universitas indonesia pelabelan jumlah eksklusif …lib.ui.ac.id/file?file=digital/20297873-t30010 -...
TRANSCRIPT
UNIVERSITAS INDONESIA
PELABELAN JUMLAH EKSKLUSIF PADA GRAF TANGGA,
GABUNGAN GRAF TANGGA, DAN GRAF KAKI SERIBU
TESIS
M. HARYONO
1006786165
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA
DEPOK
JANUARI 2012
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
UNIVERSITAS INDONESIA
PELABELAN JUMLAH EKSKLUSIF PADA GRAF TANGGA, GABUNGAN GRAF TANGGA, DAN GRAF KAKI SERIBU
TESIS
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
M. HARYONO 1006786165
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
ii
HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS
Tesis ini adalah hasil karya sendiri,
dan semua sumber yang dikutip maupun dirujuk
telah saya nyatakan dengan benar
Nama : M. Haryono
NPM : 1006786165
Tanda tangan : ......................................
Tanggal : 05 Januari 2012
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi ini diajukan oleh : Nama : M. Haryono NPM : 1006768165 Program Studi : Magister Matematika Judul Skripsi : Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga, Gabungan
Graf Tangga, dan Graf Kaki Seribu.
Telah berhasil dipertahankan di hadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Indonesia
DEWAN PENGUJI
Pembimbing I : Dr. Kiki Ariyanti Sugeng (...............................) Pembimbing II : Dra. Denny Riama Silaban, M. Kom (...............................) Penguji 1 : Dr. Gatot Hartono (...............................) Penguji 2 : Dr. Rer.nat. Hendri Murfi, M. Kom (...............................) Penguji 3 : Arie Wibowo, M. Si (...............................) Ditetapkan di : Depok Tanggal : 05 Januari 2012
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat
dan rahmat-Nya, saya dapat menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan
dalam rangka memenuhi salah satu syarat untuk mencapai gelar Magister Sains
Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indonesia. Saya menyadari bahwa, tanpa bantuan dan bimbingan dari
berbagai pihak, dari masa perkuliahan sampai pada penyusunan tesis ini,
sangatlah sulit bagi saya untuk menyelesaikan tesis ini. Oleh karena itu, saya
mengucapkan terima kasih kepada:
(1) Dr. Kiki Ariyanti Sugeng dan Dra. Denny Riama Silaban, M. Kom, selaku
dosen Pembimbing I dan II yang telah menyediakan waktu, tenaga, dan
pikiran untuk memberikan nasihat, bantuan, masukan dan dorongan
semangat kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini;
(2) Dinas Pendidikan Nasional Provinsi Jambi yang telah memberikan bantuan
berupa beasiswa untuk menempuh pendidikan di Universitas Indonesia;
(3) Prof. Dr. Djati Kerami selaku Ketua Program Magister Matematika yang
telah banyak memberikan arahan kepada penulis selama menyelesaikan
proses studi;
(4) Dr. rer.nat. Hendri Murfi, M. Kom, selaku Pembimbing Akademik;
(5) Dr. Yudi Satria, M.T, selaku ketua Departemen Matematika FMIPA UI dan
Rahmi Rusin S. Si, M. Sc.Tech, selaku Sekretaris Departemen Matematika
FMIPA UI;
(6) Seluruh staf pengajar di Program Magister Matematika FMIPA UI, yang
tidak mungkin disebutkan satu persatu, atas arahan, bimbingan, dan ilmu
pengetahuan yang telah diberikan selama perkuliahan;
(7) Istriku tercinta Sarmi, S.PdI, Anakku tersayang M. ‘Ulwan dan Rofifah
Sholehah atas segala dukungan dan senantiasa mendoakan dengan ikhlas;
(8) Ibu Sarni dan Bapak Sarpin semoga Allah menerima segala amal kebaikan
beliau berdua;
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
v
(9) Kang Syukur, Yu Komari, Yu Konipah, Kang Suhud, Kang Sabari,
Kalimah dan keluarga, terima kasih atas dukungannya;
(10) Drs. Edy Purwanta, M.Pd selaku Kepala Sekolah dan seluruh civitas
akedemika SMA Titian Teras yang telah mendukung untuk mengikuti
program Magister di Universitas Indonesia;
(11) Mas Susilo, Mas Mulyadi, Mas Ayin, Bang Zulfi, Bang Supri, Mas Huda,
Pak Salim, Piter John, Debby Sanjaya, dan semua kawan-kawan S2
angkatan 2010 yang tidak disebut satu persatu namanya, terima kasih atas
dukungan dan bantuanya.
Akhir kata, saya berharap Allah SWT. berkenan membalas segala kebaikan
semua pihak yang telah membantu. Semoga tesis ini membawa manfaat bagi
pengembangan ilmu.
Depok, 05 Januari 2012
Penulis
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
vi
HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Sebagai sivitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : M. Haryono NPM : 1006768165 Program Studi : Magister Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jenis karya : Tesis Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Indonesia Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalty-Free Right) atas karya ilmiah saya yang berjudul: Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga, Gabungan Graf Tangga, dan Graf Kaki Seribu beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Noneksklusif ini Universitas Indonesia berhak menyimpan, mengalihmedia/ format-kan, mengelola dalam bentuk pangkalan data (database), merawat, dan mempublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di : Depok Pada tanggal : 05 Januari 2012
Yang menyatakan (M. Haryono)
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
ABSTRAK
Nama : M. Haryono Program studi : Magister Matematika Judul : Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga, Gabungan Graf
Tangga, dan Graf Kaki Seribu. Suatu graf tak berarah sederhana 퐺 = (푉,퐸) dikatakan graf jumlah jika terdapat pelabelan 푓 yaitu pemetaan injektif dari 푉 ke himpunan bulat positif 푆 sehingga 푢푣 ∈ 퐸 jika dan hanya jika terdapat simpul 푤 sedemikian sehingga 푓(푤) =푓(푢) + 푓(푣), 푤 ∈ 푉 ∪ 퐼, dengan I himpunan simpul terisolasi. Dalam hal ini 푤 disebut simpul bekerja. Jika 푤 simpul terisolasi, maka pelabelan jumlah 푓 disebut pelabelan jumlah eksklusif. Banyak minimum dari simpul-simpul terisolasi disebut dengan bilangan jumlah eksklusif dan dinotasikan dengan 휀(퐺). Derajat maksimum suatu graf adalah banyaknya busur maksimal yang hadir pada suatu simpul pada graf dan dinotasikan dengan ∆(퐺). Jika 휀(퐺) = ∆(퐺), maka dikatakan 휀(퐺) adalah bilangan jumlah eksklusif optimum dari graf 퐺. Pada tesis ini ditunjukkan bilangan jumlah eksklusif optimum dari graf tangga 휀(퐿 ) = 3, gabungan 푚 graf tangga yang isomorfik 휀(푚퐿 ) = 3, gabungan beberapa graf tangga tak perlu isomorfik 휀 ⋃ 퐿 = 3, dan graf kaki seribu 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 3 + 푟 Kata Kunci : graf jumlah, graf tangga, gabungan graf tangga, graf kaki seribu, pelabelan jumlah, pelabelan jumlah eksklusif. xi + 42 halaman; 28 gambar; 1 tabel Daftar Referensi : 10 (1989-2011)
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
ABSTRACT
Name : M. Haryono Study Program : Magister Mathematics Title : Exclusive Sum Labeling of Ladder Graph, Union of Ladder
Graph, and Centipede graph. A graph 퐺 = (푉,퐸) is called sum graph if there is an injective labeling called sum labeling 푓 from 푉 to a set of distinct positive integer 푆 such that 푢푣 ∈ 퐸 if only if there is a vertex 푤 such that 푓(푤) = 푓(푢) + 푓(푣), 푤 ∈ 푉 ∪ 퐼 where I is the set of isolated vertices. In this case 푤 is called working vertex. If all working vertices are isolated vertices then the labeling is called exclusive sum labeling. A sum number of 퐺 is the smallest number of isolated vertices such that there exists an exclusive sum labeling 푓 which realizes 퐺 ∪ 퐼 as a sum graph. A sum number is denoted by 휀(퐺). The maximum degree of vertex in graph is denoted ∆(퐺). If 휀(퐺) = ∆(퐺), then 퐺 is called 휀(퐺) optimum exclusive sum labelling of 퐺. In this thesis will show optimum exclusive sum labeling of ladder graphs 휀(퐿 ) = 3, union of 푚 isomorphic ladder graphs 휀(푚퐿 ) = 3, and union of 푚 non isomorphic ladder graphs 휀 ⋃ 퐿 = 3 and centipede graphs 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) =3 + 푟. Key words : sum graph, ladder graph, union of adder graphs, centipede
graph, sum labelling, exclusive sum labelling. xi + 42 pages; 28 pictures; 1 table Bibliography : 10 (1989-2011)
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
vii Universitas Indonesia
ABSTRAK
Nama : M. Haryono Program studi : Magister Matematika Judul : Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga, Gabungan Graf
Tangga, dan Graf Kaki Seribu. Suatu graf tak berarah sederhana 퐺 = (푉,퐸) dikatakan graf jumlah jika terdapat pelabelan 푓 yaitu pemetaan injektif dari 푉 ke himpunan bulat positif 푆 sehingga 푢푣 ∈ 퐸 jika dan hanya jika terdapat simpul 푤 sedemikian sehingga 푓(푤) =푓(푢) + 푓(푣), 푤 ∈ 푉 ∪ 퐼, dengan I himpunan simpul terisolasi. Dalam hal ini 푤 disebut simpul bekerja. Jika 푤 simpul terisolasi, maka pelabelan jumlah 푓 disebut pelabelan jumlah eksklusif. Banyak minimum dari simpul-simpul terisolasi disebut dengan bilangan jumlah eksklusif dan dinotasikan dengan 휀(퐺). Derajat maksimum suatu graf adalah banyaknya busur maksimal yang hadir pada suatu simpul pada graf dan dinotasikan dengan ∆(퐺). Jika 휀(퐺) = ∆(퐺), maka dikatakan 휀(퐺) adalah bilangan jumlah eksklusif optimum dari graf 퐺. Pada tesis ini ditunjukkan bilangan jumlah eksklusif optimum dari graf tangga 휀(퐿 ) = 3, gabungan 푚 graf tangga yang isomorfik 휀(푚퐿 ) = 3, gabungan beberapa graf tangga tak perlu isomorfik 휀 ⋃ 퐿 = 3, dan graf kaki seribu 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 3 + 푟 Kata Kunci : graf jumlah, graf tangga, gabungan graf tangga, graf kaki seribu, pelabelan jumlah, pelabelan jumlah eksklusif. xi + 42 halaman; 28 gambar; 1 tabel Daftar Referensi : 10 (1989-2011)
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
viii Universitas Indonesia
ABSTRACT
Name : M. Haryono Study Program : Magister Mathematics Title : Exclusive Sum Labeling of Ladder Graph, Union of Ladder
Graph, and Centipede graph. A graph 퐺 = (푉,퐸) is called sum graph if there is an injective labeling called sum labeling 푓 from 푉 to a set of distinct positive integer 푆 such that 푢푣 ∈ 퐸 if only if there is a vertex 푤 such that 푓(푤) = 푓(푢) + 푓(푣), 푤 ∈ 푉 ∪ 퐼 where I is the set of isolated vertices. In this case 푤 is called working vertex. If all working vertices are isolated vertices then the labeling is called exclusive sum labeling. A sum number of 퐺 is the smallest number of isolated vertices such that there exists an exclusive sum labeling 푓 which realizes 퐺 ∪ 퐼 as a sum graph. A sum number is denoted by 휀(퐺). The maximum degree of vertex in graph is denoted ∆(퐺). If 휀(퐺) = ∆(퐺), then 퐺 is called 휀(퐺) optimum exclusive sum labelling of 퐺. In this thesis will show optimum exclusive sum labeling of ladder graphs 휀(퐿 ) = 3, union of 푚 isomorphic ladder graphs 휀(푚퐿 ) = 3, and union of 푚 non isomorphic ladder graphs 휀 ⋃ 퐿 = 3 and centipede graphs 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) =3 + 푟. Key words : sum graph, ladder graph, union of adder graphs, centipede
graph, sum labelling, exclusive sum labelling. xi + 42 pages; 28 pictures; 1 table Bibliography : 10 (1989-2011)
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
ix Universitas Indonesia
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...................................................................................... i HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ............................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................ iii KATA PENGANTAR ....................................................................................iv HALAMAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ...................................vi ABSTRAK ................................................................................................. vii DAFTAR ISI .................................................................................................ix DAFTAR TABEL .......................................................................................... x DAFTAR GAMBAR ....................................................................................xi BAB 1 PENDAHULUAN............................................................................... 1
