UNIVERSITE DE PROVENCE

Memoire presente en vue del’Habilitation a Diriger des Recherches

Nappes, Gouttes, Menisques et Bulles.

Christophe CLANET

Jury Rapporteurs

CLAVIN Paul BOHR TomasCOUDER Yves MARTIN RogerHUERRE Patrick NAGEL SidneyPROVANSAL MichelQUERE David

Table des matieres

1 Fabre recoit Pasteur 4

2 Remerciements 6

3 Introduction 9

4 Curriculum Vitæ 10

5 Enseignement 115.1 Enseignement a l’Ecole Polytechnique . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Enseignement a Marseille en 2eme et 3eme cycles . . . . . . . . . . . 125.3 Encadrement de theses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4 Encadrement de stages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Recherche 156.1 Themes de Recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.1.1 Combustion ou interfaces fluides reactives . . . . . . . . . . . 156.1.2 Interfaces fluides non reactives . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.1.3 Mecanique des fluides classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.2 Revues a comite de lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.4 Articles et Films de vulgarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.5 Congres, Colloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.6 Seminaires invites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.7 Rapports de Contrats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.8 Autres formes de participation a la vie scientifique : . . . . . . . . . 22

7 Nappes 247.1 Cloches d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Nappes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Gouttes 408.1 Les gouttes de Leidenfrost. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.2 Impacts et rebonds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

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9 Menisques 499.1 Une petite histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.2 Analogie avec le pendule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2.1 Le pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2.2 Menisque plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.2.3 Plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9.3 Menisque dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10 Bulles 6410.1 Dynamique stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6410.2 Dynamique instationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11 Projets de Recherche 7311.1 Des interfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.1.1 Impacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7311.1.2 Atomisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7511.1.3 Coalescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

11.2 . . . a la bio-mecanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611.2.1 Etude mecanique des anevrismes aortiques . . . . . . . . . . 7611.2.2 De l’air dans les poumons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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a Isabelle, Odette, Theo, Yseult et Noemie.

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Chapitre 1

Fabre recoit Pasteur

La rencontre a lieu en 1865. Jean-Henri Fabre a 42 ans et Louis Pasteur 43. Elleest rapportee par Fabre dans les souvenirs entomologiques, volume II, p.848, Lescorpion languedocien, la famille :

La tournee de Pasteur dans la region avignonnaise avait pour objet la sericiculture.Depuis quelques annees, les magnaneries etaient en desarroi, ravagees par des fleauxinconnus. Les vers, sans motifs appreciables tombaient en deliquescence putride, sedurcissaient en pralines de platre. Le paysan atterre voyait disparaıtre une de sesprincipales recoltes ; apres bien des soins et des frais, il fallait jeter les chambreesau fumier.Quelques paroles s’echangent sur le mal qui sevit ; et, sans autre preambule :“Je desirerais voir des cocons, fait mon visiteur ; je n’en ai jamais vu, je ne lesconnais que de nom. Pourriez-vous m’en procurer ?- Rien de plus facile. Mon proprietaire fait precisement le commerce des cocons, etnous sommes porte a porte. Veuillez m’attendre un instant, et je reviens avec ce quevous desirez.”En quatre pas, je cours chez le voisin, ou je me bourre les poches de cocons. A monretour, je les presente au savant. Il en prend un, le tourne, le retourne entre lesdoigts ; curieusement il l’examine comme nous le ferions d’un objet singulier venude l’autre bout du monde. Il l’agite devant l’oreille.“Cela sonne, dit-il tout surpris, il y a quelque chose la-dedans ?- Mais oui.- Et quoi donc ?- La chrysalide.- Comment, la chrysalide ?- Je veux dire l’espece de momie en laquelle se change la chenille avant de devenirpapillon.- Et dans tout cocon il y a une de ces choses-la ?- Evidemment, c’est pour la sauvegarde de la chrysalide que la chenille a file.- Ah !”

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Et, sans plus, les cocons passerent dans la poche du savant, qui devait s’instruirea loisir de cette grande nouveaute, la chrysalide. Cette magnifique assurance mefrappa. Ignorant chenille, cocon, chrysalide, metamorphose, Pasteur venait regene-rer le ver a soie. Les antiques gymnastes se presentaient nus au combat. Geniallutteur contre le fleau des magnaneries, lui pareillement accourrait a la bataille toutnu, c’est-a-dire depourvu des plus simples notions sur l’insecte a tirer de peril.J’etais abasourdi ; mieux que cela, j’etais emerveille.

Encourage par le magnifique exemple des cocons sonnant aux oreilles etonnees dePasteur, je me suis fait une loi d’adopter la methode ignorante dans mes recherchessur les instincts. Je lis tres peu. Au lieu de feuilleter des livres, dispendieux moyenqui n’est pas a ma portee, au lieu de consulter autrui, je me mets en opiniatretete-a-tete avec mon sujet jusqu’a ce que je parvienne a le faire parler. Je ne saisrien. Tant mieux, mes interrogations ne seront que plus libres, aujourd’hui dans unsens, demain dans le sens oppose, suivant les eclaircies obtenues. Et si, par hasard,j’ouvre un livre, j’ai le soin de laisser dans mon esprit une case largement ouverteau doute, tant le sol que je defriche se herisse de folles herbes et de ronciers.

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Chapitre 2

Remerciements

Maintenant qu’elle est ecrite, cette partie me semble longue. Paradoxalement, cha-cun des paragraphes me paraıt trop court. . .

These :A Paul Clavin : Ce n’est pas tous les jours que nous avons l’occasion de discuter :Merci de m’avoir accueilli dans votre laboratoire et supporte tout au long de ces11 annees. Merci et bravo pour ce que vous avez fait, votre recherche, le LRC etl’IRPHE. Merci aussi pour avoir tenu Parole.

A Geoffrey Searby : Je te l’ai deja dit souvent et maintenant je l’ecris : Merci dem’avoir pris en these. Merci de m’avoir appris a regarder, a interroger, a douter, aessayer de comprendre. Merci aussi pour ta solide amitie. Solide, c’est peut-etre lemot qui te definit le mieux pour moi.

A Jacky Minelli : Le magicien, celui qui corrige et donne vie aux croquis mal engageset couches sur du papier entre deux formules fumeuses. Le magicien qui fait “justeson boulot” et qui ne veut surtout pas qu’on l’appelle le magicien. Merci Jacky dem’avoir appris a simplifier les montages et a faire attention aux details.

A Pierre Pelce : Je sais que cela ne te fera ni chaud ni froid mais je tiens a temanifester toute mon admiration : tu es la seule personne que je connaisse qui dis-cute de l’evolution possible des sciences sur les dizaines d’annees a venir avec forced’argumentation et de conviction. Felicitations aussi pour ta traversee solitaire dedix ans vers les cotes de la biophysique. Je me souviens encore de ce que tu disaisen 1991 : La mecanique est une vieille science. Il n’y a plus grand chose a y faire.Les ordres 0 sont en biophysique a present.

A Thomas Leweke : “Bonjour Thomas” c’etait la phrase quotidienne des annees dethese. Merci pour toutes les discussions agreables a l’heure du repas. Merci pour tonamitie et felicitations pour tes competences.

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Post DocTo Juan Lasheras : I must write in English, since my knowledge in Spanish re-duces to “Hola Juan, quetal ?”. I am not sure this sentence is even correct. I mustfirst thank you for welcoming Isabelle and I in San Diego during almost two years.Thank you for your support but also for your kindness and your intelligence. TheseSan Diego years are unforgettable : Theo was born there. I also thank you for thefreedom I had, the freedom to choose the subject, the freedom to manage the expe-riment. Thank you Juan.

To Carlos Martinez, Ken Kiger, Geno Pawlak, Antonio Barrero, Antonio Sanchez :Thank you all for your friendship and those Esperanto evenings where every onewas speaking his language, trying to understand the others. I don’t know how itworked out, but it did.

Ingenieur de RechercheA Michel Provansal : Merci pour ton aide et tes conseils. Merci aussi pour ta sim-plicite, ta curiosite et ta perseverance.

A Laurent Limat : J’ai passe deux etes merveilleux a PC en ta compagnie. Jen’oublie pas evidemment Jean-Marc Flesselles, Marc Fermigier, Eduardo Weisfreid,Thomas Podgorski et Philippe Brunet. J’espere que nous aurons l’occasion de re-travailler ensemble.

A Emmanuel Villermaux : Merci pour ta curiosite et ton amabilite a mon egard. Jen’oublie pas les etes grenoblois dans le groupe d’Emil Hopfinger, les experiences al’ethanol, je n’oublie pas Jean-Paul Barbier-Neyret ni Serge Layat. Je n’oublie pasles joyeux repas avec Isabelle, Ninon et Celeste.

A Howard Stone : I remember how we met : A Euromech Colloquium at the EcolePolytechnique on interfacial flows. We spoke about pulsating fountains and shareda dinner at the Eiffel tower. Marangoni helped us to keep in touch and voila. Thankyou for your kindness.

A Agnes Benassy et David Quere : Ha !, la, il va me manquer un peu de place.Les enfants, vous voulez bien me dessiner une boıte, c’est pour Agnes et David.Mais si, vous savez, les boıtes ou l’on peut mettre des moutons, des reves et desremerciements. Voila, super, merci les enfants. La, j’ai vraiment la place. Voila ca yest. Tout est bien range, Necker, l’X, les articles surprises, les discussions avec lesenfants entre Viallat et Soulages. Il faut vraiment que je tasse, il y a beaucoup dechoses a mettre, sans compter celles que je vais oublier. Merci pour votre chaleur,votre originalite, votre creativite, votre humanite. Merci de votre Amitie.

A Patrick Huerre : “Bonjour Monsieur, vous avez l’air de bien vous amuser dans

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votre petit laboratoire. Et cela sert a quelque chose ?”. Evidemment, ce n’est pas moiqui parle mais Patrick Huerre lors de notre premiere rencontre a St. Jerome. C’esten tout cas le souvenir que je garde de cette courte mais energique entrevue. Vouscomprendrez ma surprise lorsqu’il conclut l’entretien par : “Cela vous interesseraitd’enseigner a l’X ?”. . .Merci pour ton honnetete, ta franchise, ta confiance, tes competences. Merci beau-coup.

Professeur Charge de CoursAu departement de Mecanique de l’X : Merci a tous pour votre confiance. Merciaussi pour la grande honnetete des debats et pour la faculte de mettre les eleves aucentre des preoccupations des enseignants.

Aux compagnons de PC : Jean-Marc Chomaz, Elisabeth Guazzelli, Francois Lott,Frederic Dias, Thomas Dubos et Andre Lafon. Merci pour les echanges critiques etconstructifs.

H.D.R.Merci aux rapporteurs Tomas Bohr, Roger Martin et Sydney Nagel pour le tempsqu’ils ont consacre a evaluer mon travail.

Merci a Paul Clavin, Yves Couder, Patrick Huerre, Michel Provansal et David Quered’avoir accepte de faire partie du Jury.

AutresAux etudiants qui m’ont accompagne et a qui je dois plusieurs des illustrationspresentees dans ce document. Je les en remercie vivement avec une attention par-ticuliere a ceux qui ont chemine avec moi pendant leur these, Pierre Heraud etNicolas Bremond.

Aux rencontres plus occasionnelles : je pense a Cyprien Gay, Benoıt Roman, Jean-Yves Ollitrault. Merci a vous pour toutes les discussions amicales.

Merci aussi aux amis du College de France qui ont bien voulu partager avec moide nombreuses idees et plusieurs des recherches presentees ici : Denis Richard, JoseBico, Pascale Aussillous, Elise Lorenceau, Frederic Chevy, Ko Okumura et MadameBiance.

Je remercie enfin l’ensemble du personnel de l’IRPHE pour le caractere tres agreablede la vie au quotidien.

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Chapitre 3

Introduction

1er juillet 2002. il pleut sur Paris. Un ami1 maintient que le temps n’est pas pirequ’a Marseille. Je viens juste de comprendre sa blague : si je veux voir des gouttes,des bulles, des flaques, c’est vraiment ici qu’il faut vivre. . . Je ne suis pas sur qu’elleva faire rire ma mie.

1er juillet 2002, il goutte, bulle, flaque sur Paris. C’est un bon moment pour com-mencer la redaction de la these d’habilitation : les amis, les etudiants, la moelle desarticles (si j’en trouve) et le projet scientifique, tout doit y trouver sa place.

Nappes, Gouttes, Menisques et Bulles : quatre noms pour illustrer des recherchessur la dynamique des interfaces fluides. Ces recherches ont commence en Post-Docen 1996 et se poursuivent a l’IRPHE depuis 1997.

Apres avoir etudie la propagation des interfaces reactives pendant la these, la de-marche suivie depuis est d’etudier la dynamique des interfaces non reactives, plussimples experimentalement. Dans la limite des fluides peu visqueux, cette dyna-mique est caracterisee par des temps courts dont l’etude experimentale a longtempsete limitee pour des raisons technologiques. Cette remarque explique en partie lecaractere quasi-vierge de ce domaine qui renferme par ailleurs de nombreux pheno-menes de la vie quotidienne, comme l’impact d’une goutte d’eau sur une vitre.

L’idee dans ce document est d’illustrer ces recherches au travers d’exemples choisiset de laisser le lecteur se reporter aux publications pour creuser les differents sujets.Prealablement a ces recherches, on trouvera un Curriculum Vitæ, le detail de monactivite d’enseignement et une liste de publications. Le document se conclue sur lapresentation de mon projet de recherche.

1parisien

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Chapitre 4

Curriculum Vitæ

Etat civil Clanet ChristopheNe le 30 mai 1968 a Lavelanet, AriegeMarie, trois enfants

Adresse Institut de Recherche sur les Phenomenes Hors Equilibre45 rue Joliot Curie, Chateau Gombert, 13013 MarseilleTel. : 04 96 13 97 27Fax : 04 96 13 97 09e-mail : clanet@irphe.univ-mrs.fr

Profession 2001–2003 Professeur Charge de Cours a l’Ecole Polytechnique1997–2003 Ingenieur de Recherche au CNRS (IRPHE)

Formation 1995–97 Post-Doc a UC San Diego1991–95 These de doctorat de l’Universite de Provence1994–95 Scientifique du contingent a l’ONERA Palaiseau1991 DEA de Physique et Modelisation des Systemes Complexes

Universite Aix-Marseille I.1988–91 Ecole Superieure d’Ingenieurs de Marseille1986–88 Sup/Spe au lycee Pierre de Fermat (Toulouse)1986 Baccalaureat serie C

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Chapitre 5

Enseignement

Je distingue dans mon enseignement, celui dispense a l’Ecole Polytechnique et celuidispense a Marseille, soit en Ecoles d’Ingenieurs (ENSPM et ESM2) soit a l’Univer-site.

5.1 Enseignement a l’Ecole Polytechnique

L’enseignement a l’X en tant que Professeur Charge de Cours est detaille dans letableau 5.1. L’annee, le type d’enseignement, le nombre d’heures et le sujet y sontindiques. L’intitule Mec 432 qui apparaıt dans le tableau 5.1 correspond au cours demecanique des fluides de P.Huerre. Il se compose de 9 seances, chacune comprenant1h30 de cours suivi de deux seances de 2h00 de Petite Classe (PC). Les ModEx sontdes Modules Experimentaux au cours desquels les eleves sont inities a la rechercheexperimentale.

Annee Type Nombre Sujetd’enseignement d’heures

2002–03 PC 9x2x2 Mec 432

2002–03 ModEx 9x6 FluidesGeophysiques

2001–02 PC 9x2x2 Mec 432

2001–02 ModEx 9x6 FluidesGeophysiques

Tab. 5.1 – Enseignement dispense a l’Ecole Polytechnique.

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5.2 Enseignement a Marseille en 2eme et 3eme cycles

L’enseignement a Marseille est detaillee dans les tableaux 5.2 et 5.3. Y sont indiques,l’annee, le niveau, le type (cours, TD, projet), le nombre d’heures effectuees ainsique le sujet traite1.

