univerza v mariboru fakulteta za naravoslovje in … · 2017-11-27 · 3 univerza v mariboru...
TRANSCRIPT
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
Oddelek za fiziko
Diplomsko delo Teorija kaosa – pedagoški pripomočki z uporabo apletov
Mentor: Kandidat: red. prof. dr. Samo Kralj Matjaž Črček
Maribor, 2011
2
ZAHVALA
Najprej bi se rad zahvalil mentorju, red. prof. dr. Samo Kralj, za pomoč, vodenje in nasvete pri izdelavi diplomskega dela. Ob tej priložnosti, pa bi se tudi zahvalil celotnemu kolektivu fizike.
3
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO
IZJAVA Podpisani MATJAŽ ČRČEK, roj. 25.01.1985, študent Fakultete za naravoslovje in
matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa ENOPREDMETNA
PEDAGOŠKA FIZIKA, izjavljam, da je diplomsko delo z naslovom TEORIJA KAOSA –
PEDAGOŠKI PRIPOMOČKI Z UPORABO APLETOV pri mentorju red.prof.dr. SAMO
KRALJ avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno
navedeni; teksti in druge oblike zapisov niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.
Maribor, 23.11.2011 Matjaž Črček
4
ČRČEK, M.: Teorija kaosa – pedagoški pripomočki z uporabo apletov
Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in
matematiko, Oddelek za fiziko, 2011
IZVLEČEK
V diplomskem delu bom predstavil izobraževalne numerične simulacije s področja fizike
kaosa, ki so prosto dostopne na spletu. Teorija kaosa je bila odkrita po letu 1950 in od takrat
naprej se obzorje naravnih pojavov, v katerih igra kaos pomembno vlogo, neprestano širi.
Številni pomembni raziskovalci trdijo, da se večina naravnih procesov spontano približuje
robu kaosa. Posledično postaja narava vedno bolj »kompleksna« in lahko skladišči več
informacij. Teorijo kaosa po pomembnosti postavljajo ob bok relativistične teorije in kvantne
mehanike. Njen pomen je predvsem v tem, da dobro opisuje raznovrstne pojave v našem
vsakdanjem življenju. Fizika kaosa vsebuje vrsto univerzalnosti. Slednje pomeni, da lahko
vrsto povsem različnih fizikalnih sistemov opišemo z isto matematiko. Poleg tega je pogosto
opaženo obnašanje izjemno robustno in neodvisno od detajlov opazovanega sistema. Kljub
izjemnemu pomenu teorije kaosa za razlago pojavov v vsakdanjem življenju je poučevanje na
tem področju v srednjih šolah v Sloveniji izjemno pomanjkljivo. Z namenom vpeljave
primernega učnega materiala s tega področja za izobraževanje srednješolcev sem v delu na
poljuden način predstavil ključne mehanizme kaosa, njegovo terminologijo ter pri tem
uporabil za ilustracijo obstoječe aplete, ki so prosto dosegljivi na spletu.
Klju čne besede: teorija kaosa, univerzalnost, atraktorji, logistične mape, orbitalni diagrami,
fraktali
5
ČRČEK, M.: Chaos theory – pedagogical resources with use of applets
Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Science and
Mathematics, Department of Physics, 2011
ABSTRACT
In this work I will present numerical simulations, which can be easily found on internet, for
education of physics in chaos. Chaos theory was discovered after 1950. Since then the horizon
of natural phenomena in which chaos plays important role, is getting bigger and bigger.
Number of important scientist is claiming that most of natural processes are getting closer to
the edge of the chaos. Consequently, nature is becoming more and more “complex” and
because of this it can store more information. Chaos theory is as much important as theory of
relativity and quantum mechanics. It is important because it describes several natural
phenomena which dominate our daily life. Physics of chaos contains several universalities.
This enables to establish close mathematical link between seemingly completely different
physical systems. Several phenomena in chaos theory are very robust and independent of the
details of a system. In Slovenia teaching of chaos theory in secondary school is almost absent
despite it is in describing natural phenomena in our everyday life. Because of that I will
represent main mechanisms of chaos and “language” of chaos with use of applets which
already exist and are freely available on internet.
Key words: chaos theory, universality, attractors, logistic maps, orbit diagrams, fractals
6
1. UVOD ................................................................................................................................. 7
2. PREDSTAVITEV KAOSA ................................................................................................ 9
2.1 Kaos skozi zgodovino ....................................................................................................... 9
2.2 Kaos ................................................................................................................................ 10
3. PEDAGOŠKI PRIPOMOČKI ZA PREDSTAVITEV KAOSA UČENCEM .................. 12
3.1 Kaotično dvojno nihalo .................................................................................................. 12
3.1.1 Kaotični sistemi v naravi ......................................................................................... 14
3.2 Horizont predvidljivosti .................................................................................................. 15
3.2.1 Horizont predvidljivosti v naravi ............................................................................. 16
3.3 Fazni prostor, atraktorji in učinek metulja ...................................................................... 16
3.3.1 Primer gibanja delcev v dvodimenzionalni simulaciji v realnem prostoru .............. 18
3.3.2 Tridimenzionalna simulacija Lorenzevega atraktorja .............................................. 23
3.3.3 Primer kaosa, atraktorja in faznega prostora v naravi .............................................. 25
3.3.4 Učinek metulja ......................................................................................................... 26
3.4 Logistične mape, orbitalni diagrami, mrežasti grafi ....................................................... 27
3.4.1 Logistična mapa ....................................................................................................... 27
3.4.2 Mrežasti diagram ..................................................................................................... 29
3.4.3 Orbitalni diagram ..................................................................................................... 31
4. FRAKTALI ....................................................................................................................... 40
4.1 Fraktali v naravi .............................................................................................................. 45
4.2 Dimenzije fraktalov ........................................................................................................ 45
4.3 Fraktali v našem telesu ................................................................................................... 48
5. UPORABA KAOSA V VSAKDANJEM ŽIVLJENJU ................................................... 50
6. ZAKLJUČEK ................................................................................................................... 54
LITERATURA ......................................................................................................................... 55
7
1. UVOD
Znanost je dolgo temeljila na predpostavki urejene ter predvidljive narave. Že Pitagora je
napovedal, da je narava opisljiva z matematičnimi enačbami. Prevladujoče mnenje je bilo, da
se v naravi vse dogaja predvidljivo. Zgled za slednjo domnevo je bila npr. Newtonova
gravitacijska teorija, ki je dobro opisovala gibanje planetov našega osončja. Vesolje naj bi
delovalo kot ura, kar pomeni, da je obnašanje vesolja določeno z začetnimi pogoji ob
njegovem nastanku in vso nadaljnje časovno odvijanje dogodkov enolično določajo enačbe.
Glede na Newtonove zakone tako ne bi bilo možnosti izbire prihodnosti glede na znano
začetno stanje. Iz izkušenj pa vemo, da se vrsta naravnih pojavov sproži relativno naključno,
kot so npr. bolezni, lakota ter vojne. Tako lahko neopazna sprememba v začetnem stanju
določen naravni pojav razvije v popolnoma drugačno kasnejše stanje. Teh stvari navidezno
ne moremo predvideti z zakoni, ki opisujejo predvidljivo obnašanje narave, zato so
znanstveniki iskali teorijo, v kateri naključje igra pomembno vlogo. Slednje je privedlo do
teorije kaosa. Izkazalo se je, da so osnovni vzroki za kaotično obnašanje (močan vpliv
začetnega stanja na končno stanje) izjemno robustni, torej neodvisni od detajlne »lokalne«
sestave sistema. Posledično fizika kaosa vsebuje vrsto univerzalnih mehanizmov, ki z
matematičnega vidika povezujejo pogosto popolnoma različne fizikalne sisteme. Ravno zato
je teorija kaosa tista, ki je pripomogla k skupnim raziskavam znanstvenikov z različnih
področjih, saj kaos med drugim zasledimo v geologiji, ekologiji, kardiologiji, pri potresih, v
biologiji, pri bitju srca. S kaosom se srečujemo vsakodnevno in je ena redkih vej znanosti, ki
je postala »pop senzacija«. Leta 1987 je izšla knjiga, ki jo je napisal James Gleick z naslovom
Chaos: Making a New Science (Kaos: Nova znanost). Do sedaj je bila knjiga prevedena v 20
različnih jezikov in prodana v več kot pol milijona kopij [1]. Vendar kaos ni samo »pop
senzacija«, ampak je teorija, ki razloži vrsto pojavov v vesolju, naravo okoli nas ter
domnevno tudi nastanek življenja.
Za temo diplomske naloge sem izbral teorijo kaosa. Predvsem sem se osredotočil na osnove
teorije kaosa in kompleksnih sistemov. Kompleksni sistemi se nanašajo na sisteme, ki
vsebujejo veliko število nelinearno sklopljenih »gradnikov«. Na makroskopskem nivoju
pogosto kažejo obnašanje, ki je kvalitativno različno od obnašanja izoliranega »gradnika«. Za
pojasnitev vrste obnašanj v teh sistemih, je ključna teorija kaosa in njena nadgradnja, kar
skupno imenujemo fizika kompleksnih sistemov. Za demonstracijo osnovnih pojmov sem na
spletu poiskal ustrezne uporabne programe. V delu opisujem, kako lahko z uporabo
8
pripomočkov preučujemo omenjene pojave, ki so značilni za teorijo kaosa. Težavnostna
stopnja ustreza povprečni srednješolski izobrazbi. Kaos je zanimiv predvsem zato, ker ga
srečujemo v vsakdanjem življenju, vendar se tega ne zavedamo. S tem delom bi rad pokazal
svet in naravo skozi drugačne oči. Skozi diplomsko naloge bomo najprej spoznali zgodovino
kaosa in kako dolgo je že prisotno zavedanje nepredvidljivih dogodkov. Poudarjena bo razlika
med determinizmom ter kaosom in podana bo razlaga, zakaj je prihodnost kompleksnega
sistema nemogoče točno napovedati. Vrnili se bomo v leta, ko so se pokazale pomanjkljivosti
v Newtonovem urejenem vesolju. Na problem »nedoločenosti« je prvi naletel Poincaré, ki je
brez računalnika želel opisati dinamiko treh teles. Spoznali bomo še nekaj vzorčnih primerov
kaotičnega obnašanja in kako vplivajo na prihodnost sistema že najmanjši odkloni v začetnih
pogojih. V tretjem delu drugega poglavja bomo spoznali delo Edward Lorenza, začetnika
moderne dobe teorije kaosa. Lorenz je v svojih simulacijah vremenskih map odkril osnove
kaosa, znane kot učinek metulja. Videli bomo, kako lahko pojav kaosa nazorno grafično
predstavimo, kaj so »atraktorji« ter njihovo vlogo v opisu kaotičnih pojavov. V tretjem
poglavju bomo spoznali značilne grafe in fazni prostor, s katerim opišemo kaotične pojave.
