users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/berkovits/berkovits.pdf ·...

52

Upload: others

Post on 22-May-2020

15 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

������� ��� ����������������������� �!�"�#�%$��&�"�#���(')�*���+�����-,.��/��0 �213��� � �4� �(�65

768:9<;48>=@?#ACB!D:EGF�HI9<J!K

LNM O<PRQSPRT PVUW�XZY\[] ONQ_^a`cb�X"[Ued!QR^N`Cf6g�M�QSheX<dNONQ_Wi`iW:XZj�O!PV`�WeT�`ek4lm`eTnkoQpO!PV`Cfqsr`iUtls`GT>kuUCf q l�f�vmdw`eONQSk

x�X+^yPRT>d+X!O#ziQphGX<Mc`GP�PS{nXqG| dNQSM:z q ^}{>U~Uek�UeM q T | X<dNO!PRd!QSM:zeO2`GM�Wt�sX<ku`GP�XaW&��`GP_P�X}daO

b�dNQVX!O<P�X!f��G�i���>�\��`ed(^<{��>�i�e�

���"�i�y�i�!�y�����

���~�G���V�<�+�~� ���¢¡o£(¤ ¥��C�w¦_§�¤ ���

Page 2: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

¨ª©4«N¬a­}®i¯~¬°�±i²!³�²�´�µ�°·¶c°�¸�¹ ²N³�º�²�» ²N¼+º�½i¸�²s¾i¿yº�²!³·¸�²NÀe¹o²NÁ�º�±i²sÂi½i¸�²s³�Âi¹o¾�¿y¸)ÃyÂiÂi¸�¿�Ãy¼w±

º�¿\ÄC½�Ãy¾�º�¹oÅN¹o¾�Æ6º�±i²ª³�½iÂ:²N¸�³�º�¸�¹ ¾iÆ6Á·¹oº�±ÈÇZÃ~¾�¹ÊÉ˲!³VºmÌ�Í#ÎNÏ2³�½�Â:²N¸�Ð_¶4¿y¹ ¾�¼aÃy¸iѲs¹o¾iÐÀ}Ã~¸�¹ Ãy¾�¼+²�Òs°�±i²#Ó�¸�³�º�³�²!¼(º�¹ ¿y¾ÕÔG¹Ö³�¼a½�³�³�²N³�¼+¿}À}Ãy¸�¹ÖÃ~¾Cº"ÄC½�Ãy¾�º�¹oÅ!Ã}º�¹o¿�¾t¿~É�º�±i²×³�½iÐÂ>²a¸�Â�Ã~¸�º�¹Ö¼+» ²ØÃ~¾:Ô-Æy¹ Ày²N³�÷¾i²aÁÈÂi¸�¿e¿~Ée¿~Éi²!Ä�½�¹oÀ}Ã~» ²a¾:¼+² Á·¹oº�±�º�±i²�Ù�¸�¹o¾iÚCÐVÛG¼w±eÁ�Ãy¸�ų�½iÂ:²N¸�Â:Ã~¸�º�¹Ö¼+» ²yÒ°�±i²�³�²!¼+¿y¾:Ô�³�²!¼(º�¹o¿�¾.ÔG¹Ö³�¼a½�³�³�²!³sº�±i²2³�½iÂ>²a¸w³Vº�¸�¹ ¾iÆ3¹o¾ÜÃtÝ:Ã~ºÞ Ã�¼wÚCÆ�¸�¿�½i¾�Ô�Ã~¾�ÔZ³�±i¿}Á*³ ±�¿}Á.º�¿m¼+¿�¾�³�º�¸�½�¼(ºßÀ�²a¸�º�²+à׿yÂ>²a¸wÃ}º�¿y¸w³ Ã~¾�ÔZ¼a¿yÇ×Âi½Gº�²º�¸�²a²"Ã~Ç×Âi» ¹Êº�½�ÔG²N³�¹ ¾áÃ�ÇZÃ~¾i¹oÉ˲N³�º�» âZ³�½�Â:²N¸�Ð_¶4¿y¹ ¾�¼aÃy¸iѲ�¼+¿}À}Ãy¸�¹ÖÃ~¾CºßÇZÃ~¾i¾�²a¸!Òäã)¾�Ôº�±�²6º�±i¹ ¸�Ôܳ�²!¼(º�¹o¿�¾ÜÔG¹Ö³�¼+½�³�³�²!³×Ä�½:Ã~¾Cº�¹ ÅNÃ~º�¹ ¿y¾å¿yÉ*º�±�²t³�½iÂ>²a¸w³�º�¸�¹o¾iÆÕ¹ ¾Ü¼a½i¸�À�²NÔÞ Ã�¼wÚCÆ�¸�¿�½i¾�Ôi³�Á·±i¹Ö¼w±�¼aÃ~¾2¹ ¾�¼+» ½�ÔG²sæ*ÃyÇ׿y¾�ÔeÐ_æ*ÃyÇ�¿�¾�ÔáÝ�½Gà Ò

Page 3: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

çéè#ê×ëäì)ê�ë4í

î ï~ðäñyòCó ô�õ�öGñ�÷Só�ð øßîù ú6ó>û ü�òC÷Sü�ðäñ�ýtõ�ü�ðäñ�÷Sþiü�ñ�÷Só�ðÿó��mñ������ õ��>ò���ü�ò�ñ�÷Sö ��� ø������� ����������� �"!$#&%('")�*�',+-*.#(/102��+(03',+(%(�54�6��7*��8#(49+:��0�%(���;) �<�=�=�<�=�=�>�<�@?�A���B� C�/102��+:#&03'"49�<*1�8#:49+:��0�%(���;)D�"!E#(/102��+&FHGI'")�J,FLKM��656�#N%(O1���"+(P �<�=�=�>�<�@?"?���BQ RS�"+:6�*�6��5)1�<*1�8#(49+:��03%(���;)T�"!UVO1��+:)�FWC��5XY�;)�#Z%(O1���"+(P[�<�=�=�<�=�=�>�<�@?"\���]A ^I/1+(�=#(03��)1�"+�*1�8#:49+:��0�%(���;)T�"!E%(O1�=#(/�0_��+:03',+(%(��4�6��`�>�<�=�=�<�=�=�>�<� a�����Bb Uc�d�,',+:��'")e%gf�/�'") %(��h8',%(���;)i�"!j%(O1�>k=lm��no#:/102��+(03',+(%(��4�6��o�=�<�=�=�>�<� a,Q���B? ^I/1+(�=#(03��)1�"+�*1�8#:49+:��0�%(���;)T!��"+gprqls��n �=�=�<�=�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<� a,?

t ú6ó>û ü�òC÷Sü�ðäñ�ýtõ�ü�ðäñ�÷Sþiü�ñ�÷Só�ðÿó��mñ������ õ��>ò�u}ñ�òC÷Rðv w3wQ���� ����������� �"!Ix=CT!��"+:Xo'"6��5#(Xy/�#(��)1Jm%(O1�z',0�0�+(�;'"4-Oi�"!C�����J"�86{�=�=�>�<� a"aQ��B� C�/102��+:#&%&+:�5)1J|f�/�'")e%(��h8',%(���;)i/3#(��)1Jm03/1+:�{#(03��)1�"+:#s�>�<�=�=�<�=�=�>�<� a,}Q��BQ ^IOeP�#(�54�'"6~�"��+(%&�9�.�"02��+:',%&�"+:#��=�<�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<�@\��Q��]A ��+(���9F�6����"�86�#(4�',%&%&��+:�5)1J�'"XY0365��%(/�*1�8#Y�>�<�=�=�<�=�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<�@\"b

� ý&õØü�ðäñC÷pþ�ü ñ�÷Só�ð ó3�mñ������ õ��>ò�u~ñyòC÷Rðv@÷Rð ü@ú2õ�òyû_�:ô� ü�ö��~v�ò�óäõ�ð�ô ��øA1��� ���86�',%(���;)i�_��%L�Z���8)r��F�#&P�XoXY��%&+:PD'")3*i4�6�'"#(#(�54�'"6~�c�{C��

��) �,',+:��'")349���=�=�=�<�=�>�<�=�=�=�<�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<�=�=�<�=�=�>�<�@\;aA1�B� �702�8).#(/102��+:#&%&+:�5)1J|'")3*i#(/102��+:#&P�XoXY��%&+-��4��c�"+:)1F��W)1!��86�*D�8f�/�',%(���;)�# \"}A1�BQ UN6��;#&�8*i#:/102��+:#&%&+:��)�J|'")�*.�ZP�0_�<�:�c#(/�0_��+:J"+:'8����%�P��8fe/3',%(���;)�#S�=�>�<�@}"QA1�]A C�/102��+:#&%&+:�5)1J|�5).��p��2�<��� � �3'"4:�eJ"+(�;/3)�*M'")�*.^j�8)1+:�;#&�>6���X���%��>�<�@};a

� �����>ò��nð�ö;�eu î���ù

Page 4: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº
Page 5: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

���:�8�����(�¡ |¢,£¥¤$¢,¦,§,�¡¨�§,£��7©N��§,£���¨�ªd§"��¨�¢"£«¢­¬>��®��z¯���°1���: 9���-¨�£e± ²�³

´ µ�¶7·2¸~¹=ºo»m¼j·2½:¹�¶

¾�¿1ÀcÁ�ÂcÃ=Ä&Á(Å"Æ�Ç�Å,È:ÇzÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì�Ä:ÊoÄ�É�Ã"È$Ç1À8Ä(Í9È:Ì�Î3Ì�Æ1Ï�Á(¿�ÀNÄ:Ð1Ñ2À�È:Ä&Á&È:Ì�Æ�ÏgÅ,È(ÀcÁ(¿1ÀVÒgÅ"ÊYÃ;Æ�Ç1ÓÔ À�Õ"À8Ð�ÓWÖ1Í:¿eÂcÅ,È(×SØ�Ò Ô Ö�Ù7Å"Æ�ÇÛÚ7È(À�À8Æ�ÓWÖ�Í-¿ ÂNÅ,È(×ÜØ�Ú=Ö�Ù7É�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì5Ä(ÊoÄ�ÝYÞ7Ë�Á(¿1Ã;Ð1Ï;¿SÁ(¿�ÀÒ Ô ÖiÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë5Ì�Ä(Êß¿3Å"Ä7Å�Î2À8Å"Ð1Á(Ì�É�Ð�Ë Ô<àm³ ÂZÃ"È-Ë�Ç�Ä(¿1À�À�Á7Ä(Ð1Ñ2À�È:Ä&á�ÊoÊYÀ�Á&È:á"â_Ì�Á(Ä7Ë�Å"Í:ãMÃ"ÉÊoÅ"Æ�Ì�É�À8Ä&ÁEÁ(Å,È(Ï"À�Á­Ó�Ä&Ñ3Å"Í9À{Ä(Ð1Ñ2À�È:Ä(á�ÊoÊoÀ�Á&È(á>Ì�Ä$È:À8Ä&Ñ2Ã;Æ�Ä(Ì�Î3Ë�ÀIÉ�Ã"ÈIÄ&À�Õ"À�È:Å"Ë�Å8Â�ã�ÂcÅ,È-ÇYÉäÀ8Å�ÓÁ(Ð1È(À8Ä<Ã"ÉcÁ(¿1ÀYÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì�Ä:Ê.Ý|å�Ã"È=À9æ�Å"ÊoÑ3Ë�À"â�Å"ÊYÑ�Ë�Ì�Á(Ð�Ç1À8Ä{Ì�ÆeÕ"Ã;Ë�Õ�Ì�Æ1Ï.ÊYÃ"È(ÀYÁ(¿3Å"ÆSÉäÃ;Ð�ÈÀ9æ�Á&À�È:Æ3Å"Ë�É�À�È:ÊoÌ�Ã;Æ�ÄIÅ,È(À�Ç�Ì�ç�Í�Ð�Ë�ÁEÁ&ÃzÍ9Ã;ÊoÑ3Ð1Á&ÀgÌ�Æ�Å>èéÃ"È:À8Æ Á&×9Ó�Í9Ã�Õ�Å,È:Ì5Å"Æ ÁVÊoÅ"Æ�Æ�À�ÈÎ2À9ÓÍ�Å"Ð�Ä&À=Ã"ÉEÑ3Ì�Í9Á(Ð�È(À9Ó�Í:¿�Å"Æ�Ï;Ì�Æ1ÏoÅ"Æ�ÇMÎ_Ã;Ä(Ã;Æ�Ì�×8Å,Á(Ì�Ã;Æ.Í9Ã;ÊYÑ�Ë�Ì�Í�Å,Á(Ì�Ã;Æ�Äzê ³9ë ÝZå�Ð�È(Á(¿1À�È:ÊYÃ"È:À"âÌ�Á<Ì�Ä{Æ1Ã"Á<ã�Æ�ÃdÂgÆS¿1Ã�Â�Á&ÃMÐ�Ä&ÀmÁ(¿1ÀYÒ Ô Ö�É�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì5Ä(ÊìÁ&ÃiÇ1À8Ä(Í9È:Ì�Î2À|Á(¿1ÀoÄ(Ð1Ñ2À�È:Ä(Á&È:Ì�Æ1ÏÌ�Æ.ÒgÅ"ÊYÃ;Æ3Ç�Ó�ÒgÅ"ÊYÃ;Æ3Ç.Î3Å"Í(ã�Ï"È(Ã;Ð�Æ3Ç�Ä�Ýí Æ�Á(¿�À�Ã"Á(¿1À�Èm¿�Å"Æ�Ç~âjÁ(Å,È(Ï"À�Á­Ó�Ä&Ñ�Å"Í9ÀDÄ:Ð1Ñ2À�È:Ä&á�ÊoÊYÀ�Á&È(áÜÌ�Ä>Ê�Å"Æ�Ì�É�À8Ä&Á>Ì�Æ«Á(¿1ÀDÚ=Ö

ÉäÃ"È:Ê�Å"Ë�Ì�Ä(Ê.â,Î3Ð�ÁÁ(¿1ÀNÂcÃ"È:Ë�Ç�Ä:¿1À�À�Á$Ä&á�Ê�ÊYÀ�Á&È:Ì�À8ÄEÅ,È(ÀVÆ1Ã"Á$ÊoÅ"Æ�Ì�ÉäÀ8Ä&Á�ÝEÞîË5Å"Í(ã|Ã"É�Ð�Æ�Ç�À�È&ÓÄ&Á(Å"Æ�Ç�Ì�Æ�Ï�Ã"ÉcÁ(¿1À8Ä&ÀYÂcÃ"È:Ë�Ç�Ä:¿1À�À�Á<Ä&á�Ê�ÊYÀ�Á&È:Ì�À8Ä<¿�Å"Ä>Ä&ÃDÉ�Å,È=Ñ3È(À�Õ"À8Æ Á&À8Ç«ïeÐ�Å"ÆeÁ(Ì�×8Å,Á(Ì�Ã;ÆÀ9æ�Í9À�Ñ�ÁZÌ�ÆmË�Ì�Ï;¿eÁ­Ó�Í9Ã;Æ1ÀVÏ;Å"Ð1Ï"À"ÝÞ7Ë�Á(¿1Ã;Ð1Ï;¿YË�Ì�Ï;¿ Á­Ó�Í9Ã;Æ1ÀVÏ;Å"Ð�Ï"ÀgÌ�Ä$Ð�Ä&À�É�Ð�Ë�É�Ã"ÈIÇ1À�Á&À�È:ÊoÌ5Æ�ÓÌ�Æ1Ï|Á(¿1À<Ñ3¿eá�Ä(Ì5Í�Å"Ë_Ä(Ñ_À8Í9Á&È-Ð�Ê.â�Ì�ÁVÌ�ÄNÍ�Ë�Ð�ÊoÄ&á�ÉäÃ"È�Í9Ã;ÊYÑ�Ð1Á(Ì�Æ1ÏmÄ(Í�Å,Á&Á&À�È:Ì�Æ�ÏoÅ"ÊYÑ3Ë�Ì�Á(Ð3Ç1À8ÄÎ_À8Í�Å"Ð3Ä&À�Ã"É2Á(¿1À�Ë�Å"Í:ãYÃ"É_ÊoÅ"Æ3Ì�ÉäÀ8Ä(ÁèéÃ"È(À8ÆeÁ&×�Í9Ã�Õ�Å,È:Ì5Å"Æ�Í9À�Å"Æ�ÇoÁ(¿1ÀgÆ1À�À8Ç�Á&Ã>Ì�ÆeÁ&È(Ã�Ç3Ð�Í9ÀÌ�Æ Á&À�È-Å"Í9Á(Ì�Ã;Æ�Ó�Ñ2Ã;Ì�ÆeÁZÃ"Ñ2À�È:Å,Á&Ã"È:ÄVÅ"Æ3ÇTÍ9Ã;ÆeÁ(Å"Í9Á�Á&À�È:Ê�Ä�Ýå1Ã"È�Á(¿1À8Ä(À7È:À8Å"Ä&Ã;Æ�Ä�â�Ã;Æ�Ë�á�ÉäÃ;Ð1È(ÓÑ_Ã;Ì5Æ ÁÁ&È:À�À{Å"Æ3ÇoÃ;Æ1À9Ó�Ë�Ã�Ã"Ñ.Å"ÊYÑ3Ë�Ì�Á(Ð�Ç1À8Ä¿�ÅdÕ"À{Î_À�À8Æ�À9æ�Ñ�Ë�Ì�Í�Ì�Á(Ë�ámÍ9Ã;ÊYÑ3Ð�Á&À8ÇTÐ3Ä(Ì�Æ1Ï=Á(¿�ÀÚ=ÖrÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì�Ä:Êðê]ñ ë Ý�å�Ð1È:Á(¿1À�È:ÊYÃ"È(À"âÁ(¿1À�Æ1À8Í9À8Ä:Ä(Ì�Á�áÜÃ"ÉNÍ:¿1Ã�Ã;Ä(Ì�Æ�ÏMË�Ì�Ï;¿eÁ­Ó�Í9Ã;Æ1ÀoÏ;Å"Ð1Ï"ÀÊYÀ8Å"Æ�Ä7Á(¿�Å,Á=ï�Ð�Å"Æ Á(Ì�×8Å,Á(Ì�Ã;ÆÜÌ�Ä7Ã;Æ�Ë�á.Ñ2Ã;Ä(Ä(Ì�Î�Ë�ÀzÌ�Æ�Á(¿1Ã;Ä&ÀmÎ3Å"Í:ãeÏ"È:Ã;Ð�Æ�Ç�Ä7Âg¿�Ì5Í:¿rÅ"Ë�Ë�ÃdÂÅoË�Ì�Ï;¿eÁ­Ó�Í9Ã;Æ1À<Ï;Å"Ð1Ï"À|Í:¿1Ã;Ì�Í9À"ÝÞ�Ä7ÂgÌ5Ë�ËéÎ2ÀzÇ3Ì�Ä(Í�Ð�Ä(Ä(À8ÇMÌ�Æ�Á(¿1À8Ä&ÀmË�À8Í9Á(Ð1È(ÀmÆ1Ã"Á&À8Ä�âéÅTÆ1À�ÂsÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì�Ä:ÊòÉ�Ã"È7Á(¿�À|Ä(Ð1Ó

Ñ_À�È-Ä&Á&È:Ì�Æ1ÏMÂcÅ"ÄmÑ�È:Ã"Ñ_Ã;Ä(À8Ç�È(À8Í9À8ÆeÁ(Ë�áóê]ô ë Âg¿3Ì�Í:¿ÛÍ9Ã;Ê>Î�Ì�Æ1À8ÄzÁ(¿1À.Å"Ç1Õ�Å"ÆeÁ(Å,Ï"À8ÄmÃ"ÉgÁ(¿�ÀÒ Ô ÖTÅ"Æ�ÇiÚ=Ö�ÉäÃ"È-ÊoÅ"Ë�Ì�Ä(Ê�ÄIÂgÌ�Á(¿1Ã;Ð1ÁNÌ�Æ�Í�Ë�Ð�Ç3Ì�Æ1Ï<Á(¿1À8Ì�ÈVÇ�Ì5Ä(Å"Ç1Õ,Å"Æ Á(Å,Ï"À8Ä�ÝIõWÆTÁ(¿�Ì�ÄNÆ1À�ÂÅ,Ñ�Ñ�È(Ã;Å"Í-¿~â�Á(¿1À�ÂcÃ"È:Ë�Ç3Ä(¿1À�À�ÁNÅ"Í9Á(Ì�Ã;ÆDÌ�ÄZï�Ð�Å"Ç1È-Å,Á(Ì�Í�Ì5Æ�Å|ö3Å,ÁcÎ3Å"Í(ã�Ï"È(Ã;Ð�Æ�ÇDÄ&Ãmï�Ð�Å"Æ Á(Ì�Ó×8Å,Á(Ì�Ã;ÆMÌ�ÄgÅ"Ä�À8Å"Ä&á.Å"ÄgÌ5ÆDÁ(¿1À>Ò Ô ÖTÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì5Ä(Ê.ÝÞ7Æ�ÇiÄ(Ì�Æ3Í9À=÷ àY³�ø Ä(Ð1Ñ2À�È&Ó�ùjÃ;Ì�Æ3Í�Å,È�úÀÍ9ÃdÕ,Å,È:Ì�Å"Æ�Í9ÀgÌ5Ä$ÊoÅ"Æ�Ì�É�À8Ä&Á$Ì�ÆmÁ(¿�Ì�ÄEÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë5Ì�Ä(Ê.â,Á(¿1À�È(À�Ì5Ä$Æ1Ã<Ñ�È(Ã"Î3Ë�À8ÊûÂ�Ì�Á(¿YÍ9Ã;ÊYÑ3Ð1Á(Ì5Æ1ÏÄ&Ñ3Å"Í9À�Á(Ì�ÊYÀ9Ó�Ä:Ð1Ñ2À�È:Ä&á�ÊoÊYÀ�Á&È:Ì�Í Ô Ó�Ñ2Ã;Ì�ÆeÁ>Á&È(À�ÀDÅ"ÊYÑ3Ë5Ì�Á(Ð�Ç1À8Ä<Ã"ÈmÂgÌ�Á(¿«ï�Ð�Å"Æ Á(Ì�×8Ì�Æ1ÏMÁ(¿�ÀÄ(Ð1Ñ2À�È:Ä&Á&È:Ì5Æ1Ï|Ì5Æ.ÒgÅ"ÊYÃ;Æ�Ç1Ó�ÒgÅ"ÊYÃ;Æ�ÇiÎ3Å"Í(ã�Ï"È(Ã;Ð�Æ�Ç3Ä�ݾ�¿1À�È(À=Å,È:À<Á(¿1È(À�À=Æ1À�ÂüÌ5Æ1Ï"È(À8Ç�Ì�À8ÆeÁ(ÄVÌ�ÆTÁ(¿�Ì�ÄNÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë5Ì�Ä(ÊyÅ"ÄgÍ9Ã;ÊYÑ�Å,È(À8Ç.ÂgÌ�Á(¿DÁ(¿�À

Ä&Á(Å"Æ�Ç�Å,È:Ç[Ú=ÖóÉ�Ã"È:ÊoÅ"Ë�Ì�Ä:Ê.Ýý¾�¿1ÀÜþ�È:Ä&ÁiÆ�À�ÂÿÌ�Æ1Ï"È(À8Ç3Ì�À8Æ Á.Ì�ÄiÉäÀ�È:Ê�Ì�Ã;Æ�Ì�ÍrÍ�Å"Æ1Ã;Æ�Ì�Í�Å"ËÊYÃ;ÊYÀ8ÆeÁ(Å����SÉäÃ"ÈzÁ(¿1À�� � Õ�Å,È:Ì5Å,Î3Ë�À8Ä�Ý.¾�¿1À8Ä(À�Í�Å"Æ1Ã;Æ�Ì�Í�Å"ËZÊYÃ;ÊYÀ8ÆeÁ(ÅMÂcÀ�È(À�þ�È:Ä&Á>Ì5Æ�ÓÁ&È(Ã�Ç3Ð�Í9À8Ç�Î�á«Ö�Ì�À�Ï"À8Ë�ê � ë Å"Æ�Ç«Å"Ë5Ë�Ãd Á(¿1ÀDÚ=Ö�Å"Í9Á(Ì�Ã;Æ Á&ÃMÎ2ÀoÂ�È:Ì�Á&Á&À8Æ�Ì�Æ�ï�Ð�Å"Ç1È:Å,Á(Ì5ÍÉäÃ"È:Ê Å,É�Á&À�È=Ì�Æ�Í�Ë�Ð3Ç�Ì�Æ1ÏYÅ,Ñ�Ñ�È:Ã"Ñ�È:Ì�Å,Á&ÀmÍ9Ã;Æ�Ä&Á&È:Å"Ì5Æ Á(Ä�Ý<¾�¿�À|Ä&À8Í9Ã;Æ3ÇrÆ�À�ÂsÌ5Æ1Ï"È(À8Ç�Ì�À8ÆeÁ�Ì5ÄÁ(¿1À>Î2Ã;Ä&Ã;Æ�Ì5Í��­Ñ3Ð1È(À>Ä(Ñ3Ì�Æ1Ã"È�� � Âg¿3Ì�Í:¿MÑ3Ë�Å8á�Ä�Á(¿�À>È(Ã;Ë�À>Ã"ÉEÅ�Ï;¿1Ã;Ä&Á7Õ�Å,È-Ì�Å,Î3Ë�À"ÝNÞ�Æ3ÇÁ(¿1À{Á(¿�Ì�È:ÇTÆ1À� Ì�Æ1Ï"È(À8Ç3Ì�À8Æ ÁNÌ�ÄcÁ(¿1À<Æ�Ì�Ë�Ñ_Ã"Á&À8ÆeÁ� NÒ{Ö�¾óÃ"Ñ_À�È-Å,Á&Ã"È�� à�� � � ����Âg¿1Ã;Ä(ÀÍ9Ã;¿1Ã;ÊYÃ;Ë�Ã"Ï"á.Ì�Ä�Ð3Ä&À8Ç.Á&Ã�Ç1À�þ�Æ1À{Ñ3¿ á�Ä(Ì�Í�Å"Ë~Ä(Á(Å,Á&À8Ä�Ý� NÐ1Á�Î2À�É�Ã"È(À<À8ÆeÁ&À�È:Ì�Æ1ÏoÌ�ÆeÁ&Ã�ÊYÃ"È:À

Page 6: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

��� ��������� �!#"%$'&)(

*,+�-/.�021234.#57698,-4-/:;0<3>=;+�?�@A6�BDCE.�12023/CGFH0I-4?�02121J5K+L8;3/+�@)8;1K-M6�3.ON�.P@A+�?Q?�6�B*R34.#5K698;-?S:,+�B/+T0I-VU�.�CE+T@AB69C�W

X =�YOZ�[�ZHF�02=�.�=\.#-M-M+OC^];-_-M6�5K+�-M-M+�B`8;=;*;+�B3M-/.�=;*L-/:;+a?>6�B12*;3/:;+�+�-b3MNcCEC^+�-MB02+O3�6�@-/:,+\dTef3/8,]7+�B3M-MBD02=,g,F;eH6�B/6�hc02=iFcj4hk.�UD:iF,lm691Ih�6onp.�=R*rq7:,+O1I-/8,hc:;02=tsvuow�B/+�]R12.�Ux+O*p-/:;+?�6�B1<*;1202=,+mh#.#];]R.�3MNcCEC^+�-MB/NL6�@J-/:,+zy�BD02=,h�{|ecU:�?>.#B}�3/8,]7+�B/]J.#B/-/02U�1I+~?�0I-/:\?>6�B12*R1202=,+3/8,]7+�B3MNcCEC^+�-MB/N�WfjV:,+^57693M69=;0<UP?�6�B1<*;1202=,+^3/8;]K+�B]R.#B/-/=,+�BL@)6�B��9�t?z.�3�U�.�1<1I+O*��R�7F.�=;*�?�6�B1<*;1202=,+G38,]7+�B3MNcCEC^+�-MB/N�6�@T-/:;+�.�Ux-/0269=�0<C^]R120I+O*�-/:;.#-G� � 3/.#-/023M�R+O*�-/:;+-�?S023/-M6�BM{�120Ih�+LB/+O1<.#-/0I69=

�,�J���f���� ���Y� �#�K�

��c� ��Y#W2Y%�jV:;023�-�?S0<3M-M6�BM{�120Ih�+p.#];];B69.�U:�?z.�3P-/:,+O=�g�+O=,+�B.�1202}�+O*�5�N�3/+�n�+�B.�1V.�8,-/:,6�BD3�-M6�-/:;+U�12.�3/3/02U�.�1b:,+�-M+�B/6�-/02U�3/8,]7+�B3/-MB02=,gP?S0I-/:r@AB69C�69=,+�-M6�+O02g9:�-�?�6�B1<*;3/:,+�+�-�3/8,]7+�B3MNcCP{C^+�-MB0I+O3Vs � w�s��kw�sv[kw;.�=;*^0I-`?>.�3m.#Bg98,+O*E02=�svZow;-/:;.#-~�H8;.�=�-/0I}O.#-/0I69=P6�@K-/:,+zn�+�B3/0I69=P?S02-/:-�?>6T?�6�BD12*;3/:,+�+�-`3/8,]7+�B3/NHCECE+�-MB0I+O3_1I+O.�*;3`-M6T.�UxB0I-/02U�.�1, L� � 3/8,]7+�BUx69=;@A6�BC�.�1��;+O1<*-/:,+�6�B/N�WS¡,6�B�-�?�6f?�6�BD12*;3/:,+�+�-�3/8,]7+�B3MNcCEC^+�-MB02+O3�FR�9��:;.�3�-�?>6p3/8,]7+�B/]R.#B/-/=;+�B3�FJ�R�.�=;*�¢� � FR?S:;02UD:�3/.#-/023M@)N�-/:;+LB/+O12.#-/0I69=;3

�c� � �p�£¢�c� � ¢�p�¥¤c¦ �,� � ¢���¨§ � � � Y� �#� � §J�,� ��Y#W � �

X =r-M+O=t*R02C^+O=;3/0269=;3�F;.�Ux69CE]R1I+x©Gª�+�Nc1_3/]R02=,6�B��R�G3/.#-/0<3M@ANc02=,gp�c� � �G�«¤f023SU�.�1212+O*.�]J8,B/+�3/]R02=,6�Bp.�=;*iFS.�3p?z.�3�3/:,6o?S=�5�N�¬S6o?�+�s­Y�¤9w�s­Y�YxwT02=«YOZ�ZcY#FL023f8;3M+�@'8;1�@A6�B*,+O3/UxB0I5J02=,g�-/:,+T69=c{�3/:;+O1217Ux69=;3M-MB.�02=�-/3V6�@`3/8,]7+�BM{¯®a.�=;g#{�°r021<1234.�=;*�3/8,]7+�B/g�BD.Onc0I-�N�W­±

² =;@A6�B/-/8R=;.#-M+O1IN�Fm*;0IB/+OUx-���8R.�=�-/0I}O.#-/0269=�6�@V-/:;+f L� � ?>6�B12*R3/:,+�+�-�38,]7+�BUx69=,@)6�BM{CE.�1a�R+O12*³-/:,+�6�BN�B/+O��8R0IB/+O3\3/691InH0<=,gr-/:,+fUx69=;3M-MB.�0<=�-/3�6�@\��Y#W � ��.�=;*�5;B/+O.#hc02=,gr-/:;+CE.�=;0I@)+O3M-�eR´^�¯ZHF2Y%��µ�6�B/+O=�-M}�02=�n#.#B02.�=RUx+�*,6o?S=«-M6 ² �)¶���svZkw�s­YOukw·W X =¸1<.#-M+�Bt]J.k{]K+�BD3�F;-/:;023 ² �)¶��V@)6�BCE.�12023C¹?>.�3�B/+O12.#-M+O*�-M6�6�-/:,+�B�UxB0I-/0<U�.�1º L� � 3/8;]K+�BDUx69=,@A6�BDCE.�1�;+O12*t-/:,+�6�B0I+O3\U�.�121I+O*¨»M:�N�5;BD02*;¼�@A6�BC�.�12023/CE3�?S02-/:tC�.�=;0I@)+O3M-\e;´^�¯½HF2Y%�k¾ ² �¯½9�Es­Y � w·Fe;´^�¯uHF2Y%�k¾ ² � � �Gs­Y%�ow·FVe;´^��Y#F2Y%�k¾ ² �)¶��rs­YO[#w·Fa6�B��'.#@A-M+�B�ª�0<U/h�{·B/6�-/.#-/0I69=J� ² �¯u9�Gs­YOZ#w3/8,5;g�B/698;]R3`6�@7-/:,+Sµ�6�B+O=�-M}Vg�B698,]�Wmjº6�g�+�-/:;+�B�?S02-/:�¿z8;C^B8R=Pl~.#@).fs � ¤#w�s­Y%�ow·F�02-~?>.�33/:,6%?�=�-/:;.#-\.�121`6�@z-/:,+O3/+^@A6�BC�.�12023/CE3L.#B+^B/+O12.#-M+O*³5HN�.��;+O12*�B/+O*;+��R=;0I-/0I69=t-M6r.�= ��PYTÀÁ L� � +OC\57+O*;*R02=,g\6�@b-/:,+L3M-/.�=;*;.#BD*fÂ� �e�@)6�BCE.�120<3/CÃ?�:,+�B/+�F,.#@A-M+�BS-�?S023/-�{02=,g\-/:;+�?>6�B12*;3:,+�+�-� L� � FH-/:,+�Â� �e�yzÂ�ecj¥U�8,BB/+O=�->.�=;*pÄ4g9:,693M-z.#B/+�CE.#];]7+O*E-M6-/:,+T@)+�BCE0I69=;0<U� L� � 3/8;]K+�BDUx69=,@A6�BDCE.�1Kg�+O=,+�B.#-M6�B3�W

¡`02=;.�121IN�F�0<=�sv½#w·Fº0I-L?z.�3L];B/6�]7693M+O*t-/:;.#-T-/:;+O3M+E:�NH5;B0<*�@)6�BCE.�1<023/CE3�.#B/+E+O�H8;0In�{.�1I+O=�-�-M6�.³CE.�=R0I@A+O3/-/1IN�e;´E�¯ZHF2Y%�^3/8,]7+�BM{�Å_6902=RU�.#BHÆ+rUx6%n#.#B02.�=�-�@)6�BCE.�120<3/CÇ8;3/02=;g�.y>Â�ecj¥6�]7+�B.#-M6�B�ȸ��É^�R�,Ê � Ux69=;3M-MB8RUx-M+O*G@)B/69C¹-/:,+L?>6�B12*;3/:;+�+�->n#.#B02.#5J1I+O3Ts � � FË·ÌRÍ%ηÏJЯÑoÒ�ÓkÔDηÐ�Õ7Ï|ηÏRÔDηÒ�Ö×Ò�ÓkØDÙ�ÙvÚ�Ð'Û·ÍkÜoÒ�ÏMÜ`Ý�Ú~Þ7Ø/ίÛ�ØDÓSßvà/áâ2ã,ä7åoÏ|ÚmåkØ/æ×ÏJØÙ�ЯÔbÝ�Ï�Ï|ÓaÍoЯÏMÜ_ç­ÔÎ;ÜoÏ�è#Óoé

Ò�ÓoÖzÖDÎ�ØÓ#Ü�ÍoÓkÒvè#ÏMÜVê4ÔOÜoÏ|ÙëÐ~ßvàMìâcØÓ#ÜSçíÔDÎbî�Ô×ÓoÐ'ۯηÍkî|Û·Ò�ÓoÖzЯÍkÑ�Ï|ίé2ïKØDÓoÖDé)ð�Ò�ÙëÙ�кØDÍ%ñ%ÒëÙ�ÒëØίÚSè#Ï|ÙòÜ%Ð~ß�à|ó×â2ã

Page 7: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

ôºõöO÷'øcù/õ×ú�û#üþýmû#ÿ��#ù����#üJ÷��zø��#üJ÷�����÷��'û�ü�û��\÷� cõ��;ø��,õ�ùúx÷'ù��)ü�� ���

������� � �� !�"�$# �&%('*),+.-�+ � �0/2143�)�+6587�9;:�<,=�>�3$+@?A7�?B+C9D3�<�?E3$7 ����FG# �H/I143�),+6587�9KJ:$<,=�>�3$+A?A7�?B+C9D3�<�?L3$7 � F >�9�M � /21�>@NO<,-�+�1�N!/29,7�-P1�>�3�/21$Q�RK/29,= ,SOT4 VUXWKY[Z 1'*/2\2\^]"+_1`),7'*9a\I>�3$+.- Fb � >�9�M # �c+C>�5`)d587�9D3�>�/29fe�eg/29�M,+.N"+C9�M,+C9�3h587�?AN"7�9,+C9D3�11$7i3�),+@587j�>�-`/2>�9�3�Q�7�-`?B>�\2/I1�?E587�9�3�>�/29�1 ��k ]"7�1$7�9�1l>�9!M ��k Qm+.-`?6/7�9�1 Ygn /29�58+B3�)�+)DR&]�-`/2MoQ�7�-`?B>�\2/I1�?B1p>�\2\q587�9�3�>�/29re k ]"7�1$7�9�1s>�9�Mte k Q�+.-`?B/7�9�1lu�'v)�/25`)i>�-�+l-�+C\2>�3$+CM]�Ro>hw�+C\2Mo-�+CM,+.w!9!/3�/7�9@3$7A3�),+4x*y n j;>�-`/I>�]!\+C14z { T �$| T �`}���~;�$����S %�� F 3�),+PN�-`7�N�7�1`>�\/21l]!>�1�+CMt7�9c3�),+o587�9;:�+C583�<�-�+@3�)!>�3 F /29t>�M!M�/3�/7�9H3$7�7�]"+.R&/I9,=i3�),+o<�1�<�>�\(N!)�R&1�/I5.>�\1$3�>�3$+6587�9�M�/23�/7�9�1 F 1$3�>�3$+C1�/29�3�),+B587�)�7�?A7�\7�=�R�7�Q*� U��B � � �H>�-`+B/29�M,+.N"+C9�M,+C9�37�Q�3�),+[+8�&3$-`> k W ]"7�1$7�9�1s>�9�M k W Qm+.-�?B/7�9�1 Y� )�/21@587�9;:$+C583�<,-�+�'�>�1_1�<,=�=�+C1�3$+CMd]&R�3�),+���u����6j�+.-`1`/7�9�z�eC��%�7�Q43�),+�)�R�]�-�/2MQm7�-`?6>�\2/21�?�'*),7�1$+Vj;>�-`/I>�]!\+C1o>�-�+�z { T[���������D����� � ��� � �� !�^�$# � %�'*),+.-�+�� U ei3$7� Yt� Q !�aU� � /21h/29D3$+.-`N�-�+.3$+CM�>�1B5`)�7�7�1�/I9,=�>H�hu�����M�/-`+C583�/7�9�/29 n�� u�e W � F 3�)�++8�&3$-`> k W ]"7�1$7�9�1�5.>�96]�+s<!9�M,+.-`1$3$7&7KM�>�1(N!>�-`>�?A+.3$+.-�/�C/29,=43�),+ n!� u�e W �$�;��u����(587�1$+.31$N!>�58+ Y�� 9B3�)�/21^1$+C9�1$+ F 3�),+*N!-�7;:�+C583�/2j�+*N!>�-�3^7�Q�3�),+*NO<,-�+s1$N!/I9,7�-�j�>�-`/2>�]!\+*N!\2>CRK1�3�)�+-�7�\+�7�Q�>�9 n�� u�e W �$�;�hu����b)�>�-`?B7�9�/25vj;>�-`/I>�]!\+ F 1`/2?B/2\2>�-^3$7A3�),+P>�3$3$+C?AN�3�1p7�Q^z k e.%"3$7587j�>�-`/2>�9�3�\Rg��<�>�9�3�/�.+43�),+�1�<,N"+.-`1$3$-`/I9,= YZ Q�3$+.-*3�)�+lN�-�7�N"7�1�>�\�'b>�1*?6>�M,+[/29tz � % F 3�),+.-�+�)�>Cj�+�]�+.+C9 j;>�-`/27�<�1s587�9�1�/I1$3$+C9�58R5`),+C5`¡&1A7�Qv/3�1�j;>�\2/IM�/3¢R Y � ),+C1�+o/29!5.\2<�M,+6>VN�-�7&7�Qs3�)�>�3h3�),+_587�),7�?A7�\27�=�Rr7�Q�� U� ��K� �@-`+.N�-�7KM�<�58+C1^3�),+41�<,N"+.-`1$3$-`/I9,=[1$N"+C583$-`<�?�z k�k %q>�9�Mo3�),+4587�9�1�3$-`<�583�/7�9o7�Q�>�9+8�&N!\I/25./3l?B>�NcQm-`7�?£1$3�>�3$+C1h/29t3�),+@587�)�7�?A7�\7�=�R07�Qv�¤3$7�N!)DRK1�/25.>�\^1$3�>�3$+C1h/2903�)�+x*y n Qm7�-�?B>�\2/21�?Ez k�� % Y^Z \21$7 F 3�),+[N!<,-�+l1$NO/29,7�-sM,+C1�58-�/N�3�/7�9g)�>�1s]�+.+C9 =�+C9,+.-`>�\2/�.+CM3$7�5.<,-`j�+CM6]!>�5`¡�=�-`7�<�9�M�1�>�9�Mo/3^)�>�1^]"+.+C9@1`),7'*963�)�>�3b¥�x n � /29Dj�>�-`/2>�9!58+v/2?ANO\2/+C13�),+p587�-�-�+C583(\7�'pJ¦+C9,+.-�=�R�+C�&<�>�3�/7�9�1§7�Q�?A7�3�/7�9hQ�7�-�3�),+p]!>�5�¡&=�-�7�<�9!Mhw�+C\2M�1pz k;¨ %©z k �;% Yª <,-�3�),+.-�?A7�-�+ F /3b)�>�1�-�+C58+C9D3�\2RB]"+.+C9o1`),7'*9�u�>�3s\+C>�1$3b>�3b3�),+45.\2>�1�1�/I5.>�\O\+.j�+C\���3�)�>�33�),+HN!<,-�+�1$N!/I9,7�-gM,+C1�58-`/N!3�/7�9d5.>�9«]�+�7�]�3�>�/I9,+CM¬]�R¬M�/-`+C583�\R�=�>�<,=�+8J¦w,�,/29,=a3�)�+7�-`/=�/29�>�\­y U k '^7�-�\2M�1�),+.+.3P1�<,N"+.-`1�R&?B?B+.3$-`/25[M�+C1�58-`/N�3�/27�9cz¯®�%©z°��%§7�QPu�e Y k ��'*/3�)�7�<,3N!>�1�1�/29�=�3�)�-�7�<,=�)g3�),+l)�R&]�-`/2M_7�-*xvy n M,+C1�58-`/N!3�/7�9�14z k�� % YZ \23�),7�<,=�)�7�9KJ¢1�)�+C\2\b1$3�>�3$+C16/29c3�),+gNO<,-�+g1$N!/29�7�-�M,+C1`58-`/N�3�/7�9�5.>�9a]"+_-�+C\2>�3$+CM3$7g7�9KJ¢1�),+C\2\�1�3�>�3$+C1[/29�3�),+Bxvy n M,+C1`58-`/N�3�/7�9az k�� % F 3�),+.-�+B/2149,7 1`<�5`)�-�+C\I>�3�/7�9�Qm7�-7�±OJ¢1�)�+C\2\s1$3�>�3$+C1 Y yv7�3$+i3�)�>�3@3�),+i1�<,N"+.-$J¢²­7�/29!5.>�-&³+i>�\=�+.]�-`>t5.\7�1$+C1BQ�7�-6]"7�3�)a7�9,J1�),+C\2\p>�9�M�7�±OJ¢1�)�+C\2\s1$3�>�3$+C1o/29a3�),+iN!<,-�+ 1$NO/29,7�-BM,+C1�58-�/N�3�/7�9 Y ¥�<�36/29�3�),+ixvy nM,+C1�58-`/N!3�/7�9�1 F 3�),+A1�<,N"+.-$J¢²­7�/29�5.>�-K³+h>�\=�+.]�-�>o5.\27�1$+C14<,N�3$7_N!/2583�<,-�+8J¢5�)�>�9,=�/29�=�z k ®�% F'*)�/25�) /21s7�9!\RgM,+.w!9,+CMgQ�7�-�7�9KJ¢1�),+C\2\G1$3�>�3$+C1 Y�n /I9�58+43�),+.-�+�/21*9,767�±OJ¢1�)�+C\2\G?B>�NV]"+8J3¢'�+.+C9�3�),+�M�+C1�58-`/N�3�/27�9�1 F /23v/21v3$-`/25`¡�R 3$7_=�<,+C1`1v3�)�+�587�-�-`+C583�-�<�\+C1sQ�7�-4587�?AN!<,3�/I9,=1�5.>�3$3$+.-`/29,= >�?BN!\2/3�<�M�+C1 Y yv+.j�+.-�3�),+C\+C1�1 F >g?B>�9�/2Qm+C1$3�\2Ri1�<,N"+.-$J¢²­7�/29�5.>�-K³+B587�j;>�-�/2>�9D3N�-�+C1�58-`/2N�3�/7�9a'b>�16=�/2j�+C9´Q�7�-@3$-`+.+�>�?ANO\2/3�<�M,+C1A<!1�/29,=03�)�+iN!<,-`+i1$N!/29�7�-6M,+C1�58-`/2N,J3�/7�9_>�9�M_'�>�1p1`),7'*9_/29Hz k�µ %©z k�� %�3$7B587�/29�5./2M,+�'*/3�)@3�),+4x*y n N�-�+C1`58-`/N�3�/7�9 Y­¶ 7'pJ+.j�+.- F /3�/21�1�3�/2\2\K<�9,¡K9,7'v9�)�7'�3$7l587�?ANO<,3$+s?B>�9�/Q�+C1$3�\R�1�<,N"+.-$J¢²­7�/29�5.>�-K³+s587�j;>�-�/2>�9D3

Page 8: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

·;¸ ¹�ºq»�¼.½`¾�¿�ÀÁ�Â�Ã

ÄÅ�Å�Æ Ç�ÈBÆ!Ä2ÉÊ�Ë�Ì�ÍCÎ^Ë�Î`É2Ï,Ð�Ê�Ñ,ÍPÆ!Ë,Ò�Í4Î$Æ!ÉIÏ,Å�Ò�Ì�ÍCÎ�Ó8Ò`ÉÆ�Ê�É2Å�Ï�Ô§Õ©ÊpÉ2ÎbÆ"Å�Î�Î�É2Ö!ÄÍ*Ê�Ñ!Ç�ÊpÒ�ÍCÓ8ÍCÏDÊÐ�ÍCÏ,Í.Ò`Ç�Ä2É×CÇ�Ê�É2Å�Ï�Î*Å�Ø(Ê�Ñ,ÍhÆ!Ë,Ò�Í[Î�Æ!É2Ï,Å�ÒPÇ�Æ�Æ�Ò�Å�Ç�Ó�Ñ�Ù*Ñ�É2Ó�Ñ Í8ÚKÆ!Ä2É2Ó.ÉÊ�Ä2Û_ÉIÏDÊ$Ò�ÅKÌ�Ë�Ó8Í_Ü°Ý�Þ�ß`àÒ�Í.Æ!Ç�Ò`Ç�ÈAÍ.Ê$Í.Ò�É×CÇ�Ê�ÉÅ�ÏVÐ�Ñ,Å�Î$Ê�ÎPÈBÇCÛgÖ"Í�Ë�Î$Í.Ø�Ë�Ä�Ø�Å�Ò�Ì,Í.áOÏ�É2Ï,ÐBÇoÄÅ&Å�ÆVÇ�ÈAÆ!ÄIÉÊ�Ë�Ì,Í4Æ�Ò`Í8âÎ�Ó8Ò`ÉÆ�Ê�É2Å�Ï�Ü°ã�ä�à©Ü°å�æ�à¦Ô