Annee Niveau Type Nombre Sujetd’enseignement d’heures

2002–03 DEA PMSC cours 18 Mouillage

2002–03 ESM2 projets 20 Hydraulique

2001–02 DEA PMSC cours 9 Mouillage

2000–01 DEA PMSC cours 6 Mouillage

2000–01 2eme annee cours 4 RayonnementENSPM

2000–01 2eme annee TD 8 ThermiqueENSPM

2000–01 2eme annee projet 16 ThermiqueENSPM

2000–01 1ere annee enseignement 20 Mecaniqueecole d’ingenieurs d’approfondissement des fluides

ESM2

1999–2000 DEA cours 6 TraitementPMSC du signal

1998–99 1ere annee TD 12 ThermiqueENSPM

1998–99 1ere annee projet 16 ThermiqueENSPM

Tab. 5.2 – Enseignement dispense en deuxieme et troisieme cycle.

1Dans ce tableau ainsi que dans le reste du document, les sigles suivants sont utilises : UCSDpour Universite de Californie San Diego, ENSPM pour Ecole Nationale Superieure de Physiquede Marseille, PMSC pour Physique et Modelisation des Systemes Complexes et ESM2 pour EcoleSuperieure de Mecanique de Marseille.

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Annee Niveau Type Nombre Sujetd’enseignement d’heures

1997–98 1ere annee TD 12 ThermiqueENSPM

1997–98 1ere annee projet 16 ThermiqueENSPM

1995–96 Undergraduate cours 6 Couches limitesa UCSD

(maıtrise)

Tab. 5.3 – Enseignement dispense en deuxieme et troisieme cycle (suite).

5.3 Encadrement de theses

– J’ai co-encadre avec G.Searby la these de Pierre Heraud soutenue le 13 novembre2002.

Cette these etait co-financee DGA-CTSN et portait sur le retour a l’equilibre dedeux fluides immiscibles initialement instables au sens de Rayleigh Taylor. Laphysique etudiee est celle des interfaces courbes forcees de se propager dans unegeometrie imposee. Les applications pour la DGA, concernent la stabilite des sousmarins et le remplissage de sillos, ouverts depuis le depart d’un engin mer-air jus-qu’a la fermeture de l’ecoutille. Plus generalement, les echangeurs chimiques, lepompage par bulles utilise dans l’industrie petroliere ou encore les ecoulementsdans les poreux sont des applications concernees par ces recherches.

– Je co-encadre avec E.Villermaux la these de Nicolas Bremond sur la stabilite etl’atomisation des nappes liquides :Cette deuxieme these est financee par le ministere de la recherche. La physiqueetudiee est celle des films minces, de leur stabilite vis a vis des ondes qui peuvents’y propager et de leur interactions avec les bourrelets qui les entourent. Les ap-plications concernees par cette etude sont celles liees a l’atomisation (injecteursagricoles, les injecteurs Diesel ou encore injecteurs de moteurs fusees qui ont ini-tialement motive cette etude).

5.4 Encadrement de stages

Les stages encadres ou co-encadres sont presentes dans le tableau 5.4. Y sont indi-ques, l’annee, leur nature, leur duree, le sujet traite ainsi que le nom des etudiants.

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Annee Nature Nombre Sujet Etudiantsdu stage de mois

2003 Stage 3 Ricochets F.HersenEcole Polytechnique

2003 Stage 1 Rebonds en G.LagubeauENS Cachan calefaction

2003 Stage DEA 4 Rupture de J.DeschampsPMSC digue

2002 Stage d’option 3 Impact d’un jet G.Le MassonENSTA sur un barreau

2002 Stage d’option 3 Impacts C.BeguinEcole Polytechnique de gouttes

1999 Stage de maıtrise 2 Etude experimentale N.Bremondde physique du ressaut hydraulique

1998 Stage d’option 3 Sur le glou-glou L.CastillonEcole Polytechnique de la bouteille

1998 Stage d’option 3 comportement N.CordierEcole Polytechnique des bulles et gouttes F.Laumonier

a une interface

1997 Stage d’option 3 impact des gouttes C.AigleEcole Polytechnique sur une surface

1997 Stage de DEA 3 mesure de N. ChabertPMSC (Marseille) vitesse de flamme

diphasiques

1997 Stage de recherche 1 glou-glou G.AbramiENS Physique de la bouteilleStrasbourg

1995 Stage d’option 3 instabilite de F.PratEcole Polytechnique Darrieus-Landau

Tab. 5.4 – Stages encadres ou co-encadres depuis 1995.

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Chapitre 6

Recherche

6.1 Themes de Recherche

Les recherches entreprises depuis 1991 sont pour l’essentiel en mecanique des fluideset en physique des interfaces. Elles ont donne lieu aux 24 publications (Ai avec1 ≤ i ≤ 24) presentees dans la section 6.2. Ces publications illustrent mes themesde recherche :

6.1.1 Combustion ou interfaces fluides reactives

• Instabilite intrinseque : A3.• Instabilites thermo-acoustiques : A7.• Instabilite de propagation : A1.• Un modele minimal : A19.

6.1.2 Interfaces fluides non reactives

• Nappes liquides : A8, A11, A12, A13.• Bulles : A2, A21.• Gouttes : A6, 17, 18.• Impacts : A14, A20, A22.• Mouillage : A16, A23.

6.1.3 Mecanique des fluides classique

• Clepsydres : A9, A24.• Jets : A5.• Tubes : A15.

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6.2 Revues a comite de lecture

A.24- C.Clanet, E.Lorenceau and D.Quere 2003 Kinetics of emptying of acontainer filled with an inviscid liquid submitted to Phys. Fluids.

A.23- A.L.Biance, C.Clanet and D.Quere 2003 First steps of spreading sub-mitted to PRL

A.22- K.Okumura, F.Chevy, D.Richard, D.Quere and C.Clanet 2003 Wa-ter spring : a model for bouncing drops Europhysics Letters 62, 237–243.

A.21- C.Clanet, P.Heraud and G.Searby 2002 Rising velocities of bubblessubmitted to J.Fluid Mech

A.20- Y.Renardy, S. Popinet, L.Duchemin, M.Renardy, M.Clarke, S. Za-

leski, C.Josserand, C.Clanet, D.Richard, D.Quere. 2003 Pyramidal andToroidal water drops after impact. J.Fluid Mech 484, 69–83.

A.19- C.Clanet 2002 Dominoes race submitted to Am. J. of Physics

A.18- A.L.Biance C.Clanet and D.Quere 2003 Leidenfrost drops Phys. Fluids15 (6), 1632–1637.

A.17- B.Roman, C.Gay and C.Clanet 2002 Pendulum, drops and rods : aphysical analogy. Accepted in Am. J. of Physics

A.16- C.Clanet and D.Quere 2002 Onset of meniscii. J.Fluid Mech 460, 131–149.

A.15- E.Lorenceau, D.Quere, J.Y.Ollitrault and C.Clanet 2002 Gravita-tional oscillations of a liquid column. Phys. Fluids 14 (6), 1985–1992.

A.14- D.Richard C.Clanet and D.Quere 2002 Contact time of a bouncingdrop. Nature 417, 811.

A.13- C. Clanet and E.Villermaux 2002 Life of a smooth liquid sheet. J.FluidMech 462, 307–340.

A.12- E.Villermaux and C. Clanet 2002 Life of a flapping liquid sheet. J.FluidMech 462, 341–363.

A.11- C. Clanet 2001 Dynamics and Stability of water bells. J.Fluid Mech 430,111–147.

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A.10- C. Clanet 2000 Stability of water bells generated by jet impacts on a disk.Physical Review Letters 85 (24), 5106–5109.

A.9- C. Clanet 2000 Clepsydrae, from Galilei to Torricelli. Phys. Fluids 12 (11),2743–2751.

A.8- P. Marmottant, E.Villermaux and C. Clanet 2000 Transient surfacetension of an expanding liquid sheet. Journal of Colloid and Interface Science 230,29–40.

A.7- C.Clanet, G.Searby and P.Clavin 1999 ‘Primary acoustic instability offlames propagating in tubes : cases of spay and premixed gas combustion. J.FluidMech 385, 157–197.

A.6- C.Clanet and J.C.Lasheras 1999 Transition from dripping to jetting.J.Fluid Mech 383, 307–326.

A.5- C. Clanet 1998 On large amplitude pulsating fountains. J.Fluid Mech. 366,333–350.

A.4- C. Clanet and E.Villermaux 1998 An accurate analytical estimate ofthe period for the delayed logistic application and the Lotka-Volterra system. Eur.Phys. J. B 6, 529–536.

A.3- C.Clanet and G.Searby 1998 First experimental study of the Darrieus-Landau instability. Physical Review Letters 80 (17), 3867–3870.

A.2- C.Clanet and J.C.Lasheras 1997 Depth of penetration of bubbles entrai-ned by a plunging water jet. Phys. Fluids 9 (7), 1864–1866.

A.1- C.Clanet and G.Searby 1996 On the Tulip flame phenomenon. Combus-tion and Flame 105, 225–238.

6.3 These

C.Clanet 1995 Instabilites de propagation de flammes monophasiques et dipha-siques dans une enceinte semi-ouverte. These de doctorat, universite d’Aix MarseilleI.

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6.4 Articles et Films de vulgarisation

B.9- Les secrets du ricochet. 2003 E=M6 18 Mai 2003. Reportage de Ra-phael Blachere.

B.8- Les gouttes qui ne mouillent pas. 2002 France Info juin 2002. Inter-view d’Isabelle Labeyrie.

B.7- Rebonds de gouttes 2002 Journal de 20 heures de France 2 27 juin 2002.

B.6- Rebondissante histoire de goutte d’eau 2002 Le Figaro, rubriqueSciences 25 juin 2002. Article ecrit par Nicolas Louis.

B.5- De l’eau sur ressort pour des surfaces impermeables 2002 Le Monde,article paru dans l’edition du 29 juin 2002. Article ecrit par Olivier Vidal.

B.4- Les fontaines pulsantes 2001 Encyclopaedia universalis - La science aupresent 2001 61. Article co-ecrit par D.Quere et Elie Raphael.

B.3- C.Clanet 2000 Les nappes d’eau de Felix Savart. Bulletin de la S.F.P. 125,11–15.

B.2- C.Clanet 2000 Faire des gouttes. Emission Archimede 6 juin 2000, 10’56”,(ARTE).

B.1- Le jongleur d’eau 1999 Pour la science 261, 28.

6.5 Congres, Colloques

avec actes

C.6- Clanet, C. and Villermaux, E. 1999 How drops form in the 1833 Savartexperiment. 15th Annual Conference on Liquid Atomization and Sprays, Toulouse,July 5–7.

C.5- Aigle C., Clanet C., Provansal M. 1998 Etude de l’etalement d’unegoutte sur un substrat solide. Publication Societe Francaise des Thermiciens, "Phe-nomenes de Transport lors de la Projection de Particules sur une Surface", editepar D.Gobin. Paris, 7 janvier 1998, pp 1-7.

C.4- Aigle C., Clanet C., Provansal M. 1998 Etude experimentale de la dissi-pation d’energie lors de l’impact d’une goutte sur une surface solide. Proc. CongresSociete Francaise des Thermiciens, Thermique et Environnement, Marseille , pp

18

353-358, Elsevier editeur, mai 1998.

C.3- G.Searby and C.Clanet 1995 Thermo-acoustic instabilities in one and twophase combustion. Colloque Ecoulements Propulsifs dans les Systemes de transportSpatial, CNES/ SEP/ONERA, Bordeaux, 11-15 septembre 1995.

C.2- G.Searby et C.Clanet 1995 Instabilites acoustiques en combustion dipha-sique, croissance et saturation 5eme Colloque Combustion dans les moteurs fusee,CNRS-CNES-SEP-ONERA, Paris, 30-31 octobre 1995.

C.1- Clanet, C. and Villermaux, E. 1995 Les instabilites basse frequence dubanc Mascotte : des oscillations de confinement ?. 5eme colloque Combustion dansles moteurs fusee CNRS-CNES-SEP-ONERA, Paris, 30-31 octobre 1995.

sans actes (resumes)

D.13- C.Clanet 2002 Dynamique instationnaire des bulles de Taylor. Hydrodyna-mic instabilities of fronts, Paris, November 26–29.

D.12- D.Quere, D.Richard, C.Beguin and C.Clanet 2002 3-2-1 Impact. 55thmeeting of the American Physical Society, Division of Fluid Dynamics, Dallas, No-vember 24–26.

D.11- N.Bremond, C.Clanet and E.Villermaux 2002 From jet to drop via jet.55th meeting of the American Physical Society, Division of Fluid Dynamics, Dallas,November 24–26.

D.10- C.Clanet, P.Heraud and G.Searby 2002 Rising velocities of bubbles55th meeting of the American Physical Society, Division of Fluid Dynamics, Dallas,November 24–26.

D.9- C.Clanet and D.Quere 2001 Onset of Menisci. 54th meeting of the Ameri-can Physical Society, Division of Fluid Dynamics, San Diego, November 18–20.

D.8- C.Clanet and H.A.Stone 2000 Soap bubble burstings. 53th meeting of theAmerican Physical Society, Division of Fluid Dynamics, Washington D.C., Novem-ber 19–21.

D.7- C.Clanet 1999 From Galilei to Torricelli. 52th meeting of the American Phy-sical Society, Division of Fluid Dynamics, New Orleans, November 21–23.

D.6- C.Clanet and E.Villermaux 1998 Drops formed from the 1833 Felix Sa-vart liquid sheet. 51th meeting of the American Physical Society, Division of Fluid

19

Dynamics, Philadelphia, PA, November 22–24.

D.5- Aigle C., Clanet C., Provansal M. 1997 Impact of a drop an a solidsurface. 50th Annual Meeting of the Division of Fluid Dynamics, American PhysicalSociety, 23-25 novembre 1997, San Francisco, California, USA..

D.4- C.Clanet, G.Searby and E.Villermaux 1997 On the glug-glug of thebottle. 50th meeting of the American Physical Society, Division of Fluid Dynamics,23-25 Novembre 1997, San Francisco, Californie.

D.3- C.Clanet and C.Martinez 1996 On large amplitude pulsating fountains.Euromech Colloquium 355 on Interface Instabilities, 11-13 septembre 1996, EcolePolytechnique, Palaiseau, Paris.

D.2- C.Clanet and J.C.Lasheras 1996 On the transition from dripping to jet-ting. 49th meeting of the American Physical Society, Division of Fluid Dynamics,24-26 Novembre 1996, Syracuse, New York.

D.1- C.Clanet and G.Searby 1994 Acoustic instability in one-phase and two-phase combustion. Euromech Colloquium 324 on Combustion of Drops, Sprays andAerosols, 25-27 juillet 1994, Marseille.

6.6 Seminaires invites

E.20- Harvard, USA 2002 The writer, the cooker and the driver. invite parHoward Stone.

E.19- Chicago, USA 2002 The writer, the cooker and the driver. invite parWendy Zhang.

E.18- FAST, Orsay 2001 Pendules, gouttes et tiges : une analogie physique.invite par Ludovic Pauchard.

E.17- CRPP, Bordeaux 2001 Les menisques et leur dynamique. invite par Cy-prien Gay.

E.16- Penn State University, USA 2001 Onset of Meniscii. invite par A.Belmonte.

E.15- ESPCI, Paris 2000 Sur l’eclatement d’une bulle de savon. invite par LaurentLimat.

E.14- IMFS, Strasbourg 2000 Des cloches d’eau et des bulles de savon. invite

20

par Eric Climent.

E.13- College de France, Paris 1999 Quelques remarques sur les experiencesde Felix Savart en 1833. invite par David Quere.

E.12- Ecole Polytechnique, Paris 1999 Sur le choc d’une veine liquide lanceecontre un plan circulaire. invite par Patrick Huerre.

E.11- ESPCI, Paris 1999 Sur le choc d’une veine liquide lancee contre un plancirculaire. invite par Laurent Limat.

E.10- E.T.S. Aeronauticos, Madrid 1999 Experimental study of water bells.invite par Amable Linan.

E.9- Aeronauticos, Seville 1999 Experimental study of water bells. invite parAntonio Barrero.

E.8- IUSTI, Marseille 1998 Sur le glou-glou de la bouteille et autres oscillateursnon-lineaires. invite par Olivier Pouliquen.

