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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística
Modelagem Direta de Resistividade Compelxa 3D Usando o Métodode Elementos Finitos
Walter Jesus da Costa Martins Filho
BELÉM
2013
Walter Jeus da Costa Martins Filho
Modelagem Direta de Resistividade Complexa 3D usando o Métodode Elementos Finitos
Dissertação de mestrado apresentado
como requisito para obtenção do título
de Mestre em Matematica Aplicada e
Estatistica, da Universidade Federal do
Pará.
Orientador: Dr. Valcir João da Cunha
Farias.
BELÉM
2013
CERTIFICADO DE AVALIAÇÃO
Walter Jesus da Costa Martins Filho
Modelagem Direta de Resistividade Complexa 3D Usando o Metodode Elementos Finitos
Dissertação de Mestrado apresentado como requisito para obtenção do título de
Mestre em Matematica Aplicada e Estatistica da Universidade Federal do Pará,
pela seguinte banca examinadora:
Prof. Dr. Valcir João da Cunha Farias (Orientador)
PPGME, UFPA
Prof. Dr. Ducival Carvalho Pereira (Convidado Externo)
UEPA
Prof. Dr. Heliton Ribeiro Tavares
PPGME, UFPA
DATA DA AVALIAÇÃO: / /
CONCEITO:
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Amemória de Walter Jesus da Costa Martins
(meu pai), Maria Madalena Medeiros Fer-
reira (minha avó), Jácira da Costa Martins
(minha avó), Cassio Pacheco Martins (meu
avô) e Silvia Aparecida do Amaral Rocha
(minha amiga).
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus que me ensina a vencer as diculdades de cada dia.
Agradeço a minha familia que esta sempre comigo, meu avô Aluizio Lopez Ferreira, minha
mãe Sueli Medeiros Ferreira Martins, meus irmão Marja Ferreira Martins e Idelso de Jesus de
Souza Leal Junior e meus sobrinhos Cibeli Tainá Casilho Leal e Idelso de Jesus de Souza Leal
Neto.
Agradeço a meu tio Wilkens José da Costa Martins, minha tia Waltair Maria Martins
Pereira e minha tia Eneida Martins Cavalcante por terem me dado a oportunidade de estudar.
Agradeço a toda a minha família, por estarem comigo sempre e por me apoairem a estudar
e, em especial a meus tios Willis Eli da Costa Martins, Helena Maria de Oliveira Martins e
Rita de Cassia Cerveira.
Agradeço as senhoras Santilha Cardoso Dantas, Maria da Betanha Cardoso Dantas, Isaura
Cardoso Dantas e a Santilia Cardoso Dantas que carinhosamente acolheram minha mãe, mi-
nha irmão e a mim em sua família.
Agradeço a meu amigo Vitor Pinheiro Alves pela amizade e companheirismo nesses muitos
anos que nos conhecemos.
Agradeço a meu amigo Alan Barbosa Costa por ter me ajudado nos momentos difíces e
por seu auxílio com os recursos computacinais.
Agradeço ao professor Valcir João da Cunha Farias por ter me orientado neste trabalho e
ao professor Dilberto da Silva Almeida Junior que junto com meu orientador me ensinou os
métodos numéricos.
Agradeço aos amigos Antonio Márcio Almeida, Eduardo Rangel e Raimundo Neto Nunes
Leão que me ensinaram a digitar no programa Latex.
Agradeço a todos os amigos que estudaram junto comigo durante o curso. Gostaria de
citar Michel Melo, Moises Moraes, Gean Carlos, Marcel Nascimento, Lindalva Ribeiro, Lucelia
4
Costa, Liliane Ribeiro e Anderson Ramos.
Agradeço aos amigos Sebastião Martins Siqueira Cordeiro, Renato Fabrício Lobato, Lin-
domar Miranda Ribeiro, Gerson José Lima e João Batista Miranda Ribeiro.
Agradeço a Universidade Federal do Pará pela bolsa de estudos, pela oportunidade de
poder estudar e trabalhar.
5
"Não digas pois no teu coração: A minha força e o poder do meu braço me adqui-
riram estas riquezas. Antes te lembraras do Senhor, teu Deus, porque é ele que te
da forças para adquirires riquezas; para conrmar a sua aliança que, sob juramento,
prometeu a teus pais como hoje se vê."
(Deuteronômio 8: 17 e 18).
6
Resumo
Neste trabalho foi realizada a modelagem direta de resistividade
compelxa 3D usando o método dos elementos nitos. Para repre-
sentar as caracteristicas do meio, usamos o modelo fractal para re-
sistividade complexa. Comparamos os resultados obtidos pela apro-
ximação numérica com a solução analítica apresentada por Keller et
al (1966), obtendo um erro inferior a 0,01. Como aplicação, realiza-
mos simulações computacionais de um corpo estranho introduzido
em um meio homogêneo.
Palavras-chave:Fenômeno IP, Modelagem Direta e Método dos
Elementos Finitos.
7
Abstract
In this work was realized the forward modeling of complex resisti-
vity 3D using the nite elements method. For represent the charac-
ters of the middle, we used the fractal model for complex resistivity.
We compared the results obtaineds for numerical approximation
with the analytic solution showed Keller et al (1966), obtaining a
error inferior of 0,01. Like application, realized computer simulati-
ons of the estrange body in homogeneous middle.
Keys-word:Phenomenom IP, Foward Modeling and Finite ele-
ments method.
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Lista de Figuras
2.1 Decaimento da voltagem quando a corrente é interrompida. . . . . . . . . . . . 17
2.2 Celula básica da condução elétrica das rochas responsavel pelo fenômeno IP. . 21
2.3 Circuito análogico equivalente associado ao comportamento médio do meio. . . 21
3.1 Gráco das funções base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Comparação entre a solução exata e a solução aproximada. . . . . . . . . . . . 36
4.1 Elementos: paralelepípedo e tetraedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Grau de esparsidade da matriz dos coecientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1 Comparação entre a resposta analítica e a obtida por elementos nitos. . . . . 47
5.2 Corpo embebido em espaço homogêneo ambos polarizáveis. . . . . . . . . . . . 47
5.3 Conguração de eletrodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Modelo 1 frequência de 0.1 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Modelo 1 frequência de 0.5030 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.6 Modelo 1 frequência de 2.5298 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.7 Modelo 1 frequência de 12.7243 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.8 Modelo 1 frequência de 64 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.9 Modelo 2 frequência de 0.1 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.10 Modelo 2 frequência de 0.5030 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.11 Modelo 2 frequência de 2.5298 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.12 Modelo 2 frequência de 12.7243 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.13 Modelo 2 frequência de 64 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9
5.14 Modelo 3 frequência de 0.1 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.15 Modelo 3 frequência de 0.5030 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.16 Modelo 3 frequência de 2.5298 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.17 Modelo 3 frequência de 12.7243 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.18 Modelo 3 frequência de 64 Hz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
10
Lista de Tabelas
2.1 Valores máximos, típicos e mínimos para os parâmetros do modelo fractal. . . 20
5.1 Parâmetros do modelo fractal para resistividade complexa para as camadas. . 46
5.2 Parâmetros do modelo fractal para resistividade complexa para a amostra de
medidas por Vanhala et al (1997) e ajustado ao modelo fractal por Farias(2004) 48
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Sumário
1 Introdução.........................................................................13
2 Fenômeno da Polarização Induzida e a Modelagem Direta deste Fenômeno ..............15
2.1 Conceitos de Eletrostática.......................................................16
2.2 Modelo fractal para resistividade complexa ......................................18
2.3 Modelagem Diereta IP.............................................................20
2.4 Formulação Matemática do Problema................................................22
3 Elementos Finitos Aplicados........................................................24
3.1 O Método dos Elementos Finitos...................................................24
3.2 Método dos Resíduos Ponderados...................................................25
3.3 Método de Galerkin...............................................................27
3.4 Aproximação por Elementos Finitos................................................29
4 Elementos Finitos Aplicados a Modelagem Direta de Resistividade Complexa 3D......38
4.1 Solução por Elementos Finitos....................................................38
4.2 Condições de Contorno............................................................41
4.3 Solução do Sistema de Equações Lineares..........................................42
4.4 Fatoração LU.....................................................................43
4.5 Método Interativo do Gradiente Bi-Conjugado......................................44
5 Resultados Obtidos.................................................................46
5.1 Modelo 1.........................................................................49
5.2 Modelo 2.........................................................................49
5.3 Modelo 3.........................................................................49
6 Considerações Finais...............................................................57
12
Capítulo 1
Introdução
Os fenômenos físicos, de sua natuerza mecânica, termica ou elétrica, podem ser descritos
por equações matemáticas que modelam seu comportamento representando sua taxas de vari-
ação por derivadas, os parâmetros físicos dos meios onde esses fenômenos ocorrem por funções
cujas variáveis são as características dos meios. Tais equações matemáticas são chamadas de
equações diferênciais, estas por sua vez, precisam ser avaliadas quanto a existência de sua
solução e posteriormente ser aplicada uma técnica para que possam ser solucionadas.