ÕçÏcÎ$ÍCÓ8Ê�ÉÅ�ÏaãiÅ�ØsÊ�Ñ,ÍCÎ$Í_Ï,Å�Ê$ÍCÎ.è^Ó8Åé�Ç�Ò`É2Ç�Ï�Êhê&Ë�Ç�Ï�Ê�É×CÇ�Ê�ÉÅ�ÏrÅ�ØsÊ�Ñ,Í_Î�Ë,Æ"Í.Ò�Æ!Ç�Ò`Ê�É2Ó.ÄÍË�Î�É2Ï,ÐhÆ!Ë�Ò�Í4Î$Æ!É2Ï,Å�Ò�Î^ÙvÉ2Ä2Ä�Ö"Í�Ò`Í.é&ÉÍ.Ù�ÍCÌ Ç�Ï�ÌiÇAÆ�Ò�Í.éKÉÅ�Ë�Î�Ä2Û6Ë�Ï,Æ!Ë�Ö!Ä2É2Î�Ñ�ÍCÌAÆ�Ò�Å&Å�Ø�ÙvÉ2Ä2ÄÖ�Í�Ð�Éé�ÍCÏ_Ø�Å�ÒbÍCê�Ë�É2é;Ç�ÄÍCÏ!Ó8ÍvÙ*É2Ê�Ñ6Ê�Ñ,Í4ë�Ò`É2Ï�ìDâçíKÓ�ÑDÙbÇ�Ò�×4Î�Ë,Æ"Í.Ò�ÆOÇ�Ò�Ê�É2Ó.ÄÍ�Ô­ÕçÏoÎ$ÍCÓ8Ê�ÉÅ�Ï å&èÊ�Ñ,ÍpÆ!Ë,Ò�ÍpÎ$ÆOÉ2Ï,Å�Ò�Ç�Æ�Æ�Ò�Å�Ç�Ó�ÑBÙ*ÉIÄ2ÄDÖ"ÍpÐ�ÍCÏ,Í.Ò�Ç�Ä2É×.ÍCÌhÊ$ÅlÊ�Ñ,ÍvÎ�Ë,Æ"Í.Ò`Î$Ê$Ò`ÉIÏ,ÐvÇ�Ï�ÌAÉ2Ê�Ù*É2Ä2Ä&Ö"ÍÎ�Ñ,ÅÙvÏ6Ñ,Å�Ù´Ê$Å�Ó8Å�Ï!Î$Ê$Ò`Ë�Ó8Ê�ÈBÇ�Î�Î�ÄÍCÎ`Î�Ç�Ï�Ì6È6Ç�Î�Î�Éé�Ísé�Í.Ò`Ê$Í8ÚBÅ�Æ�Í.Ò�Ç�Ê$Å�Ò`Î^Ç�Ï!Ì6Ó8Å�ÈAÆ!Ë�Ê$ÍÊ$Ò�Í.ÍvÇ�ÈAÆOÄ2ÉÊ�Ë�Ì,ÍCÎ(É2Ï6Ç�ÈBÇ�Ï�ÉØ�ÍCÎ$Ê�ÄÛhÎ�Ë,Æ"Í.Ò$â¢î­Å�É2Ï�Ó.Ç�ÒKïÍ�Ó8Åé�Ç�Ò`É2Ç�Ï�Ê�È6Ç�Ï�Ï,Í.ÒCÔ§Õ�Ï6Î$ÍCÓ8Ê�ÉÅ�ϸ è&Ê�Ñ�ÍvÅ�Æ"ÍCÏoÇ�Ï�Ì_Ó.ÄÅ�Î$ÍCÌ_Î�Ë,Æ"Í.Ò`Î$Ê$Ò�É2Ï,Ð4Ù*É2ÄIÄ,Ö"Í�Ì,ÍCÎ`Ó8Ò`ÉÖ"ÍCÌBÉ2ÏoÇ�Ó.Ë�Ò�é�ÍCÌoÖ!Ç�Ó�ì&Ð�Ò�Å�Ë�Ï�ÌÇ�Ï�ÌrÉ2Ê�Ù*ÉIÄ2Ä�Ö"Í@Î�Ñ�ÅÙ*ÏcÑ,ÅÙðÊ$Å�Å�Ö�Ê�Ç�É2ÏrÊ�Ñ,Í_ÄÅÙsâ¦ÍCÏ,Í.Ò�Ð�ÛtÎ�Ë�Æ�Í.Ò�Î$Û&È6ÈAÍ.Ê$Ò`É2ÓBë�Å�Ò`Ï,âÕçÏ,Ø�ÍCÄ2ÌVÇ�Ï�ÌiÎ�Ë�Æ�Í.Ò`Ð�Ò`ÇCéKÉÊ¢ÛgÍCê&Ë�Ç�Ê�ÉÅ�Ï!Î*Å�Ø(ÈBÅ�Ê�ÉÅ�ÏiØ�Å�Ò�Ê�Ñ,Í[Ö!Ç�Ó`ì�Ð�Ò`Å�Ë�Ï�Ì�á�ÍCÄ2Ì�ÎsØmÒ�Å�ÈÊ�Ñ,Í�Ó8Å�Ï�Ì!ÉÊ�ÉÅ�ÏgÅ�Ø�ëbñ�í,òfÉ2Ï�é;Ç�Ò�É2Ç�Ï�Ó8Í�ÔbÕ©ÊvÙ*É2Ä2Ä�Ç�ÄIÎ$ÅBÖ"Í[Î�Ñ,Å�Ù*ÏiÑ�ÅÙ�Ê�Ñ�É2Î*Ç�Æ!Æ�Ò�Å�Ç�Ó`ÑÓ.Ç�Ï_Ö�Í4Ë�Î�ÍCÌ@Ê$ÅBê&Ë�Ç�Ï�Ê�É×.ÍPÊ�Ñ,Í4Î�Ë,Æ"Í.Ò`Î$Ê$Ò�É2Ï,Ð�ÉIÏ@Ç�Ïgó�ô&õ"ö�÷gõ ö ÖOÇ�Ó�ì&Ð�Ò�Å�Ë�Ï�Ì0ø�Å�ÒsÉÊ�ÎÆ!Ä2Ç�Ï,ÍPÙbÇCé�ÍhÄ2É2ÈBÉÊ�ù�Ù*ÉÊ�ÑgñvÇ�ÈAÅ�Ï�ÌKâ¢ñvÇ�ÈAÅ�Ï�ÌgúOËKÚ�Ô¯û

ü ýÿþ������������ �����������������þ�� þ������������� �!�������"#�%$!&��ë^Í.Ø�Å�Ò�ÍHÌ�É2Î`Ó.Ë�Î�Î�É2Ï�Ð0Ê�Ñ,Í�Æ!Ë,Ò�Í�Î$Æ!ÉIÏ,Å�Ò@Ì,ÍCÎ`Ó8Ò`ÉÆ�Ê�ÉÅ�Ïqè*ÉÊoÙ*É2Ä2Ä*Ö�Í�Ë�Î$Í.Ø�Ë�Ä*Ê$ÅaÒ�Í.é&É2Í.ÙÊ�Ñ,Í�Î�Ê�Ç�Ï�Ì�Ç�Ò`Ì�Ì,ÍCÎ�Ó8Ò�ÉÆ�Ê�ÉÅ�ÏiÅ�Ø(Ê�Ñ,ÍhÎ�Ë,Æ"Í.Ò�Æ!Ç�Ò`Ê�É2Ó.ÄÍ[Ç�Ï�Ì�Ê�Ñ,ÍhÎ�Ë,Æ"Í.Ò`Î�Æ!Ç�Ó8Í[ÍCê&Ë�Ç�Ê�ÉÅ�Ï�ÎØmÅ�Ò@Ê$ÍCÏKâ¢Ì�É2ÈAÍCÏ!Î�ÉÅ�Ï�Ç�ÄpÎ�Ë�Æ�Í.Ò�â('(Ç�Ï,Ð�â*)iÉIÄ2Ä2Î.Ô�ÕçÊBÙ*ÉIÄ2ÄbÊ�Ñ,ÍCÏ�Ö"ÍiÎ`Ñ,ÅÙ*Ï�Ê�Ñ�Ç�Ê,+�Ë�Î$Ê6Ç�Î-,. å0/pÑ,Í.Ò`ÏKâçíKÉIÈAÅ�Ï�ÎlÊ�Ñ�Í.Å�Ò�ÛtÓ.Ç�Ï�Ö"Í@Å�Ö!Ê�Ç�É2Ï,ÍCÌcØmÒ`Å�È ëbñPíKòðê�Ë�Ç�Ï�Ê�É×CÇ�Ê�ÉÅ�ÏcÅ�Ø*ÇÆ!Ç�Ò�Ê�É2Ó.ÄÍ4Ç�Ó8Ê�ÉÅ�Ïqè -1.�2 æBÎ�Ë,Æ"Í.Ò$â('(Ç�Ï�Ð�â*)iÉ2ÄIÄ2Î�Ê�Ñ,Í.Å�Ò�Û_Ó.Ç�ÏgÖ"Í4Å�Ö�Ê�Ç�É2Ï,ÍCÌ_Ø�Ò�Å�È ëbñ�íKòê�Ë�Ç�Ï�Ê�É×CÇ�Ê�ÉÅ�Ï Å�اÇ6Î�Ë,Æ"Í.Ò�Æ!Ç�Ò�Ê�ÉIÓ.ÄÍvÇ�Ó8Ê�ÉÅ�ÏVÉ2Ï�é�Å�Äé&ÉIÏ,ÐhÆ!Ë,Ò�Í4Î$Æ!ÉIÏ,Å�Ò`Î.Ô

35476 8:9<;�=79?>A@�BDCFEHG#I�J!G#KLJMCONQP�9<KRPQG#KHER=*S?TU9VJ!9WCOSXKL=7P!ER=U@YIòsÑ,Í�Î$Ê�Ç�Ï�Ì�Ç�Ò`Ìÿë�Ò`É2Ï,ì�âçíKÓ�ÑDÙbÇ�Ò�×�Ç�Ó8Ê�ÉÅ�ÏÿØmÅ�Ò_Ê�Ñ,Í�Ê$ÍCÏKâ¢Ì�ÉIÈAÍCÏ�Î�ÉÅ�Ï!Ç�ÄsÎ�Ë,Æ"Í.Ò�Æ!Ç�Ò`Ê�É2Ó.ÄÍÉ2ÎlÜ°å 2 à

õ .[Z ôL\qø^]�_a` _cbcd `,_�` _ ù ø�ã&Ô 2 ùÙ*Ñ,Í.Ò�Í ] _ .feg _ih 2ã ejRkRl"_kOm jRm Þ ø�ã&Ô ã�ùnporqts�u�sv%wUu*xUyzv%{|y~}DwU��y~�5xUup��y~u����X�(�F�*��vt�!svt�(�(y~��u���u�x(wUu��Dq��Hu*x7v%wUqtxU�Qv%}O���(�F�Hu�xU�^�rs�s�u�w(xUy~�� qtxU}F����}F��u�{z�R�?�#u�xUu�}�q%w�y~}F�p{~�O�Fup��y�}�wU�Fu�(�#���0{~up��wU�rxUup�p����{~�(qF�?wU�Fu�{~up�*wU�FxUu�q�}�� �Ov%}�wUy~¡¢v�wUy~q�}q%��wU�Fu���£�¤�¤��(���Hu�xU��v%x(wUy~�p{~uav%}O���(���Hu*xUs�ups�¥rx7vt}�u¦�#vt�¦}Fqtw�y�}F�p{~�O�ru¢��y�}�wU��y~�QxUup��y�u*�c�(y~}��pu�y~wy~}���qt{���up�#�#q%xU§�y~}a�rxUq�¨txUu��(�p�

Page 9: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

©Yª%«�¬^­X®�ª�¯�°O±³²�°O´OµO®�¶^µO±|¬�·¦­<µO±|¬^¶¹¸rµH¬^¶^°H±º°p»D¬½¼Xª�¾<­F¿?ª ®%¯�¬^®t¶½±ÁÀ ÂHÃÄYÅ�ÆÈÇ�É�Ê?ËÍÌ ÎHÏ<ÐRÏ<ÆÈÌ ÎHÑ�Ò�ÐRÒ�Ë�ÏLÉ�ÓWÒÕÔ½ÐHÖ�× Å�Ø ÎHÏ<ÙÛÚÍÆ�Ç�É�Ê?ËÍÜYÎOÝHÖtÎHÏ?ÝHËÞÒ�Ó<ѹÉ�ƹß|ÑÈƹˠÖà Ê<ÆÈÌtÊáË�Ï?Ô½ÐHÖ%Ì�Ë�Ç�É�Ê<ËDÒ�ÎHÇ�Çpâ7Ç%Ê?Ë�ÑÈÑ�Ì�ÐRÏ<ÙWƹÉ�ƹÐRÏ�ã�äÊ?Ë1ÝRÎHÒ�ÒåÎåÒ�ÎOÉ¢Ö%Æ�Ì�Ë�Ç�æ ÅçOè ÎHÏ<Ùáæ çOèÅÎOÖ�Ëêé�ÂìëVé�ÂìÇ¢íîÒåÒ�ˠɢÖ%ÆÈÌ�Ò�ÎOÉ¢ÖtÆÈÌ�Ë�Ç à Ê<Æ�Ì%Ê0Ç�ÎOÉ�ÆÈÇ¢Ô½íÞæYï ÅçOè æ|ðHñ èFòáó ô�õ Å ð?ö òç ã�÷�Ï�É�Ê<Ëø�Ë íîÑYÖ�Ë ß<Ö�Ë�Ç¢Ë�ÏÁÉ�ÎOÉ�ƹÐRÏ Ø æ ÅçOè ÎHÏWÙìæ çOèÅ ÎOÖ�Ë1É�Ê?Ë,ÐOù"â7Ù<ÆÈÎOÝHÐRÏWÎHÑ�úWѹÐXÌ�ûXÇ�ÐHÔ5É�Ê?ËDü ô ëÍü ôý Å Ò�ÎOÉ¢Ö%ÆÈÌ�Ë�Ç�ã!äÊ?Ö�ÐRÓ?ÝRÊ<ÐRÓ?É�É�Ê<Ë�Ç¢Ë�Ï<ÐHÉ¢Ë�Ç Ø É�Ê?ËaÌ�ÐRÏLþHË�ÏÁÉ�ƹÐRÏ<ǦԽÐHÖ¦Ô½ÎHÌ�É¢ÐHÖ%ǦÐHÔYÿ!ÎHÏ<Ù ôà ÆÈÑÈÑ#ú#Ë�ÌtÊ?ÐRÇ¢Ë�Ï:Ç�Ó<ÌtÊÍÉ�Ê<ÎOÉ�É�Ê?Ë�Ç�Ó?ß#Ë Ö%Ç¢íXÒ�Ò�ˠɢÖ�íìÎHѹÝHË ú<ÖtÎ ÆÈÇ ��� ç�� � è�� ó æ ÅçOè� Å óÿ7ÄYÅ�æ ÅçOè ãäÊ?Ë1ÎHÌ�É�ƹÐRÏÍÐHÔ� ô ãÈé��ÆÈÇÇ¢ß|ÎHÌ�Ë É�ÆÈÒ�Ë�â7Ç�Ó?ß#Ë Ö%Ç�íîÒ�Ò�ˠɢÖ%ÆÈÌaÓ<Ï<Ù?Ë Ö

ö� ç ó�� ç � × Å ó éô Oæ Å � � öFÄYÅ ó ö�Ú ó�� �ÎHÏ<ÙêÆÈÇ�ÎHÑÈÇ�Ð�ÆÈÏLþOÎOÖ%ÆÈÎHÏÁÉÓ<Ï<Ù<Ë Ö�É�Ê?Ë1ѹÐXÌ ÎHÑ��êÉ¢ÖtÎHÏ<Ç¢Ô½ÐHÖ%Ò�ÎOÉ�ƹÐRÏ<Ç�� ü ô��ö� ç ó Ä Å �æ Å ��� ç � ö�× Å ó�� éô Oæ Å ö� � örÄ Å ó�� � ö�Ú ó�� è � è�� ô ã�ü��

äÊ?Ë1Ì ÎHÏ?ÐRÏ<Æ�Ì ÎHÑ�Ò�ÐRÒ�Ë�ÏÁÉ�Ó<Ò É¢Ð ç Ø à Ê<ÆÈÌ%Ê à ÆÈÑÈÑ|ú#Ë1Ì ÎHÑÈѹË�Ù"! ç Ø Ç�ÎOÉ�Æ�Ç$#<Ë�Ç! ç ó ö�%'&Oö � ç ó�� éô Ä Å �æ Å (� ç��Ç¢Ð,Ì ÎHÏ?ÐRÏ<ÆÈÌ ÎHÑ*)îÓ<ÎHÏÁÉ�Æ,+�ÎOÉ�ƹÐRÏ�Ö�Ë-)îÓ<ƹÖ�Ë�Ç É�Ê<ÎOÉ�ß|ÊLíXÇ�ÆÈÌ ÎHÑXÇ¢É�ÎOÉ¢Ë�Ç!ÎOÖ%ËÎHÏ<Ï<ÆÈÊ<Æ�ÑÈÎOÉ¢Ë�ÙDúîíDÉ�Ê<ËÔ�Ë Ö%ÒåƹÐRÏ<ÆÈÌ/.aƹÖ%ÎHÌ,Ì�ÐRÏ<Ç�É¢Ö%ÎHÆÈÏÁÉ�Ç�Ù?Ë0#WÏ<Ë�ÙìúÁí1 ç ó ! ç�2 éô Ä�Å3�æ Å (� ç � ô ã54(�

6 ÆÈÏ<Ì�Ë � ! ç � Hè � ó7� ÿ*ö èç Ø É�Ê?Ë�Ç¢ËDÌ�ÐRÏWǢɢÖ%ÎHÆÈÏÁÉ�ÇÇ�ÎOÉ�ÆÈÇ�Ô�í É�Ê?Ë98 ÐRÆÈÇ�Ç�ÐRÏáú<Ö%ÎHÌ%ûHË É�Ç� 1 ç � 1 è:� ó7� ÿ7Ä�Åæ ÅçOè � ô ã�Ã��ÎHÏ<ÙVÇ�ÆÈÏ<Ì�ËáÄ Å Ä�Å ó;� Æ�Ç�ÎHÑ�Ç¢Ð�Î:Ì�ÐRÏWǢɢÖ%ÎHÆÈÏÁÉ Ø Ë�ƹÝRÊÁÉ�ÐHÔ�É�Ê?ËáÇ�Æ,<îɢˠË�Ï=.aƹÖ%ÎHÌìÌ�ÐRÏXâǢɢÖ%ÎHÆÈÏÁÉ�ÇÎOÖ�Ë�#WÖ%Ç¢Épâ7Ì ÑÈÎHÇ�Ç�ÎHÏ<ÙáË�ƹÝRÊÁÉ�ÎOÖ�Ë�Ç¢Ë�Ì�ÐRÏ<ÙXâ7Ì ÑÈÎHÇ%Ç ã�>aÏ<Ë1Ì ÎHÏêË�ÎHÇ�ÆÈÑÈí ÌtÊ?Ë�Ì�ûáÉ�Ê<ÎOÉÉ�Ê?˦Ë�ƹÝRÊLÉ?#<ÖtÇ¢Épâ7Ì ÑÈÎHÇ�Ç?.aƹÖ%ÎH̦Ì�ÐRÏ<ǢɢÖtÎHÆÈÏLÉ�Ç5ÝHË�Ï<Ë Ö%ÎOÉ¢Ë�É�Ê?Ë@��É¢Ö%ÎHÏ<Ç�Ô�ÐHÖ%ÒåÎOÉ�ƹÐRÏ<Ç ÐHÔA ô ã�ü�� ØÊ?Ð à Ë þHË Ö Ø É�Ê?Ë Ö�Ë,ÆÈÇ�Ï?Ð�Ç�ÆÈÒ�ßWÑ¹Ë à Î�í É¢Ð�Ì�ÐFþ�ÎOÖtÆÈÎHÏLÉ�ÑÈí ǢˠßWÎOÖtÎOÉ¢Ë,ÐRÓ?É�É�Ê<ËaÇ�Ë�Ì�ÐRÏ<ÙXâ7Ì ÑÈÎHÇ�ÇÌ�ÐRÏ<ǢɢÖ%ÎHÆÈÏÁÉ�Ç ãB�Ë þHË Ö%É�Ê?Ë�ѹË�Ç�Ç Ø ÐRÏ?ËDÌ ÎHÏêË�ÎHÇ%ÆÈѹíC)ÁÓ<ÎHÏÁÉ�Æ,+ Ë,É�Ê?Ë�Ç�Ó?ß#Ë Ö�ßWÎOÖ�É�Æ�̠ѹË�Æ�ÏáÎ�Ï?ÐRÏXâ7ÜYÐHÖ�Ë�ÏLÉ$+Ì�ÐrþOÎOÖ%ÆÈÎHÏÁÉ5ÒåÎHÏ<Ï?Ë Ö�ÎHÏ<Ù�ÐHú<É�ÎHÆÈÏ�É�Ê?Ë�ßWÊLíXÇ�ÆÈÌ ÎHÑîÇ¢ß#Ë�Ì�É¢Ö%Ó<ÒêãED�Ç�Ç�Ó<Ò�Æ�Ï?Ý�Ï?ÐRÏ?âF+ Ë Ö�Ð,Ä9G ØÉ�Ê?Ë�ѹÐXÌ ÎHÑ5Ô�Ë Ö%ÒåƹÐRÏ<ÆÈÌ"�XâUÉ¢Ö%ÎHÏWÇ¢Ô�ÐHÖtÒ�ÎOÉ�ƹÐRÏ<Ç1Ì ÎHÏ ú"Ë�Ó<Ç�Ë�Ù0É¢ÐêÝRÎHÓ?ÝHË�âF#*<H�æ G (� ç óI�à Ê?Ë Ö�Ë�æKJ ó LM N �æ�O�Páæ�Q��tã�÷pÏ�É�Ê<Æ�Ç�R¢Ç¢Ë�Ò�Æ�â7Ñ�ƹÝRÊLÉpâ7Ì�ÐRÏ<Ë-SDÝRÎHÓ?ÝHË Ø É�Ê?Ë�ÎHÌ�É�ƹÐRÏåÐHÔT ô ãÈé��Ç�ÆÈÒ�ßWÑ�Æ,#<Ë�Ç�É¢Ð�É�Ê?Ë9)îÓ<ÎHÙ?Ö%ÎOÉ�Æ�Ì�ÎHÌ�É�ÆÈÐRÏ

U óWVX1ZY �× Å Ä�Å 2 éô Ä G :� �æE[\ (� 2 Ú�Ä Å Ä�Å/� ô ã�Â��

Page 10: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

]^] _a`\bdc0egf^h�i�jlknmoqpXr(s\t*uv:wdx w=yXz{ u|~}�|K} y=� x�w�x w/��� t {���� �

���*�0��� |~} oq� x9� t������ � }��^����� o z��$����� � �^�¡|T¢ t � ��£ � � � �^¤ �$¥:� � � � � ��� �§¦ �¨��^� � � � £ �^¤�©�ª��^� ��� « � ���,� � �^¬ t {���� � � ­�¥ ¤ � � ��� � � �9® |~} � |K¯±° oW²´³ } ¯ �dµ � |K}a� £ ���¤ �,¶ � �¸· �$¥:� � � �-¹:º^�0� ���,� � �^¬ |T¢ t � �¼» �^ª�¤ �A­ � � � � £ � �¼½�¾}À¿¯ ��� � £ � � ��� � � � ­ �^¤ �,« � � �$�� � ��� �$¬nÁ ½ ¾ } ¿Â ½ ¾ ¯:¿Ã y ½ ¾ ¯ ¿Â ½ ¾ } ¿Ã o�²´³ } ¯ ³ ¿Â ¿Ã���*�0����Ä �^�:� uÅ � ��� |Æ¢ t � � º^� £ �$� � �^�����^� ��� £ � � � �^¤ ��¥:� � � � � ��� � £ � � �XÇ � � £ �^�� �*�0��� ¬n� ��� � �0È � � � �*� ©�ª��^� � ª ­"ÉÊ­ � £ � �^� � £ �^¤ � � º^� ¬ ª�� £ ���,� �ÌË t v � �$� £ � ��� Á � �,� �*�0��^�Í|T¢ t � � º^� £ �$� � � ��� �§¦~Î Ë ¾ tv � Î � � �^�Í|T¢ t � � �^� ��� £ � � � �^¤ �$¥�� � � � � ��� �§¦~Î Ë ¿} t v � Î�^��� � �*� �^� ��� £ ��­�­ ª � � ���,� � ��� ¤ � ���,� � �@�^¬ | } � ������� ¥ � � �:ª £ � �CÏ Á � �0È � � �*Ð| } Ë

¾ tv � o ½

} ¿¯¾Ë ¿¯ t v ��� |~}�Ë ¿¯ t v � o ½�¾}À¿¯ Ë ¾ t

v ��Ñ t {�� � �Ò ª � � �*�0� ­Ó� ���^Î � �*� £ � � �$� � � � � � x w x w � ­Ó¥ ¤ � � �@� �*� ¤ � � � � � �,« � � � ©(ª�� ��� � � �/�^¬Ô­Ó��É���,� �¸Õ w Õ w Ë ¾ oÕ w Õ w Ë ¿¯ o�Ö �µ �¸� ��� ¥ � Á��� £ �^¤ ��� � � � �"�^¬@� �*� � ª ¥ �0� ¥ � � ��� £ ¤ � � ��� � � � £ � � Ï � �×Ï Á � ­ � ��� ¤ � �g�|T¢ t � � º^� £ �$� � Ë ¾ tv � �^�:�Ø� ­ � ��� ¤ � ��� |Æ¢ t � � �^� ��� £ � � � �^¤ �$¥:� � � � Ë ¿} t v � ��� � £ �� ��� � �*� ¥ � Á��g� £ �^¤ �$� � � � ���^¬"Ù o z Ö � ª ¥ �0� ÉÛÚ �^�*Рɴܸ� ¤ ¤ �Ý� �*� � � Á �ßÞ � �'�0º^�0�-Î � � �à�� � � £ � �,¥:���,� � �^¬'� ª ¥ �0� ÉÛÚ �^�*Рɴܸ� ¤ ¤ �d� �*� � � Á¡� ��¤ Á¡­ �^� �,¬ � �$� ¤ Áᥠ��� � �0��º^� � �^�â|T¢ t � �� ª*Ï�Ð � � ª ¥ã�^¬A� ��� � ª ¥ �0� É » ��� � £ � �ä� Ð � � ª ¥ Î �^��� � � ��� � ª�¤ ��¤ � ¶ � � ­Ó� ��� £ � º � � � �^� �­ � � � � � ¬�� � ©�ª��^� ���,«-� �*Ð � �*� � �*� � � Á � ¨ � º � � � �^� � ©�ª��^� ��� « � ���,� � £ �^�ãÏ �/�§¦ � �g� ­ � ¤ Áª � � ¬ ª�¤ �,¬�� � �å� �^� ���T�$� £ ��­Ó¥ ª � � ­Ó� �g� � � �^�¼æ$ª ���A� ��� ¥ � Á��� £ �^¤ �$¥ � £ � � ª ­ç� �3�/è�� �Ï:� £ ¶ Ð � � ª���� � Ò � �å�§¦ � ­Ó¥ ¤ �^Î � � � É £ � º � � � �^� �'­ � � � � � � � ��� £ ¤ ª ­ �$Á"¬�� � £ ��­Ó¥ ª ��� �*Ð� £ � �$� �0� � �*Ð�� ­Ó¥ ¤ �,� ª:� � �'� � ¬�� � Ð � � �0� �^¤ � «-� �*Ð �$� £ ª ��º^� ��Ï:� £ ¶ Ð � � ª���� � �é � � � ¤ ¤�Ï � � � � � � � � � �*� ¬�� ¤à¤ � � � �*Ð � ª�Ï � � £ ���,� � Î � ­ �^� �,¬ � ��� ¤ Á9� ª ¥ �0� É » ��� � £ � ��ä�£ � º � � � �^� � � � � £ � �,¥:���,� � �^¬�� � ÉÊ� �*� ¤à¤ � ª ¥ �0� ÉÛÚ �^�*Рɴܸ� ¤ ¤ �¸�à�á¥~�����g� Ï:¤ � ª ��� �*Ð�ê o zÙ o z Ö � ª ¥ �0� ��¥ � £ � �Hë � �à� £ � º � � � �^� � � � � £ � �,¥����,� � � � ¤à¤'¤à� � �0� Ï � � Ï � � � � � � ¬ � ��­©(ª��^� ���,« � ���,� � �^¬ � � ª ¥ �0� ¥ � � ��� £ ¤ � � £ ���,� � � � º � ¤ º � �*Ð ¥ ª ��� �$¥:� � � � � �ì?í�ì î?ïTðåñ:òZóÀðÆôKõñ÷öTñ:ó�õòZøÊðTù�øFúEûWú\ü3ó�ïTðåñ�ò�ý±þ ôKûTÿ~ý��ßø����ÊóCù��Æñ�ú\ò��

é ¤ � � � ª*Ð � � � ÉÊ� ��� ¤ ¤ � ª ¥ �0� ÉÛÚ �^��Рɴܸ� ¤à¤ �/� �*� � � Á £ �^� Ï � � � � £ � � Ï � �ÌÏ Á¡� ��� |T¢ t � �� � º^� ¬ ª�� £ ���,� � � Ë ¾ tv � �^�:�âË ¿} t v � �^¬ t {�� � � � � ��� ��¬�Á� �*Ð � �*� ¤ � � � � � �,« � � � ©�ª�� ���,� � ��^¬�­��^���,� �âÕ w Õ w Ë ¾ o

Õ w Õ w Ë ¿} o Ö � � �*�0��� � ��� ­Ó� �g� £ � º � � � �^� � � � � £ � �,¥���� � � ��^¬T� �*� � �*� � � Á ��Ç ¬ £ � ª � � �^Î � �*�0�g� � � � » ��� � £ � ��ä� É £ � º � � � �^� � � � � £ � � ¥����,� �¸ª ��� �*Ð �^�|T¢ t � z � º^� £ �$� �¼È�� ¤ �C� w t v � �^�:�ã�^�¸|T¢ t � z � ��¥:� � � ��È�� ¤ ���� t v � � � �^� �$¬n� � ­�� �*Ð

Page 11: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

����������������� �"!#� $ % ��&�% �'�)(*�+% �'��&-,.%���&����/�102�43��65+�879�����:���;&4�=< >�?

@BADC�E+FHG�I J1K�@BA=C*L�F�M+L�F�N�F�AOC�G C�@-K�APK�Q�C�E9FHR�G�S9R�FTR�L�K�S9MVUWEX@BY�E�N�G C�@BNZQ4[\C�E9FHF�]^S+G C�@-K�A+NK�Q�_`K�C�@BK�A

a+bHc bedHfhgikj l b6m�c bnd�oqpsr m t'bu vxw a bzy v fhgikj l=b m y v o4{|p}r m w~^��� {G�A+IVR�G�S9R�F2@�AO� G L�@BG�A+Y:F

� l=b�p a b)��f�g�ikj lOb m ��o m � y u psgiqj y u m ��o m ��c bed\psgikj c bnd m ��o m w~^�B� rO{UWE9F�L�F c bed�p a+� b l d8� f�g�ikj lOb m l=d�o @BN|C�E9Fz�eG�A9R ����@B�B�BNn�+F��BI�NZCZL�F�A9R�C�E�G�A+I i @BNeC�E+FN�S9MqF�LZ��eG�A9R ����@B�B�BN#Y:K�S+MX�B@BA9RTY:K�A+N�C�G�AOC �e� K.U�F���F�L���C�E9F�L�Fz@BN|G��BNZK6G2N�S9MqF�LZ����K�@BAXY�G L^�FY:K.� G L�@BG�A=CeI9F�N�Y:L�@BM+C�@-K�A�S+N�@BA9RHG�A��|� w� m � { NZMX@�A9K�L�U�G.��F�Q4S+AXY:C�@-K�A\� u w4� m�� { I9F��XA+F�I@BA¡  p � r N�S9MqF�L�NZMXG�Y:F �*¢ N£UW@B���q¤kF2F:¥^MX��G�@BA9F�IV¤qF��-K8U¦�+K�A���N�E+F��B�§N�S9MqF�LZ��eG�A+R ���¨@B���BNC�E9F�K�L�[VY�G�A¡¤qF2I9F�N�Y:L�@-¤qF�IP¤=[PGDN�MX@BA9K�L£N�S+MkF�L��+F��BIP� u w4� m�� { CZL�G�AXNZQ©K�L;_\@BA9R`@BAVC�E+FG�I�J1K�@�AOC|L�F�M+L�F�NZF�A=C�G C�@-K�A\UzE+@BY�EDN�G C�@BNZ�+F�NeC�E9FzN�S9MqF�L�NZMXG�Y:FªF�]^S+G C�@-K�ADK�Q§_`K�C�@-K�A j¬«�« o

t u vbed:­�®°¯ w�± u � v f�gi � u � v {#p}r w~^�B��� {Q©K�LWG�A=[P�+��F:��Q4K�L�_²I+@-L�F�Y:C�@-K�AP³V´�µ'¶�·��^Uz@-C�EVC�E9FTR�G�S9R�F�@BA=��G L�@�G�A+Y:F

� � u p ± u9¸ f�gikj � u m ¸ o w~^�B��~ {UWE9F�L�F ¸ w4� m�� { @BNªG�AO[VN�Y�G���G LWN�S9MqF�L��+F���I�G�A+I

± u pa

aX� u f �~ wt'b)� { u a b

@BN*C�E9F2N�S+MkF�L;NZ[^_D_`F�CZL�@BY)I9F�L�@-� G C�@-��F �¹ A9F¦Y�G�A�G��BNZK\I9F��XA+FT�+F��BIVNZCZL�F�A+R�C�E+N£Y:K�A+NZCZL;S+Y:CZF�IVQ4L�K�_²� u ¤=[º b»p �¼ t u vb w�± u � v f¦g�i � u � v { m ½ u p �

� rt u vb w�± u º b\¾ a b � u f2giqj � u m º b o4{ m

w~^�B� «�{¿ bed p a � b º d.� f�gikj º b m º d oqp �¼ w t bed { u v w�± v ½ u fhgi+À � v m;½ u'Á {UWE+@BY;EPCZL�G�A+NZQ4K�L�_²S+AXI9F�LªC�E9FTR�G�S9R�F6CZL�G�A+NZQ4K�L�_\G C�@-K�APK�Q w~^�B��~ { G�N� º b�p a b ¸ fPgikj º b m ¸ o m ��½ u psgiqj ½ u m ¸ o m � ¿ bnd pÂg�ikj ¿ bed m ¸ o�à w~^�B�:Ä {

Å K`N�E+K.U»C�E+G Cª� u w4� m�� { I9F�N�Y:L;@-¤qF�NeK�A���N�E9F��B�kN�S9MqF�LZ��eG�A9R ����@B�B�BNnC�E9F�K�L�[��+@BC�Uz@B�B�¤kF�S+NZF�Q�S+�|CZKÆ�+L;NZC6A9K�CZF�C�E+G C`@BA/CZF�A�IX@B_`F�A+N�@BK�A+N¦G�A=[/NZ[�_\_`F�CZL�@BYD¤X@BNZM'@BA9K�L c u vY�G�A�¤qF�I9F�Y:K�_`MqK�NZF�IÆ@BA�CZF�L�_\N)K�QeG���F�Y:CZK�L¦G�A+IÆG��+��F:��Q©K�L;_ÇG�N c u v p t bu v c bÈft bed:­�®°¯u v c bed:­�®°¯ G�A+IÂG�A=[ÉG�A=C�@BNZ[�_\_`F�CZL�@�Y¡¤X@BN�MX@BA9K�L c u v Y�G�A}¤qF�I+F�Y:K�_`MqK�NZF�IÂ@�A

Page 12: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

Ê�Ë Ì6ͧÎ)Ï�Ð�Ñ�Ò Ó.Ô�Õ4Ö

×ZØ�Ù�Ú\Û#Ü�ÝxÞT×�ß9Ù�Ø�Ø:à�Ý©Ü�Ù�ÚáÞ�Ûnâ ã ä`åÂæ'çnè�éã ä â çnè�é^ê^ë�ì�í+î ØHï.ð ãqñ ð�äXòTåÂæ çã ä�ó ç6ô Ü í Ø î Þ íî ß9Ø î�õ ×�ß+Þ ×zö8÷ ã å»ð ã^øúù�û�üký ÷ ã ñ øeþ ì Û ìBí+ÿ Ø�Ø ÿ Þ���Þ�����Ø ìBí�� Þ Ù ì Þ í+î ØTÜ�Ý����� � ����� Û ìBí � ø ��� ñ�� �|å�� ã ����� � ã ù�� ã ä������ � ã � ä ñ Ü í Ø î Þ í ��Þ�����Ø6Þ��*Þ�� ��÷ ã �����!�#" $�%�&Þ í+ÿ ×�ß9Ø�×�ß9Ù�Ø�Ø:à�Ý4Ü�Ù�Ú('XÞ Ù�×`Ü�Ý)��ð ã ÷Wä������!�#" $�%�&��+*��9Ù�×�ß9Ø�Ù;Ú`Ü�Ù�Ø ô Ø�,��XÞ × ì Ü í ���� � ��ì Ú�'.- ì Ø�Û2×�ß+Þ ×D×�ß9Ø0/ � Ø:à�Ý4Ü�Ù�Ú1'XÞ Ù�×\Ü�Ý2��ð ã ÷zä3�����!�#" $�%�& � Þ í+ì Û�ß9Ø�Û�� ë Üú×�ß9Ø0--Ü4�nØ�ÛZ×í Ü í à � Þ í+ì Û�ß ì�í � î Ü�Ú5'kÜ í Ø í ×£Ü�Ý�÷ ã ��� ñ�� � ìBí ×�ß ì Û���Þ��6��Ø ì Ûª×�ß9Ø � Ø î ×ZÜ�Ù î Ü�Ú�'qÜ í Ø í ×��ð\æ ç ÷2�����!�#" $�%�&7�Wß ì�î ß8� ì -�-:9qØ ÿ Ø#/ í Ø ÿ Þ�Û Ë<; ç �������>=�Ü í × ìBí � ìBí � ×�ß ì Û�×?��'qØVÜ�ÝÞ Ù��@�+Ú`Ø í צ×ZÜ�ß ì ��ß9Ø�ÙTÜ�Ù ÿ Ø�Ù ìBí � ã ô Ü í Ø5/ í+ÿ ÛH×�ßXÞ ×¦×�ß9Ø�Ù�Ø\ØBA ì ÛZ×�Û6ÞC��Þ��6��Ø î ß9Ü ìBî ØÛ�� î ß¡×�ß+Þ ×

÷ ã ��� ñ�� �|å �©æ ç � � ã ; ç ����� ù û � � � æ çeè:é � �B�©æ çnè�é �°ã ä�D ä ����� ù ê-ê-ê ���� �E@��Wß9Ø�Ù�Ø ; ç �����eÞ í+ÿ D ä �����eÞ Ù�ØGFIH)�J ñ �� � Ø î ×ZÜ�ÙWÞ í+ÿ Û!' ìBí Ü�Ù:/+Ø�- ÿ ÛnÛ�Þ × ì ÛZÝ�� ìBí �K���LJ@�Þ í+ÿ �Wß9Ø�Ù�ØT×�ß9Ø î Ü�Ú�'qÜ í Ø í ×M/+Ø�- ÿ Û ìBíÆê-ê-ê Þ Ù�ئÝ�� í+î × ì Ü í Û*Ü�Ý#Û!'XÞ î Ø�× ì Ú`Ø ÿ Ø�Ù ì�� Þ × ìN� Ø�ÛÜ�Ý ; ç ������Þ í+ÿ D ä �������O*��+Ù�×�ß9Ø�Ù�Ú`Ü�Ù�Ø ô ×�ß ì ÛP��Þ�����Ø î ß9Ü ìBî Ø�--Ø�Þ � Ø�Û�×�ß9Ø�Ù�Ø�Û ì�ÿ �+Þ�-���Þ��6��Ø×ZÙ�Þ í ÛZÝ4Ü�Ù�Ú\Þ × ì Ü í ÛeÜ�ÝQ���� #RS�:�Wß+Ø�Ù�ØUT������|åV� ø �����!�#" $�%�&��XWY-BÛ�Ü ô Ü í Ø î Þ íPî ß9Ø î�õ ×�ß+Þ ××�ß9Ø � åZR î Ü�Ú�'qÜ í Ø í ×�ÛªÜ�Ý�×�ß9ئÛ��6'qØ�Ù�/+Ø�- ÿ ÛQ[ ç2ô.\ ã Þ í+ÿC] çeè Ü�Ý^���� �_@�ªÞ Ù�Ø ; ç6ôD ã Þ í+ÿ â çeè Ù�Ø�Û!'qØ î × ìN� Ø�-N��� ë Ü\×�ß9ئØ�,��+Þ × ì Ü í ÛªÜ�Ý|Ú`Ü�× ì Ü í Þ íXÿ ��Þ��6��Ø ìBíS� Þ Ù ì Þ íXî Ø�ÛÜ�Ý����� � ��WÞ í+ÿ ���� �@� î Ü�Ù�Ù�Ø î ×�-N� ÿ Ø�Û î Ù ì 9qØ)Ü í à�Û�ß9Ø�-�-xÛ���'kØ�Ù�à`eÞ í � à?a ì -�-BÛ�×�ß9Ø�Ü�Ù����b í Øc�nÜ@�.- ÿÆí Ü��d- ì-õ Ø�×ZÜVÜ�9+×�Þ ìBí ×�ß ì ÛzÛ���'kØ�Ù�àfe Ü ì�í+î Þ Ù�gØ î Ü � Þ Ù ì Þ í × ÿ Ø�Û î Ù ì 'X× ì Ü íÜ�ÝqÛh�6'qØ�ÙZà`eÞ í � à?a ì -�-BÛ�×�ß9Ø�Ü�Ù��29���,��+Þ í × ìNi�ìBí �T×�ß9ØWÛ��6'qØ�Ù�''Þ Ù�× ìBî --Ø�� ë�ìBí+î Ø*×�ß9ØWÛh�6'qØ�ÙZà`eÞ í � à?a ì -�-BÛTÛ!'qØ î ×ZÙh�+Ú î Ü í ×�Þ ìBí Û¦Þ¡Ú\Þ�Û�Ûh--Ø�Û�Û � Ø î ×ZÜ�Ù ô Ü í Ø`ØBAj'qØ î ×�Û¦×�ß9Ø î Ü � Þ Ù ì Þ í ×Û��6'qØ�Ù�'XÞ Ù�× ì�î --Ø î Ü í ÛZ×ZÙ�Þ ìBí ×�Ûn×ZÜk��Ø í Ø�Ù;Þ ×ZØz×�ß9Ø)Û!'XÞ î Ø�× ì Ú\ØM��Þ��6��Ø ìBí�� Þ Ù ì Þ í+î Ø�Û|Ü�Ýx×�ß ì Û� Ø î ×ZÜ�Ù��QlzÜ�×ZØ)×�ßXÞ ×e×�ß9Ø�ÛZØ î Ü í ÛZ×ZÙ;Þ ìBí ×�Û�Þ Ù�Ø í Ü�×Q'XÙ�Ø�ÛZØ í × ìBí ×�ß9ØM��Þ��6��Ø:àm/�A^Ø ÿ Þ î × ì Ü íÜ�ÝK���on���Û ìBí+î Øqp^r ÿ Ø�Û î Ù ì 9qØ�Û`Ü í -N�È×�ß9Ø ×ZÙ�Þ í Û � Ø�Ù�Û�Ø ÿ Ø#��Ù�Ø�Ø�Û�Ü�Ý2Ý©Ù�Ø�Ø ÿ Ü�Ú Ü�ݦ×�ß+ØFIH5�J ñ �� � Ø î ×ZÜ�Ù��^s�Ø�Ý©Ü�Ù�Ø ÿ Ø�Û î Ù ì 9 ìBí ��×�ß9Ø î Ü � Þ Ù ì Þ í × î Ü í ÛZ×ZÙ;Þ ìBí ×�ÛM�Wß ìBî ß7��Ø í Ø�Ù�Þ ×ZØ×�ß9Øt��Þ��6��Ø ìBí�� Þ Ù ì Þ í+î Ø�Û�Ü�Ý6×�ß ì Û � Ø î ×ZÜ�Ù ôTì ×7� ì -�-Y9qØu�+Û�Ø�Ý���-)×ZÜv/+Ù;ÛZ×�Ù�Ø �^ì Ø#�Ç×�ß+Ø�nÜ�Ùh- ÿ - ìBí ØzÞ î × ì Ü í Ý©Ü�ÙM=*ß+Ø�Ù í à ë�ì Ú\Ü í Û|×�ß9Ø�Ü�Ùh�5�Wß ìBî ßPÞ�-BÛZÜ�ß+Þ�Û î Ü í ÛZ×ZÙ�Þ ìBí ×�Û*Ù�Ø�-BÞ ×ZØ ÿ×ZÜDÛ!'XÞ î Ø�× ì Ú\Øw��Þ��6��Ø ìBí�� Þ Ù ì Þ í+î Ø�Û#�xzy|{ }�~P�S�?�Q�?�f�I���I�.�<�j�S�f�I�@�m~���~P�5���I�����z���X�f�+~��:�7�@�I��~P�@�ë�ìBí+î Ø�×�ß9Ø^��Þ��6��Ø ìBí�� Þ Ù ì Þ í+î Ø*Ü�Ý'ÞTÚDÞ�Û�Û�--Ø�Û�Û � Ø î ×ZÜ�Ù:/+Ø�- ÿ�ì Û#ö.÷Y�\å ó � ø ô Ü í ØªÚ ì ��ß=×�@�9Ø�Û�Û�×�ß+Þ ×#×�ß9Ø^��Ü�Ùh- ÿ - ìBí Ø�Þ î × ì Ü í Ý©Ü�Ù|Ûh� î ß`Þ�/+Ø�- ÿ Û�ß9Ü@��- ÿ�î Ü í ×�Þ ìBí ×�ß9Ø î Ü í ÛZ×ZÙ;Þ ìBí ×�Û� � ê WU--×�ß9Ü@�6��ß�×�ß9Ø�ÛZØ î Ü í ÛZ×ZÙ�Þ ì�í ×�Û�Þ Ù�ØW×ZÜ^Ü�ÛZ×ZÙ�Ü í ��Ý©Ü�Ù ÿ Ø�Û î Ù ì 9 ìBí ��`eÞ í � à?a ì -�-BÛ|×�ß9Ø:àÜ�Ù�� ô ×�ß+Ø#�¨Þ Ù�Ø^���+ÛZ×zÙ ì ��ß=×WÝ4Ü�Ù ÿ Ø�Û î Ù ì 9 ì�í ���Tåw_�=*ß+Ø�Ù í à ë�ì Ú\Ü í Ûª×�ß9Ø�Ü�Ù��C�zß9Ø�Ù�Ø2×�ß+Ø/+Ø�- ÿ à�ÛZ×ZÙ�Ø í ��×�ßPÜ�Ý#÷M� � Þ í+ì Û�ß9Ø�Û*Ü í à�Û�ß+Ø�-�-�WzÛ��*Þ�Û¦Û�ß+Ü�� íÆìBí ý _�� þ ô =ªß9Ø�Ù í à ë�ì Ú`Ü í Û£×�ß+Ø�Ü�Ù�� î Þ í 9qØ ÿ Ø�Û î Ù ì 9kØ ÿ �+Û ì�í ��×�ß+Ø

