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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNOUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO
CARMINE LIMACARMINE LIMA
e-mail: [email protected]: [email protected]
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Corso diCorso diTECNICA DELLE COSTRUZIONI ITECNICA DELLE COSTRUZIONI I
Seconda Esercitazione ProgettualeSeconda Esercitazione ProgettualePROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.
Facoltà di IngengneriaFacoltà di Ingengneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Bozza del 14 Marzo 2010
Anno Accademico2009 / 2010
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TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
Analisi delle Sollecitazioni secondo il
Metodo dei vincoli ausiliari.
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I – a.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLIwww.enzomartinelli.eu
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Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
Esempio:Combinazione di carico n.2
1 2 3
Soluzione
(S0) (S1) (S2) (S3)
R3(2)
R2(2)
R1(2)
R3(0)
Ri(j): reazione del vincolo ausiliare i-
esimo sullo schema j-esimo
(S)
La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli:
Vincoli ausiliari (carrelli ad asse orizz.) Cedimento di
imposto al carrello i-esimo
s
n
j
jijii niRRR
s
...1 01
)()0(
R2(0)
R1(0)
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
R3(1)
R2(1)
R1(1)
R3(3)
R2(3)
R1(3)
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Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARISi ottiene un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione j:
0
0
0
)3(33
)2(32
)1(31
)0(3
)3(23
)2(22
)1(21
)0(2
)3(13
)2(12
)1(11
)0(1
RRRR
RRRR
RRRR
321 ,,
Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue: )3(
3)2(
2)1(
1)0(
ijijijijij MMMMM
Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure le reazioni dei vincoli ausiliari
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Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI
Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S0 ed un numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura.
Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo della terna di valori (1, 2, 3) relativa alla combinazione in oggetto.
E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj sia scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S0 per effetto dei carichi.
pil
piltd
pilij
tddpilij EI
llq
U
lqlqU
721212
2222
[mm] 10101
12/60030072
)3000()5000(100 54
3
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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARILij b h Inerzia Wij Vij Uij
[cm] [cm] [cm] [cm4] [kNm] [kNm] [kN]1_4 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40
4_7 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,407_10 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40
2_5 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,80
5_8 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,808_11 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,80
3_6 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40
6_9 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,409_12 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40
4_5 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,005_6 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00
7_8 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,008_9 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00
10_11 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,0011_12 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00
Asta
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
Wij SWij
[kNm] [kNm]1_4 119047,70 0,332
4_5 120000,00 0,3354_7 119047,70 0,332
2_5 238095,10 0,338
4_5 120000,00 0,1705_6 108000,00 0,153
5_8 238095,10 0,338
3_6 119047,70 0,3445_6 108000,00 0,312
6_9 119047,70 0,344
4_7 119047,70 0,332
7_8 120000,00 0,3357_10 119047,70 0,332
5_8 238095,10 0,3387_8 120000,00 0,170
8_9 108000,00 0,153
8_11 238095,10 0,338
6_9 119047,70 0,344
8_9 108000,00 0,3129_12 119047,70 0,344
7_10 119047,70 0,498
10_11 120000,00 0,502
8_11 238095,10 0,511
10_11 120000,00 0,257
11_12 108000,00 0,232
9_12 119047,70 0,52411_12 108000,00 0,476
