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UMA NOVA PROPOSTA PARA PARAMETRIZAÇÃO DA ESCOLIOSE UTILIZANDO ENCAIXE DE ELIPSES EM IMAGENS DE RAIO-X

JÚLIO CÉZAR COELHO, ALAN PETRÔNIO PINHEIRO, ANTÔNIO C. PASCHOARELLI VEIGA

Núcleo de Pesquisa em Processamento de Sinais, Faculdade de Engenharia Elétrica,

Universidade Federal de Uberlândia

Av. Getúlio Vargas, 230 Patos de Minas, MG, BR

E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract Scoliosis is a spine deformity generating a curve in the frontal plane. Although, its origin don't be well understood,

quantize the curvature is a very important task because the treatment of this disease is based on the correct evaluation of its pro-

gression. This demonstrate the importance of a precise and accurate method to detect variations in the spine shape. Studies have

shown that the golden standard, named as Cobb method, is not accurate neither precise. In this scenario, this paper proposes a

new method to quantize the scoliosis curve based on digital x-ray images. A computer method find to fit ellipses within the

curve. The results shown that ellipses parameters may be used to quantize the curve with success.

Keywords spine curvature, fitting ellipse, quantitative evaluation, pattern recognition.

Resumo A escoliose é uma deformidade da coluna vertebral que gera uma curvatura, geralmente, no plano frontal. Embora,

sua origem ainda não seja bem entendida, quantizar a curvatura é uma tarefa muito importante pois o tratamento desta doença é

feito a partir da avaliação da progressão de sua curva. Por isto é importante ter métodos sensíveis o suficiente para detectar pe-

quenas variações e ao mesmo tempo preciso para não gerar erros de medida. O método padrão, conhecido como Cobb, apresenta

sérias falhas. Em virtude disto, este artigo propõe uma nova metodologia de quantização da curvatura da escoliose baseada na

análise de imagens de raio-x digitalizadas. Um programa de computador avalia esta imagens e tenta encaixar uma elipse na cur-

vatura. Os parâmetros desta elipse são capazes de quantizar a curvatura da coluna com sucesso. Resultados preliminares indicam

que a curvatura da coluna pode ser bem representada por uma elipse de uma forma bem genérica.

Palavras-chave escoliose, encaixe de elipse, avaliação quantitativa, reconhecimento de padrão.

1 Introdução

A escoliose é um desvio predominantemente la-

teral da coluna vertebral que incide principalmente

em adolescentes do sexo feminino [1]. Quase 2% de

pessoas deste grupo sofrem de algum tipo de defor-

midade na coluna que pode estar associado à escolio-

se segundo Allen et al. [2]. Embora suas causas ainda

não sejam completamente conhecidas pela ciência,

acredita-se na existência de fatores genéticos que

geram uma predisposição a esta anomalia [3].

O tratamento geralmente abrange o uso de cole-

tes de postura podendo chegar até mesmo a interven-

ções cirúrgicas segundo o grau de progressão da

curvatura da escoliose. Deste modo, a medição corre-

ta desta curvatura é um ponto chave na avaliação do

paciente e de como deve ser seu tratamento. Contu-

do, por ser uma deformidade com características

geométricas complexas, sua estimação precisa e

exata é dificultada mesmo usando tecnologias avan-

çadas de imagem de raio-x. Em Oestreich et. al. [1]

foi apontado uma técnica de estereoscopia de ima-

gens de raios-x para reconstruir em imagem a defor-

midade da coluna e medi-la. Imagens de ressonância

magnética também são comuns para reconstrução

tridimensional da coluna. Já Chockalingam et. al. [4]

preferiram usar métodos assistidos por computador e

complexos algoritmos para avaliar imagens de raio-x

a fim de aferir medidas mais corretas da escoliose de

um grupo de pacientes. Allen et. al. [2] usaram um

complexo algoritmo de processamento de imagens

baseado em contornos ativos para segmentar, de

forma semi-automática, as vértebras contidas em

uma curvatura escoliótica e assim empregar o méto-

do clássico de Cobb.

