unidad 2 - puertas lógicas y Álgebra de conmutación

7/21/2019 Unidad 2 - Puertas Lógicas y Álgebra de Conmutación

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Escuela de Ciencia y Tecnología Introducción a la InformáticaUnidad 2: Puertas Lógicas y Álgebra de Conmutación

Página 1 de 15Universidad Nacional de San Martín

Martín de Irigoyen 3100, San Martín, Buenos Aires

Escuela: Ciencia y Tecnología

Materia: Introducción a la Informática

Unidad 2: Puertas Lógicas y Álgebra de

Conmutación

Profesores: Bompensieri, AlejandroCuschnir, MonicaSchurman, Pablo






1. Puertas Lógicas y Álgebra De Conmutación

1.1. Operaciones lógicas básicas.

Las operaciones básicas se definen como suma lógica, o bien operación "OR", y se representará con elsigno "+", y el producto lógico u operación "AND", y se representará con el signo "•". A veces, por

comodidad, la omisión de signo significará producto lógico. Las operaciones OR y AND se efectúan entredos o más elementos. También definiremos la operación complementario, inverso o negado, que se aplicaa un solo elemento.

Estas operaciones, por definición, son tales que:

La suma lógica tomará el valor 1 cuando un elemento o bien otro, o todos, tomen el valor 1. En casocontrario será 0.

El producto lógico tomará el valor 1 cuando un elemento y otro, y todos, tomen el valor 1. En casocontrario será 0.

Es decir, en la suma lógica es suficiente con que un elemento sea 1 para que el resultado sea 1. Sinembargo, en el producto lógico, es necesario que todos los elementos sean 1 para que el resultado sea 1.

El complementario, negado o inverso tomará el valor 1 cuando el elemento tome el valor 0, y tomará elvalor 0 cuando el elemento tome el valor 1. La operación X-OR también llamada OR-Exclusiva, sedefine entre dos valores de la siguiente forma: vale 0 si son iguales y vale 1 si son distintos. Su operador

es “⊕“. También se pueden definir las operaciones complementario de la suma y x (NOR ) y

complementario del producto y x. (NAND).

Una forma gráfica de representar los valores de operar elementos con estas operaciones es la llamadatabla de verdad, que no es más que una tabla en la que aparecen todos los casos posibles y sus resultados.Vamos a expresar los resultados de la suma y el producto lógico, así como de la operación inversión onegado, en forma de tabla de verdad:

x y x y x + y x ⋅ y y x y x. y x y x. x ⊕ y

0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 00 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 11 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

Supongamos que el valor 0 lo asignamos a FALSO y el valor 1 a VERDADERO.

Supongamos que digo la frase x = "Esta carpeta es azul", y la frase y = "Esta carpeta es de cartón".

La frase x+y será: "Esta carpeta es azul o esta carpeta es de cartón". Para que esta expresión seaverdadera, es decir, x+y sea 1, basta con que sea cierta cualquiera de ellas por separado, o ambas.

Aquí vemos la relación de la conjunción disyuntiva de la Lengua con la operación lógica OR.

Sea la frase x = "Estamos en octubre", y la frase y = "Estamos en Ciudad Real".






La frase x·y será: "Estamos en octubre y estamos en Ciudad Real". Para que esta expresión sea verdadera,es decir, x·y sea 1, es necesario que ambas sean ciertas. Si una de ellas, o ambas, no es cierta, el conjuntoserá falso.

Aquí vemos la relación de la conjunción copulativa de la Lengua con la operación lógica AND.

Una representación circuital de la función OR aparece en la Figura 1.

Una representación circuital de la función AND aparece en la Figura 2.

En el primer caso la bombilla B se enciende si se cierra el interruptor I1 o el interruptor I2, que están en paralelo.

Es suficiente que un interruptor esté cerrado para que luzca la bombilla

En el segundo caso la bombilla se enciende si se cierra el interruptor I1 y el interruptor I2, que están enserie.

Es necesario que todos los interruptores estén cerrados para que luzca la bombilla

Otra forma más de verlo. La operación OR como pertenecer a la unión de 2 conjuntos y laoperación AND como pertenecer a la intersección de dos conjuntos.