Spoznali bomo, kako lahko iz njih razberemo univerzalno sekvenco. Pojav bo demonstriran
na primeru naravnega prirastka populacije mrčesa v daljšem časovnem obdobju. Prav tako pa
bomo videli, kako lahko iz teh grafov, ki opisujejo časovno evolucijo populacije, razberemo
numerično univerzalnost, ki jo opisujejo Feigenbaumove konstante. V četrtem poglavju se
bomo seznanili z geometrijo kaosa, matematiko »fraktalov«. Videli bomo, kje nastopajo v
vsakdanjem življenju okoli nas ter njihovo značilno »skalno invariantnost«. Fraktale bomo
predstavili s pomočjo Mandelbrotovega seta. Spoznali bomo ključno razliko med fraktalno in
nefraktalno strukturo. Seznanili se bomo s fraktalno dimenzijo. Spoznali bomo delo Helge
von Kocha in Kochovo krivuljo, ki je lep primer fraktalne strukture in primer, kako lahko
računamo dimenzije fraktalov. Nato bomo spoznali fraktalne strukture znotraj našega telesa in
videli, zaradi katerih izjemnih fizikalnih lastnosti je naravna evolucija izbrala fraktalno
strukturo. V zadnjem, petem poglavju bomo na izbranih primerih poudarili pomen teorije
kaosa v vsakdanjem življenju. Videli bomo, kako lahko teorijo kaosa uporabimo za vesoljsko
potovanje z relativno majhno porabo goriva.
9
2. PREDSTAVITEV KAOSA
2.1 Kaos skozi zgodovino
Kaos je mlada disciplina v fiziki, čeprav ga omenjajo že prve civilizacije, ki so opazile, da je
svet skrivnosten in nepredvidljiv. Nekatere stvari so zelo dobro določene in same po sebi
razumljive ter predvidljive. Primer je sledenje noči in dneva ter menjava letnih časov. So pa
se že prve civilizacije srečevale s pojavi, kot so lakota, okužbe in bolezni ter vojne, ki jih niso
znali napovedati. Že stari Grki so uporabljali besede za urejenost in neurejenost. Prva je bila
»cosmos«, ki je predstavljala urejeno naravo oziroma red v naravi. Za neurejenost pa so
uporabili besedo »chaos«, ki je pomenila brezno, prepad. Kasneje je ta beseda pridobila
pomen stanja pred kreacijo vesolja, stanja popolne neurejenosti in nereda. Takšno videnje
kaosa je prisotno še danes. Grki so imeli tudi besedo za kaotično stanje na skali atomov in
sicer »gas«. Od tukaj izvira beseda plin, nered, množica molekul z nepredvidljivo dinamiko
gibanja. Od prvotnih civilizacij so se kaosa zavedali tudi Hebrejci in Babilonci. Njihovo
racionalno razmišljanje je spodbudilo znanstvenike in matematike, da so začeli preučevati
gibanje stvari v naravi. Slednje je privedlo do odkritja različnih zakonov narave, kar so
določeni znanstveniki povezali in prenesli tudi na gibanje stvari v vesolju. S temi zakoni so
lahko opisali padanje jabolka na Zemlji, gibanje Lune in njene orbite. Prava revolucija v
znanosti in fiziki se je začela pred približno 400 leti. Takrat so znanstveniki, kot so Galilejo
Galilej, Isaac Newton in Johannes Kepler, pričeli obdobje »razuma«. S svojimi dokazi in
eksperimenti so prikazali, kako deluje narava in vesolje. Od vseh teh je največ prispeval
Newton in njegova teorija urejenega vesolja, ki bi naj delovala kot ura. Dogodki naj bi bili
natančno določeni z začetnim stanjem. Vesolje je bilo v njegovi teoriji tako urejeno in
pravilno, da ni bilo prostora za nepredvidljivost. To pomeni, da če bi zavrteli čas v poljubno
preteklost, se bi vedno vrnili v enako stanje. Zato so ljudje vesolje primerjali z uro, ki jo le
nastavimo in zaženemo kolesje. Le-ta bo v nedogled tiktakala. Iz filozofskega stališča bi Bog
moral samo ustvarit vesolje in zakone, nato pa bi se vse razvijalo in dogajalo po točno vnaprej
določenim scenariju. V takšnem vesolju ni prostora za nered, iz česar sledi, da tudi ni prostora
za svobodno odločitev. Pri isti stvari bi se vedno morali odločiti za isto reakcijo, ne glede na
pravilnost same odločitve. To bi pomenilo, da nimamo možnosti svobodne odločitve ali
izbire, kar imenujemo načelo determinizma, ki predpostavlja, da je vse, kar se zgodi,
določeno s tem, kar se je zgodilo pred tem. Torej, če poznamo začetno stanje in vse dejavnike,
ki delujejo na določen sistem, bi lahko z gotovostjo napovedali, kaj se bo zgodilo v
10
prihodnosti [2]. Vendar napovedovanje prihodnosti po principu determinizma ni mogoče,
kajti začetnih pogojev ne moremo nikoli natančno poznati oziroma jih ne moremo podati na
neskončno število decimalk natančno. Zato za napovedovanje prihodnosti sistema uporabimo
teorijo kaosa. Ta se je začel razvijati proti koncu leta 1800, ko so se pokazala številna
odstopanja od »klasične fizike«. Razlage teh anomalnosti so vodile do Einsteinove
relativistične teorije, kvantne mehanike in teorije kaosa.
2.2 Kaos
Kaos je deterministična nepredvidljivost oziroma paradoksno stanje, ki nasprotuje intuiciji
[1]. Je nepredvidljivo obnašanje in se pojavi tudi v sistemih, ki sledijo determinističnim
zakonom. Začetnik novejše zgodovine kaosa je Edward Lorenz, ki se je kot meteorolog
ukvarjal z napovedovanjem kaosa. Lorenz je pokazal, kako se lahko uporablja računalnik z
namenom napovedovanja vremenskih pojavov. Pri obravnavi vremenskih map je odkril
osnovne značilnosti kaotičnega obnašanja. Spoznal je, da se dva popolnoma enaka sistema, ob
malo različnih začetnih pogojih, razvijeta v popolnoma različno končno stanje. Najprej je
naredil simulacijo vremenske karte ob določenih pogojih, nato je za drugo karto uporabil
vrednosti, ki so se od prvotnih razlikovale šele na četrti decimalki. Kljub temu je bil rezultat
popolnoma drugačen, saj pri kaotičnem obnašanju odkloni naraščajo eksponentno [1]. Te
majhne razlike v začetnih pogojih, iz katerih sledi popolnoma drugačna prihodnost,
imenujemo učinek metulja. Vendar se le-ta ne pojavi v vseh sistemih, ampak le v nelinearnih
sistemih, kjer so pomembni t. i. »povratni pojavi« (ang. feedback effects). Primer, kjer se
lahko pojavi kaotično obnašanje, je vreme. Naslednji primer nepredvidljivega obnašanja je tir
gibanja treh teles v vesolju. S tem so se začeli znanstveniki ukvarjati približno 350 let po
Newtonu, čigar zakoni so opisovali urejeno vesolje. Slednjega je predstavil na primeru
gibanja dveh teles v vesolju. Kot primer je opisal gibanje Zemlje okoli Sonca. Enačbe, s
katerimi je izračunal tir gibanja, so se potrdile tako teoretično kot praktično. Vendar, ko so
znanstveniki z istimi enačbami in postopki želeli izračunati tir gibanja treh teles v sončevem
sistemu, se je stvar močno zapletla, saj gibanje treh teles lahko vodi do kaotičnega obnašanja.
Kaos pa nam poda zelo zapletene enačbe, ki jih analitično ni mogoče rešiti. Za reševanje
uporabimo grafično metodo ali pa računalnik. Vendar leta 1890, ko se je s tem ukvarjal Henri
Poincaré, še ni bilo računalnikov, zato je bilo reševanje tega problema zelo težko in
dolgotrajno. Poincaré je že po enačbah videl, kako majhne spremembe v začetnem stanju
vplivajo na končno stanje. Danes to ponazarjamo z grafom, ki je prikazan na sliki 1.
11
Slika 1. Na sliki vidimo, kako drugačno začetno stanje vpliva na končno stanje na primeru tira
gibanja telesa, ki ga Poincaré izračunal leta 1890 [3].
12
3. PEDAGOŠKI PRIPOMOČKI ZA PREDSTAVITEV KAOSA
UČENCEM
V nadaljevanju si bomo ogledali, kako lahko s pomočjo že obstoječih aplikacij kaos
razlagamo učencem. Pri vsakem poglavju bomo najprej spoznali teorijo, ki se skriva v ozadju,
nato bomo videli, kako lahko s simulacijami potrdimo in dokažemo, kar smo spoznali v
teoretičnem delu. V vsakem poglavju je dodano tudi podpoglavje, kjer je predstavljena
obravnavana tema v naravnem pojavu.
3.1 Kaotično dvojno nihalo
Najprej začnimo s primerom, ki se najpogosteje navaja kot značilni primer, na katerem je
ilustrirano kaotično gibanje. Preučili bomo tir gibanja dvojnega nihala. Nihanje takšnega
nihala pri majhnih odmikih od ravnovesne lege lahko izračunamo iz Newtonovih zakonov. Pri
velikih amplitudah pa obnašanje navidezno ni deterministično, saj je gibanje nihala izjemno
zapleteno, kot je prikazano na sliki 2.
Slika 2. Nihanje dvojnega nihala in odmik od ravnovesne lege v kaotičnem režimu [4].
Kaotično obnašanje nihala lahko preučimo s pomočjo spletne animacije na strani »My Phisics
Lab« [5], kjer kliknemo na animacijo »double pendulum«. Ko se odpre stran z animacijo,
nihalo že niha. Če ga želimo ustaviti, moramo najprej obkljukati kvadratek, kjer piše »show
controls«, ki je na sliki 3 označen s puščico.
Tir gibanja
Nihalo
13
Slika 3. Za spreminjanje parametrov obkljukamo kvadratke, označene s puščicami [5].
