Çukurova Ünİversİtesİ - cu.edu.tr(sylow teoremi) m negatif olmayan tamsayı ve r de pozitif bir...

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan ÖZTÜRK KÜMELER VE GRUPLAR ÜZERİNDE GRUP AKSİYONLARI

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ADANA, 2006

ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ

KÜMELER VE GRUPLAR ÜZERİNDE GRUP AKSİYONLARI

HAKAN ÖZTÜRK ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman : Yrd. Doç. Dr. Gonca AYIK Yıl: 2006, Sayfa:118

Jüri : Prof. Dr. Bilal VATANSEVER Yrd.Doç. Dr. Ersin KIRAL Bu çalışmada grup teorideki temel tanım ve teoremleri bir araya topladık.

Bunlara örnek olarak homomorfizm, alt grup ve kosetler, permütasyon grubu,

simetrik grup, normal altgrup ve bölüm grupları, izomorfizm teoremleri ve

otomorfizmler verilebilir. Daha sonra bir küme üzerindeki grup aksiyonunun tanım

ve özellikleri verilmiştir. Bu bilgiler kullanılarak gruplar üzerinde grup aksiyonu

tanımlanmıştır. Böylece küme üzerindeki ve grup üzerindeki grup aksiyonları

arasındaki ilişkiler verilmiştir. Son olarak GAP programı kullanılarak bu tezde yer

alan kavramların bazı uygulamaları verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Grup aksiyonları, GAP kullanımı

I

ABSTRACT MSc. THESIS

GROUP ACTIONS ON A SET AND A GROUP

HAKAN ÖZTÜRK DEPARTMENT OF MATHEMATICS

INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA

Supervisor :Yrd. Doç. Dr. Gonca AYIK Year :2006, Pages: 118

Jury:Prof. Dr. Bilal VATANSEVER Yrd.Doç. Dr. Ersin KIRAL

In this study we gather some fundamental definitions and theorems about

group theory. Such as homomorphism, subgroups and cosets, permutations groups,

dihedral groups, normal subgroups and quotient groups, isomorphisms theorems and

automorphism. Then we give definitions and properties of group actions on a sets.

Using these information we give a definition of group action on a groups. So we give

relations between group actions on a sets and action on a groups. Finally, using the

program GAP we give some application of the contents which is stated in this thesis.

Key word: Group Actions, Using GAP

II

TEŞEKKÜR

Bu çalışmanın hazırlanması sırasında yardımlarını hiçbir zaman esirgemeyen,

sürekli destek olan, fikirleriyle ve davranışlarıyla her zaman örnek aldığım ve her

zaman da örnek alacağım değerli danışmanım Yrd. Doç. Dr. Gonca AYIK’ a çok

teşekkür ederim.

Ayrıca ders dönemi boyunca bana her zaman destek olan Ç.Ü. Matematik

Bölüm Başkanı Prof. Dr. Bilal VATANSEVER’e, Ç.Ü. Matematik Bölümünün

değerli öğretim üyeleri Prof. Dr. Naime EKİCİ’ye, emekli öğretim üyesi Prof. Dr.

Melih BORAL’a, Yrd. Doç. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK’e, Yrd. Doç. Dr. Ela

AYDIN’a, Öğr. Gör. Dr. Ali ÖZKURT’a, Yrd. Doç.Dr. Orkun

COŞKUNTUNCEL’e, Arş. Gör. Orhan SÖNMEZ’e ve Ç.Ü. Matematik Bölümünün

diğer tüm öğretim elemanlarına destekleri için teşekkür ederim.

Yaşamım boyunca gerek maddi gerekse manevi her türlü zorlukla mücadele

ederek yetişmemde emeği olan değerli ailem; babam Duran ÖZTÜRK’e, annem

Binnaz ÖZTÜRK’e ve çok değerli, canım eşim Fatma ÖZTÜRK’e de çok teşekkür

ederim.

III

İÇİNDEKİLER Sayfa

ÖZ………………………………………………………………………………...I

ABSTRACT……………………………………………………………………..II TEŞEKKÜR…………………………………………………………………….III

İÇİNDEKİLER…………………………………………………………………IV

1. GİRİŞ…………………………………………………………………………1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER…………………………………………4

2.1. Homomorfizm………………………………………………………...5

2.2. Altgruplar ve Kosetler………………………………………………...7

2.3. Permütasyon Grupları……………………………………………….19

2.4. Simetri Grupları……………………………………………………...22

2.5. Normal Altgruplar ve Bölüm Grupları………………………………25

2.6. İzomorfizm Teoremleri……………………………………………...33

2.7. Otomorfizmler……………………………………………………….41

3. GRUP AKSİYONLARI…………………………………………………….44

3.1. Küme Üzerinde Grup Aksiyonu……………………………………..44

3.2. Grup Üzerinde Grup Aksiyonu……………………………………...61

4. SONLU p-GRUPLARI ve SYLOW TEOREMLERİ……………………….65

5. GAP UYGULAMALARI…………………………………………………...87

5.1. Kümeler Hakkındaki Sorgular………………………………………89

5.2. Grupların Tanımlanması Hakkındaki Sorgular……………………...92

5.3. Grupların Özellikleri Hakkındaki Sorgular………………………….97

5.4. İzomorfizm Hakkındaki Sorgular…………………………………..106

IV

5.5. Sylow Altgrupları Hakkındaki Sorgular…………………………...110

KAYNAKLAR…………………………………………………………………….117

ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………..118

V

1. GİRİŞ Hakan ÖZTÜRK

1

1. GİRİŞ

Bu tez çalışmasında ilk olarak 2. bölümde çalışmamız içinde geçen ve

çalışmamızda temel oluşturacak gerekli tanım ve teoremler verilmiştir. Bunlara

örnek olarak homomorfizm, alt grup ve kosetler, permütasyon grubu, simetrik grup,

normal altgrup ve bölüm grupları, izomorfizm teoremleri ve otomorfizmler

verilebilir. Bununla ilgili olarak Bhattacharya R. B., Jain S.K., Nagpaul S:R:(1994)

deki terminoloji kullanılmıştır. Buna ek olarak grup aksiyonu ile ilgili Adkins

W.A.(1992), Weintraub S.H. Curtis C.W.,Reiner I., (1962), Feit W. (1970),

Gronstein D.(1968), Hartley B., Hawkes T.O.(1970), Hilton P., Stammbach

U.(1976), Langs.(1965), Reichtein Z. (2004), Rose J.S.(1978), Rotman J.J.(1973),

Shenkman E. (1965), Smith J.D.(2003), Zassenhaus H.(1958) kaynakları verilebilir.

Daha sonra bir küme üzerindeki grup aksiyonunun tanım ve özellikleri

verilmiştir. Öncelikle küme üzerindeki grup aksiyonu: G herhangi bir grup ve X de

boş olmayan bir küme olmak üzere eğer G nin her g elemanı ve x X∀ ∈ elemanı

aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir tek xg X∈ ile eşlenebiliyorsa G nin X

üzerindeki aksiyonu denir.

1. Her x X∈ ve 1 2,g g G∈ için 1 2 1 2( ) ( )xg g x g g= dir.

2. Her x X∈ için 1x x= dir.

Burada X kümesi özel olarak bir grup alınırsa grup üzerindeki grup aksiyonu

kavramını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Eğer her h H∈ ve her k K∈ elemanı

1. 1Her için k K k k∈ =

2. ( ) 21 1 2

1 2Her ve , içinhh h hk K h h H k k∈ ∈ =

3. ( )1 2 1 2 1 2Her ve , için h h hh H k k K k k k k∈ ∈ =


2

olacak şekilde bir tek hk K∈ ile eşleniyorsa bu eşlemeye H nın K üzerine aksiyonu

denir.

Bu tanımlar ışığında bir küme ve bir grup üzerindeki grup aksiyonun

özellikleri ve aksiyon kavramı kullanılarak 4. bölümde sonlu p-gruplarının özellikleri

incelenmiştir. Ayrıca aşağıda verdiğimiz Sylow teoremi ve uygulamalarından

bahsedilmiştir. (Sylow Teoremi) m negatif olmayan tamsayı ve r de pozitif bir

tamsayı olmak üzere p, r yi bölmeyecek şekilde mG p r= ve G bir sonlu grup olsun

o zaman,

1. G derecesi mp olan bir alt gruba sahiptir. Böyle bir alt gruba G nin Sylow

p-alt grubu denir.

2. Eğer H, G nin bir Sylow p-alt grubu ve J de G nin herhangi bir p-alt

grubu ise, gJ H≤ ( g G∈ ) dir. Özel olarak G nin Sylow p-alt grubunun

formu G nin alt gruplarının bir eşlenik sınıfıdır.

3. n, G nin farklı Sylow p-alt gruplarının sayısı olsun. O zaman

: ( )Gn G N H= dır. Burada H, G nin bir Sylow p-alt grubu, n böler r ve

n 1(mod p)≡ dir.

Bunun yanında 4. bölümde yine küme üzerindeki aksiyon kavramı kullanılarak

bazı teorem, lemma ve sonuçlardan bahsedilmiştir. Bunlara örnek olarak (Frattini

1885) K, G nin bir sonlu normal alt grubu ve p de K nın bir Sylow p-alt grubu ise o

zaman ( )G N P KG= dır. p ve q asallar ve q ≡ 1 (mod p) olmak üzere G pq= ise o

zaman G bir normal Sylow p-alt gruba sahiptir. p ve q farklı asallar olmak üzere

G pq= ise G basit değildir. n≤100 ve n≠60 olacak şekilde pozitif bir tamsayı olsun.

Derecesi n olan abelyen olmayan basit grup yoktur. Eğer bir G grubu basit ve grup

100G ≤ ise 5G A≅ tir.

Son olarakda 5. bölümde, bu çalışmada yer alan temel algoritmanın program

olarak hayata geçirilebilmesi için GAP (Group Algorithm&Programming) programı

verilmiştir. Amacımız önceki bölümlerde verilen bilgilerin kısaca GAP (Group

Algorithm&Programming) olarak adlandırılan programda kullanabilmek için gerekli


3

ön bilgileri ve bazı uygulamalarından bahsedeceğiz. Bu program hakkındaki her türlü

bilgiye

http://www.gap-system.org

adresinden ulaşılabilmektedir. Bu web sayfasında programın nasıl yükleneceği

hakkında ayrıntılı bilgi bulunmaktadır.

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER Hakan ÖZTÜRK

4

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Boştan farklı herhangi bir S kümesi ve üzerinde tanımlı bir ikili işlem ile

birlikte oluşturduğu yapıya bir cebirsel yapı veya cebirsel sistem denir. İkili

işlemlerin sağladıkları özelliklere göre cebirsel yapılar, yarıgruplar, gruplar, halkalar,

cisimler, modüller, olarak adlandırılır. Bu cebirsel yapılar içinde en basit olanı

yarıgruplardır. Bir yarıgrup birleşmeli ikili işlemle boş olmayan S kümesi olarak

tanımlanır. Aslında ikili işlem ile : S S Sµ × → dönüşümü kastedilir. O halde ikili

işlem tanımı gereği kapalıdır.

S ≠ ∅ herhangi bir küme µ de S üzerinde bir ikili işlem olsun. Her ,x y S∈

için,

( ( , ), ) ( , ( , ))x y z x y zµ µ µ=

oluyorsa S ye µ ikili işlemi ile bir yarı gruptur denir ve ( , )S µ ile gösterilir. Yazımda

kolaylık bakımından ( ( , ), ) ( , ( , ))x y z x y zµ µ µ= yerine kısaca,

( ) ( )xy z x yz=

yazılır. Bu durumda ( , )S µ yerinede ( , )S i yazılır.

Tanım 2.1:Eğer takip eden aksiyomlar sağlanıyorsa, boş olmayan bir G kümesi

üzerindeki ikili işlem ile birlikte grup olarak adlandırılır ve ( , )G i ile gösterilir.

1. Her , ,a b c G∈ için ( ) ( )a bc ab c=

2. Her a G∈ için ea ae a= = olacak şekilde bir tek e G∈ vardır.

3. Her a G∈ için ' 'a a aa e= = olacak şekilde bir tek 'a G∈ vardır

Şimdi grup yapısı üzerindeki bu tez boyunca kullanacağımız temel

kavramları ve teoremleri verelim.


5

2.1. Homomorfizm

Tanım 2.1.1. G ve H iki grup olsun. Eğer, her x,y∈G için

Φ(x,y)= Φ(x)Φ(y)

oluyorsa Φ:G→H dönüşümüne homomorfizm denir.

Eğer Φ birebir ve örten ise Φ, G den H ye bir örten izomorfizm olarak

adlandırılır ve G H yazılır. Eğer Φ yalnızca birebir ise Φ ye bir monomorfizm ve

Φ yalnızca örten ise Φ ye bir epimorfizm denir. Φ:G→G homomorfizmasına

endomorfizm denir. Φ:G→G endomorfizması birebir ve örten ise Φ ye bir

otomorfizm denir.

Eğer Φ:G→H dönüşümü örten bir homomorfizm ise o zaman H ye G nin

homomorfik imajı veya homomorfik görüntüsü denir. Eğer Φ:G→H dönüşümü

birebir bir homomorfizm ise o zaman G ye H nin içine gömülebilir denir ve G H

olarak yazılır. (Homomorfizm tanımında, G ve H içindeki ikili işlemler çarpma

oplduğuna dikkat ediniz. G ve H içindeki ikili islemler farklı işlemler olabilir. Bu

durumda hangi grup içinde işlem yaptığımıza dikkat etmeliyiz. )

Örnek 2.1.2. G ve H iki grup ve e' elemanı H nın birim elemanı olsun.

Her x∈G için θ(x)=e' olarak tanımlanan θ:G→H dönüşümünü göz önünde

bulunduralım. Her x,y∈G için

θ(xy)=e', θ(x)θ(y)=e'e'= e'

olup θ(xy)=θ(x)θ(y) dir. O halde θ bir homomorfizmadır.

Örnek 2.1.3. Herhangi bir G grubu için i(x)=x (∀ x∈G) olarak tanımlanan i:G→G

özdeşlik dönüşümü birebir ve örten olup G nin bir otomorfizmasıdır.


6

Örnek 2.1.3.G çarpma işlemi ile (R+,•) pozitif gerçek sayılar grubu ve H toplama

işlemi ile (R,+) grubu olsun. Φ(x)=logx olarak tanımlanan Φ:R+→R dönüşümünü

düşünelim.

Φ(xy)=logxy=logx+logy=Φ(x)Φ(y)

olup homomorfizmdir. Üstelik birebir olup izomorfizmdir.

Örnek 2.1.4.G grup olsun. Bir a ∈G elemanı verilsin. Her x∈G için Ia(x)=axa-1

olarak tanımlanan Ia:G→G dönüşümünü dikkate alalım. Bu durumda

Ia(xy)=axya-1=(axa-1)(aya-1)=Ia(x)Ia(y)

olup Ia bir homomorfizmadır. axa-1=aya-1 ise sağdan a ile soldan a-1 ile çarparsak

x=y olur. Dolayısıyla, Ia birebirdir. G deki her x için,

x = a(a-1xa) a-1 =Ia( a-1 xa).

olup Ia örtendir. Sonuç olarak, Ia G nin bir otomorfizmasıdır ve a ile tanımlanan bu

otomorfizmaya G nin iç otomorfizması denir.

Tanım 2.1.5. G ve H iki grup ve φ :G→H bir homomorfizm olsun. e' elemanı H nın

birim elemanı olmak üzere, φ çekirdek kümesi Kerφ ,

Kerφ ={ }: ( )x G x eφ ′∈ =

olarak tanımlanır.

( )e eφ ′= olduğundan Kerφ kümesi boştan farklıdır.


7

Teorem 2.1.6. :G HΦ → homomorfizması birebirdir.⇔ { }Ker eΦ = dir.

İspat: ( )⇒ Φ nin birebir olduğunu varsayalım. x Ker∈ Φ alalım. Bu durumda

( ) ( )x e e′Φ = = Φ

olup x e= dir. Bu yüzden, Ker Φ = {e}.

( )⇐ Tersine, { }Ker eΦ = olduğunu varsayalım. Bu durumda,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }11 1x y xy x y e xy Ker e−− −′Φ = Φ ⇒Φ = Φ Φ = ⇒ ∈ Φ =

olup x y= dir. Yani Φ birebirdir.¥

Eğer :f G H→ ve :g H K→ grup homomorfizmi ise :gf G H→ de

homomorfizmdir (izomorfizmdir). Ayrıca :f G H→ bir örten izomorfizm ise o

zaman 1 :f H G− → de bir izomorfizmdir. Her grubun kendisine izomorfik olduğu

açıktır. Bu özelliklerden dolayı grupların izomorfizmi bir denklik bağıntısıdır.

2.2. Alt Gruplar ve Kosetler

Tanım 2.2.1. ( ),G • grup ve H, G nin bir alt kümesi olsun. Eğer H de, G deki ikili

işlemle bir grup oluyorsa H ye, G nin bir alt grubu denir ve H<G olarak yazılır.

Her G grubu için tek elemanlı ve G nin kendisi G nin altgrubudur ve bu alt

gruplara aşikar altgruplar denir. H≠{ }e ve H≠G olacak şekilde H, G nin bir alt

grubu ise H ye, G nin bir öz altgrubu denir.


8

Dikkat edilecek olursa bir grubun ve o grubun her alt grubunun birim elemanı

aynıdır.

Teorem 2.2.2. G grup olsun. G nin boş olmayan H altkümesi G nin bir alt grubu

olması için gerek ve yeter koşul aşağıdakilerden biri sağlanır.

(i) Her a,b∈H için ab∈H, ve a-1∈H dir.

(ii) Her a,b∈H, ab-1∈H dir.

İspat: ( )⇒ H altgrup olsun. (i) ve (ii) sağlandığı alt grup tanımından açıktır.

( )⇐ H ın (i) yi sağladığını kabul edelim. Bu durumda her a∈H için a-1∈H olur. O

halde 1e aa H−= ∈ dır. Böylece H altgruptur. H ın (ii) yi sağladığını kabul edelim.

a,b∈H olsun. Bu durumda 1e bb H−= ∈ olur. Dolayısıyla, 1 1b eb H− −= ∈ dır.

Böylece

( ) 11ab a b H−−= ∈

olup H altgruptur. ¥

Sonlu altgrup için basit bir kriter vardır.

Teorem 2.2.3. (G,•) bir grup olsun. G nin boş olmayan sonlu H alt kümesi bir alt

grup olması için gerek ve yeter koşul her a,b∈H için ab∈H dir.

İspat: Eğer H, • işlemi altında kapalı ise (H,•) bir sonlu yarıgruptur. G deki tüm

elemanlar için sadeleşme özelliği geçerli olup sadeleşme özelliği H’daki tüm

elemanlar için de geçerlidir. H grup ve dolayısıyla G nin bir alt grubudur. Tersi

aşikardır. ¥


9

{ }:n nk k= ∈Z Z olsun. Her ,k k ′∈Z için ' '( )nk nk n k k n− = − ∈ Z olup

nZ kümesi ( ),+Z grubunun alt grubudur.

Daha genel olarak, (G,•) herhangi bir grup ve a∈G olsun. H kümesi de a nın

tüm kuvvetlerinin kümesi yani { }:kH a k= ∈Z olsun. Bu durumda, tüm

',k k ∈Z .için ( ) 1k k k ka a a H−′ ′−= ∈ olduğundan H, G nin altgrubudur. H ya G nin

a tarafından doğurulan devirli alt grubu denir ve [ ]H a= olarak yazılır. Burada a ya

H nın doğurayı denir. Eğer G bir toplamsal grup ise o zaman [ ] { }:a ka k= ∈Z a nın

tüm katlarının kümesidir. Yukarıda verilen örnekte olduğu gibi nZ kümesi Z nin n

tarafından doğurulan devirli alt grubudur. Bir a G∈ için [ ]G a= ise G ye devirli

grup denir.

Aşağıdaki teoremler bize bazı alt grup örnekleri vermektedir.

Teorem 2.2.4. Φ:G→H grup homomorfizmi olsun. Bu durumda KerΦ , G nin ve

ImΦ de, H ın altgrubudur.

İspat:. KerΦ ve ImΦ kümeleri boş değildir. a,b∈KerΦ alalım. Bu durumda 1 1 ' ' '( ) ( ) ( )ab a b e e e− −Φ = Φ Φ = = (burada e', H ın birim elemanıdır). Dolayısıyla

1ab Ker− ∈ Φ dir. Böylece KerΦ, G nin alt grubudur. ,α β ∈ ImΦ alalım. Bu

durumda ( ), ( )x yα φ β φ= = olacak şekilde ,x y G∈ vardır. Dolayısıyla, 1 1 1( ) ( ) ( )x y xyαβ φ φ φ− − −= = ∈ ImΦ dir. Böylece ImΦ kümesi H ın altgrubudur.

Tanım 2.2.5. ( )Z G ile G nin her elemanı ile değişmeli olan G nin elemanlarının

kümesini gösterecek olursak ( )Z G ye G nin merkezi denir. Yani

( )Z G { }: her için a G x G ax xa= ∈ ∈ =

dir.


10

Teorem 2.2.6. G grubunun merkezi G nin bir altgrubudur.

İspat: Her x G∈ için ex xe= olup ( )e Z G∈ dir. O zaman her x G∈ için,

1 1 1 1 1 1

1 1 1

ab x ab xe ab xbb ab bxbaexb axb xab

− − − − − −

− − −

= = =

= = =

olduğundan 1ab − ∈ ( )Z G dir. Böylece ( )Z G kümesi G nin alt grubudur. ¥

Verilen alt gruptan yeni alt grubun nasıl elde edilebileceğini görelim. H ve K

G grubunun alt grupları olsunlar. Bu durumda ,e H e K∈ ∈ dır. Bundan dolayı,

H K∩ ≠∅ dir. Eğer a,b∈H∩K ise, bu durumda ab-1∈H, ab-1∈K dir. Dolayısıyla,

ab-1∈ H∩K dir. Böylece H ∩ K da G nin altgrubudur. Daha genel olarak benzer

şekilde G grubunun herhangi bir sayıda altgrubunun arakesiti de G nin bir bir alt

grubudur. Fakat H ve K altgruplarının birleşiminin G nin alt grubu olması için gerek

ve yeter koşul H⊆K veya K⊆H olmasıdır. H K∪ nın altgrup olduğu H⊆K ve

K⊂H olmadığını varsayalım. Bu durumda a H K∈ − ve b K H∈ − elemanları

vardır. Şimdi a,b∈H∪K olup, dolayısıyla ab∈H∪K dır. Eğer ab∈H ise, 1b a ab H−= ∈ çelişkisi elde edilir. Diğer taraftan, eğer ab∈K ise, bu durumda

1a abb K−= ∈ çelişkisi elde edilir.

S kümesindeki ikili işlemler ( )SΡ kuvvet kümesindeki ikili işlemleri

oluşturur. Buna göre, G grubun herhangi A,B altkümesi için,

AB = { xy G∈ : ,x A y B∈ ∈ }

şeklinde tanımlarız. G toplamsal grubu için,

A B+ = { x y+ : ,x A y B∈ ∈ }


11

olarak tanımlarız.

Teorem 2.2.7. H ve K, (G,•) grubunun altgrupları olsun. Bu durumda HK nın G nin

alt grubu olması için gerek ve yeter koşul HK=KH olmasıdır.

İspat:HK=KH olsun. e=ee∈HK olup HK boş değildir. a,b∈HK olsun. Bu durumda,

h1,h2∈H ve k1,k2∈K için, a=h1k1, b=h2k2 dir. Bu nedenle 13 1 2k k k −= olmak üzere

1 1 1 1

1 1 2 2 1 3 2ab h k k h h k h− − − −= =

dir. k3h2 -1∈KH=HK olup bazı h3∈H, k4∈K için k3h2

-1=h3k4 dir. Bu nedenle,

h4=h1h3∈H olmak üzere 11 3 4 4 4ab h h k h k− = = olup ab-1∈HK dir. Böylece HK bir

altgruptur. Tersine, HK altgrup olsun. a∈KH olsun. h∈H, k∈K için a=kh olup bu

durumda a-1=h-1k-1∈HK dir. Bundan dolayı, a∈HK dır. Bu yüzden KH⊆HK dır.

b∈HK olsun. Bu durumda b-1∈HK dir. Bu durumda h'∈H ve k'∈K için b-1=h'k' dir.

Bu nedenle b=k'-1h'-1∈HK dir. Dolayısıyla HK⊆KH olur. Böylece HK=KH dir ¥

Eğer G değişmeli grupsa, bu durumda HK, G’nin her H,K altgrupları için

altgruptur.

G grubunun alt grupları içerme ile kısmi sıralanabilir. H ve K, G nin

altgrupları olsun. Bu durumda H∩K kümesi H ve K tarafından içerilen en büyük alt

grubudur. Eğer L, hem H hem de K tarafından içerilen alt grup ise L⊆H∩K dır.

Eğer HK=KH ise, bu durumda HK, H ve K yı içeren en küçük alt gruptur. Eğer M, H

ve K yi kapsayan herhangi bir altgrupsa, her h∈H, k∈K için hk∈M dir. HK≠KH olsa

bile, H ve K yı içeren en küçük altgrubu bulabiliriz.

S, G nin altkümesi olsun. S yi içeren G nin altgruplarının ailesi ℑ yi göz

önünde bulunduralım. Yani

ℑ={A:A≤G, S⊆A}


12

dir. G∈ ℑ olup, ℑ boş değildir.

