ufba 2002 mat 2fase
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UFBA- VESTIBULAR 2002- 2ª ETAPA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Por: Profa. Maria Antônia Gouveia.
QUESTÃO 11.
Considerando-se as funções f:R→R e g:R→R definidas pelas equações
f(x) = 7x2x2x 2+− e g(x) = x³+2x²+4x, é correto afirmar:
(01). O gráfico g intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.
(02). O valor de f
2
1 é igual a 4.
(04). Se x ≤ 0 ou x ≥ 1, então f(x) = 2x²+5x. (08). A equação f(x) = g(x) tem uma única solução negativa. (16). Existe x < 0 tal que g(x) > 0. RESOLUÇÃO: (01). FALSA. Para verificar em quantos pontos o gráfico de g(x) = x³+2x²+4x intercepta o eixo das abscissas podemos encontrar a resposta analiticamente. Fazemos g(x) = x³+2x²+4x igual a zero e resolvemos a equação determinada: x³+2x²+4x=0 ⇒ x( x²+2x+4 )=0 ⇒ x = 0 ou x²+2x+4 = 0. Nesta última equação ∆ =4 – 16=-4 < 0. Então das raízes de g(x) uma única é real que é x =0. Afirmativa falsa. (02). VERDADEIRA.
Sendo f(x) = 7x2x2x 2+− , então f
2
1=
42
7
2
1
2
7
4
12
2
7
2
1
4
12
2
17
2
1
2
12
2
=+=+−×=+−×=×+−
× .
A afirmativa é verdadeira. (04). VERDADEIRA.
f(x) = 7x2x2x 2+−
Fazendo o estudo da variação do sinal da expressão 2x²-2x, teremos que suas raízes são 0 e 1. Analisando o resultado ao lado vemos que a expressão 2x²-2x é positiva para x ≤ 0 ou, x ≥ 1. Assim para os valores de x neste intervalo. f(x) = 2x²-2x +7x ⇒ f(x) = 2x² + 5x. Então a informação é verdadeira.
0 1
+ − +
2
(08). VERDADEIRA.
Fazendo f(x) = g(x) temos 7x2x2x 2+− = x³+2x²+4x ⇒ 2x2x 2
− = x³+2x²-3x.
Esta equação somente terá solução se o seu segundo membro for maior ou igual a zero. Vejamos então em primeiro lugar, onde este fato acontece. Primeiro achemos as raízes de x³+2x²-3x. x(x²+2x-3)=0. Suas raízes são –3, 0 e 1. Fazendo o estudo da variação do seu sinal de acordo com a
tabela ao lado vemos que a equação 2x2x 2− = x³+2x²-
3x somente terá solução no intervalo [-3,0] ∪ [1,+∞[
−3 0 1
− − + + x + − − + x²+2x-3
− + − + x(x²+2x-3)
• No intervalo x ≤ 0 ou x ≥ 1 já vimos que (2x² - 2x) assume sempre valores positivos, então: 2x² - 2x = x³+2x²-3x ⇒ x³-x = 0 ⇒ x(x2-1) =0 ⇒ x =0, x = ±1 (estes valores pertencem ao intervalo [-3,0] ∪ [1,+∞[).⇒ S1={-1,0,1}. (16). FALSA. Existe x <0, tal que g(x) > 0? Para responder a esta questão façamos o estudo analítico da questão:
Temos: x(x²+2x+4) >0 Como o polinômio : x²+2x+4 não tem raízes reais e o coeficiente a de x² é maior que zero, ele só assume valores positivos a solução da inequação x(x²+2x+4) >0 é R+.
14 QUESTÃO 12
Sendo as funções f: R →R *+ e g: R *
+ →R definidas pelas equações f(x) = 42
3 +− x
e g(x) = log x3
1 , é correto afirmar:
(01). A função f é crescente em todo o seu domínio. (02) A função g é a inversa da função f. (04) O valor máximo da função f é 81.
(08).A função g satisfaz a equação g(3x) = g(x) –1, para todo x > 0.
