Università degli Studi di Ferrara

SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO SEDE DI FERRARA

CORSO SPECIALE ABILITANTE – CLASSE A049 MATEMATICA E FISICA ANNO ACCADEMICO 2005/2006

DIRETTORE della Scuola: Prof. Roberto Greci

COORDINATORE della Sede di Ferrara: Prof.ssa Luciana Bellatalla

DISSERTAZIONE FINALE

Il problema della misura. Integrale definito e

sue applicazioni

Specializzando Tutor Dott. Eros Bernardi Prof Luigi Tomasi ____________________________________ _____________________________________

Relatore Prof. Valter Roselli

______________________________________

1

Premessa

In questa elaborato si presenta un percorso didattico inerente agli integrali definiti trattati in una

quinta liceo. Si è scelto la trattazione classica del problema assumendo come prerequisiti gli

integrali indefiniti poi quelli definiti, anche se si potrebbe seguire l’origine storica del problema e

sperimentare se questo argomento risulti più gradito agli studenti.

Molti allievi vedono gli integrali indefiniti come una costruzione artificiale senza utilità e piena di

meccanismi complicati e di stratagemmi che come dicono alcuni di loro servono ai matematici per

fare tornare il risultato.

Il lavoro è suddiviso in due capitoli: il primo comprende un riferimento ai programmi ministeriali,

cenni storici e metodologie di svolgimento; il secondo capitolo parte centrale del lavoro si apre

facendo un punto dei prerequisiti e degli obiettivi e degli obiettivi di tale lavoro e poi procede

trattando lo sviluppo del percorso didattico.

I vari programmi ministeriali del liceo scientifico sono il punto di partenza per riflettere

sull’argomento; troviamo su “Matematica 2004” dell’Unione Matematica Italiana altri spunti per

trattare l’argomento.

Introduciamo l’argomento facendone un breve percorso storico, i richiami storici poi possono essere

costantemente ripresi durante tutto lo svolgimento dei contenuti, senza far diventare la storia della

matematica predominate rispetto ai contenuti.

L’elaborato procede illustrando le metodologie e le strategie didattiche adottate dall’insegnante per

rendere la spiegazione degli argomenti interessante e di scoperta per la classe.

La maggior parte del lavoro è occupata dallo svolgimento dei contenuti, in tale parte mostriamo

come l’argomento sarà svolto in classe in maniera dettagliata.

L’elaborato si chiude con delle brevi conclusioni.

2

Indice

Premessa 1

1 Introduzione al percorso didattico e scelte metodologiche 3 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Cenni storici sul concetto di integrale . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Scelta del periodo e metodologie . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2 Presentazione dei contenuti ed intervento didattico 13 2.1 Prerequisiti e obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Sequenza logica e temporale dei contenuti . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Svolgimento dei contenuti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Conclusioni 53

Bibliografia 54

Sitografia 55

3

Capitolo 1

Introduzione al percorso didattico e scelte

metodologiche

1.1 Introduzione L’integrale è uno dei concetti fondamentali dell’analisi matematica. Lo studente giunge allo studio

del calcolo integrale dopo aver affrontato nell’ordine:

concetto di limite e quello di derivata.

Tuttavia questi tre concetti sono nati storicamente in ordine inverso, il primo a comparire è il

concetto di integrale, segue quello di derivata e, infine, quello di limite. Non sempre gli alunni

prestano la dovuta attenzione a questa parte di programma scolastico, visto che viene svolto verso la

conclusione dell’anno scolastico e non sempre viene dato il risalto e lo spazio necessario ad un

argomento così importante. Dando uno sguardo alle prove di matematica dell’esame del liceo scien-

tifico di quest’anno troviamo che tre dei quesiti dell’indirizzo ordinario riguardavano proprio questo

argomento, mentre l’operazione di integrazione era all’interno di un problema per l’indirizzo PNI.

Vista la ricorrenza con cui il calcolo integrale si ritrova nelle varie prove d’esame bisogna stimolare

gli alunni ad affrontare in modo più approfondito l’argomento; la maggior parte degli alunni

considera il calcolo integrale come una parte di programma di quinta staccata dal resto e di cui può

fare benissimo a meno. A questo punto andiamo a leggere le direttive ministeriali relative a tale

argomento per i tre indirizzi di studi del liceo scientifico tradizionale, PNI e Brocca.

Programma ministeriale inerente al concetto di integrale in un liceo scientifico tradizionale:

“Nozione di integrale con qualche applicazione.”

Programma ministeriale inerente al concetto di integrale in un liceo scientifico PNI:

“Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale, a partire dalle

conoscenze già acquisite dallo studente nei suoi studi precedenti (aree dei poligoni, lunghezza della

circonferenza, area del cerchio, volume di solidi notevoli) inquadramento preferibilmente sotto il

profilo storico. Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla necessità di dare

4

metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi. Lo studente potrà anche ritrovare, come

semplici applicazioni del calcolo integrale, alcune delle formule già note.”

Programma ministeriale inerente al concetto di integrale in un liceo scientifico Brocca:

“Il problema della misura sarà affrontato con un approccio molto generale, con particolare

riferimento al calcolo della lunghezza della circonferenza e dell’area del cerchio, e va inquadrato

preferibilmente sotto il profilo storico. Il concetto di integrale scaturirà poi in modo naturale dalla

necessità di dare metodi generali per il calcolo di lunghezze, aree, volumi.”

Osservando i tre programmi ministeriali relativi si nota subito che mentre le indicazioni didattiche

per gli indirizzi Brocca e PNI sono precise e dettagliate quelle dell’indirizzo ordinario risultano

scarne e non ben precisate. L’analisi storica inoltre può risultare fondamentale anche per

identificare gli ostacoli epistemologici che si manifestano tramite errori piuttosto ricorrenti nel

processo di apprendimento degli studenti. Nella fattispecie, mi riferisco in particolare alla

definizione di integrale definito che, passando attraverso la nozione di limite, richiede la preventiva

comprensione del concetto di infinito; tale concetto, come ci insegna la storia della matematica,

costituisce uno dei più grandi e resistenti ostacoli all'apprendimento degli studenti. Per l’indirizzo

ordinario non viene neppure menzionata l’analisi storica di tale concetto non si capisce come una

cosa risulti utile per un indirizzo e non per l’altro, sicuramente uno dei fatti importanti è forse che il

programma dell’indirizzo ordinario da quando è stato scritto non è più stato riveduto.

Consultiamo ora gli obbiettivi specifici di apprendimento relativi al liceo scientifico1 (si trovano

sotto la sigla OSA ed sono il testo relativo alla riforma del ministro Letizia Moratti) nei quali

troviamo solamente poche righe sul tema dell’integrazione e problema delle are:

“Teorema fondamentale del Calcolo e sue applicazioni al calcolo di integrali, aree, volumi. Lo

sviluppo del concetto di derivata e integrale da Newton a Cauchy e Weierstrass”

Si osserva subito e che nel testo sopra citato non si trovano indicazioni metodologiche relativa al

trattazione dell’argomento, il programma risulta poco dettagliato, inoltre le ore per sviluppare questi

contenuti risultano notevolmente ridotte.

Sul testo “Matematica 2004” del UMI si leggono le seguenti indicazioni:

“L'ordine e il modo in cui si introducono i concetti di derivata, integrale, primitiva, funzione

integrale dipendono dalle scelte didattiche dell'insegnante. La storia della matematica può essere

di aiuto e di guida in queste scelte. Il teorema fondamentale del calcolo integrale può essere

illustrato anche facendo ricorso a visualizzazioni.

1 La riforma del ministro Letizia Moratti suddivide la scuola secondaria di secondo grado in otto licei.

5

4 .Il problema della misura: lunghezze, aree, volumi Il problema della misura di lunghezze, aree e volumi attraversa tutta la carriera scolastica a

partire dalla scuola primaria. L’itinerario delineato ha lo scopo di far ripercorrere allo studente il

suo personale cammino attraverso le successive generalizzazioni e gli affinamenti sia dei concetti

che degli strumenti coinvolti nella soluzione dei problemi di misura. Esso è utile anche per

rivisitare il cammino storico che dalla teoria dell’equivalenza in Euclide e dal metodo di esaustione

porta al calcolo integrale.

L’argomento è trasversale e consolida conoscenze ed abilità fondamentali presenti nel curricolo

proposto negli anni precedenti. Lo svolgimento necessita dell’uso di modelli e di tecnologie, da

quelle tradizionali ai software di geometria e alle calcolatrici. Particolare rilevanza assume in

questo percorso il collegamento con il problema della misura in altri ambiti disciplinari quali

quello della fisica e delle altre scienze sperimentali.”

Mi sembra che queste righe riassumano in maniera esauriente l’idea generale del mondo scientifico

relativo a quest’argomento e diano un ottimo spunto per trattare in maniera efficace l’argomento dal

punto di vista didattico.

Un altro aspetto importante che emerge nelle righe sopra citate é la grande importanza dell’integrale

come argomento interdisciplinare che lega la matematica con la fisica.

6

1.2 Cenni storici sul concetto di integrale

Il calcolo degli integrali definiti prende inizio dalla necessità di determinare le aree di figure piane

aventi contorno curvilineo.

Le idee principali che sono alla base del calcolo differenziale si sono sviluppate lungo i secoli; i pri-

mi passi furono compiuti dai matematici greci.

Per i Greci i numeri erano rapporti di interi, quindi la retta dei numeri presentava dei buchi. Essi

aggirarono questa difficoltà introducendo i concetti di lunghezza, area e volume oltre ai numeri,

giacché per i Greci non tutte le lunghezze erano numeri.

Il primo a muovesi in questa direzione è Archimede di Siracusa (287-212 a.C.) che mediante il

metodo di esaustione calcola con buona approssimazione l’area del cerchio e determina l’area del

settore parabolico.

Archimede che, nel 225 a.C. circa, diede uno dei contributi più significativi. Il suo primo progresso

fu dimostrare che l’area di un segmento di parabola è pari a 4/3 dell’area di un triangolo avente la

base coincidente con il segmento AB e vertice E coincidente con il punto di contatto tra il

quadrilatero ABCD e la parabola stessa oppure ai 2/3 dell’area del parallelogramma circoscritto.

A

B

E

D

C

V

Archimede costruì una sequenza infinita di triangoli partendo con uno di area A e aggiungendo

continuamente ulteriori triangoli fra quelli esistenti e la parabola per ottenere aree

l’area dei triangoli AEF più BGE risulta 1/4 dell’area

del triangolo di partenza ABE

A

B

E

D

C

V

F

G

7

Da ciò segue che l’area del settore parabolico risulta:

A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

L’area del segmento di parabola è allora

A(1+1/4 + 1/42

+ 1/43

+ ....) = (4/3)A.

Questo è il primo esempio noto di somma di una serie infinita.

Archimede usò il metodo di esaustione per trovare un’approssimazione dell’area di un cerchio.

Questo, ovviamente, è un primo esempio di integrazione che conduce a valori approssimati di π.

Se si considerano due successioni di poligoni regolari di n lati inscritti e circoscritti al cerchio, si

può dimostrare che l'area del cerchio coincide con il limite comune delle due successioni costituite

rispettivamente dalle aree dei poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio.

Anche se esistono alcune discussioni sulla paternità originale, Gottfried Wilhellm von Leibniz

(1642-1727) è accreditato assieme ad Isaac Newton dell'invenzione,

intorno al 1670, del calcolo infinitesimale: in base ai suoi appunti, un

importante momento di svolta nel suo lavoro lo si ebbe il 17 aprile

1675, quando utilizzò per la prima volta il calcolo integrale per trovare

l'area dell'insieme di punti delimitato dalla funzione xy = .

