universidad católica de valencia san vicente mártir facultad de … · 2016. 3. 8. · calcular...

BIOESTADISTICA

Universidad Católica de Valencia San Vicente Mártir

Facultad de Medicina

Departamento de Epidemiología, Departamento de Epidemiología,

Análisis critico y Metodología de la investigaciónAnálisis critico y Metodología de la investigación

Departamento de Epidemiología, Medicina

BIOESTADÍSTICA APLICADAMedicina

Epidemiología, Medicina Preventiva, Análisis crítico y

Metodología de la investigación

BIOESTADISTICA

� Tema 3: Estadística Descriptiva




OBJETIVOS DEL TEMA:OBJETIVOS DEL TEMA:

1.1. Conocer como se produce la recopilación y tabul ación de los datos.Conocer como se produce la recopilación y tabulació n de los datos.

2.2. Representar gráficamente datos de variables cat egóricas: Diagramas de Barras y Representar gráficamente datos de variables categór icas: Diagramas de Barras y

Sectores.Sectores.

3.3. Conocer y Calcular los estadísticos descriptivo s de tendencia central, variabilidad, Conocer y Calcular los estadísticos descriptivos de tendencia central, variabilidad,

forma y posición. forma y posición.

4.4. Representar gráficamente datos de variables con tinuas: polígonos de frecuencias, Representar gráficamente datos de variables continu as: polígonos de frecuencias,

histogramas, gráfico de caja y bigotes, gráfico de tallo y hojas.histogramas, gráfico de caja y bigotes, gráfico de tallo y hojas.

5.5. Conocer la terminología médica especifica en la que se aplican proporciones, tasas y Conocer la terminología médica especifica en la que se aplican proporciones, tasas y

ratios. Calcular proporciones, tasas y ratios a par tir de datos proporcionados.ratios. Calcular proporciones, tasas y ratios a par tir de datos proporcionados.

BIOESTADISTICADepartamento de Epidemiología, Departamento de Epidemiología,



Guión:Guión:

1.1. Introducción a la estadística descriptivaIntroducción a la estadística descriptiva..

2.2. Organización de los datos: Tablas de Frecuencias.Organización de los datos: Tablas de Frecuencias.

3.3. Representación Grafica de Variables Categóricas.Representación Grafica de Variables Categóricas.

4.4. Estadísticos descriptivos de Variables Continuas.Estadísticos descriptivos de Variables Continuas.4.4. Estadísticos descriptivos de Variables Continuas.Estadísticos descriptivos de Variables Continuas.

5.5. Representación Grafica de Variables Continuas.Representación Grafica de Variables Continuas.

BIOESTADISTICA

¿Cuál es el campo de la estadística?¿Cuál es el campo de la estadística?

La estadística trata de la variabilidad de las situaciones de la vida La estadística trata de la variabilidad de las situaciones de la vida

cotidiana. Esta variabilidad implica incertidumbre.cotidiana. Esta variabilidad implica incertidumbre.

Tema 3: Estadística Descriptivastadística Descriptiva

cotidiana. Esta variabilidad implica incertidumbre.cotidiana. Esta variabilidad implica incertidumbre.

Se sabe que “fumar provoca cáncer”. Fumar no causa cáncer del mismo modo que al golpear una bola de billar con otra, ésta última se

mueva. Mucha gente fuma mucho durante mucho tiempo y no desarrolla cáncer. La formación de cáncer como consecuencia de

fumar no es una consecuencia invariable sino que ocurre sólo algunas fumar no es una consecuencia invariable sino que ocurre sólo algunas veces. Los datos recogidos para examinar la asociación entre fumar y tener cáncer debe ser analizada reconociendo un resultado incierto y

variable.

BIOESTADISTICA

El campo de la Estadística tiene que ver con la El campo de la Estadística tiene que ver con la


El campo de la Estadística tiene que ver con la El campo de la Estadística tiene que ver con la

recopilación, presentación, análisis y uso de recopilación, presentación, análisis y uso de datosdatos

para tomar decisiones y resolver problemas.para tomar decisiones y resolver problemas.

Todos recibimos información en forma de datos y a Todos recibimos información en forma de datos y a

menudo es necesario menudo es necesario extraer conclusiones extraer conclusiones a partir de a partir de menudo es necesario menudo es necesario extraer conclusiones extraer conclusiones a partir de a partir de

la información contenida en los mismos.la información contenida en los mismos.

BIOESTADISTICA

Las herramientas de la estadística tienen por objetivo el Las herramientas de la estadística tienen por objetivo el

ayudarnos a generar, recopilar y analizar los datos ayudarnos a generar, recopilar y analizar los datos


ayudarnos a generar, recopilar y analizar los datos ayudarnos a generar, recopilar y analizar los datos

referentes a un problema de interés, con el fin de referentes a un problema de interés, con el fin de

extraer la información útil extraer la información útil contenida en dichos datos.contenida en dichos datos.

El primer paso en el análisis estadístico de los datos El primer paso en el análisis estadístico de los datos El primer paso en el análisis estadístico de los datos El primer paso en el análisis estadístico de los datos

consiste en la consiste en la descripcióndescripción de los mismos, de los mismos,

organizando la información contenida de manera que organizando la información contenida de manera que

el usuario pueda aprehenderla con la mayor facilidad.el usuario pueda aprehenderla con la mayor facilidad.

BIOESTADISTICA

El El análisis descriptivo análisis descriptivo consiste en la tabulación de los consiste en la tabulación de los

datos, la generación de unos pocos estadísticos datos, la generación de unos pocos estadísticos


datos, la generación de unos pocos estadísticos datos, la generación de unos pocos estadísticos

capaces de capturar las principales características de capaces de capturar las principales características de

los datos y la elaboración de gráficos adecuados.los datos y la elaboración de gráficos adecuados.

La descripción de un conjunto de datos a través de un La descripción de un conjunto de datos a través de un

número reducido de estadísticos y representaciones número reducido de estadísticos y representaciones número reducido de estadísticos y representaciones número reducido de estadísticos y representaciones

gráficas adecuadas se conoce como gráficas adecuadas se conoce como Estadística Estadística

DescriptivaDescriptiva..

BIOESTADISTICA

•• TablasTablas

Estadística DescriptivaEstadística Descriptiva


•• TablasTablas•• GráficosGráficos•• EstadísticosEstadísticos

DatosDatos Información

Decisiones

Las herramientas de la estadística descriptiva(tablas, gráficos y estadísticos) nos ayudan aextraer la información “oculta” en los datos,asistiéndonos en la toma de decisiones.




Guión:Guión:

1.1. Introducción a la estadística descriptiva.Introducción a la estadística descriptiva.





BIOESTADISTICA

¿Cómo podemos representarlos de forma útil?¿Cómo podemos representarlos de forma útil?

¿Cómo descubrir estructuras en un montón de datos desnudos?¿Cómo descubrir estructuras en un montón de datos desnudos?

¿Cómo resumir de forma básica los datos?¿Cómo resumir de forma básica los datos?



BIOESTADISTICA

Lo primero que necesitamos son unos cuantos datos Lo primero que necesitamos son unos cuantos datos para analizar…... para analizar…...


Se ha recogido una muestra de Se ha recogido una muestra de 82 estudiantes midiendo su peso 82 estudiantes midiendo su peso

en librasen libras

Sexo Peso (Libras) Sexo Peso (Libras)Hombre 140 Hombre 140Hombre 145 Hombre 145Hombre 160 Hombre 160Hombre 190 Hombre 190Hombre 155 Hombre 155Hombre 165 Hombre 165Hombre 150 Hombre 150Hombre 190 Hombre 190Hombre 195 Hombre 195Hombre 138 Hombre 138Hombre 160 Hombre 160Hombre 155 Hombre 155Hombre 153 Hombre 153Hombre 145 Hombre 145Hombre 145 Hombre 145Hombre 170 Hombre 170Hombre 175 Hombre 175Hombre 175 Hombre 175Hombre 180 Hombre 180Hombre 135 Hombre 135Hombre 170 Hombre 170Hombre 157 Hombre 157Hombre 130 Hombre 130Hombre 185 Hombre 185Hombre 190 Hombre 190

BIOESTADISTICA

Esos datos se pueden resumir agrupando los individuos Esos datos se pueden resumir agrupando los individuos en cada pesoen cada peso


Peso (Libras) Cuenta de Peso (Libras)102 1108 2110 2112 1112 1115 1116 2118 1120 3121 1123 1125 6130 4131 1133 1135 3136 1138 2140 3142 1145 5145 5150 9153 1155 8157 1160 4164 1165 1170 2175 2180 3185 1190 4195 2215 1

Total general 82

Número de elementos de estudiantes que voy a estudiar = N

BIOESTADISTICA

Esos datos se pueden resumir aun mas convirtiendo el Esos datos se pueden resumir aun mas convirtiendo el peso en una variable categórica (Categorías de peso)peso en una variable categórica (Categorías de peso)


Categoria Estudiantes

<120 10

120-140 23

140-160 28

160-180 10

180-200 10

>200 1

Total general 82

BIOESTADISTICA

Esos datos se pueden resumir aun mas convirtiendo el Esos datos se pueden resumir aun mas convirtiendo el peso en una variable categórica (Categorías de peso)peso en una variable categórica (Categorías de peso)


Fre

cuen

cia

Abs

olut

a A

cum

ulad

a

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a

Cat

egor

ia

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a A

cum

ulad

a

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a

Cat

egor

ia

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a

Fre

cuen

cia

Abs

olut

a A

cum

ulad

a

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a

Fre

cuen

cia

Rel

ativ

a A

cum

ulad

a

<120 10 10 12,20% 12,20%120-140 23 33 28,05% 40,24%140-160 28 61 34,15% 74,39%160-180 10 71 12,20% 86,59%180-200 10 81 12,20% 98,78%

>200 1 82 1,22% 100,00%Total general 82 82 100,00% 100,00%

N

ni

F

f

BIOESTADISTICA

•• Una tabla de frecuencia o distribución de frecuencias Una tabla de frecuencia o distribución de frecuencias

Tablas de frecuencias: DefiniciónTablas de frecuencias: Definición


•• Una tabla de frecuencia o distribución de frecuencias Una tabla de frecuencia o distribución de frecuencias

simple, muestra los resultados de la tabulación de una simple, muestra los resultados de la tabulación de una

serie de observaciones (frecuencia) en cada nivel o valor serie de observaciones (frecuencia) en cada nivel o valor

de la variable.de la variable.

•• Su aspecto no difiere para variables numéricas Su aspecto no difiere para variables numéricas

(discretas o continuas medidas en cualquier escala (discretas o continuas medidas en cualquier escala (discretas o continuas medidas en cualquier escala (discretas o continuas medidas en cualquier escala

(intervalo o razón), las categóricas o cualitativas (en (intervalo o razón), las categóricas o cualitativas (en

escala nominal) o las ordinales.escala nominal) o las ordinales.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuenciasTablas de frecuencias

Supongamos que conocemos el valor que toma una variable X Supongamos que conocemos el valor que toma una variable X

para cada uno de los n individuos de una población. Si los I para cada uno de los n individuos de una población. Si los I


para cada uno de los n individuos de una población. Si los I para cada uno de los n individuos de una población. Si los I

posibles valores de la variable (modalidades) son {x1, x2, …, posibles valores de la variable (modalidades) son {x1, x2, …,

xI}, definimos, para cada modalidad xi,xI}, definimos, para cada modalidad xi,

Frecuencia absoluta ni: Frecuencia absoluta ni: Nº de individuos con dicha modalidad.Nº de individuos con dicha modalidad.