M, ℑ deki tüm altgrup A ların arakesiti olsun. Bu durumda M, S⊆ 'M ve G

nin altgrubudur. Eğer M', S⊆ 'M ve altgrup ise o zaman 'M ∈ ℑ dir. Dolayısıyla

M⊆ M' dir. Bu nedenle M, S yi içeren en küçük altgruptur. Bu alt grup S tarafından

doğurulan altgrup olarak adlandırılır ve S ile gösterilir. Eğer G nin bazı S

altkümeleri için G= S ise, bu durumda S ye G nin doğuray kümesi denir. G kümesi

kendisinin doğuray kümesidir. Eğer S boş küme ise [S] trivial grup {e} dir. (trivial

grup {e} bazen {1} veya yalnzca 1 ile de gösterilir.) Eğer S bir sonlu küme ve

G=[S] ise, bu durumda G ye sonlu doğuraylı grup denir.

H ve K altgruplarını içeren en küçük alt grup H K∪ tarafından doğurulan

altgrup olup H K∨ ile gösterilir.

Teorem 2.2.8. S, G grubunun boş olmayan alt kümesi olsun. Bu durumda, S

tarafından doğurulan altgrup, her i için xi∈S veya xi-1∈S olmak üzere tüm x1x2. xn

sonlu çarpımlarının M kümesidir.

İspat: Açıkça, S⊆M, M deki her iki a=x1...xm ve b=y1...yn elemanı için, 1 1 1

1 1m nab x x y y M− − −= ∈ dir. Bundan dolayı, M, G nin altgrubudur. 'M , G nin S

yi içeren herhangi bir altgrubu olsun. Bu durumda her x∈S için x∈M' dir.

Dolayısıyla, x-1∈ 'M dır. Bu nedenle, 'M i=1,...,n için xi∈S veya xi-1∈S olmak

üzere, tüm x1x2...xn sonlu çarpımları kümesini içerir. Böylece M⊆M' dir. Bu bize

M in, S yi içeren en küçük altgrup olduğunu gösterir ve bu alt grup S tarafından

doğurulan altgrup tur. ¥

Eğer S tek elemanlı {a} kümesi ise, S tarafından doğurulan altgrup devirli

altgruptur. Devirli alt grup { }:ia a i= ∈Z olarak gösterilir.


13

Tanım 2.2.9. G bir grup ve a∈G olsun. Eğer am=e olacak şekilde bir en küçük

pozitif m tamsayısı varsa, m ye a nın derecesi denir ve o(a) olarak yazılır. Eğer

böyle bir pozitif tamsayı yoksa, bu durumda a sonsuz dereceye sahiptir denir.

Buna bazı değişik örnekler verebiliriz.

Örnek 2.2.10.

(1) Z4 toplamsal grubunda, 2 2 0+ = olup (2) 2ο = dır. Ayrıca, (3) 4ο = dür.

(2) { }3| x 1G x= ∈ = çarpımsal grubunda ( 1) ( 3)

2ω

− + −= elemanının derecesi

( ) 3wο = tür. { }4| x 1G x= ∈ = grubunda ( ) 4iο = tür.

(3) S3 de,1 2 32 1 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

elemanının derecesi 2 ve1 2 32 3 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nın derecesi 3 dür.

(4) Sonlu bir G gurubunda her elemanın derecesi sonludur. Eğer a∈G ise o zaman bu

durumda G nin a,a2,a3,...elemanlarının hepsi farklı değildir. Böylece ai=aj olup ai-j=e

olacak şekilde birbirinden farklı pozitif i ve j tamsayıları vardır. Bundan dolayı o(a)

sonludur.

(5) (Z, +) gurubundaki sıfır olmayan her elemanın derecesi sonsuzdur.

Teorem 2.2.11. G bir grup ve a∈G olsun.

(i) n ≠0 için an=e ise o(a) n dır.

(ii) r(i), i nin m ile bölümünden kalan olmak üzere, o(a)=m ise, ( )i r ia a= dir.

(iii) a nın derecesi m olması için gerek ve yeter koşul o(a)=m olmasıdır.

İspat: (i) Eğer na e= ise na e− = dir. 0i > için ia e= dir. N nin iyi sıralama

özelliğiyle, en küçük pozitif m tamsayı için o(a)=m, am=e dir. Bölme

algoritmasından n=mq+r, 0≤r<m dir. Dolayısıyla, ( )n m q r re a a a a= = = dir. Bu

yüzden r=0 ve o(a)=m n dir.


14

(ii) Bölme algoritmasından, her ,i i mq r∈ = +Z , 0≤r<m dir. Dolayısıyla

ai=ar olup burada ( )r r i= , i nin m ile bölümünden kalandır.

(iii) o(a)=m olsun. Bu durumda e,a,...,am-1 farklı olur. Aksi halde bir

0≤i<j≤m-1 için i ja a= dir. Dolayısıyla, ai-j=e çelişkisi elde edilir. H a= , a

tarafından doğurulan devirli grup olsun. Her i ∈Z için, ( )i r ia a= dir. Bu H nın tam

m tane e,a,...,am-1 elemana sahip olduğunu gösterir. Tersine, H’ın sonlu derecesi

olduğunu varsayalım. Her i ∈Z için tüm ai ler farklı değildir. Dolayısıyla, ,i j ∈Z ,

i j< için ai=aj dir. Bu durumda i ja e− = dir. Dolayısıyla, a nın derecesi sonlu olup

m dir. ¥

Sonuç 2.3.12. Eğer G sonlu grupsa, bu durumda her x∈G için kx e= olacak şekilde

bir pozitif k tamsayası vardır.

İspat: G sonlu olup, a altgrubuda sonludur. Dolayısıyla, o(a) sonludur, buna n(a)

diyelim. ( )a G

k n a∈

=∏ seçelim. Bu durumda her x∈G için kx e= dir. ¥

Tanım 2.2.13. H, G nin altgrubu olsun. a∈G alalım. { }:aH ah h H= ∈ kümesine H

ın a tarafından belirlenmiş sol koseti denir. G nin C alt kümesi eğer bir a G∈ için

C aH= ise, C ye H ın G deki sol koseti denir. H ın G deki tüm sol kosetlerinin

kümesi, G/H olarak yazılır. Sağ koset Ha benzer şekilde tanımlanır. H ın G deki tüm

sağ kosetleri kümesi, H\G olarak yazılır.

Herhangi bir a ∈ G elemanı için :f H aH→ ( )f h ah= olarak tanımlanan

dönüşüm birebir ve örtendir. Bu nedenle, H ın her solkoseti H ile aynı sayıda

elemana sahiptir. H eH= olduğundan H da H ın bir sol kosetidir

Aşağıdaki gibi tanımlanan G üzerindeki ~ bağıntısını göz önüne alalım.

a ~ 1b a b H−⇔ ∈ .


15

Her a,b,c∈G için,

1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

,( )

, ( )( ) .

a a e Ha b H b a a b H vea b b c H a c a b b c H

−

− − − −

− − − − −

= ∈

∈ ⇒ = ∈

∈ ⇒ = ∈

dir. Dolayısıyla, ~ bağıntısı G üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Bu ~ denklik

bağıntısının denklik sınıfları H ın G deki sol kosetleridir. Bu yüzden, H ın G deki sol

kosetlerinin kümesi G/H, G nin bir parçalanışıdır. Yani, H ın farklı sol kosetleri

ikişer ayrık ve tüm sol kosetlerin birleşimi G ye eşittir. Şimdi H ın G deki sağ

kosetlerini dikkate alalım. Benzer işlemler yapılırsa H ın herhangi iki sağ kosetinde

aynı sayıda elaman vardır ve H\G kümeside G nin bir parçalanışıdır. G deki herhangi

iki a,b elemanının aynı sağ kosete ait olması için gerek ve yeter koşul ab-1∈H

olmasıdır. :ψ G/H→ H\G dönüşümü ( ) 1aH Haψ −= olarak tanımlansın.

1 1 1 1 1 1( )aH bH a b H a b H Ha Hb− − − − − −= ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ =

olup ψ iyi tanımlıdır.

Benzer şekilde, 1 1Ha Hb aH bH− −= ⇒ = olup ψ birebirdir. Ayrıca, ψ

açıkça örtendir. Sonuç olarak, G/H ve H\G aynı eleman sayısına sahiptir. Böylece,

aşağıdaki tanımı yapabiliriz.

Tanım 2.2.14. H, G nin alt grubu olsun. H ın, G deki tüm sol (sağ) kosetlerinin

sayısına H ın G deki indeksi denir ve [ ]:G H ile gösterilir. Bazen indeks sayısı

:G H olarak da yazılır.

Eğer H, { }e aşikar alt grubuysa, H ın, G deki her sol (sağ) koseti G nin tek

elemanlı alt kümeleridir. Bu durumda H ın G deki indeksi G nin eleman sayısıdır.

Yani :G H = G dir. Toplama işlemi ile Z grubunun sıfırdan farklı her alt grubu K

için : KZ sonludur.


16

G sonlu bir grup H da G nin herhangi bir altgrubu olsun. |G|=n,|H|=m olsun.

Bu durumda H ın her sol koseti m elemana sahiptir. H ın tüm sağ kosetlerinin kümesi

G nin bir parçalanışı olduğundan k sol kosetlerin sayısı olmak üzere n km= dir.

:1 : :1G G H H=

dir.

Böylece sonlu grup teorideki aşağıdaki önmeli teoreme sahibiz.

Teorem 2.2.15. (Lagrange) G bir sonlu grup olsun. Bu durumda G nin herhangi bir

altgrubunun derecesi G nin derecesini böler.

Şimdi Lagrange Teoreminin bazı önemli sonuçlarından bahsedelim.

Sonuç 2.2.16. G, derecesi n olan sonlu bir grup olsun. Bu durumda her a∈G için

o(a)|n, ve dolayısıyla na e= dir.

Sonuç olarak derecesi asal olan her grup devirlidir. Böylece derecesi asal olan

her grup abelyendir.

İspat: a∈G olsun. Lagrange teoreminden dolayı devirli grup a nın derecesi n yi

böler. Böylece o(a)|n dir. Eğer n asal ve a≠ e ise, a derecesi n olmalıdır.

Dolayısıyla, a G= olup G devirlidir. ¥

Teorem 2.2.17. (Euler-Fermat Teoremi) Eğer a tam sayısı, pozitif m sayısı ile

aralarında asal olmak üzere ( ) 1(mod )ma mφ ≡ dir. Buradaki φ fonksiyonuna Euler

fonksiyonu denir.


17

İspat: x m∈ elemanının tersinir olması için gerek ve yeter koşul (x,m)=1

olmasıdır. m deki tersinir elemanların çapma işlemi ile ( )*m deki derecesi ( )mφ

dir. ( , ) 1,a m = a ( )*m∈ böylece ( ) 1maφ = dir. Böylece ( ) 1(mod )ma mφ ≡ dir. ¥

Teorem 2.2.18. (Poincare Teoremi) Sonlu indeksli iki alt grubun kesişimide sonlu

indekslidir.

İspat: H ve K, G nin sonlu indeksli iki alt grubu olsunlar. a G∈

alalım. ( )H K a Ha Ka∩ = ∩ olduğu açıktır. Böylece H K∩ nın her sağ koseti H

nın sağ koseti ve K nın sağ kosetinin kesişimidir. Yani H nın sağ koseti ve K nın sağ

kosetinin kesişimi sonludur. Böylece H K∩ nın kosetleri sonlu sayıdadır. ¥

Teorem 2.2.19. G bir grup ve ab ba= olacak şekilde ,a b G∈ olsun.

( ) ( ) ( ), ve , 1o a m o b n m n= = = ise o zaman ( )o ab mn= dir.

İspat: ( )o ab k= olsun. O zaman ( )kab e= dir. Ayrıca

( )mn mn mnab a b e= =

dir. O halde k mn olur.

( )k k k k kab a b e a b−= = ⇒ =

olup ( ) ( ) ( )k k ko a o b o b−= = dir. Fakat ( ) ( )mm k ka e a e o a m= ⇒ = ⇒ dir. Benzer

şekilde ( )ko b n dir. Böylece ( )ko a , ( ), 1m n = sayısını da böler. O halde ( )ko a =1


18

olup ka e= dir. Böylece m k dir. Benzer şekilde n k olup mn k dir. Zaten

( )o ab k= olduğundan k mn olup k mn= dir.

Teorem 2.2.20 S ve T sonlu bir G grubunun alt grupları olsunlar. O zaman

S TST

S T=

∩

dir.

İspat: S T× yi ve S T× üzerinde

( ) ( ) 1, ~ , bir için , ve dir.s t s t a S T s sa t a t−′ ′ ′ ′⇔ ∈ ∩ = =

şeklinde tanımlanan ~ bağıntısını düşünelim. ~ bir denklik bağıntısıdır. ( ),s t S T∈ ×

nın denklik sınıfını ( ),s t ile gösterelim. / ~S T× de tüm denklik sınıflarının kümesi

olsun. Denklik bağıntısının tanımından

( ) ( ){ }1, , :s t sa a t a S T−= ∈ ∩

dir. Böylece ( ),s t S T= ∩ dir. Üstelik S T× de ayrık denklik sınıflarının birleşimi

( )1

,k

i ii

S T s t=

× =∪ olup S T k S T× = ∩ dir. Şimdi f dönüşümünü

( ): / ~ , ,i i i if S T ST f s t s t× → =

olarak tanımlayalım. f iyi tanımlıdır. Bir a S T∈ ∩ için


19

( ) ( ) ( )1, , ,i i j j j i j i j j i is t s t s s a t a t a S T s t s t−= ⇔ = = ∈ ∩ ⇔ =

olup f birebirdir. Ayrıca f örten olup / ~S T ST× = dir. O halde

S T k S T× = ∩ olduğu bilindiğinden

S T ST S T S T ST S T× = ∩ ⇒ = ∩

olur. Böylece S T

STS T

=∩

olduğu gösterilmiş olur. ¥

2.3. Permütasyon Grupları

Tanım 2.3.1. X boş olmayan bir küme olsun. X in tüm birebir örten dönüşümlerinin

(permütasyonlarının) bileşke işlemi altında oluşturduğu gruba X üzerinde simetrik

grup denir Sx ile gösterilir. Sx in bir altgrubuna X üzerinde permütasyon grubu denir.

X Y ise Sx=Sy olduğu açıktır. Eğer |X|=n ise, Sx ,Sn ile gösterilir ve n. dereceden

simetrik grup olarak adlandırılır. σ ∈Sn permütasyonu 1 2

(1) (2) ( )n

nσ σ σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

formunda gösterilir

Tanım 2.3.2. σ∈Sn olsun.

{ }

1

1

1

( ) , 1, , 1( ) ,( ) , , ,

i i

r

r

x x i rx xx x x x x

σσσ

+= = −=

= ∉

…

…


20

olacak şekilde farklı tamsayıların bir x1,...,xr { }1, 2, , n∈ listesi varsa σ ya uzunluğu

r olan bir devir denir ve ( )1 2... rx x xσ = olarak yazılır. Uzunluğu 2 olan bir devire

transpozisyon denir.

Başka bir deyişle, ( )1 rx x… devri diyagramda görüldüğü gibi x1..xt

tamsayılarını çember etrafında bir adım( r = 5 için) hareket ettirir ve etkilenmemiş n

deki her diğer tam sayıyı terk eder. (Eğer σ(x) = x ise, σ, x’i hareket ettirmez deriz.)

Uzunluğu 1 olan devir birim dönüşümdür.

Gösterim yararına, simetrik 3S grubunu dikkate alalım. {1,2,3} kümesinin 6

tane permütasyonu vardır. Bunlar

1 2

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,

1 3 2 3 2 1 2 1 3

e σ σ

τ τ τ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şeklindedir. Dikkat edilecek olursa

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

1 2 3

1 , 123 , 132

23 , 13 , 12

e σ σ

τ τ τ

= = =

= = =

dir. Bileşke işlemi ile iki permütasyonun çarpımını bulabiliriz. Böylece,

2x 4x

1x 5x

3x


21

1 1 2

1 2 33 2 1

τ σ τ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

dir

(Şunu hatırlayalım, τσ çarpımında, önce σ harekete geçer, τ ile takip edilir.)

σ1=(123) için σ ve τ1=(23) için τ yazalım. Bu durumda

2 3 2 2

2 3 2, , , ,e eσ σ σ τ στ τ σ τ τ τσ= = = = = =

olup { }2 23 , , , , ,S e σ σ τ στ σ τ= dir. S3 deki herhangi iki elemanın çarpımı

3 2 2,eσ τ στ σ τ= = = bağıntıları ve çarpmanın birleşme özelliği kullanılarak

hesaplanabilir.

Sx simetrik grubunun altgrubu permütasyon grubu olarak adlandırıldı. Demek

ki, permutasyon grubu elemanları bir X kümesi üzerinde permütasyonlar ve • işlemi

bileşke işlemi olan ( ),G • grubudur.

Teorem 2.3.3.(Cayley Teoremi). Her grup bir permütasyon grubuna izomorfiktir.

İspat: G bir grup olsun. Verilen herhangi bir a∈G için ( ) ( ), af x ax x G= ∀ ∈ olarak

tanımlanan af dönüşümü her , ,x x y G′ ∈ için ( )1 ve aax ax x x y f a y−′ ′= ⇒ = =

olduğundan birebir ve örtendir. Her a G∈ için

( ): , aG aG S fφ φ→ =

olarak tanımlanan φ fonksiyonunu düşünelim. Her , ,a b x G∈ için

( ) ( ) ( ( )) ( )( )ab a a b a bf x abx f bx f f x f f x= = = =


22

dir. Böylece ( ) ( ) ( )ab a bφ φ φ= dir. Bu yüzden,φ homomorfizmadır, ve Im φ , SG nin

altgrubudur. Üstelik x G∈ için ( ) ( )a b ax bx a bφ φ= ⇒ = ⇒ = dir. Böylece φ

birebir homomorfizmdir. Bu yüzden G, SG nin bir alt grubuna izomorfiktir. ¥

2.4. Simetri Grupları

Bu bölümde simetri grupları olarak bilinen permütasyon gruplarının önemli

bir sınıfını tanımlayacağız. X uzaydaki noktaların kümesi olsun. Her x,y∈X için x ve

y noktaları arasındaki uzaklık ( ),d x y olarak verilsin. X in bir σ permütasyonu

eğer her x,y∈X için

( ( ), ( )) ( , )d x y d x yσ σ =

oluyorsa σ permütasyonuna X in bir simetrisi denir. Aslında, simetri her iki nokta

arasındaki uzaklığı koruyan bir permütasyondur.

XT ile X in tüm simetrilerinin kümesini gösterelim. Bu durumda her σ,τ∈Tx

ve x,y∈X için,

1 1 1 1 1 1( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( , )d x y d x y d x y d x yτσ τσ σ σ σσ σσ− − − − − −= = =

dir. Böylece τσ-1∈ XT olup XT , Sx in bir altgrubudur. XT in kendisi de bileşke işlemi

ile bir gruptur. Bu gruba X in simetri grubu denir.

Şimdi özel olarak X in noktaları n kenarlı bir çokgenin oluşturduğu durumu

düşünelim. X in herhangi bir simetrisi çokgenin köşelerindeki etkilerle tek türlü

belirlidir. Bu yüzden, sadece 1,2,...,n ile etiketlenmiş köşeler kümesinin simetrisini

dikkate almak yeterli olacaktır. Böylece n kenarlı çokgenin simetrileri grubu, Sn in

bir altgrubudur.


23

Tanım 2.4.1. n kenarlı düzgün bir çokgen Pn in simetrileri grubu derecesi n olan

dihedral grup olarak adlandırılır ve Dn olarak yazılır.

Düzgün n kenarlı çokgen Pn i göz önünde bulunduralım. Bir nSσ ∈

permütasyonunun Pn in simetrisi olması için gerek ve yeter koşul σ nun Pn deki

herhangi iki komşu köşeyi alıp yine komşu köşelerle eşlemesidir. Yani bir nSσ ∈

permütasyonunun Pn in simetrisi olması için gerek ve yeter koşul σ ( )1 ,σ ( )2 ,…,σ ( )n

sayıları ya 1,2,..,n devir sırasında veya n,n-1,...,2,1 ters devir sırasında olmasıdır.

Böylece Pn simetrilerini iki tipte sınıflandırabiliriz. Bunlardan biri 1,2,...,n devir

sırasında diğeri ise ters devir sırasında olsun. σ simetrisi, devir sırasında olsun. σ(l)

ifadesi 1,2,...,n, değerlerinden herhangi birine sahip olabilir ve σ(l) değeri

sabitlenirse, σ ( )2 ,...,σ ( )n devir sırası vasıtasıyla tek türlü belirlenir. Bu yüzden,

köşelerin devir sırasını veren tam olarak n tane simetrisi vardır. Bu simetrileri

σ1,σ2,...,σn ile gösterelim. Benzer şekilde ters devir sırasına karşılık gelen

simetrilerini τ1,τ2,…,τn ile gösterelim. burada σi ( )1 i= ve τi ( )1 i= dir. Böylece

dihedral grup Dn in 2n tane elemanı vardır ve bunlar σi, τt ( 1,2, ,i n= ) dir.

Şimdi Dn iki elemanının çarpımını bulmak için elemanlarının daha basit

tanımını vereceğiz. Açıkça, σ1, birim permütasyon e ve σ2 de (12...n) deviridir. σ2 yi

σ olarak yazalım. Dikkat edilirse σi ( )1 1i= + ( 1, 2, , 1i n= − ) ve σn ( )1 1= dir. σi

(i>1) devir sırasında olduğundan,

1 , 1,... 1,ii

n

i ne

σ σ

σ

+= = −

=

dir. Dolayısıyla, köşelerin devir sırasını koruyan n simetrileri burada σ ( )12 n=

olmak üzere σi ( 1,2, , 1i n= − ) dir.


24

1

1 21 2

nn

τ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

permütasyonunu τ olarak yazarak, σiτ ( )1 1i= + olup ters devir

sırasını korur. Böylece σiτ= τi+1, (i=0,1,...,n-1) dir. Üstelik τ2= e dir. τσ çarpımını

dikkate alalım. τσ ters devir sırasında ve τσ ( ) ( )1 2 nτ= = olup

τσ 1nσ τ−=

dir.

Teorem 2.4.2. Dihedral grup Dn, 1 2

(1,2,..., ),1 2

nn

nσ τ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ olmak üzere

σn= e= τ2 ve τσ 1nσ τ−= eşitliklerini sağlayan σ,τ elemları tarafından doğurulan,

derecesi 2n olan gruptur.

Geometrik olarak, σ, Pn düzgün çokgenin kendi düzlemi içinde 2nπ açısı

boyunca dönderilmesi ve τ da 1 köşesinin çap içindeki yansımasıdır.

Tanım 2.4.3. Dihedral grup D4 octic grup olarak adlandırılır.

Düzensiz çokgen simetrileri grubu örneğindeki gibi, örnek 5.3’de dikdörtgen

simetrilerini dikkate alabiliriz.

Örnek 2.4.4.Dikdörgen simetrilerinin

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

, , ,1 2 3 4 3 4 1 2 2 1 4 3 4 3 2 1

e a b c⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

olduğu görülür. Dikkat edilirse geometrik olarak, a , π açısı boyunca

döndürülmesidir. b ve c de simetri ekseninde köşelerin yansımalarıdır.

1 2

34


25

2 2 2 , , ,a b c e ab c bc a ca b= = = = = =

dir. Böylece, dikdörtgen simetrileri grubu Klein-4grubudur.

2.5 Normal Altgruplar ve Bölüm Grupları

G gurubundaki çarpım ile G nin herhangi iki A ve B alt kümesinin çarpımı

{ }: ,AB xy x A y B= ∈ ∈

olarak tanımlanır. Eğer A veya B tek elemanlı bir küme ise { } { } ve a B A b yerine

sırasıyla kısaca aB ve Ab yazarız. G deki çarpma birleşmeli G nin altkümelerinin

çarpımı da birleşmelidir.

Tanım 2.5.1. G bir grup olsun. Eğer her x∈G için xNx-1⊆N ise, G nin N altgrubuna

G nin normal altgrubu denir ve N G olarak yazılır.

Aşikar altgruplar {e} ve G kümeleri G nin normal altgruplarıdır. Eğer G

değişmeli ise G nin her altgrubu normal altgruptur. Fakat bunun tersi doğru değildir.

Yani her alt grubu normal olan grup değişmeli olmak zorunda değildir.

Örnek 2.5.2. Her alt grubu normal olan fakat değişmeli olmayan bir grup örneği

verelim. G derecesi 8, tüm elemanları aşağıdaki matrisler ve işlemi matris çarpımı

olan grup olsun.

1 0 1 0 0 1 0 1, , ,

0 1 1 00 1 1 0

1 0 1 0 0 1 0 1, , ,

0 1 1 00 1 1 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


26

Dikkat edilecek olursa

1 0 1 0 0 1, ,

0 1 0 1 1 0e a b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

olmak üzere 4 2 2 1 3, ve a e b a b ab a−= = = dir. Bu G grubuna quaternion grubu denir.

Derecesi 2 olan bir tek alt grubu vardır oda 1 0 1 0

,0 1 0 1

⎧ − ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

olup normal alt

grup olduğu açıktır. Derecesi 4 olan alt gruplarlının indeksi 2 dir. İndeksi 2 olan alt

gruplar normaldir (Bu ifade daha sonra ispatlanacaktır.). Böylece G nin tüm alt

grupları normaldir. Fakat G değişmeli değildir.

