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Docente: Marinella Giunta

LECTURE 04 – ELEMENTI DI RISK ANALYSIS – CONCETTI DI PROBABILITA’, FREQUENZA, MAGNITUDO

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI “MEDITERRANEA” DI REGGIO CALABRIA

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

LAUREA MAGISTRALEINGEGNERIA CIVILE

Corso di PROGETTO E GESTIONE

DELLE INFRASTRUTTURE VIARIE

DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 1/4

Per certi eventi che investono la collettività e possono provocare gravi danni sia immediati che ritardati alle persone oalle cose si definisce:

Rischio =Frequenza

prevista per l’evento

xMagnitudo

delle conseguenze

R = F x MDeterminare la frequenza prevista per l’accadimento dell’evento ipotizzato e la gravità delle conseguenze significa con una espressione tecnica effettuare una valutazione probabilistica del rischio.

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La valutazione del rischio si articola in tre studi:

1. Individuazione degli eventi che possono dar luogo ad un incidente rilevante

2. Determinazione della frequenza di accadimento dell’evento

2. Analisi delle conseguenze

DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 2/4Co

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La definizione del rischio come prodotto della frequenza di accadimento dell’evento per la magnitudo delle conseguente ha l’enorme vantaggio di consentire una valutazione

quantitativa del rischio ed abbandonare il significato vago che il termine rischio ha nel

linguaggio comune.

Con i numeri è più facile effettuare confronti e stabilire graduatorie!


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Nel caso in cui il rischio non venga considerato tollerabile si potrà ridurre operando sulla frequenza di accadimento (azione di prevenzione) o sulla magnitudo delle conseguenze (azione di protezione)

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R2

R3

Magnitudo delle conseguenze

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uenz

a pr

evis

ta Protezione

Prevenzione

R1 > R2 > R3


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CONCETTI DI PROBABILITA’ E FREQUENZA 1/21

Esistono due definizioni di probabilità:

probabilità oggettiva (o classica)probabilità soggettiva

PROBABILITA’ OGGETTIVA

La definizione di probabilità oggettiva, introdotta da Pascal nel XVII secolo è la seguente:

Dati N eventi che hanno uguale possibilità di verificarsi, la probabilità di accadimento dell’evento A, vale:

P(A) = Numero di eventi A

Numero totale di eventi

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ESEMPI

Nel lancio di un dado: Nel lancio di una moneta:P(uscita del 2) = 1/6 P(TESTA) = 1/2

CONSIDERAZIONI

La definizione presuppone il conteggio di tutti gli eventi ugualmente possibili e questo è fattibile nel caso di giochi con carte, monete, dadi, al lotto, alla roulette.

Questa probabilità si può anche chiamare “teorica”, nel senso che può essere valutata a tavolino, una volta nota la situazione.

Nei casi reali il conteggio di tutti gli eventi non è sempre possibile e spesso non ha addirittura alcun significato. Gli eventi possibili possono non essere equiprobabili.

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VANTAGGI

A. Permette di stabilire alcune relazioni matematiche relative alla probabilità

B. Costituisce una scala di riferimento per la probabilità soggettiva

A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA’

La definizione classica ci dice che la probabilità è un numero puro e può variare dallo zero (per un evento impossibile) all’unità (per un evento certo), cioè:

0 ≤ P ≤ 1

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Si può affermare che il verificarsi dell’evento A e il non verificarsi (che indichiamo con not A) soddisfano alla relazione:

P(A) + P(not A) = 1

……. considerando il caso in cui un evento possa verificarsi in relazione all’accadimento di altri, questi ultimi fra di loro indipendenti, si possono avere due casi:Co

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(I)

L’evento H capita quando si verifica l’evento A oppure l’evento B oppure entrambi, e si scrive simbolicamente:

H = A or B

La formula del calcolo delle probabilità per l’evento H è la seguente:

P(H) = P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)Cors

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(II)

L’evento K capita quando si verifica l’evento C e l’evento D; si scrive simbolicamente:

K = C and D

La formula del calcolo delle probabilità per l’evento K è la seguente:

P(K) = P(C and D) = P(C) . P(D)Cors

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ESEMPI:

Si lancino due dadi. Le coppie di valori possibili sono in numero di 36:

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,62,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,63,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,64,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,65,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,66,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

P(5 sul primo dado or sul secondo) = 11/36 = 0,305

Lo stesso risultato si può trovare così:

P(5 or 5) = 1/6 + 1/6 – 1/6.1/6 = 11/36 = 0,305

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B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA’

Ritornando al gioco di TESTA o CROCE, si lancino due monete. La probabilità di avere tutte TESTE è 1/4, valutabile dal fatto che l’evento favorevole è uno dei 4 eventi possibili: T.T, T.C, C.T, C.C o anche ricorrendo alla formula del calcolo delle probabilità

