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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA

ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

ESTRATEGIAS UTILIZADAS POR ESTUDIANTES DE SECUNDARIA Y BACHILLERATO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA OLIMPIADA

DE MATEMÁTICAS

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

Guillermina Flores Mora

DIRIGIDA POR:

Dr. Fernando Barrera Mora

Dr. Aarón Reyes Rodríguez

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RESUMEN

En este trabajo se documentan y analizan las estrategias de resolución de problemas

utilizadas por 158 estudiantes, entre secundaria y bachillerato, que participaron en la fase

estatal de la Olimpiada de Matemáticas del Estado de Hidalgo. Los estudiantes resolvieron

13 problemas, diez de los cuales fueron de opción múltiple y tres de respuesta abierta. El

análisis de la información se basó en el marco de resolución de problemas, principalmente

las ideas de Polya y Schoenfeld, así como en el constructo de la demanda cognitiva,

centrando la atención en los procesos cognitivos puestos en práctica por los estudiantes

durante la identificación de los datos, la incógnita y la construcción de estrategias de

solución. Entre los principales resultados se destaca que muchas de las dificultades al

resolver los problemas se presentan durante la fase de entendimiento del problema,

asimismo se identifican diferentes procesos cognitivos que resultan útiles para resolver este

tipo de problemas.

ABSTRACT

In this research we document and analyze problem solving strategies employed by 158

middle and high school students, who solved thirteen problems in a paper and pencil

environment. Students’ written productions were analyzed based on problem solving

framework, particularly some ideas from Polya and Schoenfeld, as well as on the construct

of cognitive demand. The attention in the analysis was centered in cognitive processes

developed by students during the process of resources selection and construction of

problem solving strategies. Some relevant results of this research are: (i) several students’

difficulties to solve a problem were originated in the problem understanding phase, and (ii)

were identified some cognitive processes might help students to solve problems of the kind

employed in this research, in an effective way.

3

ÍNDICE

Contenido Página

CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción y revisión de literatura 5

1.2. Planteamiento del problema y objetivo 10

CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. Introducción 12

2.2 Las cuatro fases del proceso de resolución de un problema 15

2.3 Los recursos y las heurísticas 16

2.4 Demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje 18

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

3.1. Introducción 22

3.2 Características de los estudiantes 22

3.3 El examen de la fase estatal de la Olimpiada de Matemáticas 2011 23

3.4 Ventajas y desventajas de los exámenes escritos 23

3.5 Características de los problemas 24

3.6 Análisis preliminar de los problemas 26

3.7 Procedimiento para analizar las respuestas de los estudiantes 34

4

Página

CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.1 Introducción 35

4.2 Análisis de los resultados de las preguntas 35

CAPÍTULO 5. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

5.1 Introducción 95

5.2 Conclusiones 95

5.3 Implicaciones didácticas. 97

5.4 Propuestas a futuro. 98

REFERENCIAS 99

APÉNDICES

Apéndice A. El examen 102

Apéndice B. Resumen de los resultados 104

Apéndice C. Concentrado de resultados 112

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CAPÍTULO 1. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

1.1. Introducción

Diversas propuestas curriculares de carácter internacional como los Principios y Estándares

para la Educación Matemática (National Council of Teachers of Mathematics [NCTM],

2000) resaltan la importancia de la resolución de problemas en el aprendizaje de las

matemáticas. Resolver problemas se ha considerado como un elemento central en la

construcción de una forma matemática de pensar. Es a través de la resolución de problemas

que el estudiante puede adquirir familiaridad con una amplia variedad de heurísticas, y

desarrollar flexibilidad para utilizar los conocimientos que posee, así como una disposición

para el aprendizaje de la disciplina.

En una instrucción basada en la resolución de problemas se proponen situaciones y tareas

cuya solución no está al alcance inmediato de los estudiantes, más bien se busca que el

problema les ofrezca un reto mediante el cual desarrollen una actividad cognitiva de alto

nivel, al utilizar los conocimientos que poseen para establecer conexiones entre éstos y las

ideas o conceptos involucrados en el problema. El desarrollo de procesos cognitivos de alto

nivel por los estudiantes al resolver problemas será la base para la construcción de un

aprendizaje con entendimiento (Hiebert, et al., 1997). El aprendizaje con entendimiento es

importante porque “proporciona fundamentos para recordar o reconstruir hechos y métodos

matemáticos, para resolver problemas nuevos o desconocidos, y para generar nuevo

conocimiento” (National Research Council [NRC], 2002, p. 11).

En una propuesta de aprendizaje basada en la resolución de problemas los estudiantes

aprenden matemáticas a partir de la exploración de relaciones, la formulación de preguntas

y conjeturas, el uso de diferentes formas de argumentación y justificación, el

establecimiento de conexiones, así como la comunicación de resultados, todo ello en una

comunidad que valora la construcción de conocimiento matemático (Santos-Trigo, 2007).

Así, un elemento esencial del proceso de instrucción lo constituyen los problemas con alta

demanda cognitiva (Smith y Stein, 1998); es decir, problemas que no tienen solución única

o que pueden resolverse por diversos caminos o rutas, y que ofrecen al estudiante

oportunidades para desarrollar su creatividad e ingenio.

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Existe un consenso entre la comunidad de investigadores en educación matemática de que

el tipo de tareas o problemas que los estudiantes aborden determinan las características del

conocimiento que construyen (NCTM, 2000; Stein y Smith, 1998; Kilpatrick, Swafford y

Findell, 2001). Asimismo, propuestas curriculares en México (RIES, 2006) también

reconocen que el aprendizaje a través de la resolución de problemas ofrece a los estudiantes

oportunidades para entender ideas o conceptos matemáticos.

[Durante el proceso de enseñanza] no se trata de que el maestro busque las explicaciones más sencillas y amenas, sino de que analice y proponga problemas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más eficaces. Seguramente el planteamiento de ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas con base en actividades de estudio cuidadosamente seleccionadas resultará extraño para muchos maestros compenetrados con la idea de que su papel es enseñar, en el sentido de transmitir información. Sin embargo, vale la pena intentarlo, pues abre el camino para experimentar un cambio radical en el ambiente del salón de clases. (SEP, 2006, pp. 11-12)

Es importante que los estudiantes resuelvan diversos problemas durante sus experiencias de

aprendizaje. Los problemas son la base para el entendimiento de conceptos, el desarrollo de

hábitos de trabajo y de aptitudes para la experimentación, la investigación, la formulación

de conjeturas, la comunicación y la justificación, porque no solamente dirigen la atención

de los estudiantes hacia aspectos específicos de los conceptos o contenidos matemáticos,

sino también a las formas en que organizan y procesan la información (Cai, 2003).

El profesor tiene como una de sus funciones primordiales diseñar tareas con alta demanda

cognitiva, implementarlas en el salón de clase y seguir la actividad de los estudiantes al

abordarlas, con el objetivo de determinar si éstas permiten a los estudiantes estructurar sus

conocimientos previos con aquellos conceptos que se busca que aprendan, y si durante el

proceso de solución los estudiantes ponen en práctica elementos del pensar

matemáticamente como la formulación de conjeturas, la justificación de resultados, la

comunicación de ideas y la construcción de conexiones entre conceptos.

Por otra parte, discutir y analizar las estrategias que los estudiantes utilizan al resolver

problemas brinda al profesor la oportunidad de identificar el origen de las dificultades de

los estudiantes, además de conocer los alcances y limitaciones de las estrategias didácticas

y de las acciones que se llevan a cabo en el aula. Así, en este trabajo se propone

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documentar las estrategias que utilizan estudiantes de secundaria y bachillerato al resolver

problemas de la olimpiada de matemáticas, con la finalidad de analizar detalladamente esas

estrategias, así como los procesos cognitivos desarrollados durante el proceso de

elaboración e implementación de las mismas. La razón de centrar la atención en problemas

de la olimpiada de matemáticas es que éstos son tareas no rutinarias para la mayoría de los

estudiantes de secundaria y bachillerato; de ahí que sean útiles para observar la puesta en

práctica de procesos cognitivos de alto nivel, a diferencia de los procesos rutinarios que se

llevan a cabo al abordar problemas en los que únicamente se tienen que implementar

métodos o algoritmos estándar (English, 1993).

Es importante considerar que muchas veces, como profesores, no tenemos la formación

adecuada para poder preparar a los estudiantes que participan en la olimpiada de

matemáticas, por lo que este trabajo puede ser de utilidad para los docentes, al sugerir

algunas orientaciones pedagógicas que apoyen el aprendizaje de estrategias y formas de

pensamiento relevantes para abordar este tipo de problemas.

Revisión de la literatura

El análisis de las estrategias que utilizan estudiantes para resolver problemas ha sido fuente

de interés en el ámbito de la investigación en educación matemática. Algunos trabajos han

analizado las diferencias entre las estrategias para resolver tareas no rutinarias planteadas

por estudiantes talentosos y no talentosos en matemáticas (Heinze, 2005), otros han

documentado la selección de estrategias para resolver problemas específicos como el de las

torres de Hanoi (Fum y Del Missier, 2001) o se han interesado en desarrollar teorías para

explicar las formas en que los estudiantes elaboran estrategias de solución de tareas en las

que intervienen configuraciones geométricas (Lee y Johnson-Laird, 2004).

