EDY SUPRAPTOEDY SUPRAPTO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2012

Page 2

Akar-Akar Persamaan

a

acbbx

2

42

12

Polinomial derajat duaax2 + bx + c = 0

Akar-akarnya

Polinomial derajat tinggif (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0f (x) = x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 – 3x – 1 = 0f (x) = ex – 3x = 0f (x) = 3x + sin x – ex = 0

• Tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaiakannya• Sulit diselesaiakan secara eksplisit

Salah satu cara yang paling sederhana untuk mendapatkan penyelesaian perkiraan akar-akar dari polinomial berderajat tinggi adalah dengan cara menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari titik potongnya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut.

Cara yang lain yaitu dengan cara coba banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang kemudian dievaluasi apakah nilai f(x) = 0. Jika nilai f(x) tidak sama dengan nol kemudian dicoba dengan nilai x yang lainnya.

Tidak Efisien

Page 3

Metode Setengah IntervalLangkah-langkah penyelesaian persamaan dengan metode setengah interval adalah sebagai berikut:1.Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xi) dan f(xi+1), yaitu apabila f(xi) x f(xi+1) < 0.2.Perkiraan pertama dari akar xt dihitung dari rerata nilai xi dan xi+1:

21

iit

xxx

3. Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada:

a. jika f(xi) x f(xi+1) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xi+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4.

b. jika f(xi) x f(xi+1) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan xi = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4.

c. jika f(xi) x f(xi+1) = 0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai.

a. Hitung perkiraan baru dari akar dengan cara berikut:

21

iit

xxx

Page 4

Metode Setengah Interval5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan

yang ditentukan), maka hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembai ke langkah 3.

x1

x2

x3

x4

x5

Akar persamaanx1

x2

x3

x4

x5

x2

x3

x4x3

x

y

Page 5

Metode Setengah Interval

Contoh:1. Hitunglah salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut pada [1,2] dengan menggunakan metode setengah interval:

f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

2. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut ini (gunakan [1;1,5]). f (x) = 2x4 – x2 – 3x – 1 = 0

Page 6

Metode Interpolasi-LinearMetode interpolasi-linear didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan.

Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap ∆x yang sama sampai akhirnya didapat dua nilai fungsi f(xi) dan f(xi+1) berturutan yang mempunyai tanda berlawanan. Dari kedua nilai fungsi f(xi) dan f(xi+1) ditarik garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun didapat persamaan berikut:

)()(

)(

1

1

1

1

ii

i

i

i

xfxf

xf

xx

xx

xi xi+1

x*

f(x) f(xi+1)f(xi+1) – f(xi)

xi+1 – xi

f(x)

x

)()()(

)(1

1

11 ii

ii

ii xx

xfxf

xfxx

Nilai tersebut digunakan untuk

menghitung nilai f(x*), yang

kemudian digunakan untuk interpolasi linear dengan nilai f(xi) atau f(xi+1) sedemikian hingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda.

Page 7

Contoh:1. Hitunglah salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut pada [1,2] dengan menggunakan metode interpolasi-linear:

f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

2. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut ini (gunakan [1;1,5]). f (x) = 2x4 – x2 – 3x – 1 = 0

Metode Interpolasi-Linear

Page 8

Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan. Jika perkiraan awal dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi,f(xi)). Titik di mana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

xi

f(xi) – 0

xi+1

xi – xi+1

f(x)

f(x)A

B

1

0)()('

ii

ii xx

xfxf

atau

)('

)(1

i

iii xf

xfxx

Page 9

Contoh:1. Hitunglah salah satu akar dari persamaan pangkat tiga berikut dengan menggunakan metode Newton-Raphson:

f (x) = x3 + x2 – 3x – 3 = 0

2. Hitunglah salah satu akar dari persamaan berikut ini. f (x) = 2x4 – x2 – 3x – 1 = 0

Metode Newton-Raphson