In un primo tempo scrisse semplicemente omn. y (cioè "tutte le y ")

per indicare la somma di tutte le ordinate di una curva; più tardi, però,

usò il simbolo ∫ y , e ancora più tardi dxy∫ , dove il simbolo

dell'integrale è l'ingrandimento della lettera S che indica somma, simbologia giunta fino ai giorni

nostri.

Per trovare le tangenti si richiedeva l'uso del calculus differentialis, mentre per trovare le quadrature

si richiedeva quello del calculus summatorius o calculus integralis.

8

La scoperta forse più importante di Leibniz è che i due problemi ora considerati sono strettamente

legati, al punto che differenziazione e integrazione sono operazioni inverse: questo viene chiamato

il «teorema fondamentale» del calcolo Integrale.

In seguito Augustin Louis Cauchy(1789-1857) nel Cours d’analyse dà una definizione dell’inte-

grale indipendente dalla derivata, salvo poi confrontare le due operazioni, con un punto di vista in

un certo senso più simile alle idee sulla misura delle figure che si erano sviluppate con Cavalieri e i

suoi continuatori e che erano state spazzate via con l'affermarsi del calcolo infinitesimale, quando

prevale l'aspetto di integrazione come operazione inversa della differenziazione.

Per definire l'integrale di una funzione ( )xf continua al variare di x nell'intervallo [ ]ba; egli

considera una partizione dell'intervallo in elementi bxxxxxa nn =<<<<= −1210 ............... e

definisce la somma relativa a partizione, oggi detta ``alla Cauchy'', come ( )11

)( −=

−=∑ ii

n

ii xxxfS

Ciò premesso egli prova che se, infittendo la partizione, gli intervalli diventano molto piccoli, il

valore di S finirà per essere sensibilmente costante o in altri termini finirà per raggiungere un certo

limite che dipenderà unicamente della funzione ( )xf e dai valori estremi

attribuiti alla variabile x . Questo limite è ciò che si chiama integrale definito.

Per Cauchy sono integrabili le funzioni continue; se la funzione è irregolare,

non continua, può essere difficile determinare la primitiva e l’integrale non ha

significato.

Si pone quindi la necessità di dare un senso all’integrale di funzioni non

continue. Quando una funzione ( )xf ha un punto di discontinuità c , nella

vicinanze del quale può o meno essere limitata, Cauchy introduce quindi la

nozione di integrale improprio o generalizzato, nozione che si estende ad un

numero finito di punti di discontinuità.

Rimane un problema aperto; la possibilità di integrare funzioni con un numero infinito di punti di

discontinuità La nuova idea di Cauchy presenta vari aspetti ancora non completi o non

soddisfacenti, sui quali si sviluppano riflessioni successive.

Un matematico che si pone il problema dell'integrabilità delle funzioni con infiniti punti di

discontinuità è Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet(1805-1859).

Dirichlet sembra affermare che condizione necessaria per l'integrabilità sia che l'insieme dei suoi

punti di discontinuità sia "rado", cioè che la sua chiusura non abbia punti interni.

9

Introduce qui come esempio di funzione non integrabile la nota funzione di Dirichlet:

Pur affermando di voler tornare sulla questione dell'integra-

zione delle funzioni discontinue, Dirichlet non darà seguito a

questo proposito. La condizione enunciata non è né

necessaria né sufficiente; l'importanza della sua idea sta però nell'aver legato esplicitamente

l'integrabilità di una funzione all'insieme dei punti di discontinuità, dando così inizio a uno studio

che si protrarrà fino all'apparire della teoria di Henri Léon Lebesgue(1875-1941).

Il problema è ripreso nella memoria di Georg Friedrich Bernhard Riemann(1826-1866), presentata

come tesi di abilitazione alla libera docenza all'Università di Gottinga nel 1854, resta praticamente

sconosciuta fino al 1867, quando viene pubblicata a cura di Dedekind. In essa, dopo aver introdotto

l'integrale che porta il suo nome, Riemann si pone il problema di caratterizzare la classe delle

funzioni integrabili. La storia dell'integrazione, tra la memoria di Riemann e quella di Lebesgue, è

in gran parte la storia della precisazione graduale di vari concetti topologici e delle loro relazioni

con gli insiemi di misura nulla.

Il risultato finale è il seguente:

Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione limitata

)(xf sia integrabile è che per ogni 0, >δσ esista una suddivisione

dell'intervallo ( )ba, in un numero finito di intervalli tale che la

somma delle lunghezze di quelli nei quali l'oscillazione della

funzione supera σ risulti minore di δ .

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

e,irrazional è se 0

razionale è se 1

x

x

xϕ

10

Henri Lebesgue rielaborò le nuove idee, ponendole alla base della sua trattazione dell'integrale, già

presenti nella sua tesi Intégrale, longueur, aire del 1902, esposte poi in forma definitiva nelle

Leçons sur l’integration et la recherche des functions primitives del 1904.

Non si pone più il problema di caratterizzare le

discontinuità delle funzioni integrabili secondo Riemann,

ma estende la classe delle funzioni integrabili, poiché

questo è il punto essenziale che differenzia i due metodi di

integrazione, così descritta dallo stesso Lebesgue nel suo

articolo divulgativo Sur le development de la notion

d'integrale del 1926, osserva Lebesgue, se si vogliono

ottenere insiemi in cui f varia poco, non si deve dividere

l'intervallo [ ]ba, dove la f è definita, ma l'intervallo

[ ] [ ]ffdc sup,inf, = , immagine di [ ]ba, tramite f .

Con la nuova definizione di integrale si amplia notevolmente il campo delle funzioni integrabili, e si

introduce una misura numerabilmente additiva, teoria dotata di importanti proprietà per l'integrale,

in particolare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale

11

1.3 Scelta del periodo e metodologie

L’ipotesi di un percorso didattico è previsto in una classe quinta di un Liceo Scientifico con

indirizzo P.N.I. nel periodo di Marzo Aprile.

L’argomento si inquadra, nel contesto dei programmi ministeriali della scuola secondaria superiore,

dopo la trattazione delle derivate e di tutti i teoremi relativi alle derivate; normalmente si vede

prima l’integrale indefinito come operazione inversa della derivata, poi in seguito si tratta il

problema delle aree con l’integrale definito.

“Il docente, infine, in relazione alle caratteristiche liceali della scuola, cercherà ogni occasione per

illustrare, ed eventualmente approfondire, con il concorso del collega di filosofia ed attraverso la

lettura di pagine a carattere storico, alcune questioni di epistemologia della disciplina.”2

Storicamente prima è nato il problema della ricerca delle aree poi si è legato l’integrale alla

primitiva della funzione, probabilmente risulterebbe l’integrale un argomento più gradito alla classe

se si seguisse questo percorso; spesso l’integrale risulta di difficile comprensione proprio perché

non se ne vede uno scopo.

In questa ipotesi comunque ci atterremo ai libri di testo consultati (menzionati nella bibliografia)

per stendere questo lavoro, in quanto la maggior parte di loro introduce prima gli integrali indefiniti

e poi svolge quelli definiti; la scelta è dovuta soprattutto al fatto di potersi avvalere da parte della

classe di un testo da seguire.

Se in un futuro si potrà disporre di libri di testo che trattano prima l’integrale definito ed una volta

giunti al teorema di Torricelli-Barrow che lega la primitiva al calcolo dell’integrale definito

svolgere tutta la parte dell’integrale indefinito per legarla di volta in volta alla risoluzione di vari

problemi.

“L'uso dell'elaboratore elettronico sarà via via potenziato utilizzando strumenti e metodi propri

dell'informatica nei contesti matematici che vengono progressivamente sviluppati. Si citano alcuni

esempi di argomenti nei quali il contributo informatico può essere particolarmente significativo:

calcolo approssimato delle soluzioni di un'equazione algebrica o trascendente e di sistemi lineari,

applicazioni al calcolo differenziale ed integrale, rappresentazione grafica di una funzione,

determinazione delle soluzioni di semplici equazioni differenziali con metodi numerici, applicazioni

a fatti probabilistici e statistici.

2 Tratto dai programmi ministeriali del liceo scientifico indirizzo P.N.I.

12

Oltre a permettere l'approfondimento delle conoscenze, dei linguaggi e dei metodi propri

dell'informatica, esso consente anche, mediante la visualizzazione di processi algoritmici non

attuabile con elaborazione manuale, la verifica sperimentale di nozioni teoriche già apprese e

rafforza a sua volta negli allievi l'attitudine all'astrazione ed alla formalizzazione per altra via

conseguita.”3

L’argomento sarà tratta facendo uso delle varie tecnologie a disposizione soprattutto da software

Derive versione 6 strumento di grande utilità per quello che riguarda il calcolo integrale e la

visualizzazione delle varie aree ed i molti comandi utili per la risoluzione di problemi di aree.

Il laboratorio informatico sarà utilizzato spesso per svolgere esercitazioni e per avvicinare gli

studenti a questo nuovo argomento, che non sempre risulta gradito ai più.

Durante la trattazione degli argomenti si cercherà di coinvolgere la maggior parte della classe ad

una partecipazione attiva alla spiegazione stimolando la loro curiosità ed portandoli per gradi alla

scoperta dei vari argomenti.

Ogni parte del programma svolto sarà seguita da un cospicuo numero di esercizi e di schede guidate

per consolidare e stimolare gli alunni nelle varie parti che compongono questo percorso didattico.

“Si insiste sull'opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi; si prospetti cioè una

situazione problematica che stimoli i giovani, dapprima a formulare ipotesi di soluzione mediante il

ricorso non solo alle conoscenze già possedute ma anche alla intuizione ed alla fantasia, quindi a

ricercare un procedimento risolutivo e scoprire le relazioni matematiche che sottostanno al

problema, infine alla generalizzazione e formalizzazione del risultato conseguito ed al suo

collegamento con le altre nozioni teoriche già apprese.”3

A conclusione di ogni punto fondamentale dell’unità didattica viene prevista una verifica dall’esito

della quale si potrà o continuare o eventualmente fare attività di recupero.

Il percorso didattico si chiuderà con una verifica finale che dia il polso della situazione, se gli

argomenti non risulteranno compresi dalla maggior parte della classe è previsto del recupero finale.

Il lavoro è una ipotesi quindi non è detto che si possa applicare in maniera precisa ad una classe; in

quanto tutto ciò che si ipotizza bisogna poi valutarlo in classe e non sempre il tempo e le risposte

della classe sono quelle previste, quindi in corso di lavoro l’ipotesi dovrà essere a volte rivista.

3 Tratto dai programmi ministeriali del liceo scientifico indirizzo P.N.I.

13

Capitolo 2

Presentazione dei contenuti

ed intervento didattico

2.1 Prerequisiti e obiettivi

Il progetto è rivolto ad una quinta classe indirizzo PNI di un Liceo Scientifico, in suddetta classe

sono previste cinque ore di matematica settimanali comprensivo di attività di laboratorio di

informatica (che sono obbligatorie).

Gli argomenti sono presentati dall’insegnante tramite una introduzione storica del problema preva-

lentemente mediante lezioni frontali, in cui si alternano momenti di spiegazione, correzione e riso-

luzione di esercizi in un clima di dialogo e di discussione collettiva, verrà dedicato un ampio spazio

alla parte applicativa sia per consolidare le nozioni apprese dagli studenti, sia per far acquisire loro

una maggiore autonomia e padronanza del calcolo.

