una experiencia de construcción de triángulos con geogebra en

Título: UNA EXPERIENCIA DE CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS CON GEOGEBRA EN UNA ESCUELA DE GESTIÓN ESTATAL.

Autores: ARBEZ CHALABE, Martin- ROMANENGHI, Eric

Profesoras: DELGADO PIÑOL, Érika - ESTELEY, Cristina - LOSANO, Leticia - VILLARREAL, Mónica - VIOLA, Fernanda.

Carrera: Profesorado en Matemática.

Fecha: 21 – 11 – 2013.

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CLASIFICACIÓN:

97 Mathematical Education

PALABRAS CLAVES:

Geometría, GeoGebra, Tecnología

RESUMEN:

En el presente informe se describirán las prácticas realizadas en una escuela secundaria de la

ciudad de Córdoba. Dichas prácticas se desarrollaron en dos divisiones de primer año.

Se trabajó con conceptos básicos de Geometría desde la noción de lugar geométrico,

utilizando las construcciones geométricas como medio para introducir propiedades de los

objetos, que a su vez permitieran la deducción y descubrimiento de nuevas propiedades.

Para lograr el objetivo anteriormente propuesto, se trabajó con un software específico

(GeoGebra) que posibilita una mirada dinámica de la Geometría.

Por último, se abordó desde un punto de vista teórico la incidencia de las nuevas tecnologías

en la enseñanza de la Geometría.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CÓRDOBA

FACULTAD DE MATEMATICA ASTRONOMIA Y FISICA

METODOLOGIA Y PRÁCTICA DE LA ENSEÑANZA

Una experiencia de construcción de triángulos con GeoGebra en

una escuela de gestión estatal.

Arbez Chalabe, Martin

Romanenghi, Eric F.

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Universidad Nacional de Córdoba

Facultad de Matemática, Astronomía y Física

INDICE

1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 6

1.1. La institución ....................................................................................................................... 7

1.2. Los cursos ............................................................................................................................. 9

2. DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN AULA ............................................................. 13

2.1. Planificación de la profesora .............................................................................................. 13

2.2. Planificación ...................................................................................................................... 15

2.2.1. Objetivos y metas .......................................................................................................... 16

2.2.2. Selección y secuenciación de contenidos ...................................................................... 16

2.2.3. Selección de materiales y recursos ................................................................................ 17

2.3. De lo planificado a lo implementado .................................................................................. 18

2.4. Descripción de las clases .................................................................................................... 19

2.4.1. Clase 1 ........................................................................................................................... 19

2.4.2. Clase 2 ............................................................................................................................ 22

2.4.3. Clase 3 ............................................................................................................................ 26

2.4.4. Clase 4 ............................................................................................................................ 29

2.4.5. Clase 5 ............................................................................................................................ 33

2.4.6. Clase 6 ........................................................................................................................... 34

2.4.7. Clase 7 ............................................................................................................................ 35

2.4.8. Clase 8 ............................................................................................................................ 36

3. EVALUACIÓN ............................................................................................................................... 38

3.1. Objetivos de las actividades ............................................................................................... 41

3.1. Criterios de evaluación ....................................................................................................... 41

3.2. Resultados .......................................................................................................................... 42

3.2.1. Método de construcción de las estadísticas .................................................................. 42

3.3. Conclusiones ....................................................................................................................... 46

4. ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA .............................................................................................. 48

5. REFLEXIONES FINALES ................................................................................................................. 61

6. Bibliografia ................................................................................................................................. 62

Universidad Nacional de CórdobaFacultad de Matemática, Astronomía y Física

7. Anexo A: Métodos de cálculo de las estadísticas ........................................................................ 63

8. Anexo B: Material elaborado por los practicantes ...................................................................... 65

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1. INTRODUCCIÓN

A largo de este informe se describirá la experiencia de práctica docente realizada por los

estudiantes de la Universidad Nacional de Córdoba, Eric Romanenghi y Martín Arbez Chalabe. Esta

actividad se enmarca en la materia Metodología, Observación y Práctica de la Enseñanza (MOPE)

del cuarto año del Profesorado de Matemática en la Facultad de Matemática Astronomía y Física.

Esta materia se presenta como un espacio de formación que apunta al desarrollo de un futuro

docente que lleve a cabo sus actividades de forma conjunta con pares y que pueda reflexionar

sobre el papel sociocultural de su tarea.

Los objetivos generales son:

• Reconocer y aplicar críticamente los diseños curriculares del Ciclo Básico y del Ciclo

Orientado del nivel secundario del área matemática vigentes en la Provincia de Córdoba como

herramientas de la práctica profesional.

• Comprender los principios básicos de la planificación de la enseñanza y aplicarlos tanto

para una clase como para una unidad.

• Planificar y diseñar actividades para la enseñanza de un saber fundamentadas en

desarrollos teóricos y tendencias actuales de la educación matemática.

• Analizar la presencia y ubicación del contenido a enseñar en el Diseño Curricular y en

las propuestas editoriales.

• Implementar prácticas en aulas de nivel secundario o superior.

• Evaluar, validar y reflexionar críticamente las prácticas realizadas en aula, considerando

las etapas de la práctica docente, las dificultades encontradas, los problemas y soluciones

propuestas, la valoración personal de su propia experiencia.

Principalmente se espera que este informe de cuenta del cumplimiento de dichos

objetivos. Por otro lado, existe la expectativa de que sea de utilidad para otros docentes o futuros

docentes, entendiendo la importancia de compartir experiencias, comunicarse y trabajar con

otros. Se debe tomar en cuenta que durante toda la producción de este informe el mismo ha sido

tomado como un espacio de reflexión personal de los involucrados en torno a sus prácticas, un

lugar donde se pueda llevar al papel lo vivido. Asimismo, se espera obtener algunas conclusiones

que sirvan para futuras prácticas.

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La práctica se da en el ámbito del nivel secundario y cuenta con el acompañamiento

tanto de la docente de los cursos en donde se realizan las prácticas como de la docente

supervisora a lo largo de todo el proceso. Todas las decisiones fueron consensuadas y tomadas en

conjunto.

En una primera instancia se realizó una actividad exploratoria y de reconocimiento, tanto

de la institución como de los cursos específicos en los cuales se realizaría la práctica. Esto incluyó

una serie de observaciones de aproximadamente 7 clases de los dos cursos seleccionados donde

se indagó sobre las particularidades, metodologías, costumbres y características de los mismos.

Para ello se consideraron tanto las clases de matemáticas como las actitudes (relaciones) de los

alumnos en otras materias y en relación a otros profesores (materias), realizándose una

observación de día completo en cada curso. Toda esta información recolectada se presentará más

adelante. Luego se procedió a la realización de una planificación teniendo en cuenta el diseño

curricular, las posibilidades de la institución, la planificación de la profesora y las características de

los cursos. Durante la práctica docente, se ajustó constantemente esta planificación. El dictado de

clases, de aproximadamente un mes, incluyó un práctico evaluable y su posterior corrección y

devolución.

1.1. La institución

Las prácticas docentes se realizaron en un Instituto Provincial de Enseñanza Media de

gestión estatal, ubicado en un barrio de clase media próximo a la Ciudad Universitaria. En general,

la procedencia de los alumnos es de barrio aledaños de la zona sur de la ciudad y en menor

cantidad del mismo barrio. Las orientaciones del ciclo orientado son Ciencias Naturales y

Comunicación. En particular, la escuela tiene un convenio con la Escuela de la Ciencias de la

Información. Asimismo, cuenta con diversos planes nacionales y provinciales, por ejemplo el plan

Conectar Igualdad.

El instituto comparte edificio y horario con el nivel primario, tanto en turno mañana

como turno tarde. Además, a la noche funciona un CENMA.

El edificio tiene dos pisos. El nivel secundario está ubicado en la planta baja, en la cual las

aulas están distribuidas en torno a un patio interno. El nivel primario se ubica en el primer piso y el

nivel inicial se encuentra en un edificio separado por el patio externo, con ingreso por la calle

posterior. Cabe aclarar que no hay comunicación física entre ambos edificios.

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La institución cuenta con un comedor, aunque su uso no es intensivo, y una cantina que

abre durante los recreos. Además, posee un patio al cual acceden los estudiantes de los distintos

niveles. Al comienzo de las observaciones estaban sincronizados los recreos de tal forma que el

patio se compartía en simultáneo entre el nivel primario y el secundario, pero esto se modificó

antes de comenzar las prácticas, teniendo horarios de recreo diferenciados por nivel.

Dispone de un espacio en el cual coexisten una biblioteca sin sala de lectura, una librería

y el laboratorio de computación. Años anteriores este último espacio contaba con una pequeña

cantidad de ordenadores de escritorio y un jefe de laboratorio, pero con la llegada de las netbooks

de un plan provincial pasó a ser solamente un lugar de almacenamiento y de reparación de las

mismas.

Cuenta con una preceptoría exclusiva para uso del secundario, en la cual hay tres

preceptores que se encargan de todos los cursos. En este lugar se encuentran algunas

herramientas tanto para docentes como para alumnos (fibrones, borradores, reglas, compases,

elementos geométricos para el pizarrón).

La sala de profesores es sencilla, cuenta con una mesa grande, sillas y una máquina para

tomar café, además de una cartelera para anuncios. Otra área importante a considerar es la

dirección. Este espacio posee tres salas intercomunicadas en las cuales se distribuyen la dirección

del primario, la dirección del nivel secundario y la secretaría.

Las aulas, en general, comparten las mismas características. Están equipadas con pizarra

de fibrón y algún pequeño espacio para el uso de tiza. Hay varias ventanas (algunas dan al interior

y otras al exterior de la escuela), cuentan con una buena iluminación y ventiladores. Hay pocas

tomas de corriente y están ubicadas juntas, lo cual dificulta el uso de tecnología; por ejemplo, si

fuese necesario recargar la batería de varias notebooks esto sería una dificultad. No posee

sistema de calefacción. Los bancos son de movilidad libre (para 1 ó 2 personas) mirando a la

pizarra y están dispuestos en 3 ó 4 filas con el suficiente espacio para una buena circulación. La

normativa escolar dice que los alumnos deben ubicarse de acuerdo a un esquema de lugares

preestablecido dentro del aula, el criterio es puramente disciplinario y se prioriza sentar juntos

alumnos de distinto sexo. Este orden no es siempre respetado y el control depende

principalmente del profesor.

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1.2. Los cursos

A lo largo de las visitas al aula realizadas en una primera etapa, se obtuvo información

sobre los cursos con los cuales trabajaríamos en las prácticas. A través de estas observaciones, se

logró hacer una caracterización del curso tomando en cuenta las variables que consideramos más

importantes e influyentes para nuestra posterior actividad, como por ejemplo los materiales y

recursos usados en clases, el estilo de enseñanza de la docente, la forma de trabajo de los

alumnos, el uso del tiempo en la clase, y tradiciones o costumbres presentes tanto en la clase de

matemáticas, así también como en otras materias.

Las prácticas se realizaron en dos divisiones de 1º año, turno mañana, con una carga

horaria semanal de 5 horas cátedra.

El curso 1º A tiene los siguientes horarios:

Horas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes7:30 a 8:10 Matemática8:10 a 8:50 MatemáticaRecreo9:00 a 9:40 Matemática9:40 a 10:20 MatemáticaRecreo10:30 a 11:10 Matemática11:10 a 11:50Recreo11:55 a 12:30

De los 33 alumnos que formaban el curso, había 17 varones y 16 mujeres. El nivel de

concurrencia era de aproximadamente 26/27 alumnos por clase; esto se mantuvo durante todo el

desarrollo de las prácticas. En cuanto a la disposición en el curso, cada alumno tenía asignado un

compañero del sexo opuesto para compartir un banco doble y siempre en el mismo lugar del aula.

En algunas ocasiones, y por decisión de la profesora, los chicos podían armar grupos para trabajar

según su criterio, lo cual resultaba en grupos de 2 a 4 compañeros del mismo sexo.

En la hora de matemática, el material que debían disponer los alumnos todas las clases

era el libro Aprender Matemática 7, que se trata de una obra teórico-práctica en la cual se

apoyaba prácticamente toda la organización de la clase. De esta forma, la introducción teórica era

a través del libro o de parte de la profesora, aunque siempre ésta se encontraba en el libro, como

así también los ejercicios y actividades. Por más que este material era de suma importancia, no

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todos los chicos lo llevaban, por lo cual debían copiar los ejercicios en su carpeta o trabajar con un

compañero. Como instrumento auxiliar se hacía uso de la calculadora, así también en el examen;

en general se usaba la que viene incorporada en el celular. En todos los espacios de la institución

se podía acceder a internet vía conexión inalámbrica provista por la escuela o de una buena señal

que provenía de una empresa pública.

El uso del pizarrón era habitual por parte de la profesora y en algunos casos por parte de

los alumnos. Allí se exponían y se analizaban los temas teóricos, y se utilizaba para resolver los

ejercicios, como parte de una corrección. La clase anterior o el día del examen, se utilizaba el

pizarrón para anotar ejercicios y sus resoluciones, las cuales podían se consultar durante el

examen. Un aspecto importante a destacar es que estaba acordado en el aula que no era

necesario copiar nada del pizarrón porque todo estaba en el libro, lo único que podía ser de

utilidad eran las respuestas de algunos problemas.

Los alumnos, en general, mostraban un estilo de trabajo un tanto “ruidoso” y con mucho

movimiento. En un primer momento, parecía una clase participativa ya que siempre alguien

respondía o seguía a la profesora, daba la impresión de un buen diálogo. Pero luego se hizo

evidente que no todo el grupo tenía el mismo nivel ni el mismo ritmo. El curso estaba dividido, no

todos tenían las mismas necesidades pedagógicas ni el mismo nivel de participación. Un pequeño

sector de los chicos, con más dificultades, tenían una baja autoestima; frases como “No sé, soy un

burro” eran normales entre ellos. Por otro lado, existía un acuerdo implícito en el cual las cosas

que no se terminaban en clase, los chicos debían traerlas hechas de la casa.

Para un estudio completo del curso se observó un examen. Si era posible, el día anterior

o en la misma clase, se hacia un repaso con participación de los alumnos y constaba de ejercicios

parecidos a los que se iba a evaluar. La modalidad del examen era la siguiente: una prueba

individual (dos temas), podían tener resúmenes elaborados por ellos o el trabajado en conjunto,

se podía usar calculadora (o en su defecto, la herramienta calculadora del celular). En general,

había mucho movimiento y en algunos momentos los alumnos se mostraban desconcentrados en

su labor.