Normal alt gruba örnek olarak G grubunun merkezi

( ){ }( ) :Z G a G x G ax xa= ∈ ∀ ∈ =

yi verebiliriz. Eğer φ :G →H grup homomorfizması ise Ker Gφ dir.

Teorem 2.5.3. N, G grubunun altgrubu olsun. Bu durumda aşağıdakiler birbirine

denktir.

(i) N G

(ii) Her x∈G için xNx-1=N dir.

(iii) Her x∈G için xN=Nx dir.

(iv) Her x,y∈G için (xN)(yN)=xyN dir.

İspat: (i)⇒ (ii) N G olduğunu kabul edelim. x∈G alalım. Normal alt grup

tanımından 1xNx N− ⊆ dir. 1x G− ∈ olup 1x Nx N− ⊆ dir. Böylece

1 1 1( )N x x Nx x xNx− − −= ⊆


27

dir. O halde N = xNx-1 dir.

( ) ( ) ii iii⇒ N = xNx-1 olduğunu kabul edelim.

1 1( )Nx xNx x xNx x xNe xN− −= = = =

dir.

( ) ( )iii iv⇒ Nx xN= olduğunu kabul edelim.

( )( ) ( ) ( ) ( )xN yN x Ny N x yN N xy NN= = =

olur. N çarpma altında kapalı olup NN N⊆ dir. Diğer taraftan, N eN NN= ⊆

olup NN=N olur. Böylece (xN)(yN)=(xy)N dir.

( ) ( ) iv i⇒ (xN)(yN)=(xy)N olduğunu kabul edelim.

1 1 1 1xNx xNx e xNx N xx N eN N− − − −= ⊂ = = =

olup N G dir. ¥

N, G nin normal altgrubu olsun. Yukarıdaki teorem G de N nin herhangi sol

kosetinin bir sağ koset olduğunu ve tersinin de doğru olduğunu göstermektedir.

Dolayısıyla, N nin normal alt grup olması durumunda sol ve sağ kosetlerini

ayırmamıza gerek yoktur. Bu yüzden N nin tüm kosetlerini sağ kosetler olarak

yazacağız ve N nin G deki tüm kosetleri kümesini G/N ile göstereceğiz .

Teorem 2.5.4. N G grubunun normal altgrubu olsun. Bu durumda, G/N çarpıma

işlemi ile bir gruptur. : Gφ →G/N, ( )x xNφ = olarak tanımlanan dönüşüm örten bir

homomorfizmdir ve Kerφ =N dir.

İspat: Yukarıdaki teoremden her x,y∈G için (xN)(yN)=xyN dir. Dolayısıyla, G/N

çarpım altında kapalıdır. eN=N koseti, G/N deki çarpım için birim elemandır.


28

Herhangi bir x∈G elemanı için (xN)(x-1N)=(xx-1)N=eN dir. Böylece G/N bir gruptur.

φ nin örten olduğu açıktır. Ayrıca

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xy xy N xN yN x yφ φ φ= = =

olup φ bir homomorfizmadır. Dahada ötesi

xN eN x N= ⇔ ∈

dir. Böylece Kerφ ={ x G∈ : ( )x eNφ = }=N dir. ¥

Tanım 2.5.5. N, G nin normal altgrubu olsun. G/N grubu G nin N tarafından bölüm

grubu olarak adlandırılır. :Gφ →G/N, ( )x xNφ = olarak tanımlanan G den G/N ye

örten homomorfizmasına da doğal (veya kanonik) homomorfizm denir.

Tanım 2.5.6. G bir grup ve S, G nin boş olmayan altkümesi olsun. S in G deki

normalleyeni

( )N S = { x G∈ : 1xSx− =S}

kümesidir. Çoğu zaman hangi grupta S nin normalleyeni olduğunu belirtmek için

( )GN S olarak da yazılır. Tek elemanlı {a} kümesinin normalleyeni kısaca N(a)

olarak yazılır.

Teorem 2.5.7. G bir grup olsun. G nin boş olmayan S altkümesi için N(S), G nin

altgrubudur. Ayrıca, G nin herhangi bir altgrubu H için,

(i) N(H), H yi normal olarak içeren, G nin en büyük alt grubudur.

(ii) K, N(H) in altgrubu ise H da KH ın normal altgrubudur.

İspat: Açıkça e∈N(S) dir. Eğer x,y∈N(S) ise bu durumda


29

1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )x y S x y x ySy x x Sx x xSx x S− − − − − − − −= = = =

olup x 1y− ∈N(S) dir. Böylece N(S), G nin altgrubudur. H, G nin altgrubu olsun. Bu

durumda her h ∈H için, hHh-1=H dir. H alt kümedir ve N(H) in altgrubudur.

Ayrıca, tanımla, her x∈N(H) için 1xHx H− = dir. Böylece ( )H N H dir. K, G nin

H K olacak şekildeki herhangi bir altgrubu olsun. Bu durumda her k∈K için

kH 1k − =H dır. Bu yüzden K⊆N(H) dır. N(H), H yi normal olarak içeren, G nin en

büyük alt grubudur.

K, N(H) nin altgrubu olsun. Bu durumda her k∈K için, kH 1k − =H dir. Dolayısıyla

kH=Hk dır. Böylece KH=HK dır. KH=HK olduğundan KH, N(H) nin altgrubudur ve

H⊆KH dir. O halde H KH dır. ¥

Tanım 2.5.8. G bir grup olsun. Herhangi a,b∈G elemanları için, ab 1 1a b− − ifadesi G

deki komütatör olarak adlandırılır. G deki tüm komütatörler kümesi tarafından

üretilen altgrubuna G nin komütatör altgrubu (veya G den türemiş grup) olarak

adlandırılır ve G' ile gösterilir.

Teorem 2.5.9. G bir grup ve G' de G den türemiş grup olsun. Bu durumda

(i) G G′ dir.

(ii) G/G' değişmelidir.

(iii) Eğer H G olsun. G/H değişmelidir⇔ G'⊆H dir.

İspat: (i) x=ab 1 1a b− − , G deki herhangi bir komütatör olsun. Bu durumda x-1=bab-1a-1

de komütatördür. Üstelik, G deki herhangi bir g elemanı için,

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

( )( )( )( )( )( )( ) ( ) G'

gxg gag gbg ga g gb ggag gbg gag gbg

− − − − − − −

− − − − − −

=

= ∈

dür. G' deki herhangi bir y elemanı komütatörlerin sonlu sayıda çarpımıdır,


30

y=x1x2…xn diyelim, burada x1x2…xn komütatörlerdir. Bu durumda herhangi bir g∈G

elemanı için,

1 1 1 1

1 2( )( ) ( ) 'ngyg gx g gx g gx g G− − − −= ∈

dir. Dolayısıyla G', G nin normal altgrubudur.

(ii) a,b∈G için,

1 1 1 1( ')( ')( ') ( ') ( ) ' 'aG bG aG bG aba b G G− − − −= =

dür. Dolayısıyla ( ')( ') ( ')( ')aG bG bG aG= dür. Böylece G/G' değişmelidir.

(iii) G/H nın değişmeli olduğunu varsayalım. Bu durumda her a,b∈G için

1 1 1 1

1 1

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

aba b H aH bH aH bHaH aH bH bH H

− − − −

− −

=

= =

dir. Böylece ab 1 1a b− − ∈H olup G'⊆H dır. Terside benzer şekilde gösterilir. ¥

Örnek 2.5.10. Eğer A≤G ve B G ise A∩B A ve AB≤G olduğunu gösterelim.

Açıkça A∩B≤A dır. a∈A ve x∈A∩B olsun. Bu durumda B G olduğundan

axa-1∈B dir. Ayrıca axa-1∈A dır. Böylece

1, ,a A x A B axa A B A B A−∀ ∈ ∀ ∈ ∩ ∈ ∩ ⇒ ∩

dır. a,a1∈A ve b,b1∈B olsun. Bu durumda B normal altgrup olduğundan 1 1

1 1a B Ba− −= olup ( )1 1 11 1 1 2bb a a b− − −= olacak şekilde bir 2b B∈ olacağından

ab(a1b1)-1=ab 1 1 11 1 1 2b a aa b− − −= ∈AB


31

dir. AB≤G dir.

Örnek 2.5.11. i=1,2....,k için iH G , ise H1H2...Hk≤G olduğu k üzerinden tüme

varımla gösterilir.

Örnek 2.5.12. Eğer G bir grup ve H da G de indeksi 2 olan bir altgrup ise H nin G

nin normal altgrubu olduğunu gösterelim. Eğer a ∉ H ise, H nın G de indeksi 2 olup

bu durumda G=H∪ aH ve aH∩H=Ø dir. Ayrıca ,G H Ha Ha H= ∪ ∩ =Ø dir.

Böylece, aH=Ha, a ∉ H dir. içina H∀ ∈ aH=Ha dir. Dolayısıyla ∀g∈G için

gH=Hg olup H, G nin normal altgrubudur.

Örnek 2.5.13. Eğer N ve M, N∩M={e}olacak şekilde G nin normal altgrupları ise

∀n∈N, ∀m∈M için mn=nm olduğunu gösterelim. Eğer n∈N, m∈M ise, bu

durumda

1 1 1 1

1 1 1 1

( )( )

n m nm n m n m MM Mn m nm n m nm NN N

− − − −

− − − −

= ∈ =

= ∈ =

dir. Böylece { }1 1n m nm N M e− − ∈ ∩ = olur. Dolayısıyla nm=mn dir.

Örnek 2.5.14. K T G olmak üzere K ve T altgrubuna sahip fakat K nın normal

altgrubu olmadığı G grubuna örnek verelim. G=D4 grubu olsun. { }2 2, , ,T e σ τ σ τ=

ve { },K e τ= olarak seçelim. T ve K kümeleri G nin altgruplarıdır. T G dir.

Benzer şekilde : 2T K = olup K T dir. σ∈G ve τ∈K seçersek, bu durumda σ-1τσ

∉K olup K, G de normal altgrup değildir.

Örnek 2.5.15. G sonlu bir grup, N de G nin (|N|,|G/N|)=1 olacak şekilde bir alt grubu

olsun. Bu durumda N derecesi |N| olan G grubunun tek altgrubu olduğunu


32

gösterelim. K derecesi |N| olan G nin başka bir altgrubu olsun. Bu durumda

KN/N<G/N dir. Böylece

KN KKNN N K N

= =∩

dir. Lagrange teoremi nedeniyle |K|/|K∩N|, |G/N| yi böler. Fakat |K|= N| ve N|,

|G/N|)=1 olduğundan |K|/|K∩N|=1 dir. Dolayısıyla K=K∩N olup K=N dir.

Örnek 2.5.16. G bir grup, Z(G) de G nin merkezi olsun. G/Z(G) devirli ise G nin

değişmeli olduğunu gösterelim. x∈G için G/Z(G) grubu xZ(G) tarafından

doğuruluyor olsun. a,b∈G alalım. Bu durumda aZ(G)∈G/Z(G) olup bir m tamsayısı

için, xmZ(G) formundadır. Yani

aZ(G)=xmZ(G)

Böylece y∈Z(G) için a=xmy dir . Aynı şekilde z∈Z(G) ve bir n tamsayısı için b=xnz

dir. Böylece y∈Z(G) olduğundan

( )( )m n m n m n m nab x y x z x yx z x x yz x yz+= = = =

dir. O halde z∈Z(G) olduğundan

( )( )n m n m m nba x z x y x zx y x yz+= = =

dir. Dolayısıyla , içina b G ab ba∀ ∈ = dir.


33

2.6. İzomorfizm Teoremleri

Bu bölümde grup homomorfizması üzerinde İzomorfizm Teoremleri olarak

bilinen bazı önemli teoremleri ispatlayacağız. Daha önce G grubunun her G/N bölüm

grubunun G nin bir homomorfik imajı olduğunu gördük. İlk İzomorfizm Teoremi

(Temel Homomorfizm Teoremi olarakta bilinir) bunun tersini ispatlar; yani, G nin her

homomorfik imajı G nin bir bölüm grubuna izomorfik olduğunu gösterir.

Teorem2.6.1.(Birinci izomorfizm teoremi). :G Gφ ′→ bir grup homomorfizması

olsun. Bu durumda / ImG Kerφ φ dir. Ayrıca φ örten ise /G Ker Gφ ′ dir.

İspat: K Kerφ= olmak üzere ( ) ( ): / Im , G K xK xψ φ ψ φ→ = olarak tanımlanan

ψ dönüşümünü düşünelim. Her x,y∈G için

( ) ( ) ( )1 1xK yK y x K y x e x yφ φ φ− − ′= ⇔ ∈ ⇔ = ⇔ =

olup ψ iyi tanımlı ve birebirdir. Ayrıca,

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

xK yK xyK xy x y

xK yK x y

ψ ψ φ φ φ

ψ ψ φ φ

= = =

=

olup ψ homomorfizmdir. Açıkça ψ örtendir. Böylece /G Ker Gφ ′ dir. ¥

Sonuç 2.6.2. Her :φ G→G' grup homomorfizması, : /G G Kerη φ→ doğal

homomorfizm : / ImG Kerψ φ φ→ yukarıdaki teoremde bahsedilen izomorfizm ve

: Imj Gφ ′→ içerme dönüşümü olmak üzere

jφ ψη=


34

olarak çarpanlarına ayrılabilir.

olup ispat açıktır.

Teorem 2.6.3. (İkinci İzomorfizm Teoremi). H ve N, G nin altgrupları ve N G

olsun . Bu durumda / /H H N HN N∩ dir.

Aşağıda bulunan kapsama diagramı teoremin göz önünde canlandırılmasında

yardımcıdır. Bundan dolayı, teorem "Elmas izomorfizm teoremi" olarakta bilinir.

İspat: N G olup HN=NH G nin alt grubu ve N HN dir. Her h∈H için

( ): / ,H HN N h hNφ φ→ = olarak tanımlanan dönüşümü göz önünde

bulunduralım. Aslında φ , : /G G Nρ → doğal homomorfizminin kısıtlamasıdır.

Dolayısıyla Ker H Nφ = ∩ dir. Üstelik φ örtendir. Böylece birinci izomorfizm

teoreminden / /H H N HN N∩ dir. ¥

Teorem 2.6.4.(Üçüncü İzomorfizm Teoremi) H ve K, G nin normal altgrupları ve

K H⊆ olsun. Bu durumda

( ) ( )/ / / /G K H K G H

G ′G

/G Kerφ Imφ

φ

ψ

jη

G

HN

G N

H∩ N


35

dir.

İspat: : / /G K G Hφ → , ( )xK xHφ = olarak tanımlanan dönüşümünü göz önünde

bulunduralım.

1 1xK yK x y K x y H xH yH− −= ⇒ ∈ ⇒ ∈ ⇒ =

olup φ iyi tanımlıdır. Ayrıca, her x,y∈G için

( )( )( ) ( ) ( )( )xK yK xyK xyH xH yHφ φ= = =

olup φ bir homomorfizmdir. Şimdi φ ayrıca örten ve

{ } { }: : /Ker xK xH H xK x H H Kφ = = = ∈ =

olup birinci izomorfizm teoreminden ( / )( / ) /G K H K G H dir. ¥

Aşağıdaki teorem iki bölüm grubunun direk çarpımının bir bölüm grubuna

izomorfik olduğunu göstermektedir.

Teorem 2.6.5. G1 ve G2 iki grup ve 1N 1G , 2N 2G olsun. Bu durumda

1 2 1 2 1 1 2 2( ) /( ) ( / ) ( / )G G N N G N G N× × = ×

dir.


36

İspat: 1 2 1 1 2 2( , ) ( , )x x x N x Nφ = olarak tanımlanan 1 2 1 1 2 2: ( / ) ( / )G G G N G Nφ × → ×

dönüşümünü düşünelim.φ bir örten homomorfizma ve Ker 1 2N Nφ = × olup birinci

izomorfizm teoreminden 1 2 1 2 1 1 2 2( ) /( ) ( / ) ( / )G G N N G N G N× × = × dir. ¥

Eğer σ :S→T dönüşümünde X T⊆ ise 1σ − (X)={ }: ( )s S s Xσ∈ ∈

şeklindedir. 1σ − (X) kümesine X in σ altındaki ters görüntülerinin kümesi denir. 1σ −

kümesi T ten S ye yerine ( )TΡ den ( )SΡ ye dir. Bununla birlikte, eğer σ birebir ve

örten ise , bu durumda 1σ − ters fonksiyondur.

Teorem 2.6.6.(Correspondence Teoremi). φ :G→G' bir örten grup

homomorfizması ise aşağıdakiler doğrudur:

(i) H<G ⇒ ( )Hφ < 'G

(ii) 'H < 'G ⇒ 1( ')Hφ− <G

(iii)H G⇒ ( )Hφ 'G

(iv) 'H 'G ⇒ 1( ')Hφ− G

(v) H<G ⇒H= 1( ( ))Hφ φ−

(vi) ( )H Hφ→ dönüşümü Kerφ yi içeren G nin alt gruplarının ailesi ile

gönderimi G' nin altgruplarının ailesi arasında birebir bir eşlemedir. G nin

normal altgrupları G' nün normal altgruplarıyla eşlenir.

İspat: (i) a,b∈H olsun. Böylece ( )aφ , ( )bφ ∈ ( )Hφ dır. Bu durumda

( )aφ 1( ( ))bφ − = ( )aφ 1( )bφ − = 1( ) ( )ab Hφ φ− ∈

olduğundan ab-1∈H olup φ (H)<G' olur.

(ii) a,b∈ 1( ')Hφ− olsun. Bu durumda ( )aφ , ( )bφ ∈ 'H dir. Bu durumda

1( )abφ − = ( )aφ 1( ( ))bφ − ∈ 'H


37

olup 1 1( ')ab Hφ− −∈ dir. Böylece, 1( ')Hφ− <G olur.

(iii) φ (h)∈φ (H) ve g'∈G' olsun. Bu durumda, bir g ∈ G için g'=φ (g) dir. H G

olduğudan,

1 1 1( ') ( ( )) ' ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )g h g g h g g hg Hφ φ φ φ φ φ− − −= = ∈

dir. O halde φ (H) 'G dir.

(iv) h∈φ -1(H'), g∈G olsun. Bu durumda φ (h)∈H' dir. H' G' olduğunda

1 1( ) ( ( )) ( ) ( ) 'g hg g h g Hφ φ φ φ− −= ∈

dir. Böylece 1 1( ')g hg Hφ− −∈ olup φ -1(H') G dir.

(v) 1( ( ))H Hφ φ−⊂ olduğu açıktır. x∈φ -1(φ (H)) olsun. Ozaman

1 1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

x H x h h Hxh e xh Ker

xh H H Kerx H

φ φ φ φ

φ φ φ

φ

− −

−

∈ ⇒ = ∃ ∈

⇒ = ⇒ ∈

⇒ ∈ ⊃⇒ ∈

olur. Böylece, H=φ -1(φ (H)) dir.

(vi) H'<G' olsun. Bu durumda (ii) den φ -1(H'), Kerφ yi içeren G nin altgrubudur,

böylece (iii) den φ (φ -1(H'))=H' dir. ( )H Hφ→ dönüşümü örtendir. φ (H1)=φ (H2)

olsun. Burada H1, H2 , Kerφ yi içeren G nin altgrubudur. Bu durumda

φ -1(φ (H 1 ))=φ -1(φ (H 2 )) dir. Böylece (iii) den H1=H2 dir. (iv) ün son parçası (ii) ile

takip eder.

Dikkat edilecek olursa eğer φ : G →G' herhangi bir homomorfizm ise, bu durumda,

teoremde G' yerine Imφ ile yer değiştirilirse teorem yine doğrudur. ¥


38

Sonuç 2.6.7. N, G nin normal altgrubu olsun. G/N nin verilen her H' altgrubu için,

H'=H/N olacak şekilde G nin bir tek H altgrubu vardır. Ayrıca H G ⇔ H/N G/N

dir.

İspat. φ : G→ G/N, ( )x xNφ = olarak tanımlanan doğal homomorfizmi düşünelim.

Yukarıdaki teoremden H'=φ (H)=H/N olacak şekilde G nin N yi içeren kapsayan tek

altgrubu vardır.

Tanım 2.6.8. G bir grup olsun. Eğer

(i) N≠G

(ii) H G ve H⊃ N⇒H=N veya H=G ise,

G nin N normal altgrubuna maximal normal altgrup denir.

Tanım2.6.9. Eğer G normal öz altgruplara sahip değilse, yani , G nin {e} ve G

dışında normal altgrupları yoksa G grubuna basit grup denir.

Sonuç 2.6.10. N, G nin normal öz altgrubu olsun. Bu durumda, G/N basit olması için

gerek ve yeter koşul N, G nin maksimal normal altgrubu olmasıdır.

Sonuç 2.6.11. H ve K, G nin ayrık maksimal normal altgrupları olsun. Bu durumda

H∩K da hem H nin hemde K nın maximal normal altgrubudur.

İspat: İkinci izomorfizm teoremi nedeniyle / /H H K HK K∩ dir. Böylece

K HK G dir. K maksimal olduğundan, HK=K veya HK=G dir. Fakat, H ve K nin

her ikisi maksimal ve ayrık olduğundan, HK=K⇒H⊆K çelişkisi elde edilir.

Dolayısıyla, H=G dir. Böylece / /H H K G K∩ dir. Yukarıdaki sonuçtan dolayı

H∩K, H ın ve K nın maximal normal altgrubudur.

Örnek 2.6.12. G grup olsun öyle ki sabit bir n>1 tam sayıları ve her a,b∈G için,

( )n n nab a b= olsun. { }: nnG a G a e= ∈ = ve { }:n nG a a G= ∈ olsun. Bu durumda


39

G n G ,G n G ve G/G n G n

olduğunu gösterelim. a,b∈Gn ve x∈G olsun. Bu durumda ( ) ( ) 11 n n nab a b e−− = =

olup 1nab G− ∈ dir. Aynı zamanda, 1 1 1( ) olup n n

nxax xa x e xax G− − −= = ∈ dir.

Böylece G n G dir. Aynı şekilde G n G dir. f:G→Gn dönüşümünü ( ) nf a a=

olarak tanımlayalım. ,a b∈G için, f(ab)=(ab)n= n na b olup f homomorfizmdir.

Kerf={a:an=e}=Gn dir. Birinci izomorfizm teoremi nedeniyle G/G n G n dir.

Örnek 2.6.13. G sonlu bir grup ve T de x=e ⇔ T(x)=x özelliğine sahip G nin bir

otomorfizmi olsun. Bu durumda her g∈G elemanının bir x∈G için g=x-1T(x)

şeklinde ifade edilebileceğini gösterelim. Öncelikle x=y ⇔ x-1T(x)=y-1T(y) olduğunu

gösterelim.

1 -1 -1 -1 -1 -1

-1

( ) y T(y) (yx )=T(y)(T(x)) yx (yx ) yxx T x T

e y x

− = ⇔ ⇔ =

⇔ = ⇔ =

dir. Böylece { }1 ( ) :G x T x x G−= ∈ dir.

Örnek 2.6.14. Yukarıdaki örnekte 2T I= ise G nin abelyen olduğunu gösterelim.

x∈G olsun. Bu durumda

1 2 1 1 2 1

1 1

( ( )) ( ( ( ))) ( ( ) ( )) ( ( ) )(( ( ( )) )

x T x T x T x T T x T x T T x xT x T x

− − − −

− −

= = =

=

dir. Bu yüzden her g∈G için T(g-1)=g dir. Eğer ,a b∈G ise T((ab)-1)= ab dir. Diğer

taraftan

1 1 1 1 1(( ) ) ( ) ( ) ( )T ab T b a T b T a ba− − − − −= = =


40

olup ab ba= dır.

Örnek 2.6.15. Derecesi 6 olan abelyen olmayan bir G grubunun S3 e izomorfik

olduğunu gösterelim. Eğer her elemanının derecesi 2 ise bu durumda G abelyendir. O

halde G nin en az bir tane derecesi 3 olan a elemanı olmalıdır. { }2, ,b e a a∉ olcak

şekilde b∈G olsun. Bu durumda, e,a,a2,b,ab,a2b elemanlarının tümünün ayrık

elemanlar olup bu elemanlar tüm G grubunu oluşturur. b2≠a veya a2 olmalıdır. b2≠a

ise b6=e dir. Bu durumda b nin derecesi 2,3,6 olmalıdır. Öte yandan b nin derecesi 2

ise a=e b2=a ise ab=e çelişkisi elde edilir. b nin derecesi 6 olsa G devirli grup olup G

nin abelyen olmayışı ile çelişir. Böylece b2≠a dır. Aynı şekilde b2≠a2 dir. Üstelik

b2=b, ab, veya a2b olsa b=e,a, veya a2 olup { }2, ,b e a a∉ ile çelişir. O halde b2∈G

için tek ihtimal b2=e dir. Ayrıca, a tarafından üretilmiş a ={e,a,a2} altgrubu indeksi

2 olup normal alt gruptur..Böylece bab-1=e, a, veya a2 dir. Fakat bab-1=e ise a=e

olup bu imkansızdır. bab-1=a ve G nin değişmeli olup bu imkansızdır. Böylece,

bab-1=a2 dir. Dolayısıyla G, a ve b tarafından doğurulan

a3=e=b2, bab-1=a2

ilişkilerini sağlayan grutur. Diğer taraftan, S3 de a' ve b' tarafından doğurulan

3 2 1 2' ' ' , ' ' ' 'a e b b a b a−= = =

ilişkileri ile tanımlanan gruptur. Bu durumda,

2 2 2 2' , ' , ' , ' , ' ' , ' 'e e a a a a b b ab a b a b a b→ → → → → →

şeklinde tanımlanan dönüşüm G den S3 e bir izomorfizmdir.