1.2. Puertas lógicas básicas.

Existen dispositivos tecnológicos llamados PUERTAS LÓGICAS que llevan a cabo las funciones lógicas.Pueden tener 2 ó más entradas. Las puertas básicas son:






Estructura multinivel con puertas de dos entradas:

Estructura de dos niveles con puertas de dos y tres entradas (AND-OR):

Estructura de dos niveles con puertas de dos entradas (OR-AND):

Ejemplo:






1.3. Algebra de Boole. Teoremas básicos.

El Algebra de Boole constituye la base matemática para el análisis lógico de los circuitosbásicos que integran las máquinas digitales.

El Algebra de Boole se dice que es bivalente o de conmutación cuando B es un conjunto con

dos elementos, que llamaremos "0" y "1". Las operaciones + y · son la suma lógica y producto

lógico, respectivamente.

Un Algebra de Boole es un conjunto B, en el que se han definido dos operaciones + y ·, que

cumple los siguientes postulados:

1) B es cerrado: El resultado de operar dos elementos con cualquier operación produce un elemento delconjunto B.

∀x, y ∈ B x + y ∈ B x ⋅ y ∈ B

2) Elemento identidad:

∀x∈ B existe un elemento 0 tal que x + 0 = x∀x∈ B existe un elemento 1 tal que x ⋅1 = x

3) Propiedad conmutativa:

∀x, y ∈ B se cumplex + y = y + xx ⋅ y = y ⋅ x

4) Propiedad distributiva de una operación respecto a otra: x ⋅ ( y + z) = (x ⋅ y) + (x ⋅ z)x + (y ⋅ z) = (x + y) ⋅ (x + z)

5) Existencia de elemento complementario.

∀x∈ B, existe un elemento x llamado complementario que cumple que:

x + x = 1

x ⋅ x = 0

Como consecuencia de estos postulados se obtienen los siguientes teoremas:

Teorema 1:

x +1 = 1x ⋅ 0 = 0

Teorema 2:

x + x = xx ⋅ x = x






Teorema 3:

x = x

Teorema 4: Absorción.

x + x ⋅ y = x x + x ⋅ y = x + y

x ⋅ (x + y) = x x ⋅ ( x + y) = x·y

Teorema 5: Propiedad asociativa.

x + ( y + z) = (x + y) + zx ⋅ ( y ⋅ z) = (x ⋅ y) ⋅ z

Teorema 6: Leyes de De Morgan.

y x y x .

y x y x .

1.4. Expresiones de conmutación. Formas canónicas.

Un símbolo x es una variable booleana si representa a cualquier elemento de un conjunto B sobre el quese ha definido un Algebra de Boole.

Una función booleana o de conmutación es una expresión algebraica de variables booleanas con lasoperaciones +, * y complemento.

Ejemplo:

z y x z y y x z y x F ....),,(

Una función se puede representar mediante su expresión algebraica o mediante su tabla de verdad. Sitenemos n variables booleanas, existen 2n permutaciones con repeticiones posibles, para cada una de ellasla función tendrá que tomar un valor de los 2 posibles: 0 ó 1. Dos funciones booleanas se dice que sonequivalentes si tienen la misma tabla de verdad en los 2n casos posibles.

Ejemplo:

y x F y xG .

Las prioridades de los operadores, caso de haber varios, es: paréntesis, complementos, productos y sumas.

F (x1, x2,.., xn) − − − − > G(x1, x2,..., xn)

F y G equivalentes: misma tabla de verdad. G más sencilla.






Aplicar las propiedades del A. Boole. Operar algebraicamente.

z y y x z x

x x z y z z y x y y z x

z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x F

...

).(.).(.).(.

............),,(

Factor común 1-2, 3-6, 4-5

(Expresión mínima)

O bien

z x z y y x

y y z x x x z y z z y x

...

).(.).(.).(.

Factor común 1-4, 2-3, 5-6

(Expresión mínima)

El hecho de encontrar una expresión mínima no significa que sea única. Aquí tenemos un ejemplo.