Nato se nam prikaže dodatna vrstica, ki nam ponuja spremembo več parametrov. Lahko
spreminjamo maso obeh kroglic, dolžino obeh palic in gravitacijski pospešek. To naredimo
tako, da enostavno kliknemo kvadratek, kjer je napisana prvotna vrednost teh parametrov, jih
izbrišemo in nato vpišemo želene vrednosti. V tej vrstici je tudi gumb »reset«, s katerim
ustavimo nihanje nihala. Ko nihalo enkrat ustavimo, lahko spreminjamo prej omenjene
parametre (slika 4). Prav tako pa lahko v prvotni vrstici spreminjamo parametre, po katerih
želimo, da nam animacija izriše graf. Izbiramo lahko med obema kotoma ter kotnima
hitrostma obeh nihal ali mešana izbira prej navedenih parametrov. Z gumbom »clear graph«
lahko počistimo graf (slika 3).
Obkljukamo kvadratek za razširitev parametrov
Gumb, s katerim počistimo graf
Spreminjanje parametrov na osi y
Spreminjanje parametrov na osi x
14
Slika 4. Na sliki je prikazano, kje spreminjamo parametre, kot so masa kroglice, dolžina
palice ter gravitacijski pospešek. Prikazan je tudi gumb za ustavitev nihala [5].
Ko nastavimo vse želene parametre po svoji izbiri, se enostavno z miško premaknemo do
nihala, pritisnemo levi gumb na miški, ga držimo in premaknemo miško. S tem premaknemo
nihalo. Izmaknemo ga do želene lege in nato gumb na miški spustimo. Nihalo bo nihalo, na
levi strani pa se bo izrisoval graf tistih parametrov, ki smo jih nastavili.
3.1.1 Kaotični sistemi v naravi
V naravi srečamo številne primere kaotičnega obnašanja v naravi. Eden izmed takšnih
primerov je bitje srca v daljšem časovnem obdobju (slika 5).
Masa prve kroglice Masa druge
kroglice
Dolžina prve palice
Dolžina druge palice
Gravitacijski pospešek
Gumb za ustavitev grafa
15
t [min]
Slika 5. Bitje srca: Število udarcev N na minuto v odvisnosti od časa t približno dve uri [6].
Kaotične procese srečamo tudi v biologiji razvoja življenja. Celice so na začetku identične.
Šele z morfogenezo, ki je primer samoorganizacije, se celice začno organizirati in spreminjati
v različne dele telesa. Podoben primer samoorganizacije je rahel veter, ki piha v puščavi. Vsa
zrna peska so na pogled identična, vendar jih veter na makroskopski ravni organizira v valove
in sipine. Pri tem detajlna oblika zrn ne vpliva na končno obliko [1].
3.2 Horizont predvidljivosti
Če se sistem nahaja v pogojih, ki vodijo v kaotično obnašanje, je njegovo stanje močno
odvisno od začetnih pogojev. Kljub temu je dinamika sistema deterministična. Zato lahko tudi
v takšnih pogojih precej dobro napovemo prihodnost pojava do t. i. »horizonta
predvidljivosti.« Slednji nam pove mejni čas, po katerem se bo sistem začel obnašati
nepredvidljivo. Horizont predvidljivosti lahko nazorno prikažemo z dvema enakima dvojnima
nihaloma. Če ju spustimo istočasno s primerne višine, bomo videli, da na začetku nihata
podobno. Po določenem času, ki je odvisen od nihajnega časa nihal, začneta nihati nihali
nepredvidljivo in navidezno neodvisno. Ta pojav je univerzalen v sistemih, ki se nahajajo v
kaotičnem stanju. Zato lahko preučevanje na enostavnem primeru nihal uporabimo kot
primeren eksperimentalni poligon. Simulacija, ki omogoča prikaz tega, se nahaja na strani
Franz-Josef Elmerja [7]. Simulacija nazorno prikaže, kako se dva sistema začneta po
določenem času obnašati nepredvidljivo in navidezno neodvisno. Še enkrat se lahko tudi
prepričamo, kako majhna odstopanja v začetnih pogojih vplivajo na končno stanje sistema.
N
[min-1]
16
Pri tej aplikaciji ne moremo ničesar spreminjati, le pokažemo lahko, kako izgleda horizont
predvidljivosti na realnem primeru (slika 6).
Slika 6. Simulacija, ki prikaže horizont predvidljivosti na primeru dveh nihal [7].
3.2.1 Horizont predvidljivosti v naravi
Pri vremenu je horizont predvidljivosti nekje od 1 do 2 tednov. Horizont predvidljivosti za
sončev sistem in gibanje planetov je nekje med 3 do 5 milijoni let. Ker smo znotraj horizonta
predvidljivosti, imamo občutek, da je sončev sistem urejen.
Fazni prostor in atraktorje bom prikazal na primeru vodnega kolesa, ki je predstavljen na sliki
7, s katerim si je pri raziskovanju pomagal Lorenz.
3.3 Fazni prostor, atraktorji in učinek metulja
Obnašanje sistema lahko prikažemo v faznem prostoru oziroma v prostoru stanj. To je
abstraktni prostor, v katerem so vnesene vse informacije, ki jih potrebujemo, da lahko
napovemo obnašanje nekega sistema v naslednjem trenutku. Na primeru dvojnega nihala sta ti
dve informaciji začetna lega in začetna hitrost. Primer faznega prostora za pojav, opisan v
poglavju 3.1, je prikazan na levi strani slike 4. Sistem se po določenem času ustali pri
določenemu vzorcu obnašanja v faznem prostoru in to imenujemo atraktor. Slednji predstavlja
prevladujoče obnašanja sistema na daljše časovno obdobje, kar pomeni, če sistem
odmaknemo od atraktorja, se bo sistem kmalu vrnil k enakemu obnašanju kot prej.
17
Slika 7. Lorenzevo vodno kolo [8].
Obnašanje vodnega kolesa, ki je predstavljeno na sliki 7, je predstavil v faznem prostoru, kar
lahko vidimo na sliki 8. Ko je zavora popolnoma razrahljana, se kolo obrača naprej in nazaj,
podobno kot niha nihalo. Gibanje je periodično (slika 8a). Če zavoro dovolj privijemo,
dosežemo vrtenje kolesa s konstantno hitrostjo v eni smeri, kar je stalno stanje sistema in ga
predstavimo s privlačno točko (slika 8b). Ko zavoro nekoliko zrahljamo, se kolo začne vrteti
nepredvidljivo (slika 8c).
a) b) c)
Slika 8. Na sliki je prikazano vrteče se vodno kolo in trije različni fazni diagrami, kjer je x2
teža vode v zgornjem delu kolesa in x1 hitrost vrtenja: a) nihanje oz. periodično obnašanje; b)
konstantno vrtenje vodnega kolesa v eno smer; pika na sliki je točkovni atraktor in c) kaotično
obnašanje [8].
Simulacijo atraktorja, predstavljenega v faznem prostoru, lahko najdemo tudi na spletu, na
strani univerze Waterloo [9]. Na tej strani lahko izberemo dvo- ali tridimenzionalno
simulacijo atraktorja ter faznega prostora (slika 9a in 9b).
Zavora
x2
x1
18
Slika 9. Simulacija atraktorjev: a) dvodimenzionalna simulacija; b) tridimenzionalna
simulacija [9].
3.3.1 Primer gibanja delcev v dvodimenzionalni simulaciji v realnem
prostoru
Ogledali si bomo primer, kjer bomo ponovno videli, kako lahko že majhne razlike v začetni
pogojih vplivajo na končno stanje sistema. V prvem zavihku izberemo potencialno jamo, ki
vsebuje 2 atraktorja, in sicer »1/r double lines« (slika 10). Sedaj pa si bomo ogledali, katere
parametre (opisal bom samo ključne) lahko spreminjamo in kakšne so posledice.
Slika 10. Možnost izbire potencialne jame [9].
a) b)
Izbira oblike potencialne jame
19
Med zanimivejšimi je izbira pogleda s ptičje perspektive. To naredimo tako, da obkljukamo
kvadratek »flat view« (slika 11a) in prikaže se nam simulacija z drugačnega zornega kota
(slika 11b).
Slika 11. Simulacija s ptičje perspektive: a) obkljukamo kvadratek, ki nam omogoča takšen
pogled; b) simulacija [9].
Naslednja stvar, ki je zanimiva, je sprememba funkcije miške. S pomočjo tega lahko
simulacijo prikažemo še bolj nazorno. V petem zavihku spremenimo funkcijo miške (slika
12). V osnovi je v tem zavihku nastavljena funkcija miške na »adjust angle«, kar pomeni
spreminjanje kota. Pomeni, če se z miško pomaknemo nad simulacijo in pridržimo levi gumb
na miški, potem lahko spreminjamo kot pogleda simulacije (slika 13).
Prikaz simulacije s ptičje perspektive
a) b)
20
Slika 12. Zavihek, ki omogoča spremembo funkcije miške [9].
Slika 13. Ena izmed možnosti pogleda na simulacijo [9].
Naslednja možnost je približevanje ali oddaljevanje simulacije. To naredimo tako, da v
zavihku, ki je prikazan na sliki 12, nastavimo »adjust zoom«. Nato se z miško ponovno
premaknemo nad simulacijo, zadržimo levi gumb. Za približevanje simulacije miško
povlečemo navzgor, v nasprotnem primeru pa jo povlečemo proti sebi (slika 14).
Sprememba funkcije miške
21
Slika 14. Prikazuje povečavo simulacije [9].
Simulacijo lahko tudi ustavimo ali spremenimo smer, v katero se delci gibljejo. Za ustavitev
simulacije obkljukamo kvadratek pred »stopped« (slika 15a). Za spremembo smeri gibanja
delcev obkljukamo kvadratek pred »reverse« (slika 15a). Ko obkljukamo kvadratek, s katerim
spremenimo smer gibanja delcev, se spremeni tudi simulacija. Delci se gibljejo vstran od
atraktorja (slika 15b).
Slika 15. a) Prikaz funkcij za ustavitev simulacije in sprememba smeri gibanja delcev; b)
simulacija ob vklopljeni funkciji »reverse« [9].
Funkcija za ustavitev simulacije
Funkcija za spremembo smeri
a) b)
22
Zanimivo pa je tudi, da lahko spremenimo jakost polja, število delcev in razdaljo med
atraktorjema. To naredimo z drsniki, ki se nahajajo pod ostalimi parametri, ki smo jih opisali
prej (slika 16).
Slika 16. Prikaz drsnikov za spremembo poljske jakosti in števila delcev [9].