Inoltre verrà mostrato loro un utilizzo razionale ed utile delle nuove tecnologie per il calcolo inte-

grale, in modo da stimolare l’acquisizione del calcolo stesso.

PREREQUISITI

I prerequisiti richiesti agli studenti per affrontare lo studio del calcolo integrale sono:

divisione tra due polinomi;

operazioni con i radicali;

geometria analitica;

elementi fondamentali della trigonometria;

proprietà delle funzioni esponenziali;

proprietà dei logaritmi;

concetto di funzione e rappresentazione grafica di una funzione nel piano cartesiano;

concetto di successione e relative proprietà, limite di una successione;

concetto di limite, teoremi fondamentali sui limiti e tecniche risolutive per effettuare il

calcolo dei limiti;

14

concetto di funzione continua;

concetto di derivata e regole di derivazione;

Integrale indefinito,

conoscere i software Derive6, Cabri-Géomètre II, Cabri3D, Mathematica, ……...

Durante l’intervento didattico accerterò, attraverso domande poste alla classe, che gli studenti

siano in possesso dei prequisiti sopraindicati; se necessario, interverrò per recuperare e/o

consolidare i contenuti non assimilati.

OBIETTIVI GENERALI

Nei programmi del PNI viene data la seguente linea guida “l’insegnamento della matematica nel

triennio di una scuola secondaria superiore amplia e prosegue quel processo di preparazione

culturale iniziata nel biennio; in armonia con gli insegnamenti delle altre discipline, esso

contribuisce alla loro crescita ed alla loro formazione critica.”

Conseguentemente si possono formulare i seguenti obiettivi:

Cognitivi:

Far padroneggiare i concetti fondamentali e le linee di ragionamento logico-astratto;

fare emergere le difficoltà concettuali e di ragionamento dovuti anche ad una non sempre

chiara presentazione da parte dei libri di testo;

acquisire progressivamente autonomia nel calcolo integrale definito;

individuare di volta in volta la strategie migliori da applicare al calcolo integrale.

Metacognitivi:

Guidare gli allievi nell’utilizzo di software didattici, come strumento di verifica, di studio e

di scoperta di principi;

Suscitare l’interesse e la curiosità degli studenti per la ricerca delle aree sottese da linee

curve attraverso brevi interventi di natura storico-epistemologica;

Acquisire progressivamente rigore scientifico sia nel linguaggio che nella metodologia e

avvalersi di modelli matematici per risolvere problemi di varia natura in particolare nel

calcolo.

15

Comportamentali:

Sapere lavorare in gruppo

chiedere spiegazioni pertinenti

rispettare i tempi di consegna

sviluppare l’attitudine alla comunicazione e ai rapporti interpersonali,

contribuire allo sviluppo dello spirito critico e delle capacità logiche e argomentative.

OBIETTIVI SPECIFICI

Sapere (conoscenze)

conoscere il problema che storicamente portò per primo alla formalizzazione del calcolo

degli integrali definiti, cioè la determinazione dell’area di superfici piane delimitate da

contorni curvilinei;

comprendere il concetto di integrale definito e la relativa interpretazione geometrica;

conoscere il teorema della media integrale;

acquisire il concetto di funzione integrale e saperlo collegare a quello di funzione primitiva;

conoscere il teorema fondamentale del calcolo integrale;

conoscere la regola per il calcolo dell’integrale definito;

conoscere le applicazioni del calcolo integrale: calcolo dell’area della parte di piano

delimitata dal grafico di due o più funzioni, volume di un solido di rotazione, lunghezza di

archi di curve piane;

significati fisici del concetto di integrale definito (leggi orarie,il lavoro, l’energia cinetica,

energia di una corrente alternata,quantità di carica,….)

Saper fare (competenze)

saper individuare le motivazioni storiche che hanno portato alla nascita del calcolo integrale;

saper enunciare e dimostrare i teoremi relativi al calcolo integrale;

saper definire in modo appropriato il concetto di integrale definito e indefinito;

saper calcolare gli integrali definiti, sia immediati, sia utilizzando i metodi di integrazione

esposti;

saper calcolare le aree di figure piane, i volumi di solidi di rotazione e la lunghezza dell’arco

di una curva piana, utilizzando il calcolo integrale;

Sapere applicare il calcolo integrale in problemi significativi.

16

Saper fare (capacità)

capacità di osservazione e di intuizione, indispensabili per una rapida soluzione dei diversi

problemi;

abilità di individuare le strategie più appropriate per risolvere integrali e problemi connessi

al calcolo integrale (calcolo di aree, volumi ecc.);

capacità di applicare con consapevolezza i teoremi fondamentali del calcolo integrale;

capacità di analizzare il risultato relativo al calcolo integrale e valutare se esso è corretto;

capacità di esprimersi sia in forma orale che scritta, utilizzando un linguaggio appropriato;

saper utilizzare il calcolo in particolari problemi significativi.

CONTENUTI

Area del trapezoide

Integrale definito e relative proprietà

Teorema della media e teorema di Torricelli-Barrow

Grafico della funzione integrale

Calcolo di aree, volumi, lunghezze di archi di curve

Significati fisici

Integrali impropri

Integrazione definita con DERIVE.

METODOLOGIA DIDATTICA

In sintonia con lo sviluppo storico, introduciamo il discorso sul calcolo integrale partendo proprio

dal calcolo delle aree di superfici piane qualunque. In questo itinerario didattico si poteva fare

prima il concetto di integrale definito, a cui ho sempre affiancato l’interpretazione geometrica

che, a mio avviso, può aiutare gli studenti a comprenderne meglio il significato, evitando così di

partire da definizioni formali che sarebbero risultate troppo astratte.

Nonostante i programmi sperimentali prevedano questa impostazione si è preferito seguire

quanto proposto dalla maggior parte dei libri di testo che prevedono prima la trattazione

dell’integrale indefinito poi di quello definito

L’obiettivo è di determinare l’area di una superficie piana delimitata dal “sotto grafico” di una

funzione ( )xfy = continua e positiva nell’intervallo chiuso [ ]ba, .

Si può ricordare il metodo di esaustione utilizzato dagli antichi greci per calcolare l’area del

cerchio e del settore parabolico; in maniera abbastanza simile si vuole cercare di calcolare l’area

racchiusa da questa curva , sino poi al passaggio al limite.

17

Si passa poi alla dimostrazione del teorema di Torricelli-Barrow, fondamentale in quanto

fornisce un legame tra l'integrale definito e le primitive della funzione integranda. Notevole cura

sarà data allo studio del grafico della funzione integrale, dedotto da quello della funzione

integranda.

L'integrale definito si applica poi a problemi geometrici importanti come il calcolo di lunghezze

di archi di curve, di aree e di volumi di solidi di rotazione e a questioni che si presentano nello

studio della fisica.

L'argomento viene ampliato alla definizione di integrale generalizzato.

STRUMENTI UTILIZZATI

Lavagna, testo, quaderno, righello, gessi colorati, lavagna luminosa, laboratorio di informatica,

calcolatrice scientifica, software didattico, video proiettore, pc portatile, …

VERIFICA - VALUTAZIONE

Controllo e verifica dell’apprendimento:

L’andamento e l’efficacia dell’attività didattica saranno controllate attraverso l’assegnazione e la

successiva correzione in classe di opportuni esercizi applicativi nelle diverse fasi di progressione

dell’unità didattica. Saranno inoltre effettuate verifiche orali e verifiche formative studiate per

accertare che lo studente abbia acquisito gradualmente tutti i concetti, in particolare queste saranno

studiate in modo da verificare conoscenze, comprensione e capacità di applicazione.

A compimento dell’unità didattica si somministra una verifica sommativa che servirà a valutare il

grado di conoscenze e competenze raggiunto da ogni studente.

Recupero:

Per l’efficacia e la completezza dell’attività didattica sono previste attività di recupero. Tali attività

di recupero sono articolate in:

• recupero svolto in classe attraverso la ripresa dei concetti non recepiti e lo svolgimento di

esercizi che aiutino a fare chiarezza sulle procedure non comprese;

• attività pomeridiane con gli studenti interessati (sportello scolastico e tutoring);

• assegnazione allo studente di esercizi mirati alle difficoltà da recuperare e guidati nella

risoluzione.

I concetti che necessitano di recupero verranno individuati attraverso le verifiche formative , le

prove orali individuali e le discussioni di gruppo in classe.

18

2.2 Sequenza logica e temporale dei contenuti. Proponiamo uno schema dello svolgimento della presente unità didattica suddiviso per attività e

comprendente i tempi presunti dell’intervento. Si fa presente che esso non può però ritenersi rigido

in quanto è necessario considerare variabili legate alle peculiarità degli studenti.

N. Lez. Tempi Contenuti

1 2 h

Introduzione storica dell’integrale.

L’integrale definito di una funzione positiva.

Definizione generale di integrale definito.

2 1 h

Proprietà dell’integrale definito.

Definizioni sull’integrale definito.

Calcolo dell’area del sottografico di alcune funzioni.

3 1 h Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

La funzione integrale: il teorema di Torricelli-Barrow

4 1 h Verifica formativa(Allegato A)

5 1 h Grafico della funzione integrale.

6 2 h

Il calcolo delle aree

a) Area del segmento parabolico, area della regione delimitata

dall’ellisse,area delimitata da una circonferenza.

b) Le aree di figure piane.

c) Il problema delle aree “negative”.

d) Area racchiusa da due funzioni.

7 2 h Integrale generalizzato.

Esercizi e laboratorio informatico.

8 2 h Esercitazioni in classe e laboratorio informatico.

9 2 h Verifica sommativa sulla parte svolta(Allegato B)

10 1 h Recupero ed approfondimento

11 1 h

Volumi dei solidi

a) Volume della piramide(Ricordare test n°1 dell’indirizzo ordinario)

b) Volume dei solidi di rotazione.

• Rotazione attorno all’asse x

• Rotazione attorno all’asse y

Esercizi

19

12 1 h Interrogazione orale e verifica dei punti raggiunti.

13 1 h Lunghezza di archi di curva.

L’area di una superficie di rotazione.

14 2 h Derive6 e l’integrale e sue applicazioni.

15 2 h Approfondimenti: significato fisico dell’integrale.

a) Legge oraria del moto.

b) Il lavoro.

c) Energia cinetica.

d) Quantità di carica.

e) Energia di una corrente alternata.

16 2 h Verifica sommativa (Allegato C)

17 2 h Recupero conclusivo se necessario

18 2 h Verifiche sul recupero.

Tot 28h Circa due mesi di lezione.

20

2.3 Svolgimento dei contenuti

Trapezoide

Nello studio della geometria abbiamo definito l’area di un poligono come il numero che esprime il

rapporto fra questo ed il quadrato di lato unitario. In base a tale definizione, dopo aver dimostrato

che l'area di un quadrato di lato lungo m è uguale ad 2m , abbiamo facilmente determinato le formule

delle aree dei vari poligoni presi in esame sfruttando il fatto che ciascuno di essi è equiscomponibile

con un quadrato.

Il problema si è complicato allorché abbiamo cercato di determinare l'area C del cerchio (o di parti

di circonferenza o di settore parabolico). Infatti, poiché un cerchio ed un quadrato non sono mai

equiscomponibili, siamo dovuti ricorrere al metodo delle approssimazioni successive che sopra

abbiamo proposto.