Desdoblando los términos 2º y 5º y agrupando, queda:

z x z y z y z x

y y z x x x z y x x z y y y z x

z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x F

....

).(.).(.).(.).(.

................),,(

(Expresión irreducible)

El hecho de encontrar una expresión irreducible no significa que sea mínima. Aquí tenemos un ejemplo.

INCONVENIENTE: FELIZ IDEA Y ASTUCIA. POCO SISTEMÁTICO

Formas canónicas.

Término canónico: suma o producto en que aparecen todas las variables, ya sean en forma afirmada o enforma negada.

Productos canónicos: minitérminos o minterms.

Sumas canónicas: maxitérminos o maxterms.

Función n variables: 2n maxitérminos y 2n minitérminos.

Expresión de una función booleana en forma canónica:

1) Sumar los minitérminos que dan el valor 1 para la función.2) Multiplicar los maxitérminos que dan a la función valor 0.

La primera forma canónica consiste en expresar una función como suma de productos canónicos. Lasegunda forma canónica consiste en expresar una función como productos de sumas canónicas.






x y z F

Lugar 0 0 0 0 0 Si hay un”1” genera el minitérmino 0, y si hay un “0” genera el maxitérmino 0 Lugar 1 0 0 1 1 Si hay un”1” genera el minitérmino 1, y si hay un “0” genera el maxitérmino 1

Lugar 2 0 1 0 0 Si hay un”1” genera el minitérmino 2, y si hay un “0” genera el maxitérmino 2 Lugar 3 0 1 1 0 Si hay un”1” genera el minitérmino 3, y si hay un “0” genera el maxitérmino 3 Lugar 4 1 0 0 0 Si hay un”1” genera el minitérmino 4, y si hay un “0” genera el maxitérmino 4 Lugar 5 1 0 1 1 Si hay un”1” genera el minitérmino 5, y si hay un “0” genera el maxitérmino 5 Lugar 6 1 1 0 1 Si hay un”1” genera el minitérmino 6, y si hay un “0” genera el maxitérmino 6 Lugar 7 1 1 1 1 Si hay un”1” genera el minitérmino 7, y si hay un “0” genera el maxitérmino 7

Denominación de los minitérminos y los maxitérminos:

Minitérmino 0: m0 = z y x .. porque si x = 0, y = 0, z = 0, entonces m0 = 1

Minitérmino 1: m1 = z y x .. porque si x = 0, y = 0, z = 1, entonces m1 = 1Minitérmino 2: m2 = z y x .. porque si x = 0, y = 1, z = 0, entonces m2 = 1






Maxitérmino 0: M0 = z y x porque si x = 0, y = 0, z = 0, entonces M0 = 0








Para la tabla del ejemplo anterior, quedarían la suma de los minitérminos 1, 5, 6 y 7. Aunque también se podría poner el producto de los maxitérminos 0, 2, 3 y 4.






Otra forma de verlo es la siguiente:

Primera forma canónica: z y x z y x z y x z y x z y x F ........),,(

1º caso en que la función vale 1: x=0, y=0, z=12º caso en que la función vale 1: x=1, y=0, z=13º caso en que la función vale 1: x=1, y=1, z=04º caso en que la función vale 1: x=1, y=1, z=1

Segunda forma canónica: )).().().((),,( z y x z y x z y x z y x z y x F

1º caso en que la función vale 0: x=0, y=0, z=02º caso en que la función vale 0: x=0, y=1, z=03º caso en que la función vale 0: x=0, y=1, z=1

4º caso en que la función vale 0: x=1, y=0, z=0

Una forma compacta de representar una función es, para el ejemplo anterior:

F(x,y,z) = m1 + m5 + m6 + m7 = Σ3 (1,5,6,7) como suma de minitérminos.F(x,y,z) = M0 · M2 · M3 · M4 = π3 (0,2,3,4) como producto de maxitérminos.






2. ANEXO

Circuitos integrados SSI más comunes: NOT, AND, OR, NAND Y NOR.

