univerzitet istoČno sarajevo - etf.ues.rs.badsuka/oe 2/oe2 - skripta iz elektromagnetike... ·...
TRANSCRIPT
UNIVERZITET ISTOČNO SARAJEVO ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET
redovni profesor
dr Slavko Pokorni, dipl. inž. el.
OSNOVE ELEKTROTEHNIKE 2
Elektromagnetizam
Istočno Sarajevo, 2015.
2
Sadržaj 1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU .................................................................................. 4
1.1. Kratak istorijat ........................................................................................................................... 4
1.2. Sila između dva strujna elementa ............................................................................................. 5
1.3. Pojam magnetskog polja i vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon ............................ 9
1.3.1. Linijske, površinske i zapreminske struje ......................................................................... 15
1.3.2. Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije kada su svi strujni elementi u istoj ravni .................................................................................................................................................... 16
1.4. Sila i momenat na strujnu konturu u magnetskom polju ....................................................... 18
1.5. Linije vektora magnetske indukcije ......................................................................................... 22
1.6. Fluks vektora magnetske indukcije. Zakon održanja magnetskog fluksa ............................... 25
1.7. Kretanje naelektrisane ćestice u magnetskom i električnom polju ....................................... 28
1.8. Holov efekat ............................................................................................................................ 29
2. AMPEROV ZAKON ........................................................................................................................... 31
2.1. Primeri primene Amperovog zakona ...................................................................................... 31
2.2. Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakumu ..................................... 35
3. MATERIJALI U MAGNETSKOM POLJU ............................................................................................ 36
3.1. Uticaj magnetskog polja na materijale. Dijamagnetski, paramagnetski i feromagnetski materijali ........................................................................................................................................ 36
3.2. Vektor magnetizacije............................................................................................................... 38
3.3. Uopšteni oblik Amperovog zakona. Vektor jačine magnetskog polja i permeabilnost ......... 39
3.4. Makroskopske struje ekvivalentne Amperovim elementarnim strujama .............................. 42
Linije vektora magnetskog polja ................................................................................................ 44
3.5. Granični uslovi ......................................................................................................................... 44
3.6. Krive magnetisanja feromagnetskih materijala ...................................................................... 47
3.7. Definicije permeabilnosti magnetskih materijala ................................................................... 50
4. MAGNETSKA KOLA ......................................................................................................................... 51
4.1. Tanka magnetska kola ............................................................................................................. 51
4.2. Približne jednačine za rešavanje magnetskih kola realnih dimenzija..................................... 53
4.3. Jednačine za magnetska kola sa vazdušnim procepom .......................................................... 55
4.4. Metode proračuna magnetskih kola ....................................................................................... 56
4.4.1. Proračun prostih magnetskih kola ................................................................................... 56
4.4.2. Proračun složenih simetričnih magnetskih kola .............................................................. 57
4.4.3. Proračun složenih nesimetričnih magnetskih kola .......................................................... 58
4.5. Magnetsko kolo stalnih magneta ............................................................................................ 58
5. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA .................................................................................................. 60
5.1. Uvod ........................................................................................................................................ 60
5.2. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije......................................................................... 63
5.3. Potencijal i napon u vremenski promenjivom polju ............................................................... 65
5.4. Vrtložne struje, površinski efekat i efekat blizine ................................................................... 66
Vrtložne struje ............................................................................................................................ 66
Površinski efekat i efekat blizine ................................................................................................ 67
6. MEĐUSOBNA INDUKTIVNOST I SAMOINDUKTIVNOST .................................................................. 69
6.1. Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture......................................................... 69
6.2. Sopstvena induktivnost tanke provodne konture .................................................................. 72
6.3. Određivanje jačine struje u kolu sa induktivnim kalemom .................................................... 75
6.4. Savršeno provodna kontura u magnetskom polju ................................................................. 76
3
6.5. Jednačine za jačine struja u dva kola spregnuta posredstvom magnetskog polja ................. 76
6.6. Teorija savršenog električnog transformatora ....................................................................... 78
6.7. Merenje magnetske indukcije pomoću probnog navojka i jednačina protoka ...................... 80
7. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU ...................................................................................... 83
7.1. Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja ......................................................... 83
7.2. Raspodela energije u magnetskom polju ................................................................................ 85
7.3. Gubici u feromagnetskom materijalu zbog histerezisa .......................................................... 86
7.4. Samoinduktivnost i otpornost debelog provodnika sa dva priključka pri sporim promenama jačine struje .................................................................................................................................... 87
7.5. Opšti metod izračunavanja magnetskih sila ........................................................................... 89
8. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA I OSNOVNI POJMOVI O ELEKTROMAGNETSKIM TALASIMA ........................................................................................................................................... 91
LITERATURA ........................................................................................................................................ 92
4
VREMENSKI KONSTANTNO MAGNETSKO POLJE
1. OSNOVNI POJMOVI O MAGNETSKOM POLJU
1.1. Kratak istorijat
Sile koje danas nazivamo magnetskim zapažene su još u antičko doba. Primećeno je da
komadi jedne gvozdene rude imaju osobinu da privlače gvozdene predmete. Komadi gvozdene rude koji ispoljavaju magnetske sile nazivaju se prirodni magneti , a sve pojave u kojima se pojavljuju magnetske sile zovu se magnetske pojave. Kasnije je primećeno da gvozdeni predmeti koji se prinesu blizu priodnih magneta i sami postaju magneti, tj. postaju namagnetisani, tj. veštački magneti. I kod prirodnih i veštačkih magneta obično postoje dve zone u blizini kojih su magnetske sile najizraženije, i zovu se polovi magneta. Zapaženo je i da se magnet u obliku šipke ili igle, postavljen horizontalno i obešen o tanku nit, uvek okrene u pravcu sever-jug, tako da je uvek isti pol okrenut ka severnom, a drugi ka južnom polu Zemlje, pa su polovi magneta dobili naziv “severni” i “južni”. Raznoimeni polovi dva magneta se privlače, a istoimeni se odbijaju. Po analogiji sa električnim opterećenjima, verovalo se da se sečenjem magneta mogu dobiti odvojeno severni i južni pol. Međutim, uvek se dobijaju novi magneti sa oba pola. Magnetski polovi su veštački uvedeni pojmovi. Nauka o magnetskim pojavama se dugo oslanjala na stečena znanja o električnim pojavama. Tako je Kulon, po analogiji, 1785. godine došao do zaključka (eksperimentišući sa dva dugačka magneta) da je intenzitet sile približno obrnuto proporcionalan kvadratu rastojanja između polova (ako se zamisli da su polovi na kraju magneta). Kulonov zakon za magnetske mase se piše u obliku
12221
4
1omagnetska r
r
mmF
πµ=
gde je µ – konstanta. Međutim, ovo nije bio dobar početak za dalji razvoj i razumevanje magnetizma. Izolovani magnetski polovi u prirodi ne postoje. 1820. godine, danski fizičar Ersted primetio je da magnetska igla postavljena blizu provodnika sa strujom skreće u odnosu na svoj normalan položaj, kada kroz provodnik postoji struja. Ubrzo zatim sledi niz otkrića naučnika kao što su Amper, Laplas, Bio-Savar, Faradej, Lenc. Danas se zna da i električne i magnetske pojave potiču od istih uzročnika – elementarnih naelektrisanih čestica. Jedina razlika je u tome što se električni efekti javljaju i kada te čestice miruju (i kada se kreću), dok se magnetske pojave javljaju samo kada se naelektrisane čestice kreću u odnosu na posmatrača (relativno kretanje). Takođe magneti ne deluju silom na nepokretna električna opterećenja. Magnetske sile koje deluju između stalnih magneta su, u suštini, sile koje deluju između elementarnih naelektrisanih čestica koje se kreću unutar atoma materijala od kojih su magneti napravljeni.
5
Izučavanje magnetskih pojava počećemo od sile koja deluje između dva tanka provodnika sa strujom, odnosno između dva elementa (kratka prava odsečka provodnika sa strujom) dva provodnika. Takve elemente nazivaćemo strujni elementi. Do izraza za silu između dva strujna elementa došlo se eksperimentalno.
Izučavanje magnetskih pojava je moguće početi i od dve naelektrisane čestice (dva tačkasta naelektrisanja) koje se kreću. To ćemo pokazati kasnije, u podpoglavlju 1.7. Napomenimo da merenje sile između dva mala naelektrisana tela, koja se kreću, praktično nije moguće.
1.2. Sila između dva strujna elementa
Zamislimo dva tanka zatvorena provodnika (konture) C1 i C2, proizvoljnog oblika, sa strujama I1 i I2 (slika 1.1). Zvat ćemo ih strujne konture.
Slika 1.1. Uz definiciju sile između dva strujna elementa
Za održavanje struja u konturama moraju da budu priključeni neki izvori (što nam je poznato od ranije). Kako je otpornost provodnika mala, za održavanje struje je potrebno veoma malo električno polje, te na površima provodnika praktično neće biti električnih opterećenja, pa sila nije električna. Sila kojom jedna strujna kontura deluje na drugu tada je čisto magnetska sila i može se izmeriti za bilo koji oblik kontura1.
Da bismo mogli da izračunamo silu koja deluje između dve strujne konture, bilo kog oblika, neophodno je da odredimo silu kojom jedan na drugi deluju dva strujna elementa. Ako pretpostavimo da znamo matematički izraz za tu silu, onda ukupnu silu (bar teorijski) možemo da izračunamo u svim slučajevima kao zbir (integral) sila između pojedinih parova strujnih elemenata.
Direktno eksperimetalno određivanje sile između dva strujna elementa nije moguće, jer takvi odvojeni elementi nemogu da postoje (kolo vremenski konstantne struje nije zatvoreno). Međutim, na osnovu merenja sile u raznim slučajevima zatvorenih strujnih kontura došlo se do ideje o obliku
izraza za magnetsku silu strujnih kontura u vakumu, ako se pretpostavi da neki element 1→dl sa
strujom I1, deluje silom na element 2
→ld sa strujom I2:
( )2
12122112
r
rxdlxdlIIkFd o=
gde je k – konstanta koja zavisi od izbora jedinica u mernom SI sistemu. k=10-7 jedinica MKSA sistema. Uobičajeno je da se umesto k piše µ0/(4π), gde je
1 Dakle, moguće je izmeriti magnetsku silu nezavisno od električne. Naime sila koja postoji između dva tanka provodnika sa strujom praktično je samo rezultat kretanja opterećenja koja u njima obrazuju struju, tj. čisto magnetska sila (ako su posmatrani provodnici dobri, za održavanje struje u njima potrebno je vrlo malo električno polje, pa na njihovim površima praktično nema električnih opterećenja).
6
m
Ho
7104 −= πµ permeabilnost vakuma2,
pa se izraz za silu piše u obliku
( )2
121221012
4 r
rxdlxdlIIFd o
πµ=
Ovaj izraz predstavlja zakon magnetske sile između dva strujna elementa u vakumu, i ima ulogu analognu Kulonovom zakonu.
Veličina 12or , u izrazu, predstavlja jedinični vektor (ort) usmeren od 1
→dl (“izvor” sile) ka
2
→dl (na koji se određuje sila).
Smerovi 1
→dl i 2
→dl su, po dogovoru, isti kao referentni smerovi za struje u konturama C1
odnosno C2. U izrazu za magnetsku silu između dva strujna elementa se pojavljuje dvostruki vektorski
proizvod.
Vektorskim proizvodom vektora →A i vektora
→B , dobija se novi vektor
→C , što se piše u
obliku →→→
= BxAC
Pravac tog novog vektora →C je takav da je normalan na ravan koju čine vektori
→A i
→B .
Napomena: →→→→
−= AxBBxA , pa je redosled množenja važan.
Smer vektora (→C ) određuje se po pravilu desne zavojnice (desnog triedra), tako što se prvi
vektor najkraćim putem poklapa sa drugim vektorom u smeru desnog zavrtnja, a smer “uvrtanja” tog zavrtnja, predstavlja smer tog novog vektora (slika 1.2).
Intenzitet vektora (→C ), koji predstavlja rezultat vektorskog proizvoda, dobija se po formuli.
( )BAABCC ,sin==→
Slika 1.2. Uz definiciju vektorskog proizvoda
Primer 1.1. Odrediti smer magnetske sile za slučaj na slici 1.3a. Rešenje je na slici 1.3b.
2 H označava jedinicu za merenje induktivnosti i čita se „henri“. „m“ je jedinica za dužinu, tj. metar.
7
a) b)
Slika 1.3 a) primer dva strujna elementa, b) određivanje smera vektora magnetske sile između njih
Primer 1.2. Određivanje smera magnetske sile između dva paralelna provodnika sa strujama istog (ili različitog) intenziteta, i istog smera (slika 1.3a), prikazano je na slici 1.3b.
a) b)
Slika 1.3 a) dva paralelna provodnika sa strujama istog smera, b) određivanje smera vektora
magnetske sile između njih
Očigledno, u slučaju dva paralelna provodnika sa strujama istog smera, sila je privlačna. Samostalno odrediti smer magnetske sile između dva paralelna provodnika sa strujama istog
(ili različitog) intenziteta, ali suprotnog smera. Uočiti da je u ovom slučaju sila odbojna. Primer 1.3. Odrediti magnetsku silu, kao u primeru 2, ako je rastojanje provodnika r = 1m,
dužina l1 = l2 = l = 5 cm, a jačina struje I1 = I2 = I = 50 A. Potrebni vektori su dati na slici 1.4.
Slika 1.4. Izračunavanje magnetske sile između dva dela paralelnih provodnika
Sila je privlačna, a njen intezitet je
8
( ) ( )[ ]12012120112221
12 ,,sin,sin4
rdldlrdldldlr
IIF o
πµ=
Sa slike 1.4 je očigledno da je ugao između vektora 1
→dl i 120
→r prav (odnosno 900, ili π/2), a
između vektora 2
→dl i vektora koji se dobija vektorskim proizvodom
1201 rxdl→
, takođe prav. Prema
tome dobija se
Nr
lIdldl
r
IIF oo 7
2
22
12221
12 1025,644
−⋅===π
µπ
µ
Sami proverite kolika bi trebala da budu električna opterećenja, na istom rastojanju, da bi se dobila ista sila. Uverićete se da su potrebna vrlo velika opterećenja, što je praktično neostvarljivo, ili teško ostvarljivo. Struja od, na primer, 50 A se relativno lako ostvaruje, pa se u praksi, mogu ostvariti mnogo veće magnetske nego električne sile.
Magnetska sila između dve naelektrisane ćestice je manja nego električna, ali su u praktičnim uslovima magnetske sile izraženije (veće) jer kod magnetskih sila dolazi do uzajamnog delovanja svih naelektrisanja, a ne samo viška naelektrisanja, kao kod električnih sila. Ukupna količina naelektrisanja je mnogo veća nego što je višak naelektrisanja na naelektrisanim telima (setimo se da je višak naelektrisanja razlika količine pozitivnog i negativnog naelektrisanja).
U prethodnim slučajevima je 2112 FdFd = , u što se lako možete uveriti, ali izraz za magnetsku silu (za razliku od električnih sila), u opštem slučaju, ne zadovoljava zakon akcije i reakcije, tj. u opštem slučaju je
2112 FdFd ≠
Primer 1.4. (slika 1.5a). Za slučaj na slici 1.5a, koja je na slici 1.5b prikazana sa potrebnim detaljima, je
( ) ( ) ( )[ ] 121212121121212 ,sin,sin dldlrxdldlrdldldlrxdlxdl ooo ==
jer su svi uglovi 900, međutim
( ) ( ) ( )[ ] 0,sin,sin 2121212112121 == ooo rxdldlrdldldlrxdlxdl
jer je ugao ( )212 , ordl jednak 1800, pa je u opštem slučaju
2112 FdFd ≠
a) b)
Slika 1.5. Primer kada izraz za magnetsku silu ne zadovoljava zakon akcije i reakcije
9
1.3. Pojam magnetskog polja i vektor magnetske indukcije. Bio-Savarov zakon
I ovde se kao i u elektrostatici uvodi pojam polja, ali magnetskog, koje ima ulogu posrednika
u delovanju silom jednog strujnog elementa na drugi. Zbog toga kažemo da struja I1 u elementu 1
→dl
modifikuje svoju okolinu (vakum) tako što stvara magnetsko polje i ono deluje na mestu gde se
nalazi element 2
→dl . Prema ovakvom shvatanju, izraz (zakon) za silu
( )2
12122112
4 r
rxdlxdlIIFd oo
πµ=
se može napisati u obliku
( )
= 2
12112212
4 r
rxdlIxdlIFd oo
πµ
Izraz u zagradi opisuje delovanje strujnog elementa 11
→dlI u odnosu na neku tačku na
rastojanju r. Element na koji ono deluje može biti i neki drugi element, na primer 33
→dlI , umesto
22
→dlI . U izrazu za silu bi sve ostalo isto, samo bi se umesto indeksa 2, sada pojavio indeks 3.
Izraz u zagradi se naziva vektor magnetske indukcije3 strujnog elementa →dlI , koji se
obeležava sa →Bd , i naziva Bio-Savarov zakon, tj.
24 r
rxdlIBd oo
πµ=
pri čemu su indeksi izostavljeni kao suvišni. Naziva se i Laplasov ili Amperov zakon. Izraz je ilustrovan slikom 1.6.
Slika 1.6. Uz definiciju Bio-Savarovog zakona
U skalarnom obliku, dobija se intenzitet vektora dB
3 Vektor magnetske indukcije se obeležava sa →B .
10
2
sin4 r
IdlBddB o α
πµ==
gde je α – ugao između vektora →dl i 0
→r .
Iz vektorske relacije za Bio-Savarov zakon je očigledno da je →Bd normalan (pod pravim
uglom) na ravan koju čine vektori →dl i 0
→r .
Smer →Bd se određuje po pravilu desne zavojnice kada se
→dl okreće tako da se najkraćim
putem poklopi sa 0
→r .
Smer →dl je određen referentnim smerom struje u konturi (isti je kao referentni smer struje u
konturi).
Ako posmatramo tanak provodnik C, kroz koji postoji struja jačine I, →B koju stvara ovaj
provodnik u ma kojoj tački, određuje se kao vektorski zbir →Bd koje u toj tački stvaraju svi elementi
strujne konture C (za male strujne elemente suma postaje integral), tj.
∫=C
oo
r
rxlIdB 24π
µ
što predstavlja relaciju za vektor magnetske indukcije →B u okolini tanke strujne konture.
Jedinica za intenzitet vektora →B je N/(Am), ali je u čast Nikole Tesle (1856-1943) dobila
naziv “tesla” i označava se sa slovom T. Na primer, horizontalna komponenta magnetske indukcije Zemlje, na našoj teritoriji je oko 0,2 10-4 T, a vertikalna oko 0,35 10-4 T. U okolini provodnika sa strujom, u vazduhu, je oko (10-6 do 10-2) T. U jezgrima feromagnetskih materijala pobuđenim zavojnicama sa strujom B je (0,1 – 1) T. Može se dobiti i nekoliko tesla.
Primer 1.5. Odrediti vektor →B na u nekoj tački na osi koja prolazi kroz centar kružne
strujne konture (zavojak) sa strujom I, i poluprečnika a, koja se nalazi u vakumu. Osa je normalna
na ravan konture (slika 1.7a). Još teži je zadatak određivanje vektora →B u tačkama van ose, i takav
problem nećemo rešavati4. Da bismo primenili Bio-Savarov zakon, izdelimo konturu na niz strujnih vektorskih
elemenata →ld , čija se orijentacija poklapa sa referentnim smerom struje (slika 1.7b). Vektor
magnetske indukcije jednog strujnog elementa je 24 r
rxlIdBd oo
πµ= . Na slici 1.7b prikazan je
vertikalni presek sistema sa slike 1.7a. Osa z, poteg r i vektor →Bd leže u ravni crteža, a vektor
→Bd
s osom z zaklapa ugao α. Vektor →ld je normalan na ravan crteža. Kako su vektori
→ld i 0
→r pod
090 , to je algebarski intenzitet vektora →Bd dat relacijom 24 r
IdldB o
πµ= .Vektor
→Bd se može
razložiti na vertikalnu komponentu ( zBd→
) i horizontalnu kompnentu ( hBd→
). Ako posmatramo
4 Određivanje vektora
→B u tačkama van ose zahteva primenu eliptičkih integrala.
11
horizontalne komponente od →ld i
'→ld , zaključujemo da se one poništavaju ako je
'→→= ldld .
Zbog toga ostaje da saberemo (integralimo) samo vertikalne komponente vektora →Bd . Kako je
αcosdBdBz = , gde je r
a=αcos i 22 zar += , to je
( )2
322
2
3
2
32
2244za
Ia
r
Iadl
r
Ia
r
a
r
IdldBB oo
C
o
C
o
C
zz
+===== ∫∫∫
µµπ
µπ
µ
gde je sa C označena kontura zavojka, a adl
C
π2=∫ je obim tog zavojka.
Vidi se da su referentni smer strujne konture i smer rezultantne magnetske indukcije vezani pravilom desne zavojnice (ili desne ruke: ako se savijeni prsti desne ruke postave u smeru struje,
opružen palac pokazuje smer →B ).
Slika 1.7 a) kružni zavojak sa strujom, b) magnetska indukcija na osi koja je normalna na njegovu
ravan i prolazi kroz njegova centar Primer 1.5a. U praksi se često koriste kalemovi. Ako pretpostavimo da kalem ima N kružnih zavojaka poluprečnika a, koji su tesno priljubljeni jedan uz drugi, i ako je kalem tanak, onda je magnetska indukcija na osi kalema N puta magnetska indukcija jednog zavojka, tj.
( )2
322
2
zavojka zkalema z
2 za
NIaNBB o
+== µ
Primer 1.6. Odrediti vektor →B u centru kružne strujne konture poluprečnika a, koja se
nalazi u vakumu (slika 1.7c).
Uočimo element →dl . Njegov smer je određen referentnim smerom struje u konturi. Jedinični
vektor 0
→r je usmeren od vektora
→dl ka tački, u centru konture, u kojoj određujemo
→B .
Da bi odredili vektor →B , potrebno je da odredimo njegov pravac, smer i intenzitet.
12
Pravac vektora →Bd je normalan na ravan konture, jer u toj ravni leže vektori
→dl i 0
→r . Smer
vektora →Bd je određen vektorskim proizvodom 0
→→rxdl , odnosno usmeren je u ravan crteža u kojoj
leži kontura (slika 1.7b). Polazeći od izraza za Bio-Savarov zakon, za intenzitet →Bd dobijamo
( )22 4
2/sin
4 a
Idl
a
IdlBddB oo
πµπ
πµ ===
Slika 1.7. a) kružni zavojak sa strujom, b) magnetska indukcija u njegovom centru
Ako uočimo drugi element →
'dl , možemo uočiti da je pravac i smer →
'Bd koji od njega potiče
u istoj tački, u centru konture, isti kao i →Bd . Lako je zaključiti da su
→Bd od svih strujnih
elemenata konture istog pravca i smera, pa se njihov intenzitet može jednostavno sabirati
(integraliti), tj. ukupan intenzitet →B je
a
Ia
a
Idl
a
I
a
IdldBB
CCC 22
4440
20
20
20 µπ
πµ
πµ
πµ ===== ∫∫∫
Napomena: adl
C
π2=∫ predstavlja obim konture (kružnice) poluprečnika a.
Rezultat dobijen u primeru 1.6, se dobija i iz rezultata u primeru 1.5, ako se stavi z=0 (a>0).
Primer 1.7. Odrediti vektor →B u okolini tankog pravog provodnika konačne dužine kroz
koji protiče struja I (slika 1.8a).
Opet uočimo element →dl , i na već opisan način, odredimo pravac i smer
→Bd koji on stvara
u tački na normalnom rastojanju R od pravog provodnika (slika 1.8b). Ako uočimo drugi element →
'dl , i ovde možemo uočiti da je pravac i smer →
'Bd koji od njega potiče u istoj tački (ali je sada
neko rastojanje R’, slika 1.8b), istog pravca i smera kao i →Bd . Intenzitet vektora dB je
2
sin4 R
IdldB o α
πµ=
Prema tome i ovde se ukupan intenzitet →B , odnosno B, dobija sabiranjem intenziteta
→Bd
odnosno dB, tj.
