unidade 05 - fundamentos de mecânica das estruturas

Unidade 05Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas

Fundamentos de Mecânica das Estruturas

Leonardo Goliatt

Departamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

versão 13.04

Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 1 / 16

Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas

Programa

1 Tensões Radiais e Tangenciais em Barras CurvasTensões RadiaisTensões Tangenciais


Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Radiais

Programa




Tensões Radiais e Tangenciais em Barras CurvasTensões Radiais

Até o momento, determinamos as expressões para as tensões normaisPrecisamos definir também as tensões de cisalhamento em cada ponto da seçãoConsidere a barra curva de seção coplanar abaixo




Um elemento típico da seção é mostrado abaixoVamos assumir que todas as tensões resultantes e carregamentos são funçõesconhecidas das cordenadas dos pontos da barra e satisfazem o equilíbrio




Vamos examinar o equilíbrio de um elemento A′ mostrado abaixo 1

As tensões normais desenvolvidas em A′ resultam na força normal

F =

∫A′σsdA

1por simplicidade, assuma que a dimensão b de A′ é paralela ao eixo zLeonardo Goliatt (MAC-UFJF) Unidade 05 versão 13.04 4 / 16



Usando Ns

σs =Ns

A−

Mz

AR+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

y1 − y/R

+MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

z1 − y/R

temos que

F =

∫A′σsdA =

(Ns

A−

Mz

RA

)A′ +

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

Qz +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

Qy

ondeQz =

∫A′

y1 − y/R

dA, Qy =

∫A′

z1 − y/R

dA




Similarmente, as tensões as tensões de cisalhamento desenvolvidas em A′ resul-tam na força de cisalhamento Vy

Vy =

∫A′τsydA

Observe que se integrarmos em toda a área temos que

F −→ Ns

Vy −→ Vy




Neste caso, tensões normais devem se desenvolver na seção para equilibrar ascomponentes verticais das forças F e Vy

Essas tensões resultam na força σyb(R − y)∆ψ




Para determinar a influência de Vy em σs, fazemos o equilíbrio na direção verti-cal

(F + ∆F − F) sin∆ψ2−σyb(R − y)∆ψ+ (Vy + ∆Vy − Vy)cos

∆ψ2

= 0

e fazendo ∆s→ 0

FR+∂Vy

∂s−σyb(1 −

yR) = 0→ σy =

1b(1 − y/R)

FR+∂Vy

∂s


Tensões Radiais e Tangenciais em Barras Curvas Tensões Tangenciais

Programa




Tensões Radiais e Tangenciais em Barras CurvasTensões Tangenciais

Se F e Vy adquirem incrementos ∆F e ∆Vy no intervalo ∆s, deve existir umaforça horizintal na área b(R − y)∆ψ para promover o equilíbrioSeja τys a tensão de cisalhamento média nesta área, então a força horizontaldesenvolvida é

τysb(R − y)∆ψ




Somando as forças na direção horizontal

∆F cos∆ψ2− (2Vy + ∆Vy) sin

∆ψ2− τysb

(1 −

yR

)R∆ψ= 0

ou, no limite ∆s→ 0

∂F∂s−

Vy

R− τysb

(1 −

yR

)= 0→ τys =

1b(1 − y/R)

∂F∂s

+Vy

R




Temos então

σy =1

b(1 − y/R)

FR+∂Vy

∂s

τys =

1b(1 − y/R)

∂F∂s

+Vy

R

onde

Vy =

∫A′τsydA




O que resulta em

σy = 1b(1−y/R)

(FR + ∂

∂s

∫A′ τsydA

)τys = 1

b(1−y/R)

(∂F∂s + 1

R

∫A′ τsydA

)Note que As equações acima envolvem as funções desconhecidas τsy = τys,resultando em equações integrais em τys

Para evitar tal complexidade, introduzimos a aproximação

Vy ≈A′

AVy

e usamos a relação2

Vy = py +Ns

R⇒ Vy ≈

A′

A

(py +

Ns

R

)2ver unidade anterior




E finalmente chegamos na expressão para a tensão radial

σy =1

b(1 − y/R)

1R

−MzA′

AR+

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

Qz +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

Qy

− A′

Apy




Retornando na equação

τys =1

b(1 − y/R)

∂F∂s

+Vy

R

e substituindo

F =(Ns

A−

Mz

RA

)A′ +

MzJy −MyJyz

JyJz − J2yz

Qz +MyJz −MzJyz

JyJz − J2yz

Qy

e também

Vy ≈A′

AVy




Chegamos em

τys =1

b(1−y/R)

(AA′ +

dNsds −

AAR + dMz

ds +Qz Jy−Qy Jyz

Jy Jz−J2yz

dMzds

+Qy Jz−Qz Jyz

Jy Jz−J2yz

dMyds −

A′AR Vy

)e substituindo

dNs

ds=

Vy

R,

dVy

ds= −py −

Ns

R,

dMz

ds= Vy




Temos então a equação das tensões tangenciais em barras curvas 3

τys =1

b(1−y/R)

(+

Qz Jy−Qy Jyz

Jy Jz−J2yz

Vy +Qy Jz−Qz Jyz

Jy Jz−J2yz

Vz −A′AR Vy

)

3Em barras com pequena curvatura, o termo − A′AR Vy pode ser desprezado




Casos particulares (discutir em sala):py = My = Vz = 0seção simétrica com relação ao eixo y⇒ Jyz = 0analisar o caso na pag. 105barras retas⇒ R→∞, com py = My = Vz = 0barras retas⇒ R→∞, com py = My = Vz = 0 e seção transversal simétrica

τys =1

b(1−y/R)

(+

Qz Jy−Qy Jyz

Jy Jz−J2yz

Vy +Qy Jz−Qz Jyz

Jy Jz−J2yz

Vz −A′AR Vy

)


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