turunan integral matriks
DESCRIPTION
statistikaTRANSCRIPT
-
8.1
Dalam modul ini akan dibahas bagaimana melakukan perhitungan-perhitungan
derivatif ataupun integral terhadap fungsi matriks atau matriks fungsi.
Perlu diketahui bahwa bagi yang telah pernah mempelajari kalkulus multivariabel,
apa yang akan dipelajari dalam modul ini adalah presentasi hal-hal penting yang banyak
digunakan dalam analisis statistika, dalam matriks dan vektor.
Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami, dengan baik
pengertian fungsi matriks dan matriks fungsi, memahami sifat-sifat dan melakukan
perhitungan-perhitungan derivatif maupun integral terhadap fungsi matriks dan matriks
fungsi.
Sesudah mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu mencari derivatif maupun
integral berbagai macam fungsi matriks dan matriks fungsi, serta memanfaatkannya
untuk pekerjaan statistika yang sifatnya analitis.
8 MODUL
PENDAHULUAN
KALKULUS MATRIKS
-
Aljabar Matriks 2
8.2
ebelum kita mulai dengan membahas bagaimana melakukan perhitungan-
perhitungan derivatif terhadap fungsi matriks dan matriks fungsi, serta
mempelajari sifat-sifatnya, marilah terlebih dahulu kita pelajari apa yang
dimaksud dengan fungsi matriks dan matriks fungsi.
Fungsi matriks adalah suatu fungsi yang dibangun/dibentuk oleh suatu atau beberapa
matriks/vektor.
Contoh 1
2 n 1f X I X X ... X atau
1nf X X I X I atau
1 nf X X I X I
Dari contoh 1 ini, sudah barang tentu harus diperhatikan bahwa f X terdefinisikan kalau persyaratan-persyaratan yang diperlukan dalam pengoperasian matriks/vektor di
ruas kanan berlaku.
Dengan mudah dapat ditunjukkan jika X I mempunyai invers, artinya 1
X I
ada maka
12 n 1 n
1 n
I X X ... X X I X I
X I X I
Bukti
Karena
n 1 nI X ... X X I X I maka
S
Derivatif
Kegiatan Belajar 1
-
8.3
1n 1 nI X ... X X I X I Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa
1n 1 nI X ... X X I X I
Silakan Anda coba!!
Dengan demikian hasil (rumus) di atas dapat digunakan untuk mempermudah
menghitung ruas kiri, jika n cukup besar.
Contoh 2
Jika matriks I O
C B
maka matriks P adalah fungsi dari matriks-matriks C dan
B, dan matriks k P.P. ... .P (mengalikan matriks P sebanyak k kali) maka
2
I O I OP.P
C B C B
I.I O.C I.O O.B
C.I B.C C.O B.B
I O
C BC B
2
2 3
P.P.P P.P .P
I O I O
C BC BC B
I O
I B B C B
sehingga:
kk 1 k
I OP
{I B ... B }C B
atau
kk k
I OP
(I B) 1(I B )C B
menggunakan hasil dari contoh 1
Contoh 3
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka
-
Aljabar Matriks 2
8.4
2 i iA
i 0
A A Af (A) e I A !2! i! i
Jika jumlahan deret tersebut konvergen, yang akan dipenuhi jika semua komponen dari
matriks eA yang merupakan deret harus konvergen.
Contoh 4
Jika matriks R n P atau matrik RP e dengan ijR r dan ijp p , serta
kij ij ijk 1
p r k!
, ij1, i j
0, j i
maka hubungan dari matriks R dan matriks P hanya akan berlaku (fungsi matriksnya
ada) jika ruas kanan dari pij konvergen untuk setiap i dan j.
Dari contoh-contoh di atas dapat dilihat dengan mudah bahwa dengan penyesuaian-
penyesuaian tertentu yang berlaku untuk matriks, hukum-hukum yang berlaku untuk
skala atau satu peubah dapat pula diberlakukan untuk matriks.
Matriks fungsi adalah suatu matriks yang paling sedikit satu komponen-komponennya
adalah fungsi (satu peubah atau lebih dari satu peubah).
Contoh 5
a.
3 x
x 2
x eF(x)
2 (3 4x
b.
2 21 1 2 2
1 231 2 2 1 2
x x x xF(x) , x (x , x )
x x x x x
Selanjutnya marilah kita bahas suatu masalah yang dihadapi dalam kalkulus
multivariabel, yaitu mencari/menghitung derivatif (parsial) ke masing-masing variabel/
peubah. Dalam format matriks dan vektor maka masalah tersebut dapat dipikirkan
sebagai mencari derivatif fungsi matriks f (x)
(yang merupakan skalar) ke vektor x
, atau
matriks/vektor fungsi y f x
ke vektor x
.