Por último, se observó una clase de Lengua, en la cual se apreció una dinámica similar.

Sin embargo, los alumnos se mostraron más participativos en algunos espacios, principalmente en

las correcciones que se realizaban de las actividades trabajadas y haciendo uso del pizarrón.

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El curso 1º B tiene el siguiente horario:

De los 27 alumnos que formaban el curso, 16 mujeres y 11 varones. El nivel de

concurrencia era de aproximadamente 22 alumnos. Esta situación fue irregular durante el

desarrollo de las prácticas, hubo días en los cuales la asistencia era menor.

Al igual que en 1° A, cada alumno tenía asignado un compañero del sexo opuesto para

compartir un banco doble (cuando esto era posible, al haber más mujeres que varones, había

varios grupos de dos mujeres) y siempre en el mismo lugar del aula. En ocasiones, los alumnos se

cambiaban de lugar y era responsabilidad de la docente a cargo del curso si los ubicaba

nuevamente en los lugares prefijados. Un aspecto común con el otro curso, era que los alumnos

podían armar los grupos para trabajar cuando la profesora así lo disponía.

El material utilizado en la clase de Matemática era el mismo que el utilizado en 1° A, y la

profesora trabaja con una modalidad similar. En este curso, también ocurría que varios

estudiantes se olvidaban el libro y debían copiar las actividades en su carpeta. A su vez, el uso de

calculadora y/o celulares con calculadora también estaba permitido en este curso.

La forma de trabajo de la profesora era similar en ambos cursos. Sin embargo, la

relación de la docente con los alumnos era muy distinta, por lo cual se generaban ambientes muy

diferentes.

En la primera clase que observamos en 1° B, la profesora en varias oportunidades

recurrió al libro de seguimientos para anotar a alumnos, el cual servía de advertencia de los

alumnos previa a una futura amonestación. La segunda clase, mandó a llamar los padres de un

alumno, sacó a algunos alumnos fuera del aula, e incluso a uno lo mandó a la dirección. Esto no

ocurría de la misma manera en 1° A. Si bien el comportamiento de algunos alumnos de 1° B

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Horas Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes7:30 a 8:10 Matemática8:10 a 8:50 MatemáticaRecreo9:00 a 9:40 Matemática9:40 a 10:20Recreo10:30 a 11:1011:10 a 11:50 MatemáticaRecreo11:55 a 12:30 Matemática


mejoraba en las otras materias, aquellos que presentaron problemas de disciplina en la hora de

Matemática, tenían una actitud similar en las otras materias. De hecho, dos de ellos fueron

suspendidos en el transcurso de las prácticas. Sin embargo, cabe destacar que al realizar la

observación de día completo, en el cual se observaron clases de lengua e inglés, se dedujo que los

alumnos respondían generalmente mejor en las materias en las cuales las docentes les daban más

participación. Es de destacar que a diferencia de 1° A, la evaluación en 1° B se desarrolló en un

clima de orden; los chicos no hablaban tanto entre ellos, y cuando la profesora les llamaba la

atención, le obedecían.

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2. DISEÑO DE LA PRÁCTICA E IMPLEMENTACIÓN EN AULA

2.1. Planificación de la profesora

La planificación anual de la profesora está organizada en los siguientes ejes temáticos:

Desarrollo de los ejes temáticos:

Eje Nº 01: “NÚMEROS NATURALES”

El orden de la recta. Sistema de numeración. Operaciones con números naturales:

adición, sustracción, multiplicación, división. Propiedades. Cálculos con operaciones combinadas.

Métodos de resolución de problemas. Lenguaje simbólico, lenguaje coloquial. Ecuaciones.

Problemas.

Eje Nº 02: “NÚMEROS ENTEROS”

El conjunto de los números enteros. Representación grafica. Modulo o valor absoluto.

Propiedades del conjunto de números enteros. Operaciones: adición, sustracción, multiplicación y

división. Propiedades de las operaciones. Factor común. Expresiones algebraicas. Ecuaciones,

inecuaciones. Problemas.

Eje Nº 03: “POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS”

Potenciación, regla de los signos. Radicación, regla de los signos. Divisibilidad. Múltiplo

común menor y divisor común mayor.

Eje Nº04: “GEOMETRÍA”

Conceptos básicos. Punto, recta y plano. Posiciones de la recta en el plano. Semirrecta,

segmento y ángulo. Sistema sexagesimal. Figuras convexas y cóncavas. Ángulo: clasificación de

ángulos y sus propiedades. Mediatriz de un segmento. Bisectriz de un ángulo. Ángulos

determinados por dos rectas cortadas por una transversal. Propiedades.

Eje Nº05: “NÚMEROS RACIONALES”

Fracciones. Expresión decimal de una fracción. Fracciones decimales. Números

racionales: representación en la recta numérica. Fracciones equivalentes. Orden en Q. Operaciones

con fracciones y decimales. Porcentaje. Problemas.

Eje Nº06: “FIGURAS PLANAS: POLÍGONOS: TRIÁNGULOS”

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Figuras planas: cóncavas y convexas. Polígonos. Triángulos: clasificación. Propiedades de

los ángulos de los lados de un triángulo. Perímetro de una figura.

Eje Nº07: “ESTADÍSTICA”

Introducción a la estadística: gráficos cartesianos. Elementos estadísticos: población,

muestra, variable y frecuencia. Representación gráfica: diagrama de barra, diagrama circular,

pictograma. Interpretación de gráficos. Promedio o media aritmética. Moda.

Bibliografía:

Aprendamos Matemática 7. Segunda Edición. Liliana Ferraris y Marcela Tasso. Editorial

Comunicarte.

Sugerida o de consulta:

*Carpeta de Matemática 7

* Matemática en Red 7

*Matemática 7 Editorial A-Z

*Matemática 7 Editorial Santillana

*Matemática 7 Editorial Tinta Fresca

Y todos los libros de Matemática 7, C.B.U.

Como un breve análisis de la planificación presentada por la docente, se puede destacar:

- Los contenidos seleccionados no se corresponden del todo con el nuevo diseño

curricular para nivel secundario de la provincia de Córdoba. Sin embargo, guarda relación con los

contenidos propuestos en el diseño curricular provincial para el Ciclo Básico Unificado (1995).

- La organización de los contenidos está dada por ejes temáticos. Respecto a la

secuenciación, se puede decir que se respeta el orden temático del libro de texto Aprendamos

Matemática 7. Se puede inferir, entonces, que el criterio de secuenciación es el presentado en el

libro que, a su vez, se enmarca en la propuesta curricular mencionada en el punto anterior.

- No está contemplado a priori en la planificación, el uso de las nuevas tecnologías.

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A partir de las conversaciones con la docente, quien propuso la posibilidad de trabajar

con el eje Nº 3 o el Nº 4, se decidió trabajar con el eje de Geometría en el desarrollo de las

prácticas.

2.2. Planificación

En la planificación diseñada para las prácticas se parte de una visión de la Geometría que

difiere del enfoque axiomático de Euclides, pues se piensan los objetos geométricos desde sus

propiedades y se hará foco en las relaciones entre los mismos. En este contexto, cobra relevancia

el concepto de construcción geométrica, no tanto como procedimiento mecánico, sino más bien

“...acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y propiedades (de los objetos

geométricos) puestas en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas” (Diseño curricular

de la Provincia de Córdoba, Tomo 2, pág. 37).

Se considera el “saber geometría” como “inferir, a partir de los datos y con el apoyo de

las propiedades, relaciones que no están explicitadas y que llevarán a establecer el carácter

necesario de los resultados de manera independiente de la experimentación” (Sadovsky y otros,

1998, en Itzcovich, 2005, pág. 12).

Por esto, se da importancia al concepto de lugar geométrico, pues es una forma de

introducir diversos objetos geométricos de una forma constructiva al ser definidos éstos por sus

propiedades, y no a la inversa.

La metodología utilizada para trabajar es la modalidad de trabajo en grupos de a dos,

dando importancia al diálogo entre los estudiantes, pues al tratarse de alumnos de primer año es

probable que tengan una apertura mayor en un grupo reducido que, por ejemplo, al frente de

todos sus compañeros. A su vez, a la hora de trabajar desde las construcciones geométricas, es

importante la discusión y el análisis en grupo, principalmente porque es la primera vez que se

enfrentarán a actividades como esa. Otro motivo por el cual se elige el trabajo en grupo, es porque

la clase de matemática no es solo un espacio para enseñar/aprender conceptos matemáticos, sino

que es un espacio para hacer matemáticas, para presentar el trabajo del matemático, y es en este

contexto que el trabajo en grupo es importante, pues el trabajo del matemático es

fundamentalmente colectivo.

Otro aspecto importante a destacar dentro de la metodología de trabajo es el uso de

software matemático, en particular Geogebra. El mismo es una herramienta que permite un

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abordaje exploratorio de la Geometría. A través de uso, se puede realizar una mirada más

dinámica de los objetos geométricos. A su vez, provee una manera de interactuar con mayor

fluidez tanto con las construcciones como con los objetos geométricos en sí mismos, posibilitando

el descubrimiento y desarrollo de ideas, que sería más difícil lograr de otra manera. Esta visión

está respaldada por el Diseño Curricular ya que, entre los objetivos propuestos para primer año,

se encuentra “Producir y analizar construcciones geométricas - utilizando cuando sea posible

software geométrico- acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y

propiedades puestas en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas.” (pág. 37)

Por último, siguiendo a Itzcovich (2005, pág. 48), se considerará la “práctica geométrica

aquella que contemple la puesta en juego de las propiedades de los objetos geométricos, la

interacción con objetos que ya no pertenecen al espacio físico, sino a un espacio conceptualizado

en el cual las figuras/dibujos trazadas por el sujeto son solo representaciones y la producción de

argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de las figuras como medio de validación”.

2.2.1. Objetivos y metas

-Recurrir al uso del lenguaje geométrico para generalizar propiedades geométricas.

-Producir y analizar construcciones geométricas - utilizando cuando sea posible software

geométrico- acudiendo a argumentos deductivos, según ciertas condiciones y propiedades puestas

en juego, reconociendo el límite de las pruebas empíricas.

-Interpretar/conocer cuáles son las partes de una figura.

-Emplear y explicitar las propiedades de figuras geométricas en la resolución de

problemas.

-Producir y validar enunciados sobre relaciones geométricas, sin recurrir a la

constatación empírica.

2.2.2. Selección y secuenciación de contenidos

En un primer momento se eligió para desarrollar durante las prácticas, el eje temático N°

4 (Geometría) presentado en la planificación de la docente. Sin embargo, al momento de definir

los contenidos a trabajar, se decidió seleccionar algunos temas de esta unidad, y otros del eje

temático N° 6 (Figuras planas: Polígonos: Triángulos). Esta decisión atiende a la perspectiva

propuesta por el nuevo diseño curricular y responde también a la planificación anual de la

docente del curso. A fin de cumplir con los objetivos propuestos, era necesario combinar temas de

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ambas unidades. A continuación, se muestra la selección y secuenciación de los contenidos

propuesta inicialmente1:

*(1° clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar

condiciones referidas a distancias que deben cumplir los puntos. Justificar construcciones de

circunferencias y círculos como lugares geométricos.

*(2° Clase) Análisis de figuras bidimensionales (triángulos) para caracterizarlas y

clasificarlas. Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar

condiciones sobre lados que permitan justificar construcciones (con instrumentos geométricos) de

triángulos. Uso de instrumentos de geometría y programas graficadores (GeoGebra) para la

construcción de triángulos a partir de informaciones.

*(3° Clase) Producción de argumentaciones acerca de validez de la propiedad triangular.

*(4° Clase) Análisis reflexivo de procedimientos utilizados para construir triángulos a

partir de diferentes informaciones (propiedades y medidas) y evaluando la adecuación del

triángulo obtenido a la información dada. Resolución de problemas utilizando GeoGebra.

*(5° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar

condiciones sobre ángulos que permitan justificar construcciones (con instrumentos geométricos)

de triángulos. Ángulo: clasificación de ángulos y sus propiedades. Suma de los ángulos interiores

de un triángulo.

*(6° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para determinar

condiciones que deben cumplir los puntos referidas a distancias y justificar construcciones de

mediatrices y bisectrices como lugares geométricos.

*(7° Clase) Producción de argumentaciones con base en propiedades para justificar

construcciones de rectas paralelas usando la noción de lugar geométrico. Posiciones de la recta en

el plano.

2.2.3. Selección de materiales y recursos

Para el trabajo en clase se diseñaron guías de estudio que eran presentadas clase a clase.

Para la elaboración de este material de estudio se utilizó como base la unidad de Geometría del

1 Cabe aclarar que varias de las actividades propuestas inicialmente en relación a estos contenidos, no fueron finalmente implementadas.

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libro “Matemática 7” de Horacio Itzcovich.

A su vez, se utilizaron computadoras con el programa GeoGebra para el desarrollo de las

actividades. En algunas clases, también se recurrió al uso de la regla y el compás.

2.3. De lo planificado a lo implementado

En el desarrollo de la práctica docente, se trabajaron los siguientes contenidos y

actividades2:

Curso 1º A y 1º B

Fecha Contenidos trabajados Actividades desarrolladasClase 1 Presentación.

Noción de esquema, representación gráfica, escala.Círculo y circunferencia, definición, elementos.

Se reflexionó sobre la historia de la Geometría. Se realizó la actividad 1 (ítems a, b y c). Construcciones con regla y compás.

Clase 2 Círculo y circunferencia, definición, elementos.Punto, recta, semirrecta, segmento: propiedades, notación.Ángulos: definición.

Se realizó la actividad 2. Se introdujo el trabajo con Geogebra.

Clase 3 Triángulos: definición, elementos.Construcción de triángulo dados dos de sus lados.

Se realizó la actividad 3 a,b,c. Se trabajó con computadora. Se trabajó con la definición de triángulo.

Clase 4 Construcción de triángulo dados tres de sus lados.Noción de igualdad de triángulos.

Se realizó la actividad 3 d,f y se trabajó con la definición de igualdad de triángulos. Construcciones con regla y compás.

