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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CLAVE-112-1-M-2-00-2018
CURSO: Matemática Intermedia 2
SEMESTRE: Segundo
CÓDIGO DEL CURSO: 112
TIPO DE EXAMEN: Primer Parcial
FECHA DE EXAMEN: 10 de agosto de 2018
RESOLVIÓ EL EXAMEN: Sedwin Ramos
REVISÓ EL EXAMEN: Ing. Francisco García
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA MATEMÁTICA INTERMEDIA II
FACULTAD DE INGENIERIA Jornada matutina
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 10 de agosto de 2018
PRIMER EXAMEN PARCIAL
TEMARIO A
TEMA 1 (25 PUNTOS)
El costo de imprimir una revista es directamente porporcional al número de páginas que tiene
la misma e inversamente proporcional al cuadrado del número de colores que se utilizan. El costo de
una revista de 100 páginas y 4 colores es Q25. Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el
costo de una revista de 100 páginas y 4 colores, cuando hay errores de ± 2 páginas y ± 1 color,
respectivamente.
TEMA 2 (20 PUNTOS)
Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦2
𝑥
a) Dibuje un mapa de contorno de la función para valores de 𝐾 =1
4,
1
2, 1,2
b) Esboce la gráfica de 𝑓 a partir de las curvas de nivel.
TEMA 3 (15 PUNTOS)
Encuentre el límite si existe.
lim𝑡→0
⟨𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑒𝑡 − 1
𝑡, 𝑡𝑙𝑛𝑡⟩
TEMA 4 (20 PUNTOS)
a) Encuentre la derivada parcial indicada.
𝑓 = 𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡; 𝑓𝑟𝑠𝑡
b) Demuestre que 𝑢 = √𝑥2 + 𝑦2 es solución de la ecuación de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0.
TEMA 5 (20 PUNTOS)
Dada la función:
𝑟(𝑡) =⟨𝑡2, 𝑡 + 2⟩ a) Dibuje la curva con la ecuación vectorial dada.
b) Dibuje el vector de posición para t=1.
c) Dibuje el vector tangente para t=1.
d) Determine la curvatura de C en el punto (1,1).
SOLUCIÓN DEL EXAMEN
TEMA 1 (25 PUNTOS)
El costo de imprimir una revista es directamente porporcional al número de páginas que tiene
la misma e inversamente proporcional al cuadrado del número de colores que se utilizan. El costo de
una revista de 100 páginas y 4 colores es Q25. Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el
costo de una revista de 100 páginas y 4 colores, cuando hay errores de ± 2 páginas y ± 1 color,
respectivamente.
No. Explicación Operatoria
1. Se plantea la función que modele la solución del problema.
Sea: X = número de páginas Y = número de colores C = costo K = constante de proporcionalidad
𝐶 = 𝑘𝑥
𝑦2
2. Determinar el valor de “k”, utilizando la condición inicial.
𝐶 = 𝑘𝑥
𝑦2
Despejando “k”:
𝑘 =𝐶𝑦2
𝑥
Sustituyendo valores iniciales.
𝑘 =(25)(4)2
100
𝑘 = 4
Entonces:
𝐶 = 4𝑥
𝑦2
3. Se trabaja con los diferenciales de la función.
𝑑𝐶 = 𝐶𝑥𝑑𝑥 + 𝐶𝑦𝑑𝑦
𝑑𝐶 = (4
𝑦2) 𝑑𝑥 + (
−8𝑥
𝑦3) 𝑑𝑦
Se sustituyen todas las combinaciones posibles de los valores correspondientes.
𝑑𝐶 = (4
(4)2) (±2) + (
−8(100)
(4)3) (±1)
𝑑𝐶 = ±12 ; ±13
R//
El máximo error en el costo de una revista de 100 páginas y 4 colores, cuando hay
errores de ± 2 páginas y ± 1 color, respectivamente, es:
± 𝑄13.00
TEMA 2 (20 PUNTOS)
Dada la función 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦2
𝑥
c) Dibuje un mapa de contorno de la función para valores de 𝐾 =1
4,
1
2, 1,2
d) Esboce la gráfica de 𝑓 a partir de las curvas de nivel.