P (Tand T) = 1/2.1/2 =1/4

Se si lanciano 3 monete la probabilità di avere TESTA SU tutte sicalcola con una generalizzazione della formula:

P (Tand T) = (1/2)3 = 1/8 = 0,125

e lanciando N monete:

P (Tand Tand Tand Tand T…) = (1/2)N

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B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA’

Alcune potenze di 1/2 per una scala di riferimento:

esponente valore valoreN di (1/2)N approssimato

1 0,5 2 0,25 3 0,125 10-1

6 0,015625 10-2

10 0,00097 10-3

13 0,00012 10-4

16 0,000015 10-5

20 0,00000095 10-6Cors

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PROBABILITA’ SOGGETTIVA

Un altro punto di vista diverso, chiamato soggettivista o neo-bayesiano è importante per la maggior parte dei problemi.

Si tenga presente che “soggettivo” non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto (De Finetti).

A questa definizione si è costretti a ricorrere quando, volendo determinare il valore di una probabilità, non sono valide le condizioni discusse per la probabilità oggettiva.

Il dominio di definizione della probabilità soggettiva comprende eventi unici, rari o capitati più volte nel passato in circostanze che non si ritengono più valide per il futuro. Rientrano in queste situazioni, per cu si può definire solo una probabilità soggettiva, terremoti, alluvioni avvenimenti sportivi, caduta di un aereo, ecc..

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METODI DI VALUTAZIONE:

A. Valutazione frequentistica

B. Valutazione tramite i bookmakers

C. Metodo della decomposizioneCors

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Tale valutazione si basa sul teorema di von Mises che afferma:

In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è pressappoco uguale alla sua probabilità. L’approssimazione cresce ordinariamente con il crescere del numero delle prove.

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numero numero rapportodi lanci di TESTE TESTE/lanci

10 6 0,620 13 0,6550 26 0,52100 52 0,52 500 247 0,494 1.000 506 0,506 10.000 5.032 0,5032




Esempio: sono indicati i risultati di 10, 20, ….10.000 lanci di monete

Il rapporto tra il numero delle volte che è apparso TESTA ed il numero totale dei lanci “tende” al valore “teorico” 0,5.

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I risultati confermano la validità della legge dei grandi numeri e la disuguaglianza di Cebysev, che affermano che “su un gran numero di prove è quasi certo che la frequenza coincide con la probabilità e che gli scarti hanno tendenza a compensarsi”.

ATTENZIONE

Non dare a questo risultato interpretazioni eccessive e manifestamente assurde: non si pensi ad esempio che tale avvicinamento alla probabilità faccia attendere con maggiore facilità l’apparizione di un evento in ritardo!

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Per prevedere ad esempio il risultato di una corsa di cavalli sipuò studiare attentamente il lotto dei partenti, esaminare i risultati delle corse precedenti, tenendo conto della lunghezza del percorso, dello stato del terreno…., e cercare di avere qualche confidenza dagli stallieri.

E’ però più facile riferirsi alle poste dei bookmakers.

Un cavallo dato “S a T” ha la probabilità

P = S/(S+T)

di vincere in un gioco equo.

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La quota della posta “S a T” significa che si è disposti a ricevere T in caso di successo e dare S in caso di insuccesso.

I bookmakers di Londra sono famosi in tutto il mondo ed accettano scommesse su tutto, ma anche loro incorrono in previsioni clamorosamente errate. Ai mondiali di calcio dell’82 la squadra azzurra, prima dell’inizio delle gare, era data 1 a 20, il Cardinale Luciani non era neppure quotato dopo la morte di Papa Paolo VI!Co

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C. Metodo della decomposizione

Il metodo della decomposizione è importante per la valutazione della probabilità soggettiva riferita ad eventi rari o unici. Consiste nel considerare che un evento finale H o K può accadere per l’avverarsi di eventi A, B, C, D, …. indipendenti tra loro, secondo una delle relazioni logiche:

H = A or B

K = C and D

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ESEMPIOUn treno non si arresta davanti ad un ostacolo per due motivi: la segnalazione luminosa è errata oppure il macchinista non avverte l’indicazione o per entrambi i motivi. Naturalmente potrebbero essere considerati altri motivi, come il non funzionamento dei freni.

Si ponga

H = il treno non si arrestaA = la segnalazione luminosa è errataB = il macchinista non avverte l’indicazione

Si può scrivere:H = A or B

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ESEMPIOSe sappiamo in base all’esperienza passata (cioè mediante una valutazione di probabilità tramite frequenza) che:

P(A) = 1/100 (segnalazione luminosa errata)

P(B) = 1/10 (errore umano)

P(H) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = 1/100 + 1/10 - 1/100 .1/10 =1/10

L’evento indesiderato è legato essenzialmente all’errore umano.