1. Derivatif suatu skalar ke vektor x
, ditulis x
, adalah suatu vektor yang
komponennya adalah derivatif parsial dari komponen vektor x
.
-
8.5
1 2 p1 2 p
( ... ), x (x x ...x )x x x x
Contoh 6
Jika a x x a
dengan 1 2 pa (a a ...a )
dan 1 2 pa (x x ...x )
maka
p
i i
i 1
a x
sehingga
ax
karena
p p p p
i i i i i i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
1 2 p
1 2 p
a x a x a x a x
x x x x x
a a ...a a
2. Derivatif suatu vektor y
ke vektor x
, ditulis y
x
adalah suatu matriks yang kolom-
kolomnya adalah derivatif dari komponen-komponen vektor y
ke vektor x
.
Jika 1 2 p 1 2 rx ' (x x x ), y ' (y y y )
dan ijy
A (a )x
maka iijj
ya
x
untuk
semua i, j.
Contoh 7
Jika y Ax
maka y ' x 'A '
atau
1 2 r 1 2 r 1 2 ry y y x ' a a a x a x a x a
sehingga
1 2 r1 2 r
1 2 r
y ' x 'a x 'a x 'a(x 'a x 'a x 'a )
x x x x x
a a a A
menggunakan hasil dalam contoh 6.
-
Aljabar Matriks 2
8.6
Contoh 8
x Ax x P (Qx)
x x x
dengan P Ax
dan Q x 'A
P Q , menggunakan hasil dalam contoh 7
Ax A x
(A A )x
2Ax
jika A adalah suatu matriks yang simetris.
Contoh 9
Cara lain untuk membuktikan bahwa:
(x Ax)
A A xx
adalah
p p
rs r s
r 1 s 1
p p
rs r s
r 1 s 1
p p
rs ir rs r is
r 1 s 1
a x x(x Ax)
x x
a x x
, i 1,2,..., px
a a x
Karena ir 1 untuk i = r dan ir 0 untuk i r maka
p p
is s ri r
s 1 r 1
(x Ax)a x a x , i 1,2,..., p
x
Ax A x
A A x
Transformasi Jacobian dari suatu transformasi dapat differential (differentiable) satu-
satu dari vektor random 1 2 px x x x ke vektor random 1 2 py y y y dengan
-
8.7
k ky f (x) dan k ky g (y)
, k = 1,2, p, ditulis x yJ
atau x ydet J
, adalah
harga mutlak dari determinan matrik ijA a dengan iijj
xa
.
Contoh 10
Jika 1x
1 2y e x dan 2 2y x maka
1 1
1 2x y
2 2
1 2
x x
y yJ
x x
y y
Karena 2 2y x dan 1x
1 2y e x maka 1 1 2x n y y dan 2 2x y sehingga
1 2 1 2x y1 2
1 11
y y y yJy y
0 1
Suatu hal yang perlu menjadi perhatian dalam menentukan Transformasi Jacobian
adalah transformasinya dari x ke y
sehingga untuk menentukan Transformasi Jacobian
haruslah merubahnya menjadi transformasi dari yke x
agar perhitungan derivatifnya
menjadi langsung. Hal ini tidak selalu demikian, untuk itu dapat digunakan rumus
berikut.
x y y xJ . J 1
Contoh 11
Untuk jawaban contoh 10, dapat dihitung
11
1 2
1 1y x
1 2
2 2
xx
1 2
y y
x xJ
y y
x x
e 0e y y
1 1
sehingga
y x x yJ . J i
-
Aljabar Matriks 2
8.8
akan menghasilkan:
x yy x 1 2
1 1J
J y y
Berikut ini akan disajikan beberapa rumus-rumus Transformasi Jacobian yang banyak
digunakan:
No. Transformasi: x y
Transformasi Jacobian
1. (p 1) (p 1)Y AX 1(det(A))
2. (p q) (p q)Y AX q(det(A))
3. (p q) p qY X A p(det(A))
4. (p q) (p q)Y AX B q p(det(A)) (det(B))
5. (p p) (p p)Y AX A dengan A simetris (p 1)(det(A))
6. (p q) (p q)Y aX dengan skalar pqa
7. (p p) (p p)Y aX dengan a skalar, X dan Y simetris 1
p(p 1)2a
8. 1(p p)Y X
2p(det(X))
9. 1p pY X
dengan X dan Y simetris
p 1(det(X))
10. kp pY X
1kp p
k r k ri j
i 1 j 1r 1
11. kp pY X dengan X dan Y simetris
1kp p
k r k ri j
i 1 j 1r 1
Catatan:
a. harga determinan dipilih/diambil yang positif.
b. 1 2 p, ,..., adalah nilai-nilai karakteristik dari matriks X.