1.1 Latar belakang ............................................................................... 1 1.2 Masalah penelitian ......................................................................... 2 1.3 Tujuan penelitian ........................................................................... 2 1.4 Metode penelitian .......................................................................... 3
BAB 2 GRAF, PELABELAN JUMLAH, DAN PELABELAN JUMLAH EKSKLUSIF ......................................................................................... 4
2.1 Pengertian Graf dan Istilah-istilah .................................................. 4 2.2 Jenis-jenis Graf .............................................................................. 7 2.3 Pelabelan Jumlah dan Pelabelan Jumlah Eksklusif ....................... 10
BAB 3 PELABELAN JUMLAH EKSKLUSIF GRAF TANGGA, GABUNGAN GRAF TANGGA, DAN GRAF KAKI SERIBU ........ 15
3.1 Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga ............................. 15 3.2 Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Gabungan Graf Tangga ............ 20 3.3 Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Kaki Seribu ...................... 28
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN ......................................................... 41
4.1 Kesimpulan ................................................................................. 41 4.2 Saran ........................................................................................... 41
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 42
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
x Universitas Indonesia
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Rangkuman Bilangan Jumlah dan Bilangan Jumlah Eksklusif ...........12
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
xi Universitas Indonesia
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1. Jaringan transportasi antar kota ................................................ 4 Gambar 2.2. Graf Lintasan ............................................................................ 6 Gambar 2.3. Graf Lingkaran .......................................................................... 6 Gambar 2.4. Graf lengkap ............................................................................. 6 Gambar 2.5. Komplemen Graf Lengkap ........................................................ 7 Gambar 2.6. Gabungan dua Graf tak isomorfik .............................................. 7 Gambar 2.7. Gabungan dua Graf isomorfik ................................................... 7 Gambar 2.8. Graf Hasilkali Kartesian ............................................................ 8 Gambar 2.9. Graf tangga ...................................................................................... 9 Gambar 2.10. Gabungan graf tangga isomorfik ............................................... 9 Gambar 2.11. Graf produk korona ................................................................. 10 Gambar 2.12. Graf Kaki Seribu ..................................................................... 10 Gambar 2.13. Pelabelan jumlah pada graf lintasan ......................................... 11 Gambar 2.14. Pelabelan jumlah ekklusif pada graf lintasan ........................... 11 Gambar 3.1. Konstruksi notasi simpul Graf Tangga ..................................... 14 Gambar 3.2. Contoh pelabelan jumlah eksklusif Graf Tangga dengan 푑 ≡ 2 mod 4 .......................................................................... 19 Gambar 3.3. Contoh pelabelan jumlah eksklusif Graf Tangga dengan 푑 ≡ 0 mod 4 .......................................................................... 19 Gambar 3.4. Konstruksi notasi simpul Gabungan Graf Tangga .................... 20 Gambar 3.5. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Gabungan Graf Tangga yang isomorfik dengan 푑 ≡ 2 mod 4 .................. 25 Gambar 3.6. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Gabungan Graf Tangga yang isomorfik dengan 푑 ≡ 0 mod 4 .................. 25 Gambar 3.7. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Gabungan Graf Tangga tak perlu isomorfik dengan 푑 ≡ 2 mod 4 ........... 26 Gambar 3.8. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Gabungan Graf Tangga tak perlu isomorfik dengan 푑 ≡ 0 mod 4 ........... 27 Gambar 3.9. Konstruksi notasi simpul Graf kaki seribu ............................. 28 Gambar 3.10. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Graf Kaki Seribu dengan 푑 ≡ 2 mod 4 .................................. 32 Gambar 3.11. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Graf Kaki Seribu dengan 푑 ≡ 0 mod 4 ................................. 32 Gambar 3.12. Konstruksi notasi simpul Graf Kaki Seribu ............................ 33 Gambar 3.13. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Graf Kaki Seribu dengan 푑 ≡ 2 mod 4 .................................. 39 Gambar 3.14. Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada Graf Kaki Seribu dengan 푑 ≡ 0 mod 4 .................................. 40
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
1
Universitas Indonesia
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu graf 퐺 = (푉,퐸) terdiri dari 푉, suatu himpunan tak kosong simpul-
simpul (vertices) dan 퐸 adalah suatu himpunan busur-busur (edges). Setiap busur
memiliki satu atau dua simpul dihubungkan dengannya, disebut dengan simpul
ujung (endpoint). Busur menghubungkan setiap simpul-simpul ujung (Rosen,
2007).
Model graf dapat digunakan untuk menunjukkan perjalanan dalam kota
dengan tidak dilalui dua kali, digunakan untuk menunjukkan banyak warna pada
pewarnaan peta, untuk menunjukkan antara dua senyawa yang berbeda yang
memiliki rumus formula yang sama namun struktur yang digunakan berbeda,
jaringan antara komputer dalam model jaringan komunikasi, menemukan jalan
terpendek antara dua kota pada suatu jaringan transportasi, untuk mengevaluasi
dan menguji jaringan stasiun televisi (Rosen, 2007).
Pelabelan pada graf 퐺 adalah pemberian nilai bilangan bulat ke simpul-
simpul atau busur-busur atau keduanya dengan aturan tertentu (Gallian, 2010).
Jika domain pelabelan hanya himpunan simpul pada graf 퐺 disebut pelabelan
simpul. Jika pelabelan hanya pemetaan dari busur pada graf 퐺 ke bilangan bulat
positif, maka disebut pelabelan busur. Dan bila pelabelan merupakan pemetaan
dari himpunan busur dan himpunan simpul sekaligus ke himpunan bilangan bulat
positif maka disebut pelabelan total (Bača and Miller, 2009).
Pelabelan diklasifikasikan dalam beberapa jenis, antara lain pelabelan ajaib,
pelabelan anti ajaib, pelabelan graceful, skolem graceful, pelabelan jumlah,
pelabelan jumlah eksklusif (Gallian, 2010).
Suatu pelabelan jumlah 푓 graf 퐺 adalah pemetaan dari simpul-simpul pada 퐺
ke bilangan bulat positif sedemikian sehingga 푢푣 ∈ 퐸 jika dan hanya jika jumlah
dari label simpul 푢 dan 푣 adalah label simpul 푤 pada 퐺. Dalam hal ini 푤 disebut
simpul bekerja. Suatu graf yang memiliki pelabelan jumlah disebut graf jumlah.
Sebarang graf jumlah 퐺 akan memerlukan beberapa simpul-simpul terisolasi
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
2
Universitas Indonesia
(Tuga, dkk., 2005). Banyak minimal dari simpul-simpul terisolasi yang perlu di-
tambahkan agar diperoleh graf jumlah disebut bilangan jumlah, dan dinotasikan
dengan 휎(퐺). Banyak minimal simpul yang ditambahkan agar pelabelan jumlah 푓
disebut pelabelan jumlah eksklusif disebut bilangan jumlah eksklusif dan dinota-
sikan dengan 휀(퐺) (Miller, dkk., 2005).
Pelabelan jumlah dari graf 퐺 ∪ 퐾 untuk 푟 ∈ 푍 disebut pelabelan jumlah
eksklusif terhadap graf 퐺 jika semua simpul bekerja anggota 퐾 . Setiap graf dapat
dilakukan menjadi graf jumlah eksklusif dengan menambahkan beberapa simpul
terisolasi (Tuga, dkk., 2005).
Pembahasan pelabelan graf memberikan suatu tantangan dan memungkinkan
untuk bisa menemukan pelabelan pada graf yang belum diketahui pelabelannya
dengan memberikan label lain pada simpul-simpul dan atau busur-busur graf yang
telah ada sehingga diperoleh label yang lain dari suatu graf.
Dari pengkajian pelabelan jumlah eksklusif pada graf tangga timbul motivasi
untuk menemukan konstruksi pelabelan khususnya pelabelan jumlah eksklusif
pada modifikasi graf tangga yang belum ada pada rangkuman yang dilakukan
oleh Gallian (2010).
1.2 Permasalahan
Berdasarkan latar belakang diatas maka permasalahan dalam penelitian ini
adalah bagaimana menemukan konstruksi pelabelan jumlah eksklusif pada graf
tangga, gabungan graf tangga, dan graf kaki seribu.
1.3 Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang dan permasalahan di atas, tujuan penelitian ini
adalah untuk
1) mengkonstruksi pelabelan jumlah eksklusif graf tangga, gabungan graf
tangga, dan graf kaki seribu.
2) menentukan bilangan jumlah eksklusif pada graf tangga, gabungan graf
tangga, dan graf kaki seribu.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
3
Universitas Indonesia
3) menunjukkan bilangan jumlah eksklusif graf tangga, gabungan graf tangga,
dan graf kaki seribu adalah optimal.
1.4 Metode Penelitian
Penelitian dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan
dalam bentuk buku, tesis ataupun paper yang relevan dengan topik penelitian.
Hasil pengkajian dilanjutkan dengan mengkonstruksi pelabelan jumlah eksklusif
untuk beberapa kelas graf yang diperoleh dari modifikasi graf tangga antara lain
gabungan graf tangga isomorfik, gabungan graf tangga tak isomorfik, dan graf
kaki seribu.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
4
Universitas Indonesia
BAB 2
GRAF, PELABELAN JUMLAH, DAN PELABELAN JUMLAH
EKSKLUSIF
Pada bab ini definisi dan istilah graf sebagian besar berdasarkan pada Rosen
(2007).
2.1 Pengertian Graf dan Istilah-istilah
Graf merupakan struktur diskrit yang mengandung simpul dan busur yang
menghubungkan simpul-simpul. Banyak persoalan dapat dimodelkan dengan graf.
Sebagai contoh, graf dapat menggambarkan hubungan kompetisi dari spesies yang
berbeda dalam suatu rantai makanan dalam suatu ekologi, graf dapat
menunjukkan pengaruh seseorang pada suatu organisasi. Graf juga dapat
menunjukan hubungan antara manusia, kolaborasi penelitian, banyaknya
sambungan telpon, hubungan antar wesite, model peta transportasi, dan skema
penugasan kepada karyawan dalam suatu organisasi/ perusahaan.
Bentuk graf dari jaringan transportasi ditunjukkan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Jaringan transportasi antar beberapa kota
Suatu graf 퐺 = (푉,퐸) terdiri dari 푉, suatu himpunan tak kosong simpul-
simpul (vertices) dan 퐸 adalah suatu himpunan busur-busur (edges). Setiap busur
memiliki satu atau dua simpul yang dihubungkan olehnya, yang disebut simpul
ujung (endpoints). Loop adalah busur yang menghubungkan simpul ke dirinya
sendiri. Suatu graf dengan himpunan simpul 푉 tak berhingga (infinite) disebut
Jambi
Palembang
Lampung Jakarta
Solo Yogyakarta
Semarang
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
5
Universitas Indonesia
graf tak berhingga, dan graf dengan himpunan simpul 푉 berhingga (finite)
disebut graf berhingga (Rosen, 2007).
Suatu Graf yang setiap busurnya menghubungkan dua simpul berbeda atau
tidak ada dua busur yang menghubungkan dua pasangan simpul yang sama
disebut graf sederhana (simple graphs). Graf yang memiliki banyak busur yang
menghubungkan pasangan simpul yang sama disebut multigraphs.
Dua simpul 푢 dan 푣 dikatakan bertetangga (adjacent) pada graf tak berarah
퐺 jika 푢푣 adalah busur di 퐺. Jika 푒 = 푢푣, busur 푒 disebut saling hadir (incident)
dengan simpul 푢 dan simpul 푣. Busur 푒 juga disebut menghubungkan 푢 dan 푣.