Vogliamo ora introdurre un procedimento analogo che ci consenta di definire e calcolare le aree

delle superfici piane limitate da archi appartenenti a diagrammi di assegnate funzioni continue. Più

precisamente, approssimeremo le superfici in esame non con poligoni regolari, ma con unioni di

rettangoli convenientemente scelti.

Sia ( )xf una funzione continua e non negativa definita nell'intervallo chiuso e limitato [ ]ba; ; indi-

chiamo con T l'insieme dei punti:

( ) ( ){ }xfybxayxT ≤≤≤≤= 0;;

L'insieme T della figura a fianco viene detto trape-

zoide. perché somiglia a un trapezio rettangolo con

le basi disposte verticalmente e coincide con esso

nel caso che il grafico di ( )xf sia un segmento.

L'area S di un trapezoide non può essere calcolata in modo elementare, tuttavia possiamo approssi-

marla utilizzando il seguente procedimento:

21

• Dividiamo l'intervallo [ ]ba; in n parti uguali di ampiezza n

abx −=Δ

• Consideriamo i rettangoli aventi per base un segmento di suddivisione e per altezza il

segmento associato al minimo im che la funzione assume in tale intervallo4:

• Indichiamo con ns la somma delle aree di tutti questi rettangoli, si ha:

xmxmxmxms nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ..............

L'area del trapezoide viene così approssimata

per difetto da ns (in figura è 4=n )

In maniera analoga, possiamo approssimare per eccesso l'area del trapezoide, tramite la somma

delle aree dei rettangoli, associati a una scomposizione dell'intervallo [ ]ba; in n parti uguali e

aventi per altezza il segmento associato al massimo iM 4 della funzione nel corrispondente

intervallo. Indichiamo questa somma con:

xMxMxMxMS nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ..............

Le somme ns ed nS vengono dette rispettivamente somma integrale per difetto e somma integrale per

eccesso; appare evidente che quanto più grande si sceglie n tanto più le somme ns ed nS saranno

prossime all’area del trapezoide.

4 L’esistenza di im è iM garantita dal teorema di Weiertrass, tale teorema garantisce che la funzione continua su tale intervallo ammette massimo e minimo.

22

Utilizzando l'ipotesi di continuità della funzione ( )xf in [ ]ba; si riesce a dimostrare, che le due

successioni:

......,, 321 sss e ......,, 321 SSS

convergono allo stesso limite, che viene indicato con il simbolo:

( )∫b

adxxf

e si legge: integrale definito della funzione ( )xf esteso all'intervallo [ ]ba; .

È allora giustificata la posizione ( ) ( )∫=b

adxxfTA .

In tale simbolo compaiono esplicitamente l'intervallo [ ]ba; e la funzione ( )xf sono questi, infatti,

gli elementi che determinano T e quindi la sua area.

Come si vedrà tra poco, l'uso di un nome e di una grafia tanto vicini a quelli usati per gli integrali

indefiniti non è casuale, ma anzi sottolinea il legame strettissimo che c'è tra l'integrale definito e

quello indefinito.

Definizione generale di integrale definito

Nella definizione data di integrale definito abbiamo supposto che la funzione ( )xf fosse positiva o

nulla in [ ]ba; . Tuttavia la definizione più generale di integrale definito non richiede questa ipotesi

in quanto non si collega all'area dei trapezoidi.

Sia ( )xf una funzione continua in [ ]ba; . Senza attribuire per ora a esse alcun significato geo-

metrico, costruiamo le somme integrali per difetto e per eccesso della funzione. Dividiamo [ ]ba; in

n parti uguali nella stessa maniera di prima.

Siano allora:

∑=

− Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=n

kknnn xmxmxmxmxms

1121 ..............

∑=

− Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅=n

kknnn xMxMxMxMxMS

1121 ..............

le somme integrali per difetto e per eccesso, relative alla suddivisione in n parti uguali.

Facendo variare n, cioè il numero dei punti di suddivisione, si costruiscono le due successioni:

,......,......,,, 1321 +nn sssss

,......,......,,, 1321 +nn SSSSS

23

Si può dimostrare che esse convergono verso uno stesso limite, che viene ancora indicato con:

( )∫b

adxxf

che si legge: integrale definito della funzione ( )xf esteso all'intervallo [ ]ba; .

Pertanto possiamo scrivere che:

( ) nnnn

b

aSsdxxf

→∞→∞==∫ limlim

Possiamo comunque dare un significato di tipo geometrico, considerando, ad esempio, una funzione

come in figura

In questo caso ( ) ( )∫=b

adxxfTA

rappresenta la somma dell’area del

trapezoide in [ ]ca; meno l’area del

trapezoide in [ ]dc; più l’area del

trapezoide in [ ]bd; , in pratica considera

positive le aree sopra l’asse x e negative

quelle sotto.

Proprietà dell’integrale definito Additività dell'integrale rispetto all'intervallo di integrazione

Sia )(xf una funzione continua in [ ]ba; e sia bca << . Allora l'integrale esteso da a a b è

uguale alla somma dell'integrale esteso da a a c con l'integrale esteso da c ab :

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

c

c

a

b

adxxfdxxfdxxf

Integrale della somma di funzioni continue

L'integrale definito da a a b di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali

da a a b delle singole funzioni:

( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

24

Integrale del prodotto di una costante per una funzione continua

L'integrale definito da a a b del prodotto di una costante per una funzione continua è uguale al

prodotto della costante per l'integrale da a a b della funzione:

( ) ( )∫∫ ⋅=⋅b

a

b

adxxfkdxxfk

Confronto tra gli integrali di due funzioni

Se ( )xf e ( )xg sono due funzioni continue tali che ( ) ( )xgxf ≤ in ogni punto dell'intervallo [ ]ba;

allora l'integrale da a a b della ( )xf è minore o uguale dell'integrale da a a b della ( )xg :

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

adxxgdxxf

Integrale del valore assoluto di una funzione

Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; , allora il valore assoluto dell'integrale da a a

b della ( )xf è minore o uguale dell'integrale del valore assoluto della ( )xf :

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

adxxfdxxf

Integrale di una funzione costante

Se una funzione ( )xf è costante nell'intervallo [ ]ba; cioè ( ) kxf = , allora l'integrale da a a b della

( )xf è uguale al prodotto di k per ( )ab − :

( )abkkdxb

a−⋅=∫

Interpretiamo graficamente questa proprietà quando k è

positivo. L'integrale ∫b

akdx rappresenta l’area del rettangolo

in figura che è appunto ( )abk −⋅ .

Definizione 2.1 Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; ,

( )∫ =a

adxxf 0

25

Definizione 2.2 Se ( )xf è una funzione continua nell'intervallo [ ]ba; , e ba <

( ) ( )dxxfdxxfb

a

a

b ∫∫ −=

Calcolo dell’area del sottografico di alcune funzioni

1. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( ) 0≥xf si ha:

( )∫=b

adxxfT )(Area

2. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( ) 0≤xf si ha:

( )∫−=b

adxxfT )(Area

3. Sia ( )xf continua in [ ]ba; , se ( )xf non ha segno costante in [ ]ba; si ha:

( ) ( ) ( ) =+−= ∫∫∫b

c

c

c

c

adxxfdxxfdxxfT

2

2

1

1)(Area

( )∫=b

adxxf

26

Esempio: calcolo dell’integrale definito per la parabola.

Seguiamo il procedimento visto in precedenza per la funzione:

2xy = in un intervallo del tipo [ ]a;0 , con 0>a .

La suddivisone di [ ]a;0 , con 0>a in n intervallini tutti uguali comporta

la scelta dei seguenti punti di suddivisone:

00 =x nax =1

nax ⋅= 22 …….. axn =

Tenendo conto che la funzione è crescente per 0>x , è facile calcolare il

minimo ed il massimo in ciascun intervallino.

Il minimo sarà i valore che assume la funzione nel primo estremo e il

massimo il valore che assume nel secondo estremo.

Quindi considerando il generico intervallo ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

nak

nak ;1 che si ottiene

suddividendo l’intervallo [ ]a;0 ; si avrà che il minimo è ( )2

1 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

nakmk ed il massimo risulta

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

nakM k da cui segue che:

( ) ( )∑∑∑===

−⋅=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⋅=

n

k

n

k

n

kkn k

na

na

nak

nams

1

23

3

1

2

1

11

( )∑∑∑===

⋅=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=⋅=

n

k

n

k

n

kkn k

na

na

nak

naMS

1

23

3

1

2

1

A questo punto ricordiamo che:

mmmm61

21

31......321 23222 ++=++++

Per cui le due somme precedenti diventano:

( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−+−⋅= 1

611

211

31 23

3

3

nnnnasn

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⋅= nnn

naSn 6

121

31 23

3

3

Calcolando il limite per n che tende all’infinto si vede che:

3

31lim asnn

=∞→

e 3

31lim aSnn

=∞→

27

Il numero 3

31 a sarà l’integrale definito della funzione esteso all’intervallo [ ]a;0 , e si scrive

3

0

2

31 adxx

a=∫

Notiamo subito in classe che l’integrale definito coincide con la differenza dei valori assunti dalla

funzione 3

31 xy = agli estremi dell’intervallo [ ]a;0 , funzione ha che come derivata proprio 2xy = .

Teorema della media

Se ( )xf è una funzione continua in [ ]ba; , esiste almeno un punto [ ]bac ;∈ tale che:

( )( )

ab

dxxfcf

b

a

−= ∫

Dimostrazione

Poiché la funzione ( )xf è continua nell'intervallo [ ]ba; , allora per il teorema di Weierstrass essa

assume in [ ]ba; il suo valore massimo M e il suo valore minimo m . Quindi per ogni x apparte-

nente ad [ ]ba; si ha:

( ) Mxfm ≤≤

Per le proprietà degli integrali, si ha allora:

( ) dxMdxxfdxmb

a

b

a

b

a ∫∫∫ ≤≤

Applicando la proprietà dell'integrale di una funzione costante, possiamo scrivere:

( ) ( ) ( )abMdxxfabmb

a−≤≤− ∫

Dividiamo tutti i termini per ( )ab − :

( )( ) M

ab

dxxfm

b

a ≤−

≤ ∫

Per il teorema dei valori intermedi, la funzione deve assumere almeno una volta tutti i valori com-

presi fra il suo massimo e il suo minimo, quindi deve anche esistere un punto c appartenente ad

[ ]ba; tale che:

( )( )

ab

dxxfcf

b

a

−= ∫

da cui la tesi.

28

Significato Geometrico.

Se ( ) 0≥xf in [ ]ba; ,l’integrale definito:

( )∫b

adxxf

rappresenta l'area del trapezoide T e ( )cf rappresenta

l'altezza del rettangolo avente per base l'intervallo [ ]ba; ed

equivalente come area al trapezoide T. Per questo motivo il

valore ( )cf viene detto valor medio della funzione

nell'intervallo [ ]ba; e tale definizione si usa anche se ( )xf non è sempre positiva o nulla

nell'intervallo.

La funzione integrale: il Teorema di Torricelli-Barrow

Nell’esempio svolto si è visto che il calcolo dell'integrale definito di una funzione è assai laborioso

anche per funzioni semplici.

Tale calcolo risulta praticamente impossibile per maggior parte delle funzioni.

Tuttavia, dallo stesso esempio è emerso un legame tra valore dell'integrale definito e valori di una

primitiva della funzione integranda assunti agli estremi dell'intervallo.

