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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA

FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CLAVE-101-2-M-1-06-2018

CURSO: Matemática Básica 1

SEMESTRE: Vacaciones de Junio

CÓDIGO DEL CURSO: 101

TIPO DE EXAMEN: 2do. Parcial

FECHA DE REALIZACIÓN: 19 de septiembre de 2018

RESOLVIÓ Y DIGITALIZÓ EL EXAMEN:

Rodolfo Guzmán Cermeño

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA

Matemática Básica 1 Viernes 08 / junio /2018

_____________

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL TEMARIO A2

TEMA 1. (20 puntos) Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya ecuación es 4𝑥2 + 4𝑦2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 2 = 0 y es perpendicular a la recta 2𝑦 − 𝑥 − 10 = 0. Grafique en un mismo plano cartesiano la circunferencia y las dos rectas.

TEMA 2. (20 puntos) Una tienda de caballeros vende en promedio 120 cinturones de pantalón mensualmente a un precio de Q. 100.00 cada uno. Un estudio de mercado concluye que por cada reducción de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 cinturones más al mes. Si 𝑥 es el precio de cada cinturón ¿con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? ¿Cuál sería ese ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q. 12,000.00, ¿a qué precio debería dar los cinturones?

TEMA 3. (20 puntos) Dada la función: 𝑔(𝑥) = −|𝑥 − 2| + 4 Determine: a) El dominio y rango de la función, restringiendo si fuera necesario para que la función sea

uno a uno. Recomendación: Grafique inicialmente la función. b) La función inversa de la función dada, indicando claramente su dominio y rango. c) Grafique un mismo plano cartesiano 𝑔(𝑥) así como 𝑔−1(𝑥). d) Determine 𝑔𝑜𝑔−1(𝑥).

TEMA 4. (20 puntos) La figura adjunta muestra la gráfica del polinomio 𝑃(𝑥), de grado 10 cuyos coeficientes son reales,

los interceptos con el eje 𝑥 son: 𝑥 = {−1, 0,3

4} .

Se sabe que una de las raíces es 𝑥 = 2 − √3𝑖 y que 𝑥 = −1 es una raíz de multiplicidad 2; además la función pasa por el punto (1, −48) . Calcule el coeficiente principal del dominio. Determine la ecuación del polinomio en su forma factorizada.

TEMA 5. (20 puntos) Dado el siguiente polinomio: ℎ(𝑥) = 12𝑥9 − 46𝑥8 + 50𝑥7 − 21𝑥6 + 3𝑥5 a) Determine las posibles raíces racionales. b) Aplicando la regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles

combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio. c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética.

Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática Matemática Básica 1

3

SOLUCIÓN DEL EXAMEN Índice

Tema 1 ................................................................................................................................................................ 4

Tema 2 ................................................................................................................................................................ 7

Tema 3 .............................................................................................................................................................. 10

Tema 4 .............................................................................................................................................................. 14

Tema 5 .............................................................................................................................................................. 16



4

Tema 1 TEMA 1. (20 puntos) Determine la ecuación de la recta que pasa por el centro de la circunferencia cuya ecuación es 4𝑥2 + 4𝑦2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 2 = 0 y es perpendicular a la recta 2𝑦 − 𝑥 − 10 = 0. Grafique en un mismo plano cartesiano la circunferencia y las dos rectas.

No. Explicación Operatoria

1. Se colocará la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria.

4𝑥2 + 4𝑦2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 2 = 0

2. Agrupar variables. (4𝑥2 + 12𝑥) + (4𝑦2 − 20𝑦) = 2

3. Completar cuadrados. 4 (𝑥2 + 3𝑥 +

9

4) + 4(𝑦2 − 5𝑦 +

25

4−25

4) = 2

4. Aplicar Trinomio Cuadrado Perfecto. 4(𝑥 +

3

2)2

− 9 + 4 (𝑦 −5

2)

2

− 25 = 2

5. Sumar. 4 (𝑥 +

3

2)2

+ 4 (𝑦 −5

2)

2

= 36

6. Dividir. (𝑥 +

3

2)2

+ (𝑦 −5

2)