Graças aos recursos da computação científica e

pelo processamento digital de imagens, a literatura

científica tem mostrado uma série de trabalhos [2,4-

5] que empregaram programas de computador capa-

zes de reproduzir o clássico método de Cobb, visan-

do diminuir as fontes de erro de avaliação humana

presentes no método original. Mesmo assim, alguns

estudos [6,7,8] reportaram erros de medidas relati-

vamente elevados na avaliação da coluna tendo sido

reportados erros médios de 2,8° com o uso do méto-

do de Cobb digital podendo chegar até 10,0° [8].

Outros autores [6] também apontaram que tanto o

método manual quanto o método digital (e.g., com-

putadorizado) tem erros equivalentes colocando em

dúvida os benefícios dos resultados numéricos pro-

duzidos por Cobb digitalmente.

A prática clínica prega que um aumento médio

de 5° na curvatura em um período aproximado de um

ano, pode indicar forte progressão da doença [4] e

assim induzir a um tratamento equivocado pois esta

medida pode ser resultados de um erro inerente ao

método ou a subjetividade do avaliador (que delimita

de forma equivocada as vértebras que indicam o

início e o fim da curvatura, por exemplo) e não a um

real aumento da curvatura.

Neste contexto, este trabalho propõem um novo

método alternativo para quantizar a curvatura da

escoliose no plano frontal utilizando técnicas de

reconhecimento de padrões em imagens digitais de

raio-x. Os principais pontos de subjetividade ineren-

tes ao método de Cobb, e discutidos posteriormente

neste trabalho, são suprimidos no método proposto

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

2903

que tem intervenções mínimas do usuário avaliador.

Com isto o método visa uma melhor precisão, exati-

dão e reprodutibilidade em suas medidas a fim de

melhor respaldar as avaliações de pacientes que so-

frem de escoliose. Na seção 2 deste trabalho, é feita

uma descrição do tradicional método de Cobb e ou-

tros métodos de parametrização da curvatura escolió-

tica. Na seção 3 é apresentado o método proposto e

na seção 4 são ilustrados e discutidos os resultados

preliminares alcançados pelo método aqui proposto.

2 Revisão da literatura

2.1 Método de Cobb

O método de Cobb [6] é o mais usado para pa-

rametrizar a curvatura escoliótica da coluna sendo

considerado o método padrão na área médica [10]. O

ângulo de Cobb é medido a partir da seleção das duas

vértebras - que apresentam as maiores inclinações - e

a projeção de uma linha na base ou topo de cada uma

destas duas vértebras selecionadas [1] . A Figura 1

ilustra uma das formas de se estimar o ângulo de

Cobb.

Figura 1. Método de cálculo do ângulo de Cobb: após definir as

vértebras que indicam o limite superior (LS) e inferior (LI) da

curvatura, traça-se uma reta tangente ao platô inferior de LI e

superior à LS. A interseção destas linhas é o ângulo de Cobb

(ângulo â). Em ângulos menores, a interseção destas linhas é

dificultada. Neste caso, deve-se traçar linhas perpendiculares as

retas A e B. A interseção destas projeções perpendiculares formam

o ângulo �� que também corresponde ao valor de Cobb.

Apesar de sua simplicidade, o que facilita o em-

prego do método na prática clínica, o método é criti-

cado por ser subjetivo quanto a seleção das vértebras

tendo em vista que nem sempre é visível quais vérte-

bras são as mais inclinadas. Isto implica dizer que

avaliadores diferentes podem escolher vértebras

diferentes para uma mesma imagem e assim gerar

medidas diferentes. Até um mesmo avaliador pode,

em diferentes momentos, escolher diferentes vérte-

bras para calcular o ângulo gerando um erro avaliado

na literatura especializada como erro intra-

observador [6].

Ainda, outra crítica séria ao método é que o ân-

gulo reflete apenas uma geometria determinada por

duas vértebras. As demais vértebras presentes conti-

das na curvatura não interferem diretamente no cál-

culo da inclinação e são desconsideradas [5].

2.2 Outro métodos de parametrização

A literatura científica apresenta algumas outras

tentativas de parametrização da curvatura da coluna

usando imagens de raio-X ou similares [10, 11]. A

Figura 2 ilustra esquematicamente as principais.

Nenhuma delas alcançou o mesmo sucesso clínico

que Cobb e apresentam limitações similares.