41

2.7.Otomorfizmler

Bir G grubunun otomorfizmasının G den G ye izomorfizm olduğunu

anımsayalım. G nin tüm otomorfizmlerinin kümesi, Aut(G) ile gösterilir. Her g∈G

elemanı için 1x gxg −→ ile verilen Ig nin G nin bir otomorfizmini belirlediğini

hatırlayacak olursak bu otomorfizme G nin iç otomorfizmi denir. Ayrıca G nin tüm

iç otomorfizmlerinin kümesi In(G) ile gösterilir.

Teorem 2.7.1. G nin tüm otomorfizmaları kümesi Aut(G), dönüşümlerin bileşkesi

işlemi ile bir grup olup In(G) Aut(G) dir. Ayrıca , G/Z(G) In(G) dir

İspat: Aut(G) nin boş olmadığı açıktır. σ,τ∈Aut(G) olsun. Bu durumda, x,y∈G için

( ) (( ( ) ( )) ( ( ))( ( ))xy x y x yστ σ τ τ στ στ= =

dır. O halde στ∈ Aut(G) dır.

1 1 1 1( ( ) ( ))) ( ) ( )x y x y xyσ σ σ σσ σσ− − − −= =

dir. Ayrıca 1( )xσ − 1( )yσ − = 1( )xyσ − dir. Böylece 1σ − ∈ Aut(G) dir. Bu bize Aut(G)

nin SG simetrik grubunun altgrubu olduğunu ve Aut(G) nin grup olduğunu gösterir.

( ) aa Iφ = olarak tanımlanan : ( )G Aut Gφ → dönüşümünü düşünelim. Herhangi bir

x∈G ve her a,b∈G için

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )ab a bI x abx ab a bxb a I I x− − −= = =

dir. Dolayısıyla,φ homomorfizmadır ve In(G)=Imφ , Aut(G) nin altgrubudur. Ayrıca,

Ia nın birim otomorfizm olması için gerek ve yeter koşul her x∈G için axa-1=x

olmasıdır. Böylece Kerφ =Z(G) ve homomorfizmaların temel teoremi nedeniyle,


42

G/Z(G) In(G)

dir. Her σ∈ Aut(G) için

1 1 1 1

( )( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )a aI x a x a a x a I xσσ σ σ σ σ σ− − − −= = =

olup 1aIσ σ − = ( )aIσ ∈ In(G) dir. O halde In(G) Aut(G) dir. ¥

O halde G grubunun merkezi Z(G) aşikar ise G In(G) dir. Eğer Z(G)={e}

ve G’nin her otomorfizmi bir iç otomorfizmi ise yani, G In(G)=Aut(G) ise, G

grubuna tamdır denir.

G grubunun bir σ otomorfizmi için, her x∈G ve σ(x) in derecelerinin aynı

olduğu unutulmamalıdır.

Örnek 2.7.2. S3 simetrik grubunun merkezi Z(S3)={e} olduğunu gösterelim. Bu

yüzden 3 3( )In S S dir. Şimdi, S3 ün tüm otomorfizmlerini dikkate alalım.

3 2 2,a e b ba a b= = =

bağıntıları ile birlikte { }2 23 , , , , ,S e a a b ab a b= olduğunu gördük. a ve a2

elemanlarının derecesi 3 ve b,ab, ve a2b elemanlarının derecesi 2 idi. Dolayısıyla,

herhangi bir σ∈Aut(S3) otomorfizmi σ(a)=a veya a2, σ(b)=b, ab veya a2b dir. σ(a)

ve σ(b) sabit olduğunda, σ(x) her x∈S3 biliniyordur. Dolayısıyla, σ tamamen

tanımlıdır. Böylece, S3 ün altıdan fazla otomorfizması olmayacaktır.

Dolayısıyla, 3 3 3( ) ( )Aut S In S S= dir. Bu yüzden S3 bir tam gruptur.

Örnek 2.7.3. G, derecesi n olan abelyen grup ve m de n ile aralarında asal olan bir

pozitif tamsayı olsun. Bu durumda ( ) mx xσ = dönüşümünün G nin bir otomorfizmi

olduğunu gösterelim. ( , ) 1 1m n mu nv= ⇒ + = olacak şekilde ,u v∈ vardır. O halde

G, derecesi n olduğundan


43

, mu vn mu vn umx G x x x x x+∀ ∈ = = =

dir. Zira o(G') = n dir. , ( )u mx G x x∀ ∈ = olup σ örtendir. xm=e ise mux e x e= ⇒ =

olup σ birebirdir. σ nin homomorfizma olup σ , G nin bir otomorfizmasıdır.

Örnek 2.7.4. Bir x∈G için, 2x e≠ koşulunu sağlayan ikiden fazla elemana sahip bir

G sonlu grubunun trivial olmayan bir otomorfizminin olduğunu gösterelim. G

değişmeli ise ( ) 1x xσ −= bir trivial olmayan otomorfizmdir. G değişmeli değil ise

trivial olmayan bir iç otomorfizmi vardır.

Örnek 2.7.5. G= a , derecesi n olan sonlu devirli bir grup olsun. ( ) ma aσ = nın bir

otomorfizm olması için gerek ve yeter koşulun (m,n)=1 olması gerektiğini

gösterelim. Eğer (m,n)=1 ise, bu durumda Örnek 2.7.3 de görüldüğü gibi σ

otomorfizmdir. Tersine σ nin otomorfizma olduğunu varsayalım. Bu durumda

( ) ma aσ = ve a nın dereceleri aynı yani n dir. Eğer (m,n)=d ise, bu durumda

( ) ( )n m

m nd da a e= =

dir. Böylece, am nin derecesi n/d yi böler; yani, n|(n/d) dir. O halde d= 1 dir.

Örnek 2.7.6. Eğer G derecesi n olan sonlu devirli grup ise Aut(G) nin derecesi

olduğunu gösterelim. Burada φ , Euler fonksiyonudur. G= a ve σ∈Aut(G) olsun.

σ(σi)=(σ(a))i olduğundan eğer biz σ(a) yı biliyorsak σ yi tamamen biliyoruz demektir.

σ(a)=am, m≤n olsun. Bu durumda yukarıdaki örnekten (m,n)=1 olmalıdır. Bu m lerin

sayısı tam olarak Aut(G) nin derecesi olup φ (n) dir.

3. GRUP AKSİYONLARI Hakan ÖZTÜRK

44

3. GRUP AKSİYONLARI

Bu bölümde öncelikle herhangi bir küme üzerindeki grup aksiyonu ve

özellikleri incelenip daha sonra grup üzerinde grup aksiyonu kavramı tanıtılacaktır.

3.1. Küme Üzerinde Grup Aksiyonu

Tanım 3.1.1. G herhangi bir grup ve X de boş olmayan bir küme olsun. Eğer G nin

her g elemanı ve her x X∈ elemanı aşağıdaki koşulları sağlayacak şekilde bir tek

xg X∈ ile eşleniyorsa G nin X üzerindeki aksiyonu denir.

1. Her x X∈ ve 1 2,g g G∈ için 1 2 1 2( ) ( )xg g x g g= dir.

2. Her x X∈ için 1x x= dir.

Yani ( , )x g xgϕ = olmak üzere yukarıdaki (1) ve (2) koşulunu sağlayan bir

: X G Xϕ × → dönüşümü varsa bu dönüşüme X üzerine G nin aksiyonu denir. Bu

koşullar altında açıkca G nin X üzerindeki sağ aksiyonu tanımlanmıştır. Benzer

şekilde G nin sol aksiyonuda tanımlanır. Biz bu bölümde vereceğimiz kavramlarda

sağ aksiyonu kullanacağız.

Örnek 3.1.2. X boştan farklı bir küme, X∑ de X üzerindeki simetrik grup ve G de

X∑ in alt grubu olsun. Bu durumda G, X üzerinde aksiyondur. Burada g G∀ ∈

elemanı aslında :g X X→ bir permütasyondur. Bileşke işleminden

1 2 1 2( ) ( )xg g x g g= koşulu sağlanır. 1 in X∑ in birim elemanı oluşundan 1x x=

koşulu sağlanır. Bu aksiyona X üzerinde G nin doğal aksiyonu denir.

Örnek 3.1.3. V, bir F cismi üzerinde sıfırdan farklı bir vektör uzayı olsun. Bu

durumda bilinen vektör uzayı notasyonları ile her a F∈ ve v V∈ elemanlarını bir

av V∈ ile eşleyebiliriz. Bu eşleme, çarpımsal grup F nin V üzerindeki sol

aksiyonudur. Her 1 2,a a F∈ ve v V∈ için vektör uzayı aksiyomlarından


45

1 2 1 2( ) ( )a a v a a v=

1v v=

dir.

Toplamsal grup F, V üzerinde bir sol aksiyon olamaz. Eğer olsa

1 2 1 2( ) ( )a a v a a v= + ve 0v v= olurdu. Bu eşitliklerin doğru olması ya 0v = veya

1 1a ≠ ve 12 1 1( 1)a a a −= − olması ile mümkündür.

Şimdi bir X kümesi üzerindeki grup aksiyonu ve X üzerindeki simetrik grup

arasındaki ilişkiyi oluşturalım. Bununla ilgili teoremleri vermeden önce bundan

sonra aksiyon denince daima sağ aksiyon alacağımızı belirtmemizde fayda vardır.

Teorem 3.1.4. G nin X üzerinde aksiyonu olsun. Bu durumda her g G∈ için bir

gρ dönüşümü : , ( )g gX X x xgρ ρ→ = şeklinde tanımlanır ve gρ , X üzerinde bir

permütasyondur. Dahada ötesi : XGρ →∑ ( ) ggρ ρ= şeklinde tanımlanan dönüşüm

bir homomorfizmadır ve bu dönüşüme G nin grup aksiyonuna göre permütasyon

temsili denir.

İspat: g G∈ alalım. gρ nin tanımından ( )g x xg Xρ = ∈ olup X den X e bir

dönüşümdür. 1 2,g g G∈ ve x X∈ için grup aksiyonu olmanın (1) nolu koşulundan

1 2 1 2 1 21 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )g g g g g gx x g g xg g x xρ ρ ρ ρ ρ= = = =

dir. Sonuç olarak 1 2g gρ =

1 2g gρ ρ dir. Ayrıca grup aksiyonu olmanın (2) nolu

koşulundan

1 11 1 Xx x xρ ρ= = ⇒ = ∈∑

olup 1ρ birim permütasyondur. Yani,


46

1 1 1 11g g g g g gx xgg xρ ρ ρ ρ ρ ρ− − − −= = ⇒ = =

dir. Böylece gρ ler X den X e tersinir bir dönüşüm olup permütasyondur.

1 2g gρ =1 2g gρ ρ olup ρ da G den X∑ e bir homomorfizmadır. ¥

Teorem 3.1.5. σ , G den X∑ e bir homomorfizma olsun ( X ≠ ∅ ). Bu durumda

g G∀ ∈ ve x X∀ ∈ için xg xgσ= şeklinde tanımlanan eşleme G nin X üzerinde

grup aksiyonudur ve bu aksiyona göre G nin permütasyon temsili σ dur.

İspat: Aksiyon olma tanımına göre xg xgσ= nun aksiyon olup olmadığını

gösterelim. Her 1 2,g g G∈ ve x X∈ için σ nun homomorfizma olmasından dolayı,

( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )xg g xg g xg g x g g x g g x g gσ σ σ σ σ σ= = = = =

olur. σ homomorfizma olduğu için 1 1Xg XG ∑∈ → ∈∑ eşlemesi tanımlanabilir.

Buradan

1 (1 ) 1Xg gx x x xσ ∑= = =

elde edilir. Böylece xg xgσ= , G için X üzerinde bir aksiyondur.

Şimdi de σ nun permütasyon olduğunu gösterelim. Daha önce ρ nun

permütasyon temsili olduğunu göstermiştik. O halde ρ =σ olduğunu göstermemiz

yeterlidir.

gx xg xgρ σ= =

olup ggσ ρ= dir. Yani ρ =σ dir.


47

Böylece bir X kümesi üzerindeki grup aksiyonunu göz önünde

bulundurduğumuzda yalnızca X∑ in alt gruplarına değil X∑ ile aralarında

homomorfizma olan gruplarla ilgileneceğiz. ¥

Tanım 3.1.6. G nin X üzerinde aksiyonu olsun. Eğer G nin permütasyon temsili

birebir ise o zaman bu aksiyona güvenilir (faithful) denir.

Örnek 3.1.7. X∑ in bir alt grubu olan G yi ele alalım. G nin X üzerinde aksiyonunu

örnek 3.1.2 de tanımlamıştık. Burada,

X XG g G g≤ ∑ ⇒ ∈ → ∈∑

dir. Ayrıca : XGσ →∑ ve : gg gσ ρ→ = olup birebirdir. O halde bu aksiyon

güvenilirdir.

Örnek 3.1.8. Daha önce örnek 3.1.3 de verdiğimiz çarpımsal grup F nin V

üzerindeki sol aksiyonuda güvenilirdir.

Lemma 3.1.9. G nin X üzerinde aksiyonu olsun. X üzerindeki ∼ bağıntısını

aşağıdaki gibi tanımlayalım.

1 2 1 2x x x g x⇔ =∼

olacak şekilde bir g G∈ vardır. O zaman ∼ , X üzerinde bir denklik bağıntısıdır.

İspat: Denklik bağıntısının şartlarını yani yansıma, simetri ve geçişme özelliklerinin

sağlandığını gösterelim.

1. Aksiyon olma özelliğinden herhangi bir x X∈ için 1x x= olup x∼ x dir.

2. 1 2x x ⇒∼ 2 1x x∼ olduğunu gösterelim.


48

1 2 1 1 2x x x g x⇒ =∼ olacak şekilde bir g G∈ vardır. Burada her iki tarafı 1g −

ile çarparsak 1 11 2x gg x g− −= olacak şekilde 1g G− ∈ olup 1

1 2x x g −= dir. O halde

2 1x x∼ dir.

3. 1 2x x∼ ve 2 3 1 3x x x x⇒∼ ∼ olduğunu gösterelim.

1 2 1 1 2 2 3 2 2 3x x x g x ve x x x g x⇒ = ⇒ =∼ ∼ olacak şekilde 1 2,g g G∈ vardır.

Burada 1 1 2x g x= eşitliğinin her iki tarafını 2g ile çarparsak,

1 1 2 2 2 3x g g x g x= =

ve 1 2,g g G∈ olup 1 3x x∼ dür.

O halde ∼ , bir denklik bağıntısıdır. ¥

Tanım 3.1.10. G nin X üzerinde aksiyonu olsun. ∼ denklik bağıntısına göre ayrık

denklik sınıfları X in bir parçalanışını oluşturur. Bu denklik sınıflarına orbitler veya

aksiyonun geçişmeli sınıfları denir. Her x X∈ için x elemanının orbiti

{ }:xg g G X∈ ⊆

dir.

Örnek 3.1.11. G nin X üzerinde bir aksiyonu olsun. x X∈ alalım.

{ }( ) :GStab X g G xg x= ∈ =

olarak tanımlayalım. ( )GStab X kümesi G nin alt grubudur. Bu kümeye x in

sabitleyen kümesi (stabilizer) denir. Literatürde bu alt grup çoğu zaman xG ile de

gösterilir.


49

Öncelikle ( )GStab X in G nin alt grubu olduğunu gösterelim. 1 ( )GStab X∈ olup

( )GStab X ≠ ∅ dir. 1 2,g g ∈ ( )GStab X olsun. 1 2xg x xg= = olup,

1 1 1

1 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 1x g g xg g xg g x x− − −= = = =

dir. O halde 11 2g g − ∈ ( )GStab X dir. Böylece ( )GStab X G≤ dir.

Sonuç 3.1.12. G nin X üzerinde aksiyonu ve G nin permütasyon temsili ρ olsun. Bu

durumda x X

( )GKer Stab xρ∈

=∩ dir ( : XGρ →∑ bir homomorfizmadır).

Örnek 3.1.13. , nn ve Gσ σ+∈ ∈∑ = olsun. σ aşağıdaki gibi ayrık devirlerin

çarpımı olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.

111 12 1 1 2( , , , ) ( , , , )sn s s sna a a a a aσ =

Burada 1 2 sn n n n+ + + = dir. Ozaman G nin doğal aksiyonunun orbitleri

{ }1, 2, , n in 111 12 1 1 2( , , , ) ( , , )

sn s s sna a a a a a s tane ayrık alt kümesidir. Örneğin

n=5 ve (1,2,3)(4,5)σ = ise { }{ }1, 2,3 4,5 şeklinde iki orbit vardır.

Dikkat edilecek olursa

{ } 3(1) :1 1 (2) (3)G G GStab g G g Stab Stabσ= ∈ = = = =

olur. Dolayısıyla (1)GStab = 3σ { }31,σ= olup (1) 2GStab = dir. Benzer şekilde

(2) (3) 2G GStab Stab= = olur. Ayrıca 6G = olup buna göre (1)GStab , G nin alt

grubudur ve


50

[ ] 6: (1) 3(1) 2G

G

GG Stab

Stab= = =

dür. Buna göre [ ](1) : (1) 3Gorb G Stab= = olur. Benzer şekilde (2) (3) 3orb orb= =

dür.

Benzer yaklaşımla 4 ve 5 elemanları içinde aynı hesaplamalar yapılabilir.

Örnek 3.1.14. H G≤ olsun. H ın G deki aksiyonunu G de sağdan çarpma olarak

düşünelim. Burada her h H∈ ve g G∈ için gh G∈ eşlemesini göz önünde

bulunduralım. Bu tanımlama ile H ın G üzerinde aksiyon olma koşulları sağlanır.

Her 1 2,h h H∈ ve her g G∈ için çarmanın birleşme özelliğinden dolayı

1 2 1 2( ) ( )gh h g h h= dir. Birim eleman 1 G∈ olup 1g g= de sağlanır. Ayrıca g G∈

için

{ } { }( ) : 1HStab g h H gh g= ∈ = =

olup bu aksiyon güvenilirdir. Üstelik g nin orbiti { }:gh h H gh∈ = , g yi içeren H ın

G deki kosetidir. H ın G deki farklı sol kosetleri ayrık olup Lagrange teoreminin (sol

kosetlerin birleşimi grubu verir) bir türevini verir.

Örnek 2.1.13 te elde edilen eşitlikler genel olarak doğrudur. Orbitlerin

uzunluğu hakkında bilgi veren bu genel sonuçları aşağıdaki lemma da ifade edelim.

Lemma 3.1.15. G nin X üzerinde bir aksiyonu ve x X∈ olsun. Ozaman

[ ]( ) : ( )Gorb x G Stab x=

dir.


51

İspat: 1X ile x in orbiti ( )GH Stab x= ve Y de H ın G deki sağ kosetlerinin kümesi

olsun. Böylece { }1 :X xg g G= ∈ dir. µ yü,

1:: ( )

X Yxg Hg g G

µµ

→→ ∀ ∈

şeklinde tanımlayalım. µ nin iyi tanımlı olduğunu gösterelim. 1 2,g g ∈G olsun.

1 2xg xg= ise 1 2Hg Hg= olduğunu göstermeliyiz. 1 2xg xg= ise,

1 1 1

1 2 1 2 2 2( ) ( ) 1xg g xg g xg g x x− − −= = = =

olur. Böylece 11 2 ( )Gg g Stab x H− ∈ = dır.

1

1 2Hg g H− = ⇒ 1 2Hg Hg=

dir. Yani µ iyi tanımlıdır. Şimdiµ nin birebir olduğunu gösterelim. 1 2,g g ∈G ve

1 2Hg Hg= olsun. O zaman 1 2,g g ∈ H olup 11 2( )x g g x− = dir.

1

1 1 2 2 2 1 2(( ) )xg x g g g xg xg xg−= = ⇒ =

olup µ birebirdir. µ tanımı gereğince örtendir. O halde µ bir izomorfizma olup

1X Y= dir. ¥

Şimdi iki grup aksiyonunu inceleyelim. Bunlardan birincisi bir alt grubun sağ

kosetleri kümesi üzerinde bir grubun sağ çarpım aksiyonu ve diğeri ise alt kümeleri

üzerinde bir grubun eşlenik aksiyonudur.

Tanım 3.1.16 G nin X üzerinde aksiyonu olsun. Eğer bu aksiyon yalnız bir orbite

sahipse bu aksiyona geçişmeli (transitive) denir. Aksi halde aksiyona geçişmeli

olmayan ( intransitive) aksiyon denir.


52

Örneğin n +∈ ve { }1, 2, ,X n= olsun. Ozaman X üzerindeki n∑ in doğal

aksiyonu geçişmelidir. n∑ in (1, 2, , )n devirli alt grubunun X üzerindeki doğal

aksiyonuda geçişmelidir. X üzerinde nA in doğal aksiyonuda 3n ≥ için geçişmelidir.

3n ≥ ise i j≠ X in farklı iki noktası için ,k i j≠ olmak üzere k X∃ ∈ vardır

( ) nijk A∈ ve ( )ijk elemanı i yi j ye götürür.

Tanım 3.1.17. H G≤ ve X de H ın G deki sağ kosetlerinin kümesi olsun. Sağdan

çarpma ile G nin X üzerindeki aksiyonu g G∀ ∈ ve Hx X∀ ∈ ( )x X∈ için Hxg X∈

sağ koseti ile eşleyelim. Bu eşleme X üzerinde G nin aksiyonudur.

1. 1 2, ,x g g G∈ alalım. Burada 1 2 1 2( )Hxg g Hxg g= dir.

2. 1Hx Hx= dir.

Ayrıca bu aksiyon geçişmelidir. H ın G deki herhangi iki sağ koseti aksiyon

altında denktir. Yani

1 1

1 11 2 2 1 2 2, , ( )x x G x x G ve Hx x x Hx− −∈ ⇒ ∈ =

dir. Burada dikkat edilirse, 1g x Hx−∈ olmak üzere

{ } { }1 1( ) : :GStab Hx g G Hxg Hx g G xgx H x Hx− −= ∈ = = ∈ ∈ =

dir ve bu küme x tarafından H ın eşlenik kümesidir. Ayrıca x G∀ ∈ için

1: :G x Hx x G H− = =


53

dır. Bu aksiyona göre G nin permütasyon temsilini Hρ ile gösterirsek 1H

Gx G

Ker x Hx Hρ −

∈

= =∩ dir (H ın G deki göbeği dir. (core)) :G H < ∞ ise :G H∑ ile

X∑ i belirtiriz. Bu durumda Hρ da G nin :G H∑ a homomorfizmasıdır. Böylece

temel homomorfizma teoremide sağlanıp aşağıdaki önemli sonucada ulaşabiliriz.

Teorem 3.1.18. Eğer H, G de sonlu indeksli bir alt grup ise ozaman G

GH de

:G H∑ ye gömülebilir.

Sonuç 3.1.19. Eğer H, sonsuz bir G grubunda sonlu indeksli bir alt grup ise ozaman

K H≤ ve G K sonlu olacak şekilde G nin bir normal alt grubu K vardır.

Sonuç 3.1.20. G sonlu doğuraylı sonsuz bir grup olsun. Ozaman n +∀ ∈ için G nin

indeksi n olan sonlu sayıda alt grubu vardır.

İspat: H, G nin indeksi n olan herhangi bir alt grubu olsun.

: ( )n GG ve Ker Hα α→∑ = olacak şekilde bir alt grubu vardır. Burada

1 2, , , mG x x x= olduğunu kabul edelim ( m +∈ ).

: nGϕ →∑ herhangi bir homomorfizma olsun. ϕ , 1( ), , ( )mx xϕ ϕ i

belirlemek durumundadır. n∑ sonlu bir grup olduğundan nG →∑ e sonlu sayıda

homomorfizma vardır. Böylece G deki sonlu tane normal alt grup olup indeksi n olan

alt grupların göbeklerinden G de olanlardan sonlu tane seçilir. Dahası G nin böyle

normal alt grubu K nın sonlu tanesi indeksi n olan G nin alt grubu olup G de göbeğe

sahiptir. Böylece G K sonludur ve G de indeksi n olan sonlu tane alt grup vardır.

Sonuç 3.1.21. H, sonlu doğuraylı sonsuz bir grupta sonlu indeksli bir alt grup olsun.

K H≤ ve G K sonlu olacak şekilde G nin karakteristik alt grubu K vardır.


54

İspat: :G H n= olsun. G nin indeksi n olan sonlu tane alt grubu vardır. Bunlar

1 2, , , sH H H H= dir. Ozaman 1

s

ii

K H=

=∩ koyalım. G nin herhangi bir otomorfizmi

i jH H→ olur. Yani sH leri permute eder böylece K K→ bir otomorfizmdir. O

halde K, G nin karakteristik altgrubudur. Böylece GK sonludur (Çünkü , 'H H G≤

: , : ' : 'G H G H G H H< ∞ < ∞⇒ ∩ < ∞ dur).

Yukarıda G nin sonlu doğuraylı olması, p cismi üzerindeki bir sonsuz

boyutlu vektör uzayının toplamsal grubu göz önünde bulundurulursa atılabilir.

H G≤ , : 2G H H G= ⇒ sonucu G sonlu grup olduğu zaman genişletilebilir. ¥

Sonuç 3.1.22. G sonlu ve p de G nin en küçük asal böleni olsun. H, G nin indeksi p

olan bir alt grubu ise ozaman H G dir.

