tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2
DESCRIPTION
Tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2. Luku 7. ELSP malli: Erityyppiset hyödykkeet ja mielivaltainen jaksotus. Yleisempi malli, jossa voi olla useampia ajoja samalle hyödykkeelle yhden sekvenssin aikana. Varastointikustannusten lisäksi sekä asennuskustannuksia, että asennusaikoja. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Tuotantoerien suunnittelu ja skedulointi 2/2
Luku 7
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP malli: Erityyppiset hyödykkeet ja mielivaltainen
jaksotus• Yleisempi malli, jossa voi olla useampia
ajoja samalle hyödykkeelle yhden sekvenssin aikana. Varastointikustannusten lisäksi sekä asennuskustannuksia, että asennusaikoja.
• Käypä ratkaisu joss,
• missä ρ on kapasiteetin käyttöaste
𝜌= 𝜌𝑗𝑛
𝑗=0 < 1 𝜌𝑗 = 𝐷𝑗𝑄𝑗
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Suureiden määritelmät 1/2
• j hyödykkeen indeksi, yhteensä n kpl
• sjk=sk sekvenssi-itsenäiset asennusajat
• joukko S sisältää kaikki mielivaltaiset sekvenssit– Sekvenssit voivat sisältää toisteisuutta
• jl on hyödykkeen indeksi sekvenssin j1 ,... jν positiossa l.
• kaikkia hydykkeitä vähintään kerran ν≥n
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Suureiden määritelmät 1/2
• Hyödykken tuottaminen positiossa l:– cl asennuskustannus, sl asennusaika, τl
tuotantoaika, sekä ul hukka-aika (voi olla 0)
– x syklin kokonaisaika
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Varastokustannus hyödykkeelle sekvenssin positiossa l
• Positiossa l tuotettavan hyödykken k seuraavaan tuottamisajankohtaan kuluva aika υ position l alusta:
• Korkein varastotaso on tällöin:
• Varastokustannus on näin ollen positiossa l:
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP ongelman tavoitefunktio:
• Päätösmuuttujat siis sekvenssi joka kuuluu joukkoon S, sekä x kokonaisaika, τl tuotantoaika, sekä ul hukka-aika
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP rajoitteet
• Rajoite1: kaikille k=1,...,n:
• Rajoitusehto takaa, että hyödykkeen k tuottamiseen on varattu tarpeeksi aikaa, jotta sen kysyntään pystytään vastaamaan syklin aikana.
• Joukko Ik sisältää kaikki ne positiot, jossa tuotetaan tuotetta k
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP rajoitteet
• Rajoite 2: kaikille l=1,..., ν
• Rajoitusehto takaa, että hyödykettä positiossa tuotetaan vastaamaan kysyntään siihen asti kun sitä seuraavan kerran tuotetaan
• Ll niiden positioiden joukko sekvenssissä, jotka ovat position l (missä tuotetaan hyödykettä k) ja seuraavan position, missä tuotetaan hyödykettä k välissä. (Oletaan että sekvenssi toistaa itseään).
• {1, 2, k, 2, 4, 5, k}{1, 2, k, 2, 4, 5, k}
Ll=7Ll=3
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Esimerkki rajoitteesta 2
• Esim. l=k=3
• {1, 2, k, 2, 4, 5, k}{1, 2, k, 2, 4, 5, k}
𝜏𝑘 + 𝑠𝑘 + 𝑢𝑘 + 𝜏2 + 𝑠2 + 𝑢2 + 𝜏4 + 𝑠4 + 𝑢4 + 𝜏5 + 𝑠5 + 𝑢5 = ൬𝑄𝑙𝐷𝑙൰𝜏𝑙 = ൬
𝑄𝑘𝐷𝑘൰𝜏𝑙 = υ
Ll=3
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP rajoitteet
• Rajoite 3:
• Rajoitusehto lukitsee tuottamis-, asennus- ja hukka-aikojen summan sekvenssissä j1 ,... jν yhteen kokonaisajan x kanssa
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP aliongelma
• Ongelma muodostuu pääongelmasta ja aliongelmasta
• Aliongelmassa minimoidaan annetulle sekvenssille keskimäär. kust. aikayksikköä kohden
• Jos sekvenssi on annettu on ensimmäinen rajoite redundantti, koska 3. rajoitusehdon sijoittaminen 1. raj. ehtoon antaa
• Mikä on sama kuin 2. ehto.