239047,70
466095,10
227047,70
tij
358095,40
704190,20
346095,40
358095,40
704190,20
346095,40
8
9
10
11
12
AstaNodo
4
5
6
7
Wij Vij
[kNm] [kNm]1_4 119047,70 59523,90 0,500
2_5 238095,10 119047,60 0,5003_6 119047,70 59523,90 0,500
4_5 120000,00 60000,00 0,500
5_6 108000,00 54000,00 0,5004_7 119047,70 59523,90 0,500
5_8 238095,10 119047,60 0,500
6_9 119047,70 59523,90 0,5007_8 120000,00 60000,00 0,500
8_9 108000,00 54000,00 0,500
7_10 119047,70 59523,90 0,500
8_11 238095,10 119047,60 0,5009_12 119047,70 59523,90 0,500
10_11 120000,00 60000,00 0,50011_12 108000,00 54000,00 0,500
Asta tij
4,5= -62,07 kNm 5,4= 62,07 kNm5,6= -76,63 kNm 6,5= 76,63 kNm7,8= -62,07 kNm 8,7= 62,07 kNm8,9= -76,63 kNm 9,8= 76,63 kNm10,11= -48,87 kNm 11,10= 48,87 kNm11,12= -60,33 kNm 12,11= 60,33 kNm
Momenti di incastro perfetto
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00
Nodo Asta W ijS
jW ijtij
[kNm] [kNm]
4-1 1E+05 0.3324-5 1E+05 0.3354-7 1E+05 0.332
5-2 2E+05 0.3385-4 1E+05 0.1705-6 1E+05 0.1535-8 2E+05 0.338
6-3 1E+05 0.3446-5 1E+05 0.3126-9 1E+05 0.344
7-4 1E+05 0.3327-8 1E+05 0.3357-10 1E+05 0.332
8-5 2E+05 0.3388-7 1E+05 0.1708-9 1E+05 0.1538-11 2E+05 0.338
9-6 1E+05 0.3449-8 1E+05 0.3129-12 1E+05 0.344
10-7 1E+05 0.49810-11 1E+05 0.502
11-8 2E+05 0.51111-10 1E+05 0.25711-12 1E+05 0.232
12-9 1E+05 0.52412-11 1E+05 0.476
4
5
6
7
5E+05
2E+05
8
9
10
11
12
4E+05
7E+05
3E+05
4E+05
7E+05
3E+05
2E+05
- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
- coefficienti di trasporto per le varie aste
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
10,11= -48.87 kNm 11,10= 48.87 kNm11,12= -60.333 kNm 12,11= 60.33 kNm
7,8= -62.066 kNm 8,7= 62.07 kNm8,9= -76.625 kNm 9,8= 76.63 kNm
4,5= -62.066 kNm 5,4= 62.07 kNm5,6= -76.625 kNm 6,5= 76.63 kNm
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLIwww.enzomartinelli.eu
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00Equilibrio del nodo 10 kNm 87.48)87.480(Meq
kNm 53.24502.087.48M 11,10
kNm 34.24498.087.48M 7,10 24.53
24
.34
Trasporto sull’asta 10-7 kNm 17.1250.034.24M 10,7
12
.17
Trasporto sull’asta 10-11 kNm 27.1250.053.24M 10,11
12.27
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLIwww.enzomartinelli.eu
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00Equilibrio del nodo 11
kNm 41.0501.081.0M 8,11
kNm 21.0257.081.0M 10,11 -0.19
-0.4
1
Trasporto sull’asta 11-10 kNm 10.050.021.0M 11,10
-0.2
1
Trasporto sull’asta 11-12 kNm 09.050.019.0M 11,12
-0.09-0.21
kNm 81.0)27.1233.6087.48(Meq
kNm 19.0232.081.0M 12,11
Trasporto sull’asta 11-8 kNm 21.050.041.0M 11,8
-0.10
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009
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00Equilibrio del nodo 12
kNm 65.28476.024.60M 11,12
kNm 59.31524.024.60M 9,12 -28.65
-31
.59
Trasporto sull’asta 12-9 kNm 79.1550.059.31M 12,9
-15
.79
Trasporto sull’asta 12-11 kNm 33.1450.065.28M 12,11
-14.33
kNm 24.60)009.033.60(Meq
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Solu
zion
e a
con
verg
en
za
Solu
zion
e a
con
verg
en
za
Si procede con il “giro” senza tornare su un nodo prima che non siano stati equilibrati tutti gli altri. La convergenza è raggiunta quando gli squilibri nodali sono non maggiori di 0.01 kNm
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SOLUZIONE DELLO SCHEMA SSOLUZIONE DELLO SCHEMA S00
Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliariCalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
tagli dei pilastri superiori
tagli dei pilastri inferiori
FiRi
(0)(0) (0) (0)
sup infi iR F T T
Fi ΣTsup(0) ΣTinf
(0) Ri(0)
[kN] [kN] [kN] [kN]102,48 0,00 0,77 -101,71
98,35 0,77 0,53 -98,5949,18 0,53 0,37 -49,34
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Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
Lij Mij(0) Mji(0) qji Tij(0) Tji(0)
[cm] [kNm] [kNm] [kN/m] [kN] [kN]1_4 350 8,94 17,89 0,00 -7,67 -7,674_7 350 24,91 22,98 0,00 -13,68 -13,68
7_1 350 24,07 27,08 0,00 -14,61 -14,61
2_5 350 2,46 4,93 0,00 -2,11 -2,11
5_8 350 6,61 5,84 0,00 -3,56 -3,56
8_11 350 6,49 7,92 0,00 -4,12 -4,12
3_6 350 -11,84 -23,68 0,00 10,15 10,15
6_9 350 -32,57 -29,62 0,00 17,77 17,77
9_12 350 -31,64 -36,60 0,00 19,50 19,50
4_5 450 -42,79 73,57 36,78 75,92 -89,59
5_6 500 -85,13 56,26 36,78 97,72 -86,18
7_8 450 -47,07 70,84 36,78 77,47 -88,04