Page 13: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

���h�� ¢¡j£��¥¤c¦<§©¨X¦<ª<«<£¥¬¢«<§­ U®�¡�«<§­ ¢¬N¯�«� ¢¬¢¦�§ ¦±°² �³j�k´�¡4µ6�#£h¤B ¢£�¬�§�¶ ·�¸¹:º�»h¼�½�¼�¾�¿6À�Á�ÂBÃ�¾Nº@¿�Ä Å Æ�ÇÉÈSÊPË�ÌÍ­Î�Ï Î�ÐvÑ Î�Ï Î6Ò ËÓ�Ô�Õ · Ò¹MÖ6À#»�Àw× ÆÙØ Ã!º Ó Á�¿�½ Ñ Î Á<»�À²ÚÛÁ<Ü�»hÁ�¿6Ü�À2ÝkÞ.¼NÃ�¾Nß.¼�¾�À#»hàQá�º�»MÃ�Ö�ÀkÂBº@¿�à!Ã!»�Á�¾�¿SÃ�à Ô^â ¾�¿�ÂBÀÃ�Ö6ÀcÂBº@¿.à!Ã!»hÁ�¾�¿�Ã�à�Á<»�Àkã.»hà!ñäfÂ#¼�Á�à�à�å­Ã�Ö6À2Á�ÂBÃ�¾Nº@¿tÂ#Á�¿uæ�Àkç�Þ�Á�¿SÃ�¾�è#À�½éÞ�àh¾�¿6Ü)Ã�Ö�Àkê�ë âjìÝ�À#Ã�Ö6ºj½ ÔIí á�Ã!À#»MÜ@Á�Þ�Ü@¾�¿6Ü Ñ Î ÆïîCðñ Ï Î å�Ã�Ö6ÀGÜ@Á�Þ�Ü�ÀBämã6ò�À�½uÁ�ÂBÃ�¾Nº@¿0¾�àÅ Æ�ÇÉÈSÊPË�ÌÍ­Î�Ï Î î ÕÓ ÏGÎ�Ï Î Ð Ìó¥Îjô Î Ò ËÓ�Ô�Õ�õ Ò¹M¾NÃ�Ö7Ã�Ö6À²ê�ë âjì º�ß�À#»hÁ<Ã!º�» ö Æ ó Î Ï Î ËÓ�Ô�Õ�÷ Ò¹MÖ6À#»�À Ë ó Î.ø ô Î Ò Á<»�Àwá�À#»hÝ5¾Nº@¿.¾�ÂYù.Á�½6À#À#úSäfûOº�ß�º�úüÜ@Ö6º@à!Ã�àMÁ�¿.½0Á�¿SÃ�¾NämÜ@Ö6º@à!Ã�à Ôì ºqà�Ö�º�¹ýÃ�Ö�Á<Ã2Ã�Ö6ÀCÂBº@Ö6º@Ý�º@¼�º�Ü�þ�º�áYÃ�Ö6ÀCêÿë âjì º�ß�À#»hÁ<Ã!º�»5½6À�à�ÂB»h¾�æ3À�à���Ö6À#»�¿jäâ ¾�Ý�º@¿�àÿÃ�Ö6À#º�»hþ�å�¿6º�Ã!ÀwÃ�Ö�Á<Ã^Ã�Ö6ÀwÝ5º@à!Ã^Ü�À�¿6À#»hÁ�¼�¹�Á�ú�À#á¢Þ�¿�ÂBÃ�¾Nº@¿üÂBº@¿�à!Ã!»hÞ�ÂBÃ!À�½0á|»�º@ÝýÁÜ�»�º@Þ�¿�½Cà!Ã�Á<Ã!ÀcÁ�¿�¿�¾�Ö.¾�¼�Á<Ã!À�½�æ�þ ô Î ¾�à� Ë ó ø Í Ò Æ��)Ë Í ÒPÐ ó Î�� Î Ë Í ÒPÐ �Ó� Î� � ó Î ó ������ Ë Í ÒPÐ �· � Î� � ó Î ó ó � � � Ë Í Ò ËÓ�Ô�Õ ¸ Ò¹MÖ6À#»�ÀcÃ�Ö6À�ÀBòjß.Á�¿�à�¾Nº@¿u¾�¿ ó Î Ã!À#»hÝ5¾�¿�Á<Ã!À�àGà�¾�¿�ÂBÀ ó Î ¾�àUá�À#»hÝ5¾Nº@¿�¾� Ô�� ¿6À2Â#Á�¿qÂhÖ6À�Â��Ã�Ö�Á<à ö � Ædî � ó¥Î�� Î ��î �Ó ó¥Î�ó����� Î � �� Ð Õ· � Î��� ó�Î�ó�4ó ����� � � � Ë Í Ò�� ËÓ�ÔLÓ<Ø Òâ º ö � Æ Ø ¾�Ý5ß.¼�¾NÀ�à^Ã�Ö.Á<à � Î Ë Í Ò à�Á<Ã�¾�à!ã�À�àUÃ�Ö6À²À�ç�Þ�Á<Ã�¾Nº@¿.àYº�á:Ý�º�Ã�¾Nº@¿ ��� Î � �� Æ Ø¹MÖ�¾�Â�Öu¾�à�Ã�Ö6À�¼�¾�¿6À�Á<»h¾�è#À�½éÀ�ç�Þ�Á<Ã�¾Nº@¿tº�áÿÝ�º�Ã�¾Nº@¿tº�áÿÃ�Ö6À ��Ö6À#»�¿jä â ¾�Ý�º@¿.à ã�À�¼�½ Ô ù�Þ6»�äÃ�Ö6À#»hÝ�º�»�À�åj¾Ná3º@¿6ÀY½�À#ã.¿6À�àIÃ�Ö�ÀMÜ@Á�Þ6Ü�ÀUß.Á<»hÁ�Ý�À#Ã!À#»"! Ë ó ø Í Ò Æ �$# Ë Í Ò î ó Î�% Î Ë Í Ò�Ð&�'�'� åÃ�Ö6ÀCÜ@Á�Þ6Ü�À0Ã!»hÁ�¿.à!á|º�»�Ý5Á<Ã�¾Nº@¿)( � Æ ö !ɾ�Ý�ß.¼�¾NÀ�à*( � Î Æ � Î # ¹MÖ.¾�ÂhÖ ¾�à2Ã�Ö6À0¼�¾�¿jäÀ�Á<»h¾Nè#À�½CÜ@Á�Þ6Ü�ÀkÃ!»hÁ�¿�à!á�º�»hÝ5Á<Ã�¾�º@¿Cº�áÛÃ�Ö�À*��Ö6À#»h¿6ä â ¾�Ý�º@¿�à:ã�À�¼�½ Ô+ á6º@¿�Àÿ½6À#ã­¿6À�à�ß­ÖSþjà�¾�Â#Á�¼Sã�À�¼�½�àÛ¾�¿²ê�ë â6ì ç�Þ�Á�¿�Ã�¾Nè�Á<Ã�¾Nº@¿kÃ!º�Â#Á<»h»�þGÜ@Ö6º@à!ñäf¿�Þ�Ýkæ3À#»º@¿6À�å�º@¿6Àwã­¿�½�à�Ã�Ö�Á<ÃYÃ�Ö6À²à!ß.Á�ÂBÀ#Ã�¾�Ý�ÀwÜ@Ö6º@à!Ã�àYÂ#Á<»�»�þ�Ü@Ö6º@à!ñäf¿�Þ�Ýkæ3À#»Yè#À#»�º6å.Ã�Ö�À²Á�¿SÃ�¾Näã�À�¼�½�àXÂ#Á<»�»hþ�Ü@Ö6º@à!ÃQ¿�Þ�Ýkæ3À#»QÃf¹ÿº6å�Á�¿�½)Ã�Ö6ÀMÁ�¿�Ã�¾NÜ@Ö6º@à!Ã�àÿÂ#Á<»�»�þ2Ü@Ö6º@à�ñäf¿�Þ�Ýkæ�À#»IÃ�Ö6»�À#À Ôù6»�º@Ý Ã�Ö6ÀUÀ�ç�Þ�Á<Ã�¾�º@¿�àQº�áÛÝ�º�Ã�¾Nº@¿�Á�¿�½)Ü@Á�Þ�Ü�ÀU¾�¿�ú<Á<»h¾�Á�¿�ÂBÀ�à ö � ÆÙØ Á�¿�½,( � Æ ö !Gåº@¿6À^¼NÀ�Á<»h¿�àÛÃ�Ö�Á<ÃzÃ�Ö6À�Ü@Á�Þ6Ü�À^¾�¿�ú�Á<»h¾�Á�¿�ÂBÀ�àOº�á�Ã�Ö6À^Á�¿SÃ�¾�ã�À�¼�½�àOÁ<»�Àÿ»�À�¼�Á<Ã!À�½2Ã!º�Ã�Ö6ÀÿÀ�ç�Þ�Á�äÃ�¾Nº@¿�àYº�áQÝ�º�Ã�¾Nº@¿uº�áIÃ�Ö6Àcã�À�¼�½.à#å­Á�¿�½éÃ�Ö6ÀcÀ�ç�Þ.Á<Ã�¾Nº@¿�àUº�áQÝ�º�Ã�¾Nº@¿éº�áIÃ�Ö6ÀcÜ@Ö6º@à!Ã�à�Á<»�À»�À�¼�Á<Ã!À�½�Ã!ºéÃ�Ö6ÀKÜ@Á�Þ6Ü�À7¾�¿Sú<Á<»h¾�Á�¿.ÂBÀ�àwº�á^Ã�Ö6ÀKã�À�¼�½�à Ô ù6º�»2ÀBò6Á�Ý�ß.¼NÀ�åOá�»�º@Ý ö � Æ ØÁ�¿�½-( � Æ ö !Zá|º�»MÃ�Ö6À*��Ö6À#»�¿jä â ¾�Ý�º@¿.àQ¹�Á�ú�À#á¢Þ�¿�ÂBÃ�¾Nº@¿üº�á ËÓ�Ô�Õ ¸ Ò å­º@¿6Àk¼NÀ�Á<»h¿�à�Ã�Ö�Á<Ã.0/214365�7�8�9�5�: ;�< =?>A@CBED08�BEBEF0B27 G�1CHJILKM7�N61O>ABE5�F0F�3PI�D�36@C7�GRQS7�NUTV5�F�N6GAWYXZ@C["7 G�B\BY3EN6@CG�9L365�F07�NEH^]�365�F["F_365�7Z>�BF0I�BE@C14H�9�F0G�F�N$I�1C@O`�Fa367"IaKM7�N61O>A1O@CG�FbI�D�36@C7 Gdc

Page 14: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

e�f g�h\i�j^k�lnmpoAqYrtsu�v�wyx{zp|{}~x����ZxR|{�?� �Z����zp|{}~�����n�����n|{}~�������duJv �&� f�� }'|{��|{�?� ��zn�?�n��}~����zp��}�zn������Au v � ��� �A��� � ������� � ��}~����zp�{� |{�?� ¡�}~�?�Zzp��}'¢^�Z£¤�Z����zp|{}'����xR�n�¥���n|{}~���&zn��£���zn�?�n�}~�d�pzp��}~zn�����a�n�?|{�?��¦L�?�^���?§�¨©}~������xªzn�d|{}'���Z¡~£«ª¬���£�|{�?�­���Z� zn}~��}~���"���Z¡~£�x ��® ¯t°± zn��£®Rvp¯t°M±�� £��Zx{����}'²M�J|{�?�Rx�³�zn���^|{}����R���?��x�|´zn��£µzn��|{}'���?��x�|��n�b¦L�?�^���©§�¨©}~������x­|{���^�n�{¶n«· �?�Zx��*�Z����zp|{}'����x��n�a���n|{}~���¤zn��£���zn���n�¸}��d�pzp��}~zn�����ZxJ�^zn�¤²M���n²�|{zn}~�?�Z£��¹�{���|{�?�»ºLzp|{zn¡~}~�©§6¼J}~¡'½n����}�x�½�¶¾�n�^��x�}'���À¿4ÁnÂ�Ã¥�n�¥|{��� zp²M�Z¡~}~zn��¦L���^���©§�¨©}~� ����xÄx�³�zn���^|{}~� �zn��|{}'���

Å ��ÆÈÇ�É °Ê¯pËÌ � ��� w u � � � u w­Í�Î u v � � �©®�±�Ï ¯ Ì « Ì Ë ±� �?�^�{� � }~�yzn£�£�}~|{}'���,|���|{�?�Ä��x{��zn¡\¦L�?�^���©§�¨©}~������xazn��|{}'�����t�n��u´� � |{�?�^�{�R}~xLz¸|��^��������?³�¡~}~���R|{�?�´zn��|{}'���Z¡�£»uJv � |��*|{�?����zn�?�n����zp��}�zp|{}'���»�n�\u´��« · �?�´zn��|{}'��� �n� ¯ Ì « Ì Ë ±�^zn�µ²M� � ��}'|�|��Z�µ����� ³�zn��|{¡'¶�}~�y|��^��� x��n�Ê|{��� � zA�n�^�t������|{}'���¤ÐÑ�n� ¯ Ì « ËZÒ ± znx

Å � ËÌ Æ Ç�É °ÊÓ ÐRÔ�ÐRÕ ¯ Ì « ÌnÌ ±� �?�^�{� Ó Õ¥}�x��?�n��� zn¡�}'¢^�Z£�x{������|{��zp| ÓYÖ � Ö � Ö w Õ � Î � ��� w «× ³Ø|����?� � � ����¡'¶�zp²M�Z¡~}~zn��¦L�?�^���©§�¨©}~������xJ|{�?�^�n�{¶&��znxÙ²V�^�Z��£�}~x{�^��x�x��Z£ � ²Ú�?|}'|R}~xÄ�Zznx�¶¾|����n�Z�?�^��zn¡~}'¢^�»|��µ|{�?�»�?���?§$zp²V�Z¡�}~zn���^znx��n«yÛ?�n�Ù��Ü?zn��³�¡'� � |{�?�»ºLzp|{zn¡~}~�?§¼�}~¡~½n�A�©}~x�½�¶»�n�^��x{}~�����n�P|{�?�R�?���©§$zp²M�Z¡~}~zn�-¦"�?�^���©§�¨©}�������x¥zn��|{}'���-}~x

Å �ÞÝàß Æ Ç É °Ê¯ � ��� w ¯ ËÌ u´���d�pu w Í ÎEáÁ uà��u´��u w ± ¯ Ì « Ì Á ±Í�Î u v � ¯ �d� ® Í�ÎEá ¿ u´� Ï�® à ±Pâ á ®�®Ù® v ±�Ï

� ��}~�����^zn�µ²M� � ��}'|�|��Z�µ����� ³�zn��|{¡'¶�znxÅ �ÞÝàßaÆÈÇ É °ÊÓ ËÌ ÐRÔ�Ð Í á Á ÐRÐÙÐRÕ ¯ Ì « Ì�ã ±

� �?�^�{� á }~x¥|{�?�Ù¦L���^���©§�¨©}~� ����x­������³�¡~}~�?�¸������x�|{zn��|�zn��£y|{�?�J���Z¡�£�xL}~�µÐä�n� ¯ Ì « ËZÒ ±�?� � �^zp�{�{¶,åª}'��zn¡'�n�^²���z¸}~��£�}~���Zx^«Pæà�n|��Ä|{��zp|¥|{�����?���?§$¡~}~�?�Zzp�¥�Z����zp|{}'����x¥�n�ª���n|{}'���zn��£���zn�?�n�Ù}��d�pzp��}~zn�����Zxàznx{x��©�^}~zp|��Z£ � }~|{�y|{��}~x"zn��|{}'����zp�{�Ô�Ð ÍØá ÐRÐ � f Ï �pÐ � ÔÙç Í�á ¿4ç Ï Ð�Ã6è ¯ Ì « Ì Â ±

× x{}��?�R}~��|{��}'|{}'����¡'�Zzp���?�Z£¸�¹�����é|{��}~x � �n��¡~£�¡~}~�?�"£?�Zx{����}'³�|{}'���*�n�ª¦L�?�^���?§�¨©}~������xÊ|{�?��§�n�{¶ � }'| � }~¡~¡��?� � ²M�¤x{�?� � �À�?� � |�������zn�d|{}'¢^�¤|{�?�¤x{�?³M�^�{³�zp�{|{}��^¡'�µ}~�Àz�x{}~�»}~¡~zp�� zn���?�^�Z«

Page 15: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

êªë�ìZíYî©ï{ë ð*ñpò)óUñpôpõpï öYõpòÚí�÷Lî�õpòÚíYö'øAõníYöYñnò�ñ0ùÙítú©ë�û�î�ü?ë^ï�ð�íYï�ötò�ý þ�ÿ����� ����� ��������������������������� �!� "#��$%�&��'(����)*�+�����-,�.0/2143(5�687+9:5�;+<>='3-58?@/�A0B�CEDF;�/(9G143-58;+?4H+I�143-5KJ�7+L(J+5�1:?@7+/M9:<N;+?ODK7&14CP;�/RQTSVU2WYX�U�Z[ 7+9FJ+5\/(58?@7&1:5\]_^`HR143-5a6b;�/(941:?@7+C�/�149Fc U�d B`;�<e;+?F143-5a94L-f*58?4f�7&?414C�68gP5+I�143-5hJ�7+L-J+51:?@7+/(9:<e;+?@DK7&14CP;�/hQTSjikWmlFi-Zn94L-J+J+5\94149'L(94C�/-Jo143-5p6b;�/(9:1:?@7+C�/�149'q�i dr ; [ 58s+58?\I(143(56b;�/(9:1:?@7+C�/�149>q�ih7&?45t/-;+1V7+gEg*u(?@9:1vA�68g�7+9@98I(9:;

w Wyx i q i z|{`d}{+~��[ ;�L(gE]�/-;+1�^*5�7�/(C�gPf*;+1:5\/�1#;+f*58?@7&1:;+?�<N;+?�J+5\/-58?OC�6�x i d�� L-1�94C�/M6b5 z|{`d}��� C�DFf�g�CP5\9143(7&1 w#� W z x i q�i � � W��h�� x i x-�����i � c � I w C�9V/MC�gPf*;+1:5\/�1>C�<x i 947&14CE9:u(5\9j143-5tfML(?459:fMC�/-;+?'6b;�/(]MCP14CP;�/

x i � �i � x � W�� z|{`d}{ þ �<N;+?'��W���1:;k� d�� ;+1:5�143(7&1jx i DoL(941�^*5p6b;�DFfMgP5b��C�/�;+?@]-58?�1:;K3(7�s+5t9:;�g�L-14C�;�/(9�1:;z|{`d}{ þ �Od�r ; [ 58s+58?�I`CP149�6b;�DFf�gP5b��6b;�/��4L-J�7&1:5��x i /-58s+58?�7&f(f*5\7&?@9�C�/�143-5�<e;+?@DK7+g�C�9@D�94;;�/-5>C�9�<e?4585'1:;t]-58uM/(5jx i 1:;#^*5'7#3-58?@DkCP14C�7+/�;+f*58?@7&1:;+? d�� 58uM/(C�/-J z x i �v  Wyx i ]-;�5\9/-;+1VgP5\7+]¡1:;�7+/�HaC�/(6b;�/(94CE9:1:5\/(68CP5\9'94CE/(6b5�x i 687&?4?@CP5\9VJ�3-;�9:1j/`L(Do^*58?V7+/(]h143-58?@58<N;+?45]-;�5\9t/-;+1t3(7�s+5�7+/�H�¢OA�/`L(Do^£58?t5\CPJ+5\/�s&7+g�L-5\9 d .0/�;+143(58? [ ;+?@](98I�x i z x(� �  #W¤x i x-�147&¥+5\9j9:147&1:5\9V;+<�J�3-;�9:1vA�/`L(Dt^*58?'¦�1:;k9:147&1:5\9j;+<§J�3(;�9:1vA�/�LMDt^*58?'¦#¨ {`d B`;�x i z x i �v 3(7+9>/-;k¢OA�/`L(Do^£58?V5\CPJ+5\/�s&7+g�L-5\9V7+/(]h143-58?45oC�9�143-58?458<e;+?45t/-;k?45\7+9:;�/a143M7&1VCP1>943-;�LMg�]^£5�f*;�94C�14CPs+5bA�]-58uM/(C�1:5 d© 3-5jfML-?45G9:fMC�/-;+?�6b;�/(](CP14C�;�/K;+< z|{`d}{ þ � 7&f(f*5\7&?@9�9:1:?@7+/(J+5G94CE/(6b5V^*;�9:;�/(CE6'J�3-;�9:149C�/�143-5 ��ª B © <N;+?ODK7+g�C�94D«7&?45F/-;+?@Dk7+g�gPH¡L(/M6b;�/(9:1:?@7+C�/(5\]¬7+/(]�6b;�DF5F<e?4;�D«J�7+L-J+5bAu-��CE/-JK<e58?@DKCP;�/(CE6t­ 7&J+?O7+/-J+5FDoL(g�14CPfMg�CP58?O9 d>r ; [ 58s+58?�I�7+9 [ C�g�g�/(; [ ^*5o7&?4J�L-5\]�I£143(5��ª B © ;+f*58?@7&1:;+?®7+/(]#fML(?459:fMC�/(;+?�6b;�/(9:1:?@7+C�/�1�;+< z|{`d}{+~�� 7+/(] z|{`d}{ þ � 687+/t^*5]-58?@C�s+5\]^�H�9:147&?414C�/(J [ CP143�143-5 � ?@C�/(¥�A0B�6O3 [ 7&?4¯k9@L-f*58?4fM7&?414C�68g�5oC�/29:5\DkC°A�g�CPJ�3�1vA�6b;�/-5FJ�7+L-J+5+I7+](](C�/-J�7+](](C�14CP;�/(7+g§<N58?@DkCP;�/(C�6�]-58J+?4585\9p;+<�<N?@585\]-;�D±7+/(]�J�7+L-J+5KC�/�s&7&?@C�7+/(6b5\98I²7+/(]143-5\/hJ�7+L-J+5bA�u-�-C�/-J�C�/h7F/-;�/�A�9:147+/M](7&?@]aDK7+/M/-58? d© 3-5�7+6b14CP;�/�;+< z|{`d þ � <e;+?®143(5 � ?@C�/(¥�A0B�6O3 [ 7&?4¯�94L-f*58?4fM7&?@14C�68gP5C�/�9:5\DKC°A�gECPJ�3�1vA�6b;�/(5J�7+L-J+5oC�9 ³

q�´ z�µ¶ � c � ¨ ÿ{ µ·*¸�·²¸ ¨_¹\c � c � � z|{`d}{+º��[ 3-58?45j��W���1:;��`IM»�W ÿG1:;,ÿ ~ I(7+/M]�¼FW ÿG1:; º`d B�L-f(f*;�9:5>;�/(5G/-; [ C�/�1:?@;`](LM6b5\97h/-5 [ 9:581�;+< z¾½ i£¿4À i � s�7&?@CE7&^MgP5\9 [ 3(C�6O3�7&?45KL(/-?45\gE7&1:5\]�1:; · ¸ 7+/(]2]-58u�/-5\9pq�i�W½�i ¨YÁ� c � z � � À �0i�d# 94C�/(J¡Ã�q i ¿4q ��Ä W¤�'Å�c � � �i � 7+/(]�à ·*¸ ¿ ·²Æ Ä W�Å�Qb¸ Æ I£;�/(5�687+/6@3-5\6@¥h143(7&1 Ç

q�ikW�q�it¨ z � � �*È · � i-c � z ctÈ �@É'ÊË z|{`d}{ � �

Page 16: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

Ì&Í ÎoÏ�ÐGÑ8Ò@Ó+Ô&Õ�ÖØ×eÙÚ-Û\Ü4ÝbÞ@ßPà*Û\Ü�áMÞ@Ü:âvã�Ý8ä�å+Ü4ÜoÝbæ�ç(Ü:â:Þ@å+ßEç�â4ÜtèVé(ß�ÝOéêÝ8äPæ�Ü:Û�â:æêë'ìí�î�ï®ìí�ð(ñhòôó õö:÷�ø�ù§újù ú>û*üî ð£ýþ æ¡ÿ Í ý Í���� ßEÜ�Û����(ß��å+äPÛ\ç�â'â:æ

ò��¤í� �ÿ��� ú ù§ú�� �� î�� î ���Í ������ ���\ù ú ù§ú���� î ìí�î � ÿ Í ý��! �èVé-Û8Þ4Û � î å&Þ4Û#"eÛ8Þ%$KßPæ�ç(ßEÝ'&§å!(+Þ@å+ç)(+Û*$+�(äPâ4ß-,�ä�ßPÛ8Þ@Ü ý þ ß�ç(ÝbÛ!ìí�î2å&Þ4ÛFáMÞ@Ü:âvã�Ý8ä�å+Ü4Ü�.�â4é-Û0/Ýbæ��(ä�Ú à*Û1�MÜ:Û\Ú â:æ2(�å��)(+Û � î ò èVé(ß�ÝOéRè�æ��(ä�Ú Þ4Û8â3�(Þ@çmÿ Í ý��! � â:æ�â4é-Ûhæ+Þ@ß-(�ßEç(å+äå+Ýbâ4ßPæ�çaæ�"'ÿ Í ý Í���� ý4 Ü@ß�ç)(�â4é-Û5�(Ü3�(å+ä7698 þ;: $KÛ8â4é-æ`Ú<.²â4é-ÛFå+Ýbâ4ßPæ�ç�æ�"pÿ Í ý��! � Ý8å+ç�à£Û=(�å��)(+Ûbã�á�>`Û\Úâ:æ

ò��¤í� �ÿ;�� ú ù ú ó �Í ù ú ù ú � �� î?� î �@�Í � � � � �A�B � �ìC î ìD î � ÿ Í ý�� � �â:æ�(+Û8â4é-Û8ÞjèjßPâ4é�â4é-ÛE698 þ;: æ�,£Û8ÞOå&â:æ+ÞìF ò¤ìC î ìí î � A ù ú ù ú � GH ù ü B ÿ8ìC û*ü ìC � ÿ Í ý�� Í��

èVé-Û8Þ4ÛyìC î ß�Ühå+ç��(ç(Ýbæ�çMÜ:â:Þ@å+ß�ç-Û\Ú à*æ�Ü:æ�ç(ßEÝ�Ü3,Mß�ç-æ+Þ1�&å&Þ@ß�å&àMäPÛ�èVéMß�Ý@émÝbæ�$FÛ\ÜI"NÞ4æ�$(�å��)(+Ûbã�á)>-ß�ç)( � î ò �ý : æ2Þ@Û\ä�å&â:Û ìF èVßPâ4é F òJC î í�î�.�ß�âoèVßEä�ä�áMÞ@Ü:â�à£Û�å&Þ3(��-Û\Úâ4é(å&âVâ4é-ÛoÝbæ�é-æ�$Fæ�äPæ�(�/hæ�" ìF ß�Ü'Û��K�(ß-�&å+äPÛ\ç�âVâ:æKâ4é-ÛoÝbæ�é(æ�$Fæ�äPæ�(�/hæ�" FML òNC L î ìí�îaßEçå5OjßEäPà*Û8Þ4â�Ü3,Må+ÝbÛ�èVßPâ4é-æ��(âtÿ B ï A � (�é(æ�Ü:â4ÜVå+ç(Ú�èjé-Û8Þ4Û'C�L î ßEÜ'Ýbæ�ç(Ü:â:Þ@å+ß�ç(Û\Ú�â:ækÜ4å&â4ß�ÜP"Q/C)L û ü C�L�ò ÿeàR�-âVß�Üjç-æ+âVÝbæ�ç(Ü:â:ÞOå+ß�ç-Û\Úaâ:æ�Ü4å&â4ß�ÜP"Q/IC)L û;S C)L�ò æ+ÞMC�L ûUT C�L�ò � ý : æÜ4é-æ�è�â4é(å&â FML é(å+Ü�â4é-ÛGÜ@å�$FÛGÝbæ�é(æ�$Fæ�äPæ�(�/�å+Ü ìF .�Ýbæ�çMÜ4ß�Ú-Û8Þ�åoÜ4â4å&â:ÛEV å+ç(ç(ß�éMß�ä�å&â:Û\Úà�/ FWL �),�â:æ�â:Û8Þ%$KÜX,(Þ@æ�,£æ+Þ@â4ßPæ�ç(å+ä§â:æIC L û ü C L .²ß ý Û ý FWL V ò ÿYC L û ü C L �PZ "Næ+Þ�Ü:æ�$FÛZ ý : é-Û\çRÿ F L � ö ò ó õ[ ÷�ø ÿYC)L û ü C�L � ù ú ù§ú ß$#,�ä�ßPÛ\Ü�â4é(å&â F L Z ò ó õ[ ÷�ø�ù ú ù§ú V ý4 Ü4ßEç)(oâ4éMß�Ü�ß�ç)"eæ+Þ%$Kå&â4ßPæ�ç\.`æ�ç-Û#Ý8å+çhÝOé-Û\Ý3]�â4é(å&â ìV�ò�V � H G ù ü A Z ß�Ü'å+ç(ç(ß�éMß�ä�å&â:Û\Úà�/ ìF ýX^ �-Þ4â4é-Û8Þ%$Kæ+Þ4Û�.²ß-"_V¤ß�ÜX698 þ;: ã�â:ÞOß-�`ßEå+ä<�),�â:æ�â:Û8Þ`$KÜpß�ç��+æ�ä�`ß�ç�(aC L û ü C L .*ß ý Û ýV ò F L-b � ÿYC)L û ü C�L �dc "eæ+ÞoÜ:æ�$FÛ c . â4é(Û\çeV � H G ù ü A Z ò ìF ÿfb�ó H G ù ü A c=� .Ü:æ ìV�ß�Ü#å+ä�Ü4æg698 þ;: ã�â:ÞOß-�`ßEå+ä ý þ æ¡å+ç�/2Ü:â4å&â:Û�ß�çêâ4é-ÛkÝbæ�é-æ�$Fæ�ä�æ�(�/2æ�" FWL ß�Ü#ß�ç2â4é(ÛÝbæ�é-æ�$Fæ�äPæ�(�/�æ�" ìF .(å+ç(ÚaÞ4Û0�+Û8Þ@Ü4ß�ç�(�â4é(ÛE,(Þ4Û0��ßPæ��(Ü�å&Þ3(���$KÛ\ç�â4Ü0.Mæ�ç-ÛtÝ8å+çaÜ4é(æ�èyâ4é(å&âå+ç�/hÜ:â4å&â:ÛtßEç�â4é-ÛtÝbæ�é-æ�$Fæ�ä�æ�(�/hæ�" ìF ß�Ü>ß�ç�â4é-Û#Ýbæ�é(æ�$Fæ�äPæ�(�/hæ�" FML ý^ ß�ç(å+ä�ä-/�.�ßPâèVß�äEä�à£Û>Ü@é-æ�èVçkâ4é(å&â�â4é(ÛjÝbæ�é-æ�$Fæ�ä�æ�(�/Fæ�" F L(ò�C)L î ìí�îKß�Ü�Û��K�(ß-�&å+äPÛ\ç�ââ:æ�â4é(Û�Ýbæ�é(æ�$Fæ�äPæ�(�/¡æ�" F òhC î í î èVé-Û8Þ4Û5C î ß�ÜGåa,i�-Þ4Û�ÜP,Mß�ç(æ+ÞGå+ç(Ú¬â4é-Û#OGß�äPà*Û8Þ4âÜP,Må+ÝbÛ�ß�ÜjßEç(Ú-Û0,*Û\ç(Ú-Û\ç�â'æ�" �� ý þ ß�ç(ÝbÛ�ÿ û ü C L �!j� ß�Üjå�çK�(ä�ä þ�k ÿ ��� å+ç�â4ß�ÝOé(ßPÞ@å+ä®ÜP,MßEç-æ+Þ�.ßPâGßEÜl,(Þ@Û\Ü:Û8Þ3�+Û\Ú2�),�â:æhåm,�é(å+Ü:Û�à�/¡Ü4æ�$FÛ 4 ÿ H�� Ü3�(à�(+Þ4æ��),�æ�" þ�k ÿ ��� ý 4 ç(Ú-Û8Þpâ4é(ßEÜ4 ÿ H�� Ü3�-ài(+Þ4æ��),<.�â4é-ÛhÝ@éMßPÞ@å+ä þ�k ÿ ��� ÜP,Mß�ç-æ+Þ�ÿ ûUT C�L � � Ü3,Mä�ßPâ4Ü�ß�ç�â:æ�å H å+ç(ÚonH Þ4Û0,(ãÞ4Û\Ü:Û\ç�â4å&â4ßPæ�çnèjé(ß�Ý@é èVß�ä�ä�à*Û¡Ý8å+ä�äPÛ\Ú�ÿ û T C L �dp å+ç(Ú�ÿ û T C L �rqp "Næ+Þastï ns ò � â:æ H ýþ ß$Kß�äEå&Þ@ä-/�.-â4é-Û�Ý@é(ß�Þ@å+ä þ�k ÿ ��� ÜP,�ß�ç-æ+Þ@Ü�ÿ û ü í � � å+ç(Ú �� ÜP,MäEßPâVß�ç�â:ækâ4é-Û�Þ4Û0,(Þ@Û\Ü:Û\ç�â4å�ãâ4ßPæ�ç(Ü=tPÿ û ü í � p ï�ÿ û ü í �rqp<u å+ç(Úvt p ï qp<u ýxw æ+â:Ûoâ4é(å&âGâ4é-Û H å+çMÚ2nH Þ4Û0,(Þ4Û\Ü:Û\ç�â4å&â4ßPæ�ç(Ü

Page 17: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

yUz%{�|~};�3z��+�!�����!�!�!���~�!�R|X�9}��!�R|~�-�?��|~�~��������|Q�;z'��}��)z0�%��|~�`�Q��� �!��!�3�+���0�i�)���I�x�-�3 I�3��¡3¢r��£��x�P¤m�3 ��+�K¥�¦¦<¡3¢i��)¤��'§©¨\ª¬«)­®!¯° ¡3¥�£` g�3 ��!�M±\² ¯°³ §©¨�ª�«�­´®µ¯° �´¡¶ �0�3¤#·©¤��¹¸=º¼»X�P¤*½K¾i�����1±5¿² ¯°³ §©¨\ªÀ«�­´®!¯° �¡9�)¤��;Á ¶ �0�%¤)¹Ãl·Q�P�0�Ä¢��0�3·Q¤��%Å5���Æ'�=¡3�Å5�´¦�!�PÁ�-�ÈÇÉ�P�%����¡3·©¤��%Å*�!�3�-¤��É�l ��£` Ê¡3 ��·©�3¡�Ë ²ÍÌ Ë ²ÏÎ §~Ð ª ®%ÑÓÒÔ §©¨ ªÀÕ ® ² ¾Ö¤����#�i����¡M�3 ��!�× ­ �P�%����¡P·Q¤��%Å5¡Ä��¡

× ­ ÌÙØ Ñ�ÚÛ�ÜÝrÞàß�á)â%ã Ý Þåä<á�ãfæ ÒÔ × ­ Ø Ú-Û�ÜÝ�Þàß�á)â%ã Ý Þåä<á�ãfæ ÒÔ §fçK ��� ®ºè§©¨ ª « ­ ®!¯° §©¨UÑ Õ ®µ¯° Î §©¨ÖÑ7« ­ ® ² §©¨ ª Õ ® ¿² Î §©¨UÑÖ« ­ ® ¿² Ë ²7é Ð ª¹êë ¤ × ­ º�«iì Õ ì Î §©¨ Ñ « ­ ® ¿² Ë ² é Ð ª �l )�0�%�'«�ìí�¡Ó�5¢i¥)�3�W¡P¢i�´�)¤��Ä�)�0�i�)���1îKÇï §©¨ ª «r® ¯°�𠧩¨ Ñ «r® ² 𠧩¨ Ñ «R® ¿²<ñ º ï §©¨ ª « ­ ® ¯°�𠧩¨ Ñ « ­ ® ² ð3ò ñ ê §fçK �µó ®

ô ¡3�´�)Æ'�3 ��M¡3�3�������!�%�1õK¥��!�3�P�0�Ä�!�3Æ�¥�Å5�����0¾)�3 )�W£�¤� )¤�Å5¤�¦-¤�Æ�Çm¤�· × ­iº × Î §©¨ Ñ «)­´® ¿²Ë ² é Ð ª �¡X��õK¥��-ö!��¦-�����X�P¤í�3 )�=£�¤� )¤�Å#¤�¦-¤�Æ�Ç÷¤�· × ºh«iì Õ ì ��÷�3 )�#øx�´¦-î��0�3�l¡P¢i��£������)�0¢������)�����X¤�·W§©¨ Ñ « ­ ® ¿² ¾¬Ë ² ¾À�����Ê��3¡E£�¤��µù3¥)Æ��!�P�mÅ#¤�Å5�����3�v§©¨ ªÖúl­ ® ² �����eË ¿² Âë ¤5�3 )��ûü�%�´�)ý�Á ë £% ��ü�!� ¶ ¡3¥)¢��0�3¢i�!�3�3�´£0¦-�W��£��3�-¤��g ���¡lî��0���I¡3 )¤��l�í�P¤*î��W��õK¥��-ö!��¦-������P¤5�3 )����£��3�-¤��Ëʺ�þ Õ�ÿ §����� Ð ��� »ç Ð � Ð � Î �� ì� ì Î �« ì ú ì ® §fçK �� ®

�P¤�Æ��0�3 )�0�x�x�-�3 1�3 )�Eû � ë�� ¤�¢r�0�`�!�P¤�� × º «�ì Õ ì �l )�0�3��«)¨ � «aº ò ÂÃx¦�3 )¤�¥)Æ� Ê�3 ��a�!î�¤?ö��1�)�0�%�öµ�!�3�-¤���¤�·Ä�3 )�m¢i¥)�3�*¡3¢i��)¤��+�)��¡3£��%�-¢i�3�-¤��2·Q�3¤�Å �3 ��û_�`��)ý�Á ë £% ��ü�!� ¶ ¡3¥)¢��0�3¢i�!�%�3�£0¦-�1�ü��¡m�)¤��*Å5���i�-·©��¡3�3¦-Ç��U¤��3����� ¶ £�¤?ö!�!�%������0¾Ó�3 )�I��Á����¦ü�3��¡3¥�¦-�+¤�·+§fçK �� ®#�¡=Å5�����-·Q��¡P�3¦-Ç�£�¤�öµ�!�`������0ÂvÃx¡=�x�¦¦¬î��í¡3 )¤��l����v�3 )�í�)���;�¡3¥)îi¡P��£��3�¤��\¾iõK¥������3� ¶ �!�3�-¤��g¥�¡%��)Æ#�3 ��¡l�)��¡3£��%�-¢i�3�-¤��1¢��3¤�öK�����¡l�5Å5���i�-·©��¡3�3¦-Ça¡%¥)¢��0�PÁ� ¤��´��£0�!����'£�¤�öµ�!�%�´�����l����¡3£��%�-¢��3�¤��1¤�·��Eº=» ò ¡3¥)¢��0�PÁ��¹���)Æ!Á��Ï�¦¦¡ü�3 )�0¤��%Ç�Â���! "$#�%'&'(*)+&-,/.10�23&-,/.4)+5�&6.4)+#7,8#:9;.�<>=�?A@ABDC�EF23GH=D(*G>&'(�.4)JI�KJ=�  )�mÅ5¤�¡P�'Æ������0�%��¦9¡3¥)¢��0�PÁ � ¤����£0�!����a£�¤?ö!�!�%������+�9��ö��0·~¥���£��3�¤��e�3 i�!�+£0���vî��m£�¤��;Á¡P�P�%¥�£��P���í·Q�3¤�Å § � � ð � ì ð «iìi®9�¡

L § � ð � ð «r® º M*§ � ð � ® Î « ì�N ì § � ð � ® Î §Y«)¨ �PORQS�T «r® NVU�PORQS�T § � ð � ®�§fçK ��W ®Î « ì «DX;« ß M Uì X ß § � ð � ® Î ê-ê-ê�l )�0�3� ê-ê-ê ��i£0¦¥��)��¡9¡3¥)¢��0�3�i��¦��¡¬�x�-�3 íÅ#¤��3�W�3 ����I�3 )�3�0�W¢�¤?�ü�0�%¡Ó¤�·¬«�ìrÂ>Yx¤��P�E�3 ��!��3 )�¹����Å#��¡U·©¤��U�3 )�_¡3¥�¢r�0�%����¦��¡r�!¢�¢����!�%��)ÆÄ�´�5§fçK ��W ®< ��?ö��_î��0���E£` )¤�¡P�����P¤x£�¤����£0�´�)��l�-�3 í�3 )�+����Å#��¡x·©¤��x�3 )�[ZÓ )�0�%�;Á ë �´Å#¤���¡9����¦�i¡Ä���§fçK»]\�®`ÂXÃx¡X��1Z9 ��0�%�;Á ë �Å5¤���¡0¾

Page 18: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

^`_ acb:dVegfih�jFklnmpo

qsr�tvu4r�w4xsqzyJ{}|D~c�'tg�>�gtg�sw�xs|��'tg�s�Dt]��������w4{}qs����{DxPqsr�tvx�������tgqs��~�tvu4rDw4x�qg�}qsrDtvu4r�w4x�qzy{}|D~c�'tg�;w4{�t�xs|��'tg�s��t]�����V����w4{}qs����{Dx�qsr�t�xs|��'tg��y��>��{�uFy��1������x;�Dt]���Dx]�/qsr�t�u4r�w4x�qzy{}|D~c�'tg�HqJ��w�xs|��'tg�s��t]�����V��P�R ]¡£¢ ��w4{*qs����{DxHqsr�t¤xs|D�6tg�sy��>��{�uFy��¥������x ��{*qs���Dt]���Dxg����{D�qsr�t�u4r�w4x�qzyJ{�|D~;�'tg��qsr��itgt¦xs|��'tg�s�Dt]���A�¤��F§¨ ��w4{}qs����{Dx�qsrDt�xs������tgqs��~�t¦��{}qs�©u4r�w4x�qgª« ����xs|��'tg�s��t]���Dxv��{�¬©¬©¬'�v�©qsr1u4r�w4x�qzyJ{�|D~c�'tg�Vu��it]�Fq�tg�¤qsrD��{­qsr��stgt[�v�����7rD�®�t�q��i�©®��������w4r�w4~�w4�©w�u�¯�ª

° w��±t�²���~����©t��*³;´¶µ¸·H¹£º ��» � ��·¼¹£º � º §�» � � §-½ ¬©¬©¬©�4x�w¼³;´�µ�¾V��~������©t]x-qsrD�Fq� �:¿pÀ/ÁsÂ}à xs�Fqs��x���t]x qsr�t¤t]Ä�|D�Fqs�©w4{Åw�Æ�~�w�qs�©w4{1º � º §�» � � § µ�¾�ª>Ç |�qÈxi��{D��t;º � º § ��x�D�sw��'w��sqs�©w4{D����q�w ¿ º�É �>�� ]¡£¢ º Ã É �F§�>�� ]¡£¢ ��qsrD��x3��~������©t]x�qsr��Fq

» É �>�� ]¡£¢ ��µ�¾����vrD���ir���xqsr�tc����{�t]�F�i�©�gt]�Å®�tg�Êxs�©w4{1w�Ʊqsr�t�xi|��'tg��y��>��{�uFy��1������xHt]Ä�|D�Fqs�©w4{1w�Æ3~�w�qs�©w4{1w�Æ ¿�Ë ª�Ì�Ì Ã ª° |��sqsr�tg�Ê~�w��st��/��ÆPw4{�t$��tg��{�t]x;qsr�tÍu4��|�u�t$���F�i��~�tgq�tg�[ÎϵйJÑ ½ º ��Ò � ½ ¬©¬©¬©��qsrDtu4��|�u�tcq��Ê��{Dx�Æpw��i~Í�Fqs�©w4{­ÓÔ´ÕµÖ³¤Î8��~������©t]xÈÓ� � µ » � Ñ��vr����ir1��xÈqsr�t�����{�t]�F�Ê�©�gt]�xs|��'tg��y��>��{�uFy��1������x�u4��|�u�tcq��i��{Dx�Æpw��i~Í�Fqs��w4{Åw�Æ ¿�Ë ª�Ì Ë4à ª

× w¤��x±��t]xs���Ê�©�'t]����{ ¿�Ë ª�Ì]Ø Ã ��� �:¿pÀ7ÁsÂ}à ��w4{}qs����{Dx�qsr�tHw4{�yJxsr�t]����xs|��'tg��y��>��{DuFy��¥������xu4��|�w4{���{���u4��|D��{Dw��*Ù � ¿pÀ'à ��{D�ÍÚ

� ¿pÀ-à �}�ÛrD���ir�xs�Fqs��x�Æp¯[qsr�tÛ����{�t]�F�i�©�gt]��t]Ä�|D�Fqs�©w4{�x3w�Æ~�w�qs�©w4{¦��{D�¦u4��|�u�t;��{}®Ô�F�Ê����{D��t]x

Ü � ÜDÝ � Ù �`Þ µßÉ ��F§ Ü � Ú§ µà¾ Á Ó`Ù � µ Ü �Vá ¬

« {D�¥xs��{D��t¼u4��|�u�tc��{*®F�F�i����{���t]xHw�Ʊ��{*qs�©��t]���DxH��w��s�st]xs�6w4{���q�wÍt]Ä}|��Fqs�©w4{DxHw�Ʊ~�w�qs�©w4{w�Æ:�Dt]���Dx]�*w4{�tât�²��6t]��qsx�q�w�rD�®�tâ��{}qs�©�Dt]���Dx>Ù�� � ¿pÀ-à ��{���Ú��� ¿pÀ-à ��{�qsrDtV��w4r�w4~Íw4�©w�u�¯w�Ʊ³Õ�vrD���ÊrÅxs�Fqs��x�Æp¯�qsr�t¤����{�t]�F�i�©�gt]��t]Ä�|D�Fqs�©w4{DxÈw�Æ�~�w�qs��w4{¦��{D�Åu4��|�u�tc��{*®F�F�i����{���t]x

Ü � Ù � � µà¾ Á ÓÙ � � µ Ü � ¿ Ü � á � · Ü � á � ÃÊÁ ÓÚ �� µãÉ ��F§ Ü �Ûä§ ¿�Ë ªæå ^ Ã

�vr�tg�st á � ��{D� ä§ �F�itÛu4��|�u�tâ���F�Ê��~�tgq�tg�ixgª±çz{D��tgt]�-��qsr�t]x�tâ��{}qs�©�Dt]���Dx�Ù � � ��{��$Ú ��

�F�D�'t]�F�V��{­��w4~��'w4{�t]{}qsxâw�Æ3qsr�t�u4r�w4x�qzyJ{�|D~c�6tg� ½ Ë xs|��'tg�s��t]���¦� ��>�� ]¡£¢ w�Æ ¿�Ë ªæå�è à ªé xs��{�uê³c´ëµì¾ê��{D�íÓF´ëµë³;Îâ�P�â��>�� ]¡£¢ xi�Fqs��x��Dt]x[qsr�tÅ����{�t]�F�i�©�gt]��t]Ä�|D�Fqs�©w4{Aw�Æ~�w�qs�©w4{ຠ� ¿ º�É �P�R ]¡£¢ º à » � �â��>�� ]¡£¢ µî¾��v�©qsrïqsr�t­����{�t]�F�i�©�gt]�ïu4��|�u�tê��{}®Ô�F�i����{D��tÓ�â��>�� ]¡£¢ µðÉ �F§�>�� ]¡£¢ » � Ò § ª8ñ±²�����{D�D��{Du Ò �í��{D�ã�â��>�� ]¡£¢ ��{ï��w4~��'w4{�t]{}qsxg�Èw4{Dt�©t]�F�i{Dx qsrD�FqÛ�V��P�R ]¡£¢ �g��{¦�'t¼u4��|�u�t]�¥q�wÍqsr�t¤Æpw��i~� ��>�� ]¡£¢ µ ¿nÂ É Ý �>��  Â}Ã�¿nÂ É ¡�¢£Þ Ã