(a) (b) (c)

Figura 2. Diferentes metodologias empregadas para quantizar

desvios laterais da coluna no plano frontal.

Na Figura 2(a), temos a projeção vertical de uma

reta R1 que deve ser perpendicular ao plano horizon-

tal do indivíduo. A partir desta reta auxiliar, determi-

na-se a máxima distância desta reta até o ponto de

maior desvio da coluna. Esta distância D quantiza a

curvatura indicando o desvio lateral da coluna. Já no

modelo ilustrado na Figura 2(b), também denomina-

do como "balanço" da coluna, mede-se a distância

R2 da borda da imagem até uma vértebra onde acre-

dita-se começar a desvio. Este processo é repetido

em outra vértebra na parte inferior da imagem esti-

mando-se a distância ilustrada como R3 na figura. O

balanço é medido pela relação |R2-R3| e indica a

diferença entre o alinhamento da região lombar com

a cervical. Por fim, na Figura 2(c) traça-se duas retas

tangentes a região formando entre elas um ângulo

"û". Esta medida angular também é denominada de

ângulo de Ferguson. Várias outras metodologias de

natureza similar a estas ilustradas são descritas no

trabalho de revisão de Vrtovec e co-autores [10].

Apesar da grande quantidade e variedade de mé-

todos que se propõem a quantizar desvios da coluna

em diferentes planos, a maior parte deles apresenta

uma série de subjetividades na determinação de retas,

pontos ou ângulos de referência que prejudicam a

precisão e reprodutibilidade de suas medidas e por

consequência a avaliação da progressão da doença.


2904

3 Método Proposto

3.1 Metodologia

Para que o método apresente uma contribuição

significativa, é necessário que ele apresente alguns

avanços relacionados ao (i) decremento da subjetivi-

dade das avaliações através da menor intervenção

possível do usuário no cálculo da curvatura; (ii) seja

capaz de inserir na medida todas (ou a maior parte)

das vértebras contidas na curvatura e (iii) tenha sim-

plicidade suficiente para que possa ser facilmente

interpretado e executado por um computador para

que profissionais da prática clínica possam usá-lo

como método alternativo e complementar ao Cobb.

Para atender aos requisitos descritos anterior-

mente, foram selecionados um conjunto de imagens

de raio-x de indivíduos com diferentes níveis de

escoliose para pré-avaliação. Nestas imagens, foram

testadas manualmente diferentes formas geométricas

(e.g., círculos, elipses, polinômios de interpolação)

para avaliar qual representa melhor o formato de uma

coluna com escoliose. A partir destas análises preli-

minares, verificou-se que a elipse era a forma geomé-

trica que melhor se encaixava na curvatura e ao

mesmo tempo apresentava medidas geométricas mais

facilmente compreensíveis. Diante disto, a ideia

básica do método é encontrar da forma mais automá-

tica possível os parâmetros geométricos de uma elip-

se que melhor se encaixa ao formato da deformidade.

O processo tem início com a determinação da

centroide de cada vértebra. Para determinar esta

centroide, foi usada a metodologia proposta em [11].

Nela, devem ser selecionados os quatro cantos de

cada vértebra da coluna conforme ilustra a Figura

3(a). Uma vez selecionados pelo usuário (através de

cliques do mouse), estes pontos são interligados na

diagonal através de linhas de referência cuja interse-

ção é definida como sendo a centroide da vértebra.

As centroides de cada uma das vértebras são na se-

quência interligadas por uma função polinomial

cúbica (i.e., spline [12]) para dar suavidade ao for-

mato da curva da coluna conforme ilustra a Figura

3(b).

Uma vez estimada a linha guia, o método já tem

ao seu dispor uma curva que matematicamente repre-

senta o formato básico da coluna. O próximo passo é

empregar um algoritmo de reconhecimento de pa-

drões para fazer um encaixe de elipse buscando o

formato de elipse que melhor se adéqua as curvas

encontradas na linha guia. Esta próxima etapa do

método é descrita na próxima subseção.

Durante os testes do método foram avaliados as

imagens digitalizadas de raio-x de dez pacientes com

diferentes níveis de escoliose idiopática (que varia-

ram, em média, de 20° a 60° segundo Cobb). A cole-

ta de dados das imagens de raio-x foram aprovadas

pelo comitê de ética da Faculdade de Medicina de

Ribeirão Preto da Universidade de São Paulo .