Memperhatikan bahwa x yx
Jy
dengan x
dan adalah vektor-vektor, apabila X
dan Y adalah matriks-matriks maka untuk mencari x yJ matriks-matriks X dan Y harus
diubah dulu menjadi vektor-vektor dengan cara X dan Y diubah menjadi vec X dan vec Y
atau menjadi vektor X dan vektor Y jika X dan Y simetris.
Operasi vec terhadap suatu matrikx X, ditulis vec X adalah penyajian matriks X
dalam bentuk vektor kolom dengan cara menjadikan satu setiap vektor kolom matriks X
mulai dari vektor kolom yang pertama sampai dengan yang terakhir secara berurut.
-
8.9
Operasi vech (vektor-half) terhadap suatu matrikx X, ditulis vech X, adalah sama
dengan vec X, kecuali untuk setiap kolom yang disusun hanya diambil mulai dari elemen
diagonal ke bawahnya.
Contoh 12
Jika matriks 1 2 3
X4 5 6
maka vec X 1 4 2 5 3 6 dan vech
X 1 4 5 6 .
Berikut ini akan disajikan beberapa rumus yang berlaku untuk derivatif ke suatu
skalar x dan matriks X = (xij), i = 1,2, , r dan j = 1,2, , 3.
1. Jika matriks A = (aij) dan x adalah suatu skalar, maka berlaku:
a. ijaA
x x
b. 1
1 1A AA Ax x
c. A A
A A AA A Ax x
d. Jika matriks 1P T(T AT) T dengan matriks T tidak bergantung pada skalar x
dan matriks A simetris maka p A
Px x
.
2. a ijx x
, i = 1, 2, , 5 dan j = 1, 2, , 5
b. Karena
kl kl
k lji
ij ij
x atr(XA)
ax x
maka
Atr(XA)
A A diag AX
Jika A simetris dengan matriks diag (A) adalah matriks diagonal yang elemen-
elemennya adalah elemen-elemen diagonal dari matriks A.
c. Karena ij ijj
det X x det X untuk setiap i atau ij ijj
det X x det X
untuk setiap j dengan det (Xij) adalah kofektor dari elemen xij maka
-
Aljabar Matriks 2
8.10
ij
X X
X x
dengan
ij
ij ij ij ij
xX
X x x x
atau
ij ij2 x jika X simetris
ij1, i j
0, i j
Dengan demikian, mengingat ajoint 1X X X maka:
1X
X XX
atau
X
2X
(ajoin X) diag (ajoin X) jika X simetris.
d. Jika matrik X nonsingular maka
n X X1
.X X X
atau
1
1 1
Xn X
X 2X diag X jika X simetris
e.
ij
iji j
1
xn X X X1 1.
X X ij X x y
Xtr X
y
f. Jika vektor 1 2 ra (a ,a ,...,a )
dan vektor 1 2b (b ...b )
maka a Xb
abX
g. Jika vektor 1 2 ra (a ,a ,...,a )
dan matriks X simetris maka:
-
8.11
a Xa
2aa diag(aa )X
dengan diag (aa )
adalah matriks diagonal yang elemen-elemennya adalah
elemen-elemen diagonal matrik aa
.
Contoh 13
Jika matriks
3 x
x 2
x eA
2 3 4x
maka
3 x
2x
2 x
x
x e
x xA
x 3 4x2
x x
3x e
2 n2 8x
dan
1
1 1A AA Ax x
dengan 1
1A
x
ajoint (A)
Karena
2 x1
3 2 x x 3
(3 4x ) 21A
x (3 4x )(2e) e x
maka
2 x2 x2 x1
3 5 x 2 xx 3 x 3
11 12
2x3 5 21 22
3 4x 23x e(3 4x ) 2A 1
x (3x 4x (2e) ) 2 n2 8xe x e x
b b1
b b3x 4x 2e
dengan
2 4 2x 2 x x 2 x x 311b 9x 12x 2 n2 3 4x e 3e 4x e 2 x x 2 4 2x 3 x 2 x x 312b 2 9x 12x 2 n2 x 3e 4x e 2 x
2 x 3 x 2 x 2x 221b 3x e x 2 n2 3 4x e e 8x
-
Aljabar Matriks 2
8.12
x 2 x 3 x 3 2x 222b 2 3x e x 2 n 2 x e 8x
Contoh 14
Jika matriks 1P T(T AT) T dengan matrisk-matriks, T tidak bergantung pada
skalar x dan matriks A simetris maka
1
11
1 1
P (T AT) (T ATT T T (T AT) T AT T
x x x
A AT(T AT) T T(T AT) T P P
x x
(Ini adalah bukti rumus 1.d)
Bagian terakhir dari kegiatan belajar ini adalah pembahasan tentang derivatif (parsial)
tingkat dua atau turunan parsial kedua dari suatu skalar (yang merupakan fungsi
dari vektor 1 2 px (x x ...x )) ke vektor x
.