Setiap busur menghubungkan satu atau lebih simpul-simpul. Simpul-simpul
tersebut disebut titik ujung (endpoint). Derajat (degree) pada graf tak berarah 퐺
adalah banyaknya busur yang hadir pada simpul tersebut dan dinotasikan dengan
푑푒푔(푣). Derajat tertinggi suatu graf 퐺 dinotasikan dengan ∆(퐺) yang menyatakan
jumlah terbanyak busur yang hadir pada suatu simpul, sedangkan derajat terkecil
suatu graf 퐺 dinotasikan dengan 훿(퐺) yang menyatakan jumlah terkecil busur
yang hadir pada suatu simpul di graf 퐺.
Suatu simpul yang memiliki derajat nol disebut simpul terisolasi (isolated
vertices). Sedangkan simpul yang berderajat satu dan hanya satu disebut daun
(pendant), hal ini berakibat simpul tersebut bertetangga tepat dengan satu simpul
lain.
Graf dengan busur-busur tidak diberikan tanda arah disebut graf tak berarah
(undirected graph). Graf berarah (directed graph) 퐺 = (푉,퐸) mengandung
himpunan 푉 dan himpunan busur berarah 퐸. Setiap busur menyatakan pasangan
berurut simpul-simpul. Dan arahnya menyatakan pasangan berurut (푢,푣), 푢
disebut awal (star) dan 푣 disebut akhir (end).
Graf sederhana 퐺 = (푉 ,퐸 ) dan 퐺 = (푉 ,퐸 ) dikatakan isomorfik jika
terdapat fungsi 푓 satu-satu dari 푉 pada 푉 dengan syarat 푎 dan 푏 bertetangga di
퐺 jika dan hanya jika 푓(푎) dan 푓(푏) bertetangga di 퐺 , untuk setiap 푎 dan 푏 di
푉 . Dua graf yang isomorfik memiliki banyak simpul-simpul yang sama, karena
terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan simpul-simpul pada graf.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
6
Universitas Indonesia
2.2 Jenis-Jenis Graf Sederhana
Pada penjelasan ini akan disampaikan beberapa jenis-jenis graf sederhana,
dan sebagian besar istilah dan definisi diambil dari Rosen (2007), antara lain
Graf Lintasan 푃 , untuk 푛 ≥ 2, mengandung 푛 simpul 푣 , 푣 , 푣 , … ,
푣 , 푣 dan busur-busur 푣 푣 , 푣 푣 , 푣 푣 , … , 푣 푣 . Contoh graf lintasan 푃
ditunjukkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Graf lintasan 푃 .
Graf lingkaran (Cycle Graph) 퐶 , untuk 푛 ≥ 3, mengandung 푛 simpul
푣 ,푣 , 푣 , … , 푣 ,푣 dan busur-busur 푣 푣 , 푣 푣 , 푣 푣 , … ,푣 푣 dan 푣 푣 .
Contoh graf lingkaran 퐶 , untuk 푛 = 3, 4, 5, 6 ditunjukkan pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Graf lingkaran 퐶 , untuk 3 ≤ 푛 ≤ 6
Graf lengkap memiliki 푛 simpul, dinotasikan dengan 퐾 , yaitu graf
sederhana yang menngandung tepat satu busur antara pasangan simpul yang
berberda. Gambar 2.4 adalah contoh graf lengkap 퐾 , 푛 = 3,4,5.
Gambar 2.4. Graf lengkap 퐾 , 푛 = 3,4,5
퐾 퐾 퐾
C3 C4 C5 C6
푣 푣 푣 푣 푣 푣
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
7
Universitas Indonesia
Komplemen graf dari graf 퐺 dinotasikan dengan 퐺̅ juga memiliki himpunan
simpul 푉(퐺), tetapi dua simpul bertetangga di 퐺̅ jika dan hanya jika mereka tidak
bertetangga di 퐺. Gambar 2.5 menunjukkan contoh graf 퐾 dan graf 퐾 .
Gambar 2.5. Graf 퐾 dan graf 퐾
Gabungan dari dua graf sederhana 퐺 = (푉 ,퐸 ) dan 퐺 = (푉 ,퐸 ), adalah
graf sederhana dengan himpunan simpul 푉 ∪ 푉 dan himpunan busur 퐸 ∪ 퐸 .
Gabungan dari 퐺 dan 퐺 dinotasikan dengan 퐺 ∪ 퐺
Gambar 2.6 menunjukkan contoh graf gabungan 퐺 = 퐺 ∪ 퐺
Gambar 2.6. Gabungan Graf 퐶 ∪ 퐶
Untuk gabungan graf yang isomorfik 퐺 ∪ 퐺 ∪ …∪ 퐺 sebanyak 푚
dinotasikan sebagai 푚퐺 , 푚 ∈ 푍 . Contoh gabungan 3 graf lingkaran 3퐶
ditunjukkan pada Gambar 2.7.
Gambar 2.7. Gabungan 3 Graf Lingkaran 3퐶
Harary (1995) mendefinsikan bahwa hasil kali kartesian (cartesian
product) dua graf 퐺 = (푉,퐸) dan 퐻 = (푉,퐸), adalah graf dengan himpunan
퐶
퐶 퐶 ∪ 퐶
퐾 퐾
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
8
Universitas Indonesia
simpul-simpul 푉(퐺) × 푉(퐻) dengan syarat simpul (푢, 푣) bertetangga dengan
simpul (푢 ,푣 ) jika dan hanya jika
푢 = 푢 dan 푣푣′ ∈ 퐸(퐻)
atau
푣 = 푣 dan 푢푢′ ∈ 퐸(퐺)
Gambar 2.8 merupakan contoh graf hasil kali kartesian
Gambar 2.8. Graf Hasil kali Kartesian 푃 × 퐶
dimana, 푉(푃 ) = {푢1, 푢2}, 퐸(푃 ) = {푢1푢2}, 푉(퐶 ) = {푣1 , 푣2 , 푣2}, dan 퐸(퐶 ) ={푣 푣 , 푣 푣 , 푣 푣 }. Himpunan simpul-simpul pada Gambar 2.8 dapat dinyatakan
sebagai 푉(푃 × 퐶 ) = {(푢1, 푣1), (푢1, 푣2), (푢1,푣3), (푢2, 푣1), (푢2, 푣2), (푢2, 푣3)}.
Sesuai definisi simpul (푢 , 푣 ) dan simpul (푢 , 푣 ) bertetangga, karena 푢 = 푢 dan
푣 푣 ∈ 퐸(퐶3), simpul (푢 , 푣 ) dan simpul (푢 ,푣 ) bertetangga, karena 푢 = 푢 dan
푣 푣 ∈ 퐸(퐶3), simpul (푢 , 푣 ) dan simpul (푢 , 푣 ) bertetangga, karena 푢 = 푢 dan
푣 푢 ∈ 퐸(퐶3), simpul (푢 , 푣 ) dan simpul (푢 ,푣 ) bertetangga, karena 푣 = 푣 dan
푢 푢 ∈ 퐸(푃2), simpul (푢 ,푣 ) dan simpul (푢 ,푣 ) bertetangga, karena 푣 = 푣 dan
푢 푢 ∈ 퐸(푃2), simpul (푢 ,푣 ) dan simpul (푢 ,푣 ) bertetangga, karena 푣 = 푣 dan
푢 푢 ∈ 퐸(푃2).
Graf tangga merupakan graf hasil kali kartesian dari graf 푃 dan 푃 . Yang
selanjutnya 푃 × 푃 dinotasikan dengan 퐿 , dan selanjutnya disebut graf tangga.
Sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.9 berikut:
×
푃 퐶
푢
푢 푣 푣
푣
(푢 ,푣 )
(푢 ,푣 )
(푢 ,푣 )
(푢 , 푣 )
(푢 , 푣 )
(푢 , 푣 )
푃 × 퐶
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
9
Universitas Indonesia
Gambar 2.9. Graf tangga 퐿 , untuk 3 ≤ 푛 ≤ 5
Gabungan graf tangga 퐿 sebanyak 푚 yang isomorfik dinotasikan dengan
푚퐿 , sebagai mana ditunjukkan pada Gambar 2.10.
Gambar 2.10. Graf tangga 4퐿 .
Produk korona (corona product) dua graf 퐺 dan 퐺 dilambangkan dengan
퐺 ⊙퐺 didefinisikan sebagai graf 퐺 yang diperoleh dengan meletakkan
penggandaan simpul graf 퐺 yang memiliki 푝 simpul sebanyak simpul graf 퐺 ,
kemudian menghubungkan penggandaan simpul ke-푖 dari 퐺 ke setiap simpul ke-
푖 di 퐺 (Harary, 1995).
Diberikan 퐿 (graf tangga) dan 푃 (graf lintasan) maka graf produk korona
퐺 = 퐿 ⊙ 푃 dan 퐺 = 푃 ⊙ 퐿 ditunjukkan pada Gambar 2.11.
L3 L4
L5
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
10
Universitas Indonesia
Gambar 2.11. Graf (a) 퐿 ⊙ 푃 dan (b) 푃 ⊙ 퐿
Graf kaki seribu merupakan graf korona 퐿 dengan komplemen graf
lengkap 퐾 dan dinotasikan 퐿 ⊙ 퐾 . Graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 ditunjukkan pada
Gambar 2.12 berikut
Gambar 2.12 Graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾
Dalam tesis ini dibahas pelabelan jumlah eksklusif pada graf tangga,
gabungan graf tangga , dan graf kaki seribu.
2.3 Pelabelan Jumlah dan Pelabelan Jumlah Eksklusif
Suatu graf tak berarah sederhana 퐺 = (푉,퐸) dikatakan graf jumlah (sum
graph) jika terdapat pelabelan 푓 yaitu pemetaan injektif dari 푉 ke himpunan bulat
positif 푆 sehingga 푢푣 ∈ 퐸 jika dan hanya jika terdapat simpul 푤 sedemikian
. . .
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
(b) (a)
퐿 푃
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
11
Universitas Indonesia
sehingga 푓(푤) = 푓(푢) + 푓(푣), 푤 ∈ 푉 ∪ 퐼 dengan I himpunan simpul terisolasi.
Simpul 푤 disebut simpul bekerja. Jika semua simpul bekerja merupakan simpul
terisolasi maka pelabelan jumlah 푓 disebut pelabelan jumlah eksklusif. Banyak
minimal dari simpul-simpul terisolasi yang perlu ditambahkan agar diperoleh graf
jumlah disebut bilangan jumlah, dan dinotasikan dengan 휎(퐺). Banyak minimal
yang ditambahkan agar pelabelan jumlah 푓 disebut pelabelan jumlah eksklusif
disebut bilangan jumlah eksklusif dan dinotasikan dengan 휀(퐺) (Miller, dkk.,
2005).
Misalkan ∆(퐺) menyatakan derajat tertinggi simpul-simpul pada graf 퐺,
maka 휀(퐺) ≥ ∆(퐺). Jika 휀(퐺) = ∆(퐺), 휀(퐺) disebut bilangan eksklusif optimal
(Tuga, dkk., 2005).
Gambar 2.13 merupakan contoh graf jumlah dengan bilangan jumlah graf
lintasan 휎(푃 ) =1.
Gambar 2.13. Pelabelan jumlah pada graf lintasan, dengan 휎(푃 ) = 1.
Pelabelan jumlah eksklusif ditunjukkan pada contoh Gambar 2.14 dengan
bilangan jumlah eksklusif graf lintasan 휀(푃 ) = 2.
Gambar 2.14. Pelabelan jumlah ekklusif pada graf lintasan, 휀(푃 ) = 2.
Sebarang graf 퐺 dapat dibentuk menjadi graf jumlah dengan menambahkan
satu atau lebih simpul terisolasi, jika diperlukan. Simpul dengan label tertinggi
tidak dapat dihubungkan dengan simpul lain. Akibatnya graf jumlah akan
memiliki paling sedikit satu simpul terisolasi.
3 17 5 15 7 13 9 11 20
22
1 2 3 5 8 13 21 34 55
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
12
Universitas Indonesia
Miller, dkk. (2005) menjelaskan bahwa Harary memperkenalkan konsep graf
jumlah di tahun 1990, setelah itu peneliti-peneliti telah menemukan pelabelan
jumlah dari beberapa jenis graf. Kemudian Miller, dkk. (2005) juga menemukan
ide pelabelan jumlah eksklusif sebagai perluasan dari pelabelan jumlah.