Cuatro puertas OR de 2 entradas (SN74LS32):

Cuatro puertas AND de 2 entradas (SN74LS08):

Seis inversores (SN74LS04):

Cuatro puertas NAND de 2 entradas (SN74LS00):

Cuatro puertas NOR de 2 entradas (SN74LS02):






3. Ejercicios

I. Analizar el valor de verdad de los siguientes enunciados:

1. ~ Londres es la capital de Inglaterra • ~ Buenos Aires es la capital de Noruega.

2. ~ Roma es la capital de España v ~ París es la capital de Francia.

3. Buenos Aires es la capital de Noruega • ~ Buenos Aires es la capital de Noruega.

4. París es la capital de Francia v ~ París es la capital de Francia.

5. ~ [~ (~ Roma es la capital de España v ~ París es la capital de Francia) v ~ (~ París es la capital

de Francia v Buenos Aires es la capital de Noruega)].

6. ~ [(~ Buenos Aires es la capital de Noruega v París es la capital de Francia) v

~ (~ Londres es la capital de Inglaterra • ~ Roma es la capital de España)].7. París es la capital de Francia • ~ (París es la capital de Francia • Roma es la capital de

España).

8. ~ (~ París es la capital de Francia v Roma es la capital de España) • ~ [~ (~ Buenos Aires

es la capital de Noruega • ~ Roma es la capital de España) • Londres es la capital de

Inglaterra].

9. (Buenos Aires es la capital de Noruega v ~ París es la capital de Francia) v ~ (~ Buenos

Aires es la capital de Noruega • ~ Londres es la capital de Inglaterra).

10. (París es la capital de Francia v ~ Roma es la capital de España) v ~ (~ París es lacapital de Francia • ~ Roma es la capital de España).

11. ~ [~ (Londres es la capital de Inglaterra • París es la capital de Francia) v ~ (~ Buenos

Aires es la capital de Noruega v ~ París es la capital de Francia) ].

12. (Buenos Aires es la capital de Noruega v ~ París es la capital de Francia) v

~ (~ Buenos Aires es la capital de Noruega • París es la capital de Francia)

13. ~ [(~ Roma es la capital de España v Buenos Aires es la capital de Noruega) •

~ (~ Buenos Aires es la capital de Noruega v París es la capital de Francia)].

14. ~ [(~ Londres es la capital de Inglaterra • París es la capital de Francia) v ~ (~ París es

la capital de Francia • Roma es la capital de España)].

15. ~ Londres es la capital de Inglaterra v ~ [(Buenos Aires es la capital de Noruega v

París es la capital de Francia) • (~ Londres es la capital de Inglaterra • Roma es la

capital de España)]






II. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son enunciados falsos, ¿cuáles de

los siguientes son verdaderos?

1. ~BvX

2. ~YvC

3. (A • X) v (B • Y)

4. (B • C) v (Y • Z)

5. ~(C • Y) v (A • Z)

6. ~(A • B) v (X • Y)

7. ~(X •Z)v(B•C)

8. ~(X •~Y) v (B •~C)

9. (A vX) • (YvB)

10. (BvC) • (YvZ)

11. (XvY) • (XvZ)

12. ~(A v Y) • (B v X)

13. ~(X v Z) • (~X v Z)

14. ~(A v C) v ~(X • ~Y)

15. ~[(A v ~C) v (C v ~A)]

16. ~[(B • C) • ~(C • B)]

17. ~[(A • B) v ~(B • A)]

18. [A v (B v C)] • ~[(A v B) v C]

19. [X v (Y • Z)] v ~[(X v Y) • (X v Z)]

20. [A • (B v C)] • ~[(A • B) v (A • C)]

21. ~{[(~A • B) • (~X • Z)] • ~[(A • B) v ~(~Y • ~Z)]}

22. ~{~[(B • ~C) v (Y • ~Z)] • [(~B v X) v (B v ~Y)]}

III. Si sabemos que A y B son verdaderos y que X e Y son falsos, pero desconocemos los

valores de verdad de P y Q, ¿Cuáles de los valores de verdad de los siguientes

enunciados se pueden conocer?