………………………….ALTRI ESEMPI SU INCIDENTI STRADALI.ALTRI ESEMPI SU INCIDENTI STRADALI

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ESEMPIOUn reattore chimico può esplodere perché si è formata una miscela esplosiva e c’e un innesco per lo scoppio. Siano:

K = esplosione del reattoreC = presenza di miscela esplosivaD = presenza di innesco

Si può scrivereK = C and D

P(K) = P(C).P(D)

Se P(C) = 1/100 e P(D) = 1/10 la probabilità che accada l’esplosione è

P(K) = P(C) .P(D) = 1/100 .1/10 =1/1000

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VARIABILE O NUMERO ALEATORIO

Una variabile aleatoria o numero aleatorio ha un valore non noto a priori e può essere valutato attraverso una stima più o meno affidabile.

ESEMPIO

Numeri di incidenti con sversamento di materiali pericolosi che si verificano in una tratta autostradale in un anno;

Talvolta, per convenienza, anche fenomeni e grandezze prevedibiliempiricamente sulla base di modelli fisici sono interpretati nel sensodi variabili aleatorie, rinunciando ad analizzare la complessità deifenomeni e studiando solo la “statistica” delle sue manifestazioni.

La serie storica dei valori assunti da una variabile aleatoria costituisceil campione o spazio campione e definisce i “limiti conoscitivi” o lo “stato di conoscenza.

La variabile aleatoria nelle sue realizzazioni storiche si definiscevariabile campionaria.

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IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 1/13

Dopo avere richiamato i concetti di base della probabilità, definiamo il rischio ed esaminiamo come valutare in modo quantitativo i due fattori che entrano in gioco: la frequenza e la magnitudo.

Indice di

Rischio=

Frequenza prevista per

l’eventox

Magnitudo delle

conseguenze

R = F x MCors

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Nella formula di calcolo dell’indice di rischio, o semplicemente rischio, è insita la circostanza che risulta lo stesso rischio per un sistema che si prevede provochi 1 vittima all’anno e per quello che ne provoca 25 in un evento che si prevede ogni 25 anni.

In generale, noi siamo colpiti più dalla magnitudo delle conseguenze che dalla frequenza dell’evento.

Relativamente al calcolo delle frequenze abbiano richiamato il problema del giudizio “soggettivo” e quello delle frequenze estremamente basse. Si approfondisce adesso il carattere di “accidentalità” dell’evento.

Mentre alcuni eventi (caduta di un oggetto, ritorno di una cometa) sono previsti da leggi deterministiche, per altri eventinon è possibile formulare una previsione (scoppio di un pneumatico di un’automobile, scontro tra due treni.)

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Gli eventi “accidentali” possono essere di due tipi:

- Eventi casuali uniformi nel tempo;

- Eventi casuali non uniformi nel tempo.

Eventi casuali uniformi nel tempo

Si consideri un avvenimento che si verifica a ripetizione nel tempo.

L’evento è detto periodico se è costante l’intervallo di tempo fra due accadimenti successivi: questo intervallo è detto periodo o tempo di ritorno (ed è indicato comunemente con T). La frequenza ν ne è l’inverso.

Nell’ingegneria della sicurezza interessano prevalentemente eventi non periodici, e fra questi, quelli che accadono nel tempo secondo una legge casuale uniforme.

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Per gli eventi casuali uniformi nel tempo detto N il numero di accadimenti nell’intervallo complessivo considerato, possono essere definiti:

- la frequenza ν;

- l’intervallo medio di tempo fra un accadimento ed il successivo:

Tmedio = Σi ti/N

avendo indicato con ti l’intervallo generico fra due eventi successivi.

L’intervello tmedio vale approssimativamente l’inverso di ν.

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ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI

Esperimento:

Si facciano estrazioni successive da un’urna contenente gettoni marcati 0, 1, 2, … 9 in numero estremamente grande. I gettoni delle diverse cifre sono in numero uguale e pertanto da questa popolazione avente distribuzione rigorosamente uniforme c’è da aspettarsi che un campione di 2.000 estrazioni (con reimbussolamento) presenti una distribuzione pressochéuniforme della 10 cifre. L’aver effettuato estrazioni assicura che il processo è casuale.

In pratica si utilizza una serie di numeri casuali uniformi ottenuti da un computer.

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ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI

Esperimento:Si sostituisce SI allo zero e NO alle altre cifre e si considerino il SI e il NO come l’etichetta attribuita ad ognuno dei 2.000 anni, a seconda che si sia o no verificato un certo avvenimento nell’anno.