∫∫ ==prov. duž
20
prov. duž 4sinR
IdldBB
παµ
(1)
13
Ovde rešavanje nije tako jednostavno, kao u primeru 1.5 (iako je geometrija provodnika jednostavnija), jer se pri kretanju duž provodnika menja i R i ugao α. Da bismo integral sveli na jednu promenjivu, postupimo kao što je prikazano na slici 1.8c.
Slika 1.8. Određivanje magnetske indukcije tankog pravog provodnika sa strujom
Uvodimo novi ugao θ, između potega (od tačke A u kojoj određujemo →B i
→dl ) i normalnog
rastojanja r provodnika i tačke A, tako da je njegov referentni smer od tog potega (ugao je skalarna veličina i nema smer, ali ga mi ovde posmatramo kao usmerenu skalarnu veličinu). Promena tog ugla, usled veličine dl je dθ. Sa slike 1.8c se vidi da je α= (π/2)+θ, pa je
θθπα cos2
sinsin =
+=
U trouglu CDE je θRdCD ≈ . Iz istog trougla je dl
Rdθθ =cos , a iz trougla ABC je
R
r=θcos . Iz ove jednakosti se dobija θd
rdlR =2
, pa se posle zamene u relaciju (1), dobija
∫=prov. duž
0 cos4 r
dIB
θθπ
µ
14
Sve ono što su konstante, može se izvući ispred integrala, a to su pored µ i π, i I i r (r je normalno rastojanje tačke A od provodnika i ne menja se u toku kretanja (integracije) duž provodnika). Prema tome dobijamo
2
1
2
1
sin4
cos4
cos4
00
prov. duž
0 θ
θ
θ
θr
Id
r
Id
r
IB θ
πµθθ
πµθθ
πµ === ∫∫
odnosno
( )120 sinsin
4θθ
πµ −=
r
IB (2)
Dobijeni izraz važi za prav provodnik konačne dužine. Uglovi θ1 i θ2 imaju značenje kao na slici 1.9, pri čemu je θ1 < 0, i θ2 > 0. Ugao θ2 je ugao pod kojim se iz tačke A vidi gornji kraj provodnika (kraj ka kome je usmerena strelica za referentni smer struje, istog je smera), a ugao θ1 je ugao pod kojim se vidi donji kraj provodnika, u odnosu na poteg koji predstavlja normalno
rastojanje do provodnika. Izraz daje samo intenzitet, pa se smer vektora →B određuje pravilom
desne ruke (ispružiti palac u smeru struje, a savijeni prsti pokazuju smer →B ).
Slika 1.9. Uz izračunavanje intenziteta magnetske indukcije pravog provodnika izrazom (2)
Očigledno da je određivanje →B u ovom slučaju dosta komplikovano. Kasnije ćemo pokazati
da je to, u određenim slučajevima, moguće uraditi i jednostavnije.
Primer 1.8. Odrediti vektor →B u okolini tankog pravog veoma dugog (beskonačno dugog)
provodnika sa strujom I (slika 1.10a). Imajući u vidu relaciju dobijenu u primeru 1.7, i sliku 1.10b, sa koje je očigledno da je θ2 =
π/2, i θ2 = - π/2, dobija se
( ) ( )[ ]r
I
r
I
r
I
r
IB
πµ
πµππ
πµθθ
πµ
211
42sin
2sin
4sinsin
4000
120 =−−=
−−=−=
Slika 1.10. Određivanje intenziteta
→B beskonačno dugog provodnika sa strujom
A I
2θ
1θ
15
Ako je I=1 A, I r=1 cm, dobija se da je B= 2 10-5 T.
Ovde je interesantno uočiti, da s obzirom da je r=const. to je i B=const. Očigledno B je istog
intenziteta u svim tačkama na istom rastojanju od provodnika. Te tačke su linija, paralelna provodniku na rastojanju r, kada se posmatra ravan u kom slučaju su pored intenziteta isti i smerovi →B , ili cilindar, čija je osa posmatrani provodnik, u kom slučaju su isti intenziteti, a pravci i smerovi
vektora →B samo na liniji. Očigledno vektor
→B je tangentan na sve tačke kružnice čiji je centar u osi
provodnika, a intenzitet mu je isti u svim tačkama te kružnice.
Smer vektora →B se može odrediti vektorskim prozvodom 0
→→rxdl , ili tzv. pravilom desne
ruke: palac desne ruke se postavi u (referentnom) smeru struje kroz provodnik, a savijeni prsti
pokazuju smer vektora magnetske indukcije →B .
1.3.1. Linijske, površinske i zapreminske struje
Izrazi
24 r
rxdlIBd oo
πµ= i ∫=
C
oo
r
rxdlIB 24π
µ
mogu se koristiti za tanke žičane provodnike, tj. linijske struje. Mogu se formirati izrazi i za debele provodnike (zapreminske struje) i površinske struje.
Neka je S površina poprečnog preseka provodnika dužine dl (slika 1.11), tada je
dvJdvJSdlJS
SlIdlId v====
jer je Sdl=dv, zapremina strujnog elementa dl, ( dvJ je strujni element zapreminske struje), pa je
dvr
rxJBd ovo
24πµ=
što predstavlja magnetsku indukciju koja potiče od struje gustine J u elementu zapremine dv. Prema tome ovde je J zapreminska gustina struje (uočite da se zapreminska gustina struje definiše kao I/S). Za površinsku gustinu struje Js, na elementu površine ds, je
dsr
rxJBd oso
24πµ=
gde je dsJ s je strujni element površinske struje.
Slika 1.11. Delić provodnika dužine dl i površine poprečnog presaka S
16
1.3.2. Izraz za intenzitet vektora magnetske indukcije kada su svi strujni elementi u istoj ravni
Sada ćemo izvesti još jedan oblik obrazca za B, koji je pogodan za primenu. Tražimo →B u
ravni ravne strujne konture (dakle ne bilo kakvog oblika, već gde svi strujni elementi leže u jednoj ravni). Izraz će se uprostiti (i biti jednostavniji za primenu, ali samo za određene slučajeve, jer više
ne važi uopšte), jer →dl i 0
→r su sada u istoj ravni, pa je
→Bd upravan na tu ravan. Svi
→Bd su istog
pravca, ali nisu svi istog smera (slika 1.12). Očigledno je da je →
'Bd suprotnog smera od →Bd .
Slika 1.12. →B kada su svi elementi konture i tačka određivanja
→B u istoj ravni
Usvojimo smer →Bd kao referentni, pa su svi
→Bd koji potiču od dela konture P-dl-P’
pozitivni, a svi →
'Bd koji potiču od dela konture P-dl’-P’ negativni.
Struja u dl stvara u tački M magnetsku indukciju datu izrazom
2
sin4 r
IdldB o α
πµ=
gde je α ugao između vektora 0
→r i
→dl , koji je (vidi se sa slike 1.12) manji ili jednak π (≤π), pa je
sinα≥0, tj. pozitivan. Intenzitet magnetske indukcije dB, dakle, dobija algebarsku vrednost u odnosu
na ugao α. Usvaja se da je α meren od 0
→r ka
→dl pozitivan (referentni smer, smer suprotan kazaljci
na satu). Uvedimo referentnu osu i u odnosu na nju ugao θ, sa smerom od referentne ose do potega od
tačke u kojoj tražimo →B do strujnog elementa. Iz slike 1.13, na kojoj je prikazan detalj sa slike 1.12,
mogu se uspostaviti sledeće veze: dl kao projekcija na pravac upravan na poteg r jednak je rdθ, pa je
dl
rd
dl
rd θθα ==2/
2/sin
Posle zamene, ovog izraza, u prethodni izraz za dB, dobijamo
r
dI
r
rdI
r
IdldB ooo θ
πµθ
πµα
πµ
44
sin
4 22 ===
Uočimo da je ovde r≠const., pa je
∫∫ ==C
o
C r
dIdBB
θπ
µ4 (3)
17
Ovaj izraz važi za B u tačkama u ravni ravne strujne konture. Ako se, u rezultatu proračuna,
dobije B<0,to znači da je stvarni smer →B suprotan od referentnog. Izraz ne daje pravac i smer
→B , pa
je potrebno primeniti pravilo desne zavojnice (ili ruke).
Slika 1.13. Detalj strujnog elementa sa slike 1.12.
Referentni smer za →B je sa referentnim smerom ugla θ vezan pravilom desne zavojnice ili
pravilom desne ruke (savijene prste desne ruke postavimo u smeru ugla θ, a ispruženi palac tada
pokazuje smer →B ).
Ovaj izraz je praktičan za upotrebu. Pokažimo to na primerima.
Primer 1.9. Odrediti vektor →B u centru kružne strujne konture poluprečnika a (kao na slici
1.7a, što smo rešavali direktnom primenom Bio-Savarovog zakona), samo je sada suprotan smer struje.
Usvojimo referentnu osu, i u odnosu na nju ugo θ, sa smerom kao na slici 1.14 (odgovara
referentnom smeru struje I). Pravac vektora →B mora biti takav da je normalan na ravan konture
(normalan na ravan papira, ako kontura leži u ravni papira). Smer →B je određen pravilom desne
ruke. Očigledno od svih elementa →dl , smer
→Bd je isti.
Slika 1.14. Određivanje
→B u centru kružne strujne konture primenom relacije (3)
Intenzitet vektora →B , u centru konture je
a
I
a
Id
a
I
r
dIB ooo
C
o
22
444
2
0
µππ
µθπ
µθπ
µ π
==== ∫∫
r
α
Mθ
θd
dl
θrd
090α
18
Napomena: r = a = const. Očigledno dobili smo isti rezultat kao u primeru 1.6 (slika 1.7), ali mnogo jednostavnije.
Primer 1.10. Odrediti vektor →B u okolini tankog pravog veoma dugog (beskonačno dugog)
provodnika sa strujom I (pravo strujno vlakno, slučaj kao na slici 1.10a).
Slika 1.15. Određivanje
→B u okolini pravog provodnika primenom relacije (3)
Neka provodnik leži u ravni papira, a i tačka u kojoj tražimo →B mora da leži u ravni papira.
Onda pravac vektora →B mora biti takav da je normalan na ravan papira. Smer
→B je određen
pravilom desne ruke (slika 1.15). Očigledno od svih elementa →dl , smer
→Bd je isti.
Ako, sa slike 1.15, uočimo da je r
d=θcos , odakle je θcos
dr = , onda za intenzitet vektora
→B , u tački na normalnom rastojanju d, od provodnika, imamo
d
I
d
Id
d
I
d
dI
r
dIB ooooo
πµππ
πµθθ
πµθθ
πµθ
πµ
π
π
π
π
θ
θ 22sin
2sin
4cos
4
cos
44
2
2
2
2
2
1
=
−−==== ∫∫∫−−
Očigledno, za provodnik konačne dužine, i ovde se dobija izraz
( )120 sinsin
4θθ
πµ −=
r
IB
Očigledno je da smo do istog rezultata došli jednostavnije nego u primeru sa slike 1.10.
1.4. Sila i momenat na strujnu konturu u magnetskom polju
Rezultantna sila i rezultantni momenat na neku strujnu konturu u magnetskom polju mogu
se, u principu, izračunati pomoću formule
( )2
12122112
4 r
rxdlxdlIIFd oo
πµ=
Međutim, ako se uzme u obzir Bio-Savarov zakon, do koga smo došli izdvajanjem dela koji se odnosi na izvor polja, tj.
( )
=
21211
22124 r
rxdlIxdlIFd oo
πµ
19
može napisati u kompaktnijem obliku
12212 BxdldIFd =
gde je 1
→Bd vektor magnetske indukcije koji struja u elementu 1
→ld stvara na mestu elementa 2
→ld .
Očigledno da magnetsku indukciju na mestu nekog elementa →ld , na koji tražimo silu, može
da stvara više strujnih elementa (a ne samo struja u elementu 1
→ld ), pa i stalni magneti, pa dakle ako
poznajemo vektor magnetske indukcije →B na mestu elementa
→ld sa strujom I (strujni element
→lId ), onda je sila na strujni element u tački gde je magnetska indukcija
→B , data izrazom5
BxlIdFd =
Ukupna sila na provodnik proizvoljnog oblika, sa strujom I, u magnetskom polju magnetske
indukcije →B je data izrazom
∫=provodnika duž.
BxlIdF
Struja I se obično može izvući ispred integrala (ako nema grananja provodnika ili konture), a →B , u opštem slučaju, nemože, ako nije istog pravca i smera duž provodnika (konture).
Primer 1.11. Odrediti rezultantnu silu na konturu sa strujom I, u homogenom magnetskom
polju indukcije →B .
Dakle imamo primer gde je I=const. i nema grananja struje, a polje je homogeno
(→B =const.), pa primenom prethodnog izraza dobijamo
0provodnika duž.
=
=== ∫∫∫ BxldIBxlIdBxlIdF
CC
jer je 0=∫C
ld (suma vektora u zatvorenom poligonu je nula). Kod kružne konture se ovo lako
pokazuje ako se uoče parovi →ld na krajevima bilo kog prečnika. Suma tih parova je nula (dva
vektora istog intenziteta a suprotnih smerova), pa je i suma svih →ld duž kružne konture nula6. Iako
je rezultantna sila nula, rezultanta dejstva sila postoji, a svodi se na spreg sila koje teže da okrenu konturu.
Primer 1.12. Odrediti podužnu silu na dva paralelna tanka prava provodnika sa strujama istog intenziteta a suprotnog smera.
Magnetsku indukciju koju jedan veoma dug provodnik sa strujom stvara u tački na mestu drugog provdnika znamo da odredimo (radili smo dva takva primera, polazeći od Bio-Savarovog
zakona, i od relacije koja važi kada su provodnik i tačka, u kojoj se traži →B , u istoj ravni). Neka
5 Slični izrazi se dobijaju i ako se radi o zapreminski ili površinski raspodeljenim strujama, ako se adekvatno zameni
→lId .
6 Ako je magnetsko polje nehomogeno, onda postoji rezultantna sila na konturu, jer sile na parove strujnih elemenata neće biti iste.
20
provodnik 1 u tački na rastojanju d (tačke provodnika 2) stvara magnetsku indukciju 1
→B intenziteta
d
IB o
πµ21 = .
Sila kojom provodnik 1 deluje na segment A1A2 = a, provodnika 2 (slika 1.16) je
1212
provodnika duž.
2
1
2
1
21 BxldIBxldIBxlIdFA
A
A
A
AA
=== ∫∫∫
odnosno
xAA iIaBF 121 =
gde je xi jedinični vektor x-ose ( 1Bxld daje vektor u pravcu x ose). Posle zamene izraza sa B1, za intenzitet podužne sile (sila po jedinici dužine) dobija se
d
I
ad
IIa
a
FF AA
πµ
πµ
2
1
2
200'
1221 ===
Ako je d=1 m, I=1 A, dobija se
NF 72
7'12 102
12
1104 −− ⋅=
⋅=
ππ
Ovaj rezultat služi za definiciju jedinice za jačinu struje, tj. ampera (A).
Slika 1.16. Određivanje podužne sile na dva paralelna tanka prava provodnika
Posmatrajmo sada proizvoljnu krutu (nedeformabilnu) konturu sa strujom I u magnetskom
polju (koje stvara neka druga strujna kontura ili stalni magnet). Moment elementarne sile →Fd koja
deluje na element →ld u odnosu na osu osu OO’ (slika 1.17, moment sila se definiše u odnosu na
odabranu fiksnu tačku, gde je r poteg napadne tačke sile) je
( ) ( )BxldxrIBxlIdxrFxdrMd ===
Rezultantni momenat na provodnik ili konturu je
( )∫∫ ==provodnika duž.provodnika duž.
BxldxrIMdM
21
Slika 1.17. Uz definiciju momenta na konturu
Samostalno odrediti momenat na kružnu strujnu konturu u homogenom magnetskom polju
indukcije →B .
U primeru 1.5 (slika 1.7), kao rezultat, za intenzitet magnetske indukcije na osi, na rastojanju z od centra konture, dobili smo
( )2
322
20
2 za
aIB
+= µ
Za z>>a (tačke veoma daleko na osi konture), dobija se
3
20
2 z
aIB
µ=
Uvedimo vektor magnetskog momenta kružne konture sa strujom, kao
SInSInIam === π2
gde je Sa =π2 , površina konture, a nSS = , površ konture tretirana kao vektor, gde je n normala na površ konture, a smer te normale se određuje po pravilu desne ruke u odnosu na smer struje kroz konturu. Magnetski moment konture (slika 1.18, na prve dve slike levo prikazana kontura u prostoru, a na slici desno u preseku) ćemo kasnije mnogo koristiti. Sada se prethodni izraz za B može transformisati na sledeći način:
mz
nz
aIB
30
3
20
22 πµ
ππµ ==
Slika 1.18. Vektor magnetskog momenta kružne strujne konture
Može se uočiti da →B zavisi od proizvoda SI (odnosno m ), a ne I i S zasebno, što će
nam kasnije biti važno.
22
Rezultantni momenat magnetskih sila na konturu sa strujom I u magnetskom polju indukcije
B može se napisati u obliku
BxmBxSIM ==
gde je mmagnetski moment strujne konture. Iz poslednje relacije je očigledno da moment magnetskih sila teži da okrene konturu tako da
se vektori m i B poklope, odnosno da se kontura postavi normalno u odnosu na vektor magnetske
indukcije B . Ovaj zaključak će biti veoma značajan kod analize ponašanja materijala u magnetskom polju, jer kretanje elektrona u atomu materijala možemo tretirati kao elemenarnu strujnu konturu, koja ima svoj elementarni magnetski momenat.
1.5. Linije vektora magnetske indukcije
Još smo u elektrostatici videli da linije nekog vektora predstavljaju zamišljene linije takve da je na njih taj vektor tangentan u svakoj tački. Linije vektora B su korisne za predstavljanje magnetskog polja. Iz prethodnog primera smo videli da ravna strujna kontura u magnetskom polju teži da se postavi upravno na linije B (da je normala na ravan konture paralelna sa B ). Isti je slučaj
i sa magnetskom iglom7. To omogućava da se eksperimentalno odrede linije B (slika 1.19).
Slika 1.19. Magnetska igla u magnetskom polju postavlja se u pravcu linija B
Na osnovu Bio-Savarovog zakona 24 r
rxdlIBd oo
πµ= mogu se, u nekim slučajevima, linije
B odrediti računski. Na primer linije B strujnog elementa (slika 1.20).
Kao što nam je poznato, Bd je normalan na ravan koju čine →dl i 0
→r . Kako je magnetsko
polje simetrično oko ose elementa →dl , odatle sledi da su linije B strujnog elementa krugovi sa
centrima na pravcu →dl . Lako je videti da je intenzitet B isti u svim tačkama jednog kruga.
7 Magnetska igla je mali stalni magnet koji se može slobodno kretati u prostoru, a u magnetskom polju se uvek postavlja
paralelno B tako da se smer južni pol – severni pol poklapa sa smerom linija B . Slična je situacija sa metalnim
opiljcima. Možda ste još u osnovnoj školi pravili eksperiment, u kome se opiljci poređaju u skladu sa linijama magnetskog polja.
23
Slika 1.20. Linije B strujnog elementa
Na osnovu prethodnog se zaključuje da su za dugačak tanak provodnik, linije B krugovi sa centrima na osi provodnika (slika 1.21). Polazeći od linija B strujnog elementa, linije B kružnog zavojka sa strujom, su kao na slici 1.22a, a za dva bliska koaksijalna zavojka kao na slici 1.22b. Na istim slikama je prikazana i približna zavisnost intenziteta B od normalnog rastojanja od centra zavojka.
.a) b)
Slika 1.21 a) Linije vektora magnetske indukcije pravog provodnika, b) pogled odozgo na sliku (a)
Slika 1.22. Linije B : a) jednog kružnog zavojka, b) dva bliska koaksijalna kružna zavojka
Ako imamo niz gusto namotanih zavojaka, na primer, na kartonsko telo konačne dužine, što se naziva solenoid, linije B izgledaju kao na slici 1.23.
24
Slika 1.23. Linije vektora magnetske indukcije gusto motanog solenoida
Na kraju možemo zaključiti da linije vektora magnetske indukcije B :
- nemaju ni početka ni kraja (zatvaraju se same u sebe), jer se i linije B strujnog elementa zatvaraju same u sebe, a magnetsko polje bilo kakve raspodele struja se dobija kao zbir polja velikog broja strujnih elemenata,
- to znaći da u prirodi nema “magnetskih opterećenja” analognih električnim, na kojima bi počinjale, odnosno završavale linije B . Kod korišćenja relacije za određivanje intenziteta B pravog provodnika konačne dužine,
važno je pravilno odrediti vrednost i predznak uglova (nekoliko primera je dato na slici 1.24). Napominjemo da su određivanje magnetske indukcije strujnog elementa, provodnika sa strujom (beskonačno dugog i konačne dužine) i kružne strujne konture, veoma značajni, jer se rešavanje velikog broja problema može svesti na njihovo rešavanje (slika 1.25), u što se može uveriti i radeći zadatke na auditornim vežbama. Na primer izlomljeni provodnik se sastoji od dva elementa, kriška se sastoji od polukruga i provodnika konačne dužine, pravougaona kontura se sastoji od četiri provodnika konačne dužine, traka se može izdeliti na provodnike, itd.
Slika 1.24. Primeri određivanja uglova za primenu relacije (3)
Slika 1.25. Primeri određivanja intenziteta B koji se mogu svesti na određivanje magnetske
provodnika sa strujom i kružne strujne konture
25
1.6. Fluks vektora magnetske indukcije. Zakon održanja magnetskog fluksa
Zamislimo neku površ S u magnetskom polju. Po definiciji fluks vektora B kroz tu površ
jednak je zbiru skalarnih proizvoda SB∆ po površi (slika 1.26), gde je S∆ vektorski element
površi S. Kada je vektorski element površi diferencijalno mali, tj. sd , zbir postaje integral, pa je fluks vektora manetske indukcije B kroz površ S, označimo ga sa Φ (grčko slovo “fi”), jednak
∫=ΦS
sdB
Slika 1.26. Uz definiciju fluksa vektora magnetske indukcije
Fluks vektora magnetske indukcije, naziva se kraće magnetski fluks. To je jedna od
najvažnijih veličina u elektrotehnici. Koristi se kod analize i proračuna električnih mašina. Jedinica za magnetski fluks je Tm2. Pre uvođenja jedinice “tesla”, imala je posebno ime
veber (Wb). Za određivanje magnetskog fluksa potrebno je poznavati B , a to smo do sada naučili da
određujemo. Primer 1.13. Odrediti magnetski fluks kroz pravougaonu konturu u magnetskom polju koje
stvara struja kroz veoma dug prav tanak provodnik (slika 1.27a).
Slika 1.27. Određivanje magnetskog fluksa kroz pravougaonu konturu u magnetskom polju veoma
dugog pravog tankog provodnika
26
S obzirom da znamo da odredimo vektor B u tačkama u okolini veoma dugog pravog provodnika, a to znači i u tačkama pravougaone konture, nećemo to ponavljati, već početi od tog
izraza, tj. x
IB o
πµ2
= , gde je x normalno rastojanje tačke od provodnika. Pravac vektora B je
normalan na ravan pravougaone konture (provodnik i kontura leže u istoj ravni), a smer mu je određen po pravilu desne ruke u odnosu na smer struje kroz provodnik (slika 1.27b).
Kod određivanja fluksa je veoma važno pravilno odabrati elementarnu površ za
izračunavanje fluksa sd , kako bi se integral što lakše računao. U našem slučaju, za tu površ, pogodan je mali pravougaonik čija je jedna stranica jednaka stranici b konture, a druga stranica je elementarno mala, tj. dx (slika 1.27), pa je površ tog pravougaonika ds=bdx. Normala na površ pravougaone konture, a to znači i na površ dS određuje se po pravilu desne zavojnice u odnosu na usvojeni smer obilaska konture (slika 1.26b). Imajući u vidu relaciju za B, očigledno je da je u svim tačkama takve površi B istog pravca kao i normala na površ, ali suprotnog smera, ali i istog intenziteta u svim tačkama jedne elementarne površi. Prema tome za magnetski fluks se dobija
∫∫∫ −===ΦSSS
BdsBdssdB πcos
Posle zamene izraza za B, u prethodni izraz, dobijamo
∫∫∫++
−=−=−=Φad
d
ad
dS x
dxIbdx
x
IbBbdx
πµ
πµ
2200
Rešavanjem integrala, dobijamo
d
adIbx
Ib ad
d
+−=−=Φ +ln
2ln
200
πµ
πµ
Da smo usvojili suprotan smer obilaska konture, u rezultatu ne bi bilo predznaka “-“. S obzirom da smo smer obilaska konture proizvoljno usvojili, a od toga zavisi predznak ispred rezultata, to taj predznak nema fizički smisao.