As técnicas aplicadas para solucionar essas equações, podem ser analíticas ou númericas.
O primeiro tipo de técnica, exibe uma solução exata para a equação diferencial para a maioria
dos problemas por meio de uma expressão analítica. Esta solução é de dicil obtenção, por ser
resolvida com complicadas operações matemáticas e funcionam para a maioria dos problemas.
O segundo tipo de técnica, exibe os valores numéricos aproximados da solução da equação
diferencial. Estes valores numéricos são obtidos por operações matemáticas simples, contudo,
por serem muitas operações, o processo se torna exaustivo, necessitando ser implementado em
um software de computador.
Neste trabalho, o fenômeno sico a ser modelado e solucionado numéricamente é o da
polarização induzida. Este fenômeno se deve ao fato das rochas serem formadas por uma rede
de poros preenchida com uidos, denominada de grãos minerais. Esta constituição, que possui
uma notável concentração de elétrons livres por volume, proporciona o fato de ao entrar em
contato com uma solução iônica formar uma camada ou uma dupla camada elétricamente
carregada. Tais camadas são responsáveis pelo fenômeno da polarização induzida.
Devido a ser de grande interesse para a geoprospecção, o fenômeno IP foi durante muito
tempo representados por modelos. A exemplo desses modelos, podemos citar Debye (1929),
Cole e cole (1941), Davidson Cole (1951), Dias (1972) e Rocha (1995). O ultimo modelo men-
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cionado, denominado modelo fractal para resistividade complexa, será usado para representar
as caracteristicas do meio que realizaremos nossos estudos.
A modelagem numérica deste fenômeno, foi realizada por diversos pesquisadores. Podemos
citar aqui os trabalhos de Farias (2004) que realizou a modelagem direta 2D e 3D deste
fenômeno pelo metodo de elementos nitos e Maranhão (2008) que realizou a modelagem 2D
deste fenômeno com camadas de heterogeneidade lateral. A modelagem direta deste fenômeno
é essencial para o uso do mesmo como método. Sem os dados obtidos com a modelagem, não
se poderá aplicar a técnica de inversão e obter os resultados almejados. A inversão não é
objetivo de nosso estudo, por isso não será feita.
Esta dissertação de mestrado esta organizada em cinco capitulos. Sendo o primeiro a
introdução e os demais como segue descrito abaixo:
- No segundo capitulo são feitas breves explanações sobre o fenômeno da polarização indu-
zida, descrições importantes sobre conceitos de resistividade elétrica necessários para o estudo
a ser feito e ao nal é realizada a construção matemática da equação diferencial que descreve
este fenômeno.
- No terceiro capitulo, tentamos explicar de forma detalhada com exemplos simples o
método dos elementos nitos, que foi empregado para a modelagem direta do fenômeno IP
realizada neste trabalho. Assim, usando uma equações diferenciais das mais simples, empre-
gamos o método dos residuos ponderados, o método de Galerkin e o método dos elementos
nitos para resolver este problema simplorio, sempre com o objetivo de fazer o leitor entender o
método dos elementos nitos que aplicamos na realização da modelagem direta. Ao nal deste
capitulo, realizamos a modelagem direta do fenômeno IP e as demais técnicas computacionais
que precisaram ser usadas.
- No quarto capitulo, apresentamos por meio de tabelas e grácos os resultados obtidos
com a modelagem direta, explicando o sentido desses parâmentros que foram encontrados,
realizamos uma aplicação com a sondagem de um corpo estranho em um meio homogêneo e
também é realizada a discussão dos resultados que foram obtidos.
- No quinto e ultimo capitulo, são apresentadas as considerações nais sobre o estudo que
foi realizado e as propostas para pesquisas futuras.
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Capítulo 2
O Fenômeno da Polarização Induzida e
Modelagem Direta deste Fenômeno
As rochas são constituida por grãos minerais, uma rede de poros normalmente preenchidos
por uidos e as interfaces correspondentes. Este fato, torna possivel um fenômeno chamado
de polarização induzida (IP). Com a presença de minerais metálicos nos poros das rochas, o
fenômeno IP é gerado pela formação de uma dupla camada elétrica carregada ao mineral que
entra em contato com uma solução iônica. Com a presença de minerais argilosos, o fenômeno
IP forma esta camada dupla de elétrons, ao mineral entrar em contato com uma solução iônica.
O fenômeno IP ocorre tanto em meios geológicos quanto biológicos, o que faz com que
este fenômeno tenha várias aplicações. Os primeiros resultados de aplicações do fenômeno
IP como método, foram usados na segunda guerra mundial para mapear minas esplosivas no
mar. Hoje em dia o fenômeno IP tem varias aplicações na aréa da geoprospecção, e na aréa
médica para a localização de tumores.
Para descrever o fenômeno IP, foram propostos por díversos pesquisadores vários mode-
los, cada um destes tentando explicar uma feição particular em algum intervalo de frequência
restrito. Podemos citar aqui alguns exemplos como o Modelo de Relaxação de Debye, Modelo
de Cole-Cole, o Modelo de Devidson-Cole e o Modelo proposto por Rocha (1995), que deno-
minado de "Modelo Fractal para Resistividade Complexa", que será usado para descrever as
características do meio em nosso trabalho.
Modelar matemáticamente um fenômeno como o da polarização induzida, exige o conheci-
mento de alguns conceitos referentes à elétrostatica. Por esta razão, para compreender melhor
este fenômeno, sua modelagem e a sua solução numérica para se obter os resultados desejados,
veremos agora alguns conceitos sobre este assunto.
15
2.1 Conceitos de Eletrostática.
a) Condutividade Elétrica e Resistividade Elétrica
Um meio material tem suas cárgas livres em movimento quando um campo elétrico é
aplicado no mesmo, o que origina a chamada corrente elétrica de indução. Se o campo elétrico
for alternado, surge a chamada corrente elétrica de deslocamento, causada pela distribuição de
cárgas presas no volume do material. A facilidade com que essas cargas podem se movimentar
no meio material é médida pêlos parâmetros de condutividade elétrica.
Denimos condutividade elétrica, σ, como a relação entre a densidade de corrente de
condução Jc e o campo elétrico responsável pela indução dessa corrente. A resistividade
elétrica, ρ, é fornecida pela relação inversa da condutividade elétrica. A lei de OHM descreve
essas relações como
~Jc = σ ~E
~E = ρJc
b) Codutividade Complexa
As correntes de indução e deslocamento que são induzidas em um meio material, não
aparecem instântaneamente com a aplicação do campo elétrico, isto faz com que ocorra uma
defazagem entre ~Jc e ~E. Conclui-se então que a relação entre essas duas grandezas é uma
quantidade complexa. Representaremos então a condutividade elétrica da rocha por
σ (ω) = σ′ (ω) + σ′′ (ω)
sua amplitude e seu ângulo de fase são então
|σ (ω) | =√|σ′ (ω) |2 + |σ′′ (ω) |2
ϕ (ω) = arctg
(σ′ (ω)
σ′′ (ω)
)
onde ω = 2πf e f é a frequência.
16
c) Quantidades IP
Pode-se investigar a ploarização induzida tanto no domínio do tempo quanto no domínio
da frêquencia. Ao se interromper a corrente, o potencial não cai para zero, cai para um nível
intermediário de onde decai lentamente ao decorrer do tempo. A gura 2.1 ilustra esse fato.
Figura 2.1: Decaimento da voltagem quando a corrente é interrompida.
Chamamos de cargueabilidade a razão entre os potenciais medidos na ausência de corrente.
Denotamos por
m (t) =vs (t)
vp.
A cargueabilidade é o que impede a corrente de uir em um meio polárizavel. Por este fato,
concluimos que a conditividade num meio polarizável σ é reduzida com relação à condutividade
σ0 do meio sem constituintes polárizaveis, ou seja,
σ = σ0 (1−m)
com 0 < m < 1.
No domínio da frequência, determinamos um parâmetro equivalente a cargueabilidade.