FrecuenciaFrecuencia absoluta acumulada Ni:absoluta acumulada Ni: nº de individuos con nº de individuos con

modalidad menor o igual a xi y se calcula acumulando las modalidad menor o igual a xi y se calcula acumulando las

frecuencias absolutas hasta la ifrecuencias absolutas hasta la i--ésima, es decir…ésima, es decir…

Ni = n1 + n2 + … + ni.Ni = n1 + n2 + … + ni.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuenciasTablas de frecuencias

Frecuencia relativa fi:Frecuencia relativa fi: es el cociente entre ni y n y se es el cociente entre ni y n y se


Frecuencia relativa fi:Frecuencia relativa fi: es el cociente entre ni y n y se es el cociente entre ni y n y se

corresponde con la proporción de individuos que presentan la corresponde con la proporción de individuos que presentan la

modalidad xi.modalidad xi.

Frecuencia relativa acumulada Fi:Frecuencia relativa acumulada Fi: es el cociente entre Ni y n y es el cociente entre Ni y n y

se corresponde con la proporción de los individuos que se corresponde con la proporción de los individuos que

presentan una modalidad menor o igual a xi.presentan una modalidad menor o igual a xi.presentan una modalidad menor o igual a xi.presentan una modalidad menor o igual a xi.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuencias. FórmulasTablas de frecuencias. Fórmulas

Hayni individuos, de un total den, que verifican la modalidadxi


n

nf ii = ∑

=

=+++=i

jjii nnnnN

121 L

Frecuencia relativa Frecuencia absoluta acumulada

Frecuencia relativa acumulada

∑=

=+++=+++==i

jji

iii ffff

n

nnn

n

NF

121

21L

L

Frecuencia relativa acumulada

BIOESTADISTICA

Notación para datos organizados (más frecuente)Notación para datos organizados (más frecuente)

xi ni Ni f i F i


xi ni Ni f i F i

34 2 2

35 6 8

36 7 15

37 7 22

38 12 34

… … …

n = Σni ,

f i= ni/n

la suma de todas las frecuencias observadas da la muestra de observación

El nº de observaciones en un valor de la variable dividida por total de observaciones da la proporción de observaciones en ese valor de la variable

Representa la variable.

BIOESTADISTICA

En una encuesta realizada sobre una población de 1509 familias seha tabulado, entre otras variables, el número de hijos, obteniéndose:

Tablas de frecuencias, datos sin agruparTablas de frecuencias, datos sin agrupar


ha tabulado, entre otras variables, el número de hijos, obteniéndose:

x i n i

0 4191 2552 3753 2154 1275 54

N i

419674

1049126413911445

f i

0,2780,1690,2490,1420,0840,036

F i

0,2780,4470,6950,8380,9220,958

Hay 1264 familias con 3 o menos hijos.

El 24,9% de las familias tiene 2 hijos.

5 546 247 23>7 17

1509

1445146914921509

0,0360,0160,0150,011

0,9580,9730,9891,000

El 92,2% de las familias tiene 4 o menos hijos.

Para variables cuantitativas continuas, o discretas con un número elevado demodalidades, se agrupan estas en intervalos o clases, empleando la marca declase (centro del intervalo) como valor representativo para todo el intervalo.

BIOESTADISTICA

Procedimiento para agrupar datos (I)Procedimiento para agrupar datos (I)

1. ¿Cuántos intervalos debe haber?Está relacionado con el número de observaciones. Generalmente se


Está relacionado con el número de observaciones. Generalmente se usan de 5 a 15, con un número menor para muestras pequeñas.

k = √n | k = log2n + 1,

donde n es el número de observaciones.

2. ¿Cuál es el rango de valores?

R = x -xR = xmáx-xmín

3. ¿Cuál es la amplitud de los intervalos?

i = R / k

Los que queramos CON SENTIDO.

BIOESTADISTICA

Procedimiento para agrupar datos (II)Procedimiento para agrupar datos (II)

4. Cogemos el valor mínimo en la variable y redondeamos por abajo a un valor múltiplo de 10 ó


redondeamos por abajo a un valor múltiplo de 10 ó de 5, o similar.

5. Creamos los intervalos utilizando las siguientes notaciones

[ valor incluido, valor excluido[ ó [valor incluido, valor incluido]

[50-54], [55-59],… ó [50-55[,[55-60[[50-54], [55-59],… ó [50-55[,[55-60[

6. Contabilizamos el número de datos observados en cada intervalo de nuestra muestra de datos.

Representa que está en el intervalo siguiente.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuencias. Ejemplo ITablas de frecuencias. Ejemplo I

Variable cualitativa

Se observa el grupo sanguíneopara 20 pacientesafectadospor cierta


Se observa el grupo sanguíneopara 20 pacientesafectadospor ciertaenfermedad, obteniéndose:

{A, A, AB, AB, O, A, B, A, A, O, A, A, AB, A, O, A, A, O, B, A}

x i n i f i

A 11 0,55O 4 0,20

• A falta de un orden numérico, para lasvariables cualitativas, es usual ordenar lasmodalidadesporsufrecuenciaabsoluta.O 4 0,20

AB 3 0,15B 2 0,10

20

modalidadesporsufrecuenciaabsoluta.

• El 55% de los pacientes tienen gruposanguíneo A, el 20% O, el 15% AB y el 10%restante B.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuencias. Ejemplo IITablas de frecuencias. Ejemplo II

Variable cuasicuantitativa

En unaencuestarealizadaenun hospitalacercade la satisfacciónpor el trato


En unaencuestarealizadaenun hospitalacercade la satisfacciónpor el tratorecibido durante el periodo de atención a 200 pacientes se ofrecen lassiguientes respuestas {Muy Baja, Baja, Normal, Alta, Muy Alta},obteniéndose los siguientes resultados:

x i n i

MB 8B 40

N i f i F i

8 0,04 0,0448 0,20 0,24

48 pacientes manifiestan una satisfacciónBaja o Muy Baja.

El 26% de los pacientesmanifiestanunaB 40N 52A 60

MA 40200

48 0,20 0,24100 0,26 0,50160 0,30 0,80200 0,20 1,00

El 26% de los pacientesmanifiestanunasatisfacción Normal.

El 50% de los pacientes manifiestan unasatisfacción Normal, Baja o Muy Baja.

BIOESTADISTICA

Tablas de frecuencias. Ejemplo IIITablas de frecuencias. Ejemplo IIIVariable cuantitativa

En una encuestarealizadasobre una población de 1509 familias se ha


En una encuestarealizadasobre una población de 1509 familias se hatabulado, entre otras variables, el número de hijos, obteniéndose:x i n i

0 4191 2552 3753 2154 1275 54

N i

419674

1049126413911445

f i

0,2780,1690,2490,1420,0840,036

F i

0,2780,4470,6950,8380,9220,958

Hay 1264 familias con 3 o menos hijos.

El 24,9% de las familias tiene 2 hijos.

5 546 247 23>7 17

1509

1445146914921509

0,0360,0160,0150,011

0,9580,9730,9891,000 El 92,2% de las familias tiene 4 o menos hijos.

Para variables cuantitativas continuas, o discretas con unnúmero elevado demodalidades, se agrupan estas en intervalos o clases, empleando la marca de clase(centro del intervalo) como valor representativo para todoel intervalo.




Guión:Guión:






BIOESTADISTICA

Análisis de una variable categórica:Análisis de una variable categórica:


Los resultados de una variable categórica (p.ej.: tabaquismo) se pueden expresar en una tabla de frecuencias.

ni fi %

1: Nunca ha fumado 144 0,48 48

2: Exfumador/a 66 0,22 22

3: Fumador/a ocasional 9 0,03 3

4: Fumador/a diario 81 0,27 27

n=300 1

BIOESTADISTICA

Análisis de una variable categóricaAnálisis de una variable categórica

ni fi %i




2: Exfumador/a 66 0,22 22

3: Fumador/a ocasional 9 0,03 3

4: Fumador/a diario 81 0,27 27

n=300 1 100

Σni= n

f = n / n

Tamaño total de la muestra

Proporción respecto al total de la muestra en unafi= ni / n

Σfi= 1

Proporción respecto al total de la muestra en unacategoría i

%i= fi * 100Porcentaje respecto al total de la muestra en unacategoría i

BIOESTADISTICABIOESTADISTICA

Representación gráfica de los datosRepresentación gráfica de los datos

Un segundo paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla Un segundo paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla

de frecuencias, lo constituye la presentación gráfica de los mismos, de frecuencias, lo constituye la presentación gráfica de los mismos,


de frecuencias, lo constituye la presentación gráfica de los mismos, de frecuencias, lo constituye la presentación gráfica de los mismos,

eligiendo un gráfico adecuado a la naturaleza de los datos.eligiendo un gráfico adecuado a la naturaleza de los datos.

Variables cualitativasVariables cualitativas Los gráficos más usuales para representar variables Los gráficos más usuales para representar variables

de tipo nominal son el de tipo nominal son el diagrama de barrasdiagrama de barras y el y el diagrama de sectoresdiagrama de sectores..

Variables cuantitativasVariables cuantitativas Para las variables cuantitativas tiene sentido Para las variables cuantitativas tiene sentido

calcular frecuencias acumuladas, por lo que distinguiremos entre Gráficos calcular frecuencias acumuladas, por lo que distinguiremos entre Gráficos

Diferenciales, para frecuencias no acumuladas (absolutas o relativas) y Diferenciales, para frecuencias no acumuladas (absolutas o relativas) y

Gráficos Integrales, para frecuencias acumuladas (absolutas o relativas).Gráficos Integrales, para frecuencias acumuladas (absolutas o relativas).

BIOESTADISTICABIOESTADISTICA

Representación gráfica de los datosRepresentación gráfica de los datos

Para Para variables discretasvariables discretas empleamos el empleamos el diagrama de barrasdiagrama de barras, como gráfico , como gráfico


Para Para variables discretasvariables discretas empleamos el empleamos el diagrama de barrasdiagrama de barras, como gráfico , como gráfico

diferencial, y una representación “en escalera”, como diagrama integral.diferencial, y una representación “en escalera”, como diagrama integral.

Para Para variables continuasvariables continuas empleamos el empleamos el histogramahistograma y el polígono de y el polígono de

frecuencias, como gráficos diferenciales, y el polígono de frecuencias frecuencias, como gráficos diferenciales, y el polígono de frecuencias

acumuladas como gráfico integral.acumuladas como gráfico integral.

