un po’ di storia: pompa a vite di archimede (287-212...

Un po’ di storia:Pompa a vite di Archimedep(287-212 A.C.)

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Nel corso del I secolo A.C. l’architetto e ingegnere romano Vitruvio Vitruvio introdusse la ruota idraulicaruota idraulica, una macchina che ,rivoluzionò il sistema di macinazione.… …N t t l li i i d ll fl id di iNonostante le numerose applicazioni della fluidodinamica…… ulteriori sviluppi in questo campo furono ritardati dal fatto che poco si sapeva dei suoi principi teorici fondamentalipoco si sapeva dei suoi principi teorici fondamentali che, poco si sapeva dei suoi principi teorici fondamentalipoco si sapeva dei suoi principi teorici fondamentali.

Dopo il contributo di Archimede (II sec. A.C.), p ( )dovettero passare più di 1800 anni dovettero passare più di 1800 anni prima che venisse compiuto un progresso i ifi ti significativo.

Ciò avvenne per merito diEvangelista Torricelli Evangelista Torricelli (1608-1647) Evangelista Torricelli Evangelista Torricelli (1608 1647), il quale nel 1643 inventò il barometro.nel 1643 inventò il barometro.

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I successivi progressi della meccanica dei fluidi si ebbero per opera di due matematici svizzeridue matematici svizzeri Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli (1700-1782) opera di due matematici svizzeridue matematici svizzeri Daniel Bernoulli Daniel Bernoulli (1700 1782) e Leonhard Euler Leonhard Euler (1707-1783).

BernoulliBernoulli scrisse nel 17381738 il trattato “Hydrodynamica, sive de viribus et motibus Hy r ynam ca, r u t m t u fluidorum commentarii”, nel quale risolse molti problemi concreti di dinamica dei fluidi d ò l l d e dimostrò la legge di conservazione

che porta il suo nome:Teorema di BernoulliTeorema di Bernoulli.

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EuleroEulero nel 17551755, applicando allo studio deifluidi i tre principi della dinamica enunciati fluidi i tre principi della dinamica enunciati da Isaac Newton, scrisse le equazioni equazioni fondamentali per il moto di fluidi ideali, fondamentali per il moto di fluidi ideali,

èècioè non viscosicioè non viscosi.

Eulero per primo riconobbe inoltre Eulero per primo riconobbe, inoltre, che l’unica possibilità di enunciare leggi relativamente semplici per la gg r at am nt mp c p r a dinamica dei fluidi fosse quella di limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali, limitare lo studio ai fluidi incomprimibili e ideali,

d l ff d ll’ d l ff d ll’ ossia di trascurare gli effetti dell’attrito internoossia di trascurare gli effetti dell’attrito interno.

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I fluidi idealifluidi ideali sono delle approssimazioni dei fluidi realifluidi reali.I risultati dell’analisi di Eulero possono essere considerati solopuna stima approssimata del comportamento dei fluidi reali.

I i i i ti l t b l ità di fl idi i i t b l ità di fl idi i i I primi esperimenti sul moto a bassa velocità di fluidi viscosi moto a bassa velocità di fluidi viscosi furono condotti: - nel 18391839 dal fisiologo JeanJean--LèonardLèonard--Marie PoiseuilleMarie Poiseuille- nel 18391839 dal fisiologo JeanJean--LèonardLèonard--Marie PoiseuilleMarie Poiseuille(1799-1869), interessato a determinare le proprietà della circolazione del sangue. g- nel 18401840 dall’ingegnere idraulico tedesco GotthilfGotthilf--HeinrichHeinrich--Ludwig HagenLudwig Hagen (1797-1884).

I primi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelleprimi tentativi di includere gli effetti della viscosità nelleequazioni matematiche del moto dei fluidiequazioni matematiche del moto dei fluidi si devono inveceequazioni matematiche del moto dei fluidiequazioni matematiche del moto dei fluidi si devono inveceall’ingegnere francese ClaudeClaude--LouisLouis--Marie NavierMarie Navier (1785-1836)e al matematico britannico George Gabriel StokesGeorge Gabriel Stokes (1819-1903)

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gg ( )il quale, nel 18451845 formulò le equazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibiliequazioni fondamentali per i fluidi viscosi incomprimibili.

Cenni sulla dinamica dei fluidi:Cenni sulla dinamica dei fluidi:

Lo sforzo di tagliosforzo di taglio è una forza per unità di superficie che agisce p gparallelamente alla superficie considerata. F//

La pressionepressione è una forza per unità SF//

La pressionepressione è una forza per unità di superficie che agisceperpendicolarmente alla superficie p p pconsiderata.