Vogliamo rendere più chiaro il legame tra primitiva e integrale definito, facendo vedere che è

possibile calcolare rapidamente l'integrale definito di una funzione, non appena si conosca di essa

una primitiva; collegheremo così il calcolo dell'integrale definito alla conoscenza di una primitiva.

A ogni [ ]bax ;∈ corrisponde uno e un solo valore dato da:

( )∫x

adttf

Ricordiamo che possiamo scrivere indifferentemente:

( ) ( ) ( )∫∫∫ ==b

a

b

a

b

adttfduufdxxf

Dove x u e t sono soltanto simboli diversi che indicano però sempre i punti dello stesso intervallo

[ ]ba; . Resta così definita una funzione F che associa a ogni [ ]bax ;∈ il numero reale,

( ) ( )∫=x

adttfxF

che prende il nome di “funzione integrale” della ( )xf , mentre la funzione ( )tf si chiama funzione

integranda.

29

Insistiamo sul fatto che la conoscenza della ( )xF è teorica, il teorema di Torricelli-Barrow mette in

luce due proprietà importanti della funzione ( )xF , proprietà che in molti casi consentono di

individuarla esplicitamente:

1. ( )xF è una primitiva di ( )xf ;

2. ( ) 0=aF .

Teorema di Torricelli-Barrow

Data la funzione ( )xf continua in un intervallo [ ]ba; , la funzione integrale:

( ) ( )∫=x

adttfxF

è derivabile [ ]bax ;∈∀ e risulta:

( ) ( )xfxF =′ ( ) 0=aF

Dimostrazione.

Siano x e hx + due punti qualsiasi di [ ]ba; .

Consideriamo ora il rapporto incrementale della funzione ( )xF :

( ) ( ) ( ) ( )=

−=

−+=

ΔΔ ∫ ∫

+

h

dttfdttf

hxFhxF

xF

hx

a

x

a

(per la proprietà additiva)

( ) ( ) ( ) ( )h

dttf

h

dttfdttfdttfhx

x

x

a

x

a

hx

x ∫∫ ∫∫++

=−+

=

Per il teorema della media esiste un punto c appartenente all’intervallo di estremi x e hx + tale

che si abbia :

( )( )cf

h

dttfhx

x =∫+

e quindi ( )cfxF=

ΔΔ

Ora consideriamo il limite per hx =Δ tendente a zero del rapporto xFΔΔ . Essendo c compreso fra x

e hx + , al tendere di h a zero il punto c tende ad x , e per la continuità della funzione ( )xf in [ ]ba;

risulta che ( ) ( )xfcf → .

Quindi si ha:

( ) ( ) ( ) ( )xfcfcfxFxF

xchx===

ΔΔ

=′→→→Δ

limlimlim00

30

La seconda proprietà è abbastanza evidente essendo:

( ) ( ) 0== ∫a

adttfaF

Il calcolo dell’integrale definito

Dal teorema di Torricelli-Barrow possiamo ottenere la formula del calcolo dell’integrale definito.

Se ( )xϕ è una primitiva qualsiasi della ( )xf per il teorema precedente essa sarà della forma:

( ) ( ) ( ) cdttfcxFxx

a+=+= ∫ϕ

Dove c è una costante reale.

• Calcoliamo ( )aϕ :

( ) ( ) ( ) cccdttfcaFaa

a=+=+=+= ∫ 0ϕ

• Calcoliamo ( )bϕ :

( ) ( ) cdttfbb

a+= ∫ϕ , e poiché ( ) ca =ϕ otteniamo:

( ) ( ) ( )adttfbb

aϕϕ += ∫

portiamo nel primo membro ( )aϕ :

( ) ( ) ( )∫=−b

adttfab ϕϕ

scriviamo l’uguaglianza da destra a sinistra ed otteniamo

( ) ( ) ( )abdttfb

aϕϕ −=∫

Poiché non ci sono più ambiguità di variabili , possiamo riutilizzare la x al posto della t e chiamare la

generica primitiva con ( )xF , per cui si ha:

( ) ( ) ( )aFbFdxxfb

a−=∫

Si è soliti indicare la differenza ( ) ( )aFbF − con ( )[ ]baxF , per cui risulta che:

( ) ( )[ ] ( ) ( )aFbFxFdxxf ba

b

a−==∫

31

Problema Svolto

Calcolare l’area del trapezoide formato dalla funzione 13 += xy , dall’asse x , dall’asse y e dalla

retta 2=x .

Come prima cosa disegno il tutto:

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+∫ 0

402

42

41

442

0

2

0

43 xxdxx

624024

16=+=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

E utile svolgere vari esercizi anche con trapezoidi che si trovano sotto l’asse x , sarà poi consegnata

alla classe una verifica formativa per avere una prima valutazione su quanto trattato.

Grafico della funzione integrale

Sia ( )xf una funzione continua in [ ]ba; ; per il teorema di Torricelli-Barrow la sua funzione

integrale:

( ) ( )∫=x

adttfxF

è derivabile [ ]bax ;∈∀ e risulta:

( ) ( )xfxF =' ( ) 0=aF

È quindi possibile dedurre dal grafico della funzione ( )xf il grafico della funzione ( )xF .

Considerazioni

• Negli intervalli in cui la ( )xf è positiva la funzione ( )xF è crescente e viceversa.

• Gli zeri della ( )xf sono i punti critici della funzione ( )xF .

32

Il calcolo delle aree Area del segmento parabolico

Sia ( )02 >= aaxy l’equazione di una parabola rivolta verso l’alto e con vertice nell’origine del

sistema di riferimento cartesiano

Consideriamo i punti ( )2;abbA e ( )2;' abbA − ,

vogliamo determinare l’area del segmento

parabolico VAA' e mostrare che il calcolo integrale

porta allo stesso risultato scoperto da Archimede e

cioè che l’area del settore parabolico risulta i

32 dell’area del rettangolo di vertici HHAA '' .

Calcoliamo tale area come differenza tra l’area del rettangolo HHAA '' e quella del trapezoide T

limitato dal’arco AAV ′ di parabola, dell’asse x e dalle rette bx = e bx −= .

Sappiamo che :

( ) ( ) 3333

2

32

333TArea abbabaxadxax

b

b

b

b

=−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫−

−

Mentre l’area del rettangolo HHAA '' è:

( ) 32 22''Area ababbHHAA =⋅=

L’area del segmento parabolico VAA' risulta allora:

( ) ( ) ( ) 333

34

322TArea''Area'Area abababHHAAVAA =−=−=

33

Area delimitata da una circonferenza

Per comodità consideriamo la circonferenza di equazione 222 ryx =+

Per le proprietà della circonferenza e come mostra pure il disegno, l’area della regione T risulta

essere quattro volte quella di 1T .

Calcoliamo con l’integrale l’area racchiusa dalla circonferenza che si trova nel primo quadrante. Per

questo motivo esplicitiamo la funzione nel seguente modo 22 xry −= e calcoliamo il seguente

integrale:

( ) ∫ −=r

dxxrTArea0

221

Posto allora:

trx sin= da cui rxt arcsin= e tdtrdx cos=

ed essendo nel primo quadrante si ha

per 0=x 0sin =t cioè 0=t

per rx = 1sin =t cioè 2π

=t

Quindi si ha:

( ) ( ) ∫∫∫ =⋅=⋅−=⋅−= 20

2220

2220

2221 coscoscossin1cossinArea

πππ

tdtrtrtdtrtrtdtrtrrT

( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+=

+==⋅= ∫∫∫∫

2

0

22

0

22

0

220

2220 2

2sin2

2cos122

2cos1coscoscosπ

ππππ ttrdttrdttrtdtrtdtrtr

222

41

22202sin0

22

2sin

22rrr ππ

ππ

==⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+−+=

34

Concludendo l’area delimitata dalla circonferenza risulta: ( ) 2Area rT π=

Area della regione delimitata dall’ellisse

Per comodità consideriamo l’ellisse di equazione 12

2

2

2

=+by

ax .

Considerato che lo svolgimento risulta

abbastanza simile a quello della

circonferenza, è utile far cimentare un

alunno nel risolvere tale problema, seguendo

lo svolgimento ed eventualmente

intervenendo dove serve.

Per le proprietà della ellisse e come mostra

pure il disegno, l’area della regione racchiusa dall’ellisse risulta essere quattro volte quella di T .

Calcoliamo con l’integrale l’area racchiusa dall’ellisse che si trova nel primo quadrante. Per questo

motivo esplicitiamo la funzione nel seguente modo 22 xaaby −= ed calcoliamo il seguente

integrale:

( )44

2

0

22

0

221

abaabdxxa

abdxxa

abTArea

aa ππ=⋅=−=−= ∫∫

Concludendo l’area dell’ellisse risulta: ( ) abπ=ellisseArea .

Le aree di figure piane

Assegniamo come esercizio per casa di calcolare con l’utilizzo

del calcolo integrale la formula dell’area della seguente figura e

di un trapezio avente vertici O(0;0), A(0;b), B(h;B), C(h;0) con

b, B, h valori arbitrari positivi ed con B>b.

35

Il problema delle aree “negative”

Consideriamo la funzione 3xy = e la superficie ABCD compresa fra il grafico della funzione e

l’asse x nell’intervallo [ ]1;1− .

Calcoliamo l’integrale definito esteso da -1 a 1:

041

41

4

1

1

41

1

3 =−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−∫

xdxx

Questo integrale non fornisce la misura dell'area delimitata da ABCD

che non è nulla.

Risulta necessario scomporre l’intervallo [ ]1;1− in [ ]0;1− , in cui la

funzione è negativa, e [ ]1;0 in cui la funzione è positiva.

Nell'intervallo [ ]0;1− in cui la funzione è negativa, l'area ABO della

superficie compresa tra il grafico della funzione e l’asse x e data da ( )∫−−0

1dxxf e quindi:

( )21

41

41

44Area

1

0

40

1

41

0

30

1

3 =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+−=

−− ∫∫

xxdxxdxxABCD

In generale, per calcolare l'area di una superficie formata da porzioni di figure che stanno in parte

sopra l'asse x e in parte sotto, occorre scomporre le aree e calcolare gli integrali negli intervalli dove

la funzione ha segno costante (positivo o negativo), tenendo presente che l'integrale di una funzione

negativa va preceduto dal segno meno. Per quanto visto sopra l’integrale in un intervallo

simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani di una funzione dispari risulta essere uguale a

zero(domanda presente nel tema di matematica del liceo scientifico di indirizzo anno 2006/2007

domanda n°7 del questionario).

Area racchiusa da due funzioni

Siano ( )xf e ( )xg due funzioni definite nello stesso inter-

vallo [ ]ba; , con ( ) ( )xgxf > per ogni x in [ ]ba; , i cui gra-

fici racchiudano una superficie chiusa. L’area della super-

ficie è allora data:

( ) ( )[ ]∫ −=b

adxxgxfArea

36

La dimostrazione è abbastanza semplice. Per prima cosa osserviamo che se la superficie non si tro-

va tutto sopra l’asse x , si può effettuare una traslazione di vettore parallelo all’asse y in modo che

essa sia tutta sopra l’asse x, ri-conducendo il caso generale a questo più particolare.

Quindi le funzioni diventano del tipo ( ) hxfy += e ( ) hxgy += .