Jika adalah suatu skalar yang merupakan fungsi dari vektor maka turunan parsial
kedua dari ke x
, ditulis 2
x x
adalah suatu matriks H = (hij) dengan 2
iji j
hx x
.
Matriks H tersebut dikenal sebagai matriks Hessian.
Contoh 15
Jika skalar x Ax
dengan matrks
1 3 5
A 3 4 7
5 7 4
Maka matriks Hessian untuk adalah
2 x x Ax
x x x x x
2Ax karena matriks A simetrisx
2A
atau
Karena 2 2 21 1 2 1 3 2 2 3 3x Ax x 6x x 10x x 4x 14x x 9x
maka
H = (hij) dengan 2
iji j
hx x
, i, j = 1, 2, 3
-
8.13
2
11 1 2 31 1 1
h 2x 6x 10x 2x x x
2
21 1 2 32 1 1
h 6x 8x 14x 6x x x
dan seterusnya dengan cara yang sama
didapat: 31 12 22 32 13 23 33h 10, h 6, h 8, h 14, h 10, h 14, dan h 18 sehingga
diperoleh H = 2 A.
1) Jika matriks K adalah suatu matriks bujur sangkar bertipe n, tentukan K agar supaya Ke .
a) eI
b) e I
c) I + K
2) Jika matriks R =a a
Rb b
, tunjukkan bahwa
a) n 1nR a b R
b) 1 1r
2 2
P 1 Pe
P 1 P
berakibat
1 1 2
1 2
(1 P ) n (P P )a
1 P P
dan 1 2a b n (P P )
3) Buktikan bahwa PX X Q
0X
berakibat P Q
4) Jika vector 1 2y (y y )
dengan 2 21 1 2 1 2 2y 6x x 2x x x dan
3 22 1 1 1 2y 2x x 2x x dan skalar 3 2 21 2 1 2 1 2y 2x x x x x x tunjukkan bahwa
x yJ H
dengan H adalah matriks Hessian untuk y.
5) Jika matriks
1 2 3
X 2 4 5
3 5 6
, tentukan
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan Anda
kerjakan latihan berikut ini!
LATIHAN
-
Aljabar Matriks 2
8.14
a) matriks-matriks G dan H yang memenuhi vech X = Hvec X dan vec X = G vech
X.
b) GH dan apakah H merupakan invers kiri dari G? Jelaskan jawaban Anda.
6) Jika 2 2 21 1 2 2 2 3 3 1 37x 4x x 5x 6x x 3x 6x x , tentukan
a) x
b) Matriks Hessian untuk
Petunjuk Jawaban Latihan
1) K i
i 0
e K i!
2) Untuk soal b: ingat bahwa iR
i 0
Re !i
dan kij
ij ij
k 1
rp !
k
dengan ij1,i j
0,i j
misalnya:
a11k 1 k 0
k kp 1 a a ek! k!
sehingga a1P e .
3) . 4) . 5) . 6) Tunjukkan terlebih dahulu bahwa x Ax
Dalam kegiatan belajar ini telah dipelajari pengertian fungsi matriks dan
matriks fungsi dan bagaimana caranya menghitung derivatif ke skalar, vektor
maupun matriks untuk berbagai bentuk fungsi matriks dan matriks fungsi.
Khususnya untuk kombinasi linear, transformasi linear, dan bentuk kuadrat.
RANGKUMAN
-
8.15
1) Jika matriks
k k11 12k
k k21 22
a aA
a a
dengan k = 0, 1, 2, ... dan 0 < aij < 1 untuk setiap i, j
maka k
k 0
A
.
A. 11 12
21 22
1 a 1 a
1 a 1 a
B. 11 12
21 22
a a
a a
C. 11 12
21 22
1 1
1 a 1 a
1 1
1 a 1 a
D. 11 12
21 22
1 1
a a
1 1
a a
2) Jika matriks a a
Rb b
maka R
n = .
A. n
a b R
B. n
a b R
C. n
a b R
D. n
a b R
Pilih jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan!
TES FORMATIF 1
-
Aljabar Matriks 2
8.16
3) Jika matrik RP e dengan 11 12 11 12
21 22 21 22
p P r rP , R
P P r r
serta kij
ij ij
k 1
rp
k!
,
dan ij 1 untuk i = j , ij 0 untuk i j maka P = .
A. 11 12
21 22
r r
r r
e e 1
e 1 e
B. 11 12
21 22
r r
r r
e 1 e
e e 1
C. 11 1 12
21 22 1
r r
r r
e e
e e
D. 11 12
21 22
r r
r r
1 e e
e 1 e
4) Jika matriks F(x) =
3 x
x 2
e eF x
2 3 4x
maka 2
2
F
x
= .