BIOESTADISTICA

Representación de variables categóricasRepresentación de variables categóricas

La representación de variables categóricas (nominales y La representación de variables categóricas (nominales y


La representación de variables categóricas (nominales y La representación de variables categóricas (nominales y

ordinales) se basa en dos tipos de gráficos:ordinales) se basa en dos tipos de gráficos:

Diagrama de barras Diagrama de sectores

BIOESTADISTICA

El diagrama de barrasEl diagrama de barras

Uso y contexto


•• Sirve para mostrar diversas Sirve para mostrar diversas

proporciones, frecuencias, porcentajes proporciones, frecuencias, porcentajes

y compararlos.y compararlos.

•• Situaciones:Situaciones:

–– Diversas variables dicotómicasDiversas variables dicotómicas

Uso y contexto

ProcedimientoProcedimiento•• Eje horizontal: se representan las diversas variables o categorías (alfabéticamente, por Eje horizontal: se representan las diversas variables o categorías (alfabéticamente, por

tamaño,…)tamaño,…)

•• Eje vertical: se presentan las frecuencias (mín hasta máximo aprox.) o porcentajes (0Eje vertical: se presentan las frecuencias (mín hasta máximo aprox.) o porcentajes (0--100)100)

•• Se dibujan las barras verticales encima de cada grupo de modo que la altura de la barra Se dibujan las barras verticales encima de cada grupo de modo que la altura de la barra

represente (corresponder con un valor del eje vertical) la frecuencia o porcentaje de ese grupo. represente (corresponder con un valor del eje vertical) la frecuencia o porcentaje de ese grupo.

Las barras deben ser igual de anchas y separadas entre sí.Las barras deben ser igual de anchas y separadas entre sí.

BIOESTADISTICA

El diagrama de sectoresEl diagrama de sectores

Uso y contexto


•• Sirve para mostrar diversas Sirve para mostrar diversas

frecuencias, proporciones o frecuencias, proporciones o

porcentajes y compararlos.porcentajes y compararlos.

•• Representa la descomposición de un Representa la descomposición de un

totaltotal

•• Situaciones:Situaciones:

–– Una variable politómicaUna variable politómica–– Una variable politómicaUna variable politómica

Procedimiento•• Para obtener el ángulo que cubre cada categoría de la variable se aplica una fórmula, que resulta Para obtener el ángulo que cubre cada categoría de la variable se aplica una fórmula, que resulta

en diferentes ángulos proporcionales a la frecuencia correspondiente:en diferentes ángulos proporcionales a la frecuencia correspondiente:

n

nii

×= 360α

BIOESTADISTICA

x i n i f i11

10

12

Diagrama de barras para variables cualitativasDiagrama de barras para variables cualitativas

LaLa alturaaltura dede lala barrabarra parapara cadacada


x i n i f i

A 11 0,55O 4 0,20

AB 3 0,15B 2 0,10

20

43

2

0

2

4

6

8

10

A O AB B

LaLa alturaaltura dede lala barrabarra parapara cadacada

modalidadmodalidad haha dede serser

proporcionalproporcional aa lala frecuenciafrecuencia dede

lala mismamisma..

Diagrama de sectores para variables cualitativasDiagrama de sectores para variables cualitativasB

SeSe dividedivide elel círculocírculo enen sectoressectores dede modomodo queque aa cadacada

A55%

O20%

AB15%

B10%

A

O

AB

B

modalidadmodalidad lele correspondecorresponde unun ánguloángulo proporcionalproporcional aa susu

frecuenciafrecuencia..

n

nii

×= 360α

xi ni αi

A 11 198 º

O 4 72 º

AB 3 54 º

B 2 36 º

20




Guión:Guión:






BIOESTADISTICA

¿Cómo podemos representarlos de forma útil?¿Cómo podemos representarlos de forma útil?

¿Cómo descubrir estructuras en un montón de datos desnudos?¿Cómo descubrir estructuras en un montón de datos desnudos?




BIOESTADISTICA

Representación de variables cuantitativas continuasRepresentación de variables cuantitativas continuas

Desviación Típica = 0,3028





BIOESTADISTICA

Cálculo de Parámetros EstadísticosCálculo de Parámetros Estadísticos

El tercer paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla de El tercer paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla de


El tercer paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla de El tercer paso en el análisis estadístico de los datos, posterior a la tabla de

frecuencias y a la elaboración de gráficos, lo constituye el cálculo, a partir frecuencias y a la elaboración de gráficos, lo constituye el cálculo, a partir

de los datos, de magnitudes capaces de capturar aspectos específicos de de los datos, de magnitudes capaces de capturar aspectos específicos de

la estructura de los mismos. Estos son los Parámetros Estadísticos.la estructura de los mismos. Estos son los Parámetros Estadísticos.

Los parámetros estadísticos tienen la virtud de condensar la información Los parámetros estadísticos tienen la virtud de condensar la información

existente en los datos mediante unos pocos números que faciliten la existente en los datos mediante unos pocos números que faciliten la existente en los datos mediante unos pocos números que faciliten la existente en los datos mediante unos pocos números que faciliten la

comprensión de la estructura interna de los datos, su interpretación y su comprensión de la estructura interna de los datos, su interpretación y su

comunicación a un tercero.comunicación a un tercero.

BIOESTADISTICA

Principales características de los datosPrincipales características de los datos

Tendencia central:Tendencia central: valores centrales representativos o en torno a valores centrales representativos o en torno a


Tendencia central:Tendencia central: valores centrales representativos o en torno a valores centrales representativos o en torno a

los cuales se distribuyen los datos.los cuales se distribuyen los datos.

Posición:Posición: valores tales que un determinado porcentaje de valores valores tales que un determinado porcentaje de valores

queda por debajo de ellos.queda por debajo de ellos.

Dispersión: Dispersión: medida de lo alejados que están los datos de un valor medida de lo alejados que están los datos de un valor

en torno al cual se distribuyen.en torno al cual se distribuyen.

Cuartiles, deciles, percentiles.

Media, moda y mediana.

Rango, desviación típica, variable.

BIOESTADISTICA

Principales características de los datosPrincipales características de los datos

Simetría:Simetría: medida de hasta que punto la distribución de los datos a un medida de hasta que punto la distribución de los datos a un


Simetría:Simetría: medida de hasta que punto la distribución de los datos a un medida de hasta que punto la distribución de los datos a un

lado de un valor central es imagen especular de la del otro lado.lado de un valor central es imagen especular de la del otro lado.

Apuntamiento:Apuntamiento: medida de hasta que punto algunos valores son más medida de hasta que punto algunos valores son más

frecuentes que el resto.frecuentes que el resto.

Concentración: Concentración: cuando la magnitud que se mide se considera como el cuando la magnitud que se mide se considera como el

resultado de un reparto las medidas de concentración miden el grado resultado de un reparto las medidas de concentración miden el grado

de equidad en el mismo.de equidad en el mismo.

BIOESTADISTICA

Medidas de tendencia central: Media (Aritmética)Medidas de tendencia central: Media (Aritmética)

LaLa mediamedia eses elel parámetroparámetro dede localizaciónlocalización centralcentral mámá usadousado concon elel objetivoobjetivo dede

resumirresumir unun conjuntoconjunto dede datosdatos aa partirpartir dede unun únicoúnico valorvalor queque enen ciertocierto modomodo seasea


representativorepresentativo deldel conjuntoconjunto dede loslos valoresvalores dede loslos datosdatos..

LaLa mediamedia sese calculacalcula simplementesimplemente dividiendodividiendo elel resultadoresultado dede sumarsumar todostodos loslos

datosdatos porpor elel númeronúmero dede datosdatos yy susu interpretacióninterpretación eses lala dede unun valorvalor centralcentral..

LaLa mediamedia sese puedepuede considerarconsiderar comocomo unauna especieespecie dede centrocentro dede gravedadgravedad deldel

conjuntoconjunto dede loslos datos,datos, lolo cualcual sese puedepuede visualizarvisualizar suponiendosuponiendo queque sese disponendisponen

loslos datosdatos enen unauna barrabarra metálicametálica recta,recta, horizontalhorizontal yy concon pesopeso despreciable,despreciable,

asignandoasignando aa cadacada datodato unun mismomismo pesopeso yy tratandotratando dede imaginarimaginar enen queque puntopunto porporasignandoasignando aa cadacada datodato unun mismomismo pesopeso yy tratandotratando dede imaginarimaginar enen queque puntopunto porpor

debajodebajo dede lala barrabarra habríahabría queque situarsituar unun apoyoapoyo parapara queque lala barrabarra sese mantengamantenga enen

equilibrioequilibrio..

SiSi elel triángulotriángulo sese desplazadesplaza haciahacia lala izquierdaizquierda oo haciahacia lala derechaderecha elel equilibrioequilibrio seseromperompe..

Deja el mismo número de valor ( la suma ) derecha que a la izquierda . - Tendencia central.

BIOESTADISTICA

Cálculo de la mediaCálculo de la media


Intervalo Xi (MC) ni Xini

Variable continuaDatos agrupados en intervalos

Variable discretaDatos con valores repetidos

I

II

nn

nXnXX

++++=

L

L

1

11

n

nXX

I

iii∑

== 1

Xi ni Xini

[0, 3[[3, 5[[5, 7[

[7, 8,5[[8,5, 10[

1,504,006,007,759,25

10152010560

15,0060,00120,0077,5046,25318,755,3125

i i

0 21 52 103 124 65 1

36

i i

052036245902,5

SIEMPRE ES MÁS REAL.

Usábamos la marca de clase: punto central del intervalo.

BIOESTADISTICA

Media geomMedia geoméétricatrica

LaLa usamosusamos cuandocuando tenemostenemos observacionesobservaciones dede unauna poblaciónpoblación muymuy

variables,variables, oo concon distribucionesdistribuciones asimétricasasimétricas positivaspositivas..


variables,variables, oo concon distribucionesdistribuciones asimétricasasimétricas positivaspositivas..

TenemosTenemos queque transformartransformar cadacada valorvalor dede lala variablevariable aa unun logaritmologaritmo dede

basebase 1010 óó ee..

SeSe obtieneobtiene unauna mediamedia alal usouso concon esaesa escalaescala transformadatransformada yy sese obtieneobtiene elel

antilogaritmo,antilogaritmo, eseese resultadoresultado eses lala mediamedia geométricageométrica..antilogaritmo,antilogaritmo, eseese resultadoresultado eses lala mediamedia geométricageométrica..

)loglog( 10 xantixg =n

xx

n

ii∑

== 110

10

loglog

BIOESTADISTICA

Media ponderadaMedia ponderada

LaLa usamosusamos cuandocuando tenemostenemos observacionesobservaciones dentrodentro dede unauna variablevariable queque sonson

másmás importantesimportantes queque otrasotras..


másmás importantesimportantes queque otrasotras..

SeSe asociaasocia unun pesopeso wiwi aa cadacada valorvalor dede lala variable,variable, xi,xi, parapara reflejarreflejar lala

importanciaimportancia queque sese dada aa esosesos valoresvalores..

∑n

xwSupongamosSupongamos queque estamosestamos interesadosinteresados enen determinardeterminar

lala estanciaestancia dede pacientespacientes enen loslos hospitaleshospitales dede unun

∑

∑

=

== n

ii

i ii

w

w

xwx

1

1lala estanciaestancia dede pacientespacientes enen loslos hospitaleshospitales dede unun

distrito,distrito, yy conocemosconocemos lala mediamedia dede cadacada hospitalhospital.. ParaPara

calcularcalcular enen elel totaltotal deldel distritodistrito podemospodemos hacerhacer usouso dede

estaesta media,media, cogiendocogiendo comocomo pesopeso elel totaltotal dede pacientespacientes

dede cadacada hospitalhospital..

