# 'ptimal structural control usin@ neural netVorks# - (n@ &ecC%FFFX1%N:%F1Y#

E12G )eVis ])? "aVson "&? AbdallaC 3T# ,obot manipulator control: tCeorW and practice# %nd ed#&arcel "ekker? IncX %FF6#

E15G +erves A3? *risCnan ,# Active control strate@ies or tall civil structures# Proc I((( Int 3on

Ind (lectron 3ontrol Instrum 155X%:5N%YH#

Aleksandra Radovanović %6



E%FG Park ? Park *S? *oC K&# Active control o lar@e structures usin@ a bilinear poleBsCitin@transorm VitC K1 control metCod# (n@ Struct %FF2X$F: $$$NY66#

E%1G Po;nWak AS# Advanced matCematical tools or automatic control en@ineers# "eterministicsWstems? !ol# I# Sprin@erX %FF5#

E%%G ,old`n 3? 3ampa ]-? Altu;arra '? Ame;ua (# Automatic identiication o tCe inertia andriction o an electromecCanical actuator# +eV advances in mecCanisms? transmissions andapplications? vol# 1H# +etCerlands: Sprin@erX %F16# p# 6F5Y1N#

E%$G Sara@iC ,# "esi@nin@ active vibration control VitC minimum order or leQible structures# I(((Int 3on 3ontrol Autom %F1F:6FY$#

E%6G Seto *# A structural control metCod o tCe vibration o leQible buildin@s in response to lar@eeartCuake and stron@ Vinds# In: Proceedin@s o tCe $tC conerence on decision and control? vol# 1#155N# p# N2YN$#

E%G SCook "A? ,oscCke P+? )in P^? )oC 3K# .ABoptimi;ed u;;W lo@ic control o a lar@eBscale buildin@ or seismic loads# (n@ Struct %FF2X$F:6$NY65#

E%NG Sonta@ ("? an@ ^# 'n cCaracteri;ations o tCe inputBtoBstate stabilitW propertW# SWst 3ontrol)ett 155X%6:$1Y5#

E%HG Spencer 0]? Sain &*# 3ontrollin@ buildin@s: a neV rontier in eedback# I((( 3ontrol SWst&a@ (mer@in@ TecCnol 155HX1H:15Y$#

E%2G SWmans &"? 3onstantinou &3# SemiBactive control sWstems or seismic protection ostructures: a stateBoBtCeBart revieV# (n@ Struct 1555X%1:6N5Y2H#

E%5G TCeno;Ci S? û ? .arrido ,# A novel numerical inte@rator or velocitW and positionestimation# Trans Inst &eas 3ontrol %F1$X$:2%6Y$$#

E$FG TCeno;Ci S? û # Advances in modelin@ and vibration control o buildin@ structures# Annu,ev 3ontrol %F1$X$H:$6NYN6#

E$1G Tinkir &? *alWoncu &? SaCin # "election control o tVoBloors structure a@ainst nortCrid@eeartCuake bW usin@ PI controlled active mass dampin@# Appl &ecC &ater %F1$X$FH:1%NY$F#

E$%G en -*# &etCod or random vibration o CWsteretic sWstems# - (n@ &ecC "ivision AS3(J15HNX1F%:%65YN$#

E$$G ân@ -+? u -3? A@raVal A*? Ksu S^# Slidin@ mode control VitC compensator or Vind andseismic response control# (artCuake (n@ Struct "Wnam 155HX%N:11$HYN#

E$6G û ? *aWnak '# Slidin@Bmode control VitC sot computin@: a surveW# I((( Trans Industr(lectron %FF5XN:$%HY2#

tssu aleksandra

Documents