E.7- Department of AMES, UCSD San Diego 1998 On the glug-glug of thebottle and other non-linear oscillators. invite par J.C.Lasheras.

E.6- ESPCI, Paris 1998 Sur le glou-glou de la bouteille et autres oscillateursnon-lineaires. invite par Laurent Limat.

E.5- IMFT , Toulouse 1998 Fontaines et gouttes. invite par Jacques Magnaudet.

E.4- Department of AMES, UCSD San Diego 1997 On some interfacial pro-blems. invite par J.C.Lasheras.

E.3- Department of Mechanical Engineering at the Johns Hopkins uni-

versity, Baltimore 1996 On some interfacial problems. invite par Andrea Pros-peretti.

E.2- Department of Mechanical Engineering at the University of Ma-

ryland 1996 On some interfacial problems. invite par Kenneth Kiger.

E.1- Department of AMES, UCSD San Diego 1995 The Darrieus-Landauinstability and the Tulip flame phenomenon. invite par J.C.Lasheras.

21

6.7 Rapports de Contrats

F.4- P.Heraud, C.Clanet et G.Searby 2000 Le retour a l’equilibre de deuxfluides immiscibles places dans une configuration instable au sens de Rayleigh-Taylor. Rapport d’avancement du contrat DGA-CTSN n◦ A 99 61 111 00, avenant 4.

F.3- E. Villermaux, P. Marmottant, C. Clanet, E. Hopfinger, J.C. La-

sheras 1998 Atomisation et melange dans les jets coaxiaux. Rapport de fin decontrat SEP n◦91.0023 C, avenant 8.

F.2- E. Villermaux et C. Clanet 1996 Les oscillations de confinement dubanc Mascotte. Rapport de fin de contrat SEP n◦91.0023 C, avenant 5.

F.1- G.Searby et C.Clanet 1996 Instabilites acoustiques et combustion dipha-sique. rapport final de synthese dans le GDRCNES/CNRS/SEP/ONERA Combustion dans les moteurs fusees, contrat SEP n◦

95.0075G.

6.8 Autres formes de participation a la vie scientifique :

G.12-Co-encadrement de these de Pierre Heraud Sur le retour a l’equilibrede deux fluides immiscibles initialement instables au sens de Rayleigh-Taylor. Theseco-financee DGA-CTSN sur un probleme lie a la stabilite des sous-marins. avecG.Searby.

G.11-Co-encadrement de these de Nicolas Bremond Stabilite et atomizationdes lames liquides. These financee par le ministere de la recherche. avec E.Villermaux.

G.10- Elaboration du CD-Rom de Mecanique des Fluides, encadre par B.Homsy (UCSB) et commercialise par Cambridge University Press, dans l’equipeInterfacial Phenomena avec M. Fermigier et D. Quere.

G.9- Referee regulier pour J. Fluid Mech, Phys. Fluids, European

Journal of Mechanics B/Fluids.

G.8-Pritchard Distinguished Visitor at Penn State, novembre 2001.

G.7-Chercheur invite a l’ESPCI, juin 2000.

G.6-Chercheur invite a l’ESPCI, avril 1999.

22

G.5-Consultant scientifique a UCSD., aout 1998.

G.4-Responsable du groupe “Interfaces fluides et melange” a l’IRPHE.

G.3-Responsable du materiel scientifique a l’IRPHE :- Achat de la camera rapide (Budget 1.3 MF)- Laser YAG pour PIV (500 kF)- Binoculaire (150 kF)

G.2-Participation a des groupes de recherche, GDR moteur fusee (Instabi-lites de combustion et atomisation).

G.1- President de session a l’APS, Division of Fluid Dynamics Novembre2000, Novembre 2001.

23

Chapitre 7

Nappes

Cette section presente le travail fait sur les nappes liquides. Les applications sous-jacentes sont liees a l’atomisation des liquides. En effet, dans de nombreuses applica-tions, telles que les moteurs diesels, les moteurs de fusee, le traitement des feuilles enagriculture, la peinture au pistolet, le liquide est stocke en volume pour des raisonsd’encombrement mais utilise sous forme de gouttes pour des raisons d’efficacite. Lesdifferents processus imagines pour passer du volume a la phase dispersee ont recoursa l’utilisation d’une etape intermediaire de film de liquide qui se destabilise ensuiteen gouttes.

Ce travail sur la stabilite des films liquides et leur atomisation a ete initie a Grenobleen 1997 avec E.Villermaux et se poursuit actuellement a l’IRPHE avec la these deNicolas Bremond. Ce travail est detaille dans les articles [12], [13] et [14]. Je melimite ici a la presentation des nappes sans aborder la question de l’atomisation.

7.1 Cloches d’eau

Nous nous interessons ici, a la forme et a la stabilite des nappes d’eau generees parl’impact d’un jet liquide cylindrique de diametre D0, normalement a un disque dediametre Di, avec la vitesse U0. Pour un rapport des diametres, X ≡ Di/D0, d’ordreunite, on observe des cloches d’eau telle que celle presentee sur la figure 7.1. Pourcomprendre la forme stationnaire des cloches, imaginons dans un premier tempsque le film liquide qui arrive au bord de l’impacteur soit constitue de particulesfluides independantes. Dans ce cas, chacune de ces particules decrit apres l’impactune parabole sous l’effet de l’acceleration de la gravite g et l’on s’attend a observerun paraboloıde de revolution parametre par la longueur lg ∼ U2

0 /g. L’hypothese departicules independantes conduit donc a une forme tres differente de celle observee.En negligeant la gravite, imaginons a present que les particules fluides qui sontemises au meme instant depuis le bord de l’impacteur avec un angle ψ0 et unevitesse d’ejection U0, sont liees les unes aux autres avec des ressorts de rigiditeidentique. Dans cette limite, les particules s’eloignent puis se rapprochent dans des

24

r

z

0

D0

ψ 0

ri

ψ ( )s

Fig. 7.1 – Cloche d’eau obtenue avec D0 = 3 mm, U0 = 2.08 m/s et Di = 7.33 mm.

temps egaux, tout en s’eloignant du point d’impact a la vitesse U0 cos(ψ0). Cesdeux comportements conduisent a une forme de nappe en cloche, symetrique parrapport a l’equateur. Cette symetrie, observee experimentalement, nous indique quele lien entre les particules fluides est vraisemblablement, avec leur inertie, a l’originedes formes observees. Les ressorts que nous venons d’imaginer existent bien a lasurface des fluides et leur effet est represente par la tension de surface σ qui a ladimension d’une raideur, MT−2. Cet effet de membrane est illustre par l’exemplede la bulle de savon presente dans la figure 7.2-(a). Sur chacun des elements desurface δS de la bulle, s’exercent les forces capillaires Fc(i) dont la resultante FN

C

pointe vers le centre de la sphere avec l’intensite 2CσδS, ou C = 1/Rb +1/Rb est lacourbure totale de l’element de surface. Le facteur 2 qui intervient dans l’expressionde FN

C signifie l’egale contribution des surfaces interne et externe. L’ensemble de cesforces conduit a une compression ∆p = 4σ/Rb de l’air a l’interieur de la bulle. Laforme spherique resulte donc d’un equilibre entre les forces capillaires qui tentent dediminuer la surface et les forces thermodynamiques qui s’opposent a la compressionde l’air de facon isotrope.Dans le cas des cloches, presente sur la figure 7.2-(b), les effets capillaires ne sont pascompenses par la compression de l’air (∆p = 0), mais par l’acceleration centrifugedu liquide qui circule dans la membrane. Dans la limite, g = 0, et en negligeant l’in-fluence des frottements avec l’air ambiant, l’impulsion des particules fluides dans lanappe est inchangee et leur vitesse reste egale a U0. Par symetrie, la trajectoire desparticules est radiale et l’on note 1/Rc ≡ −dψ/ds la courbure de cette trajectoire,ou s est l’abscisse curviligne et ψ l’angle forme par la tangente a la trajectoire etl’axe du jet. Avec ces conventions, l’acceleration centrifuge exerce sur l’element desurface S et de masse m, la force FN

i ≡ mU20 /Rc. Lorsque la nappe est stationnaire,

cette force equilibre exactement l’effet de membrane capillaire FNc ≡ 2CσS.

25

z

0

ψ 0

ψ ( )s

s

rn

r

rt

rϕ

FcN

FiN

Fc( )1

Fc( )2

Fc( )3

(a) (b)

Rb

Fc( )1Fc( )2

FcN

∆p

δS

Fig. 7.2 – Schema presentant l’equilibre d’un element de nappe : (a) dans le casd’une bulle de savon : equilibre entre forces capillaires et compression de l’air, (b)dans le cas des cloches : equilibre entre forces capillaires et force centrifuge (∆p = 0).

Il est important de noter que la courbure totale C qui intervient dans l’expressionde la force capillaire est la somme des deux courbures principales, 1/Rc dans leplan

(−→n ,−→t

)et cos(ψ)/r dans le plan

(−→n ,−→φ

). Ces deux courbures sont egales

dans le cas de la sphere mais sont differentes dans le cas des cloches. Cette brisurede symetrie entre les courbures est liee a la nature des forces en presence : dansle cas des bulles de savon, les effets capillaires sont equilibres par la pression del’air qui s’exerce de facon isotrope sur la surface de la bulle, independamment desa courbure. Ces proprietes conduisent a l’egalite des courbures principales. Dansle cas des cloches, les effets capillaires sont compenses par les effets inertiels quis’exercent le long des trajectoires et dont l’intensite depend de la courbure 1/Rc.Cette dependance a l’une des courbures brise la symetrie du probleme et conduit aune difference entre les rayons de courbure principaux.La forme r(z) qui satisfait l’egalite FN

i = FNc , est une catenoıde de taille caracte-

ristique l ≡ D0We/16, ou We = ρU20 D0/σ est le nombre de Weber construit avec

la densite du liquide ρ. Historiquement, cette solution a ete publiee en 1869 parun autodidacte de 27 ans, Joseph Boussinesq [6], [7], 36 ans apres les premieresobservations de cloches par Felix Savart [53].Concernant la stabilite des nappes fermees, un exemple de nappe instable est pre-sente sur la figure 7.3. Sur cette image, le temps s’ecoule de gauche a droite et dehaut en bas avec un pas entre images de 27.7 ms. Dans cette experience, le dia-metre du jet est D0 = 3 mm, le diametre de l’impacteur Di = 10 mm et la vitesseest maintenue constante a U0 = 2.2 m/s. Le cycle presente conduit d’une clochemere (en haut a gauche) a une cloche fille (en bas a droite), identique a sa mere etqui va, une fois fermee, se destabiliser suivant le meme scenario. Dans ce regime,les cloches se creent et se brisent a une frequence de l’ordre de 2.2 Hz. La premiereremarque concernant la stabilite des cloches porte sur l’influence de la difference de

26

Fig. 7.3 – Exemple de nappe fermee instable, obtenue avec X = 3.3, We = 210 etψ0 = 88◦.

27

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60 80

ψ 0

ψ 0*

V

Fig. 7.4 – Evolution du volume des nappes V en fonction de l’angle d’ejection ψ0.

pression entre l’interieur et l’exterieur de la nappe. Si cette difference est maintenuea 0, par exemple en reliant l’interieur a l’exterieur avec une petite paille, les clochesobtenues sont toujours stables. Ceci indique que l’origine de l’instabilite repose surl’existence d’une difference de pression entre l’interieur et l’exterieur. Plus exacte-ment, comprendre la stabilite des nappes fermees, c’est comprendre leur reaction aune difference de pression : imaginons dans un premier temps qu’a la suite d’uneaugmentation de pression a l’interieur de la nappe, son volume augmente ; dans cecas, la reaction de la cloche tend a diminuer la cause de sa transformation et l’onpeut s’attendre a ce que la cloche reste stable. Au contraire, si le volume de la nappediminue a la suite d’une augmentation de pression, sa reaction amplifie la cause desa transformation et detruit, a terme, la nappe liquide. Cette analyse qualitativeconduit au critere de stabilite :

dV

dp> 0, (7.1)

ou V est le volume de la nappe fermee. Dans la limite etudiee par Boussinesq, levolume des nappes est une fonction de l = D0We/16 et de ψ0. En remarquant quel et p sont independants, on en deduit :

dV

dp=

(∂V

∂ψ0

)l

dψ0

dp. (7.2)

Comme l’angle ψ0 resulte du bilan local des forces au niveau du point d’ejection,une augmentation de la pression a l’interieur de la cloche conduit toujours a uneaugmentation de ψ0, ce qui se traduit par dψ0/dp > 0. La stabilite des nappesfermees repose donc sur l’etude du signe du terme (∂V/∂ψ0)l. Dans le cas descatenoıdes de Boussinesq, l’evolution du volume V ≡ V/l3 en fonction de ψ0, estpresentee sur la figure 7.4. Cette evolution V (ψ0) est caracterisee par l’existence

28

d’un maximum pour ψ�0 = 78.78◦. Cet angle critique separe la region stable ψ0 < ψ�

0 ,ou (∂V/∂ψ0)l > 0 de la region instable ψ0 > ψ�

0 ou (∂V/∂ψ0)l < 0.Dans la figure 7.3, l’angle d’ejection est ψ0 = 88◦ > ψ�

0 , et la moindre perturbationde pression est amplifiee jusqu’a la destruction de la nappe. Sur cet exemple, ladestruction intervient lorsque la nappe se referme sur le jet qui lui donne naissance.Cette destruction maintient l’egalite des pressions entre l’interieur et l’exterieur dela cloche (∆p = 0), mais ne modifie pas l’origine de l’instabilite, ψ0 > ψ�

0 . Celle-ci se reproduit donc de facon periodique avec une periode de l’ordre du temps deformation des cloches.

29

( c ) ( d )

( a )

r

U0

R

D0

Di

ψπ

0 2=

( b )

Fig. 7.5 – Presentation du probleme : (a) schema de l’experience (b) vue de coteWe = 510 (c) detail du bord de la nappe pour We = 510 (d) detail du bord denappe pour We = 3000

7.2 Nappes planes

Le probleme des nappes lisses est presente sur la figure 7.5-a : un jet cylindrique dediametre D0 et de vitesse U0 impacte normalement a un disque de diametre Di. Lefilm qui resulte de cet impact est force de quitter le disque avec un angle d’ejectionψ0 = π/2. Dans cette limite, a la place des cloches liquides decrites dans la sectionprecedente nous observons des nappes planes comme le montre la figure 7.5-b. Cesnappes s’etendent radialement entre r = 0 et r = R puis se desintegrent en gouttes.La figure 7.5-c presente un zoom sur la zone de desintegration. Depuis Savart [54],on sait que la taille de ces nappes R, augmente lineairement avec la pression decharge. Taylor [57] a propose un modele compatible avec les observations de Savartet conduisant a l’evolution :

R

D0=

We

16(7.3)

30

ou, We ≡ ρU20 D0/σ est le nombre de Weber construit avec la densite du fluide, ρ,

et sa tension de surface σ. Ce modele est repris apres la presentation des resultatsexperimentaux. L’evolution de la taille de la nappe avec le nombre de Weber estillustree sur la figure 7.6-a, ou l’echelle est la meme pour toutes les images. Defacon a voir les effets du nombre de Weber sur le bord de la nappe, la figure 7.6-bpresente les memes images a l’echelle R. Cette presentation permet de montrer quele nombre de defauts sur le bord de la nappe augmente avec le nombre de Weber.Ces defauts sont importants pour l’atomisation mais n’influencent pas la taille dela nappe sur laquelle nous portons ici notre attention.De facon plus quantitative, l’evolution R(We) est presentee sur la figure 7.7. La

linearite de l’equation (7.3) entre la taille de la nappe et le nombre de Weber estobservee jusqu’a des valeurs de l’ordre de We ≈ 103. Au dela, la nappe liquide semet a battre comme un drapeau et sa taille diminue lorsque le nombre de Weberaugmente [31]. Un exemple de nappe en regime drapeau est presente sur la figure7.5-d. L’etude de ce regime fait l’objet de l’article [14]. Nous nous concentrons icisur les nappes lisses We < 103. Ces nappes restent planes si l’effet de la graviteest petit sur la distance R. En utilisant l’evaluation (7.3), la condition gR/U2

0 � 1s’ecrit D0/a � 4. Ainsi, quelque soit la vitesse, l’utilisation d’injecteurs de dia-metre inferieur a la longueur capillaire (a ≡

√σ/(ρg)) permet de travailler dans

un regime ou la gravite peut etre negligee. Concernant la viscosite des liquides,l’ensemble des resultats presentes sont obtenus avec des viscosites cinematiques νfaibles (νeau = 10−6 m2.s−1) dans la limite Re ≡ U0D0/ν � 1, toujours avec desjets laminaires.