(16). O conjunto solução da inequação g(f(x)) ≤ 0 é o intervalo [-2,2].
(32). A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função h, definida por
h(x) = ( )xg , para x ∈R*.
3
RESOLUÇÃO:
(01). FALSA.
O expoente da função f(x) = 3-x²+4 é a função do segundo grau y = -x² +4, cujas raízes são –2 e 2 que atinge seu valor máximo para x = 0. Para x > 0 o expoente (-x²+4) é drescente e conseqüentemente 3-x²+4 também decresce.
(02). FALSA.
Sendo o expoente da função f(x) = 42
3 +− x é uma função não injetora ⇒ f(x) = 42
3 +− x também o é ⇒ Não tem inversa.
(04). VERDADEIRA.
A função f(x) = 42
3 +− x ,como 3 > 1,atinge o seu valor máximo quando o seu expoente (-x²+4) também atingir o seu valor máximo.; o que acontece para x = 0. Logo o valor máximo de
f(x) = 42
3 +− x será f(0) = 30+4 = 81.
(08). VERDADEIRA
Como g(x) = log x3
1 , ⇒ g(3x) = log 3x3
1 = log 33
1 + log x3
1 ⇒ log x3
1 -1= g(x) - 1
4
(16). VERDADEIRA.
g(f(x)) ≤ 0 ⇒ log ( )4
3
1
2
3 +− X ≤ 0 ⇒ log ( )4
3
1
2
3 +− X ≤ log
0
3
1 3
1
. Como a função é decrescente temos·
3-x²+4 ≥ 1 ⇒ -x²+4 ≥ 0 ⇒
S = ]-2,2{
(32) VERDADEIRA.
g(x) g ( )x ( )xg
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
g(x)
60
QUESTÃO 13
Considerando-se p(x) = xxx 922 23−+ e q(x) um polinômio qualquer de grau 3 ,
pode-se afirmar: (01). Existem a,b,c ∈R, tais que p(x) = (a+1)x3+(b-2)x2+(a+b+c)x+a-c, para qualquer x ∈R. (02). O grau do polinômio p(x) + q(x) é igual a 3. (04). O número de raízes reais distintas do polinômio p(x).q(x) é, no mínimo, 3 e, no máximo, 6. (08). Se q(0) ≠ 0, então p(x).q(x) tem pelo menos 4 raízes reais e distintas. (16). Se o número complexo m + ni é raiz do polinômio p(x).q(x). com m,n ∈ R e n ≠ 0, então m - ni é raiz de q(x).
-2 2 + - -
5
RESOLUÇÃO: (01) FALSA.
Sendo p(x) = xxx 922 23−+ e p(x) = (a+1)x3+(b-2)x2+(a+b+c)x+a-c⇒
=⇒=−
−−⇒−−−−=⇒−−−=
+=
=
⇒
=−
−=++
=−
=+
101
21222199
22
1
0
9
22
21
cc
cbac
b
a
ca
cba
b
a
Falsa. Porque existem dois valores diferentes de c que não satisfazem o sistema ao mesmo tempo. (02). FALSA. Porque o termo de grau 3 em q(x) pode ser –2x³ e o polinômio soma não terá o termo em x³ . (04). VERDADEIRA.
As raízes de p(x) = xxx 922 23−+ ⇒ x(2x²+ 2 x-9)=0 ⇒ x = 0 ou 2x²+ 2 x-9 =0
∆= 2-4.2.(-9)= 2+72=74 ⇒ x=4
742 ±−⇒ x1 = 0, x2 =
4
742 −− e x3 =
4
742 +−.
P(x) tem então 3 raízes reais. De q(x) sabemos apenas que é um polinômio de grau 3. Se q(x) for idêntico a p(x) eles possuirão as mesmas raízes.Caso não sejam idênticos podem ter uma raiz, duas ou todas as raízes diferentes. Logo o polinômio p(x).q(x) tem no mínimo 3 raízes reais distintas e no máximo 6. (08). FALSA. Se q(0) ≠0, então pode ocorrer que ele tenha apenas uma raiz real não nula, e que esta raiz seja uma das de p(x). (16). VERDADEIRA. As raízes de p(x) são todas reais. Logo se p(x).q(x) tem m+ni como raiz é porque este valor é raiz de q(x) que terá então m-ni como raiz.