English (1993), por ejemplo, analizó las estrategias y procesos de razonamiento empleados

por estudiantes entre 9 y 12 años, para resolver problemas no rutinarios de combinatoria y

razonamiento. Las estrategias que utilizaron los estudiantes fueron variadas e incluyeron

procedimientos de ensayo y error, hasta estrategias de patrones uniformes, cíclicos o la

estrategia del odómetro. Asimismo, se observó que los procesos de razonamiento de

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estudiantes clasificados como de bajo desempeño en matemáticas fueron similares a los de

sus pares clasificados como estudiantes de alto desempeño en matemáticas.

En el caso específico de problemas típicos de la olimpiada de matemáticas Valle-Espinosa,

Juárez-Ramírez y Guzmán-Ovando (2007) identificaron las estrategias generales utilizadas

por estudiantes que participaron en la olimpiada estatal de matemáticas del estado de

Puebla. Entre las estrategias utilizadas por los estudiantes se encuentran: ensayo y error,

usar una variable, buscar un patrón, hacer una lista, resolver un problema más simple, hacer

una figura, usar un razonamiento directo y usar un razonamiento indirecto. De acuerdo con

la investigación, existe evidencia de que únicamente el 35% de los estudiantes comprendió

el problema. Sin embargo, en la investigación antes mencionada no se realizó un análisis

detallado de los procesos cognitivos involucrados en la resolución de estos problemas. Este

último aspecto será el centro de atención de esta tesis.

Otros investigadores enumeran algunas estrategias que pueden ayudar a la resolución de un

problema matemático: estrategia pictórica, uso de figuras, dibujos o diagramas que sirvan

para representar el problema; ensayo y error, incluye algunas direcciones dependiendo el

tipo de ensayo que seleccione; relaciones, en el que se puede pensar en una

correspondencia entre los datos conocidos y lo que se desea conocer; semialgebraico,

cuando se trata de conocer algún dato desconocido por medio de combinaciones que

ayuden a resolver el problema; algebraico, representando la información con el

planteamiento de ecuaciones y gráfico, para representar el problema utilizando un gráfico

que muestre la relación entre los datos para resolver el problema; se usan algunos de ellos

dependiendo el problema que se presente (Santos-Trigo, 2007).

En otros trabajos se hace referencia a la estructura profunda de los problemas, el tipo de

preguntas planteadas y las formas en que puede resolverse (Santos-Trigo, 1997). Entre los

resultados se destaca que al abordar una situación problemática, el estudiante debe

centrarse en formular constantemente preguntas, respuestas y explicaciones durante el

proceso de solución. También se han identificado algunos procesos matemáticos que se

deben considerar en la resolución de un problema: el uso de tablas para el tratamiento

numérico de la información, la representación gráfica o visual, la representación algebraica,

análisis de casos particulares, identificación de patrones y generalización del problema.

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Destacan la importancia de realizar un análisis global del proceso de solución y la búsqueda

de conexiones entre otros problemas con la situación problemática original (Barrera y

Santos, 2001).

En esta misma línea de ideas, Pujol-Pujol, Figueiras-Ocaña y Deulofeu-Piquet (2011),

refieren que en la resolución de problemas se debe promover la experimentación,

observación, búsqueda de patrones y regularidades, formular conjeturas y justificar

resultados. Durante el proceso de solución también resulta útil encontrar un problema

similar más sencillo, considerar casos particulares, dividir el problema en partes, variar las

condiciones del problema, buscar un problema relacionado y examinar el problema desde

un campo más amplio.

A partir de la revisión de la literatura se observó que algunas de las estrategias más

comunes que se utilizan para la resolución de un problema son buscar semejanzas con otros

problemas, reducir lo complicado a lo simple, considerar casos particulares, hacer un

dibujo, estudiar todos los casos posibles, elegir una notación adecuada, hacer

modificaciones al problema incorporando algún elemento adicional, por ensayo y error,

trabajar hacia atrás, utilizar el razonamiento directo o indirecto, aprovechar la simetría en

caso de los problemas de geometría, aritmética y álgebra, utilizar técnicas generales,

realizar cálculos simbólicos, identificar patrones.

Disponer de un repertorio amplio de estrategias o heurísticas es de gran ayuda para tener

éxito al resolver problemas matemáticos. Sin embargo, es necesario tener presente que las

heurísticas no son infalibles, son únicamente un recurso que puede apoyar el proceso de

solución. También se observó que la mayoría de los artículos enlistan las estrategias

utilizadas por los estudiantes, pero no realizan un análisis de los procesos cognitivos

llevados a cabo durante el proceso de construcción o aplicación de dichas estrategias.

En este trabajo se realizará un análisis de algunos procesos mentales de alto nivel (Smith y

Stein, 1998), utilizados por los estudiantes para resolver problemas de la olimpiada de las

matemáticas. Establecer relaciones entre procesos cognitivos utilizados permitirá visualizar

un panorama de la cognición de los estudiantes, de forma que pueda facilitarse en gran

10

medida las tareas de aprendizaje, identificando la forma en que el estudiante entiende,

razona, analiza, trata la información y la transforma hasta llegar a un resultado.

1.2. Planteamiento del problema y objetivos

El análisis de las estrategias de resolución de problemas es importante en términos

didácticos, porque ofrece al profesor medios para entender cómo piensan sus estudiantes,

conocer cuáles son las dificultades de aprendizaje e implementar acciones didácticas que le

permitan afrontar esas dificultades. En este contexto, esta tesis tiene como objetivo general

documentar y caracterizar las estrategias que utilizan estudiantes de secundaria y

bachillerato para resolver problemas de la olimpiada de matemáticas. Con los resultados del

trabajo se pretende contribuir al análisis de los procesos cognitivos que aparecen al resolver

este tipo de problemas, los cuales han recibido una atención limitada en la literatura sobre

resolución de problemas, profundizando en los elementos mentales puestos en juego por los

estudiantes al resolver este tipo de problemas.

Con esta investigación se busca contribuir a incrementar el interés en la resolución de

problemas de la olimpiada de matemáticas mostrando algunas propuestas de solución a los

planteamientos y algunos de los procesos realizados por los estudiantes, ya que ello

permitirá a los profesores familiarizarse con diversas heurísticas, poner en práctica sus

conocimientos previos y desarrollar formas de construcción del conocimiento consistentes

con el quehacer de la disciplina. El que los profesores de matemáticas conozcan estrategias

útiles para resolver problemas de la olimpiada de las matemáticas, y una caracterización de

las mismas según el grado de complejidad, les proporcionará oportunidades para preparar

de una mejor forma a los estudiantes que participan en este tipo de eventos. Asimismo les

consentirá reflexionar sobre el porqué los estudiantes eligen alguna estrategia en particular

y los obstáculos para reorganizar y reestructurar los conocimientos que se poseen, con

nuevos conocimientos.

11

Objetivos específicos

1. Caracterizar las estrategias que estudiantes de secundaria y bachillerato utilizan para

resolver problemas de las olimpiadas de matemáticas.

2. Analizar los procesos cognitivos que desarrollan los estudiantes al resolver problemas de

la olimpiada de matemáticas.

3. Identificar algunos principios didácticos que pueden ser de utilidad para mejorar el

desempeño de los estudiantes al resolver problemas tipo de la olimpiada de matemáticas.

Preguntas de investigación

1. ¿Qué tipo de estrategias implementan los estudiantes de secundaria y bachillerato al

resolver problemas de la olimpiada de matemáticas? Con esta pregunta se pretende conocer

cuáles son las estrategias más comunes que los estudiantes de secundaria y bachillerato

utilizan para resolver problemas de la olimpiada de matemáticas e identificar cuál es el

grado de efectividad de esas estrategias para resolver los problemas. La respuesta a esta

pregunta puede ser de utilidad, ya que permitirá a los profesores tener un referente de las

estrategias más usuales, así como las dificultades mostradas por los estudiantes al resolver

este tipo de problemas.

2. ¿Cuáles son los procesos cognitivos que los estudiantes ponen en práctica al resolver

problemas de la olimpiada? Con esta pregunta de investigación se pretende conocer si la

clase de problemas que integran los exámenes de las olimpiadas de matemáticas pueden

apoyar el hecho de que los estudiantes desarrollen un entendimiento conceptual de las

matemáticas y desarrollen una forma matemática de pensar, así como una disposición hacia

el aprendizaje de la disciplina; además de ayudar a los estudiantes que presentan

dificultades para el aprendizaje de las matemáticas al entender su forma de pensar

abordando este tipo particular de situaciones problemáticas. Aunado a ello, permitirá contar

con un “mapa” de la actividad mental de los estudiantes al resolver problemas con alta

demanda cognitiva.

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CAPÍTULO 2. MARCO CONCEPTUAL

2.1. Introducción

Un marco de investigación es el fundamento del que se dispone para estructurar las diversas

etapas del proceso investigativo; particularmente en lo que respecta a la recolección de la

información, la descripción y análisis de los datos, así como a la interpretación de las

relaciones de las variables que integran el fenómeno que se estudia. El marco de

investigación es un recurso que permite articular elementos teóricos y prácticos, los

supuestos y la experiencia empírica del investigador, para comprender con profundidad el

problema de interés, ya que proporciona una forma particular de mirar al mismo y a las

relaciones que en él se desarrollan.