F

Un fluidofluido è un sistema continuo che non può opporre non può opporre

S

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Un fluidofluido è un sistema continuo che non può opporre non può opporre sforzo di taglio quando è a ripososforzo di taglio quando è a riposo.

Esperimento:

Si ponga il materiale fra Si ponga il materiale fra due lastre parallele e lo si sottoponga ad uno si sottoponga ad uno sforzo di taglio esternosforzo di taglio esternoottenuto mediante un peso.

La lastra che si sposta verso destra si muoverà con una certavelocità vv che è funzione di una proprietà del fluido che prendevelocità vv che è funzione di una proprietà del fluido che prendeil nome di viscosità dinamica .La forza per unità di superficie della lastra, quindi lo sforzo diLa forza per unità di superficie della lastra, quindi lo sforzo ditaglio esercitato sulla lastra, è proporzionale alla velocità vvdi questa ed inversamente proporzionale alla distanza hh tra ledue lastre:

hv

SF

hv

SF ////

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hShS

L’equazione per lo sforzo di taglio in un fluido reale

hv

SF //

può essere generalizzata a due strati adiacenti di fluido separati da una distanza dy entrambi in movimento nella

hS

separati da una distanza dy, entrambi in movimento nella direzione x. Adesso dvdv rappresenta la differenza di velocitàtra i due strati, e dv/dydv/dy è la velocità di deformazione tangenziale o gradiente di velocità. L’ i di t l ì d tt L’equazione diventa la così detta legge di Newton della viscositàlegge di Newton della viscosità:

dydvSF

dydv

SF //

//

= = (T,p) (T,p) dydyS

8 T - - p

dF

ddvSF //

//

dydvSdy//

FF ][ TLMTSF

LTS

F

11

1 ]][][[...]][[]][[

][][

LS ]][[

kgsPasNU SI )(

dynemxs

sPasm

U SI 2 ...)(

9PoisesBas

cmdyneU CGS 2)(

Quando il legame tra lo sforzo di taglio ed il gradiente di velocità é una costante,

n = 1n = 1g ,

il fluidofluido viene detto newtonianonewtoniano. L’acqua é un fluido newtoniano.

ddvSF

ddv

SF //

//

dydySn < 1n < 1

Altrimenti il fluidofluido è non newtonianonon newtoniano:

n

n

dydvk

SF

//

1 1

k = viscosità apparente

y n > 1n > 1

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ppn > 1n > 1 fluido dilatanten < 1n < 1 fluido pseudoplastico

Equazione di continuità o bilancio di massa:Equazione di continuità o bilancio di massa:

La massa di fluido che entraLa massa di fluido che entra da un estremo di un tubo deveuscire dall’altro estremo sese nel tratto considerato non si

ifi lt t t it di fl id h i verificano altre entrate o uscite di fluido che aggiungano o sottraggano materia.In un intervallo di tempo t:In un intervallo di tempo t:

2211222111 )()( vAvAtvAmtvAm 2211222111 )()(

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Portata in massa QPortata in massa Qmm e portata volumetrica Qe portata volumetrica QVV

Le due portate sono entrambe costanti in ognipunto lungo un tubo se questo ha un unico punto dipunto lungo un tubo se questo ha un unico punto dientrata ed un unico punto di uscita della correntefluida.fluida.

dtdmQm

skgQU SIm )( Per es.:

“carburante”

tAvtAvVdt

cos

s

dVQ

tAvtt

cos

m3

tAVdtdVQV

s

mQU SIV )( Per es.:“acqua”

12tAvt

tAvtV cos

Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido incomprimibile e non viscosoincomprimibile e non viscoso

cos tvA manometro

21 vAA

12

vvAAsevA

1221 vvAAse

Se il fluido subisce un aumentoSe il fluido subisce un aumentodella quota, la pressione in basso dovrà essere maggiore

àdella pressione alla sommità,se la velocità deve rimane costante

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costante.

Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido Teorema di Bernoulli per un fluido ideale, cioè un fluido incomprimibile incomprimibile e non viscosoe non viscoso

Non è altro che il principio di conservazione dell’energiameccanica applicato ad un fluido ideale in movimentomeccanica applicato ad un fluido ideale in movimento.

cos1 2 tghvp

)(cos][][cos

2

3

JtUenergiat

gp

SI

][][

)(][][ 3

ghmghmvolume SI

1]1[

][][

2mv

gvolume

]21[

][

]2

[2v

volume

mv

14][][

][ pvolume

xpS

L_TOT = L_GRAV + L_PRESS = E_CINETICA

L_GRAV(if) = (-Mg)(h_f – h_i) = +Mg(h_i – h_f)

L PRESS(if) ( i f)(M/ )L_PRESS(if) = (p_i – p_f)(M/)

E CINETICA = (1/2)M(v f)2 - (1/2)M(v i)2E_CINETICA = (1/2)M(v_f) - (1/2)M(v_i)

M (h i h f) ( i f)(M/ ) (1/2)M( f)2 (1/2)M( i)2Mg(h_i – h_f) + (p_i – p_f)(M/) = (1/2)M(v_f)2 - (1/2)M(v_i)2

“/ M” & “ ”“/ M” & “x ”

g(h i – h f) + (p i – p f) = (1/2)(v f)2 - (1/2)(v i)2g(h_i h_f) + (p_i p_f) = (1/2)(v_f) (1/2)(v_i)

g(h i) + (p i) + (1/2)(v i)2 = g(h f) + (p f) + (1/2)(v f)2

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g(h_i) + (p_i) + (1/2)(v_i) = g(h_f) + (p_f) + (1/2)(v_f)

Venturimetro: applicazione del teorema di BernoulliVenturimetro: applicazione del teorema di Bernoulli

Strumento per la misura della velocità di un fluido in un tubo orizzontale nell’ipotesi di un fluido idealeun tubo orizzontale nell ipotesi di un fluido ideale.

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)(21)(

21 2

222

11 vpvp 22

1AvvvAvA 2

122211 AvvvAvA

v1

)(1)(1 212 A 1

)(2

)(2

2

2

112

211 A

vpvp

1)(21

1212

1 ppAAv

)(2

2

122

2

ppA

A

17)(2

)(12

12

21

ppAA

Av

Moto dei fluidi ideali e reali in regime laminareMoto dei fluidi ideali e reali in regime laminare

In un fluido ideale fluido ideale In un fluido realefluido reale si manifestaIn un fluido ideale fluido ideale (non viscoso)(non viscoso) tutte le Particelle di fluido in una

In un fluido realefluido reale si manifestaUn attrito interno (viscosità) Tra strati adiacenti di fluido

sezione trasversale del tubo hanno la stessa velocità.

che scorrono l’uno sull’altro.Il fluido è in quiete vicino alle

ti d l t b d h l i18

pareti del tubo ed ha la massimavelocità al centro del tubo.

Moto dei fluidi reali in regime laminare: PoiseuilleMoto dei fluidi reali in regime laminare: Poiseuille

Affichè un fluido reale (≠ 0) possa scorrere con moto laminarestazionario (v = cost) in un condotto cilindrico orizzontale, è( ) ,necessario applicare una p = (pp = (p22 –– pp11) ≠ 0 ) ≠ 0 .

dVL8dtdV

RLp 4

8

dtR

19

pRdVdVLp 8 4

LdtdtRp

84

R(R/2)

pp p x 2p x 244

Per mantenere costante la portata volumetrica Qportata volumetrica QVV di un di un Fluido realeFluido reale in moto in un tubo orizzontale in regime laminare

i i bi l i dse questo si restringe, bisogna aumentare la pressione secondoLa Legge di Poiseille… non c’e’ una legge corrispondente in regime non laminare (turbolento)

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regime non laminare (turbolento).

Moto dei fluidi reali in regime non laminareMoto dei fluidi reali in regime non laminare(turbolento vorticoso)(turbolento vorticoso)(turbolento, vorticoso)(turbolento, vorticoso)

v > vcc

rRv

rv ecc

dVLp 4

8

dVLp 4

8

dtRp 4

dtR

p 4

Passando da regime laminare aIn regime laminare Passando da regime laminare aregime turbolento (v > vc) QQVV = dV/dt = dV/dt si si riduce riduce

In regime laminare QQVV = dV/dt = costante= dV/dt = costantese manteniamo p

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QQVVpur mantenendo pur mantenendo p costante p costante utilizzando la Legge di Poiseuille

psecondo laLegge di Poiseuille


rv rvRr

Rvr

v eecc

1dvS

FdrdvSF

)(

1122

drdvSdr

]][][[]][][[][]][[]][[][

13

1122

LTLMLvrTMLTLMLTTp

][][

]][][[]][[]][][[][ 000

11 TLMTML

LTLMLTp

vrRe

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Nascita Nascita di di turbolenzeturbolenzeNascita Nascita di di turbolenzeturbolenzese v > vc e se in presenza di: - variazioni di sezione- gomiti, - rotture del condotto.

Laminare Instabile Turbolento

232000 3000Re

Laminare Instabile Turbolento


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un po’ di storia: pompa a vite di archimede (287-212...

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