BIOESTADISTICA

Medidas de tendencia central:Medidas de tendencia central: La ModaLa Moda


Llamaremos Llamaremos modamoda a cualquier máximo relativo de la distribución de a cualquier máximo relativo de la distribución de

frecuencias, es decir, cualquier valor que posea una frecuencia frecuencias, es decir, cualquier valor que posea una frecuencia

mayor que su anterior y su posterior.mayor que su anterior y su posterior.

Es por tanto el valor Es por tanto el valor que mas se repiteque mas se repite dentro de la distribucióndentro de la distribución

El valor que más veces se repite en una distribución. Se calcula mediante la visualización. Si no lo veo, es la marca de clase que tiene mayor altura en el histograma (diagrama). También con una fórmula.

BIOESTADISTICA

Medidas de tendencia central:Medidas de tendencia central: La ModaLa Moda

ParaPara variablesvariables continuas,continuas, agrupadasagrupadas enen intervalos,intervalos, puedepuede asumirseasumirse lala modamoda comocomolala marcamarca dede claseclase deldel intervalointervalo concon mayormayor alturaaltura enen elel histogramahistograma (intervalo(intervalo modal)modal)o,o, alternativamente,alternativamente, calcularsecalcularse aa partirpartir dede lala expresiónexpresión::


Intervalo M.C. n i c i h i

o,o, alternativamente,alternativamente, calcularsecalcularse aa partirpartir dede lala expresiónexpresión::

ElEl subíndicesubíndice ii correspondecorresponde alal intervalointervalo concon mayormayor alturaaltura enen elel histogramahistograma..

( ) ( )11

1

+−

−

−+−−+=

iiii

iiii hhhh

hhcLModa

Intervalo M.C. n i c i h i

[0; 3[ 1,50 10 3,0 3,333[3; 5[ 4,00 15 2,0 7,5[5; 7[ 6,00 20 2,0 10

[7; 8,5[ 7,75 10 1,5 6,667[8,5; 10] 9,25 5 1,5 3,333

60

( ) ( )86,5

667,6105,710

5,71025

=−+−

−+=Moda

DeDe haberhaber tomadotomado lala marcamarca dede claseclase deldel intervalointervalo

modalmodal elel resultadoresultado habríahabría sidosido ModaModa == 66..

TODO TIPO DE VARIABLES.

BIOESTADISTICA

Medidas de tendencia central:Medidas de tendencia central: La medianaLa mediana

LaLa medianamediana eses elel puntopunto enen queque lala Dada una muestrade n


LaLa medianamediana eses elel puntopunto enen queque lala

muestra,muestra, ordenada,ordenada, sese dividedivide enen dosdos

partespartes dede igualigual tamañotamaño..

ElEl 5050%% dede loslos datosdatos estáestá porpor encimaencima

dede lala medianamediana yy elel otrootro 5050%% estáestá porpor

debajodebajo..

SiSi hayhay unun númeronúmero parpar dede datosdatos lala

medianamediana eses lala mediamedia aritméticaaritmética dede

No

Dada una muestrade nelementos, la ordenamosde menor a mayor.

¿ n par ?medianamediana eses lala mediamedia aritméticaaritmética dede

loslos dosdos datosdatos centralescentrales..

SiSi hayhay unun númeronúmero imparimpar dede datosdatos lala

medianamediana eses elel datodato centralcentral..

Si

Deja por debajo de el la mitad de la muestra. centro de la balanza que deja en equilibrio el número de individuos a cada lado.

BIOESTADISTICA

Calculo de la medianaCalculo de la mediana

Ejemplo 1 (n par)

( ) ( )166

++

datodato


{5,8,9,15,25,40}

n = 6 datos ordenados.

( ) ( )

122

1592

º4º3

2

126

26

~

=+=

+=

++

= datodatodatodato

X

Ejemplo 2 (n impar)

{5,8,9,15,25}

n = 5 datos ordenados. ( ) 9º32

15~ ==

+= datodatoX

Tenemos en cuanta el orden, pero es un valor, un peso.

BIOESTADISTICA

Calculo de la mediana con datos discretos repetidosCalculo de la mediana con datos discretos repetidos

Xi ni

0 2Ni

2 Los dos primeros datos son 0.


1 52 103 124 65 1

36

717293536

En total hay 36 datos, con lo que la mediana es la media de los datos 18º y 19º.

Desde el dato 3º hasta el 7º son 1.




El dato 36º es 5.

Tanto el dato 18º como el dato 19º son 3, con lo que la mediana vale 3.

BIOESTADISTICA

Comparación de la media y la mediana (I)Comparación de la media y la mediana (I)

La media emplea todos los datos y es por tanto preferible si los datos son La media emplea todos los datos y es por tanto preferible si los datos son

homogéneos.homogéneos.


homogéneos.homogéneos.

La media es muy sensible a observaciones extremas, de manera que un error o un La media es muy sensible a observaciones extremas, de manera que un error o un

valor anormal puede modificarla totalmente.valor anormal puede modificarla totalmente.

La mediana utiliza menos información que la media, ya que sólo tiene en cuenta el La mediana utiliza menos información que la media, ya que sólo tiene en cuenta el

orden de los datos.orden de los datos.

En general la mediana no se ve afectada por una observación (o una pequeña En general la mediana no se ve afectada por una observación (o una pequeña

parte de las observaciones) contiene grandes errores de medida o de trascripción parte de las observaciones) contiene grandes errores de medida o de trascripción

(es más robusta que la media).(es más robusta que la media).

Es la mejor de todas, sobre todo si los datos son homogéneos. Sensible a observaciones externas.

NO se ve afectada por observaciones externas.

BIOESTADISTICA

Comparación de la media y la mediana (II)Comparación de la media y la mediana (II)

En general es recomendable calcular tanto la media como la mediana, ya que En general es recomendable calcular tanto la media como la mediana, ya que

ofrecen información complementaria.ofrecen información complementaria.


ofrecen información complementaria.ofrecen información complementaria.

La media y la mediana diferirán mucho cuando la distribución sea muy asimétrica La media y la mediana diferirán mucho cuando la distribución sea muy asimétrica

y coincidirán si los datos son simétricos.y coincidirán si los datos son simétricos.

Media < Mediana sugiere asimetría negativa (cola a la izquierda).Media < Mediana sugiere asimetría negativa (cola a la izquierda).

Media > Mediana sugiere asimetría positiva (cola a la derecha).Media > Mediana sugiere asimetría positiva (cola a la derecha).

BIOESTADISTICA

Uso de medidas de tendencia centralUso de medidas de tendencia central

•• NoNo sese puedenpueden realizarrealizar operacionesoperaciones concon variablesvariables nominales,nominales, lala mediamedia


•• NoNo sese puedenpueden realizarrealizar operacionesoperaciones concon variablesvariables nominales,nominales, lala mediamedia

sólosólo sese puedepuede calcularcalcular parapara variablesvariables numéricasnuméricas (escala(escala intervalointervalo oo

razón)razón)..

•• LaLa medianamediana nono requiererequiere sumasuma dede observaciones,observaciones, puedepuede serser utilizadautilizada

concon datosdatos numéricosnuméricos yy ordinales,ordinales, peropero nono concon datosdatos nominalesnominales..

•• LaLa modamoda puedepuede serser utilizadautilizada concon cualquiercualquier variablevariable..

•• LaLa mediamedia eses afectadaafectada porpor valoresvalores extremos,extremos, lala medianamediana nono..

•• ConCon datosdatos distribuidosdistribuidos dede formaforma simétrica,simétrica, lala mediamedia yy lala medianamediana•• ConCon datosdatos distribuidosdistribuidos dede formaforma simétrica,simétrica, lala mediamedia yy lala medianamediana

coincidencoinciden prácticamenteprácticamente..

No las puedo ordenar.

BIOESTADISTICA

Medidas de posición: los PercentilesMedidas de posición: los Percentiles

•• La mediana divide los datos en La mediana divide los datos en dos partes igualesdos partes iguales (con el mismo (con el mismo

número de datos).número de datos).


número de datos).número de datos).

•• También se puede dividir los datos en También se puede dividir los datos en másmás de dos partes.de dos partes.

•• Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partescuatro partes

iguales los 3 puntos de división se conocen como cuartiles (Q1, Q2 y iguales los 3 puntos de división se conocen como cuartiles (Q1, Q2 y

Q3).Q3).

•• El El primer cuartilprimer cuartil, o cuartil inferior, Q1, es un valor que tiene , o cuartil inferior, Q1, es un valor que tiene •• El El primer cuartilprimer cuartil, o cuartil inferior, Q1, es un valor que tiene , o cuartil inferior, Q1, es un valor que tiene

aproximadamente la cuarta parte de los datos (el 25%) por debajo de aproximadamente la cuarta parte de los datos (el 25%) por debajo de

él, y el 75% restante por encima.él, y el 75% restante por encima.

•• El El segundo cuartilsegundo cuartil, Q2, tiene por debajo aproximadamente la mitad , Q2, tiene por debajo aproximadamente la mitad

de los datos (coincide con la mediana).de los datos (coincide con la mediana).

Estadístico de posición y de medida central.

Es igual a la mediana.

BIOESTADISTICA

•• El El tercer cuartiltercer cuartil, o cuartil superior, Q3, es un valor que tiene , o cuartil superior, Q3, es un valor que tiene

aproximadamente el 75% de los datos por debajo de él, y el 25% aproximadamente el 75% de los datos por debajo de él, y el 25%

Medidas de posición: los Percentiles (continuación)Medidas de posición: los Percentiles (continuación)


aproximadamente el 75% de los datos por debajo de él, y el 25% aproximadamente el 75% de los datos por debajo de él, y el 25%

restante por encima.restante por encima.

•• Si en lugar de dividir el conjunto de datos en 2 ó en 4 partes del Si en lugar de dividir el conjunto de datos en 2 ó en 4 partes del

mismo tamaño se divide en mismo tamaño se divide en 100 partes100 partes los puntos de división se los puntos de división se

denominan denominan percentilespercentiles..

•• El percentil El percentil kk--ésimoésimo se denota Pk.se denota Pk.

•• Es evidente que tanto la mediana como los cuartiles son casos Es evidente que tanto la mediana como los cuartiles son casos

particulares de los percentiles, con lo que sólo necesitamos saber particulares de los percentiles, con lo que sólo necesitamos saber

como se calculan los percentiles.como se calculan los percentiles.

La más utilizada. 100 partes iguales.

BIOESTADISTICA

Cálculo del percentil kCálculo del percentil k--ésimo para variables discretasésimo para variables discretas

1.1. CalcularCalcular lala posiciónposición:: PosPos == kk××nn // 100100..

2.2. SiSi PosPos eses unun númeronúmero enteroentero PkPk eses elel promediopromedio dede loslos datosdatos queque ocupanocupan laslas


2.2. SiSi PosPos eses unun númeronúmero enteroentero PkPk eses elel promediopromedio dede loslos datosdatos queque ocupanocupan laslasposicionesposiciones PosPos yy Pos+Pos+11..