La partie originale du travail presente porte sur la dynamique de creation et dedestruction des nappes lisses. Un exemple de creation de nappe est presente surla figure 7.8. Le protocole experimental consiste a etablir l’ecoulement stationnairedesire (dans cet exemple U0 = 2.96 m/s soit We = 375) et a le devier de l’im-pacteur a l’aide d’un tube creux en plastique. Lorsque la camera est prete, le tubeen plastique est rapidement retire et l’on observe l’impact du jet cylindrique etla creation de la nappe. Dans la sequence presentee sur la figure 7.8, l’extensionmaximale R = 5.7 cm est atteinte sur la derniere image a t = 19∆t ≈ 85 ms. Cetemps est long compare au temps de transit d’une particule dans la nappe etablieTt ≡ R/U0 ≈ 19 ms.

Un exemple de destruction de nappe est presente sur la figure 7.9. Le proto-cole consiste a etablir la nappe plane stationnaire aux conditions souhaitees (iciU0 = 3.1 m/s soit We = 410) et a utiliser une plaque fine en acier pour devier lejet. La premiere observation est que les bords de la nappe ne “voient pas” la ruptured’alimentation. Celle-ci se manifeste par la creation d’un trou au centre de la nappe.Dans la sequence presentee sur la figure 7.9 le trou apparaıt sur l’image en haut adroite et atteint l’extension maximale R = 6.5 cm a t = 14∆t ≈ 14 ms. On observeque ce temps est plus petit que le temps de transit d’une particule dans la nappestationnaire Tt ≡ R/U0 ≈ 21 ms.

31

245 mm

We

R scale

148

296

444

592

740

888

Fig. 7.6 – Presentation qualitative de l’effet du nombre de Weber sur la taille etla structure de la nappe. Le liquide est de l’eau, l’injecteur utilise a un diametreD0 = 2.7 mm et l’impacteur a un diametre Di = 10.8 mm : (a) echelle reelle (b)echelle de la nappe R.

32

1

10

100

1000

10 100 1000 104 10

2

0

RD

We

Fig. 7.7 – Evolution du rayon 2R/D0 avec le nombre de Weber (D0 = 2.7 mm etDi = 10.8 mm) : −�− eau , −�− ethanol.

19 mm

Fig. 7.8 – Dynamique de formation d’une nappe lisse obtenue avec de l’eau D0 =3 mm, Di = 7 mm et We = 375. Le temps s’ecoule de gauche a droite et de hauten bas avec le pas ∆t = 1/225 s.

33

19 mm

Fig. 7.9 – Dynamique de destruction de nappe observee avec de l’eau, D0 = 3 mm,Di = 7 mm et We = 410. Le temps s’ecoule de gauche a droite et de haut en basavec le pas ∆t = 1/1000 s.

De facon a modeliser la dynamique du bourrelet, il est utile de preciser l’evolutionde la vitesse U(r) dans la nappe ainsi que son epaisseur h(r) en fonction de ladistance a l’impact r. La conservation de la masse implique :

rh(r)U(r) =18D2

0U0 (7.4)

L’application du theoreme de Bernoulli entre le jet et un point de la nappe distantde r s’ecrit :

U(r) = Ue = U0

√1 − 2∆p

ρU20

(7.5)

ou ∆p est la perte de charge a l’impact. Cette expression montre que la vitesse dansla nappe Ue est independante de r. De facon a verifier ce comportement et a evaluer∆p, nous presentons sur la figure 7.10, deux mesures de la vitesse dans la nappepar suivi de particules de cendre. Sur la premiere image, la particule qui apparaıtcomme un petit point sombre a ete lachee a l’endroit indique par la fleche. Apresune phase d’acceleration qui s’etend entre la premiere et la deuxieme image, la par-ticule est convectee jusqu’au bord avec une vitesse constante Ue = 2.7 m.s−1 dans lafigure 7.10-a et Ue = 3.6 m.s−1 dans la figure 7.10-b. Le rapport de ces vitesses avecles valeurs associees de la vitesse dans le jet U0 = 3.09 m.s−1 et U0 = 3.93 m.s−1

34

6.7 cm 12 cm

∆t

t(a) (b)

Fig. 7.10 – Trajectoires de particules de cendres sur des nappes d’eau obtenues avecD0 = 3 mm et Di = 7 mm : (a) U0 = 3.09 m/s et ∆t = 1.33 ms, (b) U0 = 3.93 m/set ∆t = 2.22 ms.

35

vaut respectivement 0.87 et 0.91. L’ordre de grandeur de la perte de charge est donc2∆p/(ρU2

0 ) ≈ 0.2. Les equations (7.4) et (7.5) ainsi que nos observations experimen-tales, montrent que la vitesse dans la nappe est constante et que son epaisseur varieen 1/r.

Afin de determiner les forces qui s’exercent sur le bord de la nappe, on consideredans un premier temps, la force d’origine capillaire s’exercant sur une interfaceentre deux points A et B comme indique sur la figure 7.11-a. Cette interface estinvariante dans la direction y et caracterisee par la tension σ. Pour tout element

ψ 1

ds

δFδFx

x

y

z

ψ 2

ψ ( )s

A

B

(a) (b)

A

B

Fig. 7.11 – (a) Force d’origine capillaire, (b) exemple du bourrelet.

de longueur ds, la projection suivant x de la force capillaire par unite de longueurδF est δFx = −σdψ/ds sin ψds soit δFx = σd cos ψ. La force d’origine capillaires’exercant sur une interface entre A et B est donc par unite de longueur suivant y :

Fx = σ (cos ψ2 − cos ψ1) , (7.6)

Sur l’exemple du bourrelet presente sur la figure 7.11-b, les angles limites sontψ1 = 0 et ψ2 = −π et l’on trouve Fx = −2σ. Nous allons utiliser ce resultat pourdecrire la dynamique du bourrelet.

L’argument developpe par Taylor [57] pour une nappe d’epaisseur constante aurepos peut etre etendu au cas d’une nappe d’epaisseur variable alimentee par unevitesse Ue comme presente sur la figure 7.12-a. En considerant la dynamique dubourrelet caracterise par sa masse M(t) et sa vitesse U(t), l’equation d’evolution dela masse et de l’impulsion s’ecrivent :

dM

dt= 2πρrh(r)(Ue − U), (7.7)

etd (MU)

dt= −4πσr +

dM

dtUe, (7.8)

36

U

0

2πr

rr

Ue

h(r)r

r t( )0

M t( )

FcIe

U te.

(a) (b)

Fig. 7.12 – (a) Diagramme pour la dynamique du bourrelet. (b) Presentation duprobleme de creation de la nappe.

Si l’on se concentre sur la position d’equilibre U = 0, ce systeme montre qu’ellecorrespond a la position R, ou h(R) = 2σ/(ρU2

e ). Soit en utilisant les equations(7.4) et (7.5) :

R

D0=

We

16

√1 − 2∆p

ρU20

(7.9)

Dans la limite ∆p → 0, nous retrouvons ainsi le resultat de Taylor (7.3). Pourtester la stabilite de cette position d’equilibre on pose r = R + δr. L’evolutioncorrespondante de la vitesse δU est :

δU

δr=

ρU3e

4σ

(dh

dr

)R

. (7.10)

L’equilibre est donc stable si (dh/dr)R < 0 et instable si l’epaisseur augmente avecla distance. Dans notre cas, h(r) diminue comme 1/r et l’on en deduit que la posi-tion d’equilibre est stable.

Nous considerons a present la dynamique de creation de la nappe qui la conduit acet equilibre. L’integration de la conservation de la masse (7.7) s’ecrit :

M(t) = M0 +π

4ρD2

0

U0

Ue(Uet − r), (7.11)

ou M0 est la masse initiale du bourrelet, de l’ordre de π/4ρD30 . En utilisant R et Ue

comme grandeurs caracteristiques, le systeme adimensionne s’ecrit :

M = M0 + t − r, (7.12)

etd

dt

[M(1 − ˙r)

]= r, (7.13)

37

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5

r

R

U t

Re.

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5U t

Re.

r

R

(b)

Fig. 7.13 – Comparaison entre les mesures experimentales obtenue avec de l’eau, D0 = 3 mm, Di = 7 mm et l’integration numerique du systeme (7.12) , (7.13).Les symboles representent les points experimentaux, la ligne continue l’integrationnumerique. La ligne pointillee represente l’approximation (7.14) : (a) We = 138, (b)We = 375.

ou toutes les grandeurs adimensionnees sont munies de tilde et les points designentles derivees temporelles. Ce systeme doit etre resolu avec les conditions initialesr(0) = 0, ˙r(0) = 1 et M(0) = D0/R.Ue/U0. Les resultats de l’integration numeriquede ce systeme sont compares aux mesures experimentales sur la figure 7.13, pourdifferents nombres de Weber. Dans les deux cas, le modele conduit a une evaluationraisonnable des trajectoires observees. Le temps necessaire pour atteindre l’equilibrepeut etre evalue a tstationnaire ≈ 4. Il y a une solution analytique approchee dece systeme en remarquant que le terme de gauche de l’equation (7.13) peut sedecomposer en (1− ˙r)2−M ¨r. Le premier terme represente l’evolution de l’impulsionliee a l’entraınement de nouveau fluide et le second le produit classique masse,acceleration. En faisant l’hypothese que le terme d’entrainement domine, l’equation(7.13) se reduit a ˙r = 1 −

√r dont la solution est :√

r + ln(1 −

√r)

= −t/2. (7.14)

Cette trajectoire implicite est presentee en pointilles sur la figure 7.13. Meme sile comportement general de cette solution approchee est coherent avec les mesuresexperimentales, l’hypothese d’un entraınement dominant n’est pas pleinement jus-tifiee.

Apres la creation, nous cherchons a decrire la destruction de la nappe dont unexemple est presente sur la figure 7.9. La difference principale avec le cas de la

38

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1U t

Re.

r

R

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

r

R

U t

Re.

(a) (b)

Fig. 7.14 – Comparaison entre les mesures experimentales de la dynamique dedestruction de nappe obtenues avec de l’eau , D0 = 3 mm, Di = 7 mm et l’inte-gration numerique du systeme (7.15), (7.16). Les symboles representent les pointsexperimentaux et la ligne continue l’integration numerique. L’approximation quasi-stationnaire est presentee en pointilles. (a) We = 375, (b) We = 492.

creation est que le flux d’impulsion et la force capillaire agissent a present dans lameme direction. Le systeme adimensionne regissant la dynamique du bord du trouest :

M = M0 + r − t, (7.15)

etd

dt

[M( ˙r − 1)

]= r. (7.16)

Ces equations doivent etre integrees avec les conditions initiales r(0) = 0, ˙r(0) = 1et M(0) = D0/R.Ue/U0. Un exemple d’integration du systeme est presente sur lafigure 7.14 pour differents nombres de Weber. Dans tous les cas, le modele pro-pose rend compte correctement de la dynamique d’ouverture observee. Le tempscaracteristique de destruction est evalue a tdestruction ≈ 0.65.L’approximation d’entraınement dominant conduit ici a la trajectoire implicite :

√r − ln

(1 +

√r)

= t/2. (7.17)

Cette approximation est presentee en pointilles sur la figure 7.14. Dans la mesureou les accelerations sont plus faibles que dans le cas de la creation de nappe, cetteapproximation est en meilleur accord avec les mesures experimentales.

39

Chapitre 8

Gouttes

Cette section est consacree a la presentation du travail fait sur les gouttes. La pre-miere partie traite des gouttes de Leidenfrost en levitation au dessus d’une plaquechaude. Ce travail resulte d’une collaboration avec D.Quere et A.L. Biance au Col-lege de France. Il est publie [4] et peut etre utile pour evaluer les flux thermiquesdans les echangeurs de chaleur ou dans les problemes de refroidissement de surfacespar injections de gouttes. La deuxieme partie traite des impacts de gouttes. Cetravail est aussi en collaboration avec D.Quere et a fait l’objet de differentes publi-cations [43], [48] et [49]. Les applications sous-jacentes sont nombreuses, depuis letraitement des feuilles en agriculture, jusqu’aux impacts de meteorites en passantpar l’erosion du sol par la pluie.

8.1 Les gouttes de Leidenfrost.

Lorsqu’une goutte de liquide est posee sur une surface chaude de temperature prochede la temperature d’ebullition, la goutte boue et disparaıt rapidement. Cependant,si la temperature du solide est tres superieure a la temperature d’ebullition, lagoutte n’est plus en contact avec le solide mais levite sur sa propre vapeur. Dufait des proprietes isolantes de ce film, l’evaporation est lente : ainsi l’on observequ’une goutte d’eau millimetrique posee sur une plaque metallique a 200◦C resteune minute sur la plaque avant de disparaıtre. de telles gouttes en levitation surleur vapeur sont appelees gouttes de Leidenfrost, du nom du physicien allemand quia le premier rapporte leur existence vers 1750 [40].Afin d’illustrer ce phenomene, nous presentons sur la figure 8.1, l’evolution du tempsde vie τ d’une goutte d’eau de rayon R = 1 mm en fonction de la temperature Tde la plaque d’aluminium sur laquelle elle est posee. On observe sur cette figureque pour une temperature de plaque inferieure a 100◦C la duree de vie τ diminuejusqu’a atteindre 200 ms a T = 100◦C. Pour une temperature de plaque compriseentre 100◦C et 150◦C, la duree de vie augmente typiquement d’un facteur 500.Cette augmentation est associee a l’etablissement du film de vapeur entre la goutteet la plaque. La temperature associee au maximum de duree de vie definit la tem-

40

0

20

40

60

80

100

0 100 200 300 400

T (°C)

ττττ (s)

Fig. 8.1 – Duree de vie τ d’une goutte d’eau de rayon R = 1 mm en fonction de latemperature T de la plaque d’aluminium sur laquelle elle est posee.

perature de Leidenfrost [24], [3]. Pour des temperatures de plaque superieures, laduree de vie diminue, passant de 100 s pour T = 150◦C a 40 s pour T = 350◦C.L’existence et la caracterisation de la temperature de Leidenfrost a ete largementetudiee [24], [5]. Cette temperature depend de la rugosite de la plaque [2], de lapurete du liquide [46] et meme de la facon dont le liquide est depose sur la plaque[58]. Nous nous concentrons ici sur d’autres aspects du phenomene Leidenfrost, surla forme des gouttes, les proprietes du film de vapeur et leur influence sur le tempsde vie des gouttes.