2

= 9

7. Identificar las coordenadas del centro.

𝐶 ( −3

2 ,

5

2 )

8. Ecuación de la recta. 2𝑦 − 𝑥 − 10 = 0

9. Despejar y. 2𝑦 = 𝑥 + 10

10. Despejar y. 𝑦 =

1

2𝑥 + 5



5

11. Identificar la pendiente. 𝑚 =

1

2

12. La pendiente de una recta perpendicular a otra es igual al negativo del inverso de aquella.

𝑚2 = −2

13. Fórmula punto-pendiente para la ecuación de una recta.

𝑦 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

= 𝑚2

14. Sustituir valores. 𝑦 −5

2

𝑥 +3

2

= −2

15. Despejar y. 𝑦 = −2𝑥 − 3 +

5

2

16. Despejar y. Se ha encontrado la ecuación de la recta buscada.

𝒚 = −𝟐𝒙 −𝟏

𝟐

17. Graficar.



6

𝒚 = −𝟐𝒙 −𝟏

𝟐



7

Tema 2 TEMA 2. (20 puntos) Una tienda de caballeros vende en promedio 120 cinturones de pantalón mensualmente a un precio de Q. 100.00 cada uno. Un estudio de mercado concluye que por cada reducción de Q.5.00 en el precio, se venderían 10 cinturones más al mes. Si 𝑥 es el precio de cada cinturón ¿con qué precio se obtiene el ingreso mensual máximo? ¿Cuál sería ese ingreso máximo? Si el dueño se conforma con un ingreso de Q. 12,000.00, ¿a qué precio debería dar los cinturones?


1. Definir variable. 𝑥: 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑐𝑖𝑛𝑡𝑢𝑟ó𝑛

2. Nombrar ventas mensuales. 𝑉: 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠

3. Graficar relación entre x y V.

4. Analizar relación. La relación es una recta.

5. Encontrar pendiente.

𝑚 =𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝑚 =(10)

(−5)= −2

6. Usar fórmula punto-pendiente:

𝑉 − 120

𝑥 − 100= −2



8

𝑉 − 𝑉0𝑥 − 𝑥0

= 𝑚

7. Despejar 𝑉. 𝑉 = −2𝑥 + 200 + 120

8. Despejar 𝑉. Tenemos la función de ventas en términos del precio.

𝑉(𝑥) = −2𝑥 + 320

9.

9. Definir el ingreso mensual 𝐼. 𝐼 = 𝑥 ∙ 𝑉

10. Definir como función. 𝐼(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑉(𝑥)

11. Sustituir. 𝐼(𝑥) = 𝑥 ∙ (−2𝑥 + 320)

12. Expandir. 𝐼(𝑥) = −2𝑥2 + 320𝑥

13. Factor común. 𝐼(𝑥) = −2(𝑥2 + 160𝑥)

14. Completar cuadrados. 𝐼(𝑥) = −2(𝑥2 + 160𝑥 + 802 − 802)

15. Trinomio cuadrado perfecto. 𝐼(𝑥) = −2(𝑥 − 80)2 + 2(802)

16. Función equivalente. 𝐼(𝑥) = 12,800 − 2(𝑥 − 80)2

17. El máximo de 12,800 −

2(𝑥 − 80)2 es 12,800 porque 2(𝑥 − 80)2 siempre es positivo. 𝑥 = 80 produce 𝐼(𝑥) =12,800

𝐼𝑀𝑎𝑥 = 12,800 𝑥 = 80

Con un precio de Q 80.00 se obtiene el ingreso máximo que es igual a Q 12,800.00



9

18. El dueño se conforma con un ingreso de Q. 12,000.00

𝐼(𝑥) = 12,000

19. Sustituir. −2𝑥2 + 320𝑥 = 12,000

20. Trasladar todos los términos de un lado de la ecuación.

−2𝑥2 + 320𝑥 − 12,000 = 0

21. Factor común. −2(𝑥2 − 160𝑥 + 6,000) = 0

22. Factorizar. “Dos números que multiplicados dan 6,000 y sumados dan -160”

−2(𝑥 − 100)(𝑥 − 60) = 0

23. Despejar 𝑥. 𝑥 = {10060

Los cinturones se pueden dar a Q 60.00 o a Q 100.00 para obtener un ingreso de Q 12,000.00