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QUESTÃO 14
Considere-se as matrizes A =
( )
−
−−2
2
2
3
116log
23! e B =
− senxcosx
cosxsenx é correto
afirmar: (01). O determinante da matriz A é um número maior que 50. (02). A matriz B é inversível, qualquer que seja x ∈R. (04). Existe x ∈ R, tal que o determinante da matriz A×B é menor que 36.
(08). A matriz B é simétrica, se e somente se x = 2
π+ kπ para qualquer k ∈Z.
(16). A matriz B é diagonal, se e somente se 1senx ±= .
6
RESOLUÇÃO:
(01). FALSA.
Det(A) = ( )
2
2
2
3
116log
2!3−
−
−=
94
26 = ( 54 – 8) = 46 < 50
(02). VERDADEIRA.
Det(B) = ( ) 1xcosxsensenxcosx
cosxsenx 22=+=
−≠ 0 ⇒ a matriz B é inversível para qualquer valor real de x.
(04). FALSA.
det(A.B) = detA × det B = 46×1 = 46 > 36.
(08). VERDADEIRA.
Se x = 2
π+ kπ ⇒ 1senx ±= e 0cosx = ⇒ B é uma matriz simétrica.
(16). VERDADEIRA.
Se 1senx ±= ⇒ 0cosx = ⇒ B =
10
01 ou B =
−
−
10
01.
26
7
QUESTÃO 15
Na figura ao lado, o polígono MNPQ é um quadrado,
M = (0,1), a diagonal do quadrado mede 24 u.c., e a reta que contém os pontos M e N faz um ângulo de 30o com o eixo das abscissas.
Nessas condições, é correto afirmar:
(01). A soma das coordenadas do ponto N é 7+ 3 .
(02). Sendo S o ponto de interseção do segmento QP com o eixo das ordenadas, então o comprimento de QS é
4 2 u.c..
(04). O simétrico de MNPQ, em relação ao eixo das abscissas, intercepta esse eixo em dois pontos.
(08). O ponto N’= (0,5) é um dos vértices do polígono obtido,. A partir de MNPQ, pela rotação de 60o, em torno do ponto M, no sentido anti-horário.
(16). A circunferência de centro M e raio medindo 4u.c. intercepta o polígono MNPQ em exatamente dois pontos.
RESOLUÇÃO:
(01). FALSA.
A diagonal do quadrado MNPQ mede 24 = l 2 ⇒
l = 4.
A abscissa de N é xN = 4 cos30° = 2 3 .
A ordenada de N é yN = 1 + 4 sen30° = 1 + 4
2
1= 3.
Logo a soma de suas coordenadas é 2 3 + 3.
Como os triângulos retângulos ABN e AOM são semelhantes e sendo a razão de semelhança igual a
32
6
AM
AN== , temos BN = 3, AB =3 3 ⇒ OB =
3 3 - 3 = 2 3 . ⇒ N = (2 3 ,3). Logo a soma das
coordenadas de N é 2 3 +3.
8
9
(02). FALSA.
No triângulo SQM, a medida do ângulo QMS é 30° ⇒ QS = QM × tg 30° = 4 × 3
3 =
3
34 .
(04). FALSA.
Basta verificar os simétricos dos pontos N e M em relação ao eixo das abscissas que são respectivamente N”=
(2 3 ,-3) e M”= (0,-1).
(08). VERDADEIRA.
Conforme a figura ao lado, o polígono MN´P´Q´é o resultante, da rotação de 60° em torno do ponto M, no sentido anti-horário, do polígono MNPQ.
ON´= 1+4 = 5 ⇒ N´= ( 0,5)
(16). VERDADEIRA.
Traçando a circunferência de centro M e raio 4
Vemos que interceptará o quadrado MNPQ nos pontos N e Q.
