edy suprapto

EDY SUPRAPTOEDY SUPRAPTO

Penyelesaian:1.Secara analitis (untuk pers. sederhana)2.Secara numerik (untuk pers. sulit)

UMUMUMUM

Metode NumerikMetode Numerik: teknik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan cara operasi hitungan (arithmetic).

Persamaan Matematis

Permasalahan di Bidang IPTEK

Terdapat kesalahan (Terdapat kesalahan (errorerror) terhadap ) terhadap nilai eksaknilai eksak

UMUMUMUM

Hasil penyelesaian numerik merupakan nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitis atau eksak.

METODE METODE NUMERIKNUMERIK

Hasil:pendekatan dari penyelesaian Hasil:pendekatan dari penyelesaian Analitis (eksak)Analitis (eksak)

Dalam proses perhitungannya (algoritma)Dalam proses perhitungannya (algoritma)dilakukan dengan iterasi dalam jumlah dilakukan dengan iterasi dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-ulang yang sangat banyak dan berulang-ulang

KOMPUTER

UMUMUMUM

Metode numerik banyak digunakan di berbagai bidang, seperti bidang teknik (sipil, elektro, kimia, dsb), kedokteran, ekonomi, sosial, dan bidang ilmu lainnya.

Berbagai masalah yang ada di berbagai displin ilmu dapat digambarkan dalam bentuk matematik dari berbagai fenomena yang berpengaruh. Misalnya gerak air dan polutan di saluran, sungai dan laut,aliran udara, perambatan panas, dsb dapat digambarkan dalam bentuk matematik.

Untuk itu diperlukan METODE NUMERIK untuk menyelesaikan persamaan permasalahan di atas.

KESALAHAN (KESALAHAN (ERRORERROR))

Penyelesaian secara numeris memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar), artinya dalam penyelesaian numeris terdapat kesalahan terhadap nilai eksak.

Terdapat tiga macam kesalahan:1.Kesalahan bawaan: merupakan kesalahan dari nilai data.

Misal kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2.Kesalahan pembulatan: terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan, artinya nilai perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak.

contoh, nilai:8632574 dapat dibulatkan menjadi 86330003,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14

KESALAHAN (KESALAHAN (ERRORERROR))

3. Kesalahan pemotongan: terjadi karena tidak dilakukan hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh suatu proses tak berhingga diganti dengan proses berhingga.Contoh fungsi dalam matematika yang dapat direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga yaitu:

..........!4!3!2

1432

xxx

xe x

Nilai eksak dari diperoleh apabila semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Namun dalam prakteknya,sulit untuk menghitung semua suku sampai tak terhingga. Apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja, maka hasilnya tidak sama dengan nilai eksak. Kesalahan karena hanya memperhitungkan beberapa suku pertama disebut dengan kesalahan pemotongan.

xe

KESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIFKESALAHAN ABSOLUT DAN RELATIF

Hubungan antara nilai eksak, nilai perkiraan dan kesalahan dapat dirumuskan sebagai berikut:

p = p* + Ee

dengan:p : nilai eksakp* : nilai perkiraanEe : kesalahan terhadap nilai eksak

Sehingga dapat dicari besarnya kesalahan adalah sebagai perbedaan antara nilai eksak dan nilai perkiraan, yaitu:

Ee = p – p*

Kesalahan AbsolutKesalahan Absolut

Pada kesalahan absolut,tidak menunjukkan besarnya tingkat kesalahan


Kesalahan relatif: besarnya tingkat kesalahan ditentukan dengan cara membandingkan kesalahan yang terjadi dengan nilai eksak.

p

Eee

Kesalahan Relatif terhadap nilai eksakKesalahan Relatif

terhadap nilai eksak

Kesalahan relatif sering diberikan dalam bentuk persen.

%100p

Eee


%100

p

Eaa

Dalam metode numerik, besarnya kesalahan dinyatakan berdasarkan nilai perkiraan terbaik dari nilai eksak,sehingga kesalahan mempunyai bentuk sebagai berikut:

dengan:Ea : kesalahan terhadap nilai perkiraan terbaikp* : nilai perkiraan terbaikIndeks a menunjukkan bahwa kesalahan dibandingkan terhadap nilai perkiraan (approximate value).


Dalam metode numerik, sering dilakukan pendekatan secara iteraktif, dimana pada pendekatan tersebut perkiraan sekarang dibuat berdasarkan perkiraan sebelumnya.Dalam hal ini, kesalahan adalah perbedaan antara perkiraan sebelumnya dan perkiraan sekarang.

%1001

*

*1

*

n

nn

ap

pp

dengan: : nilai perkiraan pada iterasi ke n : nilai perkiraan pada iterasi ke n + 1

np*1

*np

SOALSOAL

1. Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak)berturut-turut adalah 10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif.

2. Hitung kesalahan yang terjadi pada nilai ex dengan nilai x = 0,5 apabila hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja. Nilai eksak dari e0,5 = 1,648721271

DERET TAYLORDERET TAYLOR(Persamaan Deret Taylor)(Persamaan Deret Taylor)

Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik,terutama penyelesaian persamaan diferensial.