10

Tema 3 TEMA 3. (20 puntos) Dada la función: 𝑔(𝑥) = −|𝑥 − 2| + 4 Determine: a) El dominio y rango de la función, restringiendo si fuera necesario para que la función

sea uno a uno. Recomendación: Grafique inicialmente la función. b) La función inversa de la función dada, indicando claramente su dominio y rango. c) Grafique un mismo plano cartesiano 𝑔(𝑥) así como 𝑔−1(𝑥). d) Determine 𝑔𝑜𝑔−1(𝑥).

Inciso a)


1. Graficar función.

2. Dos valores distintos de 𝑥 dan un mismo valor de y.

La función no es uno a uno.

3. Restringir dominio para que sea uno a uno.

𝐷: 𝑥 ∈ [2 , +∞)

4. Identificar el rango. 𝑅: 𝑦 ∈ (−∞ , 4]

𝐷: 𝑥 ∈ [2 , +∞)

𝑅: 𝑦 ∈ (−∞ , 4]



11

Inciso b)


5. La función en el dominio restringido tiene la siguiente forma.

𝑦 = −𝑥 + 6

6. Despejar 𝑥. 𝑥 = −𝑦 + 6

7. Se obtuvo la función inversa. 𝑔−1(𝑥) = −𝑥 + 6

8. Identificar el dominio. 𝐷: 𝑥 ∈ (−∞ , 4]

9. Identificar el rango. 𝑅: 𝑦 ∈ [2 , +∞}

𝑔−1(𝑥) = −𝑥 + 6

𝐷: 𝑥 ∈ (−∞ , 4]

𝑅: 𝑦 ∈ [2 , +∞}



12

Inciso c)


10. Graficar.



13

Inciso d)


11. Fórmula. 𝑔𝑜𝑔−1(𝑥) = 𝑔(𝑔−1(𝑥))

12. Sustituir. = −𝑔−1(𝑥) + 6

13. Sustituir. = −(−𝑥 + 6) + 6

14. Operar. = +𝑥 − 6 + 6

15. Simplificar. = 𝑥

𝑔𝑜𝑔−1(𝑥) = 𝑥



14

Tema 4 TEMA 4. (20 puntos) La figura adjunta muestra la gráfica del polinomio 𝑃(𝑥) , de grado 10 cuyos coeficientes son reales, los interceptos con el

eje 𝑥 son: 𝑥 = {−1, 0,3

4}. Se sabe que una

de las raíces es 𝑥 = 2 − √3𝑖 y que 𝑥 = −1 es una raíz de multiplicidad 2; además la función pasa por el punto (1, −48) . Calcule el coeficiente principal del dominio. Determine la ecuación del polinomio en su forma factorizada.


1. Identificar raíces. 𝑥 = −1 Multiplicidad 2

𝑥 = 0 Multiplicidad 5

𝑥 =3

4

𝑥 = 2 − √3𝑖

𝑥 = 2 + √3𝑖

2. Obtener factores a partir de las raíces.

(𝑥 + 1)2

x5

(𝑥 −3

4)

(𝑥 − 2 + √3𝑖)

(𝑥 − 2 − √3𝑖)

3. Combinar factores imaginarios en un solo factor real.

(𝑥 − 2 + √3𝑖)(𝑥 − 2 − √3𝑖)

[(𝑥 − 2) + √3𝑖][(𝑥 − 2) − √3𝑖]



15

(𝑥 − 2)2 − (√3𝑖)2

𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 3

(𝑥2 − 4𝑥 + 7)

4. Escribir ecuación del polinomio.

𝑃(𝑥) = 𝑎10 𝑥5(𝑥 + 1)2 (𝑥 −

3

4) (𝑥2 − 4𝑥 + 7)