Miller, dkk. (2005) telah merangkum beberapa graf jumlah dan jumlah
bilangan eksklusifnya seperti pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1. Rangkuman graf-graf yang telah diketahui bilangan jumlah dan
bilangan jumlah eksklusifnya (Miller, dkk., 2005)
Graph (G) (G)
Bintang (푆 ),푛 2 1 푛 Dua Bintang 푆 , ,푚, 푛 2
1 max {m, n}
Caterpillar 푆 1 S Pohon (푇 ),푛 3 1 ? Lintasan (푃 ) 1 2 Lingkaran (퐶 ) 퐶 , 푛 4
3 2
3 3
Roda 푊 , 푛 5 , 푛 ganjil 푛 4, 푛 genap
푛 푛2 + 2
푛 푛
Kipas fn 푛 = 3
푛 3, 푛 genap 푛 5, 푛 ganjil
3 3 4
푛 푛 푛
Friendship 퐹n 2 2푛 Lengkap, 퐾n, n 3
2푛 – 3 2푛 – 3
Cocktail party 퐻2,n 퐻m,n
4푛 – 5 ?
4푛 – 5 ?
Bipartite Lengkap 퐾n,n
퐾m,n
4푛 − 3
2 푘(푛 − 1)
2 +푚
(푘 − 1)
dengan
푘 =1 + (8푚+ 푛 − 1)(푛 − 1)
2
2푛 – 1 푚 + 푛 – 1
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
13
Universitas Indonesia
Selain itu juga telah ditunjukkan graf shrub 푆ℎ, memiliki 휀(푆ℎ) = ∆(푆ℎ)
(Tuga, dkk., 2005).
Menurut Gallian (2010), Vilfred dan Florida juga telah menunjukkan selain
yang tercantum dalam Tabel 2.1 bilangan jumlah eksklusif untuk beberapa graf
antara lain 푃 × 푃 atau 휀(푃 × 푃 ) = 3 dan 휀(푃 × 푃 ) = 4. Sanjaya, John,
Haryono (2011) juga telah menunjukkan dengan cara yang berbeda bahwa
bilangan eksklusif graf tangga adalah 휀(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3.
Karena pada graf tangga 퐿 telah ditunjukkan pelabelan jumlah eksklusif
untuk graf tangga tunggal maka muncul pertanyaan bagaimana dengan bilangan
jumlah eksklusif untuk gabungan 푚 graf tangga dan modifikasinya yaitu graf kaki
seribu. Karena itu dalam tesis ini akan ditunjukkan pelabelan graf jumlah
eksklusif untuk menjawab pertanyaan diatas.
Pada bab ini telah dibahas beberapa konsep graf, jenis-jenis graf, pelabelan
jumlah, dan pelabelan jumlah eksklusif yang akan digunakan pada Bab 3. Pada
bab ini juga diberikan rangkuman hasil-hasil penelitian tentang pelabelan jumlah
dan jumlah eksklusif pada beberapa graf. Pada bab 3 akan dibahas tentang
konstruksi pelabelan jumlah eksklusif graf tangga, gabungan graf tangga, graf
kaki seribu, dan contoh-contohnya.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
14
Universitas Indonesia
BAB 3
PELABELAN JUMLAH EKSKLUSIF GRAF TANGGA, GABUNGAN GRAF TANGGA, DAN GRAF KAKI SERIBU
Pada bab ini dibahas pelabelan jumlah untuk graf tangga, gabungan graf
tangga yang isomorfik, gabungan graf tangga yang tak isomorfik, dan graf kaki
seribu.
3.1. Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Tangga
Untuk mengkonstruksi pelabelan eksklusif pada graf tangga 퐿 = 푃 × 푃
himpunan simpul-simpul dibagi dua himpunan yang terdiri dari himpunan simpul
{ 푣 ,푣 ,푣 , . . .푣 } dan { 푢 ,푢 , 푢 , . . . 푢 }, dimana 퐸 = {푣 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛} ∪
{푣 푣 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1} ∪ {푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1}. Setiap barisan mewakili satu
sisi dari tangga seperti Gambar 3.1. Graf tangga 퐿 memiliki banyak simpul 2푛
dan banyak busur 3푛 − 2.
Gambar 3.1. Notasi simpul graf 퐿 .
Sebelum membentuk pelabelan jumlah eksklusif pada graf 퐿 perlu
ditentukan batasan bilangan jumlah eksklusif. Derajat maksimum dari simpul
pada graf 퐿 dinotasikan dengan (퐿 ). Miller, dkk (2005) menyatakan bahwa
(퐺) ≥ (퐺). Karena (퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3 maka (퐿 ) ≥ 3.
Sistematika pembuktian teorema-teorema pada tesis ini mengikuti langkah-
langkah sebagai berikut
I) Definisikan label untuk setiap simpul-simpul pada graf,
푢
푢
푢
푢
푢
푢
푢
푢
푣 푣
푣
푣 푣
푣
푣
푣
. . .
. . .
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
15
Universitas Indonesia
II) Tunjukkan tidak ada busur tambahan antar simpul yang tidak bertetangga,
Untuk graf tangga 퐿 harus ditunjukkan tidak ada busur tambahan,
a) antara 푣 dengan 푢 jika 푖 ≠ 푗,
b) antara 푣 dengan 푣 dan 푢 dengan 푢 jika 푗 − 푖 ≥ 2,
c) antara simpul terisolasi dengan simpul-simpul pada graf terhubung,
d) antara simpul terisolasi.
III) Tunjukkan banyak simpul terisolasi telah minimal.
Pada Teorema berikut diberikan bilangan jumlah eksklusif graf tangga
휀(퐿 ),푛 ≥ 3.
Teorema 3.1. (Sanjaya, John, Haryono, 2011), 휀(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3.
Bukti.
Misalkan notasi simpul graf tangga 퐿 , 푛 ≥ 3 mengikuti Gambar 3.1.
Nyatakan simpul-simpul terisolasi sebagai 푤 , 푎 = 1, 2, 3.
Ambil sembarang bilangan genap positif 푑.
Untuk 푑 ≡ 2 (mod 4), ambil bilangan positif ganjil 푥 > , dan untuk 푑 ≡
0 (mod 4) , ambil bilangan positif ganjil 푥.
Untuk 1 ≤ 푖 ≤ 푛, label simpul-simpul graf 퐿 sebagai berikut,
푓(푣 ) = 푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 ganjil푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 genap
푓(푢 ) =푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 ganjil푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 genap
Sekarang dihitung jumlah masing-masing pasangan simpul yang saling
bertetangga.
1. 푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 ganjil2푥 + 2푑푛 , 푖 genap
2. 푓(푢 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 2푑푛 , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 genap
3. 푓(푣 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1).
Maka tiga label simpul terisolasi adalah 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2),
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
16
Universitas Indonesia
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1), dan 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛.
Untuk menunjukkan 푓 merupakan pelabelan jumlah eksklusif pada graf 퐿 ,
langkah-langkah yang harus dilakukan adalah menunjukkan hal berikut,
1. Tidak ada busur antara 푣 dan 푢 , jika 푖 ≠ 푗.
푓(푣 ) + 푓 푢 = 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1) , untuk 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1) , untuk 푖 genap
Hasil penjumlahan label-label simpul pada graf 퐿 merupakan bilangan-
bilangan genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-label
simpul terisolasi. Label 푓(푣 ) + 푓 푢 akan menjadi label simpul terisolasi
jika 푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1).
2. Tidak ada busur antara 푣 dan 푣 , jika 푖 − 푗 ≥ 2.
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓(푣 ) haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푣 ) + 푓(푣 ) =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푖 + 푗 − 2) 2푥 + 푑(2푛 − 푖 − 푗) 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1)2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Hasil penjumlahan label-label simpul pada graf 퐿 merupakan bilangan-
bilangan positif genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-
label simpul terisolasi. Label 푓(푣 ) + 푓 푣 akan menjadi label simpul
terisolasi jika 푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) atau
푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛.
3. Tidak ada busur antara 푢 dan 푢 , jika 푖 − 푗 ≥ 2.
Jumlah dari label 푓(푢 ) dan 푓(푢 ) haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푢 ) + 푓 푢 =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(2푛 − 푖 − 푗) 2푥 + 푑(푖 + 푗 − 2) 2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1)2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Hasil penjumlahan label-label simpul pada graf 퐿 merupakan bilangan-
bilangan positif genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-
label simpul terisolasi. Label 푓(푢 ) + 푓 푢 akan menjadi label simpul
terisolasi jika 푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) atau
푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛.
4. Tidak ada busur antara 푣 atau 푢 , dengan 푤 ,푎 = 1,2,3, 푖 = 1,2, … , 푛.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
17
Universitas Indonesia
Untuk menunjukkan 푓(푤 ) + 푓(푣 ) atau 푓(푤 ) + 푓(푢 ) bukan merupakan
label dari graf 퐿 dapat ditinjau dari dua kasus yaitu untuk 푑 ≡ 2 (mod 4)
atau 푑 ≡ 0 (mod 4).
a) Untuk 푑 ≡ 2 (mod 4)
Diketahui bahwa 푥 > .
Label simpul terisolasi terkecil diperoleh pada 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2).
Label terkecil dan terbesar graf 퐿 adalah 푓(푣 ) = 푥 dan
푓(푢 ) = 푥 + 푑(2푛 − 1) sehingga jumlah label terkecil pada graf 퐿 dan label
terkecil simpul terisolasi adalah 푥 + 2푥 + 푑(2푛 − 2) = 3푥 + 푑(2푛 − 2) =
2푥 − 푑 + (푥 + 푑(2푛 − 1)).
Karena 푥 > maka 2푥 − 푑 + (푥 + 푑(2푛 − 1)) > 푥 + 푑(2푛 − 1).
Hal ini berarti tidak ada label simpul-simpul pada graf 퐿 yang merupakan
jumlah dari label terisolasi dengan label simpul-simpul pada graf 퐿 .
b) Untuk 푑 ≡ 0 (mod 4)
Semua label simpul-simpul graf tangga merupakan bilangan dalam bentuk
1 (mod 4) (atau 3 (mod 4)). Label simpul-simpul terisolasi merupakan
jumlah dua label simpul-simpul graf 퐿 yaitu 푓(푣 ) + 푓 푣 atau
푓(푣 ) + 푓 푢 atau 푓(푢 ) + 푓 푢 sehingga akan diperoleh bentuk
penjumlahan, yaitu
1 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4) (atau 3 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡
2 (mod 4)).
Artinya label simpul-simpul terisolasi selalu bernilai 2 (mod 4).
Untuk semua label simpul di graf tangga 퐿 merupakan bilangan ganjil positif
dengan bentuk 1 (mod 4) diperoleh
푓(푤 ) + 푓(푣 ) ≡ 2 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4) atau
푓(푤 ) + 푓(푢 ) ≡ 2 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)
yang bukan merupakan anggota dari label simpul-simpul pada graf tangga 퐿 .
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
18
Universitas Indonesia
Untuk semua label simpul di graf tangga 퐿 merupakan bilangan ganjil positif
dengan bentuk 3 (mod 4), maka
푓(푤 ) + 푓(푣 ) ≡ 2 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡ 5 (mod 4) ≡ 1 (mod 4) atau
푓(푤 ) + 푓(푢 ) ≡ 2 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡ 5 (mod 4) ≡ 1 (mod 4)
juga bukan merupakan anggota dari label simpul-simpul pada graf tangga 퐿 .
5. Tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
a) Untuk 푑 ≡ 2 (mod 4)
Dengan perhitungan sederhana dapat ditunjukkan bahwa
푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) atau 2푥 + 푑(2푛 − 1) + 2푥 + 2푑푛
≠ 2푥 + 푑(2푛 + 1), sehingga tidak ada busur antara simpul-simpul
terisolasi.
b) Untuk 푑 ≡ 0 (mod 4)
Karena semua label simpul terisolasi 푓(푤 ) ≡ 2 (mod 4)
푓(푤 ) + 푓 푤 ≡ 2 (mod 4) + 2 (mod 4) ≡ 4 (mod 4) ≡ 0 (mod 4)
untuk 푖 ≠ 푗, 푖, 푗 = 1,2,3, maka label berbentuk 0 (mod 4) bukan merupakan
label dari simpul terisolasi.
Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa bilangan jumlah eksklusif graf
tangga 휀(퐿 ) ≤ 3. Menurut Miller, dkk (2005) untuk sebarang graf 퐺 berlaku
휀(퐺) ≥ ∆(퐺). Karena ∆(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3 maka 휀(퐿 ) = 3. Berdasarkan hal
tersebut maka 휀(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3 merupakan bilangan eksklusif optimal graf
tangga 퐿 . Pada tabel 2.1 juga telah ditunjukkan bahwa 휀(퐶 ) = 3 (Miller, dkk.,
2005). Karena 퐿 isomorfis dengan 퐶 maka 휀(퐿 ) = 휀(퐶 ) = 3, sehingga
휀(퐿 ) = 3 berlaku untuk 푛 ≥ 2. ∎
Contoh pelabelan jumlah eksklusif untuk graf 퐿 dengan 푑 = 6 (2 (mod 4))
dan 푥 = 5 (1 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.2.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
19
Universitas Indonesia
Gambar 3.2. Pelabelan jumlah eksklusif pada graf 퐿 , 푑 = 2,푥 = 5.
Contoh pelabelan jumlah eksklusif untuk graf 퐿 dengan 푑 = 8 (0 (mod 4))
dan 푥 = 1 (1 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.3.
Gambar 3.3. Pelabelan jumlah eksklusif pada graf 퐿 , 푑 = 8, 푥 = 1.
Pada contoh Gambar 3.2 jika diurutkan maka himpunan label simpulnya
adalah {5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59} membentuk barisan aritmatika dengan
푑 = 6 dan pada Gambar 3.3 jika diurutkan maka himpunan label simpulnya
adalah {1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73} dengan 푑 = 8 sebagai selisih dua label
simpul-simpul yang berurutan.
Dari pembuktian Teorema 3.1 maka untuk 푑 ≡ 0 (mod 4) label dapat
dimulai dari 1, sedangkan untuk 푑 ≡ 2 (mod 4) label terkecilnya > , jadi tidak
mungkin dimulai dari 1.
33 49 17 65 1
41 25 57 9 73 66
74
82
58
64
70
29 41 17 53 5
35 23 47 11 59
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
20
Universitas Indonesia
3.2. Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Gabungan Graf Tangga
Pada subbab ini akan dibahas konstruksi pelabelan untuk generalisasi graf
tangga, yaitu konstruksi pelabelan jumlah ekslusif pada gabungan 푚 graf tangga
yang isomorfik (푚퐿 ). Himpunan simpul-simpul 푉 pada graf 푚퐿 dibagi
menjadi 2푚 himpunan yang terdiri dari himpunan simpul { 푣 , 푣 , 푣 ,
. . . ,푣 } dan { 푢 , 푢 , 푢 , . . ., 푢 } sebagai notasi simpul-simpul pada graf
tangga pertama, { 푣 , 푣 ,푣 , . . ., 푣 } dan { 푢 , 푢 , 푢 , . . . ,푢 } sebagai
notasi simpul-simpul pada graf tangga kedua, { 푣 , 푣 , 푣 , . . . , 푣 } dan
{ 푢 , 푢 , 푢 , . . . , 푢 } sebagai notasi simpul-simpul pada graf tangga ketiga
dan seterusnya sampai { 푣 , 푣 , 푣 , . . ., 푣 , 푣 } dan { 푢 , 푢 ,
푢 , . . . , 푢 } sebagai notasi simpul-simpul pada graf tangga ke-푚 seperti
ditunjukkan pada Gambar 3.4. dimana simpul-simpul dihubungkan oleh busur-
busur 퐸 = {푣 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛} ∪ {푣 푣 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1}
∪ {푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1}, 1 ≤ 푙 ≤ 푚. Setiap himpunan simpul mewakili
simpul-simpul pada satu sisi graf 푚퐿 . Graf 푚퐿 mempunyai banyak simpul
2푚푛 dan banyak busur 3푚푛 − 2푚.
Gambar 3.4 Notasi simpul graf 푚퐿 .
Pada Teorema 3.4 diberikan bilangan jumlah eksklusif 푚 graf tangga yang
isomorfik 휀(푚퐿 ).
Teorema 3.4 휀(푚퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1.
…
푣
푣
푣
푣
푢
푢
푢
푢
푣
푣
푣
푣
푢
푢
푢
푢
푣
푣
푣
푣
푢
푢
푢
푢
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
21
Universitas Indonesia
Bukti.
Misalkan notasi simpul gabungan 푚 graf tangga 푚퐿 , 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1 mengikuti
Gambar 3.4. Nyatakan simpul terisolasi dengan 푤 , 푎 = 1, 2, 3. Untuk 푑 ≡
2 (mod 4), ambil bilangan positif ganjil 푥 dengan 푥 > , dan untuk 푑 ≡
0 (mod 4), ambil bilangan positif ganjil 푥.
Untuk 1 ≤ 푘 ≤ 푚, 1 ≤ 푖 ≤ 푛, label simpul-simpul 푚퐿 sebagai berikut
푓(푣 ) =푥 + 푑(푚(푖 − 1) + (푘 − 1)) , 푖 ganjil푥 + 푑 푚(2푛 − 푖 + 2) − (푘 + 1) , 푖 genap
푓(푢 ) = 푥 + 푑 푚(2푛 − 푖 + 2) − (푘 + 1) , 푖 ganjil푥 + 푑(푚(푖 − 1) + (푘 − 1)) , 푖 genap
Jumlah dua label simpul-simpul bertetangga 푚퐿 adalah sebagai berikut
푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2)) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푚푛 + 2(푚 − 1)) , 푖 genap
푓(푢 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2(푚− 1)) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푚푛 − 2) , 푖 genap
푓(푣 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + (푚 − 2)) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푚푛 + (푚 − 2)) , 푖 genap
dengan 1 ≤ 푘 ≤ 푚, 1 ≤ 푖 ≤ 푛.
Maka tiga label simpul terisolasi adalah 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2),
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 푚− 2), 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2푚− 2).
Untuk menunjukkan 푓 merupakan pelabelan jumlah eksklusif, langkah-
langkah yang harus dilakukan adalah menunjukkan hal berikut.
1. Tidak ada busur antara 푣 dan 푢 , jika 푖 ≠ 푗.
Jumlah label simpul 푣 dan 푢
푓(푣 ) + 푓 푢 = 2푥 + 푑(푚(2푛 + 푖 − 푗 + 1)− 2) , 푖, 푗 ganjil2푥 + 푑(푚(2푛 − 푖 + 푗 + 1) − 2) , 푖, 푗 genap
1 ≤ 푘 ≤ 푚, 1 ≤ 푖, 푗 ≤ 푛.
Karena 푑 genap maka 푓(푣 ) + 푓 푢 juga genap, jadi kemungkinannya
hanya akan sama dengan label-label simpul terisolasi. Label 푓(푣 ) + 푓 푢
akan menjadi label simpul terisolasi jika 푖 = 푗, yaitu
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 푚 − 2).
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
22
Universitas Indonesia
2. Tidak ada busur antara 푣 dan 푢 , jika 푘 ≠ 푙.
푓(푣 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + (푚 + 푘 − 푙 − 2)) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푚푛 + (푚 + 푘 − 푙 − 2)) , 푖 genap
1 ≤ 푘, 푙 ≤ 푚, 1 ≤ 푖 ≤ 푛.
Karena 푑 genap maka 푓(푣 ) + 푓(푢 ) merupakan bilangan genap, jadi
kemungkinannya hanya akan sama dengan label-label simpul terisolasi. Label
푓(푣 ) + 푓(푢 ) akan menjadi label simpul terisolasi jika 푘 = 푙, yaitu
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 푚 − 2).
3. Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 , jika 푖 − 푗 ≥ 2.
Jumlah dari 푓(푣 ) dengan 푓 푣 haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푣 ) + 푓 푣 =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푚(푖 + 푗 − 2) + 2(푘 − 1)) 2푥 + 푑(푚(4푛 − 푖 − 푗 + 4) − 2(푘 + 1))2푥 + 푑(푚(2푛 + 푖 − 푗 + 1) − 2)2푥 + 푑(푚(2푛 − 푖 + 푗 + 1) − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap, 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 merupakan bilangan-bilangan positif genap, jadi
kemungkinannya hanya akan sama dengan label-label simpul terisolasi. Nilai
푓(푣 ) + 푓 푣 akan menjadi label simpul terisolasi jika 푖 = 푗 + 1, yaitu
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2) atau 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2푚 − 2).
4. Tidak ada busur antara 푢 dan 푢 , jika 푖 − 푗 ≥ 2.
Jumlah dari 푓(푢 ) dengan 푓 푢 haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푢 ) + 푓 푢 =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푚(4푛 − 푖 − 푗 + 4)− 2(푘 + 1))2푥 + 푑(푚(푖 + 푗 − 2) + 2(푘 − 1)) 2푥 + 푑(푚(2푛 − 푖 + 푗 + 1) − 2)2푥 + 푑(푚(2푛 + 푖 − 푗 + 1) − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap, 푖 genap, 푗 ganjil
Karena 푑 genap maka nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 merupakan bilangan-bilangan
positif genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-label
simpul terisolasi, jika 푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2) atau
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2푚− 2).
5. Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 , untuk setiap 푘, 푙.
푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 2푥 + 푑 푚(2푖 − 2) + (푘 + 푙 − 2) , 푖 ganjil2푥 + 푑(푚(2푛 − 2푖 + 4) − (푘 + 푙 + 2)) , 푖 genap
1 ≤ 푘, 푙 ≤ 푚, 1 ≤ 푖 ≤ 푛.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
23
Universitas Indonesia
Nilai 푓(푣 ) + 푓(푣 ) bukan merupakan label simpul-simpul terisolasi untuk
setiap 푘, 푙, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2) atau
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2푚− 2).
6. Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 untuk setiap 푘, 푙
푓(푢 ) + 푓(푢 ) =2푥 + 푑(푚(2푛 − 2푖 + 4)− (푘 + 푙 + 2)) , 푖 ganjil2푥 + 푑 푚(2푖 − 2) + (푘 + 푙 − 2) , 푖 genap
1 ≤ 푘, 푙 ≤ 푚, 1 ≤ 푖 ≤ 푛.
Nilai 푓(푢 ) + 푓(푢 ) bukan merupakan label simpul-simpul terisolasi untuk
setiap 푘, 푙, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2) atau
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 + 2푚− 2).
7. Tidak ada busur antara 푣 atau 푢 , dengan 푤 , 푎 = 1,2,3, 푣 ,푢 ∈ 푉(푚퐿 ).
Untuk menunjukkan 푓(푤 ) + 푓(푣 ) atau 푓(푤 ) + 푓(푢 ) bukan merupakan
label pada 푚퐿 dapat ditinjau dari dua kasus yaitu untuk 푑 ≡ 2 (mod 4) atau
푑 ≡ 0 (mod 4) .
a) Untuk 푑 ≡ 2 (mod 4)
Diketahui bahwa 푥 > . Label simpul terisolasi terkecil diperoleh pada
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푚푛 − 2). Label terkecil dan terbesar simpul pada 푚퐿
adalah 푓(푣 ) = 푥 dan 푓(푢 ) = 푥 + 푑 2푚푛 + (푚− 2) . Sehingga jumlah
label terkecil pada graf 푚퐿 dan label terkecil simpul terisolasi adalah
푥 + 2푥 + 푑(2푚푛 − 2) = 3푥 + 푑(2푚푛 − 2)
= (3푥 −푚푑) + 푑 2푚푛 + (푚− 2)
= (2푥 −푚푑) + 푥 + 푑(2푚푛 + (푚− 2)) .
Karena 푥 > maka (2푥 −푚푑) + 푥 + 푑(2푚푛 + (푚 − 2)) >
푥 + 푑(2푚푛 + (푚 − 2)) .