Magnetski fluks ima jednostavnu ali važnu osobinu (koju ćemo kasnije koristiti): jednak je nuli kroz zatvorenu površ bilo kog oblika. To se obično naziva zakon održanja (konzervacije) magnetskog fluksa. Matematički se piše u obliku
0=∫S
sdB
Uočite sličnost sa I Kirhofovim zakonom za vremenski konstantne struje ( 0=∫S
sdJ ), samo
što umesto J stoji B . Dokaz: Zasniva se na sledećem: - poznato nam je da je B u nekoj tački polja od bilo kakvog sistema struja jednak
zbiru (vektorskom) Bd koje stvaraju pojedini strujni elementi ld sistema, - fluks kroz bilo koju površ jednak je zbiru flukseva koje kroz tu površ stvaraju
pojedini strujni elementi sistema, - ako se dokaže da je fluks koji jedan strujni element stvara kroz zatvorenu površ bilo
kakvog oblika jednak nuli, odatle sledi da i ukupan fluks kroz zatvorenu površ mora biti jednak nuli.
27
Pokazali smo da su linije B strujnog elementa krugovi sa centrima na osi elementa, a B je isti u svim tačkama jednog takvog kruga. Zamislimo jednu tanku kružnu tubu, zatvorenu samu u sebe, poprečnog preseka dS (ne mora biti kružni). Neka ta tuba prolazi kroz neku zamišljenu zatvorenu površ (slika 1.28). Tuba je zatvorena sama u sebe, pa mora da prolazi kroz zatvorenu površ dva puta (ili paran broj puta).
Slika 1.28. Fluks B jednog strujnog elementa kroz zatvorenu površ je jednak nuli
Pozitivnu normalu na zatvorenu površ uvek usmeravamo od površi upolje. Fluks Φd je istog intenziteta (isti) kroz bilo koji presek tube (radi se o jednom strujnom
elementu). Tamo gde tuba ulazi u zatvorenu površ, fluks je negativnog predznaka, a gde izlazi
pozitivnog, a kako je fluks isti odatle sledi da je 0=Φ∑ za taj jedan strujni element, odnosno tubu. Kako celo magnetsko polje (polje više strujnih elemenata) može da se podeli na ovakve
tube, sledi da je fluks ukupnog polja jednak nuli kroz bilo koju zatvorenu površ. Na osnovu zakona o održanju magnetskog fluksa može se, takođe, dokazati da je fluks kroz
sve površi koje su oslonjene na istu konturu isti. Pri tome pozitivan smer duž zatvorene konture i smer normale na površ koja se na tu konturu oslanja moraju za sve površi biti vezani istim pravilom. Usvaja se da je to bude pravilo desne zavojnice (slika 1.29).
Slika 1.29. Fluks kroz sve površi koje su oslonjene na istu konturu je isti
Neka je kontura C u magnetskom polju (slika 1.29). S1 + S2 čine zatvorenu površ. Na osnovu zakona o održanju magnetskog fluksa, ukupan fluks kroz ovu zatvorenu površ jedak je nuli. Ako su obe normale upolje (ili unutra), onda primenom zakona o održanju magnetskog fluksa dobijamo
021
2121
=Φ−Φ=+= ∫∫∫+ SSSS
sdBsdBsdB
odakle sledi
21 Φ=Φ
Ovaj zaključak je koristan, jer se fluks može računati kroz onu površ za koju je izračunavanje fluksa najjednostavnije, što ćete uočiti rešavajući zadatke.
28
Kako fluks ne zavisi od oblika površi, već samo od oblika konture, govori se o fluksu kroz konturu, iako to nije u skladu sa definicijom. Međutim, pogodno je kod određivanja indukovane elektromotorne sile, kao što ćemo kasnije videti.
1.7. Kretanje naelektrisane ćestice u magnetskom i električnom polju
Jednačinom BxlIdFd = za silu na strujni element dužine ld i strujom jačine I, je, u suštini, dat vektorski zbir magnetskih sila koje deluju na sva električna opterećenja koja se kreću u
elementu ld . Kolika je magnetska sila na jedno električno opterećenje? Posmatrajmo provodnik površine poprečnog preseka S, sa koncentracijom (zapreminskom gustinom) slobodnih nosilaca opterećenja (naelektrisanja) N, i neka je naelektrisanje svakog nosioca
Q (neka postoji samo jedna vrsta nosilaca), i neka je njihova srednja usmerena brzina v . Tada, za element provodnika dužine dl, za Q>0, je
vQNSdllNQvSdlJSdS
SlIdlId ====
Napomena: S
IJ = , NQvJ = . Isti rezultat dobio bi se i za Q<0.
Kako Sdl predstavlja zapreminu elementa provodnika dužine dl i poprećnog preseka S, to NSdl predstavlja ukupan broj slobodnih nosilaca naelektrisanja u elementu dl. Ako bi u elementu dl postojao samo jedan slobodan nosilac naelektrisanja Q, onda je
vQlId =
Odatle sledi, u poređenju sa relacijom BxlIdFd = , da je magnetska sila na jednu
naelektrisanu česticu, koja se kreće brzinom v
BxvQF m =
Iz ove relacije se vidi da je sila F uvek upravna na trenutni pravac kretanja naelektrisane
ćestice (vektor Bxv je upravan na vektor v ), slika 1.30. To znači da se pomoću magnetskog polja može samo promeniti pravac i smer kretanja naelektrisane ćestice, ali ne i intenzitet brzine ćestice. Dakle, magnetsko polje može samo da skreće naelektrisanu ćesticu, ali nemože da joj promeni kinetičku energiju.
Slika 1.30. Vektor magnetske sile je uvek upravan na trenutni pravac kretanja naelektrisane čestice
u magnetskom polju
29
Ovo ima primenu kod skretanja elektronskog mlaza u katodnim cevima, koje su mnogo korišćene kod televizijskih prijemnika i monitora računara. Elektronski mlaz se ubrzava elektrostatičkim poljem, a skreće magnetskim poljem (otklonske zavojnice). Ako se naelektrisana ćestica kreće istovremeno u električnom i magnetskom polju, na nju deluje ukupna sila (tzv. Lorencova sila, ili totalna sila)
BxvQEQF +=
Primer 1.14. Neka ćestica naelektrisanja Q ulazi brzinom v u magnetsko polje upravno na
vektor magnetske indukcije B (homogeno polje). Odrediti karakteristike putanje kretanja ćestice. Na osnovu zakona mehanike možemo zaključiti da će se čestica kretati po krugu. Iz uslova
jednakosti intenziteta magnetske (centripetalne) i centrifugalne sile, tj. R
mvQvB
2
= , dobija se:
za poluprečnik kruga QB
mvR = i period jednog obrta QB
m
m
QBRR
v
RT
πππ 222 ===.
Imajući u vidu relaciju vQlId = i Bio-Savarov zakon za strujni element
24 r
rxdlIBd oo
πµ= , posle zamene lId sa vQ dobija se izraz za magnetsku indukciju tačkastog
naelektrisanja Q koje se kreće, u vakumu, konstantnom brzinom v u odnosu na posmatrača na rastojanju r od naelektrisanja, tj.
24 r
rxvQB oo
πµ=
Uočimo da ako nema kretanja ( 0=v ) magnetska indukcija je jednaka nuli. Ako se dve naelektrisane ćestice (tačkasta naelektrisanja) kreću u odnosu na posmatrača, Q1
sa 1v i Q2 sa 2v , onda se može izvesti sledeći izraz za silu na naelekrisanje Q2:
( )2
121122122
21
0
1244
1
r
rxvQxvQr
r
QQF oo
o πµ
πε+=
u kome se kao prvi član prepoznaje komponenta sile po Kulonovom zakonu. Drugi član je
magnetska sila između dva naelektrisanja Q1 i Q2, koja se kreću brzinama 1v i 2v respektivno. Očigledno ako se ćestice ne kreću nema magnetske sile, dok električna sila postoji.
1.8. Holov efekat
Hol je još 1879. godine zamislio eksperiment kojim se može odrediti znak slobodnih nosilaca naelektrisanja u provodnicima. Posmatrajmo tanku provodnu traku širine d, koja se nalazi u homogenom magnetskom polju
indukcije B , upravno na ravan trake. Neka kroz traku postoji struja gustine J . Naelektrisane ćestice koje obrazuju struju mogu, u principu, da budu pozitivne ili negativne (slika 1.31).
Pod dejstvom magnetske sile BxvQF m = na jednoj ivici trake će se nagomilavati
pozitivna a na drugoj negativna opterećenja. Ona stvaraju svoje električno polje HE . To polje
30
deluje na slobodne nosioce silom suprotnog smera, a istog pravca kao magnetska sila. Proces nagomilavanja na ivicama trake prestaje (pod dejstvom magnetskih sila) kada se izjednače električna i magnetska sila, tj u ustaljenom stanju je
HEQBxvQ = , odnosno8 HQEQvB= , odakle je vBEH =
Slika 1.31. Holovi elementi
HE je isto u svim tačkama provodne trake jer je v isto u celoj traci, a B je homogeno. Zbog nagomilanog naelektrisanja, postoji razlika potencijala između leve i desne ivice trake,
čija je apsolutna vrednost
vBddEVV H ==− 21 (1)
Ova razlika potencijala se može meriti preciznim voltmetrom. Na osnovu znaka razlike potencijala može se zaključiti kog znaka su slobodni nosioci naelektrisanja u provodniku. U slučaju
na slici 1.31a, je 021 <−VV (Q>0), a u slučaju na slici 1.31b, je 021 >−VV (Q<0). Ovo može poslužiti i za merenje intenziteta vektora magnetske indukcije B. Kako je
NQvJ = , odakle je )/(NQJv = , posle zamene u relaciju (1), dobija se
BNQ
JdVV =− 21
gde je N koncentracija slobodnih nosilaca. Ako se razlika potencijala i intenzitet gustine struje izmere, B može da se izračuna. To su tzv. Holovi elementi za merenje intenziteta vektora magnetske indukcije B.
8 Uočimo da Bxv možemo takođe tretirati kao neko polje. U podpoglavlju 5.1 ćemo videti da je to indukovano
električno polje, kao posledica kretanja naelektrisane ćestice.
31
2. AMPEROV ZAKON
Vektor magnetske indukcije B proizvoljne raspodele vremenski konstantnih struja u vakumu ima sledeću jednostavnu ali važnu osobinu. Ako zamislimo bilo kakvu zatvorenu konturu C u
magnetskom polju, linijski integral vektora B duž te konture (tj. zbir proizvoda ldB duž konture C) jednak je ukupnoj struji kroz bilo koju površ koja se oslanja na tu konturu, pomnoženoj sa µ0. Ovo osobina se naziva Amperov zakon, i u matematičkom obliku glasi:
∑∫ =C kroz
0 IldBC
µ
Vremenski konstantna električna struja u provodnicima bilo kog oblika uvek može da se
zamisli kao snop tankih strujnih kontura (fluks vektora J kroz površ koja se oslanja na konturu), tj.
∫=CS
SdJI C kroz
Dokaz ove tvrdnje je isti kao dokaz da je fluks isti kroz bilo koju površ koja se oslanja na
konturu C, jer je 0=∫
S
SdJ(tzv. I Kirhofov zakon), istog oblika kao relacija
0=∫S
SdB (zakon
održanja magnetskog fluksa), odakle je to izvedeno. Prema tome, Amperov zakon se može napisati u opštem obliku
∫∫ =CSC
SdJldB 0µ
i važi za vremenski konstantne struje u vakumu.
Leva strana izraza se čita “cirkulacija vektora B duž konture C”. C je zamišljena (ili stvarna) proizvoljna zatvorena kontura. SC je površ proizvoljnog oblika koja se oslanja na konturu C.
Orijentacija konture i smer normale na površ SC vezani su po pravilu desne zavojnice. Predznak struje, pri sumiranju, određuje se u odnosu na normalu na površ. Znak I se određuje u odnosu na smer normale na SC.
Amperov zakon je moguće dokazati polazeći od Bio-Savarovog zakona. Za dokaz je
potrebno znati pojam mešovitog proizvoda tri vektora ( )CxBA ⋅ i pojam prostornog ugla. Kako je dokaz Amperovog zakona složen, a ne doprinosi mnogo razumevanju njegovog smisla, nećemo ga dokazivati.
Važna je primena Amperovog zakona.
Pomoću Amperovog zakona može se lako odrediti vektor magnetske indukcije B u više jednostavnih, ali praktično važnih slučajeva.
2.1. Primeri primene Amperovog zakona
Ilustrujmo primenu Amperovog zakona na nekoliko primera.
Prvo ilustrujmo proračun desne strane jednačine Amperovog zakona, tj. ∑C kroz
I (slika 2.1).
32
Neka su C1, C2 i C3 zamišljene konture kroz koje treba izračunati sumu struja. Sa slike 2.1 je očigledno da je:
01C kroz
=∑ I, pa je
0=∫C
ldB
II =∑2C kroz
, pa je IldB
C
0µ=∫
II −=∑3C kroz
, pa je IldB
C
0µ−=∫
Slika 2.1. Primeri za proračun desne strane jednačine Amperovog zakona
Primene Amperovog zakona se mogu podeliti u dve grupe:
- dokazi nekih opštih osobina vremenski konstantnih magnetskih polja, i
- izračunavanje vektora magnetske indukcije B .
Primer 2.1. Odrediti B izvan i unutar (u svim tačkama prostora) pravog provodnika kružnog poprečnog preseka poluprečnika a. Ranije smo takav slučaj rešavali primenom Bio-Savarovog zakona, ali samo ako je
provodnik tanak, tj. kada je odstojanje tačke u kojoj se traži B mnogo veće od debljine provodnika. Videćemo da sada mnogo brže možemo doći do rezultata, ali je neophodno da nešto znamo, odnosno sami zaključimo, o obliku magnetskog polja. Na osnovu dosadašnjih znanja o vektoru magnetske indukcije, u ovom slučaju zaključujemo:
- u svim tačkama na istom odstojanju r od centra provodnika intenzitet B je isti, ali se menja sa promenom rastojanja od centra provodnika r,
- smer B se određuje po pravilu desne zavojnice u odnosu na smer struje kroz provodnik (pravilo desne ruke). Dakle zaključili smo da B zavisi od r, ali treba da odredimo i kako zavisi. Videćemo da primenom Amperovog zakona možemo da odredimo i magnetsku indukciju
unutar provodnika. Zbog toga posmatrajmo dva slučaja: tačke unutar provodnika (r < a) i tačke izvan provodnika (r’ > a).
1) r > a Primenimo Amperov zakon na zamišljenu konturu C poluprečnika r > a (slika 2.2a).
33
Pošto kontura obuhvata ceo provodnik, ukupna jačina struje kroz konturu (u odnosu na izabrani smer duž konture, i dogovor o određivanju orijentacije normale na neku površ koja se oslanja na konturu, sa orijentacijom konture) jednaka je +I, prema tome desna strana Amperovog zakona je µ0I. Treba još rešiti levu stranu Amperovog zakona (slika 2.2a). Ako uočimo da je B istog intenziteta u svim tačkama jedne konture, dobijamo
( ) πrBdlBBdlldBBdlldBC CCC
2,cos ∫ ∫∫∫ ====
Sada, nakon zamene dobijenih izraza za levu i desnu stranu Amperovog zakona, imamo
IrB 02 µπ = , odakle je r
IB
πµ2
0= , za r>a.
Očigledno, dobili smo isti rezultat, kao ranije (primeri 1.6 i 1.9 u odeljku 1.3), ali je onaj rezultat bio izveden za tanak provodnik (nit), a ovaj rezultat važi za sve tačke van pravog provodnika, teorijski beskonačno dugog.
2) r’ < a Primenimo sada Amperov zakon na zamišljenu konturu unutar provodnika (r’ < a), slika
2.2b.
a) b)
Slika 2.2. Uz određivanje B pravog provodnika kružnog poprečnog preseka: a) izvan provodnika, b) unutar provodnika
Očigledno da ovom konturom nije obuhvaćena sva struja I kroz presek provodnika, nego samo njen deo. Kako se radi o vremenski konstantnoj struji, ona je ravnomerno9 raspodeljena po poprečnom preseku provodnika, tj. gustina struje je J=I/S, gde je S površina poprečnog preseka provodnika poluprečnika a, tj. S = a2
π. Sada je struja kroz konturu poluprečnika r’ < a (to je deo struje I),
2'2
2'2
C kroz
''
'
ra
Ir
a
IS
S
IJSI
CC====∑ π
π
Leva strana Amperovog zakona, očigledno ima rešenje istog oblika kao pod 1), samo je r’ < a, pa prema Amperovom zakonu imamo
2'20
2,0
C kroz0
'
''
2 ra
IrJIrBldB
C
µπµµπ ==== ∑∫
odakle je
9 Struja bi bila neravnomerno raspodeljena ako je materijal provodnika nehomogen, ili ako je struja promenjiva u vremenu (kada se javlja skin efekat, o čemu ćemo govoriti kod vremenski promenjivih struja, u podpoglavlju 5.4).
34
2
,0Jr
Bµ= odnosno10
'20 2
ra
IB
πµ= , za r’ < a.
Zavisnost B od rastojanja r od ose provodnika, prikazana je na slici 2.3.
Slika 2.3. Zavisnost intenziteta vektora magnetske indukcije od rastojanja od centra pravog
provodnika kružnog poprečnog preseka sa strujom
Samostalno rešiti sledeće zadatke.
1) Odrediti B u svim tačkama prostora šupljeg provodnika kružnog poprečnog preseka, čiji je unutrašnji poluprečnik a (slika 2.4a), a spoljašnji b, i nactrtati zavisnost B od rastojanja od ose provodnika.
2) Odrediti B u svim tačkama prostora koaksijalnog voda (kabla), čiji su poluprečnici a, b i c (slika 2.4b), i nactrtati zavisnost B od rastojanja od ose voda.
Slika 2.4. Uz određivanje magnetske indukcije: a) šupljeg provodnika, b) koaksijalnog voda
Rezultat za zadatak sa slike 2.4a:
0=B , za r ≤ a, ( )( )22
22
0 2 abr
arIB
−−=
πµ , za a ≤ r ≤ b,
r
IB
πµ
20= , za r ≥ b
10 Izraz 2
,0Jr
Bµ= se može napisati u vektorskom obliku
20 rxJ
Bµ= , gde je r vector položaja tačke gde
određujemo B u odnosu na osu provodnika.
35
Rezultat za zadatak sa slike 2.4b:
ra
IB
20 2πµ= , za r ≤ a,
r
IB
πµ
20= , za a ≤ r ≤ b, ( )( )22
22
0 2 bcr
rcIB
−−=
πµ , za b ≤ r ≤ c,
0=B za r ≥ c Sami rešite ove zadatke u potpunosti i nacrtajte zavisnost B od rastojanja od centra provodnika odnosno kabla. Da li na osnovu Amperovog zakona možete doći do izraza za B pravolinijskog provodnika konačne dužine?
2.2. Osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u vakumu
Sada možemo konstatovati da su osnovne integralne jednačine stalnog magnetskog polja u
vakumu:
∑∫ =C kroz
0 IldBC
µ
i
0=∫S
SdB
Podsetimo se da su osnovne integralne jednačine elektrostatičkog polja u vakumu:
0=∫C
ldE
i
0εuS
S
QSdE =∫
Odavde sledi da ako je cirkulacija nekog vektora po zatvorenoj konturi različita od nule, to ukazuje da u blizini konture postoje izvori posmatranog vektora koji daju vrtložno polje. Prema
tome električno polje je bezvrtložno polje ( 0=∫C
ldE ).
Ako je fluks vektora kroz zatvorenu površ različit od nule, to ukazuje da u površi postoje izvori koji daju radijalno polje, što je slučaj kod električnog polja.
U elektrostatici elementarni izvor polja je (tačkasto) naelektrisanje. Njegovo električno polje je radijalno u odnosu na naelektrisanje. U magnetizmu elementarni izvor polja je naelektrisanje u pokretu. Njegovo magnetsko polje je vrtložno.
36
3. MATERIJALI U MAGNETSKOM POLJU
3.1. Uticaj magnetskog polja na materijale. Dijamagnetski, paramagnetski i feromagnetski materijali
Do sada smo izučavali magnetsko polje vremenski konstantnih struja u provodnicima u vakumu. Sada ćemo analizirati magnetsko polje u prisustvu materije (supstance). Postoje materijali koji svojim prisustvom jako utiču na magnetsko polje. Uticaj magnetskog polja na materijale je u suštini različit od uticaja električnog polja, mada postoji formalna sličnost. Uticaj magnetskog polja na materijal je rezultat delovanja magnetskog polja na naelektrisane elementarne ćestice koje se kreću unutar atoma materijala11, dok delovanje električnog polja nije vezano za kretanje ćestice. Poznato nam je da se atomi materijala sastoje od teškog, pozitivno naelektrisanog, jezgra i manjeg ili većeg broja elektrona koji kruže oko jezgra po složenim putanjama. Broj obilazaka elektrona oko jezgra u sekundi je izvanredno veliki, reda veličine 1015 obrta/s, pa se svaki takav elektron može posmatrati kao mala „elementarna“ strujna kontura, koja se naziva Amperova struja . Za atom vodonika, jačina ekvivalentne Amperove struje12 IA ≈1 mA. Prema tome, svakom elektronu koji se okreće oko jezgra možemo pridružiti neki magnetski momenat13, koji se, pošto karakteriše obrtanje elektrona oko jezgra, naziva orbitalni magnetski momenat elektrona. Prema tome svaki atom se, sa makroskopske tačke gledišta, može posmatrati kao komplikovan sistem elementarnih strujnih kontura, tj. Amperovih struja, a one, kao i svaka struja, su izvor magnetskog polja. Dakle atom ili molekul ćemo predstaviti strujnom konturom sa Amperovom strujom IA i
magnetskim momentom m (slika 3.1, uporedite ovu sliku i sa slikom 1.18 i podsetite zaključaka
koje smo tamo izveli). Magnetski momenat atoma m je suma magnetskih momenata elementarnih strujnih kontura koje su posledica kretanja elektrona.
Slika 3.1. Magnetski momenat Amperove struje
11 Sada je jasno, zašto se sečenjem magneta nemogu dobiti odvojeni magnetski polovi, što smo konstatovali u prvom poglavlju. 12 IA = ne, gde je n broj obrta elektrona oko jezgra u sekundi, a e je naelektrisanje elektrona e = - 1,6021 10-19 C. Odatle se dobija IA = 0,16 mA. Imati u vidu da se jedinica za naelektrisanje, kulon, može predstaviti kao proizvod ampera i sekunde, tj. [C] = [As]. 13 Pošto karakteriše obrtanje elektrona oko jezgra, naziva se orbitalni magnetski momenat elektrona. Elektroni imaju i sopstveni magnetski momenat kao posledicu okretanja elektrona oko svoje ose, koji se zove magnetski momenat spina.
37
Prema karakteru ukupnog magnetskog momenta elementarnih ćestica koje sadrže, molekuli odnosno atomi materijala se mogu podeliti u dve grupe:
1- molekuli (atomi) čiji je ukupni magnetski momenat jednak nuli ( 0=∑m ), tj. m pojedinih ćestica (elektrona) se poništavaju, pa u odsustvu stranog magnetskog polja ne stvaraju magnetsko polje niti ispoljavaju magnetska svojstva. Nazivaju se dijamagnetski materijali. Kada se unesu u strano (spoljnje) magnetsko polje, smanjuju to polje, ali je taj efekat vrlo mali. Tu spadaju bakar, srebro, cink, bizmut, grafit, voda. Dijamagnetski efekat postoji kod
svih materijala, a ne samo kod kojih je 0=∑m ;
2- materijali kod čijih molekula (atoma) je 0≠∑m , tj. postoji rezultantni magnetski moment.