A.
2x
x
6x e
2 n2 8
B.
2x
2x
6x e
2 n2 8
C.
x
x
6x e
2 n2 8
D.
x
2x
6x e
2 n2 8
-
8.17
5) Jika skalar 2 2 21 1 2 2x 3x x 2x dan 1 2x (x x ) maka
x
.
A. 21 2 1 2 22x 3x 6x x 4x
B. 21 2 2 1 26x x 4x 2x 3x
C. 22 1 1 2 12x 3x 6x x 4x
D. 21 2 1 2 16x x 4x 2x 3x
6) Jika matriks
1 2 3
X 4 5 6
7 8 9
maka vec X = .
A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B. 1 2 3 6 5 4 7 8 9
C. 1 4 7 2 5 8 3 6 9
D. 1 4 7 8 5 2 3 6 9
7) Jika matriks
1 4 7
X 2 5 8
3 6 9
maka vech X = .
A. 1 2 3 4 5 7
B. 1 2 3 5 6 9
C. 1 4 7 5 2 3
D. 1 4 7 5 8 9
-
Aljabar Matriks 2
8.18
8) Jika matriks 1 2
X2 1
maka matriks-matriks G dan H yang memenuhi vech X = H
vec X dan vec X = G vech X adalah .
A.
1 0 01 0 0 0
0 1 0G ,H 0 1 0 0
0 1 00 0 0 1
0 0 1
B.
1 0 01 0 0 0
0 1 0G ,H 0 1 0 0
0 0 10 0 0 1
0 0 1
C.
1 0 01 0 0 0
0 1 0G ,H 0 1 0 0
0 0 10 0 1 0
0 0 1
D.
1 0 01 0 0 0
0 1 0G ,H 0 1 0 0
0 1 00 0 1 0
0 0 1
9) Jika transformasi x y
adalah 1 2y (y y )
dengan 1x
1 2y e x dan 2 2y x maka
x yJ
.
A. 1 2y y
B. 1 2y y
C. 1 2
1
y y
D. 1 2
1
y y
-
8.19
10) Matriks Hessian dari suatu skalar 2 21 1 2 2x 6x x 4x adalah matriks H = .
A. 8 6
6 2
B. 2 6
6 8
C. 6 8
2 6
D. 6 2
8 6
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di
bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus
di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan
Belajar 1.
Rumus:
Jumlah jawaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = X 100%
10
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan
dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah
80%, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda
kuasai.
-
8.20
umpulan peubah acak X1, X2, , Xp yang masing-masing mempunyai fungsi padat peluang f(x1), f(x2), , f(xp) dan fungsi distribusi (kumulatif) f(x1), F(x2), , F(xp), secara bersama-sama akan membentuk suatu peubah acak
multidimensional atau peubah acak multivariat, yang dapat dinyatakan sebagai vektor
peubah acak.
1 2 pX X X X
dengan fungsi padat peluang bersama f(x1, x2, , xp) yang dapat ditulis sebagai f (x)
yang mempunyai sifat-sifat berikut:
1. f (x) 0
untuk setiap x
(1)
2.
xx R
f (x)dx 1
(2)
untuk p
ii 1
dx dx
dan xR
adalah domain dari x
.
Fungsi distribusi bersama dari X
, yaitu F(x)
adalah 1 2 pF(x) F(x ,x ,..., x )
1 1 p pP(X x ,...,X x )
Hubungan antara fungsi padat peluang bersama dan fungsi distribusi bersama dapat
dinyatakan sebagai:
p p 1 1x x x
F(x) f x dx
(3)
atau
P
1 2 p
F(x)f (x)
x x ... x
(4)
K
Integral
Kegiatan Belajar 2
-
8.21
Sehingga terlihat bahwa dari (3) dan (4), tertentunya salah satu, akan menentukan yang
lain.
Contoh 1
Jika vektor perubah acak 1 2 pX = X X X adalah vektor peubah acak yang
dibentuk oleh peubah acak Xi, i = 1, 2, , p yang saling bebas dan masing-masing
berdistribusi normal dengan mean = i dan variansi =2i maka
2x x1 2 i
2 2
p 2x1 i i
2 ii 1
112
1222
p
i
i 1
p
ii 1
p
ii 1
x D x
f (x) f x
1e
2
1e
2
1e
2 D
dengan 1 2 p 1 2 px (x x ...x ), ( ... ), D det D dan D = diag
2 2 21 2 ... pD diag , yaitu suatu matriks diagonal.
Mengingat f(xi) , I = 1, 2, , p adalah suatu fungsi padat peluang maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa syarat (i) dan (2) untuk f (x)
dipenuhi.