A questo punto l’area racchiusa dalle due funzioni è data

dall’area del sottografico della funzione ( ) hxf + meno

l’area del sottografico della funzione ( ) hxg + , quindi:

( )( ) ( )( )∫ ∫ +−+=b

a

b

adxhxgdxhxfArea ,

per le proprietà dell’integrale si ha

( )( ) ( )( )[ ]∫ +−+=b

adxhxghxfArea ,

quindi l’area racchiusa dalle due funzioni risulta:

( ) ( )( )∫ −=b

adxxgxfArea

Con l’aiuto della classe risolviamo il seguente esercizio, che serve a comprendere se la classe ha se-

guito e acquisito il ragionamento teorico, ed anche per vedere alcune applicazioni di quanto trattato

in precedenza. Saranno poi assegnati vari esercizi da svolgere a casa.

Esercizio Calcolare l’area racchiusa dalle due parabole 232 +−= xxy e 22 ++−= xxy .

Poiché la parabola è stata studiata durante il

terzo anno, l’esercizio serve anche da ripasso.

A questo punto è necessario che i ragazzi oltre a

disegnarle le due parabole trovino le intersezio-

ni per via algebrica.

Ora non resta che calcolare l’area T che sarà:

( ) ( )[ ] ( ) =−+−++−=+−−++−= ∫∫2

0

222

0

22 232232 dxxxxxdxxxxxTArea

( )388

316

24

3242

2

0

232

0

2 =+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−= ∫

xxdxxx

37

Integrale generalizzato

In precedenza abbiamo calcolato gli integrali definiti di funzioni continue in intervalli limitati e

chiusi [ ]ba; . Ora vedremo come il concetto di integrale possa essere ampliato considerando

funzioni con un numero finito di punti di discontinuità in un intervallo limitato oppure considerando

funzioni continue in intervalli illimitati.

Consideriamo per primo il caso in cui la funzione ( )xf sia continua in tutti i punti dell'intervallo

[ [ba; ma non in b . Consideriamo un punto z interno all'intervallo [ [ba; la funzione ( )xf è conti-

nua nell'intervallo [ ]za; quindi esiste l'integrale ( )∫z

adxxf , il cui valore è un numero reale.

Questo vale per tutti i punti z dell'intervallo [ [ba; perciò possiamo costruire la funzione integrale:

( ) ( )∫=z

adxxfzF definita in [ [ba; .

Se esiste finito il limite di ( )zF quando z tende a b da sinistra, cioè se esiste finito

( )zFbz −→

lim

allora si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio in [ ]ba; e si definisce:

( ) ( )∫∫ −→=

z

abz

b

adxxfdxxf lim

L’integrale ( )∫b

adxxf è detto integrale improprio della funzione ( )xf in [ ]ba; , e si dice anche che

tale integrale è convergente.

Se il limite considerato non esiste oppure è infinito, si dice che la funzione non è integrabile in

senso improprio in [ ]ba; oppure che l’integrale non converge.

Se la funzione ( )xf è continua in tutti i punti dell’intervallo ] ]ba; ma non in a , possiamo definire

l’integrale ( )∫b

adxxf in modo analogo a prima.

Se esiste finito il limite di ( ) ( )∫=b

zdxxfzF quando z tende a a da destra, cioè se esiste finito

( )zFaz +→

lim ,

allora si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio in [ ]ba; e si definisce:

( ) ( )∫∫ +→=

b

zaz

b

adxxfdxxf lim

38

Se la funzione ( )xf ha un punto di discontinuità in un punto c interno all’intervallo [ ]ba; , l’inte-

grale ( )∫b

adxxf può essere definito in senso improprio come la somma degli integrali ( )∫

c

adxxf e

( )∫b

cdxxf se esistono. Tali integrali si calcolano mediante la definizione precedente:

( ) ( ) ( )∫∫∫ +− →→+=

b

zcz

t

act

b

adxxfdxxfdxxf limlim

Consideriamo ora il caso in cui la funzione ( )xf sia continua in tutti i punti dell'intervallo [ [+∞;a .

Comunque si scelga un punto z interno all'intervallo [ [+∞;a esiste l'integrale ( )∫z

adxxf , il cui

valore è un numero reale,quindi possiamo costruire la funzione integrale:

( ) ( )∫=z

adxxfzF definita in [ [+∞;a .

Se esiste finito il limite di ( )zF quando z tende ∞+ , cioè se esiste finito

( )zFz +∞→lim

allora si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio in [ [+∞;a e si definisce:

( ) ( )∫∫ +∞→

+∞=

z

azadxxfdxxf lim

Anche in questo caso si dice che l’integrale ( )∫+∞

adxxf è convergente.

In modo del tutto analogo se la funzione è continua in ] ]b;∞− e se esiste finito il limite

( )∫−∞→

b

zzdxxflim , si dice che la funzione è in integrabile in senso improprio in ] ]b;∞− e si definisce:

( ) ( )∫∫ −∞→∞−=

b

zz

bdxxfdxxf lim

Esercizio guidato

Calcoliamo se esiste l’integrale improprio della funzione 21x

y = nell’intervallo [ [+∞;1 ,

Determiniamo la funzione ( )zF con z

appartenente a [ [+∞;1 :

( ) 11111

1 2 +−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−== ∫ zx

dxx

zFz

z

Calcoliamo ( ) 111limlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

+∞→+∞→ zzF

zz.

21x

y = è integrabile in senso improprio in [ [+∞;1 e 111 2 =∫∞+

dxx

39

Volumi dei solidi Lo studente sicuramente durante il suo l’iter scolastico, ha acquisito le formule per calcolare il

volume dei solidi più comuni. Qui vogliamo mostrare un metodo legato all’integrale per determi-

nare l’area di un solido, esso risulterà molto utile quando per il solido che consideriamo non esisto-

no formule per determinarne il volume.

Supponiamo che il solido sia limitato da due piani perpendicolari all’asse x che intersechino tale

asse nei punti a ,b come in figura.

Suddividiamo l’intervallo [ ]ba; in n parti uguali e consi-

deriamo il generico intervallo di estremi [ ]1; −ii xx ; ora pren-

diamo due piani perpendicolari all’asse x , passanti per gli

estremi di tale intervallo. Quello che si ottiene con tale taglio

è una “fetta” del solido, per cui il solido viene suddiviso in

tante “fette”.

Il volume della “fetta” si può approssimare nel seguente modo:

per difetto con xsi Δ⋅ dove is è la superficie minima che si ottiene tagliando con dei piani

perpendicolari all’asse x tra [ ]1; −ii xx e per eccesso con xSi Δ⋅ dove iS è la superficie massima.

Il volume approssimato del solido sarà dato dalle seguenti due somme:

xsxsxsxsv nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ........

xSxSxSxSV nnn Δ⋅+Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅= −121 ........

Facendo tendere n all’infinito si dimostra che tali somme convergono allo stesso limite dato da

( )dxxSb

a∫

dove ( )xS è la funzione che fornisce l’area della superficie sezione ne punto di ascissa x

Possiamo quindi concludere che

( )dxxSVb

a∫=

È chiaro che tale metodo sarà applicabile solo se conosciamo l’area della sezione al variare del

piano di sezione.

40

Esempio 1

Questionario n°1 del tema di matematica del liceo scientifico indirizzo ordinario 2006/2007.

1. La regione R delimitata dal grafico di xy 2= ,

dall’asse x e dalla retta 1=x (in figura) è la base di

un solido S le cui sezioni, ottenute tagliando S

con piani perpendicolari all’asse x , sono tutte

triangoli equilateri. Si calcoli il volume di S.

Svolgimento Il volume del solido si può ottenere come un

integrale definito con il metodo delle “fette”.

L’area del generico triangolo equilatero sarà:

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅= 3

222

21base

21Area xxaltezza

3x= .

Per cui il volume del solido sarà dato dal

seguente integrale:

321

2333

1

0

21

0

1

0=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=== ∫∫

xdxxdxxV

Esempio 2 volume della piramide a base quadrata.

Consideriamo la seguente piramide in figura

a base quadrata di lato l ed altezza h,

opportunamente scelta in una posizione

comoda dello spazio. È nota che il suo

volume risulta:

hlV 2

31

= .

Vogliamo calcolare tale volume con il meto-

do delle “fette”; per fare questo dobbiamo determinare la funzione che dà l’area della generica

sezione della piramide con un piano perpendicolare all’asse x ; sezione che è ancora un quadrato.

Per similitudine risulta che il lato del quadrato e:

41

hlx ⋅ per l’area della sezione risulta ( ) 2

2

2

xhlxS ⋅= ,

e il volume della piramide è:

hlhhlx

hldxx

hldxx

hlV

hhh 2

3

2

2

0

3

2

2

0

22

2

0

22

2

31

33=⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅=⋅= ∫∫

Lasciamo come compito da svolgere a casa di ripetere lo stesso ragionamento per il cono.

Volume dei solidi di rotazione

Volumi dei solidi di rotazione attorno all’asse x .

Consideriamo una funzione ( )xfy = , continua in un intervallo [ ]ba; e non negativa, e facciamo

ruotare di 360° attorno all’asse x il trapezoide esteso all’intervallo [ ]ba; come in figura.

Vogliamo calcolare il volume di tale solido.

Riprendiamo l’intervallo [ ]ba; e dividiamolo in n parti uguali.

I rettangoli individuati generano nella rotazione cilindri di cui sono in grado di calcolare il volume.

Costruisco allora due successioni che approssimano il volume del solido:

∑=

− Δ⋅⋅=Δ⋅⋅+Δ⋅⋅++Δ⋅⋅+Δ⋅⋅=n

kknnn xmxmxmxmxmv

1

2221

22

21 .............. πππππ

∑=

− Δ⋅⋅=Δ⋅⋅+Δ⋅⋅++Δ⋅⋅+Δ⋅⋅=n

kknnn xMxMxMxMxMV

1

2221

22

21 .............. πππππ

Tali successioni convergono verso uno stesso limite, che è il valore di

( )∫b

adxxf 2π

Pertanto possiamo scrivere che:

( )∫==∞→∞→

b

annnndxxfVv 2limlim π

42

Volumi dei solidi di rotazione attorno all’asse y

Consideriamo una funzione ( )xfy = , continua in un intervallo [ ]ba; e non negativa ed invertibile,

e facciamo ruotare di 360° attorno all’asse y il trapezoide esteso all’intervallo ( ) ( )[ ]bfaf ; come in

figura:

Per calcolare il volume generato dalla

rotazione di tale trapezoide è sufficiente

invertire la funzione ( )xfy = da cui

abbiamo:

( )yfx 1−= , e ragionando come prima si

avrà:

( )( )( )

( )dyyfV

bf

af

21∫ −= π

Esercizio

Data la parabola 122 +−= xxy determinare il volume del solido ottenuto facendo ruotare attorno

all’asse y il trapezoide ottenuto dall’intersezione della parabola con gli assi coordinati.

Come prima cosa troviamo le intersezioni con gli

assi coordinati che sono ( )1;0 ed ( )0;1 che è anche

il vertice della parabola.

Ora invertiamo la funzione ( )21−= xy (tenendo

conto che 1≤x ) e troviamo

yx −=1

Quindi il volume risulterà:

( ) ( ) =−+=−= ∫∫ dyyydyyV1

0

21

0211 ππ

634

211

34

2

1

0

232 πππ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= yyy

43

Lunghezza di archi di curva

Consideriamo una funzione ( )xf derivabile nell’intervallo [ ]ba; e ne disegniamo il grafico come

da figura

Ancora una volta suddividiamo l’intervallo [ ]ba; in n parti uguali e consideriamo la poligonale

formata dai punti P0,P1, P2,... Pn. La lunghezza della poligonale approssima la lunghezza della curva.