Ces gouttes en levitation peuvent etre considerees comme non mouillantes. Nousappelons contact, la region ou la surface de la goutte est parallele a la plaque. Sile rayon de la goutte R est petit devant la longueur capillaire a ≡

√σ/(ρg) ou σ

et ρ representent respectivement la tension de surface et la densite du liquide, lagoutte reste quasi-spherique sauf dans sa partie inferieure ou elle s’aplatit. Danscette limite, Mahadevan et Pomeau ont montre que la taille du contact est donneepar l’equilibre entre gravite et tension de surface [41]. Un argument elegant permetde retrouver leur resultat rapidement. Il m’a ete donne par D.Quere et repose surl’analyse des pressions statiques dans la goutte presentee sur la figure 8.2-a : dansla limite R � a la pression dans la goutte est 2σ/R et doit etre egale a la pression4/3πR3g/(π2). Cette egalite conduit a :

∼ R2

a(8.1)

Cette relation a ete testee experimentalement sur des gouttes non mouillantes[1]. Les gouttes grandes devant la longueur capillaire sont ecrasees par la gravitecomme le montre la figure 8.2-b. Dans cette limite de galette, le contact devient del’ordre du rayon de la galette ( ∼ R). L’epaisseur h de cette galette est obtenueen equilibrant la force de tension de surface 2σ par unite de perimetre par la force

41

R

l

(a) (b)

Fig. 8.2 – Presentation de la goutte en contact : (a) R/a � 1 (b) R/a � 1 grossegoutte d’eau posee sur une surface metallique a 200◦C.

hydrostatique ρgh2/2. Cet equilibre conduit a :

h = 2a (8.2)

La temperature interieure de la goutte a ete mesuree et trouvee egale a 99± 1◦CC.Cela implique une densite ρ = 960kg.m−3 et une tension de surface σ = 0.059kg.s−2.Soit une longueur capillaire a = 2.5 mm. Pour des galettes de Leidenfrost telle quecelle presentee sur la figure 8.2-b, nous avons mesure h = 5.1 mm, en bon accordavec l’equation (8.2).Jusqu’ici, nous avons montre que la forme de ces gouttes statique n’etait pas diffe-rente de celle observee pour des gouttes en mouillage nul. Une propriete originaledes gouttes de Leidenfrost est que leur rayon R (et donc leur volume 2πR2a) estborne, par une valeur de l’ordre de 1 cm (correspondant a un volume de 1 cm3). Audela de cette valeur, on observe la formation d’une bulle de vapeur (ou plusieurspour de grandes galettes) au centre de la galette, bulle qui grossit et eclate lors-qu’elle atteint la surface superieure, comme le montre la figure 8.3. Nous interpre-tons cet effet comme une instabilite de Rayleigh-Taylor [56] de l’interface inferieure.Le film de vapeur cherche a s’elever du fait de la poussee d’Archimede, mais celaimplique une deformation de l’interface a laquelle s’oppose la tension de surface. Defacon classique [11], le seuil d’instabilite peut etre determine en considerant l’evo-lution dans le temps d’une petite perturbation sinusoidale sur la surface inferieurez = ε [1 + cos(kr)], avec εk � 1 et r la coordonnee radiale. La deformation ayant lecout le plus faible en terme d’energie de surface correspond a la bosse unique centreeen r = 0, soit k = π/R. En considerant les effets capillaires et gravitaires on peutevaluer la difference de pression ∆p entre le centre et les bords de la goutte pourdeux point A et B situes au meme niveau ∆p = pA − pB = 2ρgε

[1 − 3 (ak)2 /2

]. La

perturbation se developpe si ∆p est positif, sinon elle s’amortie. Le seuil de l’insta-bilite correspond a ∆p = 0 soit un rayon critique Rc = 3.84a. En utilisant l’equation(8.2), on peut exprimer cette quantite en fonction de la hauteur de la galette :

Rc = 1.92h (8.3)

La figure 8.4 presente l’evolution du rayon critique des galettes Rc en fonction de

42

(a) (b)

Fig. 8.3 – Grosses galettes d’eau sur une plaque d’aluminium legerement concavea 300◦CC vues de dessus. En fonction de la taille de la galette, une ou plusieursbulles se forment. Les barres indiquent respectivement 0.5 cm et 1 cm

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

h (mm)

R c (mm)

Fig. 8.4 – Evolution du rayon critique des galettes Rc en fonction de leur hauteurh. Ces mesures sont obtenues avec differents liquides sur une plaque d’aluminium a300◦CC.

leur hauteur h. Differents liquides ont ete utilises de facon a pouvoir varier h sur unegamme importante. Les galettes les plus fines en particulier ont ete obtenues avecde l’azote liquide et de l’oxygene liquide. On observe sur la figure 8.4 que l’evolutiondu rayon critique Rc est lineaire avec h avec un coefficient de linearite 2 proche decelui attendu par l’equation (8.3).

Nous nous interessons a present aux caracteristiques du film de vapeur qui supportela goutte. De facon a determiner son epaisseur moyenne, nous utilisons la diffractiond’un faisceau laser He-Ne par la “fente” formee entre la plaque et la goutte (figure8.5). A partir de la figure de diffraction (la distance X entre deux maxima estde l’ordre de 1 cm sur l’ecran et l’on observe de 3 a 10 maxima) nous pouvonsdeterminer l’epaisseur du film e, que l’on trouve dans la gamme 10 − 100 µm.Pour eviter de devoir faire une mesure instationnaire de goutte qui s’evapore, nousetudions dans un premier temps l’epaisseur du film de vapeur sous une goutte

43

LaserHe-Ne

Water puddleGoutte

Laser He-Ne

Plaque

Fig. 8.5 – Montage experimental utilise pour mesurer l’epaisseur du film de vapeur.La photo de droite montre un exemple de figure de diffraction a partir de laquellel’epaisseur est mesuree.

2RVe

2πRVe

Fig. 8.6 – L’injection continue de liquide sur la plaque conduit a une goutte deLeidenfrost stationnaire pour laquelle on observe des valeurs de R et e fonctions dudebit d’injection mais constantes dans le temps.

maintenue stationnaire par injection continue de liquide (figure 8.6). Dans des expe-riences de ce type, le choix du debit conduit a un rayon de goutte stationnaire : plusle debit augmente, plus le rayon est grand (au dessus d’un certain seuil, on retrouvel’instabilite decrite plus haut). De plus, une telle experience permet de mesurer letaux d’evaporation pour un rayon de goutte donne.Pour chaque debit, nous mesurons l’epaisseur du film e et observons qu’elle est effec-tivement constante dans le temps. Cette epaisseur varie cependant avec le debit etdonc avec le rayon de la goutte, comme le montre la figure 8.7. Les barres d’erreursont faibles dans cette figure (de l’ordre de la taille des symboles) dans la mesure ouchacun des points est une moyenne de 30 a 50 experiences differentes. On observesur cette figure que l’epaisseur est petite devant le rayon de la goutte (e/R < 0.02)et augmente avec lui. Deux regimes differents apparaissent avec une transition au-tour de la longueur capillaire (2.5 mm pour l’eau a 100◦C). Bien que la gammed’observation soit faible du fait des limitations liees a l’instabilite des galettes, lescomportements observes sont proches de lois de puissance avec des exposants valantsuccessivement 1.25 ± 0.1 et 0.5 ± 0.05.

De facon a comprendre l’origine physique de ces deux comportements, nous consi-derons successivement la limite de galette (R/a � 1) et la limite de goutte quasi-spherique (R/a � 1). Dans la limite galette presentee sur la figure 8.8-a, la surface

44

1 10R (mm)

Fig. 8.7 – Evolution de l’epaisseur du film de vapeur e en fonction du rayon de lagoutte d’eau posee sur une plaque d’aluminium a 300◦C et maintenue stationnairepar le montage presente sur la figure 8.6. Les lignes continues indiquent successive-ment les pentes 1.3 et 0.5.

e

h a= 2 Tv

Tp

R

(a) (b)

Re

Tv

Tp

Fig. 8.8 – Presentation des notations utilisees pour la modelisation des gouttes deLeidenfrost : (a) R � a, (b) R � a.

d’echange est la surface en regard πR2 et le gradient thermique ∆T ≡ Tp − Tv

s’etablit sur l’epaisseur de vapeur e. Dans la mesure ou la temperature de la gouttereste constante a sa temperature de vaporisation, l’energie recue est utilisee envaporisation :

LM ∼ λ∆T

eR2 (8.4)

ou L est la chaleur latente de vaporisation, M la masse de liquide vaporisee parunite de temps et λ la conductivite thermique de la vapeur. Cette evaluation de lamasse evaporee par unite de temps, permet de definir la vitesse moyenne d’ejectionde vapeur U :

U ≡ M

πR2ρv(8.5)

ou ρv est la densite de la vapeur. Connaissant cette vitesse, nous utilisons l’analogieavec le probleme de Reynolds pour etablir la relation entre l’epaisseur du film et lepoids de la goutte :

Mg ∼ µU

e3R4 (8.6)

ou µ est la viscosite dynamique de la vapeur. En utilisant les equations (8.5) et (8.8)

45

nous obtenons la relation entre l’epaisseur et le rayon :

e4 ∼ λ∆Tµ

ρvLρghR2 (8.7)

Cette dependance e ∼ R1/2 est compatible avec les observations experimentalesfaites dans la limite R/a � 1.

Dans la limite R/a � 1 presentee sur la figure 8.8-b, le rapport entre le fluxthermique echange par la surface en regard Φ1 et celui echange par le reste de lasurface de la goutte Φ2 est :

Φ1

Φ2∼ R3

ea2(8.8)

L’evaluation grossiere e ∼ R conduit a Φ1/Φ2 ∼ (a/R)2. Cette evaluation montreque dans la limite R/a � 1, l’essentiel du transfert thermique ne se fait pas par lasurface en regard mais par l’ensemble de la surface de la goutte. Cette remarquemodifie l’evaluation de M :

LM ∼ λ∆T

RR2 (8.9)

En suivant la meme demarche que celle utilisee pour les galettes, nous trouvons quel’analogie avec le probleme de Reynolds conduit a :

Mg ∼ µU

e34 (8.10)

soit en utilisant les equations (8.5) et (8.9) :

e3 ∼ λ∆Tµ

ρvLa4ρgR4 (8.11)

Le comportement e ∼ R4/3 est compatible avec les observations experimentalesfaites dans le domaine R/a � 1.

46

(a) (b) (c)

Fig. 8.9 – Goutte d’eau millimetrique impactant sur une surface super hydrophobeavec differents nombres de Weber : (a) We ≈ 1, (b) We ≈ 4 (c) We ≈ 18.

Fig. 8.10 – Evolution du temps de contact τ avec la vitesse d’impact V . Ces mesuressont faites dans la gamme 0.3 < We < 37.

8.2 Impacts et rebonds.

Lorsqu’une goutte impacte sur une surface sans la mouiller, elle peut rebondir avecune elasticite surprenante [26], [50], [1]. Nous mesurons ici le temps de contact entrela goutte et le solide et faisons une analogie avec le probleme de Hertz [29] (temps decontact lors du rebond d’une bille solide sur un solide). Ces recherches peuvent aidera quantifier l’efficacite des surfaces super-hydrophobes [42] et ameliorer l’efficacitedu refroidissement des surfaces solides pour lequel les rebonds representent unesevere limitation [23].La facon dont une goutte d’eau de rayon R se deforme au cours de l’impactsur un solide super hydrophobe depend de sa vitesse V . Le nombre de WeberWe ≡ ρV 2R/σ compare les energies cinetique et superficielles de la goutte, en no-tant ρ sa densite et σ sa tension de surface. Plus le nombre de Weber est eleve,plus la deformation a l’impact est grande comme l’illustre la figure 8.9. Pour unnombre de Weber unite (figure 8.9-a) la deformation maximale pendant l’impactest deja significative. Pour We = 4 (figure 8.9-b), des ondes se developpent sur lasurface et la structure. Pour un nombre de Weber de 18 (figure 8.9-c) la goutteest fortement etiree avant de redecoller et se brise partiellement en gouttes. Les

47

Fig. 8.11 – Goutte d’eau millimetrique impactant sur une surface super hydrophobeavec differents nombres de Weber : (a) We ≈ 1, (b) We ≈ 4 (c) We ≈ 18.

mesures de temps de contact τ sont faites en utilisant une camera video rapide(4500 images/secodes). Dans la mesure ou le choc est essentiellement inertiel (avecun coefficient de restitution proche de 0.91 [50]) le temps de contact τ est supposefonction des seuls parametres R, V , σ et ρ soit τ = R/V f(We). Dans le cas duchoc de Hertz par exemple, la deformation maximale δmax de la bille solide variecomme δmax ∼ R

(ρV 2/E

)2/5 et le temps de contact τ ∼[ρ2R5/(V E2)

]1/5 , ou Eest le module d’Young [38], [21]. En prenant comme module equivalent la pressionde Laplace σ/R l’analogie avec le contact de Hertz conduit a τ ∼

[ρ2R7/(V σ2)

]1/5,soit f(We) ∼ We2/5.

La figure 8.10 presente l’evolution du temps de contact τ en fonction de la vitessed’impact V , dans la gamme 20 cm.s−1 < V < 230 cm.s−1. On observe sur la figure8.10 que le temps de contact τ n’est pas sensible aux details du choc et reste quasiconstant τ ≈ 3.3 ms pour toutes les vitesses etudiees. Ce comportement est ana-logue a celui d’un ressort de masse M et de rigidite k pour lequel la deformation al’impact est δ2

max ∼ MV 2/k et le temps de contact τ ∼ δmax/V ∼√

M/k. En uti-lisant la remarque que σ et k ont la meme dimension, cette analogie avec le ressortsuggere que le temps de contact varie en τ ∼

√ρR3/σ.

La figure 8.11 presente l’evolution du temps de contact τ en fonction du rayon de lagoutte R. Pour des valeurs du rayon comprises entre 0.1 mm et 4 mm, on observesur cette figure que l’evolution τ(R) est proche de τ ∼ R3/2.

Les resultats presentes sur les figures 8.10 et 8.11 peuvent se comprendre en faisantun equilibre entre le terme d’inertie ρR3V/τ et la force de rappel capillaire σV τ .Cet equilibre conduit a τ ∼

√ρR3/σ, soit f(We) ∼ We1/2. On retrouve ici le

temps obtenu avec l’analogie du ressort. Ce temps est (legerement) different de celuiobtenu avec l’analogie de Hertz. La difference principale reside dans le stockage localde l’energie dans le cas solide et la deformation globale dans le cas liquide.

48

Chapitre 9

Menisques

Je presente dans cette section une partie du travail fait sur le theme du mouillage.Les applications concernees sont la soudure ou le collage comme l’illustre la figure9.1 : typiquement dans ces applications, on veut associer deux solides S1 et S2

en utilisant une goutte de liquide G (metal fondu ou colloide) caracterise par untemps de durcissement τa. La question que nous considerons est de determiner letemps caracteristique τ d’etablissement du menisque sur la fibre amenee au contact.Si τ/τa � 1, la soudure ou le collage sera “bon” (figure 9.1-b) et au contraire siτ/τa � 1 le couplage sera fragile (figure 9.1-c). Le detail de l’etude est reporte dans[15].

Apres un bref historique sur l’etude des phenomenes capillaires, je presente dans unepremiere partie l’analogie entre la forme statique du menisque plan et les oscillationsdu pendule et dans une deuxieme partie l’etude de la dynamique de l’etablissementde ce menisque et la determination du temps τ .

S1

S2

G

(a) (b) (c)

Fig. 9.1 – Exemple d’application des problemes de mouillage.

49

9.1 Une petite histoire

CAPILLAIRE, tire du latin capilli, cheveux, se dit de plusieurs choses, pourmarquer leur petitesse, qui ressemble a celle des cheveux.Il est toujours difficile de dater la naissance d’un domaine de la physique. SelonHardy [25], The phenomenon was still novel when Boyle [8] demonstrated capillaryrise. Et de continuer : At any rate, though Hauksbee [27] was the first whose publishedwork needs consideration, he was not the first to make experiments. . .La capillarite commence a etre etudiee aux alentours de 1700 par F.Hauksbee1

En 1751, lorsque paraıt l’Encyclopedie, l’interet pour les phenomenes capillaires nefaiblit pas. Voici ce qu’en ecrit d’Alembert dans L’Encyclopedie (article CAPIL-LAIRE) :Les tuyaux ou tubes capillaires, en Physique, sont de petits tuyaux les plus etroits

que les ouvriers puissent faire, & non pas dont le diametre ne passe pas la grosseurd’un cheveu ; car on n’en a peut-etre jamais fait de cette espece. Le diametre ordi-naire des vaisseaux capillaires est de la moitie, du tiers, ou du quart d’une ligne :cependant le docteur Hook nous assure qu’il a tire a la flamme d’une lampe destuyaux plus petits encore, & au moins aussi fins qu’un fil de toile d’araignee. Ce faitest assez difficile a croire. L’ascension de l’eau dans les tuyaux capillaires est un phe-nomene, dont l’explication embarrasse fort les Philosophes. Mettez dans l’eau l’undes bouts d’un petit tuyau ou d’un petit tube ouvert des deux cotes, & l’eau s’eleveraa une hauteur sensible dans le tube ou elle demeurera suspendue : de plus plongezdans le fluide plusieurs tubes capillaires, dont l’un soit d’un diametre beaucoup pluspetit que l’autre, l’eau montera beaucoup plus haut dans le petit tube capillaire : sonelevation sera en raison reciproque du diametre des tubes. Cette elevation spontanee,contraire en apparence aux lois de la pesanteur, merite une attention particuliere.Le corps humain est une machine hydraulique ; & dans le nombre presqu’ infini detuyaux qui le composent, celui des capillaires est sans comparaison le plus grand ; &c’est par consequent la connoissance de cette espece de tuyau qui nous interesse leplus (voir figure 9.2).