Contoh 2
Jika vektor peubah acak 1 2 pX = X X X adalah vektor peubah acak berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean =
dan matriks variansi = maka
syarat (2) untuk fungsi padat peluang bersamanya berlaku dapat dibuktikan dengan, cara
berikut:
Karena
1
p 12 2
1(x ) (x )
21
f (x) e
(2 )
maka
x y
x y
x R y R
f (x)dx g(y). J dy
-
Aljabar Matriks 2
8.22
dengan g(y) f x y
x y
adalah suatu transformasi ortogonal yang membawa
1 menjadi suatu matriks diagonal. (Ini selalu dilakukan dan telah Anda pelajari dalam Modul 7 Kegiatan Belajar 1). Transformasi ortognal yang dimaksud adalah
matriks P yang memenuhi 1P P D dengan PP P P I dan
1 2 pD diag 1 nilai karakteristik ke-i dari matriks 1 , i = 1, 2, , p dan 1 2 n... ??? .
Karena y P(x )
maka x yJ
dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung
x yJ 1
(karena P ortogonal dan y
Px
).
Karena x yy x
1J
J
dan y P(x )
menghasilkan 1p y (x )
maka
1 1 1
1P22
x y
112
1P22
1y P P y
2
x R y R
y P P y
y Ry
1f (x)dx e .1dy
2
1e dy
2 P P
1, menurut hasil dalam contoh 1
Langkah yang digunakan untuk menyelesaikan contoh 2 di atas adalah teorema
berikut.
Teorema 1
Jika vektor 1 2 px (x ,x ,..., x ) dan vektor 1 2 py (y , y ,...y )
dengan y A(x c)
,
1 2 pc (c ,c ,...,c )
adalah vector konstan dan A adalah suatu matriks yang nonsingular
maka
a. i
i
y
x
kontinu untuk semua i dan j
b. 1
x yJ A
c. Transformasi dari x
ke y
adalah satu-satu.
d. Jika x iR {x | x ,i 1,2,...,p}
maka y iR {y | y ,i 1,2,...,p}
-
8.23
e. Jika f (x)
adalah fungsi padat peluang dari X
dan g(y)
adalah fungsi padat
peluang dari Y
maka
x y
1
g y f x y . J
f x y . A
Permasalahan lain yang cukup penting pula untuk diperhatikan adalah tentang suatu
subvektor dari vektor random multivariat. Dalam hal demikian kepentingan kita adalah
mencari distribusi dari subvektor tersebut yang lebih dikenal sebagai distribusi marginal
dari subvektor random tersebut. Untuk itu pandang vektor random multivariat
X Y Z
dengan Y
dan Z
masing-masing adalah subvektor random dari X
dengan
komponen r dan (p r). Jika f (x) f (y,z)
adalah fungsi padat peluang bersama dari X
maka
zz R
g(y) f (y,z)dz
dan
yy R
h(z) f (y,z)dy
dengan yR
dan zR masing-masing adalah domain dari y
dan z
, sedangkan g y
dan
h(z)
masing-masing adalah fungsi padat peluang marginal dari Y
dan Z
.
Contoh 3
Jika pX N , dan X Y Z
maka r 1 11Y N ,
dan (p r) 2 22Z N ,
(Catatan: p, r, dan (p r) masing-masing adalah banyaknya komponen vektor random X
,
Y
dan Z
1 2,
dan 11 12
21 22
dengan pembagian elemen-elemennya
sesuai dengan pembagian X Y Z
.
Bukti:
Karena pX N , maka
11(x ) (x )2
p 122
1f (x) e
2
Dengan demikian, yang harus dibuktikan adalah
122 2
y
1(z ) z
2p r
y R 2 22
1f (x)dy e
2
dan
-
Aljabar Matriks 2
8.24
11 11 2
z
1y y
2r
z R 211
1f (x)dz e
(2 )
Terlebih dahulu perhatikan bahwa:
1 111 121
21 222 2
11 11 12 22 21 1 22
12 22 21 1
y yR Rx x
R Rz z
y R R R R y z h R z h
dengan h R R y
sehingga
11 11 12 22 21 1 221P
22
1y R R R R y z h R (z h)
21f (x) f (y,z) e2
akan menghasilkan:
11 11 12 22 21 1
1P22
z
1222
z
1y R R R R y
2z
z R
z h R z h
z
z R
1f y, z d e
2
e d
Karena
1 112p r 1
22z
z h R z h
z
z R22
1e d 1
2 R
maka
11 11 12 22 21 11 1
2 2z
p r1
2 y R R R R y2
z rz R 2 22
(2 )f (y, z)d e
2 R
Karena 1 111 11 12 22 21R R R R dan 11 121
21 22
111 12 22 21 22
R R
R R
R R R R R
maka terbukti
r 1 11Y N .