Clase 5 Clasificación de triángulos según sus lados. Práctico evaluableClase 6 Desigualdad triangular. Devolución de actividades de

práctico evaluable.Clase 7 Ángulos: definición, notación, clasificación

según su amplitud. Ángulos complementarios y suplementarios.Construcción de triángulos dados dos lados y un ángulo.Clasificación de triángulos según sus ángulos.

Se trabajó con la clasificación de ángulos. Actividad 4 a. Se presentó la clasificación de triángulos según sus ángulos. Se utilizó computadora.

Clase 8 Construcción de triángulos dados un lado y dos ángulos.Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Actividad 4 b,c. Se utilizó computadora. Se realizó una discusión a modo de conclusión

2 Las actividades se muestran en detalle en las guías presentadas en Anexo B, pág. 65

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Cantidad de soluciones posibles dependiendo de cantidad y tipo de datos.

sobre lo trabajado a lo largo de las prácticas.

2.4. Descripción de las clases

A continuación, se presentan las clases efectivamente desarrolladas, con una descripción

y un trabajo de reflexión de las mismas. Se decidió presentar por número de clase

(independientemente de la fecha) para poder realizar un análisis comparativo de lo registrado en

ambos cursos. A fin de ejemplificar algunos análisis, se presentan algunas intervenciones3 y

producciones realizadas por los alumnos.

2.4.1. Clase 1

La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los objetivos propuestos fueron introducir

la forma de trabajo en Geometría y empezar a trabajar las primeras nociones geométricas. Los

conceptos a trabajar fueron circunferencia y sus elementos, y diferenciación entre círculo y

circunferencia. Los materiales utilizados para esta clase fueron regla, compás y la guía de trabajo.

Para comenzar, se presentó a los practicantes que iban a dar las clases, la profesora

titular que observaría, y a la profesora supervisora. A su vez, se presentó la modalidad de trabajo

en grupos. Se decidió que los alumnos trabajen de a dos con el compañero sentado a su lado, y

que deberían respetar ese lugar a lo largo de las clases. Esto último no se cumplió estrictamente

en 1° A a lo largo de las prácticas, pues los alumnos en cada clase solían cambiar de lugar.

Para introducir el tema Geometría se realizaron preguntas como:

-¿qué piensan ustedes que es la Geometría?

-¿qué han visto de Geometría?

Esto se realizó oralmente. Se fueron rescatando las respuestas de los alumnos, en

algunos casos registrándolas en el pizarrón. Luego se repartió la guía de trabajo Nº 1, y se procedió

a la lectura entre todos de la introducción. A medida que se avanzaba en la lectura, se hacía

hincapié en algunas palabras que a priori se consideraban difíciles para los alumnos, proponiendo

discusiones en torno a ellas. Por ejemplo, en 1° A surgió una interesante discusión sobre el

concepto de esquema. La primera idea que apareció fue el esquema como mapa conceptual (“un

cuadro con conceptos”), pero luego un alumno sugirió la idea de los planos de una casa como

3 Las intervenciones de los alumnos aparecen entre comillas.

19


esquemas (“para hacer una casa hacemos un esquema, primero dibujás y después lo hacés”). Es

decir, la idea de esquema como una representación gráfica de un objeto de la realidad. A su vez,

en esta discusión surgió el concepto de escala (“una pared de 5 metros, la hago en 10

centímetros”). Cabe aclarar que esto último surgió de parte de los alumnos en 1° A, pero no así en

1° B. Luego se hicieron algunas referencias a la historia de la Geometría, y aparecieron dudas por

parte de los alumnos, la más interesante fue “¿fue grupal o individual que se comenzó a estudiar

la Geometría?”.

A continuación, se leyó la actividad 1.a:

Marcos tiene dos perros en su patio. Cada uno de ellos está atado en una estaca clavada en el

suelo por medio de una soga. La distancia entre ambas estacas es de 5 metros, y la medida de

cada soga es de 3 metros.

a) Realizá un esquema de uno de uno de los perros atado a la estaca, donde muestres qué tan lejos

puede llegar el perro. (Ayuda: podemos representar 1 metro con 1 centímetro.)

Se discutieron algunas dudas que surgieron del enunciado, y luego se trabajó en la

solución del problema. La dinámica del trabajo fue: un alumno voluntariamente pasó a trabajar en

el pizarrón, mientras sus compañeros opinaban sobre lo que éste iba haciendo, proponiendo en

ocasiones ideas distintas. El primer esquema que surgió en ambos cursos fue similar, aunque en 1°

A apareció intuitivamente la noción de escala: marcaron tres segmentos consecutivos de igual

longitud, los cuales representaban los 3 m de la soga (figura 1.1). En el 1° A estaba claro que se

podía representar una estaca con un punto, y que no era necesario dibujar el perro. Por el

contrario, en 1° B, en los primeros esquemas aparecía una estaca vertical, y estaba presente la

necesidad de dibujar el perro. A su vez, fue difícil en este curso trabajar el concepto de escala

(figura 1.2).

20


Figura 1.1 Figura 1.2

En un primer momento, un alumno propuso que “las ideas principales” para realizar el

esquema eran “la estaca, la soga y el perro”, aunque, como se ve en la imagen, desaparece la

necesidad de representar el perro, pues el mismo no tiene una ubicación específica.

A continuación, otro alumno propone la idea de representar la situación desde arriba.

En este esquema, la estaca ya es representada por un punto (figura 1.3).

Figura 1.3

A partir del análisis de las distintas representaciones, surgió una discusión sobre los

beneficios y diferencias de cada una en función de la situación a representar. Se llegó a la

conclusión de que con el segundo esquema se “puede ver cómo se mueve el perro”.

Podemos ver que en 1º B apareció un dibujo inicial estático (figura 1.2); sin embargo, al

preguntar en qué lugar podía estar el perro, el alumno dibujó una circunferencia. Para esto se

ayudó con sus brazos como si fuesen un compás. Recién en ese momento surgió la discusión de

que convenía representar la situación desde arriba y la estaca como un punto.

21


Una vez terminada esta actividad se retomó desde el material de estudio el concepto de

circunferencia, dentro del cual se abordó el concepto de centro y radio, el concepto de círculo, y

por último la diferencia entre círculo y circunferencia. Las definiciones dadas fueron las siguientes,

apoyadas en la noción de lugar geométrico:

Se denomina circunferencia todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto

dado. Este punto se denomina centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquier

otro punto de la circunferencia se llama radio.

Se llama círculo a todos los puntos que están a una distancia menor o igual que el radio del centro

de la circunferencia.

Luego en ambos cursos se leyó la actividad 1.b y se repartieron compases y reglas para

que los chicos trabajaran en grupos de dos.

b) Realizá un esquema similar al anterior, en el cual ahora se incluya a los dos perros.

Mientras los chicos hacían esta tarea, se pasaba por los bancos guiándolos en los casos

que fuera necesario. A continuación, se realizó una puesta en común en la cual pasó un grupo y

entre todos se debatió lo expuesto.

Por último, se propuso una discusión sobre cómo harían para que los perros no pudieran

morderse y las respuestas en general fueron “alejar las estacas” o “hacer más chica la soga”. En el

primer caso se dedujo que las estacas debían alejarse, como mínimo, 6 metros.

2.4.2. Clase 2

La duración de esta clase fue de 120 minutos. Los objetivos fueron introducir la forma de

trabajo con el programa de computadora GeoGebra. Los materiales utilizados fueron

computadoras y la guía elaborada por los practicantes.

Al comienzo de la clase, en ambos cursos, se retomaron de forma oral los conceptos de

la clase pasada (circunferencia, centro de circunferencia, radio, círculo).

Después de esta breve introducción, se continuó con una tabla para completar, que en

un primer momento estaba propuesta para la primera clase. La metodología para esta actividad

fue el diálogo con todos los alumnos y eventualmente algún chico pasaba al frente. Siempre se

intentó poner en foco las propiedades y características de los objetos geométricos, lo cual derivó

en una serie de discusiones que serán explicadas a continuación. En este caso, el pizarrón cumplió

22


una función importante ya que en éste se podían plasmar las ideas necesarias para discutir, tanto

por parte del profesor como de los alumnos.

Punto

Recta

Semirrecta

Segmento

Ángulo

Antes de completar la columna del medio con la notación, se introducían preguntas con

las cuales se podían pensar las propiedades de dichos objetos.

A la hora de hablar sobre recta surgieron varias cuestiones interesantes. En un comienzo

se cuestionó la cantidad de puntos que formaban una recta, primero eran cantidades

determinadas “dos, cuatro, un millón” y luego se expandió esta idea cuando pasó un alumno a

dibujarla en el pizarrón. Se obtuvieron comentarios como “no tiene principio ni final”

acompañados de “infinitos puntos”. A pesar de haber sido realizados estos comentarios por

algunos alumnos, fueron discutidos y consensuados por el resto del curso, obteniendo un acuerdo

general en que la recta tenía infinitos puntos y que no poseía ni principio ni fin. Estas definiciones,

si bien no son formales, son las que trabajan desde la escuela primaria. Se apreció que la idea de

infinitud estaba clara respecto a la extensión de la recta, no así en cuanto a la densidad.

En uno de los cursos el practicante completó la recta hasta tocar ambos extremos del

pizarrón y preguntó si la recta seguía, todos respondieron afirmativamente. Entonces, después de

que esta idea estaba clara se podía empezar hablar de la notación donde las flechas permiten

representar gráficamente la extensión infinita de la recta.

23


No era intención de los practicantes avanzar en la formalización de la noción de recta,

sino trabajarla desde sus propiedades. En los dos cursos se continuó entonces con la pregunta

“¿Cuántos rectas pasan por dos puntos?”. El resultado fue prácticamente el mismo, se dibujaban

los dos puntos (A, B) y se hicieron pasar chicos para que dibujaran rectas que pasen por dichos

puntos y los chicos hicieron uso del ancho de los puntos para dibujar varias rectas que los toquen.

No había un consenso con respecto a esta idea en el curso.

Figura 1.4

Para encaminar esta discusión se preguntó qué pasaba si los puntos se hacían cada más

pequeños. Estaba claro que ahora no todas las rectas dibujadas anteriormente cumplirían ahora

con lo pedido. Poco a poco, después de un diálogo, los alumnos volvieron a la idea de esquema y

cómo los puntos, por más grandes que fueran para poder verlos en el pizarrón, representaban un

punto en la recta. Se llegó a la conclusión de que dados dos puntos sólo pasaba una recta por

ellos. A partir de esta propiedad, se pudo hacer la presentación completa de la notación AB .

Con respecto a la semirrecta, segmento, ángulo se produjeron discusiones y diálogos

parecidos. Las definiciones informales a las cuales se arribaron fueron:

La semirrecta se define como una sección de una recta que posee comienzo (origen) pero

no fin y para denotarla se nombra el punto de origen y algún otro punto de la misma.

El segmento es una sección de una recta que posee principio y fin (extremos). Para

nombrarlo, indicamos los puntos extremos del segmento.

El ángulo es la unión de dos semirrectas que poseen el mismo origen. Vamos a nombrarlo

indicando el punto origen de las semirrectas (vértice del ángulo) acompañado por los puntos que

determinan cada una de las semirrectas.

Se realizó además una distinción entre el ángulo y la medida de la amplitud del ángulo.

Luego se repartió una computadora cada dos alumnos y el material preparado para el día

(actividad 2). Se comenzó por prender las netbooks e ingresar al programa GeoGebra. Aquí se

encontró el primer obstáculo, en determinadas computadoras no se podía ingresar al programa ya

24


instalado previamente. La solución fue usar una aplicación para Google Chrome de GeoGebra

disponible gracias a que se contaba con internet.

Después se explicó que se resolvería nuevamente el problema de la actividad 1, pero

esta vez utilizando el software. Al ser la primera clase con esta nueva herramienta, el material

estaba organizado para que empezaran a conocer las principales herramientas y lógica del

programa. La metodología elegida fue la de una lectura grupal mientras se completaban la

actividad 1.a. Aquí se hizo visible otra gran dificultad, los alumnos se perdían bastante a la hora de

seguir el material y prestar atención al mismo tiempo. La posibilidad de un proyector hubiese

cambiado posiblemente el desarrollo de las prácticas. Esto desembocó en que se tuvo que

destinar mucho más tiempo en ayudar a cada grupo específico. Se optó por copiar la barra de

herramientas en la pizarra para intentar guiar mejor a los alumnos.

El trabajo continuó con los incisos b y c de la actividad 1, pero esta vez los alumnos

tenían que seguir la guía y eventualmente preguntar las dudas al practicante. Cuando la mayoría

había logrado hacer la construcción, se optó por copiarla en el pizarrón para aquellos alumnos

que les había costado terminarla. Una vez más, se estaba frente al dilema de hacer una revisión

grupal y análisis de una actividad cuyo objetivo era usar el software y su dinamismo, pero

utilizando la rigidez de la pizarra. De aquí en adelante las puestas en común hechas en la pizarra

sobre actividades computacionales hicieron evidente que la imaginación de los chicos era una

exigencia extra.

Por último se les preguntó ¿qué pasaría si nos dicen que las estacas se encuentran a 6 m?

¿Y si nos dicen que se encuentran a 8 m? ¿Cuál serían las soluciones al problema en estos casos?

Mientras respondían se empezó a hacer evidente las facilidades que brindaba el uso de las

netbook. La idea de geometría en movimiento empezaba a aparecer ya que para dar respuestas a

las preguntas, ampliaban el radio de las circunferencias o movían las mismas hasta lograr la

distancia deseada.

Otros aspectos que se pueden destacar en este primer día con la herramienta

computacional es que, en general, el trabajo de los alumnos se vio favorecido al ser grupal. Por

otro lado, implica una gran atención extra del practicante para que los chicos no se distraigan en

otras actividades. Además, existen gran cantidad de variables a las cuales es necesario ajustarse,

25


por ejemplo las batería de las netbooks duraba aproximadamente 50-60 minutos por lo cual, al

final de la clase, se resolvió unificar algunos grupos quedando integrados por 4 alumnos.

2.4.3. Clase 3

La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los conceptos a trabajar fueron

construcción de triángulo dados dos de sus lados. Los materiales utilizados para esta clase fueron

computadoras con el programa GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes.

Se comienza la clase leyendo la actividad 3.a de la guía.

Un avión debe ir de la ciudad A a la ciudad B, que se haya a 300 kilómetros, recoger pasajeros,

luego dirigirse hacia la ciudad C, que queda a unos 500 kilómetros de la ciudad B, dejar los

pasajeros, para luego retornar a la ciudad de origen.