U okolini ovih molekula (atoma) postoji lokalno magnetsko polje ( 0≠B ). Prema jačini i vrsti međusobnog delovanja molekula ovi materijali se dele u četiri podgrupe (slika 3.2):
- paramagnetski materijali, gde je uzajamno dejstvo m susednih atoma (molekula)
zanemarljivo malo (slaba interakcija između atoma (molekula). Zbog termičkih kretanja, m
su haotično orijentisani, pa je u maloj zapremini 0≈∑m . Kada se unesu u strano magnetsko polje, rezultantno polje se povećava zbog dopunskog polja usled delimično orijentisanih Amperovih struja. Takvi su većina materijala. Primeri su aluminijum, kiseonik, natrijum.
Ostale tri podgrupe karakteriše jaka interakcija (sprega) susednih atoma, a to su:
- antiferomagnetski materijali, kod kojih su m susednih atoma antiparalelni, praktično se poništavaju, nisu od značaja za praksu;
- feromagnetski materijali kod kojih su m susednih atoma paralelni (unutar relativno velikih domena, nazivaju se Vajsovi domeni14) i u istom smeru. Ta orijentacija se menja od domena do domena, pa u normalnim uslovima materijal ne stvara makroskopsko magnetsko
polje. Ako se unesu u strano magnetsko polje dolazi do povećanja domena čiji su m u
pravcu i smeru B stranog polja, na račun ostalih domena, kao i zakretanja celih domena, te se javljaju sekundarna magnetska polja velikog intenziteta B. Primeri su gvožđe (ferum, po čemu su i dobili naziv feromagnetski), kobalt, nikl. Usmeravajuće delovanje umanjuju termičke vibracije kristalne rešetke (svi feromagnetski materijali imaju kristalnu strukturu). Iznad izvesne temperature, različite za različite feromagnetske materijale, termičke vibracije
potpuno onemogućavaju paralelnu orijentaciju m elektrona – jona kristalne rešetke i materijal postaje običan paramagnetski materijal. Ta kritična temperatura se naziva Kirijeva feromagnetska temperatura. Na primer, za gvožđe je 770 0C, za nikl 358 0C. Zbog toga je moguće razmagnetisanje zagrevanjem ili udaranjem;
- ferimagnetski materijali (nazivaju se i feriti), kod kojih su m susednih atoma (različiti su atomi) antiparalelni, ali različitog intenziteta, pa stvaraju tako jako polje kao feromagnetski materijali. Feromagnetski i ferimagnetski materijali, se obično zajedno nazivaju feromagnetski i
značajni su za praksu, pri čemu su feriti važni za primenu kod viših učestanosti (imaju veliku
14 Vajsovi domeni su, u stvari, mali stalni magneti namagnetisani do zasićenja. Do toga dolazi zbog jake sprege susednih molekula, pa unutar feromagnetskog materijala postoje velike grupe molekula (1012 – 1015 molekula) u kojima su magnetski momenti susednih molekula orijentisani u istom pravcu i smeru. Veličina domena je reda 10-3 cm do nekoliko mm pa i cm.
38
specifičnu otpornost). Primena feromagnetskih materijala je raznovrsna: jezgra električnih mašina (obrtni generatori, motori, transformatori), stalni magneti, jezgra elektromagneta, itd.
Paramagnetski, dijamagnetski i antiferomagnetski materijali se nazivaju nemagnetski (neferomagnetski) materijali, jer praktično ne utiču na magnetsko polje. Magnetski momenti atoma (molekula) paramagnetskih, antiferomagnetskih, feromagnetskih i ferimagnetskih materijala su ilustrovani na slici 3.2, a na slici 3.3 je prikazan Vajsov domen koji je na slici 3.2 predstavljen strelicom koja simbolično predstavlja magnetski momenat atoma.
Slika 3.2. Magnetski momenti u fizički maloj zapremini materijala
Slika 3.3. Vajsovi domeni
Prema tome, svi materijali u magnetskom polju mogu da se zamisle kao ogroman broj sićušnih strujnih kontura koje se nalaze u vakumu. Njihova veličina, gustina i smer zavise od vrste materijala.
3.2. Vektor magnetizacije
Pošto znamo da odredimo B sistema struja u vakumu, onda možemo da to primenimo na materijale. Međutim, postupak nalaženja ukupnog magnetskog polja namagnetisanog materijala sabiranjem polja elementarnih (Amperovih) struja je praktično nemoguć (ogroman broj elementarnih struja). Zbog toga se posmatra velika grupa atoma unutar fizički male zapremine i magnetsko polje koje potiče od te cele grupe. Za izračunavanje magnetskog polja koje potiče od elementarnih strujnih kontura unutar male zapremine uvodi se (zapreminska) gustina magnetskih momenata ili vektor magnetizacije
( )dv
dvu ∑=m
M
Jedinica za intenzitet M15 je A/m.
Ako su svi m , u zapremini dv, isti, i ako je koncentracija elementarnih kontura N’ (N’ je broj kontura u dv, podeljen sa dv), tada je
mNM '=
15 Imati u vidu da je SIm = te je jedinica za m [Am2], a za zapreminu je jedinica [m3], pa se dobija [Am2/[m3] = [A/m].
39
Ako je M istog intenziteta, pravca i smera u svim tačkama nekog namagnetisanog tela, kaže
se da je telo homogeno namagnetisano (M =const.). Za sve dijamagnetske i paramagnetske materijale je
BkM =
gde je k – konstanta, pa se nazivaju linearni magnetski materijali. Feromagnetski materijali su nelinearni i za njih prethodna relacija ne važi. Za opisivanje namagnetisanosti materijala (orijentisanosti Amperovih struja) u nekoj tački, koristi se vektor magnetske polarizacije, koji je dat relacijom
MJ 0µ=
Napomena: oznaka je ista kao za gustinu struje, pa ih ne treba mešati.
3.3. Uopšteni oblik Amperovog zakona. Vektor jačine magnetskog polja i permeabilnost
Pokazali smo da Amperov zakon ∑∫ =C kroz
0 IldBC
µ važi za svaku zatvorenu konturu C, pod
uslovom da magnetsko polje postoji u vakumu. Takođe smo pokazali da namagnetisani materijal možemo da zamislimo u vidu ogromnog broja elementarnih kružnih struja, koje se nalaze u vakumu. Prema tome relacija za Amperov zakon može da se primeni i u slučaju kada u polju postoji bilo kakav materijal, pod uslovom da se uzmu u obzir sve struje kroz konturu C, kako one kroz provodnike (nazivaju se i kondukcione struje, struje provodnosti, makroskopske struje), tako i elementarne struje. Elementarne (Amperove) struje se mogu uzeti u obzir dosta jednostavnom relacijom, kada
se zna vektor magnetizacije M . Pokazaćemo na koji način. Posmatrajmo neko telo koje se nalazi u magnetskom polju. Elementarne struje u telu su pod dejstvom stranog magnetskog polja delimićno orijentisane. Prikažimo ih kao male kružiće, slika 3.4.
Slika 3.4. Sistem strujnih kontura koji zamenjuju namagnetisani materijal Zamislimo zatvorenu konturu C koja prolazi kroz namagnetisani materijal (slika 3.4). Očigledno da će neke elementarne struje kroz površ, koja se oslanja na tu konturu, proći dva puta, jednom u pozitivnom, a jednom u negativnom smeru (u odnosu na normalu na površ konture). Njihova suma kroz konturu je, očigledno, nula, kao i suma onih struja koje kroz tu konturu, odnosno površ, uopšte ne prolaze.
40
Za desnu stranu jednačine Amperovog zakona treba, dakle, uzeti u obzir samo one struje koje kroz površ oslonjenu na konturu C prolaze samo jednom, tj. koje su nanizane na zamišljenu konturu C kao perle. Odredimo koliko je takvih struja na delu konture C dužine dl. Neka je a poluprečnik, a S površina svake elementane konture, a I jačina struje kroz nju.
Neka je magnetski momenat SIm = isti za sve konture u okolini elementa dl konture C (važi ako je dl malo, a materijal homogen).
Pretpostavimo prvo da su m paralelni ld konture. Tada su na konturu “nanizane” sve one elementarne struje čiji su centri u kružnom cilindru (označenom isprekidanim linijama na slici 3.5a)
čija je osa element ld , a poluprečnik mu je jednak poluprečniku a elementarne struje.
Slika 3.5. Uz izvođenje izraza za Amperovu struju kroz konturu C
Na osnovu toga se može zaključiti, da će i u opštem slučaju na konturu C biti nanizane sve
elementarne struje čiji su centri unutar kosog cilindra, kao na slici 3.5b. Njegova osnovica je krug poluprečnika a, a visina αcosdl , pa mu je zapremina
ldSSdldv == αcos
gde je α ugao između vektora S i ld
Prema tome na element ld konture C nanizano je ukupno
ldSNdvN '' = elementarnih kružnih struja, gde je 'N broj elementarnih struja u jedinici zapremine.
Prema tome zbir Amperovih (elementarnih) struja namagnetisanog materijala na dužini ld kroz površ koja se oslanja na konturu C iznosi
( ) ldmNldSINI A''
dl dužini na==∑
odnosno
( ) ldMI A =∑ dl dužini na
jer je SIm = i mNM '= , a M je vektor magnetizacije.
Setite se da smo u odeljku 1.4 zaključili da polje zavisi od proizvoda SI (odnosno m ), a
ne I i S zasebno, prema tome oblik Amperove struje i njen intenzitet nisu bitni. To opravdava
uvođenje pojma m i M . Jačina ukupne Amperove struje kroz konturu C sada je
41
∫∑ =C
A ldMIC kroz
Neka kontura C prolazi kroz namagnetisani materijal, ali takođe obuhvata i makroskopske struje I (struje kroz provodnike, tj. kondukcione struje), tada Amperov zakon glasi
+=
+= ∫∑∑∑∫C
A
C
ldMIIIldBC kroz
0C krozC kroz
0 µµ
odnosno
∑∫ =
−
C kroz0
IldMB
C µ
što predstavlja uopšteni Amperov zakon, koji važi i kada u polju ima namagnetisanih tela. Veličina
MB
H −=0µ
naziva se vektor jačine magnetskog polja. Relacija je opšta i važi uvek. Sada se može pisati
∑∫ =C kroz
IldHC
što je kompaktniji oblik uopštenog Amperovog zakona. Važi za bilo kakvu zamišljenu konturu u vremenski konstantnom magnetskom polju. Važi za sve materijale. Sa desne strane jednačine sada figurišu samo kondukcione struje (struje kroz provodnike)16. Dakle
- ∫C
ldH zavisi samo od makroskopskih struja (kondukcionih struja), a
- ∫C
ldB zavisi i od makroskopskih struja i od Amperovih struja.
Ako se koristi veza MJ 0µ= , odnosno 0/ µJM = , posle zamene u izraz za H , dobija se
( )JBH −=0
1
µ
Jedinica za intenzitet magnetskog polja H je u SI sistemu (kao i za M), [A/m], a za J je [T].
Za linearne magnetske materijale je BkM = , kako je H proporcionalno B , to je i M
proporcionalno H , što se piše u obliku
HM mχ=
gde je χm magnetska susceptibilnost, koja je bezdimenziona veličina (χm vakuma je nula).
16 Ako sa desne strane stoji ∫S
SdJ onda se takva relacija naziva druga Maksvelova jednačina.
42
Ako se izraz MB
H −=0µ reši po B , tj. ( )MHB += 0µ i kada se u taj izraz zameni
prethodni izraz za HM mχ= , dobija se
( ) ( )HHHB mm χµχµ +=+= 100
gde je
- rm µχ =+1 relativna permeabilnost (čist broj, bezdimenziona veličina, kao i mχ ),
- µµµ =r0 apsolutna permeabilnost, ili permeabilnost. Jedinica za µ je [A/m] kao i za
0µ . Sada se može pisati
HB µ=
što važi samo za linearne magnetske materijale.
Odnosi mχ i rµ se mogu sagledati iz tabele 3.1.
Tabela 3.1. Magnetska susceptibilnost i relativna permeabilnost
mχ rµ
Dijamagnetski materijali <0 <1 Paramagnetski materijali >0 >1
3.4. Makroskopske struje ekvivalentne Amperovim elementarnim strujama
Posmatrajmo jednu malu konturu C∆ unutar namagnetisanog linearnog i homogenog materijala u kome nema makroskopskih struja (slika 3.6). Neka je magnetska susceptibilnost
materijala mχ . Tada u svakoj tački materijala važi veza HM mχ= .
Ukupna jačina Amperovih struja kroz konturu C∆ je
∫∫∑∆∆∆
==C
m
C
A ldHldMI χC kroz
Slika 3.6. Mala kontura unutar namagnetisanog materijala
Kako u materijalu nema makroskopksih struja, tj. 0C kroz
=∑∆
I , to je prema uopštenom
Amperovom zakonu 0=∫
∆C
ldH, pa je
43
0C kroz
=∑∆
AI
Do istog rezultata, za homogeno namagnetisan17 materijal ( .constM = ), dolazi se i polazeći od relacije
00C kroz
=⋅=== ∫∫∑∆∆∆
MldMldMICC
A
Prema tome, jačina rezultantnih Amperovih struja kroz bilo koju malu površ (obuhvaćenom
konturom C∆ ) u homogeno namagnetisanom telu (materijalu) u kome nema makroskopskih električnih struja, jednaka je nuli. Odatle sledi da je vektor gustine makroskopske rezultantne
Amperove struje u svim tačkama homogeno namagnetisanog tela18, jednak nuli ( 0=∑ AJ ). To znači da makroskopsko magnetsko polje takvog namagnetisanog tela potiče samo od
rezultante Amperovih struja po površima19 namagnetisanog tela. Debljina tog sloja nekompenziranih Amperovih struja uz površ materijala je veličine prečnika atoma. Ovo strogo važi za dijamagnetske i paramagnetske materijale, a za feromagnetske samo približno (nisu linearni). Da bismo odredili gustinu tih rezultantnih površinskih struja po površima namagnetisanih tela, posmatrajmo delić površi namagnetisanog materijala (slika 3.7). Na slici 3.7a prikazane su rezultantne površinske Amperove struje u obliku kružića, kao što smo to činili i ranije. Struje uz površ su nekompenzovane, a one unutar materijala se međusobno kompenzuju. Očigledno da je
posledica nekompenzovanih struja vektor magnetizacije M , koji je u odnosu na površ materijala, u opštem slučaju pod nekim uglom, označimo ga sa β (slika 3.7b).
Slika 3.7. Površinske Amperove struje: a) ilustracija, b) njihovo određivanje
Na slici 3.7b je prikazana zamišljena mala pljosnata pravougaona kontura C∆ , čija je jedna stranica dužine l∆ paralelna površi tela izvan tela, a druga unutar tela (visina konture 0h →∆ ).
Ugao između vektora M i stranice paralelne površi je β, a ugao između M i normale n na površ
tela α. Ako na konturu C∆ primenimo relaciju za rezultantnu Amperovu struju, dobijamo (M postoji samo u materijalu)
αβ sincosC kroz
lMlMldMIC
A ∆=∆== ∫∑∆∆
17 Ako je materijal nehomogen ( .constM ≠ ), onda je i 0
C kroz
≠∑∆
AI.
18 Nehomogeno namagnetisano telo od homogenog feromagnetskog materijala ne može se smatrati za homogeno u magnetskom pogledu. 19 Ovo je slično, kao kod dielektrika, gde električno polje zavisi samo do vezanih opterećenja po površima dielektrika.
44
pa je gustina površinske struje20
αsinlC kroz MI
JA
SA=
∆=∑
∆
Ova relacija se vektorski može napisati u obliku
nxMJ AS =
a predstavlja gustinu površinske rezultante Amperovih struja namagnetisanog tela. Elementarne Amperove struje postoje u vakumu. Prema tome i rezultantu Amperovih struja
treba zamisliti u vakumu.. Pošto znamo kako se izračunava B proizvoljne raspodele struja u
vakumu, onda u principu to možemo i za B namagnetisanog tela. Ali treba znati M u svakoj tački što nije uvek lako rešiti.
Linije vektora magnetskog polja
Su zamišljene linije (krive) na koje je vektor H tangentan u svakoj tački. Kako je
MB
H −=0µ , u vakumu su linije H i 0/ µB identične (jer je 0=M ).
U slučaju linearnih sredina između B , H i M postoji srazmera, pa su linije vektora njihovih polja istog oblika.
Bitna razlika između linija H i B je što su linije B zatvorene krive linije, a kod linija H to nije uvek slučaj.
Kao primer, na slici 3.8 prikazane su linije M , 0/ µB i H cilindričnog homogeno namagnetisanog magneta kružnog poprečnog preseka.
Slika 3.8. Linije vektora magnetizacije, magnetske indukcije i magnetskog polja cilindričnog
homogeno namagnetisanog magneta kružnog poprečnog preseka I solenoid sa istom površinskom gustinom struje, stvara isto polje u svim tačkama (unutar i izvan).
3.5. Granični uslovi
U elektrostatici su izvedeni granični uslovi za dielektrike
20 Treba imati u vidu da se gustina površinske struje definiše po jedinici dužine (videti izraze za magnetsku indukciju linijskih, površinskih i zapreminskih struja, odeljak 1.3.1).
45
tt EE 21 = i nn DD 21 = Kao što znamo iz elektrostatike, granični uslovi daju vezu između veličina koje opisuju polje u dve bliske tačke sa dve strane površi koja razdvaja dve sredine različitih osobina. Ovde se to odnosi na razdvojnu površ feromagnetik-neferomagnetik (vakum, dijamagnetik i paramagnetik su praktično bez razlike u magnetskom pogledu). Feromagnetici znatno utiču na magnetsko polje u kome se nalaze.
Ovde se granični uslovi odnose na komponente vektora B i H na razdvojnoj površi feromagnetik-neferomagnetik.
Izvedimo prvo granični uslov za vektor H . U tu svrhu posmatrajmo situaciju kao na slici 3.9.
Slika 3.9. Uz izvođenje graničnog uslova za vektor magnetskog polja
Ako primenimo uopšteni Amperov zakon na zamišljenu malu pljosnatu pravougaonu konturu abcda sa stranicama l∆ paralelnim razdvojnoj površi u jednoj i drugoj sredini, i visinom
0h →∆ , uz pretpostavku da na razdvojnoj površi nema provodnika sa strujom, dobijamo
lHlHIldH tt
C
∆−∆=== ∑∫ 21C kroz
0
odakle sledi da je
tt HH 21 = (*)
što predstavlja granični uslov za tangencijalne komponente vektora magnetskog polja H .
Za linearne sredine važi da je HB µ= , na osnovu čega je
1
11 µ
tt
BH = i
2
22 µ
tt
BH = odnosno
2
2
1
1
µµtt BB = (**)
Izvedimo sada granični uslov za vektor B . U tu svrhu posmatrajmo situaciju kao na slici 3.10. Ako primenimo zakon o održanju magnetskog fluksa na pljosnat valjak (nalik na kovani novčić), čija je jedna osnovica u jednoj, a druga u drugoj sredini, dobijamo
SBSBSdB nn
S
∆−∆==∫ 120
odakle sledi da je
nn BB 21 = (***)
Relacije (*) i (***) važe uvek.
46
Slika 3.10. Uz izvođenje graničnog uslova za vektor magnetske indukcije
Za linearne sredine važi da je HB µ= , na osnovu čega je
nn HH 2211 µµ =
Ako relaciju (**) podelimo sa relacijom (***), dobijamo
n
t
n
t
B
B
B
B
2
22
1
11 // µµ = , odakle je (slika 3.11) nt
nt
BB
BB
tg
tg
22
11
2
1
/
/=αα
Kako je nn BB 21 = , to je 2
1
2
1
2
1
µµ
αα ==
tg
tg
B
B
t
t,
što predstavlja zakon prelamanja linija vektora B . α je ugao između vektora B i normale na razdvojnu površ.
Slika 3.11. Uz određivanje zakona prelamanja linija vektora magnetske indukcije
Primer 3.1. Posmatrajmo razdvojnu površ feromagnetika i neferomagnetika (na primer vazduh), slika 3.12.
Slika 3.12. Uz primenu zakona prelamanja na granicu feromagnetika i neferomagnetika
Ako primenimo zakon prelamanja, dobijamo
47
02
0
2
1
2
1 ≈==µµ
µµ
αα
tg
tg
ako je 02 µµ >> . Odatle sledi da je 01 ≈α (osim ako je 2/2 πα = , kada je ∞=2αtg , pa je 0/ 21 =αα tgtg bez obzira na 1α ). To znači da su linije vektora B , u vazduhu, paktično normalne na
površ feromagnetika. Ovaj zaključak je koristan za crtanje linija B u prisustvu feromagnetika. Napomenimo da granični uslovi nisu posebne relacije, već poseban oblik opštih zakona (Amperovog i zakona o održanju magnetskog fluksa).
3.6. Krive magnetisanja feromagnetskih materijala
Kada se feromagnetski materijal unese u strano magnetsko polje, na Vajsove domene (videti odeljak 3.1) deluju momenti koji teže da ih usmere u pravcu polja.
U slučaju malih polja dolazi samo do povećanja dimenzija domena koji su orijentisani približno u smeru polja, na račun susednih domena. Ako bismo isključili strano polje, uspostavilo bi se prvobitno stanje, tj. ovaj process je reverzibilan (slika 3.13).
Ako strano polje dalje povećavamo dolazi do rotacije celih domena. Rotacija domena se obavlja naglo (Barkhauzenov efekat). Ovaj deo magnetisanja feromagnetskog materijala je ireverzibilan.
Kada su magnetski momenti svih domena u manjoj ili većoj meri u smeru i pravcu stranog polja, skokovita rotacija domena prestaje, i ponovo dolazi samo do zakretanja domena. To
zakretanje je opet postepeno i reverzibilno., a odvija se dok se m svih domena ne orijentišu u
pravcu i smeru vektora B . Kažemo da je tada dostignuto zasićenje, koje se opisuje bilo magnetskom polarizacijom zasićenja Jzas, bilo magnetizacijom zasićenja Mzas,= Jzas,/µ0.
Slika 3.13. Proces magnetizacije materijala
U praksi se feromagnetski materijali najčešće opisuju pomoću svoje krive magnetisanja. Za razliku od opisane zavisnosti J od H, ona predstavlja zavisnost B od H (jer J i M nemože jednostavno da se meri). B i H se takođe teško meri (ili računa) osim ako je telo u obliku tankog torusnog jezgra (slika 3.14). Primenom uopštenog Amperovog zakona na zamišljenu konturu C, poluprečnika R (slika 3.14), koja predstavlja srednju liniju torusa, dobija se
NIIRHldHC
=== ∑∫C kroz
2π
odakle je
48
R
NIH
π2= .
Slika 3.14. Tanak torus od feromagnetskog materijala sa gusto motanim namotajem Ako je a unutrašnji, a b spoljašnji poluprečnik torusa, sami odredite koliko je H za r<a i r>b.
Menjajući skokovito I (tj. H) može se merenjem protekle količine elektricita ∆Q balističkim
galvanometrom ( ∆Φ∝∆Q , SB ⋅∆=∆Φ )21 izračunati B∆ u jezgru i konstruisati zavisnost B(H) u jezgru, tj. kriva magnetisanja. Kriva koja se dobija kada se H menja od nule do vrednosti kada kriva dolazi do zasićenja (slika 3.15a) naziva se kriva prvobitnog magnetisanja. Ako bi, posle dolaska do zasićenja, polje H smanjivali, proces smanjivanja namagnetisanosti se ne bi odvijao po prvobitnoj krivoj magnetisanja, već po nekoj drugoj krivoj, tako da kada se polje H smanji do nule, ostaje neka namagnetisanost, koja je na slici 3.15b označena se Br, a naziva se remanentni ili zaostali magnetizam. Naime, između domena postoji neka vrsta sile trenja. Zbog toga su rotacija i zakretanje domena uvek praćeni pretvaranjem energije magnetskog polja u toplotu. Ovi gubici se nazivaju histerezisni gubici. Zbog ovog trenja između domena, promene u stanju magnetizacije uvek kasne za promenama stranog polja, te se javlja tzv. histerezisno ponašanje, tj. po isključenju stranog polja domeni se više ne mogu potpuno da vrate u prvobitno stanje u kome su bili orijentisani haotično, pa postoji magnetsko polje i kada se strano polje isključi. To objašnjava postojanje stalnih magneta. Radi razmagnetisanja, potrebno je uvesti polje H suprotnog smera. Vrednost polja pri kojoj je B=0, naziva se koercitivno polje (Hc, na slici 3.14). Ako bi polje H nastavili da povećavamo namagnetisavanje bi se nastavilo u suprotnom smeru, do zasićenja, itd. Kriva koja se na ovaj način dobija, kada se opisani process obavi desetak puta, naziva se histerezisna petlja (slika 3.15 i 3.16). Po vrednosti Hc, feromagnetski materijali se dele na:
- magnetski meke materijale (malo Hc), na primer meko gvožđe, jezgra transformatora, Hc je reda 10 A/m (slika 3.16), i
- magnetski tvrde materijale (veliko Hc), na primer kaljeni čelik. To su stalni magneti. Hc je reda 105 A/m (slika 3.16).