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
(p r) 2 22Z N ,
-
8.25
Teorema 2
Jika oa dan ob adalah skalar konstan 1 2 pa (a a ...a )
dan 1 2 pb (b b ...b )
adalah
vektor konstan, A adalah matriks konstan yang simetris, dan B adalah matriks konstan
yang positif definit maka
o
x
(x Bx x b b )
o x
z R
(x Ax x a a )e d
11p 1
o2 42b B b b 1 1 1 11
a o2
1B e tr AB b B b B AB b 2a
2
Contoh 4
Teorema 2 di atas dapat digunakan untuk membuktikan bahwa untuk peubah acak
pX N , maka
x
x
x R
f (x)d 1
Karena
1
1P22
1x x
21
f x e2
maka
1
1P22
x x
1x x
2x x
x R x R
1f x d e d
2
Dengan mudah dapat di amati bahwa integral yang akan dihitung adalah keadaan
khusus dari teorema 2 untuk
A = matriks 0, a
= vektor nol, a0 = 1
B = 11
2
, 1b
, dan 101
b2
Jadi
1
1 1P
21P
22x
11 1
1 24 2
x
x R
1 1f x d . e
2 22
-
Aljabar Matriks 2
8.26
1
1 1 1 1P
21P
22x
1 1 1 121 4 2 2
x
x R
1 1 1f x d . e .2
2 22
1
Contoh 5
Hitunglah 2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )
1 2e dx dx
Perhitungan:
2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )
1 2e dx dx
x
x Rx
x R
3 2e dx, dengan R
2 2
Menggunakan teorema 2 dengan A = matriks O, a
= vektor nol, a0 = 1, B = R, 0b =0
maka
12 22 2
x
.2x Rx 12
x R
e dx R
Contoh 6
Hitunglah 2 21 1 2 2(3x 4x x 2x )
2 1 1 2x (x 2)e dx dx
Perhitungan:
Menggunakan teorema 2 dengan
10
2A
10
2
, a 0 2 ,
oa 0 , 3 2
B2 2
,
b
= vektor nol dan b0 = 0 maka
2 12 2
1 1 2 2 2 2(3x 4x x 2x ) 11
2 1 1 2 2 2 2x (x 2)e dx dx B tr AB
Pada bagian terakhir dari kegiatan belajar ini, akan dihitung fungsi pembangkit
momen dari suatu peubah acak multivariat X
yang berdistibusi multivariat normal
dengan mean =
dan matriks variansi=menggunakan teorema 2.
-
8.27
Karena pX N dan t XXm t E e
maka
1121P
2 2x
x xt X t X 1X x
2x R
m t E e e e d dx
1
1P2 2
x
1x x t X
2
x R
1e dx
2
Menggunakan teorema 2 dengan A=matriks O, a
=vektor nol, a0=1, 11B
2
,
1b e t
, dan 1o1
b2
maka
1
1 1 11 1 1 11P2 4 22 2
1P2 2
12
t t11 1
X 2 2
t t t
1m t . e .e .2
2
e
Selanjutnya akan diperkenalkan Integral Aitken yang berbentuk:
x
1x Ax
2x
x R
e d
, dengan A positif definit.
Harga dari integral Aitkan tersebut dapat dihitung menggunakan salah satu dari dua
cara berikut.
Cara pertama:
Karena matriks A positif definit maka dapat ditemukan suatu matriks nonsingular P
sedemikian sehingga P AP I . Jika dipilih suatu transformasi 1y P x
maka
1 12 2
x y
1 12 2
y
x Ax y P APy
x y y
x R y R
y y
y
y R
e dx e J d
e A d
-
Aljabar Matriks 2
8.28
211222
1 P22
Py
yi
i 1
A e d
A 2
Cara kedua:
Gunakan teorema 2 dengan A = 0, ca o,a 1
B = 2 A , ob o dan b 0
.
1) Jika
21 x 1 x 2 x1 1 2
2x x x1 1 2
1 2
x x x12P
2 1 P
1 22
x x
1f x , x e
2 1 P
2x2 x1 2
2 x22 1 P
.e
tunjukkan bahwa 1 2 1 2f (x , x )dx dx 1
2) Jika peubah acak X
berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean =
dan
matriks variansi=, dan vektor z P x
dengan P adalah suatu matriks
ortogonal sedemikian sehingga P P D , D=diag(d11, d22, , dpp), tunjukkan
bahwa
p
ii
i 1
E(z z) d
3) Hitunglah 1 2 3 4
1Q
2 21 1 2 x x x x(x 2x x )e d d d d
dengan 2 2 2 21 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4Q 3x 2x 2x x 2x x 2x x 6x 2x 6x 2x 8
4) Jika peubah acak X
berdistribusi multivariat normal dengan vektor mean
dan
matriks variansi D=diag(d11, d22, , dpp), tunjukkan bahwa
p
ii ii
i 1
E x A x a d
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan Anda
kerjakan latihan berikut ini!