İspat: Kabul edelimki H G≤ ve :G H = p olsun. Ozaman : :G GG H p H H=

olur. : GH H >1 olduğunu kabul edelim. q da : GH H nin asal böleni olsun. q G

ve hipotezden q p≥ dir. : , !GG H p i böler böylece ( 1)!pq p p− ve ( 1)!q p − dir.

q asal olup q p< dir. Bu yüzden : 1GH H = ve GH H G= dir. ¥

Aşağıdaki tanımlamalar altında her geçişmeli aksiyon denktir.

Tanım 3.1.23. 1 2G veG nin sırasıyla 1X ve 2X üzerinde aksiyonu olsun. Eğer

1 1 1,g G x X∀ ∈ ∀ ∈ için

1 1 1 1( ) ( )( )x g x gµ µ= ∅


55

olacak şekilde 1 2: G Gϕ → izomorfizması ve 1 2: X Xµ → 1-1 örten dönüşümü

varsa bu aksiyonlara denktir denir.

Teorem 3.1.24. G nin X üzerinde aksiyonu olsun. x X∈ ve ( )GH Stab x= olsun. G

nin X üzerindeki bu aksiyonu ile sağdan çarpma ile G nin ve H ın G deki sağ

kosetleri kümesi üzerindeki aksiyonu denktir.

İspat: G nin X üzerindeki aksiyonu geçişmeli olup { }:X xg g G= ∈ dir. : X Hµ →

dönüşümünün G deki sağ kosetleri kümesi : xg Hgµ → ( )g G∈ dür. µ nin iyi

tanımlı olduğunu gösterelim. 1 2xg xg= 1 2( , )g g G∈ ise 11 2 ( )Gg g Stab x H− ∈ = olup

1 2Hg Hg= dir. Bunu tersten yaparsak 1 2Hg Hg= ise 1 2xg xg= olup µ 1-1 ve

örtendir. Her 1 2,g g G∈ için, 1 1 1(( ) ) (( ) )xg g Hgg xg gµ µ= = dir. Gruplar arasındaki

izomorfizmayı birim dönüşüm olarak alırsak bu iki aksiyon denktir. ¥

Burada H G≤ ve x G∈ ise o zaman sağdan çarpma ile G nin, H ın G deki

sağ kosetleri kümesi üzerindeki aksiyonu ile sağdan çarpma ile G nin 1x Hx− in G

deki sağ kosetleri üzerindeki aksiyonu denktir.

Tanım 3.1.25. Eğer G nin X üzerindeki bir aksiyonu geçişmeli ve

için ( ) 1Gx X Stab x∀ ∈ = ise bu aksiyona regüler aksiyon denir.

Dikkat edilirse tanımlardan dolayı regüler aksiyonlar güvenilirdir.

Örnek 3.1.26. Sağdan çarpma ile G nin X üzerindeki aksiyonundaki 1H = alınırsa

regüler aksiyon elde edilir. O zaman X G= ve G nin G üzerindeki sağdan çarpımla

aksiyonu olur. G nin permütasyon temsili 1p e sağ regüler permütasyon temsili

denir. 1p , g G∈ elemanını g ile sağdan G nin tüm elemanlarıyla çarpmasıyla oluşan

G nin permütasyonuna götüren dönüşümdür.


56

Örnek 3.1.25. Başka bir grup aksiyonunu inceleyelim. G nin G üzerindeki aksiyonu

eşleniği olsun. ,g G x G∀ ∈ ∀ ∈ için gx G∈ ile göstereceğimiz g nin x e taşınmasını 1gx g xg−= olarak tanımlarız (g tarafından x in eşleniği). Bu G nin G üzerinde

aksiyonudur. Burada,

1 2 1 21 1 1

2 1 1 2 1 2 1 21 1

( ) ( ) ( )

1 1

g g g gx g g xg g g g x g g x

x x x

− − −

−

= = =

= =

dir. x in orbiti { }1 :g xg g G− ∈ kümesidir. Bu aynı zamanda x in G deki eşlenik

sınıflarıdır ve

{ }1( ) : , ( )G GStab x g G g xg x xg gx C x−= ∈ = = =

olup x in G deki merkezleyenidir.

Permütasyon temsili daha önce tanımlandığı gibi : GGτ →∑ dönüşümüdür ve

( ) ( )GKer C x Gτ = =∩ dir. Bu aksiyon için orbit tanımını kullanarak aşağıdaki

sonuca ulaşırız.

Sonuç 3.1.26. in deki eşlenik sınıfları : ( )Gx G G C x= dir.

Sonuç 3.1.27. Eğer G sonlu bir grup ve elemanlarının k tane ayrık eşlenik sınıfı

olsun. 1, , kx x G∈ elemanlarının her biri bu farklı k tane sınıftan birinden ise o

zaman

1: ( )

k

G ii

G G C x=

= ∑

dir. k pozitif sayısına G nin sınıf sayısı denir ve k(G) ile gösterilir.


57

Teorem 3.1.28. , ise ( ) 1nn G p G+∈ = ≠ dir.

İspat: x G∈ olsun. x in eşlenik sınıfı yalnız bir eleman içerir

⇔ ( )GC x G= ⇔ ( )x G∈ dir. Eğer ( ) 1G = ise 11nkp m m= + + + olur.

Burada nim p , 1im > ve im = : ( )G iG C x dir. p asal olup im ler p nin bir kuvvetini

verir. O halde 2 km m+ + yı p böler. Ohalde np p olup 1p çelişkisi elde edilir. O

halde ( ) 1G ≠ dir. ¥

Bu sonuç genelde birden fazla asalın çarpım olarak derecesi yazılan sonlu

gruplarda doğru değildir. Örneğin 3 6∑ = olup 3( ) 1∑ = dir.

Sonuç 3.1.29. Eğer G sonlu abelyen olmayan basit grup ise G enaz iki farklı asal

tarafından bölünür.

Sonuç 3.1.30. Derecesi 2p olan her grup abelyendir.

İspat: 2G p= ve G abelyen olmasın. O zaman ( )G , G nin öz alt grubudur.

Lagrange teoreminden ( )G p= dir. Böylece ( )G pG = olup ( )

GG devirli

ise G abelyendir. ¥

Her p asalı için derecesi 3p olan abelyen olmayan bir grup vardır.

Eşleniğinin genişlemesi olan G nin ( )GΡ üzerindeki başka bir aksiyonunu

tanımlayalım. Burada ( )GΡ , G nin boştan farklı tüm alt kümelerinin kümesidir.

Sonuç 3.1.31. G nin ( )GΡ üzerindeki aksiyonunu konjuge ile tanımlarız. Her g G∈

ve her U ≠ ∅ , G nin U alt kümesi için,


58

{ }1 1 :gU g Ug g ug u U− −= = ∈

olarak tanımlanır ve g tarafından U nun eşleniği olarak adlandırılır. Bunun G nin

( )GΡ üzerinde aksiyonu olduğunu görmek kolaydır. U bir tek eleman içeriyorsa bu

aksiyon daha önceki ile aynıdır.

Her ( )U G∈Ρ için U nun orbiti U nun tüm eşleniklerinin kümesidir. Yani

{ }1 :g Ug g G− ∈

olup U nun G deki eşlenik sınıfı denir.

{ }1( ) :GStab U g G g ug U−= ∈ =

ya da U nun G deki normalleyeni denir ve ( )GN U ile gösterilir. ( )GH N U≤ ise H, U

yu normaller denir (normalize).

Sonuç 3.1.32. G nin her U ≠ ∅ alt kümesi için

nun deki eşlenik sınıfı : ( )GU G G N U=

dur. ¥

H G≤ ise ( )GN H kümesi H ı normal alt grup olarak içeren G nin en geniş

alt grubu olduğunu hatırlayalım. U herhangi bir alt küme olduğunda ( )GN U nun U

yu içermesi gerekmez. { } , ( )U x x G= ∈ ise ( ) ( ) ( )G G GN U N x C x= = dir. Benzer

şekilde ( )U G∈Ρ için G nin ( )GC U alt grubunu tanımlarız. Genellikle

( )GC U ≠ ( )GN U dur.


59

Yukarıdaki notasyonlarla G nin kendi üzerindeki eşlenik aksiyonu ve

( )U G∈Ρ ile ( )GC U UG= ve ( )GN U UG ∗= dir.

Tanım 3.1.33. ( )U G∈Ρ ve U ≠ ∅ için U nun G deki merkezleyenini,

{ }( ) : , ( )G Gu U

C U g G ug gu u U C u G∈

= ∈ = ∀ ∈ = ≤∩

olarak tanımlanır. Dikkat edilecek olursa ( ) ( )GC U G U G= ⇔ ⊆ dir. ( )GH C U≤

ise H, U yu merkezler denir.

Ayrıca ( )GC U ≤ ( )GN U her zaman doğrudur.

Lemma 3.1.34. Her H G≤ için ( ) ( )G GC H N H ve ( ) ( )G GC H N H kümeleri H ın

otomorfizmleri içine gömülebilir.

İspat: ( )GH N H≤ olduğundan her h H∈ ve ( )Gg N H∈ için gh H∈ dır. Ozaman

( )GN H ın H üzerine konjuge aksiyonu vardır. ( )GN H ın permütasyon temsili σ

olsun. Böylece her ( )Gg N H∈ için,

: , ( )gg h h h Hσ → ∀ ∈

dır. O zaman

{ }( ) : , , ( )gG GKer g N H h h hg gh h H C Hσ = ∈ = = ∀ ∈ =

dır. ( ) ( )G GC H N H≤ olup temel homomorfizm teoreminden ( ) ( )G GC H N H ve

( ) ( )G GIm N H C Hσ ≅ dır. Her ( )Gg N H∈ için gσ , H ın bir permütasyonudur.

gσ aslında H ın bir otomorfizmidir. Burada,


60

1 1 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2, ( )g g gh h H h h g h h g g h gg h g h h− − −∈ ⇒ = = =

olup böylece ( )Im Aut Hσ ≤ ve ( ) ( )G GN H C H kümesi ( )Aut H a gömülebilir.

¥

Eğer H sonlu bir grup ise o zaman ( )Aut H da sonludur. Böylece 3.2.32 den

dolayı sonsuz bir gruptaki her sonlu normal alt grup büyük bir merkezleyene sahiptir.

Sonuç 3.1.35. G sonsuz bir grup olsun. O zaman G nin herhangi bir sonlu normal alt

grubu H için ( )GG C H kümesi de sonludur. Özel olarak G trivial olmayan sonlu

bölüme sahip değilse G nin her sonlu normal alt grubu abelyendir ve ( )G nin

içindedir. ¥

+ + ve p

C ∞ hiç sonlu trivial olmayan bölümü olmayan fakat sonlu alt

gruba sahip sonsuz abelyen gruplardır.

Lemma 3.1.36. (i) Her G devirli grubu için ( )Aut G abelyendir.

(ii) G p= ise ( ) 1Aut G p= − dir.

İspat: G g= olsun. G nin her α otomorfizmi g üzerindeki etkisi ile tanımlanır.

, , , , ( , )r sAutG g g g g r sα βα β ∈ = = ∈

olsun. O zaman,

( )r sr rs sg g g g g gαβ β α βα= = = = =

dır. ,αβ βα dönüşümleri G nin otmorfizmi olup g ye etkileri aynıdır ve αβ βα=

dır. O halde ( )Aut G abelyendir.


61

G sonlu olsun. Herhangi bir r∈ için rg gα = olacak şekilde bir α

otomorfizmi vardır. Bu durumda g ve rg elemanlarının dereceleri aynıdır. ( )o g p=

ise o zaman rg için p-1 tane seçim vardır. Böylece ( ) 1Aut G p= − dir.

¥

Tanım 3.1.37. Eğer bir G grubu aşikar olmayan abelyen bölüm grubuna sahip değil

ise G ye perfect grup denir.

Sonuç 3.2.35. (i) Eğer G perfect ve K da G nin devirli normal alt grubu ise ozaman

( )K G≤ dir.

(ii) G sonlu, p de G nin en küçük asal böleni ve K da derecesi p olan

G nin normal alt grubu ise o zaman ( )K G≤ dir. ¥

3.2.Grup Üzerinde Grup Aksiyonu

Bölüm 3.1 de bir küme üzerine bir grup aksiyonu kavramından ve onun

uygulamalarından bahsettik. Bir grup başka matematiksel yapılarda da aksiyona

sahip olabilir. Buna örnek olarak vector uzayı üzerine olan grup aksiyonu verilebilir.

Üstelik bu tip aksiyonlar representation teori olarak adlandırılan oldukça önemli bir

yapıyı ortaya koyar. Biz bu bölümde bir grup üzerine grup aksiyonu fikrinden

bahsedeceğiz. Aşağıda bir grup üzerine grup aksiyonu tanımlanmakta olup daha

önceki aksiyon kavramına benzer olup ekstra bir koşul getirmektedir. Bundan sonra

H ve K bir grup olarak algılanacaktır.

Tanım 3.2.1: Eğer her h H∈ ve her k K∈ elemanı

1. 1Her için k K k k∈ =

2. ( ) 21 1 2

1 2Her ve , içinhh h hk K h h H k k∈ ∈ =


62

3. ( )1 2 1 2 1 2Her ve , için h h hh H k k K k k k k∈ ∈ =

olacak şekilde bir tek hk K∈ ile eşleniyorsa bu eşlemeye H nın K üzerine

aksiyonu denir.

hk K∈ notasyonu daha önce tanımlandığı gibi 1hk h kh−= olarak algılanmalıdır.

Örnek 3.2.2. Herhangi bir R halkası toplama işlemi ile bir abelyen grup olup bu

gruba R nin toplamsal grubu denir ve R+ ile gösterilir. Bu R halkası çarpımsal

birim elemanı 1 olan bir halka olsun. Bu durumda R nin tersi olan bir elemanına

R nin birimi (unit) denir. R nin tüm birimlerinin kümesi çarpma işlemi ile bir

grup oluşturur. Bu gruba R nin birimleri grubu denir ve R× ile gösterilir. Her

a R+∈ ve b R×∈ için

ba ab=

olarak tanımlanan eşleme R× grubunun R+ grubu üzerine aksiyonudur.

Gerçektende R bir halka olduğundan dolayı her 1 2 1 2, , ve , ,a a a R b b b R+ ×∈ ∈ için

( ) ( )( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 ,a aab b a b b

a a b a b a b

=

=

+ = +

olup aksiyon olma koşulları sağlanır.

Örnek 3.2.3. H ve K iki grup ve ( )H Aut K≤ olsun. H nın her elemanı K nın bir

otomorfizmidir. Yani her ve h H k K∈ ∈ için hk elemanı h altında k nın

görüntüsüdür. Bu tanımlanan eşleme Tanım 3.2.1. deki koşulları sağladığından,


63

H ın K üzerine aksiyonudur. Bu aksiyona H nın K üzerindeki doğal aksiyonu

denir.

Örnek 3.2.4. K G olsun.G nin eşlenik vasıtasıyla K üzerindeki aksiyonu her

h H∈ ve her k K∈ elemanı için

1gk g kg K−= ∈

olarak tanımlanır. Her 1 2 1 2, , ve , ,k k k K g g g G∈ ∈ için

1 k k=

( ) 21 1 2

gg g gk k=

( )1 2 1 2g g gk k k k=

olup aksiyon olma koşullarını sağlar.

Bir G grubunun eşlenik vasıtasıyla kendisi üzerine olan aksiyonu da benzer

şekildedir. Diğer yandan daha önce gördüğümüz G nin kendisi üzerine sağdan

çarpma ile tanımlanan aksiyonu bir küme üzerinde aksiyon olup 1G = hariç bir

grup üzerine aksiyon değildir.

Teorem 3.2.5: H nın K üzerinde aksiyonu olsun. O zaman her h H∈ için

( ): , hh K K k kϕ ϕ→ =

eşlemsi vardır ve bu eşleme K nın bir otomorfizmidir. Daha da ötesi

( ) ( ): , hH Aut K hϕ ϕ ϕ→ =

olarak tanımlanan dönüşüm bir homomorfizmdir. ϕ ye H nın K üzerindeki

aksiyona göre H nın otomorfizm temsili denir. Bazen kısaca ϕ ye aksiyon denir.


64

İspat: h H∈ olsun. H nın k üzerindeki aksiyonu aynı zamanda bir küme olarak

K üzerinde de aksiyon olduğundan h Kϕ ∈∑ olduğunu daha önce gördük. O

zaman 1 2, k k K∈ için

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2h h h

h h hk k k k k k k kϕ ϕ ϕ= = =

olup ( )h Aut Kϕ ∈ dir. ( ) hhϕ ϕ= olarak tanımlanan dönüşüm H dan ( )Aut K

ya bir homomorfizmdir. ¥

Teorem 3.2.6: ϕ , H dan ( )Aut K ya bir homomorfizm olsun. O zaman H nın K

üzerine aksiyonunu her h H∈ ve k K∈ için

( )hk k hϕ=

olarak tanımlanırsa otomorfizm temsille de gözönünde bulundurulucak aksiyon

ϕ dir.

İspat: ( ) KAut K ≤ ∑ olduğundan yukarıda tanımlanan eşitlik H nın bir küme

olarak K üzerine aksiyon tanımlar. Bu aksiyon bir grup olarak H nın K üzerine

aksiyonudur. Çünkü 1 2, ,h H k k K∈ ∈ için

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2h h hk k k k h k h k h k kϕ ϕ ϕ= = =

dir. Böylece otomorfizm temsille de gözönünde bulundurulucak aksiyon ϕ dir.

¥

4. SONLU p-GRUPLARI VE SYLOW TEOREMLERİ Hakan ÖZTÜRK

65

4. SONLU p-GRUPLARI VE SYLOW TEOREMLERİ

Bu bölümde önceki bölümlerde bahsedilen kümeler üzerine grup aksiyonları

fikrini geliştiren bazı temel uygulamalar verilecektir.

Tanım 4.1. G bir X kümesi üzerinde aksiyonu olsun. O zaman X in sabit noktalarının

alt kümesi,

( ) { }( ){ }

: Her için

:X

G

Fix G x X g G xg x

x X Stab x G

= ∈ ∈ =

= ∈ =

olarak tanımlanır. Böylece Fix ( )X G kümesi, orbit kümesi kendisi olan X in

elemanlarından oluşur. Fix ( )X G =∅ olabilir. Eğer G, X üzerindeki aksiyonu

geçişmeli aksiyon ise 1X = olmadıkça Fix ( )X G =∅ dir.

Örneğin 4G ≤ ∑ ve G nin { }1, 2,3, 4X = üzerinde doğal aksiyonunu alalım.

( )123G = için { }( ) 4XFix G = dür. Eğer ( )( )12 34G = ise ( )XFix G =∅ dir.

Lemma 4.3. G, bir sonlu X kümesi üzerinde aksiyonu olan bir sonlu p-grup olsun. O

zaman,

( ) ( )modpXFix G X≡

dir.

İspat: Aksiyonun orbitleri, k bir pozitif tam sayı olmak üzere 1,..., kX X olsun. Bu

durumda X in elemanlarını sayabiliriz.

1

k

ii

X X=

=∑


66

dir. Lemma 3.2.11 den dolayı iX sayısı G nin bir bölenidir ve p asal sayı

olduğundan iX , p nin bir kuvveti veya 1 olmalıdır.

Eğer j tane orbit tek eleman içeriyorsa 0 j k≤ ≤ olmak üzere ( )XFix G j=

olup yukarıdaki eşitlik

nin kuvetlerinin toplamıX j p= +

dir. Toplamdaki ikinci terim j k= ise sıfırdır. Böylece ,

( ) ( )modXFix G j X p= ≡

dir. ■

G nin X kümesinde aksiyonu olsun. G nin her J alt grubunun X üzerindeki

aksiyonu G nin X kümesi üzerine aksiyonunun kısıtlamasıdır. Yani her j J∈ ve her

x X∈ için G nin X üzerindeki aksiyonu vasıtasıyla xj X∈ elemanı ile eşlenir. Bu

tanımlanan eşleme J nin X üzerine aksiyonu olma koşullarını sağlar.

Her x X∈ için, ( ) ( )J GStab x Stab x J= ∩ dir. Böylece

( ) ( )X Gx Fix J J Stab x∈ ⇔ ≤

dir. Eğer verilen aksiyona karşılık gelen G nin permütasyon temsili ρ ise o zaman J

nin aksiyonuna karşılık gelen permutasyon temsili ρ /J dir. Eğer G nin aksiyonu

güvenilir (faithful) ise J nin aksiyonuda güvenilirdir. Fakat G nin aksiyonu geçişmeli

ise J nin aksiyonu geçişmeli olmayabilir.▄

Örnek 4.4. H ve J, G nin alt grubu olsun. G nin aksiyonu H ın G deki sağ

kasetlerinin X kümesi üzerinde sağ çarpımı olsun. (3. bölümde tanımlandığı gibi


67

olsun). G nin aksiyonu geçişmelidir. G nin X üzerindeki aksiyonun J ye kısıtlamasını

göz önünde bulunduralım o zaman her g G∈ için,

( ) gJStab Hg H J= ∩ ve ( ) g

XHg Fix J J H∈ ⇔ ≤

dir. J nin X üzerine aksiyonu geçişmelidir⇔ HJ=G dir. Bu aksiyon H J∩ nin J

deki sağ kosetlerinin kümesi üzerinde sağ çarpımı olan J nin aksiyonuna denktir.

Teorem 4.5. H,J ≤G olsun. :G H r= < ∞ ve p, r yi bölmeyen bir asal olmak üzere,

J nin de sonlu bir p grup olduğunu kabul edelim. O zaman

( ),gJ H g G≤ ∈

dir.

İspat: X, H nin G deki sağ kasetleri olsun. O zaman :X G H r= = dir. J nin X

üzerine aksiyonu sağ çarpımla G nin X üzerine aksiyonunun kısaltılması olsun

Yukarıdaki lemmadan dolayı

( ) ( )modXFix J r p=

dir. p, r yi bölmediğinden ( ) 0XFix J ≠ olup ( )XFix J ≠ ∅ dir. Böylece yukarıda

bahsedilen örnekten ( ),gJ H g G≤ ∈ dir. ▄

Teorem 4.6. H bir sonlu G grubunun bir p alt grubu ve p de :G H yi böldüğünü

kabul edelim. O zaman p, ( ) /GN H H yi böler.


68

İspat: X, H nin G deki sağ kosetlerinin kümesi olsun. H nin X üzerindeki aksiyonu,

sağ çarpımla G nin X üzerine aksiyonunun kısıtlanması olsun (yukarıdaki 4.5. de

bahsedildiği gibi ama J=H dir). Teorem 4.3 den dolayı,

( ) : (mod )Fix H X G H px = =

ve g G∈ olsun. gH H= olduğunda ( ) gxHg Fix H H H∈ ⇔ ≤ dir. Ayrıca,

( )( )

gx

G

Hg Fix H H H ag N H

∈ ⇔ =⇔ ∈

dir. Böylece ( ) ( )x GFix H N H H= ve

.

( ) ( ) : (mod )x G

p bölüyor

Fix H N H H G H p= =

dır. O halde p, ( )GN H H yi böler. ▄

Sonuç 4.7. G bir sonlu p grup olsun G nin her öz alt grubu G de kendi normalle

yeninin bir özalt grubudur. ▄

Bu özellik derecesi bir asalın kuvveti olan gruplara has bir özelliktir. Örneğin

3∑ grubu ( 3 6∑ = ) derecesi 2 olan alt gruba sahiptir.

Teorem 4.8. G bir grup, H bir sonlu grup, H≤G ve J de G nin p-alt grubu olsun.

Eğer H ≡1 (mod )p ise, ( ) 1GH C J∩ ≠ dir.

İspat: H≤G olduğundan eşlenikler vasıtasıyla H üzerinde G nin aksiyonu tanımlanır.

Bu aksiyonun J ye kısıtlaması da H üzerinde J aksiyonudur. Tanımdan


69

{ }{ }

( ) : ( )

: ( )

( )

JH

J

G

Fix J h H h h j J

h H h h j J

H C J

= ∈ = ∀ ∈

= ∈ = ∀ ∈

= ∩

dir. H sonlu ve J bir sonlu p grup olup 4.3 den

( ) (mod )GH C J H p∩ =

dir ve H ≡1 (mod )p olduğundan { }( ) 1GH C H∩ ≠ dir. ▄

Sonuç 4.9. G bir sonlu p grup ve 1 H G< ≤ olsun. O zaman { }( ) 1H G∩Ζ ≠ dir. ▄

Langrange teoremini hatırlayacak olursak; sonlu bir G grubunun her alt

grubunun derecesi G nin bir bölenidir. Bunun tersi genel olarak doğru değildir. G

nin her böleni n için G derecesi n olan bir H alt gruba sahip olmak zorunda değildir.

Sylow teoremi bize belirli derecelerde alt grupların varlığını ve bu alt gruplar

hakkında önemli bilgiler verir. Bu teoremi sonlu grup teoride önemli bir yer

almaktadır ve 1872 gösterilmiştir. Pek çok ispatı olmakla birlikte H.Wiealondt 1959

da grup aksiyonlarının başarılı bir uygulamasını vererek ispatlamıştır. Burada bu

ispata yer verilecektir.

Teorem 4.10.(Sylow Theorem) m negatif olmayan tamsayı ve r de pozitif bir

tamsayı olmak üzere p, r yi bölmeyecek şekilde mG p r= ile G bir sonlu grup olsun

o zaman,

1) G derecesi mp olan bir alt gruba sahiptir. Böyle bir alt gruba G nin Sylow

p - alt grubu denir.