Geralmente a resistividade aparente tem seu valor alterado com a frequência. Denimos
então, para duas frequencias, com ω1 < ω2, o chamado efeito de frequência
17
FE =|ρ (ω1) | − |ρ (ω2) |
|ρ (ω2) |.
Levamos em conta também os valores assintóticos de resistividade aparente
ρ (ω = 0) =VpIk
limω→∞
ρ (ω) =Vp − Vs
Ik
onde I é a corrente e k é uma constante relacionada ao arranjo de elétrodos denominados
de fator geométrico.
Temos ainda o seguinte resultado que relaciona FE com m
FE =m
1−m.
As medidas IP, mostram a dispersão da condutividade aparente atravez de sua amplitude
e ângulo de fase. Essa depêndencia é descrita por modelos que mostram o comportamento
geral do espectro de amplitude e fase em diferentes frequências e para vários tipos de rochas.
2.2 Modelo Fractal para Resistividade Complexa
Agora, sabendo de alguns conceitos importantes, podemos ver o modelo fractal para re-
sistividade complexa proposta por Rocha (1995). Nosso objetivo não é estudar este modelo
profundamente, por isso, apenas mostraremos o modelo e o signicado de seus parâmetros. O
modelo esta representado na equação abaixo:
ρ (ω) = ρ0
[1−m
(1− 1
1 + 1+uδr(1+v)
)]γh (2.1)
onde
m = R0
R1+R0é a cargueabilidade
δr = rR1+R0
é a resistividade percentual dos grãos
γh = 11+iωτ0
u = iωτ (1 + v)
v = (iωτf )−η
τ = rCdl é o tempo de relaxação da dupla camada
τ0 = R0C0 é o tempo de relaxação global
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τf : é o tempo de relaxação fractal
R0 = g0ρ0
C0 = ε0g0
No modelo descrito em (2.1), o fator geométrico representado pelo parâmetro g0 é uma
função de d/S, em que S é a secção transversal e d o comprimento elétrico que possui uma
associação com o caminho da corrente.
Descreveremos agora o signicado físico dos parâmetros do modelo fractal para resistivi-
dade complexa (Rocha, 1995) :
a) ρ0: Este parâmentro representa a resistividade CC em rochas sedimentares, tendo uma
relação com a resistividade complexa da água preenchendo os espaços porosos, normalmente
um elétrodo complexo e à porosidade do material.
b) m: Representa o parâmetro de cargueabilidade que relaciona as assintotas de alta e
baixa frequência da resistividsade das rochas.
m =ρ0 − ρ∞ρ0
=R0
R0 +R1
c) δr = rR1+R0
: Este parâmetro secundário relaciona a resistividade dos grãos condutivos
que bloqueiam os poros das rochas com o valor da resistivdade CC das rochas. Para grãos
condutivos seu valor será maior que a unidade, enquanto que para grãos resistivos seu valor
será inferior que a unidade.
d) τ = rCdl: Esta constante representa o tempo de relaxação relacionada a oscilação da
dupla camada, e possui uma relação também com o tamanho dos grãos bloqueadores.
e) τ0 = R0Co: Este parâmetro representa a constante de tempo do material como um todo.
Tem uma dependencia com a textura das rochas, das propriedades da matriz e da quantidade
total de água presente nas rochas.
f) τf : Representa o tempo de relaxação fractal e possui uma relação com o tempo envol-
vido na transferência de carga e energia nas interfaces rugosas.
19
g) η: Este parâmetro possui uma relação com à geometria do meio e é determinado pelo
tipo de distribuição do mineral provocando a polarização de baixa frequência.
A seguir, apresentaremos na tabela 2.1 os valores máximos, típicos e mínimos para os
parâmetros do modelo fractal para resisitividade complexa.
Parâmetro de Modelo Valor Mínimo Valor Típico Valor Máximo
ρ0 (Ω.m) 10−3 102 105
M 10−4 0.5 1.0
δr 10−4 1.0 104
η 10−4 0.5 1.0
τ (s) 10−9 10−6 10−3
τf (s) 10−6 10−3 105
τ0 (s) 10−15 10−12 10−9
Tabela 2.1: Valores máximos, típicos e mínimos para os parâmetros do modelo fractal.
A Figura 2.2 mostra a célula básica da condução elétrica das rochas responsável pelo
fenômeno da polarização induzida utilizada por Rocha (1995) no desenvolvimento do modelo
fractal para resistividade complexa.
A Figura 2.3 mostra o circuito análogico equivalente associado ao comportamento médio
do meio.
2.3 Modelagem Direta IP
Um algoritmo preciso e rápido é necessário para a aplicação do método IP. O objetivo da
modelagem direta para a investigação geoelétrica, é obter a resisitividade aparente da subsu-
percie para diferentes congurações de eletrodos e estruturas geoelétricas as quais podem ser
descritas como modelo 1D (meio estraticado), 2D e 3D (considerando heterogeneidades no
meio).
A modelagem do fenômeno da polarização induzida pode ser feita de duas maneiras. A
priemira leva em conta o fato do efeito fundamental da cargueabilidade alterar o valor da
condutividade do meio quando uma corrente é aplicada. Assim, a modelagem IP é realizada
através de duas modelagens diretas de resistividade DC, uma delas tem condutividade especial
e a outra tem condutividade alterada e a partir disso, determinamos a cargueabilidade.
20
Figura 2.2: Celula básica da condução elétrica das rochas responsavel pelo fenômeno IP.
Figura 2.3: Circuito análogico equivalente associado ao comportamento médio do meio.
21
O segundo procedimento que modela o fenômeno IP, trabalha somente com a condutividade
complexa. Este parâmetro complexo representa tanto a cargueabilidade quanto a condutivi-
dade do meio em função da frequência. Este fato é a base para se entender a dispersão do
meio com a frequência. Como vantagem, ao se usar este procedimento, podemos ressaltar que
se pode efetuar a modelagem englobando automaticamente o fenômeno IP e o acoplamento
eletromagnetico, não sendo necessário a remossão do efeito eletromagnético para a realização
da interpretação dos dados na polarização induzida.
2.4 Formulação Matemática do Problema
Segundo Farias (2004), Farias et al (2010) e Farias et al (2013), a formulaçao matemática do
problema pode ser feita da seguinte maneira. Por estarmos tratando de um arranjo de eletrodos
do tipo Polo-Polo, podemos representar matematicamente o campo elétrico estacionário pela
expressão:
~E = −∇V (2.2)
onde V é o potencial elétrico. Pela equação da continuidade, temos que a representação
matemática do uxo da corrente elétrica é
∇.J = −∇.Js (2.3)
sendo J a densidade da corrente elétrica e Js o termo da fonte, que esta denido no local em
que a fonte esta situada, assim
∇.Js = −Iδ (r − rf ) (2.4)
onde I é a intensidade da corrente elétrica, δ é a função delta de Dirac e rf é o vetor que
indica a posição da fonte da corrente. Pela lei de Ohm, temos que
J = σ∗E (2.5) .
Onde σ∗ denota a condutividade complexa do meio. Substituindo (2.2) , (2.3) e (2.4) em
(2.5), obtemos a seguinte equação:
∇. (σ∗∇V ) = −Iδ (r − rf ) (2.6)
Esta é a equação diferencial que descreve o potencial elétrico para um semi-espaço com
22
distribuição de condutividade arbitrária. Esta equação resolve o problema apenas para a con-
guração de eletrodos polo-polo, ou seja, um eletrodo como fonte de corrente e outro que mede
o potencial.
Este mesmo problema pode ser formulado matematicamente pelas conhecidas equações de
Maxwell. Nesta modelagem, consideramos automaticamente na resposta os efeitos IP e o aco-
plamento eletromagnético. Tomamos uma dependência temporal da forma e−iωt, logo temos:
∇× E = iωµH (2.7)
∇×H = −iωεE + σE + Js (2.8)
em que ε e µ são respectivamente a permissividade elétrica do meio e a permeabilidade magné-
tica do meio. A permeabilidade magnética do meio pode ser aproximada pela permeabilidade
do vácuo (µ0 = 4π × 10−7). Usando de manipulações matemáticas com as equações (2.7) e
(2.8) chegamos ao resultado:
∇×∇× E − k2E = iωµJs (2.9)
em que k2 = iωµσ∗. Esta equação nos da a diferença de potencial. Neste trabalho, resolvere-
mos a formulação nal apresentada em (2.7), para o caso 3D, usando o método dos elementos
nitos.
23
Capítulo 3
Elementos Finitos Aplicados
Como já foi mencionado, nosso objetivo neste trabalho é realizar a modelagem direta do
fenômeno da polarização induzida e em seguida solucioná-lo numéricamente.
