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Universidad Técnica Federico Santa María

1


Departamento de Informática

ILI-280

Capítulo 5:Capítulo 5:Variables AleatoriasVariables Aleatorias

DistribucionesDistribucionesEstadística ComputacionalEstadística Computacional

I Semestre 2006I Semestre 2006

Profesor : Héctor Allende

Profesor : Carlos Valle

2

Función que asigna a cada punto del espacio muestral un número real

Ejemplo N°1:

Ω =falla , no falla

X( no falla ) = 0

X( falla ) = 1

ℜ→Ω:X

Variables AleatoriasVariables Aleatorias

3

fallano falla

ΩΩΩΩEspacio Muestral

X(falla) = 1X(no falla) = 0

0 1∞∞∞∞−−−− ∞∞∞∞++++

ConjuntoNúmeros

Reales

IR

X : ΩΩΩΩ Rx ∈

X-1(]-∞, x]) ∈∈∈∈ ℑ Familia de eventos elementales

IR

A cada s ∈ Ωle corresponde

exactamente un valor X(s)


4

a b

RX

Ω X(s) = b; s ∈ Ω

X(s) = a

si

A

sk

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).

• En cierto sentido podemos considerar RX como otro espacio muestral.

• El espacio muestral original “induce” un espacio muestra RX asociado a la

Variable Aleatoria X.

• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX.

Ω



2

( a < x < b )

( a < x ≤ b ]

[ a ≤ x < b )

[ a ≤ x ≤ b ]

Nótese que para cada

par de

números reales a y b

existen los

siguientes conjuntos

a b

RX

X(s) = b; s ∈ Ω

X(s) = a

si

sk

A

( x > a ∞

( x ≥ a ∞

x < b ) - ∞x ≤ b ]- ∞


6

El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el espacio muestral Ω se puede aplicar a eventos en RX.

RX

X: Ω RX

Ω

X(s) = x

1

0

f : R [0, 1]

f(x)0 ≤ P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1

s

Función de ProbabilidadFunción de Probabilidad

7

Variable Aleatoria DiscretaVariable Aleatoria Discreta

Variable AleatoriaVariable Aleatoria

ℑ∈∞−

ℜ→Ω− ]),(]

:

1 xX

X

X

cf

cf

NIicCf:C

CC

i

i

i

acion transformla Usando

1)( ii)

0)( i)

:

contable Soporte )(con Sea

Ii

=

≥

⊆∈=ℜ→

Ω⊆ℑ∈

∑∈

8

Sea X una variable aleatoria

Si el número de valores de X (esto es su Recorrido).

Es finito (contable) o.

Es contablemente infinito (denumerable).

Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.

Esto es, los valores de X (w) pueden ser enumerados.

x1, x2, x3, …, xn, …

En el caso contable la lista es finita.

En el caso denumerable la lista es infinita contable



3

9


Sea , conjunto de eventos elementales de una familia de eventos del espacio muestra; C ⊆ Ω

es una función definida sobre el Espacio Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales los eventos elementales definidos en C = ci: i ∈ I ⊆ N , tal que:

Sea A el evento tal los eventos elementales ci∈C pertnezcan también a A, esto es ci ∈ C ∩ A. Usando la transformación X:

ℑ∈C

ℜ→CX :

∑ ∑∩∈∈

===

=

:

)()()(

)(

ACcij i

ij

ii

i

xXPcfAP

xcx

0)()( ≥= ii cPcp

10

Función de Probabilidad v.a discretaFunción de Probabilidad v.a discreta

A cada resultado posible xi se asocia un número

llamado la probabilidad de xi

Los f(xi) deben satisfacer:

El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le denomina Función de Probabilidad o Cuantía.