1. AvP

2. Q•X

3. Qv~X

4. ~B•P

5. P v ~P

6. ~P v (Q v P)

7. Q•~Q

8. P• (~PvX)

9. ~Q• [(PvQ) •~P]

10. (PvQ) •~(QvP)

11. (P•Q) • (~Pv~Q)

12. ~Pv[~Q v (P • Q)]

13. Pv~(~AvX)

14. P• [~(PvQ)v~P]

15. ~[~(~P v Q) v P] v P

16. (~P v Q) • ~[~P v (P •Q)]

17. ~[P v (B • Y)] v [(P v B) • (P v Y)]

18. [Pv(Q•A)] •~[(PvQ)• (PvA)]

19. [Pv(Q•X)] •~[(PvQ) • (PvX)]

20. ~[~P v (~Q v X)] v [~(~P v Q) v (~P v X)]

21. ~[~P v (~Q v A)] v [~(~P v Q) v (~P v A)]

22. ~[(P • Q) v (Q • ~P)] • ~[(P • ~Q) v (~Q • ~P)]






IV. Confeccionar las tablas de verdad correspondientes a los siguientes enunciados:

1. (A=>B)=>Z

2. (X=>Y)=>Z

3. (A=>B)=>C

4. (X=>Y)=>C

5. X=>(Y=>Z)

6. [(A => B) => C] => Z

7. [(A => X) => Y] => Z

8. [A=>(X=>Y)]=>C

9. [A => (B =>Y)] => X

10. [(X=>Z)=>C] =>Y

11. [(Y=>B)=>Y]=>Y

12. [(A • X) => C] => [(A => C) => X]

13. [(A • X) => C] => [(A =>X) => C]

14. [(A • X) => Y] => [(X=> A) • (A • Z • Y)]

15. [(A • X) v (~A • ~X)] => [(A => X) • (X=> A)]

16. {[(X=> Y) => Z] => [Z=> (X=> Y)]} => [(X=> Z) => Y]

17. [(A • X) => Y] => [(A => X) • (A => Y)]

18. [(A =>(X •Y)] => [(A => X) v (A => Y)]

V. Si A y B se conocen como verdaderos y X y Y como falsos, pero los valores de verdad

de P y de Q no se conocen, ¿de cuáles de los siguientes enunciados podemos

determinar los valores de verdad?

1. X =>Q

2. (Q=>A) =>Y

3. (P•A) =>B

4. (P=>P) =>X

5. (X=>Q) =>X6. X=> (Q=>X)

7. (P•X) =>Y

8. [P => (Q => P)] => Y

9. (Q => Q) => (A => X)

10. (P=>X) => (X=> P)

11. (P=>A) => (B=>X)

12. (X=>P) => (B=> Y)

13. [(P=>B) =>B] =>B

14. [(X=>Q) =>Q] =>Q

15. (P=>X) => (~X=>~P)

16. (X=>P) => (~X=>Y)17. (P=>A) => (A=>~B)

18. (P=>Q) => (P=>Q)

19. (P=>~~P) => (A=>~B)

20. ~(A • P) => (~A v ~P)

21. ~(P • X) => ~(P v ~X)

22. (XvQ) => (~X•~Q)

VI.

Use tablas de verdad para caracterizar las siguientes formas enunciativas comotautológicas, contradictorias o contingentes.

1. [p=> (p => q)] =>q

2. p => [(p=> q) =>q]

3. (p • q) • (p =>~q)

4. p => [~p => (q v ~q)]

5. p => [p => (q• ~q)]

6. (p => p) =>(q • ~q)

7. [p=>(q=>r)] => [(p=>q)=>(p=>r)]

8. [p=>(q=>p)] => [(q=>q)=>(r=>r)]

9. {[( p=>q) •(r=>s)] • ( p v r)}=>(q v s)

10. {[( p=>q) •(r=>s)] • (q v s)}=>(p v r)





B

A

C

D

D

B

S

D

A

C

D

B

B

S

C

A

2.

3.

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