2) Eğer H, G nin bir Sylow p-alt grubu ve J de G nin herhangi bir p-alt grubu

ise, gJ H≤ ( g G∈ ) dir. Özel olarak G nin Sylow p-alt grubunun formu G nin alt

gruplarının bir eşlenik sınıfıdır.


70

3) n, G nin farklı Sylow p-alt gruplarının sayısı olsun. O zaman

: ( ) dır.Gn G N H= Burada H, G nin bir Sylow p-alt grubu, n böler r ve

1(mod )n p≡ dir.

( ) . 1... 1!

rk

r r r kk

− − +=

olduğunu hatırlayalım.

İspat : H H kümesi G nin derecesi mU p= olan tüm U alt kümelerinin kümesi

olsun. Böyle alt kümelerinin sayısı

1 2 1H ....1 2 1

m

m

m m m m mp r

m m mp

p r p r p r p r pp p p

⎛ ⎞ − − − += =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠

dür.

Yukarıdaki çarpmada her m

m

p r Jp J

−−

teriminde mümkün tüm sadeleştirmeler yapılırsa

p, payı bölmez yani J=0 ve J>0 için, lJ p q= diyelim. Burada l pozitif tamsayı ve q

, p ile bölünmeyen bir pozitif tam sayı ve l <m olmak üzere,

qm

m m LL L

qm m Lm

L L

p r Jp r J p r qp pp J p qp J

p p

−

−

−− −

= =− −

−

dir. p, m lp r q− − yu bölmez. p asal olup p payın sadeleşmiş son halini

bölemeyeceğinden p, H yi bölmez. HU ∈ ve g∈G için, { }:gU ug u U= ∈ kümesi

mUg p= ile G nin bir alt kümesidir. Böylece Ug∈ H dır. Şimdi G nin H üzerinde

sağ çarpımı vasıtasıyla aksiyonu ifade edilir. Bu aksiyon ile H orbitlerine ayrılır. p,

H yi bölmediğinden p , 1H i bölmeyecek şekilde bir 1H orbiti vardır. V∈ 1H olsun.


71

1H , V nin orbitidir. ( )GH Stab V= ≤G olsun. 3. bölümdeki özelliklerden V nin

orbitinin derecesi, : ( )GG Stab V olup,

1H :

: m

p bölmez

G H

G H H G p r

=

= =

dir. p, :G H yi bölmediğinden mp H dır. { }1,...., mpV X X= olsun. O zaman

herhangi bir h∈H için Vh=V dir. Yani { } { }1 1,...., ,....,m mp pX X h X X= dir. Böylece

1 ix h x= olacak şekilde 1≤ i≤ pm vardır. O zaman 11 ih x x−= olup mH p≤ dir.

Ayrıca olupm m mp H ve H p H p≤ = dir. O halde H , G nin bir Sylow p-alt

grubudur.

2) H, G nin bir Sylow p-alt grubu olsun. J de G nin bir p-alt grubu olsun.

:G

G H rH

= = ve p, r yi bölmeyip teorem 4.5 den dolayı g∈G için J ≤ gH dir.

Özel olarak J, G nin bir Sylow p-alt grubu ise, gJ H H= = olduğunda J = gH

olur.

G nin bir alt grubu H nin eşlenik sınıfıdır. G nin H nin eşleniği olan her alt

grubunun derecesi H nin derecesi ile ayrılır. Bu alt grup G nin bir Sylow p-alt

grubudur. Sylow p-alt grupları tek eşlenik sınıfı formundadır. ▄

Lemma 4.11. Sonlu bir G grubunun Sylow p-alt grubu H olsun. O zaman H, ( )GN H

nin tek Sylow p-alt grubudur.

İspat: H, H yi içeren G nin her alt grubunun Sylow p-alt grubudur. Özel olarak H,

( )GN H nin bir Sylow p–alt grubudur. K, ( )GN H nin herhangi bir Sylow p-alt grubu


72

olsun. Yukarıdaki teoremde (2) den dolayı ( )Gg N H∃ ∈ öyle ki K= gH dır.

g∈ ( )GN H olup gH =H dir. Böylece H, ( )GN H nin tek Sylow p-alt grubudur. ▄

Şimdi Sylow teoreminin (3.) şıkkını ispatlayalım. ile G nin tüm Sylow p-alt

gruplarının kümesini gösterelim H∈ olsun. , H nin G deki eşlenik sınıfıdır ve

: ( )Gn G N H= = dır. O halde,

: : ( ) ( ) :G G

n

r G H G N H N H H= =

olup n, r yi böler. Eşlenik vasıtasıyla üzerinde G nin aksiyonu geçişmelidir. O

zaman bu aksiyonunu kısıtlanmasıyla H nin üzerine aksiyonu geçişmeli olması

gerekmez. ( ) ( )modFix H p= olduğunu biliyoruz. K∈ olsun. O zaman

K∈ ( )Fix H ⇔ hK K= (∀h∈H) dır. Yani K∈ ( )Fix H ⇔ H≤ ( )GN K dır.

Yukarıdaki lemmadan,

H≤ ( )GN K ⇔ H=K

dır. Böylece ( )Fix H ={H} olup, ( ) 1, 1 (mod )n

Fix H n p= ≡ dir. ▄

Couchy teoremini hatırlayalım G sonlu bir grup ve p| G ise, G nin derecesi p

olan bir elemanı vardır. Couchy teoremi Sylow p-alt gruplarının varlığını ispatlarken

kullanılabilir. Fakat Sylow teoreminin ispatı için ihtiyaç duymadık. Ayrıca şimdi

burada Sylow teoreminin Couchy teoremini çıkarabiliriz.


73

Teorem 4.12. (Couchy 1844) G bir sonlu grup ve p| G ise G nin derecesi p olan

elemanı vardır.

İspat: H, G nin bir Sylow p-alt grubu olsun. Çünkü p| G ve H≠1 dır. x≠1, x∈H

alalım. O zaman ( )xο >1 ve ( )xο | H dır. Böylece bir s pozitif tam sayısı için

( )xο = sp dir. O zaman 1spx−

∈G olup ο s-1p(x ) =p dir. ▄

Lemma 4.13. (Frattini 1885) K, G nin bir sonlu normal alt grubu ve p de K nın bir

Sylow p-alt grubu ise o zaman ( )GG N P K= dır.

İspat: g∈G olsun o zaman K≤G olduğundan g gP K K≤ = dır. Böylece gP P=

olup gP de K nın bir Sylow p-alt grubudur. Sylow teoreminden P ve gP , K nın

eşlenik alt gruplarıdır. Bu yüzden bir k∈K için; 1g k gkP P P P−= ⇒ = olup,

1 ( )kGg N P− ∈ dir. Böylece, ( )Gg N P K∈ dır. Bu her g G∈ için doğru olup,

( )GG N P K= dır. ▄

Şimdi Sylow teoreminin, belirli sayılarda derecesi o sayılar olan sonlu basit

grupların olamayacağını ispatlamakta kullanışını görelim.

Lemma 4.14. G bir sonlu abelyen olmayan basit grup ve p de G nin bir asal böleni

olsun. O zaman G nin Sylow p-alt gruplarının sayısı 1 den büyüktür.

İspat: P, G nin Sylow p-alt grubu olsun. Sonuç 3.2.27 gereğince G yi en az iki

farklı asal böler. Böylece 1<P<G dir. Eğer P, derecesi P olan G nin tek alt grubu

ise, o zaman P, G nin normal alt grubudur. Bu ise G nin basit oluşu ile çelişir. O

halde P tek olamaz. Böylece n>1 dir. ▄


74

Teorem 4.15. p ve q asallar ve q ≡ 1 (mod p) olmak üzere G pq= ise o zaman G

bir normal Sylow p-alt gruba sahiptir.

İspat: Sylow p-alt gruplarının sayısı n olsun. Sylow teoreminden n|q ve n≡1(modp)

dir. q asal olduğundan n ya 1 yada q dur. q ≡ 1 (mod p) olduğundan n=1 dir. O halde

G bir tek Sylow p-alt grubuna sahiptir. Bu Sylow p-alt grubu p ise, p≤G dir. ▄

Sonuç 4.16. p ve q farklı asallar olmak üzere G pq= ise G basit değildir.

İspat : p>q olduğunu kabul edelim. O zaman q–1, p ile bölünmez yani q ≡ 1 (modp)

olup yukarıdaki teoremlerden G, bir normal Sylow p-alt grubu P ye sahiptir. O halde

G basit değildir. ▄

V(n) derecesi n olan farklı tipteki grupların sayısını göstersin. Her p asal

sayısı için V(p)=1 olduğunu biliyoruz.

Sonuç 4.17. p ≡ 1 (modq), q ≡ 1 (modp) ve p ve q farklı asallar olmak üzere

V(pq)=1 dir. Yani derecesi pq olan grup devirlidir.

İspat: G pq= olsun yukarıdaki teorem 4.15 den dolayı G nin bir normal Sylow p-

alt grubu P ve bir normal Sylow q-alt grubu Q vardır. P ve Q nun derecesi asal olup

P ve Q devirlidir. Diyelim ki; P x ve Q y= = olsun. Lagrange teoreminden

P∩Q=1 dir. xy=yx dir. Böylece xy∈G ve ( )o xy pq= olur. G xy= olup G

devirlidir. (Hatırlatma ,H G K G olmak üzere { }1H K∩ = ise H nin ve K nın

her elemanı birbiri ile değişmelidir. ) ▄

Teorem 4.18. p ve q farklı asallar olmak üzere 2G p q= ise, o zaman ya G nin bir

normal Sylow p-alt grubu yada G nin bir normal Sylow q-alt grubu vardır. Bu

durumda G basit değildir.


75

İspat: pn ve qn sırasıyla Sylow p–alt grubu ve Sylow q–alt grubunun sayısı olsun.

Aksine pn >1 ve qn >1 olduğunu kabul edelim. Sylow teoreminden pn |q ve q asal

olup pn =q olur. Üstelik pn ≡1 (modp) olup q>p dir. Yine Sylow teoreminden qn |p2

dir. Böylece qn =p veya qn =p2 dir. G de derecesi q olan herhangi bir eleman derecesi

q olan bir alt grubu doğurur. Ayrıca bu alt grup Sylow un q-alt grubudur. Derecesi q

olan G nin farklı iki alt grubun kesişiminde birim eleman olacağından G de qn (q-1)

farklı elemanın derecesi q dur. Böylece eğer qn =p2 ise G de qn (q-1)=p2(q-1) olup

2 2 2( 1)p q p q p− − = tane derecesi q olmayan eleman vardır. G nin Sylow p-alt grubu

P de derecesi q olan eleman olamayacağından 2P p= olup p tektir. Bu ise pn >1

olması ile çelişir. Böylece qn =p dir. qn ≡1(modp)⇒p>q çelişkisi elde edilir. ▄

Teorem 4.19. G pqr= (p, q, r farklı asallar) ise o zaman G basit değildir.

İspat: Kabul edelim ki p>q>r olsun derecesi pqr olan bir basit grup G nin var

olduğunu kabul edelim pn , qn ve rn sırasıyla Sylow p, Sylow q, Sylow r-alt grupları

olsunlar. pn , qn , rn >1 olduğunu biliyoruz. Herhangi iki Sylow p-alt grubunun

derecesi p olup kesişimlerinde yalnız birim eleman 1 vardır. pn tane Sylow p-alt

grubunda pn (p-1) tane elemanın derecesi p dir. Benzer şekilde Sylow alt grubunda

qn (q-1) elemanın derecesi q ve Sylow r-alt grubunda rn (r-1) elemanın derecesi r dir.

1 ( 1) ( 1) ( 1)p q rG pqr n p n q n r= ≥ + − + − + −

Sylow teoreminden pn |qr ve pn ≡1 (mod p) dir. p>q, p>r olup pn =qr dir. Üstelik

qn |pr ve qn ≡1 (mod q) dur. qn >1 ve q>r olup qn ≥p dir. Son olarak rn >1 ve rn |pq


76

olup rn ≥q dur. Böylece pqr≥1+qr(p-1)+p(q-1)+qr–1 ise, 0≥(p-1)(q-1) olup bu

imkansızdır. ▄

Bundan sonraki lemmalar yardımıyla derecesi en fazla 100 olan abelyen

olmayan basit grubun 5A olduğunu göstereceğiz.

Lemma 4.20. n≤4 için nS (= n∑ ) abelyen olmayan basit alt gruba sahip değildir.

İspat: n=1,2,3 için bunu görmek kolaydır. n=4 olsun. 4S ün kendisi basit değildir.

Çünkü 4A , 4S ün bir normal alt grubudur. Eğer H, 4S ün abelyen olmayan basit bir

alt grubu ise 34 = 2 .3S olduğundan sonuç 3.2.27 den H , 2 ve 3 ile bölünmelidir. Bu

durumda H ya 2×3 veya 22 ×3 dür. Sonuç 4.16 ve teorem 4.18 den dolayı bu

imkansızdır. ▄

Sonuç 4.21. Eğer G bir abelyen olmayan basit grup ve H G< ise :G H ≥ 5 dir.

İspat: :G H =n olsun. Teorem 3.2.14 ten dolayı G/ GH , nS içine gömülebilir.

GH ≤H<G ve G basit olduğundan GH =1 dir. O halde G, nS içine gömülebilir.

Yukarıdaki lemmadan n≥5 dir. ▄

Lemma 4.22. n≤100 ve n≠60 olacak şekilde pozitif bir tamsayı olsun. Derecesi n

olan abelyen olmayan basit grup yoktur.

İspat: Kabul edelim ki derecesi n olan abelyen olmayan basit grup G var olsun. n

aşağıdaki formdadır.

1

is

mi

in p

== ∏ olup burada 1, , sp p farklı asallar, 1,..., sm m ve s pozitif

tamsayılardır. 1p < < sp olduğunu kabul edelim. Sonuç 3.1.29 ye göre; G bir sonlu

abelyen olmayan basit grup ise en az 2 farklı asal tarafından bölüneceğinden s≥2 dir.


77

Eğer s≥4 ise n≥2.3.5.7≥100 olur. O halde s=2 veya s=3 tür. Yukarıdaki sonuç 4.16,

teorem 4.18 ve teorem 4.19 dan dolayı, 1

3s

ii

m=

>∑ tür. Eğer 1

s

ii

m=∑ ≥7 ise n>27>100

oluşu açık bir çelişkidir. Böylece

14 6

s

ii

m=

≤ ≤∑

dır.

Kabul edelim ki s=2 olsun. 1p ve 2p eğer tek ise o zaman n≥335>100

çelişkisi elde edilir. Böylece 1p =2 ve 2p de bir tek asaldır ona da p diyelim. Kısaca

1m = ve 2m m= olsun. O zaman n= 2 pm, 4≤ +m≤6 tür.Eğer ≤2 ise o zaman G

nin Sylow p- alt grubu indeksi en fazla G de 4 olan bir alt grup olur ki bu ise sonuç

4.21 ile çelişir. Böylece 3≤ ≤5, 1≤m≤3 tür.

Sylow p-alt gruplarının sayısı np olsun. np>1 dir ve Sylow teoreminden np, G

nin bir alt grubunun indeksi np| 2 ve np≡1 (modp) dir. Böylece np| 52 ve sonuç 4.21

den np>4 dür. np=32 olamaz. Bu yüzden p=31 olur. n≥32.31>100 olur. O halde np =8

ve p=7 veya np=16 ve p=3 veya 5 dir. Eğer np=8 ve p=7 ise 100G < olup, 56G =

dır.

Derecesi 7 olan n7=8 tane sylow 7-alt grubu olup 8 6 48× = tane derecesi 7

olan eleman vardır. Bu durumda G de56 48 8− = tane elemanın derecesi 7 değildir.

Böylece bu 8 eleman bir tek Sylow 2-alt grubunu oluşturur. Yani Sylow 2-alt grubu

tek olup normaldir. Bu da G nin basit oluşu ile çelişir. O zaman 56G = olamaz.

Eğer np=16 ise o zaman ≥4 olup böylece m=1 dir. Aksi halde m>1 olsa,

n≥24×32>100 çelişkisi elde edilir. Eğer np=16 ve p=3 ise G nin Sylow 2-alt grubunun

indeksi 3 olup sonuç 4.21 ile çelişir. O halde np=16 ve p=5 olmalıdır.


78

Burada 100 80G G≤ ⇒ = olur. Bu durumda derecesi 80 olan grup basit

grup olmadığından 80G = olamaz. (Aslında Sylow teoreminden n≥4 için 2m×5

dereceli basit grup yoktur.) O halde s=2 olamaz. s=3 olduğunu kabul edelim. n≤100

ve n≠60 olduğundan n=22×3×7=84 veya n=2×32×5=90 dır. 84G = ise n7 sylow

7-alt gruplarının sayısı olsun. Sylow teoreminden n7|12 ve n7≡1 (mod7) dir. Daha da

ötesi n7>1 dir. Bu ise G nin basit oluşunu engeller. 90G = ise 2G r= (r tek sayı)

olup G basit olamaz. O halde n≤100, n≠60 ve G n= olan abelyen olmayan basit

grup yoktur. ▄

Lemma 4.23. A5 basittir.

İspat: A5 in basit olmadığını kabul edelim.G=A5 olsun. G nin trivial olmayan

mümkün en büyük dereceli normal alt grubu K olsun. { }1K ≠ dir. G/K basittir. Aksi

halde yani G/K basit değilse G/K, trivial olmayan normal alt grup H/K ya sahiptir. Bu

durumda H, H K> olacak şekilde G nin normal alt grubu olur. Bu ise K nın G nin

en büyük dereceli normal alt grubu oluşu ile çelişir. G/K basit ve / 6G K G> =

olup yukarıdaki teoremden G/K abelyendir. ∀x,y∈G için

[ ]1 1 ,x y xyK K x y K− = ⇔ ∈

dır. { } { }1, 2,3, 4,5 , , , ,a b c d e= olsun. A5 in trivial olmayan tüm elemanları aşağıdaki

gibi olup bunların sayıları karşılarında verilmiştir.


79

5 4 3 2 1( ) : 24,55 4 3( ) : 2035 4 3 2( )( ) : 152 2 2

abcde

abc

ab cd

× × × × =

× × =

× × × =× ×

tanedir. ,x y elemanlarını yukarıdaki elemanlardan herhangi bir tipte

seçelim.[ ] 1 1xy x y xy− −= olup,

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )

,

,

,

aeb aecbd bea dbcea aeb aecbd abcde

adb bce bda ecb adb bce abc

abc abd cba dba abc abd ab cd

= =⎡ ⎤⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎣ ⎦

dir. O halde A5 in trivial olmayan tüm elemanları K ya aittir. O zaman K=6 çelişkisi

elde edilr. Böylece A5 basittir. ▄

Şimdi Sylow teoremlerini p-gruplar dışındaki sonlu grupların alt grupları

hakkında bilgi edinmek için kullanalım.

Örnek 4.24. Derecesi en az iki asala bölünebilen A5 in trivial olmayan alt gruplarının

tiplerini bulalım ve bu alt grupların bazı özelliklerini araştıralım.

i) G=A5 olsun. G babit olduğundan her trivial olmayan H alt grubu için : 5G H ≥

dir. Böylece 12H ≤ dir. 60G = olduğundan H nın mümkün bütün derecesi 6,10,12

olabilir.


80

ii) G derecesi 12 olan bir alt grubu sahip olsun. G nin { }1, 2,3, 4,5 kümesi üzerine

doğal aksiyonunu düşünürsek (5)GStab ≅A4 olur. H, G nin trivial olmayan alt grubu

ve H≅A4 olsun. O zaman H derecesi 4 olan normal alt grup T ye sahiptir. 60=22×3×5

olduğundan T, G nin Sylow 2-alt grubudur.

H≤ ( )GN T <G dir. G basit olduğundan ve (i) den dolayı

12 ( ) 12H N TG= ≤ ≤ dir. Böylece ( )GN T =H ve G nin Sylow 2-alt gruplarının

sayısı : 5G H = dir. Sylow 2-alt grubunun normalleyeni A4 e izomorfiktir ve G nin

A4 e izomorfik her alt grubu bir Sylow 2-alt grubunun normalleyenidir. A4 e

izomorfik G nin alt grupları derecesi 5 olan alt grubunun tek eşleniği formundadır.

iii) Sylow 3 alt gruplarının sayısı n3, Sylow 5-alt gruplarının sayısı n5 olsun.

22 5 ve 1(mod3),3 3n n× ≡

ve22 35n × n5≡1 (mod 5)

dir. n3=10 ve n5=6 dır. U, G nin derecesi 3 olan V de G nin derecesi 5 olan alt grubu

olsun. Ayrıca J= ( )GN U ve K= ( )GN V olsun. O zaman

: 10 ve : 653G J n G K n= = = = dır. Böylece 6 0J ve K= = dır. Böylece G

derecesi 6 ve 10 olan alt gruplara sahiptir.

Sylow 3-altgrubunun normalleyeni, derecesi 6 olan n3 tane alt grubunun tek

eşleniği formundadır. Sylow 5–alt grubunun normalleyeni derecesi 10 olan n5=6 tane

alt grubun tek eşleniği formundadır.

iv) J, G nin derecesi 6 olan herhangi bir alt grubu, K da derecesi 10 olan herhangi bir

alt grubu olsun. G pq= , p ve q farklı asallar q≠1 (mod p) ise G nin normal Sylow p-


81

alt grubuna sahip olduğunu hatırlayalım. J, derecesi 3 olan bir normal alt grup U ya,

K da derecesi 5 olan bir normal alt grup V ye sahiptir. (iii) den dolayı

( ) 6, ( ) 10G GN U N V= = olup ( )GJ N U= ve ( )GK N V= dir. O halde G nin

yalnızca derecesi 6 olan alt grupları, G nin Sylow 3-alt gruplarının normalleyenidir.

G nin yalnızca derecesi 10 olan alt grupları G nin Sylow 5-alt gruplarının

normalleyenidir.

(v) A5 in elemanlarının devir yapısı göz önünde bulundurulursa G de derecesi 5 ten

büyük eleman yoktur. Böylece G nin derecesi 6 ve 10 olan alt grupları devirli

değildir. 2G p= (p tek asal) ise G nin tx x= veya 1tx x−= olmak üzere x p= ve

2t = olan devirli alt grupları olduğunu ve bu durumda G≅C2p veya G≅D2p

olduğunu hatırlayalım. O halde J,K≤G, 6 ve 10J K= = ise J≅D6 ve K≅D10 dur.

(vi) H, G nin derecesi 12 olan herhangi bir alt grubu olsun. T de H nin Sylow 2-alt

grubu ve U da H nin Sylow 3-alt grubu olsun. H =12=22.3=p2q olup H nin ya bir

normal Sylow 2-alt grubu yada Sylow 3-alt grubu vardır. Yani T H veya U H dır.

U H ise ( ) 12GN U H≥ = dir. 3U = olup, (iii) den ( ) 6GN U = çelişkisi elde

edilir. O halde T H dır. 4T = olup T, G ninde Sylow 2-alt grubudur. Böylece (ii)

den H≤ ( )GN T ≅A4 dür. 12H = olup ( )GN T =H dır. Böylece aşağıdaki listeyi elde

ederiz.

• 10 alt grubun eşlenik sınıfı D6 ya izomorfiktir.

• 6 alt grubun eşlenik sınıfı D10 a izomorfiktir.

• 5 alt grubun eşlenik sınıfı A4 e izomorfiktir. ▄

Şimdi tümevarım ile amacımız n≥5 için An nin basit olduğunu göstermek

olacaktır.


82

Lemma 4.25. n bir pozitif tamsayı ve , nSσ τ ∈ olsun. 1 sn n n+ + = olacak şekilde,

1, , , ss n n pozitif tamsayılar olmak üzere σ ayrık devirlerin çarpımı olarak,

1 211 12 1 21 22 2 1 2( )( ) ( )sn n s s sna a a a a a a a aσ =

formunda yazılır. 11 12

11 12

s

s

sn

sn

a a a

b b bτ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

olsun. O zaman

1 211 12 1 21 22 2 1 2( )( ) ( )sn n s s snb b b b b b b b bτσ =

ifadeside ayrık devirlerin çarpımıdır.

İspat: Her 1, ,i s= … ve her 1, , ij n= … için

bij τσ =bij

1τ − στ =aijστ =ai,j+1τ =bi,j+1

dir. Eğer ij n= ise i,j+1 indisi 1i olur. ▄

Sonuç 4.26. n bir pozitif tamsayı ve σ, 'σ ∈ nS olsun. O zaman σ ve 'σ , nS de

eşleniktir ⇔ σ ve 'σ farklı devir yapısına sahiptir.


83

σ ve 'σ nün aynı devir yapısına sahip olmasının anlamı devirlerin uzunluğu m lerin

ve devirlerin sayısının aynı olmasıdır.