S pomočjo te simulacije lahko ponovno preverimo, kako lahko majhna odstopanja v začetnih
pogojih popolnoma spremenijo obnašanje sistema. To lahko ponazorimo tako, da spremljamo
delec, ki ga postavimo v bližino dveh atraktorjev. Glede na to, kje delec starta, je odvisno v
kateremu atraktorju bo na koncu poniknil (slika 17). Torej, če delec, ki je na sliki 17 označen
s puščico, starta malenkost bolj v levo, se bo na koncu pomaknil k levemu atraktorju. Če
starta malenkost bolj desno, se bo pomaknil k desnemu atraktorju.
Slika 17. Prikaz delca v simulaciji z dvema atraktorjema [9].
Poljska jakost
Število delcev
Drsnik za spreminjanje razdalje med dvema atraktorjema
23
3.3.2 Tridimenzionalna simulacija Lorenzevega atraktorja
Najbolj znan atraktor v teoriji kaosa je Lorenzev atraktor. V nadaljevanju ga bomo preučili s
pomočjo tridimenzionalne simulacije. V prvem zavihku najprej izberemo »Lorenz attractor«
in prikaže se simulacija (slika 18a in 18b).
Slika 18. a) Zavihek, ki nam omogoča izbiro Lorenzevega atraktorja; b) simulacija
Lorenzevega atraktorja [9].
V drugem zavihku lahko nastavimo pogled vektorskega zapisa ali pa pogledamo, kako
potekajo tokovnice v Lorenzevem atraktorju. Za pogled vektorskega zapisa moramo v
zavihku, prikazanem na sliki 19a izbrati »field vectors« za tokovnice pa »streamlines«.
Izberemo »Lorenz attractor«
24
Slika 19. a) Zavihek, ki nam omogoča izbiro pogleda; b) simulacija, ki prikazuje vektorje pri
Lorenzevem atraktorju; c) simulacija, ki prikazuje tokovnice pri Lorenzevem atraktorju [9].
Zadnja dva drsnika imata enako funkcijo kot tista, ki sta opisana na sliki 16. Uporaben je tudi
drsnik, ki omogoča spremembo velikostne skale (slika 20).
Zavihek, ki omogoča izbiro prikaza vektorskega zapisa ali tokovnic
a) b)
c)
25
Slika 20. Prikaz drsnikov, ki omogočajo spremembo jakosti polja, števila delcev in velikostno
skalo [9].
3.3.3 Primer kaosa, atraktorja in faznega prostora v naravi
Primer enostavnega atraktorja lahko vidimo tudi v našem telesu, ko nas nekdo prestraši.
Takrat se nam srčni utrip poveča, vendar čez nekaj časa srce spet bije v naravnem ritmu ter se
vrne k svojemu atraktorju. Lažji in vsakdanji primer kaosa ter faznega prostora lahko opazimo
tudi v domači kuhinji pri gnetenju kosa testa. Vprašajmo se, kaj diferencialne enačbe naredijo
s kosom testa? Diferencialne enačbe so v našem primeru pek, ki gnete testo in premika delce
testa oziroma delce moke. Ko kos testa povaljamo, ga sploščimo in raztegnemo. Nato ga
oblikujemo v podkev in ponovimo postopek: razvaljamo, spet sploščimo in raztegnemo testo.
S tem dobimo veliko plasti testa zelo tesno skupaj, kar je podobno faznemu prostoru, ki ga
sploščimo in s tem ustvarimo neskončno veliko zelo tankih plasti. Z valjanjem testa ga
raztegujemo in ploščimo ter ustvarjamo kaos: dva delca, ki sta prej bila tesno skupaj, sta sedaj
razmaknjena. Še bolj nazorno lahko kaos prikažemo, če našemu kosu testa dodamo žličko
masla, ki predstavlja skupne začetne pogoje, saj imamo majhen kos, sestavljen iz stanj
oziroma delcev tesno skupaj, ki so v našem primeru delci masla. Ponovimo postopek gnetenja
in valjanja, kar povzroči mešanje, ki je primer kaosa. Delci masla, ki so začeli tesno skupaj, se
sčasoma porazdelijo po celotnem kosu testa in so lahko kjerkoli v testu. To pa je podobnost z
Lorenzevim atraktorjem, kjer lahko začnemo še tako tesno skupaj, vendar končamo lahko
kjerkoli na atraktorju, kar tudi sovpada s pojavom učinka metulja. Z drugimi besedami, naša
prihodnost je nepredvidljiva [1].
Izbira velikostne skale
Tukaj spremenimo število delcev
Tukaj spremenimo jakost polja
26
3.3.4 Učinek metulja
Skozi to poglavje smo spoznali osnovno značilnost teorije kaosa, in sicer občutljivost na
začetne pogoje, bolj znano kot učinek metulja. Z zelo enostavno simulacijo na spletu lahko
vidimo, kako zares vpliva majhna razlika v začetnem stanju dveh sistemov na njuno
prihodnost [10]. Ko se nam odpre stran najprej vidimo prazno belo ravnino (slika 21).
Slika 21. Prazna ravnina [10].
Nato z miško kliknemo kjerkoli na tej prazni ravnini in videli bomo tir gibanja delca (slika
22).
Slika 22. Vidimo tir gibanja delca po tistem, ko smo z miško kliknili na poljubni točki na tej
beli ravnini [10].
Ker pa želimo videti, kako hitro se tir gibanja dveh delcev začne razlikovati, moremo z miško
klikniti na belo ravnino še enkrat in ponovno kjerkoli želimo. Vendar ker želimo videti, kako
27
majhna odstopanja v začetnih pogojih vplivajo na prihodnost dveh sistemov, je smiselno, da
kliknemo z miško čim bližje prvotnemu kliku (slika 23).
Slika 23. Tukaj vidimo zelo nazorno, da kljub skoraj istim začetnim pogojem se dva sistema
začneta obnašati različno po določenem času [10].
Z gumbom »clear« počistimo projekcijo in že je simulacija pripravljena za nove teste (slika
23). Za lažjo predstavo, kako izgleda Lorenzev čudni atraktor obstaja tudi tridimenzionalna
simulacija v obliki filmčka [11].
3.4 Logistične mape, orbitalni diagrami, mrežasti grafi
3.4.1 Logistična mapa
Logistična mapa nam nazorno predstavi, kako sistem s spreminjanjem ključnega parametra
vodimo v kaotično stanje. Na logistični mapi prikažemo obnašanja nelinearnega sistema, kajti
nelinearnost povzroči, da zapisanih enačb ne moremo analitično in enostavno rešiti kot v
linearnih primerih. Če želimo preučevati obnašanje sistema v daljšem časovnem obdobju,
uporabimo grafično metodo ali računalnik. Prikazal bom primer logistične enačbe, ki opisuje,
kako se populacija mrčesa glede na naravni prirastek, spreminja na daljše časovno obdobje. V
enačbi nastopa xn, ki je število med nič in ena ter predstavlja razmerje med obstoječo
populacijo in maksimalno možno populacijo v letu n. Število populacije je odvisno od
naravnega prirastka populacije (r). Matematično logistično mapo zapišemo:
Gumb za izbris prejšnjih tirov gibanja
28
���� � ����� � ���, 1
ki nam pove, kako se bo populacija večala ali zmanjševala glede na začetno stanje populacije
in vrednosti r. Če je naravni prirastek manjši od ena, potem bo populacija mrčesa izumrla po
nekaj generacijah ne glede na začetno število populacije (slika 24a). Če je naravni prirastek
med 1 in 2, se bo populacija hitro približala vrednosti �� � 1�/�, prav tako se bo populacija
približala vrednosti �� � 1�/�, če je naravni prirastek med 2 in 3, le da bo nekaj časa nihala
okoli te vrednosti (slika 24b). Z vrednostjo parametra r nad 3 pa začne število populacije
nihati med dvema, štirimi (slika 24c), osmimi itd. različnimi vrednostmi [1].
Slika 24. Logistična mapa, ki prikazuje populacijo mrčesa ���� v časovnem obdobju (t) nekaj
let. Naravni prirastek znaša: a) r = 0,75 [12]; b) r = 2,85 [13] in c) r = 3,51 [12].
Sedaj pa si poglejmo, kako lahko logistično mapo predstavimo s pomočjo simulacije [13].
Na začetku se prikaže slika, kot jo vidimo na sliki 25.
Slika 25. Logistična mapa [13].
t t
a) b) c)
t
xn xn xn
29
Pri tej simulaciji lahko spreminjamo 3 parametre. Eden je začetno število populacije mrčesa,
ki se nahaja na osi y, drugi je naravni prirastek mrčesa, ki se nahaja na osi x in tretji je število
ponovitev, ki jih želimo videti, kar je prikazano v kvadratku zgoraj, kjer piše »iterations«. Za
spremembo začetnega števila populacije mrčesa ali spremembo naravnega prirastka mrčesa,
se z miško premaknemo nad modro piko na osi y ali nad modri kvadratek na osi x in kliknemo
levi gumb miške ter povlečemo enega izmed parametrov do želene vrednosti. Za spremembo
števila ponovitev pa enostavno kliknemo kvadratek in vpišemo število ponovitev, ki jih želim
videti (slika 26).
Slika 26. Prikaz parametrov, ki jih lahko spreminjamo pri simulaciji logistične mape za
populacijo mrčesa [13].
3.4.2 Mrežasti diagram
Populacijo mrčesa lahko prikažemo tudi z mrežastim diagramom, pri katerem os y predstavlja
število naslednje populacije xn+1 (glej enačbo (1)) in os x, število trenutne populacije xn.
Mrežasti diagram je sestavljen iz premice y = x ter krivulje drugega reda. Na osi nanašamo
vrednosti med 0 in 1, kjer 0 pomeni minimalno število populacije, 1 pa maksimalno število
populacije. Na sliki 27a je prikazan primer mrežastega diagrama za vrednost parametra r =
0,75. Tako kot na logistični mapi (slika 24a) lahko tudi na mrežastem diagramu vidimo, da
populacija izumre. Pri mrežastem diagramu se spreminja višina krivulje, kadar spreminjamo
parameter r. Večji kot je r, višji je vrh krivulje, kar lahko vidimo na sliki 27b, kjer je prikazan
primer mrežastega diagrama za r = 3,51, enako kot je na sliki 24c. Krivulja je višja kot tista
Tukaj spremenimo začetno število populacije Tukaj spremenimo naravni prirastek populacije
V ta kvadratek vnesemo število ponovitev, ki jih želimo videti
30
na sliki 27a in vidimo, da število populacije niha med štirimi vrednostmi, tako kot na sliki
24c.