))(()( ii xsXPxf ==

x

P (X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa”Función de Frecuencia

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

f(xi)

∑ =

≤≤

i

i

i

xf

xf

1)(

1)(0

11

Propiedades función de cuantía:

Función de Distribución

Función de Cuantía de una v.a. discretaFunción de Cuantía de una v.a. discreta

∑ ∑∩∈∈

===

=

:

)()()(

)(

ACcij i

ij

ii

i

xXPcfAP

xcx

1)(

0)(

==

≥=

∑i

i

i

xXP

xXP

∑∑≤≤

===xx

i

xx

i

ii

xfxXPxF )()()(

12

[ ] ∑ ==i

ii xXPxXE )(

[ ] [ ]∑ =−=i

ii xXPXExXV )()( 2

Esperanza y Varianza de una v.a. discretaEsperanza y Varianza de una v.a. discreta

Esperanza de una v.a.d. X

Varianza de una v.a.d X


4

13

Consideremos un solo experimento ε

sea A un evento asociado con tal experimento.

supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p

P(X = 1) = p

P(X = 0) = 1 – p

f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x

X = 0, 1

0 < p < 1

Entonces su función de

cuantía es

0

0 1

p = 0,7

x

f(x)

Sea la v.a. X(A ) = 1

X(Ac) = 0

Distribución Distribución BernoulliBernoulli

14

Distribución Distribución BernoulliBernoulli

Variable aleatoria discreta Bernoulli:

donde se tienen sólo 2 eventos posibles:

Esperanza: E [X] = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p Varianza: V [X] = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p

= p ( 1 - p )

ℜ→Ω:X

pwXP

pwXP

==

−==

)1)((

1)0)((

15

Supongamos que de una línea de producción se extraen n piezas con reemplazo, las cuales pueden ser defectuosas o no con una probabilidad “p”.X: N° de piezas defectuosas en las n

extracciones

Entonces

Distribución Distribución BinomialBinomial

nkppk

nkXP knk ,...,1,0 )1()( =−

== −

16

x

n

• Sean n repeticiones independientes del experimento.

• Ω consiste de todos los posibles secuencias a1, a2, a3, .., an, donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac.

• Existen 2n de tales secuencias.

Sea la variable aleatoria X := número de veces que

ocurre el evento A

sus posibles valores son: 0, 1, 2, 3 , ....., n

f(x) = P(X = x) = px (1 –p)n-x

x = 0, 1, 2,......,n0 < p < 1

0,000

0,100

0,200

0,300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n = 16p = 0,2

x

f(x)



5

17


Esperanza: E [X] = npVarianza : V [X] = np (1-p)

Notación:

Características:Se utiliza en el muestreo de una población finita

con reemplazo. También cuando la población es muy grande, con

o sin reemplazo, ya que “p” se hace relativamente constante.

),(~ pnBiX

18


19

Distribución Distribución HipergeométricaHipergeométrica

Surge en poblaciones que contienen elementos clasificables en 2 estratos (con defectos: D ; sin defectos: N - D).

Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazo.

X: N° de artículos defectuosos en la muestra

20

−

−

==

n

N

kn

DN

k

D

kXP )(

k =0,1,2,.....,min n , D

Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño en relación al tamaño de la muestra (N ≤ 10 n).

[ ]N

DnXE = [ ]

)1(

))((2 −

−−=

NN

nNDNDnXV



6

21

Supongamos que tenemos una muestra de tamaño grande, para lo cual la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso es pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número total de artículos defectuosos en la muestra.

Sea λ = np.Entonces

,....2,1,0 !

)( ===−

kk

ekXP

k λλ

Distribución de Distribución de PoissonPoisson

22


23

Esperanza: E [X] = λVarianza: V [X] = λ

Caso límite: X ∼ B( n , p )

con

nkInnk

nkXP

knk

,,....2,1,0

)(1)(

−

−

==

λλ

)(0!

)( kN

k

Iek

kXP λλ −==


0y ≈∞→ pn

24

Construcción de un Modelo Construcción de un Modelo ProbabilísticoProbabilístico

Ejemplo: Las piezas a la salida de una línea de producción se

clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N).

Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo a este esquema. El Ω para este experimento es:

Ω = NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD

La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no cambia. Eso implica que si la población es finita, las observaciones se hacen con reemplazo

Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen.

Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas; luego, X = 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))


7

25

Ω = NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD

x

f(x)

0

(1-p)3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2

3(1-p) p2

3

p3

1

X(NND)= 1

X(NDN)= 1

X(DNN)= 1

3(1-p)2p

3 P(N) P(N) P(D)

Creando un modelo Creando un modelo probabilísticoprobabilístico

26

x

1

0

F(x)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 xn

P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa”Función de Frecuencia

F(x) = 0 x < x1

= Σ f( xi ) x1 ≤ x < x2

1

i = 1

= Σ f( xi ) x2 ≤ x < x3

2

i = 1

= Σ f( xi ) x3 ≤ x < x4

3

i = 1

= Σ f( xi ) x4 ≤ x < x5

4

i = 1

Función de distribución v.a. discretaFunción de distribución v.a. discreta

27

Variables Aleatorias ContinuasVariables Aleatorias Continuas

Cuando el experimento ε se realiza sobre un espacio muestral Ω que está relacionado con escalas intevalares.

tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal, temperatura, etc.

Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimovalor de X = xi; En tales casos se habla de Variables Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto de intervalos; entonces existe una función continua especial:

ℜ→ℜ:f

0)(

lim)(0

>+<<

=→ h

hxXxPxf

h

28

f(x)

xf(x) > 0;

Sea X una variable aleatoria continua. La función densidad de probabilidad (pdf) es una función que satisface:

∀ x ∈ Rx ∈ −∞, +∞

∫ f(x) dx = 1

Rx

a b

∫=

b

a

dxxP(A) = P(a < x < b) )(f

A: un evento

A: x| a < x ≤ b)



8

29

Están definidas por una densidad de v. a. X

se dice densidad de probabilidad

Propiedades:

∫∞

∞

=-

f(x)dx 1

Distribuciones de Probabilidad ContinuasDistribuciones de Probabilidad Continuas

ℜ→ℜ:f

0≥f(x)

30

∫∞−

=≤=x

dttxXPxF )(f)()(

1.

2.

3. F (-∞∞∞∞) = 0 ; F (∞∞∞∞) = 1

4. Fx es no decreciente

5.

6.

∫=≤≤b

a

dxxbxaP )(f)(

[ ] ∫=R|

)(f dxxxXE

[ ] [ ]∫ −=R

dxxfXExXV )()( 2

a b

∫=b

a

dxxfA )(f(x)

x

Propiedades y DefinicionesPropiedades y Definiciones

31

Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:

Función de distribución acumuladaFunción de distribución acumulada

)()( xXPxF ≤=

Si X es una v.a. Discreta

Donde la suma es tomada sobre todos los índices i que satisfacen xi ≤ x

Si X es una v.a. Discreta

∑≤∃∀

=xxi

i

i

xfxF

)()(

Si X es una v.a. Continua

Donde la sumatoria es reemplazada por una integración para todos los valores de t ≤ x

Si X es una v.a. Continua

∫∞−

=x

dttfxF )()(

32

Construcción de Modelos de ProbabilidadConstrucción de Modelos de Probabilidad

Sea es una función de distribución, entonces: F es no decreciente

F es continua por la derecha

Luego P(]]]] -∞∞∞∞ , x ]]]]) = F(x) define una Probabilidad Además:

P( ]a,b] ) = F(b) - F(a)

P( [a,b] ) = F(b) - F(a-)

P( ]a,b[ ) = F(b-) - F(a)

P( [a,b[ ) = F(b-) - F(a-)

ℜ→ℜ:F

1)(limy 0)(lim ==∞→−∞→

xfxfxx


9

33

abxf

−=

1)( a ≤ x ≤ b

min máx

0,0

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a b

f(x)

x

Sea X una variable aleatoria continua que puede tomar

cualquier valor entre a ≤ x ≤ b; cuya pdf es:

Sea a = 3; b = 12

A: el evento 4 < x < 7

Entonces:

∫=

7

4

dxP(A) = P(4 < x < 7)9

1

P(A) = 1

3


34

Función de densidad

Función de Distribución es

Esperanza Varianza

Notación:

bxaab

xf <<−

=1

)(

≥

<<−

−

≤

=

bx

bxaab

ax

ax

xF

1

0

)(

Distribución UniformeDistribución Uniforme

[ ]2

baXE

+= [ ]

12

)( 2abXV

−=

),(~ baUX

35

Distribución UniformeDistribución Uniforme

36


La función de Distribución no tiene expresión analítica. (Usar tablas o calculadoras)

Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución Normal o Distribución Normal o GaussianaGaussiana

Rxexf

x

∈=

−−

,)(

2

2

1

2

1 σ

µ

σπ

[ ] µ=XE

[ ] 2σ=XV

),(~ 2σµNX


10

37

Distribución NormalDistribución Normal

38

EstandarizaciónEstandarización

Haciendo

∼∼∼∼ N( 0 , 1 )

se tiene que:

y FZ(z) se obtiene de tablas !

σ

µ−=X

Z

Rzezfz

z ∈=−

,)(2

2

1

2

1

π

Distribución Normal o Distribución Normal o GaussianaGaussiana

39



Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución ExponencialDistribución Exponencial

)exp(~ λX

0 ,01

)( >≥=−

λλ

λ xsiexfx

X

01)( ≥−=−

xexFx

Xλ

[ ] λ=XE

[ ] 2λ=XV

40

Distribución ExponencialDistribución Exponencial


11

41



Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución de Distribución de RayleighRayleigh

)(~ αRX

0)(2

2

22

≥=−

xsiex

xf

x

Xα

α

01)(2

2

2 ≥−=−

xexF

x

Xα

[ ]2

2πα=XE

[ ] 2)2

2( απ

−=XV

42

Distribución de Distribución de RayleighRayleigh

43



Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución de Distribución de WeibullWeibull

),(~ baWeibullX

0,0,0)( 1 >>≥= −− baxsieabxxfbaxb

X

[ ]

+Γ= −

baXE b 1

1/1

[ ]

+Γ−

+Γ= −

bbaXV b 1

12

12/2

01)( ≥−= − xexFbax

X

44

Distribución de Distribución de WeibullWeibull


12

45


Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución tDistribución t--studentstudent

νtX ~

[ ] 1 0 >= νXE

[ ] 2 2

>−

= νν

νXV

2

12

1

11

2

2

1

)(+

+

Γ

+Γ

=ν

ν

νπν

ν

x

xf X

46

Distribución tDistribución t--studentstudent

47



Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución GammaDistribución Gamma

),(),(~ βαβα Γ=GammaX

)()(

),,(1

xIex

xfR

x

X +Γ

=

−−

α

βα

βαβα

∫∞−

=≤=x

X dttfxXPxF ),,()()( βα

[ ] αβ=XE

[ ] 2αβ=XV∫∞

−− >=Γ0

1 0ndyeyn yn)(

48

Distribución GammaDistribución Gamma

),(~ βαΓX


13

49



Esperanza

Varianza

Notación:

Distribución ChiDistribución Chi--CuadradoCuadrado

)2,2/()(~ 2 nnX Γ=χ

∫∞−

=≤=x

X dtntfxXPxF ),()()(

( ) (x)In

Γ

exx,nf

Rn

xn

X +

=

−−

2

21

2

22

[ ] nXE =

[ ] nXV 2=

50

Distribución ChiDistribución Chi--CuadradoCuadrado

51



Esperanza Varianza

Notación:

Distribución BetaDistribución Beta

),(),(~ srsrBetaX β=

∫∞−

=≤=x

X dusrufxXPxF ),,()()(

[ ]sr

rXE

+=

[ ])()( 1

2 +++=

srsr

rsXV

[ ])()(

)()(

usrr

ursrXE

++ΓΓ

+Γ+Γ=µ

[ ] )()()()(

)(),,(

,xIxx

sr

srsrxf sr

X 10

11 1 −− −ΓΓ

+Γ=

∫−− −=

1

0

111 dxxxsr

sr)(),(β

52

Distribución BetaDistribución Beta

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