İspat: 1 sn n n+ + = olmak üzere 1, , , ss n n pozitif tamsayıları için

1 211 12 1 21 22 2 1 2( )( ) ( )sn n s s sna a a a a a a a aσ =

olsun. Eğer bir nSτ ∈ için ' τσ σ= ise yukarıdaki lemmadan 'σ , σ ile aynı devir

yapısına sahiptir. Tersine 'σ ve σ aynı devir yapısına sahip olsun. Bu durumda,

1 211 12 1 21 22 2 1 2' ( )( ) ( )sn n s s snb b b b b b b b bσ =

formunda ise, 11 12

11 12

s

s

snn

sn

a a aS

b b bτ

⎛ ⎞= ∈⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

olarak alalım. Yine yukarıdaki lemmadan

' τσ σ= olup 'σ ve σ eşleniktir. ▄

NOT 4.27. nS in sınıflarının sayısı n nin parçalanışlarının sayısıdır. S4 te sınıfların

sayısı 5 tir. Çünkü

( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )1 1 1 1, 2 1 1, 2 2 , 3 1 , 4

× × × × ×× × × ×× ×× ××××××× ×+ + + + + + +


84

dür. Bu tipteki elemanların sayısı sırasıyla,

1, 4 3 4 3 2 1 4 3 2 4 3 2 16, 3, 8, 62 2 2 2 3 4× × × × × × × × ×

= = = =× ×

olup tüm bu sayılar 4 24S = ün bölenleridir. Ayrıca 41 6 3 8 9 24 S+ + + + = = tür.

Teorem 4.28. Her n≥5 tamsayı içn An basittir.

İspat: İspatı n, üzerinden tümevarım ile yapalım. n=5 için A5 in basit olduğunu

gösterdik. n>5 ve 1nA − basit olsun. G=An olsun. X={ }1, 2,........n üzerinde G nin doğal

aksiyonunu düşünelim. Her i=1,2,…,n için iH = ( )GStab i olsun. Dikkat edilirse G

nin X üzerine aksiyonu (transitive) geçişmelidir. Böylece H1,…,Hn lerin hepsi G nin

alt gruplarının aynı eşlenik sınıfına düşer. Böylece i=1,2,…,n olmak üzere

iH ≈ nH ≈ 1nA − olup iH ler basittir.

Göstermek istediğimizin tersine G trivial olmayan K normal alt grubuna sahip

olsun. O zaman her i=1,2,…,n için i iH K H∩ ve iH basit olduğundan 1iH K∩ =

veya i iH K H∩ = olur. Aslında 1iH K∩ = dir. Aksine j jH K H∩ = olacak şekilde

j nin var olduğunu kabul edelim. O zaman jH ≤K olur. O halde yukarıdaki nottan

i∃ için i jH H γ= olacak şekilde Gγ ∈ vardır. K G olduğundan iH K Kγ≤ = dır.

Böylece K her iH yi içerir. Böylece K=G çelişkisi elde edilir.

Eğer Gσ ∈ ise ya 1 1σ = bu durumda 1H Kσ ∈ ≤ olur yada 1 jσ = ve j≠1

dir. İkinci durumda i∈X elemanını i≠1, i≠j seçebiliriz. O zaman ( 1 )j i G∈ ve

1( 1 )( 1 )j i j iσ σ −= dir. Fakat o zaman ( 1 )j iσ , G nin 1 noktasını sabit bırakan eleman


85

olup 1( 1 )j i H Kσ ∈ ≤ dır. 3X > olup 1( 1 ) ( 1 )j i j i H K− = ∈ ≤ olacak şekilde ∈X

vardır. Böylece Kσ ∈ dır. O halde i=1,2,…,n için 1iH K∩ = dir. 1 Kσ≠ ∈ olsun.

Böylece her i için iHσ ∉ nin anlamı σ , X in hiçbir elemanını sabit bırakmıyordur.

a∈X olsun. a b aσ = ≠ olsun 3X > olduğundan c≠a, c≠b ve c≠a 1σ − olacak şekilde

c∈X vardır. c dσ = olsun. Bu mümkündür çünkü σ , X in c yi sabit bırakmayan bir

permütasyonu olup d, a, b ve c den farklıdır. Aslında 6X ≥ olup farklı e, f∈X

elemanlarını da seçebiliriz. τ =(ab)(cdef)∈G olsun. Burada,

: a bc d

σ →→

olduğunda

: b ad e

τσ →→

dir. O halde K G olduğundan Kτσ ∈ dır. Böylece Kτσσ ∈ ve τσσ , a yı sabit tutar

ve c yi e ye götürür. Böylece 1 aH Kτσσ≠ ∈ ∩ çelişkisi elde edilir. Böylece G

basittir. ▄

Her n>2 için An, An-1 e izomorfik bir alt gruba sahiptir. Üstelik bu alt grubun

indeksi An de n dir. Çünkü 1n nA n A −= dir.

Lemma 4.29. n>2 bir tamsayı olsun. An nin indeksi n olan her alt grubu An-1 e

izomorfiktir.

İspat: n>5 için ispat açıktır. n≥5 olsun. H<G=An ve :G H n= olsun. G nin, H nin G

deki sağ kasetlerinin kümesi üzerine sağ çarpımı ile aksiyonunu düşünelim. G basit

olduğundan bu aksiyon güvenlidir. O halde bu aksiyon uygun bir alt grup ile doğal


86

aksiyona denktir. Bu alt grup Sn in J alt grubu olsun. nJ A= ve Sn in indeksi 2 olan

alt grubu An olup An=J dir. O halde aksiyon geçişmelidir. Ayrıca

( ) ( ) 1nG A nH Stab H Stab n A −= ≅ ≅

dir. ▄

Teorem 4.30. G sonlu abelyen olmayan basit bir grup 100G ≤ olsun. O zaman

G≅ A5 tir.

İspat: Daha önceki teoremden 60G = tır. Şimdi G≅ A5 olduğunu gösterelim. n,

Sylow 5-alt gruplarının sayısı olsun. n>1 ve Sylow teoreminden G nin indeksi n olan

bir alt grubu vardır ve n|12 ve n≡1 (mod 5) tir. Böylece n=6 dır. G nin indeksi 6 olan

bir alt grubu ve G basit olup G, S6 ya gömülebilir.G∗ , S6 nın G ye izomorfik alt

grubu olsun. G∗ basit ve tek permütasyon içermeyip G∗≤A6 dır. 60G∗ = ve

6 360A = olup böylece *6 : 6A G = dır. Yukarıdaki teoremden 5G G A∗≅ ≅ dir. ▄

5. GAP UYGULAMALARI Hakan ÖZTÜRK

87

5.GAP UYGULAMALARI

Bu bölümde daha önceki bölümlerde verilen bilgilerin kısaca GAP (Group

Algorithm&Programming) olarak adlandırılan programda kullanabilmek için gerekli

ön bilgileri ve bazı uygulamalarından bahsedeceğiz. Bu program hakkındaki her türlü

bilgiye

http://www.gap-system.org

adresinden ulaşılabilmektedir. Bu web sayfasında programın nasıl yükleneceği

hakkında ayrıntılı bilgi bulunmaktadır.

Şimdi GAP programında nasıl sorgu yapabileceğimizi görelim. Öncelikle

GAP ta her satırın sonuna “;” koymayı unutmamalıyız. Ayrıca “=” yerine “:=“

yazılır.

Bu programın içinde bir yardım kısmı bulunmakta olup şimdi bu yardım

menüsünün nasıl kullanılacağı hakkında bilgi verelim. Program yüklenip açılınca

gap>

ifadesi gelir.

gap> ??

İlk olarak yukarıdaki gibi sadece ?? yazıp, enter tuşuna basalım. Bu durumda

yardım konularının bir kısmı aşağıdaki gibi referans numaraları ile ekrana gelir.

[1] Reference: \*

[2] Reference: /

[3] Reference: \\\"

[4] Reference: \\'

[5] Reference: \\\\


88

[6] Extending: \%

[7] EDIM: Title page

[8] GAPDoc: Title page

[9] GAPDoc Example: Title page

-- <space> page, <n> next line, <b> back, <p> back line, <q> quit –

Eğer bu yardım konularının devamını sayfa sayfa görmek istiyorsak boşluk

tuşuna, satır satır görmek istiyorsak n tuşuna, bir önceki sayfa veya satırı görmek

için b tuşuna, yardım menüsünden çıkmak için q tuşuna basılmalıdır.

Eğer doğrudan bir konu başlığını menüde geçtiği yerleri görmek istiyorsak

aşağıdaki yazım kullanılır. Örneğin “cyclic” kelimesinin geçtiği yardım menüsündeki

yerleri arayalım. Ekrana aşağıdaki satırı yazalım ve enter tuşuna basalım.

gap> ? ref : cyclic;

Bize aşağıdaki ekran gelir.

[1] Reference: CyclicGroup

[2] Reference: CyclicExtensionsTom

Bu bize 1 ve 2 referans numaralı yerlerde “cyclic” kelimesinin geçtiğini

gösterir. Şimdi 1 nolu referansı açıp CyclicGroup hakkındaki açıklamalara ulaşalım.

Bunun için aşağıdaki yazım kullanılır.

gap> ?1;

Bu durumda ekrana aşağıdaki bilgiler gelir.

> CyclicGroup( [<filt>, ]<n> ) F

constructs the cyclic group of size <n> in the category given by the

filter <filt>. If <filt> is not given it defaults to `IsPcGroup'.


89

gap> CyclicGroup(12);

<pc group of size 12 with 3 generators>

gap> CyclicGroup(IsPermGroup,12);

Group([ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) ])

gap> matgrp1:= CyclicGroup( IsMatrixGroup, 12 );

<matrix group of size 12 with 1 generators>

gap> FieldOfMatrixGroup( matgrp1 );

Rationals

gap> matgrp2:= CyclicGroup( IsMatrixGroup, GF(2), 12 );

<matrix group of size 12 with 1 generators>

gap> FieldOfMatrixGroup( matgrp2 );

GF(2)

> AbelianGroup( [<filt>, ]<ints> ) F -- <space> page, <n>

next line, <b> back, <p> back line, <q> quit –

5.1. Kümeler Hakkındaki Sorgular

Bu bölümde GAP programına bir kümenin nasıl tanıtılacağını ve kümeler

üzerindeki işlemlerin nasıl yapılacağını göreceğiz. { }2,7,9,13,15a = kümesini GAP

programında tanımlayalım. Bunun için ekrana

gap> a:= [2,7,9,13,15];

yazılır. Bu durumda ekrana

[ 2, 7, 9, 13, 15 ]

satırı gelir. Bu yazımın bir küme olup olmadığını sorgulamak için ekrana


90

gap> IsSet(a);

yazılır ve ekrana

true

satırı gelir. Bu bize tanımlananın küme olduğunu söyler. Ekrana

gap> a:= [2,7,9,13,13];

yazılırsa. Bu durumda ekrana

[ 2, 7, 9, 13, 13 ]

satırı gelir fakat küme olup olmadığını sorgularsak

gap> IsSet(a);

yazıldığında ekrana

false

ifadesi gelir ki bunun anlamı tanımlananın küme olmadığını söyler. Dikkat edilirse

aynı eleman iki kez yazılmıştır.

gap> a:= [2,9,9,13,13];

yazarak a kümesini tanımlayalım.

gap> aa:= Set(a);


91

yazılırsa kümedeki tekrar göz ardı edilerek elemanlar sıraya dizilmiş hali ile olan a

kümesi tanımlandığı anlaşılır ve bunu belirtmek üzere ekranda

[2, 9, 13 ]

ifadesi belirir. Şimdi { }1, 2,3, 4,5,6a = ve { }3, 4,5,6,7,8,9 kümelerini tanımlayarak

a ve b kümesinin kesişimini birleşimini ve farklarını hesaplayalım.

gap> a:= [1,2,3,4,5,6];

[ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]

gap> b:= [3,4,5,6,7,8,9];

[ 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ]

a ve b nin birleşimi için

gap> Union(a,b);

yazılır ve enter tuşuna basılır. Ekrana birleşim kümesi olan küme aşağıdaki gibi gelir.

[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ]

a ve b nin kesişimi için

gap> Intersection(a,b);

yazılır ve enter tuşuna basılır. Ekrana kesişim kümesi olan küme aşağıdaki gibi gelir.

[ 3, 4, 5, 6 ]

a nin b den farkı için


92

gap> Difference(a,b);

yazılır ve enter tuşuna basılır. Ekrana fark kümesi olan küme aşağıdaki gibi gelir.

[ 1, 2 ]

b nin a dan farkı için

gap> Difference(b,a);

yazılır ve enter tuşuna basılır. Ekrana fark kümesi olan küme aşağıdaki gibi gelir.

[ 7, 8, 9 ]

a:= [1,2,3,4,5,6] kümesine 9 elemanını eklemek için aşağıdaki satırlar yazılır ve her

satır dan sonra enter tuşuna basılır.

gap> AddSet(a, 9);

gap> a;

Bu durumda a kümesine 9 eklenerek elde edilen küme aşağıdaki şekilde gelir.

[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 ]

5.2. Grupların Tanımlanması Hakkındaki Sorgular

Şimdi bazı özel grupların GAP ta nasıl tanıtıldığına bakalım

Polycyclic Grup: Sonlu takdimli grupların özel bir durumudur. Bir grubun yapısı

hakkında bilgi sorgulandığında yanıt olarak pc group ifadesi beliriyorsa polycyclic

grup anlaşılmalıdır. Örneğin derecesi 8 olan tüm G gruplarını göz önüne alalım.

Derecesi 8 olan beş farklı grup vardır. Bunlardan birincisi G[1] olarak GAP ta


93

belirlidir. Şimdi H grubunu G[1] olarak tanımlayarak H ın elemanlarını listeleyelim.

Tüm bu sorgular aşağıdaki sırada yapılır.

gap> G:=AllGroups(Size,8);

[ <pc group of size 8 with 3 generators>,

<pc group of size 8 with 3 generators>,



<pc group of size 8 with 3 generators> ]

gap> H:=G[1];


gap> Elements(G[1]);

[ <identity> of ..., f1, f2, f3, f1*f2, f1*f3, f2*f3, f1*f2*f3]

Devirli Grup: Devirli grubu GAP programına tanıtmaya çalışalım. Elimizde bir

derecesi 6 olan bir G grubu olsun. Ekrana aşağıdaki satırı yazalım ve enter tuşuna

basalım.

gap> G:=CyclicGroup(6);

Bize aşağıdaki satır gelir.

gap> G:=CyclicGroup(6);


Bunun anlamı derecesi 6 olan iki doğuraylı bir pc grup tanımladık demektir.

Pc grup bir çesit sonlu takdimli grup demektir. Aslında doğurayın nasıl bir eleman

olduğunu belirtmek gerekir. Bunun yazım formatı aşağıdaki gibi olup [<filt>, ]

elemanın tipinin yazılacağı anlamındadır.

gap> CyclicGroup([<filt>, ],12);


94

Örnek için ekrana aşağıdaki satırı yazalım ve enter tuşuna basalım.

gap> CyclicGroup(IsPermGroup,12);

Bize aşağıdaki satır gelir.

Group([ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) ])

Bunun anlamı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

permütasyonu tarafından doğurulan

derecesi 12 olan devirli grup G olsun demektir. Dikkat edilecek olursa

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

permütasyonu [ (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) ] deviri

şeklinde yazılmıştır.

Permütasyon Grubu: n elemanlı bir küme üzerinde permütasyon grubunu

tanımlamak için ekrana

gap> G:=SymmetricGroup(n);

yazım formatı kullanılır. Örneğin 5 elemanı bir küme üzerinde permütasyon grubun

G yi tanımlayalım. Bunun için ekrana

gap> G:=SymmetricGroup(5);

yazılır. Bu durumda

Sym( [ 1 .. 5 ] )


95

Satırı ekranda belirir ve bunun anlamı { }1, 2,3, 4,5 kümesinin simetrik grubunu G yi

tanımladınız demektir.

Alterne Grup: n elemanlı bir küme üzerinde alterne grubunu tanımlamak için

ekrana

gap> G:=AlternatingGroup(n);

yazım formatı kullanılır. Örneğin 7 elemanı bir küme üzerinde alterne grup G yi

tanımlayalım. Bunun için ekrana

gap> G:=AlternatingGroup(7);


Alt( [ 1 .. 7 ] )

Satırı ekranda belirir ve bunun anlamı { }1, 2,3, 4,5,6,7 kümesinin alterne grubunu

tanımladınız demektir.

Dihedral Grup: n elemanlı bir küme üzerinde elemanları permütasyonlar olan

dihedral grubu tanımlamak için ekrana

gap> G:=DihedralGroup(IspermGroup,n);

yazılır. Örneğin 4 genin elemanları permütasyonlar olmak üzere simetrigrubu olan

dihedral grup G yi tanınlayalım. Bunun için ekrana

gap> G:= DihedralGroup(IspermGroup,4);



96

Group([ (1,2), (3,4) ])

satırı ekranda belirir ve bunun anlamı tanımladığımız G grubu 1 2 3 4 2 1 3 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ve

1 2 3 4 1 2 4 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

tarafından doğurulan dihedral gruptur.

Derecesi 2 , 2 ,3p p p olan gruplar: Derecesi 2p olan grubu GAP programında

tanımlamak için aşağıdaki satırlar yazılır ve her satırdan sonra enter tuşuna basılır.

Bunu yapmak için örneğin 2 25p = alalım.

gap> p:=5;

yazılınca ekranda

5

ifadesi görünür.

gap> G:=AllSmallGroups(Size,p^2);

yazılırsa ekranda



satırları görünür. Bunun anlamı derecesi 2p olan iki grup vardır. Benzer

tanımlamaları derecesi 2 , 2p p > ve 3 , 3p p > olan gruplar için de yapabiliriz.

2 p için;

gap> p:=5;

5


97

gap> G:=AllSmallGroups(Size,2*p);

yazılır ve ekranda



ifadesi görünür.

3p için;

gap> p:=5;

5


yazılır ve ekranda

[ <pc group of size 15 with 2 generators> ]

ifadesi görünür.

5.3. Grupların Özellikleri Hakkındaki Sorgular

Bu bölümde öncelikle bir grubu tanımlayarak o grubun bazı özelliklerini

sorgulayacağız. G bir grup olsun.

Size(G): Yazılırsa G grubunun derecesi öğrenilir.

List(Elements(G)): Yazılarak G grubunun elemanları liste yöntemi ile tek tek

yazılır.

IsAbelian(G): Yazılılırsa G grubunun abelyan olup olmadığı sorulur. Buna yanıt

olarak abelyen ise true abelyen değil ise false ifadesi ekrana gelecektir.


98

IsCyclic(G): G grubunun devirli olup olmadığı sorulur. Buna yanıt olarak devirli ise

true devirli değil ise false ifadesi ekrana gelecektir.

List(G,Order): Yazılırsa G grubunun elemanlarının listesindeki sıra ile derecelerini

söyler.

H:=Subgroup( G, gens ): Burada gens doğurayları belirtmek için kullanılmıştır. Bu

komut ile gens ler tarafından doğurulan G nin H alt grubu tanımlanır.

Index(G,H): Yazılarak H nin G deki indeksi sorgulanır.

IsNormal(G,H): Yazılarak G nin H alt grubunun normal olup olmadığı sorgulanır.

Eğer H, G nin normal altgrubu ise true normal altgrubu değil ise false şeklinde

ekranda yanıtlanır.

IsSimpleGroup( G ): Tanımlanan G grubunun basit olup olmadığı sorgulanır. Eğer

G basit ise yanıt true G basit değil ise yanıt false olarak ekranda görünecektir.

4S grubunu tanımlayalım ve bu komutları kullanalım.


Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> Size(G);

120

gap> List(Elements(G));

[ (), (4,5), (3,4), (3,4,5), (3,5,4), (3,5), (2,3), (2,3)(4,5), (2,3,4),

(2,3,4,5), (2,3,5,4), (2,3,5), (2,4,3), (2,4,5,3), (2,4), (2,4,5),

(2,4)(3,5), (2,4,3,5), (2,5,4,3), (2,5,3), (2,5,4), (2,5), (2,5,3,4),

(2,5)(3,4), (1,2), (1,2)(4,5), (1,2)(3,4), (1,2)(3,4,5), (1,2)(3,5,4),

(1,2)(3,5), (1,2,3), (1,2,3)(4,5), (1,2,3,4), (1,2,3,4,5), (1,2,3,5,4),

(1,2,3,5), (1,2,4,3), (1,2,4,5,3), (1,2,4), (1,2,4,5), (1,2,4)(3,5),

(1,2,4,3,5), (1,2,5,4,3), (1,2,5,3), (1,2,5,4), (1,2,5), (1,2,5,3,4),

(1,2,5)(3,4), (1,3,2), (1,3,2)(4,5), (1,3,4,2), (1,3,4,5,2), (1,3,5,4,2),

(1,3,5,2), (1,3), (1,3)(4,5), (1,3,4), (1,3,4,5), (1,3,5,4), (1,3,5),

(1,3)(2,4), (1,3)(2,4,5), (1,3,2,4), (1,3,2,4,5), (1,3,5,2,4),

(1,3,5)(2,4), (1,3)(2,5,4), (1,3)(2,5), (1,3,2,5,4), (1,3,2,5),

(1,3,4)(2,5), (1,3,4,2,5), (1,4,3,2), (1,4,5,3,2), (1,4,2), (1,4,5,2),


99

(1,4,2)(3,5), (1,4,3,5,2), (1,4,3), (1,4,5,3), (1,4), (1,4,5), (1,4)(3,5),

(1,4,3,5), (1,4,2,3), (1,4,5,2,3), (1,4)(2,3), (1,4,5)(2,3), (1,4)(2,3,5),

(1,4,2,3,5), (1,4,2,5,3), (1,4,3)(2,5), (1,4)(2,5,3), (1,4,3,2,5),

(1,4)(2,5), (1,4,2,5), (1,5,4,3,2), (1,5,3,2), (1,5,4,2), (1,5,2),

(1,5,3,4,2), (1,5,2)(3,4), (1,5,4,3), (1,5,3), (1,5,4), (1,5), (1,5,3,4),

(1,5)(3,4), (1,5,4,2,3), (1,5,2,3), (1,5,4)(2,3), (1,5)(2,3), (1,5,2,3,4),

(1,5)(2,3,4), (1,5,3)(2,4), (1,5,2,4,3), (1,5,3,2,4), (1,5)(2,4,3),

(1,5,2,4), (1,5)(2,4) ]

gap> IsAbelian(G);

false

gap> IsCyclic(G);

false

gap> List(G,Order);

[ 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 2,

2, 2, 6, 6, 2, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 6,

4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 6, 4, 5, 5, 6, 6, 2, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 3,

4, 6, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 2, 4, 5, 4, 4, 3,

5, 6, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 5, 4, 6, 2, 5, 6, 6, 5, 5, 6, 4, 2 ]

gap> H:=Subgroup(G,[(1,2,3),(1,2)]);

Group([ (1,2,3), (1,2) ])

gap> Index( G, H);

4

gap> IsNormal( G, H );

false

Şimdide 5S grubunu tanımlayalım ve yukarıda bahsedilen bazı komutları

tanımlayalım.


Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> IsSimple(G);


100

false

gap> G:=AlternatingGroup(5);

Alt( [ 1 .. 5 ] )

gap> IsSimple(G);

true

Şimdi derecesi 2p olan tüm gruplar hakkında bazı bilgileri sorgulayalım.

Bunun için yine 5p = alalım.

gap> p:=5;

5

gap> G:=AllSmallGroups(Size,p^2);



satırları görünür. Bunun anlamı derecesi 2p olan izomorfik olmayan iki grup vardır.

Eğer bu gruplar hakkında daha fazla bilgi edinmek için aşağıdaki satırları yazarak

öğrenebilirsiniz.

gap> List(G,IsAbelian);

[ true, true ]

Bunun anlamı derecesi 2p olan iki grupta abelyendir.

gap> List(G,IsCyclic);

[ true, false ]

Bunun anlamı derecesi 2p olan iki gruptan biri devirli diğeri devirli değildir.

Benzer bilgileri derecesi 2 p olan gruplar için yapalım.


101

gap> p:=5;

5





[ false, true ]


[ false, true ]

Benzer bilgileri derecesi 3p olan gruplar için yapalım.

gap> p:=5;

5


[ <pc group of size 15 with 2 generators> ]


[ true ]


[ true ]

Bu komutlar bir arada da kullanabiliriz. Örneğin derecesi 8 olan abelyen olmayan L

gruplarını sorgulamak için aşağıdaki komut kullanılır.

gap> L:=AllGroups(Size,8,IsAbelian,false);



Dikkat edilecek olursa derecesi 8 olan 2 tane abelyen olmayan grup vardır. Şimdide

derecesi 8 olan kaç tane abelyen grup olduğunu sorgulayalım.


102

gap> L:=AllGroups(Size,8,IsAbelian,true);




Dikkat edilecek olursa derecesi 8 olan 3 tane abelyen grup vardır. Derecesi 8 olan

kaç tane devirli olmayan grup olduğunu sorgulayalım.

gap> L:=AllGroups(Size,8,IsCyclic,false);





Derecesi 8 olan kaç tane basit grup olduğunu sorgulayalım.

gap> L:=AllGroups(Size,8,IsSimple,true);

[ ]

Dikkat edilirse derecesi 8 olan basit grup yoktur. Derecesi 15 olan bir grup vardır.

Derecesi 15 olan basit olmayan grupların kaç tane olduğunu sorgulayalım.

gap> L:=AllGroups(Size,15,IsSimple,false);

[ <pc group of size 15 with 2 generators>,]

Elements(G): Yazıldığında G grubunun elemanları listelenir.

Order(eleman):Yazılırsa tanımlanan bir grubun bir elemanın derecesini sorgulamış

oluruz.

Order(last): Bu komut yazıldığında en son yazılan yapının derecesi sorgulanmış

olur.

Subgroup(G,[doğuraylar]): Tanımlanan G grubunun yazılan doğuraylar tarafından

doğurulan alt grup tanımlanmış olur.