A etapa que consiste em solucionar numéricamente a modelagem direta de dados da po-
larização induzida, pode ser realizada usando técnicas numéricas, tais como o método das
equações integrais, método das diferenças nitas e o método dos elementos nitos.
O método das equações integrais consiste em escrever a equação diferencial na forma
integral, depois usar a função de Green de um meio uniforme. No entanto, essa técnica é mais
eciente na modelagem de um corpo intruso em um meio homôgeneo.
O método das diferenças nitas, tem como idéia básica transformar o problema de resolver
uma equação deferencial na solução de um sistema de equações algébricas, usando aproxima-
ções de derivadas das funções por equações de diferenças.
O terceiro método a ser considerado, o método dos elementos nitos, possui fundamento
teórico mais sólido, por este motivo, usaremos este método e não o método das diferenças -
nitas. Para que possamos aplicar o método dos elementos nitos, que a partir deste momento
chamaremos de MEF, quando for conveniente, precisamos estudá-lo mais profundamente.
3.1 O Método dos Elementos Finitos.
O método dos elementos nitos, pertence a uma classe de métodos mais abrangente cha-
mada de métodos das projeções. Estudaremos essa classe de métodos de forma suscinta. Para
isso, consideremos o seguinte problema modelo de determinar uma função u = u (x), que
24
satisfaz a equação diferencial em as condições de contorno dadas abaixo:−u′′ (x) = f (x, u (x) , u′ (x)) ,∀x ∈ (0, 1)
u (0) = u (1) = 0 (3.1)
em que estamos denotando a derivada de u (x) por u′ (x). Vamos supor que f seja uma função
regular e que o problema admita uma única solução.
O método das projeções consiste em obter uma solução aproximada da solução exata da
equação diferencial, usando uma combinação linear nita de funções conhecidas, usualmente
chamadas de funções bases. Esta idéia ca mais clara se considerarmos conceitualmente que
a solução do problema pertence a algum espaço funcional de dimensão innita, sendo assim, a
solução aproximada pertence à um espaço de dimensão nita, que é gerado pelas funções bases.
De forma mais resumida, podemos dizer ainda que a projeção da solução sobre o subespaço
de dimenção nita é a solução aproximada.
Para ilustrarmos o método das projeções e suas idéias gerais, vamos considerar um pro-
blema de segunda ordem dos mais simples, dado por:
−u′′ (x) + u (x) = f (x) ,∀x ∈ (0, 1)
u (0) = u (1) = 0 (3.2)
em que f = f (x) é uma função regular. Vamos supor que a solução aproximada do problema
(3.1) seja dada por
um (x) =m∑j=1
Cjϕj (x) (3.3)
em que ϕj, j = 1, ...,m, são as funções bases e que cada uma destas satisfaz as condições de
fronteira:
ϕj (0) = ϕj (1) = 0, j = 1, ...,m.
Diante dessas condições, a solução aproximada a ser resolvida consiste em determinar os
coecientes Cj da solução aproximada em (3.3). Existem várias possíveis soluções. Usaremos
aqui apenas duas, o método dos resíduos ponderados e o método de Galerkin.
3.2 Método dos Residuos Ponderados
Seja E um espaço vetorial com produto interno denido por:
25
< f, g >=
∫ 1
0
fgdx.
Seja W ⊂ E o subespaço euclidiano, munido do produto interno de E, que é gerado pelos
m vetores linearmente independentes ϕj. Seja
um = C1ϕ1 + C2ϕ2 + ...+ Cmϕm
um vetor arbitrário de W .
Temos como objetivo fazer com que a função um seja uma aproximação da solução exata
do problema. Sendo um uma aproximação para a solução exata do problema (3.2), então sua
substituição em (3.2), resulta em um erro, ou resíduo ε (x). Simbolicamente temos
ε (x) = −u′′m (x) + um (x)− f (x) (3.4) .
A função de aproximação um será tanto melhor quanto menor for seu resíduo ε (x). Para
mínimizar o resíduo, vamos considerar um outro conjunto de m funções linearmente indepen-
dentes ψj, que são denomindas de funções peso, pertencentes ao subespaçoW , que satisfaçam
as condições de contorno do problema (3.2). A idéia do método dos resíduos ponderados e
impor que cada um desses vetores peso seja perpendicular ao resíduo ε (x). Sendo assim,
temos que
< ε, ψj >= 0, j = 1, 2, ...,m
ou ainda em virtude de (3.4),
∫ 1
0
[−u′′m (x) + um (x)− f (x)]ψj (x) dx = 0 (3.5) .
Ao tomarmos < ε, ψj >= 0, estamos fazendo com que o resíduo ε (x) se anule, pois o único
vetor ortogonal a todos os vetores ψj é o vetor nulo. Em consequência o vetor um tende a
solução exata.
Proseguindo, vamos escrever a integral (3.5) de uma forma mais apropriada. Aplicando a
fórmula da integração por partes,
∫ b
a
udv = uv|ba −∫ b
a
vdu
no primeiro termo de (3.5)
26
−∫ 1
0
u′′m (x)ψj (x) dx = −u′m (x)ψj (x) |10 +
∫ 1
0
u′mψ′j (x) dx (3.6)
mas ψj (0) = ψj (1) = 0, logo
−∫ 1
0
u′′m (x)ψj (x) dx = −u′m (1)ψj (1) + u′m (0)ψj (0) +
∫ 1
0
u′mψ′j (x) dx (3.7)
assim, podemos escrever
−∫ 1
0
u′′m (x)ψj (x) dx =
∫ 1
0
u′mψ′j (x) dx (3.8)
e por consequência a integral (3.5) se escreve como
∫ 1
0
[u′m (x)ψ′j (x) + um (x)− f (x)
]ψj (x) dx = 0 (3.9)
Substituindo um = C1ϕ1 + C2ϕ2 + ...+ Cmϕm na integral (3.9)
m∑i=1
Cj
∫ 1
0
[ϕ′j (x)ψ′i (x) + ϕj (x)ψi (x)
]dx =
∫ 1
0
f (x)ψi (x) dx, j = 1, 2, ...,m. (3.10)
denindo
aij =
∫ 1
0
[ϕ′j (x)ψ′i (x) + ϕj (x)ψi (x)
]dx (3.11) ,
fi =
∫ 1
0
f (x)ψi (x) dx (3.12)
obtemos um sistemas de equações lineares AC = F , com C = (C1, C2, ..., Cm)T , F =
(f1, ..., fm)T e A = (aij) uma matriz m×m. Resolvendo este sistemas de equações, obtem-se
os Cj e por conseguinte a aproximação da solução um = C1ϕ1 + ...+ Cmϕm.
3.3 Método de Galerkin
O método de Galerkin é um caso particular do método dos resíduos ponderados, em que
as funções peso ψj são as próprias funções base ϕj. Assim, o sistema de equações lineares
(3.12) se converte para
27
m∑i=1
Cj
∫ 1
0
[ϕ′j (x)ϕ′i (x) + ϕj (x)ϕi (x)
]dx =
∫ 1
0
f (x)ϕi (x) dx, j = 1, 2, ...,m. (3.13)
Por (3.11), observamos que é suciente assumir que as funções ϕj (x) juntamente com suas
derivadas ϕ′j (x), sejam quadrado integraveis, ou seja, pertençam a L2 (0, 1). A exemplo dessas
funções podemos citar as funções seccionalmente continuas lineares.
A matriz A denida em (3.11) é simétrica. Depende exclusimante da escolha das funções
bases. Uma escolha clássica, que resulta em uma matriz diagonal, é o uso das autofunções do
operador do problema (3.2), D = −d2/dx2 + I,
ϕj (x) = sen (jπx) , j = 1, ...,m.
Observamos que neste caso as funções bases são mutuamente ortogonais e satisfazem a
condição
∫ 1
0
sen (iπx) sen (jπx) dx =
∫ 1
0
cos (iπx) cos (jπx) dx =
12, se i = j
0, se i 6= j
Substituindo em (3.11), obtemos um sistema linear AC = F , em que a matriz A é diagonal
e tem a forma
ajj =1
2
(1 + (jπ)2)
fj =
∫ 1
0
f (x) sen (jπx) dx
com j = 1, ...,m. Assim, concluimos que os valores de Cj são dados por
Cj =2fi
1 + (jπ)2 .
