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Amostragem de Sinais
Prof. Juan Moises Mauricio Villanueva
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Amostragem (Sampling)
• Para um sinal em tempo continuo x(t)
• Considera-se um trem de impulsos p(t), com período T
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Amostragem (Sampling)
• O sinal amostrado se obtém da multiplicação do sinal x(t) com o trem de impulsos p(t)
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x(t) sinal em tempo continuo
p(t) função de amostragem (trem de impulsos)
xp(t) sinal amostrado no tempo discreto
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Sinal no tempo continuo
Função de amostragem
Sinal amostrado no tempo
discreto
2s
T
Amostragem (Sampling)
1sf
T
• O sinal amostrado pode ser representado como um trem de impulsos ponderados com período T
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( )p
n
x t x nT t nT
Amostragem (Sampling)
• Considerando que o espectro de Fourier do sinal x(t) é:
Com frequência máxima de M
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Análise da Amostragem na Frequência
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Para analisar o que acontece com o produto no tempo e na
frequência, se deve utilizar as propriedades de convolução da
Transformada de Fourier
Análise da Amostragem na Frequência
( )* ( ) ( ) ( )
1( ). ( ) ( )* ( )
2
F
F
x t p t X P
x t p t X P
• A transformada de Fourier de uma sequência de impulsos é:
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2( ) ( )
F
s
k
p t P kT
Análise da Amostragem na Frequência
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Domínio do Tempo
( ) ( ) ( )
( )
( )
p
n
p
n
x t x t p t
p t t nT
x t x nT t nT
Domínio da Frequência
1( ) *
2
2( )
1 2( ) *
2
1( )
p
s
k
p s
k
p s
k
X X P
P kT
X X kT
X X kT
Sequência periódica
Análise da Amostragem na Frequência
• Ao realizar a amostragem do sinal x(t), o resultado na frequência é equivalente a replicar o espectro original em múltiplos da frequência de amostragem s
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Análise da Amostragem na Frequência
1( )X
T 1
( )sXT
1
( 2 )sXT
• O espectro do sinal amostrado xp(t) é representado por Xp()
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( )p
n
x t x nT t nT
Sequência Amostrada no
Tempo
Sequência Amostrada na
Frequência
Análise da Amostragem na Frequência
1( )p s
k
X X kT
1( )X
T 1
( )sXT
1
( 2 )sXT
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Teorema da Amostragem
• Amostragem no dominio da frequência
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M s M
M s
M=Freq. Máxima
s=Freq. Amostragem
Condição para que não haja superposição de espectros
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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
• Os filtros eletrônicos restringem o passo de alguns componentes de frequência.
( )( ) | ( ) |
jH H e
Filtro Passa-Baixa
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1c
RC
H(): Função de transferência do sistema c : Frequência de corte
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Reconstrução do Sinal usando Filtros Analógicos
A recuperação do espectro original X() pode ser realizada utilizando um filtro passa-baixa com frequência de corte:
2
Sc
Transf. Inversa de
Fourier
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• Se:
Efeito Aliasing
• Neste caso existe superposição entre os espectros repetidos de X()
2
s M M
s M
Efeito Aliasing (Superposição de Espectros)
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• Define-se o Teorema da Amostragem:
– Se x(t) é um sinal de largura de banda limitada, X()=0 para ||>M.
– Então x(t) é únicamente determinada por suas amostras no dominio discreto x(nT), se:
22 :s M scom
T
12 :s M sf f com f
T
Teorema da Amostragem
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Exemplo 1
• Para o sinal
• Com frequência de amostragem fs=8000 Hz
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Exemplo 1
• Sinal amostrado a fs=8000 Hz
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• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.
Teorema da Amostragem
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Teorema da Amostragem
• Desta maneira, a partir da amostragem correta, é possível reconstruir o sinal no tempo continuo a partir das amostras discretas.
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Reconstrução de Sinais
• A reconstrução de sinais, é o procedimento de recuperação do sinal analogico a partir das amostras do sinal.
• Este procedimento pode fazer uso de um filtro passa-baixo.
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Reconstrução de Sinais
• Primeiramente, o sinal discreto processado x(n) se converte em um trem de impulsos xs(t) cuja amplitude é proporcional à saída discreta x(n).