24
10
QUESTÃO 16.
Considerando-se as funções f:
−
2
π,
2
π → ]-1,1[ e g:
−
2
π,
2
π→ R definidas por
f(x) = sen2x e g(x) = tg x ,é correto afirmar:
(01). Se g(b) = - 4
3, então
5
4cosb = .
(02). A função h, definida por h(x) = f(x).g(x), é par.
(04). Existe uma solução da equação cosxg(x)
f(x)= que pertence ao intervalo
−
4
π,
4
π.
(08). A função f admite inversa.
(16). A função é crescente.
(32). As funções f e g satisfazem a equação [ ][ ]
11)2(
1)( 2
2=
++
xgxf para todo
x ∈
−
4
π,
4
π.
RESOLUÇÃO:
(01). VERDADEIRA.
Sendo g(b) = - 4
3 ⇒ tg(b) = -
4
3. Considerando o
triângulo retângulo ao lado e sendo c , um dos seus ângulos agudos a redução de b ao primeiro quadrante, podemos a partir do triângulo encontrar todas as linhas trigonométricas de b que é um ângulo do quarto quadrante.
Sendo o domínio de g(x) o intervalo
−
2
π,
2
πe
tg b< 0 ⇒ b ∈
− 0,
2
π, ( quarto quadrante) ⇒
cos b > 0 ⇒
Cos b = 5
4
Como tg c = 4
3 ⇒ Considerando o triângulo retângulo de
ângulo c , cateto oposto a c medindo 3 e o cateto adjacente medindo 4, termos a hipotenusa medindo 5. Assim
sen c = 5
3 cos c =
5
4
11
(02). VERDADEIRA.
Sendo h(x) = f(x) . g(x) ⇒ h(x) = sen2x × tg x ⇒ h(-x) = sen(-2x)×tg(-x)= -sen(2x) × [-tg(x)] = sen2x × tg x ⇒ h(x) = h(-x) ⇒ a função h é par.
(04). FALSA.
cosxg(x)
f(x)= . O domínio desta equação é aquele para o qual g(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ kπ.
cosxtgx
sen2x= ⇒ sen2x = tgx cosx ⇒ sen2x = x
x
xcos
cos
sen× ⇒ sen2x = senx ⇒
2senx cosx – senx =0 ⇒ senx =0 ou cosx = 2
1⇒
+±=
=
2kπ3
πx
ou kπx
⇒
...4
π,
4
ππx1k
4
π,
4
π
3
πou x 0) tgx porque satisfaz não que ( 0x 0k
−∉=⇒=
−∉=≠=⇒=
I) 2x=x + 2kπ ⇒ x = 2kπ ( valor para o qual g(x) = 0
(08). FALSA.
Observando o gráfico ao lado vemos que
f(x) = sen 2x não é injetora no intervalo do seu domínio,logo não é bijetora e por isso não tem inversa.
.1,570796..2
π≅±
(16).FALSA.
Ainda observando o gráfico acima vemos que f não é crescente nem decrescente.
Logo a afirmativa é falsa.
(32). VERDADEIRA.
[ ][ ]
11)2(
1)( 2
2=
++
xgxf ⇒ sen²2x + 1
12xtg
12
=+
⇒ sen²2x +2xsec
12
⇒ sen²2x + cos²2x=1
35
12
QUESTÃO 17.
Cada um dos gráficos a seguir representa a distribuição de freqüência das idades dos 50 funcionários de uma empresa, sendo 10 do Setor Administrativo e 40 do Setor de Produção.
De acordo com as informações acima, é correto afirmar:
(01). A média das idades, no Setor Administrativo, é igual a 22 anos.
(02). O desvio-padrão das idades, no Setor Administrativo, é igual a 5
52 anos.
(04). A mediana das idades, no Setor de Produção, é maior que 23 anos.
(08). A empresa possui exatamente 36% de funcionários com idade igual ou superior a 24 anos.
(16). A probabilidade de que um funcionário da empresa, escolhido ao acaso, tenha 22 anos de idade é igual
a 10
3.