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP aliongelma
• Kohdefunktio on muotoa:
• Ja rajoite-ehdot:
• On ratkaistavissa normaaleilla epälineaarisille optimointialgoritmeilla
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
ELSP pääongelma
• Parhaan sekvenssin j1 ,... jν löytäminen on huomattavasti hankalampi ongelma
• Heuristiikka Frequency Fixing and Sequencing antaa kuitenkin käytännössä hyviä sekvenssejä
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Frequency Fixing and Sequencing – heuristiikka (FFS)
• Kolme vaihetta:1. Suhteelliseten frekvenssejen laskeminen
2. Suhteellisten frekvenssien oikaiseminen (sovittaminen kokonaisluvuksi)
3. Sekvensointi vaihe
• Hyödykkettä k tuotetaan yhdessä syklissä yk (suhteelinen frekvenssi) kertaa. Sovitetuttuja frekvenssejä merkitään y’k
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Johdanto FFS
• Oletataan, että hyödykkeen k ajot ovat saman pituisia ja tasaisesti jakautuneita sykliin.
• Tällöin yk:t ja syklin aika x määräävät ajoajan τk hyödykkeelle k:
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Johdanto FFS
• Jos luovutaan ELSP:n toisesta rajoiteryhmästä saadaan kohdefunktio:
𝑎𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ𝑄𝑘 − 𝐷𝑘ሻ𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘൬𝑄𝑘𝐷𝑘 − 1൰𝐷𝑘𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘൬1𝜌𝑘 − 1൰𝐷𝑘𝜌𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ1− 𝜌𝑘ሻ𝐷𝑘
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Minimoitava ongelma FFS
• Kohdefunktio on siis
• Rajoite-ehto:
• Tämä voidaan ratkaista Lagrangen menetelmällä:
• Välttämätön ehto minimille:𝑑𝐿𝑑𝑥= 0 𝑑𝐿𝑑𝑦𝑘 = 0 𝑑𝐿𝑑𝜆= 0
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
• Osittaisderivaattojen nollakohdista seuraa:
, saadaan yk:t
• Lisäksi, mikäli hyödykkeillä on asetusajat:
koska
• Tuloksena saadut suhteelliset frekvenssit yk ,eivät tn. ole kokonaislukuja joten ne täytyy sovittaa kokonaisluvuiksi
FFS: 1. Vaihe
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS: 2. Vaihe
• Sovitetaan frekvenssit yk
• Kirjallisuudessa on osoitettu (?), että voidaan löytää uudet frekvenssit yk’ , jotka ovat kokonaislukuja ja 2:n potensseja.– Ratkaisu on tällöin 6% sisällä alkuperäisestä ratkaisusta
• Uudet ajoajat τk’ saadaan, kun oletataan, että kok. hukka-aika pysyy samana ja että k:n ajot ovat isamanpituusia ja tasaisesti levitettyjä sekvenssiin
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS: 3.vaihe
• Ajatellaan olevan konetta
• Käytetään seuraavaa LPT-heuristiikka:– Asetetaan parit (yk’,τk’), järjestykseen ensisijaisesti
yk’:n suhteen laskevasti ja toissijaisesti τk’:n suhteen laskevasti
• Lähdetään ensimmäisestä parista ja asetetaan sen τk’ kestävää yk’ kpl ajoa tasaisesti kaikille koneille.
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS: 3.vaihe
• Esim.