LATIHAN
-
8.29
5) Jika matriks=matriks A dan B positif definit dan A CC , tunjukkan bahwa
P 12 2
1 2 P
x C BCxx x xe d d ...d AB
6) Jika matriks A positif definit dan matriks B simetris, tunjukkan bahwa
1 2 p
x Ax x Bxx x xe d d ...d
ada untuk setiap dengan o untuk suatu bilangan positif o .
7) Hitunglah harga integral dalam soal nomor 6.
Petunjuk Jawaban Latihan
1) Nyatakan dahulu 112
12
x A x
1 2
1f x , x f x e
2 A
dengan 1 2x x x
dan 1 2x x
.
2) x
x
x R
E(z z) z z f x d
dan x zdx J dz
atau gunakan teorema 2).
3) Gunakan teorema 2.
4) x
x
x R
E x A x x A x f x d
dan gunakan teorema 2.
5) . 6) . 7) .
Dalam kegiatan belajar ini telah dipelajari bagaimana caranya menghitung
integral fungsi matriks, khususnya untuk fungsi matriks berbentuk kombinasi
linear, transformasi linear, maupun bentuk kuadrat.
RANGKUMAN
-
Aljabar Matriks 2
8.30
1) 1
2
x
x c R x c
x
x R
e d
.
A. 1P
222 R
jika R simetris
B. 1P
222 R
C. 1P
222 R
jika R simetriks
D. 1P
222 R
2) 12
x
x Rx
x
x R
e d
.
A. 1P
222 R
B. 1P
222 R
C. 1P
222 R
D. Jawaban a, b, c tidak ada yang benar
3) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean
6 3
dan matriks variansi =3 1
1 2
maka peubah acak X1 berdistribusi normal
dengan mean = dan variansi 2 ...
A. 6 2
B. 3 3
C. 6 3
Pilih satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang disediakan!
TES FORMATIF 2
-
8.31
D. 3 2
4) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean
6 3
dan matriks variansi 3 1
1 2
maka kovariansi dari X1 dan X2 = .
A. 1
B. 2
C. 3
D. jawaban a, b, c tidak ada yang benar
5) Jika peubah acak 1 2X X X berdistribusi bivariat normal dengan vektor mean
6 3
dan matriks variansi 3 1
1 2
maka 1 2E (X X ) = .
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
6) Jika matriks 6 4
R4 4
maka
1x Rx
2xe d
.
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
7) Agar supaya 2 2 21 2 31 x x x
21 2 3f x , x , x K e
merupakan fungsi padat peluang (fungsi
densitas) dari peubah acak 1 2 3X x x x maka K = .
A. 3
2
-
Aljabar Matriks 2
8.32
B. 3
22
C. 3
2
D. 3
22
8) 2 2 21 2 3
1 2 3
x x 2x2 21 2 x x xx x e d d d
.
A. 3
22
B. 3
1 22
2
C. 3
1 23
2
D. 3
1 24
2
9) Jika peubah acak 1 2 3X X X X berdistribusi trivariat normal dengan vekor mean
1 2 3
dan matriks variansi 11 22 33D diag d d d maka
E x A x
.
A. 3
ii ii
i 1
a b
B. 3
2ii ii
i 1
a b
C. 3
2ii ii
i 1
a b
D. 3
2 2ii ii
i 1
a b
-
8.33
10) Jika peubah acak 1 2 pX X X X berdistribusi multivariat normal dengan
vektor mean 0 0 0
dan matriks variansi=I dan matriks A bertipe
p m dengan rank=m maka 1E x A A A A x . A. p
B. p2
C. m
D. m2
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di
bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar. Kemudian gunakan rumus
di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan
Belajar 2.
Rumus:
Jumlah jawaban Anda yang benar
Tingkat penguasaan = X100%
10
Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:
90 - 100% = baik sekali
80 - 89% = baik
70 - 79% = cukup
< 70% = kurang
Bila Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan
denga modul berikutnya. Bagus! Tetapi bila tingkat penguasaan Anda masih di bawah
80%, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda
kuasai.
-
3.34
Tes Formatif 1
1) C 2) B 3) A 4) D 5) A 6) C 7) D 8) D 9) D 10) B
Tes Formatif 2
1) B 2) A 3) C 4) A 5) D 6) B 7) B 8) D 9) A 10) C
Kunci Jawaban Tes Formatif
-
2.35
Graybill, F.A. 1(969). Introduction to Matrices with Applications in Statistics. Belmont,
California: Wadsworth Publishing Company Inc.
Searle, S.R. (1982). Matrix Algebra Useful for Statistics. New York: John Wiley & Sons.
Daftar Pustaka