(32). A probabilidade de que um funcionário da empresa, escolhido ao acaso, tenha 25 anos de idade ou
seja do Setor Administrativo é igual a 50
17
13
RESOLUÇÃO:
(01). VERDADEIRA.
Representando a média aritmética por xo teremos: xo = 2210
220
10
24235.2221.3==
+++
(02). VERDADEIRA.
SETOR DADMINISTRATIVO
DISTRIBUIÇÃCO DE FREQUÊNCIA
IDADE f fa xo-xi f(xo-xi)²
21 3 3 22-21=1 3
22 5 8 22-22=0 0
23 1 9 22-23=-1 1
24 1 10 22-24=-2 4
Cálculo da variância: V = n
)xf(x4
1i
2io∑
=
−
= 5
4
10
8=
Cálculo do desvio –padrão: d = 5
52
5
4V ==
(04). FALSA.
SETOR DE PRODUÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
IDADE f fa
21 8 8
22 5 13
23 10 23
24 10 33
25 7 40
14
No setor de produção existem 40 funcionários. Não há um indivíduo mediano. Como 5,202
140=
+ ⇒ a
mediana será a média aritmética entre as idades dos 20º e 21º indivíduos.
Md = 232
2323=
+
(08). VERDADEIRA.
A –Número de funcionários com idade igual ou superior a 24 anos : 18.
B – Total de funcionários da empresa; 50.
36,050
18
B
A== ⇒ 36%
(16). FALSA.
A – Número de funcionários com 22 anos: 10.
B – Total de funcionários da empresa: 50.
Calculo da probabilidade pedida: 10
2
50
10
B
A==
(32). VERDADEIRA.
A – Número de funcionários com 25 anos: 7.
B – Número de funcionários do Setor Administrativo: 10
C – Total de funcionários: 50
n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) = 7 + 10 – 0 = 17.
Cálculo da probabilidade: 50
17
C
B)n(A=
∩
43
15
QUESTÃO 18.
Um carro que custa R$ 30.000,00 pode ser adquirido em duas concessionárias nas seguintes condições:
Concessionária A: 50% de entrada e o restante ao final de 2 meses, com juros compostos de 10% ao mês.
Concessionária B: R$ 10.000,00 de entrada e uma parcela de R$ 24.000,00 ao final de 2 meses.
De acordo com as informações acima, pode-se afirmar:
(01). O valor da parcela a ser paga à concessionária A, ao final de 2 meses, será igual a R$ 18.150,00
(02). O valor dos juros do financiamento, na proposta da concessionária A, corresponde a 10% do preço do carro.
(04). A taxa de juros compostos cobrada pela concessionária B é de 10% ao mês.
(08). O valor financiado, na proposta da concessionária B, corresponde a 3
2 do preço do carro.
(16). O pagamento à vista, com 1% de desconto, será mais vantajoso para o comprador do que o financiamento proposto pela concessionária A, se a maior taxa de juros compostos que ele conseguir para aplicar seu dinheiro for de 10% ao mês.
RESOLUÇÃO:
(01). VERDADEIRA.
Concessionária A
Entrada: 0,5 × R$ 30.000,00= R$ 15.000,00
Quantia a ser financiada: R$15.000,00
Valor da prestação ao fim de dois meses sob regime de juros compostos:
(1+0,1)2 × 15.000 = 18.150.
(02). FALSA.
Valor dos juros do financiamento na concessionária A: 18.150 – 15.000= 3.150.
Valor do carro: 30.000.
0,105000.30
150.3
V
j== ⇒ 10,5% ≠ 10%
16
(04). FALSA.
Concessionária B
Entrada: R$ 10.000,00
Valor financiado R$ 20.000,00.
Parcela a ser paga sob regime de juros compostos ao final de 2 meses: R$ 24.000,00.
1,1² × 20.000 = 24.200 ≠ 24.000
(08). VERDADEIRA.
3
2
000.30
000.20=
(16). VERDADEIRA.