De acuerdo con Eisenhart (1991) existen tres tipos de marcos de investigación: teóricos,

prácticos y conceptuales. Se considera que el marco conceptual es de mayor utilidad por ser

flexible en el sentido de que puede construirse con base en elementos de diferentes

aproximaciones teóricas, y de la experiencia práctica del investigador siempre y cuando

exista compatibilidad entre los diversos elementos teóricos. Un marco conceptual está

conformado por un conjunto de conceptos y sus posibles relaciones, así como por

justificaciones acerca de por qué esos conceptos y relaciones son útiles para explicar o

entender el fenómeno que se estudia (Lester, 2005).

Toda investigación requiere de un marco conceptual ya que éste orientará las acciones que

desarrolle el investigador, pues un mismo problema puede analizarse desde diferentes

perspectivas; por ejemplo, al analizar por qué los estudiantes muestran bajo rendimiento en

las clases de matemáticas se puede optar por centrar la atención en el profesor, así la

observación se dirigirá a las actividades que propone y en las acciones que desarrolla en el

aula; en cambio, si se adopta una posición sociológica se intentará explicar el fenómeno a

partir de las características del contexto social en que se desarrollan los estudiantes, de sus

condiciones socioeconómicas o familiares.

El marco conceptual de esta investigación se estructura fundamentalmente en torno a la

propuesta de resolución de problemas de Polya (2008) particularmente en lo que se refiere a

las cuatro fases para resolver un problema. Se consideran también a algunas de las variables

13

que influyen en el desempeño de los estudiantes al resolver problemas entre las que se

encuentran los recursos y las heurísticas (Schoenfeld, 1985). Finalmente, se hace uso del

constructo de la demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje (Stein y Smith, 1998).

Concepción de las matemáticas y el aprendizaje

Explicitar las concepciones que un investigador sostiene sobre las matemáticas, el

aprendizaje y la enseñanza de la disciplina es parte fundamental de todo marco conceptual;

por esta razón se presentarán dos concepciones de lo que son las matemáticas y sus

consecuencias en términos del aprendizaje y la enseñanza que se derivan de ellas, así como

la posición que se adopta en este trabajo. Existen diferentes concepciones sobre las

matemáticas desde la concepción en el aula; en una de ellas se considera que la disciplina

es una ciencia formal, que parte de axiomas y sigue un razonamiento lógico, a partir del

cual se estudian las propiedades y relaciones entre objetos matemáticos (números, figuras

geométricas y símbolos). Además, se concibe a las matemáticas como un conjunto de

hechos dados de una vez y para siempre. Desde este punto de vista, el aprendizaje se reduce

a la memorización de un conjunto de definiciones, reglas y algoritmos para llegar a un

resultado, es decir, aprender matemáticas consiste en entender algoritmos y ejercitarse en

aplicarlos, mientras que la verdad matemática se determina cuando el profesor ratifica una

respuesta o método de solución (Lampert, 1990).

La otra concepción se basa en el marco de resolución de problemas, en la que las

matemáticas se conciben como una ciencia que se encuentra en constante cambio, al igual

que las demás ciencias. La disciplina se conceptualiza como la ciencia de los patrones, y el

aprendizaje se entiende como una actividad que incluye formular conjeturas y justificarlas,

buscar diversos procedimientos para resolver problemas, aplicar de forma flexible los

conocimientos que se poseen para explorar una situación problemática, así como elaborar

extensiones y generalizaciones de los problemas. En este sentido, aprender matemáticas va

más allá de memorizar y aplicar procedimientos y reglas algorítmicas, se trata más bien de

imaginar, probar, equivocarse, experimentar, conjeturar, observar relaciones, establecer

conexiones entre los conocimientos que ya se poseen para construir nuevos conocimientos

al resolver problemas, justificar conjeturas y comunicar resultados, lo cual involucra poner

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en práctica procesos cognitivos de alto nivel, sin restar importancia a la habilidad para

llevar a cabo procesos rutinarios con rapidez y eficiencia.

Aprender matemáticas a través de la resolución de problemas, permite desarrollar formas

de pensar que favorecen la construcción de un aprendizaje con entendimiento y la

construcción de significados de los conceptos, en contextos matemáticos y extra –

matemático.

Veamos, en consecuencia, qué es un problema y, particularmente, qué es un problema

matemático.

¿Qué es un problema?

De acuerdo con el marco de resolución de problemas, un problema consiste en una tarea

para la cual el estudiante no tiene un algoritmo o proceso de solución inmediata (Santos-

Trigo, 2007). El uso de problemas en el aprendizaje de las matemáticas permite que los

estudiantes pongan en práctica procesos cognitivos de alto nivel, y no solamente acciones

mecanizadas y memorísticas. La resolución de problemas permite a los estudiantes

desarrollar diversos elementos del pensamiento matemático, análogos a los que llevan a

cabo los matemáticos profesionales durante la generación de nuevos conocimientos

disciplinares.

Un problema también es una tarea o situación en la que existe un interés de una persona o

grupo de personas para encontrar una solución, además de que el resolutor no conoce una

ruta mediante la cual pueda encontrar una solución de forma inmediata, la tarea puede

resolverse de diversas maneras y puede ser que no exista una única solución. “Un problema

es tal hasta que existe un interés y se emprenden acciones específicas para intentar

resolverlo” (Santos-Trigo, 2007, p. 51). La principal idea de lo que es un problema “es que

el alumno se enfrente a una variedad de situaciones en donde sea necesario analizar y

evaluar diversas estrategias en las diferentes fases de solución” (ibid).

Los elementos teóricos que se utilizan en esta tesis para interpretar los datos obtenidos en la

fase del trabajo de campo son: definición de problema, las cuatro fases de resolución de un

problema, recursos y heurísticas, demanda cognitiva de un problema.

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2.2. Las cuatro fases del proceso de resolución de un problema

En el proceso de resolución de un problema, de acuerdo con Polya, se pueden distinguir

cuatro fases: (1) comprender el problema, (2) concebir un plan, (3) ejecutar el plan y (4)

visión retrospectiva.

A continuación se explicará con mayor detalle cada una de las cuatro fases.

1. Comprender el problema. Es importante destacar que aún no se ha estudiado con

profundidad qué significa entender un problema, sin embargo sí podemos decir que cuando

un estudiante ha entendido el enunciado del problema puede identificar los datos explícitos,

los implícitos y la incógnita (en la terminología de Polya, la incógnita hace referencia a lo

que se desconoce, o solicita el problema), que le permitirán diseñar una posible ruta de

solución. Esta es una fase crucial en el proceso de solución, en ella el estudiante debe ser

capaz de expresar el enunciado del problema con sus propias palabras. Aquí se identifican

los datos y la incógnita, además de determinar si los datos son suficientes para determinar a

la incógnita o se requiere de información adicional, la cual debe ser proporcionada por el

propio estudiante. Algunas heurísticas que se pueden implementar con el objetivo de

apoyar el entendimiento del problema se encuentra el dibujar una figura en la cual se

resalten los datos y la incógnita, además de introducir una notación para identificar los

elementos que constituyen el problema. En esta fase resulta importante que el profesor

determine si los estudiantes poseen los conocimientos previos suficientes para abordar el

problema, ya que en caso de que esto no sea así, los estudiantes pueden perder el interés en

abordar la situación problemática.

2. Concebir un plan. En la segunda fase los estudiantes deben tener una idea acerca de

cuáles de sus conocimientos previos pueden ser de utilidad para resolver el problema y de

cómo los aplicarán en el proceso de solución. El éxito en esta fase depende en gran medida

de la experiencia previa de los estudiantes, ya que a través de ésta podrán determinar si han

resuelto algún problema similar o han implementado algún procedimiento o forma de

solucionar un problema que les pueda ser de utilidad. Algunas heurísticas que resultan

útiles durante esta etapa consisten en resolver un problema más simple, relajar las

16

condiciones o enunciar el problema en una forma diferente. La concepción del plan consiste

esencialmente en trazar una ruta que articule los datos con la incógnita.

3. Implementación del plan. Acto seguido, en el proceso de solución se pone en práctica el

esquema general de solución establecido en la fase previa, es decir, se llevan a cabo

acciones que permitan conectar a los datos con la incógnita. En muchas ocasiones la

implementación del plan requiere de ingenio y creatividad para determinar las posibles

formas en que se puede realizar la conexión entre los datos y la incógnita. Aquí resultan de

utilidad heurísticas tales como agregar trazos auxiliares y verificar cada paso del proceso de

implementación.

4. Visión retrospectiva. Es una de las fases más instructivas porque en ella se re-examina la

solución y el proceso que nos condujo a ella. Aquí se verifica que la solución tiene sentido

en función del contexto del problema. Heurísticas importantes en esta fase consisten en

encontrar diferentes formas de solución y extender o generalizar el problema.

2.3. Los recursos y las heurísticas

Las actividades o problemas son el medio que permite a los estudiantes desarrollar una

actividad matemática significativa, análoga a la que llevan a cabo los matemáticos

profesionales durante la creación de nuevos conocimientos, lo cual incluye experimentar,

observar relaciones, formular conjeturas, justificar y comunicar resultados. Para que una

tarea sea un auténtico problema, los estudiantes no deben contar con un algoritmo o

procedimiento el cual puedan implementar de forma inmediata para obtener una solución;

sin embargo, deben disponer de conocimientos previos suficientes para abordar el problema

y realizar avances en el proceso de solución.