L’etude des phenomenes capillaires commence ainsi au debut du XVIII siecle avecle probleme de l’ascension des liquides dans des tubes fins. Les experiences et lesobservations vont durer un siecle. Les premieres theories robustes pour decrire lastatique sont dues a Laplace [39] et Young [25] vers 1805. Le XIX siecle est consacrea l’accord theorie-experience pour les phenomenes statiques avec un point culminantsur les surfaces minimales et le travail du physicien Belge Plateau [45]. Le XX seraconsacre a l’etude de la dynamique et du contact avec les succes de Landau [37], De

1Francis Hauksbee (the Elder) [1666( ?)- 1713], self-educated English scientist and eclectic ex-perimentalist. He emerged out of obscurity at the meeting of the Royal Society on 15 Dec. 1703.He became the Royal Society’s paid performer of experiments from that time until his death. Hecollaborated with Newton on experiments at the Royal Society, and influenced some of Newton’sideas, both with his capillary and with his electrical experiments (See for example the 31 query ofthe Optiks).

50

Fig. 9.2 – Encyclopedie de Diderot et d’Alembert : Les arteres d’apres DRAKE.

51

Gennes[19], et le debut de l’etude des fluides complexes [32].

9.2 Analogie avec le pendule.

Cette etude de l’analogie entre les pendules, les menisques et les plaques est detailleedans [51].

Dans la neuvieme edition de l’Encyclopedie Britannica, l’article sur la capillariteest signe par JC Maxwell. Dans le chapitre consacre aux menisques sur une surfaceplane, on peut y lire :

The form of this capillary surface is identical with that of the “elastic curve”, orthe curve formed by a uniform spring originally straight, when its ends are actedon by equal and opposite forces applied either to the ends themselves or to solidpieces attached to them. Drawings of the different forms of the curve may be foundin Thomson and Tait’s Natural Philosophy, Vol.I, p 455.La lecture de ce paragraphe au printemps 2000 me laisse perplexe. Benoıt Romantermine alors sa these au laboratoire sur les plaques plissees, [52]. Sa reaction seraplus vive et marquera le debut de notre collaboration.

La puissance des analogies en physique est d’eclairer un domaine a partir des chosesconnues sur son analogue. Ici, les pendules, les menisques et les plaques sont des su-jets classiques de la physique et l’analogie va juste permettre de souligner/rappelerles proprietes qu’ils partagent.

9.2.1 Le pendule

Un pendule de masse m et de longueur l soumis a l’acceleration de la gravite g estpresente sur la figure 9.3-(a). La dynamique θ(t) d’un tel pendule est decrite parl’equation adimensionnee :

d2θ

dt2= − sin θ, (9.1)

ou le temps caracteristique utilise pour l’adimensionnement est τ ≡√

l/g. La pre-miere integrale de l’equation (9.1) est la conservation de l’energie :

E =12θ2 − cos θ, (9.2)

La constante d’integration E est comptee en unite de mgl et prend la valeur −1en θ = 0, θ = 0. Pour discuter les differents regimes, nous ecrivons l’equation (9.2)sous la forme :

θ2 = 2 (E + cos θ) , (9.3)

52

(a) (b)

m

lθg

o

- 6

- 4

- 2

0

2

4

6

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6π

θ

θ

1

2

3

4

5

6

E>1

E<1

Fig. 9.3 – Pendulum : (a) schema, (b) Trajectoires du pendule dans l’espace desphase [θ, θ] : 1 E = −0.9, 2 E = 0, 3 E = 1, 4 E = 2, 5 E = 5, 6 E = 10

Ainsi, seules des valeurs de l’energie E > −1, conduisent a des trajectoires obser-vables. L’equation (9.3) admet les invariances θ ↔ −θ, θ ↔ −θ. Ces invariancesse traduisent dans le diagramme de phase

(θ, θ

)presente sur la figure 9.3-(b) res-

pectivement par une symetrie haut/bas et une symetrie gauche/droite. L’invarianceπ − θ ↔ π + θ se traduit par la propriete de repliement par rapport aux lignesverticales θ = kπ ou k est un entier.Pour comprendre l’evolution temporelle d’un pendule, prenons l’exemple suivant :a t < 0, le pendule est immobile dans sa position stable θ = 0. A t = 0 on luicommunique la vitesse θ0 > 0. Son energie est donc E = θ2

0/2 − 1.Si E < 1, le pendule monte jusqu’a l’angle maximal θmax = arccos

√−E puis

redescend. Sa trajectoire dans le diagramme de phase est une boucle fermee autourde l’origine qu’il parcourt dans le sens des aiguilles d’une montre. Cette trajectoireest symetrique gauche/droite autour de l’axe θ = 0 pour lequel les vitesses sontmaximales. Ce cas est illustre par les trajectoires 1 et 2 dans la figure 9.3-(b).Si E > 1, l’equation (9.3) montre que la vitesse angulaire θ ne s’annule pas. Lependule execute alors un premier tour complet dans le sens des θ > 0. Ce cas estillustre pour des energies croissantes par les trajectoires 4, 5 et 6 de la figure 9.3-(b).Au bout d’un tour, le pendule revient dans sa position initiale avec la meme vitesseinitiale et le senario se repete. Nous observons que les trajectoires decrivant les casE > 1, presentent une symetrie gauche/droite autour de l’axe θ = π pour lequel lesvitesses sont minimales.Dans le cas E = 1, le pendule monte vers les θ > 0 et atteint la position θ = πavec une vitesse nulle au bout d’un temps infini. Ce comportement est illustre parla trajectoire 3 sur le diagramme de phase 9.3-(b). Cette trajectoire ne presente pasde symetrie.

53

4 mm

(a) (b)

θe

g

4 mm0

x

y

α

+

y∞

θe

(c)

Fig. 9.4 – Exemple de menisque statique sur un plan obtenu avec un liquidemouillant : (a) juste avant le contact (b) menisque statique (c) conventions uti-lisees pour decrire la forme de l’interface.

9.2.2 Menisque plan

Le probleme du menisque statique est presente sur la figure 9.4. Avant le contact(figure 9.4-a), l’interface liquide est plane et le mur vertical sec. Longtemps apres lecontact (figure 9.4-b) l’interface est plane partout sauf dans une region millimetriqueproche du mur solide ou elle prend une forme de lune. La forme de ce menisquestatique est fonction de l’angle de contact entre le liquide et le solide. En utilisant lesconventions presentees sur la figure 9.4-c, le menisque plan est decrit par l’equation :

dα

ds=

1a2

(y − y∞) . (9.4)

Dans cette equation, α est l’angle local entre l’axe Ox et l’interface, s l’abscissecurviligne, a ≡

√σ/(ρg) la longueur capillaire, y l’ordonnee locale et y∞ l’ordonnee

a x = ∞.La derivee de l’equation (9.4) par rapport a l’abscisse curviligne conduit a l’equationdu pendule :

d2α

ds2= − sin α, (9.5)

ou les longueurs ont ete adimensionnees par a. La derivee temporelle du pendule estici remplacee par la derivee spatiale le long de la surface et le temps caracteristiqueτ =

√l/g par la longueur a =

√σ/(ρg). Dans cette analogie, la vitesse angulaire du

pendule est remplacee par la courbure de l’interface. Pour tenir compte du fait quele temps s’ecoule dans une seule direction, nous avons choisi l’origine de l’espace aucontact entre le solide et le liquide ou l’angle de contact αc est relie a l’angle initialα(0) par la relation α(0) = π/2 + θe. La premiere integrale de l’equation (9.5) est :

12α2 = cos α + E avec E = 1 (9.6)

54

(a) (b)

0

1

2

3

4

- 2 - 1 0 1 2

z a/

r a K/ +

- 1

0

1

2

3

4

-90 -60 -30 0 3 0 6 0 9 0

θe (deg.)

Ky a/

x a K/ +

Fig. 9.5 – Menisque statique plan : (a) forme generale y/a(x/a + K) (b) Relationentre la constante K et l’angle de contact θe.

La constante d’integration E est ici egale a l’unite puisqu’a l’infini, α = π et α = 0.La trajectoire du menisque dans l’espace des phases [α, α] est donc la separatrice.

En posant θ = α−π/2, la premiere integrale de l’equation (9.5) conduit a la relationy(θ) :

y/a =√

2 (1 − sin θ) (9.7)

Cette equation permet en particulier de determiner la hauteur du menisque enx = 0 : y = a

√2 (1 − sin θe).

Une seconde integration conduit a la forme algebrique du menisque :

12

ln

(1 +

√1 − (y/a)2/4

1 −√

1 − (y/a)2/4

)− 2

√1 − (y/a)2/4 = x/a + K, (9.8)

ou K est une constante fonction de l’angle de contact θe. La forme du menisque estpresentee sur la figure 9.5-a et la relation K(θe) sur la figure 9.5-b. La comparaisonentre ce profil analytique et un menisque observe est presentee sur la figure 9.6.

9.2.3 Plaques

On considere a present la statique d’une plaque elastique, de longueur L, largeur w,d’epaisseur e et de module d’Young E. Cette plaque est presentee sur la figure 9.7-(a). Elle est encastree dans des sabots en s = 0 et s = L avec un angle θ0, commeillustre sur la figure 9.7-(b). La forme de la plaque ainsi pliee peut etre obtenue apartir de l’equilibre local des moments presente en 9.7-(c). En notant Γ(s) le couplede flexion en s et P la force de traction ou de compression qui s’exerce au niveaudes sabots, cet equilibre s’ecrit :

+Γ(s) + Pds sin θ − Γ(s + ds) = 0, (9.9)

55

7 mm

Fig. 9.6 – Comparaison entre la forme du menisque observe avec un liquide total-lement mouillant (θe = 0) et celle obtenue avec l’expression algebrique (9.8).

eE

(a)

L

θ0P P

(b) (c)

A

R

P

dsθ(s)

Γ(s+ds)

Γ(s)

w

Fig. 9.7 – Plaques pliees : (a) plaque plane, (b) plaque pliee, (c) equilibre local desmoments.

56

(a) (b)

20 cm

P P

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

r a/

z a/

Fig. 9.8 – Comparaison entre la forme obtenue par extension d’une lame de scieen acier et la forme analytique (9.8) : (a) image de la lame de scie (b) comparaisonavec l’equation (9.8).

Cette equation peut etre simplifiee en utilisant la relation d’Euler Γ = µ/R, entre lerayon de courbure local R et le couple de flexion Γ. Le coefficient de proportionnaliteµ ≡ Ewe3/12 est la rigidite de la plaque. L’equation (9.9) devient alors :

d2θ

ds2= − sin θ, (9.10)

ou les longueurs sont adimensionnees par

ae ≡√

µ/P (9.11)

Cette longueur elastique est equivalente a la longueur capillaire. Le menisque elas-tique correspond a une plaque tiree presentant un point θ = π et θ = 0. Un exemplede menisque elastique obtenu avec une lame de scie en acier est presente sur lafigure 9.8-a. Dans ce cas le module d’Young est E ≈ 2.1011 Pa le moment d’inertieI ≈ 2, 5.10−13 m4 et la force appliquee P ≈ 10 N. La longueur elastique est doncae ≈ 7 cm. La comparaison entre cette forme observee et la forme analytique (9.8)est presentee sur la figure 9.8-b.

57

t=0.0 ms t=1.0 ms t=2.66 ms t=4.66 ms

t=6.88 ms t=10.22 ms t=12.44 ms t=16.88 ms

t=22.44 ms t=36.80 ms t=1 mn

4.0 mm z t( )

r t( )

ze

Fig. 9.9 – Exemple de menisque plan dynamique obtenu avec de l’hexane sur del’aluminium (θe = 0). Chaque image presente le menisque a une hauteur z(t)/ze =i/10, ou i ∈ [0, 10] est un entier.

9.3 Menisque dynamique

Le probleme etudie est presente sur la figure 9.9 : a un instant initial (t = 0) lesolide est mis au contact avec un liquide qui le mouille totalement (θe = 0). Nousavons decrit dans la section precedente la forme prise par l’interface a t → ∞. Nousetudions ici l’evolution du menisque entre t = 0 et t = ∞. L’etude complete a etemenee avec D.Quere [15]. Je resume ici les resultats obtenus pour les menisquesplans.

En utilisant de l’hexane 2 sur de l’aluminium (θe = 0) on observe sur la figure 9.9que la hauteur z(t) du liquide sur le solide atteind 90% de sa hauteur finale ze en37 ms. Pour une hauteur de controle z = 0.25ze, la figure 9.10 presente l’evolutiondu temps tz mis pour atteindre cette hauteur en fonction de la viscosite du liquideutilise3. Le comportement observe est identique pour les differentes hauteurs de

2ρ = 660 kg.m−3, ν = 0.45 mm2.s−1, σ = 0.018 kg.s−2

3Experimentalement, on change la viscosite en utilisant des huiles silicones de densite ρ ≈960 kg.m−3, de tension de surface σ = 0.021 kg.s−2 et de viscosite variant entre V 10 : ν =10 mm2.s−1 et V 12500 : ν = 12500 mm2.s−1

58

1

10

100

1000

104

105

0,1 1 10 100 1000 104 10

1

tz (ms)

ν (mm .s )2 -1

Fig. 9.10 – Evolution de l’indicateur tz avec la viscosite cinematique du liquide,pour differentes valeurs de z : � z = 0.25ze, � z = 0.5ze, • z = 0.8ze.

controle : a faible viscosite cinematique ν < 10 mm2.s−1, le temps d’ascension tzest independant de ν. A forte viscosite ν > 10 mm2.s−1, tz augmente lineairementavec ν. Nous identifions ainsi un regime inertiel et un regime visqueux avec unetransition a ν ≈ 10 mm2.s−1.

La dynamique z(t) observee dans ces deux regimes est presentee sur la figure 9.11.Les deux trajectoires tendent vers la meme limite statique avec des temps caracte-ristiques tres different τ ≈ 40ms pour l’hexane et τ ≈ 5 000ms pour l’huile siliconeV1000. Aux temps courts t/τ � 1, la dynamique observee dans le regime inertieln’est pas tres differente de celle observee dans le regime visqueux z ∼ t0.7. La transi-tion entre la phase d’ascension et le menisque statique est plus douce dans le regimevisqueux.

Le modele propose pour rendre compte de la dynamique inertielle consiste a decrirela dynamique d’un cone liquide mis en mouvement par les forces capillaires Fc

liees a la condition de mouillage nul sur le solide. Ce modele est schematise sur lafigure 9.12. Dans la limite inertielle, on neglige les effets visqueux et l’evolution del’impulsion conduit a l’equation :

d(MU)dt

= Fc − Mg. (9.12)

A l’equilibre, cette equation montre que le poids du liquide contenu dans le menisquestatique est compense par Fc. Aux temps courts, la masse du menisque est petitedevant la masse d’equilibre et Fc � Mg. Pour un cone, l’equation (9.12) devient

59

0,01

0,1

1

1 0

0,1 1 1 0 1 0 0 1000 1 04 1 05 1 06

z (mm)

t (ms)

Fig. 9.11 – Dynamique d’ascension z(t) observee dans le regime inertiel (hexane �)et dans le regime visqueux (V1000 �).

r

z

U

0

M

Fig. 9.12 – Modelisation du menisque inertiel.