Pagamento à vista com desconto de 1% : corresponde a 0,99×30.000 = 29.700
Com desconto pagará em valor atual 10.000+ 2970029.834,7119834,71000.101,1
000.242
>=+=
O pagamento à vista é então mais vantajoso.
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QUESTÕES 19 e 20.
INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de Respostas.
QUESTÃO 19.
Uma empresa de publicidade dispõe de 5 modelos femininos e 4 masculinos.Determine o número total de grupos formados por 3 modelos, havendo pelo menos um modelo do sexo feminino em cada grupo.
RESOLUÇÃO:
Como os grupos serão formados por 3 modelos, havendo pelo menos um modelo do sexo feminino em cada grupo, e a ordem não é importante então o cálculo do número total dos possíveis grupos será calculado por Combinação:
Os grupos
I) 1F + 2M → 24
15 CC ×
II) 2F + 1M → 14
25 CC ×
III) 3F → 35C
Número total de grupos =
80104030123
345
12
454
12
345CCCCC 3
514
25
24
15 =++=
××
××+
×
××+
×
××=+×+×
Resposta: 80 grupos.
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QUESTÃO 20.
No plano cartesiano, considere os pontos A = (7,-1), B = (-1.3) e C = (c1,c2),com c1 > 0.
Sabendo-se que C pertence à mediatriz do segmento AB e que a distância de C ao ponto médio do segmento AB é
igual a 45 , determine c1+c2.
RESOLUÇÃO:
Chamemos de M o ponto médio do segmento AB . M = ( )1,32
2,
2
6
2
yy,
2
xx BABA =
=
++. O
coeficiente da mediatriz relativa a AB é 28
4
xx
yy1
BA
BA =
−−=
−
−−
−
. Assim a forma reduzida da equação
da mediatriz é y = 2x + b. Como o ponto M = (3,1) pertence à mediatriz ⇒
1 = 6 + b ⇒ b = -5 ⇒ y = 2x – 5.
O ponto C = (c1,c2), pertence a esta reta e a sua distância ao ponto M é 45 ⇒
( ) ( ) ( )
=−
=−++−−⇒
=−
=−+−
21
211
21
21
22
21
c52c
4562c96cc
c52c
451c3c
7ce6c0c035c4563c424c96cc 2e112
112
112
1 ==⇒=−⇒=+−++−
Logo c1+c2 = 6 + 7 = 13.
RESPOSTA: 13.
QUESTÃO DISCURSIVA.
Na circunferência ao lado, o centro O pertence ao segmento AC, o raio mede
2 u.c., e o ângulo AÔB, 3
2πrd.
Nessas condições, calcule:
a) o comprimento do segmento BC;
b) a área do triângulo AOB;
c) o volume do sólido de revolução obtido ao girar-se o triângulo AOB em torno da reta que contém o segmento AC.
18
RESOLUÇÃO:
a) O ângulo BÔC mede 3
2π=120°
No triângulo retângulo BOC , BO =2 cm.
BC = BO× sen60° ⇒ BC = 2 × 2
3= 3
Resposta: O comprimento do segmento BC é 3 cm.
b) A área do triângulo AOB pode ser calculada por meio da fórmula S
= )sen(AÔBBOAO2
1×××
S = 32
322
2
1=××× .
Resposta: A área do triângulo AOB é 3 cm².
c) O sólido de revolução obtido ao se girar o triângulo AOB em torno do lado AO está representado ao lado. Ele
é um cone eqüilátero de raio 3 cm. e altura AC. Como OC é o apótema da seção meridiana do cone então sua medida é a metade do raio, ou seja, 1 cm. Assim a medida de AC = (2+1) cm = 3 cm. Esse cone apresenta a partir de sua base uma cavidade em forma de um cone cujo altura OC mede 1 cm e cujo raio
BC mede 3 cm. O volume do sólido será então o volume do cone menos o volume da cavidade:
( ) ( )2ππ3π
3
13π
3
33π22
=−=×
−×
.
Resposta: O volume do sólido gerado é de 2πcm³ A ilustração desta questão foi feita por Hernani Borges.