Se consideriamo due punti generici ))(;(Pi ii xfx ed ))(;(P 111i +++ ii xfx la distanza 1iiPP + risulta:

( ) ( ) ( )( )212

1 ++ −+− iiii xfxfxx .

Poiché la funzione è derivabile in [ ]ba; possiamo applicare il teorema di Lagrange da cui segue che:

] [1; +∈∃ iii xxc tale che ( ) ( ) ( )1

1'+

+

−−

=ii

iii xx

xfxfcf e quindi si può scrivere:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )221

21

2211 '1'1' iiiiiiiiiii cfxcfxxxxcfxxPP +⋅Δ=+−=−+−= ++++

Sommando le lunghezze dei segmenti della spezzata otteniamo

( )( ) ( )( ) ( )( )212

12

0 '1................'1'1 −+⋅Δ+++⋅Δ++⋅Δ= nn cfxcfxcfxl

Questa lunghezza dipende dal numero n di suddivisioni e dai punti scelti per la suddivisione.

Tanto minore è l'ampiezza degli intervalli xΔ , tanto meglio la poligonale approssima la curva.

Quando la massima ampiezza degli intervalli xΔ tende a zero, nl tende all'integrale definito della

funzione ( )( )2'1 xf+ esteso all'intervallo [ ]ba; .

( )( )∫ +==∞→

b

anndxxfll 2'1lim

44

Area di una superficie di rotazione Se la curva precedentemente considerata viene fatta ruotare con una rotazione completa attorno

all'asse x , si ottiene una superficie di rotazione. Per ottenere la sua area si svolgono considera-

zioni analoghe a quelle relative alla lunghezza di una curva.

Nella rotazione completa attorno all’asse x i vari segmenti determinano dei tronchi di cono.

La somma delle aree dei tronchi di coni dà una approssimazione dell’area della superficie rotante.

Ricordiamo che l’area laterale di un tronco di cono si è ( )rRl +π dove l rappresenta l’apotema

del tronco di cono ed R , r sono rispettivamente il raggio della circonferenza maggiore e minore da

cui segue:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1121211010 ............ −− ++++++= nnnnn xfxfPPxfxfPPxfxfPPA πππ

Anche qui l’area dipende da n e facendo tendere n all’infinito si avrà:

( ) ( )( )∫ +==→∞

b

anndxxfxfAA 2'12lim π .

Esempio Calcolare la rotante del triangolo nella figura riportato sotto:

L’area della superficie ottenuta ruotando il segmento AB attorno all’asse x

(si ottiene un cono circolare retto).

Consideriamo la retta passante per i punti ( )bB ;0 ed ( )0;aA la cui

equazione è:

xabby −=

L’area richiesta risulta :

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫∫

aadxx

abb

abdx

abx

abbA

0

2

0

2

1212 ππ

222

2222

0

22

22

212

212 babba

abaa

abba

abx

abbx

ab

a

+=+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ππππ

Ma b è il raggio di base del cono ed 22 ba + l’apotema, per cui l’integrale ci restituisce la nota

formula dell’area laterale del cono.

45

Derive versione 6, l’integrale e le sue applicazioni Durante la spiegazione dei punti sopra trattati si farà ricorso allo strumento Derive versione 6 per

visualizzare le curve e le aree trattate; la maggior parte dei disegni di questo elaborato sono proprio

stati realizzati con questo potente software. Comunque, oltre all’uso durate le spiegazioni, sarà

dedicato del tempo per mostrare come risolvere con lo strumento informatico vari problemi.

Problema 1

Calcola il seguente integrale ∫ −3

2 21 dx

xx

Mostreremo alla classe come Derive6 calcola

rapidamente e se richiesto, ci mostra tutte le

regole usate, risultando un ottimo strumento di

verifica e di apprendimento.

Problema 2

Disegnare con Derive6 l’area del sottografico della funzione xey = da 0 a 2.

Mostriamo ora il funzionamento del comando AreaUnderCurve(f(x),x,a,b):

una volta scritto il comando è sufficiente usare la finestra grafica ed usare il comando disegna

grafico. x #1: AreaUnderCurve(e , x, 0, 2)

46

Problema 3

Disegnare con Derive versione 6 l’area delimitata dalle due curve x

y 2= , xy −= 4 e calcolarne

l’area. Mostriamo ora il funzionamento di AreaBetweenCurves(f(x),g(x),x,a,b)

Come prima cosa dobbiamo trovare le coordinate dei punti di intersezione delle due curve, quindi

risolviamo il sistema formato dalle due equazioni, procediamo poi con il comando

AreaUnderCurve(f(x),x,a,b); in Derive si procede come segue. ⎛⎡ 2 ⎤ ⎞ #1: SOLVE⎜⎢y = ⎯, y = 4 - x⎥, [x, y]⎟ ⎝⎣ x ⎦ ⎠ #2: [x = √2 + 2 ∧ y = 2 - √2, x = 2 - √2 ∧ y = √2 + 2] ⎛ 2 ⎞ #3: AreaBetweenCurves⎜⎯, 4 - x, x, 2 - √2, 2 + √2⎟ ⎝ x ⎠

Ora mostriamo il metodo classico per calcolare l’area

mediante l’uso dell’integrale, oppure tramite il

comando Area(x,a,b,f(x),g(x)) dove il comando calcola

l’area compresa tra f(x) e g(x) e che va da a a b.

2 + √2 ⌠ ⎛ 2 ⎞ #4: ⎮ ⎜(4 - x) - ⎯⎟ dx ⌡ ⎝ x ⎠ 2 - √2 #5: 4·LN(√2 - 1) + 4·√2 #6: 2.131359901 ⎛ 2 ⎞ #7: AREA⎜x, 2 - √2, 2 + √2, y, ⎯, 4 - x⎟ ⎝ x ⎠ #8: 4·LN(√2 - 1) + 4·√2 #9: 2.131359901 La grande facilità nei comandi e la sua facile comprensione rende questo software un risorsa grafica

e di scoperta molto importante; esistono altri software più professionali ma richiedono più tempo

per essere appresi dagli studenti e quindi non si prestano sempre ad un utilizzo agevole in classe.

47

Problema 4

Rappresentare sullo stesso grafico la funzione 62 −−= xxy e una sua funzione integrale.

In Derive si procede come segue:

come prima cosa definiamo la funzione f(t):=t^2-t-6 2 #1: f(t) ≔ t - t - 6

ora utilizzando l’ambiente grafico per disegnare la parabola come segue

calcoliamo la funzione integrale F(x):=INT(f(t),t,a,x)

x #2: F(x) ≔ ∫ f(t) dt a 3 2 3 2 x x a a #3: F(x) ≔ ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x - ⎯⎯ + ⎯⎯ + 6·a 3 2 3 2

tracciamo il grafico della funzione utilizzando slider bar che ci permette di attribuire valori diversi

al parametro a, facciamo variare il parametro a da -5 a 5 come in figura

48

ed scorrendo il cursore sulla slider bar otteniamo

I grafici mette in rilievo il fatto che la funzione integrale per i valori di a=1, a=-5, a=-3, si

annulla rispettivamente per 1=x , 5−=x , 3−=x . Negli intervalli in cui la parabola è positiva la

funzione integrale e crescente e viceversa, le intersezioni con l’asse x sono i punti critici della

funzione )(xF .

Calcoliamo ora la derivata ∂(F(x), x) d #4: ⎯⎯ F(x) dx 2 #5: x - x – 6

49

A questo punto rimuoviamo il grafico della primitiva.

Calcoliamo la funzione integrale per i valori 5,4,3,2,1=a ; digitiamo in Derive

VECTOR(F(x),a,1,5) #6: VECTOR(F(x), a, 1, 5) ⎡ 3 2 3 2 3 2 ⎢ x x 37 x x 34 x x #7: ⎢⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ ⎣ 3 2 6 3 2 3 3 2 3 2 3 2 ⎤ 27 x x 32 x x 5 ⎥ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎯, ⎯⎯ - ⎯⎯ - 6·x + ⎯⎥ 2 3 2 3 3 2 6 ⎦ selezioniamo l’espressione #7 e tracciamone il grafico.

Osserviamo che i grafici delle funzioni possono essere sovrapposti, hanno tutti dei punti critici per

3=x e 2−=x , inoltre se prendiamo 3=a la funzione integrale avrà un punto critico sull’asse x .

50

Approfondimenti: significato fisico dell’integrale

Alla fine di questo percorso didattico vogliamo risolvere alcuni problemi di fisica utilizzando il

concetto di integrale.

Legge oraria del moto

Quando si è parlato del moto di un punto non si aveva ancora a disposizione il calcolo integrale ed

allora si è osservato che lo spostamento era equivalente all’area del sottografico della legge

)(tvv = che rappresenta la velocità, nel caso in cui il punto si muove di moto rettilineo uniforme.

A questo punto possiamo motivare e dimostrare il tutto in maniera molto più rigorosa.

Se )(tvv = rappresenta la funzione della velocità istantanea di un punto P allora si ha:

( ) ( )tvts ='

da cui se integriamo otteniamo:

( ) ( ) ( )dttvtstst

t∫=− 2

112

Se consideriamo ora un punto che si muove a velocità costante v su una retta tra un punto iniziale

dove fissiamo il tempo a zero ed un secondo punto che corrispondentemente al tempo t si avrà:

( ) ( ) vtdtvstst

==− ∫00 ,

mentre se il moto risulta uniformemte accelerato del tipo atvv += 0 otterremo:

( ) ( ) ( ) 200 0 2

10 attvdtatvstst

+=+=− ∫

Sicuramente i ragazzi riconoscono alcune leggi orarie ma la cosa importante è che l’integrale può

essere applicato a qualsiasi funzione )(tvv = .

Il lavoro

Per lavoro, in fisica, si intende il prodotto scalare tra i vettori forza e spostamento.

Se la forza F è costante e si ha uno spostamento

AB come in figura , il prodotto scalare risulta:

ϑcosABFABFL ⋅=×=

Nel caso che F e AB abbiano la stessa direzione e lo B

ϑ

A

F

51

F

F

O sA(a;o) B(b;o)

N M

stesso verso i lavoro risulta:

ABFABFL ⋅=×=

Se la forza è costante e riportiamo forza e sposta-

mento come in figura a fianco possiamo conclu-

dere che il lavoro è l’area del rettangolo ABMN,

ma allora il lavoro coincide con:

( )abFdsFLb

a−== ∫

Se la forza non è costante possiamo procedere in

maniera analoga al calcolo dell’integrale considerando la funzione ( )sFF = e ottener per il lavoro

compiuto da una forza F nell’andare da a a b

( )dssFLb

a∫=

Energia Cinetica

Il secondo principio della dinamica è espresso dalla seguente legge vettoriale:

amF =

che può essere riscritta nel seguente modo:

dtvdmF =

Se il moto è rettilineo, possiamo scrivere la relazione

dtdvmF =

Se moltiplichiamo entrambi i membri per ds si ottiene:

mvdvFdsdvdtdsmFdsds

dtdvmFds =⇒=⇒=

Integrando membro a membro, si ricava:

2

21 mvLmvdvFds =⇒= ∫∫

L’ultima relazione è la nota formula dell’energia cinetica.

52

Quantità di carica

L'intensità di una corrente è la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore nell'unità

di tempo. Per calcolare l'intensità della corrente che circola nel conduttore all'istante , ossia l'inten-

sità istantanea, si utilizza la derivata della funzione ( )tq che lega la quantità di carica al tempo:

( ) ( )tqti '=

Possiamo dedurre che la quantità di carica ( )tq è una primitiva della intensità di corrente ( )ti .