Para que un estudiante construya un aprendizaje con entendimiento a través de la

resolución de problemas, debe tener interés por abordar las tareas, lo cual se favorece en un

ambiente que fomenta el desarrollo de una actitud inquisitiva y en la que se problematice el

aprendizaje de las matemáticas. Problematizar el aprendizaje de las matemáticas permite al

estudiante asombrarse ante los hechos matemáticos, permitirle investigar, buscar soluciones

y resolver dilemas, permitirle formular problemas que estimulen su curiosidad y su

habilidad para dar sentido a los conceptos matemáticos (Hiebert et al., 1996).

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Como dijimos con anterioridad, otro elemento fundamental del marco conceptual lo

constituyen las diversas variables que influyen en el desempeño de los estudiantes al

resolver problemas, entre ellas se encuentran los recursos, las heurísticas, el control y el

sistema de creencias (Schoenfeld, 1985). Para la presente tesis de maestría se consideran

todas las variables, excepto el sistema de creencias, que no es posible determinar con base

en una prueba escrita como la que constituye la fuente de información de este proyecto.

Los recursos constituyen un inventario de los hechos, procedimientos y habilidades de los

que dispone un estudiante para abordar un problema. En los recursos se incluyen también

los hechos o ideas erróneas que el estudiante sostiene. Una clase amplia de recursos que

poseen los estudiantes se refiere a los datos que conocen, en los cuales se encuentra su

conocimiento sobre las formas de argumentación que son válidas en matemáticas. Otras

clases de recursos están integradas por los procedimientos algorítmicos que el estudiante es

capaz de implementar (trazar perpendiculares, realizar multiplicaciones), los

procedimientos rutinarios (abordar problemas que requieran resolver ecuaciones de primer

o segundo grado) y las competencias relevantes (seleccionar los conocimientos previos que

puede utilizar y relacionarlos con los datos y la incógnita del problema).

Las heurísticas son reglas de carácter general que ayudan a entender el problema o a

avanzar en la solución del mismo, pero que no aseguran el que se obtenga la solución. Entre

estas estrategias se incluye considerar analogías, introducir elementos auxiliares en una

construcción geométrica, argumentar por contradicción, trabajar hacia atrás, considerar

problemas relacionados, relajar las condiciones del problema, considerar el problema

resuelto, realizar un dibujo, elaborar una configuración dinámica en la que se puedan variar

de forma controlada la mayor cantidad de parámetros, trazar lugares geométricos, entre

otras (Schoenfeld, 1985; Espinosa-Pérez, 2006).

El control se refiere a la forma en que los individuos usan la información que se encuentra

potencialmente a su disposición. Se refiere a las acciones principales acerca de qué hacer

ante un problema. El tipo de comportamientos que forman parte de esta categoría incluye

elaborar planes, plantear objetivos y sub-objetivos, monitorear y evaluar soluciones y la

forma en que estas evolucionan, así como revisar y abandonar planes cuando así se

requiera.

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2.4. Demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje

Como parte del marco de las tareas de aprendizaje Stein y Smith (1998) incluyen el

constructo de la demanda cognitiva de las tareas de aprendizaje. Se refiere a la medida en

que una tarea permite al estudiante construir conexiones entre conceptos (aprendizaje con

entendimiento en la terminología de Hiebert), y dar significado a los conceptos

matemáticos. Las tareas, de acuerdo con este marco, se dividen en dos grandes grupos,

tareas con baja demanda cognitiva y tareas con alta demanda cognitiva. A su vez, cada una

de las clasificaciones cuenta con dos subcategorías (Tabla 1).

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Baja demanda cognitiva Alta demanda cognitiva

Memorización

• Involucra por un lado reproducir hechos aprendidos previamente, fórmulas o definiciones o por otro, almacenar hechos, reglas, fórmulas o definiciones en la memoria.

• No pueden resolverse usando procedimientos porque no existe un procedimiento o porque el tiempo en el que se debe desarrollar la tarea es demasiado corto para usar un procedimiento.

• No son ambiguas, estas tareas involucran la reproducción exacta de material abordado previamente y lo que se reproduce se establece de forma clara y directa.

• No hay conexiones con los conceptos o significados que subyacen los hechos, reglas, fórmulas o definiciones que se están aprendiendo o reproduciendo.

Procedimientos con conexiones

• Enfocan la atención del estudiante en el uso de procedimientos con el propósito de desarrollar niveles profundos de entendimiento de conceptos e ideas matemáticas.

• Sugiere rutas que seguir (explícita o implícitamente) que son procedimientos generales amplios que tienen estrecha conexión con las ideas conceptuales subyacentes.

• Usualmente pueden utilizar representaciones múltiples (diagramas visuales, objetos manipulables, símbolos, situaciones problemáticas). Realizar conexiones entre las múltiples representaciones ayuda al desarrollo de significados.

• Requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. Aunque se pueden seguir procedimientos generales, éstos no se siguen sin pensar. Los estudiantes necesitan involucrase con las ideas conceptuales que subyacen los procedimientos para completar exitosamente las tareas y desarrollar entendimiento.

Procedimientos sin conexiones

• Son algorítmicas. El uso de procedimientos es específicamente diseñado para el problema o su uso es evidente basado en instrucciones previas, experiencia o por el contexto de la tarea.

• Requiere de limitada actividad mental para completarla exitosamente. Hay poca ambigüedad respecto a lo que debe hacerse y cómo hacerlo.

• No existen conexiones con los conceptos o significados que subyacen a los procedimientos que se utilizan.

• Están enfocadas en la producción de respuestas correctas más que en desarrollar un entendimiento matemático.

• No requieren explicaciones o requieren explicaciones que se enfocan solamente en describir el procedimiento utilizado.

Hacer matemáticas

• Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico, es decir que no hay una ruta predecible y bien determinada sugerida explícitamente por la tarea, las instrucciones de la tarea o un ejemplo resuelto previamente.

• Requiere que los estudiantes exploren y entiendan la naturaleza subyacente de los conceptos, procesos o relaciones matemáticos.

• Demanda auto-monitoreo o auto-regulación de nuestros propios procesos cognitivos.

• Requiere que los estudiantes accedan a conocimientos y experiencias relevantes y hagan un uso apropiado de ellas a través de su trabajo en la tarea.

• Requiere que los estudiantes analicen la tarea y examinen activamente las restricciones de la tarea que pueden limitar las posibles estrategias de solución o las soluciones.

• Requiere de un considerable esfuerzo cognitivo y puede involucrar cierto grado de ansiedad para los estudiantes debido a la naturaleza impredecible que requiere el proceso de solución.

Tabla 1. Caracterización de los niveles de demanda cognitiva de las tareas (Smith y Stein, 1998)

Los elementos que integran el marco conceptual se complementan en el proceso de

resolución de problemas. Intervienen en este proceso las cuatro fases de resolución de

problemas, los recursos, las heurísticas, la demanda cognitiva y el control de actividades

(Diagrama 1). Se parte de un problema o situación problemática y una de las primeras

20

acciones que debe llevar a cabo el resolutor es comprender el enunciado del problema,

considerando la información con la que cuenta, así como la que hace falta y discriminar

entre la que es relevante para abordar la tarea de aquella que no lo es.

Una vez identificados los elementos anteriores, es necesario concebir y estructurar un plan

de solución, considerando la incógnita, es decir, lo que pide el problema, mediante la

elección, organización y estructuración de los recursos del resolutor y la información o

datos de los que dispone. De esta manera puede ejecutarse el plan haciendo uso de las

habilidades, considerar problemas relacionados, estableciendo conexiones, introduciendo

elementos auxiliares, utilizando representaciones, argumentando ya sea de manera directa o

indirecta (puede ser por contradicción, relajar las condiciones del problema, trabajar hacia

atrás considerando el problema como resuelto, identificar las ideas erróneas, utilizar

procedimientos algorítmicos).

Otra fase importante en el proceso de solución de un problema, consiste en monitorear los

avances, así como la efectividad de las estrategias utilizadas, con el objetivo de determinar

si se continúa o se abandona una ruta de solución. Finalmente, si se ha obtenido una

solución es necesario evaluar si ésta tiene sentido en términos de las condiciones

expresadas en el enunciado del problema, si no es así, entonces se debe revisar el plan y

buscar otros caminos o rutas posibles de solución. Durante la solución de un problema las

fases de diseño del plan e implementación del mismo no pueden separarse, se debe realizar

un análisis conjunto de ambas fases debido a que el estudiante se encuentra en un proceso

en el que debe probar y replantear sus ideas, aplica al problema las estrategias que posee en

su repertorio y abandonarlas si es necesario, redefiniendo cada vez que lo considera

necesario.

21

Diagrama 1. Integración del marco conceptual al proceso de solución de problemas

Monitorear.

MARCO CONCEPTUAL

Control

Fases de resolución de

problemas Heurísticas Recursos Demanda cognitiva

Fase 3. Ejecutar el plan. Fase 2. Concebir un plan.

Fase 4. Visión retrospectiva.

Fase 1. Comprender el

problema.

Hechos. Introducir elementos auxiliares.

Representaciones.

Procedimientos con conexiones.

Habilidades.

Trabajar hacia atrás.

Argumentar por contradicción.

Procedimientos algorítmicos.

Ideas erróneas.

Considerar problemas relacionados.

Relajar las condiciones del problema.

Considerar el problema resuelto.

Revisar planes.

Plantear objetivos.