21 U odeljku 6.7 ćemo izvesti zavisnost Q∆ od ∆Φ .
49
Slika 3.15 a) kriva prvobitnom magnetisanja, b) histerezisna petlja
Slika 3.16. Histerezisna petlja magnetski mekog i tvrdog materijala
Ako se namagnetisavanje22 obavlja periodičnim poljem, tako da se amplituda polja postepeno povećava, dobija se tzv. normalna kriva magnetisanja, koja se nešto razlikuje od prvobitne krive magnetisanja i simetrična je u odnosu na koordinatni početak (slika 3.17 levo), koja se često prikazuje u idealizovanom obliku (slika 3.17 desno)
22 Kod namagnetisavanja feromagnetskih materija javlja se i pojava koja se naziva magnetostrikcija. To je pojava da prilikom namagnetisavanja feromagnetskih tela dolazi do malih promena njihovih dimenzija. Uzrok je zakretanje i
promena dimenzija Vajsovih domena. U vezi sa tim definiše se koeficijent magnetostrikcijel
l∆=λ , gde je l dužina u
pravcu B , a ∆l promena dužine. Može biti pozitivan i negativan (za gvožđe je -8 µm/m, za nikl -8 µm/m, a za ferrite (-100 do +40) µm/m. Pri magnetizaciji do zasićenja prestaje efekat magnetostrikcije. Magnetostrikcioni materijali koriste se za stabilizaciju učestanosti oscilatora i kao elektroakustički pretvarači.
50
Slika 3.17. Realna i idealizovana mormalna kriva magnetisanja
3.7. Definicije permeabilnosti magnetskih materijala
Za potrebe proračuna u praksi, definišu se različite permeabilnosti (imati u vidu da je magnetski materijal nelinearan). Nagib tangente na normalnu karakteristiku magnetisanja u
koordinatnom početku (slika 3.18a) naziva se početnom permeabilnošću ( počµ ). Količnik
HBn /=µ u posmatranoj tački je normalna permeabilnost. Razlikuje se za različite tačke na krivoj
magnetisanja. Normalna relativna permeabilnost 0/ µµµ nnr = u zavisnosti od jačine magnetskog
polja prikazana je na slici 3.18b. Za H=0 je počn µµ = odnosno rpočnr .µµ = . Pri jakim poljima,
kada materijal duboko uđe u zasićenje, je 0µµ ≈n , odnosno 1≈nrµ . Nagib tangente u
posmatranoj tački je diferencijalna permeabilnost HBdHdBd ∆∆== //µ . Ako se stalnom
magnetskom polju superponira slabo naizmenično polje, tačka na karakteristici magnetisanja opisuje mali ciklus histerezisa koji određuje inkrementalnu permeabilnost, itd.
a) b)
Slika 3.18. Uz definiciju permeabilnosti materijala
51
4. MAGNETSKA KOLA Pod magnetskim kolom podrazumevaćemo sisteme u kojima se, pomoću feromagnetskih materijala, magnetski fluks kanališe željenim putem (kao električna struja u električnom kolu provodnicima). Dve su grupe problema (zadataka):
- projektovanje magnetskog kola (određivanje dimenzija i karakteristika jezgra tako da se dobije željeni fluks Φ kroz kolo), i
- određivanje fluksa koji, kroz dato magnetsko kolo, stvara struja u njegovom namotaju (što je teže) ili određivanje broja zavojaka N i struje kroz zavojke I da bi u kolu datih dimenzija imali željeni fluks Φ ili magnetsku indukciju B. Bavićemo se drugom grupom problema.
Pretpostavke za rešavanje magnetskih kola: - iako feromagnetski materijali nisu linearni, ponekad se uvodi aproksimacija da jesu
( .const=µ ), - magnetski fluks je praktično potpuno kanalisan feromagnetskim materijalom (nema
rasipanja),
- magnetska kola se uvek tako konstruišu da pobudni namotaj prouzrokuje u jezgru B paralelno površi jezgra (normalno na poprečni presek) svuda osim na mestima gde je namerno načinjen vazdušni procep. Mali deo magnetskog fluksa koji izlazi van feromagnetika (van željenog puta) naziva se rasipni fluks, a to je (10 -15)% ukupnog fluksa. Rešavanje magnetskih kola je približno, greška je (5-10)% pa i veća. Ako se rešava
nestandardan zadatak treba eksperimentalno proveriti tačnost dobijenih rezultata.
4.1. Tanka magnetska kola
Tankim magnetskim kolom se naziva magnetsko kolo tanko u odnosu na svoju dužinu, tako
da se može smatrati da je B i H isto po poprečnom preseku jezgra23. Na slici 4.1 je prikazan primer tankog složenog (ima više “grana” i “čvorova”) magnetskog kola. I ovde, analogno električnim kolima, možemo definisati grane i čvorove. Na slici 4.1 sa A, B, C i D su označeni čvorovi, a sa 1, 2, …, 6 grane. Cilj je odrediti flukseve u svim granama kola ako znamo struje kroz namotaje i broj zavojaka namotaja. Fluks Φ kroz neku granu može biti pozitivan ili negativan, što zavisi od:
- smera namotavanja namotaja, - smera jačine struje kroz namotaj, i - proizvoljno odabranog smera normale na površ poprečnog preseka grane (slično sa
referentnim smerom kod vremenski konstantnih struja). Odaberimo referentne smerove za flukseve i označimo strelicama pored pojedinih grana
(slika 4.1). Po zakonu o održanju magnetskog fluksa može se za svaki čvor (mesto gde se stiču tri ili više grana) pisati jedna jednačina. Na primer, za čvor A je
23 Zbog toga, ako se ima u vidu da se magnetska kola tako konstruišu da je u jezgru B normalno na poprečni presek
jezgra, relacija ∫=ΦS
sdB se svodi na BS=Φ .
52
0431 =Φ+Φ+Φ−=∫S
SdB
Slika 4.1. Primer složenog magnetskog kola
Slično se može pisati i za bilo koji drugi čvor. Ako kolo ima Čn čvorova, samo 1−
Čn
jednačina su nezavisne. Prema tome za svaki čvor magnetskog kola može se pisati
0=Φ∑
što predstavlja I Kirhofov zakon za magnetska kola (analogno 0=∑ I ). Važi i za nelinearna magnetska kola. Prema uopštenom Amperovom zakonu, za svaku zatvorenu konturu (pa i zamišljenu) duž grana magnetskog kola može da se piše
∑∫ =C kroz
IldHC
(1)
što važi i za nelinearna magnetska kola.
Kako je kolo tanko ( ., constHB kk = po preseku grane), to se leva strana jednačine (1) može pisati kao zbir proizvoda Hl na svim delovima grana gde je poprečni presek isti, tj. ako delove grane ili grane označimo indeksima k, imamo
kklHldH ±≈∫k grane duž
pri čemu se uzima
- “+”ako su referentni smer H i smer konture C isti, a
- “-”ako u referentni smer H i smer konture C suprotni, odnosno
( )∑∫ ±=C duž
kk
C
lHldH
Desna strana jednačine (1) može da se piše kao (setite se da je to suma struja kroz površ razapetu preko konture C)
( )∑∑ ±=C dužC kroz
kNII
53
pri čemu se uzima - “+”ako su smer struje kroz namotaj, i pozitivan smer obilaska konture, vezani pravilom
desne zavojnice, - “-”ako je suprotno.
Sada se relacija (1) može pisati u obliku
( ) ( )∑∑ ±=±C dužC duž
kkk NIlH
što predstavlja II Kirhofov zakon za magnetska kola.
Kako je ( )kk
kk H
BH
µ= , gde ( )kk Hµ označava zavisnost µ od H (feromagnetska kola su
nelinearna, ( .const≠µ , pa treba znati zavisnost B od H), to je
( ) ( ) ( ) ( ) kkk
kkk
kkk
kk
k
kk
kk
kk
kk
kkk SH
ll
SH
SB
S
Sl
H
Bl
H
BlH
µµµµΦ====
gde je kk
k
S
l
µ odnosno ( )SH
lRm µ
= magnetska otpornost ili reluktansa magnetskog kola ili
grane pri vrednosti kH ili H . Sada se II Kirhofov zakon može napisati u alternativnom obliku
( ) 0C dužC duž
=Φ−± ∑∑ kmk RNI (2)
Ispred ( )kNI i kmR Φ (u izrazu ostaje “-“) se podrazumeva:
- “+” ako struja u namotaju stvara B u smeru obilaska konture, tj. ako je referentni smer za magnetski fluks isti kao smer obilaska konture,
- “-” ako je suprotno. Za prosto magnetsko kolo (sa jednim namotajem) je
Φ= mRNI , odakle je mR
NI=Φ
Na osnovu relacije (2) može se magnetsko kolo prikazati ekvivalentnim električnim kolom, smatrajući da je NI ekvivalentno emsgeneratora, fluks struji, a Rm otpornosti R (videti podpoglavlje 4.3).
4.2. Približne jednačine za rešavanje magnetskih kola realnih dimenzija
Nema stroge analize magnetskih kola čije su grane relativno kratke u odnosu na njihov poprečni presek (nazivaju se debela kola). Radi shvatanja suštine aproksimacije posmatrajmo debeo torusni namotaj sa feromagnetskim jezgrom, pravougaonog poprečnog preseka, unutrašnjeg poluprečnika a, vanjskog poluprečnika b i visine h (slika 4.2). Primenom uopštenog Amperovog zakona na konturu poluprečnika r (a<r<b) , dobija se (uporedite sa slikom 3.14)
NIIrHldHC
=== ∑∫C kroz
2π
odakle je
( )r
NIrH
π2=
54
Slika 4.2. Magnetsko kolo realnih dimenzija
Kako je HB µ= , onda posle zamene relacije za H, dobijamo
( ) ( ) ( ) ( )r
NIHrHHrB
πµµ
2==
Dakle, B je funkcija i od r i od H. Prema tome, za tačno određivanje B u pojedinim tačkama jezgra, treba znati krivu magnetisanja materijala jezgra. Aproksimacija je u tome da se smatra da je
µ svih tačaka jezgra približno jednako µ duž srednje linije jezgra 2
bar
+= , tj. ( ) srsrH µµ = , pa je
( )r
NIrB sr π
µ2
≈
pa sada B zavisi samo od r. Sada se fluks Φ može izračunati na sledeći način (slika 4.3).
Kako je sdBd =Φ , a ndsSd = 24 i hdrds = , to je fluks kroz elementarnu površ ds (slika 4.3)
( ) ( ) hdrr
NIhdrrBdsrBd sr π
µ2
===Φ
Ukupan fluks kroz jezgro (poprečni presek jezgra) je
a
bNIh
r
drNIhd sr
b
a
sr ln22 π
µπ
µ ==Φ=Φ ∫∫ (1)
Slika 4.3. Uz određivanje fluksa kroz jezgro torusa
24 Normala na površ sd se određuje po pravilu desne ruke u odnosu na orijentaciju konture.
55
Prema II Kirhofovom zakonu za magnetska kola, za torus na slici 4.2 je
Φ= mRNI , odakle je mR
NI=Φ
Poredeći poslednju relaciju sa relacijom (1), za torus dobijamo da je
a
bh
R
sr
m
ln
2
µ
π=
Očigledno magnetska otpornost zavisi od oblika kola. Prethodna relacija za torus je tačna relacija. Za torus se magnetska otpornost može računati i približnom relacijom, tj.
( ) ( )( )
( )abh
ba
abh
ba
S
l
SH
lR
srsrsr
srm −
+=−
+
=≈=µπ
µ
π
µµ2
2
pri čemu je srsr rl π2= i ( ) 2/barsr += . Očigledno relacije nisu iste, pa postoji greška. Za tanak torus greška je manja, za deblji veća.
4.3. Jednačine za magnetska kola sa vazdušnim procepom
Posmatrajmo torus okruglog poprečnog preseka, sa vazdušnim procepom dužine 0l i N zavojaka sa strujom I kroz zavojke (slika 4.4a).
U vazdušnom procepu je 000 HB µ= , a u feromagnetskom jezgru ( )HHB µ= . Prema II KZ za magnetska kola (rasipni fluks se zanemaruje, pa je Φ svuda isto)
( ) 0C dužC duž
=Φ−± ∑∑ kmk RNI, dobijamo 0
0=Φ−Φ− mm RRNI (*)
gde je
( )SH
lRm µ
= reluktansa jezgra, i 00
00 S
lRm µ
= reluktansa procepa.
Slika 4.4 a) magnetsko kolo sa vazdušnim procepom, b) njegovo analogno kolo
56
Relacija (*) podseća na relaciju za II KZ za kola sa konstantnim vremenskim strujama, ako se smatra da je NI ekvivalentno E (često se naziva magnetomotorna ili magnetopobudna sila), a RmΦ ekvivalentno RI. Na osnovu toga se magnetska kola mogu prikazati ekvivalentnom električnom šemom. Za magnetsko kolo na slici 4.4a to je električno kolo na slici 4.4b.
Fizički 0SS = , ali zbog rasipnog polja u okolini vazdušnog procepa je SS >0 . Polje na ivicama procepa je nehomogeno. Formula za reluktansu vazdušnog procepa je utoliko tačnija
ukoliko je 0l manje u odnosu na poprečne dimenzije (uzan procep).
Takođe je mm RR >>0 jer je ( ) 0µµ >>H .
Kada je procep između delova iste debljine,
- za pravougaoni procep dimenzija a i b, se koristi izraz ( )( )000 lblaS ++= , a
- za okrugli prečnika D,( )
4
20
0
lDS
+=
π
Kada je procep između delova različite debljine, za
- pravougaoni procep dimenzija a i b, se koristi izraz ( )( )000 22 lblaS ++= , a
- za okrugli prečnika D,( )
4
2 20
0
lDS
+=
π
4.4. Metode proračuna magnetskih kola
Razlikuju se metode proračuna za prosta magnetska kola (jedna grana, odnosno više delova vezanih na red) i složena (razgranata) magnetska kola (sa više grana). Složena kola mogu biti simetrična i nesimetrična. Proračun simetričnih kola se svodi na proračun prostih.
4.4.1. Proračun prostih magnetskih kola Rasipni fluks se zanemaruje, pa je Φ svuda isti. Pretpostavimo da je zadato Φ i dimenzije magnetskog kola, a tražimo NI (lakši slučaj). Tada
se B nalazi kao k
k SB
Φ= (Φ je isto kroz sve preseke prostog kola), gde je kS površina poprečnog
peseka posmatranog kola.
Nakon toga određujemo kH iz krive magnetisanja (na osnovu poznatog kB ), slika 4.5. U
vazdušnom procepu je 0
00 µ
BH =
Slika 4.5. Određivanje H na osnovu poznatog B iz krive magnetisanja materijala
57
Na kraju je
∑= kklHNI
kH smo odredili, a kl računamo na osnovu zadatih dimenzija. Kod računanja kl uzima se da se srednja linija ne lomi pod pravim uglom, već je u obliku luka (četvrtina kruga), slika 4.6.
Slika 4.6. Određivanje srednje linije za primenu II Kirhofovog zakona za magnetska kola
Ako je poznato NI i dimenzije kola, a traži se Φ u pojedinim delovima kola (teži slučaj), Φ se određuje polazeći od II KZ
NIlH kk =∑
kH je nelinearna funkcija od Φ odnosno B grane. B(H) se daje grafički ili tabelarno ili, što je ređe, matematičkom relacijom. Rešavanje se obavlja približnom metodom. Najčešći postupak je: pretpostavi se neko Φ i izračuna NI (na način kako smo to objasnili, na početku ovog odeljka) koje će biti veće ili manje od zadatog NI. Zatim se uzme nova vrednost Φ , veće ili manje od prethodnog, i ponovo izračuna NI. Posle nekoliko (sukcesivnih) iteracija se postepeno dođe do odgovarajuće vrednosti za Φ (metoda sukcesivnih aproksimacija). Zadatak se može rešavati i grafički: zada se nekoliko vrednosti za Φ, izračuna NI, i na
osnovu toga nacrta grafik zavisnosti ( )NIΦ=Φ ; zatim se grafički sa dijagrama određuje Φ koje odgovara zadatom NI (slika 4.7).
Slika 4.7. Grafičko određivanje Φ na osnovu izračunatih vrednosti NI
4.4.2. Proračun složenih simetričnih magnetskih kola Ideja je ilustrovana na slici 4.8. Dakle proračun se svodi na proračun jedne polovine kola. Ako je se u presečenoj grani nalazi namotaj, onda tu ostaju svi zavojci, a ne polovina (jer zatvorena putanja kroz kolo obuhvata sve zavojke).
58
Slika 4.8. Primer složenog simetričnog magnetskog kola
4.4.3. Proračun složenih nesimetričnih magnetskih kola Magnetska kola retko imaju više od tri grane, za razliku od električnih kola. Treba imati u vidu da nisu linearna. Za rešavanje se može koristiti sledeće:
- I i II Kirhofov zakon za magnetska kola, - odgovarajuće krive magnetisanja materijala od kojih su napravljene pojedine grane kola. U
vazdušnom procepu je 000 HB µ= . Jedna od metoda je već objašnjena – metoda sukcesivnih aproksimacija. Rešavanje zavisi od
geometrije kola, pa svaki tip kola zahteva poseban postupak.
4.5. Magnetsko kolo stalnih magneta
Objasnićemo samo osnovne pojmove u vezi proračuna. Posmatrajmo torusno feromagnetsko jezgro kao na slici 4.9a.
a) b)
Slika 4.9 a) torusno feromagnetsko jezgro, b) njegova karakteristika Pretpostavimo da je kroz namotaj, koji je privremeno bio na jezgru, postojala struja koja ga je namagnetisala do zasićenja. Neka je kriva magnetisanja kao na slici 4.9b. Kada se struja isključi nađemo se u tački Br (slika 4.10). Neka se iz jezgra odstrani kratak
deo dužine 0l . Naravno, 0H u procepu i mH u jezgru (magnetu) zadovoljavaju uopšteni Amperov zakon
∑∫ =C kroz
IldHC
pa je (s obzirom da je struja isključena, tj. 0=∑ I ), 000 =+ mmlHlH . Odatle je m
m l
lHH 00−= .
Ako se zanemari rasipanje fluksa, onda je Φ=Φ0 . Ako na zatvorenu površ koja prolazi kroz procep i jezgro, primenimo zakon o konzervaciji magnetskog fluksa, dobijamo
59
000 =−=∫ mm
S
SBSBsdB , odakle je mmSBSB =00 , odnosno 0
0 S
SBB mm= . Kako je u vazdušnom
procepu 000 HB µ= , odatle je 0
00 µ
BH = , to se posle zamena u relaciju za mH , dobija
mm
mm B
Sl
SlH
00
0
µ−=
Iz relacije za mH se vidi da je mH linearna funkcija mB , tj. prava linija OP (slika 4.10). Iz preseka ove linije sa krivom razmagnetisanja (deo karakteristike magnetisanja koji je u drugom (ili četvrtom) kvadrantu), dobija se radna tačka jezgra (tačka P na slici 4.10), odnosno rešavanjem ove jednačine i jednačine koja daje vezu B i H u drugom kvadrantu (rešenje ove dve jednačine su koordinate tačke P). Ordinata radne tačke je jednaka vrednosti B u jezgru (magnetskoj indukciji u
feromagnetskom materijalu)25. Nagib prave zavisi od dužine procepa i menja se promenom 0l ili
promenom ml pri istom 0l . Radi smanjenje rasipnog fluksa polovi se na krajevima zarubljuju (slika 4.11). Ali preterano zarubljivanje dovodi do povećanja rasipnog fluksa.
Slika 4.10. Radna tačka magnetskog kola
Radi smanjenje rasipnog fluksa polovi se na krajevima zarubljuju (slika 4.11). Ali preterano zarubljivanje dovodi do povećanja rasipnog fluksa.
Slika 4.11. Zarubljivanje polova radi smanjenja rasipnog fluksa
25 U materijalu Bm i Hm su suprotnog smera, a u vazduhu Bo i Ho istog.
60
VREMENSKI PROMENJIVO ELEKTRIČNO I MAGNETSKO POLJE
5. ELEKTROMAGNETSKA INDUKCIJA
5.1. Uvod
Dosadašnja razmatranja su se uglavnom odnosila na električna i magnetska polja koja se ne
menjaju u vremenu. Međutim, veći praktični značaj imaju vremenski promenjiva električna i magnetska polja.
Jedna od najvažnijih osobina vremenski promenjivih polja jeste tzv. elektromagnetska indukcija (EI). U takvim poljima je, za razliku od elektrostatičkih polja,
0≠∫→→dlE
Naime, u zatvorenim konturama, koje se u takvom polju nalaze, javlja se vremenski promenjiva električna struja, tzv. indukovana struja, čak i ako u kolu nije vezan električni generator. U vremenski konstantnom električnom polju to nije moguće: vremenski konstantna električna struja u električnom kolu može postojati samo ako je u kolu vezan generator.
Na principu elektromagnetske indukcije zasniva se rad električnih generatora i motora naizmenične struje, tranformatora, antena itd.
Vremenski promenjivo električno i magnetsko polje su međusobno povezani. Vremenski promenjivo magnetsko polje je uvek praćeno vremenski promenjivim
električnim poljem. Električno polje koje odgovara istim promenama magnetskog polja ne zavisi od uzroka promene magnetskog polja, tj. ta promena može biti
- bilo rezultat relativnog kretanja26 provodne konture (ili dela konture) ili posmatrača, i izvora magnetskog polja (dinamička elektromagnetska indukcija, primer: električni motori, električni generatori),
- bilo promene jačine struje u provodnim konturama nepokretnim u odnosu na posmatranu konturu (statička elektromagnetska indukcija, primer: transformatori).
Prema tome električno polje ima dva uzročnika: - nepokretna električna opterećenja (proučili smo ih u elektrostatici), koja daju
elektrostatičko polje, koje ćemo od sada označavati sa →
stE , i
- električne struje koje se menjaju u vremenu (bilo zbog toga što se strujna kontura (ili stalni magnet) kreće, bilo zato što se menja jačina struje u konturama koje su nepokretne), ili
- ako se deformiše kontura sa konstantnim strujama. Vremenski promenjivo električno i magnetsko polje postoje čak i kad nema provodnih
kontura, a primer su elektromagnetski talasi u slobodnom prostoru. Očigledno da su prirode ovih polja različite, pa im ni osobine nisu iste, osim da na
naelektrisanu česticu deluju silom →→
= EQF .
26 Relativno kretanje se posmatra u odnosu na koordinatni sistem ili posmatrača, u odnosu na koga se izvor magnetskog polja kreće ili menja u vremenu.
61
Da bi se i imenom istakla razlika u odnosu na prvo, elektrostatičko polje (koje potiče od nepokretnih električnih opterećenja), električno polje koje potiče od vremenski promenjivih struja
naziva se indukovano električno polje →
indE .
U opštem slučaju, u odnosu na posmatrača, mogu da postoje obe komponente električnog polja (elektrostatičko i indukovano). Ukupna (totalna) električna sila na naelektrisanu ćesticu je
+=+=→→→→→
indstindsttot EEQEQEQF
pa je ukupna jačina polja
indsttot EEE→→→
+=
stE→
se računa na osnovu poznate raspodele električnih opterećenja (elektrostatika).
indE→
je posledica dva razloga:
- relativnog kretanja (deformacije) konture ili delova konture (dinamička indukcija)
dinindE→
, ili
- promene struje u nepokretnoj konturi odnosno magnetskog polja u vremenu (statička
indukcija) stindE
→.
Objasnimo to detaljnije.
1) dinindE
→ kao posledica relativnog27 kretanja posmatrača brzinom
→v u odnosu na izvor
magnetskog polja (dinamička indukcija) određuje se izrazom
BxvE dinind =→
To možemo objasniti na sledeći način.
