INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO NUMÉRICO Y MANEJO

DE ERRORES

Saileth Prada#24936403Prof.: Domingo Méndez

Universidad «Fermín Toro»Escuela de Ingeniería

Cabudare-Lara

El análisis numérico es una rama matemática que se encarga de estudiar, describir, analizar y crear algoritmos (pasos o 

procedimiento para realizar algo) numéricos para solucionar problemas de matemáticas discretas, esto es, 

funciones matemáticas en las cuales, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de 

la función. Esto hace que el algoritmo creado nos dé un resultado de un problema con una precisión determinada, por lo que nunca se podrá obtener un resultado preciso, sino soluciones 

aproximadas 

Análisis numérico

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas 

numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de 

computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.

El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema 

matemático.

Importancia de utilizar métodos numéricos.

Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2. "El termino representación maquina o representación binaria" significa que es de base 2, la mas pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un numero decimal exige de mas lugares. Esto se relaciona con el hecho de que la unidad lógica Primaria de las computadoras digitales usan componentes de apagado/prendido, o para una conexión eléctrica abierta/cerrada

Números de máquinas decimales. 

Números decimales a partir de números                   

                     máquina decimales en bits. 

Existen varios métodos de conversión  de números decimales  a binarios; Aquí solo se analizara uno . Naturalmente es mucho mas fácil  una conversión  con una calculadora científica, pero no siempre se cuenta  con ella, así que es conveniente por lo menos conocer una forma manual para hacerlo.El método que se explicara utiliza la división sucesiva, entre 2 guardando el residuo como digito binario y el resultado como la siguiente cantidad a dividir.Ejemplo: tomemos el numero 43  en decimal.43/221/210/25/22/21/2Luego armando el numero de abajo hacia arriba  tenemos que el numero en binario es : 101011

Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Error absoluto y Error relativo 

1 Para comenzar, ha de producirse una medida: contar el dinero de una hucha, medir la longitud del escritorio, etcétera. Después de determinar lo que se va a medir, hay que determinar la herramienta. Para contar monedas no se necesita una herramienta real, pero para medir longitudes o temperaturas sí. Por ejemplo, para medir la longitud de una hoja de papel de carta se necesita una regla. La medida muestra que la longitud del papel es de 28,5 centímetros.2 Un error es la comparación entre el valor de medida y el valor real. Por ejemplo, una hoja de papel de carta es 21,59 centímetros multiplicado por 27,94 centímetros, así que el lado largo mide 27,94 centímetros.3 Para calcular el error absoluto, se toma la diferencia entre la medida y el valor real. El ejemplo continúa con la determinación del error absoluto de 0,31 centímetros en la medida.4 El error relativo, por tanto, se calcula dividiendo el error absoluto entre el valor real. En el ejemplo, 0,31 centímetros/27,94 centímetros da un error relativo de ~0,11364.5 Para convertirlo en porcentaje, multiplícalo por 100. El error relativo en la medida en porcentaje es 1,1364%.

 Calculo de errores absolutos y errores 

relativos.  

Cuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error, el error absoluto.El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y el valor aproximado.Además, no es lo mismo decir que el error de medición es menor que medio metro cuando medimos una calle de 5 metros o cuando medimos una carretera de 120 km. Para dar una medida cualitativa de la precisión aparece el error relativo.El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.La cota de error es el error máximo que se puede cometer al realizar una medida o tomar una aproximación. El error cometido al tomar 2,718 será menor que una milésima; diremos que 0,001 es una cota de dicho error.

 Cotas de errores absolutos y errores 

relativos.  

a) Cota del error absoluto: = 50Cota del error relativo: 0,008 b) Cota del error absoluto: = 5 000 000Cota del error relativo: 0,03 c) Cota del error absoluto: 500 000Cota del error relativo: 0,12

d) Cota del error absoluto: = 0,0005Cota del error relativo 0,07 e) Cota del error absoluto: = 0,05Cota del error relativo= 0,125

Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientesaproximaciones:a) Radio de la Tierra: 6 400 km.b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.c) Habitantes de España: 41 millones.d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007 segundos.e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3.SOLUCION:

Ejemplo de  cotas de errores absolutos y errores 

relativos.  

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

fuentes básicas de errores en un programa 

de computación. 

Truncamiento:En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.Por ejemplo dados los números reales:3,14159265358979...32,4381912886,3444444444444Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.El resultado es:3,141532,43816,3444Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Errores de truncamiento. 

Redondeo:Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Reglas de redondeoSi tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas:Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor.Estimación:Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.

Errores de redondeo. 

Método comúnLas reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. 

Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61.

 Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. 

Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62.

 Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62.

 

Errores de redondeo.