Obtemos então uma solução aproximada para o problema (3.2). Esta solução é dada por
um (x) =m∑i=1
2fi
1 + (jπ)2 sen (jπx)
28
3.4 Aproximação por Elementos Finitos
Temos como problema computacional central em cada um dos métodos de projeção, resol-
ver o sistema algébrico, que pode ser linear ou não linear. Para isto, precisamos que a matriz
dos coecientes tenha propriedades que tornem o mesmo sistema de fácil resolução (menor
número de operações), mas, ao mesmo tempo seja bem condicionada. Como já mencionamos,
a matriz dos coecientes depende somente das funções bases ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , ..., ϕm (x), quegeram o subespaço onde estamos procurando a solução aproximada.
Para alcançarmos o objetivo de facilitar as operações de resolução, o método dos elementos
nitos considera funções com suporte pequeno, localizados nos pontos nodais dos elementos.
Por exemplo, vamos considerar novamente o problema unidimencional (3.2). Sejam x0 =
0, x1, x2, ..., xm = 1, uma discretização uniforme do intervalo [0, 1]. Cada elemento é um
intervalo cujo comprimento corresponde a h = 1m+1
. Seja então ϕ1 (x) , ϕ2 (x) , ..., ϕm (x)uma base denida por:
1h
(x− xj−1) , ∀x ∈ [xj−1, xj]1h
(xj+1 − x) , ∀x ∈ [xj, xj+1] (3.14)
0, ∀x ∈ (R− [xj−1, xj+1])
Assim, o suporte da função ϕj é somente o intervalo (xj−1, xj+1) que contém o ponto nodal
xj, o que torna a matriz A, obtida pelo método de Galerkin tridiagonal, um fato que reduz o
número de operações, ao se resolver o sistema, para uma ordem proporcional a m.
Podemos notar também que a função base, denida em (3.14), é contínua e seccionalmente
linear. Além disso pertence a L2 (0, 1).
Para introduzirmos o método dos elementos nitos, para ns de melhor entendimento,
vamos considerar um problema modelo um pouco mais sosticado que o problema denido
em (3.2). Consideremos então, a equação diferencial
− d
dx
(k (x)
du
dx
)+ p (x)
du
dx+ q (x)u = h (x) , 0 < x < 1 (3.15)
com as seguintes condições de dirichlet
u (0) = u0
e
u (1) = u1
29
onde(k (x) du
dx
)é continua em todo o intervalo (0, 1), uma hipotese que é fundamental para o
método de elementos nitos.
Para implementarmos o metodo de elementos nitos, o primeiro passo será subdividir o
intervalo [0, 1] em N subintervalos Ωe, de comprimento xei+1−xei , que não são necessariamente
iguais. Em seguida, vamos denir funções bases muito simples e restritas a estes subintervalos
ψe1 (ξ) = 1− ξ − xeixei+1 − xei
e
ψe2 (ξ) =ξ − xeixei+1 − xei
Os grácos dessas funções estão representados na Figura 3.1.
Figura 3.1: Gráco das funções base.
Perceba que as funções ψe1 e ψe2, da maneira como foram denidas são lineares e variam no
intervalo de 0 a 1. O intervalo Ωe junto com as funções ψe1 e ψe2 são denominados de elemento.
Para simplicar a notação a partir de agora vamos denotar o elemento também por Ωe.
Conhecendo as funções base, podemos concluir que no elemento Ωe a função u (x) suposta
ser a solução do problema (3.15) será aproximada por
u (ξ) =2∑j=1
Cejψ
ej (3.16) .
Novamente recaimos no problema de calcular Cei e Ce
i+1 para todos os N intervalos que
compoem [0, 1], para aproximarmos u (x).
Agora vamos nos concentrar em encontrar o elemento genérico Ωe. Colocando a equação
(3.15) em sua forma variácional temos
∫ xei+1
xei
ψei
(− d
dξ
(k (ξ)
du
dξ
)+ p (ξ)
du
dξ+ q (ξ)− h (ξ)
)dξ = 0 (3.17)
separando as integrais, temos
30
−∫ xei+1
xei
ψeid
dξ
(k (ξ)
du
dξ
)dξ +
∫ xei+1
xei
p (ξ)du
dξdξ +
∫ xei+1
xei
q (ξ) dξ =
∫ xei+1
xei
h (ξ) dξ (3.18)
usando a identidade
ψeid
dξ
(k (ξ)
du
dξ
)= −k (ξ)
dψeidξ
du
dξ+
d
dξ
(ψei k (ξ)
du
dξ
)(3.19)
podemos escrever a primeira integral de (3.18) como
∫ xei+1
xei
ψeid
dξ
(k (ξ)
du
dξ
)dξ = −
∫ xei+1
xei
k (ξ)dψeidξ
du
dξdξ +
∫ xei+1
xei
d
dξ
(ψei k (ξ)
du
dξ
)dξ (3.20)
empregando o teorema fundamental do cálculo na terceira parcela de (3.20)
∫ xei+1
xei
d
dξ
(ψei k (ξ)
du
dξ
)dξ = ψei k (ξ)
du
dξ|x
ei+1
xei(3.21)
De volta a equação (3.18), substituindo na primenria integral da mesma (3.21)
∫ xei+1
xei
k (ξ)dψeidξ
du
dξdξ +
∫ xei+1
xei
ψei p (ξ)du
dξdξ +
∫ xei+1
xei
ψei p (ξ)udξ
=
∫ xei+1
xei
ψeih (ξ) dξ + ψei k (ξ)du
dξ|x
ei+1
xei, i = 1, 2 (3.22)
Substituindo (3.16) em (3.22) obtemos o seguinte sistema de equações lineares
2∑i=1
(∫ xei+1
xei
k (ξ)dψeidξ
dψejdξ
dξ +
∫ xei+1
xei
p (ξ)ψeidψejdξ
dξ +
∫ xei+1
xei
q (ξ)ψeiψejdξ
)uj =
∫xei
xei+1ψeih (ξ) dξ + ψei k (ξ)
du
dξ|x
ei+1
xei(3.23)
com i = 1, 2. Esta mesma expressão na forma matricial
2∑i=1
meijuj = f ei + ψei k (ξ)
du
dξ|x
ei+1
xei, i = 1, 2 (3.24)
onde a matriz mei j do elemento Ωe é expressa por
31
meij =
∫ xei+1
xei
k (ξ)dψeidξ
dψejdξ
dξ +
∫ xei+1
xei
p (ξ)ψeidψejdξ
dξ +
∫ xei+1
xei
q (ξ)ψeiψejdξ (3.25)
e o vetor f ei por
f ei =
∫xei
xei+1ψeih (ξ) dξ + ψei k (ξ)
du
dξ|x
ei+1
xei(3.26)
Empregando a matriz meij e as funções base ψ
e1 eψe2 juntamente com suas derivadas
dψeidξ
=−1
xei+1 − xei(3.27)
dψei+1
dξ=
1
xei+1 − xei(3.28)
podemos escrever
meij = keij + peij + qeij (3.29)
onde
keij =1(
xei+1 − xei)2
∫ xei+1
xei
k (ξ) dξ
[1 −1
−1 1
](3.30)
peij =1
xei+1 − xei
− ∫ xei+1
xeip (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xe1
)dξ
∫ xei+1
xeip (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
−∫ xei+1
xeip (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
∫ xei+1
xeip (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
(3.31)
qeij =
∫ xei+1
xeiq (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xei
)2
dξ∫ xei+1
xe1q (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xei
)(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
−∫ xei+1
xeiq (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)(1− ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
∫ xei+1
xeiq (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ
(3.32)
keij =k(e)
xei+1 − xei
[1 −1
−1 1
](3.33)
peij =p(e)
2
[−1 1
−1 1
](3.34)
32
qeij =
(xei+1 − xei
)q(e)
6
[2 1
1 2
](3.35)
De posse dessas informações, vamos resolver um problema elemetar. Considere em nosso
problema modelo que: k (x) = 1, p (x) = 0, q (x) = 1 e h (x) = −3x2 + 20x + 6 −3sin
(3πx
2
) −27π2
4sin(
3πx2
)e as condições de fronteria do tipo Dirichlet u (0) = 0 e u (1) = 0.
Note que, ao tomarmos k (x) = 1, p (x) = 0 e q (x) = 1, o problema (3.15) se reduz ao
problema (3.2).
Vamos subdividir o dominio [0, 1] em 8 elementos de acordo com a seguinte partição:
x0 = 0, x1 = 16, x2 = 1
3, x3 = 1
2, x4 = 2
3, x5 = 3
4, x6 = 5
6, x7 = 11
12e x8 = 1. Estes pontos são
denominados de nós. Em nosso problema temos nove nós e cada elemento tem dois nós.