Se vogliamo determinare la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore, in un

intervallo di tempo che va da 0t a 1t basta allora calcolare il seguente integrale:

( )∫=1

0

t

tdttiQ

Energia di una corrente alternata

L’energia elettrica dissipata per effetto Joule in una resistenza R percorsa da corrente alternata in

un intervallo [ ]dttt +; può essere approssimata dalla seguente relazione:

( )RdttidL 2= con ( ) ( )tIti ωsin=

Per ottenere l’energia L dissipata in un periodo di tempo ωπ2

=T è necessario calcolare l’integrale

definito:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2

2cos22

2cos1sinsin2

0

2

0

2

0

22

0

22 RTIdtttRIdttRIdttRIRdttILTTTT=−=

−=== ∫∫∫∫ ωωωω

Pertanto l’intensità di corrente continua capace di produrre lo stesso lavoro risulta del tipo:

2Ii =

53

Conclusioni

Questo progetto è rivolto ad una classe quinta di un liceo scientifico ad indirizzo PNI e sarebbe

stato più interessante avere una vera e propria classe a cui spiegare l’argomento, in quanto non

sempre quello che si progetta a livello teorico è applicabile nella pratica.

Indubbiamente è necessario conoscere profondamente l’argomento ma bisogna anche tener presente

il gruppo classe che si ha di fronte, compito dell’insegnate è proprio fare da mediatore tra i saperi

accademici e gli studenti; in modo da rendere la lezione di facile comprensione da parte degli stessi,

facendo uso sia delle nuove tecnologie che dell’esperienza dei colleghi.

In questo progetto è stato scelto un taglio di spiegazione abbastanza classico seguendo i libri di testo

che si sono consultati e riportati nella bibliografia. Si potrebbe provare a svolgere l’argomento

seguendo il suo iter storico, ma per far questo sarebbe opportuno avere un libro di testo per la classe

con questa impostazione.

Nel consultare vari libri di testo per sviluppare i contenuti di questo lavoro mi sono accorto che

anche se gli argomenti trattati sono identici il tipo di dimostrazioni ed il modo di introdurre gli

argomenti sono profondamente diversi.

In conclusione questa è la mia idea su come vorrei svolgere l’argomento, e le linee della dimo-

strazioni che mi sembrano più semplici da presentare a una classe quinta liceo.

Quello che è certo è che non sempre il progetto si può applicare rigidamente alla classe ed in corso

di lavoro bisognerà sempre avere il coraggio di rivedere le scelte e magari cambiare anche qualcosa

del progetto; fine ultimo è di trasmettere le proprie conoscenze alla classe.

54

Bibliografia

[1] Piani di studio della scuola secondaria superiore e programmi del trienni Le proposte della

Commissione Brocca Tomo I, Le Monnier, Firenze.

[2] Piani di studio della scuola secondaria superiore e programmi del trienni Le proposte della

Commissione Brocca Tomo II, Le Monnier, Firenze.

[3] Cateni, Bernardi, Maracchia, Analisi Matematica, Le Monnier, Firenze 1987.

[4] Lamberti Lamberto, Mereu Laura, Nanni Augusta, Matematica tre. Con Problemi di analisi.

Per le Scuole superiori , ETAS (RCS LIBRI), Milano 2005.

[5] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Modulo V + W Derivate e studi di

funzioni + integrali p. 496, Zanichelli, Bologna 2005.

55

Sitografia

[1] www.dm.unibo.it/ssis/

[2] http://www.edscuola.it/archivio/norme/programmi/index.html

[3] http://umi.dm.unibo.it/

[4] http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/mostra_calcolo/prima.html

[5] http://it.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

[6] http://it.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

[7] http://it.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy

[8] http://it.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet

[9] http://it.wikipedia.org/wiki/Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann

[10] http://www.matematica.it/tomasi/

Allegato A

Verifica Formativa

Svolgi i seguenti integrali definiti:

1) ( )dxx∫ +1

0

2 4

2) ∫−

−

2

3 3xdx

3) ( )dxxx∫ +4

1

3

4) dxx

x∫ +

1

0 2 12

5) dxxx

x∫ −−

1

0 2

3

32

6) dxxx

e

e∫2

ln1

7) ( )dxx∫ +0

2 4

8) dxx∫− +

2

2 2 21

9) ∫ 20

sinπ

xdxx

10) ∫−22

cosπ

π xdxex

11) ∫ +−2

02sin

1sin1sinπ

xdxxx

12) dxx∫−1

1

3

13) dxxx∫ +2

0

21

14) dxeex

x

∫ +

+2ln

0

2

2

15) dxxx

∫ 4

0 3cossinπ

16) dxx∫ 30

tanπ

17) dxx

e x

∫4

1

18) dxx

x∫ +

1

0 2

5

1

19) dxxx

xe

∫ +++

1 2 441

20) dxxx∫ −2

01

Ad ogni esercizio vengono assegnati un massimo di cinque punti suddivisi secondo la griglia

seguente; la verifica sarà svolta e corretta in classe in modo da permettere una autovalutazione da

parte dei ragazzi e come momento per il docente di avere un riscontro oggettivo sui problemi degli

alunni.

Griglia di valutazione:

DESCRITTORI PUNTI

Utilizzo corretto dei dati di partenza 1

Individuazione e conoscenza delle formule

necessarie alla risoluzione dei quesiti

1

Sviluppo delle regole 1

Correttezza nei calcoli 1

Metodo più appropriato alla risoluzione

dell’integrale

1

Totale 5

Fasce di livelli:

0-30 Gravemente insufficiente

31-40 Insufficiente

41-50 Mediocre

51-60 Sufficiente

61-70 Discreto

71-80 Buono

81-100 Ottimo

Allegato B

Verifica Intermedia

Determina dopo aver disegnato le due parabole l’area della regione di piano racchiusa da esse:

4543

2

2

++=

+−−=

xxyxxy

Punti(15)

Si conduca la normale alla parabola di equazione 22 xxy −= per il suo punto )0;0(O e si calcoli

l’area della regione di piano delimitata da tale normale e dalla parabola. Punti(15)

Calcolare il valor medio della funzione xy −= 1 nell’intervallo [ ]3;0 , inoltre con il grafico

della funzione spiegare il teorema della media integrale.

Punti(15)

La funzione reale di variabile reale ( )xf , continua per ogni x , e tale che

( ) adxxf =∫2

0

( ) bdxxf =∫6

0

dove a ,b sono numeri reali. Determinare, se esistono, i valori a ,b per cui risulta

( ) 2ln23

0

=∫ dxxf ( ) 4ln23

1

=∫ dxxf

(Quesito n°10 della prova d’esame del liceo scientifico ordinario anno 2002) Punti(10)

Determinare il coefficiente incognito a sapendo che ( ) 83sinsin0

2 −=++∫ ππ

dxxaxa .

Punti(10) Determinare i punti di minimo e massimo della funzione:

( ) ( )∫ +−=x

dtttxF1

2 65

inoltre riportare su uno stesso piano cartesiano il grafico della funzione e della sua derivata;

trarne alcune considerazioni. Punti(15)

Calcolare l’area delle regioni di piano in cui viene suddiviso il cerchio di circonferenza di

equazione 422 =+ yx dalla parabola 22

2

+−=xy .

Punti(10) Stabilire se convergono i seguenti integrali generalizzati e calcolarli:

( )∫+∞

+122

1 dxx

; ∫+∞

+0 11 dx

x; ∫ −

1

021

1 dxx

; ( )∫ −

2

121

1 dxx

. Punti(10)

Ad ogni esercizio eìè stato assegnato un punteggio che varia da zero a dieci. Per gli esercizi con

punteggio da zero a quindici i cinque punti in più vengono assegnati sulla valutazione del grafico.

I dieci punti si suddividono secondo la seguente griglia.

Griglia di valutazione:

DESCRITTORI PUNTI

Scelta corretta dei dati di partenza 1

Individuazione e conoscenza delle formule

necessarie alla risoluzione dei quesiti

1

Sviluppo del procedimento coerentemente

al quesito

3

Correttezza impostazione e linearità del

procedimento

2

Correttezza nei calcoli 3

Totale 10

Griglia di valutazione dei cinque punti del grafico:

DESCRITTORI PUNTI

Scelta corretta delle unità di misura. 1

Chiarezza nel grafico. 2

Riportare sul grafico tutti i punti

fondamentali dell’esercizio

2

Totale 5

Fasce di livelli:

0-30 Gravemente insufficiente

31-40 Insufficiente

41-50 Mediocre

51-60 Sufficiente

61-70 Discreto

71-80 Buono

81-100 Ottimo

Allegato C

Verifica Finale 1) Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy , ortogonale e monometrico, si consideri la

regione R, finita, delimitata dagli assi coordinati e dalla parabola λ d’equazione: 26 xy −= .

Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di R attorno all’asse y .

(Domanda n°1 del problema n°1 della prova d’esame del liceo scientifico ordinario 2004-2005)

Punti(15)

2) Si determini il volume del solido che ha per base la regione del primo quadrante delimitata

dalla parabola xxy +−= 2

41 e l’asse x , le cui sezioni ottenute con piani perpendicolari all’asse

x sono quadrati.

(Domanda n°5 del problema n°1 della prova d’esame del liceo scientifico PNI 2004-2005)

Punti(15)

3) Calcolare l’area della regione piana limitata dalle due curve:

( )21−= yx e xxy −= 2

e dall’asse y .(Anche se no, è richiesto conviene svolgere l’esercizio disegnare il grafico delle

due curve) Punti(15)

4) Determinare l’area della regione piana limitata dalla curva xy ln= , dall’asse x e dalle rette

21

=x e 1=x . Punti(15)

5) Calcolare il volume del solido ottenuto da una rotazione completa della figura limitata dalla

curva xey = , dalle rette 0=x e 1=x e dall’asse x ,

a) attorno all’asse x .

b) attorno all’asse y . Punti(20)

6) Se un proiettile di un cannone descrive la seguente parabola 24 xxy −= nel primo quadrante, si

può calcolare la misura della lunghezza della sua traiettoria, se la risposta è affermativa

calcolarla. Punti(7)

7) Un corpo puntiforme P è attirato verso un punto fisso O con una forza xxF 62 3 −−= dove x

rappresenta la distanza di P da O. Il lavoro compiuto da F per portare in O il corpo P da una

posizione iniziale di P dove fissiamo l’origine dell’asse x ad un punto O che dista dalla

posizione iniziale due metri : Punti(7)

8) La velocità di un punto mobile è 31,0 tv = m/s. Il cammino s percorso dal punto nell’intervallo

di tempo T=10 secondi è: Punti(6)

Ad ogni esercizi e stato assegnato un punteggio variabile riportato a fianco dell’esercizio, i vari

punteggi degli esercizi sono suddivisi secondo le percentuali riportate sotto.

Griglia di valutazione:

DESCRITTORI PUNTI

Scelta corretta dei dati di partenza 10%

Individuazione e conoscenza delle formule

necessarie alla risoluzione dei quesiti

10%

Sviluppo del procedimento coerentemente

al quesito

30%

Correttezza impostazione e linearità

procedimento

20%

Correttezza nei calcoli 30%

Totale 100%

Fasce di livelli:

0-30 Gravemente insufficiente

31-40 Insufficiente

41-50 Mediocre

51-60 Sufficiente

61-70 Discreto

71-80 Buono

81-100 Ottimo