No. Explicación Operatoria
1. Se acomodan las ecuaciones para tener una idea más clara de la gráfica a realizar.
Se asignan valores a “k”, para obtener las distintas curvas del mapa de contornos.
𝒌
𝒌 =𝑥2 + 𝑦2
𝑥
𝒚
1/4
𝟏/𝟒 =𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√𝑥
4− 𝑥2
1/2
𝟏/𝟐 =𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√𝑥
2− 𝑥2
1
𝟏 =𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√𝑥 − 𝑥2
2
𝟐 =𝑥2 + 𝑦2
𝑥
√2𝑥 − 𝑥2
Se realiza el mapa de contornos a partir de lo obtenido en la tabla
anterior, para 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦2
𝑥
Se realiza el esbozo de la gráfica de 𝑓.
Gráfica de 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥2+𝑦2
𝑥:
TEMA 3 (15 PUNTOS)
Encuentre el límite si existe.
lim𝑡→0
⟨𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑒𝑡 − 1
𝑡, 𝑡𝑙𝑛𝑡⟩
No. Explicación Operatoria
1 Se opera el límite para cada componente de la función vectorial.
lim r(t)𝑡→0
= (lim𝑡→0
𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑖 + (lim𝑡→0
𝑒𝑡 − 1
𝑡) 𝑗 + (lim
𝑡→0 𝑡𝑙𝑛𝑡) 𝑘
Se aplica el límite en cada función.
lim𝑡→0
𝐶𝑜𝑠𝑡 = 𝐶𝑜𝑠(0) = 1
En el siguiente límite se aplica L´hopital.
lim𝑡→0
𝑒𝑡 − 1
𝑡= lim
𝑡→0
𝑒𝑡
1=
𝑒0
1= 1
En el siguiente límite se aplica L´hopital.
lim𝑡→0
𝑡𝑙𝑛𝑡 = lim𝑡→0
𝑙𝑛𝑡
1
𝑡
= lim𝑡→0
1
𝑡−1
𝑡2
= lim𝑡→0
(−𝑡) = 0
R//
El límite de la función vectorial es:
lim𝑡→0
⟨𝑐𝑜𝑠𝑡,𝑒𝑡 − 1
𝑡, 𝑡𝑙𝑛𝑡⟩ = ⟨1,1,0⟩ = 1𝑖 + 1𝑗 + 0𝑘
TEMA 4 (20 PUNTOS)
a) Encuentre la derivada parcial indicada.
𝑓 = 𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡; 𝑓𝑟𝑠𝑡
b) Demuestre que 𝑢 = √𝑥2 + 𝑦2 es solución de la ecuación de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0.
No. Explicación Operatoria
1. a) Se deriva en el orden indicado.
𝑓 = 𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑓𝑟 = 𝑠𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑓𝑟𝑠 = (1)𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑟𝑠𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑓𝑟𝑠𝑡 = 𝑒𝑟𝑠𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑟𝑠𝑒𝑟𝑠𝐶𝑜𝑠𝑡
𝑓𝑟𝑠𝑡 = 𝑒𝑟𝑠𝐶𝑜𝑠𝑡(1 + 𝑟𝑠)
2. b) Se deriva parcialmente la función, tal y como se indica en el enunciado.