Slika 27. Mrežasti diagram, ki prikazuje naslednjo populacijo ������ v odvisnosti od trenutne
populacije ���� pri naravnem prirastku: a) r = 0,75 in b) r = 3,51, kjer število populacije niha
med 4 različnimi vrednostmi [12].
Tudi ta diagram lahko prikažemo s simulacijo, kjer bomo videli povezavo med logistično
mapo in mrežastim diagramom logistične mape. Za prikaz uporabimo simulacijo, kjer sta
hkrati prikazana logistična mapa in mrežasti diagram logistične mape [14]. Ko odpremo
povezavo, se nam prikaže naslednja slika (slika 28).
Slika 28. Začetno stanje pri simulaciji logistične mape in mrežastega diagrama logistične
mape [14].
����
1
2
3
4
1 1
����
�� ��
a) b)
0
0 1
0
0 1
Drsnik za spremembo naravnega prirastka
31
Pri tej simulaciji lahko spreminjamo en parameter, in sicer naravni prirastek mrčesa, to
storimo z drsnikom nad mrežastim diagramom (označeno s puščico na sliki 28). Na tej
simulaciji lahko hkrati spremljamo razvoj populacije mrčesa za 3 različne začetne vrednosti
populacije mrčesa. To storimo tako, da na osi »x0« kliknemo z miško na poljubni točki (slika
29).
Slika 29. Prikaz populacije mrčesa za 3 različne začetne vrednosti populacije, in sicer ob
enakem naravnem prirastku [14].
S tem lahko ponovno opazujemo, kako različni začetni pogoji vplivajo na nadaljnji razvoj
sistema ob enakih pogojih oziroma kako občutljiv je sistem za majhna začetna odstopanja. Ko
smo izbrali 3 vrednosti, za katere želimo primerjati razvoj populacije mrčesa, se enostavno z
miško premaknemo nad drsnik, kjer lahko spreminjamo naravni prirastek mrčesa in
povlečemo drsnik do želene vrednosti. Grafi se bodo sproti spreminjali in tako bomo lahko v
istem trenutku videli vpliv naravnega prirastka na prihodnost populacije nekega mrčesa. Tako
lahko vidimo, da ob enakih pogojih oba diagrama prikažeta enak razvoj sistema, v tem
primeru populacije mrčesa.
3.4.3 Orbitalni diagram
Najpomembnejši diagram, s katerim prikazujemo možno dolgoročno obnašanje sistema, se
imenuje orbitalni diagram (slika 30a). Pri primeru populacije nanašamo na abscisno os
naravni prirastek mrčesa r, na ordinatno os pa možno število populacije, ki niha med 0, kar je
32
minimalno število populacije ter 1, ki predstavlja maksimalno število populacije. Orbitalni
diagram prikaže viličasto strukturo period stabilnih orbit 1, 2, 4, 8 itd. Ta števila konvergirajo
k limitni vrednosti v naravnem prirastku, k številki približno 3,57 (slika 30a), in to točko
imenujemo akumulacijska točka. Za to vrednostjo naravnega prirastka se prične kaos, ki ga
predstavimo s točkami, ki so kaotično pomešane in pomenijo, da je ob določeni izbiri
naravnega prirastka, lahko število populacije katerakoli izmed teh točk na diagramu. Vendar
se znotraj kaosa pojavi urejenost, vidna na sliki 30b, kot bele proge, ki jih imenujemo
periodična okna. Najbolj očitno periodično okno je tisto s periodo 3, kar pomeni, da se nekaj
ponavlja vsake 3 korake ali v našem primeru, se število populacije mrčesa ponavlja vsaka 3
leta [1]. Z orbitalnim diagramom lahko napovemo, kako se bo število populacije mrčesa
spreminjalo pri kateremkoli naravnem prirastku ter kje se bo kaos pričel. Ti dve lastnosti
orbitalnega diagrama sta tisti, zaradi katerih je orbitalni diagram tako pomemben za
preučevanje kaotičnega obnašanja.
Slika 30. Orbitalna diagrama za populacijo mrčesa: Normirano število populacije ���� od 0
do 1 na ordinatni osi, v odvisnosti od naravnega prirastka ��� na abscisni osi, ki ima vrednost
od 0 do 4. a) Celoten orbitalni diagram; b) Povečava urejenosti znotraj kaosa: naravni
prirastek približno 3,83, kjer opazimo okno s periodo 3 [15].
S preučevanjem period v orbitalnem diagramu lahko razberemo univerzalno sekvenco (U –
sekvenco). Ta nam pove, v kakšnem zaporedju si sledijo periode. Rdeča nit univerzalne
sekvence je, da se le-ta pojavi v vsaki ponavljajoči mapi tako dolgo, dokler ima mapa obliko
mrežastega diagrama logistične mape, kar pomeni mapa z grbino, ki je na koncu zaobljena
[1]. Kot primer si oglejmo prvi lok sinusne funkcije, na graf pa še dodamo premico � � �in
dobimo mrežast diagram, ki smo ga podrobneje preučili na začetku poglavja 3 (slika 31).
a) b)
0,0 1,333 2,667 4,0
1,0
0,7
0,3
0,0
��
r 3,83 3,87
0,977
0,687
0,397
0,107
3,570
33
Slika 31. Graf sinusne funkcije � � ���� � na intervalu od 0 do � ter premica � � �
Tudi pri sinusni funkciji lahko spreminjamo višino loka, kot smo to naredili pri mrežastem
diagramu za primer populacije mrčesa. Pri slednjem smo zmanjševali ali povečevali naravni
prirastek r, tukaj pa sinusno funkcijo pomnožimo z nekim številom. Sinusna funkcija je
matematično drugačna od parabole v primeru populacije mrčesa, kajti slednjo lahko opišemo
s kvadratno funkcijo, medtem ko sinusne funkcije ne moremo izraziti s kvadratno funkcijo,
ampak z neskončnimi vrstami. Če pogledamo do periode 6, se univerzalna sekvenca glasi 1,
2, 4, 6, 5, 3 (slika 32). Ko pogledamo orbitalni diagram za sinusno funkcijo (slika 32a),
vidimo, da kvalitativno izgleda enako kot orbitalni diagram za populacijo mrčesa (slika 32b).
Oba diagrama sta narisana na enaki velikostni skali, zato sta primerljiva. Razlika je, da se pri
diagramu sinusne funkcije univerzalna sekvenca numerično pojavi nekoliko prej (sliki 32a in
32b) [1].
Slika 32. Prikaz univerzalne sekvence na orbitalnem diagramu: a) sinusna funkcija in b)
logistična mapa za populacijo mrčesa [16].
0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 4 6 5 3
1 2 4 6 5 3
Sinusna funkcija
Logistična mapa za populacijo mrčesa
a)
b)
y
x
34
Iz orbitalnih diagramov razberemo tudi numerično univerzalnost. To je razmerje med dolžino
in širino vil v diagramu, saj je vsaka naslednja vila za 4,669-krat krajša in 2,5029-krat ožja od
prejšnje vile (slika 33). Te konstante so znane kot Feigenbaumove konstante. Ta ista
univerzalnost v razmerju dolžin in širin posameznih vil velja za vse sisteme, ki imajo periode,
ki se podvajajo do meje, ko se prične kaos ter ko se v sistemu pojavi akumulacijska točka, za
katero se prične kaos [1].
Slika 33. Prikaz razmerij dolžine vsake naslednje vile L in razmerje širine vil H [16].
Najpomembnejši diagram za preučevanja razvoja nekega sistema in diagram, ki prikaže vrsto
univerzalnosti, se imenuje torej orbitalni diagram. Tudi za to obstajajo simulacije na spletu.
Ena izmed takšnih je na strani kalifornijske univerze Stanislaus [17]. Najprej se odpre stran,
kjer lahko izberemo več simulacij, vendar za nas je pomembna tista v levem zgornjem kotu,
kjer je gumb, na katerem piše »Bifurcation Diagrams« (slika 34).
L
�
4.669
H
�
2.5
35
Slika 34. Izbira želene simulacije [17].
Nato se nam odpre simulacija (slika 35).
Slika 35. Simulacija orbitalnega diagrama [17].
Ta simulacija je zelo dobra, ker lahko s preprostim klikom miške spremenimo funkcijo
orbitalnega diagrama, ki ga želimo narisati. To storimo s klikom miške na puščico v desnem
zgornjem kotu (slika 36). Na izbiro imamo logistično mapo, mapo sinusne funkcije,
Henonovo mapo in še nekatere druge, vendar za nas sta pomembni prve dve, kajti s pomočjo
teh dveh prikažemo univerzalnost, ki jo lahko razberemo s pomočjo orbitalnih diagramov
različnih funkcij, vse dokler zadovoljujejo pogojem, ki smo jih opisali pod sliko 31. Funkcijo
nato izberemo s klikom miške.
Gumb, ki ga kliknemo za orbitalni diagram
36
Slika 36. Zavihek, kjer izberemo želeni orbitalni diagram [17].
Spreminjamo lahko tudi nekaj drugih parametrov. Prvi je začetna vrednost populacije, druga
dva sta pa koliko prvih ponovitev želimo preskočiti in koliko naslednjih ponovitev želimo
videti. V osnovi je vrednost začetnega števila populacije mrčesa nastavljena na 0,499999, nato
je preskočenih prvih 500 ponovitev, izrisanih pa naslednjih 500 ponovitev. To spremenimo
tako, da z miško kliknemo na kvadratek in napišemo želene vrednosti in za izris orbitalnega
diagrama za nove vrednosti kliknemo zelen gumbek v zgornjem levem kotu (slika 37).
Slika 37. Prikaz gumba za izris orbitalnega diagrama ob spremenjenih vrednostih [17].
Pri tej simulaciji lahko uporabimo tudi druge funkcije. Med bolj pomembnima sta naslednji
dve: gumb za vrnitev na prvoten diagram in gumb za razveljavitev zadnje povečave ali
pomanjšave (slika 38).
Zavihek za izbiro orbitalnega diagrama
Gumb za izris orbitalnega diagrama za nove vrednosti
37
Slika 38. Prikaz funkcij za razveljavitev zadnje spremembe in vrnitev na prvotno obliko
orbitalnega diagrama [17].