Para simplificar el problema, consideraremos que el avión vuela en línea recta.

a) Hagan un esquema representando la situación. Pueden considerar cada ciudad como un punto,

y 100 kilómetros como 1 centímetro.

Se discutieron algunas dudas sobre el enunciado, y los alumnos comenzaron a trabajar

en grupos de a dos, utilizando el programa GeoGebra. Como varios alumnos habían elaborado un

esquema con las tres ciudades alineadas (figura 1.5), y otros en disposición triangular (figura 1.6),

se dibujaron ambos esquemas al frente. Los alumnos aludieron que ambas soluciones eran

correctas, “siempre y cuando se respeten las medidas”.

Figura 1.5

26


Figura 1.6

Utilizando estos dos esquemas, se respondió al punto 3.b entre todos.

b) Ese esquema que hicieron, ¿es el único posible? En caso de no serlo, dar otro.

En este punto, se analizó si el esquema realizado es el único posible, por lo cual al ver

que hay dos esquemas bien distintos en el pizarrón, los alumnos rápidamente respondieron que

no.

Luego se comenzó con la discusión de cómo habían arribado al esquema. Lo primero que

todos hicieron fue trazar el segmento AB de 3 cm. Luego, marcaban un punto C cualquiera con

GeoGebra, medían la distancia de C a B, y luego movían C hasta que quedara a 5 cm de B. Al

hacerlo en el pizarrón, se incentivó la discusión acerca de cuáles serían todos los lugares donde

podría estar el punto C. Una alumna marcó una semicircunferencia en el pizarrón (posiblemente

motivada porque en el GeoGebra, al mover el punto respetando la distancia de 5 cm, se va

formando una circunferencia imaginaria). El practicante terminó de marcar la circunferencia, y se

finalizó la discusión recordando lo visto el primer día, que una circunferencia esta formada por

todos los puntos a la misma distancia de un punto dado, por lo cual era correcto que todos los

posibles puntos C (los puntos que se hayan a 5 cm de B) formaban un circunferencia.

27


Figura 1.7

En ese momento, el practicante introduce la noción de triángulo. Se construye la

definición de triángulo junto a los alumnos, los cuales identifican que para formar un triángulo, es

necesario tener tres puntos y tres segmentos. El practicante cuenta que a los puntos se los llama

vértices, y a los segmentos lados. La definición que se institucionalizó fue a partir de sus

elementos: un triángulo es una figura que posee tres puntos llamados vértices, tres segmentos

llamados lados, y tres ángulos.

Para verificar la validez de la definición, se realizó un dibujo de una poligonal abierta con

4 vértices y tres lados y se preguntó si eso es un triángulo (figura1.8). Los alumnos responden que

no porque tiene 4 vértices y no cumple con las condiciones necesarias.

Figura 1.8

28


En 1° B surge la discusión si la solución al problema con tres puntos alineados formaba

un triángulo o no, discusión que surge con matices distintos en 1° A en la clase siguiente. Los

alumnos se pusieron de acuerdo en que no, y se respetó la decisión, pues el concepto de triángulo

degenerado es tomado como triángulo válido en algunos trabajos de Geometría, y como no válido

en otros.

Se repartieron las hojas del anexo4 que explican cómo construir un triángulo dado dos de

sus lados utilizando GeoGebra, y se los dejó a los chicos trabajar solos con la computadora. Como

los datos del anexo son distintos a los del problema, a los alumnos les costó despegarse de esto e

intentaban hacer la construcción con los datos del anexo.

En el 1° B, en este punto tocó el timbre del recreo. Dado que los alumnos habían estado

un poco distraídos con el uso de la computadora, se tomó la decisión de trabajar con regla y

compás luego del recreo. Sin embargo, la situación no mejoró demasiado (de hecho, se puede

pensar que la computadora no fue el factor de distracción) por lo que no se pudo avanzar más allá

de esta actividad.

En 1° A, hubo diversos problemas ajenos a la clase (se demoró en comenzar por

indicaciones de la preceptora, y se interrumpió la clase 40 minutos antes porque los alumnos

debían asistir a un taller), aún así se pudo completar lo planificado para la clase.

2.4.4. Clase 4


construcción de triángulo dados sus tres lados e igualdad de triángulos. Los materiales utilizados

fueron regla y compás.

Antes de comenzar a describir esta clase, debe hacerse una aclaración. Si bien el examen

se había planificado para la última clase, por motivos organizativos, la profesora titular solicitó que

el examen fuera en la quinta clase porque necesitaba cerrar promedios de calificaciones ya que

finalizaba el trimestre y colocar la cantidad mínima de calificaciones establecida por normativa

institucional. Por lo cual se tomó la decisión de hacer un práctico evaluable en vez de un examen,

pero utilizando regla y compás en lugar de GeoGebra pues no se había podido trabajar el tiempo

requerido con las computadoras, y se evaluó que los alumnos todavía no poseían un manejo fluido

4 Se encuentra en Anexo B, pág.iii-vii

29


del GeoGebra. Se decidió, por lo tanto, que en esta cuarta clase se trabajara con regla y compás en

la construcción de triángulos dados tres de sus lados.

La clase comenzó en ambos cursos retomando la construcción de un triángulo dado dos

de sus lados. En este punto cabe destacar una interesante discusión en 1° A en torno a si tres

puntos alineados conforman un triángulo o no. Un alumno sostenía que sí mientras que otros

argumentaron lo contrario. Sin embargo, el primer alumno se mantuvo en su posición y dio el

siguiente argumento: “es un triángulo que se fue cerrando hasta los 180°” (figura 1.9).

Figura 1.9

Esta explicación convenció a los otros alumnos, y se acordó, a diferencia de 1° B, que tres

puntos alineados formaban un triángulo, lo cual es matemáticamente correcto pues posee tres

vértices, tres lados y tres ángulos (algunos lo llaman “triángulo degenerado”) y cumple con la

definición dada en la clase anterior.

Luego se leyó la actividad 3.d, pidiendo a los chicos que al ir construyendo el esquema

con la regla y el compás, fueran escribiendo cómo lo iban haciendo.

d) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a unos 600 kilómetros de la ciudad A. Realicen un

nuevo esquema.

30


Ningún alumno realizó una construcción metódica, todos lo hicieron acomodando los

puntos hasta que dieran las medidas. Al poner en común las soluciones al frente, directamente se

comenzó a pensar en la construcción de triángulos dados tres de sus lados más que en

esquematizar la situación de las tres ciudades. Al conversar sobre cómo habían resuelto el

problema, se hicieron en el pizarrón dos segmentos unidos de 3 cm y 5 cm, y los alumnos decían

que luego no se podía ubicar el otro vértice de forma que se respetara que el tercer lado midiera 6

cm (figura 1.10). Por lo cual, se hizo clara la necesidad de un método, el cual se fue diseñando

entre los alumnos y los practicantes, todo esto trabajado en el pizarrón.

Figura 1.10

Se comenzó análogamente a la construcción de un triángulo dados dos de sus lados. Se

marcó el segmento AB de 3 cm. Como el punto C debe encontrarse a 5 cm de B, se realizó la

circunferencia de 5 cm con centro en B. Como también queríamos que el punto C esté a 6 cm de A,

se realizó una circunferencia con radio 6 cm y centro en A. Aquí surgieron las mayores dificultades

para decidir cuáles eran los posibles puntos C. Se hizo una breve discusión sobre que si uno quiere

hallar todos los argentinos que son hinchas de Boca Junior, se puede seleccionar primero a todos

los argentinos, luego a todos los hinchas de Boca, y ver luego cuáles cumplen ambas condiciones.

Una vez discutido esto, quedó más claro que el punto C debía estar tanto en una circunferencia

como en la otra, por lo cual se marcaron los únicos dos puntos que cumplían esto. Se incentivó al

discusión sobre cuántas soluciones había.

31


Figura 1.11

En un primer lugar, los alumnos dijeron que dos, pero luego se discutió sobre si esos

triángulos eran distintos o no, y luego de una discusión grupal, se llegó a la conclusión de que eran

iguales pues tenían las mismas medidas. Esto sirvió para introducir la siguiente definición:

Dos triángulos son iguales si es posible superponer uno con otro. Es decir, si dos triángulos tienen

sus lados iguales, entonces, son iguales.

Figura 1.12

A su vez, se remarcó el hecho de haber obtenido la clase anterior infinitas soluciones a

un problema, y por el contrario en esta clase se obtuvieron dos soluciones iguales. Se decidió

32


remarcar esta diferencia para hacer notar que en Matemática no siempre existe una única

solución.

Por último, se hizo trabajar nuevamente a los alumnos en grupos de a dos para realizar la

construcción, esta vez escribiendo los distintos pasos de la construcción. Se aclaró de antemano

que éste sería uno de los ejercicios del práctico evaluable, por lo cual se les dijo que lo entregaran

al finalizar la clase, para poder hacer las aclaraciones necesarias la siguiente clase antes de

empezar el práctico.

Cabe aclarar que esta última actividad se pudo realizar de la forma planificada en 1° A,

pero en 1° B se hizo entre todos pues el tiempo apremiaba, lo cual no fue del todo positivo pues se

perdió de observar la producción personal de cada alumno.

2.4.5. Clase 5

La duración de esta clase fue de 120 minutos. Se trabajó el concepto de clasificación de

triángulos según sus lados. Los materiales utilizados para esta clase fueron regla y compás.

Al realizarse las observaciones pudo verse que la profesora antes de tomar examen

realizaba un repaso y esto servía como resumen para los alumnos. Se decidió respetar esta

costumbre tomando esta idea.

Al comienzo de la clase se realizó una discusión acerca de los conceptos principales de las

clases anteriores. Por otro lado, se hizo énfasis en distintas dificultades observadas a lo largo de

las clases y en la tarea presentada en la clase anterior. Por ejemplo una alumna había intentado

construir un triángulo dado sus tres lados “a ojo”, obteniendo como resultado tres segmentos que

no cerraban. Otra de las dificultades que se presentó en la producción de varios alumnos era que

las circunferencias tenían los radios correctos pero no estaban bien centradas en los vértices de

los triángulos, y en otros casos directamente los radios de las circunferencias no correspondían

con los datos del problema. Esto derivó en que los triángulos obtenidos no eran los deseados, o se

obtenían dos soluciones distintas y ellos no usaban ningún método de validación. Por otro lado no

todos hicieron uso de la regla, y en algunos casos particulares hacían un mal uso: al dibujar una

recta la regla comenzaba a medir desde el 1 y no del 0, lo cual modificaba todo el esquema. Y en

general se identificaron algunas dificultades a la hora de diferenciar y escribir los diferentes pasos

para realizar las construcciones.

33


Al finalizar el repaso, se introdujo un nuevo concepto en forma breve: clasificación de

triángulos según sus lados.

El tiempo dispuesto para el práctico evaluable fue de aproximadamente 90 minutos, con

un recreo en el medio, y los alumnos podían acceder a todo el material trabajado. El ambiente era

bueno y de un buen trabajo grupal. Se respondían a dudas de consignas.

Un análisis más detallado del práctico evaluable será presentado al final de este capítulo.

2.4.6. Clase 6

La duración de esta clase fue de 80 minutos. El objetivo fue rehacer el examen entre

todos, incentivando la discusión sobre cada ejercicio, con intención de rescatar las principales

ideas presentadas en los exámenes. El contenido a trabajar era la desigualdad triangular.

Se comenzó con la reconstrucción de las actividades del examen. Durante esta clase, el

clima del curso fue de mucha distracción, ruido y ansiedad por saber la nota del examen. En este

marco no se pudo hacer una revisión completa del examen pero de diferente forma se introdujo el

concepto de desigualdad triangular.

En 1º A se aprovechó que la mayoría de los alumnos habían realizado la actividad 3 del

examen para discutir el concepto de desigualdad triangular. En cambio en 1º B, como no habían

hecho esta actividad, se utilizó el primer verdadero/falso en el cual el triángulo propuesto no

cumplía la desigualdad triangular. En este caso se aprovechó que la justificación de varios alumnos

para decir que era falso fue que el triángulo “no cerraba”.

Figura 1.13

34


2.4.7. Clase 7


clasificación de ángulos, construcción de triángulo dados dos lados y un ángulo y clasificación de

triángulos según sus ángulos. Los materiales utilizados para esta clase fueron computadoras con el

programa GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes.

El día anterior a esta clase, llegaron las netbooks del plan “Conectar Igualdad”, por lo

cual los alumnos ya contaban con una computadora cada uno. Sin embargo, se intentó mantener

el trabajo de a dos, aunque se le pidió a cada alumno que realizara las actividades en su

computadora.

Al comienzo de la clase se mostró a los alumnos como construir ángulos en GeoGebra.

Para respetar la definición dada anteriormente, se los trazaba como dos semirrectas unidas por el

origen, y luego se marcaba la amplitud con la herramienta de GeoGebra. En este punto, hubo que

trabajar con sentido horario y antihorario, para que la amplitud medida por GeoGebra estuviera

siempre entre 0° y 180°.

Luego se trabajó con la clasificación de ángulos. Mientras se los clasificaba, se iban

dibujando cada tipo de ángulo en GeoGebra. El orden fue agudo, recto, obtuso, llano y nulo. Para

trabajar con este último, como los alumnos les costaba verlo como unión de dos semirrectas

iguales, se trabajó con el ángulo obtuso (o con el llano) construido anteriormente por los alumnos,

y se fue moviendo una de las dos semirrectas de manera de ir cerrando el ángulo. Como

GeoGebra mide la amplitud del ángulo dinámicamente, los alumnos observaban por un lado cómo

los grados del ángulo iban disminuyendo y a su vez observaban cómo cada vez las semirrectas se

acercaban más. Al llegar la amplitud a 0°, quedaba claro que las dos semirrectas quedaban

superpuestas. Este es un ejemplo de la mirada dinámica de la Geometría que permite GeoGebra.

Luego, se habló brevemente sobre suma de ángulos y sobre ángulos complementarios y

suplementarios.

A continuación se trabajó con la actividad 4.a, leyendo la consigna entre todos, aclarando

dudas, y luego dejando que cada grupo trabajara por su cuenta.

Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre sus lados y

sus ángulos.

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a) Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos

dicen que el ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible construir un triángulo así?

¿Cuántas soluciones distintas existen?