60

0,01

0,1

1

10

10-5 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 100

z (mm)

σρ

t2 3 (mm )

Fig. 9.13 – Dynamique du menisque obtenue avec de l’hexane sur de l’aluminium :� mesures, la ligne continue represente l’evolution z = 0.65(σt2/ρ)1/3.

alors :d2z3

dt2∼ σ

ρ(9.13)

d’ou

z ∼(

σt2

ρ

)1/3

. (9.14)

On retrouve ici la loi d’evolution des phenomenes capillaro-inertiels sans longueurcaracteristique, proposee initialement par Keller et Miksis [36]. L’evolution de lahauteur du menisque z obtenue avec de l’hexane est presente sur la figure 9.13 enfonction du volume σt2/ρ. On observe sur cette figure que dans la gamme z/ze ≤ 0.7la relation z = 0.65(σt2/ρ)1/3 decrit correctement la dynamique du menisque. Enprenant comme hauteur finale du menisque, la valeur statique z =

√2a, on evalue

le temps d’ascension τ a :

τ ≈ 3.2(

σ

ρg3

)1/4

(9.15)

Pour l’hexane, on trouve τ ≈ 42 ms qui est une bonne evaluation du temps mesuresur les figures 9.9 et 9.11.

Le modele propose pour decrire l’ascension du menisque dans le regime visqueuxest different. Les echelles de temps etant longues devant le temps de propagationdes ondes de surface, on imagine que le phenomene est quasi-statique : le menisquemonte le long de la surface mais presente a chaque instant une forme statique

61

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

sinθ

1 1 22

− ( )/ / z a

Fig. 9.14 – Comparaison entre le sinus de l’angle de contact mesure lors de l’ascen-sion du menisque visqueux et sa valeur theorique statique : sin θ = 1 − 1/2(z/a)2 .La ligne continue indique l’egalite entre les deux angles.

correspondant a l’angle de contact local. Ainsi, suivant l’equation (9.7) on s’attenda ce que l’angle de contact θ soit relie a la hauteur du menisque z par la relationstatique : sin θ = 1 − 1/2 (z/a)2. Cette hypothese est verifiee sur la figure 9.14ou l’evaluation de l’angle mesure est proche de la valeur theorique. La deuxiemeetape consiste a utiliser la loi de Tanner [30], [55] pour decrire l’etalement du fluidemouillant sur le solide : θ3 = C1ηU/σ ou η ≡ ρν, U = z et C1 ≈ 80 est uneconstante. Avec l’hypothese quasi-statique, la loi de Tanner conduit a l’equationdifferentielle en θ :

dθ

dt= −θ3

√1 − sin θ

cos θ, (9.16)

ou le temps est adimensionne par τ = (C1/√

2)ηa/σ. La trajectoire obtenue parintegration numerique de cette equation est presentee sur la figure 9.15 et compareea l’ascension du menisque mesuree. Dans le cas de l’huile V1000, le temps caracte-ristique τ = (C1/

√2)

√ρν2/(σg) est de l’ordre de 4s qui est une bonne evaluation

du temps mesure sur la figure 9.11.

62

0,001

0,01

0,1

1

10

0,001 0,01 0,1 1 10 100 100

z

a

2

1C at

ση

Fig. 9.15 – Comparaison entre la trajectoire deduite de l’integration numerique del’equation (9.16) presentee en ligne continue et les mesures experimentales faitesavec l’huile V1000 (�).

63

Chapitre 10

Bulles

Le probleme aborde dans ce chapitre est celui de la propagation des longues bullesdans des tubes verticaux. Les applications sous-jacentes sont le remplissage et lavidange de reservoirs. De facon plus precise, l’etude presentee a ete financee par laDGA pour des problemes de remplissage de tubes de lancement de missiles a bordde sous-marins. Elle a fait l’objet de la these de P.Heraud [28], co-encadree avecGeoffrey Searby. Des problemes analogues de propagations de longues bulles dansdes tubes verticaux se rencontrent dans l’extraction petroliere ou les bulles sontutilisees comme piston pour remonter le “precieux” liquide [18] ou encore dans lesapplications geophysiques telle que la remontee des poches de gaz dans les chemi-nees de volcans [33], [34].

La premiere partie decrit la physique de la dynamique stationnaire des longuesbulles et la seconde etend ces resultats au cas de bulles soumises a un champd’acceleration periodique et presentant une dynamique instationnaire.

10.1 Dynamique stationnaire.

Le probleme traite dans cette section est presente sur la figure 10.1. Un liquide dedensite ρ, viscosite cinematique ν et tension de surface σ est contenu dans un tubevertical de forme R(θ), entoure d’air et place dans un champs de pesanteur constantg. A un instant initial, la partie inferieure du tube est ouverte et l’on observe laremontee d’une bulle d’air a l’interieur du tube. Le probleme est de determiner lavitesse d’ascension Ub qui caracterise la dynamique de la bulle. L’etude detailleefait l’objet de l’article [16]. Nous en parcourons ici les grandes lignes. Les premieresetudes menees sur ce sujet sont dues a l’ecole allemande autour de L.Prandtl parBlasius [9] and Forster [22]. Une seconde vague d’etude est due a Dumitrescu [20]un autre etudiant de L.Prandtl, sept ans avant l’article le plus cite de Davies etTaylor [17]. En observant les dates de publication, il est difficile de ne pas relier cesetudes aux efforts de guerre et en particulier au developpement des sous-marins.

64

z

UB

Air

Liquid

R θ( )θ R

UB

Air

Liquid

z

(a) (b)

g

Fig. 10.1 – Presentation du probleme.

R (cm) Bo = R/a λ

0.495 1.85 0.281.0 3.74 0.471.88 7.03 0.493.5 13.09 0.49

Tab. 10.1 – Copy of Dumitrescu’s Table 4.

Dans le cas de tubes cylindriques R(θ) = R [figure 10.1-(b)], l’etude de Dumitrescu[20] montre qu’aux grands nombres de Reynolds Re ≡ UbR/ν � 1 :

Ub = λ√

gR, with λ ≈ 0.5. (10.1)

Dumitrescu a aussi etudie l’influence de la tension de surface en observant la remon-tee de bulles dans des tubes de taille voisine de la longueur capillaire a ≡

√σ/(ρg).

Ses resultats pour des bulles d’air dans de l’eau 1 sont reportes dans le tableau 10.1.De gauche a droite, il presente le rayon du tube R, la valeur du nombre de BondBo ≡ R/a et la mesure de la vitesse reduite λ = Ub/

√gR.

On deduit de cette table que l’equation (10.1) ne s’applique que dans la limiteR/a > 4. En deca de cette limite, λ n’est plus constant mais decroıt avec le rapportR/a.

1ρ = 103 kg.m−3, ν = 10−6 m2.s−1 and σ = 0.073 kg.s−2

65

Re

Bo

Bo*

Re*

1

3

2

4

Fig. 10.2 – Phase diagram.

A faibles nombres de Reynolds Re < 1, White et Beardmore [59] montrent experi-mentalement que :

Ub = αgR2

ν, with α ≈ 0.038 (10.2)

Cette valeur de α est constante dans la limite R/a � 1 et decroıt avec R/a lorsquece rapport devient d’ordre unite.Ces etudes du cas cylindrique, montrent que le probleme de la vitesse d’ascension Ub

doit etre traite dans le diagramme de phase presente sur la figure 10.2. Les effets detension de surface sont presentes au travers du nombre de Bond sur l’axe vertical etles effets de viscosite sont representes par le nombre de Reynolds sur l’axe horizontal.Dans la limite Bo � 1, et pour un tube de section quelconque, la determination deUb se ramene a la recherche d’une longueur caracteristique L telle que : Ub ∼

√gL

pour Re � 1 et Ub ∼ gL2/ν pour Re � 1. De facon a comparer les differentes

formes de tube entre-elles nous utilisons le perimetre P ≡∫ 2π0 R

√1 +

(1R

dRdθ

)2dθ et

la surface S ≡∫ 2π0 R2/2dθ.

Dans [16] nous montrons experimentalement et theoriquement que dans la limiteRe � 1, la longueur caracteristique est le perimetre du tube L = P et que dansla limite Re � 1, la longueur caracteristique est la racine de la section du tubeL2 = S. Pour des tubes de sections triangulaires, carrees, circulaires et rectangulaire,l’evolution de la vitesse est presentee sous forme adimensionnee dans la figure 10.3.On observe sur cette figure un comportement commun de la vitesse de propagationpour toutes les formes de tube et sur 10 decades. La transition entre le regimevisqueux et le regime inertiel se produit pour Ub(S/P )/ν ≈ 3. Dans le regimeinertiel Ub(S/P )/ν � 1, on observe sur la figure 10.3 que U2

b ≈ 0.2√

gP . Dans lecas d’un tube de section toroıdale de rayon exterieur R1 et de rayon interieur R2,tel que celui presente sur la figure 10.4-(a), on peut donc s’attendre a ce que la

66

10-7

10-6

10-5

0,0001

0,001

0,01

0,1

10-5 0,001 0,1 10 1000 105

U

gPb

2

U S Pb ( / )ν

Fig. 10.3 – Resultats experimentaux decrivant la transition entre la region 1 etla region 2 obtenus dans des tubes de differentes formes : � triangles, � carres, •cercles, ♦ rectangles.

67

R1

R2

(a) (b) (c) (d)

Fig. 10.4 – Bulle toroidale obtenue avec de l’air dans de l’eau et un tube de rayonsR2 = 7.5 cm et R1 = 12 cm : (a) schema (b) vue de face (c) vue de cote (d) vue dederriere.

vitesse Ub soit plus importante dans le tore que dans le tube cylindrique de memerayon R1. Ceci est effectivement le cas : nous mesurons Ub = 54 ± 2cm.s−1 dansle tube cylindrique et Ub = 70 ± 3cm.s−1 dans le tube toroıdal. Ces mesures sontcompatibles avec la loi theorique obtenue dans ce regime :

Ub =1√8π

√gP (10.3)

Concernant les effets de tension de surface, nous montrons pour des tubes cylin-driques de rayon R, que la premiere correction aux comportements observes a grandnombre de Bond est d’introduire une gravite effective g′ telle que :

g′ = g

[1 − α

( a

R

)2]

(10.4)

ou α est une constante d’ordre unite determinee experimentalement. Cette relationimplique l’existence d’un rayon critique R� ≡ a

√α pour lequel g′ = 0, c’est a dire

tel que la bulle ne se propage pas.

68

Air

Liquide

Air

Liquide

Air

(a) (b)

Fig. 10.5 – Schemas de principe pour observer l’influence d’un champs oscillant surla dynamique des longues bulles dans des tubes verticaux.

10.2 Dynamique instationnaire.

Dans cette section, nous considerons la dynamique des longues bulles dans un tubevertical soumises a un champs d’acceleration periodique. Cette configuration peutetre obtenue experimentalement, soit en secouant verticalement le tube (figure 10.5-a), soit dans un tube fixe comprenant une poche d’air (figure 10.4-b). Nous nousconcentrons ici sur la modelisation de la propagation de la bulle dans le regimeinertiel Re � 1 et comparons nos resultats aux resultats experimentaux obtenuspar Brannock et Kubie[10] dans la configuration 10.5-a avec de l’eau.

De facon a decrire la propagation de la bulle, nous nous placons dans le referenciellie a l’apex et utilisons les notations presentees sur la figure 10.6.Dans ce referentiel non galileen, l’equation d’Euler qui decrit l’evolution du champsde vitesse U autour de la bulle est :

∂U

∂t+ gradU.U = −1

ρgradp + g +

dUb

dtey (10.5)

Nous cherchons une solution potentielle a cette equation U = gradΦ. La conditionde pression constante P0 a l’interieur de la bulle implique qu’a sa surface, la vitesseevolue suivant la relation :

U2 = 2[(

g +dUb

dt

)y +

∂Φ∂t

|0 −∂Φ∂t

|y]

(10.6)

69

x

y

0

U tb ( )

g t( )

P0

R

uv

uv

Fig. 10.6 – Notations utilisees pour la description de la dynamique des longuesbulles.

Dans la limite des bulles stationnaires, cette condition se reduit a U2 = 2gy quitraduit la conversion d’energie potentielle de gravite en energie cinetique.

En geometrie plane, le potentiel Φ peut etre developpe au premier ordre sous laforme :

Φ =Ub(t)

k

[ky − eky cos(kx)

](10.7)

d’ou

u = ∂Φ∂x = Ub(t)eky sin(kx) (10.8)

v = ∂Φ∂y = Ub(t)

[1 − eky cos(kx)

](10.9)

Ce champs de vitesse verifie les symetries u(−x) = −u(x), v(−x) = v(x) et satisfaitla condition de point de stagnation a l’apex. La condition de vitesse normale nullea la paroi impose kR = π.

Cette evaluation du potentiel des vitesses reduit l’equation (10.6) a l’equation diffe-rentielle ordinaire :

2dUb

dt+ 3kU2

b − g(t) = 0 (10.10)

Dans la limite stationnaire, on retrouve l’evaluation de la vitesse de bulle en geo-metrie plane : Ub =

√g/(3k) =

√gR/(3π). En regime instationnaire, la vitesse de

bulle n’est plus obtenue de facon explicite mais au travers de l’equation differentielle(10.10).

70

Dans la limite lineaire g(t) = g0

(1 + aeiωt

), la recherche d’une solution sous la

forme Ub(t) = Ub0

(1 + beiωt

)conduit a :

b =a

21

1 + iωτavec τ =

Ub0

g0=

√R

3πg(10.11)

Ainsi, la bulle se comporte-t-elle comme un filtre passe bas de frequence de coupure1/τ .

Dans l’experience de Brannock et Kubie[10], le tube de longueur L = 2 m, oscilleverticalement avec la pulsation ω et l’amplitude A tels que l’acceleration reduiteAω2/g varie entre 0 et 1.5. A partir du temps d’ascension T , les auteurs definissentune vitesse moyenne Ub = T/L et presentent son evolution relative au cas sta-tionnaire en fonction de l’acceleration reduite. Sur la figure 10.6, nous comparonsleurs resultats experimentaux obtenus dans deux tubes de diametres differents avecceux obtenus par l’integration numerique de la version axisymetrique de l’equation(10.10). L’accord est satisfaisant. De plus, nous observons numeriquement que labulle n’avance plus pour une acceleration reduite de l’ordre de 1.7. Experimentale-ment, Brannock et Kubie[10] reportent que pour une acceleration reduite de 1.6, labulle se casse et ne se propage plus. Ces observations valident la demarche entre-prise pour decrire la vitesse d’ascension des longues bulles dans des tubes verticauxsoumis a des accelerations periodiques.

71

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,5 1 1,5 2

UU

b

b0

Agω2

Fig. 10.7 – Comparaison entre les resultats experimentaux de [10] et l’integrationnumerique de la version axisymetrique de l’equation (10.10) : � experience (R = 22mm), � experience (R = 11 mm), ligne continue (R = 22 mm), ligne pointilee(R = 11 mm).

72

Chapitre 11

Projets de Recherche

Ce projet de recherche s’inscrit a la fois dans la continuite des recherches en courssur les interfaces hydrodynamiques et dans la perspective du developpement d’uneactivite bio-mecanique.

11.1 Des interfaces. . .

Dans la thematique des interfaces, je poursuivrai les sujets d’impacts, d’atomisationainsi que le probleme complementaire de la coalescence.

11.1.1 Impacts

Fig. 11.1 – Exemple d’impact d’une goutte d’eau sur une surface super-hydrophobe.Le temps s’ecoule de gauche a droite et de haut en bas.

La configuration classique d’une goutte liquide lancee sur un plan solide intervientdans de nombreuses applications industrielles parmi lesquelles, le traitement des

73

feuilles en agriculture, l’erosion des sols par la pluie ou la taille des points dansles imprimantes a jet d’encre. On peut remarquer que la loi d’etalement dans cetteconfiguration n’est toujours pas connue.

Un exemple d’impact de goutte sur une surface solide est presente sur la figure11.1 : dans cet exemple, la goutte d’eau de diametre D0 et de vitesse initiale U0

impacte perpendiculairement a une surface super-hydrophobe a t = 0 (image 2).Entre l’image 2 et l’image 4, la goutte s’etale sur la surface et atteint un diametremaximal Dmax. Entre les images 5 et 8 la goutte etalee se retracte et re-decolle surl’image 9 au temps t = τ (typiquement τ ≈ 3 ms pour une goutte millimetrique).Le projet sur ce sujet se developpe en plusieurs points :

• EtalementEtude systematique de la phase d’etalement depuis l’impact jusqu’a l’extensionmaximale Dmax. Outre la determination de la loi D(t), nous nous attacherons acomprendre la physique qui regit le diametre maximal Dmax essentiel pour les ap-plications pratiques. L’evolution de ce diametre avec la vitesse d’impact mais aussiavec les proprietes du liquide telles que la viscosite, la densite ou encore la tensionde surface doit etre consideree.De facon a completer la comprehension physique de l’etalement et a decoupler leseffets geometriques des effets inertiels ou visqueux, l’etude de l’impact d’un jet cy-lindrique et d’une nappe liquide plane devra etre fait.