Zamislimo da je magnetsko polje magnetske indukcije →B stalno (vremenski nepromenjivo),
a da se kontura kreće ili deformiše u odnosu na posmatrača 1P (dinamička indukcija), slika 5.1. Ako
se element →ld sa nosiocem naelektrisanja Q kreće brzinom
→v u odnosu na posmatrača 1P , tada 1P
vidi da na Q deluje magnetska sila BxvQF m =→
(slika 5.1). Posmatrač 2P koji se u odnosu na 1P
kreće istom brzinom →v , ali je u odnosu na Q nepokretan, registruje takođe silu, ali je tumači kao
električnu silu (nepokretan je u odnosu na Q), tj. kao
inddin einde FEQEQF→→
===
Prema tome za dinamičku elektromagnetsku indukciju je28
BxvE dinind =→
27 Kada se kaže relativno kretanje, onda se podrazumeva da se posmatrač kreće, a izvor magnetskog polja je nepokretan, ili da posmatrač miruje, a izvor magnetskog polja se kreće ili da se oboje kreću, ali ne istom brzinom i u istom pravcu i smeru.
28 Setite se Holovog efekta, tamo je dobijeno BxvEH =→
62
gde je dinindE
→ indukovano električno polje u elementu
→ld koji se u polju
→B kreće brzinom
→v .
Slika 5.1. Uz objašnjenje indukovanog električnog polja dinamičke indukcije
2) stindE
→ kao posledica promene struje u nepokretnom elementu
→ld tankog provodnika
(statička indukcija), može se odrediti izrazom do koga se došlo eksperimentalno
( )r
ld
dt
tdiEd stind
πµ4
0−=→
Ako se radi o tankoj konturi sa promenjivom strujom i(t), onda je ukupno indukovano električno polje (statičke indukcije) u tački na rastojanju r od konture (slika 5.2):
( )( )
∫∫ −=−=→
CC
indr
lddt
tdi
r
ld
dt
tdiE st π
µπ
µ44
00
Slika 5.2. Uz objašnjenje indukovanog električnog polja statiičke indukcije
Iz relacije za stindEd
→ proizilazi da je vektor
stindEd→
paralelan sa →ld . Referentni smer
za stindEd
→ je smer
→ld . Stvarni smer
stindEd→
zavisi od znaka izvoda ( )
dt
tdi u posmatranom
trenutku. Za ( )
0<dt
tdi stvarni smer je kao i referentni.
Elementarna elektromotorna sila (ems) de indukovana u elementu →ld , za dinamičku
indukciju, je
( ) ldBxvldEde ind ==→
a u celoj konturi C, dobija se sabiranjem elementarnih ems de, tj.
63
( )∫∫∫ ===→
CC
ind
C
ldBxvldEdee
U oba slučaja ems e se može izračunati preko promene fluksa, jer se u oba slučaja, u stvari, menja fluks, a to se pokazuje Faradejevim zakonom elektromagnetske indukcije.
5.2. Faradejev zakon elektromagnetske indukcije
Pojavu elektromagnetske indukcije je eksperimentalno otkrio Majkl Faradej. Menjajući, na razne načine, magnetski fluks kroz provodnu (žičanu) konturu, konstatovao je da se u konturi javlja (indukuje) ems, koja se može odrediti izrazom29
( )( )
dt
tde ind
Φ−=
gde je Φ magnetski fluks kroz konturu (slika 5.3) koji se određuje poznatim izrazom ∫=ΦS
sdB.
Φ se računa u odnosu na normalu na površ S ograničenu konturom. S je površ oslonjena na konturu. Orijentacija konture i normala na površ su vezane pravilom desne zavojnice. Elektromotorna sila (ems) e se računa u odnosu na referentni smer konture (strelica na konturi), slika 5.3).
Slika 5.3. Uz formulaciju Faradejevog zakona elektromagnetske indukcije
Iz Faradejevog zakona sledi da ako je ( )
0>Φdt
td (fluks raste) stvaran smer ems e je
suprotan referentnom smeru konture (0<e ) i obratno. Ako je kontura zatvorena, pod dejstvom ems nastaje struja u konturi (indukovana struja). Referentni smer struje je kao i orijentacija konture. Ta struja stvara svoje magnetsko polje, koje se naziva sopstveno magnetsko polje, a fluks tog polja se naziva sopstveni fluks. Indukovana ems ”teži” da sopstvenim fluksom poništi promene magnetskog fluksa koje su
izazvale elektromagnetsku indukciju (suprotstavlja se promenama koje su je izazvale; za ( )
0>Φdt
td,
sledi da je 0<e ). Ova konstatacija se naziva Lencovo pravilo i sastoji se u predznaku ”-” u izrazu za Faradejev zakon (i kao što smo napred objasnili služi i kao približno pravilo za određivanje smera indukovane struje kroz konturu). Ono se potpuno ostvaruje samo ako je kontura superprovodna, a inače je poništavanje fluksa samo delimično. Primer 5.1. Odrediti smer indukovane struje u zavojku na slici 5.4a.
29 Izraz za Faradejev se može izvesti, ali mi to, zbog obima predmeta, nećemo raditi.
64
S obzirom na situaciju na slici 5.4a, promena fluksa kroz zavojak je pozitivna ( 0>Φdt
d) u
odnosu na usvojeni smer konture (slika 5.4b), po pravilu desne zavojnice, pa na osnovu izraza
dt
de
Φ−= , dobijamo 0<e , pa je stvarni smer e suprotan smeru konture, a struja i ima smer ems e.
Slika 5.4 a) zavojak u polju stalnog magneta koji se kreće, b) određivanje smera indukovane ems
Ako je kontura otvorena, struja je nula, pa ne postoji sopstveni fluks, ali indE→
postoji. Imati u
vidu da je pravi uzrok indukovane ems, u stvari, indE→
koje postoji duž provodne konture. Elektromagnetska indukcija može nastati i kombinovano (dinamička i statička istovremeno). Dakle imamo tri slučaja: Dinamička elektromagnetska indukcija
( )∫∫ ==→
CC
indind ldBxvldEe dindin
Statička elektromagnetska indukcija
( )∫∫ −=−=Φ−=SS
ind sddt
BdsdB
dt
d
dt
tde
st
Napomena: ovde se površ S oslonjena na konturu C ne menja, jer je kontura C nepokretna (izraz važi ako je kontura C stvarna ili zamišljena). Kombinovana elektromagnetska indukcija
( )dt
dldBxvsd
dt
BdsdB
dt
de
CSS
ind
Φ−=+−=−= ∫∫∫
Kod komponente ∫S
sddt
Bd kontura miruje a struja se menja, pa se menja Φ. Kod
komponente ( )∫
C
ldBxv,
→B se ne menja, ali se kontura kreće, pa se menja Φ. Izraz dt
deind
Φ−= ,
očigledno, važi za oba slučaja. Dakle može se pisati i
65
dinindstindind eee +=
Da bismo određivali ems Faradejevim zakonom, treba znati odrediti Φ, što smo ranije učili, i
treba još odrediti ( )
dt
tdΦ ili treba znati odrediti ( ) ldBxv , a to podrazumeva znati odrediti B , a to
smo takođe učili (podrazumeva se da se to zna da bi se odredilo Φ).
5.3. Potencijal i napon u vremenski promenjivom polju
Za potencijal u kvazistacionarnom30 polju važi relacija istog oblika kao i u elektrostatičkom polju
∫=R
A
stA ldEv
Za napon se koriste dve relacije. Prva je ista kao u elektrostatici
∫=−=B
A
stBAAB ldEvvu
(ne zavisi od oblika putanje integracije). Druga je
( )∫∫ +==B
A
indst
B
A
AB ldEEldEu
Kako 0=∫
C
st ldE, jer važe ista pravila kao u elektrostatici, a
0≠∫C
ind ldE, jer je
dt
deldE ind
C
indΦ−==∫ , to znači da ∫
B
A
ind ldE zavisi od oblika putanje integracije, pa, u principu, i
napon u promenljivom polju zavisi od putanje kojom se računa (ili kod merenja napona, izmereni napon, kod promenjive struje, bi zavisio od oblika provodnika kojim je voltmetar vezan za merne tačke). Iako je ova zavisnost mala, treba imati u vidu da ona postoji. Primer 5.2. Posmatramo dvožični vod. Kod merenja napona voltmetrom, ako su provodnici, kojima se vezuje voltmetar, postavljeni normalno u odnosu na ravan voda (kontura ABDC, slika 5.5), zavisnost izmerenog napona od oblika provodnika ne postoji (linije vektora magnetske indukcije voda su paralelne konturi provodnika voltmetra, te kroz površ razapetu preko te konture ne prodiru, te nema promene fluksa kroz tu konturu), a ako su postavljeni u ravni voda (kontura ABdc), zavisnost postoji (postoji promena fluksa kroz površ razapetu preko konture koju čine ti provodnici).
30 Polje je kvazistacionarno ako se radi o relativno malim brzinama promena polja (malim frekvencijama promene). O tome ćemo u drugom delu ovog predmeta.
66
Slika 5.5. Uticaj položaja konture na indukovanu ems u konturi
5.4. Vrtložne struje, površinski efekat i efekat blizine
Vrtložne struje Pokazali smo da u zatvorenoj konturi, koja se nalazi u promenjivom električnom polju, dolazi do pojave indukovane ems i struje kroz konturu. Ako se u takvom polju nalazi telo od provodnog materijala, možemo unutar tog tela zamisliti mnoštvo zatvorenih provodnih kontura, te će se i u njemu indukovati struje. Ove struje
unutar provodnih tela, koje nastaju pod dejstvom indukovanog električnog polja indE nazivaju se vrtložne struje (vihorne, Fukoove). One su neminovni pratilac vremenski promenjivog magnetskog i električnog polja unutar provodnih tela bilo kog oblika. Kao posledica vrtložnih struja dolazi:
- do Džulovih gubitaka, i - do pojave sekundarnog vremenski promenjivog magnetskog i električnog polja koje
potiče od ovih struja. Najčešće su ovi efekti nepoželjni, pa se na razne načine umanjuju, ali postoje i slučajevi gde
se vrtložne struje koriste. Primer gde su vrtložne struje nepoželjne su feromagnetska jezgra električnih mašina
naizmenične struje. U jezgrima, dobrim provodnicima, indukovale bi se vrtložne struje velikog intenziteta. Te struje, po Lencovom pravilu (zakonu), teže da spreče uzrok koji ih je izazvao (a to je promena fluksa). Zbog toga, pored Džulovih gubitaka, dolazi i do smanjivanja fluksa kroz jezgro. Pošto je magnetsko polje indukovanih struja najveće u sredini materijala (slika 5.6a), tu će i slabljenje stranog (vanjskog) fluksa biti najveće, pa će fluks biti neravnomerno raspodeljen po preseku jezgra. Ukupna magnetska indukcija (strana + sopstvena – indukovana od vrtložnih struja) biće najveća uz površ jezgra, a opadaće ka unutrašnjosti jezgra.
Da bi se smanjili Džulovi gubici, kao i neravnomernost raspodele fluksa po preseku feromagnetskog jezgra, ono se ne pravi kao pun materijal, već od tankih međusobno izolovanih limova (slika 5.6b). Indukovano električno polje i sada postoji, ali se linije indukovane struje zatvaraju duž preseka pojedinih limova, pa obuhvataju manji magnetski fluks, pa se gustina vrtložnih struja u limu znatno smanjuje u odnosu na puno jezgro.
67
a) b)
Slika 5.6. Vrtložne struje: a) u punom materijalu, b) u tankim limovima
Očigledno B mora biti paralelno površi lima, a nikako upravno na nju. Gubici zbog indukovanih struja postoje i u limovima. Za zapreminsku gustinu srednje snage gubitaka se može izvesti relacija
( )222
lim 24
1m
a
srjBd
v
Pσω=
gde je σ specifična provodnost lima, d debljina lima, fπω 2= kružna učestanost promene
magnetske indukcije (f je frekvencija), a mB amplitudna vrednost magnetske indukcije. Očigledno za smanjenje gubitaka potrebno je smanjiti σ, pa se limovima dodaje silicijum. Takođe treba smanjiti debljinu limova. U praksi su limovi debljine d = 0,35 ili 0,5 mm za učestanosti f = 50 Hz. Pri visokim učestanostima (u radiotehnici) jezgra se nemogu praviti ni od limova (gubici su preveliki, zavise sa kvadratom učestanosti). Tada se jezgra prave, na primer, od presovanog feromagnetskog praha, čije su ćestice međusobno izolovane. U tu svrhu se koriste i feriti (imaju malo σ) kao feritna jezgra.
Primeri primena vrtložnih struja su: - kočenje metalnog točka u indukcionim brojilima utroška električne struje, - u indukcionim pećima (peći za topljenje), - u elektrotermiji (terapija) – Tesline struje.
Površinski efekat i efekat blizine Poznato nam je iz elektrostatike i vremenski konstantnih struja, da ako je provodnik prav i konstantnog preseka, vremenski konstantna struja je po njegovom preseku raspodeljena ravnomerno (unutar provodnika polje je konstantno). U slučaju prostoperiodičnih struja (poseban slučaj vremenski promenjivih struja), međutim,
zbog pojave indE→
dolazi do neravnomerne raspodele struje po preseku provodnika. Gustina struje je manja u unutrašnjosti nego u delovima ka površi provodnika31. Ovaj efekat je izraženiji, ukoliko je provodnik deblji i učestanost viša. Pri vrlo visokim učestanostima (frekvencijama) struja postoji praktično samo po površi provodnika32. Po tom graničnom slučaju, cela pojava neravnomerne raspodele struja po preseku provodnika dobila je naziv površinski efekat (skin efekat). Slično, ako imamo dva blisko postavljena provodnika, raspodela struje u njima je, iz istog razloga, drugačija od one kada su provodnici usamljeni. Ta pojava se naziva efekat blizine. Kod paralelnih provodnika sa strujama različitog smera gustina struje je veća na unutrašnjim površima
31 Fizikalno to može da se objasni na sledeći način. Zamislimo da se provodnik sastoji od tankih cevćica. Cevćice u centru su obuhvaćene većim fluksom nego cevćice bliže površi provodnika, pa je indukovana ems, pri promeni struje, veća u delovima bliže centru nego površi provodnika. Zbog toga je i suprotstavljanje struji u centru mnoge veće nego na površi provodnika. 32 Zbog toga se kod visokih frekvencija energija ne prenosi punim, nego šupljim provodnicima (najčešće okruglog preseka, kao cevi) koji se nazivaju talasovodi.
68
provodnika, a kod provodnika sa strujama istog smera, gustina struje je veća na spoljašnjim površima provodnika33. Oba efekta su, u suštini, posledica elektromagnetske indukcije.
Da dolazi do površinskog efekta, može, analitički, da se pokaže na sledećem primeru. Primer 5.3. Posmatrajmo provodnik kružnog preseka sa prostoperiodičnom strujom ( )ti
(slika 5.7). Obeležimo sa ( )trJ , gustinu struje na odstojanju r od ose provodnika, a sa ( )tJ ,0 gustinu struje na osi provodnika. Neka je σ specifična provodnost materijala provodnika, i neka je
( )tr ,Φ fluks kroz pravougaonu konturu abcda, čija je dužina l, a širina jednaka poluprečniku provodnika a (slika 5.7). Primenom Faradejevog zakona na tu konturu dobijamo
( ) ( )dt
trdld
JldEte
abcdaabcda
ind,Φ−=== ∫∫ σ
odnosno
( )dt
trdld
Jld
Jld
Jld
Jld
J a
d
d
c
c
b
b
aabcda
,Φ−=+++= ∫∫∫∫∫ σσσσσ (*)
Slika 5.7. Određivanja gustine struje duž poprečnog preseka provodnika
Na delu konture ab uagao vektora J i ld je 00, na delu bc i delu da je je 900, a na delu cd je 1800, pa je integral na delu bc i da nula, a na delu cd sa negativnim predznakom. Kako J zavisi od r i t, ali ne i od l, to imamo
( ) ( ) ( )l
trJdl
trJdl
trJ
σσσ,,, == ∫∫
pa na osnovu (*) dobijamo ( ) ( ) ( )
dt
trdl
tJtrJ ,,0, Φ−=
−σσ
Pošto - ( )tr ,Φ raste sa r, odatle sledi da i ( )trJ , mora da raste sa r, tj. intenzitet vektora gustine struje raste idući od ose ka površi provodnika. Može se reći da je ovaj efekat izraženiji ako je σ veće i µ veće (jer je Φ proporcionalno µ).
33 Fizikalno to može da se objasni na isti način kao i površinski efekat.
69
6. MEĐUSOBNA INDUKTIVNOST I SAMOINDUKTIVNOST
6.1. Međusobna induktivnost dve tanke provodne konture
Posmatrajmo dve nepokretne tanke provodne konture 1C i 2C u vazduhu. Neka u konturi C1
postoji vremenski promenjiva struja ( )ti1 , slika 6.1. Znamo da će ( )ti1 prouzrokovati u svim
tačkama u okolini konture 1C vremenski promenjivo magnetsko i električno polje. Pošto se 2C nalazi u tom polju (slika 6.1), u njoj će se, u opštem slučaju, indukovati neka ems. Zbog toga kažemo da su ove dve konture spregnute. Uobičajeno je da se kaže da su konture magnetski spregnute iako je suština sprege (uzajamnog uticaja) u indukovanom električnom polju.
Obeležimo sa ( )te12 ems koju struja ( )ti1 u 1C indukuje u konturi 2C . Ovaj način obeležavanja ćemo zadržati i dalje za sve spregnute sisteme. Prvi indeks će uvek označavati izvor
polja, a drugi šta se u tom polju nalazi. Na primer, 21Φ bi označavao magnetski fluks koji struja u konturi 2 prouzrokuje kroz konturu 1 (u nekim udžbenicima je obrnuto).
Slika 6.1. Dve spregnute konture
Znamo da je ( )te12 zbir proizvoda ldE ind duž 2C , tj.
( ) ( )∫=2
1212
C
iind ldEte
( ( )te12 možemo izračunati i preko ( )
dt
td 12Φ− , ali ćemo ovde ( )te12 izraziti preko ( )ti1 i
geometrijskog oblika kontura 1C i 2C ).
Prema Bio-Savarovom zakonu, B je u svakoj tački, u polju, u okolini konture 1C
proporcionalan trenutnoj vrednosti jačine struje ( )ti1 34, tj.
( )2
00
4 r
rxldtiBd
πµ=
Prema definiciji fluksa kroz konturu ( ∫=ΦS
sdB ) sledi da je ( )t12Φ proporcionalno ( )ti1 ,
gde je ( )t12Φ fluks kroz konturu 2C , odnosno
( ) ( )tiLt 11212 =Φ (*)
34 Što strogo važi samo za spore promene struje, i ako je sredina linearna (nije feromagnetska).
70
Koeficijent 12L se naziva međusobna induktivnost dve konture, i zavisi kako od oblika
kontura 1C i 2C , tako i od njihovog međusobnog položaja. Jednačina (*) važi za bilo kakvu promenu struje, pa i vremenski konstantnu struju, tj.
11212 IL=Φ Ovaj izraz predstavlja definicioni izraz međusobne induktivnosti preko fluksa.
Prema Faradejevom zakonu elektromagnetske indukcije i relaciji (*), ems ( )te12 indukovana
u konturi 2C , zbog promene jačine struje u konturi 1C , može da se napiše u obliku
( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdte 1
1212
12 −=Φ−=
što predstavlja definiciju međusobne induktivnosti preko indukovane ems.
Vidi se da je za određivanje ems ( )te12 pri bilo kakvoj zadatoj promeni struje ( )ti1 potrebno
znati samo međusobnu induktivnost 12L , pa je međusobna induktivnost vrlo važna veličina koja karakteriše spregnuta kola.
Za određivanje 12L prema jednačini 11212 IL=Φ , može se postupiti na sledeći način (postupak):
1- pretpostavi se da u konturi 1C postoji vremenski konstantna struja jačine 1I , 2- odredi se vektor magnetske indukcije koji ta struja stvara u tačkama neke površi koja se
oslanja na konturu 2C ,
3- izračuna se fluks 12Φ ,
4- na kraju se izračuna 12L na osnovu izraza
1
1212 I
LΦ
=
Problem je ponekad u tome što nije jednostavno odrediti 12Φ . Jedinica za međusobnu induktivnost je “henri” (H).
Prema definiciji 1
1212 I
LΦ
= , 12L može biti pozitivno ili negativno, zavisno od toga da li je
12Φ pozitivno ili negativno, a to zavisi od toga kako smo sami usvojili orijentaciju za konturu 2C
(od čega zavisi dsnds= ), pa nema suštinski fizički smisao.
Zamislimo sada da u 2C postoji struja ( )ti2 , a da u 1C nema struje. Očigledno da važi isti
rezon, ali indeksi 1 i 2 zamenjuju mesta u relacijama. Prema tome u 1C će se indukovati ems
( ) ( )dt
tdiLte 2
2121 −=
gde je
22121 IL=Φ Može se dokazati da je
2112 LL = Dokaz:
Pretpostavimo da u (nepokretnoj) konturi 1C postoji struja ( )ti1 , pa izračunajmo ems
indukovanu u 2C koristeći izraz
( )∫−=
1
1101
4 C
indr
ld
dt
tdiE
πµ
pa imamo
71
( ) ( )∫ ∫∫
−==
2 12
2110
2112 4C CC
ind ldr
ld
dt
tdildEte
πµ
ili
( ) ( )dt
tdi
r
ldldte
CC
121012
124
−= ∫∫πµ
Analogno se može dobiti
( ) ( )dt
tdi
r
ldldte
CC
212021
214
−= ∫∫πµ
Ako se poslednja dva izraza uporede sa izrazima
( ) ( )dt
tdiLte 1
1212 −= i ( ) ( )dt
tdiLte 2
2121 −=
vidi se da izrazi u vitičastoj zagradi predstavljaju 12L odnosno 21L . Kako je 2112 ldldldld = , a
integral po 1C i 2C može da se obavi bilo kojim redom, sledi da je35
MI
LI
L =Φ==Φ=2
2121
1
1212
Zbog jednostavnosti, ponekad se koristi zajednička oznaka M za međusobnu induktivnost. Ovaj rezultat je pogodan kod proračuna međusobne induktivnosti, jer se može računati ona
induktivnost koju je lakše odrediti (za koju je lakše odrediti fluks) tj. 12Φ ili 21Φ . Primer 6.1. Odrediti međusobnu induktivnost dugog provodnika i pravougaone konture (kao na slici 1.27a u prvom poglavlju). Kako smo u primeru 1.13, poglavlje 1, već odredili fluks tog provodnika (označimo ga sa 1, pa je kroz njega struja I1), kroz pravougaonu konturu (označimo je sa 2), to je.
a
adbI +−=Φ ln2
1012 π
µ
Ako primenimo izraz za međusobnu induktivnost preko fluksa, dobijamo
a
adb
IL
+−=Φ= ln2
0
1
1212 π
µ
Napomena: setite se razloga zašto se pojavio predznak ”-”. Takođe razmislite da li biste
mogli izračunati 21Φ , da biste odredili međusobnu induktivnost izrazom 2
2121 I
LΦ= .
Imajući u vidu izraze dobijene kod dokazivanja da je MLL == 2112 , međusobna induktivnost tankih žičanih kontura se može izračunati i izrazom
∫∫==12
2102112 4 CC r
ldldLL
πµ
koji se naziva Nojmanov obrazac. Međusobna induktivnost se može definisati i za dva odsečka (segmenta) provodnika. Međutim, u ovom slučaju se nemože govoriti o fluksu (nema zatvorene konture), već se M definiše
35 Važi za neferomagnetsku sredinu (pri izvođenju je pretpostavljen vazduh). Za nelinerarnu sredinu se nemože definisati. Zakon reciprociteta je važan jer kalemovi ne utiču na reciprocitet kod rešavanja električnih kola.