3.3. SiSi PosPos eses decimal,decimal, PkPk eses elel datodato queque ocupaocupa lala posiciónposición [Pos+[Pos+11],], concon [[ aa ]]indicandoindicando lala parteparte enteraentera dede aa..

Ejemplo Calcula los percentiles 5, 90 y 26 para los siguientes datos:

Xi ni Ni

0 2 2 Pos=5×40/100=2( ) ( )

5,010º3º2

5 =+=+= datodatoP0 2 2

1 6 82 10 183 13 314 6 375 3 40

40

Pos=5×40/100=2 5,0225 ===P

Pos=90×40/100=36( ) ( )

42

44

2

º37º3690 =+=+= datodato

P

Pos=26×40/100=10,4 ( ) 2º1126 == datoP

Que el 5% vale menos de 0,5 y el 95% vale más.

BIOESTADISTICA

Cálculo del percentil kCálculo del percentil k--ésimo para variables continuasésimo para variables continuas

Intervalo n i N i

[0; 3[ 10 10[3; 5[ 15 25

ParaPara calcularcalcular elel percentilpercentil kk--ésimo,ésimo, Pk,Pk,

seleccionamosseleccionamos elel intervalointervalo ii--ésimoésimo dede maneramanera


[3; 5[ 15 25[5; 7[ 20 45

[7; 8,5[ 10 55[8,5; 10] 5 60

60

seleccionamosseleccionamos elel intervalointervalo ii--ésimoésimo dede maneramanera

queque eses elel primerprimer intervalointervalo parapara elel queque NiNi eses

mayormayor oo igualigual aa kk ×× nn // 100100..

Nº total de individuos.

Nº de datos acumulados antes del intervalo seleccionado.

Extremo inferior del intervalo seleccionado.

Ancho del intervalo seleccionado.Nº de datos en el intervalo seleccionado.

BIOESTADISTICA

Ejemplo de cálculo de percentiles con variables continuasEjemplo de cálculo de percentiles con variables continuasCalculaCalcula lala medianamediana,, elel primerprimer cuartilcuartil yy elel percentilpercentil

88 parapara loslos datosdatos deldel pesopeso dede 5757 niñosniños..i

i

iik n

Nk

ncLP

1100 −−+=


Intervalo ni Ni

[10, 20[ 5 5[20, 30[ 19 24[30, 40[ 10 34[40, 50[ 13 47

in

Mediana: Pos =57×50/100 = 28,5. Intervalo: [30; 40[

5,3410

2410050

571030

~50 =

−+== PX

Q1: Pos= 57×25/100 = 14,25. Intervalo: [20; 30[

525

57 −[40, 50[ 13 47[50, 60[ 4 51[60, 70[ 4 55[70, 80] 2 57

57

9,2419

5100

571020251 =

−+== PQ

P8: Pos= 57×8/100 = 4,56. Intervalo: [10; 20[

12,195

01008

5710108 =

−+=P

El 8 % está por debajo y el 92% pesan más.

Elemento que me marca la mediana.

BIOESTADISTICA

Medidas de DispersiónMedidas de Dispersión

ConsideramosConsideramos laslas calificacionescalificaciones dede unun examenexamen parapara dosdos gruposgrupos dede 1010 alumnosalumnos::

Grupo 1 5 3 5 6 4 6 6 5 6 4Grupo 1 5 3 5 6 4 6 6 5 6 4


EsEs fácilfácil comprobarcomprobar queque enen ambosambos gruposgrupos lala calificacióncalificación mediamedia eses 55,, aunqueaunque sese

Grupo 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Grupo 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Grupo 20 1 2 3 4 5 6 7 8 910

Grupo 20 1 2 3 4 5 6 7 8 910

Grupo 1 5 3 5 6 4 6 6 5 6 4Grupo 2 1 2 9 1 8 7 7 2 9 4Grupo 1 5 3 5 6 4 6 6 5 6 4Grupo 2 1 2 9 1 8 7 7 2 9 4

EsEs fácilfácil comprobarcomprobar queque enen ambosambos gruposgrupos lala calificacióncalificación mediamedia eses 55,, aunqueaunque sese

distribuyendistribuyen dede formaforma muymuy diferente,diferente, yaya queque enen elel segundosegundo grupogrupo hayhay mayormayor

dispersión,dispersión, mientrasmientras queque enen elel primerprimer grupogrupo laslas calificacionescalificaciones estánestán másmás

concentradasconcentradas (alrededor(alrededor dede lala media)media)..

LasLas medidasmedidas dede dispersióndispersión sirvensirven parapara medirmedir lala variabilidadvariabilidad dede loslos datosdatos

alrededoralrededor dede susu “centro“centro dede masas”masas” (la(la media)media)..

Rango, diferencia del valor máximo y el valor mínimo.

BIOESTADISTICA

El RangoEl Rango



El RangoEl Rango

•• EsEs lala diferenciadiferencia entreentre lala mayormayor yy lala menormenor observaciónobservación::

•• EsEs fácilfácil dede calcular,calcular, peropero ignoraignora casicasi todatoda lala informacióninformación dede lala muestramuestra..

•• EsEs muymuy sensiblesensible aa valoresvalores extremosextremos..

MinMaxR −=

BIOESTADISTICA

El RangoEl Rango



DeficienciasDeficiencias::

IgnoraIgnora lala mayormayor parteparte dede observaciones,observaciones, sólosólo sese utilizanutilizan dosdos valoresvalores..

SeSe necesitanecesita unun estadísticoestadístico queque utiliceutilice másmás valoresvalores..

El RangoEl Rango

SuSu valorvalor dependedepende indirectamenteindirectamente deldel tamañotamaño dede lala muestramuestra..

NoNo debedebe dependerdepender deldel tamañotamaño dede lala muestramuestra

Solo utiliza dos valores, el más alto y el más bajo.

BIOESTADISTICA

El Rango IntercuartílicoEl Rango Intercuartílico



•• SuSu definicióndefinición eses análogaanáloga aa lala deldel Rango,Rango, peropero eliminandoeliminando lala cuartacuarta parteparte dede

loslos datosdatos dede cadacada extremo,extremo, despuésdespués dede ordenarordenar loslos datosdatos dede menormenor aa

mayormayor..

•• AA partirpartir dede lala definicióndefinición eses fácilfácil verver queque::

•• EsEs másmás difícildifícil dede calcularcalcular queque elel rango,rango, peropero eses menosmenos sensiblesensible aa valoresvalores

extremosextremos..extremosextremos..

13 QQRI −=

BIOESTADISTICA

Generalización del Rango IntercuartílicoGeneralización del Rango Intercuartílico



•• SeSe puedepuede generalizargeneralizar:: RangoRango interquintílico,interquintílico, interdecílico,interdecílico, ……,, o,o, enen

general,general, parapara cualquiercualquier kk enen ]]00,, 5050[,[, sese puedepuede definirdefinir::

PPR −=

Generalización del Rango IntercuartílicoGeneralización del Rango Intercuartílico

kkk PPR −= −100

BIOESTADISTICA

La VarianzaLa Varianza



DadoDado unun conjuntoconjunto formadoformado porpor nn datos,datos, lala varianzavarianza eses elel promediopromedio dede loslos

cuadradoscuadrados dede laslas distanciasdistancias dede loslos datosdatos aa lala mediamedia::

La media de las distancia de cada elemento con respecto a la media elevada al cuadrado.

BIOESTADISTICA

La Desviación TípicaLa Desviación Típica



LasLas unidadesunidades dede lala varianzavarianza coincidencoinciden concon laslas dede loslos datos,datos, peropero elevadaselevadas alal

cuadrado,cuadrado, porpor elloello eses másmás sencillosencillo emplearemplear lala raízraíz cuadradacuadrada dede lala varianza,varianza, aa lala

queque sese denominadenomina DesviaciónDesviación TípicaTípica..

LaLa desviacióndesviación típicatípica verificaverifica lala propiedadpropiedad dede queque enen elel intervalointervalo

sese encuentranencuentran alal menosmenos elel 7575%% dede loslos datosdatos..σ2±X

BIOESTADISTICA

Cálculo abreviado de la varianzaCálculo abreviado de la varianza

( ) ( ) nXXnXnXnXXnXnXXXnI

iii

I

ii

I

iii

I

iiiiii

I

iii ∑∑∑∑∑

=====

−+=

−+=

−= 11

2

1

2

1

22

1

2

2

22σ


nnniiiii ===== === 11111σ

La varianza se puede calcular como la media delos cuadrados menos el cuadrado de la media.

Xi ni

0 21 62 10

Xini

0620

Xi2ni

0640

Varianza

2 103 134 65 3

40

203924151042,6

4011796753348,35

n X 2X

Desviacióntípica

Para variables continuas agrupadas enintervalos se hace lo mismo, pero empleandolas marcas de clase.

BIOESTADISTICA

Uso conjunto de la media y la desviación típicaUso conjunto de la media y la desviación típica

A los conjuntos de datos unimodales ysimétricos,o ligeramenteasimétricos,


simétricos,o ligeramenteasimétricos,les llamaremos datosnormales (estolo matizaremos posteriormente).

μμ–σ μ+2σ μ+3σμ–2σμ–3σ μ+σ

68%95%

99%

Para los conjuntos de datos normalesse puede conocer, de maneraaproximada, el porcentaje de datosque hay en intervalos de la forma:

[ ]σµσµσµ kkk +−≡± ;

μ –3σ μμ –2σ μ +2σμ +σμ –σ μ +3σ

68%95%99%

–inf +inf······0,5%

······0,5% 13,5%2%

μ +σ μ +2σ μ +3σ34% 34% 13,5% 2%

μμ –σμ –2σμ –3σ

[ ]σµσµσµ kkk +−≡± ;

La población.

BIOESTADISTICA

El Coeficiente de VariaciónEl Coeficiente de Variación

AlAl estimarestimar “a“a ojo”ojo” unauna distanciadistancia cometemoscometemos unun errorerror dede 11 m,m, ¿es¿es unun errorerror muymuy

grande?grande?..


grande?grande?..

ImaginemosImaginemos queque lala distanciadistancia queque estábamosestábamos estimandoestimando correspondecorresponde alal anchoancho

dede unauna habitaciónhabitación yy queque elel verdaderoverdadero valorvalor eses dede 44 mm..

¿Y¿Y sisi lala distanciadistancia aa estimarestimar eraera lala existenteexistente entreentre MadridMadrid yy Valencia?Valencia?..

ElEl mismomismo problemaproblema queque surgesurge alal compararcomparar erroreserrores parapara magnitudesmagnitudes diferentesdiferentes

surgesurge alal compararcomparar laslas desviacionesdesviaciones típicastípicas dede conjuntosconjuntos dede datosdatos

correspondientescorrespondientes aa datosdatos dede diferentediferente naturalezanaturaleza oo expresadosexpresados enen diferentesdiferentes

unidadesunidades..unidadesunidades..