• Dois impulsos consecutivos são separados com um período de amostragem T
• Finalmente, aplica-se um filtro analógico de reconstrução para a recuperação das amostras do sinal xs(t), obtendo-se o sinal recuperado.
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Reconstrução de Sinais
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Reconstrução de Sinais
• Para um sinal x(t) com espectro
• A recuperação do sinal depende da frequência de amostragem escogida.
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Reconstrução de Sinais
• Caso 1: fs=2fmax
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Reconstrução de Sinais
• Caso 2: fs≥2fmax
A frequência de corte do filtro passa-baixo é definida por
2
s
c
fB f
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Reconstrução de Sinais
• Caso 3: fs<2fmax
Conversor ADC – Tipo FLASH
• Está composto por uma tensão de referência, comparadores lógicos e uma unidade lógica.
• Por exemplo para um ADC de 2 bits
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Conversor ADC – Tipo FLASH
• Este conversor tem uma alta velocidade de conversão, devido a que todos os bits são aquiridos ao mesmo tempo
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Quantização
• A quantização é o processo de converter um nível de tensão analógico com precisão infinita a uma precisão finita.
• Por exemplo, se o processador digital tem 3-bits, as amplitudes podem ser convertidas em oito diferentes níveis.
• Um Quantizador Unipolar, trabalha com sinais de 0 volt a uma tensão de referência positivo.
• Um Quantizador Bipolar, tem uma faixa de tensão desde uma referência negativa a uma positiva.
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Quantización
xmax = valor máximo de tensão do sinal analógico x
xmin = valor mínimo de tensão do sinal analógico x
L = número de níveis de quantização
#Bits = número de bits do conversor ADC
= passo de quantização ou resolução do conversor ADC
xq = níveis de quantização
i = indica o índice correspondente do código binário
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max min
min
min
2
0,1,..., ( 1)
Bits
q
x xL
L
x xi round
x x i i L
Erro de Quantização
• Quando o sinal de entrada x, se quantiza a xq, tem-se um erro de quantização definido como o erro de quantização:
• Limites do erro de quantização
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q qe x x
2 2qe
Erro de Quantização
• O erro de quantização tem uma distribuição uniforme quando o é muito menor que a faixa dinâmica do sinal amostrado e com um número suficiente de amostras.
• Baseado na teoria de probabilidades e variáveis aleatórias, a potencia do ruído de quantização é dado por:
Em que: E(.) é o operador de média
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2
2
12qE e
Erro de Quantização
• A relação de potência sinal a ruído de quantização (SNR)
• Em decibelios
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2
2
q
E xSNR
E e
10
2
10 102
10
10
10 10/12
10.79 20
dB
rms
dB
q
rms
dB
SNR Log SNR
E x xSNR Log Log
E e
xSNR Log
1 12 2
0 0
1 12 2
0 0
1( ) ( )
1( ) ( )
N N
n n
N N
q q
n n
x n x nN
SNR
e n e nN
Quantizador Unipolar
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max
min
8
0
3
2 8Bits
x
x
Bits
L
Erro de
Quantização
min0,1,...,7qx x i i
Quantizador Unipolar
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Quantizador Bipolar
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Erro de
Quantización
max
min
4
4
3
2 8Bits
x
x
Bits
L
min0,1,...,7qx x i i
Quantizador Bipolar
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Exemplo 2
• Para um ADC de 3-bit com intervalo de entrada de 0 a 5 volt
• Para o nível de tensão do sinal de entrada x=3,2 volt
40
max min5 0
3 2 8
5 00,625
8
Bits
x x
Bits L
volt
min
3,2 0(5,12) 5
0,625
0 5 0,625 3,125
q
q
i round round
x x i
x volt
Exemplo 2
• Para a tensão x=3,2 volt o valor da tensão quantizado é
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3,125qx v
3,125 3,2
0,075
q q
q
q
e x x
e
e v
0,075 0,31252
qe v
Limite do eq
Exemplo 3
• Para um sinal analógico
• Utilizando um quantizador Bipolar
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( ) .sin 2 1000x t A t
10
10 10
0,707
2
2
0,70710,79 20
2
2
0,70710,79 20 20 2
2
1,76 6,02 ( )
rms
Bits
dB
Bits
dB
dB
x A
A
ASNR Log
A
SNR Log Bits Log
SNR Bits dB
1010,79 20 rms
dB
xSNR Log