Como k (x) e q (x) são constantes, as matrizes keij e qeij se reduzem a
keij =1
xei+1 − xei
[1 −1
−1 1
](3.36)
e
qeij =xei+1 − xei
6
[2 1
1 2
](3.37)
Como p (x) = 0, a matriz peij se reduz a matriz nula de ordem 2×2. Podemos observar que
cada matriz (3.36) e (3.37) depende excusivamante do comprimento dos intervalos xei+1 − xeido elemento, logo substituindo cada valor das extremidades da discretização do intervalo,
obtemos as matrizes locais. Para exemplicar uma matriz local, vamos calcular a referida
matriz para o primeiro elemento.
m1ij = k1
ij + q1ij = 6
[1 −1
−1 1
]+
1
36
[2 1
1 2
]=
1
36
[218 −215
−215 218
](3.38)
m1ij =
1
36
218 −215 0 0 0 0 0 0 0
−215 218 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
(3.39)
33
Somando cada uma destas obtemos a matriz global Gij:
Gij =1
72
436 −430 0 0 0 0 0 0 0
−430 872 −430 0 0 0 0 0 0
0 −430 872 −430 0 0 0 0 0
0 0 −430 872 −430 0 0 0 0
0 0 0 −430 1302 −863 0 0 0
0 0 0 0 −863 1732 −863 0 0
0 0 0 0 0 −863 1732 −863 0
0 0 0 0 0 0 −863 1732 −863
0 0 0 0 0 0 0 −863 866
(3.40)
Agora que temos a matriz global, vamos calcular o vetor fonte global. Para isso, precisamos
calcular o vetor fonte local correspondente a cada elemento. De (3.26) temos:
f ei =
∫ xei+1
xeih (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xei
)dξ + ψei
(xei+1
)k(xei+1
)dudξ
(xei+1
)−ψe1 (xei ) k (xei )
dudξ
(xei )∫ xei+1
xeih (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ + ψe2
(xei+1
)k(xei+1
)dudξ
(xei+1
)−ψe2 (xei ) k (xei )
dudξ
(xei )
(3.41)
Como por denição ψe1 (xei ) = 1, ψe1(xei+1
)= 0, ψe2 (xei ) = 0 e ψe2
(xei+1
)= 1, então
f ei =
∫ xei+1
xeih (ξ)
(1− ξ−xei
xei+1−xei
)dξ + ψe1
(xei+1
)k(xei+1
)dudξ
(xei+1
)∫ xei+1
xeih (ξ)
(ξ−xei
xei+1−xei
)dξ + ψe2
(xei+1
)k(xei+1
)dudξ
(xei+1
) (3.42)
Podemos observar que cada vetor local depende excusivamante do comprimento dos in-
tervalos xei+1 − xei do elemento, assim como as matrizes locais, logo substituindo cada valor
das extremidades da discretização do intervalo, obtemos os vetores locais. Para exemplicar
o calculo de um vetor local, vamos calcular o referido vetor para o primeiro elento.
34
f 1 =
−0.88127− k (x11) du
dξ(x1
1)
−2.17272− k (x12) du
dξ(x1
2)
0
0
0
0
0
0
0
(3.43)
Somando cada um destes obtemos o vetor fonte global f ei :
fg =
−0.88127− k (x11) du
dξ(x1
1)
−6.25224
−8.96574
−5.25224
1.09724
3.80090
5.76493
7.10892
3.80572 + k (x72) du
dξ(x7
2)
(3.44)
Para concluir falta apenas levar em consideração as condições de fronteira u (0) = 0 e
u (1) = 0. Podemos fazer isso se observarmos que a primeira equação do sistema global de
equações lineares é simplesmente u0 = 0 e a ultima equação, ou seja, a oitava equação u8 = 0.
Podemos fazer isso se substituirmos a primeira linha da matiz global por (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
e a primeira componente do vetor global por 0. Analogamante a ultima linha da matriz global
é substituida por (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) e do mesmo modo a ultima componete do vetor global
é substituida por 0. Obtemos então como matriz global é vetor fonte global
35
Gij =1
72
72 0 0 0 0 0 0 0 0
−430 872 −430 0 0 0 0 0 0
0 −430 872 −430 0 0 0 0 0
0 0 −430 872 −430 0 0 0 0
0 0 0 −430 1302 −863 0 0 0
0 0 0 0 −863 1732 −863 0 0
0 0 0 0 0 −863 1732 −863 0
0 0 0 0 0 0 −863 1732 −863
0 0 0 0 0 0 0 0 72
(3.45)
fg =
0
−6.25224
−8.96574
−5.25224
1.09724
3.80090
5.76493
7.10892
0
(3.46)
Resolvendo o sistema formado pela matriz global e o vetor fonte global dados em (3.45)
e (3.46) o btemos a solução numérica para o problema (3.15). A Comparação com a solução
analítica
ua (x) = −3x2 + 20x− 3sin
(3π
2x
)− 20
e− e−1ex +
20
e− e−1e−x (3.47)
é feita na Figura 3.2. Na imagem a solução aproximada esta representada na linha pontilhada
e a exata na linha contínua.
Figura 3.2: Comparação entre a solução exata e a solução aproximada.
36
Para resolver númericamente o modelo direto do fenômeno da polarização induzida, utili-
zaremos o método dos elementos nitos considerando o método de Garlerkin.
37
Capítulo 4
Elementos Finitos Aplicados a
Modelagem Direta de Resistividade
Complexa 3D
O potencial elétrico em um meio 3D é governado pela equação diferencial de Poisson,
descrita em (2.7). Reescreveremos esta espressão abaixo:
∇. [σ∗ (x, y, z)∇V (x, y, z)] = −Iδ (x) δ (y) δ (z) (4.1)
4.1 Solução por Elementos Finitos
A equação (4.1) em sua forma variacional é escrita na forma
∫Ω
W −∇. [σ (x, y, z)∇V (x, y, z)] + σ (x, y, z)V (x, y, z)− Iδ (x) δ (y) δ (z) dΩ (4.2)
em que W é uma função chamada de função peso, também chamada de função teste, perten-
cente ao espaço H1 (Ω).
Com o objetivo de simplicarmos a equação (4.2), reduziremos seu integrando de maneira
a termos somente derivadas parciais de primeira ordem. Para isso, usaremos a identidade
38
∇. (Wσ∇V ) = σ∇V.∇W +W∇. (σ∇V )
ou (4.3)
W∇. (σ∇V ) = ∇. (Wσ∇V )− σ∇V.∇W
Substituindo a expressão (4.3) na expressão (4.2), obtemos
∫Ω
∇V.∇WdΩ−∫
Ω
∇. (σW∇V ) dΩ+
∫Ω
σWV dΩ =
∫Ω
WIδ (x− xs) (y − ys) (z − zs) dΩ (4.4)
A segunda integral do primeiro membro da equação (4.4), pode ser transformada em uma
integral de contorno usando o teorema da divergência, assim,
∫Ω
∇. (σW∇V ) dΩ =
∫∂Ω
σ∂V
∂n
em que ∂Ω é o contorno do dominio da região Ω e n é o vetor normal a região Ω. Logo,
∫Ω
∇V.∇WdΩ−∫∂Ω
σ∂V
∂ndΓ +
∫Ω
σWV dΩ = IW (xs, ys, zs) (4.5)
Prosseguindo, precisamos discretizar a região em elementos nitos, ou seja, vamos dividir
o dominio Ω em varios sub-dominios, como Ω =∑e
Ωe e ∂Ω =∑e
Γe. Em seguida aplicamos
o criterio de Galerkin. O potencial será expresso como uma combinação linear da função base
ψei (x, y, z), ou seja,
V (x, y, z) =k∑i=1
Viψei (x, y, z)x, y, z ∈ Ωe
onde k é o número total de funções base. Considerando We a mesma função base, ou seja,
W ej (x, y, z) = ψej (x, y, z), j = 1, ..., k, obtemos então uma forma discretizada da equação
(3.45), que é dada por:
∑e
k∑i=1
[∫Ωe
σe (∇ψj.∇ψi + ψjψi) dΩe
]Vi +
k∑i=1
[∫∂Ωe
(ψi∂ψi∂n
)dΓe]Vi
= Iψi (xs, ys, zs) (4.6)
Escrevendo a equação (4.6) em sua forma matricial, temos
MV = b (4.7)
39
onde V é o vetor potêncial, b o vetor fonte com somente um elemento diferente de zero,
localizado exatamente na posição do eletrodo da corrente, M é uma matriz N ×N (sendo N
o número de nós da malha de elementos nitos), construída a partir das matrizes elementares,
ou seja,
M eij =
k∑i=1
[∫Ωe
σe (∇ψj∇ψi + ψjψi) dΩe
]+
k∑i=1
[∫∂Ωe
(ψi∂ψi∂n
)dΓe], j = 1, ..., k (4.8)
Obtemos a matriz elementar, escolhendo os elementos Ωe que quando unidos formam a
região Ω. Em um problema 3D os elementos mais comuns de serem usados são o paralelepípedo
e o tetraedo. A Figura 4.1 mostra um esquema destes elementos. Usaremos o tetraedo como
elemento, por este necessitar de menor espaço de memória, e também porque ao se usar este
elemento o metodo dos elementos nitos apresenta maior precisão.
