Unità F1Unità F1Analisi della complessità degli

algoritmi

Obiettivo principaleObiettivo principale• Confrontare algoritmi corretti che risolvono lo

stesso problema, allo scopo di scegliere quello migliore in relazione a uno o più parametri di valutazione.

Valutazione con un Valutazione con un parametroparametro

• Se si ha a disposizione un solo parametro per valutare un algoritmo, per esempio il tempo d’esecuzione, è semplice la scelta: il più veloce.

• Ogni altra caratteristica non viene considerata.

Valutazione con più Valutazione con più parametriparametri

• Nel caso di due parametri normalmente si considerao il tempo.

• numero di passi (istruzioni) che occorrono per produrre il risultato finale.

• Passi e non secondi o millisecondi perché il tempo varia al variare delle potenzialità del calcolatore.

o lo spazio• occupazione di memoria

Durata delle istruzioniDurata delle istruzioni• Le istruzioni non hanno tutte lo stesso

tempo di esecuzione.• Il tempo di esecuzione di un algoritmo è

una somma pesata delle istruzioni:

Ttotale=(i0*t0*n0)+(i1*t1*n1)+…+(im*tm*nm)

o ij è l’istruzione, o tj è il costo dell’istruzione, il tempo di esecuzione o nj è il numero di volte che viene eseguita.

Misura Misura delldell’’efficienzaefficienza

• L ’approssimazione di una funzione con una funzione asintotica è molto utile per semplificare i calcoli sul tempo di esecuzione di un algoritmo.

• La notazione asintotica di una funzione consente di descriverne il comportamento in modo semplificato, ignorando dettagli della formula.

• Esempio: per valori sufficientemente alti di x il comportamento della funzione f(x) = x2 – 3x + 1 è approssimabile con la funzione f(x) = x2.

• Per un algoritmo con un input di dimensione n, possiamo definirne l’efficienza dicendo che “l’algoritmo per calcolare il risultato finale impiega al più f(n) passi”, “l’algoritmo ha complessità f(n)”.

TerminologiaTerminologia• O (O grande) equivale al simbolo <=.

o Corrisponde a “al più come”. o “la complessità dell’algoritmo è O(f(n))” equivale a “il

tempo d’esecuzione dell’algoritmo è <= a f(n)”.

• o (o piccolo) equivale al simbolo <. o “la complessità dell’algoritmo è o(f(n))” equivale a “il

tempo d’esecuzione dell’algoritmo è strettamente < a f(n)”.

• Θ (teta) corrispondente al simbolo =. o “la complessità dell’algoritmo è Θ(f(n))” equivale a “il

tempo d’esecuzione dell’algoritmo è = a f(n)”.

TerminologiaTerminologia• Ω (omega grande) equivale al simbolo

>=.o “la complessità dell’algoritmo è Ω(f(n))”

equivale a dire “il tempo d’esecuzione dell’algoritmo è >= a f(n)”.

• ω (omega piccolo) equivale al simbolo >.o “la complessità dell’algoritmo è ω(f(n))” è uguale a “il tempo

d ’esecuzione dell’algoritmo è strettamente > di f(n)”.

Complessità Complessità computazionalecomputazionale

• La complessità computazionale di un algoritmo è la quantità di tempo necessaria per produrre il risultato finale.

• La complessità si esprime sotto forma di una funzione matematica che mette in relazione il tempo di esecuzione di un algoritmo con la dimensione dei dati di input.

• Il caso peggiore per un algoritmo è il caso in cui questo, per generare il risultato, impiega più tempo.

ComplessitàComplessità• In molti casi la complessità è legata al tipo

o al numero dei dati di inputo Ad esempio la ricerca di un valore in un vettore

ordinato dipende dalla dimensione del vettore

• La complessità può dipendere anche dalla disposizione e dal tipo di datio Sempre nell’algoritmo di ricerca in un vettore

ordinato avremo il caso:• Ottimo• Pessimo• Medio

Tipi di complessitàTipi di complessità• lineare;• logaritmica;• quadratica;• esponenziale;• fattoriale.

LineareLineare

• l’algoritmo ha complessità O(n)

• Esempio:o algoritmo di

ricerca sequenziale di un elemento in un array

LogaritmicaLogaritmica

• Esempio ricerca dicotomica in un array

• La ricerca dicotomica ha complessità O(log2(n))

QuadraticaQuadratica

• Un esempio è l’algoritmo di ordinamento bubblesort eseguito su un array di elementi

• l’algoritmo ha complessità O(n2)

EsponenzialeEsponenziale• l’algoritmo della Torre di Hanoi

ha complessità Ω(2n),• La Torre di Hanoi è un

rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.

• Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono.

• Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull’ultimo paletto, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo

Torre di HanoiTorre di Hanoi

FattorialeFattoriale

• E’ quella che cresce più velocemente rispetto a tutte le precedenti.

• Esempio: algoritmo che calcola tutti gli anagrammi di una parola di n lettere distinte.

• la complessità di un tale algoritmo è Θ(n!)

logaritmica < lineare < quadratica < esponenziale < logaritmica < lineare < quadratica < esponenziale <

fattorialefattoriale

Alcuni esempiAlcuni esempiCalcolo complessità e confronto

Algoritmo 1 – Calcolo Algoritmo 1 – Calcolo xx55

ALGORITMO 1x,i,p: intero

INIZIOleggi(x)i1p xMENTRE i<5 ESEGUI

p p*xi i+1

FINEMENTREscrivi(p)

FINE

1111x5

2x4

117

Algoritmo 2 – Calcolo Algoritmo 2 – Calcolo xxnn

ALGORITMO 2x,i,p: intero

INIZIOleggi(x)leggi(n)inp 1MENTRE i>0 ESEGUI

p p*xi i-1

FINEMENTREscrivi(p)

FINE

1111

3xn+1

13n+6

Ricerca sequenzialeRicerca sequenzialeFUNZIONE

RicercaSequenziale(V:vettore;N,P:Intero):BooleanoTrovato : BooleanoI : InteroINIZIOTrovato FalsoI 1MENTRE (I<N) AND (NOT Trovato) ESEGUI

SE V[I]=X ALLORATrovato Vero

FINESEI I+1

FINEMENTRERITORNO(Trovato)FINE

Ciclo eseguito:

•Caso ottimo 1 volta

•Caso pessimo n volte

•Caso medio n/2 volte

Ricerca binariaRicerca binariaFUNZIONE RicercaBinaria(V:vettore;N,X:Intero):BooleanoPrimo, Ultimo, Centro : Intero ; Trovato : BooleanoINIZIO Primo 1; Ultimo N; Trovato FalsoMENTRE (Primo<=Ultimo) AND (NOT Trovato) Centro (Primo+Ultimo)/2

SE V[Centro]=X ALLORATrovato Vero

ALTRIMENTI SE V[Centro]<X ALLORA Primo Centro+1 ALTRIMENTI Ultimo Centro-1 FINESE FINESEFINEMENTRERITORNO(Trovato)FINE

Ciclo eseguito:

•ottimo 1 volta

•pessimo log n volte

•medio log n volte

Confronto fra n - n/2 - Confronto fra n - n/2 - log(n)log(n)

n n/2 log(n)10 5 3,32192820 10 4,32192830 15 4,90689140 20 5,32192850 25 5,64385660 30 5,90689170 35 6,12928380 40 6,32192890 45 6,491853100 50 6,643856300 150 8,2288191000 500 9,96578410000 5000 13,28771100000 50000 16,60964