Naslednji pomemben gumb ne levi strani je peti po vrsti od zgoraj dol. S tem gumbom
vklopimo funkcijo, ki je že sicer v osnovi aktivna, ki nam omogoča povečavo želenega dela
orbitalnega diagrama (slika 39). Kvadrat za povečavo izrišemo tako, da z miško kliknemo
nekje na grafu in nato gumb držimo ter poljubno izberemo območje, ki ga želimo povečati
(slika 39b).
a) b)
Slika 39. Prikaz možnosti na diagramu: a) gumb, kjer vključimo funkcijo za možnost
povečave kateregakoli dela na orbitalnem diagramu; b) območje na orbitalnem diagramu, ki
ga bomo povečali [17].
Vrnitev na prvotno obliko
Razveljavitev zadnje spremembe
Funkcija, ki omogoča povečanje želenega območja na grafu
Območje, ki smo ga izbrali za povečanje
38
Naslednje funkcije so sicer manj pomembne in jih tudi manj uporabljamo, ker imajo podobno
funkcijo kot prej opisana. Torej s pomočjo sledečih funkcij lahko posamezen del centriramo
in povečujemo ali v obratni smeri pomanjšujemo (slika 40 in 41). To naredimo tako, da se z
miško premaknemo nad tisto območje, ki ga želimo povečati ali zmanjšati. Nato z enim
klikom kliknemo na to območje na grafu.
Slika 40. Prikaz funkcij za centriranje in povečevanje oziroma pomanjševanje posameznega
območja na grafu [17].
Funkcija, s katero centriramo in povečamo izbrani del na grafu
funkcija, ki počne nasprotno od tiste nad njo, pomanjšuje graf
39
Slika 41. Prikaz funkcij, ki centrirata in pomanjšata od tiste točke, kjer smo kliknili na grafu
[17].
S predzadnjim gumbom pa lahko graf skrijemo ali pa ga ponovno izrišemo (slika 42).
Slika 42. Prikaz gumba, s pomočjo katerih lahko izrišemo ali izbrišemo graf [17].
Funkcija za pomanjšanje in centriranje po širini
Funkcija za pomanjšanje in centriranje po višini
Izris ali izbris grafa
40
4. FRAKTALI
Fraktali so geometrija kaosa in so tudi sami po sebi geometrijske oblike. Razdelimo jih lahko
na manjše kose in vsak kos bo podoben prvotnemu kosu, le manjši bo, kar imenujemo
samopodobnost. Posebnost fraktalne strukture je, da jo lahko povečujemo v nedogled, vsaj v
matematičnem svetu. Fraktalno strukturo smo že videli v poglavju 3.4.3, ko smo opisovali
orbitalne diagrame. Ti diagrami imajo neskončno krat razcepljeno samopodobno strukturo.
Veje se razcepijo v vile oziroma v dve novi veji in vsaka naslednja veja se prav tako razcepi v
še dve naslednji veji. Kasneje smo opazili urejenost znotraj kaosa, kot periodična okna in na
koncu le-teh opazimo majhne orbitalne diagrame (slika 43a), ki so majhne kopije prvotnega
diagrama, kar je tudi fraktalna struktura.
Slika 43. a) Prikaz periodičnega okna s periodo 3 in na koncu majhne kopije orbitalnega
diagrama, ki izgledajo kot prvoten diagram; b) prvoten orbitalni diagram [15].
Fraktalno strukturo najdemo tudi v Lorenzevem čudnem atraktorju (slika 8c). Lorenz je že
takrat dejal, da na stiku dveh kril, kjer izgleda, kot da se dve plasti srečata in sekata druga z
drugo, da je to nemogoče, kajti potem bi to kršilo determinizem. Namreč iz trenutnega stanja
je lahko samo ena preteklost in ena prihodnost, sekanje dveh površin pa bi pomenilo, da se
lahko v enem sistemu zgodita dve preteklosti ali dve prihodnosti. Zaključil je, da je
neskončno število teh površin zelo tesno skupaj, vendar se nikoli ne srečajo. Tako vidimo
osnovo kaosa, in sicer da sovpada s strukturo z neskončnimi plastmi. To si lažje
predstavljamo kot že prej omenjen primer z listnatim testom, kjer so plasti zelo tesno skupaj
in se ne sekajo. Primer povečevanja v neskončnost in samopodobnosti srečamo tudi pri
Mandelbrotovem setu (slika 44).
a) b)
41
Slika 44. Mandelbrotov set: a) prvotna podoba; b) povečava dela, označenega na sliki a; c)
povečava dela, označenega na sliki b [18].
Spoznali smo matematični model, in sicer Mandelbrotov set. Ta simulacija nam pomaga pri
prikazu fraktalov in lastnosti le-teh. Spreminjamo lahko velikost oziroma resolucijo slike,
nato ali želimo sami izbrati območje povečave ali naj to naredi simulacija avtomatsko.
Naslednjo stvar, ki jo lahko spremenimo, je samo lepotnega pomena, to je barva ozadja.
Zadnja stvar, ki jo lahko spremenimo, je izbira izhodiščne točke, v kateri želimo začeti
simulacijo. Izbiramo lahko med osnovno nastavitvijo, kar je celotna podoba, druge možnosti
pa so posamezne točke na tem setu (slika 45).
a) b) c)
42
Slika 45. Prikaz možnosti, ki nam jih ponuja simulacija Mandelbrotovega seta [18].
Izbira želene velikosti oziroma resolucije
Nastavitev »manual« pomeni, da lahko
sami izberemo območje, ki ga želimo
povečati. Nastavitev »auto« pa pomeni, da
simulacija sama izbere območje povečave.
Izbira barve simulacije
Tukaj lahko izberemo, s katerim območjem
Mandelbrotovega seta bomo začeli simulacijo. Če
želimo začeti s celotnim Mandelbrotovim setom,
potem izberemo nastavitev »default«.
Tipka za pričetek simulacije
43
Ko smo enkrat nastavili želene parametre, kliknemo na gumb »Go!« (slika 45) in prikaže se
nam simulacija (slika 46).
Slika 46. Simulacija Mandelbrotovega seta [18].
Za izbiro območja, ki ga želimo povečati, se z miško premaknemo tja in pritisnemo levi gumb
miške ter ga držimo in hkrati premikamo miško. S tem bomo označili območje, ki ga želimo
povečati (slika 47), nato gumb spustimo.
Slika 47. Z likom označeno območje, ki ga želimo povečati [18].
Za postopek v obratni smeri, torej da se vračamo in pomanjšujemo v simulaciji, enostavno
pritiskamo desni gumb miške.
Vidimo, da se struktura ponavlja v nedogled, ne glede na to kolikokrat povečamo sliko in ne
glede na velikostno skalo. V nasprotju z Evklidovimi oblikami, kjer se struktura ne ponavlja,
in s povečevanjem le-ti izgledajo bolj in bolj brez oblike. Kot primer Evklidovega lika lahko
pogledamo krog (slika 48). Ko povečamo en del krožnice, se ne pojavi več krog, ampak le
krožni lok, če ponovno povečamo en majhen del krožnega loka, vidimo, da na koncu izgleda
kot ravna črta. Torej nobene podobnosti s prvotno obliko [19].
Območje, ki ga želimo povečati
44
Slika 48. Primer nefraktalne strukture na primeru kroga [20].
Značilnost fraktalov je, da je njihova dolžina, površina ali volumen odvisen od dolžine merila,
s katerim merimo izbrano količino.
Slika 49. Primer fraktalne strukture strele. Nazorno vidimo, da iz fotografij ne moremo
uganiti merila [21].
45
4.1 Fraktali v naravi
Fraktale pa najdemo tudi v naravi okoli nas. Primer tega so oblaki, gore (slika 50a), snežinke
(slika 50b), barvni vzorci na koži nekaterih živali, oblika pokrajine (slika 50c). Najdemo jih
tudi v zelenjavi (slika 50d). Njihova lastnost povečevanja v nedogled v matematičnem svetu
se razlikuje od tega, kar srečamo v naravi, kajti v naravi vseh stvari ne moremo povečevati v
nedogled, ker na atomski ali molekularni skali stvari niso takšne, kot smo jih videli na
orbitalnih diagramih. Povečava, ki je še smiselna v največ primerih, je dva velikostna reda
(faktor 100) [19].
Slika 50. Fraktali v naravi. a) Kanadske gore v Britanski Kolumbiji [22]; b) snežinka [23]; c)
vzhodna obala Grenlandije [24]; d) brokoli [25].
4.2 Dimenzije fraktalov
Na začetku tega poglavja smo spoznali posebnost fraktalov, ki smo jo poimenovali
samopodobnost. Videli smo, da ohranjajo prvotno obliko ne glede na velikostno skalo, zato
jih je težje preučevati. Fraktale karakteriziramo s fraktalno dimenzijo. Pri Evklidovih oblikah
poznamo enodimenzionalne oblike, kot je črta, nato dvodimenzionalne oblike, kot primer
ravnina in tridimenzionalne oblike, kot so predmeti. Vendar se pojem dimenzije kot celo
a) b) c)
d)
46
število pri fraktalih izkaže neuporabno. Najprej poglejmo primer, kako določimo dimenzijo,
če gledamo mrežo, sestavljeno iz posameznih kvadratov (slika 51).
Slika 51. Mreža sestavljena iz manjših kvadratov, zaradi katerih ima lastnost samopodobnosti,
kajti vsak manjši kvadrat izgleda kot prvoten kvadrat: a) mreža 4 kvadratov; b) mreža 9
kvadratov [26].
Mreža, sestavljena iz posameznih kvadratov, ima lastnost samopodobnosti, ker če jo
razrežemo v posamezne kvadrate, ti izgledajo kot prvoten kvadrat. Na sliki 51a vidimo, da
smo kvadrat razrezali na 4 enake dele, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je 4 � 2� in na sliki
51b smo kvadrat razrezali na 9 enakih delov in lahko zapišemo 9 � 3�. Eksponent v obeh
primerih pomeni dimenzijo kvadrata [19]. Na primeru Rubikove kocke (slika 52) lahko
vidimo, če jo razrežemo tretjinsko po višini in širini, potem dobimo 27 manjših kock, ki so
vse enako velike, prav tako pa vsaka posamezna manjša kocka izgleda kot prvotna kocka.
Sedaj lahko zapišemo 27 � 3�, kjer eksponent 3 pomeni dimenzijo telesa.
Slika 52. Rubikova kocka [27].