L’anno di accadimento è casuale: ci aspettiamo di trovare nell’intera storia degli ultimi 2.000 anni circa 200 anni marcati SI.

Nell’esperimento si sono avuti 198 SI.

La frequenza dell’evento è quindi:

ν = 198/2.000 ~ 0,1/ anno

e conseguentemente:

tmedio = 1/ν =~ 10/ anni

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Eventi casuali uniformi nel tempoALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI

a) Distribuzione delle frequenzePrendendo in considerazione intervalli di osservazione abbastanza lunghi si trovano valori delle frequenze dei SI con una distribuzione a campana, attorno al valore della moda (valore dell’ascissa di maggior frequenza della funzione di distribuzione).

NUMERO DI EVENTI

0-2 3-5 15-17 18-20

(a) NUMERO DI EVENTI

1-4 5-8 33-36 37-40

(b)

L’istogramma (a) è stato ricavato sperimentalmente: in ascissa èriportato il numero X di SI per secolo (e la frequenza corrispondente), in ordinata il numero di secoli caratterizzati dal valore X.

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Eventi casuali uniformi nel tempoALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI

b) Distribuzione degli intervalli di tempoE’ stato ricavato tmedio dall’inverso della frequenza. Lo stesso valore si trova facendo la somma degli intervallo di tempo t1, t2, …t198 fra un evento SI ed il successivo e dividendola per il numero di eventi.

Essendo tmedio un valore medio, gli intervalli siano disposti attorno a questo, ancora secondo una distribuzione simmetrica: nel caso considerato si potrebbero aspettare molti intervalli di 10 anni, un po’meno di 9 e 11, ancor meno di 8 e 12, e così via.

La legge afferma invece che la distribuzione degli intervalli di tempo èuna funzione decrescente.

In effetti la distribuzione del numero degli intervalli non può essere simmetrica, ma decrescente: essendo fissato tmedio, per ogni ti >> tmediodevono esserci più valori con ti < tmedio.

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Le due leggi sono ben note nel calcolo delle probabilità: se l’apparizione degli eventi è casuale uniforme la distribuzione delle frequenze è data da una funzione poissoniana e quella degli intervalli di tempo fra un evento ed il successivo da una funzione esponenziale negativa.

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Eventi casuali non uniformi nel tempo

La maggior parte dei sistemi e dei componenti tecnici mostrano durante certi periodi della loro vita ratei variabili: si hanno ancora eventi accidentali, guasti per esempio, ma con rateo o decrescente o crescente con l’età.

E’ molto comune per auto, televisori, sistemi di allarme … un andamento del rateo di guasto che mostra un tratto che scende rapidamente, più piatto, poi in salita sempre più accentuata. Agli intervalli corrispondono:

I. il rodaggio

II. la vita utile

III. l’usuraCors

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OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDOLa valutazione dei danni, sia a priori sia a posteriori, è attuata nel

campo assicurativo attraverso criteri prefissati di monetizzazione. I rischi facilmente assicurabili non sono quelli che si verificanoraramente, perché questi mettono in gioco grandi valori concentrati su un mercato ristretto: essi impediscono il funzionamento della legge dei grandi numeri.

Nella nostra trattazione interessano gli eventi che si verificano raramente: i problemi sono numerosi, e tra questi:

a. Misurare la magnitudo scegliendo come unità di misura una vittima

b. Ambiguità di considerare insieme, e con la stessa unità di misura, effetti immediati e a lungo termine

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OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDOa.

Nella valutazione probabilistica del rischio la magnitudo deve essere determinata per un avvenimento previsto futuro, necessariamente affetto da incertezze.

Accanto a questa difficoltà di principio, ne esiste un’altra, presente anche per un evento già accaduto, relativa al problema di “pesare” le diverse conseguenze (feriti, morti, distruzione di cose) per attribuire un valore numerico alla magnitudo. Vi sono poi danni difficilmente valutabili, ma spesso gravi (disagio dello sfollamento, sospensione di attività). Entrano in gioco anche fattori psicologici.

Per questo motivo spesso non c’è accordo nello stabilire una graduatoria si magnitudo delle conseguenze.Co

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OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDOb.

Le due affermazioni:

Il terremoto uccide 10.000 persone

Il fumo ha ucciso 50.000 persone

Nel primo caso un terremoto ha causato in una zona abitata un gran numero di vittime: ci saranno anche case distrutte, servizi interrotti ecc…

La seconda affermazione evidenzia un fenomeno del tutto diverso:non si è mai visto stramazzare a terra nessuno perché avena una sigaretta in bocca. Semmai l’abuso di tabacco provoca una riduzione della speranza di vita.Co

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