� Ú �� ¿pÀ'à ½ ¿nÂ É Ý �P�R  Â}Ã�¿nÂ É ¡£¢£Þóò Â}à ٠� ò ¿pÀ'à ½ ¬©¬©¬ ¿�Ë ªæå�ô Ã�vr�tg�stâÚ��� ��{D�ÅÙ�� ò xs�Fqs��x�Æ!¯�qsr�t¼t]Ä}|��Fqs�©w4{Dx w�Æ�~�w�qs�©w4{Å��{D���st]xs���D|D���6u4��|�u�t¤��{}®Ô�F�Ê�õy��{D��t]x¤w�Æ ¿�Ë ªæå ^ à �±��{D�ö¬©¬©¬���{*®�w4��®�t]x¼q�tg�i~ÍxcrD�©u4r�tg�¼w��i�Dtg�;��{  � �vr����irê��tg�'t]{D�÷w4{��tg�i�©®F�Fqs�©®�t]xHw�Æ�Ú �� ��{D�¥Ù � ò ª

ç£{ï���D�D�©qs�©w4{Aq�wøqsr�t]x�t¦��t]���DxÍ��{D�ï��{*qs�©��t]���Dxg�Pw4{�t1����xswêt�²��'t]��qsx$q�w���{D�öqsrDt�>��{�uFy��¥������x:u4rDw4x�q/ù ¿pÀ'à ��{D�c��{*qs�©u4rDw4x�q/ùg� ¿pÀ'à ��{¼qsr�t���w4r�w4~�w4�©w�u�¯;w�Æ�³[ª/úvr�t3u4r�w4x�qù ¿pÀ-à ��xâÆpw4|D{D�÷��{­qsr�t  µû¾���w4~��'w4{�t]{}q¼w�ÆPqsr�t[u4r�w4xsqzyJ{}|D~c�'tg�¼�gtg�sw¥xs|D�6tg�i�Dt]���-�

Page 19: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

ü7ýiþ]ÿ����sý�������� ��������ÿ��������ÿ�������ÿ����������;ÿ���ý���� ��ý!�"��ÿ��#���%$ &'(*)�+-,/.10�243�)�+50�687�7�7�9;:�<�=�>/?A@B:�<%>/C�DE?AFEGH>�3!I�)�+50JCKGML�FEN�<�=�CK<�>/?A@O)�.%0QPSRTFEU*VWFE<�@X<;>YF�L>/?A@ZDE?AFEG/>�[\<%N�U�]5@!^�6`_aG/NAV5@!^/b�@Xcd=e9%( Ifg�h )�+J,/.%0i2j7�7�7/6k3 I )�+e0T)mlonp.%0 f )mloq1.%0 g )ml�r�.%0 h)�.l nSq�r .%0A6s7�7�7�7%tu>wv�:�GSVx^/F�y�@X<zCK<|{}_�~��W>/?x:>S>/?A@p:]5F�y�@`GH>/:>H@XG�:^/@�>/?A@�FE<�c��*GH>/:>H@XGCK<z>/?A@aRTFE?AFEU*FEc�F�D���F�L���:�<�=�>/?�@!^/@!LmF�^"@�9x:�c�>/?AFENADE?|�jF�L�)��1��_�~E0�RTFE<%>/:�CK<�G�G"NAV5@!^H[b�@XcK=�G�F�L�:^/]xCK>H^":^"CKc��z?�C�DE?kDE?AFEGH>`<1N�U�]W@!^�9oFE<�cK�8G/NAV5@!^/b�@XcK=xGBvZC�>/?kDE?AFEGH>�[\<1N�U�]W@!^]W@!>uvS@!@X<��!@!^/F�:�<�=8>/?A^/@!@ORTFE<%>/:�CK<�GH>/:>H@XG�CK<z>/?A@ORTFE?�FEU�FEc�F�D���F�Li���� ?A@*cKCd<A@X:^"C��!@X=|@X�1N�:>/C�FE<�G`F�L�U�F�>/C�FE<�:�<�=�DE:�NAD�@�CK<%y:^"CK:�<�RT@XGa����2���:�<�=� ��2��O��:^"@�@X:�G/CKc��kD�@X<A@!^":�cKC��!@X=�>HF8>/?A@*<AFE<�[\cdCK<A@X:^p@X�%Nx:>/C�FE<�G`F�L�U�F�>/C�FE<�:�<�=DE:�NAD�@�CK<%y:^"CK:�<�RT@XG

�a��6s���O��24��, � � 2��O��6s�W{¡��,"�w� )��1��_�¢E0vZ?A@!^/@��£:�<�=���>H^":�<�GHL�F�^"U¤CK<8>/?A@�:�=�¥HFECK<%>�^/@!V�^"@XGH@X<;>/:>/CKFE<8F�LY>/?A@aDE:�N�D�@aD�^/FENAV-�¦ F�^�>/?A@�G"NAV5@!^/b�@XcK=*§ f )�+-,/.%0#9¨)��1��_�¢E0wCKU*VxcKC�@XGY>/?A@pG/NAV5@!^H[�©�:�<�D[uª�CKcdcKG�@X�1N�:>/C�FE<�GwF�LU�F�>/C�FE<s:�<�=�DE:�N�D�@«>H^#:�<�GHL�F�^"U*:>/C�FE<�G�F�L�)��1�K¬�¬�0�:�<�=4)��1�K¬X�E0#� ¦ NA^">/?A@!^"U�F�^/@�9�>/?�@@X�%N�:>/CKFE<�F�LeU�F�>/C�FE<�:�<x=�DE:�NAD�@Z>H^#:�<�GHL�F�^"U*:>/C�FE<�F�L�)��1��_�¢E0�R!:�<*]5@BF�]�>/:�CK<A@X=*Lm^/FEU>/?A@aGHVx:�RT@!>/CdU�@O:�RT>/C�FE<A­

®¯2±°Z²�³µ´A¶\·T+M¸ ¬� �O�a�¹6 � _ �O�O�Oº )��1�}»E�;0N�G/CK<AD�>/?A@O<�F�^"U*:�cKC��X:>/CKFE<�=A@!bx<�C�>/CKFE<¼>/?x:>

¸H)¾½Al n .%0T)¾½Al q .10T)¾½�l r .%0T)�.l nSq�r .%0Hº�2�¬7 )��1�}»�¬�0¿ c�>/?�FENADE?�)��1�}»�¬�0ZU*:X��GH@!@XUÀGH>H^":�<AD�@�9oC�>�^/@XGH@XU�]xc�@XG�>/?A@a<AF�^"U�:�cKC��X:>/C�FE<�F�L�)��1�����E0CK<�>/?�:>p¸¾�Oºi243 I )�+50�vZ?A@!^/@Z3 I )�+e0�CKG�>/?�@�GHVx:�RT@!>/CdU�@�:�<%>/C�DE?AFEGH>!� ¿ L�>H@!^�@TÁ�V�^/@XG/G/Cd<AD)��1�}»E�;0�CK<�>H@!^"U�GaF�L�RTFEU�V5FE<A@X<%>�b�@XcK=�G�:�<�=ÂCd<;>H@!D�^":>/Cd<AD�FENA>�:�N�ÁACKcKCK:^"�kb�@Xcd=�G!9JCK>G/?AFEN�cK=±]5@�V5FEG/G/C�]xcK@�>HF�G/?AF vÃ>/?�:>�)��1�}»E�;0�^/@X=�N�RT@XGz>HF¹>/?A@�G/>/:�<�=�:^"=ÅÄ�:>/:�cKCK<A[Æ CKcKF�y�CKGHÇ1�¼:�RT>/C�FE<�LmF�^ZG"NAV5@!^H[�©�:�<AD[uªkCKcKcKG!9

®¹2È°Z²�³�´A¶\·T+Y) ¬»JÉ n�q É n�q 6¯Ê f l nfg )�Ë n Ê g 6ÂÌ��W{ Í n ,HÊ g ��0 )��1�}»;�E06�Ì\Í I n )�Ë n 3�6s̾�W{ Í n ,/3#��0YÎ��;Ê IfWÏ Ê f ,/3 Ð�Î��13�3T3 I 0#7

Äw@XR!:�N�GH@�>/?�@�:�RT>/C�FE<OF�L¨)��1�}»E�;0¨FE<�c���CK<;y�FEcKy�@XG-CK<%>H@!D�^":>/C�FE<aF�y�@!^Mb�y�@�.AÑ¡G!9�C�>¨CKG¨<�F�>U*:�<�C�L�@XGH>/c���GHVx:�RT@!>/CdU�@�G"NAV5@!^"GH��U*U�@!>H^"CKR� � ?�CKG�CKG�<�F�>�G/N�^/V�^"CKG"CK<AD�G/CK<�RT@�C�>pCKG�<�F�>Ç1<AF vZ<�?AF�vs>HF�RTFE<xGH>H^"N�RT>Y:ZU*:�<xC�Lm@XG/>/c��`G/NAV5@!^"GH��U*U�@!>H^"CdR�:�RT>/C�FE<�LmF�^YÒO2�¬!��G"NAV5@!^H[©�:�<AD[uª�CdcKcKG!�`Ó�@!y�@!^/>/?A@Xc�@XG/GX9e>/?A@�@X�%N�:>/CKFE<�G�F�LSU�F�>/C�FE<�RTFEU*Cd<AD¼L�^/FEUÀ>/?�CKGp:�RT>/C�FE<Ô�Õ5Ö�סØ5Ø�Ù�Ú#Û�ÜQݾסÞBÜJÚ#ÛQݾסß#àZá5Ú#ØWâ ã¾Ø�Ý5Ù ã¾ß#Ù�ß�Ø�ÜHä�ݾßiÞBܨå!æBç�ß#Ö�à�è�Û\ÖXá5Ú"ã¾éJÚ#à�äBêoäXáeÚ"ã\äBë�×}Ý�ݾÜ�à;ì

Page 20: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

íî ï�ð¨ñ�ò!ó"ô�õö�÷�ø�ùú�ûXü�ýpþ/úAýpÿ/û���ý��xú��1ÿ���!û��� ���%þHý��;þ�û�ÿwþ/úAý��*û�����mýXÿHþ��*ÿ��xû��Tý!þ����ýpÿ����5ý��"ÿ������*ý!þ�����ý�����ûþ������ÿ���������þ������ �"!$# %�!&!('*),+.-�ú��Kÿ��Kÿ�/5ý��!û���ÿ/ý�û�0� �����1���Aý��%þ/ÿ2�3��"! #4%,!&!5'6)879��þ/ú:�����/ý�þ/ú�û��<;�ü�ý�=�>¡ÿ`û?�/ý�û���@,�3�Kû?����ý�����ûþ�������ÿ����A����þ������B+C ���/ý���� ü����D`þ/úAýXÿHýBý�����ûþ�������ÿE���1����þ�������������F�#ú�û���D�ýXÿwû��,@���Kû?����;xý�G�ÿYþ��&DEû���D�ý;�ý�G�ÿH/��AþIG��%ýXÿA����þBûKJ5ý��TþBþ/úAýL�xúM��ÿ���!û�N� ���%þHý��;þO���Jþ/úAý�þ/ú�ý�������+QPI�2GAý�;������Daþ/ú�ý�������*û��RXûþ������S����TVU�+XW�Y[Z�þ��\��;ü���Kü�ý�]�^BT`_aZ�û���G:=�^bT`_aZ�ûþ`þ/úAý��2�G��1����%þ9_c'edfû�ÿ9��hgXi íkjml �KþZÿ/ú�����3Gn/5ý&�1�Eÿ/ÿ���/�Ký�þ��oD�ý��Aý��"û�3��R!ýaþ/úAý�û��Tþ������p���qTVU�+XW�)MZZþ��zû2����/r�����Wý���ÿ����5ý��"ÿHþ����3��D";�ý�3Gzþ/úAý�������û��Tþ������b+sutwv xzy|{M}c~K�H���|�B{��|}r~K�,{��m�|�����a�����B{:�c����?�� þ2�dÿ���;þHý��"ýXÿHþ����D�þ��Âû�ÿ�������þ/ú�ýn�����/ý8ÿ��r�������GAýXÿ�� ������þ��������!û��Èû�Kÿ��:/5ý���ÿHý�G¹þ��� ��üû?���Kû��%þ��������û��;þ��R!ý�þ/úAýzÿ����5ý����xû?�"þ�����ý�7ZúAý��c���'*Y�),+\�9��þHý«þ/ú�ûþ���������ý*þ/ú�ý�&C ÿ����5ý��"ÿHþ������Dzû��Tþ����� l þ/úAýoPI���3���M� C �"ú�7wû?��R«ÿ����5ý����xû?�"þ�����ý�û��Tþ������ �Kÿ"�3�;üû?���Kû��%þ����GAý��0¡,�\ÿ������*ý!þ����z��zû����«ÿ��xû��Tý!þ����ý&G��3��ý���ÿ������B+ � �a���Aý�GAý�;r�AýXÿBû������/ý`ÿ����3�������:�pG��3��ý���ÿ������xÿ�¢&/��:]�£r¤�]<'¥)8�w���&¦§'¥)zþ��p��¨ Y l ûn�r���/ý�ÿ����������� ���%þ/û����ÿTVi?©ª¨�W�Z�«kW2�3��GAý��5ý���GAý��%þQ� �����1���Aý��%þ/ÿA7ZúAý��/ý�©*�dÿSþ/ú�ýL�����F/Wý��A���¬� �����1���Aý��;þ/ÿ��Oû�������� ����ÿHþ��#û���Aý�GF­|®2T`�b¨�Y?¯�Y[Z-ÿ����������+°-�ú��KÿB� �����;þ����D9�!û��F/WýHGAý�����ü�ý�GF��ÿ����D�û� ����ÿHþ������Tþ�����aÿ���2�Kû?�¨þ���þ/úAýH� �����%þ����DL��&��'±Y�)97ZúAý��/ý9Tw£b²|]rZB�Kÿ-û9�����­|®2T`�b¨�U�Zÿ���������I7q��þ/ú�T`©5¨SU�Z�«?U�� �����N����ý��;þ/ÿ�û���G:Tw£a³¬]NZH�Kÿwú�û���b���Jû���­|®2T`��¨SU�ZSÿ����3�����7q��þ/ú�©2«kWo� �����1���Aý��;þ/ÿ�+ C �z]�^8ú�û�ÿLU�� �����1���Aý��%þ/ÿ07Zú�ý�����' W lr´ � �����1���Aý��;þ/ÿ7ZúAý�� ´�µ � µÈî�l Y�Y�� �����1���Aý��%þ/ÿI7ZúAý�� í�µ � µ Y�) l û���GnU�i�� �����1���Aý��;þ/ÿI7Zú�ý����'$Y�Y?+¶ ������'·Y�Y l �Kþ"7�û�ÿ�ÿ/ú��[7q�c���gXi�¸ j þ/ú�ûþ�þ/úAýo�����/ý¼ÿ����������GAýXÿ�� �����þ������<� �����

�/ý��Tþ���nGAýXÿ�� ���/WýXÿZû�ÿ����5ý����oû?�/þ�����ý�7Zú��Eÿ/ý&�xú��1ÿ��3�!û�¨ÿ��5ý��Tþ��������Kÿ0���ýXû?����R!ý�G�Gr'�Y�Yÿ����5ý���D��"û�ü���þ��z79��þ/úpi�U*ÿ����5ý��"ÿ��,����ý!þ�����ýXÿ�+Q¹�ÿ9G��Kÿ����xÿ/ÿHý�Gn���gXi�¸ jml �xú��1ÿ���!û�¨ÿHþ/ûþHýXÿ�w����þ/úAý8�:'*Y�Y«ÿ����5ý����xû?�/þ��3���ý��!û?�����<DEú��EÿHþ��������"/5ý���þ/ú��/ý!ý¼û���G�þ/úAýzÿHþ/ûþHýp!º']�^�]�»�]�¼�½ ^?»k¼ T¿¾a¯�=�Z¬GAýXÿ�� ����/5ýXÿMþ/úAý0��'±Y�Y�ÿ����5ý���D��#ûXü,��þ����F��Kþ������ý!þ°7ZúAý��/ý0½ ^?»k¼ �dÿþ/úAý`ÿ���������A� �����1���Aý��%þO���-þ/úAýpþ/ú��"ý!ý �m�w����� ÿ����5ý���;�ý�GSgXi�À j +|¹L��G8�w��� í�µ �zÁÂY�) l���Aý2�!û���ýXû�ÿ����:�"úAý�����þ/ú�ûþaþ/ú�ý������/ý*ÿ���������&GAýXÿ�� ������þ������:� �����/ý��Tþ���:GAýXÿ�� ���/WýXÿ`ûÿ����5ý����xû?�/þ��3���ý�7Zú��EÿHý��xú��1ÿ���!û�-ÿ��5ý��Tþ������º�Kÿ�ûzG����ý���ÿ������û�b�/ý�G����Tþ�����������ÿ����5ý����à û���D?��Äp�3Kÿ�7q�Kþ/ú4Y î ÿ����5ý��"ÿ��,����ý!þ�����ýXÿ�+2Åq�k7Sý!ü�ý�� l �w����� µ�î�l þ/úAý¼ÿ���þ���ûþ������<�dÿ�����/ý�ÿ���/�þ��ý�+A�q��þHý�þ/ú�ûþ�û2�2' î ÿ��r������q�Kÿ9GAýXÿ�� ���/Wý�G8/��\]NÆÇ 7ZúAý��/ý�È:'ÉYOþ��oU�KÿBû�� C,Ê TVU�Zwÿ���������O���GAý @¼û���GnË�'±Ypþ���W��Kÿ�û��\­IÌ�Í?T¿W�ZA���G�ý @N+E-�úAý�� ����ÿ/þ��"û���%þ],£ ¤ ]�'�)\�3������ýXÿ�] ÆÇ ]rÎÏLÐ Æ Î 'ª) l 7Zú���#ú�����r��ýXÿ`þ/ú�ûþ2] ÆÇ '�Ñ Æ�Ò Ç �w����ÿ�����ýÓ�Ô¿ÕHÖ�×mØkÙÛÚV×�Ö�×VÜ|ÝVÞ?Ö�ß�àáÚmÙÛâOàbãkÙÛâOà�ÕkÝVÙÛäåÕ�æ�ÚmçkÙèÝ�ÙèÝ�Õkä�Ú,ÚmçkàNÞkék×màNÝVÞkÙÛÕKä�×�ã[àáê?ÕkÙXÚmÙèä�ÕHékÝVà�ã|Ø�Ü|ë1Ö�×VÚ�Ö�ÕMì

í ä�×aàáîkÖ�âOÞkïèà�æKÙÛÕ�ðIñ:ò�òåæ�ë1Ö�×VÚ�Ö�Õ�óNäåékïôã�ã[àáê?ÕkàEÖAÞKé[×màuÝVÞKÙÛÕkä�×aÚmäAÝmÖ�ÚmÙÛÝ`õöÜ�Ø�ä�Úmç�÷kø�ùE÷9ñ�úAÖ�Õ?ã÷kø ù1û ÷0ñnúLüXòåò�ýì

Page 21: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

þaÿ���������ÿ�� ���� � � ���� ��������� ������������������� �"!,ÿ$#��&%�ÿ'���(���)�"�+* ,�,-'.0/�1�243�57698:1;20<"=�>9?A@CBEDGF�HJIKFL@CMANPORQ;SPNPT�UWVYX�/ VKT�N�VYXET'> F;5�@ZM[=�> F]\5�@CM^ XET'>YT`_�a�b;ca�d�@CefVg=[hR/ >�T9VYXET9UgVY/�1�2;/ >�2ji�kl_mhndpo4T'q�SrNP1�2;NPs(T�U'6k:U�NP1Et`VgT�s)X�1�NPuwvET�UKUYNPO`NPSP/ >xVg=AVYXETl?y@ze'Mys'/�UYT�D{=n1ET$|�1�2�U:VYX�/ V:<"=�>9}�~�?0~� =�>`?�@�BED]VYXETjs(=nXE=nOR=nS�=�t�q�=�<9��@�F;��? � 2ET�U�s(>�N���T�U�= ����UYX�T�SPSWUYvEQ�T'>g�m��/�1�t �� NPS�SPU ^ N�VYX���=�>[B�UYvEQ�T'>�UYqwO�O�T'Vg>�N�T�U'6�8�U`NP1�?�@�e'M�Dx� ��@�M�N�ORQ;SPN�T�U�VYX�/ VF � F��w� ��� � @�M�D ^ X;NPs�XyNPORQ;S�N�T�U�VYX�/ V��y� � � � � @�H I� ��  I <¡=�>¢Ug=nORT�£�T�s(Vg=�>Wtn/�vEt�T|�T�SP2   I 6�¤x= ^ T'£�T'>�Dpv�1;SPN�¥�T[?¦@�e'M�D�VYXETyVYXET'=�>Yq¦NPU�= ����UYX�T�SPS]U�NP1�s(TA�y� � � � � @H�I� ��  I 2E=wT�U:1�=�V:NPORQ�=nUgTfT�uwv�/ VYN�=n1;Ux=�<§OR=�VYNP=n1 ^ X�T�10?�~ � 6x¨WX�N�UWO�N�tnX+V:UgT'T�OUYvE>YQ�>)NPUYNP1EtLUYNP1�s(T�VYX�T0©p>�NP1E¥+�ªi�s�X ^ / >Y«0UYvEQ�T'>YQ�/ >YVYNPs'S�T�s(=n1+VY/�NP1�U�VYX�T0¬ I ¬ I @�MO�/�UYU���UYX�T�SPSWs(=n1�UgVg>)/�NP17V`<¡=�>y/�17q�?;6�©�vEVy1E=�VgT0VYX;/ V`<"=�>[?­~ � D¢VYXET'>YTj/ >YTj/�SPUY=UYvE��VYS�T'VYNPT�U]NP1yVYXETKSPN�tnX+V���s(=n1ETfuwv�/�17VYNP«�/ VYN�=n1A=�<rVYXETK©p>�NP1E¥+�ªi�s)X ^ / >Y«fUYvEQ�T'>YQ;/ >�VYNPs'S�T�6o®XET�1�?R@ � D�VYXET]S�N�tnX7V���s(=n1�T¢¯�5p£ / >�NP/ �;SPT�s(=n17VY/�N�1�U°B�s(=nORQ�=n1ET�1+VYU'D ^ X�N�s�X�1�/�N�£�T�S�qUYvEt�t�T�UgVYU9h²±�³�´ @µB�UgVY/ VgT�UfN�10VYXET�Q;X+qwU�NPs'/�SGUYQJT�s(Vg>)v�O¶N�1�UgVgT�/�2L=�<§VYXET��[UgVY/ VgT�Uf=�<?l@ � U�vEQ�T'>g�m��/�1Et � � NPSPSPU'6·8�1�2 ^ XET�1�?l@®BEDJ¯�59s(=n1+VY/�NP1�U:hls(=nORQ�=n1ET�17VYU�D ^ X�NPs)X1�/�N�£�T�S�q�U�vEt�t�T�UgVYU�h ´Y³�´0@¸hjQ;X+qwUYN�s'/�SpUYVY/ VgT�U�NP1�UgVgT�/�2¦=�<:VYXETAB�UYVY/ VgT�UR=�<:?¹@ºBUYvEQ�T'>g�m��/�1Et � � NPSPSPU�6[i�NP1�s(T�SPNPtnX7V���s(=n1ET[u+v�/�1+VYN�«�/ VYN�=n1�=�<�VYXET`UYvEQ�T'>YQ�/ >YVYNPs'S�TRNPU91�=�VUgVg>�/�N�tnX+Vg<¡=�> ^ / >�2�NP1L?L~ � D»N�V�N�U:1E=�VfUg=AUYvE>�Q�>�NPUYN�1EtRVYX�/ VKVYXET'>YTl/ >YTRUYvE��VYSPT'VYN�T�U:N�1VYXET9Q;vE>�TKUYQ;NP1E=�>¢2ET�UYs(>)N�Q�VYN�=n1�NP1AVYX�T�UgT 2�NPO�T�1�UYN�=n1�U�6¼ ½®¾]¿¢À¢Á»ÂYÀWÃ�ÄÆŵÇlÀWÃ�Ä{ÂYÈ�ÀpÄ{ÂY¾:ÃɾxÊ4Ä{Ël̸Í$ÇRÎy̧Á{Ï;ÄJÁ»Â�ÃlÐÑ 10VYX�NPUWUgT�s(VYNP=n1{D;VYXET Q;vE>YT9UgQ�NP1E=�>x2ET�U�s(>�N�Q�VYN�=n1A=�<�VYX�T UYvEQ�T'>YQ;/ >�VYNPs'S�T ^ NPSPS���Tft�T�1��T'>�/�SPN�«'T�2LVg=�VYXETRUYvEQ�T'>�UYVg>�NP1EtE698�S�VYXE=nvEtnXLVYXET'>�TlX;/�£�TR��T'T�14UgT'£�T'>�/�S·Q�>�T'£wN�=nv;U�/ Q��Q�>Y=n/�s�X�T�U»Vg=:s(=&£²/ >)NP/�17VYSPq9u+v�/�1+VYN�«�NP1�t¢VYXET�UYvEQ�T'>YQ�/ >YVYNPs'S�T�D'VYX�N�U»NPU{VYXET�|�>�UgVr/ Q;Q�>Y=n/�s�X^ X�NPs)X4UYv�s's(T�UYUg<�v�SPSPq0t�T�1ET'>�/�S�N�«'T�UfVg=js(=&£²/ >)NP/�17V$u+v�/�1+VYN�«�/ VYN�=n1�=�<�VYXET�UYvEQ�T'>�UgVg>)NP1EtE6©pv�VG��T'<"=�>YTp2;NPUYs'v�UYU�NP1EtWVYXETpQ;vE>�T]UgQ;N�1E=�>G/ Q�Q;>Y=n/�s�X{D+N�V ^ N�SPSn��T]v;UgT'<"v;S7Vg=f2�NPU�s'v�UYUr/�1/�S�VgT'>�1�/ VYN�£�Tl/ Q�Q�>�=n/�s�XL=�<]i�N�T't�T�S�Ò B Ó ^ X�NPs�Xjs(=n17VY/�N�1�UKUg=nORT�=�<�VYXET�U�/�ORT$<"T�/ VYvE>YT�U/�UWVYXETfQ;v�>YTfUgQ;NP1E=�>W/ Q;Q�>Y=n/�s�X»6Ô·Õ�Ö ×LØ�Ù�Ú�ØEÛÝÜ»ÞlߦàáÞªÜrâ7ã®ä�åæÚ�ç ã è�ç Ú�é�ê®ë�ì�Øíä�î]î�ânÜ»ä{ï+ìðÜ»Þlà�ÚñØ�ê»Ø�åÑ 1ís(=n1E<¡=�>)O�/�S§tn/�vEt�T�D·VYXET[s'SP/�UYUYNPs'/�S]s(=�£ / >�NP/�1+VRò i4/�s(VYN�=n1í<¡=�>$VYXET`XET'VgT'>�=�VYNPs`UYvE�QJT'>)UgVg>�NP1EtlNPU Ò BnM�Ó

¯�ó�ôæõr@­ö÷? ´'ø Ò eh{ù Ijúù I�û eBrù Ixü � H I� � úý ü � þ eB úù Ixü � H I� � ý ü � Ó û ¯»ÿ _��w6Pe�d^ XET'>YT�� I /�1�2 ü � / >YT�VYXET ^ =�>�SP2;UYXET'T'Vf£ / >�NP/ �;S�T�U�_���@ÆM�Vg=��wD��@ eRVg=�e � d)D¯{ÿL2ET�UYs(>�N���T�U�VYXETx>�NPtnX7V���OR=&£wN�1Et 2ET't�>YT'T�Up=�<{<">YT'T�2E=nO <¡=�>pVYXET� ������W=�>¢¯���_���hnd

Page 22: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

��� ��������� �"!�#%$'&�()+*�,-,/.+021"34*"57698�:<;>=@?@:BADCE"FHGJI :G�K = F"K *"576ML8 :N; L=7?O:BAPCEHFQGHI :G�K L= F"K *�R/1S/TVU 1�R S-WYXZX 1�,-R .[0\02] X_^ .[57*�,/.`]H5 S ]"a�,/bV1 X ] X 1c5Q, T@Xedgf 5ih b7*�,jak]H)+)+]%h S 3l,/bV1�R .`mHbJ,onX ]%pY.+5VmZ6V1�m"R 1�1 S ]"aqakR/1�1c67] XrU )+* W 5V]�R/]H)+1s*"576th .+)+) ^ 1s.`mH5V]"R/1c6 d�u ) S ]V37*")+)v]"aw,/b71ak]H)+)+]%h .+57meR/1 X *�R/x S *�R/1y1c* S .+) W m"1c5V1�Rz*")+.`{�1c6|,-]},/bV1�~ WlU 1 f *"576�~ WJU 1 f f�S TVU 1�R-nS ,-R .+5Vm Scd� .+57021�,/bV1e*"02,/.`]H5�]"a���� d+�%� . S .+5�02]H5Vak]"R X *")�mH* T m"1"3j.+,�5V1�1c6 S ,-] ^ 1 S/TVU@U )`12nX 1c5Q,-1c6�h .+,/b�,/bV1���.`R * S ]"R/]}02]H5 S ,-R *".[5Q,���;�� CE 8�:�8 : ;�� d�u ) S ]V3 S .[57021y,/b710�*"5V]H57.+0�*") X ] X 1c5J, T7X ,-] FHG 67]J1 S 5V]",j* U@U 1c*�R�.+5i,/bV1�*"02,/.`]H5�3J]H5V1�b7* S ,/bV1���.`Rz*"002]H5 S ,-R *".+5J,O� G ;��%������=Q� F G ; CE �'8 : � C� F�I : = C F � � I : F � G h bV1�R/1w� G . S ,/bV1�0�*"5V]H5Yn.+0�*") X ] X 1c5J, T7X ,-] F G dgf a]H5V1_6V1��O5V1 S

� G ;�� G � �� �'8 : � �� F�I : = C F � � I : F � G¡  ��� d � �]H5V1�0�*"5 T7S 1�,/bV1�0�*"5V]H57.+0�*")O02] XZX�T ,/*�,/.`]H5yR/1c)+*�,/.`]H5 S ,-]_�@576e¢%� G£  � K7¤ ;¦¥ I :G�K 8 :  h b7.+0zb�. X�U )+.+1 S � S .+57021|8�:�8 : ;>�§. S *§02]H5 S ,-R *".[5Q, � ,/b@*�,¨,/bV1 S .`©l,-1�1c59��.`Rz*"002]H5 S ,-R *".+5J, S � G b7*cp"1�1c.`mHbJ,j�7R S ,onª0�)+* S/S 02] X�U ]H5V1c5J, S *"5@6i1c.`mHbJ, S 1c02]H576Ynª0�)+* S/S 02] X nU ]H571c5Q, S�d � .+57021�,/bV1�*"5Q,/.«nª02] XiX�T ,/*�,-]"R_]"a¬,/bV1 S 1c02]H576Vnª0�)+* S/S 02]H5 S ,-Rz*".+5Q, S . S 5V]H5Vn,-R .`pY.+*")�'. d 1 d ,/bV14*"5Q,/.«nª02] XiX�T ,/*�,-]"R�. S *"5�] U 1�Rz*�,-]"R 8�­�R *�,/bV1�R�,/b7*"5e*�02]H5 S ,/*"5Q, � 3S ,/*"5767*�R 6t��.`R *"0�® T *"5J,/.`{c*�,/.`]H5t0�*"575V]", ^ 1 T7S 1c6 S .+57021�.`,�hj] T )+6t.+5Qp"]H)+p"1�.[5Qp"1�R/,/.[5Vm*"5y] U 1�R *�,-]"R d � ]�12©Y021 U ,\.+5�)+.`mHbJ,onª02]H5V1�mH* T m"1Z��h bV1�R 1�,/bV1402] XZX�T ,/*�,-]"R ^ 1c02] X 1 S*i02]H5 S ,/*"5J, � 3¡,/bV1�02]¯p�*�R .[*"5Q,s°�R/1�1c5Yn � 0 bJh�*�R/{�ak]"R X *")+. S/X 0�*"575V]", ^ 1s1c* S .+) W ® T *"5Vn,/.`{�1c6 df 5 �c± �"² 3 � .+1�m"1c) S/T m"m"1 S ,-1c6t*"5�*")+,-1�R 57*�,/.`p"14* U7U R ]H*"0 bt.+5Zh�b7.+0 by,/bV1�0�*"5V]H57.+0�*")X ] X 1c5J, T7X ,-] F G . S *"5¨.+576V1 U 1c57671c5Q,�p�*�Rz.+* ^ )`1 T7S .[5Vm�,/bV1sa�R/1�12n³�71c)+6e*"02,/.`]H5�´ �"µ

¶ ;9·r� E�¸ ´ �� =@? : L=@? : A¹� G L= F G µ³º ��� d � �f 5�,/b7. S * U@U R/]H*"0 b�3 � .+1�m"1c)\*�,-,-1 X�U ,-1c6»,-]|R 1 U )+*"021t,/bV1 U R/] ^ )`1 X *�,/.+0t02]H5 S ,-Rz*".+5Q, S]"a\,/bV1y02]¯p�*�R .[*"5Q,Z° � *"02,/.+]H5�h�.`,/b S ] X 1 S/T .`,/* ^ )`1 S 1�,�]"a\�7R S ,onª0�)+* S S 02]H5 S ,-Rz*".+5Q, S02]H5 S ,-R T 02,-1c6¹] T ,\]"aq,/bV1 S/TVU 1�R S/WlXZX 1�,-R .+0�] ^Y¼ 1c02, S 8�:s3@� G *"5@6¹= FQG h�bV1�R/1

� G ;�� G � �� ��=7? : A �� F�I : = F � � I : F � G ��� d � �. S 6V1��O5V1c6¹* S .+5���� d � � *"576½. S 5V]�)`]H5Vm"1�R�02]H5 S ,-R *".[5V1c6¨,-]yp�*"57. S b d ~�bV1s�@R S ,onª0�)+* S/S02]H5 S ,-R *".+5J, S�S b7] T )+6�.+570�) T 6V1j,/b71\��.`Rz* S ]"R/]s02]H5 S ,-Rz*".+5Q,�¾9;B�eCE 8 : 8 : �i� G = FQG ;� CE =7? : =@? : � � G = F G *"576�,/bV1 ¿Vn S-WlXiX 1�,-R W m"1c571�R *�,-]"R¬À G ;Á8 : � I : � � G º ~Â]4m"1�,,-]�)+.`mHbJ,onª02]H5V1jmH* T m"1"3"]H5V1j*") S ]�5V1�1c6 S 02]H5 S ,-Rz*".+5Q, SS/T 0zb_* Sgà :jÄÆÅ ;Á� G � I :¬Ä2Å � G�K � Kh b7.+0zb|. SsS/T7U7U ] S 1c6�,-]¹R/1 U )+*"021i,/bV1 S 1c02]H576Ynª0�)+* S S 02]H5 S ,-R *".+5J, S .+5|� G dtu )`,/bV] T mHb

Page 23: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

ÇÂÈ ÉcÊ'ËYÌ/ÈÆÍ�Î�ϧÐgÎ�Ñ�Ò�ÌÆÓ'Ò�ÏOÊ�Ô�Ë7Ò�ÏOÊ'Ó`Õ%Ò"Ê'Ó'Î"Ï�ÎoÖ_Ê�×YÈ�Ø7˯ÙVÈ�Ì Í2Ê'ÌzÓ�ÏJÚ Û�ÜÝ/Þ7ß+à�á�â7â7ã/äHá"åzÞ�æ�á"à4à ç7å�å2ècà/à-é'ç7ê+ê`ë¨ç@à-ècì}ékä"ãsílç7á"îJÝ/ß`ïcß+îVð�Ý/ÞVè�à/çVâvè�ã/â@á�ã Ý/ß+å�ê`èyñ ò7ó2ô³õ�áà-è�Ýsä"é�å2äHî7à-Ý-ã á"ß+îJÝ/àsæ�Þ7ß+å Þöå�ê+äHà-ècàsá�ÝsÝ/ÞVèyíJç7á"îJÝ/ç7÷Mê`è�ø"ècê¬á"î7ìöæ Þ7ß[å Þ�ã/è�â7ã älì7ç@å2ècàÝ/ÞVè_å2ä"ã/ã/ècå2Ý â@ÞQëYà/ß+å�á"ê£à çVâvè�ã à-Ý-ã ß+î7ð�à-âvècå2Ý-ã ç@÷ræ�á"à�îVè�ø"è�ã�é�äHç7î7ì£ùú è�ø"è�ã Ý/ÞVècê`ècà/à�õ�Ý/ÞVèjá�â7â7ã/äHá"åzÞsä"é@ûYß`è�ð"ècêHÞ@á"à�Ý/ÞVè¬á"ì7ø�á"îJÝ/á�ð"è¬Ý/Þ7á�Ýá"ê+ê�æ�ä"ã ê+ì7à/Þ7è�è�Ýü ècê+ì7à\á�ã/è_ékã/è�è4æ�Þ7ß+å Þe÷iá�ý"ècà ß`Ý\Ý-ã ß+ølß+á"êvÝ-äyå2äH÷�â@çVÝ-èsÝ/Þ7è�þ�ÿ���� à\Ý/Þ7á�Ý

������� ��������������������� ê`ä"ð�� ���� � �"!�# ���%$'&(���)�*�,+-&# �.�/���1032 � �54 ù76 �8 # ��� 8 & �����*�9� ó���/�)�-: �# &<; � ���)� � 8 # �=� ; � ������� ó�>�?���@: �# &=A $ & �����CB�54 ù7D �E Þ7ß+àqðHß`ø"ècà¬à-äH÷�è ç7à/è�é�ç7êVå�ê[çVècàgáGFväHçVÝgÝ/ÞVè á�â7â@ã/ä"â7ã ß+á�Ý-è�ðHÞVäHà/ݬìVè�ð"ã/è�ècà¬ä"é¡é�ã/è�ècìVäH÷¨ùûYß+î7å2è ��$ # ��!�# � å2äHîJÝ-ã ßHFOçVÝ-ècà ��4'� Ý-ä¹Ý/ÞVèZå2äHîVé�ä"ã ÷Zá"ê�á"îVäH÷iá"ê`ë"õÂÝ/ÞVèiÝ-ä"Ý/á"ê¬÷Zá�Ý-Ý-è�ãå2äHîQÝ-ã ßIF@çVÝ/ß`äHî�ß+à ���'� æ�Þ7ß+å Þ�ß+àwèKJlâvècå2Ý-ècì�Ý-äLFvè�å�á"î7å2ècê[ê`ècìMFlë_á�ðHÞVäHà-Ýqå2äHîJÝ-ã ßHF@çVÝ/ß+äHîä"éON �'� ù*P7çVã/Ý/ÞVè�ãz÷�ä"ã/è"õlÝ/ÞVè à-â@ß[î�å2äHîQÝ-ã ßIF@çVÝ/ß`äHî�Ý-ä�Ý/ÞVèRQ�S � Ü �có ��T ä"ã/ècîJÝ-ï�å�çVã ã/ècîQÝ/àß+î�ûYß+è�ð"ècê5� àjá�â@â7ã/äHá"å Þtß+àVU ���>W 2X ! : ��� $ õYá"à�å2äH÷�â@á�ã/ècìyæ ß`Ý/ÞiÝ/ÞVè�à/â@ß+îiå2äHîJÝ-ã ßHFOç<YÝ/ß`äHîtÝ-ä�Ý/ÞVèMQ*S � Ü �có �ZT ä"ã/ècîJÝ-ïså�çVã/ã/ècîJÝ/à\ß+î�Ý/ÞVè�[ ú ûyé�ä"ã ÷Zá"ê+ß+à ÷ æ�Þ7ß+å Þ�ß+à]\ � \ � ùE ÞVècà-è�ݪæ�ä T ä"ã/ècîJÝ-ï�å�çVã ã/ècîQÝ/à�à/á�Ý/ß+à/ékë¨à/ß[÷Zß+ê+á�ã�þ�ÿ��^� à�èKJYå2è�â@Ý�é�ä"ã�Ý/Þ7è�îlç7÷�è�ã á�Ý-ä"ãß+îtÝ/ÞVèsìVäHç=FOê`è�â¡äHê+è�ä"é*U ��� æ ß`Ý/Þ_U ��� õVæ Þ7ß+åzÞeß+à�N�òiß+î¨ûYß+è�ð"ècê5� à�á�â7â7ã äHá"å Þ¨á"î7ìN�ósß+îeÝ/Þ7è`[ ú û�é�ä"ã ÷Zá"ê+ß[à/÷eù E Þ7ß+à\à/çVð"ð"ècà/Ý/à Ý/Þ7á�Ý�Ý/ÞVè_æ�ä"ã ê+ì@à/ÞVè�è�Ý\ðHÞVäHà-Ý/à�à/ÞVäHç@ê+ìÞ7ácø"è T ä"ã/ècîJÝ-ï_å�çVã/ã ècîQÝ/à\æ�Þ7ß+å Þeå2äHîJÝ-ã ßHFOçVÝ-è ��4 Ý-äZÝ/Þ7èsìVäHç=F@ê`è�âväHê`è"ù

acbed fcg*hZi�jlk@mGj�npo*qsrcg*t3oumvnxw=t(mvnxyzo{g�kGn o*q|h�g*jli}k�hVnpo*yzjlk~ îeé'á"å2Ý�õ¡Ý/ÞVè�ã/èsèKJVß+à-Ý/à�á"î�Q*S � Ü �có � ß`ã ã/ècì7ç7å�ßHFOê`è�ã è�â7ã/ècà-ècîJÝ/á�Ý/ß`äHî¹å2äHîJÝ-ã ßHFOçVÝ/ß+îVð�� W�'� á"î7ì_æ ß`Ý/Þ�á ��4 å2äJè��yå�ß`ècîQÝqß+î4Ý/Þ7è�ìVäHç�F@ê`ègâväHê`è�ä"é@ß+Ý/à T ä"ã ècîQÝ-ï�å�çVã/ã/ècîJÝ�ñ 4 ô³ù E Þ@ß+àã/è�â7ã/ècà-ècîJÝ/á�Ý/ß`äHî�å2äHî7à/ß[à-Ý/à�ä"é¬á�FväHà-äHî7ß+åsâ@çVã/è�à-â@ß+îVä"ãR� # à/á�Ý/ß+à-é�ëlß[îVðiÝ/ÞVè�å2äHî7ì7ß`Ý/ß+äHîÝ/Þ7á�Ý � # : �# & � & Ws� �54 ù Û �ékä"ãZ� Ws� Ý-ä Ü ù E äZà/ÞVä¯æ�Ý/Þ7á�Ý�Ý/Þ7ß+à�ã/è�â7ã/ècà/ècîQÝ/á�Ý/ß`äHîeÞ@á"à�Ý/ÞVè4ìVècà/ß`ã/ècìyâ7ã/ä"âvè�ã/Ý/ß+ècà�õß`Ý�ß[à�ç@à-è�é�ç@ê�Ý-äöÝ-èc÷�âvä"ã á�ã ß[ê`ë�F7ã/ècá�ý�÷iá"î7ß`é�ècà-Ý T ä"ã/ècîJÝ-ïtß[îQø�á�ã ß+á"î7å2è�Flë|èKJlâOê+ß+å�ß`Ý/ê`ëà-äHê`øYß+îVð�Ý/ÞVèsâ@ç7ã/è4à-â@ß+îVä"ã\å2äHî7à/Ý-ã á"ß+îJÝ�ä"é �54 ù Û � ù� â@á�ã á"÷�è�Ý-è�ã ß+ïcá�Ý/ß`äHî ä"éM� # æ Þ7ß[å Þ»â7ã ècà-è�ã/ø"ècàiá�� � 6 � à/ç=F7ð"ã/äHç7â»ä"é �� ß+å ýlYã/ä"Ý/á�Ý-ècì � Q�S � ó � � ß[àsñ 4 ô ñ �'4 ô��� W��@� � ���1� W|� �1�K� � � W � ó� � 0 �C� �1�5�p��� � �5� � ��� �54 ù � �

æ ÞVè�ã/èL� W ó�Ý-ä>6lõ � �1� W � � �5��á�ã/è�Ý-ècîtß+î@ìVè�âvècî7ìVècîJÝgø�á�ã ß[áGF@ê`ècà�õlá"î7ìiÝ/Þ7è�û7þ � ó � �à-â@ß+îVä"ã�� # Þ7á"à�Fvè�ècî_æ�ãzß`Ý-Ý-ècî�ß[î_Ý-è�ã ÷iàÂä"é@ß+Ý/àß+ã/ã/ècì7ç7å�ßIF@ê`èV� � 6 � å2äH÷�âväHîVècîJÝ/àæ Þ7ß+åzÞ

Page 24: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

�G�  `¡O¢L£�¤1¥'¦G§-¨�©ª«­¬1®'¯�°­±²'¬1³´®'°�µ·¶�¸¹)º ¶ �c»¹�º1¼�½�¾¹v¿�¬�À�Á�¬�À°­À¯�«�®G«�ÃH²v¯�°�²'±ZÄ�Å.µ5¼v¿­ÆzÇeÈ É�Ê.ËÌ°�Ãͳ>Á�ÎHÀ�ÏV®-ÐÑ«­²²'Ò�«�®'ÃI¯�«�Ó=À°­ÀÔÅ>µ5¼v¿L¬�À�Á�¬1À°­À¯l«�®G«�ÃI²v¯�°ÕÃI°R«­²ÖÏ^¬CÃH«­À>®'¯×Ä*Ø�µ·¶ � ¿�°­Á�ÃI¯=²'¬�Ù�°1ÃI¯=Ú?ÛÝÜ|ÜÜ�Ü�Ü�Þ�¯=²'«�®G«�ÃH²v¯�Ï�Ó=À�¬�À�ß?À�Ð)Îeà�®'¯�«�Ãâáxß?À�Ð<Î3°­Á�ÃI¯�²'¬1°*Ó�®-ã'ÀL®'¯�²)ä�ä�à@À�ã'À¯�¯)Ù�³`Ò�À�¬�²'±å °�ÃHÚv¯�°�ÊÕæ�Ó=ÀÖ¶�¸¹�çK²v³�Á(²v¯�À¯l«R²'±]è�é�ÃI°L«�Ó=À>çK²v³>Á�²v¯=À¯�«�Ï�ÃH«�ÓÑê�ã'À å °�ÃHÚv¯�°Âë(«�Ó�À¶ �c»¹ çK²v³>Á�²v¯=À¯�«�Ó�®'°�«�Ó=¬�À�À å °1ÃHÚv¯�°�ë�®'¯�ä_«�Ó=À.¼ ½ ¾ ¹ çK²v³>Á�²v¯=À¯�«�Ó�®'°�²v¯=À å °�ÃIÚv¯3Êæ^Ó=À`è�éÔÁ�®G¬1®'³>À�«­À�¬1ÃIì®G«�ÃH²v¯Ö²'±^µ5í)Ê � ¿ZÃI°]Á�²v°�°1ÃHÒ�ÎHÀLÏ�Ó=À¯=À�ã'À�¬Rè�îsïð � Êñ °1ÃI¯=ÚÕ«�Ó=ÀL®GÒ�²-ã'ÀRÁ�®G¬1®'³>À�«­À�¬CÃHì®G«�ÃH²v¯�²'±uè�é(ë)²v¯=À�ç�®'¯Ôä=À�ê�¯�À^«�Ó=À�®'çK«�ÃI²v¯ÔÄ�òM±e²'¬«�Ó=ÀÕÏV²'¬1ÎIä�°�Ó�À�À�«VÚvÓ�²v°­«�°�®'°