72
preko indukovane ems. Kako je indukovano električno polje od 1ld sa strujom ( )ti1 , na rastojanju r
od 1ld (slika 6.2)
( )r
ld
dt
tdiEd ind
1101
4πµ−=
a ukupno indukovano električno polje od odsečka dužine 1l
( )∫−=1
1101
4 l
indr
ld
dt
tdiE
πµ
onda je ems koju ( )ti1 u odsečku 1l konture 1C indukuje u odsečku 2l konture 2C
( ) ( )dt
tdiL
dt
tdi
r
ldldldEe ll
lll
indll1
,1210
21, 21
212
21 4−=
−== ∫∫∫ πµ
odakle je
∫∫=21
21
210, 4 ll
ll r
ldldL
πµ
što predstavlja Nojmanov obrazac za međuosbnu induktivnost dva segmenta provodnika. Napomena: integral u izrazu se teško računa, pa se obično računa numeričkim metodama.
Slika 6.2. Uz definiciju međuosbne induktivnosti dva segmenta provodnika
6.2. Sopstvena induktivnost tanke provodne konture
Kontura sa vremenski promenjivom strujom i sama se nalazi u sopstvenom promenjivom električnom polju, pa i u toj (usamljenoj) konturi dolazi do elektromagnetske indukcije (samoindukcije), pa se ta ems naziva elektromotorna sila samoindukcije. I u slučaju međusobne indukcije i samoindukcije, radi se, u suštini, o istoj pojavi. To je u
oba slučaja indukovana ems jednaka linijskom integralu indE duž konture ∫C
ind ldE . Kako je taj
integral jednak dt
dΦ− , gde je Φ magnetski fluks kroz posmatranu konturu, to je ems samoindukcije
( ) ( )dt
tdte s
s
Φ−=
Ako je kontura u linearnoj sredini (bez feromagnetskih materijala), važi
( ) ( )tLit =Φ (*) pa je
73
( ) ( )dt
tdiLte −=
gde je L konstanta koja se naziva sopstvena induktivnost ili samoinduktivnost (ili induktivnost) konture. Zavisi od oblika konture i magnetskih osobina sredine. Kako (*) važi za bilo kakvu promenu struje, pa i vremenski konstantnu struju, to važi36
LI=Φ gde Φ predstavlja sopstveni fluks, a izraz predstavlja definicioni izraz za samoinduktivnost konture.
Postupak proračuna za L je isti kao i za MLL == 2112 . Ako je kontura otvorena, struja je jednaka nuli, ali postoji indukovana električno polje, pa i
indukovana ems, pa i razlika potencijala na krajevima, koja je jednaka (slika 6.3a)
( ) ( ) ( )dt
tdiLtetu s =−=12
Sopstvena induktivnost tanke žičane konture može se izračunati i Nojmanovim obrazcem
∫∫==12
2102112 4 CC r
ldldLL
πµ
, ali kako ga treba primeniti?
Posmatrajmo tanku žičanu konturu. U slučaju dve konture, izračunavanje integrala u Nojmanovom obrazcu za M vrši se duž geometrijskih kontura koje nemaju debljinu i koje se poklapaju (na primer) sa osama te dve žičane konture. Kod računanja samoinduktivnosti L (jedne) tanke žičane konture, trebalo bi da integralimo duž iste geometrijske konture, a tada bi se elementi
1ld i 2ld poklapali, pa je r = 0, i integral ne može da se izračuna (postaje beskonačno veliki). Znači da je L beskonačno veliko. Ali takva beskonačno tanka kontura (provodnik) u stvarnosti ne postoji. Realna kontura uvek ima debljinu, a onda se postupa na sledeći način: pretpostavi se da struja
postoji duž ose konture, a jačina indE koje ta struja stvara se računa na površi provodne konture (slika 6.3b).
a) b)
Slika 6.3 a) indukovana ems i razlika potencijala na krajevima otvorene konture, b) primena Nojmanovog obrazca na realnu konturu
Tako se dolazi do izraza
∫∫='
'0
4CC r
ldldL
πµ
I ovde je izračunavanje integrala teško. Kod izračunavanja energije i sile u magnetskom polju, pokazaćemo da za dve spregnute konture, sa (samo)induktivostima L1 i L2 uvek važi relacija za induktivnosti i međusobnu induktivnost
21212 LLL =≤
36 Induktivnost L je uvek poztivna i ne zavisi od referntnog smera konture.
74
ili u obliku
2112 LLkL = , gde je 1≤k
a, k se naziva koeficijent sprege37 (k = 1, sprega je idealna, k = 0, nema sprege). Svaki namotaj ima sopstvenu induktivnost. U nekim situacijama je ona nepoželjna. Ako je treba umanjiti, onda se koristi tzv. bifilarni zavojak (slika 6.4). U ovom slučaju imamo praktično dva provodnika sa istim strujama suprotnog smera, veoma blizu (priljubljeni), pa su sopstveni
fluks38, a onda i sopstvena induktivnost, veoma mali (indE je praktično isto na oba provodnika, a suprotnog smera).
Slika 6.4. Bifilarni zavojak
Sličan je slučaj sa tzv. upredenim vodom39, slika 6.5, gde se indukovane ems ∫= ldEe ind
poništavaju na susednim ld oba provodnika.
Slika 6.5. Upredeni vod (upredena parica)
Žičanu konturu, u kojoj se javlja samo indukovana ems (ostale efekte, kao što su Džulovi
gubici, nagomilavanje naelektrisanja i zračenje elektromagnetskih talasa, zanemarujemo), nazivamo idealni kalem (induktivni kalem), i na eletričnim šemama označava se kao na slici 6.6a, a ako je sa promenjivom samoinduktivnošću, onda kao na slici 6.6b.
Slika 6.6. Simbol (oznaka na šemama) induktivnog kalema fiksne induktivnosti (a) i promenjive (b) Ako je potreban element čije se L može menjati onda se koristi:
- namotaj sa jezgrom od ferita koje se može uvlačiti u namotaj, - dva namotaja vezana na red čiji se međusobni položaj može menjati (što se naziva
variometar), slika 6.7.
Slika 6.7. Variometar
Sve do sada rečeno, važilo je za tanke konture. Induktivnost debelih kontura se nemože
računati na ovaj način (preko indukovane ems ili preko fluksa) jer nije jasno koju liniju duž kontura treba uzeti za izračunavanje indukovane ems odnosno fluksa. O L i M debelih kontura govorićemo kod analize energije u magnetskom polju. Još jedna napomena. Sopstvenu induktivnost smo definisali magnetskim fluksom kroz konturu na površi provodnika. Polje (magnetsko) postoji i u provodniku, ali ga nismo uzeli u obzir. 37
Da bi se matematički opisala jačina sprege između kalemova, uvodi se koeficijent induktivne sprege. To je čist broj koji može biti između 0 i 1. 38 Ovde imamo u vidu tzv. spoljašnji fluks (fluks izvan provodnika). 39 Upredeni vod (upredena parica) se koristi kao kabl za povezivanje u računarskim mrežama, gde se, zavisno od učestanosti signala za koju je vod namenjen, definiše broj upredanja po jedinici dužine (metru).
75
Zboga toga se takva samoinduktivnost naziva spoljašnja samoinduktivnost. Kada budemo analizirali energiju magnetskog polja i izračunavanje induktivnosti preko energije, tada ćemo odrediti i deo induktivnosti određen magnetskim poljem u unutrašnjosti provodnika, tzv. unutrašnju samoinduktivnost. Ukupna induktivnost je njihov zbir, kao što ćemo pokazati u odeljku 7.4.
6.3. Određivanje jačine struje u kolu sa induktivnim kalemom
Posmatrajmo usamljeno kolo otpornosti R, i (samo)induktivnosti L, u koje je uključen izvor
vremenski promenjive ems ( )te , slika 6.8. Pod dejstvom ( )te u kolu postoji struja ( )ti . Ta struja ( )ti pouzrokuje indukovano električno polje indE u okolini konture i duž konture. Kako je
0kontura duž
≠∫ ldE ind , to je ekvivalentno nekoj dopunskoj ems koja deluje u konturi i koju nazivamo ems
samoindukcije. Tako ( )ti koja je primarno posledica ( )te , zavisi od R, ali i od ems samoindukcije.
Slika 6.8. Kontura uključena na izvor vremenski promenjive ems
Referentni smer, u odnosu na koji važe matematički izrazi za struju i ems, odnosi se na
stvarni smer struje u intervalima kada je ona pozitivna (u intervalima kada je negativna, njen stvarni smer je suprotan referentnom)40. Ems samoindukcije koja deluje u kolu (u odnosu na referentni smer konture) je
( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdteS −=Φ−= (*)
Kako u ovom prostom kolu deluju ( )te i ( )teS , to je
( ) ( ) ( )R
teteti S+=
Odatle je
( ) ( ) ( )tetRite S−= (**)
Posle zamenjivanja (*) u (**), dobijamo
( ) ( ) ( )dt
tdiLtRite += (***)
Ovo je diferencijalna jednačina. Iz nje se može odrediti ( )ti za bilo koje ( )te . Ali mi to sada nećemo rešavati U slučaju vremenski konstantnih struja ova jednačina dobija oblik
RIE =
40 O referentnom smeru i definiciji promenjive struje detaljnije ćemo govoriti u drugom delu ovog predmeta, tj. delu o vremenski promenjivim strujama
76
6.4. Savršeno provodna kontura u magnetskom polju
U prirodi nema savršenih provodnika (čije je 0=ρ ), ali neki metali na veoma niskim temperaturama postaju praktično savršeni provodnici (kod vremenski konstatnih struja nazvali smo ih superprovodnici). Zamislimo da u konturi nije priključen nikakav izvor, ali da kroz konturu postoji vremenski
promenjivi strani fluks ( )tstrΦ koji potiče, na primer, od promenjivih struja u bliskim konturama ili
od magneta koji približavamo ka ili udaljavamo od konture. U konturi se indukuje ( )ti . Neka je induktivnost konture L. Za struju u savršeno provodnoj konturi važi isti izraz kao za običnu otpornu konturu (odeljak 6.3 izraz (***)), ali je 0=R , a umesto e(t) uzrok promene struje je Φstr(t), tj.
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiLtRi
dt
tdiL
dt
td str =+=Φ−
Ako integralimo levu i desnu stranu jednačine, dobijamo ( ) ( ) ( ) 0Φ+Φ−=Φ= tttLi strs
Dakle, ukupni fluks koji u nekom trenutku t postoji kroz konturu jednak je zbiru stranog i sopstvenog fluksa
( ) ( ) ( ) .0 constttt strsuk =Φ≡Φ+Φ=Φ Odavde sledi da fluks kroz savršeno provodnu konturu ne može da se promeni unošenjem konture u strano magnetsko polje ili promenom stranog magnetskog polja u vremenu. Naime, zbog elektromagnetske indukcije, u konturi bi se u svakom trenutku indukovala tačno onolika struja,
kolika je potrebna da svojim fluksem poništi strani fluks kroz konturu. 0Φ može biti i nula. Ovo je granični slučaj Lencovog zakona, po kom indukovana struja u konturi uvek teži da spreči promenu fluksa kroz konturu.
Ako kroz usamljenu provodnu konturu postoji neki (sopstveni) fluks 0Φ , onda u konturi postoji vremenski konstantna struja
LI 0
0
Φ=
Ako se kontura unese u strano magnetsko polje čiji je fluks kroz konturu ( )tstrΦ , u konturi će se indukovati dopunska struja, jačine
( ) ( )L
tti strΦ−=
Prema jednačini L
I 00
Φ= , struja u savršeno provodnoj usamljenoj konturi zadržava svoju
jačinu neograničeno vreme (iako u konturi nije uključen izvor ems). Struja ne slabi jer je otpornost konture jednaka nuli.
6.5. Jednačine za jačine struja u dva kola spregnuta posredstvom magnetskog polja
Posmatrajmo dve ”magnetski” spregnute provodne nepokretne konture kao na slici 6.9. Ako
su ( ) .constte = , sprega ne postoji. Indukovana ems postoji samo ako su struje vremenski promenjive. Ali tada u svakoj konturi, pored ems izvora, deluju još dve ems:
- ems samoindukcije ( ( ) ( )dt
tdiLteS
111
−= ), i ( ) ( )dt
tdiLteS
222
−= );
77
- ems zbog međusobne indukcije ( ( ) ( )dt
tdiLte 1
1212 −= i ( ) ( )dt
tdiLte 2
2121 −= ).
Slika 6.9. Dve ”magnetski” spregnute provodne nepokretne konture
Prema tome za jačinu struje u konturama važe relacije
( ) ( ) ( ) ( )1
2111
1
R
teteteti S ++
= , i
( ) ( ) ( ) ( )2
1222
2
R
teteteti S ++
=
Posle zamene izraza za ems samoindukcije i ems međusobne indukcije, dobijamo
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdiLtiRte 2
121
1111 ++= , i
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdiLtiRte 1
212
2222 ++=
uz napomenu da je 2112 LL = .
Znak međusobne induktivnosti 12L zavisi od stvarnog načina motanja namotaja, ali i od usvojenog referentnog smera za struju u obe konture (koji je usvojen u referentnom smeru odgovarajuće ems). Ako su ti smerovi takvi da struja u referentnom smeru u jednoj konturi stvara pozitivan fluks kroz drugu, znak je pozitivan, a ako stvara negativan fluks, znak je negativan. Pošto se način motanja na električnim šemama ne vidi, dogovorno su za to usvojene oznake (slika 6.10).
Tako je 012 >L ako je u oba namotaja strelica koja označava usvojeni referentni smer struje
usmerena bilo ka tački ili od nje. Ako je jedna strelica ka tački, a druga od nje, onda je 012 <L .
Slika 6.10. Primeri određivanja položaja tačaka
Primer 6.2. Odrediti međusobnu induktivnost dva redno vezana kalema induktivnosti 1L i
2L , spregnutih kao na slici 6.11 (uočite gde su tačke koje označavaju način motanja odnosno sprege).
78
Slika 6.11. Primer spregnutih kalemova sa M ˃ 0
Napon na krajevima redne veze, imajući u vidu da je 02112 >== MLL , i ako kalemovi
imaju otpornost koja je za oba kalema jednaka R (ako je R = 0, onda člana ( )tRi nema) je ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tetetetetRitu ss 2112 21
−−−−=
odnosno
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdiL
dt
tdiL
dt
tdiLtRitu 212121 ++++=
ili
( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiLLLtRitu 1221 2+++= (*)
jer je 2112 LL = , a može se napisati i u obliku
( ) ( ) ( )dt
tdiLtRitu e+= (**)
Ovaj izraz upravo odgovara izrazu za ekvivalentni kalem induktivnosti eL i otpornosti R, pa iz poređenja izraza (*) i (**) sledi da je
1221 2LLLLe ++=
Ako je jedna tačka na početku, a druga na kraju kalema (to bi odgovaralo, na primer, ekvivalentnoj šemi bifilarnog zavojka) u rezultatu bi se dobilo
1221 2LLLLe −+=
Ako na šemama postoji više kalemova međusobno spregnutih, uvodi se više različitih simbola (prazan kružić, kvadratić, zvezdica), i tada se posmatraju strelice u odnosu na iste simbole.
Samostalno odrediti ekvivalentnu induktivnost paralelne veze kalemova induktivnosti 1L i
2L , ako su tačke na mestu gde obe struje ulaze ili izlaze. Rezultat je 1221
21221
2LLL
LLLLe −+
−= .
Ekvivalentna induktivnost mreža kalemova lakše se određuje metodama analize kola prostoperiodičnih struja, što ćemo videti u drugom delu ovog predmeta.
6.6. Teorija savršenog električnog transformatora
Električni transformatori (transformator, trafo) su naprave kojima možemo da povećavamo ili smanjujemo promenjive (na primer, prostoperiodične) napone. Transformator se obično sastoji od feromagnetskog jezgra i dva namotaja (slika 6.12a). Na jedan od namotaja, koji se naziva primarni (primar) vezuje se izvor promenjive ems, i referentni smerovi za napon i struju su usaglašeni kao za generator, a na drugi, koji se naziva sekundarni namotaj (sekundar), vezuje se prijemnik, i referentni smerovi za napon i struju su usaglašeni kao za
prijemnik (slika 6.12a, slika 6.12b je električna šema). Neka primarni namotaj ima 1N , a sekundarni
2N zavojaka. Energija se prenosi od primara ka sekundaru posredstvom vremenski promenjivog magnetskog polja u jezgru transformatora, i vremenski promenjivog indukovanog električnog polja
79
koje ga prati i postoji u okolini jezgra transformatora. Zavojci primara i sekundara nalaze se u tom električnom polju koje potiče od struja u njima, ali i od struje ekvivalentne Amperovim strujama koje postoje na površi jezgra. Indukovano električno polje je teško odrediti, pa se ems određuje
preko fluksa kroz jezgro ( )tjΦ .
Slika 6.12. Električni transformator: a) skica, b) električna šema savršenog transformatora
Radi smanjenja gubitaka usled vrtložnih struja jezgro trafoa se, kako smo objasnili u odeljku 5.4, pravi od tankih međusobno izolovanih limova (za relativno niske učestanosti do par desetina hiljada Hz), ili od ferita (za visoke učestanosti). Rasipni fluks koji se zatvara kroz vazduh postoji uvek, ali ćemo ga zanemariti. Zanemarićemo i gubitke zbog vrtložnih struja u jezgru, histerezisa, i otpornosti samih namotaja. Transformator bez rasipnog fluksa i bez gubitaka (mogu se zanemariti) naziva se savršen (k = 1, videti odeljak 6.2, i kod trafoa u prostoperiodičnom režimu, u drugom delu predmeta). Gubici u realnim trafoima su obično manji od 10%, a za velike trafoe manji su od (1-2)%. Analiziraćemo dva slučaja (režima) rada transformatora:
1) sekundarni namotaj je otvoren ( 02 =i ), naziva se i prazan hod (neopterećen transformator). Tada kroz primarni namotaj postoji struja, pa je napon na krajevima primara
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dt
tdiL
dt
tdiLtiRtetiRtu s
01
1
01
111111 1=+=−= jer je 01 =R (odnosno zanemareno), gde je 1L
induktivnost primara, a ( )ti 01 struja magnetisanja ili struja primara u režimu praznog hoda. Ova
struja stvara magnetski fluks ( )tjΦ kroz jezgro takav da je napon na krajevima primara
( ) ( ) ( )dt
tdNtetu j
s
Φ=−= 11 (*)
Pošto je fluks po zavojku kroz primar i sekundar isti (fluks kroz jezgro ( )tjΦ ), a rasipni fluks se zanemaruje, u sekundaru se indukuje ems (imajući u vidu pretpostavku da je smer motanja sekundara takav da je fluks kroz njega negativan, videti položaj tačaka na slici 6.12) jednaka
( ) ( )dt
tdN
dt
tdN jj Φ
=
Φ−− 22
Zbog toga između krajeva sekundara postoji napon
( ) ( )dt
tdNtu jΦ
= 22 (**)
Ako relaciju (*) podelimo sa relacijom (**), dobijamo ( )( ) 2
1
2
1
N
N
tu
tu=
Ova relacija važi za savršen transformator (k = 1) u praznom hodu.
80
2) na krajeve sekundara je vezan prijemnik (opterećen transformator).
Sada kroz zavojke sekundara teče struja ( )ti2 i stvara u jezgru dopunski fluks. Međutim, fluks kroz jezgro nemože da se promeni jer je primar priključen na generator koji drži isti napon
(relacija (*)). Zbog toga se struja kroz primar poveća u odnosu na ( )ti 01 upravo za toliko da bi se
poništio fluks struje ( )ti2 .
Ako zanemarimo rasipni fluks, fluks kroz jezgro koji potiče od dopunske struje ( )ti '1 primara
srazmeran je proizvodu ( )tiN '11 , a fluks koji potiče od struje ( )ti2 srazmeran je ( )tiN 22 . Ta dva
fluksa moraju biti istog intenziteta, a suprotnog smera, tj. ( ) ( )tiNtiN '1122 = a to je moguće ako se
( )ti '1 i ( )ti2 menjaju u vremenu po istom zakonu i ako su njihovi referentni smerovi isti. Dakle
imamo
( )( ) 1
2
2
'1
N
N
ti
ti =
što takođe važi za savršeni transformator.
S obzirom da je praktično ( ) ( ) ( ) ( )titititi i'1
'1
01 ≈+= , to se može pisati
( )( ) 1
2
2
1
N
N
ti
ti ≈
Ove približne relacije mogu da se koriste i za realne transformatore.
Ako je magnetsko telo kola na slici 6.12 tanko (može biti i torusnog oblika), površine poprečnog preseka S, i srednje dužine l, i na njemu namotano, ravnomerno i gusto, N zavojaka tanke
žice (kalem), po celom telu, onda je NIHl = , pa je l
NIHB µµ == . Fluks kroz N zavojaka na
jezgru je Sl
INNBS
2
µ==Φ , pa je induktivnost takvog namotaja l
SN
IL
2
µ=Φ= . Slično se za
međusobnu induktivnost dva takva kalema sa zavojcima N1 i N2 namotana, jedan preko drugog
(može biti transformator), dobija l
SNNMLL 21
2112 µ=== . Induktivnosti ovih kalemova su
l
SNL
21
1 µ= i l
SNL
22
2 µ= . Očigledno je 2112 LLL = za k = 1.
6.7. Merenje magnetske indukcije pomoću probnog navojka i jednačina protoka
Probnim navojkom se naziva mali namotaj41 od nekoliko tesno priljubljenih zavojaka tanke žice, čiji su krajevi vezani za balistički galvanometar (BG), instrument koji meri proteklu količinu elektriciteta kroz kolo, videti sliku 3.14.
Pomoću probnog navojka može se izmeriti intenzitet ili priraštaj B u okolini neke tačke magnetskog polja. Setite se da smo ovo pominjali kao metod koji se može koristiti i kod eksperimentalnog određivanja krive magnetisanja feromagneskog materijala (pododeljak 3.6). Pretpostavimo da probni navojak ima N zavojaka, da je S površina svakog zavojka, i da je
strΦ ukupan fluks stranog polja kroz svih N zavojaka.
41 Namotaj se sastoji od zavojaka.
81
Pretpostavimo da se fluks kroz navojak menja bilo zbog kretanja navojka, bilo zbog promene magnetskog polja u vremenu, bilo zbog oba uzroka istovremeno. Neka je R otpornost celog zatvorenog kola, a L njegova induktivnost (slika 6.13), tada je u nekom trenutku t jačina struje (videti odeljak 6.3)
( ) ( ) ( )R
teteti Sind +=
Kako je ( ) ( )dt
tdte str
ind
Φ−= i ( ) ( )dt
tdiLteS −= , to se prethodna relacija može pisti u obliku
( ) ( ) ( )tRidt
tdiL
dt
td str +=Φ−
Slika 6.13. Probni zavojak sa balističkim galvanometrom
Kada ovu relaciju pomnožimo sa dt i imajući u vidu da je ( ) ( )dt
tdqti = , gde je ( )tdq protekla
količina elektriciteta kroz kolo u toku intervala vremena dt (u usvojenom referentnom smeru), dobijamo
( ) ( ) ( )tRdqtLditd str +=Φ−
odakle je
( ) ( ) ( )tdiR
Ltd
Rtdq str −Φ−= 1
Neka je do trenutka 0t fluks kroz zavojak bio vremenski konstantan i jednak ( )0tstrΦ , pa je
indukovana struja ( ) 0=ti za 0tt < (nema promene fluksa, pa nema indE ), slika 6.14. Neka se od
10 tt ÷ , strΦ kroz kolo menja, ali za 1tt > opet je konstantan i jednak ( )1tstrΦ , ali je ( ) 0=ti tek od
2t . Prema tome u intervalu 10 tt ÷ u kolu se indukuje ems ( )
dt
td strΦ− i kroz kolo postoji struja (koja
sa svoje strane indukuje ems samoindukcije). U intervalu 21 tt ÷ struja u kolu postoji zbog toga što ( )tes postoji i posle trenutka 1t , kada fluks strΦ prestaje da se menja, i suprotstavlja se isčezavanju
struje.
Ukupna količina elektriciteta koja protekne kroz kolo u intervalu 20 tt ÷ je
( ) ( ) ( )∫∫∫ −Φ−==∆2
0
2
0
2
0
1t
t
t
t
str
t
t
tdiR
Ltd
Rtdqq
ili ( ) ( ) ( ) ( )[ ]02
20 titiR
L
R
ttq strstr −−Φ−Φ=∆
Kako je, po pretpostavci, za 2tt > , ( ) .1 consttstrstr =Φ=Φ , to je ( ) ( )12 tt strstr Φ=Φ . Takođe
za 2tt ≥ je ( ) 02 =ti , a po pretpostavci ( ) 00 =ti , pa je izraz u uglastoj zagradi nula, te je
( ) ( )R
ttq strstr 20 Φ−Φ=∆ ili
Rq
∆Φ=∆
82
Poslednja relacija se naziva i jednačina protoka.