En principio surgieron dos maneras de resolver esta actividad:

- los que intentaron construirlo “a ojo”,

- y otros que trazaban un segmento, luego trazaban el otro (respetando su longitud) y

luego medían que ángulo se formaba. Luego, movían uno de los extremos de uno de los

segmentos, de tal forma de obtener la medida del ángulo requerida.

En 1°B, el practicante no se percató de este segundo método, por lo cual cuando

comenzó la discusión al frente asumió que todos lo habían hecho “a ojo”. Por esto, se fue guiando

la conversación con los alumnos de forma de ir construyendo un método general. El método al

cual se arribó fue similar al de construcción de triángulo dados dos de sus lados, solo que una vez

obtenida la circunferencia, se trazaba una semirrecta con el ángulo requerido, y nuevamente se

discutía acerca de que el punto C debería cumplir dos condiciones: estar en la circunferencia, y

estar en la semirrecta (pues la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos que

forman el lado de longitud solicitada, y la semirrecta es el lugar geométrico de todos los puntos

que forman el ángulo solicitado).

Al terminar esta explicación, la docente supervisora le comentó al practicante acerca de

la otra construcción hecha por algunos alumnos, por lo cual el practicante la retomó, y se discutió

con los alumnos la analogía entre esta construcción y el método planteado anteriormente,

concluyendo que ambos eran correctos, e incluso similares, pues al desplazar el segmento de

longitud fija para formar el ángulo, el alumno estaba, sin saberlo, buscando al intersección entre la

circunferencia y la semirrecta. Sin embargo, lo interesante de este último método es que es más

intuitivo, y a su vez, exploratorio, por lo cual puede servir de motivación para el método general.

Por último, se introdujo la clasificación de triángulos según sus ángulos en forma breve.

2.4.8. Clase 8

La duración de esta clase fue de 80 minutos. Los conceptos a trabajar fueron:

construcción de triángulo dados un lado y dos ángulos y la suma de los ángulos interiores de un

36


triangulo. Los materiales utilizados para esta clase fueron computadoras con el programa

GeoGebra y la guía de trabajo elaborada por los practicantes

Durante la primera mitad de la clase los alumnos trabajaron con las actividades 4 b y 4 c

de la misma forma que venían haciendo la clase antes.

b) Si, en cambio, nos dicen que un lado mide 4 cm, y que uno de los ángulos que se apoya sobre

este mide 60°, y el otro ángulo que se apoya sobre este lado mide 80°, ¿es posible construir un

triángulo así?


c) ¿Que pasa si en la situación anterior nos decían que los ángulos medían 90° y 120°? ¿Era posible

la construcción?

Luego en ambos cursos se hizo el punto 4c a la vez que se fue discutiendo si, con esos

datos, se podía realizar el triángulo y cómo se podían modificar para que la construcción fuese

posible. Se introdujo la idea de que la suma de los ángulos interiores de un triangulo debían medir

180°.

Antes de finalizar la clase se hizo el cierre de este mes de geometría. Se explicó que

durante todas las clases se había estado jugando con la cantidad de datos de un posible triángulo y

la cantidad de triángulos que se podían construir. La información obtenida a lo largo del curso se

expuso en un cuadro a la vez que se retomaban los ejercicios de los cuáles se obtuvo la

información.

¿Cuántos datos tengo? ¿Cuáles datos? ¿Cuántas soluciones distintas tengo?

2 2 Lados Infinitas

3 3 Lados 1

3 2 Lados y 1 Angulo 1

3 2 Ángulos y 1 Lado 1

37


3. EVALUACIÓN

Se consideró la evaluación como un proceso continuo, donde se establece un dialogo

permanente entre el docente y los alumnos en torno al conocimiento. Este proceso contó con

distintos momentos: evaluación diagnostica, evaluación formativa, evaluación sumativa. Esto

permitió ir reflexionando y modificando la planificación inicial, como así también la dinámica del

trabajo en el aula.

A lo largo de las prácticas se generaron espacios de discusión al inicio de la clase que

tenía como principal intención recolectar “información referida a qué conocen los estudiantes

acerca de un problema o qué recuerdan de la clase anterior” (Documento apoyo curricular, pag.

11).

En el proceso de evaluación, y dadas la condiciones de trabajo grupal, los alumnos se

vieron involucrados en “un proceso de coevaluación en el que quien evalúa no es el profesor sino

un par” (idem, pag. 11-12). Se dieron momentos de discusión, controversia, donde cada

estudiante argumentaba su posición con su compañero y esto ayudaba a autoevaluar su

explicación inicial.

En relación a la evaluación sumativa, en un primer momento, la planificación

consideraba un examen el octavo día de clases. Comenzadas las prácticas la profesora del curso

anunció que se debería cambiar la fecha del mismo, ya que según la normativa escolar, se

requería una nota más antes de finalizar el trimestre. Por lo tanto, se decidió que los alumnos

realizaran un práctico evaluativo, a más tardar, en la quinta clase.

Durante las primeras cuatro clases, para el desarrollo de las actividades de construcción

se trabajó tanto con computadoras como con regla y compás. Sin embargo, los alumnos no

estaban totalmente familiarizados aún con el uso GeoGebra. Como se había comentado

anteriormente, las condiciones de las netbooks variaban bastante y en algunos casos se apagaban

a los 40 minutos. Si bien en un momento la evaluación estaba pensada para que se usara la

computadora, tomando en cuenta la falta de condiciones, se optó por hacer un práctico evaluable

sin el uso de de las mismas, en grupos de dos alumnos siguiendo la modalidad con la que se venía

trabajando.

Para la realización del práctico evaluable se tomaron algunos de los ejercicios propuestos

en la guía de actividades 4, aunque se cambiaron las consignas teniendo en cuenta que se

38


resolverían sin computadora, y no habría el espacio de discusión con los practicantes. La actividad

4 original puede encontrarse en el anexo. Algunos cambios que se le realizaron fueron los

siguientes (se respetarán los índices originales):

Actividad 1

a) Construir un triángulo equilátero.

b) Construir un triángulo isósceles.

c) Construir un triángulo escaleno.

Se optó por que el ejercicio tratara sobre un triangulo escaleno y se dieron las medidas

de los lados para que resolvieran usando el método propuesto en el curso. Se repitió la modalidad

de actividad trabajada en clases anteriores.

Actividad 3

Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o

propiedades estudiadas, según corresponda.

c) Existe un triángulo isósceles en el cual uno de sus lados mide 2 cm y otro lado mide 7 cm.

Se modificaron las medidas del triángulo para facilitar su construcción en papel y se

agregó una sugerencia para la justificación de la respuesta (ya que en un primer momento esta

actividad estaba pensada para ser discutida en clase).

d) “El pueblo donde nació mi papá queda a 25 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo

donde nació mi mamá queda a 12 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a

30 km de donde nació mi papá”

Lo que estaba como verdadero o falso se suprimió, y en su lugar se pidió que hicieran

una construcción.

El práctico se presentó en un solo formato y constaba de tres actividades. Estas últimas,

eran de distinto tipo (según la clasificación presentada en el documento de apoyo curricular

(referencia)), acorde al objetivo planteado. Había actividades con partes estructuradas (doble

alternativa: verdadero o falso), y otras de composición y procedimiento, y otras en las cuales

estaban presente estos dos tipologías. Se decidió agregar una actividad extra pues,

principalmente en 1° A, había mucha diferencia entre el tiempo que les tomaba a algunos alumnos

39


realizar las actividades respecto a otros. Como la escuela no permite a los alumnos abandonar el

aula una vez terminado el examen, se creyó indicado que los alumnos que terminaran pronto

pudieran tener actividades para seguir haciendo.

PRACTICO EVALUABLE

Asignatura Matemática – Unidad: Geometría

1. a) Construyan un triángulo, en el cual sus lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm. Escriban

detalladamente los pasos que fueron realizando en la construcción, explicando cada uno de ellos.

b) ¿Cuántos triángulos distintos se pueden construir con esas medidas?

c) ¿Cómo clasifican este triángulo según sus lados?

2. Discutan con sus compañeros y decidan, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa,

justificando con construcciones, o con las definiciones vistas hasta ahora.

a) Si tengo un triángulo escaleno y dos de sus lados miden 8cm y 2cm respectivamente, un tercer

lado debería medir 10cm.

b) Todos los triángulos equiláteros son iguales. (Ayuda: Pensar cuándo dos triángulos son iguales

según la definición vista en clase).


(Ayuda: ¿Podrían construir uno?).

d) Todos los triángulos equiláteros, son isósceles.

3. “El pueblo donde nació mi papá queda a 60 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo

donde nació mi mamá queda a 20 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a

30 km de donde nació mi papá”.

a) Realizar un esquema de la situación en caso de ser posible, y en caso de no serlo, indicar cuál

dato modificarían para poder representar la situación.

Actividad extra

a) Dibujen todos los triángulos isósceles tales que uno de sus lados mide 3 cm y otro de sus lados

mide 5cm.

b) ¿Cuántas soluciones diferentes hay?

40


c) ¿La respuesta anterior contradice el hecho de que puedo construir infinitos triángulos si tengo

como dato sólo dos de sus lados? ¿Por qué?

3.1. Objetivos de las actividades

Los objetivos planteados para las distintas actividades del práctico evaluable fueron:

-Usar el método enseñado en clases, comprendiendo lo que se hace en cada paso.

-Analizar la cantidad de soluciones.

-Observar la utilidad del método para encontrar todas las soluciones.

-Trabajar con el concepto de igualdad de triángulos (las dos soluciones obtenidas eran

iguales).

-Clasificar correctamente un triángulo según sus lados.

-Trabajar en grupos, debatir.

- Justificar a través ejemplos (dibujos) o propiedades vistas en clase.

-Reflexionar sobre los datos que se pueden modificar para obtener una solución.

-Reflexionar sobre la noción de desigualdad triangular.

3.1. Criterios de evaluación

Los criterios de evaluación utilizados para la corrección del práctico fueron:

En la actividad 1 se evaluó que la construcción fuera correcta (se dio puntaje tanto a

quienes utilizaron el método desarrollado en clase, como a quienes no), y que la justificación fuera

clara (utilizando correctamente los conceptos desarrollados en clase) y coherente con la

construcción realizada. A su vez, se evaluó la justificación dada a la hora de determinar cuántas

soluciones había, así como la adecuada clasificación del triángulo.

En la actividad 2 se tomó en cuenta que la decisión tomada fuera correcta (respecto a si

la afirmación era verdadera o falsa), pero esto constituyó solo un pequeño porcentaje del puntaje

asignado al problema. Principalmente, se evaluó que las justificaciones fueran claras (es decir, se

utilizaran correctamente los conceptos desarrollados en clase) y coherentes tanto con lo que se

había afirmado como coherentes en sí mismas. Por ejemplo, un alumno puso “un círculo chiquito”

mientras que la respuesta esperada era “una circunferencia de radio 3 cm”.

En la actividad 3 se tomó en cuenta tanto la adecuación del esquema a la situación, como

la conclusión a la que arribó el alumno a partir de su esquema (por ejemplo, si era posible

41


representar la situación, si la situación planteada era real, si se podía construir el triángulo), y la

pertinencia de las modificaciones sugeridas por el estudiante para que la situación correspondiera

con una situación posible.

En la actividad 4 se consideró por un lado que la construcción fuese la correcta y por

otro la cantidad de soluciones obtenidas fuesen presentadas. Con respecto al último inciso se

tomo en cuenta la decisión y su claridad a la hora de su justificación.

Por otra parte, analizando la cantidad de ejercicios resueltos por los alumnos en los dos

cursos, se observó lo siguiente: los puntos 1 y 2 de la evaluación fueron realizados por la mayoría

de los alumnos en ambos cursos; con respecto al punto 3, se presentaron diferencias significativas

entre los dos cursos (la mayoría de los alumnos de 1º A lo resolvió, no así en 1º B); en el punto 4 se

observó que pocos alumnos de 1º A lo resolvieron, y del 1º B ninguno. Dadas estas circunstancias,

se tuvieron en cuenta estas diferencias entre los cursos a la hora de calificar los exámenes de la

siguiente manera: en el curso 1º A, el 100% del examen lo constituían los puntos 1, 2 y 3, mientras

que el punto 4 se consideraba como una actividad extra (opcional); en cambio, en el curso 1º B el

100% del examen lo formaban los puntos 1 y 2; y el punto 3 era considerado como actividad extra

(opcional), el punto 4 no fue considerado.

3.2. Resultados

A continuación se muestran tres gráficos en los cuales aparecen los resultados en el

examen de los dos cursos. En el primero se muestran la cantidad de alumnos por nota (gráfico 1),

en el segundo se ven los resultados de cada una de las actividades (gráfico 2) y por último, la

distribución de los resultados de cada una de las actividades respecto al total de actividades

resueltas (gráfico 3). Estas tablas incluyen un recuperatorio que fue tomado por decisión de la

profesora titular del curso. Además, a los alumnos que habían estado ausentes se les tomó el

mismo examen otro día.

3.2.1. Método de construcción de las estadísticas

Distribución de notas:

42


Gráfico 1

Para este primer gráfico, se tomó en cuenta a la totalidad de los alumnos que rindieron

el examen. El objetivo de este diagrama de barras es mostrar la distribución de las notas obtenidas

por los alumnos de cada curso, contrastando la performance de los alumnos de 1° A con la de los

alumnos de 1° B. Se puede ver que en 1º A las notas estuvieron concentradas en el intervalo del 6

al 8, mientras que en 1º B se observó una mayor dispersión.

Distribución de porcentajes de respuestas correctas según ítem:

Para la elaboración de este gráfico, se tomó en cuenta la totalidad de alumnos que

resolvieron el examen. En este diagrama de barras se muestra la distribución de porcentaje de

respuestas correctas según ítem, contrastando la performance de los alumnos de 1° A con la de los

alumnos de 1° B.

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Gráfico 2

El método de cálculo de los valores de la gráfica puede consultarse en el anexo A.

Distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas

Para la elaboración de este gráfico, se tomó en cuenta la totalidad de alumnos

que resolvieron al menos una parte del ítem considerado. En este diagrama de barras se grafica la

distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas, y al igual

que en los casos anteriores, se contrastó la performance de los alumnos de 1° A con la de los

alumnos de 1° B. Se puede observar, comparando los gráficos 2 y 3, que en 1° B hay un mayor

porcentaje de respuestas correctas en las actividades 1 y 2, pero en general no se llegó a

completar las últimas dos actividades del examen. Por otra parte en 1º A la mayoría de los

alumnos completaron las actividades 1, 2 y 3 y el rendimiento obtenido fue similar al de 1º B.