Ä�ò ðôóöõl÷�ø Û ù�ú­ù�û�ü ¶ý�þ�ÿ�� ù�� ÿ�� Þ µ5í)Ê��v¿Ï�Ó=À�¬�ÀVúz®'¯�ä þ ÿ�� ®G¬�À]«�Ó=À]çK²v¯���Ù=Úv®G«­À^³>²v³>À¯�«�®L«­²ÕûZ®'¯�ä� ÿ�� °�®G«�ÃI°�±eÐ<ÃI¯=Ú�«�Ó=À� �����Ý°

úKµ���¿Zû)µ ø ¿�� ÎI²'Ú�µ��>ü ø ¿Cº þ)ÿ�� µ���¿������vµ ø ¿������ ÿ� � ���� µ���ü ø ¿ ½ È! µ5í)ÊI¶ � ¿" ²'«­ÀÕ«�Ó�®G«Z«�Ó=ÀR±®'çK«­²'¬^²'± È÷ ÃI¯�«�Ó=À þ ÿ�� ù�� ÿ�� «­À�¬1³öÓ�®'°]Ò(À�À¯ÖÃͯl«­¬�²<ä�Ù�çKÀÂä�«­² ç�®'¯�çKÀÂΫ�Ó=À�±�®'çK«­²'¬]²'± ý ±e¬�²v³#� ÿ�� ð ü�� �5ÿ Ê*ËLÎI°­²`¯�²'«­ÀL«�Ó�®G«]ûR®'¯�ä�ú*®G¬�À�ç1Ó�ÃH¬1®'Î�Ò�²v°­²v¯�°�ë)°�²«�Ó=ÀÂÃH¬zçK²v¯�«­¬1ÃHÒ�Ù�«�ÃH²v¯�«­²�µ5í)Ê��v¿z¯=À�ÀÂä�°z«­²�Ò�À*°�Ù=Á�Á�ÎHÀ³>À¯�«­ÀÂä�Ò)ÐR®�ç1Ó�ÃH¬C®'ÎIÃH«pÐRçK²v¯�°­«­¬C®'ÃI¯l«�ÊR¯=À�ç�®'¯ÑçK²v¯�°�«­¬1Ù�çK«RÄ�Ø�µ·¶ � ¿%$O²'¬�À¯�«­ì�ç�Ù�¬�¬�À¯�«�°'&)(�*Ô²vÙ=«�²'±�«�Ó=À°­ÀM±¬�À�À`ã�®G¬1ÃHá®GÒ�ÎHÀ°^®'°

& ð ¶+ ¼ µ ¶, � ÿ�� þ ÿ�� å ¼ý ù�úcü ¼ý ù�ûG¿Cº & �ÿ ð � ÿ � þ � � ü ¶¼ � �ÿ �-�.� þ �.� º µ5í)ÊI¶'¶-¿& ÿ�� ð0/21 þ ÿ�� º & ÿ�� ð0/ ½ 1 µ ý ù�� ÿ�� ü3� ÿ�� ù�úzü ý � ÿ�� ù(û å � ÿ � � � � þ �.� ü ¶ý � ÿ�� �-�.� þ �.� ¿Ï�Ó=À�¬�À�&)(�*LÓ�®'°3Ò�À�À¯�Ï^¬1ÃI«­«­À¯�ÃI¯R«­À�¬1³�°3²'±=ÃH«�°�Å>µ5¼v¿3çK²v³>Á�²v¯=À¯�«�°�µ4&Ѻ5& �ÿ º5& ÿ�� º5& ÿ�� ¿Ï�Ó�ÃIçCÓ�«­¬1®'¯�°�±e²'¬1³ ®'°�µ·¶76Gº ý , 6vºÂ¶ � ÷ º ¶ � ½ ÷ ¿.¬�À�Á�¬�À°­À¯�«�®G«�ÃH²v¯�°�²'±`Ä�Å.µ5¼v¿ ÆzÇeÈ É Êôæ^Ó�À$O²'¬�À¯�«­ìMç�Ù=¬�¬1À¯l«�°Z²'±^µ5í)ÊI¶'¶-¿^ç�®'¯_Ò�ÀÕç1Ó=ÀÂç�8'ÀÂä «­²�°�®G«�ÃI°­±Ð�«�Ó�À9:���%�Ý°

& (;* µ���¿­è é µ ø ¿�� ¶ý µ=< (�* ¿ é?> è > µ ø ¿�.ü ø º µ5í)ÊI¶ ý ¿&)@BApµ���¿C& (�* µ ø ¿��ED ( � A & @ � *�µ ø ¿*ü D * � A & @ � (�µ ø ¿�.ü ø ü�í-D @ * D A ( ü D @ ( D A *µ��.ü ø ¿ ÷ µ5í)ÊI¶Âív¿

F ² ®'ÎH«�Ó=²vÙ�ÚvÓ×Ä�òÖ²'±Mµ5í)Ê��v¿MÃI°Õ¯=²'«`³�®'¯�ÃH±À°­«�ÎHÐG$O²'¬�À¯�«­ì�çK²@ã�®G¬CÃI®'¯l«�ë�®'¯�ÐH:���%�Ý°Õ²'±è�é�®'¯�äI&)(�*>Ï�Ó�ÃIç1Ó�®G¬�ÀRçK²v³>Á�Ù=«­ÀÂä�Ù�°�Ãͯ=ÚÕ«�Ó�ÃI°V®'çK«�ÃH²v¯Ô®G¬�ÀR³�®'¯�ÃH±À°­«�ÎHÐ>çK²@ã�®G¬1ÃÍ®'¯l«�ÊJ ¯_«­À�¬1³�°Z²'±c«�Ó=À�±¬�À�ÀÕê�ÀÂÎÍä�°�ë<«�Ó=ÀÕ°­«­¬�À°1°Z«­À¯�°­²'¬LÃI°K ò ð ¶ý þ ÿ�� ùL� ÿ�� å ù�ú·ù(û å ù ÷ û µ5í)ÊI¶ , ¿

Page 25: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

MON�P!Q4R?S5NUT9VXWZY[VX\X]XSU^4]XW�Q`_aR�]XW�Q4^cb2]dQ4^4VdWHVfegQ�h?Ni�RkjlN7S�TBQ4S�^�Wnm o?pq%rls7t5svu5rlsxwLy7z{u|s7t�}�~��~����7�����ls!���|�Gu5r��Xu�u5rls����dt5s!�nu|���7�lt5t5s!�nu5�9�d�9����� pdp2� �Xt5s� t�~�}��Xt����s!�����7����r�~����5u|t5s!�5��u|s!�L�|�dt�rL�d�;�Bs!�nu|t��d�-��r��Xt5�ds�� �d�g�d���I�7�d�I ¡s�q�t�~�u|u|s!�~���}��d��~c��s!�|u5�c�v���dt5s!�nu|�g~��n¢X�Xt�~��d�nu��l�du5�Xu5~c�£�x�d�9¤ ¥���¦

§©¨ª pp7«©¬­�®?¬ ­;®¯ po�° y ¯ w ° ����� p!±£�q%rls7t5s ° ~�����s7�L�ls!��~��{u|s7t�}²���d��u5rls �=t�s7s���s!�����a ��

° ª p�¡³-´�µf¶ ´�µ �·wL¸©�Z�dw�z�¹ ����� p!º£�

» �du|su5r��Xu ° r��d���l����~��l�£�����Xt�~cu5~cs!��q%~cu5r ¬ ­�® �d���x�5�Xu5~��5��s!��u5rls9¼ ½�¾�¿À�° ��Á � ° �4 �;à ¯ ¥L��Á ¯  ��Ä yXÅ ° ��Á �|ÆLÇ �4 ��à ��Á ¯  ��Ä©È�ÆLÇ �4 � ¹

��rls�� � s7t��Xu|�dt�É ° �7�d�) -s�~��ls!��u5~���s!��q%~cu5rxu5rlsg�£rl�£�5ufÊ��n��} ¡s7t%� � s7t��Xu|�dt:�|��u5r��XuÆ Ç �7�Xt5t�~cs!���£rl�£�|u'�n��} ¡s7t'� p �Ë�Ì=Ë ÍIÎÐÏ�Ñ�ÒÔÓ?Õ©Ö�×OØLÙdÚdØlÛÝÜ�Þ�Ø�Ù�Õ�ÚdÜ�Ùnѽ�rn���5~��7�d���|u5�Xu|s!�²~��ßu5rls � �lt5s{� � ~����dt9���dt�}��d��~��5}à�=�dt²u5rls�� � s!�·�5� � s7t��|u|t�~��l�)�Xt5s�ls7�L�ls!�v�d�a�£rl�£�|ufÊ�����} -s7ta�£�ls �|u5�Xu|s!�%~��²u5r�s:�B�£r��£}á�£�c�d�d�²�d�[â ªäã Æ Ç?å Ç q%rls7t�sÆ Ç ~��g�B�£���5u|t��d~��ls!��u|�3���Xu5~��|��� Æ?æ ­ Æ ª « �3��rlsv�B�£���|u|t��d~��nu Æ?æ ­ Æ ª « ~�} � ��~cs!�u5r��Xu�u5rls �7�d�l�£��~��7�d�¡}á�£}�s!��u5��}ç���dt Æ Ç�è q'r�~���rvq%~����� ¡s:�7�d���cs!�{é Ç è �£���c�²� �L� s!�Xt��~����B�£}g �~����Xu5~c�£����q%r�~���r��Xt5s�~��n¢��Xt�~��d��u����L�ls7t�u5rls �£�d�l�dsu|t��d���|���dt�}��Xu5~c�£�

ê é Ç ª � æ ­ Æ-� Çlë ­ ����� p2ìd��=�dt[�Xt5 L~�u|t��Xt5� ë ­ ����r�~��í~�} � ��~cs!��u5r��Xu�é Ç �£���c�g� ��� s!�Xt���~��u5rlsa���dt5s!�nu|�BÊ��B�2¢X�Xt�~��d�nu�B�£}g L~����Xu5~c�£��� ¬g­;® ª Èyáî é æ ­;® Æ î �d��� ° ª î é Ç Æ Ç î q%rls7t5s�u5rls;�l�dt�}��d�ïÊ.�dt��ls7t�s!�sBð � t�s!�5�5~c�£���²�7�d�Z ¡s�sBð � ��~��7~cu5�c�ß�ls7�L�ls!�ñ���5~��l�Gu5rls � �Xt��d}ás7u|s7t�~��!�Xu5~c�£�Z�d�²����� pdp2��d���ä����� p!º£� �·òór�s!�ä��ôxõ�z�z � y ª÷öÐø � è � � s!�·�5� � s7t��|u|t�~��l�ù¢ds7t5u|sBðú� � s7t��Xu|�dt��á�Xt5s�B�£���|u|t����Bu|s!�ó��t5�£}û�Xt5 L~cu|t��Xt��ú�B�£} L~��L�Xu5~c�£���I�d�I¤ ü ­ Å5ý Ç Å å Ç Å Æ Ç Å ¬ ­;® Å ° ¦:q%r�~���r�7�Xt5t5�ù�£r��£�|u �n��} ¡s7t:�£�lsá�d���þ�B�£�l���dt�}��d�íq;s!~��£r�u ö �Xu �7s7t5�x}á�£}ás!�nu5��}�� » �du|su5r��XuI¤ å Ç Å ¬­�® Å ° ¦;�7�Xt5t5�G�B�£�l���dt�}��d�[q�s!~c�£rnu��£�ls��d��� Æ Ç �7�Xt5t�~cs!�:�£rl�£�|ug����} ¡s7t�£�lsd�ÿ �dt%sBðl�d} � ��s è u5rls�}á�£�|u%�ds!�ls7t��d�©¢ds7t5u|sBðx� � s7t��Xu|�dt'�Xu��ôxõ�z�z � y ª « ~��

� ª Æ Ç�� Ç ��ü Å5ý � ����� p!o£�q%rls7t5s � Ç ��ü Å5ý � ~��x�d� �����B�£�L�|u|t��d~��ls!�Ý� � ~��l�dtx��� � s7t5��s!���©���'�ùq��d�3�5rl�kq%�Ý~���5�l L�|s!�Bu5~��£� ����� ±£� è â � ª « �d��� ê � ª â�� ~�} � ��~cs!� æ Ç��­;®��� � Ç � � ª « �d���

Page 26: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

��� ���������������! #"%$

&!'�(*),+-(/.103254/68794;:�<>=@?>4/=@A>B�CD=�<FEHGI:KJL2M=�N8NO=�PLB/:�?>6RQTSUA�Q�VXW-Q�?>6RQTSY:�S/Z;[T:�B�[�=68S]\�:�<�68:�SU7^=�A_2`<�6R?F?F=�Sa6bSc?F=�<�WdAXQ�VO:-AFCU6bS�Q�<`A>B�CD=�<>e/=�NbZgf

h_?i?>4�=`S�=^Jj?kWd:�A�AiNR=�\�=�Nl0T?>4/=XCU4]mjA>687�:�N�A>?>:�?F=�AiQ�VD?>4�=XQ�CD=�S-A>B�CD=�<�AF?F<968S�[�VnQ�<�Wo:Wd:�A>A>6R\�=1AFCU6bSjE � WpB/NR?>68CUNR=�?k7^QTSq?>:�68S/68S/[sr ���pt QTAFQTS/AM:�S/Zur ��� V%=�<�Wd6RQTS/A�fvh�NR?>4�QTB/[T46R?�2_:�A-S�Q�?pC/<>=�\j6RQTB/A>N8mxwjS�Qy25Sz4�Q!2{?FQ|7^Q!\�:�<�68:�Sq?>NRm}Z�=�A>7^<�6 t =d?>4U68A~W�B/N8?>6RCUNR=�?�6bS� )-r��*A>B�CD=�<�A>CU:�7^=�0MA�B/7�4�:*A>B�CD=�<�AFCU:�7^=aZ/=�A>7^<�6RC/?>68QTSz2M:�A�VnQTBUS/Zz256R?>4���AF\K:�NbZ�Q� 4/:�S/Z��� :�B/A�68S�[p?>4�=�CUB�<>=1AFCU6bS�Q�<X:�C/C/<>QT:�794*� �]�K��fi��4�=�S;�%�a�j�y�����5)��� 0�?>4�=�W-QTA>?[�=�S�=�<�:�Ng\�=�<>?F=^JaQ�CD=�<�:�?FQ�<�68A

� )��D� ( '�(��%�3�> q�F¡£¢q�¤ �¥L� (�¦ ( ¥ �%�§�> L�M¢q¡£¢]¨ ¥ �(U© ¥](��%�3�> q�ª¢ �l�Lf8r�«T�

¡£¢]¬�­1� (j® ­ (��%�3�> q�ª¢L¡£¢j¯3� (�° (g�%�§�> q�_¢q¡£¢]±I­k²j� (�³ ( ­k² �%�§�> q�ª¢254�=�<>=I¢O´�µ¶� (U· ( µ �%�3�> q�^�#¸q�@¢O)�¹»ºF¼¼�½U¾ ´�µª�%¿/���

( �#¸q� · ( µ �#¸q��:�S/Z· ( µ �%�§�> L��:�<>=?>4�=1\K:�<�68QTB/AªA�B�CD=�<>e/=�N8Z/Ak:�C/CD=�:�<�68S�[p68S|�l�Lf8r�«T�9fªÀ�A>68S�[�?>4�=��1ÁkÂ5ÃÄAªQ�V_�l�LfÆÅT�90U6R?M2M:�A

A>4�Q!2�Sa68S;� �]�K��?>4/:�?1Ç � )��-68W-CUNb6R=�AM?>4�=�=�PqBU:�?>6RQTS/A�nÈ ­k²^É�Ê�Ë �

( ¥ � +-( ¦ ¥yÌ�Í ÈDÎ( ̮Π¥ �Ï)��j� �l�Lf � �]�

�nÈ ­k²^É�Ê�Ë �( ¥D� + ( ® Î ¥�Í È Î ( Ì

© Ì ¥ �D)��j��nÈ ­ª²É�Ê�Ë �

( ¥D� +-( © Ì ¥ ¡Ð&�Ì(°¥ ¡

r� �nÈ Î�Ñ �ÒÌT(

³¥ ÎÒÑ �Ï)��j�

�nÈ ­k²^É�Ê�Ë �( ¥ � +-(�' ¥ ¡

¦ ( ¥ ¡ � ÈDÎ¥yÌ � Ω Ì ( Í + ¥

° (�¡ r� �nÈgÎ�Ñl+Ó� ¥

³ ( ÎÒÑ �)Ô��È ( ¥­k²^É�Ê�Ë ÈÏÕ>Ö¤× ¼ Î( ¥ Ø ÎÒÑlÙ ÑÕ>ÖÏ× ¼ �

�nÈ ­k²^É �( ¥ � +-(�' ¥ ¡

¦ ( ¥ ¡ � ÈgÎ¥!Ì � Ω Ì ( Í + ¥

° (�¡ r� �nÈDÎÒÑ�+c� ¥

³ ( ÎÒÑ �)�� � È ( ¥­k²^É È¤ÖÏ× ¼( ¥ Ù ÎÖ¤× ¼ Î �

È ( ¥­k²^É�Ê�Ë +-(°¥ )�È

( ¥­k²^É�Ê�Ë �nÈ Õ>ÖÏ× ¼ È Î � ( ¥LÙ ÎÕ>Ö¤× ¼ �È ( ¥­ª²É!ÊHË +-(

³ ÎÒÑ¥ ) Í È( ¥­ª²É!ÊHË �nÈ Õ>ÖÏ× ¼ È¶Ú Î � ( ¥jÙ ÑÜÛÕ>ÖÏ× ¼ �

254�=�<>= Ù ÎÕ�Ö¤× ¼ 68AX:�SÓ:�< t 6R?F<�:�<>m�A>B�CD=�<>e/=�N8Z�f3h�S/Zs?>4�=�[T:�B�[�=�68Sq\K:�<968:�S/7^=�& � )ÝÇ�.68W-CUN868=�Aª?>4/=�[T:�B�[�=�?F<�:�SUAFVnQ�<9Wd:�?>6RQTS/A

&y'�(s)�. � (�¡ � È ­( ¥ � ­ . ¥ � Í +-(/._Þ Ír� �nÈ ­k² �H¥ ( + ¥ .`ß ­k² � �l�Lf � r!�

& ¦ ( ¥ ) Í +-(�. � ¥ ¡YÈÏ­( ¥ .`à ­ �

Page 27: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

á§â�ã�ä#åjæ>âçpè�é�êOè�ë�ì�æí#ì�é¤ä�î_å/ì�é¤ä#íRï!ì�ä#í#è�é*èñð�ä%òjâ�ó/åyô�â�æ�ç^ä#æ9í%éqõ ö�÷

øKù�úLûdüþý`ÿ-û�� ú � ý*ø!úû ���_ý����� ����� ú û ��� �����ø���û�ü�ÿ-û����

�ý �

û ú � ú � �ø��5û@ü�ÿ-û�����ø��¶û

���ü�ÿ-û����

��������! #"$ ��ü&%(' ) û �+*Òû �-, �

) � %(./%10qû�� û� �-, �) � %2.3%(4 � ��� � �-, �

) � % � ÷25 �6� �./%�78��� �-, �

) � %2./%:9 ��� ��� ��� �-, �) � % �;6<�= %2>@?A� ? �-, �

) � %LüCBEDGFFIH�J >@? �-K�� � ? �ML2�ON(P+Q$R <!S@= ü �#T Q$U!V #" QGV ;6W �XG W � < RZY(U QI[R X\� ; Q ; " S U = R <^] _ ÷a` X$� ; XX$�! � Y2U ; X Rcb < Q\b6dfegb X Rcb <g;6<�=&S:; U S �XG" ;6< QGd-b " e ; X Rcb < Qb6d�� ÷25 � T � ;6<�= � ÷25 � � �hRiegV�jik X$� ; XhX$�! QlU!V #"$m� j = Q�n û ? �-, �

) ��R < � ÷25 �Io � W b "$"l W X jck= Q W " Rcp ; e ; Q$QlRcq QGV�R <�r Xs� bteuU�j X RcV�j #Xv� R X$� �-wyx�z{z{�� ü *� 5

| b W b:egV�U XG Q W#; XGXG #" R <!S}; etV�jiR X U = Q#[�b < ; jiQGb < # = Q~q #"$XG �� b6V #" ; X b " Q~R <R < XG S " ; XG = d-b " e^[�� 0 L(�t[ ���! #"$ ��RiQhU�Q$U ; jZjck~b6p X ; R < = d " b:e X$�� U < R < XG S " ; XG =q #"$XG �� b6V #" ; X b "g� p2k ;6< X R rsW b:ete&U X R <�S � R X$��X$�! ~� S � b:Q X 5t� U X QlR <�W gX$�! #"$ RZQ< b <�; X U " ; j W#;6<�= R =�; XG d-b "~X$�! �� S � b:Q X R < X$� RZQtd-b " e ; jiRiQle^[�b < < # = Q X b�U�Q ;6<�; j XG #" <�; X Rcq e #X$� b = d-b " b6p X ; R < R <!S � �h� R W � RiQ+d " b:e X$�! �"$ j ; X Rcb <�]�� � � `

ü' � ] _6_ `�5 P+Q$R <!S X$� RiQ ; j XG #" <�; X Rcq e #X$� b = [�b < �m <�= Q+d�b "�X$�! b6V < Q$U!V #" Q XG" R <!Se ; Q$Q$j QlQ�q #"$XG �� b6V #" ; X b "�X$� ; X ] ÷�`

� ü�'�) û2� û �-, �) � .�4 �h� � �-, �

) � .�0]û��û�-, �) � .��� 9 ���

� ���f�-, �) �ON�� ÷25 � ÷ �

| b~Q � b ��X$� ; X � � ü�' � [ < b XG CX$� ; X� � ü�' ���

û � û � . �û ' ) ú � ý5ÿ-û

�ú ý;ÿ ú

� ûC. �û ú � � � � ÷25 � _ �. �û 4 ��� ÿ-û � �

ý�'�� û-ý �

û ú � ú � . �û 0 ú � ý`ÿ-û�� ú�.��_ �� ����� ûjú(� ��� �

.��� �û 9���ÿ-û!� ��� N

� b � � ü�' � Rcd X$�! Q$U�V #"lm� j = QvQ ; X RiQGd-ký`ÿ-û � ú ý;ÿ ú � ûC. �û ú � �

ü T � � ÷25 �6  �ÿ-û � �

ý}'�� û-ý �

û ú � ú ü T �

Page 28: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

¡{¢ £u¤¦¥+§#¨l©6ªa«�¬M­-®

¯�°g±�²´³�µ·¶¢�¸�¹»º�¼�½ ±�³(¾ º�¼t¿ÁÀ�Âà ± à ³ ¸�¹ º�¼ ½ ³1Ä ° ± ¾ º�¼ ¿ÁÀ�ÂÅ�Æ�ÇiÈOÆ~ÇiÉgÊ ËcÌ�Í$Æ!Î+ÏlÐ!ÊfÎ#ÑGÒÔÓÖÕ{×�ÅvÎIËiË�ÎIØ2Ð�ÕaÍ$ÇcÙ:Ú�Ï�Ù6Û8Ï$Ð�Ü�ÏGÎIÈ�Í$ÇcÙ:Ú ¸ÞÝ2ßàÝ:½Oß�á Ù6ÍGÎ+Í$Æ�ÕaÍvÍ$Æ�ÎÛ�Ù:Ð!ÑlÍ$Æ�ÎIØ(Ð�ÕaÍ$ÇiÙ:Ú�Ù6Û ¸Þâ2ßàÝ6ã:½ ÇiϦÇZÉgÊ�ËiÇcÎIähÜ2ÌhÍ$Æ!Î�Í$Æ�ÇcÑlä+ÎIØ2Ð�ÕaÍ$ÇcÙ:Ú@Ï$ÇZÚ�È�Î Ã ± à ³ °g±!° ³ ² Ä ¿åæ ¸ à ¹ º à ½èç º ² Ä ¿�À ßêé Í�ÇZÏ�Ð�ÏGÎ#ÛMÐ�Ë»ÍGÙ~Ú!Ù6ÍGÎ@Í$Æ�ÕaÍ�ÇiÚ^È�Ù:ÉgÊfÙ:Ú!ÎIÚ(Í$Ï#ëì ¿Áí(º ¸-î�½èç�î º µ ¶Ý ç�ï º í ¼�ð ¸-î�½èñ º�¼ µóò ± ¸-î�½õô ±@µ�ö ¸M÷ æ ½  ¸Þâ2ßàÝ6ø:½

Å�Æ!Î#Ñ$Î ñ º�¼ ¿åæúù ¹ º�¼ ÷ µüû º�¼ ÇiÏ\Í$Æ!Î�ÏGÊ ÇiÚ�È�Ù:Ú1ÍGÑlÇiÜ�Ð!Í$ÇcÙ:Ú&ÍGÙ�Í$Æ!Î�ý8Ù6Ñ$ÎIÚ1ÍGþ�È#Ð�Ñ$Ñ$ÎIÚ(ÍÕ6Ú�ä ô ± ¿ ù ±gµ åæ ¸Þç�î º µ ååsæ ÷a¹ º ç ÷(½�¸�¹ º ÷(½ ± ÇiÏ�Í$Æ!ÎüÏGÊ�Õ6È�Î#Í$ÇiÉgÎ�ÒsÏlÐ!ÊfÎ#ÑlÏGÌ�ÉtÉgÎ#ÍGÑ$ÌÈ#Ð!Ñ$Ñ$ÎIÚ(Í ßóÿ Ù ¸Þâ2ßàÝ6ø:½ È#ËcÙ:ÏGÎIËiÌ}Ñ$ÎIÏGÎIÉuÜ�ËcÎIÏ&Í$Æ!Î�� á�ÿ�� Î#Ñ$ÍGÎ�×�Ù6ÊfÎ#ÑlÕaÍGÙ6Ñ�� Ý��� Û�Ù6ÑgÍ$Æ�Î ËiÐ!Ù:Ú Õ6Ú�ä ËiÐ�ÇiÚ!Ù ß+é ÛêÙ:Ú!Îgä!Ñ$Ù6Ê�ÏhÍ$Æ!Î åæ û º�¼ ¾ º�¼ ÍGÎ#ÑlÉyë»Í$Æ�Î � Î#ÑlÍGÎ�× Ù6ÊfÎ#ÑlÕaÍGÙ6Ñ�Ù6Û¸Þâ2ßàÝ6â:½ Å�Õ6Ï�Ï$Ð � ÎIÏ$ÍGÎIäyÜ2Ì ÿ ÇcÎ ÎIË�� ¢ � Ü�Õ6Ï$ÎIä^Ù:ÚyÏ$Ð!ÊfÎ#ÑlÏ$Ê�Õ6È�Î�ÕaÑ Ð�ÉgÎIÚ(Í$Ï ß Ù6ÑCÍ$Æ�Î���Ì2ÊfÎ é$é Ï$Ð�Ê»Î#ÑOÏGÍGÑlÇiÚ ëfÍ$Æ!ÎüÐ�Ú�ÇiÚ(ÍGÎ ÑlÕaÍGÎIä�ÉtÕ6ÏlÏ$ËcÎIÏ$Ï � Î#Ñ$ÍGÎ�×�Ù6ÊfÎ#ÑlÕaÍGÙ6ÑÇiÏ�� ¿ à ±��Ã��³�� ± �³ ¸-î  ÷  �÷2½ ÅhÆ!Î#Ñ$Î �à �± Õ6Ú�ä �÷ �± ÕaÑ$Î�ÑlÇ Æ(ÍèÒsÉgÙ � ÇiÚ Å�Ù6ÑOËiä�Ï$Æ!Î#Î#Í���ÎIËiä�ÏÕ6Ú�ätÍ$Æ!ÎhÈlÆ�ÇcÑOÕ6ËiÇcÍsÌ&Ù6ÛfÍ$Æ!Î �� ÇiÚ�ä!Î�×�ä�Î#Ê»ÎIÚ�ä�ÏÇcÛfÍ$Æ!Î�Ï$Ð�Ê»Î#ÑOÏGÍGÑlÇiÚ ÇiÏ é$é�� Ù6Ñ élé��+ß ��Æ�ÎÊ�Æ1Ì�Ï$ÇiÈ#Õ6Ë�ÏGÍ$ÕaÍGÎhÈ�Ù:Ú�ä�ÇcÍ$ÇcÙ:Ú���� ¿

���� ¿ÁÀ Õ6Ú�ä Õ6Ð Î�ÇiÚ � ÕaÑlÇZÕ6Ú�È�Î� �� ¿ � �! µ �� !Å�Æ!Î#Ñ$Î �� �! ¿ � ! ¿�À ÇiÉgÊ�ËZÇcÎIÏvÍ$Æ�ÕaÍ

¹ ± ³º�¼#"%$�& °g± � ³ �Ä ¿ ¹ �± �ĺ�¼#"'$(& �° �± � ³ �Ä ¿ÁÀ� � ± �³ ¿ °g± �! �³ µ �° �³ ! ±  ¸Þâ2ßàÝ��6½¹ ± ³º�¼)"%$�& °g± ! ³ ¿ ¹ �± �ĺ�¼)"%$�& �° �± �! �Ä ¿ÁÀÛ�Ù6ÑyÕ6Ú(Ì*� � Î�Ò�Û�Ù6ÑOÉ ä�ÇcÑ$ÎIÈ�Í$ÇiÙ:Ú,+�- ù ô. ëhÅ�Æ�ÇiÈOÆ ÕaÑlÎ�Í$Æ!Î�ËiÇiÚ�ÎIÕaÑlÇcþ#ÎIä ÎIØ(Ð�ÕaÍ$ÇiÙ:Ú�Ï^Ù6ÛÉgÙ6Í$ÇcÙ:Ú Õ6Ú�ä Õ6Ð Î�ÇiÚ � ÕaÑOÇiÕ6Ú�È�ÎIÏtÙ6ÛCÍ$Æ!Î/��Ì(ÊfÎ élé�� Ù6Ñ0��Ì2ÊfÎ é$é1� Ï$Ð!ÊfÎ#Ñ ÑOÕ � ÇcÍsÌÉuÐ�ËiÍ$ÇcÊ�ËcÎ#Í ß ��Æ�ÎÖÇiÚ(ÍGÎ ÑlÕaÍGÎIä Û�Ù6ÑlÉ Ù6Û@Í$Æ!Î È#ËcÙ:ÏGÎIä Ï$Ð!ÊfÎ#ÑlÏGÍGÑOÇiÚ ÉtÕ6Ï$ÏlËcÎIÏ$Ï � Î#Ñ$ÍGÎ�×Ù6Ê»Î#ÑOÕaÍGÙ6Ñ�ÇiÏ�Í$Æ!ÎCËiÎ#Û�ÍèÒ�ÑlÇ Æ1Í�Ê�Ñ$Ù�ä�Ð�È�Í�Ù6Û Í$Æ!Î�Ù6ÊfÎIÚyÏ$Ð!ÊfÎ#ÑlÏ$ÍGÑlÇiÚ � Î#Ñ$ÍGÎ�×^Ù6Ê»Î#ÑOÕaÍGÙ6Ñ�Ù6Û

¸Þâ2ßàÝ6â:½ Õ6Ú�ä^ÇZÏ Ç � ÎIÚ^Ü2Ì ì3254 ¿687 æ:9 ¸Þâ2ßàÝ ¡ ½

� ç�÷ ±<;ç �÷ �³ � ± �³ ¸-î  ÷  �÷(½ µ ç �÷ ± ;= º � ± º ¸-î  ÷  �÷1½ µ = º ;ç �÷ �± � º �± ¸-î  ÷  �÷1½µ = º ;= ¼ � º�¼ ¸-î  ÷  �÷(½ µ

7 ± ¸ ;ç �÷ �³?> ± �³ ¸-î  ÷  �÷2½ µ ;= º > ±º ¸-î  ÷  �÷1½G½ µ �7 �± ¸Þç ÷ ³5> �±³ ¸-î  ÷  �÷2½µ = º > �±º ¸-î  ÷  �÷(½G½ µ ¶Ý û º�¼ ¸

;ç �÷ �³ ! º�¼�³ ¸-î  ÷ Â�÷1½

µ ;= " ! º�¼" ¸-î  ÷ Â�÷2½G½ µ ¶Ý

�û º�¼ ¸Þç ÷ ³ �! º�¼³ ¸-î  ÷ Â�÷(½ µ = " �! º�¼" ¸-î  ÷ Â

�÷(½G½

Page 29: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

@BADC%EGF�HIA#JLKNMPOQKNRNSNH#TGSNMUEWVXFYSNMUEGT[Z'S�EGTGK�M�K1\]E_^�Aa`YFbcA:HDJ)EGHdT_M5e f�ghji?kalinmo5p k morq_sBtIuct lu?v hxw]ynz{li�mk3| y}z mk q_sBtIuct lu?vhji5k lw]ynz l| kNy}z q_s~tIuct lu?v hxway}z lw��'�)� ynz#�'� q_s~tIuct lu?v����

����� ���?�Y���)���c�B�3�W�N���������Y�5�������r���n�������}���U����j Y�I 3¡�¢¤£3¥I¦c§ w�¨�©�ª�«­¬ ¥�¥¯®I§:§ ¨ ¢[§:°�§%¢ ª�© § ¬ �I  © §:®d�¯¥¯® «�¬c± �I²:¡N¥¯¥¯§:® «�¬c± ¡�³ © ¢ « ¥I Y´c§¶µ « ¢�¢· §{´c§:¸ ¬ §%´�¡��<¥I¦c§¶² ª ®I®D§%¢�¡N¥ «[ª�¬0¹   ¬ ²)¥ «[ª�¬0ª�¹�º   ¬Y«�¬ ¥¯§ ± ®D¡N¥¯§%´0°�§:®I¥¯§)» ª�© §:®D¡N¥ ª ®D�{¼~½¡ ¬ ´ w¿¾�ºÀ«�¬ ¥¯§ ± ®D¡N¥¯§%´Á°�§:®D¥¯§)» ª�© §:®D¡N¥ ª ®d�W i?ÃÅÄ ½{¡��

ÆÈÇÊÉ i5Ã%Ë �[�[� É i?ÃÌÎÍ ¼}Ï q Ã Ï v ¼ÑÐ q à Рv ¼ÑÒ q Ã Ò v ÌÓ½IÔ Ë Ä ½ q à ½ v¯Õd� q ºÅÖØ×�Ù vÚ ª ®Û³�¡��I�D¢[§%�I��§)»�¥¯§:® ¬ ¡�¢<�¯¥I¡N¥¯§%�:£�¥I¦c§�°�§:®I¥¯§)» ª�© §:®D¡N¥ ª ®D�À¡N®D§ ±�« °�§ ¬P«�¬ q ºÅÖ�Ü f v ¡ ¬ ´q ºÅÖØ×�º v ÖÝ ¦c§Þ¸Y®d�¯¥Á�¯¥¯§ © ¥ ª §:°N¡�¢� Y¡N¥¯§�¥I¦c§�² ª ®I®I§%¢­¡N¥ «[ª�¬È¹   ¬ ²)¥ «[ª�¬È« �0¥ ª §%¢ « ³ «�¬ ¡N¥¯§ß¡�¢­¢µ ª ®D¢­´Y�I¦c§:§:¥À¸Y§%¢­´Y� ª�¹{¬cª�¬�¨�à §:® ª ´ « ³À§ ¬ � «[ª�¬ q «¤Ö § Ö*á s y £ á u k £Ñâ k £Wãä¡ ¬ ´ w y}z v·5å  Y� «�¬Y± ¥I¦Y§ « ®çæjè}éëêì�Àµ « ¥I¦ ª ¥I¦Y§:®�µ ª ®d¢�´Y�I¦c§:§:¥À¸3§%¢�´Y�À¡ ¬ ´x¥I¦c§ ¹ ¡�²)¥�¥I¦3¡N¥�¥I¦c§ å°�¡ ¬Y« �I¦x¡N¥ Ãîí ï�Ö æ ¬ §0¥I¦c§ ¬ð«­¬ ¥¯§ ± ®D¡N¥¯§%� ª °�§:®Û¥I¦Y§ s y à §:® ª ³ ª ´c§%��¥ ªÞ± §:¥ç¡ñ ª · ¡ ¨�òW« §%¢��¯§ ¬ ¥ å © § ¹_ª ®D³L Y¢�¡�£

ÆÊÇ É i?Ã%Ë �[�[� i5ÃÌ�Í�ó k ó o ó�ô?õ k o ô q à ½ tDö ½ t¯÷ ½ tIuÅv¯Õ q ºÅÖغNø vµë¦c§:®I§ ó k ó o ó ô ² ª ³À§%� ¹ ® ª ³ù¥I¦Y§�¥I¦c®D§:§�  ¬Y«­¬ ¥¯§ ± ®D¡N¥¯§%´ç°�§:®I¥¯§)» ª�© §:®d¡N¥ ª ®D�n¡ ¬ ´ õ k o ô« ��� ª ³À§ ¹   ¬ ²)¥ «[ª�¬Áª�¹ ¥I¦c§ à ½ êì�%£�¥I¦Y§L³ ª ³�§ ¬ ¥I¡ ö ½ £ú¥I¦c§ ©úª ¢�¡N® «[à ¡N¥ «[ª�¬ � ÷ ½ £ú¡ ¬ ´/¥I¦Y§®I§%³�¡ «�¬Y«­¬c± u à §:® ª ³ ª ´c§%� Öæ ¬ §ûµ ª  Y¢�´È¢ «[ü §û¥ ª ´c§:¸ ¬ §û¥I¦c§�² ª ®D®I§%¢�¡N¥ «[ª�¬È¹   ¬ ²)¥ «�ª�¬ùÍ�ó k ó o ó ô õ k o ô Õ �I Y²D¦¥I¦Y¡N¥�Æ « �À�I  © §:®D� å ³�³À§:¥¯® « ²ç¡ ¬ ´ ± ¡�  ± § «�¬ °�¡N® « ¡ ¬ ¥ Ö � ¬xª · ° «[ª  Y��µX¡ å ¥ ª ³�¡ ü §Æý�I  © §:®D� å ³�³�§:¥¯® « ² « �a¥ ª ®I§%þÅ  « ®I§ç¥I¦Y¡N¥�¥I¦c§�² ª ®I®I§%¢�¡N¥ «�ª�¬ÿ¹   ¬ ²)¥ «�ª�¬ °N¡ ¬Y« �I¦Y§%�L  ¬�¨¢[§%�I�]¡�¢­¢n� « »Å¥¯§:§ ¬ u à §:® ª ³ ª ´c§%�L¡N®I§ © ®D§%�¯§ ¬ ¥:£ ·  Y¥]¥I¦ « � ±�« °�§%�L¥I¦c§Ûµë® ª�¬c± ¡ ¬ �¯µn§:®·5å ´ « ³À§ ¬ � «�ª�¬ ¡�¢{¡ ¬ ¡�¢ å � « � Ö Ý ¦c§î² ª ®I®I§%²)¥Þ¡ ¬ �¯µ�§:® ² ª ³�§%� ¹ ® ª ³ ®I§%¡�¢ «�à%«�¬c± ¥I¦Y¡N¥� Ç ó k ó o ó ô õ k o ô �I¡N¥ « �¯¸3§%�j¥I¦c§�² ª�¬ �¯¥¯®D¡ «­¬ ¥�� � Ç ø µë¦Y§ ¬ ¥I¦c§À§)»Å¥¯§:® ¬ ¡�¢��¯¥I¡N¥¯§%�¡N®I§ ª�¬c¨ �I¦c§%¢�¢ Ö Ú  Y®I¥I¦c§:®D³ ª ®D§�£ ± ¡�  ± § «�¬ °N¡N® « ¡ ¬ ²)§ « ³ © ¢ « §%��¥I¦Y¡N¥ Í � Õ �D¦ ª  Y¢�´�°N¡ ¬Y« �D¦µë¦c§ ¬ §:°�§:® � Ç���� Ö���<´ « �I²: Y�I�I§%´ «�¬ �I  · �¯§%²)¥ «[ª�¬ q ×ÅÖ g v £Y¥I¦c§:®I§ « � © ®I§%² « �¯§%¢ å ª�¬ §{�¯¥I¡N¥¯§ «­¬ ¥I¦c§{² ª ¦ ªN¨³ ª ¢ ª�± å ª�¹ �P¡N¥ à §:® ª ³ ª ³À§ ¬ ¥I 3³Ê¡ ¬ ´ ± ¦ ª �I¥ ¨�¬  Y³ · §:® ¥I¦c®I§:§Qµ�¦ « ²D¦ « � q ó�� y u5v)q ó� z u5vq ó�� � u5v)qGu � ynz#� u5v Ö��ªÛ«[¹õ k o ô qGu5v ÇÈÆ k o ô h u ��� k o ô � h �[�[� h q � y u5v k q � z u5v o q � � u5v ô qGu �5ynz#� uÅv�� h �[�[�[taq ºÅÖغ�Ü v

Page 30: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

��� �������������! #"%$'&(*)+(-,/.10!)324�0�56)87:9;�<=.1;

>@?=A=?1B�?CED A!B#C=F%GIH!J�K HLJ8M�H!J3NEO8PRQTSUF%GIH!J�K�H!J8M�HIO�V FXWZY[W�\ O]+^ (-,_9;�<=.1(-)3(*7 .U(`,_,�2ab;�4�,8c�dedf;�)84�(-gih ^ ;I.j0�5-5k;ml�)8;�4�.10�56,8)30!)8;I,+0!4�;n7 .�op, ^ ;I5-5b,3(`.1gm;F ?�qkr NEOmF ?qts NEOmF ?�q�u NEOmF%N q rvsmu NZOg�0�.1.7�)xwb;Uh+4�(*)8)8;I.y0�,x) ^ ;z,321ak;�4�,8cZd:df;�)84�(-gf{!0!4�(-0!)3(-7 .y7�|}0�~Z210�.E)3(*)pcyh ^ (-g ^ (`,0�.1.1( ^ (`5-0!)8;I9zwEc�� Y�� .19�) ^ ;�9;�<=.1(*)3(-7 .z(`,�� 0�2��;�(-.E{!0!4�(-0�.E)�,�(-.1gm;

F ?�q r NEOmF ?q s NEOmF ?q u NEOmF%N q rvsmu NEO��Q ���|�7�4�0�.Ec�� Y�� 7�)8;+) ^ 0!) FXWZY[W�\ O g�0�.xwb;�(-.�)8;�4�a143;�)8;I9f0�,R(-.E)8;���4�0!)3(*7 .x7L{�;�4v0�.x7 .�op, ^ ;I5`5^ 0!4�df7 .1(`g_,�2ab;�4�,8a=0�gm;/(-.E{�7 5*{�(-.��<1{�; N� ,�,�(-.1gm; >@? A ? B ? C D A!BLC�P (-,�a1437�ab7�43)3(*7 .=0�5E)87F_�� N q r O A F��� N q s O B F_�� N q u O C F_�� N q r�s�u �� N O D A!B#Ck� �3�b�iQ���F%����NEO A!BLC�D A!B#CV�FXWZY[W�W O�7�4�) ^ 4�;�;mo@ak7 (`.�)�,3g�0!)8)8;�4�(-.1���� Q >@? A �� A F%G   O ? B ��¡B F%G ¡ O ? C �}¢C F%G ¢ O8P ��(*)R(-,£;I0�,8c)87¤g ^ ;Ig�¥¦) ^ 0!)f) ^ ;�a143;I,�gm4�(*a1)3(*7 .y7�| FXWZY[W�\ O 43;�a14�7Z912=gm;I,�) ^ ;�21,3210�5�,32ab;�48oX§v0�.1�!o¨©(-5`5-,ig�2wt(-gn{�;�43)8;ml Y�ª .«) ^ ;�� 0�2��;x7�| FX\ZY-¬I­ O ��;I0�g ^ � A gm7 .E)84�(*wt2)8;I,�7 .;��b)ph_7z7�4) ^ 43;�; N1� , Y�ª |6) ^ ;�<1{�; N� ,�0!4�;�91(`,8)84�(*w=21)8;I9f0�, F®¬!JI¬!J�W O �7 .1;}��;�)3,_) ^ ;�¯1 r ¯E¡s ��° r ¯E¢ sL±{�;�43)8;ml©|'7�4i) ^ 43;�;�� 5-27 .1,I�1h ^ ;�43;I0�,�(*|²) ^ ;�c�0!43;�91(-,8)84�(-w=2)8;I9�0�, FX\ZJ�\ZJI¬#O �67 .;���;�)3,) ^ ; F'³   q r ³ ¡ O ¯ ¢r {�;�43)8;mlf|'7�4�)ph_7�� 5-2=(-.7 ,�0�.19x7 .;+� 5`27 . Y ] 7���;�) ^ ;�4�hi(*) ^f´ 43;I.1.17µ�0�5-5-(-5*7�b(*)}h_0�,�a14�7#{�;I.¶) ^ 0!)�) ^ ;f0!wb7#{�;xa143;I,3gm4�(*a1)3(*7 .«0!��43;�;I,�hi(*) ^ ) ^ ;f,8)30�.1910!4�9· �n¸ a=43;I,3gm4�(*a=)3(*7 .�7�|�¹ \ ºL» |'7�4 � o@ak7 (`.�)�de0�,3,35-;I,3,¼)84�;�;+0�dfa=5-(*)32=9;I,¼(-.E{�7 5*{�(-.��2a�)87|�7 24¼|�;�4�d:(*7 .1,v¹ \ � »@Y ]+^ ;R4�;I5-0!)3(*7 .n7�| FXWZY[\ � O )87i) ^ ;�· �n¸ de0�,3,35-;I,3,6{�;�43)8;ml�7�ab;�4�0!)87�4h_0�,/21,3;I9z(`.U) ^ (-,_a1437Z7�|½��0�.19z) ^ ;�43;I,8)84�(`gm)3(*7 .z7 .j) ^ ;n.E21d�wb;�4�7�|¼|';�4�de(*7 .1,_gm7 df;I,|�437 d¾) ^ ;f.;�;I9�|'7�4n91(À¿b;�43;I.�)�a=(-gm)32143;I,}(`.©) ^ ;f· ��¸ a143;I,�gm4�(*a1)3(*7 . Y �12143) ^ ;�4�df7�4�;��21,3(-.�x) ^ ;�d:0!a�|�4�7 dÁ7 .�op, ^ ;I5-56,3)30!)8;I,i(-.j) ^ ;nat243;n,8a=(-.17�4 ´ · ¸ ] gm7 ^ 7 df7 5-7���cz)877 .�op, ^ ;I5-56,3)30!)8;I,�(`.j) ^ ;�· �n¸ |'7�4�de0�5`(-,3d��(*)+h�0�,i0!4�� 2;I9©(-.y¹ \�W» ) ^ 0!)})843;�;�0�dfa=5`(Ào)3219;I,+(-.E{�7 5*{�(-.�fde0�,3,�(*{�;�,8)30!)8;I,�d�21,3)+0�5-,87e0!��43;�;�hi(*) ^ ) ^ ;�· ��¸ a=43;I,3gm4�(*a=)3(*7 . Y