Figura 4.1: Elementos: paralelepípedo e tetraedo.
Neste trabalho, a malha de elementos nitos foi construida segundo um procedimento em
que um paralelepipedo é constituido por seis tetraedos, desenvolvido por Bing at all (2001).
A seguir apresentaremos um resumo do esquema usado: os seis tetraedos são obtidos
a partir dos nós do paralelepípedo, como na Figura, realizando as seguintes combinações
(I1, I2, I3, I5), (I2, I3, I5, I6), (I3, I5, I6, I7), (I2, I3, I4, I5), (I3, I4, I6, I7) e (I4, I6, I7, I8).
Ao tomarmos as funções base na forma linear, temos
ψj (x, y, z) =1
6Ve(aj + bjx+ cjy + djz) , j = 1, 2, 3, 4.
40
em que Ve é o volume do tetraedo e aj, bj, cj e dj são cosntantes obtidas a partir das coorde-
nadas (xj, yj, zj). Analitícamente, o determinante abaixo corresponde a seis vezes o volume
do tetraedo
∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 y1 z1
1 x2 y2 z2
1 x3 y3 z3
1 x4 y4 z4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣Tendo as constantes aj, bj, cj e dj expressões relativamente grandes, expressaremos a seguir
apenas as equações para uma das funções:
a1 = x2 (y4z3 − y3z4) + x3 (y2z4 − y4z2) + x4 (y3z2 − y2z3)
b1 = (y3z4 − y4z3) + (y4z2 − y2z4) + (y2z3 − y3z2)
c1 = (x4z3 − x3z4) + (x2z4 − x4z2) + (x3z2 − x4z2)
d1 = (x3y4 − x4y3) + (x4y2 − x2y4) + (x2y3 − x3y2)
A solução da primeira integral da expressão (4.8) é dada por
∫Ωe
σe (∇ψj∇ψi) dΩe =σ∗
36Ve(bibj + cicj + didj)
Nos preocuparemos em resolver a segunda integral da expressão (4.6). Para este m, pre-
cisaremos avaliar as condições de contorno.
4.2 Condições de Contorno
Custuma-se considerar duas condições de contorno na modelagem direta de sondagens
geoelétricas. A primeira condição leva em consideração que na supercie da terra existe uma
interface terra-ar, isto é, um meio condutivo limitado por um meio isolante. Dessa maneira,
não existirá uxo de corrente pela interface. Este fato é descrito pela condição de Neumann
∂V
∂n= 0.
No esquema de elementos nitos que foi descrito, podemos implementar esta condição
facilmente, para isso, eliminamos os pontos pertencentes a este contato do termo:
41
∫∂Ωe
σe(ψ∂ψj∂n
)dΓe
da equação (4.6).
Na segunda condição estendemos o meio condutivo para o innito, isto é, os elemetos
laterais da malha tem suas dimensões aumentadas progressivamente para simular o meio indo
para o "innito". este fato é descrito aplicando-se a condição de Dirichlet
V = 0.
Esta condição é introduzida na formulação descrita acima, atribuindo grandes valores aos
elementos da matriz global M e o valor zero para os termos da fonte correspondente aos nós
que pertencem a esta fronteira.
A seguir, resolveremos o sistema de equações lineares.
4.3 Solução do Sistema de Equações Lineares.
Para resolvermos o sistema, vamos analisar cada elemento do mesmo. O vetor V é com-
posto pelos potencias que se deseja obter em cada elemento da malha. O vetor b é composto
pelos elementos da fonte da corrente. A matriz M nesse caso será chamada de matriz condu-
tancia. A mesma possui algumas caracteristicas especiais.
A matriz M é formada a partir da soma de matrizes elemtares simétricas, o que torna M
uma matriz simétrica também. Os elementos da matriz M , são obtidos no acoplamento entre
dois nós, como não existe acoplamanto entre dois nós distantes, os elementos desta matriz
referentes à relação entre nós distantes serão nulos, o fato que torna a matriz codutancia M
esparsa. No problema a ser resolvido, as condições de contorno foram inseridas de maneira
que as caracteristicas de simetria e esparsidade foram preservadas.
Para moelagem 3D do fenômeno da polarização induzida, a malha é constituida por
107 × 107 × 31 nós, assim a matriz condutancia é da ordem de 354919 × 354919. Resol-
ver um sistema linear dessa ordem, requer um grande custo computacional, sendo assim, para
suprir a grande necessidade de memória, aplicou-se na solução do sistema de equações lineares,
a fatoração LU e o método do bi-gradiente conjugado ou pré-conjugado. A seguir descrevere-
mos os dois métodos.
42
4.4 Fatoração LU .
O método consiste em decompor a matriz M no produto de duas matrizes L e U , assim
M = LU (4.9)
em que L é uma matriz triangular inferior e U uma matriz triangular superior.
Os fatores L e U apresentam a mesma dimensão que matriz M , deste modo, ao usarmos
o esquema de armazenamento descrito acima, temos que armazenar npz + 1 (sendo npz o
número de pontos na direção z) diagonais para cada fator L e U .
Substituindo (4.9) em (4.7), temos
LUV = b
.
Usando a variavel auxiliar y, temos
y = UV (4.5)
logo,
Ly = b (4.6)
.
resolvendo o sistema triangular inferior (4.6) por substiutições regressivas, depois o sistema
triangular superior (4.5) por substiutições progressivas, obtemos os valores de V .
De maneira conveniente, para a investigação geoelétrica com multieletrodos, determina-
mos o potencial para o primeiro eletrodo, depois o potencial referente ao segundo eletrodo,
até chegar ao ultimo. A decomposição LU independe da localização do eletrodo, devido a ser
realizada uma unica vez na matriz condutância M . A unica repetição acontece nas substitui-
ções pogressiva e regressiva para calcular os potenciais em cada posição do eletrodo. Acelerar
a modelagem direta é a principal vantagem da fatoração LU . A desvantagem é a grande
necessidade de memoria para se armazenar os fatores L e U .
43
4.5 Método Interativo do Gradiente Bi-Conjugado
O método do gradiente bi-conjugado é uma generalização do método do gradiente conju-
gado. O método original era usado para sistema lineares cuja matriz dos coecientes é real,
simétrica e positiva denida. Como a generalização passou a ser aplicado para sistemas com
matrizes de coecientes indenidas e com elementos complexos.
A idéia do método consiste em multiplicar a matriz M−1 (a matriz M é denominada de
pré-condicionada) pelo sistema linear (3.18), de maneira que a matriz dos coecientes seja
proxima a matriz identidade(M−1.M ∼= I
)Para implementar o método do gradiente bi-conjugado, utilizamos a sequencia de vetores
rk, rk, pk, pk, zk e zk. Atribuindo um valor inicial para r1 e depois fazemos p1 = r1 e p1 = r1.
Em seguida é feita a seguinte recorrência
M.zk = rk
MH .zk = rk
αk = rk.zkpk.M.pk
βk = rk+1.zk+1
rk.zk(4.7)
pk+1 = zk+1 + βkpk
pk+1 = zk+1 + βkpkVk+1 = Vk + αkpk
A seguinte forma fatorada expressa a matriz pré-condicionada SSOR:
M = (D + wE)(I + wD−1ET
)em que D e E são matrizes diagonais e triangulares inferiores respequitivamente. A matriz
D é constituida pelos elementos da diagonal principal de M , sendo uma matriz diagonal, e
E formado pelos elementos abaixo da diagonal principal de M , sendo uma matriz triangular
inferior; w é denominado de parâmentro de relaxação. Neste trabalho adotaremos para este
parâmetro o valor de 1.45 por apresentar melhores resultados na solução do sistema linear.
Outro fato que tem grande inuencia no número de operações para se resolver o sistema
linear é a matriz dos coecientes. Em nosso problema esta matriz é esparsa e simétrica. A
Figura 4.2 mostra o grau de esparsividade de uma matriz para uma malha 5 × 5 × 3 nós.