Evaluar soluciones.

Abandonar planes.

Solución del problema.

Problema.

22

3. METODOLOGÍA

3.1. Introducción

Como hemos dicho en apartados anteriores, para la realización de esta investigación se

realizó un análisis cualitativo de las estrategias que utilizan los estudiantes para resolver

problemas de la olimpiada de matemáticas con el fin de conocer de qué manera piensan los

estudiantes cuando resuelven problemas. Aproximar estas formas de pensamiento es de

utilidad para diseñar estrategias didácticas que puedan utilizarse como herramientas de

apoyo para la preparación de los estudiantes que participen en este tipo de competencias.

La Olimpiada Hidalguense de Matemáticas se ha llevado a cabo últimamente durante el

mes de marzo de cada año. Para esta competencia el Estado de Hidalgo se divide en 13

sedes y el examen se aplica de manera simultánea en todas las sedes, en día sábado, en un

horario de 10:00 a 14:00 hrs. Los participantes son estudiantes de secundaria y estudiantes

de hasta cuarto semestre de bachillerato, cuyas edades fluctuaron entre 13 y 19 años. Para

la realización del examen se permite el uso de juego de geometría, pero no el uso de algún

tipo de calculadora, formularios, libros, cuadernos o algún otro material de apoyo.

3.2 Características de los estudiantes

En este trabajo se analizaron las respuestas de 158 exámenes, pertenecientes a la región de

Pachuca que es una de las 13 sedes participantes, correspondientes a la fase estatal de las

olimpiadas de las matemáticas del año 2011. Del total de exámenes analizados, el 38.60%

fueron contestados por mujeres y el 61.40% por hombres. El 34.18% de los participantes

son del nivel secundaria y 65.82% pertenecen al nivel medio superior. En ambos casos los

estudiantes provienen de escuelas tanto públicas como privadas. El rango de edades de los

participantes es de 13 a 19 años, siendo la edad promedio de 16 años. Los exámenes que se

analizaron en este trabajo fueron proporcionados por el Comité Olímpico Estatal.

Es importante señalar que durante este tipo de pruebas, los estudiantes se encuentran

sometidos a cierta presión psicológica, dado que el tiempo que tienen para resolver el

examen es acotado. Así, este factor se considerará como una variable que influyó en los

resultados del análisis ya que probablemente se obtendrían diferentes resultados si la

23

resolución de los problemas se llevara a cabo en un ambiente en el que el estudiante pudiera

disponer de más y diferentes herramientas para llevar a cabo el proceso de solución.

3.3 El examen de la fase estatal de la Olimpiada de Matemáticas 2011

El examen fue diseñado por un comité de examen, integrado por profesores del Área

Académica de Matemáticas y Física de la UAEH, designado por el Comité Olímpico del

Estado de Hidalgo. Este examen se integró de dos partes: la primera consistió en diez

problemas de opción múltiple, con cuatro opciones de respuesta cada una, mientras que la

segunda parte consistió en tres problemas de respuesta abierta. En los años anteriores a

2011, el examen de la Olimpiada de Matemáticas del Estado de Hidalgo consistía

únicamente de problemas de respuesta abierta, siendo el año 2011 el primero en el que se

incluyeron problemas de opción múltiple. Los problemas que integraron el examen

corresponden a tres grandes áreas de las matemáticas: aritmética, geometría y combinatoria.

3.4 Ventajas y desventajas de los exámenes escritos

Aunque el examen escrito es el más usual, es en el que se debe tener más cuidado al ofrecer

una respuesta, se cuenta con mayor tiempo para responder que en un examen oral lo que

permite analizar detenidamente el problema y dar una respuesta. El examen puede incluir

preguntas con respuestas de opción múltiple o abiertas; cuando las respuestas son de opción

múltiple entonces hay una solución correcta y las demás opciones pueden parecer correctas

y generar confusión en los estudiantes. Las ventajas que ofrece este tipo de examen es que

cada pregunta aporta la respuesta correcta, dando la opción a reconocerla y seleccionarla; la

desventaja es cuando todas las respuestas parecen ser las correctas y es difícil distinguir la

opción correcta de entre ellas; para seleccionar la adecuada es necesario manejar de manera

adecuada el tema y tener la capacidad para comprender las diferencias que presenten.

El examen escrito de respuesta abierta es aquel en el que el estudiante debe proporcionar

una explicación, descripción o argumentación de la solución, la ventaja de esta prueba es

que si se está familiarizado con el contenido proporciona seguridad al poder explicar los

argumentos, además de que se cuenta con espacio para poder mostrar el proceso que sigue

para la resolución o para expresar la respuesta, la desventaja es que se puede no entender la

pregunta y responder otra cuestión que no se está solicitando, en este caso es recomendable

24

asegurarse de que se entendió el sentido del problema, distribuir el tiempo disponible,

responder primero lo que se sabe y destinar tiempo al final para reflexionar y corregir si es

necesario.

Moreno-Bayardo (2004), indica que el examen escrito es un recurso de evaluación

mediante el cual el estudiante expresa por escrito los conocimientos, aplicaciones o juicios

que se le soliciten, presenta algunas ventajas como dar oportunidad al estudiante de

recapitular sobre lo escrito y hace posible la revisión por el estudiante de aciertos y errores;

presenta también la desventaja de que facilita la copia entre estudiantes no responsables.

3.5 Características de los problemas

El examen de la olimpiada de matemáticas se caracteriza por contener verdaderos

problemas, entendiendo por problema una actividad o tarea para la cual el estudiante no

tiene una forma inmediata para resolverlo; sin embargo, gracias a los recursos con los que

cuentan, los estudiantes pueden abordar los problemas y proponer soluciones mediante una

o varias rutas, cabe mencionar que los problemas son bien estructurados.

Los problemas de opción múltiple fueron: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10; los de respuesta

abierta: 11, 12 y 13 (ver apéndice A).

Con base en el marco de la demanda cognitiva (Stein y Smith, 1998) se identificó que los

problemas con baja demanda cognitiva son: 1, 2, 4, 5 y 6; ya que se usan procedimientos

específicamente diseñados para el problema o su uso es evidente basado en instrucciones

previas, experiencia o el contexto de la tarea; mientras que los de alta demanda cognitiva

son: 3, 7, 8, 9,10, 11, 12 y 13; en los que se requiere que el estudiante enfoque su atención

en el uso de procedimientos con el propósito de desarrollar niveles profundos de

entendimiento de ideas matemáticas, sugiere rutas a seguir, usualmente pueden utilizar

representaciones múltiples y realizar conexiones entre ellas, requieren cierto grado de

actividad cognitiva.

La tabla 2, muestra la clasificación de los problemas de acuerdo al área del conocimiento

matemático que corresponde cada uno: Aritmética, Geometría y Combinatoria.

25

PROBLEMAS DE ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1. Cuando Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la edad de su papá,

¿cuántos años tiene Esteban?

2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de las Flores sale un autobús de la Línea A cada 9 minutos a partir

de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos a partir de las 7:00 AM y un autobús de la Línea C

cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM. ¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal

desde las 6:00 AM y hasta las 5:00PM?

3. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos del número 20112011?

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

6. Un cuadrado de área 4 está inscrito en un triángulo isósceles como se muestra en la figura. La distancia de

un vértice de la base del triángulo al vértice más próximo del cuadrado es 1. ¿Cuál es el área del triángulo

más grande?

7. Un cuadrado de área 16 se divide en cuatro cuadrados iguales como se muestra en el dibujo. ¿Cuál es el

área delimitada por la circunferencia que pasa por los centros de los cuatro cuadrados pequeños?.

10. En la siguiente figura los centros de las circunferencias interiores se encuentran sobre un diámetro de la

circunferencia mayor y cada circunferencia toca a cada una de sus vecinas en un sólo punto. Sea A el

perímetro de la circunferencia mayor y B la suma de los perímetros de las circunferencias sobre el diámetro

de la circunferencia grande. ¿Cuál es la relación entre A y B?

11. Considera un triángulo ABC (es decir, el triángulo con vértices A, B y C) y sea M el punto medio del

lado AC. Sea P un punto cualquiera en el segmento MB. Demuestra que las áreas de los triángulos APB y

CPB son iguales.

12. Una escalera de 10 metros está apoyada sobre una pared vertical de tal forma que el pie de la escalera se

encuentra a 6 metros de la pared. Un gato que está subiendo por la escalera se encuentra a una distancia de 7

26

metros de la base de la pared. ¿Qué distancia le falta al gato para llegar a la cima de la escalera?

PROBLEMAS DE COMBINATORIA

4. Se escriben todos los números del 1 al 1000. ¿Cuántas veces aparece el dígito 5?

5. Un torneo es de eliminación simple si cada partido se juega entre dos equipos y el equipo que pierde

abandona el torneo. Si en un torneo de eliminación simple (en el que no se permiten los empates) participan

1024 equipos, ¿Cuántos partidos se juegan para determinar al campeón?

9. En un bote hay 100 canicas de cada uno de 5 diferentes colores. Se extraen las canicas de una a una sin

ver. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se necesitan sacar para garantizar que hay al menos 10 de un

mismo color?

8. ¿Cuántos números enteros mayores que 100 y menores que 1000 tienen la propiedad que la suma de sus

dígitos es 13?