à ÄÆÅxÇ+È�É6Ê3ËRÇ_É6Ê3Ì}ÈÍÌiζÉ6ÏxÐÒÑ�ÅfÓzÐ�Ô6Õ1ÉbÔ�Ê�ÈxÖ×Ê�ÈØÇ×ÙTÅxÔbÚ�Ð�ÛÜ Ç/Ý�Þ�ÖiÔ6Ì}ÅfÈxÛ� 5*) ^ 7 2� ^ (*)¼(`,¼.7�)�¥�.7Lhi. ^ 7Lhy)87�gm7#{!0!4�(-0�.E)35*c�~Z210�.�)3(-ß�;�) ^ ;�à ¸ ,32ab;�4�,3)84�(-.��I7 .1;g�0�.ágm7 .=,8)84�21gm)�) ^ ;zg�5`0�,3,3(-g�0�5�à ¸ ,�2ab;�4�,8)84�(-.1��0�gm)3(*7 .y(`.â0�g�243{�;I9yw=0�g3¥Z��437 21.19 Yª ) ^ 0�,:wb;�;I.ã, ^ 7Lhi.ä) ^ 0!)zh ^ ;I.å) ^ ;�w=0�g3¥Z��437 21.19æ<1;I5-9=,e,30!)3(-,8|'c¦) ^ ;I(*4U7 .�op, ^ ;I5`5

Page 31: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

ç¼è�éIê%ë�ì3è�í�î!ïäðRî!ñ!ò!ì�ó%ò!ïtê�ô�ë1ò!ïtê%ó*õ#ò�ê%ó%î�ïâî®ö�ê'÷�è�ø1ëLùè�ì�ímê%ì�ó'ïEú û üýIþEÿ��������������� �����ý���������ý��������������� ý"!� �������!��� #�$���� ���� ý�ý�����!%������&����'�)(����������*�ÿ����ý��,+.-/�021,1fý�����0�3546����ý�(�ý����67ký�!���ÿ88ý9��:nþEÿ8���)����;���������=<�����7> *ý�1"��$���,��"�����? �.���6�@ .�A�B����!%�1C<tÿ.�8ýD� � !%�����3ý�!%�������E���F�� ýD78��! ?*G ��� ÿ8����ýIþEÿ����������H��:81C��������ÿ����� G �� ýJILKM:N����1"�� ����1O3

P Q�6�� ' .7bý6�3ý�(R�*ý��_ý��S ý���ý��*��ýF!����zÿ�8ý6�� 1ýT<=ÿ��3ý6�<8�'�.���Q�ý��!%����<�������"���U!%��R-�����ÿ�!%�����V������ �� G � ÿ����!%�������:N������ ý,3ÿ�<ký��W�������� G ���X�9!�ÿ.��(�ý��X78��! ?2G ��� ÿ��8�Y3"Z[��� ���\!���8ý��.!� �������!��� 8]D^FKR_`���*(�����������!mýa�6�' � .��1C<8 �0L�� ýT��R-/� ý� � 1ýIþEÿ����������\:N���Q�� 1ý78��! ?2G ��� ÿ����b���M ��A�_ý���c�����ý��F���b� � 3cKR����!mý�þEÿ8���)����;���������b��T�������� G *��:N�����$���W�«ÿ��-��� G �� ýJ<=ÿ.�3ýJ�<8���.���T�ý��!%����<8������Y����ýU!����b���A�d!%�1C<=ÿ.�8ý@� � !%�����3ý�!%�������T���S�� 1ý78��! ?2G ��� ÿ����UýIþZÿ����������Q7*0C��ýIþEÿ�������� G þZÿ����)�3ÿ81e]D^cK._`���*(f���W������!mý6��:Y�� 1ýT��!%������Y3g ���8ýU�� ����F���9�� ýJ<=ÿ.�3ýJ�<8���.���T�ý��!%����<8������Y���� ý�ýIþEÿ8���������c!%�1"��� G :h���1i!� ������j-!��� Q]D^cK._k���*(f���W������!mý,���3ýzý%lR<ký�!%�8ý��V���m��1C<8 �0b�� ����U�� ýS��!%������n��J!%��.:h���W1"�� � �0���)(����������*�U���X��ý%-/ ��2��<n���W�ý���3nKR�'��!mýS�� 1ýo��1ý%-/ ��*��<p7bý����q:%ÿ���!%������V(f���8��� ý���\�����r8ý������78 *ýF���S�� ? ��:s�� ý���ýL���3ýLt>�����8ý�!%�����3ý�!%�������r���S�� ý�78��! ?*G ��� ÿ8����ýIþZÿ����������!%�1"��� G :N���1u��ý%-/ ��2��<�]D^cK._v���)(����������8!mý�3QKR��1"�� '���� �0��)wx-/ ��*��<9]D^cK._y���*(f�����'����!mý��_ý%l2<bý�!%�8ý��O���"��1"<8 �0�zNw"{`|A}/-/ ��*��<9!%��.:N����1"�� Y�'�)(�����������!mýc��:E�� ý���!%������Y����C�� ��'1fý��� .�R�9!����9���M<��W����!���<8 -ý67býný%l2�8ý��8�ý��9���,�� ' x�����ý���r�'�9� � 3~\�/� �q�>������������a�.���M���8���>�����#�5���.�����y�Y���k�.���Y���f���R�Y�T�M�V�H�

�/�s���x�)�/�Y���R�_r ýc:N��!%�D�� ����D!� ������'!��� �]D^FKR_��'�)(�����������!mýF���,�� ýF<=ÿ.�3ýc�<8���.���$�ý��!%����<�������,�'Q��ý%- ����8ý��,���C+R-/�021"1eý�����0"���C�� ý�I�K"�ý��!%����<8������"!����o7býiÿ����ý��W����*�R�C720"!%�1C<=ÿ.���'� G�� ýS�E��������7�����! ? ý���U��:r ¢¡¤£"¥8¦.§ ¦ �T���� X�� ý"�$���� ��8� ý�ý���t1ý� '���39¨F�ý"t8�8���� ����©�ªE«>¬ ¡y¥.­ ¬6®�¯ ©�ªH® ¦ ¡y¥ ¦ ¯ ©�ª § ¦ ¡d°6± ¬ zh­ ¬ ¥�} ¦ ¯ ©�ªE² ¦ ¡5§ ¦ ¯ zN³.3�|A}

�6 ���!W M�3ý�8ý�1J78 *ý��� ýJ+.-/�0R1"1fý�����0o���������:N����1"���������©A«8¬ ¡�´f­ ¬c®.¯ ©�® ¦ ¡�´ ¦ ¯ zN³.3¶µ}

�6 ý��3ý"´ ¦ ¡u± ¬ zh­ ¬ +>} ¦ 3 P L� .���6��720&¨F���9���8��_���8���`· ³)¸f¹��E�� ������ý� ���������&�'ÿ�8ý�:%ÿ� �:N���$!%��8�����ÿ�!%����� G ]D^cKR_a-/���)(����������*����!%������8Q:N���1u+R-/���*(����������*�DI�K,��!%��������3Z�:��� ý,I�Kb��!%������&ºY»Y¼b��������t1ý� © ºY»Y¼b¡¾½zÿ8���ý��CzN³.3¶µ}�ÿ.<b���M�� ý@¿F������������

!%�������������*�"± ¬ ± ¬ ¡À½m�6 ý��B´ ¦ ¡Á± ¬ zh­ ¬ +�} ¦ ���� ý��p�T ý��B´ ¦ �'C����78����������0��© ºY»Y¼Â¡ £ §*ÃÅÄ)± ¬ zN´�­ ¬cÆ }M:h������1fý Æ ¦ 3iKR�'��!mýVºY»Y¼v��O�'���ý�<bý����ý��*�M��:U§ ¦����� ² ¦ �$�� ���"��1"<8 ��*ý�U:N���1ÇzN³.3�|A}"�� ����"�� ý�]D^FKR_¤�������8�:h���W1"��������p��:LºY»Y¼p�'

Page 32: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

È�È ÉJÊ�ËcÌ�Í�Î�Ï�ÐAÑ�ÒNÓ

Ô�Õ\ÖY×YØ�ÙÛÚ@Ü)Ý�ÞßTàUá�â.ã>àFä6åWæ�çFè.é9ê�ë�è=ì�í.é�î�é�ïNð�î�é�ñ.é�ò8è�éMë&ê�ó�ë�ô�ô�õ�ê�ë�ó'ó�ö&÷DøcùRúaûõ�è)ü�ë�î�õ�ë�è*ìrë�ê%ì�õ�ðè9ë�ô

ÖYý�þ Ø�ÿ ÙyÖ ×YØ���� Ü Ý Þ*Ô Õ á�����ä � å á��.æåÙyÖY×YØ � � Ü Ý Þ�� Ü � ä � � � � Ô�Õ#ä �� ��

�Tó�ì�í�ð����í�� Ý Ù��Xè�ë�õ�ü�é�ó�önõ����8ó�õ�é�ôUì�í�ë�ì Ú Ü Ý Þ)Ô�Õrá�� � ä � åUõ'ô"÷DøcùRú¤õ'è)ü�ë�î�õ�ë�è*ì� öqõ�ì�ô�é�ó�ï �xðè.é"ê�ë�èXê�í.é�ê"!mïhî�ð�� á��.æ$#Aåcì�í8ë�ìLÔ�Õ#Ô�Õ%� � Ù'&rß à áhã à â�å � �)( ð�ì�éCì�í�ë�ìô*��ê�íXë9ì�î�ë�è�ô�ïNð�î"�"ë�ì�õ�ðèmïNð�î+� � õ�ô�è.ð�ì�õ'è�ê%ðè�ô�õ�ô�ì�é�è)ì-,6õ�ì�í.��ÝUÙ/�Oô�õ�è�ê%é"Ô0� � Ù&rß6àUáhã à â�å � õ�ôaë1�ë2����é�ì�î�ë�è�ô�ïhð�î"�,ë�ì�õ�ðèOð�ïHì�í.é�ì/ö��xéLñ�õ�ô�ê3��ô�ô�é�ñMõ�è�á42æ$#05�åWærù2ð

Ô�Õ#Ô�Õaá�� � ä � å�Ù¾á Ô�Õ#Ô�Õ%� � å[ä � Ù6&rß à á�â.ã à ä6å87,6í�õ�êWíOõ$���8ó�õ�é�ôQì�í8ë�ìcÖYý�þ Ø�ÿ ð�ïrá��.æåaõ'ôr÷DøcùRúDû/õ'è)ü�ë�î�õ�ë�è*ì�æ9 ìMê�ë�è � é�é�ë�ô�õ'ó�ö=ê�í.é�ê"!�é�ñvì�í�ë�ìMì�í�õ�ôoê%ðè�ô�ì�î8��ê%ì�õ�ðè�ð�ï@ÖYý�þ Ø�ÿ ë:��î�é�é�ô;,6õ�ì�íì�í.éqô"���xé�î*�8ë�î�ì�õ�ê�ó�é�ë�è�ñ�ô*���xé�î�ô�ì�î�õ'è���ë�ê%ì�õ�ðè�ôMê%ðè�ô�ì�î8��ê%ì�é�ñ<��ô�õ�è��=���.î�éqô>�8õ�è�ð�î�ô�æ? ð�î@éA@Rë2���>ó�é2�#ïhð�îUì�í.éMí.é�ì�é�î�ð�ì�õ�êMô*�B��é�îWô�ì�î�õ�è��9õ'è&ë�ènðèRû/ô�í.é�ó'ó�ô*���xé�î�û4C�ë�èB��ûED�õ�ó'ó�ô� ë�ê*!���î�ð���è�ñF�

ÖY×YØ,ÙyÖ)GIHKJ � � Ü Ý Þ��MLON ��PRQ� � ß àTS Qà �UV Q á��.æM�*å

,6í.é�î�é,ÖWGIHEJaõ�ôFñ.é�ò8è.é�ñXõ'èBá42æ$#Aå8� UV Q ë�î�éCì�í.éCî�õ$�í)ì[ûK�Cð�ü2õ'è��YXTZ\[]XRZUð�îJÖ_^"á42`åê3�.î�î�é�è*ì�ô3�Ba"õ�ôaë�bsõ�é�ë�óc��é � î�ë@õ�è8ñ.éA@d�.ë�è�ñ P � ë�è�ñ S à ô�ë�ì�õ�ô�ïhömá4`2æ$#2#AåDë�è�ñ�á4`2æ$#IåWæçFè.éCê�ë�è.��ô�é9á��.æ`åcì�ð2��é�ì�í�é�î�,6õ�ì�ímÔ UV Q Ùe&gf4hW� P � 7 UV Q ì�ð9ê%ð����O�.ì�éCì�í�ë�ìLä � ÙUL�N � ��i �2Q UV Q ,6í.é�î�é i � õ�ô6ñ.é�ò8è.é�ñOõ�è�á4`2æ$#IåWærù2ð

Ö ý�þ Ø�ÿqÙyÖY×YØ � �uÜ Ý Þ,Ô�Õaá�� � ULdN � � � � i �2Q UV Q å á��.æjåÙyÖ�×YØ � � Ü Ý Þ�� Ü � ULON � � � � ULxâ � � á�Ü � i �2Q � � � â�kxá4l k i � å Q å UV Q

Ù � Ü Ý ÞO� #` LBm à ULOm à �on � ULON � � ��� ULxâ � � á4L�N �pPqQ� � ß àTS Qà � Ür� i �2Q � #`Ws àutpv àwt Q å UV Q 7

,6í�õ�êWí�õ'ôSì�í�é]�O�.î�émô>�8õ�è.ð�îMü�é�î�ô�õ�ðè�ð�ïJì�í.éXí.é�ì�é�î�ð�ì�õ�êXô*���xé�î�ô�ì�îWõ�è��&ë�ê%ì�õ�ðè õ�è�ëô*���xé�î�û4C�ë�è���ûEDbõ�ó�ó�ô � ë�ê"!r��î�ð���è�ñYæ

Page 33: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

xzy"{I|~}p�*y��\�:�����:�:�:���~�:�O|q��}B�:�O|~�c�0�2|~�~�2������|��py��B}���y3�"�A|~�8���r� �2��_��� �Y�g�O� �:¡_�g�B¢r�0£2¢¥¤E�_¦¨§)�u©��:¡u�g�B¢¥��ª_«¬«¬��£2¢¥¤E­¯®;°F¢r�²±�³´�_µ���¶E©·��¸²¡_§O±£2¤K°z�u�¹qº2»3¼¾½B¿�À>»3»IÁÃÂ2»IÄ:¼"ÅÆÄ:Ç2È�É�ÊcÀ;ËoÄ2ÅÆÅ*Ì�È�ËTÁ<À*ÌBÄ:À¾È�Á�»AÍKÎ$ÈrÈ2ÏÑÐAÈ�ÁB¿�È2¼"Ò¯Ä2ÎÓÊ$Árº´Ä:¼"Ê�Ä2ÁBÐA»È2¿TÀ*Ì�»;ÔWÈ�Å>È�ÁBÊ$ÐÕÈ2ÏW»IÁÖÅ>À>¼"Ê$Á�ǨÊ$ÁÖÄ2ÁÖ»IÎc»IÐAÀ>¼*È�Ò¯Ä:Ç�Á�»3À*Ê$Ð;Ô�Ä2Ð"×rÇ2¼*È�Ø�ÁBÙ·Ê$Ò�Ï�Î�Êc»IÅÓÀ*ÌBÄ:ÀÀ*Ì�»�Ô�Ä2Ð"×rÇ2¼"È�ØBÁBÙ¨Å*Ä:À*Ê$Å>½�»IÅ�À*Ì�»ÛÚoÈ2¼"ÁpÍ�Ü�Á�¿�»IÎ�Ù¾»IÝ�ØBÄ:À*ÊcÈ�ÁBÅ3ÉdÄ2ÁBÙ]ÌBÊcÇ�Ì�»3¼>ÍKÎ$ÈrÈ2ÏÞÐAÈ�ÁB¿�È2¼>ÍÒ1Ä2ÎzÊ$Árº:Ä:¼"Ê$Ä2ÁBÐA»�Ê�Ò�Ï�Î$Êc»IÅgÌ�ÊcÇ�Ì�»3¼>ÍKÙ�»3¼8Êcº´Ä:À*Ê$º2»�ÐAÈ2¼*¼*»IÐAÀ*ÊcÈ�Á�ÅTÀ>ÈÕÀ*Ì�»IÅ>»\»IÝrØBÄ:À*Ê$È�ÁBÅ�ß à¥á´â�ãä È�Ëw»3º2»3¼IɲÔW»IÐ3Ä2ØBÅ>»¯È2¿oÏ�¼*È2Ô�Îc»IÒ1ÅÓËTÊcÀ*ÌåÙ�»IÅ*ÐA¼8ÊcÔ�Ê$Á�Ç;¿�»3¼"Ò1ÊcÈ�Á�Ê$Ð\Ô�Ä2Ð*×�Ç2¼*È�ØBÁBÙ�Å3ÉzÀ*ÌBÊ�ż*»IÅ*ØBÎcÀ+Ë�Ä2ÅÓÇ2»IÁB»3¼"Ä2Î$Êcæ3»IÙ�È�ÁBÎcÂ]À>ÈÞÀ*Ì�»1ÔWÈ�Å>È�Á�Ê$Ð�Å>»IÐAÀ>È2¼ÛÈ2¿gÅ*Ø�ÏW»3¼"Å>ÂpÒ1Ò�»3À>¼"Ê�Ð\ÚoÈ2¼"Á�ÍÜ Á�¿�»IÎ$Ù¨À*Ì�»3È2¼"Â.ØBÅ*Ê$Á�Ç;À*Ì�»èçTÄ2Ò�È�Á�ÙpÍKéT»3º2»IØ�Í êpÐ"ÌrËoÄ:¼"æÕ¿�È2¼"Ò1Ä2Î$Ê�Å*ÒëÈ2¿�À*Ì�»¯È2ÏW»IÁ.Å*Ø�ÍÏd»3¼8Å>À>¼"Ê$Á�ÇYß àrì�â�ãuíqÎcÀ*Ì�È�ØBÇ�Ì;¿�»3¼"Ò¯ÊcÈ�ÁBÊ$ÐRÔ�Ä2Ð*×�Ç2¼*È�ØBÁ�ÙBÅgÐ3Ä2Á¾ÔW»+Ð3Î$Ä2Å*Å*Ê�Ð3Ä2Î$Îc¯Ù�»IÅ"ÐA¼"ÊcÔW»IÙØBÅ*Ê$Á�ÇÆÀ*Ì�»Þîq¼*»3»IÁpÍ ê�Ð"ÌrËoÄ:¼*æ;¿�È2¼"Ò1Ä2Î$Ê�Å*ÒïÈ2¿RÀ*Ì�»;Å*Ø�ÏW»3¼"Å>À>¼"Ê�Á�Ç�É%Ý�ØBÄ2ÁrÀ*ÊcæIÄ:À*ÊcÈ�ÁÖÏB¼"È2Ô�ÍÎc»IÒ1Å\ÌBÄIº2»èÏB¼*»3º2»IÁrÀ>»IÙ·ÐAÈ�Ò�Ï�Ø�À*Ä:À*Ê$È�Á�È2¿�À*ÌB»¯»IÝ�ØBÄ:À*ÊcÈ�ÁBÅÛÊ$Ò�ÏOÎ$Êc»IÙ¨Ô�Â.È�Á�»AÍKÎcÈ�È2Ï=È2¼ÌBÊcÇ�Ì�»3¼>ÍKÎ$ÈrÈ2ϨÐAÈ�Á�¿�È2¼"Ò1Ä2Î�Ê$Árº´Ä:¼8Ê$Ä2ÁBÐA»2ãÓéR»3º2»3¼*À*Ì�»IÎc»IÅ*ÅIÉzÊcÀ+ÌBÄ2Å-ÔW»3»IÁ¨Ä:¼*Ç�Ø�»IÙ¨À*ÌBÄ:ÀÓðpÍÅ>Â�Ò¯Ò�»3À>¼*Â�È2¿qÀ*Ì�»YÐ3Î$Ä2Å*Å"Ê$Ð3Ä2ÎTîq¼*»3»IÁpÍ ê�Ð"ÌrËoÄ:¼*æÆÅ*Ø�ÏW»3¼"Å>À>¼"Ê�Á�ÇÞÄ2ÐAÀ*ÊcÈ�Á�Ê�ÁñÄ2Á Ä:Ôd»IÎ�Ê$Ä2ÁÔ�Ä2Ð*×�Ç2¼*È�ØBÁBÙ Ê$Ò�Ï�Î$Ê$»IÅ�À*ÌB»ÞÄ:ÔW»IÎ$Ê$Ä2Á·Å*Ø�ÏW»3¼"Å*Â�Ò1Ò1»3À>¼"Ê$ÐèÚwÈ2¼8ÁpÍ�Ü ÁB¿�»IÎ$ÙÖ»IÝ�ØBÄ:À*ÊcÈ�Á�Å�¿�È2¼À*Ì�»ÓÔ�Ä2Ð"×rÇ2¼*È�Ø�ÁBÙ�ß à � âEß à � â�ãò Å"Ê$Á�Ç1À*Ì�»�Ï�Ø�¼*»ÓÅ*Ï�Ê$Á�È2¼TÙB»IÅ*ÐA¼"ÊcÏBÀ*Ê$È�Á;È2¿�À*Ì�»�Å*ØBÏd»3¼8Å>À>¼"Ê$Á�Ç�ÉpÏ�ÌrÂpÅ*Ê$Ð3Ä2ÎzÅ*À*Ä:À>»IÅRÄ:¼*»Ù�»3½�Á�»IÙYØBÅ"Ê$Á�ÇÛÀ*Ì�»�Îc»3¿�À�Ä2ÁBÙ;¼"Ê$Ç�Ì¥À�ÍKÒ�È�º�Ê�Á�ǯÚ�çqêpóÃÐ8ÌBÄ:¼*Ç2»IÅ

ôöõø÷úùrû_ü�ýBþBù þBÿ Ä2ÁBÙ �ôöõø÷úùrû_ü �ýBþ �ù þBÿ ü�à�ãá ÿËTÌ�»3¼*»qù þ Ä2ÁBÙ �ù þ Ä:¼"»qÎc»3¿�À�Ä2ÁBÙ¯¼8ÊcÇ�Ì¥À�ÍKÒ1È0ºpÊ$Á�Ç\ËwÈ2¼"Î�ÙBÅ*Ì�»3»3Àwº´Ä:¼"Ê�Ä:Ô�Îc»IÅw¿�È2¼oÀ*Ì�»+é-õ��� õ����ÕÅ*ØBÏd»3¼8Å>Â�Ò¯Ò�»3À>¼"Ê$Ð-Ù�»3¼"Ê$º´Ä:À*Êcº2»IÅRÄ2ÁBÙ]ý þ Ä2ÁBÙ �ý þ Ä:¼*»�Î$»3¿�ÀTÄ2Á�Ù¾¼"ÊcÇ�ÌrÀ�ÍKÒ�È�º�Ê$ÁBÇÏ�Ø�¼*»+Å>Ï�Ê�Á�È2¼gº´Ä:¼8Ê$Ä:Ô�Îc»IÅgÅ*Ä:À*Ê�Å>¿�ÂpÊ$Á�Ç

ý��þ � ý � õ �ý þ ��þ � �ý � õ�� ü�à�ã ì ÿ¿�È2¼�� õ��ÓÀ>È � ã_íRÅuËoÄ2ÅoÅ*Ì�È�ËTÁ1ËTÊ$À*Ì��qÎ�Ä2ÙBÊ$Ò1Êc¼��%»3¼"Å*Ì�Ê$Á)É¥Ð3Î$Ä2Å"Å*Ê$Ð3Ä2ÎBÚ�çqê�ó Ê$Árº´Ä:¼8Ê ÍÄ2ÁBÐA»�È2¿wÀ*ÌB»�È2Ïd»IÁ¨Å*ØBÏd»3¼8Å>À>¼"Ê$Á�ÇèÊ$Á¨Ä;Ô�Ä2Ð*×�Ç2¼*È�ØBÁ�Ù.Ê$Ò�Ï�Î�Êc»IÅ�À*ÌBÄ:À+À*ÌB»�Ô�Ä2Ð*×�Ç2¼*È�ØBÁBÙ½B»IÎ$ÙBÅ;Å*Ä:À*Ê$Å*¿�¬À*Ì�»å¿~ØBÎ$ÎqÁ�È�ÁpÍKÎ$Ê$ÁB»IÄ:¼;Å"Ø�ÏW»3¼"Å>ÂpÒ1Ò�»3À>¼"Ê$Ð]ÚoÈ2¼"ÁpÍ�Ü�Á�¿�»IÎ$Ù¬»IÝrØBÄ:À*Ê$È�ÁBÅYÈ2¿Ò�È2À*ÊcÈ�Á)ã6ó�ÌBÊ$ůËoÄ2Åèº2»3¼"Ê$½B»IÙ Ô� ÐAÈ�Ò�ÏOØ�À*Ê$Á�Ç=À*Ì�»ÆÔWÈ�ØBÁ�ÙBÄ:¼*ÂÖÐAÈ�ÁBÙBÊcÀ*ÊcÈ�Á�ůÈ2¿ÓÀ*ÌB»È2Ïd»IÁ¯Å*Ø�ÏW»3¼"Å>À>¼"Ê�Á�ÇRËoÈ2¼"Î$Ù�Å*Ì�»3»3À�º:Ä:¼"Ê$Ä:Ô�Îc»IÅ�Ê�Á�À*Ì�»�ÏB¼"»IÅ>»IÁBÐA»gÈ2¿WÀ*Ì�»�Ô�Ä2Ð"×rÇ2¼"È�ØBÁBÙ1Ä2ÁBÙÅ*Ì�È0ËRÊ$Á�ÇÛÀ*ÌBÄ:À�À*Ì�»�Îc»3¿�À�Ä2Á�ÙY¼"ÊcÇ�ÌrÀ�ÍKÒ�È0ºpÊ$Á�Ç1Ú�ç-êpóøÐ3Ø�¼*¼"»IÁ¥À*Å�Å"Ä:À*Ê$Å>¿�Âý þ ù þ õ �ý þ �ù þ ü�à�ã � ÿÈ�Á¨À*Ì�»�ÔWÈ�ØBÁ�ÙBÄ:¼*¾Êc¿uÄ2Á�ÙÆÈ�Á�ÎcÂÞÊc¿�À*Ì�»ÛÔ�Ä2Ð"×rÇ2¼"È�ØBÁBÙ¨½B»IÎ$Ù�ÅRÅ*Ä:À*Ê�Å>¿�ÂÞÀ*Ì�»�Å*Ø�ÏW»3¼"Å>ÂpÒÛÍÒ�»3À>¼"Ê$ÐRÚwÈ2¼8ÁpÍ�Ü ÁB¿�»IÎ$Ù1»IÝrØBÄ:À*Ê$È�ÁBÅ_È2¿FÒ�È2À*Ê$È�Á)ãwêpÊ$ÁBÐA»-ý þ ù þ Ê$ÅuÎ$»3¿�À�ÍKÒ�È�º�Ê�Á�Ç�Ä2ÁBÙ �ý þ �ù þÊ$ÅT¼8ÊcÇ�Ì¥À�ÍKÒ1È0ºpÊ$Á�Ç�É����� ü�ô�� �ô ÿ õ��Ûùrû����� ü�ý þ ù þ�� �ý þ �ù þ�ÿ! êpȨü�à�ã � ÿ Ê$Ò�ÏOÎ$Êc»IÅgÀ*ÌBÄ:À

Page 34: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

" # $&%('*)�+-,/. 0�132546�798/:;:;<96�8/7>=@?BADCE<9FHG 8 I-<98/FJ6LKM<N:POJI;KQ:RK�I-G/KQS�<9FUT;VKMOJI;KQ:RKQFJ6LKMW/XYT;VJKZW/O[KQF\:;]O[K�I-:;TRI-<9F^_ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJS(bZcd7eT;VJWa]^aVf:;<9g�<9798 IhI;KQ:;]J79T;:i6�8/F _ KUW _ T;8/<9FKQSf]j:;<9F^lkDmn:;oYglglK�TRI;op<NFT;VKi6�798/:;:;<96�8/7q*I;K�KQFmrAD6-VHs@8 I-tiXuW/I-g�8/79<9:;gwvxT;VJ<9:yOj]I-K@:RO�<9FW/Iy8 OjOJI;Wa8/6-V�Vj8/:yT;VJKh8/SmGx8/FHT;8 ^/KzW/X�8/7N7eW�s{<NF^{T;VKi6LWag�O�]T;8 T;<eWaF|W/X�Vj<e^aVK�IRmnSK�I!<eGx8 T;<9G/K�6LW/I;I;KQ6LT;<9WaFJ:�T;VI;Wa]J^aVT;VK�I;KQ}Y]J<eI;KQglKQF>ThW/X�}H]j8/F>T;]Jg~=h?BADC�<9FHGx8 I!<98/FJ6LK/bCzVK��JI-:RTp:RTRK�O�<9F�6LWag�Oj]T;<9FJ^�T;VK�KQ}H]j8 T;<eWaFJ:�<9g�Oj7N<eKQS _ o�6�798/:;:;<96�8/7*=h?*ADC<9F>G 8 I-<98/Fj6LK{<9:ZTRW|SK�TRK�I-g�<9FKzT;VKB8 OJOJI-W/OJI-<98 TRK _ Wa]JFjSJ8 I;o|6LWaFJSJ<eT;<eWaFj:�XuW/I@T;VK*W/O[KQF:;]O[K�I-:RTRI-<NF^ls@W/I-79SJ:;VJK�K�T*G 8 I-<98 _ 7eKQ:d<NF�T;VJK�OjI;KQ:RKQFJ6LK|W/X@T;VK _ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJS(b\?zKQ6�8/797T;VJ8 ThXuW/IiT;VK _ Wa:RWaFJ<N6d:RTRI!<9F^|<9F�8/F�KQ79KQ6LTRI;Wagl8 ^aFK�T;<96 _ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJSPvT;VJKB�dKQ]Jgl8/FjF_ Wa]jFJSJ8 I;o�6LWaFjSJ<eT;<eWaFJ:�����j����� # 8 I;K&g�WYSj<e�JKQSpTRW��j� � � ��� �M�B�� � �5� b "a�s{VK�I;K � �M� <9:lT;VJK�KQ7eKQ6LTRI;Wag�8 ^aFK�T;<96��JKQ79S�:RTRI-KQF^/T;VPb��W/IpT;VK _ Wa:RWaFj<96f:RTRI-<NF^vT;VKQ:RK�g�WDSJ<e�JKQS _ Wa]JFJSJ8 I-o�6LWaFJSJ<eT;<9WaFJ:hSW�FW/Tz8x��KQ6LTd6�798/:;:;<96�8/7P=h?BADC�<9FHGx8 I-<N8/FJ6LK:;<9FJ6LK �5� b "a� TRW/^/K�T;VK�IUsd<eT;V � ��� ���z� �x� <Ng�Oj79<eKQ:hT;Vj8 TdT;VK|7eK�X5T�mng�W�GD<9F^p:RTRI;KQ:;:RmTRKQFJ:RW/IB  �¢¡£ � �j� � � � I;KQgl8/<9Fj:dKQ}Y]J8/7¤TRW�T;VK|I-<e^aVHT�mng�W�GD<9F^�:RTRI;KQ:-:�m¥TRKQFJ:RW/I�¦  �¡£�§� � � §� � � WaF�T;VJK _ Wa]JFJSj8 I;o�sdVK�I;K � � ���¨�© ��Q� 8/FJS §� � ���¨ � ��Q� bªAYW _ oSK��jFJ<9FJ^UT;VK*79K�XuT@8/FJS�I!<e^aV>T�mnglW�GD<9F^\I-K�Oj8 I-8/g�K�TRK�I-<9tQ8 T;<eWaFp^aVWa:RT;:@TRW�:-8 T;<9:RX5ol« � ¦«8/FJS�¬ � ¦¬iWaF�T;VK _ Wa]JFJSJ8 I;o/v>WaFK*<N:Z^a]J8 I-8/FHTRK�KQSpT;VJ8 T@T;VKd7eK�X5T�8/FjSlI-<e^aVHT�mng�W­GY<9FJ^=@?BADC®6�]JI;I;KQFHT;:M6LWa<9FJ6�<NSKzWaFlT;VJK _ Wa]JFJSJ8 I-o&<9F�T;VJK{OJI;KQ:;KQFJ6LK{W/X[T;VK _ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJS(b¯ W­s�K�G/K�I�vHX5W/I°T;VKi:;]O[K�I-:RTRI-<NF^d]J:-<9F^{T;VJK@O�]I;Kh:ROj<9FW/I¤X5W/I-gl8/79<9:-gwv T;VK _ Wa]jFJSDm8 I;o�6LWaFJSJ<9T;<eWaFJ:zWaF�T;VK�s@W/I-79SJ:;VJK�K�T{G 8 I-<98 _ 7eKQ:*<9F�T;VK&OjI;KQ:RKQFJ6LK�W/XM8 _ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJSSW�FW/T\8/]JTRWagl8 T;<96�8/797eoª<9glOj7eo�T;Vj8 T�T;VK�79K�XuT\8/FjSªI-<e^aVHT�mng�W�GD<9F^�=@?BADC±6�]I-I;KQF>T;:6LWa<9FJ6�<9SK�WaFET;VK _ Wa]jFJSJ8 I;o/b�cd:\s{<9797 _ KlI-K�GY<eK�s@KQS�VJK�I;K/v�²j³´ ³ � ¦²J³ ¦´ ³ WaF�T;VJK_ Wa]jFJSJ8 I;o�<eX�8/FjS�WaFJ7eo|<eX�T;VK _ 8/6-`H^/I;Wa]jFJS�:;]JO�K�I-�JKQ79SJ:°:;8 T;<9:;Xuo�T;VK{:;]JO�K�I!:RoYg�g�K�T�mI-<96U=@W/I-FDm¥µ�FX5KQ79SpKQ}H]J8 T;<9WaFJ:iW/X�g�W/T;<eWaFPbµrF�8 _ 8/6-`H^/I;Wa]jFJSPv[T;VK|W/O[KQF�:;]JO�K�I!:RTRI-<9F^�8/6LT;<eWaFª]J:;<9FJ^�T;VK|Oj]I-K&:ROj<NFW/I*SJKLm:;6LI-<eOJT;<9WaFp<N:d¶ � ¶[· ©�¸ s{VJK�I;K¶[· �¹� º»½¼ ¾ ´>¿´ �@À ºÁ � � � §� � � ©� ³ §�jà ³ © ¦Â ³ � ¦Ã ³ ©ªÄ ³ §� ² ³ © ¦Ä ³ � ¦² ³¤Å �5� b º�#>�<9:�T;VKf8/6LT;<eWaF�<9FÆ8�Çj8 T _ 8/6;`Y^/I;Wa]JFJSÈ8/FJS ¸ <9:|T;VKw:;]O[K�IRmÊÉ�8xËDs�KQ797h<9FHTRK�^/I-8 TRKQSG/K�I;TRKLË&W/O[K�I-8 TRW/I�SK��jFJKQS\<9F �ÍÌ b Á Ì � bZ=@K�XuW/I;Ki6LWag�O�]T;<9F^dT;VK _ Wa]JFjSJ8 I;oB6LWaFJSJ<eT;<eWaFj:WaFªT;VK�s@W/I-79SJ:;VJK�K�T*G 8 I-<98 _ 7eKQ:B<9F�T;VK�OJI;KQ:;KQFJ6LK|W/X ¸ v½<eTU<9:U6LWaFHG/KQFJ<eKQFHT�TRWf8/SJS�8:;]I;X38/6LK\TRK�I-gζ[ÏhTRWpT;VK&8/6LT;<9WaF�:;]j6-VfT;Vj8 TU¶ � ¶[· © ¶[Ï{<9:zgl8/FJ<9XuKQ:RT;79o�<NF>G 8 I-<98/FHT]JFJSK�IiT;VK�� � º�Ð � º�# :;]O[K�I-:RoDglg�K�TRI;o�TRI-8/FJ:RX5W/I-gl8 T;<9WaFJ:Ñ�à ³Ò ��Ó ³�Ô Ñ � � � ºÁ à Ò(Õ � Ó Ô Ñ­Ã ³Ö � # Ô �5� b º/º��

Page 35: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

×½Ø-ÙQÚ3ÛDÜ;ØÞÝ�ß à�á�ß â ã ÜÞä3ã à�Ú*åhÛJã à�Ú3äeæ�ã/Ú3ä3ß/à�ß�ç\Ú5èDØ&éJÛ­êØ�Ü-ÝLÚ3Ü!ä5àHë ìDíî{ïð�ñ;ðlòaóô�õ ö÷ øjù òaó|úüûòaóDý!þ�ÿ����Rð��;ï��������;ï�� ���aï���������������� ñ��������������ð�ñ ù�� þ í/í ý��� �����!�;ïð#"$���&%�� ������� ñ�')(*� ������ �� �$�@ò ó+ õ-,�. /$0�õ2143 ��5���&�����5�����6� ñ7�����8�&�����Jð�ñù�� þ í/í ý&9��/ñ�:��/ñ;ð��/ð;�ð�ñ7��<%�� ������� ñ�'=(*� ������ ��� ����þ?>��­î�ð@�/ð�ñ 3 ��iî&���A�;ï��­î��B���DCFE � G�;ï����?%�'!(-ï��H� � �������JIK��L$LJñ ��LJñ��M���Rð;' 3 � �ðA(@���):)��N/ðO� õ ���4PQ��IK�����6� ñ7�����8�R�����Jð�ñù�� þ í/í ý�9��/ñ!� ñ�%$��Rñ�� ñ 'S%�� ������� ñ�'T(*� ������� �� ����þVU��ñ �;ïð�ñ7:��/ñ;ð 3 �������(*� ���/ð;���eð;�����W�:��H�$�9X'��;ïð��/ð�ñ �Rð*YB��L[ð�ñ����W�/ñ[Z\�W�Z õ^]ò ó_K` ó ù /ba ò _ ýcP�d 0_Ae 0 ù /ba ò _ ý;P)f _óhg ó ù /ia ò _ ý;P íE<j 0hk_ml 0nk ù /ia ò _ ý ù�� þ í Eaýî{ïð�ñ;ð��;ïðoP�pHqr���$�ð*YD�ð;�����Rð;�!�;ïðQ� ��:�s6���t�ð�ñ;ð;�$(Lð)��9�eð@9��u����� ñ���aï��wvx:��y�H�����îh�/ñ�M���;ïð�ð@����� ñ�����%zeð;��þo{2��;ïD�;ï��M��:��4���|$(@��� ��� �D��9OZ 3 �;ïJð=%$��(�N��/ñ � �$��������L[ð�ñWv|Jð;����5�Rñ7�����W9��/ñ�:}(*�y�6� ñ��M���8� 'T�����ð�ñA�;ïJð&ÿ õ í�~ õ í 1 � ��L[ð�ñ��W'4:):�ð@�Rñ�'��Rñ����$�W9X�/ñ v:)��� �� ���5��9 ù�� þ í/í ý!þ� �yî&���b�;ï���î��u����CFE ��G 3 (@����(Lð;M���� �� ����9��;ïJðh� �ñ�9���(Lðh�Rð�ñ�:�ð;�H����� �� �$�<��9�:���� �� ���:�L$��9ð;�h�;ï$���A�;ïð�"$���A%�� ���$��� ñ '=(*� ���$�� �� ���

ò ó + õ d 0 + õ f +ó õ�� ó + õ�� +ó õ21 ù�� þ í;� ý� ñ;ð�:��4���|Jð;�Q���Q�;ïJð�LJñ;ð;�Rð;�$(Lð���9?Z\�W�

ò ó+ õ q g ó ù /ia ò _ ý a ù�� þ í � ýd 0 + õ^]ò ó_ ù , 0 ` ó qD� ó e 0 P�� 0ó�� g � P í� � kó�� � kc�c� g � g � , 0 g � ý ù�� þ í;� ý

P�d k_ ù , 0 e k q , k e 0 ýJP�f _ó , 0 g ó P íEJj k6�_ , 0 l k�� a� E�f +ó õ ]ò �_ ù � ó ` � P�� � ` ó q�� 0ó�� e 0 P í� � kó � � k���� g � g � � � g �P í� � k� � � k6��� g � g � � ó g � ý

P�d 0_ ù , 0 ` ó qD� ó e 0 P�� 0 ó�� g � P í� � kó�� � kc�c� g � g � , 0 g � ýP�f _� � ó g � q íE j 0hk_ � ó l 0nk a

� ó + õ q í� � I _ ù � 0nk ý � ó l 0hk a � +ó õ í� l 0hk ù � 0nk ý ó � � _�A�� �������S�;ïðQ%�� �$����� ñ '�(*� ������� �� ���u��9 ù�� þ í � ý������ ù�� þ í;� ý 3 �;ïðo����t[ð�ñ;ð;��(LðV%[ð*v�nî@ð�ð;���;ïð�9ð@9X�A�����fñ���aï��wvx:��c�4�����)�&�[�� ¡(@�ñ;ñ;ð;��� �5� �o�;ïJð�%�� ������� ñ '����

Page 36: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

¢�£ ¤u¥<¦[§@¨�©�ª�«c¬®­�¯£�°²±$³�´ ³�µ�¶±�³ ¶´ ³$·?¸± ³ ¹Bº»�¼¹�½M¾ ³4¿ ¼�À ¾ ¼ ¿O³ µ&Á�³ ¼�à  À�ÄÅ Á�³6Æ Á ÂÈÇ�É4Ê Æ Ê Ç ¾ ¼ Ê É À�ÄÅ Áz¼ Æ Á ÂÈÇ�É�Ê Æ Ê Ç ¾ ³ Ê É

ÀËÄÌ ° Á�Íu· ³�Î Á ÂÎcÉ Ê É °ÐÏ Â ¿ ¼ µ ¾ ¼ à  À Á  ¼ Æ Ê Æ ÀÑÄÅ ÁzÒ¼�Ó Á Ò Æ Ç@Ê Ó Ê Æ Ï Â Ê Ç ·xÔÀ ± ³ ¹bÕ Â ¹T½ Ï Â ¿[³ µ ¾ ³ à  À Á  ³ ¼ Ê ¼ ÀËÄÅ ÁzÒ³ ¼ Á Ò Æ Ç*Ê ¼ Ê Æ Ï Â Ê Ç

µ ÄÌ ° Á�Íu· ³ ¼ Á Ò¼ Æ Ê Æ °ÐÏ Ò Ã Â µ Ï Â Ã Ò ·xÔÀ ± ³ ¹ ´ ¹Æ ½ ¾ ³ Ê Æ µ ÄÖ ° Á�Íu·�³ Æ À ÄÌ ° Á�Íu·�³ ¼ Á Ò¼ É Ê É Ï Ò Ê Æ Ô

µ Ä£ ± ³ ¹b× Â Ò¹ ½ ¾ ³ Í Â Ò ÀËÄÌ ° Á�Íu· ³ ¼ Á�ؼ É Ê É Ï Ø Í Â Ò Ô4Ù ° Ö�Ú Ä Å ·Û�Ü�Ý@Þ Ý ° Á�Íu· ¼ ³ ¸-Í Â Ò ° Á Â Ò · ¼ ³�ßà Ý;áHâ�ãÞ�ãMä�åuæ Ü$ã�ç5æWè)é�Ý#ê@Ý@Þ è�ãMë�ì$í�ãÝ;çhæ Ü�Ý�Ý;áHâ�î�æ ãè ä$ç@ï¾ ³�¿ ¼[À ¾ ¼ ¿O³ µSÁ�³ ¼�à  ÀrÄÅ Áz³6Æ Á Ç�É4Ê Æ Ê Ç ¾ ¼ Ê É ÀðÄÅ Á�¼ Æ Á ÂhÇ�É�Ê Æ Ê Ç ¾ ³ Ê É

À ÄÅ Ö ° Á�Íu·�³ Æz° Á�Í!· ¼ Ç Á ÒÆ É Á ÂÇ Ó Ê É Ê Ó °ÐÏ Â Ã Ò µ Ï Ò Ã Â ·ñ¸-ò Ù ° Ö�Ú Äcó ·Ï  ¿[³ µ ¾ ³ à  À Á  ³ ¼ Ê ¼ À ÄÅ Á Ò³ ¼ Á Ò Æ Ç*Ê ¼ Ê Æ Ï Â Ê Çµ ÄÌ ° Á�Íu· ³ ¼ Á Ò¼ É Ê É °ÐÏ Ò Ã Â µ Ï Â Ã Ò ·ñ¸-ò Ù ° Ö�Ú Ä Ì ·¾ ³ Ê Æ µ ÄÖ ° Á�Íu· ³ Æ ÀËÄÌ ° Á�Íu· ³ ¼ ÁzÒ¼ É Ê É Ï Ò Ê Æ ¸2ò Ù ° Ö�Ú Ä ¢ ·± ³ ¹ ± ¼ ¹ ° ÁzÂ Ò · ¼ Æ ½�¾ ³ Í Â Ò ÀËÄÌ ° Á�Í!· ³ ¼ Á ؼ É Ê É Ï Ø Í Â Ò Ô�¸-ò ß ° Ö�Ú £ ò8·ô ç�ãMäõæ Ü�Ýoç â�ì�Ý@Þ ö�÷�î6ø4ÛhÝ;íMíhÝ;áHâ�î�æ ãè ä$çuè�ù °Ðú Ú £�û ·7ü æ Ü�Ýoý*è ä8æWÞ�î�ý*æ ã�è ä�è�ù ° Ö�Ú Äcó ·Û�ãæ Ü Á ³ ¼Â Òÿþ�� � ã�ë�ì$íMãÝ;çKæ Ü�Ý5Ý;á�â$î�æ ãè ä�çRè�ùJë�è�æ ãè ä�ù�è�Þ ¿ ³�ü æ Ü�ÝAý*è ä�æWÞ�î�ý*æ ãè ä)è�ù ° Ö�Ú Äcó ·Û�ãæ Ü Á ³ ¼Â � Ý��$ä�Ý;ç à  ü æ Ü�Ý�ý*è ä8æWÞ�î�ý*æ ã�è äDè�ù ° Ö�Ú Ä Ì · ÛOãæ Ü Á  ³6Æ � Ý��$ä�Ý;ç Ê Æ ü æ Ü�Ýý*è ä8æWÞ�î�ý*æ ã�è ä�è�ù ° Ö�Ú Ä ¢ · Û�ãæ Ü ° Á ��� · ¼ ³ � Ý��$ä�Ý;ç Í ��� ü î�ä � æ Ü�ÝnÞ Ý;ë)î�ãMä�ã�ä�å5ý*è ä�æWÞ�î�ý*æ ãè ä�çè�ù ° Ö�Ú Ä Ì · î�ä � ° Ö�Ú Ä ¢ · î�Þ Ý!ãMë�ì$í�ãÝ � é�Bæ Ü�Ý;ç ÝuÝ;áHâ�î�æ ãè ä�çOæ Ü�Þ è â�å Ü�&ã�î�ä�ý7Ü�ãKã � Ý;ä�æ ã�öæ ãÝ;ç Ú � è�æWÝ)æ Ü$î�æ�é�Ý;ý@î�â$çWÝ�è�ùhæ Ü�Ý)ä�è ä4öxí�ã�ä�Ý;î�ÞOæWÝ@Þ�ë=ç�ã�ä ° Ö�Ú Äcó · ö ° Ö�Ú Ä ¢ ·7ü Ê Æ î�ä �Í Â Ò î�Þ Ýuä�èyÛ ý*è ë)ì$í�ã�ý@î�æWÝ � ù�â$ä�ý*æ ãè ä�ç�è�ù?æ Ü�ÝuçWìzã�ä�è�Þ�î�ä ��� Ý;ý*æWè�Þ���Ý;í � çWæWÞ Ý;ä�å�æ Ü�çý*è ä�çWæWÞ�â�ý*æWÝ � ùXÞ�è ëÑæ Ü�Ý�å î�â�å�Ý���Ý;í � ç ¿[³ î�ä � à  Ú