Pode-se observar que existem 15 diagonais na matrizM , devido a simetria da matriz, torna-se
necessário armazenar apenas 8 das diagonais da matriz.
44
Figura 4.2: Grau de esparsidade da matriz dos coecientes.
45
Capítulo 5
Resultados Obtidos
Neste capitulo, examinaremos a precisão e a eciência da modelagem 3D por elementos
nitos implementada neste trabalho. Para o exame da eciência, foram feitas comparações
com a solução analítica do modelo de duas camadas apresentada por Keller et al (1966). As
resistividades complexas das camadas são dadas pelo modelo fractal cujos parâmetros são
dados na tabela 5.1.
Parâmetros ρ0 (Ω.m) m δr τ (µ.s) τf (m.s) η
Primeira Camada 100 0.5 1.0 1.0 1.0 0.5
Segunda Camada 10 0.5 1.0 1.0 1.0 0.25
Tabela 5.1: Parâmetros do modelo fractal para resistividade complexa para as camadas.
Foram utilizados os arranjos de eletrodo dipolo-dipolo nesta simulação, com espaçamen-
tos de dois metros entre os eletrodos e oito resisitividades aparentes em cada sondagem. A
espessura da primenira camada mede 2 metros. O programa de modelagem 3D foi executado
em um computador com processador intel xeon inside , em que o tempo de execução para
esta simulação foi de aproximadamente 45 minutos. A comparação entre a resposta analítica
e a obtida por elementos nitos é mostrada na Figura 4.1. Percebe-se que tanto a amplitude
como o ângulo de fase decrescem com o número de espaçamentos. O erro máximo, tanto para
a amplitude como para o ângulo de fase, obtido foi menor que 0.01 .
Como aplicação da modelagem realizada, simulamos computacionalmente a presença de
um corpo estranho em uma meio homogêneo. Consideramos um meio geológico e como corpo
estranho uma contaminação desse meio por oléo de motor com tempo de maturação de vinte
46
quatro dias. A Figura (5.2) representa este corpo estranho introduzido em um meio homo-
gêneo. As características do meio são representados pelo modelo fractal para resistividade
complexa. Estes dados foram medidos por Vanhala et al (1997) e ajustado ao modelo fractal
por Farias(2004). Estes dados estão apresentados na tabela (5.2).
Figura 5.1: Comparação entre a resposta analítica e a obtida por elementos nitos.
Figura 5.2: Corpo embebido em espaço homogêneo ambos polarizáveis.
Os parâmetros do modelo fractal para semi-espaço homogêneo são os representados na
tabela 5.2. As medidas foram geradas com o uso do arranjo dipolo-dipolo com comprimento
47
de dipolo de 2 metros. Esta conguração de eletrodos consiste em introduzir uma corrente no
meio por um par de eletrodos e medir a voltagem em outro par de eletrodos, conforme ilustra
a Figura 5.3
Figura 5.3: Conguração de eletrodos.
O fator geométrico para este arranjo de eletrodos é dado por
k =1
AM+
1
BN− 1
AN− 1
BM
em que AM , BN , AN e BM são as distâncias entre as correntes dos eletrodos A e B e o
potencial de eletrodos M e N .
Os dados foram coletados usando na modelagem direta 20 eletrodos, com um número de
espaçamentos igual a 8, e representados na forma de pseudo-seções. As simulações foram
realizadas em cinco frequencias diferentes; 0.1 Hz, 0.5030 Hz, 2.5298 Hz, 12.7243 e 64 Hz;
para três modelos. O meio é constituido por tilito contaminado com oléo de motor e tempo
de maturação de 24 dias e tilito não contaminado. Estes parâmentros são apresentados na
tabela 5.2.
Amostra Vnh-6 ρ0 (Ω.m) m δr τ (µ.s) τf (m.s) η
Não Contaminado 5200 0.904 4.959 20.343 0.007 0.202
Contaminação(corpointruso) 1470 0.885 4.877 11.872 0.923 0.449
Tabela 5.2: Parâmetros do modelo fractal para resistividade complexa para a amostra de
medidas por Vanhala et al (1997) e ajustado ao modelo fractal por Farias(2004)
A seguir apresentaremos as imagens das pseudoseções segundo seus modelos.
48
5.1 Modelo 1.
O modelo 1 corresponde a sondagem feita no centro do corpo y = 20 m. Estão represen-
tados nas Figuras 5.4, 5.5, 5.6, 5.8 e 5.9. Podemos notar que a inuência do bloco, o qual
representa a contaminação do solo por oléo, é observada tanto na resposta por ângulo de fase
aparente quanto na resposta por amplitude.
5.2 Modelo 2.
O modelo 2 corresponde as bordas do corpo intruso em um meio homogenêo, isto é, nas
posições y = 17 m e y = 23 m. Obtivemos as mesmas respostas para ambas as situações.
Observa-se que na primeira frequência tanto na resposta por ângulo de fase aparente quanto
na resposta por amplitude percebe-se a presença do paralelepípedo. Com o aumento da
frequência, a presença do corpo na resposta do ângulo de fase vai cando mais nítida. As
imagens estão representadas nas Figuras 5.9, 5.10, 5.11, 5.12 e 5.13.
5.3 Modelo 3.
O perl 3 correspondem a sondagens a dois metros de distância do corpo intruso no meio
homogêneo, isto é, nas posições y = 15 m e y = 25 m. Obtivemos respostas identicas para
ambas as situações. As pseudoseções, na forma de amplitude e ângulo de fase são mostradas
nas Figuras 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 e 5.18. Na resposta de ângulo de fase nota-se levemente a
presença do corpo a partir da segunda frequência.
Figura 5.4: Modelo 1 frequência de 0.1 Hz.
49
Figura 5.5: Modelo 1 frequência de 0.5030 Hz.
Figura 5.6: Modelo 1 frequência de 2.5298 Hz.
50
Figura 5.7: Modelo 1 frequência de 12.7243 Hz.
Figura 5.8: Modelo 1 frequência de 64 Hz.
51
Figura 5.9: Modelo 2 frequência de 0.1 Hz.
Figura 5.10: Modelo 2 frequência de 0.5030 Hz.
52
Figura 5.11: Modelo 2 frequência de 2.5298 Hz.
Figura 5.12: Modelo 2 frequência de 12.7243 Hz.
53
Figura 5.13: Modelo 2 frequência de 64 Hz.
Figura 5.14: Modelo 3 frequência de 0.1 Hz.
54
Figura 5.15: Modelo 3 frequência de 0.5030 Hz.
Figura 5.16: Modelo 3 frequência de 2.5298 Hz.
55
Figura 5.17: Modelo 3 frequência de 12.7243 Hz.
Figura 5.18: Modelo 3 frequência de 64 Hz.
56
Capítulo 6
Considerações Finais
Este trabalho realizou a modelagem direta de resistividade complexa 3D usando o método
de elementos nitos. Para isso, aplicamos o método de elementos nitos para solucionar a
equação diferencial que descreve o fenômeno da polarização induzida, sujeita as condições de
Dirichlet em Neumann a que a equação esta sujeita. Os resultados obtidos foram as medidas
de resistividade complexa na forma de amplitude e ângulo de fase. Com esses resultados foram
montadas pseudoseções de meios 3D.
Os dados obtidos com a modelagem direta 3D, foram comparados com a solução para um
meio com duas camadas apresentadas por Keller et al (1966). O erro encontradado foi menor
que 0.01, o que foi outro resultado satisfatorio obtido em nosso trabalho.
As sondagens foram realizadas nas laterais de um meio homogêneo onde esta inserido
um corpo estranho, que foram percorridos por correntes eletricas de cinco faixas diferentes de
frequência. A analise das imagens geradas com a aplicação do método, mostram que o método
da polarização induzida é eciente para a geração de imagens de corpos estranhos em meios
géologicos.
Pesquisa como essas precisam continuar a ser realizadas, pois métodos que são desenvolvi-
dos, posteriormente precisão ser analisados e investigados para determinar sua conabilidade.
A aplicação de tecnicas matemáticas que solucionam equações diferenciais que descrevem fenô-
menos sicos, auxiliam muito no emprego de métodos como os da polarização induzida. Por
isso, precisam continuar a ser pesquisados, desenvolvidos e usados na solução de problemas
de natureza física.
Em pesquisas futuras, precisam ser aplicados outros métodos, tais como as redes neurais
articiais para a modelagem direta do fenômeno da polarização induzida. Assim, poderemos
vericar se existem técinicas mais eciêntes no emprego do método da polarização induzida.
57
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