Hal ini berarti tidak ada label simpul-simpul pada graf 푚퐿 yang merupakan
jumlah dari label terisolasi dengan label simpul-simpul pada graf 푚퐿 .
b) Untuk 푑 ≡ 0 (mod 4)
Semua label simpul-simpul graf 푚퐿 merupakan bilangan dalam bentuk
1 (mod 4) (atau 3 (mod 4)). Label simpul-simpul bekerja merupakan jumlah
dua label simpul-simpul graf 푚퐿 yaitu 푓(푣 ) + 푓 푣 atau 푓(푣 ) +
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
24
Universitas Indonesia
푓 푢 atau 푓(푢 ) + 푓 푢 akan diperoleh dua bentuk penjumlahan, yaitu
1 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 2 (mod 4) (atau 3 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡
2 (mod 4)).
Artinya label simpul-simpul terisolasi selalu bernilai 2 (mod 4).
Untuk semua label simpul pada graf 푚퐿 merupakan bilangan ganjil positif
dengan bentuk 1 (mod 4) diperoleh
푓(푤 ) + 푓(푣 ) ≡ 2 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4) atau
푓(푤 ) + 푓(푢 ) ≡ 2 (mod 4) + 1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)
yang bukan merupakan anggota dari label simpul-simpul pada graf 푚퐿 .
Untuk semua label simpul pada graf 푚퐿 merupakan bilangan ganjil positif
dengan bentuk 3 (mod 4), maka
푓(푤 ) + 푓(푣 ) ≡ 2 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡ 5 (mod 4) ≡ 1 (mod 4) atau
푓(푤 ) + 푓(푢 ) ≡ 2 (mod 4) + 3 (mod 4) ≡ 5 (mod 4) ≡ 1 (mod 4)
juga bukan merupakan anggota dari label simpul-simpul pada graf 푚퐿 .
8. Tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
a) Untuk 푑 ≡ 2 (mod 4)
Terlihat bahwa 푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) adalah 4푥 + 푑(푚(4푛 + 1)− 4 ≠
2푥 + 푑(2푚푛 + 2(푚 − 1)). Sehingga tidak ada busur antara simpul-simpul
terisolasi.
b) Untuk 푑 ≡ 0 (mod 4)
Karena semua label simpul terisolasi 푓(푤 ) ≡ 2 (mod 4), 푎 = 1, 2, 3 maka
푓(푤 ) + 푓 푤 ≡ 2 (mod 4) + 2 (mod 4) ≡ 4 (mod 4) ≡ 0 (mod 4) untuk
푖 ≠ 푗 dengan 푖, 푗 = 1,2,3 .
푓(푤 ) + 푓 푤 ≡ 0 (mod 4) bukan merupakan label simpul terisolasi.
Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa 휀(푚퐿 ) ≤ 3. Menurut Miller, dkk
(2005) untuk sebarang graf 퐺 berlaku 휀(퐺) ≥ ∆(퐺). Sehingga telah ditunjukkan
휀(푚퐿 ) = 3 merupakan bilangan eksklusif optimal untuk graf 푚퐿 , untuk 푛 ≥ 3
∎
Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada graf 5퐿 dengan 푥 = 7 (3 (mod 4))
dan 푑 ≡ 2 (2 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.5.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
25
Universitas Indonesia
Gambar 3.5. Pelabelan jumlah eksklusif pada graf 5퐿 , 푥 = 7, 푑 = 2.
Contoh pelabelan jumlah eksklusif pada graf 5퐿 dengan 푥 = 3 (3 (mod 4))
dan 푑 = 4 (0 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.6.
Gambar 3.6. Pelabelan jumlah eksklusif pada graf 5퐿 , 푥 = 3,푑 = 4.
Pembahasan dilanjutkan dengan konstruksi pelabelan jumlah eksklusif pada
gabungan graf tangga yang tak isomorfik ⋃ 퐿 , 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1. Graf
⋃ 퐿 diperoleh dari gabungan graf tangga 푚퐿 dengan melakukan
penghapusan pada pasangan simpul-simpul ujung 푣 , 푢 pada graf 푚퐿 .
Penghapusan pada pasangan simpul dengan aturan tertentu pada konstruksi
pelabelan yang diperoleh dari Teorema 3.4 diperoleh Akibat 3.5.
198 218 238
3 7 11 15 19
23 27 31 35 39
43 47 51 55 59
63 67 71 75 79
83 87 91 95 99 135 131 127 123 119
155 151 147 143 139
175 171 167 163 159
195 191 187 183 179
215 211 207 203 199
110 120 130
7 9 11 13 15
17 19 21 23 25
27 29 31 33 35
37 39 41 43 45
47 49 51 53 55 73 71 69 67 65
83 81 79 77 75
93 91 89 87 85
103 101 99 97 95
113 111 109 107 105
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
26
Universitas Indonesia
Akibat 3.5 휀 ⋃ 퐿 = 3, untuk setiap 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1.
Bukti.
Ambil 푛 = max(푛 , 푖 = 1,2, …푚), label pada graf ⋃ 퐿 , untuk setiap
푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1 diperoleh dari label graf 푚퐿 , 푛 ≥ 3, seperti pada bukti Teorema
3.4. Untuk setiap graf tangga ke-푖 dengan 푛 ≤ 푛 dilakukan penghapusan
pasangan simpul (푣 , 푢 ) dengan semua busur yang hadir pada simpul tersebut
untuk 푗 = 1,2, … , 푛 − 푛 − 1, 푙 = 1,2, … ,푚.
Karena penghapusan pada pasangan simpul dan busur yang hadir pada
simpul tersebut, untuk 푗 = 1,2, … , 푛 − 푛 − 1, 푙 = 1,2, … ,푚, tidak
mengakibatkan perubahan derajat tertinggi dan tetap mempertahankan banyaknya
simpul terisolasi, maka diperoleh 휀 ⋃ 퐿 ≥ ∆(푚퐿 ) = 3. Jadi
휀 ⋃ 퐿 = 3, 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1 ∎
Contoh pelabelan jumlah eksklusif dari graf 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 , dengan
푑 = 2 (2 (mod 4)) dan 푥 = 7 (3 (mod 4))ditunjukkan pada Gambar 3.7.
Gambar 3.7. Pelabelan jumlah eksklusif graf 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ,
dengan 푑 = 2, 푥 = 7
110 120 130
7 9 11 13 15
17 19 21 23 25
27 29 31 33 35
37 39 43 45
47 53 73 67
83 81 77 75
93 91 89 87 85
103 101 99 97 95
113 111 109 107 105
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
27
Universitas Indonesia
Contoh pelabelan jumlah eksklusif graf 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 , dengan
푑 = 4 (0 (mod 4)) dan 푥 = 5 (1 (mod 4))ditunjukkan pada Gambar 3.8.
Gambar 3.8. Pelabelan jumlah eksklusif graf 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 ∪ 퐿 , dengan
푑 = 4, 푥 = 3
3.3. Pelabelan Jumlah Eksklusif pada Graf Kaki Seribu
Pada sub bab ini dikonstruksi pelabelan jumlah eksklusif pada graf dengan
notasi graf 퐿 ⊙ 퐾 yang selanjutnya disebut dengan graf kaki seribu.
Untuk mengkonstruksi pelabelan eksklusif pada graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾
himpunan simpul-simpul 푉 dibagi empat himpunan yang terdiri dari himpunan
simpul { 푣 ,푣 , 푣 , . . . , 푣 , 푣 } dan { 푢 ,푢 ,푢 , . . . , 푢 ,푢 } sebagai notasi
simpul-simpul pada graf tangga 퐿 serta { 푣 , 푣 , 푣 , . . . , 푣 , 푣 } dan
{ 푢 ,푢 , 푢 , . . . , 푢 , 푢 } sebagai notasi simpul-simpul berderajat 1 pada
graf kaki seribu, dimana 퐸 = {푣 푢 , 푣 푣 , 푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛} ∪
{푣 푣 , 푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1} seperti pada Gambar 3.9. Graf kaki seribu
퐿 ⊙ 퐾 memiliki banyak simpul 4푛 dan banyak busur 5푛 − 2.
198 218 238
3 7 11 15 19
23 27 31 35 39
43 47 51 55 59
63 67 75 79
83 95 135 123
155 151 143 139
175 171 167 163 159
195 191 187 183 179
215 211 207 203 199
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
28
Universitas Indonesia
Gambar 3.9. Notasi simpul graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 .
Teorema 3.6 memberikan konstruksi pelabelan graf jumlah eksklusif pada
graf kaki seribu dengan bilangan jumlah eksklusif (퐿 ⊙ 퐾 ) = 4.
Teorema 3.6 ( 퐿 ⊙ 퐾 ) = 4, 푛 ≥ 3.
Bukti.
Misalkan notasi simpul graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푛 ≥ 3 mengikuti Gambar
3.12.
Nyatakan simpul terisolasi sebagai 푤 ,푎 = 1,2,3,4. Untuk sebarang bilangan
genap positif 푑, ambil bilangan positif ganjil 푥 > .
Untuk 1 ≤ 푖 ≤ 푛 label simpul-simpul graf 퐿 ⊙ 퐾 dengan,
푓(푣 ) = 푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 ganjil푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 genap
푓(푢 ) = 푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 ganjil푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 genap
푓(푣 ) = 5푥 + 푑(6푛 − 푖 − 1) , 푖 ganjil5푥 + 푑(4푛 + 푖 − 2) , 푖 genap
푓(푢 ) = 5푥 + 푑(4푛 + 푖 − 2) , 푖 ganjil5푥 + 푑(6푛 − 푖 − 1) , 푖 genap.
Untuk 1 ≤ 푖 ≤ 푛 jumlah label simpul-simpul yang bertetangga pada graf
퐿 ⊙ 퐾 adalah sebagai berikut.
푣 푢
푣 푢
푣 푢
푣 푢 푢
푢
푢
푢
푣
푣
푣
푣
.
.
.
.
.
.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
29
Universitas Indonesia
푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 ganjil2푥 + 2푑푛 , 푖 genap
푓(푢 ) + 푓(푢 ) =2푥 + 2푑푛 , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 genap
푓(푣 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 1) , 푖 genap
푓(푣 ) + 푓( 푣 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(6푛 − 2) , 푖 genap
푓(푢 ) + 푓( 푢 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(6푛 − 2) , 푖 genap
Maka label empat simpul terisolasi adalah 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2),
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1), 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛, dan 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 2).
Untuk menunjukkan 푓 merupakan pelabelan jumlah eksklusif pada graf
퐿 ⊙ 퐾 , 푛 ≥ 3, maka akan ditunjukkan bahwa tidak ada busur tambahan pada
퐿 ⊙ 퐾 dengan langkah-langkah sebagai berikut
1) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푢 jika 푖 ≠ 푗.
푓(푣 ) + 푓 푢 = 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1) , 푖 genap .
Nilai 푓(푣 ) + 푓(푢 ) akan menjadi label simpul terisolasi 푓(푤 ), 푎 = 1, 2, 3, 4
pada saat 푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1).
2) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 jika 푖 ≠ 푗.
Jumlah label 푓(푣 ) dan 푓 푣 adalah
푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 6푥 + 푑(6푛 + 푖 − 푗 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(6푛 − 푖 + 푗 − 2) , 푖 genap
Nilai 푓(푣 ) + 푓(푣 ) akan menjadi label simpul terisolasi 푓(푤 ), 푎 = 1,2,3,4
pada saat 푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 2).
3) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 jika 푖 ≠ 푗.
Jumlah label 푓(푢 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푢 ) + 푓(푢 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 푖 + 푗 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(6푛 + 푖 − 푗 − 2) , 푖 genap
Nilai 푓(푢 ) + 푓(푢 ) akan menjadi label simpul terisolasi pada saat 푖 = 푗, yaitu
푓(푤 ) = 6푥 + 푑(6푛 − 2).
4) Tidak ada busur antara 푣 dan 푣 , jika 푖 − 푗 ≥ 2.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
30
Universitas Indonesia
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓(푣 ) haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푣 ) + 푓(푣 ) =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푖 + 푗 − 2) 2푥 + 푑(2푛 − 푖 − 푗) 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1)2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Karena 푑 genap maka penjumlahan label-label simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾
adalah genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-label
simpul terisolasi. Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 akan menjadi label simpul terisolasi jika
푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) atau 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛.
5) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓 푣 adalah
푓(푣 ) + 푓 푣 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(12푛 − 푖 − 푗 − 2) 10푥 + 푑(8푛 + 푖 + 푗 − 4) 10푥 + 푑(10푛 − 푖 + 푗 − 3)10푥 + 푑(10푛 + 푖 − 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap, 푖 genap, 푗 ganjil
.
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 bukan label simpul-simpul terisolasi untuk setiap 푖, 푗.
6) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 , untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah dari label 푓(푢 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푢 ) + 푓 푢 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(8푛 + 푖 + 푗 − 2) 10푥 + 푑(12푛 − 푖 − 푗 − 2)10푥 + 푑(10푛 + 푖 − 푗 − 3)10푥 + 푑(10푛 − 푖 + 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil
, 푖, 푗 genap , 푖 ganjil, 푗 genap
, 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 bukan label simpul-simpul terisolasi untuk setiap 푖, 푗.
7) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푢 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푣 ) + 푓(푢 ) =
⎩⎨
⎧6푥 + 푑(4푛 + 푖 + 푗 − 3)6푥 + 푑(8푛 − 푖 − 푗 − 1)6푥 + 푑(6푛 + 푖 − 푗 − 2)6푥 + 푑(6푛 − 푖 + 푗 − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓(푣 ) bukan label simpul-simpul terisolasi untuk sembarang
푖, 푗.
8) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푣 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah dari label 푓(푢 ) dan 푓 푣 adalah
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
31
Universitas Indonesia
푓(푢 ) + 푓(푣 ) =
⎩⎨
⎧6푥 + 푑(8푛 − 푖 − 푗 − 1)6푥 + 푑(4푛 + 푖 + 푗 − 3)6푥 + 푑(6푛 − 푖 + 푗 − 2)6푥 + 푑(6푛 + 푖 − 푗 − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓(푣 ) bukan label simpul-simpul terisolasi untuk setiap 푖, 푗.
9) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푢 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푣 ) + 푓(푢 ) =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(10푛 − 푖 + 푗 − 3)10푥 + 푑(10푛 + 푖 − 푗 − 3)10푥 + 푑(12푛 − 푖 − 푗 − 2)10푥 + 푑(8푛 + 푖 + 푗 − 4)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap , 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푣 ) + 푓(푢 ) bukan label simpul-simpul terisolasi untuk setiap 푖, 푗.
10) Tidak ada busur antara 푣 ,푢 , 푣 , 푢 dengan 푤 .
Akan ditunjukkan bahwa 푓(푤 ) + 푓(푣 ), 푓(푤 ) + 푓(푣 ), 푓(푤 ) + 푓(푢 )
atau 푓(푤 ) + 푓(푢 ), untuk 푎 = 1,2,3,4 bukan merupakan label simpul pada
graf 퐿 ⊙ 퐾 . Label simpul terisolasi terkecil graf 퐿 ⊙ 퐾 adalah
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2), label terkecil simpul berderajat 1 pada graf
퐿 ⊙ 퐾 adalah 푓(푢 ) = 5푥 + 푑(4푛 − 1) dan label terbesar simpul
terisolasi adalah 2푥 + 푑(2푛 − 2) + 5푥 + 푑(4푛 − 1) = 7푥 + 푑(6푛 − 3) =
(2푥 − 푑) + (5푥 + 푑(6푛 − 1)). Karena 푥 > maka (2푥 − 푑) + (5푥 +
푑(6푛−1)>5푥+푑(6푛−1) dan 5푥+6푛−1푑 adalah label simpul terbesar pada
graf 퐿 ⊙ 퐾 .
Hal ini berarti tidak ada label simpul-simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾 yang
merupakan jumlah dari label simpul-simpul terisolasi dengan label simpul-
simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾 .
11) Tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
Terlihat bahwa jumlah 푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠
푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) + 푓(푤 ) ≠ 푓(푤 ) + 푓(푤 ) atau
4푥 + 푑(4푛 − 3) ≠ 4푥 + 푑(4푛 − 2) ≠ 8푥 + 푑(8푛 − 4) ≠ 4푥 + 푑(4푛 − 1)
≠ 8푥 + 푑(8푛 − 3) ≠ 8푥 + 푑(8푛 − 2).
Sehingga, dapat dikatakan tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
32
Universitas Indonesia
Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa bilangan jumlah eksklusif graf
kaki seribu 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) ≤ 4. Sebarang graf 퐺 berlaku 휀(퐺) ≥ ∆(퐺) (Miller,
dkk., 2010), maka 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 4 merupakan bilangan eksklusif optimal pada
graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푛 ≥ 3. ∎
Contoh pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 untuk 푑 = 2 (2 (mod 4)) dan
푥 = 3 ditunjukkan pada Gambar 3.10.
Gambar 3.10. Pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푑 = 2,푥 = 3.
Contoh pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 untuk 푑 = 4 (0 (mod 4)) dan
푥 = 5 ditunjukkan pada Gambar 3.11.
Gambar 3.11. Pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푑 = 4,푥 = 5.
42
46
50
142
5
9
13
17
21 25
29
33
37
41 101
105
109
113
117 121
125
129
133
137
3
5
7
9
11 13
15
17
19
21 53
55
57
59
61 63
65
67
69
71
22
24
26
74
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
33
Universitas Indonesia
Pembahasan graf kaki seribu dapat dilanjutkan pada graf 퐿 ⊙ 퐾 , 푟 ≥ 1,
dengan 푟 banyak simpul yang berderajat 1 yang ditambahkan pada setiap simpul
dari graf tangga. Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 3.12.
Untuk mengkonstruksi pelabelan eksklusif pada graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾
himpunan simpul-simpul 푉 dibagi 2(푛 + 푟) himpunan yang terdiri dari himpunan
simpul { 푣 ,푣 , 푣 , . . . , 푣 } dan { 푢 ,푢 ,푢 , . . . ,푢 } sebagai notasi simpul-simpul
graf tangga 퐿 , { 푣 ,푣 , 푣 , . . . , 푣 } dan { 푢 , 푢 ,푢 , . . . ,푢 } sebagai
notasi simpul-simpul berderajat 1 pertama dan { 푣 , 푣 ,푣 , . . . , 푣 } dan
{ 푢 , 푢 , 푢 , . . . , 푢 } sebagai notasi simpul-simpul berderajat 1 kedua dan
seterusnya sampai { 푣 ,푣 ,푣 , . . . , 푣 } dan { 푢 , 푢 ,푢 , . . . ,푢 } sebagai
notasi simpul-simpul berderajat 1 ke-푟 pada graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 dimana
퐸 = {푣 푢 , 푣 푣 , 푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛} ∪ {푣 푣 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1} ∪
{푢 푢 |1 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1}, 1 ≤ 푙 ≤ 푟. Setiap himpunan simpul mewakili simpul-
simpul pada graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 . Graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 memiliki banyak
simpul 2(푛 + 푟) dan banyak busur (2푟 + 3)푛 − 2.
Gambar 3.12. Konstruksi graf kaki seribu (퐿 ⊙ 퐾 )
.
.
.
.
.
.
푣 푣 푣 . . . 푣
푣 푣 푣 . . . 푣
푣 푣 푣 . . . 푣
푣 푣 푣 . . . 푣
푢 푢 푢 . . . 푢
푢 푢 푢 . . . 푢
푢 푢 푢 . . . 푢
푢 푢 푢 . . . 푢
푢
푢
푢
푢
푣
푣
푣
푣
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
34
Universitas Indonesia
Pada Teorema 3.8 diberikan bilangan jumlah eksklusif pada graf kaki seribu
dengan bilangan jumlah eksklusif 휀(퐿 ⊙ 퐾 ), dengan jumlah kaki 푟 ≥ 1.
Teorema 3.8 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 3 + 푟, 푛 ≥ 3, 푟 ≥ 1.
Bukti.
Misalkan notasi simpul graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푛 ≥ 3, 푟 ≥ 1 mengikuti
Gambar 3.12.
Untuk sebarang bilangan positif genap 푑, ambil bilangan ganjil positif 푥 > .
Nyatakan simpul terisolasi sebagai 푤 , 푎 = 1,2,3, … , 푟 + 3.
Untuk 1 ≤ 푖 ≤ 푛, 1 ≤ 푙 ≤ 푟 label simpul-simpul graf 퐿 ⊙ 퐾 diberikan sebagai
berikut
푓(푣 ) = 푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 ganjil푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 genap
푓(푢 ) = 푥 + 푑(2푛 − 푖) , 푖 ganjil푥 + 푑(푖 − 1) , 푖 genap
푓(푣 ) = 5푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 푖 − 1) , 푖 ganjil5푥 + 푑(2(푙 + 1)푛 + 푖 − 2) , 푖 genap, 푙 = 1,2, … , 푟
푓(푢 ) = 5푥 + 푑(2(푙 + 1)푛 + 푖 − 2) , 푖 ganjil5푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 푖 − 1) , 푖 genap, 푙 = 1,2, … , 푟
Jumlah simpul-simpul yang bertetangga dari graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 adalah
sebagai berikut
푓(푣 ) + 푓(푣 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 ganjil2푥 + 2푑푛 , 푖 genap
푓(푣 ) + 푓(푢 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 1) , 푖 genap
푓(푢 ) + 푓(푢 ) =2푥 + 2푑푛 , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 2) , 푖 genap
푓(푣 ) + 푓( 푣 ) =6푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 2) , 푖 genap, 푙 = 1,2, … , 푟
푓(푢 ) + 푓(푢 ) =6푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(2(푙 + 2)푛 − 2) , 푖 genap, 푙 = 1,2, … , 푟
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
35
Universitas Indonesia
Maka label 3 + 푟 simpul-simpul terisolasi adalah 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2),
푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1), 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛, dan
푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
Untuk menunjukkan 푓 merupakan pelabelan jumlah eksklusif pada graf kaki
seribu 퐿 ⊙ 퐾 , maka akan ditunjukkan bahwa tidak ada busur-busur tambahan
pada 퐿 ⊙ 퐾 dengan langkah-langkah sebagai berikut,
1) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푢 jika 푖 ≠ 푗.
푓(푣 ) + 푓 푢 = 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1) , 푖 ganjil2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1) , 푖 genap
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푢 akan menjadi label simpul terisolasi 푓(푤 ),
푎 = 1,2, … , 푟 + 3 pada saat 푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 1)
2) Tidak ada busur antara 푣 dan 푣 , jika 푖 − 푗 ≥ 2,
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓(푣 ) haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푣 ) + 푓(푣 ) =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푖 + 푗 − 2) 2푥 + 푑(2푛 − 푖 − 푗) 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1)2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Karena 푑 genap maka penjumlahan label-label simpul pada graf kaki seribu
퐿 ⊙ 퐾 adalah genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-
label simpul terisolasi. Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 merupakan label simpul terisolasi
jika 푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) atau 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛.
3) Tidak ada busur antara 푢 dan 푢 , jika 푖 − 푗 ≥ 2,
Jumlah dari label 푓(푢 ) dan 푓(푢 ) haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푢 ) + 푓(푢 ) =
⎩⎨
⎧2푥 + 푑(푖 + 푗 − 2) 2푥 + 푑(2푛 − 푖 − 푗) 2푥 + 푑(2푛 + 푖 − 푗 − 1)2푥 + 푑(2푛 − 푖 + 푗 − 1)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Karena 푑 genap maka penjumlahan label-label simpul pada graf kaki seribu
퐿 ⊙ 퐾 adalah genap, jadi kemungkinannya hanya akan sama dengan label-
label simpul terisolasi. Nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 merupakan label simpul terisolasi
jika 푖 = 푗 + 1, yaitu 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2) atau 푓(푤 ) = 2푥 + 2푑푛
4) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 jika 푖 ≠ 푗.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
36
Universitas Indonesia
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓 푣 haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푣 ) + 푓 푣 = 6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) + 푖 − 푗 − 2) , 푖 ganjil6푥 + 푑(2푛(푙 + 2)− 푖 + 푗 − 2) , 푖 genap
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 akan menjadi label simpul terisolasi 푓(푤 ) pada saat
푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
5) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 jika 푖 ≠ 푗.