Page 37: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

�����������������! #"$�!%!&!��'�&! (�*)+�,&! (��'.-�&/��'��/ 0�213�54���6,�879�����:���;'5 =< >/?@BADC,E/FDF.G/HJI�K=L,E!M�ADNOCQP5R9SUT!VJWYX!E/C,ADZ�[,I�Z\E/Z+E3]:NOC,Z^I�KL9I�C,]:I*N/_`P5R9SDa�>OWYE/C,bcM�[9IedfL,g�IZ^dfADC9N/g+d,g�N/dhI�g�MiG j(k�l(m�j(kon aa�p P lrq WisJtuP lhq Wwv;x l(mt!x j s k j v k P5R9SUT�a�Wy j(k�l(m�j(kon#j{zhlhm�j{z y j�lhm�j�n}|j9l(mc|j y V�~� N�Z�[9N8��M�[fE!M�P5R9SUT!VJW�X!E/C,ADZ�[,I�Z�H3A.MQADZ�LfZ^I�_5LfF�M^N���g�A.M^I�P5R9SDa�>OWQE/C,b�P5R9SUT!VJWQE/Z|� tf� s y��� P lrq W t s E/C,b j t k j x k |� t |� x � s y V��e[9I�g�I

|� t y � t n aT � tf� sB��� sx�� aT lh�x�� � �O� ��� sO� z � P l(� � W x � � ~ P5R9SUT/TOW� C9I�]�E/C�];[9I�]���M�[,E!M� |� tr� |� xf� y P l mt!x n aa�p P lhq W t s P lhq W x v l ms v W |� m P5R9SUT/?OW�e[9I�g�I |� m y � m n aT � m � s ��� sx�� aT l �x�� � � � ��� s � z � P l � � W x � � � P5R9SUT�R=WZ^N�P5R9SUT�a�W�A¡ �dfFDA.I�Z¢M�[,E!M j t k j x k |� t |� x � s y V�S� Nodfg�N�X/I�M�[,E!M£I�KL,E!M�A.NOCfZ P5R9SDa�¤/W�¥3P5R9SDa�>OW£E!g�I M�[9I�E!¦rI�FDADE/CQZ�L9drI�g�Z�G � �I�M^g�AD]§YN/g;C�¥©¨wC,_ªI�FDb�I�KL,E!M�A.NOCfZ�H�ADM{�¢E/Z«Z�[9N8�eC�ADC�¬­T�RJ®JM�[,E!MuM�[9I�G£E!g�IYADCJX!E!g�ADE/C=MuL,C,b,I�g�¯ y T° y a�V�Z�L9drI�g�Z^G� � �I�M^g�G��e[9I�g�I�M�[,IeZ^I�]:NOC,b�Z�L9drI�g�Z^G� � �I�M^g�G3E/]:M�ZYC9NOC�¥iFDA¡C9I�E!g�F.G�NOCM�[9IoZ�L9drI�g�±,I�FDbfZ�S³²$´9]:I�d,M�_ªN/g�_�E/]:M^N/g�Z�N/_¶µ3]:NO �ADC,·Q_5g�NO ¸b,Aº¹rI�g�I�C=M�]:NOCJX/I�C=M�A.NOC,Z_ªN/g¢M�[9I�Z�L9drI�g�Z^G� � �I�M^g�G E/F.·/I�¦,g;E�HI�KL,E!M�A.NOCfZ*P5R9SDa�¤/W\¥�P5R9SDa�>OW¢E!g�I¶I�E/Z�ADF.G�Z�[9N8�eC»M^N]:NOADC,]�ADb9I`�eA.M�[�M�[9IYZ�L,dhI�g;Z^dfE/]:I`§¢N/g�C�¥©¨2C9_5I�FDb�I�KL,E!M�A.NOCfZ¢P¼?/?OWi¥;P¼?/½OW«N/_fg�I�_ªI�g�I�C,]:I�¬ RJ>!®�e[,AD];[��YI�g�I�ADC,b9I�drI�C,b9I�C=M�F.G�b9I�g;A.X/I�b¾L,Z�A¡C9· M�[9I�Z�L9drI�g�I� �¦rI�b,b,ADC9·� �I�M�[9N�b0¬ RJ¿�®©SÀ\ÁªÂ ÃÅÄ©Æ�Ç�ÈfÉÊÇ!Ë\Ì�ÈfÍJÇ8Î!Í=ÏiÐ\Ñ�Ò{Ð`ÉÔÓ�Õ$Ì�È�Ö/ÖoÇ!Ë\Ì�È,ÍOÑ�ÍOÒ9×\ϼÎ�ÕØÈfÙBË\ÒhÎOÏ©Æ�ÐYǨwC�Ec]�L9g�X/I�b�¦fE/]��=·/g�NOL,C,b{H(M�[9I�]�FDE/Z�Z�AD]�E/F«Ú3Û¾Z�L,dhI�g;Z^M^g�ADC9·�E/]:M�ADNOC�]�E/C�¦rI3��g�ADM^M^I�CE/Z Ü y aROÝuÞuß(àâá=ã�ä P©å£æ�ç�P©è�W n�é æ�ç3P©è�W^W � è æ�ê� è ç P5R9SUT/½OW�e[9I�g�Iìë y ¬ í �^î$� |î ®�E!g�Iï]�L9g�X/I�bð¯ y Tñ° y a�VòZ�L9drI�g�Z^dfE/]:I0A¡C,b,AD]:I�Z�H�è æ y¬ ó m ��ôOõ,� |ôuöõ ®©H î E/C,b |î b9I�C9N/M^I0Û � P¼>HDa�W�Z^d(ADC9N/g�Z»N/_£N/d,drNOZ�A.M^I�];[,A.g�E/F¡A.MiG�_5N/gÅM�[,I� GdrI�¨�¨w÷�Z�L9drI�g�Z�M^g�ADC9·�E/C,b�N/_hM�[9IeZ�E/ �Ie]�[,ADg�E/FDA.MøG3_5N/g`M�[9I � G=drI�¨�¨2§�Z�L9drI�g�Z^M^g;ADC9·9HE/C,b0å£æ�ç}E/C,b é æ�ç}b,I�Z�]:g�A.¦rI3M�[,I�¦fE/]��·/g�NOL,C,b³Z�L9drI�g�±,I�FDb,Z�S*ù�[9I�CQM�[9I�¦fE/]��J¥·/g�NOL,C,b�±,I�FDb,ZúZ�E!M�ADZ^_5G£M�[9I � GdrIY¨�¨uZ�L9drI�g�·/g�E�XA.MøG£I�K=LfE!M�A.NOC,ZúN/_f �N/M�A.NOC{H/M�[,I¢E/]:M�A.NOC

Page 38: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

û�ü ý�þuÿ���������� �������� ü���������������� �!"���!�� #�$%�'&�(�"*),+-�/.,0102(�#/"3.��54 ��6 (���(�"87:9;(8<�!�$'�/( ���>= $'!�� #3�@?8!#3� � �A " � 9%B@(80C��7 �@#D���D� � #DE,� ��6 �GF �H6 # � $'�/(I#3F�(�!�<J#3� � � ���K� ü��������D# � < � 0 A $�#/(�L:M%< � "/+"3(8<J#3� � �'�N# � #3F�(O�3$ A (�"3P�"�!��Q��#-.*( = $'!#3� � �'���SRTF'�U�V���N!��2��0 A � "3#3!�� # = $�(8�/#3� � �W�����'<J(D��#���O� � #O.�(�#X$'�%&�(�"��/# �Q� &YF �H6 #3F�(Z�3$ A (�"[� A !�<J(*�/#/"�$'<J#3$'"3( ��� RD. A (�\3\]�3$ A (�"3P�"[!8�,�@#-.( = $'!#3� � �'�T���O0 � &'�@^%(8&Y9 ._#3F�(8�/(`L M < � "3"3(8<J#3� � �%���a � 6 �UB�Bb9;(c"3(��,�@( 6 (8&d���e#3F'�U�I�3$'9%�/(8<J#3� � �b7;!��d!��'!�B � P � $'��!�<J#3� � �d<�!��f9;(`< � �,+�/#/"�$'<J#/(8&g$'�3���'Ph#3F�( A $�"3(_� A ��� � "`&�(8�3<J"�� A #3� � � ��� #3F'(_RD. A (G\3\*�3$ A (�"��/#/"��U��Pe���i!<�$�"3��(8&Z9j!�<3EQP�" � $'�'&b� a � 6 !��N�3F �H6 � 6 ��#3FZkS!�$'Bl4 ��6 (>�U�Cmn���poq7<�B�!��3�3��<�!�Blr>s�t,Ri�U�,+�p!"��U!��'<J( ��� #3F'���D!�<J#3� � �_��0 A B���(8�S#3F�(IRD. A (T\�\S��$ A (�"3P�"�!8�,�@#u.W( = $'!#3� � �%�K!��'& = $'!���+#3$'0vr]s�t,Rw���l�!"���!��%<J(]�U�x(Jy A (8<J#/(8&C# � ��0 A B�.`L M < � "3"�(8<J#3� � �'�z# � #3F�(8�/(T( = $'!#3� � �'�8�{ y�<J( A # �|� "5#3F�(~}�"�!�&'EQ����+-RT�/(�.Q#3B�����#/(�"[0 6 F'��<[F�< � $ A B@(8�W#3F�(_&%��B�!# � ��# ��6D� "�BU&,+�3F�(�(�#K<�$�"��p!#3$�"�(�7�#3F�(XRD. A (O\3\S�3�@P�0C!*0 � &'(8B�!�<J#3� � �C���2!c<�$�"3��(8&29%!�<�E P�" � $'�'&C<�!��9�(W< � �'�/#/"�$%<J#/(8&d9 .h!�&%&'����PG#3F�(W0C!��3�3B@(8�3����� #/(�P�"�!#/(8&�<�B � �/(8&d�3$ A (�"[�/#/"�����PC��(�"3#/(Jy� A (�"[!# � " ������� �������I# � #3F�(5�%!#�!�<J#3� � � ���I� ü������l�[7:!��'&f#3F�(8�d< � �!"���!�� #3�@?8���'P 6 ��#3F"3(8� A (8<J#2# ����� �d� � �����3$ A (�"/+q"3( A !"�!�02(�#/(�"��@?8!#3� � �g�U�l�!"���!��'<J(�� a B@#/(�"��'!#3�@��(8B�.�7� ��(�<�!��Y< � �'����&�(�">#3F�(�0 � �/#DP�(8�'(�"�!�Bj!�<J#3� � �~< � �'�/#/"�$'<J#/(8& � " � 0�#3F�(�<�B � �/(8&G��$ A (�"/+�/#/"�����P 6>� "�B�&'��F�(�(�#5�p!"��U!9%B@(8� 6 F'��<[F����2<�B�!��3����<�!�B�[email protected]�U�l�!"���!�� #2$'�'&�(�" 6>� "�B�&'�3F'(�(�#< � � �|� "[01!�Bb#/"�!��'� �|� "�0C!#3� � �'���� ������Pe#3F�( 6>� "�B�&'�3F'(�(�#Z�p!"[��!9%B@(8� ��� #3F�( A "3(��Q� � $'�c�3$'9%�/(8<J#3� � �b7N#3F�(_RK. A (C\3\�3�@P�01!20 � &�(8Bb!�<J#3� � �����O&�(�^%�'(8&e!��� � ����L M ���l��� m �� �q�*�2�W�q� ����� �2�c�q� �/� � � �¢¡� � � �g£c¤x¥¦ �q� � � ¤W§� ¥¦ � ü�����¨��

��© ¤� �q� � � ¤ ¡� � � �*© ¥¤� �q� � §� ¥¤ � � � �*ª � ¤ ¦ �q� �/« ¤,¬ ¦ ¡� � � � §ª � ¥¤ ¥¦ �q� � §« ¥¤ §¬ ¥¦ � � ��Z­ ¦ ¥®¤ �q� �/«%¤ ¬ ¦ §� ¥® � §­ ¥¦ ®¥¤ �q� � §« ¥¤ §¬ ¥¦ � ® � � ¦ ¥¯¤ ¥® �q� �/«'¤ ¬ ¦ §« ¥® §¬ ¥¯ � �� L M�° �q� �u±poq� �;² � � ¥²6 F�(�"3(�³ �´��µ�¶/·x¶ §· �C!"�(d<�$'"3��(8&¸�3$ A (�"�� A !�<J(f���%&'��<J(8��7 � � �´��¹%º`¶3»�¼'¶ §» ¥¼ �[7½ �v� ¾j¶ L ¶ §Lz�T!"3(Z#3!���P�(8� #���$ A (�"�� A !�<J(Z���%&'��<J(8��7 �;² !��'& � ¥² !"�(c#3F�(Z�j!#I!�<J#3� � �'��|� "5#3F�( A $�"3(_� A ��� � "`�!"���!9%B�(8��7S±h���W#3F�( 6D� "�BU&'�3F�(�(�#5<�$�"3�!#3$�"3(�7z!��'&¿m �*�2�À�Á�Âqà © Â� © Ã� ¶ � �2�*¶ © ¤� ¶ © ¥¤� ¶ ª � ¤ ¦ ¶ §ª � ¥¤ ¥¦ ¶ £ ¤ ¥¦ ¶ ­ ¦ ¥®¤ ¶ §­ ¥¦ ®¥¤ ¶ � ¦ ¥¯¤ ¥® ¶ ° ol!"3(z#3F�(x9j!�<3E +P�" � $'�'&¢�3$ A (�"3^'(8BU&'��� �X� #/(d#3F'!# � ¤ !��'& §� ¥¤ <�!��Ä9;(�#/"3(8!#/(8&¸!��Y���'&�( A (8�'&�(8� #�p!"��U!9%B@(8�O��� � ü�����¨��X�3���'<J(>Å ¤ !��%& §Å ¥¤ & � � � #X! A%A (8!"X(Jy A BU��<��@#3B@.��\ � #3F�(C}'"�!�&�E,���,+-RT�/(�.Q#3B����f#/(�"�0ÇÆ � � � ° �q� �u±Y�U� � 01�@#/#/(8&b7 � ü�����¨��Z�U�*#3F�(C0 � �3#P�(8��(�"�!�B�!�<J#3� � � 6 �@#3FY<�B�!��3�3�U<�!�B 6D� "�BU&'�3F�(�(�#O< � � ��� "�01!�B��U�l�!"���!��'<J(*!��'&Y?�(�" ��� B@( � #�7"��@P�F #[�-+-0 � �,����P�P�F � �/#e�Q$'0`9;(�" 6 F%��<�F¿<�!��¸9;(d< � �'�/#/"�$'<J#/(8& � " � 0È#3F�(�RD. A (d\3\6D� "�BU&'�3F�(�(�#S�!"���!9%B@(8�8� �I� #/(T#3F'!# � ¤ <�!"3"��@(8�x< � � ��� "�01!�B 6 (8�@P�F # � � ¶ �l�[7 §� ¥¤ <�!"3"��@(8�< � � �|� "[01!�B 6 (8�@P�Fl# � � ¶ ���[7%« ¤ <�!"3"��@(8�xP�F � �/#z� $%0c9;(�" � � ¶ �l�x!��%&1< � � ��� "�01!�B 6 (8�@P�Fl#

Page 39: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

É:Ê�Ë8Ì Í,Î3ÊÐÏWÑÒÔÓxÑÕÖÎÐ× ÖÒjÌ�Ø]Í'ÖÒjÌ ×@Ù�Ö�Ì × Ñ�ÒiÑ ÚcÌ�Û,Ê`Ü'ÍHÝ�Ê�Î�ÏJÌ Î[×�Ò Þ ß�àá â,ã3âlä[åzæç>èéGê�ëì3ì�í@î8ïKð�ñ�ò�ï/ó]ô õ'ö`÷;î�ì á â,ã8ø�ä ë�ô'ù_êJò�ô�ú�ò�ì�ö1ë�ûjüDî8í@ð�ñ ó á â,ã3âlä[å�ý é ê�ëì3ì�í@î8ïð�ñ�ò�ï/óhôQõ'ö`÷�î�ì á þcøã3âlä ë�ô'ù¸êJò�ô'ú|ò�ì�öCë�ûZü>î8í@ð�ñló á øã3âlä[å ë�ô'ù æý èé ê�ëì3ì[í@î8ï~ð�ñ�ò�ï/óô õ'ö`÷;î�ì á â,ã8þcø�ä ë�ô'ù¿êJò�ô�ú|ò�ì[ö1ë�û�üDî8í�ð�ñló á â,ã8ø�ä[ÿ�� í�ô'êJî ý é ë�ô'ù æý èé ê�ë�ô¿ò�ô'û��ë����;î8ëì1í�ô�êJò�öc÷jí�ô'ëó3í@ò�ô'ï5üIñ'í�ê�ñ�êJò�ö1öWõ�ó/îeüIí@ó3ñ�ó3ñ�î��%õ�ì�îYï��%í�ô�ò�ì2êJò�ô'ï/ó/ì[ë�í�ôló3ï åó3ñ�îZ÷%ë�ê ð�ì3ò�õ%ô'ùeï3õ��;î�ì��%î8û�ù'ï>ö`õ'ï3óTï3ëó3í�ï/ú �

á����������Jä é����� é ��� á����������Jä é� æ� � èé è��� â,ã á ��ÿ! #"�äá��$�������Ðä é�&% � è'é � á��$��������ä èé è� æ% è� 'èé � á���������Ðä é�&( ��è)é è' � á��$��������ä è' è) ( �jè)é è' � â,ã

ë�ô'ù~ó3ñ�îZù'í�*�î�ì3î8ô óTêJò�ö��;ò�ô�î8ô ó3ïTò�úNó3ñ�îcï+�jí�ôYêJò�ô'ô�î8êJó3í@ò�ô'ïXüXí�û�ûj÷;îZù�î,�%ô�î8ù~ë�ï��� é � � �.-0/21�43 �é65 ø � ���� á�� ��� ä é � ã æ� � èé è� � æ�.-0/21�73 è� èé 5 ø æ� ���� á�� ��� ä èé è�&8 á ��ÿ! :9�ä; û�ó3ñ�ò�õ�ð�ñ1ó3ñ'îX÷%ë�ê ð�ì3ò�õ%ô'ùGï�õ��;î�ì��'î8û�ù'ïxë�����î8ëì[í�ô�ðcí�ô á ��ÿ! :<�ä û@ò ò:2õ'ô%êJò�ô>=�î8ô@?ó3í@ò�ô'ë�û å ó3ñ�î,��ë�û�ûzñ%ëA=�îB�%ñ>�,ï3í�ê�ë�ûKí�ôló/î�ì�'ì3î�ó3ëó3í@ò�ô'ï ÿDC ñ�îCï3õ���î�ì�'î8û�ù'ïFE �BG åIH ��Jë�ô'ùLK ëì3îió3ñ�îiï3õ��;î�ì�=,í@î8û@÷;î8í�ô å ó-ü>ò�?qú|ò�ì�öM�;ò�ó/î8ôló3íUë�ûZë�ô'ù ù'íUû�ëó/ò�ô ï3õ��;î�ì��%î8û�ù'ï åNZé è� í�ïWó3ñ�î~ï3õ���î�ì�'î8û�ù�üXñ�ò�ï/î~û@òHüDî8ï/ó1êJò�öO��ò�ô'î8ôló3ï2ëì3î~ó3ñ'î C �P��îRQ�Q6SXë�ö2ò�ô'ù�?SXë�ö2ò�ô'ùB�'î8ûUù_ï3ó/ì3î8ô�ð�ó3ñ'ï å ë�ô'ù_ó3ñ�î*ï3õ���î�ì�'î8û�ù'ï % � è'é � % è' 3 �é 5UTV % è'XWY� á�� WY� ä � é ë�ô'ù

æ% è� 'èé � æ% ' 3 è� èé 5ZTV æ% 'XW� á�� WY� ä è� èé ëì3î�ì3î8û�ëó/î8ùYó/ò2ó3ñ�î\[ � ^] � ø�â ù'í�û�ëó3í�ô'ò`ë�ô'ùYð�ì�ëX=>?í@ó3í�ô�ò��'î8ûUù~ï/ó/ì3î8ô�ð�ó3ñ'ï ÿ`_ ô'û�í��î*ó3ñ'î^a � ï�í@ð�ö1ë1ö2ò,ù�î8ûbò�ú á ��ÿ! à ä üXñ�î�ì3îcó3ñ�îcï+�%íUô�ò�ìï3õ��;î�ì�=,í@î�ì3÷;î8í�ô�í�ï1ë÷%ï3î8ôló å ó3ñ'î�ë�êJó3í@ò�ôÄò�ú á ��ÿ! :<�ä êJò�ôló3ë�í�ô%ïbE`é� ë�ô'ù7E èéc ÿdC ñ%í�ïö2î8ë�ô'ïOó3ñ'ëóXó3ñ�îcë�êJó3í@ò�ô�í�ïOí�ôe=pëì�íUë�ôlóTõ'ô%ù�î�ìOó-ü>òCï/î�ó3ïXò�úSû�òQê�ë�ûgf:ò�ì3î8ôló+hWë�ô'ùeï3ê�ë�û�îó/ì�ë�ô'ï/ú�ò�ì�ö1ëó3í@ò�ô%ïzüXñ'íUê�ñ1ë�êJó>í�ô'ù�î,�;î8ô'ù�î8ô ó3û��`ò�ô1ó3ñ�î�õ'ô'ñ'ëó/ó/î8ùGë�ô'ùCñ'ëó/ó/î8ù_ï+�%íUô�ò�ìí�ô'ù'í�êJî8ï ÿji ô�îhó3ñ�î�ì3î�ú�ò�ì3î�ñ'ë�ïCó-ü>ògíUô'ù�î,�;î8ô'ù�î8ô ó2ï/î�ó3ïCò�úZï��%í�ô�êJò�ô'ô�î8êJó3í�ò�ô'ïCë�ô'ùï3ê�ë�û@îZêJò�ô'ô�î8êJó3í�ò�ô'ï å�á � -0/21� ã � W�� ä ë�ô%ù á æ� -0/21� ã æ� WY�� ä[å üXñ'íUê�ñYë����;î8ëìOîlkP�jû�í�ê�í@ó3û��1íUôGó3ñ'îC �P�;îmQ�QKï�í@ð�ö1ëcö1òQù�î8û�ë�êJó3í@ò�ô ÿn_ ô'ù'î�ìDó3ñ�î�ó-ü>ò5óo�P�;î8ï]ò�ú:û@ò,ê�ë�û&f:ò�ì3î8ôló+h*ë�ô'ùYï3ê�ë�û�îó/ì�ë�ô'ï/ú�ò�ì�ö1ëó3í@ò�ô%ï å3 E é� �dp é� E �� ã 3 E èé� � æp èé è� E è�� ã 3rq é � þ p � é q � ã 3 æq èé � þ æp è� èé æq è� ãiá ��ÿ! ß ä3 ��� é � �ts � p � é�5 p ' é ��� ' � þ p �' ��� é ' ã 3 æ� � èé è� �ts � æp è� èé 5 æp è' èé æ� � è' è� þ æp è� è' æ� � èé è' ã

3 ç é �dp é' ç ' ã 3 ý é � þ p ' é ý ' ã 3 æç èé � æp èé è' æç è' ã 3 æý èé � þ æp è' èé ý è' ãüXñ�î�ì3î p � é �up -0/21o3 �é 5 TV p ��� á�� ��� ä é � å æp è� èé � æp -0/21o3 è� èé 5 TV æp ��� á�� ��� ä èé è� å p ��� ë�ô%ù æp ��� �jëv?ì�ë�ö2î�ó/î�ì�í�h�î5í�ô'ù'î,��î8ô%ù�î8ôlóIû@òQê�ë�ûwf�ò�ì�î8ôló+h5ó/ì�ë�ô'ï3ú|ò�ì�öCëó3í@ò�ô'ïIò�ôhó3ñ�î5õ'ô'ñ%ëó/ó/î8ù�ë�ô'ùñ'ëó/ó/î8ùÄï��%í�ô�ò�ìCíUô'ù'í�êJî8ï å p -�/x1 ë�ô'ù æp -0/21 �%ëì[ë�ö2î�ó/î�ì�í�h�îfí�ô'ù�î,�;î8ô'ù�î8ô ó1û@ò,ê�ë�ûXï3ê�ë�û�î

Page 40: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

y:z {6|~}.�,��:���X��� ��+��:���+� �:��O�������#�����#�����������������+�+�A���:���������+�+�A���+�������:�6���������l�A�A���:�������������:� >¡¢ ���#�����£�����$�,��¤��A¥�����¦ §�¨ª©¨$«Y¬F­ ©®¨ «`¯¬ ©­ ®©¨ «Y°w­ ©±¨�©®:² �+��:���+���:�Y�³�:�,�l�:������ ¢ �+�B�����A���F�+���´���:����������l�A�Aµ¶ �����:¥�¥�·:�g�����O���:��  ¢ ���#�����¸�����$�,��¤��A¥´���F° ­ ©±¨�©® �����$�A������ ¢ ���4¹ º�µ!» z#¼ �����O���A¥����+�A��+�b�,����½����������A�m�l�#���+�+����l�+�A�£� ���#�¾�����^�+�������:���¿���,�:¥��6�l�#�����A�l�����#���,µ`Àm�:�+�^�������m������O��¥´������A¥��������#���@�,�,����ª���\�����ÂÁn·P���ÂÃ�Ã�ÄÅÀFÆ\��� ¢ �O���O�P���A¥>�:�l�����#��Çm��������l�#�e���:������������+�,��O�Ⱥ#É~Ê~Ë Ì�ÍeÎ,Ï ¹�ÐÒÑYÓÔ ¹ Õ ¼xÖ Ñ Ö Ó@×Ø Õ ÔBÙ ¯ÐÒÑYÓÔ ¹ Õ ¼ ×Ö Ñ ×Ö Ó Ø Õ ÔRÙ ° ÑÓ�Ú�Û ¹ Õ ¼xÖ Ñ Ö Ó ×Ö Ú ×Ö Û ¼ ¹ º�µ!Ü�Ý ¼

Çm���,��� Ö Ñ.ÞtßXÑÔ ¹ Õ ¼xÖ Ô � ×Ö Ñ\ÞjßAÑÔ ¹ Õ ¼ ×Ö Ô ���:��� ßAÑÔ ¹ Õ ¼ ���$�����à����� ¢ �,�á¡o�+���:�l�`½@���A¥��$�A���gµÃx�B�����´���$�:�����:�>���+�â���:�+�£������������� ¶ ��:�� @���@¡oÁm�+�,·e��¥´���â�+�,��äã Í Î Ïeå ¹�æ ¼xç �´������+�A�e�\�����#�è�����bé�Æê�:�l�����#�ë�:�\¹ º�µ!»:ì ¼ ���´���l�����F�����A�� @��í@¡o�+·@�O���,�+��·:µOîÅ�XÇ`�,½:�,�A��:�FÇ`�:�\��� ¢ ���A�ë����¦ï»:ì ² �g�������.�+�,��ð���F���A�l�A�������·£���£������������^�+�&�����:�F���A���l����������#������:�Y���,���+�ñ�����A�+�,��½:��òP���:�e�����ôóõÄ.Æ@Á����e½v���Y���:���l�R�:���â�l�#�����:�Y�O�:¥õ���>½�������:���l�:µÁ����¿�����A�+�A���l�ê�:���������b�+�,��ö�,�:�j�:¥��+�����O÷+���+����¤��A�7�e·4�����ê�l�#���&¥���� ¢ �l�#���+���:�>����,�$�A�����A���l� ß�ø Îáù,ú�Î�û�ü �:� ¢ �A�e���õýB���,���+�+�,�Y��� ¢ �:���&¥����������A�Aµþ �wÇõ�:�ÿ�����rÇm�����B¦ï»:ì ² �#�,¥��:�������,�:¥PóõÄ.Æ@Áâ���e½�������:���l�n�:�w¹ º�µ!» z#¼ �����&¥����A�~�������w��������:��  ¢ ���#�����ñ�������,�¤��A¥�������������+� ·D������Á·P�$�6Ã�ÃÅ�����$�,� ¢ ��X½P���x·��Aòe���������#���,µ ¶ �:�\������:�l�����#�^�:��¹ º�µ!» z#¼ �+�F���`óõÄ.Æ@Á����e½v����´�:�>�,�:���w�������A�l�A��������·6�������������`óõÄ.Æ�Á��,������A�>��������m����¥����:�+�A�e�à�:���O���#¥��#���:�����������#��µï�:µI������������«���� Þ � ¯��« ¯��� Þ ����« ¯��� Þ Ý��:���������� ×Ø ¹��¨ Í ¨ ¼ Þ Ø ¹ ¯�`©¨ ¯Í ©¨ ¼ Þ Ý@µÁª�R�:���:¥�·�,�^�����^�l�#�����������#���.�����&¥����A�R�P·¿����¥��$�:�+�A���l·:�����Å�´�Å�l�#�e½:�A�����A�e�F�+�B���������� �,�:���#���´�,�:¥~���#���A�e���O§ � Þ Ø�����Ø ¹ Ø�� æ � ¼ �+�OÇ�����+�Í ¨ Þ�� �¨ ¦ §�� Ù È»�� ���6¹ Ø æ ��� ×Ø æ � ¼ � Ð � ­ ® � ­�� ® � ¯Ð � ©­ ©® ¯� ©­ ¯� ©® ² « ¹ º�µ!Ü ÈX¼

¯Í ©¨ Þ�� � ©¨ ¦ §�� Ù È»�� ��� ¹ Ø æ � � ×Ø æ � ¼ � Ð � ­ ® � ­�� ® � ¯Ð � ©­ ©® ¯� ©­ ¯� ©® ²!" ���� ¢ �������,�:���#�����,�:¥~�l�#�O�^�����������#�¿���A¥��������#���¦ § �£«Yæ � � Þ ��#%$ �� « ¦ � ¨ «�� ­ ² Þ ��#%$ ­¨ « ¦ ¯� ©¨ « ¯� ©­ ² Þ �&#'$ ©­ ©¨ «�#����¤������n�������

����«���� Þ)( � ¨ � ­ ¦ * ¨ ­,+�- + Ù È» ¹ Ø æ � � ×Ø æ � ¼%. ¨ ­ � �&/ ¨ ­ ® ± � ® � ± � ¯/ ¨ ­ ©® ©± ¯� ©® ¯� ©± ² «� ¯��« ¯��� Þ)( ¯� ©¨ ¯� ©­ ¦ * ©¨ ©­ +�- + Ù È» ¹ Ø æ � � ×Ø æ � ¼%. ©¨ ©­ � �&/ ©¨ ©­ ® ± � ® � ± � ¯/ ©¨ ©­ ©® ©± ¯� ©® ¯� ©± ² «

Page 41: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

021436587:9;1=<�>@?BAC>@D@E@9=F8E@?G5IH�7JE@?G58FLKMEN58F8>N?O>QPR5TS:1VUJ7XW,1Y94<Z589�FT?�[ \^]_�`badc`�eIf)gih�j ch&kl�m n jCkl,o�p o qsrtCuwvyxIzV{}|vyxIzI~%� jCkl z {&� jCklM��� h �@� � { c� jCkl k� k� ch k� c� k�;� a���,�Y�;� p o f��V�o u8� � {�� � j l h j � l { c� � kj kl ch kj c� kl ~�� n���� j��N��� � ��� l � � �;�� �Y� � � ���J�;���,��� �,� � � l � � �G���¢¡Z£^�J� � ¡Z�;�L£^� � �N�J� n ��� kj �N�J� c� �y� kl k� � �;� � �Y� � � ��J�;���,�b� �,� c� � kl k� � ���¤�¥¡Z£^��� � ¡Z�;�L£^��¦§ £¨�J��©��y£N� � ��¡Zª�£N« ` �N�J� c` ��¬���©¤� � �d� � �@�h j h l n j l o f)h j h l � j l � f­h j h l c� j l k� k� f)h j h l h � � j lX� � f�®:a uT¯ ¦±° t ~ch kj ch&kl n kj²kl o f ch kj ch&kl � kjCkl � f ch kj ch�kl c� kjCklX� � f ch j ch l ch k� � kjCkl k� k� f�®:ah j ch&kl n j kl,o f)h j ch�kl � j kl � f­h j h l � j k�Ml � f ch kj ch&kl c� � kj kl k� f�®:a«³£ � �N��ª´��� �;� � �G���,£ � � h j �N�J� ch kj ¦¶µ·� � ¡Y�N� � �N�;��©�ª¸¡ �,� ¡;¹s� � �@�·� �J� �J��©L��£N� � �J¡Zª¡Z£^�J� � � �N�����;��£^� � ��� oCº �¤� uT¯ ¦±° t ~ � �;� ��¬���©¤� � �s� �,� £^�J� ��» ���N�J¡ � �d��� � ���;�L�;� � �½¼�ª� �,� �J��©L��£N� � �J¡Zª¶¡Z£^�J� � � �N�����;��£^� n �y� o ¦ § ���J¡ � h j¾�N��� ch kj¿� �;� ����� � � � �J� � ���À��� �;�� �����,£ � � � � �,�·�;� ¬¨�N�������,��¡Z£^�J� � � �N�¤���;�&�¤¬���©Lª¨� � �@�

u³Á�²ÃZÄ6Å%ÆY~ j l n j l o f u³Á�ÂÀÃ=ÄMÅ'Æ6~ kj kl n kj kl o f n j kl o f�®:a uT¯ ¦±°N° ~u³Á�²ÃZÄ6Å%ÆY~ j l � j l o f u³Á�²ÃZÄ6Å%Æ6~ kj kl � kj kl o f � j kl o fÇ®«³£ � �N��ª¾� � ©L«³ÈÉ�J�J�N© �JÊN� È«T£ � ¬Ë��� �;� ¡Z�;�L£^�¿Ì¾Í:ÎGÏ�Ð:¦Ñ � � �N�¥� � £ � �Ç��� m tNÒ � � � �,� ¡Z£^�J� � � �N�����;�¶£N« uT¯ ¦±°N° ~ ¡Y�N� ¼ � �¤��� �Y� � �;� � � ���N�Ó ª�� �&Ô;Ô ��� �;� �;�����,£ � ����� � � � �@¼��¤©��L�ɪb¡Z£^�J�J���;�L£^�J�Õ�N�J�¶��¬���©�ªV�N©�©�� �,�&� �;� � ���;���N© Ó ª�� �Ô;Ô �;�J� �Y� � � � Ê �L�ɪ�¡Z£^�J� � � �N�����;�6¦ËÖJ� � � �J�Y� ¬�£ �;� � �L� � �N�¢� � £ � �)�¤� m tNÒ � � � �@�}� �J��;� ¬¨�N���J�¤�,��¡Z£^� ÊN� ���;�L£^�J�N© Ó ª�� �·Ô;Ô �4�,� �Y� � � � Ê �L�'ª¥¡Z£^�J�;� � �N�����;��� �;� �¤¬���©�� � �¶¼�ª¥� �J�� £^©L£^¬�£ � � � ��¡Y�L�'ª�¡Z£^�J�J�L�;��£^�J��� � �@� |v u h j�× j ~ f v�u ch kj c× kj ~ f�® ¦ØÕÙ�Ø Ú ÛÕÜ�Ý�Þ�ßXà@Þ�áÉâÕã�áÉâåäbæ�ç�èVéêç è¶ë²ì�í^î ãïÞ�ð2Û²âÀñ ì âÀñóòbÝ�âÕÞ�ð2ß�Ýõô'áÉö�áwà

Ô ��� � �����;�,¼�� � ¡Z�;�L£^� � ��÷��J�N���;�Lø6�@¼�© � �N¡Z�;�L£^� � ��©�©Õ¼ � ¡Z£^�J� � � ��¡Z� � ��«T£ � � �,� �4�,� �Y� È� � � ���,�¿���¸�N�sùú×:û èRü û è ¼��N¡4¹�� � £^���J� � �L� �¸ý �N¬�£^���:È ý �N¬�£^����þG�:ÿ m ° � m Ò ® � �N�J��L�;��� � � � £^� � ©���¬¨�L� m Ò r � ¦ § ���J¡ � � �,� �N¡Z�;�L£^� ����÷��J�N���;�Lø6�@¼�© � � £^� � ¡Y�N����� � � �¤�J¡Y� È��© � ¡Z£^¬����J� �·ÊN�Y� � � ÿ}£N� �Y� �@� £ � ���N���}�;¡Y�@� � �Y� ���J���N¬���©����;�J� � �����¾� � �¤��¼��N¡;¹�� � £^�J�J���� ��¡ �¾� £^��©��¿¼ �·ÊN�Y� ª}�J� � «8�J©�«T£ � � � � �;���,��� �,��� �N©��J�N¡ � �J�¶¡Z£^��� � ¡Z�;� �;� ¦��ú£ �d�YÊN�Y� �¼ � ¡Y�N��� � £N«C� �,� ¡Z£^¬���©���¡Y�@� � �¢«³£ � ¬i£N« � �,� �N¡Z�;��£^� � £^�J©�ª¥� �J� �;��¬��G© � � � ÊN�Y� � � ÿ¢£N�JÈ�Y� �@� £ � � m ÒNt � m Ò ® � �N���O�;¡Y�@� � �Y� �¤�,���N¬��G©��L�;�J� � � m Ò ° � � � ÊN� � £�«T� � ¼ �Y� ��¡Z£^¬����,� � �ï¦� �YÊN�Y� � �J� © � �;� � �L� � �N�¿¼ �Y� ��� � £ ÊN� ��� � �@�¿� �,� �N¡Z�;�L£^�������N��ùú×:û è¶ü û è ¼��N¡4¹�È� � £^�J�J�´��� ¡Z£^�,«T£ � ¬¨�N©�©�ª}��� Ê � � ���N��� �,�´� £¥£^� � ÈÉ©L£�£N�s£ � � �Y� m Ò ¯ � m ÒNÒ � � �N�J�¸� � �@�·� �J�

Page 42: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

� �� �������������������� "!$#&%('*)�%�+,!$-/.102.3'/+�%(45.167#781#&!:9;67��'/.=<>�3?�.A@;�� $BDC�+$%(EF'FGH#74I."J/�� "!$6&KL "%('/)M%�+N8���676&K#7'O?���+�#7��'P!RQTSVU"WYXZ -/.[�� "!$#&%('\#7':!$-/.34$.[@;�� $BDC�+$%(EF';GF4] ���'R@^._%�@;!$��#7'/.3GI@DK:.3#&!$-/.�+�9;6`E/C�C(#7'/Ca#7'I!$-F.��9F9F+$%�9F+N#7��!5.[@;�� �BPC�+$%(E;'FGRb;.367GF4]#`'O!5%c!$-/. Z KD9^.ed$dgfL4$#&C(8��c8h%DGF.36P�� "!$#&%('�%�)ji�k/Xml�n(o%�+e@DK=+$.3pPE;#&+�#7'/CI!$-;��!q!$-/.�4$#&C(8��,8�%DG/.36r-F��4[!$-F.cG/.34$#7+$.3G�!$��+$C�.�!gst4$9;�� ".I#745%(8h.�!5+�#7.34��'FGR#74jf>u�v Z #7'O?���+�#7��'P!�Xjw[JV ".�9;!])�%�+j!$-/.� "%('O!5+N#&@;E/!$#&%(',%�)/!$-/.q9;EF+$.[459;#7'F%�+�C(-/%(45!$4�x!$-/.ey�zD{}|r~�{ | �� "!$#&%('\#74]�cGF#&+$.3 "!]C�.3'/.�+���67#&�3��!$#7%(',%�)/!$-/.�yczV{}�r~�{ � ��';GRy�zD{}�^~�{ ��� "!$#&%('F4�<c-F#7 �-�<�.�+$.R "%(';45!5+�EF "!5.3G�<c#&!$-�!$-/.R "%(676`��@^%�+N��!$#&%('�%�)q�>EF8h+�E;'��[��)�����'FGwqG/<>��+�G���#&!5!5.3'*#7'�QTS�n�WYxj��'FG�<�#&!$-�!$-/.� "%(6`67��@}%�+���!$#&%('�%�)a��#7 N-F��.36[f�.�+�4$-;��GF45BDK�xZ ��8���4c�c��EF.�+3x^vV67��?��1��-PE/B�%�?���'FG�f>��+$!5%('��^<c#&.�@;�� �-�#7'*QTS�k�WYXd�'�.3#&!$-/.�+c!$-/.�y�zD{}|R~�{ | @r�� $BDC�+$%(EF'FG�<�#&!$-�u�stu��rEVJ�%�+�#&!$4c "%�+$+$.3459}%('FG;#7'/C9;67��'/.:<>�3?�.=67#78�#&!�xD!$-/.,<�%�+�67G;4$-/.�.�!a�� "!$#&%('�E;4$#7'/C=!$-/.,9rE/+$.I459;#7'F%�+>GF.34$ "+�#&9F!$#7%('�#74

�����]���R��� z �"� i�zO  ¡   �£¢z¥¤  ¡ ¤ \¦ Ul zO  ¢ze¤§P¨   ¤§ o �©��ª�«3¬5­t® i�k/Xm¯�kPo<�-/.�+$. ¨   ¤§ � °° �5± ¨,²�³5´T´T´ ²�µ iM¶ ²�³5´T´T´ ²�µ o   ¤§ #74�!$-/.� "%('F4$!$��'O!LbF?�."sY)�%�+�8 4$.36&)`stG;EF��6u���8h%('FG/stu���8h%('FG·�;EVJ}X�¸/%�+h!$-/.�yczV{}|h~·{ | @;�� $BDC�+$%(EF'FG�x ¨   ¤§ #74\��'¹#7'O?�.�+�!gs#&@;6&.hU3nh~LU3nh81��!5+�#ºJ}x/<�-/.�+$.3��4a)�%�+�#&!$4�0j.3'F+$%(45.R67#`8�#&!�x ¨   ¤§ #`4a'/%�!�#7'P?�.�+$!$#&@;67.���'FG-F��4a+���'/B XZ -/.IbF+N45!a!5.�+�8 � ��� #`'*i�k/Xm¯�kPo�#74>!$-F.R45!$��'FGF��+NG� "%�?���+�#7��'P!:»,v��� "!$#7%('� ��� � � z � � Q Ul�¼ ²q½ ¡ ² ¡ ½ � � zO¾V¿�ÀNÁ�Â\iM¶ ²   § ¡ ² À ¡   Á ¡ §  � ¶ ² ¤  ¤§ ¡ ² À ¡ ¤  Á ¡

¤§  otWi�k/Xm¯�S(o<�-/.�+$.,¡�ÃÄ��';GÆÅ¡eÃÇ��+$.RGF.�b;'/.3G�EF4$#`'/C=!$-/.R�È.�!$4���.�?Os Z 4$.�KP!$67#`'� �E/+$+�.3'O!$4RQTS(É�WÊQTS WË�Ì °NÍ Ë���Î ² ¡ ² ��Ï   ¡   ��Ï ¤  ¡ ¤  � UljÐ ²q½ ¡ ²e½;Ñ i�k/Xm¯�n(oË Ì ° Í Ë���Î ² ¡ ² ��Ï   ¡   ��Ï ¤  ¡ ¤  � Ul Ð ²q½ ¡ ²e½ ÑË i�Ò ² Ñ$Ó   Ñ ¢Ó ¤  o � ."JD92i�Ò ² Î ² � Ó   Ï   � ¢Ó ¤  Ï ¤  oc!$��B�.34,?���67E/.34I#7'��� "%(45.�!R4�E/9}.�+5sC�+$%(E/9�xeQ Ò ² Ñ$Ó   Ñ ¢Ó ¤  We��+�.�Ô � l�Õ � U�Ö�4�E/9}.�+�459;�� ".=?���+�#7��@;6&.34:<c#&!$-�× � Ö�!5% ��'FG�QTØ Ñ ¢ØjW � U1!5%¹U3nDx[!$-/.AC�.3'/.�+���!5%�+N4ÈQ Î ² Ñ Ï   Ñ Ï ¤  Ñ Ð ²e½ W�)M%�+N8Ù��4$E/9}.�+5stÚj#&.��6&C�.�@F+��=<�#7!$-�!$-/.R "%(8�8\E/!$��!$#&%('�+$.367��!$#&%('F4

Q Î ² Ñ Î ½ W � Ul}Û ²e½ÝÜ3Þ Ð Ü3Þ Ñ ß Ï   Ñ Ï §Fà � l�¶ ²  § Î ² Ñ ß Ï ¤  Ñ Ï ¤§ à � l�¶ ² ¤  ¤§ Î ² Ñi�k/Xm¯(É�oQ Ï   Ñ Î ² W � ¶ ²  § ¨ § ¤á Ï ¤á Ñ Q Ï ¤  Ñ Î ² W � ¦ ¶ ² ¤  ¤§ ¨ á ¤§ Ï á Ñ

Page 43: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

â]ã�ä3å�æVç$ãÝè\é�ê�ë_é�ì�í�çÝî�í�êrå�ï>æFí�êrå�î&ð�í�å�î�é�êHégñRå�òVã�óFæ�ô/ã�ç�è"å�çNî�êPõ ö�ö÷�øIù^úNø�ûü/ý:þ ÿ����� ����� �ù� �� û� � � û� ûü ú� ��������������������� �!��"�#�"���$&%('�� ���)��*���$+����,�����-/. ���10�243 #5� ����61'7��#�� ���)�4#�89��61��� 3;: �6�"!� <���� "!� �=������#�'��?>@� 3 6A� 3 #&� ��$;������B���' � ù û ,)CD� �!� 3 B����E� 3 �FC

. ���10�2G � 0�2�H ù þ � �ù ü � ü û� � � û� ûI � ûI=J � �ù ü � ü û� � � û� ûI � ûI ú GLK!MON�P H����BRQTS7U!V WAX�Y G � � ù� �Z �W Z ù X Z