Estos resultados incidieron en las decisiones tomadas a las horas de determinar las puntuaciones

de cada actividad.

44


Gráfico 3

El método de cálculo de los valores de la gráfica puede verse en el anexo A.

45


3.3. Conclusiones

En primer lugar, se pudo observar que, a nivel general, se mantuvo la tendencia en las

calificaciones respecto a las notas que los alumnos registraban anteriormente en la materia.

En segundo lugar, el trabajo en grupo por parte de los alumnos fue muy bueno, salvo en

algunos casos particulares. Más allá de esto, se obtuvieron discusiones muy interesantes y esto se

ve plasmado en las producciones de los chicos.

En tercer lugar, se notó una mejoría en el uso de las herramientas de Geometría (regla y

compás) respecto al trabajo que los alumnos habían entregado la clase anterior. Por ejemplo,

superaron la dificultad en la realización de mediciones efectivas (ver análisis clase 4).

En cuarto lugar, se notaron problemas a la hora de identificar los pasos de la

construcción y la justificación de los mismos. A su vez, se observó un uso impreciso y en algunos

casos incorrecto de conceptos geométricos, por ejemplo, círculo por circunferencia, línea en vez

de recta e incluso recta por segmento. Estas dificultades habían sido observadas en las clases y, a

pesar de haberse trabajado en distintas actividades, no fueron totalmente asimiladas. En las

producciones de los alumnos de 1º A no apareció en general el método de construcción trabajado

en clase, ni en la primera actividad ni en los verdadero/falso. Sin embargo, sí apareció este método

en la actividad 3, posiblemente porque se utilizó la palabra “esquema” en la consigna, similar a lo

que se había trabajo las primeras clases, en las cuales fueron apareciendo las construcciones.

En quinto lugar, se observaron algunas dificultades para identificar la cantidad total de

soluciones posibles. En algunos casos, el problema era por no retomar la noción de igualdad de

triángulos, y en otros casos era por no usar el método de construcción (que habilitaba a considerar

visualmente todas las soluciones). La primera noción es importante pues algunos identificaron que

había una única solución a la construcción de un triángulo dados sus tres lados sin necesidad de

utilizar el método para fundamentarlo, pues justificaron que de haber otra solución, tendría las

mismas medidas y por lo tanto sería igual a la ya obtenida. Sin embargo, el método de

construcción permitía fundamentar, por ejemplo, la existencia de infinitas soluciones al problema

de esquematizar un triángulo dados dos de sus lados, y a su vez permitía obtener todas las

soluciones.

46


Por último, se tuvo una buena experiencia con los verdaderos y falsos porque se lograron

visualizar ideas de los alumnos que no habían surgido en las clases. Sin embargo, cabe destacar

que no se fue del todo riguroso a la hora de corregir la justificación, pues no se había trabajado

con esto anteriormente. Más allá de esto, aparecieron en algunos casos ideas intuitivas de

justificación, como el uso de ejemplos para demostrar la existencia de un objeto o de

contraejemplos para demostrar la falsedad de una afirmación. A su vez, apareció la noción de

desigualdad triangular sin necesidad de haberla introducido anteriormente, tanto en el primer

verdadero/falso como en la actividad 3.

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4. ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA

A continuación se analizarán algunas situaciones problemáticas que fueron apareciendo

a lo largo de las prácticas, y se abordarán desde un punto de vista teórico. El análisis se centrará en

interpretar la computadora como un medio utilizado por el alumno para aprender.

En primer lugar, a la hora de elaborar el material, aparecieron diversas cuestiones a

tener en cuenta. Al ser la mayoría de los problemas tomados de un libro de texto que planteaba

estas actividades para ser resueltas sin el uso de la computadora, fue necesario adaptar las

mismas de tal forma que posibilitaran un trabajo con GeoGebra con real sentido matemático, y no

como un mero reemplazo del trabajo en papel. Luego de seleccionar y plantear los cambios

pertinentes en estas actividades, se hizo evidente la necesidad de resolverlas en GeoGebra, de tal

forma de poder anticipar tanto posibles estrategias de resolución como así también posibles

problemas que pudieran aparecer por el uso de determinadas herramientas. Este proceso luego se

encontró estructurado de la siguiente manera:

- Presentación de una situación problemática

- Análisis de los posibles procedimientos

- Discusión sobre las dificultades que se pueden presentar dependiendo de los comandos

seleccionados y la información que otorga el software

- Sentidos y significados de los conocimientos trabajados con la herramienta GeoGebra

- Alcances y limitaciones de las estrategias propuestas

- Los conocimientos matemáticos que subyacen en la situación presentada

(Lombardo y otros, 2012, pag. 119)

Se considera que a la hora de introducir el trabajo con computadora en aula, es

necesario plantear las cuestiones anteriores, no como una especie de método, sino como un

análisis ineludible para dotar de sentido matemático a la actividad a realizar, y poder explotar de

esta forma todas las posibilidades que otorga el trabajo con computadora.

A continuación se realizará un análisis de la actividad 4, la cual se trabajó en la clase nº 7,

con el objetivo de ejemplificar algunos aspectos teóricos a tener en cuenta a la hora de elaborar

48


un análisis como el propuesto en el párrafo anterior. Durante esta jornada se usaron

computadoras del programa Conectar Igualdad, por lo tanto todos los alumnos contaban con una

netbook.

La actividad en la cual se enfocará el análisis, estaba redactada de la siguiente manera:

Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre

sus lados y sus ángulos.

a) Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos

dicen que el ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible construir un triángulo así?


A la hora de plantear esta actividad, y analizar la posibles soluciones, se identificaron dos

posibles estrategias, ambas basadas en el método de construcción de un triángulo dado dos de sus

lados, pues, por un lado, garantiza la condición de que el triángulo tenga los lados de longitud

requerida, y por el otro, el método puede extenderse para cumplir la condición sobre el ángulo

determinado por estos dos lados. Es importante destacar que al momento de introducir este

problema los alumnos ya han trabajado e interpretado (incluso han sido evaluados) la

construcción de un triángulo dado dos de sus lados.

La primer estrategia es, una vez obtenida la circunferencia que marca todas las posibles

soluciones, trazar un ángulo de 50° y buscar la intersección entre este ángulo y la circunferencia.

Es claro que esta estrategia se puede desarrollar tanto en papel utilizando regla y compás, como

en GeoGebra. Es importante notar que, con esta estrategia, la computadora en principio no

aportaría sentido matemático extra, solo una forma más fácil de trabajar. Los pasos a realizar en

GeoGebra para implementar esta herramienta serían los siguientes.

Paso 1: Trazar el segmento de 5 cm utilizando la herramienta “Segmento dada su

longitud”.

Paso 2: Trazar una circunferencia de 3 cm de radio con centro en cualquiera de los dos

vértices del segmento trazado en el paso 1, utilizando la herramienta “Circunferencia dado su

centro y su radio”. Notar que esta circunferencia representa todos los posibles vértices que

formarán un triángulo que cumpla con las condiciones de tener un lado de 5 cm y un lado de 3 cm.

49


Paso 3: Trazar un ángulo de 50° con centro igual al de la circunferencia “apoyado” sobre

el segmento trazado en el paso 1, utilizando la herramienta "Ángulo dada su amplitud" y luego la

herramienta "Semirrecta" (pues la herramienta de ángulo sólo gráfica uno de los puntos del

ángulo, no la semirrecta completa).

Paso 4: Marcar la intersección entre el ángulo y la circunferencia que determina el tercer

vértice del triángulo buscado.

Paso 5: Completar trazado del triángulo con la herramienta “Polígono”.

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Se puede notar que la implementación de esta estrategia utiliza en su mayoría

herramientas estáticas de GeoGebra (no se puede modificar dinámicamente ni la longitud del

segmento, ni el radio de la circunferencia, ni la amplitud del ángulo), por lo cual vemos en este

caso un ejemplo de “domesticación de la tecnología” (Villarreal, 2004, pag. 44), pues no se

explotan las características del medio para generar sentido matemático real, sino que

simplemente se realiza la misma tarea que podría haberse desarrollado en una hoja de papel.

La segunda estrategia también se basa en la construcción de un triángulo dados dos de

sus lados, pero hace uso de la mirada dinámica de la Geometría que permite GeoGebra. La idea es

utilizar la circunferencia obtenida en dicha construcción, marcando un punto cualquiera sobre ella,

sabiendo que este es un candidato a tercer vértice del ángulo, pues sabemos que si existe el

triángulo pedido, si o si uno de de sus vértices yace sobre esa circunferencia. Una vez marcado un

candidato cualquiera, vemos cual es el ángulo que determina. Si cumple correctamente la

condición solicitada, listo. Si no, buscamos otro. Es en este momento donde se puede explotar el

dinamismo de GeoGebra, pues puedo ir desplazando el punto candidato y dinámicamente

GeoGebra calcula el ángulo determinado, por lo cual la búsqueda del tercer vértice no se hace en

forma aleatoria, sino aproximando el ángulo. Esta estrategia puede implementarse en GeoGebra

de la siguiente manera:

Paso 1: Trazar el segmento de 5 cm utilizando la herramienta “Segmento dada su

longitud”.

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Paso 2: Trazar una circunferencia de 3 cm de radio con centro en uno de los dos vértices,

utilizando la herramienta “Circunferencia dado su centro y su radio”.

Paso 3: Marcar un punto sobre la circunferencia utilizando la herramienta “Nuevo

punto”. Notar que este punto aparecerá de un color más claro, pues significa que este punto

depende de la circunferencia y solo puede moverse dentro de ella.

Paso 4: Medir la amplitud del ángulo formado por el segmento trazado en el paso 1 y el

punto marcado en el paso 3, utilizando la herramienta “Ángulo”.

Paso 5: Mover el punto marcado en el paso 3 sobre la circunferencia hasta que el ángulo

medido en el paso 4 sea de 50°. Este punto es el tercer vértice buscado.

52


Paso 6: Completar trazado del triángulo con la herramienta “Polígono”.

Esta estrategia tiene similitudes y diferencias con la anterior, y es importante

destacarlas.

En primer lugar, es claro que los pasos 1 y 2 son iguales en ambas construcciones, tanto

en los objetos matemáticos trabajados y generados, como en las herramientas utilizadas. En estos

pasos, se podría cambiar estas herramientas por otras mas dinámicas, sin alterar por esto el

método de construcción. Por ejemplo, la herramienta “Segmento dada su longitud” puede

reemplazarse por un la herramienta “Segmento” más la herramienta “Longitud de un segmento”.

De esta manera, puedo modificar el segmento desplazando el punto y GeoGebra dinámicamente

irá calculando la longitud.

Sin embargo, al considerar el trazado del ángulo, queda claro que en la primer estrategia

es un elemento intrínsecamente estático, al contrario de la segunda construcción que necesita a

modo de requerimiento poder calcular dinámicamente las amplitudes de los ángulos generados al

desplazar el punto. Esta característica de poder cambiar una propiedad de un objeto geométrico

(por ejemplo la longitud del segmento) sin cambiar la identidad del objeto (cambiar la longitud de

un segmento, no hace que el objeto deje de ser un segmento) interactuar con el software, se

denomina plasticidad (Moreno-Armella, 2011).

La importancia de esta característica, radica en el hecho de que permite en algunos casos

una cierta abstracción y/o generalidad. Por ejemplo, utilizando herramientas dinámicas en la

segunda construcción, si ahora se quiere construir un triángulo cuyos segmentos miden 6 cm y 9

cm, y el ángulo determinado por ellos tenga una amplitud de 45°, sólo se deben mover los puntos

hasta obtener las nuevas medidas, sin necesidad de rehacer la construcción. Esto permite, en

algún sentido, notar que la longitud de 5 cm no era algo intrínseco a la construcción, el método es

válido para cualquiera sean las medidas de los lados (y del ángulo, poniendo como restricción que

se encuentre entre los 0° y los 180°). Notar que esto puede hacerse también en la primer

construcción, pero al cambiar el ángulo estático por un dinámico, será necesario luego “ajustar” la

medida del ángulo aproximando, por lo cual la construcción deviene en la segunda estrategia.

El primer método funciona en general, al llevarlo a la computadora no es tan fácil de

generalizar como el segundo método. A su vez, es claro que el último no puede llevarse a cabo en

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papel. Es decir, cada medio posibilita cosas distintas, por lo cual, queda en evidencia el principio

epistemológico, el cual indica que “las herramientas y artefactos que median la cognición humana

no son epistemológicamente neutros” (Moreno-Armella, 2011, pag. 3).

Al momento en que se presentó la situación problemática en el aula, aparecieron

distintas estrategias de resolución por parte de los alumnos, las cuales se presentan a

continuación:

Primera elaboración de los alumnos:

Paso 1: Se trazó un segmento de medida 5 usando la herramienta “Segmento de

Longitud Fija”.

Paso 2: Se utilizó la herramienta “Ángulo dada su Amplitud” tomando como un lado del

ángulo el segmento anterior y como amplitud del mismo 50º.

Paso 3: Se trazó la semirrecta que completa el ángulo.

54


Paso 4: Se trazó un segmento con la herramienta “Segmento” incluido dentro de la

semirrecta del paso 3 y con uno de sus extremos en el vértice del ángulo. La longitud del segmento

se pudo calcular con la herramienta “Distancia”.

Paso 5: Se completó el trazado del triángulo, en algunos casos utilizando la herramienta

“Polígono”, y en otros utilizando tres veces la herramienta “Segmento”.

Es interesante notar que, a pesar de que los alumnos utilizaron una estrategia de

resolución diferente a la esperada, comenzaron por el trazado de un segmento “horizontal”, que a

su vez es el mayor de los solicitados. Esto se observará también en las otras dos resoluciones que

se muestran más adelante. Es posible que esto se deba a que las construcciones vistas

anteriormente en clase comenzaban de esta forma.

Luego, se puede observar que el alumno eligió continuar con el ángulo, dato que se

consideró también de forma fija. Es interesante resaltar que, si bien los alumnos cuentan con el

dato de dos lados y tienen práctica tanto por actividades anteriores como por el práctico evaluable

con construcciones a partir de los lados, optan por explorar nuevos métodos de construcción de

triángulos. El dato del ángulo les presenta nuevas posibilidades.