(a) (b)

Figura 3. (a) Determinação do centro das vértebras através da

seleção das quatro extremidades de cada uma das vértebras. (b)

Ligação dos centros de cada uma das vértebras gerando o formato

aproximado da coluna.

3.2 Encaixe de Elipse

A literatura voltada a trabalhos de reconheci-

mento e encaixe de elipse em imagens é dividida em

duas técnicas: agrupamento de dados (e.g., cluste-

ring) ou por otimização baseada na redução do erro

quadrático médio (também conhecida como least-

squares fitting) ou, simplesmente, mínimos quadra-

dos. Esta última estratégia foi a escolhida neste traba-

lho e se baseou na adaptação proposta em [13]. Sua

escolha é justificada pela rapidez e simplicidade

computacional do método além de geralmente apre-

sentar bons resultados para amostras pouco ruidosas

[13]. Como a linha guia da Figura 3(b) é suavizada

pela técnica de spline, boa parte dos ruídos são su-

primidos facilitando o emprego deste método de

encaixe de elipse.

A técnica de mínimos quadrados busca encontrar

um grupo de parâmetros que minimiza a distância

geométrica entre um modelo de elipse corrente em

relação aos pontos de referência em que esta elipse

deveria se encaixar. Neste caso, os pontos de referên-

cia são as coordenadas das centroides das vértebras

que estão presentes na curva escoliótica e serão de-

signadas por um vetor x. Por exemplo, se uma curva-

tura escoliótica envolve sete vértebras, cada um com

coordenadas (u,v) medidas em pixels, cada vértebra i

é designada pelo vetor xi=[ui2, uivi, vi

2, ui, vi, 1] . Já

os parâmetros do modelo de uma elipse serão desig-

nados por um vetor p = [a, b, c, d, e, f]. Os elementos

deste vetor indicam os parâmetros que definem uma

elipse genérica através da equação (1). A Figura 4

ilustra o significado destes parâmetros para uma

cônica do tipo elipse.

,0fevducvbuvaux.p)x,p(22

=+++++==F (1)


2905

Figura 4. Parâmetros geométricos de uma elipse. A equação geral

da elipse é dada em (1). As coordenadas (xc,yc) de seu centro são

dadas pela relação xc= (cd-bf)/(b²-ac) e yc= (af-bd)/(b²-ac). Os

parâmetros a, b, e c do vetor p são geometricamente ilustrados na

figura. Os outros parâmetros indicam características geométricas

implícitas da elipse.

Assim, a função F(p, xi) indica a "distância al-

gébrica" entre a centroide de uma vértebra i de uma

elipse definida pelo vetor p. Um encaixe perfeito

produz F(p, xi)=0 indicando que a centroide xi obe-

dece perfeitamente à Equação (1). Deste modo, en-

contrar a elipse que melhor se encaixa as N vértebras

de uma curvatura é o mesmo que minimizar a soma

da distância algébrica quadrática (designada pelo

valor D) de cada vértebra em relação a um dado vetor

p como em:

∑=

=

N

1i

2)x()p( iFD (2)

Ou seja: dado um vetor p que representa uma

certa elipse e um grupo de N vértebras representadas

pelas coordenadas xi cada uma delas, quanto menor o

valor de D, melhor a elipse p se encaixa na coluna.

Para evitar a solução trivial de (2), que seria

p=[0, 0, 0, 0, 0, 0] e que qualquer solução múltipla

de p representa uma mesma elipse, o vetor p deve

sofrer certas restrições. Muitos dos algoritmos pre-

sentes na literatura técnica diferem na forma de apli-

car esta restrição necessária. No caso deste trabalho a

restrição será determinada por uma matriz de restri-

ção K tal que

1KppT

= (3)

onde K tem dimensões 6x6. Uma vez definida a

matriz de restrição para encontrar um vetor p ade-

quado, a minimização de (2) pode ser resolvida con-

siderando a Equação (3)

λKpGpGT

= (4)

onde G é a matriz definida por G=[x1, x2 ... xN]

contendo todas as coordenadas de todas as vértebras

contidas na curva escoliótica. Aqui, λ indica os auto-

vetores do sistema. Assim, tanto as coordenadas das

vértebras quanto a matriz de restrição K tentam for-

çar a busca por um vetor de parâmetros de elipse (p)

adequado. Ainda, a Equação (1) é a equação geral de

uma cônica. Pode-se ainda impor uma restrição adi-

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5. Resultados da avaliação de 4 diferentes indivíduos pelo método proposto. (a) Indivíduo 1 com curvatura φ=0.3240. (b) Indivíduo 2 com

curvatura φ=0.7383. (c) Indivíduo 3 com curvatura φ=0.5499. (d) Indivíduo 4 com curvatura φ=0.2088.