Jumlah dari label 푓(푣 ) dan 푓 푣 haruslah salah satu dari hasil berikut
푓(푢 ) + 푓 푢 = 6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) − 푖 + 푗 − 2) , 푖, 푗 ganjil6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) − 푖 + 푗 − 2) , 푖, 푗 genap
Nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 akan menjadi label simpul terisolasi 푓(푤 ) pada saat
푖 = 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
6) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푢 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah 푓(푣 ) dan 푓(푢 ) sebagai berikut
푓(푣 ) + 푓(푢 ) =
⎩⎨
⎧6푥 + 푑(2푛(푙 + 1) + 푖 + 푗 − 3)6푥 + 푑(2푛(푙 + 3) − 푖 − 푗 − 1)6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) + 푖 − 푗 − 2)6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) − 푖 + 푗 − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푣 ) + 푓(푢 ) bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
7) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푣 untuk setiap 푖, 푗.
Jumlah 푓(푢 ) dan 푓(푣 ) sebagai berikut
푓(푢 ) + 푓(푣 ) =
⎩⎨
⎧6푥 + 푑(2푛(푙 + 3) − 푖 − 푗 − 1)6푥 + 푑(2푛(푙 + 1) + 푖 + 푗 − 3)6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) − 푖 + 푗 − 2)6푥 + 푑(2푛(푙 + 2) + 푖 − 푗 − 2)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap , 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓(푣 ) bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
8) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 untuk setiap 푖, 푗
Jumlah label simpul 푓(푣 ) dan 푓 푣 adalah
푓(푣 ) + 푓 푣 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(4푛(푙 + 2) − 푖 − 푗 − 2)10푥 + 푑(4푛(푙 + 1) + 푖 + 푗 − 4)
10푥 + 푑(2푛(2푙 + 3) − 푖 + 푗 − 3)10푥 + 푑(2푛(2푙 + 3) + 푖 − 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap, 푖 genap, 푗 ganjil
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
37
Universitas Indonesia
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
9) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 , untuk setiap 푖, 푗
Jumlah label simpul 푓(푢 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푢 ) + 푓 푢 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(4푛(푙 + 1) + 푖 + 푗 − 4)10푥 + 푑(4푛(푙 + 2) − 푖 − 푗 − 2)
10푥 + 푑(2푛(2푙 + 3) + 푖 − 푗 − 3)10푥 + 푑(2푛(2푙 + 3)− 푖 + 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap , 푖 ganjil, 푗 genap
, 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
10) Tidak ada busur antara 푣 dengan 푣 untuk setiap 푖, 푗 dan 푘, 푙
Jumlah label simpul 푓(푣 ) dan 푓 푣 adalah
푓(푣 ) + 푓 푣 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 4) − 푖 − 푗 − 2)10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 2) + 푖 + 푗 − 4)
10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 3) − 푖 + 푗 − 3)10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 3) + 푖 − 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap
, 푖 ganjil, 푗 genap, 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푣 ) + 푓 푣 bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
11) Tidak ada busur antara 푢 dengan 푢 , untuk setiap 푖, 푗 dan 푘, 푙
Jumlah label simpul 푓(푢 ) dan 푓 푢 adalah
푓(푢 ) + 푓 푢 =
⎩⎨
⎧10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 2) + 푖 + 푗 − 4)10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 4) − 푖 − 푗 − 2)10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 3) + 푖 − 푗 − 3)10푥 + 푑(2푛(푘 + 푙 + 3) − 푖 + 푗 − 3)
, 푖, 푗 ganjil , 푖, 푗 genap , 푖 ganjil, 푗 genap
, 푖 genap, 푗 ganjil
Nilai 푓(푢 ) + 푓 푢 bukan merupakan simpul terisolasi 푓(푤 ) untuk setiap
푖, 푗, yaitu 푓(푤 ) = 6푥 + 푑(2푛(푙 − 1) − 2), 4 ≤ 푙 ≤ 푟 + 3.
12) Tidak ada busur antara 푣 , 푢 , 푣 , 푢 dengan 푤 , 푖 = 1, 2, … ,푛
Akan ditunjukkan bahwa 푓(푤 ) + 푓(푣 ), 푓(푤 ) + 푓(푣 ), 푓(푤 ) + 푓(푢 )
atau 푓(푤 ) + 푓(푢 ), untuk 푎 = 1,2,3, … , 푟 + 3, 1 ≤ 푙 ≤ 푟 bukan merupakan
label simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾 . Label simpul terisolasi terkecil graf
퐿 ⊙ 퐾 adalah 푓(푤 ) = 2푥 + 푑(2푛 − 2), label terkecil simpul berderajat 1
ke-푟 pada graf 퐿 ⊙ 퐾 adalah 푓(푢 ) = 5푥 + 푑(2(푟 + 1)푛 − 1). Jumlah
label terkecil simpul terisolasi dan label terkecil simpul berderajat 1 adalah
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
38
Universitas Indonesia
2푥 + 푑(2푛 − 2) + 5푥 + 푑(2(푟 + 1)푛 − 1) = 7푥 + 푑(2(푟 + 3)푛 − 3) =
(2푥 − 푑) + 5푥 + 푑(2(푟 + 3)푛 − 2) , karena 푥 > maka
(2푥 − 푑) + 5푥 + 푑(2(푟 + 3)푛 − 2) > 5푥 + 푑(2(푟 + 3)푛 − 2) dan
5푥 + 푑(2(푟 + 3)푛 − 2) merupakan label simpul terbesar pada graf 퐿 ⊙ 퐾
yaitu 푓(푣 ).
Hal ini berarti tidak ada label simpul-simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾 yang
merupakan jumlah dari label simpul-simpul terisolasi 푓(푤 ) dengan label
simpul-simpul pada graf 퐿 ⊙ 퐾 .
13) Tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
Jumlah dua label terisolasi yang berbeda 푓(푤 ) + 푓(푤 ), 푎 ≠ 푏 adalah
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 4푥 + 푑(4푛 − 3)
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 4푥 + 푑(4푛 − 2)
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 8푥 + 푑(2푎푛 − 4), 4 ≤ 푎 ≤ 푟 + 3
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 4푥 + 푑(4푛 − 1)
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 8푥 + 푑(2푎푛 − 3), 4 ≤ 푎 ≤ 푟 + 3
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 8푥 + 푑(2푎푛 − 2), 4 ≤ 푎 ≤ 푟 + 3
푓(푤 ) + 푓(푤 ) = 12푥 + 푑 4푎푛 − 2(3푛+ 2) , 4 ≤ 푎 ≤ 푟 + 3.
Penjumlahan label terisolasi 푓(푤 ) + 푓 푤 bukan merupakan label simpul
terisolasi untuk setiap 푖 ≠ 푗 dengan 푖, 푗 = 1, 2, … , 푟 + 3. Sehingga, dapat
dikatakan tidak ada busur antara simpul-simpul terisolasi.
Dengan demikian telah ditunjukkan bahwa bilangan jumlah eksklusif graf
kaki seribu atau 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) ≤ 푟 + 3. Menurut Miller, dkk (2005) untuk
sebarang graf 퐺 berlaku 휀(퐺) ≥ ∆(퐺), maka 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 푟 + 3 merupakan
bilangan eksklusif optimal graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푛 ≥ 2, 푟 ≥ 1. ∎
Contoh pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 dengan 푑 = 2 ( 2 (mod 4)) dan
푥 = 7 (3 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.13
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
39
Universitas Indonesia
Gambar 3.13. Pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푑 = 2, 푥 = 7.
Contoh pelabelan graf kaki seribu (퐿 ⊙ 퐾 ) dengan 푑 = 4 ( 0 (mod 4))
dan 푥 = 3 (3 (mod 4)) ditunjukkan pada Gambar 3.14
7
9
11
13
15 17
19
21
23
25
30 32
34
98
118
73
75 89
77
85
81
91
87
79
83
93
109
97
105
101
113
129
117
125
121
133
149
137
145
141
153
169
157
165
161
95
111
107
99
103
115
131
127
119
123
135
151
147
139
143
155
171
167
159
163
138
158
178
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
40
Universitas Indonesia
Gambar 3.14. Pelabelan graf kaki seribu 퐿 ⊙ 퐾 , 푑 = 4, 푥 = 3
Pada bab ini telah ditunjukkan bilangan jumlah eksklusif pada graf tangga,
gabungan graf tangga, dan graf kaki seribu. Pembahasan konstruksi pelabelan
graf tangga dan modifikasinya serta telah menunjukkan bilangan jumlah
eksklusif optimal yaitu 휀(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 2, gabungan 푚 graf tangga yang
isomorfik 휀(푚퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1, gabungan graf tangga yang tak perlu
isomorfik 휀 ⋃ 퐿 = 3, untuk setiap 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1, dan graf kaki seribu
휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 3 + 푟, 푛 ≥ 3, 푟 ≥ 1.
3
7
11
15
19 23
27
31
35
39
38 42
46
130
170
91
95 123
99
115
107
127
119
103
111
131
163
139
155
147
171
203
179
195
187
211
243
219
235
227
251
283
259
275
267
135
167
159
143
151
175
207
199
183
191
215
247
239
223
231
255
287
279
263
271
210
250
290
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
41
Universitas Indonesia
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan disampaikan kesimpulan dan saran yang diperoleh dari
pembahasan pelabelan jumlah eksklusif pada graf tangga, gabungan graf tangga,
dan graf kaki seribu.
4.1. Kesimpulan
Dari pembahasan telah ditunjukkan bilangan jumlah eksklusif optimal pada
graf tangga, gabungan graf tangga isomorfik, gabungan graf tangga tak
isomorfik, dan graf kaki seribu yaitu,
a. graf tangga 휀(퐿 ) = 3, 푛 ≥ 2,
b. gabungan 푚 graf tangga isomorfik 휀(푚퐿 ) = 3, 푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1
c. gabungan 푚 graf tangga tak isomorfik 휀 ⋃ 퐿 = 3, untuk setiap
푛 ≥ 3, 푚 ≥ 1,
d. graf kaki seribu 휀(퐿 ⊙ 퐾 ) = 3 + 푟, 푛 ≥ 3, 푟 ≥ 1.
4.2. Saran
Penelitian ini masih dapat dilanjutkan untuk menunjukkan bilangan jumlah
eksklusif gabungan graf kaki seribu dan graf grid.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012
42
Universitas Indonesia
DAFTAR PUSTAKA
Bergstrand, D., Harary, F., Hodges, K., Jennings, G., Kuklinski, L. & Wiener, J.
(1989). The sum number of a complete graph. Bull. Malaysian
Mathematics. Soc. 12, 25-28.
Bača, M., and Miller, M. (2008). Super Edge-Antimagic Graphs: A Wealth of
Problems and Some Solution. USA: Brown Walker Press.
Gallian, J. A. (2010). Dynamic survey of graph labeling (13th ed.). Electronic
Journal of Combinatorial,17, #DS6.
Gould, R. and Rould, V. (1991). Bound on the number of isolated vertices in sum
graph. Graph Theory, Combinatorics and Applications (edited by Y. Alevi,
G. Chartrand, O.R Oellermann and A.J. Schwenk) John Wiley and Sons.
553-562.
Harary, F. (1995). Graph Theory. USA: Addison-Wesley Publishing Company.
Hartsfield, N. & Smyth, W. F. (1992). The sum number of complete bipartite
graphs. Graphs and Matrices (edited by Rolf Rees). Marcel Dekker.
Miller, M., Patel, Ryan, J., Sugeng, K. A., Slamin, and Tuga, M. (2005).
Exclusive sum labeling of graph. Journal of Combinatorial Mathematics
and Combinatorial Computing, 55, 149-158.
Rosen, K. H. (2007). Discrete Mathematics and Its Applications (6th ed.).
Toronto: McGraw-Hill.
Sanjaya, D., John, P., Haryono, M. ( 2011, Mei). Pelabelan Jumlah Eksklusif
pada graf tangga (Ln). Prosiding Seminar Nasional, UNY, Yogyakarta.
M299-M302.
Tuga, M., Miller, M., Ryan, J., and Ryjáček, Z. (2005). Exclusive Sum Labeling
of Trees. Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial
Computing, 28, 109-121.
Pelabelan Jumlah..., M. Haryono, FMIPA UI, 2012