8_9 500 -83,16 61,26 36,78 96,33 -87,57
10_11 450 -27,08 62,13 28,96 57,37 -72,9511_12 500 -70,08 36,61 28,96 79,09 -65,71
Asta
2
2
d ij ij jiij
ij
d ij ij jiji
ij
p L M MT
L
p L M MT
L
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SC
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jj- coefficienti di ripartizione nei vari nodi
- coefficienti di trasporto per le varie aste
- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste
4,7= 25.51 kNm 5,8= 51.02 kNm 6,9= 25.51 kNm7,4= 25.51 kNm 8,5= 51.02 kNm 9,6= 25.51 kNm
1,4= -25.51 kNm 2,5= -51.02 kNm 3,6= -25.51 kNm4,1= -25.51 kNm 5,2= -51.02 kNm 6,3= -25.51 kNm
Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009
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jj : : C
alc
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om
en
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Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009
A cura di: ENZO MARTINELLIwww.enzomartinelli.eu
SOLUZIONE DELLO SCHEMA SSOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj j A NODI TRASLATIA NODI TRASLATICalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliariCalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari
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TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010
Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima
tagli dei pilastri superiori
tagli dei pilastri inferiori
Ri(1)
(1) (1) (1)sup infiR T T
Fi ΣTsup(3) ΣTinf
(3) Ri(3)
[kN] [kN] [kN] [kN]0.00 0,00 31,88 31,88
0.00 31,88 -9,11 -40,990.00 -9,11 1,55 10,66
Lij Mij(3) Mji(3) qji Tij(3) Tji(3)
[cm] [kNm] [kNm] [kN/m] [kN] [kN]1_4 350 -0,43 -0,86 0 0,37 0,37
4_7 350 2,19 5,68 0 -2,25 -2,25
7_1 350 -14,97 -13,58 0 8,16 8,16
2_5 350 -0,91 -1,81 0 0,78 0,78
5_8 350 4,41 11,53 0 -4,55 -4,55
8_11 350 -29,39 -26,41 0 15,94 15,94
3_6 350 -0,47 -0,95 0 0,41 0,41
6_9 350 2,22 5,86 0 -2,31 -2,31
9_12 350 -14,42 -12,82 0 7,78 7,78
4_5 450 -1,33 -1,35 0 0,59 0,59
5_6 500 -1,25 -1,27 0 0,5 0,5
7_8 450 9,29 9,35 0 -4,14 -4,14
8_9 500 8,51 8,56 0 -3,41 -3,41
10_11 450 13,58 13,74 0 -6,07 -6,0711_12 500 12,67 12,82 0 -5,1 -5,1
Asta
2
2
d ij ij jiij
ij
d ij ij jiji
ij
p L M MT
L
p L M MT
L
SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARISOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI
103.20 -57.51 10.66 1 49.34-57.51 85.88 -40.99 2 98.5910.66 -40.99 31.88 3 101.71
=
A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari:
0
0
0
)3(33
)2(32
)1(31
)0(3
)3(23
)2(22
)1(21
)0(2
)3(13
)2(12
)1(11
)0(1
RRRR
RRRR
RRRR
Reazioni sullo schema S2
Reazioni sullo schema S0 (cambiate
di segno)
1 0.0239 0.0316 0.0326 49.34 7.612 0.0316 0.0718 0.0818 98.59 16.953 0.0326 0.0818 0.1256 101.71 22.44
= =
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Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli AusiliariSoluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari
Asta Mij(0) Mij
(1) Mij(2) Mij
(3) Mij Mji(0) Mji
(1) Mji(2) Mji
(3) Mji
[kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]
1,4 8.94 -24.97 3.59 -0.43 -129.84 17.89 -24.44 7.18 -0.86 -65.67
4,7 24.91 22.78 -18.12 2.19 -59.86 22.98 18.45 -21.50 5.68 -73.83
7,10 24.07 -6.85 20.85 -14.97 -10.46 27.08 -2.31 15.56 -13.58 -31.45
2,5 2.46 -49.88 7.36 -0.91 -272.52 4.93 -48.74 14.71 -1.81 -157.01
5,8 6.61 45.47 -35.84 4.41 -156.13 5.84 36.51 -42.73 11.53 -182.00
8,11 6.49 -14.04 41.39 -29.39 -58.28 7.92 -4.61 30.35 -26.41 -105.36
3,6 -11.84 -24.91 3.77 -0.47 -148.01 -23.68 -24.30 7.54 -0.95 -102.00
6,9 -32.57 22.69 -17.71 2.22 -110.49 -29.62 18.05 -21.22 5.86 -120.60
9,12 -31.64 -7.19 20.53 -14.42 -61.83 -36.60 -2.30 14.77 -12.82 -91.30
4,5 -42.79 1.65 10.94 -1.33 125.53 73.57 1.69 11.03 -1.35 243.19
5,6 -85.13 1.58 10.09 -1.25 69.91 56.26 1.61 10.17 -1.27 212.50
7,8 -47.07 -11.60 0.66 9.29 84.30 70.84 -11.71 0.68 9.35 203.02
8,9 -83.16 -10.75 0.66 8.51 37.26 61.26 -10.86 0.69 8.56 182.41
10,11 -27.08 2.31 -15.56 13.58 31.45 62.13 2.37 -15.77 13.74 121.21
11,12 -70.08 2.24 -14.58 12.67 -15.89 36.61 2.30 -14.77 12.82 91.30
)3(3
)2(2
)1(1
)0(ijijijijij MMMMM
Momenti in tm
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DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICODI CARICO
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