2906

cional para forçarmos o resultado a uma elipse espe-

cífica fazendo-se 4ac-b2=1. Segundo a comparação

com (3), temos que neste caso a matriz K deve ser

dada por:

1p

000000

000000

000000

000002

000010

000200

pT=

−

(5)

Deste modo, o algoritmo de encaixe de elipse

visa minimizar ||Gp||2 quando sujeito à restrição apre-

sentada em (5).

Finalmente, para quantizar a curvatura da colu-

na através do encaixe de uma elipse, será usado a

relação φ=b/a, calculada a partir do vetor p. Deste

modo, φ parametriza a curvatura da coluna.

4 Resultados e Discussão

A Figura 5 ilustra o resultado alcançado pelo

método proposto para os quatro primeiro indivíduos

analisados. Em todas as imagens o método foi capaz

de encontrar uma elipse que se encaixa-se nas curva-

turas que variaram de moderada (Figura 5d) até cur-

vaturas mais severas como a mostrada na Figura 5b.

Em ambos os casos o valor de φ foi capaz de refletir

os diferentes níveis de curvatura. As elipses encon-

tradas também apresentaram bom encaixe sendo

capazes de se aproximarem de todas as vértebras que

fizeram parte da curvatura. Dos quatro indivíduos

analisados, o maior erro relativo médio encontrado

foi de 3% entre o modelo de elipse e a linha guia

formada pelas centroides das vértebras.

O indivíduo 1 apresentou uma curvatura

φ=0.3240. O indivíduo 2, de maior curvatura, obteve

φ= 0.7383. Os demais indivíduos obtiveram, respec-

tivamente, valores φ=0.5499 e φ=0.2088. Mesmo

com a repetição do cálculo o método encontrou valo-

res muito próximos destes inicialmente encontrados

indicando boa reprodutibilidade. Isto se deve prova-

velmente ao fato de que o método exige pouca inter-

venção humana no cálculo.

Em alguns casos, como os ilustrados nas Figu-

ras 6(a) e 6(b) temos situações onde o processo de

encaixe de elipse não demonstrou um bom encaixe.

Provavelmente a tentativa do algoritmo de incluir as

vértebras mais superiores e inferiores da linha guia

fizeram com que este encaixe não fosse adequado.

Assim, estes resultados dão a entender que é interes-

sante o usuário selecionar a região da coluna que se

deseja quantizar pois senão o algoritmo tentará inclu-

ir a maior quantidade de vértebras possíveis até

mesmo as que não tem grande relevância na defor-

midade mas que podem dificultar o cálculo da curva-

tura por elipse.

As próximas etapas da pesquisa buscarão (i) im-

plementar um algoritmo de processamento de ima-

gens capaz de fazer a segmentação automática da

vértebra e também o cálculo de sua centroide visando

reduzir ao máximo possível a intervenção manual do

operador e sua parcela de subjetividade nos resulta-

dos; (ii) a aplicação de um método de otimização

numérica baseado em algoritmos genéticos buscando

otimizar o encaixe de elipse e evitar ao máximo ca-

sos degenerados como os apresentados aqui. Preten-

de-se também aumentar a quantidade de amostras

analisadas e comparar os resultados do método pro-

posto com os de Cobb para avaliar como ambos são

capazes de avaliar a presença ou ausência de uma

evolução na progressão da curvatura da coluna.

Agradecimentos

Os autores deste trabalho agradecem o apoio

da FAPEMIG, PROPP/UFU e as colaborações de

Michele Tanure e Anamaria Siriane.

(a) (b)

Figura 6. Casos degenerativos onde o reconhecimento da elipse falhou.


2907

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