Iz teh primerov sledi enačba, po kateri definiramo dimenzijo stvari, ki jo preučujemo. V
enačbi nastopa m, ki pomeni število manjših kopij celote, r, ki pomeni faktor, za katerega
zmanjšamo objekt. Na primeru mreže iz kvadratov smo najprej mrežo zmanjšali za faktor 2
a) b)
47
(slika 51a) in za faktor 3 (slika 51b), na primeru Rubikove kocke smo jo tudi zmanjšali za
faktor 3. V enačbi nastopa tudi d, in sicer v eksponentu ter predstavlja dimenzijo objekta.
Sledi enačba:
� � ��2
S pomočjo enačbe (2) pa lahko določimo tudi dimenzije fraktalov, s čimer se je ukvarjal
švedski matematik Helge von Koch. Stvari se je lotil s čisto preprostim Evklidovim
predmetom, in sicer s tanko črto, kot lahko vidimo na sliki 53a. Nato to črto razdelimo na tri
enake dele in srednji del nadomestimo s krakoma enakostraničnega trikotnika, vendar pri tem
srednji del izbrišemo. Postopek ponavljamo v neskončnost in vsakič, ko imamo ravno črto, jo
razdelimo na tri enake dele in jo nadomestimo s štirimi črtami tako, da bo vsak del črte
izgledal kot del črte na sliki 53b.
Slika 53. Prikaz Kochove krivulje: a) Evklidov predmet, ravna črta; b) prvo generiranje; c)
drugo generiranje; č) tretje generiranje; d) četrto generiranje [26].
Ta primer imenujemo Kochova krivulja, ki spada med rekurzivne objekte, saj smo osnovni
objekt preoblikovali v več enakih objektov. Prav tako ima Kochova krivulja lastnost
samopodobnosti, namreč krivuljo lahko razdelimo na 4 enake dele, ki izgledajo enako kot
prvotna krivulja (slika 54).
a)
b)
c)
č)
d)
48
Slika 54. Prikaz lastnosti samopodobnosti Kochove krivulje: a) prvotna Kochova krivulja; b)
povečan en del Kochove krivulje [26].
In sedaj, če poskušamo izračunati dimenzijo Kochove krivulje s pomočjo enačbe (2), dobimo
z logaritmi rezultat d = 1,26. To pomeni, da je dimenzija krivulje več kot 1 in manj kot 2,
vendar to ni edina posebnost te krivulje, posebno je tudi to, da ima neskončno dolžino loka,
med poljubnima dvema točkama [19].
4.3 Fraktali v našem telesu
V prejšnjih poglavjih smo fraktale srečali v matematičnem svetu, kjer smo povečevali sliko v
neskončnost in vsaka manjša podoba objekta je izgledala kot prvoten objekt, kajti gledali smo
na brez velikostni skali. Kasneje smo videli, da fraktali nastopajo v naravi okoli nas (slika 52).
V tem poglavju pa bomo videli prisotnost fraktalne strukture v našem telesu in telesu živali.
Vendar najprej se vprašajmo, zakaj je narava oziroma evolucija izbrala fraktalno strukturo.
Odgovor na to vprašanje ni samo eden, ampak je sestavljen iz več različnih dejavnikov, ki so
vplivali na takšen razvoj. Prvi izmed njih je ta, da je fraktalna struktura zelo učinkovita pri
prenašanju informacij ali kakršnih koli drugih snovi skozi tri dimenzionalno telo z uporabo
eno dimenzionalnih cevk. Vemo, da mora biti v telesu vsaka celica povezana, saj vsaka celica
potrebuje hranilne snovi ali komunikacijo v primeru hormonov ali v primeru potovanja
signala po živcu. Zato je dober pristop, če imamo glavno vejo, ki se nato razdeli v več
manjših in te se nato delijo naprej v vedno manjše veje, ki so na koncu tako številčne in
majhne, da dosežejo vsako celico. Drugi razlog je ta, da fraktalna struktura ustvari veliko
površino v zaprtem ali utesnjenem prostoru, kar je zelo pomembno pri pljučih, kjer pride do
izmenjave plinov ali pri absorpciji hrane v črevesju. Tretji razlog pa je ta, da je fraktalni načrt
dokaj trivialen. Potrebno je le razviti cevko, ki se nato razdeli v manjše cevke in te se
a) b)
49
razdelijo v še manjše cevke in tako naprej [19]. Omenili smo že, da je fraktalna struktura
prisotna v pljučih (slika 55a), žilni sistem v roki (slika 55b) itd.
Slika 55. Fraktali znotraj našega telesa: a) pljuča v človeškem telesu; b) žilni sistem v
človekovi roki [28].
a) b)
50
5. UPORABA KAOSA V VSAKDANJEM ŽIVLJENJU
Veliko časa je bilo potrebnega, da so znanstveniki in inženirji kaos sprejeli kot nekaj
uporabnega in s čimer si lahko pomagajo. Kot že pove samo ime, je kaos deloval zelo
neurejeno in kot teorija, ki je neuporabna pri vsakdanjih stvareh, ker bi naj bila preveč
zapletena in kaotična. V znanosti in inženirstvu pa nepredvidljive stvari niso dobrodošle.
Večji premik in nov pogled na teorijo kaosa na teh področjih se je zgodil približno leta 1990.
Izdana je bila publikacija z naslovom »Controling Chaos« (Kontroliranje kaosa) [19].
Ponovno se srečamo z navidezno nasprotujočima pojmoma, kajti že v prejšnjih poglavjih smo
videli, da kaosa ni mogoče kontrolirati popolnoma. Vendar po drugi strani, pa je kaos mogoče
nadzorovati z majhnimi dregljaji in le-ti lahko povzročijo, da kaotični sistemi ustvarijo močne
in disproporcionalne efekte, kajti ti sistemi so zelo dovzetni za majhne spremembe. Strategijo
kontroliranega kaosa so razvili trije raziskovalci iz univerze Maryland. To so bili Ed Ott,
Celso Grebogi in Jim Yorke. Poudarili so, da v kaotičnih sistemih, ki vsebujejo čuden
atraktor, kot primer so videli v poglavju 2 Lorenzev atraktor, ter kaotično obnašanje okoli
tega čudnega atraktorja, znotraj katerega opazimo premikanje iz enega krila na naslednje krilo
po nepredvidljivem vzorcu, znotraj tega se pojavi tudi periodično gibanje, torej periodične
orbite, ki se natančno ponavljajo. Vendar te periodične orbite znotraj Lorenzevega atraktorja
so zelo občutljive na majhne spremembe. Zato jih tudi zelo težko opazimo, ker so tako
nestabilne, vendar vemo, da so tam. To si lahko predstavljamo, kot da bi želeli svinčnik
postaviti na njegovo konico. Načeloma svinčnik lahko stoji na konici, kar imenujemo stabilna
lega. Vendar že najmanjši dotik povzroči, da se svinčnik prevrne. Iz tega se naučimo, da
kaotični sistemi vsebujejo periodičnost oziroma urejenost, težavno je to le stabilizirati. K sreči
so te periodične poti zapakirane v čudnem atraktorju in kaotični sistemi želijo biti periodični,
mi moramo le poskrbeti, da se sistem ne izmakne iz teh periodičnih poti. S posamičnimi
majhnimi dregljaji lahko sistem ohranjamo na teh periodičnih poteh, katerim bo sistem sledil.
Vendar zaradi svoje nestabilnosti, se sistem lahko izmakne iz teh periodičnih poti, vendar ga
lahko ponovno usmerimo na periodično obnašanje, pri čemer moramo biti nežni, kajti kot smo
že spoznali, so takšni sistemi zelo občutljivi na majhne spremembe. Takšno kontroliranje
kaotičnega in nepredvidljivega sistema so uporabili inženirji pri izdelavi lovskega letala F-16.
To je bilo prvo letalo, ki je bilo namerno dizajnirano kot dinamično nestabilno, s čimer so
povečali zmožnost manevriranja in dosegli, da je letalo bilo veliko bolje vodljivo. Pilot brez
pomoči računalnika ne bi mogel leteti s tem letalom, zato računalnik v delčku sekunde letalo
konstantno popravlja in ga ohranja stabilnega. Ta nestabilnost je tista, ki povzroča, da je letalo
51
zelo odzivno že pri manjših premikih kontrolne ročice. Kajti, če je sistem stabilen, je potrebna
relativno velika motnja za opazno spremembo stanja. Kot primer so stare bojne ladje, ki so
bile zelo stabilne, ko so plule in zaradi tega jih je bilo veliko težje v trenutku obrniti. Najbolj
zanimiv način uporabe kaosa je pri načrtovanju vesoljskih potovanj z zelo malo goriva.
Trenutno je v uporabi manever, ki se imenuje Hohmannova orbita (slika 56).
Slika 56. Hohmannova orbita [29].
Postopek je sledeč: raketa po izstrelitvi kroži v Zemljini orbiti. Nato vključijo motorje in
poženejo raketo do hitrosti blizu hitrosti krogle, ki je približno 3,2 km/s. S takšno hitrostjo
tako raketa potuje naslednjih 400.000 kilometrov in ob tem porablja ogromno goriva. Ko se
približa Luni, bi jo s takšno hitrostjo enostavno preletela. Zato se mora raketa obrniti v
nasprotno smer uporabiti zavorne rakete, da jo dovolj upočasnijo, da raketo ujame Lunino
gravitacijsko polje. Samo ta zaviralni manever stane približno 130 milijonov dolarjev v
gorivu. Vendar je ta manever uporabljen, ker je matematično dobro razložen (to je z
matematičnega stališča problem 2 teles, ki je analitično rešljiv) in dokazan tudi v praksi.
Raketa z uporabo slednjega principa prispe do Lune v treh dneh. Drugačen pristop pa je ubral
matematik Ed Belbruno, ki je delal v laboratoriju, ki sodeluje z NASA. Stvari se je lotil s
kaosom, ki nastopa v problemu treh teles, ki so bila v tem primeru Zemlja, Luna in raketa.