𝑢 = (𝑥2 + 𝑦2)1
2
Derivando respecto a “x”:
𝑢𝑥 =𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)1
2
𝑢𝑥𝑥 =(1)(𝑥2 + 𝑦2)
1
2 − (𝑥) (1
2) (𝑥2 + 𝑦2)
−1
2 (2𝑥)
((𝑥2 + 𝑦2)1
2)2
𝑢𝑥𝑥 =
(𝑥2 + 𝑦2)1
2 −𝑥2
(𝑥2+𝑦2)12
(𝑥2 + 𝑦2)
𝑢𝑥𝑥 =
(𝑥2+𝑦2)−𝑥2
(𝑥2+𝑦2)12
(𝑥2 + 𝑦2)
𝑢𝑥𝑥 =𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)3
2
Derivando respecto a “y”:
𝑢𝑦 =𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)1
2
𝑢𝑦𝑦 =(1)(𝑥2 + 𝑦2)
1
2 − (𝑦) (1
2) (𝑥2 + 𝑦2)
−1
2 (2𝑦)
((𝑥2 + 𝑦2)1
2)2
𝑢𝑦𝑦 =
(𝑥2 + 𝑦2)1
2 −𝑦2
(𝑥2+𝑦2)12
(𝑥2 + 𝑦2)
𝑢𝑦𝑦 =
(𝑥2+𝑦2)−𝑦2
(𝑥2+𝑦2)12
(𝑥2 + 𝑦2)
𝑢𝑦𝑦 =𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)3
2
3. Se verifica si la igualdad se cumple.
𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0
𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)3
2
+𝑥2
(𝑥2 + 𝑦2)3
2
≠ 0
R//
La función 𝑢 = √𝑥2 + 𝑦2 ; no es solución de la ecuación de Laplace 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0.
TEMA 5 (20 PUNTOS)Escriba aquí la ecuación.
Dada la función:
𝑟(𝑡) =⟨𝑡2, 𝑡 + 2⟩ a) Dibuje la curva con la ecuación vectorial dada.
b) Dibuje el vector de posición para t=1.
c) Dibuje el vector tangente para t=1.
d) Determine la curvatura de C en el punto (1,1).
No. Explicación Operatoria
1. a) Dibuje la curva con la ecuación vectorial dada.
𝑟(𝑡) =⟨𝑡2, 𝑡 + 2⟩ De la ecuación vectorial se tiene que: 𝑥 = 𝑡2 𝑦 = 𝑡 + 2 Despejando el parámetro “t”:
𝑡 = √𝑥 𝐸𝑐. 1
𝑡 = 𝑦 − 2 𝐸𝑐. 2 Igualando Ec.1 y Ec.2
√𝑥 = 𝑦 − 2
𝑦 = ±√𝑥 + 2
2. b) Dibuje el vector de posición para t=1.
𝑟(𝑡) =⟨𝑡2, 𝑡 + 2⟩
𝑟(1) =⟨1,3⟩ = 1𝑖 + 3𝑗
3. c) Dibuje el vector tangente para t=1.
𝑟′(𝑡) =⟨2𝑡, 1⟩
𝑟′(1) =⟨2,1⟩ = 2𝑖 + 1𝑗
4. d) Determine la curvatura de C en el punto (1,1).
𝑟′(𝑡) =⟨2𝑡, 1,0⟩
𝑟′′(𝑡) =⟨2,0,0⟩ Para determinar la curvatura se tiene:
𝑘 =|𝑟′(𝑡) 𝑥 𝑟′′(𝑡)|
‖𝑟′(𝑡)‖3
Se realiza el producto cruz.
𝑟′(𝑡)𝑥 𝑟′′(𝑡) = |𝑖 𝑗 𝑘
2𝑡 1 02 0 0
|
𝑟′(𝑡)𝑥 𝑟′′(𝑡) = [(1)(0) − (0)(0)]𝑖 − [(2𝑡)(0) − (2)(0)]𝑗
+ [(2𝑡)(0) − (2)(1)]𝑘
𝑟′(𝑡)𝑥 𝑟′′(𝑡) = ⟨0,0, −2⟩
Se calcula el valor de la curvatura.
𝑘 =√(0)2 + (0)2 + (−2)2
(√(2)2 + (1)2 + (0)2)3
𝑘 =2
(√5 )3
𝑘 ≈ 0.18