5. Se sabe de las instrucciones. 𝑃(1) = −48

6. Sustituir. 𝑎10 (1)

5(1 + 1)2 (1 −3

4) (12 − 4(1) + 7) = −48

7. Despejar 𝑎10 𝑎10 = −12

Coeficiente principal = -12

8. Sustituir 𝑎10 en la ecuación del polinomio.

𝑃(𝑥) = (−12) 𝑥5(𝑥 + 1)2 (𝑥 −3

4) (𝑥2 − 4𝑥 + 7)

𝑷(𝒙) = 𝟏𝟐 𝑥5(𝑥 + 1)2 (𝑥 −3

4) (𝑥2 − 4𝑥 + 7)



16

Tema 5 TEMA 5. (20 puntos) Dado el siguiente polinomio: ℎ(𝑥) = 12𝑥9 − 46𝑥8 + 50𝑥7 − 21𝑥6 + 3𝑥5 a) Determine las posibles raíces racionales. b) Aplicando la regla de signos de descartes, indique mediante una tabla las posibles

combinaciones de raíces nulas, positivas, negativas y complejas del polinomio. c) Calcule las raíces del polinomio mediante división sintética.

Inciso a)


1. ℎ(𝑥) = 12𝑥9 − 46𝑥8 + 50𝑥7 − 21𝑥6 + 3𝑥5

2. Factorizar. ℎ(𝑥) = 𝑥5(12𝑥4 − 46𝑥3 + 50𝑥2 − 21𝑥 + 3)

3. Identificar las raíces nulas. 𝑥 = 0 Multiplicidad 5

4. Se buscará las posibles raíces del factor restante.

𝑞(𝑥) = 12𝑥4−46𝑥3+50𝑥2−21𝑥+ 3

5. Se divide el término constante entre el coeficiente principal y se identifican todos sus factores.

𝑝

𝑞=

3 , 1

12 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1

6. Se identifica las posibles raíces a partir del cociente.

𝑥 = {±3, ± 1, ±3

2, ±

1

2, ±

1

3, ±

3

4, ±

1

4, ±

1

6, ±

1

12}

x = {±3, ± 1, ±3

2, ±

1

2, ±

1

3, ±

3

4, ±

1

4, ±

1

6, ±

1

12}

Inciso b)

7. Identificar los cambios de signo en 𝑞(𝑥).

𝑞(𝑥) = +12𝑥4−46𝑥3+50𝑥2−21𝑥+ 3



17

8. Hay cuatro cambios de signo, por tanto hay un máximo de 4 raíces positivas.

4, 2 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

9. Identificar los cambios de signo en 𝑞(−𝑥).

𝑞(−𝑥) = +12𝑥4 + 4𝑥3 + 50𝑥2 + 21𝑥 + 3

10. No hay cambios de signo. 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠

11. Elaborar tabla. Nulas (+) (-) Complejas Total

5 4 0 0 9

5 2 0 2 9

5 0 0 4 9

Nulas (+) (-) Complejas Total

5 4 0 0 9

5 2 0 2 9

5 0 0 4 9

.

Inciso c)

12. Se tiene estas posibles raíces. 𝑥 = {±3, ± 1, ±

3

2, ±

1

2, ±

1

3, ±

3

4, ±

1

4, ±

1

6, ±

1

12}

13. Se probará esta raíz. 𝑥 =

1

3

14. La división sintética comprueba que es una raíz, porque da cociente cero.

12 −46 50 −21 3 1/3 4 −14 12 −3

12 −42 36 −9 0

15. Se probará esta raíz con el cociente de la última división.

𝑥 =1

2

16. La división sintética demuestra que es una raíz.

12 −42 36 −9 1/2 6 −18 9 12 −36 18 0



18

16. Después de dos divisiones queda un factor cuadrático. 2𝑥2 − 36𝑥 + 18 = 0

17. Se encuentran las soluciones con la fórmula cuadrática.

𝑥 =

{

3 + √3

2≅ 2.366

3 − √3

2≅ 0.634

𝒙 = 𝟎 𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝟓

𝒙 =𝟏

𝟑

𝒙 =𝟏

𝟐

𝒙 =𝟑

𝟐+√𝟑

𝟐

𝒙 =𝟑

𝟐−√𝟑

𝟐

.

~~𝐹𝑖𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑙𝑎𝑣𝑒~~

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