• Etalement : Et si c’etait l’airDans les impacts goutte/solide, on neglige en general le milieu environnant (typi-quement l’air) dans la dynamique de l’etalement. Cependant, les observations decette phase d’etalement montrent que l’angle de contact liquide/solide reste bloquea 180◦, ce qui suggere la presence d’un film d’air entre le liquide et le solide. Defacon a evaluer l’influence de ce film, il faut en faire varier la viscosite, ce qui n’estpas si aise avec des gaz. L’etude de l’impact de gouttes de mercure sur le fond d’unrecipient rempli d’huiles de silicone est envisagee. Dans la mesure ou les gradientsde vitesse les plus forts seront entre le solide et la goutte de mercure, cette expe-rience devrait permettre de repondre a l’influence du milieu environnant sur la loid’etalement.

• RebondEtude de la phase de retraction en mettant un accent particulier sur la compre-hension du rebond. En effet, autant les agriculteurs et les peintres souhaitent quel’impact s’arrete a D = Dmax, autant les fabriquants de lunettes souhaitent obser-ver le rebond. La determination d’un critere de rebond est essentielle.

• ErosionOn peut approcher le probleme de l’erosion en regardant l’influence de l’elasticitedu solide sur l’impact de la goutte. Plus exactement, connaissant les proprietes

74

1 2 3 4

Fig. 11.2 – Exemple d’impact d’une goutte d’eau sur une fibre.

elastiques du solide, on cherchera a determiner les deformations qui vont lui etreoccasionnees par l’impact d’une goutte. Pour cela, on peut utiliser des elastiques dedifferente rigidite sur lesquels on fait tomber des gouttes de differentes energies.

• FiltrationL’etude de l’impact de goutte sur des fibres est important pour les applications defiltration de fummees. La comprehension du cas classique goutte-plan pourra servira cette etude. Un exemple d’impact goutte/fibre est presente sur la figure 11.2. Onobserve sur cette figure que la goutte n’est pas capturee par la fibre mais coupee endeux larmes symetriques qui engendreront, a terme, des gouttes. La determinationd’un critere de capture, prenant en compte le diametre de la goutte et de la fibremais aussi les proprietes physiques de la goutte est l’un des buts de cette etude.

11.1.2 Atomisation

Par atomisation, j’entends l’etude de la formation des gouttes. Les applicationsassociees sont souvent complementaires de celle enoncees pour les impacts : en agri-culture, par exemple, si l’on connaıt la loi d’etalement et la taille des feuilles atraiter, on va en deduire la taille des gouttes a utiliser et l’on va souhaiter les fabri-quer. Cet exemple peut evidemment etre itere sur les autres applications.

• Conditions d’arrachageUne des facons de faire des gouttes est de les arracher, c’est a dire de les soumettrea des accelerations telles, que le produit de leur masse par cette acceleration soitsuperieur aux forces qui les retiennent. Une experience generique pour l’etude de cetarrachage consiste a suspendre une goutte a l’extremite d’un fil que l’on peut fairevibrer verticalement et horizontalement. La force d’accrochage est ainsi controleepar la taille du fil et la tension superficielle de la goutte. L’acceleration par le mou-vement controle du fil et la masse par le volume et la densite du liquide.

• Une loupe hydrodynamiqueEn focalisant des ondes de surface, on arrive a generer dans un premier temps un

75

jet liquide au point focal et dans un deuxieme temps des gouttes si ce jet se brise.Cette methode devrait conduire a une distribution piquee de taille des gouttes. Leprobleme est ici d’etudier l’influence de l’amplitude et de la frequence des ondes surla taille du jet et des gouttes.

11.1.3 Coalescence

Le probleme de la coalescence est aussi proche des problemes d’impact, dans la me-sure ou l’impact de deux gouttes entraıne la question de leur coalescence et presenteun interet vaste pour les applications : dans la caracterisation d’un brouillard, im-portante en combustion, ou d’un panache de bulles, importante dans les echangeurschimiques, le diametre moyen des gouttes/bulles, resulte souvent d’un equilibreentre atomisation et coalescence. On peut aussi penser aux problemes de coales-cence/dispersion de surfaces, dans les sujets de type maree-noire. En pharmacologie,les gouttes de collutoire doivent atteindre des organes cible sans coalescer avec lesparois qui les transportent. L’etude de cette coalescence film-goutte est essentiellepour augmenter l’efficacite des produits fabriques.

• Le corps a corps des gouttesPour etudier les conditions de coalescence de deux gouttes, j’envisage de faire secroiser deux jets cylindriques dans leur partie brisee. L’instabilite de Savart PlateauRayleigh pouvant etre controlee par des petites sollicitations acoustiques, on peutmettre en phase les deux jets de telle facon que les gouttes s’impactent au pointde croisement. La taille et la vitesse des jets controlant la taille et la vitesse desgouttes, on peut de cette facon etudier l’influence de ces deux parametres sur lacoalescence des gouttes. On peut aussi dans cette experience etudier l’influence dela viscosite et de la tension superficielle sur ce phenomene.

11.2 . . . a la bio-mecanique

Par bio-mecanique, j’entends les applications de la mecanique des fluides au domainedu vivant et a l’humain en particulier.

11.2.1 Etude mecanique des anevrismes aortiques

Les anevrismes aortiques se developpent entre le diaphragme et le pelvis, en amontde la bifurcation des iliaques qui alimente les jambes. Statistiquement, ils concernent300 000 personnes en France, plutot des hommes (8 hommes pour 1 femme) et plutotages (95% ont plus de 60 ans). Ces anevrismes se presentent comme une dilatationde l’aorte qui grossit au cours du temps et finit par eclater si une interventionchirurgicale n’est pas pratiquee. Leur eclatement est systematiquement mortel. Leprobleme pose est la formation et le developpement de cette dilatation arterielle.

76

L’ensemble des etudes mecaniques sur ce sujet portent sur la caracterisation del’ecoulement et visent a determiner les contraintes parietales. Ces etudes sont me-nees dans des conduites rigides de forme proche de celle des anevrismes. Contraire-ment a ces etudes “stationnaires”, nous nous proposons d’etudier la formation et ledeveloppement des anevrismes au travers de modeles mecaniques : En partant del’observation que ces anevrismes se developpent dans une region de fatigue : chaquefois que l’individu s’assoit ou se penche, l’aorte est soumise a une flexion. La repe-tition de ces mouvements quotidiens sur une soixantaine d’annees cree la fatigue del’artere. Cette region de fatigue est le siege d’un ecoulement pulse, qui peut, selonnous, etre a l’origine de la dilatation.

11.2.2 De l’air dans les poumons

Une autre activite est l’etude de la respiration assistee des grands prematures,ou le probleme est d’approvisionner les poumons en air et d’eviter qu’ils ne secollent[44]. Deux directions d’etudes sont developpees, l’utilisation de tensio-actifspour diminuer la force d’attraction entre poumons et la propagation des bulles dansune cavite souple avec un ecoulement pulse, pour satisfaire a la consommation d’air.De facon a etudier l’approvisionnement des poumons en air, je propose d’etudierla propagation de bulles d’air dans un tube cylindrique elastique. La propagationdes bulles dans les cylindres rigides est un sujet classique de la mecanique desinterfaces. L’originalite de ce projet est d’etudier le couplage fluide-structure lie ala propagation des bulles et de determiner la vitesse d’ascension correspondante enfonction des caracteristiques du fluide et du tube.

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Bibliographie

[1] P. Aussillous, and D. Quere 2001 Liquid marbles Nature 411 pp. 924.

[2] C.T. Avedisian, and J. Koplik 1987 Leidenfrost boiling of methanol dro-plets on hot porous/ceramic surfaces Int. J. Heat Mass Trans. 30 pp. 379.

[3] K.J. Baumeister and F.F. Simon 1973 Leidenfrost Temperature - Its corre-lation for Liquid Metals, Cryogens, Hydrocarbons and Water J. Heat Transfer95 pp. 166.

[4] A.L.Biance C.Clanet and D.Quere 2003 Leidenfrost drops accepted inPhys. Fluids.

[5] H. Bouasse 1924 Capillarite et phenomenes superficiels Delagrave, Paris

[6] Boussinesq J. 1869 Theories des experiences de Savart, sur la forme queprend une veine liquide apres s’etre choquee contre un plan circulaire. InC.R.Acad.Sci.,Paris 69 pp. 45–48

[7] Boussinesq J. 1869 Theories des experiences de Savart, sur la forme queprend une veine liquide apres s’etre heurtee contre un plan circulaire (suite).In C.R.Acad.Sci.,Paris 69 pp. 128–131

[8] Boyle 1682 New Experiments, Physico-mechanical. London.

[9] H. Blasius 1910 Funktionentheoretische Methoden in der Hydrodynamik. Z.Math. u Phys. 58 pp. 90.

[10] D.Brannock and J.Kubie 1996 Velocity of long bubbles in oscillating verti-cal pipes. Int. J. Multiphase Flow 22 pp. 1031–1034.

[11] S. Chandrasekhar 1981 Hydrodynamic and hydromagnetic stability In Do-ver, New York

[12] C.Clanet 2001 Dynamics and stability of water bells. In J. Fluid Mech. 430pp. 111–147.

[13] C.Clanet and E.Villermaux 2002 Life of a smooth liquid sheet. In J. FluidMech. 462 pp. 307–340.

[14] E.Villermaux and C.Clanet 2002 Life of a flapping liquid sheet. In J. FluidMech. 462 pp. 341–363.

[15] C.Clanet and D.Quere 2002 Onset of menisci. In J. Fluid Mech. 460pp. 131–149

78

[16] C.Clanet, P.Heraud and G.Searby 2003 Dynamics of long bubbles invertical tubes. submitted to J. Fluid. Mech.

[17] R.M. Davies and Sir G.I. Taylor 1950 Proceedings of the Royal Society, Acc pp. 375–390.

[18] Dukler and Fabre 1994 Gas-liquid slugflow knots and loose ends. MultiphaseScience and Technology 8 pp. 355.

[19] P.G. De Gennes 1985 Wetting : statics and dynamics Rev. Mod. Phys. 57,pp. 827–863.

[20] D.T. Dumitrescu 1943 Stromung an einer luftblase im senkrechten rohrZAMM 23 pp. 139–149.

[21] Falcon E. 1997 Comportements dynamiques associes au contact de Hertz :processus collectifs de collision et propagation d’ondes solitaires dans les mi-lieux granulaires. These de l’Ecole Normale Superieure de Lyon N◦ d’ordre :191-97

[22] Forster 1912 Uber Flussigkeitsstrahlen, deren formen dreehungskorper sind.Z. Math. u. Phys. 62 pp. 319.

[23] Frohn, A. and Roth, R. 2000 Dynamics of Droplets Springer Verlag[24] B.S. Gottfried, C.J. Lee, and K.J. Bell 1966 The Leidenfrost phenome-

non : film boiling of liquid droplets on a flat plate Int. J. Heat Mass Trans. 9pp. 1167.

[25] Hardy W.B. 1922 Historical Notes upon Surface Energy and Forces of ShortRange. In Nature vol.109, no.2734 pp. 375–378.

[26] Hartley, G.S. and Brunskill, R.T. 1958 Surface Phenomena in Chemistryand Biology J.F. Danielli Ed., Pergamon Press pp. 214.

[27] Hauksbee F. 1709 Physico-mechanical Experiments. London.[28] P. Heraud 2002 Etude de la dynamique des bulles infinies : application a

l’etude de la vidange et du remplissage de reservoirs. These de l’Universite deProvence Soutenue le 13 novembre 2002.

[29] Hertz, H. 1881 Journal fur die reine und angewandte Mathematik 92 pp. 156–171.

[30] R.L. Hoffman 1974 A study of the advancing interface. J.Colloid InterfaceSci. 50 pp. 228–241.

[31] Huang J.C.P. 1970 The break-up of axisymmetric liquid sheets. J. FluidMech. 43 305–319

[32] J.N. Israelachvili 1995 Intermolecular and surface forces Academic Press[33] C.Jaupart and S.Vergniolle 1988 Laboratory models of Hawaiian and

Strombolian eruptions. Nature 331 6151 pp. 58–60.[34] C.Jaupart and S.Vergniolle 1989 The generation and collapse of a foam

layer at the roof of a basaltic magma chamber. In J. Fluid Mech. 203 pp. 347–380

79

[35] P.L. Kapitsa 1948 Wave flow of thin layers of a viscous fluid. Zh. Eksperim.i Teor. Fiz. 18 pp. 59–129.

[36] J.B. Keller and M.J. Miksis 1983 Surface tension driven flows. SIAM J.Appl. Math. 43 pp. 268–277.

[37] L.Landau and L.Levich 1942 Dragging of a liquid by a moving plate ActaPhysicochimica URSS XVII, pp. 42–54.

[38] Landau, L.D., and Lifschitz, E.M. 1986 Theory of elasticity 3rd ed., Per-gamon Press,

[39] Laplace 1806 Mecanique Celeste.

[40] J.G. Leidenfrost 1750 De aquae communis nonnullis qualitatibus tractatusDuisburg, 1756

[41] L. Mahadevan, and Y. Pomeau 1999 Rolling droplets. Phys. Fluids 11pp. 2449.

[42] Nakajima, A., Hashimoto, K. and Watanabe, T. 2001 Monatshefte furChimie 132 pp. 31–41

[43] K.Okumura, F.Chevy, D.Richard, D.Quere and C.Clanet 2003 Waterspring : a model for bouncing drops Europhysics Letters 62 pp. 237–243.

[44] Pedley T.J. 1977 In Ann. Rev. Fluid Mech. 9 pp. 229–74

[45] J. Plateau 1873 Statique experimentale et theorique des liquides. Gauthier-Villars

[46] Y.M. Qiao, and S. Chandra 1997 Experiments on adding a surfactant towater drops boiling on a hot surface Proc. R. Soc. Lond. A 453 pp. 673.

[47] Rein M. 1993 In Fluid Dynamics Research 12 pp. 61–93

[48] Renardy, S. Popinet, L.Duchemin, M.Renardy, M.Clarke, S. Za-

leski, C.Josserand, C.Clanet, D.Richard, D.Quere. 2003 Pyramidaland Toroidal water drops after impact. J.Fluid Mech 484 pp. 69–83.

[49] D.Richard C.Clanet and D.Quere 2002 Contact time of a bouncing drop.Nature 417 pp. 811.

[50] D.Richard and D.Quere 2000 Europhys. Lett. 50 pp. 769–775.

[51] B.Roman, C.Gay and C.Clanet 2002 Pendulum, drops and rods : a physicalanalogy. Accepted in Am. J. of Physics

[52] B.Roman 2000 De l’elastica aux plaques plissees. These de l’Universite deProvence.

[53] Savart F. 1833 Memoire sur le choc d’une veine liquide lancee contre un plancirculaire. In Ann. de chim. 54 pp. 56–87

[54] Savart F. 1833 Memoire sur le choc de deux veines liquides animees de mou-vements directement opposes. Ann. de chim. 55 257–310

[55] L. Tanner 1979 The spreading of silicone oil drops on horizontal surfaces. J.Phys. D : Appl. Phys. 12 pp. 1473–1484.

80

[56] G.I. Taylor 1959 The instability of liquid surfaces when accelerated in adirection perpendicular to their planes Proc. R. Soc. Lond. A 201 192

[57] Taylor G. I. 1959 The dynamics of thin sheets of fluid. III disintegration offluid sheets. Proceedings of the Royal Society A 253 313–321

[58] A.B. Wang, C.H. Lin and C.C. Chen 2000 The critical temperature ofdry impact for tiny droplet impinging on a heated surface. Phys. Fluids 12pp. 1622.

[59] E.T. White and R.H. Beardmore 1962 The velocity of rise of single cylin-drical air bubbles through liquids contained in vertical tubes. Chemical Engi-neering Science 17 pp. 351–361.

81