A continuación, traza la semirrecta faltante para completar el ángulo, pues al utilizar la

herramienta de ángulo dada su amplitud, GeoGebra sólo marca tres puntos. Este paso es

sumamente importante y da cuenta de que el alumno entiende que el próximo lado debe estar

55


incluido en esa semirrecta, compartiendo su origen. Es decir, parece la noción intuitiva de que esa

semirrecta es lugar geométrico de todos los puntos que formarán un ángulo de la amplitud

deseada.

Una vez trazado el segmento con origen en el vértice del ángulo, se empieza a jugar con

la longitud del mismo hasta obtener la medida deseada. En esta instancia se revela la plasticidad

del objeto geométrico, pues se lo puede modificar sin que pierda la identidad de segmento,

permitiendo acomodarlo para obtener el lado de longitud necesaria para resolver este problema.

Es decir, la característica de plasticidad del software es esencial para esta resolución.

Por último, es interesante ver que esta última búsqueda puede derivar en que la longitud

obtenida no sea exactamente la deseada, por ejemplo, se puede obtener un segmento de longitud

3,01 en vez de uno de longitud 3. Sin embargo, la mayoría de los alumnos no veían problemas

respecto a obtener soluciones aproximadas. De todas formas, esto contrasta con la exactitud de

las herramientas usadas en los pasos 1 y 2. Más allá de esto, se tomó la decisión de validar como

correctas las soluciones aproximadas, aunque no se discutió cuál era límite de aproximación

aceptado, lo cual podría haber generado un debate interesante.

Segunda elaboración de los alumnos:

Paso 1: Se trazó un segmento de medida 5 usando la herramienta “Segmento de

Longitud Fija”.

Paso 2: Se trazó un segmento de medida 3 con un extremo coincidente con uno de los

extremos del segmento trazado en el paso 1. Para esto se utilizó la herramienta “Segmento de

Longitud Fija”.

Paso 3: Se obtuvo la medida del ángulo formado entre los segmentos trazados en lso

pasos 1 y 2, usando la herramienta “Ángulo”.

Paso 4: Se movió el extremo del segmento de medida 3 hasta que el ángulo formado

tuviese la amplitud de 50°.

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Notar que esta construcción es similar a la segunda estrategia utilizada por los

practicantes (la “solución esperada”), aunque sin trazar la circunferencia explícitamente.

Para la construcción de los primeros dos segmentos se utilizan herramientas de medida

estática. Entonces, al mover uno de los extremos no compartidos se puede hacer el trayecto de

una circunferencia; esta es la estrategia que utilizará el alumno para hallar el ángulo solicitado. Es

decir, aunque no se haya trazado la circunferencia, está presente la idea de lugar geométrico.

Una vez cumplidas las condiciones sobre los segmentos, se opta por usar una

herramienta para medir el ángulo formado entre los lados. Solo hace falta trasladar un vértice

hasta lograr la medida del ángulo solicitado. La forma en la cual fueron trazados los segmentos,

permite que las propiedades que satisfacen las condiciones solicitadas se mantengan mientras que

se explora en pos de hallar el ángulo deseado. Nuevamente, se observa que la plasticidad del

software es esencial para esta resolución. A su vez, se presenta claramente otra cualidad de

GeoGebra, denominada ejecutabilidad en términos de Moreno-Armella. Esto última hace

referencia a la posibilidad (en este caso que brinda GeoGebra) de interactuar en forma dinámica

con los objetos geométricos.

Como se mencionó en la estrategia analizada anteriormente, la solución obtenida por los

alumnos en algunos casos era aproximada, no exacta.

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Tercera elaboración de los alumnos:

Paso 1: Se trazó un segmento de longitud 5 usando la herramienta “Segmento de

Longitud Fija”.

Paso 2: Se trazó un segmento con un extremo coincidente con uno de los extremos del

segmento trazado en el paso 1. Para esto se utilizó la herramienta “Segmento de entre dos

puntos”.

Paso 3: Se obtuvo la medida del ángulo formado entre los dos segmentos anteriores

usando la herramienta “Ángulo”.

Paso 4: Se movió el extremo del último segmento creado hasta que fuese de longitud 3 y

que el ángulo formado tuviese la amplitud de 50°.



Esta estrategia es similar a la anterior, aunque el segmento trazado en el paso dos no

tiene longitud estática, por lo cual en el paso 4 se debe mover el vértice para que cumpla tanto la

condición de formar un lado de longitud 3, como un ángulo de 50°. Las herramientas “Segmento

entre Dos Puntos” y “Ángulo” permiten una dinámica de exploración que no está presente en las

herramientas fijas, aunque hacen menos evidente la noción de lugar geométrico. Por otro lado al

estar en juego dos variables en el movimiento del tercer vértice “C” (medida del lado BC y medida

del ángulo), difícilmente pueda obtenerse un resultado exacto (incluso se hace difícil obtener un

resultado aproximado que satisfaga ambas condiciones con cierta precisión).

58


Posiblemente, esta sea la construcción que mayormente explota la plasticidad y

ejecutabilidad del software. Sin embargo, a diferencia de la construcción anterior, no están

posibilitando la aparición de la noción de lugar geométrico, al menos no de un modo evidente. De

todas formas, este método de construcción es intuitivo y puede servir como un primer

acercamiento al método explicado anteriormente, o incluso directamente al método de

construcción propuesto por los practicantes.

Por último, y a modo de conclusión, se considerará, por un lado, una posible variante de

la actividad que otorgue nuevas posibilidades. Por otra parte, se analizará el concepto de colectivo

pensante.

Una posible variante que se le puede hacer a la actividad, una vez que fue terminada por

los alumnos, es cambiar la amplitud del ángulo solicitado reiteradas veces. De esta forma, puede

comenzar a discutirse la utilidad de cada una de las estrategias propuestas anteriormente respecto

a la flexibilidad que permiten a la hora de generalizar el método de construcción para un ángulo

cualquiera. En este sentido, se hará evidente que la primera estrategia, a diferencia de la segunda

y la tercera, depende en forma esencial del ángulo trazado, por lo cual no es susceptible de ser

modificada en pos de obtener una solución a un problema más general; para cada ángulo

solicitado, deberá rehacerse la construcción. Por el contrario, la construcción dos y tres permiten

la extensión del método sin necesidad de rehacer la construcción. Este tipo de discusiones, no solo

permiten analizar conceptos matemáticos, sino que también hacen aparecer en escena ideas

computacionales respecto a la complejidad y flexibilidad de algoritmos, conceptos que

difícilmente puedan aparecer en el trabajo con papel y lápiz. A su vez, este tipo de actividad

permite comparar las distintas soluciones elaboradas por los alumnos, permitiendo visualizar no

solo que en matemática existen muchas veces más variadas soluciones, sino que estas soluciones

pueden ser comparadas y analizadas con el fin de rescatar ventajas y desventajas de cada una de

ellas.

Finalmente, se interpretará la siguiente cita de Villarreal, en términos de las experiencias

analizadas:

“Como premisa básica, se asume que las nuevas tecnologías incorporadas en las clases

de Matemática no tienen simplemente un papel de suplementación sino de reorganización, que

constituyen junto a los estudiantes, docentes y otro medios presentes en la sala de clases un

59


colectivo pensante, un sistema constituido por seres humanos y dispositivos tecnológicos de

diversa naturaleza (lápiz, papel, libros, calculadoras, computadoras, etc.) que generan, en

conjunto, conocimientos matemáticos”.

En términos de lo vivido durante las prácticas, se pudo observar que los conocimientos

que surgían al planificar las actividades en papel y lápiz, diferían de los que surgían al hacerlo en

GeoGebra; estos, a su vez, no eran los mismos al pensarlos entre los practicantes y la profesora

supervisora, que al llevarlos al aula junto a los alumnos. El ejemplo más claro quizás fue la

actividad presentada en esta sección, pues cada una de las estrategias presentadas surgió de un

colectivo pensante distinto, evidenciando que los dispositivos tecnológicos no son neutros

epistemológicamente hablando, pero que, a su vez, tampoco lo son los humanos que los utilizan,

ni las relaciones entre los mismos, formando un verdadero sistema que, según como se lo

gestione, puede potenciar los resultados en el aula de matemática.

60


5. REFLEXIONES FINALES

Esta reflexiones están basadas en nuestras vivencias personales a lo largo de las

prácticas. A su vez consideraremos nuestros deseos y proyecciones, pensando en nuestra futura

labor docente.

A modo de conclusión, podemos decir que fue un proceso de mucho aprendizaje, en el

cual le perdimos miedo a la docencia, ganándole respeto. Pues nos dimos cuenta de la

complejidad de la tarea docente, aunque también lo gratificante que es realizarla. A su vez, fue

una experiencia que nos permitió crecer en confianza, tanto a la hora de planificar las clases como

a la hora de pararse frente al curso. Comprobamos la importancia del trabajo en equipo, no solo

entre los compañeros de prácticas, sino también con la docente supervisora y la docente del

curso.

Pudimos comprobar las ventajas y las limitaciones que tiene el uso de la computadora

en la clase de matemática. Más allá de la complejidad de la gestión de una clase en la cual se

utilizan las nuevas tecnologías, ambos coincidimos en lo positivo de la experiencia y pretendemos

implementarlas en nuestras prácticas profesionales.

Creemos que las prácticas docentes tienen un limitante y es que no simulan

completamente un futuro escenario real de trabajo. Consideramos que es debido a diversos

motivos: uno llega a un aula con una cultura matemática instaurada, una relación con el

conocimiento y con la docente ya determinada, con tradiciones y costumbres formadas a lo largo

del año, que es muy difícil, por no decir imposible, pretender cambiar en un mes. Esto sin contar

con el aspecto positivo, pero que no será así en el futuro, del apoyo y contención de un

compañero y dos docentes. A pesar de esto, creemos que las prácticas son un perfecto ambiente

para introducirse a la cultura escolar desde una nueva mirada, ya no de alumno, sino ahora como

docente, y recordar y redescubrir, motivos por los cuales uno quiere ser y hacer esto.

A lo largo de las prácticas intentamos desarrollar la idea de que los problemas tienen

diferentes estrategias para ser resueltos, cada una con sus beneficios. Tomamos en cuenta los

distintos recorridos que hacía cada alumno a la hora de resolver un problema, y pusimos énfasis

en que el grupo entero visualice y analice estas distintas estrategias. Podemos resaltar que nos

interesaría continuar con esta forma de trabajo en la matemática.

61


6. Bibliografia

Diseños Curriculares de Educación Secundaria – Tomo 2. Gobierno de la Provincia de

Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Estado de Educación. Subsecretaría de Estado de

Promoción de Igualdad y Calidad Educativa. Disponible en:

<http://www.igualdadycalidadcba.gov.ar/SIPECCBA/publicaciones/EducacionSecundaria/

Tomos2v.html>. Acceso en: nov. 2013

Gobierno de Córdoba. Ministerio de Educación. Secretaría de Educación. Subsecretaria

de Promoción de Igualdad y Calidad Educativa. (2011). Documento de Apoyo Curricular. La

evaluación de los aprendizajes en Educación Secundaria.

Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. Buenos Aires:

Editorial El Zorzal.

Itzcovich, H. y November, A. (coord.) (2006). M7: Matemática. Buenos Aires: Tinta

Fresca.

Lombardo, G.; Caronía, S.; Operuk, R. Abildgaard, E. (2012). La enseñanza de la

matemática con GeoGebra. En Actas de la 1ª. Conferência Latino Americana de GeoGebra.

pag.115-128 São Paulo, Brasil.

Moreno-Armella, L. (2011). ¿Cómo impactan las tecnologías los currículos de la

Educación Matemática?. Resúmenes de la XIII Conferencia Interamericana de Educación

Matemática: Recife, Brasil.

Villarreal, M. (2004). Transformaciones que las tecnologías de la información y la

comunicación traen para la educación matemática. Yupana. Revista de Educación Matemática de

la Universidad Nacional del Litoral, N° 1, pag. 41-55. Santa Fé: UNL.

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7. Anexo A: Métodos de cálculo de las estadísticas

Distribución de porcentajes de respuestas correctas según ítem:

A continuación se explicará el método de cálculo:

-Sea i el ítem a considerar, i tomará un valor del siguiente conjunto {1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 2.a,

2.b, 2.c, 2.d, 3, 4}.

-Sea N la cantidad total de alumnos que resolvieron el examen.

-Sea Ci la sumatoria del puntaje obtenido por los N alumnos en el ítem i.

-Sea Vi la cantidad de puntos asignado al ítem i.

Entonces, el porcentaje P de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas

en el ítem i se calculo como:

P = (Ci * 100) / (N * Vi)

Por ejemplo, se puede ver que en el ítem 1.a en 1° B se observaron los siguientes

valores:

N = 27, Ci = 67 y Vi = 3

obteniéndose como resultado

P = (67*100)/(27*3) = 82,716049383

Este valor es el que se muestra en el diagrama de barras.

Distribución de porcentaje de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas

A continuación se explicará el método de cálculo.

-Sea i el ítem a considerar, i tomará un valor del siguiente conjunto {1.a, 1.b, 1.c, 1.d, 2.a,

2.b, 2.c, 2.d, 3, 4}.

-Sea N la cantidad total de alumnos que resolvieron al menos una parte del ítem i.

-Sea Ci la sumatoria del puntaje obtenido por los N alumnos en el ítem i.

-Sea Vi la cantidad de puntos asignado al ítem i.

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Entonces, el porcentaje P de respuestas correctas sobre el total de actividades resueltas

en el ítem i se calculó como:

P = ( Ci * 100) / (N * Vi)

Por ejemplo, se puede ver que en el ítem 1.a en 1° B se observaron los siguientes

valores:

N = 26, Ci = 67 y Vi = 3

Obteniéndose como resultado

P = (67*100)/(26*3) = 82,716049383

Este valor es el que se muestra en el diagrama de barras.

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8. Anexo B: Material elaborado por los practicantes

A continuación se podrá consultar el material para trabajo en clase elaborado por los

practicantes. Se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones.

En primer lugar, la numeración que presentan las hojas no se corresponden con la que

tenían los alumnos en clase, y se ha incluido a modo de hacer más claras las explicaciones en esta

sección.

En segundo lugar, el material no fue entregado a los alumnos de una vez, sino que se les

entregaba cada día las actividades correspondientes. El material fue entregado de la siguiente

manera:

• Día 1: Se entregaron las páginas i y ii.