13. Una cuadrícula de 2011 x 2011 se llena escribiendo la palabra “HIDALGO”, una letra por cada casilla,

en el orden que se indica en la figura. ¿Cuántas veces aparece la letra “H” en la primera columna (la que está

más a la izquierda) de la cuadrícula?

Tabla 2. Clasificación de los problemas por área de conocimiento.

A continuación se realizará un análisis preliminar de los problemas con el propósito de

contar con un panorama de los recursos y los procesos cognitivos que podrían poner en

práctica los estudiantes durante el proceso de solución, enfatizando que no se espera que los

estudiantes sigan exactamente las rutas a aproximaciones propuestas.

3.6 Análisis preliminar de los problemas.

1. Cuando Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la

edad de su papá, ¿Cuántos años tiene Esteban?

27

Los datos explícitos del problema son la edad del padre y la relación que existe con

respecto a la edad de Esteban, el dato implícito es que la edad del padre debe ser mayor de

28 años; la incógnita es la edad de Esteban. La propuesta de solución puede partir

proponiendo una ecuación adecuada que resuelva el problema. Como es una pregunta con

respuestas de opción múltiple, puede también descartar las posibilidades que tiene en las

respuestas, proponer la solución y probar el resultado. El problema es de baja demanda

cognitiva para aquellos estudiantes que tengan habilidad para resolver problemas que

implican el uso de un sistema de ecuaciones, aunque la solución se puede reducir a una sola

ecuación, la demanda cognitiva de este problema se incrementará si el estudiante no tiene

conocimientos de este tipo de herramienta matemática puesto que se verá impulsado a

utilizar otras estrategias, tales como la elaboración de listas sistémicas o algunas otras

estrategias.

2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de las Flores sale un autobús de la Línea A

cada 9 minutos a partir de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos a partir

de las 7:00 AM y un autobús de Línea C cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM.

¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal desde las 6:00 AM y hasta

las 5:00PM?

Los datos explícitos del problema son los horarios en que comienzan los recorridos de cada

línea, el tiempo en que de cada línea sale un autobús; la incógnita, el número de autobuses

que salen de la terminal desde las 6:00 a.m. y hasta las 5:00 p.m., la propuesta de solución

puede ser dividir el número de salidas que puede haber en el horario establecido para cada

línea y posteriormente verificar el número de minutos restantes para asegurar las salidas o

bien establecer una línea de tiempo y formar la conjetura para proporcionar el resultado. Es

un problema de baja demanda cognitiva para aquellos estudiantes que tengan habilidad en

la simplificación de cálculos al identificar un patrón, para aquellos que no lo tengan el

problema puede ser de alta demanda al tener que involucrarse con las ideas conceptuales

que subyacen los procedimientos para completar las tareas, en este caso deben considerar

que lo que se está contando es tiempo.

28

3. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos del número 20112011?

El problema presenta únicamente datos explícitos, el número 2011 debe elevarse a la

potencia 2011, y la incógnita que es determinar los dos últimos dígitos del resultado de la

operación. Para resolver es conveniente realizar algunas pruebas y elevar 2011 a algunas

potencias como 1, 2 y 3 y ver si en ellas se puede identificar un patrón que permita formar

una conjetura. Es un problema de alta demanda cognitiva puesto que requiere cierto grado

de esfuerzo cognitivo y el estudiante debe involucrarse con las ideas conceptuales, debe

tener claro que lo que busca es el resultado de una base elevada a una potencia y no

solamente una multiplicación simple. Su resolución puede ser a través de aritmética

modular, con la dificultad de que el que la utilice debe identificar la congruencia módulo

100 y no cometer errores en los cálculos para tener éxito en la resolución. Si no se conoce

aritmética modular entonces puede hacer uso de operaciones aritméticas utilizando la

estrategia de dejar de lado información no relevante y centrarse solamente en los dos

últimos dígitos, en el proceso se puede identificar un patrón que le permita no realizar

cálculos. Al decidir utilizar operaciones aritméticas puede realizarse toda la multiplicación

que también es una estrategia funcional aunque requiere de mucho tiempo y se obtiene

información no necesaria para proporcionar una respuesta.

4. Se escriben todos los números del 1 al 1000. ¿Cuántas veces aparece el dígito 5?

Los datos explícitos del problema son los números entre los cuales se quiere determinar

cuántas veces aparece el dígito 5, la incógnita es el número de veces que aparece el dígito

5. Una propuesta de solución consiste en calcular el número de dígitos 5 que aparecen en

cada grupo de 100 números y sumar los resultados. Este problema requiere de hacer una

buena representación de la información, está enfocada en la producción de una respuesta

más que en desarrollar un entendimiento matemático, por lo que el problema es de baja

demanda cognitiva. Se puede hacer uso de listas sistemáticas en las que se ubiquen

únicamente los números que contienen el dígito 5, sin exceptuar algún número pero

descartando información no relevante. En este proceso puede identificarse un patrón a

través de las distintas formas de agrupación de la información.

29

5. Un torneo es de eliminación simple si cada partido se juega entre dos equipos y el

equipo que pierde abandona el torneo. Si en un torneo de eliminación simple (en el que no

se permiten los empates) participan 1024 equipos, ¿Cuántos partidos se juegan para

determinar al campeón?

El sistema de competencia y el número de participantes son los datos explícitos del

problema; la incógnita, el número de partidos que se deberán jugar para obtener un

campeón. La propuesta de solución es eliminar cada vez la mitad de los equipos hasta llegar

a un equipo que será el campeón, posteriormente sumar todos los resultados obtenidos. Es

un problema que requiere de limitada actividad mental y existe poca ambigüedad respecto a

lo que debe hacerse y cómo hacerlo, es un problema de baja demanda cognitiva. A través

de series de operaciones aritméticas y conteo puede obtenerse una solución exitosa,

también puede hacerse uso de la estrategia de trabajar hacia atrás en la que si se identifica

que sólo hay un ganador entonces los equipos que perdieron jugaron un partido debido a

que el torneo es de eliminación simple.

6. Un cuadrado de área 4 está inscrito en un triángulo isósceles como se muestra en la

figura. La distancia de un vértice de la base del triángulo al vértice más próximo del

cuadrado es 1. ¿Cuál es el área del triángulo más grande?

El área del cuadrado, el tipo de triángulo y la distancia proporcionada son los datos

explícitos del problema, la medida de los lados del cuadrado es un dato implícito que

también es la base del triángulo del que se pide calcular el área que es la incógnita del

problema. Partiendo de los datos que presenta el problema y teniendo clara la incógnita, se

puede establecer congruencia de triángulos y obtener el área de los triángulos pequeños;

como son congruentes con el triángulo grande, entonces la suma de sus áreas más el área

del cuadrado es igual al área del triángulo solicitado. Es un problema de alta demanda

cognitiva, el estudiante debe identificar sub-figuras y sus propiedades a través de la

deducción de semejanza de triángulos, son necesarios procedimientos con conexiones

(cálculo de áreas, semejanza de triángulos, hacer deducciones y justificar resultados), debe

agregar elementos auxiliares que le permitan determinar la razón de semejanza.

30

7. Un cuadrado de área 16 se divide en cuatro cuadrados iguales como se muestra en el

dibujo. ¿Cuál es el área delimitada por la circunferencia que pasa por los centros de los

cuatro cuadrados pequeños?

El área del cuadrado es el dato explícito del problema, los datos implícitos son los

cuadrados pequeños en que se divide el cuadrado, las medidas de los lados del cuadrado y

por lo tanto las de los cuadrados pequeños y el centro de los cuadrados pequeños por los

que es por donde pasa la circunferencia, la incógnita es el área de la circunferencia; por lo

que el plan podría partir de establecer las relaciones entre los datos explícitos y los

implícitos, de esta manera se puede determinar el radio de la circunferencia y dar una

respuesta acertada al problema. Es un problema de alta demanda cognitiva puesto que

requiere de la utilización de diversas representaciones y el desarrollo de niveles profundos

de entendimiento de conceptos matemáticos.

8. ¿Cuántos números enteros mayores que 100 y menores que 1000 tienen la propiedad

que la suma de sus dígitos es 13?

Los datos explícitos del problema son los números entre los cuales se quiere encontrar la

propiedad de que la suma de sus dígitos es 13 que es la incógnita. Para la solución se puede

determinar entre grupos de 100 (por ejemplo de 100 – 199, 200 – 299, etc.) cuántos

números de ese grupo cumplen con la propiedad y posteriormente sumar los que de cada

grupo cumplen y proporcionar una respuesta adecuada. El problema requiere de atención

inmediata en el enunciado ya que puede prestarse a confusión entre números y dígitos, por

lo que el problema es de alta demanda cognitiva aun cuando se pueden seguir

procedimientos generales, no deben seguirse sin reflexionar, los estudiantes deben

involucrarse con las ideas conceptuales que subyacen los procedimientos para tener éxito

en la resolución del problema.

9. En un bote hay 100 canicas de cada uno de 5 diferentes colores. Se extraen las canicas

de una a una sin ver. ¿Cuál es el mínimo número de canicas que se necesitan sacar para

garantizar que hay al menos 10 de un mismo color?