UnaUna posibleposible soluciónsolución eses eliminareliminar lala dimensionalidaddimensionalidad dede lala desviacióndesviación típicatípica

dividiéndoladividiéndola porpor lala mediamedia dede loslos datos,datos, obteniendoobteniendo elel llamadollamado coeficientecoeficiente dede

variaciónvariación..

Cociente entre desviación típica y la media.

BIOESTADISTICA

Puntuaciones TípicasPuntuaciones Típicas

•• EnEn ocasionesocasiones queremosqueremos compararcomparar dosdos valoresvalores siendosiendo queque vienenvienen dede conjuntosconjuntos

dede datosdatos diferentesdiferentes.. EstoEsto sucede,sucede, porpor ejemplo,ejemplo, cuandocuando queremosqueremos compararcomparar lala


dede datosdatos diferentesdiferentes.. EstoEsto sucede,sucede, porpor ejemplo,ejemplo, cuandocuando queremosqueremos compararcomparar lala

notanota queque hemoshemos obtenidoobtenido enen EstadísticaEstadística concon lala queque hemoshemos obtenidoobtenido enen

InformáticaInformática..

•• SupongamosSupongamos queque RemigioRemigio haha obtenidoobtenido unun 66 enen EstadísticaEstadística yy unun 88 enen Informática,Informática,

¿podemos¿podemos decirdecir queque tienetiene másmás méritomérito lala notanota dede InformáticaInformática queque lala dede

EstadísticaEstadística porpor serser mayor?mayor?..

•• EnEn realidadrealidad necesitamosnecesitamos medirmedir lala dificultaddificultad dede cadacada asignaturaasignatura parapara poderpoder

pronunciarnospronunciarnos..pronunciarnospronunciarnos..

•• SiSi lala notanota mediamedia enen EstadísticaEstadística parapara elel grupogrupo dede RemigioRemigio eses µµEstEst == 44 yy lala

desviacióndesviación típicatípica eses σσEstEst == 11 RemigioRemigio haha obtenidoobtenido unauna notanota enen EstadísticaEstadística queque

superasupera aa lala mediamedia enen dosdos desviacionesdesviaciones típicas,típicas, eses decir,decir, sisi loslos datosdatos sonson

“normales”“normales” RemigioRemigio supera,supera, aproximadamente,aproximadamente, alal 9797,,55%% dede sussus compañeroscompañeros.

BIOESTADISTICA

•• SiSi lala notanota mediamedia enen InformáticaInformática eses µµInfInf == 66 yy lala desviacióndesviación típicatípica eses σσInfInf == 22

RemigioRemigio haha obtenidoobtenido unauna notanota enen InformáticaInformática queque superasupera aa lala mediamedia enen unauna

Puntuaciones Típicas (continuación)Puntuaciones Típicas (continuación)


RemigioRemigio haha obtenidoobtenido unauna notanota enen InformáticaInformática queque superasupera aa lala mediamedia enen unauna

desviacióndesviación típica,típica, eses decir,decir, sisi loslos datosdatos sonson “normales”“normales” RemigioRemigio supera,supera,

aproximadamente,aproximadamente, alal 8484%% dede sussus compañeroscompañeros..

•• EnEn resumen,resumen, RemigioRemigio destacadestaca másmás porpor susu notanota enen EstadísticaEstadística (supera(supera alal 9797,,55%%

dede sussus compañeros)compañeros) queque porpor susu notanota enen InformáticaInformática (supera(supera alal 8484%% dede sussus

compañeros),compañeros), pesepese aa serser menormenor lala primeraprimera queque lala segundasegunda..

•• UnaUna formaforma dede compararcomparar valoresvalores procedentesprocedentes dede diferentesdiferentes conjuntosconjuntos dede datosdatos eses

indicarindicar lala posiciónposición relativarelativa dede cadacada datodato enen relaciónrelación aa lala mediamedia deldel conjuntoconjunto deldelindicarindicar lala posiciónposición relativarelativa dede cadacada datodato enen relaciónrelación aa lala mediamedia deldel conjuntoconjunto deldel

queque procedeprocede yy medidamedida enen númeronúmero dede desviacionesdesviaciones típicastípicas.. AA estosestos valoresvalores lele

llamaremosllamaremos puntuacionespuntuaciones típicastípicas..

•• DadoDado unun conjuntoconjunto dede datosdatos concon mediamedia µµ yy desviacióndesviación típicatípica σσ,, parapara unun datodato deldel

conjunto,conjunto, x,x, definimosdefinimos susu puntuaciónpuntuación típica,típica, z,z, comocomo::

σµ−= x

z

BIOESTADISTICA

UnUn alumnoalumno sese haha examinadoexaminado dede MatemáticasMatemáticas yy Estadística,Estadística, dede maneramanera queque loslosresultadosresultados deldel alumno,alumno, juntojunto aa lala mediamedia yy lala desviacióndesviación típicatípica dede cadacada asignatura,asignatura,aparecenaparecen enen lala siguientesiguiente tablatabla::

Puntuaciones Típicas (ejemplo)Puntuaciones Típicas (ejemplo)


aparecenaparecen enen lala siguientesiguiente tablatabla::

Nota Alumno

Media de la clase

Desviación Típica

Matemáticas 8 7,5 2Estadística 6 4,2 0,75

¿En cuál de las dos pruebas haobtenido el alumno mejor resultado,comparativamente con el resto de suscompañeros?

25,02

5,78 =−=Matz 40,275,0

2,46 =−=Estz

VemosVemos que,que, comparativamentecomparativamente concon elel restoresto dede sussus compañeros,compañeros, elel alumnoalumnoVemosVemos que,que, comparativamentecomparativamente concon elel restoresto dede sussus compañeros,compañeros, elel alumnoalumnopresentapresenta unun mayormayor rendimientorendimiento enen EstadísticaEstadística queque enen MatemáticasMatemáticas..

EnEn MatemáticasMatemáticas superasupera lala mediamedia enen 00,,2525 vecesveces lala desviacióndesviación típicatípica yy enen EstadísticaEstadísticalala superasupera enen 22,,4040 vecesveces lala desviacióndesviación típicatípica.. Matemáticas

0,25Estadística

2,4

-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

BIOESTADISTICA

Medidas de AsimetríaMedidas de AsimetríaLaLa observaciónobservación dede unun histograma,histograma, unun diagramadiagrama dede barrasbarras oo unun diagramadiagrama dede cajacaja

sonson suficientessuficientes parapara apreciarapreciar lolo simétricossimétricos oo asimétricosasimétricos queque sonson unosunos datosdatos::


UnaUna distribucióndistribución dede frecuenciasfrecuencias eses simétricasimétrica sisi elel ladolado derechoderecho dede lala gráficagráfica eses lala

imagenimagen especularespecular deldel ladolado izquierdoizquierdo..

Simétrica Asimetría Positiva Asimetría Negativa

imagenimagen especularespecular deldel ladolado izquierdoizquierdo..

SiSi laslas frecuenciasfrecuencias deldel ladolado izquierdoizquierdo sonson másmás altasaltas queque laslas deldel derechoderecho (cola(cola aa lala

derecha)derecha) diremosdiremos queque hayhay AsimetríaAsimetría PositivaPositiva.. EnEn elel casocaso opuestoopuesto (cola(cola aa lala

izquierda)izquierda) diremosdiremos queque hayhay AsimetríaAsimetría NegativaNegativa..

SiSi unauna distribucióndistribución eses simétricasimétrica:: existeexiste elel mismomismo númeronúmero dede valoresvalores aa lala derechaderecha

queque aa lala izquierdaizquierda dede lala media,media, concon lolo queque lala mediamedia coincidirácoincidirá concon lala medianamediana..

BIOESTADISTICA

LasLas distribucionesdistribuciones dede frecuenciasfrecuencias puedenpueden clasificarseclasificarse enen::

SimétricasSimétricas -->> valorvalor dede asimetría,asimetría, AsAs.. == 00

Medidas de AsimetríaMedidas de Asimetría


SimétricasSimétricas -->> valorvalor dede asimetría,asimetría, AsAs.. == 00

AsimétricasAsimétricas positivaspositivas -->> valorvalor dede asimetría,asimetría, AsAs.. >> 00

AsimétricasAsimétricas negativasnegativas -->> valorvalor dede asimetría,asimetría, AsAs.. << 00

cola a la derechacola a la izquierda

Simétrica Asimetría Positiva Asimetría Negativa

31

3)(.

sn

xxnAs

n

imii

⋅

−=∑

= Cuando es mayor en valor absoluto que 0,20 Cuando es mayor en valor absoluto que 0,20

podemos decir que es asimétrica. podemos decir que es asimétrica.

BIOESTADISTICA

SiSi unauna distribucióndistribución eses simétricasimétrica:: CadaCada desviacióndesviación positivapositiva concon respectorespecto aa lala mediamedia

coincidirácoincidirá concon unauna desviacióndesviación negativanegativa dede lala mismamisma magnitudmagnitud..

Medidas de Asimetría (continuación)Medidas de Asimetría (continuación)

I


( )n

nxxI

iii∑

=

−1

UnaUna primeraprimera ideaidea parapara medirmedir

lala asimetríaasimetría podríapodría serser::

ElevarElevar laslas diferenciasdiferencias aa unun exponenteexponente parpar tampocotampoco eses útil,útil,

porqueporque perdemosperdemos elel signo,signo, concon lolo queque lala soluciónsolución naturalnatural

eses elevarelevar alal cubocubo laslas diferencias,diferencias, obteniendoobteniendo elel llamadollamado

momentomomento centralcentral dede tercertercer ordenorden::

( )n

nxxm

I

iii∑

=

−= 1

3

3

PeroPero esteeste estadísticoestadístico siempresiempre valevale

cerocero (por(por lala definicióndefinición dede media)media)..

momentomomento centralcentral dede tercertercer ordenorden::

ParaPara elel momentomomento centralcentral dede ordenorden 33 sese compruebacomprueba facilmentefacilmente queque::

••SiSi mm33 == 00 →→ lala distribucióndistribución eses simétricasimétrica..

••SiSi mm33 >> 00 →→ lala distribucióndistribución tienetiene asimetríaasimetría positivapositiva..

••SiSi mm33 << 00 →→ lala distribucióndistribución tienetiene asimetríaasimetría negativanegativa..

BIOESTADISTICA

El coeficiente de Asimetría de FisherEl coeficiente de Asimetría de Fisher

LaLa medidamedida dede lala asimetríaasimetría definidadefinida comocomo mm33 tienetiene unun serioserio inconvenienteinconveniente:: estáestá

expresadaexpresada enen laslas mismasmismas unidadesunidades queque loslos datos,datos, peropero elevadaselevadas alal cubo,cubo, porpor lolo


expresadaexpresada enen laslas mismasmismas unidadesunidades queque loslos datos,datos, peropero elevadaselevadas alal cubo,cubo, porpor lolo

queque seráserá dependientedependiente deldel cambiocambio dede escalaescala..