• Día 2: Se entregaron las páginas iii a vii inclusive.

• Día 3: Se entregó la página viii.

• Día 4: No se entregó ningún material, pues se siguió trabajando con el material de

la clase anterior.

• Día 5: El material entregado fue el práctico evaluable, el cual ya fue presentado en

la sección 3 del presente informe.

• Día 6: No se entregó el material nuevo.

• Día 7: Se entregaron las páginas ix y x.

• Día 8: No se entregó material nuevo.

Por último, cabe destacar que las páginas xi y xii correspondían originalmente a la

actividad 4, la cual finalmente se llevó a cabo a modo de práctico evaluable y con modificaciones

(consultar sección 3 del presente informe para más detalles). Las páginas xiii y xiv corresponden a

la actividad de cierre planificada originalmente, la cual no se llegó a realizar a falta de tiempo, por

lo cual estas páginas no fueron entregadas a los alumnos.

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I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría i

Introducción

La Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), es una rama de la Matemática que se ocupa del

estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, como triángulos, círculos y cubos. Desde

la era primitiva, el hombre ha dibujado y clasificado lo que lo rodeaba segun su forma. Es posible resolver y

analizar muchas situaciones si uno conoce las propiedades de las figuras geométricas con las que ha

realizado un dibujo o esquema.

Es razonable pensar que el origen de la Geometría surge con los primeros pictogramas que traza el

hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su

forma. En la representación de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la

Geometría. Multiples sociedades hicieron aportes a la Geometría, por ejemplo los egipcios y los griegos.

Actividad 1

Marcos tiene dos perros en su patio. Cada uno de ellos está atado a una estaca clavada en el suelo por

medio de una soga.

La distancia entre ambas estacas es de 5 metros, y la medida de cada soga es de 3 metros.

a) Realizá un esquema de uno de los perros atado a la estaca, donde muestres qué tan lejos puede llegar el

perro. (Ayuda: podemos representar 1 metro con 1 centímetro.)

b) Realizá un esquema similar al anterior, en el cual ahora se incluya a los dos perros.

c) Si se dispone de un único recipiente para que ambos perros tomen agua, marquen, en el dibujo anterior,

todos los lugares donde es conveniente poner el recipiente para que puedan tomar agua ambos perros.

Se denomina circunferencia todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto dado. Este punto se denomina centro de la circunferencia y la distancia entre el centro y cualquier otro punto de la circunferencia se llama radio.

Se llama círculo a todos los puntos que están a una distancia menor o igual que el radio del centro de la circunferencia.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría ii

Punto

Recta

Semirrecta

Segmento

Ángulo

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría iii

Actividad 2

Te invitamos a resolver de nuevo el problema de los perros (actividad 1), pero esta vez juntos y utilizando

un programa de computadora llamado GeoGebra.

Resolvamos el inciso a. Para esto, debemos representar a un perro atado a una estaca por una soga de 3

metros.

Representaremos a la estaca como un punto que llamaremos A.

Luego, como vimos la clase anterior, podemos representar los lugares mas lejos a donde puede llegar el

perro como una circuferencia de radio 3. Antes de hacer esto, vamos a aprender las distintas maneras de

trazar circunferencias en GeoGebra.

La primer manera de trazar una circunferencia, es haciendo click en un punto, que será el centro, y luego

en otro punto que será un punto cualquiera sobre la circunferencia.

Otra manera, es indicar el centro de la circunferencia y la medida del radio.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría iv

Una vez seleccionado el punto que será el centro de la circunferencia, se abrirá un ventana en la cual

debemos ingresar la medida del radio. La ventaja de este método, es que podemos indicar con precisión la

longitud del radio.

Otra manera de representar circunferencias, es a través de la herramienta compás, en la cual uno debe

indicar dos puntos (en el caso de la imagen los puntos A y B), los cuales indicarán la medida del radio, y

luego marcar el centro de la circunferencia (el punto C). La ventaja de este método, es que moviendo

alguno de los dos primeros puntos, se irá modificando también la circunferencia, dándonos mayor libertad

para realizar cambios.

Por último, existe una herramienta en la cual, indicando tres puntos, se obtiene una circunferencia que

pasa por eso tres puntos.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría v

Volvamos a nuestra tarea inicial. Debemos trazar una circunferencia con centro en A y de radio 3, para

representar la situación del perro atado a una estaca por medio de una soga que mide 3 metros. ¿Cuál

creen que será la herramienta más adecuada para trazar la circunferencia en este caso?

Resolvamos ahora la segunda parte del problema. Representaremos a una de las estacas con un punto A

y a la otra con un punto B.

Ahora mediremos la distancia entre los dos puntos, para poder separarlos a una distancia de 5

centímetros.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría vi

Movemos el punto B de tal manera que quede a 5 cm del punto A.

¿Con cuál herramienta podríamos ahora representar cuan lejos pueden llegar ambos perros?

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría vii

Ahora que ya tenemos el esquema armado, ¿a cuántos metros deberían estar las estacas para que los

perros no se toquen?

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría viii

Actividad 3

Un avión debe ir de la ciudad A a la ciudad B, que se halla a 300 kilómetros, recoger pasajeros, luego

dirijirse hacia la ciudad C, que queda a unos 500 kilómetros de la ciudad B, dejar los pasajeros, para luego

retornar a la ciudad de origen.

Para simplificar el problema, consideraremos que el avión vuela en linea recta.

a) Hagan un esquema representando la situación. Pueden considerar cada ciudad como un punto, y 100

kilómetros como 1 centímetro.

b) Ese esquema que hicieron, ¿es el único posible? En caso de no serlo, dar otro.

c) ¿Cuántas soluciones creen que habrá? ¿Se les ocurre alguna manera de encontrarlas a todas?

d) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a unos 600 kilómetros de la ciudad A. Realicen un nuevo

esquema.

e) ¿Es la única solución? En caso de no serlo, dar otra.

f) ¿Cuántas soluciones hay? ¿Se les ocurre alguna manera de encontralas a todas?

g) ¿Qué distancia recorrió el avión?

h) Ahora nos dicen que la ciudad C se encuentra a 200 kilómetros de la ciudad A. Realicen un nuevo

esquema de la situación.

Triángulos

Clasificación de triángulos según sus lados

Si un triángulo tiene...

...sus tres lados iguales, decimos que es un triángulo equilátero.

...al menos dos de sus lados iguales, decimos que es un triángulo isósceles.

...sus tres lados distintos, decimos que es un triángulo escaleno.

Para poder construir un triángulo, conocidas las medidas de sus tres lados, es posible ayudarse con el compás y las circunferencias. Pero, para que dicho triángulo exista, la suma de las medidas de dos de

sus lados debe ser siempre mayor que la medida del tercero. Esto se conoce con el nombre de desigualdad triangular.

Llamamos perímetro de un triángulo a la suma de las longitudes de sus lados.

Dos triángulos son iguales si es posible superponer uno con otro. Es decir, si dos triángulos tienen sus lados iguales, entonces, son iguales.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría ix

Clasificación de ángulos

Ángulo agudo…........

Mide menos de 90°

Ángulo recto…..........

Mide exáctamente 90°

Ángulo obtuso…...........

Mide más de 90°

Ángulo llano…............Mide 180°

Ángulo nulo….........Mide 0°

Decimos que dos ángulos son complementarios si la suma de ellos es 90°

Decimos que dos ángulos son suplementarios si la suma de ellos es 180°

Actividad 4

Supongamos que queremos construir un triángulo, y sólo nos dan algunos datos sobre sus lados y sus

ángulos.

a) Nos dicen que uno de los lados mide 5 cm, y otro de sus lados mide 3 cm. A su vez, nos dicen que el

ángulo formado por estos dos lados mide 50°. ¿Es posible constuir un triángulo así? ¿Cuántas soluciones

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría x

distintas existen?

b) Si, en cambio, nos dicen que un lado mide 4 cm, y que uno de los ángulos que se apoya sobre este mide

60°, y el otro ángulo que se apoya sobre este lado mide 80°, ¿es posible construir un triángulo así?


c) ¿Que pasa si en la situación anterior nos decían que los ángulos medían 90° y 120°? ¿Era posible la

construcción?

d) Por último, nos dicen que un ángulo mide 40°, el otro mide 90° y el otro 50°. ¿Es posible construir un

triángulo así? ¿Cuántas soluciones distintas existen?

Clasificación de triángulos según sus ángulos

Si un triángulo tiene...

...sus tres ángulos agudos, decimos que es un triángulo acutángulo.

...un ángulo recto, decimos que es un triángulo rectángulo.

...un ángulo obtuso, decimos que es un triángulo obtusángulo.

La suma de los ángulos de un triángulo siempre es igual a ….......

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría xi

Actividad 4

1. a) Construir un triángulo equilátero

b) Construir un triángulo isósceles.

c) Construir un triángulo escaleno.

2. Dibujar las siguientes figuras, respetando las condiciones dadas.

a) b) c)

*Respetar la distancia entre los

puntos.

*El triángulo ABC es equilátero.

*Los puntos de interseccion de las

circunferencias, son los puntos

medios de los lados del triángulo

ABC

*AC = BC (ABC es isósceles)

*AD = DB

*AE = ED

3. Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o propiedades

estudiadas, según corresponda.

a) Si tengo un triángulo escaleno y dos de sus lados miden 8cm y 2cm respectivamente, un tercer lado

deberia medir 10cm.

b) Todos los triángulos equiláteros tienen el mismo perímetro.


d) “El pueblo donde nació mi papá queda a 25 km del pueblo donde nació mi mamá. El pueblo donde nació

mi mamá queda a 12 km del pueblo donde nací yo. Y el pueblo donde nací yo queda a 30 km de donde

nació mi papá”

e) Todos los triángulos equiláteros, son isósceles.

f) Todos los triángulos isósceles, son equiláteros.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría xii

4. a) Dibujar un punto A.

b) Dibujar todos los triángulos isósceles que cumplan las siguientes dos condiciones:

1) El punto A es el vértice compartido por los dos lados iguales.

2) Los lados iguales miden 3 cm.

c) ¿Cuántas soluciones distintas hay?

5. a) Dibujar todos los triángulos isósceles tales que uno de sus lados mide 3 cm y otro de sus lados

mide 5 cm.

b) ¿Cuántas soluciones diferentes hay?

c) ¿La respuesta anterior contradice el hecho de que puedo construir infinitos triángulos si tengo como

dato sólo dos de sus lados? ¿Por qué?

6. a) Construir un triángulo, en el cual uno de sus lados mida 2 cm, y el perímtro del triángulo sea 8 cm.

b) El triángulo que dibujaste en el punto anterior, ¿es la única solución posible? En caso de no serlo, dar

otras dos soluciones posibles.

7. Dados 4 puntos cualquiera, ¿cuántos triángulos puedo formar tomándo como vértices solo estos

puntos? ¿Por qué?

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría xiii

Actividad 6

1. a) Construir un triángulo acutángulo

b) Construir un triángulo rectángulo.

c) Construir un triángulo obtusángulo.

2. Dibujar las siguientes figuras, respetando las condiciones dadas.

a) b) c)

*El triángulo BCA es equilátero.

*BD = AD = CD

* AC = BC

*Respetar la medida del ángulo

marcado

*AB = AC

*K es punto medio de BC

*Todos los triángulos del

“cucurucho” son iguales

3. Decir, en cada caso, si la afirmación es verdadera o falsa, justificando con construcciones o propiedades

estudiadas, según corresponda.

a) Se puede dibujar un triangulo equilatero con un angulo de 70º.

b) Se pueden dibujar un triangulo cuyos angulos midan 190º pero se necesitan otras herramientas.

c) Existe un triangulo escaleno cuyo dos de sus angulos miden 80º

d) Si dos triángulos tienen sus lados iguales, entonces son iguales.

e) Si dos triángulos tienen sus tres ángulos iguales, entonces son iguales.

4. a) Construir, si es posible, un triángulo rectángulo que tenga dos lados iguales. Si no es posible, indicar

por qué.

b) Construir, si es posible, un triángulo rectángulo que tenga tres lados iguales. Si no es posible, indicar

por qué.

I.P.E.M. 40 “Deodoro Roca” - Asignatura Matemática – Unidad: Geometría xiv

5. a) Construir un triángulo isósceles con tres ángulos iguales. ¿Es posible? ¿Por qué?

b) Construir un triángulo isósceles con dos ángulos iguales y uno diferente. ¿Es posible? ¿Por qué?

c) Construir un triángulo isósceles con sus tres distintos. ¿Es posible? ¿Por qué?

d) Completar:

“En un triángulo isósceles, los ángulos formados por los lados iguales y el lado restante siempre son ...”

6. El siguiente dibujo está conformado por un triángulo equilátero (ABC), dos

isósceles (ABE y BCD) y uno escaleno (BED).

Con la ayuda de los dos ángulos medidos en el dibujo, determinar los valores

de los dos ángulos marcados restantes, sin medirlos.

7. Agregá, en cada caso, un dato, de manera tal de poder construir un triángulo y que sea único

a) El triángulo ABC tiene un ángulo de 60° y otro ángulo de 100°.

b) El triángulo DEF tiene un lado de 5 cm y otro lado de 3 cm.

c) El triángulo HIJ tiene un ángulo de 45° y un lado de 6cm.

8. a) Si un triángulo tiene dos lados iguales, ¿es verdad que tiene dos ángulos iguales? ¿Pot qué?

b) Si alguien me dice la medida de dos ángulos de un triángulo, ¿puedo deducir la medida del tercer

ángulo? Si es posible, indicar cómo. Si no lo es, indicar por qué.

c) Si alguien me dice la medida de dos lados de un triángulo, ¿puedo deducir la medida del tercer lado?

Si es posible, indicar cómo. Si no lo es, indicar algún dato extra que me permitiría deducir la medida del

tercer lado.

9. Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos pares de lados opuestos son iguales, y sus cuatro

ángulos son rectos. Si los cuatro lados son iguales, decimos que ese rectángulo es un cuadrado.

Dibujar un rectángulo y un cuadrado, utilizando solo las herramientas de GeoGebra que venimos usando

para construir triángulos. (Ayuda: pensar al rectángulo como la unión de dos triángulos, y análogamente con

el cuadrado).

una experiencia de construcción de triángulos con geogebra en

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