Ideja je bila, da bi raketa »surfala« v gravitacijskem polju od Zemlje do Lune. Najprej bi
raketo izstrelili, za kar seveda potrebujemo gorivo, nato pa bi v orbiti vsake toliko časa
vklopili manjše motorje, da bi se počasi oddaljili od Zemlje. To bi počeli tako dolgo, dokler
nas ne bi k sebi potegnili gravitacijsko polje Lune. Za lažjo primerjavo si lahko predstavljamo
razliko med letalom in jadralcem. Jadralec izkorišča zračne tokove, da prispe do cilja. Letalo
pa uporablja velike motorje in se s pomočjo le-teh prebija skozi atmosfero. Le da namesto
zračnih tokov tukaj govorimo o gravitacijskih poljih. Belbruno je ta način potovanja rakete do
Lune dodobra razložil in dodelal podrobnosti, vendar pa je njegov način potovanja imel dve
slabosti. Prva slabost je ta, da je neskončno možnih poti. Ko se približamo določenemu delu v
bližini Lune, potem te poti postanejo zelo občutljive in kaotične, kajti vemo, da problem treh
52
teles je primer kaotičnega sistema. V takšni sistemih pa vemo, da začetni odkloni oziroma
odstopanja podvajajo eksponentno. To območje v bližini Lune je Belbruno poimenoval
»zamegljena meja«. V tej »meji« je problem, da je lahko raketa gravitacijsko pritegnjena s
strani Zemlje ali pa s strani Lune, o čemer odločajo zelo majhne razlike v začetnih pogojih.
Prav tako je »zamegljenem območju« pomembna hitrost rakete, ne le položaj, zato je prostor
v tej meji večji od tridimenzionalnega. Drugi problem takšnega potovanja pa je čas potovanja
do Lune. Pot bi trajala 2 leti, kar je v primerjavi s trenutnimi tremi dnevi zelo dolgo. Zato
takšen način potovanja rakete do Lune trenutno ni najbolj primeren. So pa na takšen način
rešili eno izmed dveh Japonskih sond, ki so jih Japonci poslali proti Luni. Ena sonda je bila
namenjena za pristanek na Luni, ta druga pa je služila kot relejna postaja. Tista sonda, ki je
bila namenjena na Luno, se je izgubila. Zato so Belbruna prosili, če bi lahko drugo sondo,
velikosti pisalne mize in ki ni bila namenjena za pristanek na Luni, z njegovimi izračuni in
skoraj brez goriva, ter s pomočjo problema treh teles, poslal na Luno. S sodelavci je našel
rešitev, ki pa je bila nepričakovana, saj je postala problem štirih teles. Najprej so sondo
usmerili do »zamegljene meje« med Zemljo in Soncem. Ko je sonda prišla do tega območja,
so sprožili motorje na sondi in jo varno prepeljali skozi to kaotično območje, kjer so porabili
zelo malo goriva. Nato je sonda potovala dalje do zamegljenega območja med Zemljo in Luno
in od tam do Lune, kjer se je sonda ujela v gravitacijsko polje Lune in leta 1991 uspešno,
seveda z majhno pomočjo motorjev po 5 mesecih potovanja, varno pristala na površju Lune. S
tem je Belbruno dokazal, da se na takšen način da potovati po vesolju in z zelo malo goriva.
NASA je nato pri misiji Genesis med leti 2001 in 2004 uporabljala takšen način planiranja
poti (slika 57), prav tako pa je na takšen način na Luno prispela sonda SMART-1 Evropske
vesoljske agencije. Torej, to je bil še en dokaz več, da je deterministično nepredvidljivost moč
uporabiti tudi v vesolju in s pomočjo katere je možno tudi potovanje v vesolju.
53
Slika 57. Prikaz determinističnega kaosa z medplanetarno super avtocesto, po kateri je
potovala sonda Genesis agencije NASA [30].
Po zadnjih izračunih in opazovanjih pa izgleda da takšen način potovanja po vesolju
uporabljajo tudi kometi in asteroidi v bližini Zemlje.
54
6. ZAKLJU ČEK
V delu sem predstavil, kaj je kaos in kje se z njim srečamo v vsakdanjem življenju. Najdemo
ga v naravi okoli nas, v rastlinah, pokrajinah ter celo v kuhinji. Videli smo, da se še tako
enostavni sistemi, ki delujejo urejeno, lahko sprevržejo v nered, v kaos. Vendar to ne pomeni,
da je okoli nas samo nered, saj se v kaosu skriva določena predvidljivost, ki ustvarja urejene
stvari, kot je življenje samo ali začetek vesolja itd. To pomeni, da se teorija kaosa ukvarja
izključno z determinističnimi sistemi, kar pomeni, da sedanje stanje narekuje, kakšna bo
prihodnost. Prav tako nam to pove, da je zelo veliko urejenosti in predvidljivosti v kaosu, ki
smo ju lahko napovedali za daljše časovno obdobje. Kot primer smo opazovali sistem v
faznem prostoru, kjer smo videli, da kaotičen sistem ne zapolni celotnega faznega prostora kot
zmazek, ampak se pojavijo urejene strukture, ki smo jih poimenovali čudni atraktorji. Po
drugi strani je vsak nelinearen sistem kaotičen, odvisno je le, po kolikšnem času se urejenost
spremeni v kaos. Ta karakteristični čas, ki ga imenujemo horizont predvidljivosti, je za vsak
sistem drugačen. Merimo ga lahko v milisekundah ali pa tudi v milijonih let. Ni pomembno,
kako skupaj dva sistema začneta, ne glede na to kako podobni so bili začetni pogoji, vedno je
nekaj odstopanja in prav ta majhna odstopanja nas privedejo do popolnoma drugačne
prihodnosti, kar smo spoznali kot učinek metulja. Zaradi tega ne moremo nikoli vedeti,
kakšna bo naša prihodnost ali prihodnost kakšnega sistema. Vse je v rokah in zakonih kaosa.
Proti koncu smo spoznali čudovite strukture, ki smo jih poimenovali fraktali. Predstavili smo
jih v matematičnem svetu, prav tako smo videli primere v naravi in v našem telesu. Najbolj so
nas navdušili z dvema lastnostma, in sicer samopodobnost in dimenzija fraktalov, ki je lahko
necela številka.
V tem delu naloge smo tako spoznali, da je rdeča nit kaosa urejenost in neurejenost znotraj
determinističnih sistemov, ki so nelinearni. Tako smo videli, da so v naravi nelinearni sistemi
tisti, ki poganjajo svet okoli nas in da so linearni primeri posebnost.
55
LITERATURA
[1] S. Strogatz, Chaos Part I, (The Teaching Company, 2008, ISBN 1-59803-451-0)
[2] Wikipedia, pridobljeno 3. 3. 2011 iz: http://sl.wikipedia.org/wiki/Determinizem
[3] Steven Strogatz, 04. ChaosFound and Lost Again, (videoposnetek), The Teaching
Company, 2008
[4] SolidWorks Motion, Modeling chaos by a double pendulum in SW Motion, pridobljeno
20. 2. 2011 iz: http://www.solidworks-apac.com/2010/06/14/modeling-chaos-by-a-double-
pendulum-in-sw-motion/
[5] My Phisics Lab, Double Pendulum, spletna povezava:
http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html
[6] Interactive textbook on clinical symptom research, A Study of insomnia and Sleep Loss,
pridobljeno 20. 2. 2011 iz:
http://symptomresearch.nih.gov/chapter_15/part_3/sec3/cjspt3s3pg2.html
[7] Franz-Josef Elmar, Sensitivity on the initial conditions, pridobljeno iz strani:
http://www.elmer.unibas.ch/pendulum/p4ab.htm
[8] Steven Strogatz, 07. Picturing Chaos as Order—Strange Attractors, (videoposnetek), The
Teaching Company, 2008
[9] University of Waterloo, Java Applets for Chaos and Fractals, pridobljeno 20. 3. 2011 iz:
http://www.falstad.com/vector/
[10] Exploratorium, Complexity, spletna povezava:
http://www.exploratorium.edu/complexity/java/lorenz.html
[11] Vimeo, Lorenz Attractor Simulation, spletna povezava: http://vimeo.com/19419417
[12] Steven Strogatz, 09. How system turn chaotic, (videoposnetek), The Teaching Company,
2008
[13] The Geometry Center, Iteration versus time for the Logistic map, pridobljeno 20.3.2011
iz: http://www.geom.uiuc.edu/~math5337/ds/applets/iteration/Iteration.html
56
[14] Electrical Devices and Physical Engineering, Time Series of Logistic Map, spletna
povezava: http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Logits/
[15] Boston University, Department of Mathematics and Statistics, pridobljeno dne 20. 3.
2011 iz: http://math.bu.edu/DYSYS/applets/bif-dgm/Logistic.html
[16] Steven Strogatz, 11. Universal Features of the Route to Chaos, (videoposnetek), The
Teaching Company, 2008
[17] Chaos for Java, povezava: http://astarte.csustan.edu/~tom/SFI-
CSSS/nonlinear/Chaos.html
[18] Harald Schmidt, Mandelbrot Applet, pridobljeno 2. 6. 2011 iz: http://www.h-
schmidt.net/MandelApplet/mandelapplet.html
[19] Steven Strogatz, Chaos Part II, (The Teaching Company, 2008, ISBN 1-59803-451-0)
[20] Steven Strogatz, 14. The Properties of Fractals, (videoposnetek), The Teaching
Company, 2008
[21] Uncyclopedia, Lightning Bolt, pridobljeno 2. 6. 2011 iz:
http://uncyclopedia.wikia.com/wiki/File:Lightning_Bolt.jpg
[22] Fractal Foundation, Mountain Fractals, pridobljeno 1. 3. 2011 iz:
http://fractalfoundation.org/images/photo/3251378406/mountain-fractals.html
[23] Road Schooled, Fractals in Nature – Discover the Beauty of Mathematics, pridobljeno
1.3.2011 iz: http://www.roadschooled.com/2009/06/fractals-in-nature-discover-the-beauty-
of-mathematics/
[24] NASA, Earth Observatory, pridobljeno 2. 3. 2011 iz:
http://earthobservatory.nasa.gov/NaturalHazards/view.php?id=18712&oldid=14378
[25] Photo.net, Alfredo Matacotta- Photos of nature, pridobljeno 2. 3. 2011 iz:
http://photo.net/photodb/photo?photo_id=1236856
[26] Steven Strogatz, 15. A New Concept of Dimension, (videoposnetek), The Teaching
Company, 2008
57
[27] Andrej Mernik, Blog: Dobil sem Rubikovo kocko, pridobljeno 2. 6. 2011 iz:
http://andrej.mernik.eu/blog/2008/06/17/dobil-sem-rubikovo-kocko/
[28] Yale University, Fractal Geometry: Biology, pridobljeno 2. 6. 2011 iz:
http://classes.yale.edu/fractals/panorama/Biology/Physiology/Physiology.html
[29] The Full Wiki, Elliptic orbit, pridobljeno 2. 6. 2011 iz:
http://www.thefullwiki.org/Elliptic_orbit
[30] Russel O' Connor, Chaotic Orbits, pridobljeno 3. 6. 2011 iz:
http://r6.ca/blog/20050712T171400Z.html