ParaPara conseguirconseguir unun coeficientecoeficiente adimensionaladimensional sese construyeconstruye elel coeficientecoeficiente dede

asimetríaasimetría dede FisherFisher queque denotamosdenotamos porpor gg11::

( )1

3−∑=

n

nxx

m

n

iii

( )323 23 xxxx +−

( )23

1

233

1

−==

∑=

n

nxx

nmg

n

iii

σ( )

( )( ) 2322

323

1

23

xx

xxxxg

−

+−=

BIOESTADISTICA

Cálculo del Índice de Asimetría de FisherCálculo del Índice de Asimetría de Fisher

X i n i

0 2

X i n i X i2 n i X i

3 n i

0 0 0


1 62 103 134 65 3

40

0 0 06 6 620 40 8039 117 35124 96 38415 75 375104 334 1.196 Para datos continuos agrupadas en

intervalos se hace lo mismo, peroempleandolasmarcasdeclase.

2,6 8,35 29,90

x 2x 3x

( )( )( ) 2322

323

1

23

xx

xxxxg

−

+−= ( ) 0389,06,235,8

6,226,235,839,29232

3

−=−

×+××−=

empleandolasmarcasdeclase.x 2x 3x

BIOESTADISTICA

Otras medidas de AsimetríaOtras medidas de Asimetría

CoeficienteCoeficiente dede KarlKarl PearsonPearson


ParaPara distribucionesdistribuciones campaniformes,campaniformes, unimodalesunimodales yy moderadamentemoderadamente asimétricasasimétricas..

SeSe empleanemplean dosdos medidasmedidas alternativasalternativas queque sonson aproximadamenteaproximadamente igualesiguales::

σModax

Ap

−= ( )σ

xxAp

~3 −=

Coeficiente de Yule Bowley Coeficiente absoluto de asimetríaCoeficiente de Yule Bowley

( ) ( )( )13

1223

QQ

QQQQAs −

−−−=

Coeficiente absoluto de asimetría

σ213 2QQQ

AB

−+=

BIOESTADISTICA

Medida del ApuntamientoMedida del Apuntamiento

UnaUna vezvez determinadadeterminada lala simetríasimetría tienetiene interésinterés sabersaber sisi lala distribucióndistribución dede

frecuenciasfrecuencias eses “muy“muy apuntada”apuntada” oo sisi eses “muy“muy aplastada”aplastada” o,o, porpor sisi nono sese dada ningunaninguna


frecuenciasfrecuencias eses “muy“muy apuntada”apuntada” oo sisi eses “muy“muy aplastada”aplastada” o,o, porpor sisi nono sese dada ningunaninguna

dede laslas dosdos situacionessituaciones..

ElEl patrónpatrón dede referenciareferencia parapara discernirdiscernir entreentre laslas dosdos situacionessituaciones mencionadasmencionadas lolo

constituyeconstituye lala “distribución“distribución normal”normal” (más(más adelanteadelante sese tratarátratará enen detalledetalle lala

distribucióndistribución normal)normal)..

NormalAplastada Apuntada

O curtosis.

BIOESTADISTICA

Medida del Apuntamiento: La curtosisMedida del Apuntamiento: La curtosis

Para medir el apuntamiento emplearemos elcoeficiente de aplastamiento de Fisher ocurtosis, quesedefineapartirdela expresión:


curtosis, quesedefineapartirdela expresión:

( )n

nxxm

I

iii∑

=

−= 1

4

4

m4 es el momentocentral de cuarto orden:

A partir del valor deγ2 se clasifican las distribuciones de frecuencias como:

02 <γ Platicúrtica : menos apuntada que la normal.02 <γ

02 =γ

02 >γ Leptocúrtica: más apuntada que la normal.

Mesocúrtica: tan apuntada como normal.

Platicúrtica : menos apuntada que la normal.

Sólo se calculará la curtosis para distribuciones cuya simetría se haya constatado.

BIOESTADISTICA

Curtosis o apuntamiento

Las distribuciones de frecuencias pueden clasificarse por su


altura en:– Platicúrticas -> valor de curtosis, K < 0– Mesocúrticas-> valor de curtosis, K = 0– Leptocúrticas-> valor de curtosis, K > 0

3)(

41

4

−⋅

−=∑

=

sn

xxnK

n

imii Cuando es mayor en valor absoluto que 0,20 podemos

decir que es asimétrica.

NormalAplastada Apuntada




Guión:Guión:






BIOESTADISTICA

Diagrama de tallo y hojasDiagrama de tallo y hojas

El diagrama de Tallo y Hojas es una representación útil para El diagrama de Tallo y Hojas es una representación útil para variables variables

discretasdiscretas con un número elevado de observaciones.con un número elevado de observaciones.


68 63 42 27 30 36 28 32 79 2722 23 24 25 44 65 43 25 74 5136 42 28 31 28 25 45 12 57 5112 32 49 38 42 27 31 50 38 2116 24 69 47 23 22 43 27 49 2823 19 46 30 43 49 12

EnEn lala siguientesiguiente tablatabla apareceaparece elel peso,peso,

enen libras,libras, dede 5757 niños,niños, concon unun pesopeso

mínimomínimo dede 1212 libraslibras yy unun máximomáximo dede

7979 libraslibras::

LosLos datosdatos aparecenaparecen segúnsegún hanhan sidosido recogidos,recogidos, eses decir,decir, nono estánestán ordenadosordenados

(el(el procesoproceso seríasería unun pocopoco másmás sencillosencillo sisi lolo estuvieran)estuvieran)..

ElEl primerprimer pasopaso eses decidirdecidir laslas ramasramas queque sese vava aa incluir,incluir, lolo cual,cual, enen esteeste casocaso eses

sencillo,sencillo, yaya queque alal serser númerosnúmeros dede dosdos cifrascifras sese vava aa emplearemplear lala cifracifra dede laslas

decenasdecenas comocomo ramarama yy lala dede laslas unidadesunidades comocomo hoja,hoja, concon oo queque tenemostenemos 77

ramasramas:: {{11,,22,,33,,44,,55,,66,,77}}..

Variables cuantitativas.

BIOESTADISTICA

Diagrama de tallo y hojas (continuación)Diagrama de tallo y hojas (continuación)

68 63 42 27 30 36 28 32 79 27

1 :

2 :26922

2334487583572857718


68 63 42 27 30 36 28 32 79 2722 23 24 25 44 65 43 25 74 5136 42 28 31 28 25 45 12 57 5112 32 49 38 42 27 31 50 38 2116 24 69 47 23 22 43 27 49 2823 19 46 30 43 49 12

2 :

3 :

4 :

5 :

6 :

7 :

883

2

83

2334487583572857718

6218006128

2296742393539

0711

8395

94

ram

as1 : 222691 : 22269

ParaPara facilitarfacilitar lala legibilidadlegibilidad deldel

diagramadiagrama sese aconsejaaconseja reordenarreordenar

laslas hojashojas..

2 : 1223334455577778888

3 : 0011226688

4 : 2223334567999

5 : 0117

6 : 3589

7 : 49

2 : 1223334455577778888

3 : 0011226688

4 : 2223334567999

5 : 0117

6 : 3589

7 : 49

PRECIOSO

BIOESTADISTICA

Diagrama de tallo y hojas (continuación)Diagrama de tallo y hojas (continuación)

222

69:1222

69:1

AA vecesveces sese apreciaaprecia mejormejor comocomo sese distribuyendistribuyen

loslos datosdatos sisi sese dividedivide cadacada ramarama enen dos,dos, concon laslas


1 : 22269

2 : 1223334455577778888

3 : 0011226688

4 : 2223334567999

5 : 0117

69

12233344

55577778888

001122

6688

2223334

567999

011

:

:

:

:

2

3

4

69

12233344

55577778888

001122

6688

2223334

567999

011

:

:

:

:

2

3

4

hojashojas {{00,, ……,, 44}} yy {{55,, ……,, 99},}, respectivamenterespectivamente..

5 : 0117

6 : 3589

7 : 49

011

7

3

589

4

9

5

6

7

:

:

:

011

7

3

589

4

9

5

6

7

:

:

:

EsteEste diagramadiagrama combinacombina laslas característicascaracterísticas dede unun

gráficográfico yy loslos dede unauna tabla,tabla, permitiendopermitiendo recuperarrecuperar loslos

datosdatos originalesoriginales..

BIOESTADISTICA

Gráficos para variables continuas: HistogramaGráficos para variables continuas: Histograma

AgrupamosAgrupamos loslos datosdatos enen intervalosintervalos [Li,[Li, Ui[Ui[ yy construimosconstruimos unun diagramadiagrama formadoformado

unun rectángulorectángulo parapara cadacada intervalo,intervalo, cuyacuya basebase eses elel intervalointervalo (en(en elel ejeeje dede

abcisas)abcisas) yy cuyacuya áreaárea eses proporcionalproporcional aa lala frecuenciafrecuencia deldel intervalointervalo..


abcisas)abcisas) yy cuyacuya áreaárea eses proporcionalproporcional aa lala frecuenciafrecuencia deldel intervalointervalo..

SiSi necesitamosnecesitamos unun valorvalor representativorepresentativo parapara cadacada intervalointervalo recurrimosrecurrimos aa lala

MarcaMarca dede ClaseClase queque eses elel valorvalor centralcentral deldel intervalointervalo:: xixi == (Li(Li ++ Ui)/Ui)/22

LaLa basebase dede cadacada rectángulorectángulo eses lala longitudlongitud deldel intervalointervalo:: cici == UiUi –– LiLi..

AlAl serser elel áreaárea proporcionalproporcional aa lala frecuenciafrecuencia dede lala clase,clase, podemospodemos calcularcalcular lala alturaaltura

concon lala expresiónexpresión:: hihi == ni/cini/ci..

Intervalo M.C. ni

[0; 3[ 1,50 12[3; 5[ 4,00 15[5; 7[ 6,00 20

[7; 8,5[ 7,75 9[8,5; 10] 9,25 12

c i

322

1,51,5

h i

4,07,5

10,06,08,0

iii LUc −=

i

ii c

nh =

BIOESTADISTICA

Intervalo M.C. ni c i h i

[0; 3[ 1,50 12 3 4,0[3; 5[ 4,00 15 2 7,5


Gráficos para variables continuas: Histograma (II)Gráficos para variables continuas: Histograma (II)

[3; 5[ 4,00 15 2 7,5[5; 7[ 6,00 20 2 10,0

[7; 8,5[ 7,75 9 1,5 6,0[8,5; 10] 9,25 12 1,5 8,0

81012

0246

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BIOESTADISTICA

SeSe unenunen concon líneaslíneas rectas,rectas, enen elel histograma,histograma, loslos puntospuntos

correspondientescorrespondientes aa laslas marcasmarcas dede claseclase.. ParaPara completarcompletar cadacada


Polígono Frecuencias AbsolutasPolígono Frecuencias Absolutas

correspondientescorrespondientes aa laslas marcasmarcas dede claseclase.. ParaPara completarcompletar cadacada

extremoextremo sese añadeañade unun intervalointervalo exterior,exterior, dede lala mismamisma amplitudamplitud queque

elel extremo,extremo, yy dede alturaaltura nulanula..