Bentuk umum deret TaylorBentuk umum deret Taylor:

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak ∆x dari titik xi .

n

n

in

iiiii Rn

xxf

xxf

xxf

xxfxfxf

!

)(.....!3

)('''!2

)(''!1

)(')()(32

1

f(x)

Order 2

Order 1

xi xi+1

f(xi ) : fungsi di titik xi

f(xi+1 ) : fungsi di titik xi+1

f’, f’’,..., f n : turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsi

∆x : jarak antara xi dan xi+1

Rn : kesalahan pemotongan

! : operator faktorial

Dalam praktek sulit memperhitungkan semua suku pada deret Taylor tersebut dan biasanya hanya diperhitungkan beberapa suku pertama saja.1.Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

Artinya nilai f pada titik xi+1 sama dengan nilai pada xi . Perkiraan tersebut benar jika fungsi yang diperkirakan konstan. Jika fungsi tidak konstan, maka harus diperhitungkan suku-suku berikutnya dari deret Taylor.

2.Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

3.Memperhitungkan tiga suku pertama (order dua)

)()( 1 ii xfxf Perkiraan order nol

!1)(')()( 1

xxfxfxf iii

Perkiraan order satu

!2)(''

!1)(')()(

2

1

xxf

xxfxfxf iiii

Perkiraan order dua


ContohContohDiketahui suatu fungsi f(x) = -2x3 + 12x2 – 20x + 8,5. Dengan menggunakan deret Taylor order nol, satu, dua dan tiga, perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1 = 0,5 berdasar nilai fungsi pada titik xi = 0.

Solusi:1.Memperhitungkan satu suku pertama (order nol)

2.Memperhitungkan dua suku pertama (order satu)

5,85,8)0(20)0(12)0(2)0()5,0()( 231 ffxf i

5,1

105,8

)5,0)(20)0(24)0(6(5,8

!1

05,0)0(')0(

!1)(')()5,0()(

2

1

ff

xxfxffxf iii


DERET TAYLORDERET TAYLOR(Kesalahan Pemotongan)(Kesalahan Pemotongan)

Deret Taylor akan memberikan perkiraan suatu fungsi yang benar jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan. Dalam prakteknya hanya beberapa suku pertama saja yang diperhitungkan sehingga hasilnya tidak tepat seperti pada penyelesaian analitik. Sehingga terdapat kesalahan (error) yang disebut dengan kesalahan pemotongan (truncation error, Rn), yang ditulis:

.....!)2(

)(!)1(

)()(2

21

11

n

xxf

n

xxfxOR

n

in

n

inn

n

O(∆xn+1) berarti kesalahan pemotongan mempunyai order ∆xn+1 atau kesalahan adalah sebanding dengan langkah ruang pangkat n+1.Kesalahan pemotongan tersebut adalah kecil apabila:1.Interval ∆x adalah kecil.2.Memperhitungkan lebih banyak suku dari deret Taylor

DIFERENSIAL NUMERIKDIFERENSIAL NUMERIK(Diferensial Turunan Pertama)(Diferensial Turunan Pertama)

Diferensial numerik digunakan untuk memperkirakan bentuk diferensial kontinyu menjadi bentuk diskret.Untuk menghitung diferensial turunan pertama dapat diturunkan berdasar deret Taylor, yang dapat dituliskan dalam bentuk:

)(!1

)(')()( 21 xO

xxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

x

f iii

Turunan pertama dari f terhadap titik xi didekati oleh kemiringan garis yang melalui titik B(xi,f(xi)) dan titik C(xi+1,f(xi+1)).Bentuk diferensial di atas disebut diferensial maju order satu.

A B

C

i-1 i i+1

maju

terpusat

mundur

Garis singgung di tit

ik i

x

y


Jika data yang digunakan adalah titik xi dan xi-1 maka disebut diferensial mundur, dan deret Taylor menjadi:

Atau.....

!3)('''

!2)(''

!1)(')()(

32

1

x

xfx

xfx

xfxfxf iiiii

)(!1

)(')()( 21 xO

xxfxfxf iii

)()()(

)(' 1 xOx

xfxfxf

x

f iii

A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat

mundurGaris

singgung di titik i

x

y


A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat

mundurGaris

singgung di titik i

x

y

Jika data yang digunakan adalah titik xi-1 dan xi+1 maka disebut diferensial terpusat. Apabila pers. deretTaylor dikurangi pers. Deret Taylor (untuk diferensial mundur) didapat :

atau

atau

.....!3

)('''2!1

)('2)()(3

11

x

xfx

xfxfxf iiii

6)('''

2

)()()('

211 x

xfx

xfxfxf

x

fi

iii

)(' ixf

)(2

)()()(' 211 xO

x

xfxfxf

x

f iii


A B

C

i-1 i i+1

majuterpusat

mundurGaris

singgung di titik i

x

y

edy suprapto

Documents