• ymax’ = 4 , eli neljä konetta
• (y2’=4,τ2’=2), (y3’=4,τ3’=1), (y4’=2,τ4’=3), (y5’=2,τ5’=1), (y1’=1,τ1’=4),(y6’=1,τ4’=1)
• => |2,3,4,1|2,3,5|2,3,4,6|2,3,5|
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Esimerkki: 7.4.2 FFS heurisiikka asennusajoilla
• aj:t ja ρj:t lasketaan seuraavasti:
𝜌𝑗 = 𝐷𝑗𝑄𝑗 𝜌1 = 𝐷1𝑄1 = 50400 = 0,125
𝑎𝑘 = 12ℎ𝑘ሺ𝑄𝑘 − 𝐷𝑘ሻ𝐷𝑘𝑄𝑘 = 12ℎ𝑘ቆ𝐷𝑘 − 𝐷𝑘2𝑄𝑘ቇ
𝑎1 = 12ℎ1ቆ𝐷1 − 𝐷12𝑄1ቇ= 1220ቆ50− 502400ቇ= 10∗ሺ43,75ሻ= 437,5
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS esimerkki: 1. Vaihe• Lagrangen funktio:
• Koska minimissä
=> λ≈8000
Nyt voidaan laskea suhteelliset frekvenssit yk
𝑑𝐿𝑑𝑥= 0 𝑑𝐿𝑑𝑦𝑘 = 0 𝑑𝐿𝑑𝜆= 0
𝑦1 = 0,27𝑥 𝑦2 = 0,33𝑥 𝑦3 = 0,70𝑥 𝑦4 = 1,05𝑥
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS esimerkki: 2. Vaihe
• Asetataan syklin aika x, 3 kuukaudeksi. Tällöin 1 ja 2 tuotteita tehdään 1 erä kumpaakin
• Nyt aproksimaaliset arvot sovitetuille frekvensseille y’k voivat olla (1,1,2,2) tai (1,1,2,4)– Pitää testata näiden vaitoehtojen käypyyttä
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS esimerkki: 2. Vaihe
• Aikaa vaihdoille:
• Vaihtoehdossa (1,1,2,2) vaihtoajat ovat:1s1+1s2+2s3+2s4=1,3 (kuukautta) < 1,44
(=0,48*3)
• Vaihtoehdossa (1,1,2,4) vaihtoajat ovat:1s1+1s2+2s3+4s4=1,7 (kuukautta) > 1,44 ei käypä
ሺ1− 𝜌ሻ𝑥= ቌ1− 𝜌𝑗𝑛
𝑗=0 ቍ𝑥= 0,48𝑥
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
FFS esimerkki: 3. Vaihe
• Yllä ovat prosessointiajat tuotteille j.
• Parit ovat järjestyksessä (y4,τ4), (y3,τ3), (y1,τ1), (y2,τ2) , 1 ja 2 voivat vaihtaa paikkaa
• Vaihtoehton (1,1,2,2) sekvenssi on:– Esim. |4,3,1|4,3,2 | tai |3,4,1|3,4,2 |
• Kokonaiskeskimäär. kustannus per aikayksikkö: 1312,5 + 1312,5 + 1188 + 2677,5=6490,5
𝜏′1 = 0,125∗31 = 0,375 𝜏′2 = 0,375 𝜏′3 = 0,12∗32 = 0,18 𝜏′4 = 0,225
S ysteemianalyysinLaboratorioTeknillinen korkeakoulu Esitelmä 9 – Olli Kaplas
Optimointiopin seminaari - Syksy 2009
Kotitehtävä
• Ratkaise FFS algoritmilla sekvenssi joka minimoi varastointi- ja asennuskustannukset aikayksikköä kohti. Kysyntä-, kapasiteetti- ja kustannus tiedot on esitetty alla
items 1 2 3 4
D_j 70 50 30 70
Q_j 600 400 300 500
h_j 70 30 30 60
c_j 1000 500 2500 200
s_j 0,5 0,1 0,3 0,4