6

8

10

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

BIOESTADISTICA

EsEs lala poligonalpoligonal definidadefinida enen abcisasabcisas aa partirpartir dede loslos extremosextremos dede loslos

intervalosintervalos yy enen ordenadasordenadas porpor alturasalturas proporcionalesproporcionales aa laslas


Polígono Frecuencias AcumuladasPolígono Frecuencias Acumuladas

intervalosintervalos yy enen ordenadasordenadas porpor alturasalturas proporcionalesproporcionales aa laslas

frecuenciasfrecuencias absolutasabsolutas acumuladasacumuladas..

Intervalo M.C. ni N i

[0; 3[ 1,50 12 12[3; 5[ 4,00 15 27[5; 7[ 6,00 20 47

[7; 8,5[ 7,75 9 56[8,5; 10] 9,25 12 68

27

4756

68

40506070

0

12

27

010203040

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0

BIOESTADISTICA

Uso del histograma con variables discretasUso del histograma con variables discretas

ElEl histogramahistograma puedepuede emplearse,emplearse, dede maneramanera aproximada,aproximada, parapara

variablesvariables discretasdiscretas concon unun númeronúmero elevadoelevado dede observacionesobservaciones..


variablesvariables discretasdiscretas concon unun númeronúmero elevadoelevado dede observacionesobservaciones..

LoLo ilustraremosilustraremos concon elel ejemploejemplo deldel pesopeso dede 5757 niñosniños..

Intervalo x i n i c i h i N i

[10, 20[ 15 5 10 0,5 5[20, 30[ 25 19 10 1,9 24[30, 40[ 35 10 10 1,0 34[40, 50[ 45 13 10 1,3 47 5

10

15

20

[40, 50[ 45 13 10 1,3 47[50, 60[ 55 4 10 0,4 51[60, 70[ 65 4 10 0,4 55[70, 80] 75 2 10 0,2 57

57

0

5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

BIOESTADISTICA

Comparativa Tallo y Hojas vs HistogramaComparativa Tallo y Hojas vs Histograma

EnEn laslas figurasfiguras sese muestranmuestran juntasjuntas laslas dosdos representacionesrepresentaciones

gráficasgráficas parapara loslos datosdatos deldel pesopeso dede 5757 niñosniños..


1 : 22269

2 : 1223334455577778888

3 : 0011226688

1 : 22269

2 : 1223334455577778888

3 : 001122668810

15

20

10

15

20

gráficasgráficas parapara loslos datosdatos deldel pesopeso dede 5757 niñosniños..

Diagrama de Tallo y hojas Histograma

4 : 2223334567999

5 : 0117

6 : 3589

7 : 49

4 : 2223334567999

5 : 0117

6 : 3589

7 : 49

0

5

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

5

10

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

EXAMEN

Inferencia: pasar de línea recta a curva.

BIOESTADISTICA

Gráficos para variables continuas:Gráficos para variables continuas: El Diagrama de CajaEl Diagrama de Caja

ElEl diagramadiagrama dede cajacaja (Box(Box--Whisker)Whisker) eses unauna representaciónrepresentación gráficagráfica

queque permitepermite apreciarapreciar laslas principalesprincipales característicascaracterísticas dede unun conjuntoconjunto


queque permitepermite apreciarapreciar laslas principalesprincipales característicascaracterísticas dede unun conjuntoconjunto

dede datos,datos, señalandoseñalando loslos datosdatos anómalosanómalos..

( )135,1 QQ −×( )135,1 QQ −×

25%25% 25%

25%

Q1 Q2 Q3

13 QQRI −=

Datos anómalos

Mayor dato no anómaloMenor dato no anómaloLI LS

Extremo del bigote.

NO son los extremos del bigote.

BIOESTADISTICA

Construcción de un Diagrama de Caja (I)Construcción de un Diagrama de Caja (I)


ParaPara construirconstruir unun diagramadiagrama dede cajacaja seguiremosseguiremos loslos siguientessiguientes pasospasos::

1.1. OrdenarOrdenar loslos datosdatos dede menormenor aa mayor,mayor, calculandocalculando elel mínimomínimo

(Min),(Min), elel máximomáximo (Max),(Max), loslos cuartilescuartiles (Q(Q11,, QQ22 yy QQ33)) yy elel rangorango

intercuartílicointercuartílico,, medidomedido concon lala expresiónexpresión RIRI == QQ33 –– QQ11..

2.2. DibujarDibujar unun rectángulorectángulo cuyoscuyos extremosextremos sonson QQ11 yy QQ33 partidopartido enen

dosdos trozostrozos porpor lala medianamediana QQ22..

BIOESTADISTICA

Construcción de un Diagrama de Caja (II)Construcción de un Diagrama de Caja (II)

3.3. CalcularCalcular loslos límiteslímites admisiblesadmisibles superiorsuperior ee inferiorinferior (LS(LS yy LI)LI) queque serviránservirán parapara


ParaPara construirconstruir unun diagramadiagrama dede cajacaja seguiremosseguiremos loslos siguientessiguientes pasospasos::

3.3. CalcularCalcular loslos límiteslímites admisiblesadmisibles superiorsuperior ee inferiorinferior (LS(LS yy LI)LI) queque serviránservirán parapara

identificaridentificar loslos posiblesposibles datosdatos anómalosanómalos..

LI = Q1 LI = Q1 –– 1,5RI1,5RI LS = Q3 + 1,5RILS = Q3 + 1,5RI

4.4. ConsiderarConsiderar comocomo datosdatos anómalosanómalos loslos situadossituados fuerafuera deldel intervalointervalo [LI,[LI, LS]LS]..

5.5. DibujarDibujar unauna línealínea ((whiskerwhisker oo bigotebigote)) queque vayavaya desdedesde cadacada extremoextremo deldel5.5. DibujarDibujar unauna línealínea ((whiskerwhisker oo bigotebigote)) queque vayavaya desdedesde cadacada extremoextremo deldel

rectángulorectángulo centralcentral hastahasta elel valorvalor másmás alejadoalejado nono anómaloanómalo..

6.6. IdentificarIdentificar todostodos loslos datosdatos anómalos,anómalos, queque sonson loslos queque estánestán fuerafuera deldel

intervalointervalo [LI,[LI, LS]LS]..

NO marcan los extremos de los bigotes.

BIOESTADISTICA

Ejemplo de construcción de un Diagrama de CajaEjemplo de construcción de un Diagrama de CajaSegúnSegún elel CentroCentro EuropeoEuropeo parapara lala VigilanciaVigilancia EpidemiológicaEpidemiológica deldel SIDA,SIDA, laslas TasasTasas dede

SIDASIDA enen 3131 paísespaíses europeoseuropeos (nuevos(nuevos casoscasos porpor millónmillón dede habitantes)habitantes) enen elel añoaño

20032003,, sonson laslas queque aparecenaparecen enen lala siguientesiguiente tablatabla::


Eslovaquia 0,4 Islandia 3,5 Noruega 8,6 Luxemburgo 17,7Turquia 0,6 Polonia 3,8 Grecia 8,7 Francia 24,3República Checa 0,8 Finlandia 4,8 Alemania 9,2 Italia 29,7Bulgaria 1,7 Malta 5,1 Irlanda 9,7 Letonia 31,5Croacia 2,1 Suecia 5,8 Bélgica 11,8 Suiza 32,1Lituania 2,5 Austria 6,8 Reino Unido 15,5 España 55,5Hungría 2,6 Dinamarca 7,1 Rumanía 15,7 Portugal 88,8Eslovenia 3,0 Estonia 7,4 Países Bajos 16,9

Eslovaquia 0,4 Islandia 3,5 Noruega 8,6 Luxemburgo 17,7Turquia 0,6 Polonia 3,8 Grecia 8,7 Francia 24,3República Checa 0,8 Finlandia 4,8 Alemania 9,2 Italia 29,7Bulgaria 1,7 Malta 5,1 Irlanda 9,7 Letonia 31,5Croacia 2,1 Suecia 5,8 Bélgica 11,8 Suiza 32,1Lituania 2,5 Austria 6,8 Reino Unido 15,5 España 55,5Hungría 2,6 Dinamarca 7,1 Rumanía 15,7 Portugal 88,8Eslovenia 3,0 Estonia 7,4 Países Bajos 16,9

20032003,, sonson laslas queque aparecenaparecen enen lala siguientesiguiente tablatabla::

0,31 =Q

4,72 =Q

9,163 =Q

… …

España Portugal

3,0 7,4 16,9 37,75

0,4 32,1

55,5 88,8

14=X

NotaNota:: LosLos extremosextremos deldel “bigote”“bigote” siempresiempre debendeben contenercontener unun dato,dato, nono

confundirconfundir concon loslos límiteslímites inferiorinferior yy superiorsuperior..

BIOESTADISTICA

Ejemplo del uso de Diagramas de CajaEjemplo del uso de Diagramas de CajaEnEn unun hospitalhospital sese haha medidomedido elel tiempotiempo mediomedio dede espera,espera, enen meses,meses, enen diferentesdiferentesserviciosservicios deldel áreaárea médicamédica yy deldel áreaárea quirúrgica,quirúrgica, obteniéndoseobteniéndose lala siguientesiguiente tablatabla::


Medica MPR 0,5 Medica REH 16,9 Medica UEI 26,3

Medica ONC 8,0 Medica PSQ 17,9 Quirurgica AO 27,9

Quirurgica CGI 9,5 Medica HTA 18,9 Quirurgica CMX 29,1

Quirurgica CTO 9,7 Medica UDC 19,2 Quirurgica ORL 29,5

Quirurgica CIR 10,5 Quirurgica GIN 19,4 Quirurgica USSR 30,7

Medica HEM 11,0 Medica MIN 19,6 Quirurgica COT 31,0

Medica UAT 12,0 Medica MDI 20,5 Quirurgica DER 32,4Medica UAT 12,0 Medica MDI 20,5 Quirurgica DER 32,4

Medica ECR 12,4 Quirurgica CCA 21,7 Medica CAR 33,7

Quirurgica ODO 13,4 Quirurgica URO 21,8 Medica NER 35,0

Medica UMI 13,9 Quirurgica NCG 22,7 Medica NEM 39,7

Quirurgica CPL 14,4 Medica GER 24,6 Medica ALG 42,9

Medica REU 15,0 Medica PED 24,8 Quirurgica ACV 43,2

Medica DIE 15,5 Medica NEF 25,2 Quirurgica OFT 49,2

BIOESTADISTICA

Ejemplo del uso de Diagramas de Caja (solución)Ejemplo del uso de Diagramas de Caja (solución)


Médica (22)

Todas (39)

13,9

13,9

20,5 29,5

19,1 25,2

0,5 49,2

0,5 39,7

ALG42,9

Quirúrgica (17)

13,9 19,1 25,2

14,4 22,7 30,7

9,5 49,2

BIOESTADISTICA

Uso comparativo del Diagramas de CajaUso comparativo del Diagramas de Caja


BIOESTADISTICA

Universidad Católica de Valencia San Vicente Mártir

Facultad de Medicina



Departamento de Epidemiología, Medicina

BIOESTADÍSTICA APLICADAMedicina

Epidemiología, Medicina Preventiva, Análisis crítico y

Metodología de la investigación

universidad católica de valencia san vicente mártir facultad de … · 2016. 3. 8. · calcular...

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