31

Los datos explícitos del problema son el número de canicas de cada color que contiene el

bote y la forma de extracción; la incógnita el número de canicas que deben extraerse para

que haya al menos 10 canicas de un mismo color. La solución podría abordarse simulando

la extracción de canicas y cuantas quedan dentro del bote después de cada extracción, hasta

llegar al número solicitado; otra forma de abordar el problema es dibujar un diagrama con

casillas en las que se coloca de manera simbólica cada canica extraída, de esta manera el

estudiante puede visualizar los resultados de cada extracción que realiza. Es un problema de

alta demanda cognitiva, requiere que el estudiante utilice diversas representaciones, sugiere

rutas a seguir y requiere esfuerzo cognitivo, el estudiante debe considerar diversas formas

de crear conjuntos y conteo.

10. En la siguiente figura los centros de las circunferencias interiores se encuentran sobre

un diámetro de la circunferencia mayor y cada circunferencia toca a cada una de sus

vecinas en un solo punto. Sea A él perímetro de la circunferencia mayor y B la suma de los

perímetros de las circunferencias sobre el diámetro de la circunferencia grande. ¿Cuál es

la relación entre A y B?

El perímetro de la circunferencia mayor y la suma de los perímetros de las circunferencias

sobre el diámetro de la circunferencia grande que son los datos explícitos, la incógnita es la

relación que existe entre estos datos. Para la resolución es importante considerar la forma

en que se calcula el perímetro de una circunferencia, con ello se puede identificar que la

suma de los diámetros de las circunferencias pequeñas es el diámetro de la circunferencia

grande, una vez establecidas estas relaciones puede determinarse la solución. Es un

problema de alta demanda cognitiva, los estudiantes deben saber calcular perímetros,

aunque puede considerar un problema más sencillo o casos particulares, al hacer uso de los

casos particulares debe verificar que los datos propuestos son congruentes con la

información proporcionada. Aunque el problema es de alta demanda cognitiva tiene

potencial para extenderse y realizar preguntas de otro estilo, como qué ocurre si las

32

circunferencias interiores tienden a hacerse más pequeñas casi hasta parecerse al perímetro

de la circunferencia grande.

11. Considera un triángulo ABC (es decir, el triángulo con vértices A, B y C) y sea M el

punto medio del lado AC. Sea P un punto cualquiera en el segmento MB. Demuestra que

las áreas de los triángulos APB y CPB son iguales.

Los datos explícitos del problema son el triángulo y el punto medio sobre un segmento del

mismo, la incógnita es demostrar que las áreas de los triángulos formados por el segmento

que une un vértice del triángulo con un punto ubicado en cualquier parte del segmento y el

punto medio indicado. Si se elabora una figura para poder visualizar el problema se puede

identificar como es que los triángulos formados comparten un mismo lado, que se puede

tomar como base, y como el segmento en el que se encuentra el punto medio proporciona

además la altura para cada triángulo, entonces si los triángulos tienen la misma base y la

misma altura, ambos tienen áreas iguales. Es un problema de alta demanda cognitiva,

sugiere rutas a seguir en las que se encuentran inmersos las ideas matemáticas subyacentes,

requiere de representaciones visuales y realizar conexiones entre los datos presentados.

Requiere de conocimientos de geometría, propiedades de congruencia y semejanza de

triángulos, puede ayudar la resolución de casos particulares pero al final realizar la

generalización que es lo que pide el problema.

12. Una escalera de 10 metros está apoyada sobre una pared vertical de tal forma que el

pie de la escalera se encuentra a 6 metros de la pared. Un gato que está subiendo por la

escalera se encuentra a una distancia de 7 metros de la base de la pared. ¿Qué distancia le

falta al gato para llegar a la cima de la escalera?

El problema proporciona la altura de la escalera, la distancia entre el pie de la escalera y la

pared y la distancia a la que se encuentra el gato de la base de la pared, los datos implícitos

que presenta es que entre la pared, el piso y la escalera se forma un triángulo rectángulo,

33

que va a ser determinante para calcular la altura de la pared, la incógnita es la distancia que

le falta al gato para llegar a la cima de la escalera. Estableciendo la relación entre la

distancia del pie de la escalera y la altura de la escalera, se puede determinar la altura de la

pared, se pueden trazar rectas auxiliares y establecer la relación entre los lados conocidos y

los desconocidos para proporcionar una solución. Es un problema con alta demanda

cognitiva, enfoca la atención del estudiante en el uso de procedimientos con el propósito de

desarrollar niveles profundos de entendimiento de conceptos e ideas matemáticas. El

estudiante debe considerar todos los datos y las relaciones que puede establecer entre ellos,

es importante que conozca conceptos de geometría y trigonometría, propiedades de los

triángulos y que haga uso de elementos auxiliares, para tener éxito en su respuesta.

13. Una cuadrícula de 2011 x 2011 se llena escribiendo la palabra “HIDALGO”, una letra

por cada casilla, en el orden que se indica en la figura. ¿Cuántas veces aparece la letra

“H” en la primera columna (la que está más a la izquierda) de la cuadrícula?

Los datos del problema son el tamaño de la cuadrícula, el número de letras que forman la

palabra HIDALGO, la dirección en que se colocan las letras y el hecho de que solamente se

coloca una letra en cada casilla, la incógnita es el número de veces que aparece la letra H en

la primera columna. La propuesta de solución es identificar cuántas veces aparece la letra H

en cada una de las filas, puede hacerse una simulación e identificar un patrón que permita

realizar el cálculo. Es un problema de alta demanda cognitiva, requiere un cierto grado de

esfuerzo cognitivo y utilizar representaciones adecuadas de la información. El estudiante

debe tener elementos para reconocer un patrón y determinar la solución, además de que

requiere realizar operaciones sobre las representaciones (Ejemplo: “Desdoblar la

cuadrícula”).

34

3.7 Procedimiento para analizar las respuestas de los estudiantes

Con base en las producciones escritas de los estudiantes se realizó un análisis de las

estrategias utilizadas al resolver cada uno de los problemas. Este análisis se dividió en dos

partes, uno para los problemas cuya respuesta es de opción múltiple y otro para los de

respuesta abierta. El análisis de las respuestas se llevó a cabo en dos momentos: en el

primero de ellos se analizó el entendimiento del enunciado del problema, mientras que en el

segundo, el foco de atención fue la selección y estructuración de los recursos para la

elaboración e implementación del plan de solución y las principales dificultades a las que se

enfrentó el estudiante. “En lo que respecta a los errores, la necesidad de analizarlos es aún

más evidente, pues sólo este análisis permite saber con qué dificultades se ha enfrentado el

niño y permite determinar los medios para remediar la situación” (Vergnaud, 2004, p. 3)

Fase 1 Entendimiento del enunciado:

1. En esta fase se determinará si el estudiante identificó los datos explícitos e implícitos del

enunciado del problema.

2. Se determina si el estudiante fue capaz de identifica la incógnita.

Fase 2 Elaboración e implementación del plan:

1. Los conocimientos previos que fueron seleccionados por el estudiante para resolver el

problema.

2. Las estrategias utilizadas por los estudiantes.

3. Identificación de las principales dificultades a que se enfrentaron los estudiantes en el

proceso de resolución.

35

CAPÍTULO 4. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

4.1 Introducción.

En el presente capítulo se realiza un análisis de las respuestas de los 158 estudiantes de la

sede Pachuca, que participaron en la Fase Estatal de la Olimpiada de Matemáticas, en el

Estado de Hidalgo.

Se describen y analizan las estrategias más comunes utilizadas por los estudiantes

mostrando algunos ejemplos de ellas; utilizando las respuestas que ofrecen mejor claridad

al proporcionar su respuesta, se realizó un conteo de aquellos que resolvieron los problemas

de manera correcta y la estrategia que utilizaron para llegar al resultado. Se realizó un

análisis detallado de los procesos cognitivos que utilizaron los participantes al implementar

las estrategias, se identificaron los datos explícitos y los relacionaron con los datos

implícitos del problema y las relaciones establecidas entre los datos.

4.2 Análisis de los resultados de las preguntas.

En la realización del análisis de resultados se elaboró un diagrama para cada problema

como una herramienta de apoyo para proyectar de alguna manera los procesos mentales que

los estudiantes llevaron a cabo al resolver el problema. El diagrama captura el análisis

previo de los problemas, así como lo que los estudiantes realizaron para resolver los

problemas. Sin embargo, se toma en cuenta que los estudiantes piensan de manera distinta,

no obstante existen muchas coincidencias en la forma de abordar los problemas y en el

proceso de solución. El análisis de los resultados también aportó algunas propuestas para

llevar a cabo actividades de entrenamiento de estudiantes participantes en la Olimpiada de

Matemáticas.

Se muestran algunos ejemplos de las estrategias utilizadas por los estudiantes al resolver los

problemas, las imágenes fueron seleccionadas de los que respondieron o realizaron el

procedimiento con mayor claridad o mostraron procesos mentales o estrategias novedosas o

características de una forma particular de pensar.

En el caso de los estudiantes que no realizaron algún procedimiento, no se cuenta con

elementos para determinar el proceso cognitivo que llevaron a cabo y la forma en la que

36

eligieron alguna de las respuestas. En el apéndice B, se muestran las tablas de frecuencia de

los resultados obtenidos del análisis de los exámenes.

Análisis de las preguntas de respuesta de opción múltiple

Pregunta 1. Cuándo Esteban nació, su papá tenía 28 años. Si ahora Esteban tiene un tercio de la edad de su papá, ¿Cuántos años tiene Esteban?

Diagrama 2. Muestra la secuencia para llegar a una estrategia de solución.