Slika 6.14. Uz izvođenje jednačine protoka
Ako pretpostavimo da je u početnom i krajnjem trenutku navojak upravan na linije vektora
B i da je magnetsko polje u okolini navojka praktično homogeno (važi ako su dimenzije navojka male), tada je
( ) ( )00 tNSBSBNsdBNtS
str ===Φ ∫ , i analogno ( ) ( )11 tNSBtstr =Φ
pa je
( ) ( )[ ]10 tBtBR
NSq −=∆
odakle je
( ) ( )NS
qRtBtB
∆−= 01
Ovaj izraz je pogodan za određivanje krive magnetisanja (počinje se od ( ) 00 =tB ).
Ako želimo pomoću probnog navojka izmeriti B u nekoj tački polja, možemo ga izvući iz
polja ili polje isključiti, tada je ( ) 01 =tB , pa je
( )NS
qRtB
∆=0
Protok q∆ se meri sa balističkim galvanometrom (BG), a N i S su poznate veličine.
Eksperiment se ponavlja dok se ne dobije maksimalno pokazivanje BG (tada je B upravan na ravan
zavojka). Smer ( )0tB se dobija po pravilu desne zavojnice u odnosu na stvarni smer protekle
količine elektriciteta q∆ kroz kolo. Ovakav instrument se zove fluksmetar.
83
7. ENERGIJA I SILE U MAGNETSKOM POLJU Energijski odnosi se ne mogu razmatrati bez poznavanja elektromagnetske indukcije. Posmatrajmo strujnu konturu sa vremenski konstantnom strujom. Da bi se ova struja uspostavila, neophodno je da se u nekom ranijem vremenskom intervalu jačina struje povećavala od nule do te konstantne vrednosti42. Tom prilikom je u konturi postojala i ems samoindukcije, koja se (po Lencovom zakonu) protivila uspostavljanju struje u kolu. Rad koji je potrebno izvršiti da bi se uspostavila ta struja (odnosno uspostavilo magnetsko polje u okolini kola) je upravo rad izvora protiv (te) ems samoindukcije. To je ujedno i energija koju je potrebno utrošiti na uspostavljanje magnetskog polja.
7.1. Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja
Neka su struje ( )ti1 , ( )ti2 , … , ( )tin , koje postoje u n tankih žičanih kontura, izvori
promenjivog magnetskog i indukovanog električnog polja. Neka su otpornosti kontura 1R , 2R , … ,
nR , a ems generatora koji su u konture uključeni ( )te1 , ( )te2 , … , ( )ten . Struje i ems su date u odnosu na iste referentne smerove duž kontura. Neka se neke (ili sve) konture deformišu i kreću pod dejstvom magnetskih sila, i neka se u polju nalaze i feromagnetska tela (takođe mogu da se kreću pod dejstvom magnetskih sila), što je opšti slučaj. Neka je rad svih generatora uključenih u sve konture u malom intervalu vremena dt jednak
gdA . Rad gdA brojno je jednak energiji svih generatora utrošenoj u tom intervalu vremena. Ta energija mogla je da se utroši na sledeća tri načina:
1- na Džulove gubitke jdA u konturama u tom intervalu vremena,
2- na rad magnetskih sila sila mag.dA izvršen pri deformaciji ili pomeranju kontura ili tela u polju, i
3- na rad mdA koji se mora izvršiti da bi se izmenilo magnetsko polje u okolini kontura (promena magnetske energije).
Prema tome, po zakonu održanja energije, za ceo sistem, mora biti
mjg dAdAdAdA ++= sila mag. (*)
Rad svih generatora jednak je zbiru radova pojedinih generatora ( )kgdA , k=1, 2, … , pa, za n
generatora uključenih u pojedine konture, imamo ( )∑=
=n
kkgg dAdA
1 .
Kako je rad jednog (k-tog) generatora ( ) ( ) ( )dttitedA kkkg = , a ( ) ( ) ( )dt
tdtiRte k
kkk
Φ+= , to
posle zamene, dobijamo ( ) ( ) ( ) ( )tdtidttiRdA kkkkkg Φ+= 2, pa je
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑===
Φ+==n
kkk
n
kkk
n
kkgg tdtidttiRdAdA
11
2
1
42 Ovde se odvija prelazni proces, koji nećemo razmatrati.
84
Očigledno da ( )∑=
n
kkk dttiR
1
2 predstavlja ukupne Džulove gubitke jdA u intervalu dt , pa se
prethodna relacija može pisati u obliku
( ) ( )∑=
Φ=−n
kkkjg tdtidAdA
1
(**)
Poređenjem relacija (*) i (**) dobijamo osnovnu jednačinu za analizu bilansa energije u vremenski promenjivom magnetskom polju
( ) ( )∑=
Φ=+n
kkkm tdtidAdA
1sila mag.
Ova relacija važi uopšte i osnovno je polazište, pa ju je važno znati. U posebnom slučaju kada su sve strujne konture krute i nepokretne, i sva tela (pa i
feromagnetska) u okolini kontura nepokretna, je 0sila mag. =dA , pa iz prethodne relacije sledi
( ) ( )∑=
Φ=n
kkkm tdtidA
1
(***)
što predstavlja rad potreban da bi se fluks izmenio za 1Φd , 2Φd , …, ndΦ . Ako postoji samo jedna kontura, onda se relacija svodi na
( ) ( )tdtidAm Φ=
Ukupni rad koji treba izvršiti pri uspostavljanju vremenski konstantnih struja u konturama
jačine 1I , 2I , … , nI , pri kojima je ukupni magnetski fluks kroz konture 1Φ , 2Φ , … , nΦ , a imajući u vidu relaciju (***), je
( ) ( ) ( )∑ ∫∫=
ΦΦ
Φ==n
kkkmm
kk
tdtidAA1 00
struja uklj. (1)
što je rad potreban da se fluks u nepokretnim krutim konturama poveća od nule do 1Φ , 2Φ , … ,
nΦ . Ako bi se struje postepeno isključivale, na račun ove energije bio bi izvršen rad
( ) ( ) ( )∑ ∫= Φ
Φ=n
kkkm
k
tdtiA1
0
struja isklj. (2)
Pretpostavimo da u okolini kontura nema feromagnetskih tela (sredina je linearna), u suprotnom desne strane prethodne dve relacije nisu jednake zbog histerezisnih gubitaka. Kako u linearnoj sredini nema gubitaka, to redosled uključivanja i isključivanja struja nije bitan, tj. desne strane jednačina imaju istu vrednost.
Zamislimo da sve struje linearno rastu od nule do konačne vrednosti, tj. ( )T
tIti kk = , za
Tt ≤≤0 , gde je T vreme uspostavljanja struje u sistemu. Tada, s obzirom da je fluks proporcionalan
struji ( ( ) ( )tLit =Φ ), je ( )T
t
T
tLIt kkk Φ==Φ , a promena fluksa je ( )
T
dttd kk Φ=Φ , pa je, na
osnovu (1)
( ) ∑ ∫∑∫==
Φ=Φ=
n
k
Tkk
n
k
T
kkm tdtT
I
T
dt
T
tIA
1 02
1 0struja uklj.
Konačno je
85
( ) ∑=
Φ=n
kkkm IA
1struja uklj. 2
1 (3), što važi za linearne sredine.
Energija jednaka ovom radu je ”deponovana” u sistemu strujnih kontura u linearnoj sredini i
naziva se magnetska energija i obeležava sa mW . Isključivanjem struja ova energija se potpuno vraća iz sistema (jer je sredina linearna).
Ako u polju postoje tela od feromagnetika, relacijom (1) se može izračunati samo energija potrebna za uspostavljanje polja, jer desne strane jednačine (1) i (2) nisu više iste (zbog histerezisnih gubitaka).
Na osnovu relacije (3) magnetska energija sistema od n strujnih kontura u neferomagnetskoj sredini (jednaka je radu) je
∑=
Φ=n
kkkm IW
121
U posebnom slučaju kada se radi usamljenoj strujnoj konturi43 je
LLIIWm
22
21
21
21 Φ==Φ=
imajući u vidu da je LI=Φ .
7.2. Raspodela energije u magnetskom polju
Energija potrebna za uspostavljanje magnetskog polja može se izračunati relacijom
∑=
Φ=n
kkkm IW
12
1. Međutim, može i preko gustine energije, slično kao u elektrostatici. Do relacije za
gustinu energije magnetskog polja možemo doći na sledeći način. Posmatrajmo tanko torusno jezgro, površi poprečnog preska S, srednjeg poluprečnika R,
gusto namotanih N zavojaka tanke žice, po celom jezgru, i struje ( )ti kroz namotaj (slika 7.1). Tada
je ( ) ( )R
tNitH
π2= (videti podpoglavlje 3.6), odakle je ( ) ( )
N
tRHti
π2= . Priraštaj fluksa kroz jezgro
torusa u intervalu dt jednak je ( ) ( )tSdBtd j =Φ , pa je priraštaj ukupnog fluksa kroz svih N
zavojaka ( ) ( ) ( )tNSdBtNdtd j =Φ=Φ . Rad koji mora da se izvrši da bi se fluks kroz jezgro
promenio od 1Φ do 2Φ je (na osnovu relacije (1), jedna kontura)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ =Φ=Φ
Φ
kk B
B
m tdBtHRStdtiA11
212Φ do Φ od π
gde su 1B početna, a 2B krajnja vrednost magnetske indukcije u jezgru. Kako je polje u torusu, u istom trenutku, isto u svim tačkama, a RSπ2 predstavlja zapreminu jezgra (torusa), onda delenjem prethodne relacije sa zapreminom dobijamo
( ) ( )∫=
kB
B
m tdBtHdv
dA
121 B do B od
43 Setite se, u elektrostatici smo za energiju kondenzatora dobili relacije C
QCUQUWe
22
2
1
2
1
2
1 ===
86
Ova relacija važi uopšte44. Predstavlja (zapreminsku) gustinu energije u elementu zapremine dv odnosno gustinu energije utrošene pri promeni magnetske indukcije od vrednosti 1B do 2B .
Slika 7.1. Tanko torusno jezgro sa gusto namotanim zavojcima tanke žice, po celom jezgru
U slučaju linearne sredine, µ/BH = , i ako pretpostavimo da je 01 =B , a BB =2 , dobijamo
µµµ 2
1 2
00B do 0 od
BBdBdB
B
dv
dA BBm ===
∫∫
U linearnoj sredini se, kako smo ranije zaključili, ova energija dobija u celini iz sistema ako se polje isključi, pa je to gustina magnetske energije i može se napisati u sledećim oblicima
BHHB
wdv
dWm
m
2
1
2
1
22
2
==== µµ
Važi za linearne sredine. Na osnovu ovoga magnetska energija bilo kog sistema struja je
∫∫ ==vv
mm dvHdvwW 2
2
1 µ
gde je vzapremina prostora gde postoji polje.
7.3. Gubici u feromagnetskom materijalu zbog histerezisa
Sa slike 7.2a je očigledno da je HdB (što predstavlja gustinu energije koju treba utrošiti da bi se u nekoj tački u kojoj je jačina polja H, indukcija promenila za dB) proporcionalno površini osenčenog pravougaonika.
Može se pokazati da su histerezisni gubici srazmerni prvom stepenu učestanosti45 i površini
histerezisne petlje. Za aproksimiranu histerezisnu petlju sa slike 7.2b je mm
B
B
m HBHdBWm
m
2== ∫−
.
Srednja snaga gubitaka usled histerzisa je ∫∫ ==v
m
v
mh dvwfdvwT
P1
. Odnosno za torusno jezgro
poprečnog preseka S i dužine l je SlHfBP mmh 2= .
44 Može poslužiti i za određivanje histerezisnih gubitaka. 45 Setite se da su kod vrtložnih struja gubici srazmerni kvadratu učestanosti.
87
a) b)
Slika 7.2. Uz određivanje gubitaka u feromagnetskom jezgru
7.4. Samoinduktivnost i otpornost debelog provodnika sa dva priključka pri sporim promenama jačine struje
Posmatrajmo krut provodnik proizvoljnog oblika i debljine, koji ima dva priključka, i nalazi se u magnetski linearnoj sredini (slika 7.3).
Slika 7.3. Realan zavojak U slučaju dovoljno sporih promena jačine struje (tako da se površinski efekat može
zanemariti, .constJ ≈ ), otpornost i samoinduktivnost provodnika se mogu proračunati relacijama
( )22 i
P
dti
tdAR jj == i
2
2
i
WL m=
gde je jP ukupna snaga Džulovih gubitaka u provodniku, a mW ukupna energija u celom magnetskom polju. Magnetsku energiju možemo računati i kao zbir magnetskih energija u polju unutar provodnika i polju van provodnika46, tj.
( ) ( ) prov.van prov.u mmm WWW +=
pa se, na osnovu toga i za samoinduktivnost može pisati
spoljašnjeunutrašnje LLL +=
gde je
46 Magnetska energija se računa, na primer, relacijom ∫=v
m dvHW 2
2
1 µ
88
( )2
provodnikuu unutrašnje
2
i
WL
m= i ( )
2
provodnikavan spoljašnje
2
i
WL
m=
Relacija za unutrašnjeL važi pri sporim promenama struje, a spoljašnjeL ne zavisi u većoj meri
od brzine promene jačine struje, osim kod vrlo debelih provodnika. spoljašnjeL se obično računa
preko fluksa, a uvek se može računati (definisati) preko energije. Primer 7.1. Odrediti samoinduktivnost veoma dugog pravog provodnika kružnog poprečnog preseka poluprečnika a (pri sporim promenama struje), slika 7.4.
Slika 7.4. Uz određivanje samoinduktivnosti veoma dugog pravog provodnika kružnog preseka
Pri dovoljno sporim promenama struje površinski efekat se može zanemariti, pa je struja
ravnomerno raspodeljena po poprečnom preseku, kao kod vremenski konstantnih struja
( .constJ ≈ ), pa se za ar < , na osnovu uopštenog Amperovog zakona, dobija ( ) ra
IrH
22π= , pa je
gustina magnetske energije u provodniku ( )22
222
22
1
2
1
a
rIH
dv
dWm
πµµ == .
Magnetska energija sadržana u polju unutar provodnika na dužini b je (integralimo po zapremini, elementarna zapremina je cevastog oblika, debljine dr, tj. rbdrdv π2= ), pa je
( ) ( )π
µπ
µπµµ164
22
1
2
1 2
0
34
2
0
22prov.u
bIdrr
a
bIrbdrrHdvHW
aa
v
m ==== ∫∫∫
Na osnovu relacije ( )
2
provodnikuu unutrašnje
2
i
WL
m= , iz prethodne jednačine dobijamo
bLπµ8unutrašnje= , pa je podužna unutrašnja samoinduktivnost
πµ8
unutrašnje'unutrašnje ==
b
LL
Ova relacija strogo važi za prav provodnik, a približno ako nije prav. Ukupna induktivnost provodnika dužine l je
lLLπµ8spoljašnje+=
Kao što smo već napomenuli, obično se spoljašnja induktivnost računa preko fluksa (a ne preko energije), tj.
89
IL spoljašnje
spoljašnje
Φ=
7.5. Opšti metod izračunavanja magnetskih sila
Ranije smo pokazali da se sila i momenat na ceo povodnik sa strujom I, ili njegov deo, ako
je poznato B u svakoj njegovoj tački, može izračunati polazeći od izraza
BxlIdFd =
Ali slično kao u elektrostatici mF i mM se može izračunati i preko energije. Napominjemo da, za razliku od električnih sila koje su male, magnetske sile su znatne i praktično se koriste za pretvaranje električne energije u mehaničku i obrnuto. Posmatrajmo n strujnih kontura u linearnoj sredini. Pretpostavimo da se jedna kontura, ili telo sistema, u intervalu vremena dt malo pomerila ili deformisala (i ovde kao u elektrostatici posmatramo male promene sistema). Po zakonu održanja energije važi (videti podpoglavlje 7.1)
( ) ( )∑=
Φ=+n
kkkm tdtidAdA
1sila mag.
Kako je sredina linearna, mm dWdA = celog sistema, pa je
( ) ( )∑=
Φ=+n
kkkm tdtidAdW
1sila mag. (1)
Pretpostavimo sada proizvoljan sistem nepokretnih krutih strujnih kontura i nepokretnih idealizovanih (linearnih) feromagnetskih tela (bez gubitaka). Pretpostavimo da se samo osenčeno
telo (slika 7.5) pod dejstvom rezF i rezM pomerilo ili okrenulo (sva ostala tela i konture su krute i nepokretne, tj. mehanički čvrsto vezani).
Slika 7.5. Sistem kontura sa strujama i feromagnetskim materijalima
Ako je sila rezF izvršila malo pomeranje tela za dx u pravcu i smeru x ose ili se pod
dejstvom rezM telo okrenulo oko te ose za mali ugao xdα , magnetske sile su izvršile rad
xxdFdA =sila mag. (2)
odnosno
xxdMdA α=sila mag. (3)
90
Bez dokazivanja, konstatujmo da rad magnetskih sila pri maloj promeni sistema ne zavisi od načina promene jačine struje u konturama ili fluksa kroz njih. Zbog toga možemo da zamislimo takvo pomeranje tela da jednačina (1) bude što jednostavnija. To je, na primer, ako pri pomeranju jednog tela magnetski fluksevi kroz sve konture ostaju isti, ili ako jačine struja u svim konturama ostaju iste, tj. imamo dva slučaja.
1) pri pomeranju jednog tela magnetski fluksevi kroz sve konture ostaju isti
U ovom slučaju je 0=Φ kd za sve konture, tj. rad svih generatora uključenih u konture je nula (ne računajući energiju pretvorenu u toplotu), pa je na osnovu (1) ukupan rad magnetskih sila jednak negativnoj vrednosti priraštaja magnetske energije, tj.
mdWdA −=sila mag. za .constj =Φ
Kombinovanjem ove jednačine sa jednačinama (2) i (3) dobija se
.const
mx
jdx
dWF
=Φ
−= , i .constx
mx
jd
dWM
=Φ
−=α
2) pri pomeranju jednog tela jačine struja u svim konturama ostaju iste
U ovom slučaju, u skladu sa jednačinom ∑=
Φ=n
kkkm IW
12
1, mora da se menja kΦ , tj.
∑=
Φ=n
kkkm dIdW
12
1, pa jednačina (1) postaje
m
n
kkk
n
kkk
n
kkkm
n
kkk dWdIdIdIdWdIdA =Φ=Φ−Φ=−Φ= ∑∑∑∑
==== 1111sila mag. 2
1
2
1
Kombinujući ovaj rezultat sa jednačinama (2) i (3) dobija se
.constI
mx
jdx
dWF
=
= , i
.constIx
mx
jd
dWM
=
=α
U slučaju jedne krute strujne konture u stranom magnetskom polju (koje potiče od više
kontura), na osnovu relacije (1) imamo Φ= IddWm (jer je 0sila mag. =dA ), pa je
dx
dIFx
Φ= , i x
x d
dIM
αΦ=
Dakle za izračunavanje treba znati promene fluksa stranog polja kroz konturu u zavisnosti od koordinate x ili ugla α.
91
8. OPŠTE JEDNAČINE ELEKTROMAGNETSKIH POLJA I OSNOVNI POJMOVI O ELEKTROMAGNETSKIM TALASIMA Do sada smo se upoznali sa električnim i magnetskim poljima koja se ili ne menjaju u vremenu, ili se menjaju relativno sporo (sporopromenjivo ili kvazistacionarno polje), kao i jednačinama koja ih opisuju. Te su poseban oblik četiri osnovne opšte integralne jednačine promenjivih elektromagnetskih polja, koje su poznate kao Maksvelove jednačine i glase:
∫∫ −=SC
sddt
BdldE (1) ∫∫
+=
SC
sddt
DdJldH (2)
∫∫ =vS
dvsdD ρ (3) 0=∫S
sdB (4)
Da bi se dobio potpuni sistem jednačina, ovim jednačinama se pridružuju i relacije
( )EDD = , ( )HBB = i ( )EJJ = , koje se nazivaju konstitutivne relacije.
U relaciji (4), uopšteni Gausov zakon, je S u
v
Qdv =∫ ρ , a u relaciji (2) pored ∑∫ =CS krozS
IsdJ ,
uočavamo još jedan član, ∫S
sddt
Dd , koji je Maksvel dodao da bi prevazišao nesaglasnost uopštenog
Amperovog zakona ∫∫ =SC
sdJldH i jednačine kontinuiteta ∫∫ −=vS
dvdt
dsdJ
ρ (koja se može dobiti
iz jednačina (2) i (3), a gde je dt
S u
v
dQdv
dt
d =∫ρ
), ali to nećemo objašnjavati.
Kod objašnjavanja Faradejevog zakona elektromagnetne indukcije, jednačina (1) je ukazivala da promenjivo magnetsko polje (promena fluksa) indukuje promenjivo električno polje. Iz jednačine (2) sledi obrnuto, da promenjivo električno polje indukuje promenjivo magnetsko polje. Međusobno povezano vremenski promenjivo električno i magnetsko polje, tj. elektromagnetsko polje, je u tehnici od velike važnosti. Takvo polje ima jednu veoma važnu osobinu: jednom stvoreno, može da postoji i nezavisno od izvora koji su to polje prvobitno stvorili, u vidu tzv. elektromagnetskog talasa (EMT). EMT mogu postojati i u vakumu (gde se kreću brzinom svetlosti), dakle bez prisustva nekih električnih opterećenja ili struja. Mogu se i kanalisati strukturama od provodnika ili dielektrika, u kom slučaju su vezani za struje i opterećenja duž tih struktura: vodovi (dvožični, koaksijalni, trakasti, itd.), talasovodi (metalne cevi bez drugog provodnika). EMT se mogu kanalisati i štapovima od dielektrika tzv. dielektričnim talasovodima.
Za formiranje ”slobodnih” EMT, tj. talasa koji se ne kanališu nekim vodećim strukturama, koriste se posebni uređaji, tzv. emisione (predajne) antene. Proces formiranja EMT naziva se zračenje EMT.
Iz EMT se može posredstvom struktura koje se nazivaju prijemne antene47 deo energije (zajedno sa informacijom koju emitovani talas nosi u sebi), izvući iz talasa i zatim pojačati da bi se ta informacija mogla jasno razumeti. Ono što smo mi do sada izučavali predstavlja osnovnu teoriju električnog i magnetskog polja, a postoji i opšta teorija elektromagnetskog polja koju ćete izučavati u narednim semestrima, i gde će se integralne jednačine koje smo učili u osnovama elektrotehnike 1 i 2 još uopštiti u ove opšte jednačine elektromagnetskog polja (Maksvelove jednačine).
47 Najčešće jedna ista antena služi kao predajna i kao prijemna, na primer kod mobilnog telefona.
92
LITERATURA
1. Đorđević R. A.: Osnovi elektrotehnike 3. deo, elektromagnetizam, Akademska misao,
Beograd, 2007. 2. Milatović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Svjetlost, Sarajevo, 1985. 3. Pinter V.: Osnove elektrotehnike, knjiga druga, Tehnička knjiga, Zagreb, 1978. 4. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz elektrotehnike i teorije električnih kola (praktikum),
Univerzitet Vojske Jugoslavije, Beograd, 1993. 5. Pokorni S.: Laboratorijske vežbe iz osnova elektrotehnike 1 i 2, praktikum, Elektrotehnički
fakultet, Istočno Sarajevo, 2012. 6. Pokorni S.: Osnovi elektrotehnike 2, elektromagnetizam, skripta, Elektrotehnički fakultet,
Istočno Sarajevo, 2010. 7. Popović B.: Osnovi elektrotehnike 2, Građevinska knjiga, Beograd, 1986. 8. Popović B., Đorđević A.: Osnovi elektrotehnike 3, zbirka pitanja i zadataka, Građevinska
knjiga, Beograd, 1981. 9. Purcell M. E., Morin J. D.: Electricity and Magnetism, Cambridge University Press, third
edition, 2014. 10. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, naizmenične struje, Građevinska knjiga, Beograd,
1971. 11. Ranojević M.: Osnovi elektrotehnike, Građevinska knjiga, Beograd, 1968.