Filtered(G,eleman->koşul): Yazıldığında G grubunda yazılan koşulu sağlayan

elemanlar listelenir.


103


Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> Elements(G);

[ (), (4,5), (3,4), (3,4,5), (3,5,4), (3,5), (2,3), (2,3)(4,5), (2,3,4),

(2,3,4,5), (2,3,5,4), (2,3,5), (2,4,3), (2,4,5,3), (2,4), (2,4,5),

(2,4)(3,5), (2,4,3,5), (2,5,4,3), (2,5,3), (2,5,4), (2,5), (2,5,3,4),

(2,5)(3,4), (1,2), (1,2)(4,5), (1,2)(3,4), (1,2)(3,4,5), (1,2)(3,5,4),

(1,2)(3,5), (1,2,3), (1,2,3)(4,5), (1,2,3,4), (1,2,3,4,5), (1,2,3,5,4),

(1,2,3,5), (1,2,4,3), (1,2,4,5,3), (1,2,4), (1,2,4,5), (1,2,4)(3,5),

(1,2,4,3,5), (1,2,5,4,3), (1,2,5,3), (1,2,5,4), (1,2,5), (1,2,5,3,4),

(1,2,5)(3,4), (1,3,2), (1,3,2)(4,5), (1,3,4,2), (1,3,4,5,2), (1,3,5,4,2),

(1,3,5,2), (1,3), (1,3)(4,5), (1,3,4), (1,3,4,5), (1,3,5,4), (1,3,5),

(1,3)(2,4), (1,3)(2,4,5), (1,3,2,4), (1,3,2,4,5), (1,3,5,2,4),

(1,3,5)(2,4), (1,3)(2,5,4), (1,3)(2,5), (1,3,2,5,4), (1,3,2,5),

(1,3,4)(2,5), (1,3,4,2,5), (1,4,3,2), (1,4,5,3,2), (1,4,2), (1,4,5,2),

(1,4,2)(3,5), (1,4,3,5,2), (1,4,3), (1,4,5,3), (1,4), (1,4,5), (1,4)(3,5),

(1,4,3,5), (1,4,2,3), (1,4,5,2,3), (1,4)(2,3), (1,4,5)(2,3), (1,4)(2,3,5),

(1,4,2,3,5), (1,4,2,5,3), (1,4,3)(2,5), (1,4)(2,5,3), (1,4,3,2,5),

(1,4)(2,5), (1,4,2,5), (1,5,4,3,2), (1,5,3,2), (1,5,4,2), (1,5,2),

(1,5,3,4,2), (1,5,2)(3,4), (1,5,4,3), (1,5,3), (1,5,4), (1,5), (1,5,3,4),

(1,5)(3,4), (1,5,4,2,3), (1,5,2,3), (1,5,4)(2,3), (1,5)(2,3), (1,5,2,3,4),

(1,5)(2,3,4), (1,5,3)(2,4), (1,5,2,4,3), (1,5,3,2,4), (1,5)(2,4,3),

(1,5,2,4), (1,5)(2,4) ]

gap> Order((1,3,5));

3

gap> H:=Subgroup(G,[(1,3,5)]);

Group([ (1,3,5) ])

gap> Filtered(G,g->Order(g)=4);

[ (2,3,4,5), (2,3,5,4), (2,4,5,3), (2,4,3,5), (2,5,4,3), (2,5,3,4),


104

(1,2,3,4), (1,2,3,5), (1,2,4,3), (1,2,4,5), (1,2,5,3), (1,2,5,4),

(1,3,4,2), (1,3,5,2), (1,3,4,5), (1,3,5,4), (1,3,2,4), (1,3,2,5),

(1,4,3,2), (1,4,5,2), (1,4,5,3), (1,4,3,5), (1,4,2,3), (1,4,2,5),

(1,5,3,2), (1,5,4,2), (1,5,4,3), (1,5,3,4), (1,5,2,3), (1,5,2,4) ]

Collected(List(G,özellik))): Yazıldığında G grubunda yazılan özelliğe karşılık kaç

eleman olduğu sorgulanır. Yanıt sıralı ikililer şeklinde olur.

Örneğin G grubu n=5 için simetrik grup olsun. Her dereceden kaç eleman

olduğu aşağıdaki sorgu ile ifade edilir. Yanıt ikililer şeklinde derecesi 1olan kaç

eleman olduğu birinci ikili, derecesi 2 olan kaç eleman olduğu ikinci ikili, …

şeklinde ekrana gelir.

gap> Collected(List(G,g->Order(g)));

[ [ 1, 1 ], [ 2, 25 ], [ 3, 20 ], [ 4, 30 ], [ 5, 24 ], [ 6, 20 ] ]

Demek ki 5S te derecesi 1olan 1, derecesi 2 olan 25, derecesi 3 olan 20,

derecesi 4 olan 30, derecesi 5 olan 24 ve derecesi 6 olan 20 eleman bulunmaktadır.

Gerçektende G nin tüm elemanlarının dereceleri sorgulanırsa yukarıdaki bilgilerin

tam olarak her dereceden kaç eleman olduğu görülmüş olur.

gap> List(G,Order);

[ 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 2,

2, 2, 6, 6, 2, 3, 6, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 6, 5, 5, 4, 4, 3, 5, 6, 3, 6,

4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 6, 4, 5, 5, 6, 6, 2, 5, 4, 6, 5, 4, 5, 3,

4, 6, 5, 3, 4, 2, 3, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 6, 5, 5, 6, 6, 5, 2, 4, 5, 4, 4, 3,

5, 6, 4, 3, 3, 2, 4, 2, 5, 4, 6, 2, 5, 6, 6, 5, 5, 6, 4, 2 ]

ForAll(G,eleman->koşul): Yazıldığında G grubunda tüm elemanların yazılan

koşulu sağlayıp sağlamadığı sorgulanır.


105

ForAny(G,eleman->koşul): Yazıldığında G grubunda yazılan koşulu elamanın var

olup olmadığı sorgulanır.

Number(G,eleman->koşul): Yazıldığında G grubunda yazılan koşulu sağlayan kaç

eleman olduğu sorgulanır.

Örneğin 5S te tüm elemanların derecesinin 4 olup olmadığını sorgulayalım.

5S te her elemanın derecesi 4 olmadığını belirten false yanıtı ekranda belirir.


Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> ForAll(G,g->Order(g)=4);

false

5S te ForAll, ForAny ve Number komutları kullanılarak aşağıdaki sorgular benzer

şekilde yapılır.

gap> ForAll(G,g->g^4=(1,3,5));

false

gap> ForAny(G,g->g^4=(1,3,5));

true

gap> ForAny(G,g->Order(g)=8);

false

gap> Number(G,g->Order(g)=2);

25

FreeGroup(doğuray sayısı): Yazıldığında belirtilen doğuray sayısı kadar eleman

tarafından doğurulan serbest grup tanımlanır.

( )24 2, 1x y x y xy= = =


106

takdimi ile tanımlanan bir D grubunu GAP ta tanımlayalım. Öncelikle 2 doğuraylı

serbest grup tanımlanır. Sonra bu ilişkilerin doğurduğu normal kapanışa serbest

grubun bölümü olan D grubu tanımlanır.

gap> G:=FreeGroup(2);

<free group on the generators [ f1, f2 ]>

gap> D:=G/[G.1^4,G.2^2,(G.1*G.2)^2];

<fp group on the generators [ f1, f2 ]>

gap> Elements(D);

[ <identity ...>, f2, f1^3*f2, f1, f1^3, f1*f2, f1^2*f2, f1^2 ]

gap> Size(D);

8

6 1x x = devirli grubunu tanımlamak için benzer şekilde aşağıdaki işlemler

yapılır.


<free group on the generators [ f1]>

gap> D:=G/[G.1^6];

<fp group on the generators [ f1]>

gap> Size(D);

6

5.4. İzomorfizm Hakkındaki Sorgular

Bu bölümde tanımlanan bir G grubuna izomorfik permütasyon grubunun nasıl

bulunacağını göreceğiz. Bunun için bazı komutları tanıyalım.


107

IsomorfizmPermGroup(G): G grubu sonlu takdimli bir grup olmak üzere G

grubuna izomorfik permütasyon grubu bulunmak istenildiğinde bu sorgu kullanılır.

Buun anlamı G nin doğuraylarına karşılık gelen permütasyonlar sorulmuş olur. Bunu

bir eşleme olarak görmek için isomorfizm in nasıl tanımlandığı görülmüş olur.

Örneğin D4 grubunu tanımlayalım ve ona izomorfik permütasyon grubunu bulalım.


<free group on the generators [ f1, f2 ]>

gap> D4:=G/[G.1^4,G.2^2,(G.1*G.2)^2];

<fp group on the generators [ f1, f2 ]>

Yazılarak D4 tanımlanmış olur.

gap> iso:=IsomorphismPermGroup(D4);

yazılarak D4 ün doğuraylarına karşılık gelen permütasyonlar sorgulanarak

izomorfizm tanımlanmış olur. Buna karşılık olarak ekranda aşağıdaki satır belirir.

[ f1, f2 ] -> [ (1,2,4,3), (2,3) ]

Image(iso): Bu komut ile yukarıda tanımlanan izomorfizmin görüntüsü olarak hangi

permütasyon grubunun elde edildiği sorgulanır. Yukarıdaki D4 örnegimiz için bunu

sorgulayalım.

gap> D4Perm:=Image(iso);

Group([ (1,2,4,3), (2,3) ])

Dikkat edilirse yanıt olarak Group([ (1,2,4,3), (2,3) ]) satırının gelir ve bunun anlamı

D4 ün izomorfik olduğu permütasyon grubu a=(1,2,4,3), b=(2,3) olmak üzere a ve b

tarafından doğurulan D4Perm grubudur. Bu grubun elemanlarını aşağıdaki komul ile

listeleyebiliriz.


108

gap> Elements(DPerm);

[ (), (2,3), (1,2)(3,4), (1,2,4,3), (1,3,4,2), (1,3)(2,4), (1,4), (1,4)(2,3) ]

Yine derecesi 8 olan gruplardan birincisinin izomorfik olduğu permütasyon grubunu

sorgulayalım.

gap> G:=AllGroups(Size,8);






gap> H:=G[1];


gap> iso:=IsomorphismPermGroup(G[1]);

<action isomorphism>

gap> T:=Image(iso);

Group([ (1,5,3,7,2,6,4,8), (1,3,2,4)(5,7,6,8), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8) ])

gap> Elements(T);

[ (), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,3,2,4)(5,7,6,8), (1,4,2,3)(5,8,6,7),

(1,5,3,7,2,6,4,8), (1,6,3,8,2,5,4,7), (1,7,4,5,2,8,3,6), (1,8,4,6,2,7,3,5) ]

Benzer sorguları derecesi 8 olan ikinci grup için aşağıdaki gibi yapalım.

gap> H:=G[2];


gap> iso:=IsomorphismPermGroup(G[2]);


gap> T:=Image(iso);

Group([ (1,5,2,6)(3,7,4,8), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8) ])

gap> Elements(T);


109

[ (), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8), (1,4)(2,3)(5,8)(6,7),

(1,5,2,6)(3,7,4,8), (1,6,2,5)(3,8,4,7), (1,7,2,8)(3,5,4,6),

(1,8,2,7)(3,6,4,5) ]

SmallerDegreePermutationRepresentation(G): G bir permutasyon grubu olmak

üzere G nin derecesi daha küçük olan yani n daha küçük olmak üzere nS içinde

izomorfik olduğu permütasyon grubunu bulmak için kullanılır. Örneğin derecesi 8

olan abelyen olmayan L gruplarını öncelikle listeleyelim. Bunlardan birincisini L[1]

olarak adlandırıp, L[1] in izomorfik olduğu permütasyon grubunu bulalım. Bu

permütasyon grubunu GPerm olarak adlandırıp GPerm in elemanlarını listeleyelim.

Daha sonra GPerm permütasyon grubuna izomorfik daha küçük dereceli

permütasyon grubun GPerm2 yi bulalım ve GPerm2 nin elemanlarını listeleyelim.

Tüm bunların sorgusu sıra ile aşağıda yapılmıştır.

gap> L:=AllGroups(Size,8,IsAbelian,false);



gap> G:=L[1];


gap> iso:=IsomorphismPermGroup(G);


gap> GPerm:=Image(iso);

Group([ (1,5)(2,6)(3,8)(4,7), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8) ])

gap> Elements(GPerm);

[ (), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8), (1,4)(2,3)(5,8)(6,7),

(1,5)(2,6)(3,8)(4,7), (1,6)(2,5)(3,7)(4,8), (1,7,2,8)(3,6,4,5),

(1,8,2,7)(3,5,4,6) ]

gap> iso2:=SmallerDegreePermutationRepresentation(GPerm);

<action epimorphism>

gap> GPerm2:=Image(iso2);

Group([ (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (3,4) ])


110

gap> Elements(GPerm2);

[ (), (3,4), (1,2), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,3,2,4), (1,4,2,3), (1,4)(2,3) ]

Dikkat edilecek olursa yukarıdaki örneğimizde L[1] in izomorfik olduğu

permütasyon grubu GPerm i önce 8S içinde bulduk. Daha sonra

SmallerDegreePermutationRepresentation(GPerm) komutu kullanılarak GPerm

in izomorfik olduğu permütasyon grubu 4S içinde bulunmuştur. Görüldüğü gibi

SmallerDegreePermutationRepresentation(GPerm) komutu permütasyon

grubunun içinde buluduğu nS in derecesi n yi küçültmektedir.

IsomorphismFpGroup(G): G bir permütasyon grubu olmak üzere G den sonlu

takdimli (finitely presented=Fp) bir gruba izomorfizm tanımlayabilmemizi sağlayan

sorgudur. Örnrğin a=(1,3)(2,4), b=(1,4)(2,3), c=(3,4) olmak üzere a,b,c tarafından

doğurulan G grubunu tanımlayalım. Bu G grubu ile G ye isomorfik olan sonlu

takdimli grup arasındaki izomorfizme iso olarak tanımlayalım. iso nun görüntüsünü

belirleyelim ve ona H diyelim. Son olarak H nın elemanlarını listeleyelim. Tüm

bunlar aşağıdaki sorgular ile sırasıyla yapılmıştır.

gap> G:=Group([(1,3)(2,4),(1,4)(2,3),(3,4)]);

Group([ (1,3)(2,4), (1,4)(2,3), (3,4) ])

gap> iso:=IsomorphismFpGroup(G);

[ (3,4), (1,4)(2,3), (1,3)(2,4) ] -> [ F1, F2, F3 ]

gap> H:=Image(iso);

<fp group of size 8 on the generators [ F1, F2, F3 ]>

gap> Elements(H);

[ <identity ...>, F1*F2*F1, F1, F1*F2, F2, F1*F2*F1*F2, F2*F1,

F2*F1*F2 ]

5.5.Sylow Altgrupları Hakkındaki Sorgular

SylowSubgroup(G,p): yazıldığında G grubunun Sylow p-altgrubu sorgulanır.


111

gap> S:=SylowSubgroup(SymmetricGroup(8),2);

yazıldığında 8S simetrik grubunun Sylow 2-altgrubu S olarak tanımlanmış olur. Bu

tanım yapılıp enter tuşuna basılınca ekranda aşağıdaki bilgi gelir.

Group([ (1,2), (3,4), (1,3)(2,4), (5,6), (7,8), (5,7)(6,8),

(1,5)(2,6)(3,7)(4,8) ])

Bunun anlamı S grubunun, a=(1,2), b=(3,4), c=(1,3)(2,4), d=(5,6), e=(7,8),

f=(5,7)(6,8),g=(1,5)(2,6)(3,7)(4,8) olmak üzere , , , , , ,S a b c d e f g= grup

olduğudur. Bu S grubunun derecesi aşağıdaki gibi sorgulanırsa 128 olduğu bulunur.

gap> Order(last);

128

Benzer şekilde 8S in Sylow 3-altgrubu aşağıdaki gibi sorgulanır.

gap> S:=SylowSubgroup(SymmetricGroup(8),3);

Group([ (1,2,3), (4,5,6) ])

gap> Order(last);

9

Sylow teoremini hatırlayalım. Sylow p altgruplarının sayısı pn olmak üzere

1(mod )pn p≡ olduğunu hatırlayalım. Bir G grubunun Sylow p-altgruplarının

sayısını bulmak için öncelikle pn yi bulmayı sağlayacak bir fonksiyonu GAP

programında tanımlamalıyım. Bu fonksiyon n ve p değerlerine bağlı olarak

tanımlansın. n ile kastedilen pn sayısıdır. n ile bölünebilen 1+kp formundaki

sayıların kümesini oluşturan function(n,p) fonksiyonunu yazalım.

gap> Sylow:=function(n,p)


112

satırı yazılarak enter tuşuna basılır. Sonra istenen koşulu sağlayan sayıların kümesini

listeleyecek aşağıdaki satırlar yazılır.

> local M,S;

> M:=List([0..Int((n-1)/p)], k-> 1 + k*p);

> S:=Filtered(M,m->(n mod m) = 0);

> return S;

> end;

Bu satırlar yazıldıktan sonra tanımlanan fonksiyonun doğruluğunu belirten

function( n, p ) ... end

satırı ekrana gelir. function( n, p ) fonsiyonu yukarıdaki gibi tanımlandıktan sonra

kaç tane Sylow 2-altgrubu olduğu sorgulanabilir. Örneğin derecesi 84 olan bir

grubun derecesini önce çarpanlarına ayıralım.

gap> Factors(84);

[ 2, 2, 3, 7 ]

O halde derecesi 84 olan grubun Sylow 2-altgrubu, Sylow 3-altgrubu, Sylow 7-

altgrubu vardır. Şimdi derecesi 84 olan grubun kaç tane Sylow 2-altgrubu

olabileceğini sorgulayalım. Bunun için

gap> Sylow(84,2);

yazılıp enter tuşuna basılırsa ekrana

[ 1, 3, 7, 21 ]


113

ifadesi gelir. Bunun anlamı derecesi 84 olan grubun 1,3,7 veya 21 tane Sylow 2-

altgrubu olabilir. Benzer sorgular derecesi 84 olan grubun kaç tane Sylow 3-altgrubu

ve Sylow 7-altgrubu olduğu için yapılırsa aşağıdaki bilgiler elde edilir.

gap> Sylow(84,3);

[ 1, 4, 7, 28 ]

gap> Sylow(84,7);

[ 1 ]

Dikkat edilecek olursa derecesi 84 olan grubun Sylow 7-altgrubunun sayısı 1 dir.

Eğer bir Sylow p-altgrubunun sayısı 1 ise o alt grubun normal alt grup olduğu

hatırlanırsa derecesi 84 olan grubun bir aşikar olmayan normal alt grubu olup basit

değildir. Benzer sorguları derecesi 60 olan grup için aşağıdaki gibi yapılır. Tabi

öncelikle function( n, p ) tanımlanmış olmalı. Eğer bir kere GAP ta function( n, p )

tanımlanmış ise GAP penceresi katılana kadar bu fonksiyon kullanılabilir. GAP

penceresini her açtığımızda function( n, p ) fonksiyonu (eğer kullanacaksak)

tanımlanmalıdır.

gap> Factors(60);

[ 2, 2, 3, 5 ]

gap> Sylow(60,2);

[ 1, 3, 5, 15 ]

gap> Sylow(60,3);

[ 1, 4, 10 ]

gap> Sylow(60,5);

[ 1, 6 ]

Örnek 5.5.1: Derecesi 30 olan basit grubun bulunmadığını gösterelim. Önce 30

sayısını çarpanlarına ayıralım. Derecesi 30 olan grubun Sylow 2-altgrubunun, Sylow

3-altgrubunun ve Sylow 5-altgrubunun kaç tane olabileceğini sorgulayalım.

gap> Factors(30);


114

[ 2, 3, 5 ]

gap> Sylow(30,2);

[ 1, 3, 5, 15 ]

gap> Sylow(30,3);

[ 1, 10 ]

gap> Sylow(30,5);

[ 1, 6 ]

Dikkat edilecek olursa Sylow 3-altgrubunda ya 1 veya 10 tane ve Sylow 5-

altgrubupları 1 veya 6 tane olur. Sylow alt grupları ayrık olduğunu hatırlayalım. Kbul

edelim ki derecesi 30 olan grubun 10 tane Sylow 3-altgrubu ve 6 tane Sylow 5-

altgrubu olduğunu kabul edelim. Bu durumda birim elemanlar hariç Sylow 3-

altgruplarında 2.10=20 eleman ve Sylow 5-altgruplarında 4.6=24 olur. grubun içinde

derecesinden fazla eleman olamayacağından 20+24> 30 çelişkisi elde edilir. O halde

ya Sylow 3-altgrubu veya Sylow 5-altgruplarından 1 tane olmalıdır.Herhangi bir

Sylow p-altgrubundan 1 tane ise normal altgrup olup derecesi 30 olan grup basit

olamaz.

Stabilizer(G,x): Bir G grubunun x elemanının stabilizer alt grubunu bulmak için

kullanılan sorgudur. Örneğin α = (1,2,3)(4,5) elemanı tarafından doğurulan G

grubunun 1 elemanının Stabilizer alt grubunu bulalım. Bunun için aşağıdaki sorgu

yazılır.

gap> G:=Group((1,2,3)(4,5));

Group([ (1,2,3)(4,5) ])

gap> Stabilizer(G,1);

Group([ (4,5) ])

Bunun anlamı ( )(1) 4,5GStab = dir. Şimdi bu alt grubu H olarak belirleyelim

derece ve indeksini sorgulayalım.

gap> H:=Stabilizer(G,1);

Group([ (4,5) ])


115

gap> Size(H);

2

gap> Index(G,H);

3

Orbit(G,x): Bir G grubunun x elemanının orbitini bulmak için kullanılan komuttur.

Örneğin α = (1,2,3)(4,5) elemanı tarafından doğurulan G grubunun 1 elemanının

orbitini sorgulayalım.

gap> G:=Group((1,2,3)(4,5));

Group([ (1,2,3)(4,5) ])

gap> Orbit(G,1);

[ 1, 3, 2 ]

Bunun anlamı { }(1) 1,3, 2orb = kümesi olduğudur. Stablizer ve orbit arasındaki

ilişkinin [ ]( ) : ( )Gorb x G Stab x= olduğunu hatırlayalım. Gerçektende bizim

örneğimizde de 1 elemanı için [ ] 63 ( ) : ( ) 3( ) 2G

G

Gorb x G Stab x

Stab x= = = = =

olduğu görülür. Şimdi aynı G grubunun tüm elemanlarının orbitlerinin ne olacağını

sorgulayalım.

gap> Orbits(G,[1..5]);

[ [ 1, 2, 3 ], [ 4, 5 ] ]

Gerçektende { }(1) (2) (3) 1,3, 2orb orb orb= = = ve { }(4) (5) 4,5orb orb= = olup tim

elemanların orbitleri { } { }1,3, 2 veya 4,5 dir. Şimdi 5S için benzer sorguları yapalım.


Sym( [ 1 .. 5 ] )

gap> H:=Stabilizer(G,1);

Group([ (2,3,4,5), (4,5) ])


116

gap> Size(H);

24

gap> Index(G,H);

5

gap> Orbit(G,1);

[ 1, 5, 2, 4, 3 ]

gap> Orbits(G,[1..5]);

[ [ 1, 2, 3, 4, 5 ] ]

117

KAYNAKLAR

GAP web sayfası: http://www.gap-system.org

ADKINS W.A.,1992, WEINTRAUB S.H. Algebra an approach via modules theory,

Springer Verlag.

BHATTACHARYA R. B., JAIN S.K., NAGPAUL S:R:, 1994, Basic abstract

algebra, Cambridge University Pres.

CURTIS C.W.,REINER I., 1962, Representation theory of finite groups and

associative algebras, Wiley.

FEIT W., 1970, The current stuation in the theory of finite groups, Actes Intern.

Math.1, 55-93.

GRONSTEIN D., 1968, Finite groups, Harper and Row.

HARTLEY B., HAWKES T.O.,1970, Rings,modules ans linear algebra, Chapman

and Hall.

HILTON P., STAMMBACH U., 1976,On groups action on groups and associated

series, Math Proc. Cambridge Phil. Ser., 80,1,43-55.

LANG S., 1965, Algebra, Addison Wesley.

REICHTEIN Z:, 2004, Compressions of groups actions, Lecture Notes 35, AMS.

ROSE J.S.,1978, A course on group theory, Cambridge University Pres.

ROTMAN J.J., 1973, The theory of groups, Allyn and Bacon.

SHENKMAN E:, 1965, Group theory, Van Nostrand.

SMITH J.D., 2003,On dimension finite permutations of groups actions, Algebra

Geom., 44, 99-109.

ZASSENHAUS H., 1958, The theory of groups, Chelsea.

118

ÖZGEÇMİŞ

1980 yılında Kayseri’de doğdum. İlk ve orta öğrenimimi Kayseri’de

tamamladıktan sonra lise öğrenimimi Yozgat Şehitler Fen Lisesi’nde tamamladım.

1998 yılında Niğde Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans eğitimime başladım ve

aynı üniversiteden 2002 yılında mezun oldum. Aynı yıl Ç.Ü. Matematik Bölümünde

yüksek lisans eğitimime başladım. İki yıllık evliyim ve şu anda Kayseri’de özel bir

dershanede matematik öğretmeni olarak çalışmaktayım.

Çukurova Ünİversİtesİ - cu.edu.tr(sylow teoremi) m negatif olmayan tamsayı ve r de pozitif bir...

Documents