Para resolver el problema 1, el 39.24% de los estudiantes no realizaron algún

procedimiento, de ellos el 53.22% seleccionó una respuesta incorrecta y 46.77% una

correcta.

Problema.

Edad de Esteban.

Presentar solución.

La edad actual del padre debe ser mayor que 28 años, puesto que ya ha transcurrido tiempo desde que nació Esteban.

Identificación de

la incógnita

Identificación de datos

Implícitos

Explícitos

Edad del padre cuándo Esteban nació. Relación que existe entre las edades actuales.

Evaluar solución.

E=1/3 P E=1/3(28+E) 3E=28+E 2E=28 E=14

Representación

de la

información y

relacionar los

datos

Procedimientos algorítmicos.

P: Edad actual del padre E: Edad actual de Esteban

E=

P= 28 + E

Visión

retrospectiva

¿Tiene sentido la relación planteada entre los datos?

E P 0 28 1 29 2 30 . . .

.

.

. 14 42

Recursos

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Para responder a al primer problema 24.05% de los estudiantes dividieron entre tres la edad

del padre para obtener una respuesta, sin embargo no consideraron que transcurrió tiempo

desde que Esteban nació, por lo tanto su respuesta es incorrecta; también hubo algunos

errores en el algoritmo mostrando deficiencias durante la realización de procesos rutinarios.

Este proceso de solución muestra como a partir de la identificación de datos el estudiante

realiza algunas operaciones para proporcionar una respuesta, como se muestra en la figura

1. Aun cuando fue la estrategia más utilizada no es la adecuada para la resolución del

problema.

Figura 1. Uso de procedimientos algorítmicos.

El 1.26% de los estudiantes establecieron una relación incorrecta de las edades, y como

consecuencia obtuvieron una respuesta incorrecta.

Figura 2. Ejemplo del planteamiento propuesto por los estudiantes.

En el caso del 13.29% de los estudiantes que obtuvieron la respuesta correcta probando con

las opciones propuestas, sumando la edad del padre y una de las opciones de respuesta,

probaron su resultado multiplicando por 3, obteniendo la respuesta correcta. El proceso de

verificación de las opciones, significa que los estudiantes entendieron el enunciado del

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problema, aunque es una estrategia útil no es aplicable para todos los problemas de la

Olimpiada. El probar resultados resulta una estrategia útil siempre que se tenga claro el

objetivo y se considere la relación existente entre los datos explícitos e implícitos (ver

figura 3).

Figura 3. Verificación de las condiciones a partir de las respuestas.

El 5.06% de los estudiantes realizaron una lista con las opciones de respuesta, establecieron

las relaciones entre las edades y encontraron la respuesta correcta. Esto resulta muy eficaz

para los estudiantes que no tienen habilidad en el planteamiento de sistemas de ecuaciones,

sin embargo requiere de tiempo en la realización de la lista además de que no todas las

relaciones encontradas que cumplen las condiciones del problema pueden ser soluciones

correctas (ver figura 4).

Figura 4. Uso de listas.

El 1.89% de los estudiantes sumaron 14 tercios a la edad del padre cuando nació Esteban,

obteniendo la respuesta correcta, es elegido de las propuestas de solución encontrando la

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relación correcta para el problema. Es un proceso aleatorio en el que el estudiante

selecciona una de las opciones de respuesta al azar o pensando que es la respuesta correcta

y realiza el procedimiento para probar su resultado (ver figura 5).

Figura 5. Operaciones aritméticas.

El 0.63% de los estudiantes utilizó una estrategia semi-algebraica: estableció una relación

correcta entre las edades, dividió la edad del padre cuando tenía dos terceras partes de la

edad actual y encontró la respuesta correcta (ver figura 6). Una estrategia de las menos

utilizadas por los estudiantes debido a que generalmente les resulta complicado trasladar los

datos de un problema a lenguaje común y viceversa, sin embargo es una estrategia

adecuada y exitosa.

Figura 6. Estrategia semi-algebraica.

Del total de estudiantes, el 12.65% formularon una ecuación, 45% de ellos la plantearon y

resolvieron de manera correcta y su respuesta fue correcta, 20% la plantearon de forma

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incorrecta pero obtuvieron la respuesta correcta y 35% la plantearon de manera incorrecta y

su repuesta fue incorrecta. El planteamiento de ecuaciones es la estrategia sugerida para

resolver este tipo de problemas, aunque en este caso fue utilizada por muy pocos

estudiantes debido a los requerimientos para el planteamiento, que es mostrado por los

estudiantes que la utilizaron de manera inadecuada (ver figura 7).

Figura 7. (a) Estrategia algebraica correcta.

Figura 7. (b) Estrategia algebraica incorrecta

En el análisis realizado puede apreciarse que algunos de los estudiantes no identificaron los

datos implícitos del problema, en general utilizaron algoritmos de suma, multiplicación y

ecuaciones, algunos probaron las respuestas proporcionadas para llegar a una solución. Uno

de los procesos más utilizados por los estudiantes fue el uso de procedimientos algorítmicos

como realizar una división, aunque fue uno de los más utilizados es el menos eficaz para

resolver este problema; el proceso que, a pesar de tener un grado de dificultad un poco

mayor, es la estrategia algebraica en la que se plantea un sistema de ecuaciones que puede

reducirse a resolver solamente una ecuación de primer grado, además que ofrece resultados

más certeros.

Al hacer uso de listas los estudiantes deben verificar que la respuesta seleccionada cumple

con las condiciones establecidas por el problema, de lo contrario pueden proporcionar una

respuesta incoherente con lo establecido en el mismo, el uso de una lista para este problema

resulta apropiado porque la relación de edades tiene características específicas, aunque no

es el proceso más recomendado debido a que puede haber cantidades que cumplan con la

condición pero que no sean acordes con la respuesta.

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Pregunta 2. En la terminal de autobuses de Xicotlán de la Flores sale un autobús de la

Línea A cada 9 minutos a partir de las 6:00 AM, un autobús de la línea B cada 13 minutos

a partir de las 7:00 AM y un autobús de Línea C cada 11 minutos a partir de las 8:00 AM.

¿Cuántos autobuses de las líneas A, B y C salen de la terminal desde las 6:00 AM y hasta

las 5:00PM?

Diagrama 3. Muestra el proceso que se espera realice el estudiante para llegar a la solución.

El 30.37% de los estudiantes no realizaron algún proceso, de ellos 22.91% acertaron su

respuesta y 77.08% tuvieron una respuesta incorrecta.

Problema.

Número de autobuses que salen de la terminal desde las 6:00a.m. y hasta las 5:00p.pm.

Presentación de solución.

Horarios en que comienzan los recorridos de cada línea. El tiempo en que de cada línea sale un autobús.

Visión retrospectiva.

Identificación de la incógnita

Identificación de datos

Explícitos

Rectas numéricas Tablas.

Representación de la

información

Recursos

Operaciones aritméticas.

Conteo.

En función de las representaciones.

Estrategias

No considerar las horas de 60 minutos al realizar las operaciones.

No considerar los residuos en las operaciones.

Error en el conteo.

Dificultades

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De los estudiantes participantes, el 48.73% solamente dividieron el número de horas entre

los minutos en los cuales salía cada línea de autobuses, su respuesta fue incorrecta, debido a

que no consideran en algunos casos que las horas son de 60 minutos y que al realizar las

operaciones existe tiempo restante de cada hora. Es muy común que los estudiantes sólo

pretendan proporcionar una respuesta y tengan en cuenta los datos con los que se está

trabajando, en este caso se trata de tiempo, esto reduce su procedimiento en la resolución de

operaciones aritméticas y proporcionar un resultado sin realizar una visión retrospectiva de

su solución.

Figura 8. Operaciones aritméticas.

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De los participantes el 8.22% calcularon el número de autobuses que salían por hora y

después los multiplicaron por el número de autobuses de cada línea que proporcionó el

servicio, obtuvo una respuesta incorrecta al no considerar los residuos de tiempo de cada

hora. La estrategia pudo haber sido funcional si se hubiese considerado que se opera con

tiempo, es un error común entre los estudiantes.

Figura 9. Procedimientos aritméticos.

El 10.75% de los estudiantes realizaron una lista sistémica de los minutos en los cuales

salía cada línea, de ellos el 58.82% realizaron mal los cálculos y obtuvieron una respuesta

incorrecta y el 41.17% realizaron bien los cálculos y obtuvieron una respuesta correcta; la

lista es muy útil, sin embargo, requiere de tiempo para realizarla, de forma tal que al

hacerla con rapidez se puede cometer algún error en los cálculos. Esto muestra que el

estudiante necesita representar físicamente un suceso para poder concretar la solución de un

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problema. El uso de listas es útil y funcional para este tipo de problemas, aunque requieren

de tiempo para su elaboración (ver figura 10), por lo que no es recomendable si se cuenta

con poco tiempo para resolver una serie de problemas como lo fue en este caso, también se

corre el riesgo de cometer errores en el conteo o en las operaciones por la cantidad de

números con los que se trata.

Figura 10 (a). Uso de listas.

Figura 10 (b). Uso de listas.

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El 1.89% de los participantes dividieron el número de horas entre los minutos en los cuales

salía cada autobús de las líneas, sumaron los minutos restantes de cada hora, calcularon el

número de autobuses que salieron en ese tiempo y obtuvieron una respuesta correcta. Es

una estrategia útil y funcional puesto que los e