YR[ � � ûù û Z � W Z ûù X Z

û Y H 3 #\� ���^]_��# #�`bac" :d3 ��'e����� :>@� 3 6A� 3 #f61'7��#�����"961����Bg# "�6A�h� �����jilknm 3 # 3 �)<o��� 3 ���E�f"��9B!���@p�`q#�C :d: ������C Mr �9B!���tsvu w@syx{z|'��}�7$+'�,~��$jw�����B�$+'�6���$fx�-�� �!��6�"!� �����E� #4s5�n�A�cs���� �3 �E<���� 3 ���)�5"�8^��'��g� ���������E��`q#�8~��61��%('�� ���)��*D� '�� ��� 3 '7��"�# 3 ���g� �!�D#�� ����B����AB�61'7#����61'7��#�����"�61� 3 '7�_>@�!��� ��� ��� úNø,ù^úNø�ûù ú � ���)����� �}� ���}�����!��������'���# 3 �_w�����B � ���\��� �� �!�������!��������'��A# 3 �hx M/� 3 �961�=� �!����61� 3 '7� 3 #j61'7��#�����"961����Bhz|��' : %('�� ���)��*1` 3 �)<o��� 3 ���E�61' : , 3 ����� 3 '7��#�'�z@6�"!� � ���)� #�- 3 � 3 #�� �!��� ��zL'�� � 3 �)<o��� 3 ���E��"9��B!����� ���t�7$+'�,~��$�� ��� ������`#�89��61� 3 #�' : ����� 3 ��#������!����������B4,)CD� � � úNø ù úNø ûù ú � ��� � M�� '����j� ������,c��6���"�# �f� �!�j�f`q�� ��$;B�`q#��������!��� � 3 #?#���$;z�`qB�"9��$�-9'7��$;C ��� '�z�� �!� KE� %l'�� ���)��*T��������������'���# � ������898������3 � GLK!MON7� H M�� '�'7��$+C ��� '�z@� �!� Z ��� 6�"!� �����E� #���� �h�!'7�!*�����' 3 � GLK!MON�� H M�  '��d� ���¡ S�¢c£l¤�¢ £ ,9��6 ¥¦��� '7"��9Bn-�� �!��#��j��� �&� �!�?¢�§ GLK ú ÿ H9¤=¢�§ G�� H�6�"!��� ���E� # Z�¨�© ����B Z�¨�ª«©¬ªz|'��T­ ú�® þ � ��' K ����B�­)¯ ú�® ¯ þ � ��' ö M�° ��B�z|'��5� �!�489$����!�}>/�±<��D,9��6 ¥¦��� '7"���B(-� �!��#��?�����@� �!�²6�"!� � ���)� # Z´³�µ - Z´³ ª«µAª - Z/¶!³ ����B Z�¶!³�ª zL'���·7¸O¹ þ ÿ ��' K ����B5·7¯ ú ¹¦¯ þ ���' P¦Mº �!�»����� : #�S ù Z ù ����B½¼S ûù!Z ûù 3 � GLK!MONoK HT,�������¥_¥o��8�8~�\#�C :d: ������C¾,9"!�T��$;$+'±>¿ "����)� 3 *���� 3 '7�}# 3 ��61�&� �!��C 3�: 89$+C��!'7�!`À<o��� 3 # � 3 �!�@8�� '�89���7����'���#�z|'���Á ù ����B�¼Á ûù M�° �9B� �!�y����� : J � S ù ¼S û � ù û 61' : ��#fzL� ' : � �!�=�f`q�Ã<���� ���1ÄD'�8����A����'��j����B 3;: 89$ 3 ��#�� �����61��� � � 3 ��61' : 8c'7�!���)� #l'�z9S ù ���9BżS û ��� �/��"!Ä 3 $ 3 ��� C � ��$;B�# M´  3 ����$;$+C�-oinÆ�Ç�È�ÉqÊ~B!��#�61� 3 ,c��#� �!����61� 3 '7��zL'��(� �!��>�'���$�B�# �!�����c�7�!'7#�� #l>@� 3 6A� 3 #n�!'7��`À��� 3 < 3 ��$�# 3 ��61��� �!��8~"!� ��#�8 3 ��'���#��������#�zL'�� : "��9B!����%('������E��*j���A����#�zL'�� : ��� 3 '7��#�����B}� �!������z|'�� �?61'7"!89$+�j� ��� '7"!�7�}� �!� 3 �%('�� ���)��*�6�"�� � ���)� #t��'Ë� �!��#�89��61��� 3;: ��61'7������61� 3 '7�e���9Be6�"!��<o��� "!��� M º � 3 #}�7�!'7#����61� 3 '7� 3 #

inÆ�Ç�È�ÉÀÊ þÃÌ S Â1Í � Î&Ï�Ð ¨ ÊÆ�Ç�È�ÉqÊ [ ÿ�cÑ ��� Z ��� [ ÿ� ¼Ñ ��� Z ��� [ ÿK Ñ ��� ¼Ñ 0�2 . ���Ò0�2 � GLK!MON ö H>@�!��� ��Î Ï�Ð ¨ ÊÆ�Ç�È�ÉqÊ 3 #}� �!��zL� ���g%����������!� 3 ��� 3 �Ó�_Ô~���d,9��6 ¥¦��� '7"��9BÓzL'��4� �!�g$;��z|�d����B� 3 �7�)��` : '±< 3 �!�}>/'���$;B�#��!�����&�7�!'7#�� # GÀÕ ù ú�Ö�ù H/����B G ¼Õ ûù ú ¼Ö�ûù HA- Ñ ��� þ �Â Õ � ��� Ö ����B¼Ñ ��� þ � ¼Õ � ��� ¼Ö ��� �j� �!� 3 ��$+��z|�����9B}� 3 �7�)��` : '±< 3 �!��%l'�� ���)��*@6�"!� � ���)� #�-¦����B}. ���10�23 #T� �!�t� ����������`q#�89��61�\6�"�� <o��� "�� �t�����9#�'��dB!� � �!��B 3 � GLK!MON�P H MË� '����h� ������inÆ�Ç�È�ÉqÊ 3 #3 �E<���� 3 ���)��"��9B!����$+'�6���$�� ���!�����)��`q#�89��61�=%l'�� ���E��*?� '�� ��� 3 '7��#�-)>@� 3 6�� 3 #��!��61��# #���� C}z|'��� �!�@��61� 3 '7�4��'�,c�f>���$�$�`qB!� � �!��B�'7�4� �!�@61'7#����/# "!8c����#�8~��61�jB!��# 61� 3 ,c��B�,¦C}s GL× ú Á ú ¼Á)H M

Page 44: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

Ø�Ù�Ù Ú5Û(ÜyÝ1ÞAß�à�áâLãLäålæ?ç�è!é�ç�ê=ë è�ì�ë(ë è!é�ì�ç1ë í+æ7î5í;ïnç�ð;ì�ï ï�í;ç�ì�ð;ð+ñ²ò/óyô�å_í;î)õoì�öAí;ì�îEë�÷oí�øùé�ølë è9ì�ë�úû�üÀý9þ!ÿ þ����û�ü��ý��þ �ÿ �þ ��� Ù�÷/í+ëTí�ï9ï�é���9ð�ë�æ� �öAï�ëTç1æ�����!ë�éDë è!éDé���9ì�ë í+æ7î�ï�æ����dæ�ë í+æ7î��|æ�ö ÿ þì�î�� �ÿ �þ øeô�����cæ7ï�étæ7î�éhõoì�ö�í;é�ï���� �! "�#%$'& þ $ �& �þ�( ï'�çAè�ë è�ì�ë�) þ�+* ��� �-, þ ÷

) �þ�+* ��� � , �þ ÷�ì�î��.) #�/* ��� � Ù10?è!é�ö é/2 þ � ) þ� û ���\÷32 �þ � ) �þ� û ���\÷2 # � ) #� û � � ÷nì�î�� 2 þ $ 2 �þ $ 2 # ( ì�ö é4�!é� 9î!é���í;î ü�5 ø76�8 � ø�åjè!é�î\ë è!éTç1æõoì�öAí;ì�îEë9 ôDì�ç1ë í+æ7î;:=<?>Dë�ö�ì�î�ï@�Læ�öA�dïfì�ï

* :=<?> �CBD, þ 2 #FE # þHG 2 GJI B , �þ 2 # E # �þ �G 2 �G�K ü�5 ø 5 Ù �åjè!é²ë�ö�ì�î�ï@�Læ�öA�dì�ë í+æ7î»æ�� ü�5 ø 5 Ù � í;ï�ö�é�ð;ì�ë�é��Dë�æ�êoìH���~ì5ï�ñ����}é�ë�ö�ñ4ï í;î�ç1é�0@è!é�î , þ �L G 2 # E þHG# ì�î�� , �þ � L �G 2 # E �þ �G# ÷ * :=<?>�í;ï4��ö æ��cæ�ö ë í+æ7î9ì�ð�ë�æ�ë è!é/M²í;ö�ì�ï�æ�ö æ¾ç1æ7î�Nï�ë�ö�ì�í;î)ë ïPO #�Q 2 # 2 Q ì�î��/O #�Q 2 # 2 Q øR !ö ë è�é�öA�}æ�ö é�÷�ë è�é�ç1æ����%�ë ì�ë í+æ7î�ö é�ð�ì�ë í+æ7î�ïfæ�� ü�5 ø76�S � íT���9ð+ñdë è9ì�ë

* 2 þ � û , þ I Ø5 ü EU#3Q � þG 2 #3Q , G IWV þ �G EU# �G �X 2 # , �X $ ü�5 ø 5 Ø �

* 2 �þ � û , �þ I Ø5 ü EU#3Q � �þ �G 2 #3Q , �G%Y V G �þ EU#G X 2 # , X $

* 2 #�Q � ü E[Z # V E Q]\ � G �X , G 2 �X I ü E^Z # V E Q_\ � G �X 2 G , �X0@è!é�ö é ü E Z # V E Q]\`� þ �a �cbd ü E #þHG V G �X E Q �X �a Y E QþHG V G �X E # �X �a � Kô¦æ�e¦ñ»õ�ì�ö ñ�í;îgf , þ ì�î�� , �þ ÷�æ7î!é=æ�e9ë ì�í;î�ïfë è!é�é����ì�ë í;æ7î�ïfæ��h�}æ�ë í+æ7î

û~ÿ þi�jB E #þHG 2 # 2 G I Ø5 ÿ G ü E #�Q � G þ 2 #�Q Y �ÿ �G V X �G E #X þ 2 # ü�5 ø 5 B��

I ØBü E Z # V EUQ]\ � þ �X ülk #3Q 2 �X I �k #3Q 2 �X �m$û �ÿ �þ �jB E # �þ �G 2 # 2 �G I Ø

5 �ÿ �G ü E #�Q � �G �þ 2 #�Q I ÿ G V G �X E # �X �þ 2 #Y ØBü E Z # V E Q]\ � X �þ ülk #3Q 2 X I �k #3Q 2 X � K

n ðo�f�f7í;îgfgí;î)ë�æ ü�5 ø 5 B�� ë è�é4é��p�ì�ë í+æ7î�ï5æ��q�}æ�ë í+æ7î 2 þ �rbd V þ �G �ÿ �G ì�î��s2 �þ �Y bd V G �þ¦ÿ G 0?è�í;ç�èhç1æ��dét�Lö æ���õ�ì�ö ñ¦í�îgf ÿ þ ì�î�� �ÿ �þ ÷!æ7î!éu 9î���ïv ÿ þi� Ø

Bü E[Z # V E Q]\ � þ �X ülk #3Q 2 �X Y Ø

B�k #3Q

V a �X ÿ a �m$ ü�5 ø 5 6 �v �ÿ �þ � Y Ø

Bü E Z # V E Q]\ � X �þ ü Ø

Bk #3Q

V X �a �ÿ �a I �k #�Q 2 X �m$

Page 45: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

w=x'y_zl{�|@x~}%�H�����H�D�H|����H��zJ��{��H��zl�o����zl���H�����uz��gx%��{]�gx~|m}�zl|��`�p� ���g�

�q�g���'���'�g�P�@���o��~�����g���~�'�o�������o��'�g�P�~�_ H¡H�A�o¡����'�£¢���¤�¤g���m�£ D¡H�'�o ����h¥¦¡���¤ ¥§¡H�'�F¨�©�ª¡���¤ ¨ ©3ª�«¬�­ �'�'�����A®����'��¯°�'�g���± ­ ¡H�'�o�����q��²3®����'�£���³��²�´�µ³¡���¤·¶´�¸µ³�~��®��o�g¹º²`�A��®¼»�½ «7¾�¿�À¡H�'�

¥�´ µ�Á �Â?à ©3ª�Ä_Å »`Æ ©3ª À µÇ ´ Ç ¶È Ä�Å]É »�½ « ½�½ À

¥Ê¶´ ¸µ�Á � à ©3ª�Ä_Å »`Æ Ä_Å À ¸µ ¸Ç ¶´ ¸

Ç È ©�ª°ËÌ �;»�½ « ½ ¾�À ¡���¤�»�½ « ½�½ À ¯��@��¹����'�g�����q�£�'�+�'���t�o¤g�����'�£�Îͺ��²P»�½ «7¾�Â�À ¯°�o®���Ï£Í��'��¡H�

Ð »Ñ´ µgÒ µ À Á�Ó ´ µ »`Æ[Ô ©�Õ Æ ª]Ö À µU¸× È ©�ª ¨ ¸× É »�½ « ½ÙØ À

Ð »~¶´ ¸µ ¶Ò ¸µ À Á¦Ú �Ó ¶´ ¸µ »`Æ Ô © Õ Æ ª]Ö À × ¸µ ¶È ©�ª ¨ × ËÌ �o���~� È ©�ª ÁÜÛÝ »Ñ´�Æ ©�ªpÞ À ¡���¤ß´�µ�´ Ç �o�4���'���à���'�'�o����¡�Ï��@�·»Ñ´�Æ Ä�Åâá@ãÎä ´ À »`Æ Ä�Åâá'ãÑä À µ Ç ¯�'�g�å�A�£¹�����æÎ��¡���¤+�'�o¤g����²�»�½ « ½ÙØ À �o�����'���à���'�'�£����¡�ÏU�@�Æ ©3ª Æ Ä�Åâá@ãÎä Æ Ô © Õ Æ ª]Ö «èç ­ �F�'�T���~�Æ © Æ Ä�Åâá'ãÑä ÆU© Á � ¯����g�uéU��¤����'��¡H�Æ ©3ª Æ Ä�Åâá@ãÎä Æ[Ô ©qÕ Æ ª_Ö Á Ó Æ Ä�Åâá'ãÑä Æ ª�Õ Æ ª Á Ó Æ Ä�Åâá@ãÎä Æ ª Æ�ê�ë'ì°í�î�Æ ª Õ ê�ëAìUí�î Á � Ë »�½ « ½Ùï ÀÌ � Ð »Ñ´ µ Ò µ À Á Ð » ¶´ ¸µ%¶Ò ¸µ À Á � ¡��q¤g���A�£�'��¤ «

ðòñôótõ4ö3÷§øAùèú�ûqù3üýù�õ�þàÿ� �3� ­ ÏT¤uÏo�����3�@���'��¡������'��� ������ ®���®�à���A�[²����[�o�� p�o�'�o�g¹F®��3�@��¹��£ ����'�g���@��Ï£���~� ­ �'���¡���¤�²����èé���¡������T¡�Ïg� ­ ���à���'� « � ��� ­ Ïo¤i¡�Ïo�@�uÏo�����P�@�t�'��¡���� �� �� ±%¹��A¡��Ù� ¾ ��� Ó Ø�ï�� ¿ ½Hæ¿ ¯ � �'���g��� ¹��A¡����åï�ï «7Ó ��� Ó � � ¿�¿�Â æ ¿ ¯�¡���¤ ¬������ Ì � ¹��A¡���� ¿�¿ � � Ó�� ï ¾ æ � ²`������¡H�'�'�T¡�Ïé���¡������o¡�Ï�� ­ ���°���A��¯q¡���¤ ¡�ÏoÏå®tÍ·�~��ÏoÏo¡�à���A¡H�@���A�+²����/�'�g���£�/�~�����@�A�� ­ �'�£����� « � ���o��'���@��¡H�A�m����¡��è��¡H�'�'�T¡�ÏoÏ£Ít�~����¤ ­ �~�@��¤�¤ ­ �m�o�g¹��'�g�F�à���A�£��¤�'�g�F¡ ­ �'�g���è��¡��è��®���Ï£�_Í���¤�ͺ�'�g� � ÏT¡�Í��;¡H�'�g��®i¡H�'�o��� � ���@�'�£� ­ �@�u¡��q¡ � � ��� �A�£¢�� ¬ ��ÏTÏ£�_� «

Page 46: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

���� !#"%$'&�(*)�+�,.-0/01

24365736893;:=<>3;?

@ �BA#CEDGF�D�HJI�K�LNM7O�M7P�QSRUT�VED�WXM7PZY[LNM7\�]0M7O_^9TS`aDb`�cUdEe�M7OfT�gEDUC>M�hZK�LNM�iUM7\9T�`aD�jkc�L�cUdEe�hZccU\�^lgEDm`�cUY�^�M�noT�pXq�&srt-vuxwX&�(*y=-f+�z|{�y�}o~�-�/����b&�-�z�/0q�&�r��.}�&�(Z1�/�(*-0z[�UT��;Y[RSK7DW%M�LNL�Do���7�U�����7�U���U�� U�U�SD

@ .A=�|DG��D>��h�M�M7\kcU\t^|��DG�#D�`�P*Yb��c�h��UT�r��.}�&�(*1*��y=y�&�/�(B-��*��~;������~>ro/�(*-0z[��pXq�&Z+�(*��T  e�P�OfD��;Y[R�K�D��'�7���¡���7�U���¢��£��� SD

@ �.A   D���M�h�QUI¢n�¤�L�K�T�r��.}�&�(B¥f¦�+�-0zo�Z��(¨§&ª©>+�,«�U(*-f��zt/­¬�����zt/�-_®7�U/�-f+�z¯+�°±/0q�&²r��.}�&�(B¥1B/�(B-0z[�UTo�b��³��²�U�U��´µ�f ��U�U�b����7�STaY�M�¶�·¸L�Yo¹«�U�U�������U£SD

@ ´�A#jªD�`�¤�M�iUM7OfT=©�~v��1Z1*-f�Z�U~�r��.}�&�(Z1�/�(*-0z[�kº|&Z��qS�Uz�-���1*T   e�P�OfD6�;Y[R�K�D6�� U»U�²���7�U�U»���U�SD

@ £.AEgEDG��D9`SIUhZIUQS¤_\%T�C#D½¼BD¿¾�Q«cUP*Y9T¿g#D½CEDaC>I�O�QUI¢nÀcU\t^�F#DGF�D9Á¿Y�M7O�L�e�QSY�¤Â\9Tow¿(N+�yÃ/0q�&r��.}�&�(¸}��U(B/�-f��~_&lrt-f&Ä�[&�~�r���y=ys&7/�(*�±/¸+±/0q�&År�}o-0z�z�-0z[�|¦���(B/�-f��~_&Ʀ�(�+*}�&�(²pm-�y�&r��.}�&�(Z1B�«y=y�&�/�(B��Ta��YbR�K�D�WXM�LNL�Dt�� ��7»����7�U�U�������� SD

@ ».A   D���M�h�QUI.nS¤�L�K7T'{Ç©>+�,���(B-���zo/�{��¢/�-�+�zl°�+�(µ/0q�&ÆÈE&�/Ä&�(�+U/�-f�µr��.}�&�(Z1�/�(*-0z[��É>-0/0qºk�Uz�- °7&B1�/%r�}����*&7/�-�y�&�r��.}�&�(Z1B�«y=y�&�/�(B�Ê��zo�ÅËÀ+�(B~v��1Zq�&*&�/�r��.}�&�(N�Z+Uz7°�+U(*ys��~�Ì*z�¥,«�U(*-f��zo�B&�Tt��YbR�K�DtWXM�LNL�Dt�� U�U À���7�U�U�����7�«´�D

@ �¢A=�|Dt¾XI�\t¤_\9TËÀ+�(B~��«1Zq�&*&�/�r��.}�&�(Z1B��yEy�&7/�(*-f�#wX+�(*y=��~��U/�-�+Uz�1Ê+N°ÎÍ�(�&Z&�zt¥Ïro��qbÉ;��(�®r��.}�&�(Z1�/�(*-0z[��1BTo��YbR�K�D�W%M�LNL�Da�� U»U»À���7�U���¢�����7 SD

@ �.AEÐ�DUg�M7OÂ^�e�P�T�F#D��JcUO�¶¿M�hZ¤_\9T���D�`aDU��I.��McU\�^ʳ�DU`�IUQ«c�L�P*Y�M�noT�{ÑpmÉ>-Â1�/¸+�(�w%+U(*y=��¥~��U/�-�+Uz¡+�°�/0q�&6È#&7/Ä&�(N+U/�-f�;�=Ò'ÓbÔ�r��.}�&�(*1B/�(B-�zS�JÉ>-�/0q'ºk��zt- °7&B1�/mÕÏÖ�׸ÔBØÎËÀ+�(B~��«1Zq�&*&�/r��.}�&�(Z1B�«y=y�&�/�(B��Ta��YbR�K�D�Ù�M�noDtg�´[�����7�U�U����£����SToY�M�¶�·¸L�Yo¹��U ��b�«��£���D

@ �.A   D���M�h�QUI.nS¤_L�K�T�pXq�&�È#&7/Ä&�(N+U/�-��ÎÍ�(�&Z&�zt¥Ïro��qbÉ;��(�®Er��.}�&�(Z1�/�(*-0z[�x+�zÅ�Uz�!EÒEÕ¸ÚU×ÄÔ*ØËÀ+�(B~��«1Zq�&*&�/�T   etP�OfD��;Y[RSK�Do�����������7�U�U ����U»SToY�M�¶�·¸L�Yo¹��U ������U��´�D

@ ���«AE��D�`aDt��I¢��MUT9¦���(N&#r�}a-�zo+U(JÛ>-�za&�1�-�zµr��.}�&�(Z1Ä}����B&���za�kpo&�z�¥f��-0y�&�z�1B-�+�za��~Xr���¥}�&�(Z1B�«y=y�&�/�(B-f�ÀpXq�&�+U(*-¸&B1BTo�;Y[R�K�DtW%M�LNL�Do�� U£U�����7�U���¢����´���D

@ �U�BAE��D�`aD¿��I.��MUT�¦���(N&Êr�}o-0zo+�(*1Z×�w9�Sza�7/�-f+�z|r��.}�&�(Z1Ä}����B&B1���zo�Àr��.}�&�(f�U(N��,.-0/��­pXq�&�¥+�(B-f&�1l-�z¯po&�zÜ��-0ys&�z�1*-f+�z�1Ý�Uzo�­Þ�~�&�,�&�zÜ��-�y�&�z�1*-f+�z�1BT��;Y[RSK7DW%M�LNL�D��� �������7�U���¢������D

@ �7 .AE³Doß�c�h�L�cU\9T�ÛX&Z�Z+�z�1�1*��(J~��kpXq�&�+U(*-¸&=�b&B1�rU}o-�z¿&���(Z1BTt��M�hZdscU\�\9T��¨c�hZ¤ÂK�TX�7�U���[D

Page 47: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

àXá�â¢ã�ä�åNá�æ#ç�è�é>ç�ê«ë�åBìfë�ètãJí�ä�ë�ètã�ì_î7ëUã�ìfç�è|ç�ï�ã0ð�á#ñ�ä.ò�á�å*æBã�åBì�èSó ô�õ�ö

÷ ô7ö.øEù�ú6û�ü�ý�þ_ÿ�þ��������¿åNç� ã0ð�á�á�ç��á�ã�å �Ýç�ï���äSå�áÆñ�òoì0èoç�å*æ��>ì0ã0ð±ã0ð�á�ì0å���ì�ê.ìÂæBì�ç�è��� ó[á���åNë«æ�ã¸ç��Xá�å �=ì�çUè�� æ���ð��«æ*ìfâ�æ ����� ��!#"$��%«õ�ô�õ�&Sô('*),+ù�úÎû�ü�ýtþ_ÿ�þ-�.�0/Uÿ�ý21�ú4365./Uü�"$78/Uÿ��9�%ç¢â;: ñ�ò�ëbâ*á<�=áBæ�â�åBìGò¿ã�ì�ç�è ç�ï ñ�ì=��ò � áñ�òoì0èoç�å*æ.�?>�ú�@A/"$�9útùB��CED�úoö�õGF�ô(H*)*HJILK�ô(K*'Sú

÷ ô;M�øEû�úONúQPªúSR�þ-T�D$DVU�ÿ��W��ä�åNá ñ�òoì0èoç�å*æ ë«æ � äJX�ì � ì�ëUå.�Y�;ì¸á �[Z æ ì�è ã0ð�á]\oá�è_^��ì=��á�è�æ*ìfç�èoë � ñ�ä.ò�á�å*æ.��`��á�ã�åBì�âbatë�è[óJ^dclì �e� æG\Xð�áZç�å.���fgT-/*D�D�úih'ü_/Uÿj"�úlk�5�/nmoúö�F�ô(H*)*oJIqprM�ô�ú

÷ ô('.øsR#ú[ût� 5$u*Unm�þ["$D �6é>ë � â�ä � ëUã�ìfç�è�ç�ï��åNá*á�è_^ ñoâ�ð��;ë�å�îJñ�ä.ò�á�åZæ�ã�å*ì0è[ó � ��ò � ì0ã�ä Z á�æ�äSæ.^ì0è[ó|ã0ð�áwvsxLyz\i�>ì�æBã¸çUå.^ ñtã�åBì�è[ó{�Xç�å �Êë � ì�æ.�`�qR�ü_� Tfú6ù��jCED�ú6û�ö*H*'|F�ô(H*HUöJI}&*&j���� ��!#"$��%H*K�õJ)�õ�ö*'Sú

÷ ô(o.øsR#úEût� 5$u*U�mSþ["$D(�²é>ç�ê«ë�åBìfë�ètã±í�ä�ë�ètã�ì_î7ëUã�ìfç�è çNï ã0ð�á~�å�áZá�è_^ ñoâ�ð��;ëUåNî ñ�ä.ò�á�å ^æBã�åBì0è[óxì0èlëµé>ë � ë���ì=^atë�ä���ë�â;:�óUåNç�ä�è Z �?R�ü_� T¸ú�ù��jC,D�úoûBMbö�ô4F�ô(H*H�MjILK*'*),����� �_!"$��%H�M�õM�ô(o*KSú

÷ ôn&¢øsR#ú%ûB� 5�u*Unm�þ["$D�/Uÿ�ý9f'ú���/�e/E��v�xt�z\tçBò�ç � ç�óUìfâZë � ñtã�åBì�èSó�æ.�lR�ü�� Tfú9ù��jC,D�ú%ûtMböUöF�ô(H*H*'JI�ô(KUö,����� ��!#"$��%H�M�õ�&Sô(H�õ�ú

÷ ô().øsR#ú�ût� 5$u*Unm�þ["$D ���aú�k'ü_u*Unm�/Uÿ�ý û�ú�f�ú���/*T-TÂþ-T[U��=ñ�ä.ò�á�å*æBã�åBì0è[ó�æ|ì0è�y�����ë�â :�^óUåNç�ä�è Z æ��>ì�ã0ð���^#��� � äJX ë�è Z vEá;����X�ã�å�á;�së � � � ëbâ;:��#ç � áBæ ��R�ü_� Tfú�ù��jC,D7úû�o�ô;M�FdK�õUõ�ônI�ô(H*',����� �_!#"$��%«õ�ô�õ�&Sô;M�õ�ú

÷ ô(H.øsR#ú.ût� 5$u*Unm�þ["$D �9í�ä�ë�ètã�ì_î7ë�ã�ì�ç�èxç�ï�ã0ð�á�ñ�ä.ò�á�åZæ�ã�å*ì0è[ó��>ì0ã0ð�c|ë�è�ì ï�á�æBãg�g��� ��ñ�ä.ò�á�å ^�çUì�èoâ*ë�ål�á¡ *è�ê«ë�åBìfë�èoâ*á �oùB��CED�ú_pr� "V"�úaûtM�'J&�F�ô(H*H*HJILH�M������ ��!#"$��%H*H�õJK�õJH*HSú

÷ K�õ«øsR#ú�ût� 5$u*U�mSþ["$D(��\Xð�áS\aá�è�^d��ìe�sá�è�æ*ìfç�èoë � �å�áZá�è�^Ïñoâ�ð��;ë�å�î±ñtä¢ò�á�å*æBã�åBì�è[ó ìÂæÝë\i�>ì�æBãÄá Z vEá�ê�á�äE^Ïñoâ�ð��;ë�å�î;^#��ë�sç�è Z ñoã�å*ì0è[ó*�iR�ü_� T¸úaùB��CED�ú%ûtM�K�õ9F�ô(H*H�MjIJöUö*K,���� ��!#"$��%HUö�õJ)�ô(K*H,+R#ú%ûB� 5�u*Unm�þ["$D�/Uÿ�ý9f'ú���/�e/E��¢�è­ã0ð�á9��è�ìd£�ätá�èaá�æZæsç�ïÊñtã�åBì�èSó¤\Xð�á�ç�å ��¥@GUSý%úù��jCED�ú_pr� "V"�ú�1�H¦F�ô(H*H�MjILo*'Uö,����� �_!#"$��%HUö�ô�õ�ôn&«õ�ú

÷ K�ôBøsNú��,U*u/"$����� m����#ë�å.�sç�ètì�âµñtä¢ò�á�åÄò�ë�å�ã�ì�â � á �¡fgT�/*D$D�úth'ü�/Uÿ�"�ú�k�5�/(maútM§F�ô(H*)J&*IKUöJ&j+NúO¨�ú,R�þ-D$DZþ-7�Unm�/Uÿ�ý¦�aúE>�ú[ù¥/*�.��� m�/E�?ckë�è�ì ï7áBæBã � �=ñ�ä.ò�á�å ^#�ç�ì0èoâZëUål�á¡é>ç�ê«ëUå*ìfë�ètãí�ä�ë�ètã�ì_î7ëUã�ìfç�è¡çNï�ã0ð�á¡�å�áZá�è_^ ñoâ�ð��;ëUåNîñ�ä.ò�á�å*æBã�åBì0è[ó*�Uù��jCED�únpr� "V"�ú«û�K�õJK�F�ô(H*)*)JIö*K*',+¨�ú?©�/*T-T-UJD$�G/Uÿ�ý�@|ú�¨L/u,�_7�/Uÿ�Unm��é>ç�ê«ë�åBìfë�ètã�í�ä�ë�ètã�ì_î7ë�ã�ì�ç�è�ç�ï=ã0ð�á��å�áZá�è_^ñoâ�ð��;ë�å�îEñ�ä.ò�á�å*æBã�åBì0è[ó*�aù��jC,D�ú_p6� "V"�úoû�K�õJHGF�ô(H*)*)JILKUöUöSú

Page 48: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

ª «¬ ­�®r¯�°;±.²³´�µe¶e·

¸Q¹*¹�ºs»�¼,½t¾ ¿$À*Á�Â,Ã[Ä$Å(ÆÈÇ ³É,³Ê8³Ë[³$Ì*Í}µ=ÎG¶eÉ�°�ÏgÐE±$°�ÑÒ�µ=Î�³*±qÓ6³± Ê�Ô*Ë�µ=·.ÊÖÕ;³±�¶eÉE°�Ñ_Ð�Ò�°;± ×· ¶Ø± µeÎjÌ Æ�Ù�ÚLÛBÜ «*«*«JÝAÞ ¹ «*«*«�ßq«¬�à Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä «*«*«Jà«*«Jå,æ»�¼¥½t¾ ¿$À*Á�Â,Ã-Ä$Å8ç*è_é|ês¼�ëgá_ç*è_érìí çEÆ�î ³±$°;Î�¶�ï4ð.Î_´Ô±.µdÔÎ�ñ °�³òÕw¶eÉ�°}Ï�Ð,±$°4Ñ*Ò�µ=Î�³±¯gó�Ñlô Ç ³É,³Ê8³Ë[³$Ì*Í}Õ;³±�¶eÉ�°¦Ñ_Ð�Ò�° ±�·;¶Ø±.µeÎjÌ ÆBÜ�ájõEÅ ¼Èör¾ ÄVÄ ¼�½�÷ ª;¬øÞ ¹ «*«�ªnß�å*Ý�¬ Æá�¾ â�ã#Ä$á�ä «�ª « ÷ ª;¬�Ý ¼

¸Q¹ å ºs»�¼�½B¾ ¿�À*ÁnÂEÃ[Ä$Å Æ óq°;Ë[Ô*¶ØµeÎj̤¶eÉE°wóq­�ÑzÔÎ�ù�Ï�Ð,±$°GÑÒ�µeÎ�³±}Ó6³±.Ê8ÔËúµ=·.Ês·�Õ ³±�¶eÉE°Ñ_Ð�Ò�° ±�·;¶Ø±.µeÎjÌ Æ?ÙJÚ�Û�Ü «�ª «JûGÞ ¹ «*«�ªnß�« ¹ à Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä «�ª «¬ ¹ ¬jü ¼

¸Q¹ ¬ ºs»�¼�½t¾ ¿$À*ÁnÂEÃ[Ä$Å¥ç*è_é�ý�¼nÜl¾ ¿�Å�á_Ã-è�Æ Ñ_Ð�Ò�°;±.·.ÍÊ`Ê�° ¶Ø± µØñ�¯�³± Î_×dð.ÎnÕ ° Ëþù¥Õ ±V³Êÿ¶eÉE°�Ï�ÐE±V°ÑÒ�µeÎ�³±¡Ór³± Ê8ÔËúµ�· Ê ³VÕ�¶eÉE°�Ñ_Ð�Ò�° ±�·;¶Ø±.µeÎjÌ Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä « ¹ « ÷ ª ÷ ¬ ¼

¸Q¹*÷�ºs»�¼i½t¾ ¿$À*ÁnÂEÃ[Ä$Å`ç*è_é Üi¼lÚ�Á � ¾*Æ ô�°;Î�×���µeÊ8° Î�·.µd³Î�Ô*Ë�Ñ_Ð�Ò�° ±ØÌJ±òÔ´�µe¶ØÍ Ç ³Î_· ¶Ø±VÔµ=Î�¶e·Õ ±ò³Ê2¶eÉE°�ÏgÐE±$°�Ñ*Ò�µ=Î�³±�Ór³*±.Ê8ÔËúµ�· ÊÖÕ ³±�¶eÉE°�Ñ�ÐnÒ_°;±.· ¶Ø± µ=ÎjÌ Æ�»�����d¼�Ü�ájõ,Å(¼E½ à*å ÷Þ ¹ «*« ¹ ß�ü ÷,Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä «�ª*ª ¹ ª(à« ¼

¸Q¹ à º�9¼�AçÄVÁJè�¾*Ærö�¼�Aç� ���� çÄVÁ�Æ��.¼rê�é_çEÆ��s¼��,Á*¿$Á*ÀEÃ-èAç*è�é�9¼��6ÁJè_Ã�è�Æ ô6É�°�Ñ_ÐE×Ò�° ±V° Ê��.°$ùJù*µ=ÎjÌ��g± µ[Ì*µeÎG³òÕ¡¶eÉE°�¯�°;±.²³*´nµØ¶e·qÏ�Ð,±$°�Ñ*Ò�µ=Î�³± Ç ³´�Ô*±.µdÔÎ�¶��gÐ�Ô*Î�¶Øµ[ïnÔ׶صd³Î{³òÕ�Ñ_Ð�Ò�° ±�·;¶Ø±.µeÎjÌ· Æ�»�����d¼_ÜBá�õEÅ ¼_½ à*å*ÝGÞ ¹ «*« ¹ ß�ª(û ¹,Æ�á�¾ â_ã#Ä$á�ä « ¹ «JàEª «¬ ¼

¸Q¹ ü º��s¼���¿�Ã[¾(é�ç*è�Æ�Ûq¼�Aç¿$Ä$Ã-è�¾��¡ç*è_é �?¼���á�¾(è�À*¾ ¿(Æ�Ç ³Î(Õ ³± Ê8ÔË�ð.Î�´�Ô± µØÔ*Î�ñ.°"!�Ñ_Ð�Ò�°;± ×·.ÍÊ`Ê�° ¶Ø± Í4Ô*Î�ù}Ñ�¶Ø±.µeÎjÌ{ô6ÉE°�³± Í Æ?»�����d¼�Ü�ájõ,Å(¼�½�¹ ü,ª}Þòª(Ý*û*àJßLÝ*å ¼

¸Q¹ û ºs»�¼�½t¾ ¿$À*Á�Â,Ã[Ä$Å�ç*è_é�½�¼�ë�¼ý�ç#�$��Ã$�[Á�Æ�Ç ³Î�·.µ=· ¶ ° Î�ñ Ís³òÕgÑ_Ð�Ò�°;± ×dÏ�³µeÎ�ñ�Ô±&%° Ç ³´�Ô*±.µdÔÎ�¶Ñ_Ð�Ò�° ±�·;¶Ø±.µeÎjÌ9ô_±V°.°('�ÊLÒ�Ëúµe¶ØÐ_ù�°;· Æ�Ù�ÚLÛBÜ «*«*«�ü�Þ ¹ «*«*«�ß�«�ª ÷,Æ�á_¾ â�ã#Ä$á�ä «*«*«¬_ªnü,ª ¼

¸Q¹ Ý ºsÜl¼*)�¼�+�¿�ç*Å$Å�ÃdÆ,+s¼�ÜlÁ-�-Ã$� ç*ÅVÄV¿$Á�Æ�9¼�ÜlÁ*¿$¿�çÄ$Ãlç*è_éGÜl¼�ý�ç*èA»�Ã[¾�� � ¾(è_á.�_Ã/ ¾(èrÆBÇ ³×´�Ô*±.µdÔÎ�¶(�gÐ_ÔÎ�¶Øµ-ï(ÔJ¶ØµØ³Î¤³òÕ�Ñ�ÐnÒ_°;±.· ¶Ø± µ=ÎjÌ*·10ȵضeÉ,³Ð�¶BÏ�Ð,±$°sÑÒ�µ=Î�³*± Ç ³Î_· ¶Ø±VÔµ=Î�¶e· Æá�¾ â�ã#Ä$á�ä «�ª*ª ¹ ª(à ¹ æÜl¼*)�¼2+�¿�ç*Å$Å�ÃdÆ�+s¼BÜlÁ-�-Ã3� ç*ÅVÄV¿$Á ç*è�ébÜl¼�ý�ç*觻LÃ-¾�� � ¾(è_á.�_Ã/ ¾(è�Æ ô6ÉE°549Ô�·�· Ë[°;·�·ÑÒ�°�ñ(¶Ø± ÐEÊ ³òÕ Ç ³´�Ô± µdÔÎ�¶tÑ_Ð�Ò�°;±.· ¶Ø± µeÎjÌ· Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä « ¹ « ¹ ª ¹ å,æÜl¼*)�¼#+�¿�ç*Å$Å�ÃdÆ#+`¼�ÜlÁ-�-Ã$� ç*ÅVÄV¿�ÁLç*è_é�Ül¼�ý�ç*è�»�Ã[¾�� � ¾(è_á.�_Ã/ ¾(èrÆ �gÎ8¶eÉE°B¯tó�Ñlô Ç ³×É,³Ê8³Ë[³$ÌJͦ³VÕ�Ñ_Ð�Ò�°;±.· ¶Ø± µeÎjÌ·60ȵضeÉ�7�0ȵضeÉ,³Ð�¶�Ï�Ð,±$°�ÑÒ�µeÎ�³±.· Æ�á�¾ â�ã#Ä$á�ä « ¹ «Jà ¹ ª(à,æÜl¼*)�¼8+�¿�ç*Å$Å�ÃdÆ&+s¼lÜlÁ-�-Ã$� ç*ÅVÄV¿$ÁAç*è_é9Ül¼6ý�ç*è »LÃ-¾�� � ¾(è_á.�_Ã/ ¾(è�Æ ô6ÉE° Ç ³´�Ô*±.µdÔÎ�¶�gÐ_ÔÎ�¶ØÐEÊ Ñ_Ð�Ò�°;±.· ¶Ø± µ=Î,Ì|ÔÎ�ù¤Ñ�ÐnÒ_°;± ÒEÔ±;¶ØµØñ(Ë[°8Õ.±V³Ê ¶eÉE° µ=± Ç ËþÔ�·.·.µdñ�ÔË9'Lñ(¶Øµd³Î�· Æá�¾ â�ã#Ä$á�ä « ¹ «JÝ« ¹ à ¼

¸ å« º�:�¼�:�ÁJÃ/;�ç*è�Æ=< ¼>�EÃ-¾?*¾��rç*è_é5�s¼_ý�ç#@8ç*è�Æ�â_¿�Ã[ÂçÄV¾(�;Á-@�@��_è_Ã$� çÄ$Ã[ÁJèr¼

¸ åEª ºsö�¼q½t¿�Ã�è�Àøç*è_éÖÙ�¼OÚ�¼��A��á � ç¿B *Æ �gÐ_ÔÎ�¶ØÐEÊ Ñ_Ð�Ò�°;±.·#Ò�ÔJñ.° Æ�Ü�ájõEÅ ¼qör¾ ÄVÄ ¼�½ ª «*«Þòª(Ý*ûEªnßLåEª «Eæ

Page 49: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

C�DFEHGJIAKLD"M1N�OQP8N�RTS�KVU�S�O�G(WXI�S�O�GJU$Y�S#GJU�N�OZN\[]G_^=D1`�Iba=D"KcMVGJKVUdO.e fg-h

i1jlk=mnFo,mn�p `�Iba=DKVGJq8UdMVGrN#KBM�S#OtsuP8N#O�["N#Kcv�S�w9`�IHa�D"KcMcx�v�v�D�GJKcx p2y�z�{|�j8}�~��.��j��f��#� �\f��-���-��h#h j

� �#�b�1� j��A�/m�#m�|�p�� UJs�s�D"O�C�N�EcS�w�`�IHa�D"KcMcx�v�v�D�GJKcx�U_O�G_^=D�`�Iba=D"KcMcx�v�v�DGJKVUJE���S�K"GJUJE�w/D� E�GJU�N�O p�}�~��A�j���m�L�j ��f��#� �\f��#�#�-�9�#�-� j

� �#�b�1� j2�A�$m�#m�|�p `�Iba=D"K_��Dw�sTM�U_O � U/e�^ADK¡ 6Udv�DO=McU�N�OtS�w�`�aAS�EcDGJU_v�D p�}�~��.�jX��m�L�j�2��g �\f��-���-���#��gA¢£ j � �$�L�Lm�¤�p�¥ q8UdMVGrN�KV¦§w¨Ud©#D ¥ K\S#O=Md[N�KVvªU_O ¥ DO« ]U_v�D"O=MVUJN#O=M p�y�z�{|rj�}�~��.��j�2�#¬#¬ �\f��#�#¬-���T­�h j

� �T­���£ j � �/�L�Lm�¤�p P�^=D"KVO�¦§`�Udv�N�O=M¯®2S�I-e�D ¥ ^=DFN�KVx°STM±S²`�GJKVUdO.e ¥ ^ADFN#Kcx p³}lnF´#�=jµ·¶ �F~�j f��#� �\f��#�#h-��¬#�-� p�~=m¸�¹r�F~tº �#��g��Tg-�T­ j

� �#hb�1» j*i6j �X¶ � ¶ |$�$¤ ¶ ¤�¼5½�j*i6jA¾��$|/¿#´bÀ.�$�F¿��#p WXI�S�O�GJU$Y�S#GJU�N�OÁN\[�®2S�I-e�D ¥ ^=DFN�KVU�D"M(q8U_G_^C&U_O>DBS�Kcw¨x� �DÂa=D"O>s�D"O�G�®9D"O,D"KLS#GrN�KcM p,}�~��.�j�Ã�mÀtjtÄ �#�·�\f��#�#�-���#h#¬-� j

� �#¬b� y1j � mnF¿#´bÀ.�/�F��p P8N�R�S�KcU�S�O�G�WXI=S#O�GJU/YHS#GJU�N�O²N\[¡G_^AD5`�Iba=D"KÅaAS�K"GJUJE�w/D I.McU_O�e �2IAKLD`�atU_OtN�KcM p,Æ-Ç £ } g=fg-� ����g#g=fH��g=f�¬ pt~=m¸=¹r�F~>º g=fg-h�g-h�g j

� �-�H�1» j �X¶ nB�p�È ScaÉN\[�Ê5UJG�GÅD"O,Ë M�Ì1GrN È N�x-S�w\Ë M�Ì p�}�~��.��j>��m�L�j �2hAfH������g#g=fH��­��#¬ p~=m¸=¹r�F~>º g=fg-¬Af�h-��¢» j �X¶ nB� ¶ ¤�¼ÉÍ�j µ·¶ �F�Fz=´=p P8N#v�a>IAGJU_O�e±U_Ou`tGJKcU_O�eÏÎ�U�Dw�s ¥ ^ADBN�KVxÐI.McU_O�eÐG_^ADÈ N#x#S#w�`�GrS�K(�XKLN�s�I�E�G p>~=m¸=¹r�F~tº g-��g�­��#¬�g j

� �#�b� y1j � mnF¿#´bÀ.�/�F��p�¥ N�q�S#K\sTMÑP8N#RTS�KVUJS#O�G�WXI�S�O�GJU$Y�S-GJUJN�OÁN\[�G_^AD]`�Iba=D"KV¦§v�Dv�ÒK\S#O>D p~=m¸=¹r�F~>º g-��g=f#f�hAf j

� �#�b��µ jÔÓ�m�¼=mnFÕ ¶ |$|�p � j £ j � jÔy��3|$�F�L´-¤ ¶ ¤�¼ZÄ1jÔÖ9�F�$×�¸��$�p `�atU_OtN�KVU�S�w�P8N�^.N�v�N�w/NFe#xS�Ots È S�Ø#U_v�S�w_wÙxÑ`�Iba=D"KcMcx�v�v�DGJKVUJE ¥ ^ADFN�KVUrDVM p,Æ-Ç £ } g-��g-� ����g#g-�-��g#g-� pt~=m¸�¹�F~tº g=f#fg#g-¬#�.¢}ÔjÙ�>j�Ç�´HÕ�m#pt¸�nc�/À ¶ �Lm({"´-×�×�z�¤�{ ¶ �F�$´-¤�j

� ­-gT��µ j � j�½�nFmm�¤ ¶ ¤�¼ÏÆ�j*Ç6j��A{c~�Õ ¶ nFÚ#p P8N#RTS�KVUJS#O�GX �D"M"EKVUÛa>GJUJN#OÉNL[�`�IHa�D"KcMVGJKVUdO�e#M p}�~��A�j���m�L�j ��f��#¬·�\f��#�T­��9�#¬-� j

� ­�fV� k�j £ �F�F|/mnHp µ j=Ç ¶ �F�Fz�¼ ¶ p £ jA� ¶ m�¤=m�¤�p � j=�=�/m�#m�| ¶ ¤�¼�Æ�j�Í ¶ ×�nF´-¤�p P8N�RTS#KcU�S�O�GWXI�S�O�GJU$Y�S#GJU�N�O·NL[�G_^AD�ÎlU_KcMVG�ÜcwÙ©6`�Iba=D"KÅaAS�K"GJU�Ew$D p=y�z�{|�j�}�~��A�j �2�#¬T­5�\f��#�AfH��¬-� j

� ­��b� y1j � mnF¿#´HÀA�/�F� ¶ ¤�¼ µ j � mnc�F~ ¶ ¼��L¿.�#p�z�¤=¸tz=o�|$�$�B~=m�¼�j� ­��b� y1j � mnF¿#´bÀ.�/�F� ¶ ¤�¼ÁÝ�j�ÓX~ ¶ ¤�¼�Þß ¶ p>È S�MBMcU_R�D³`�Iba=D"KcMVGJKVU_O�euàtD"K"GÅDFØÁá�a=DK\S-GrN�K³UdO

 �â�ã�ä�`�Iba=D"KcMra=S-EcD pt~=m¸=¹r�F~>º g-��g�­�f��Af j

Page 50: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

åæ-ç è1é�ê�ë"ìcí�î�ïbð_ñ_ò

ó ô#ô�õ�ö1÷�ø�ùúBû#üHýAþ/ÿ�� ��� ÷�����ÿ��������� ��� ÷��Aþ/ù��#ù�� ����� ë(ê�ð����Xð ��ñ"!AìLë � ö#�$���÷�%'&)(*��÷ø,+.- å0/\å�1�1�2.3 ô4+Tô � &=ù�5�6rÿ�&87 1Aåæ.9�æ.2Aå ÷

ó ô4:bõ<;V÷�=>��0�� � � ÷�?�ü. �þ@ ��ACB ñ � ë1ê�ë"ìcí�î�ïbð_ñ_òED8î#ïGF�ìVð"F B ñIHC!�F B ñJðKJ�F#ñJð�î B îML�NPOO�!RQ=ëìBò"ñJìcð B � � %'&)(*��÷�S�ùÿLÿ÷�ø,: 2�æT/ 2�æ#æ=åU3 + 1�9 � &�ù�5V6rÿ�&87 æ=åæ.1�æ : å ÷

ó ô ç õXW9÷Y�,÷XZ=ú[��=û.þ@ \�� �\]1÷^]1÷_?`�Lù�(�ÿ��3þK � è6î B�a b ð B ëcF�ìedCf$ë���ñJìLî�gih B F�j�ð �"òkLVì\î�jHC!�F B ñJðKJHëcg�OtñJìcð B ��ò � %'&)(l�÷�S�ùÿLÿ÷tø å�ç + /\å�1�9 : 3]å�2 +*m]1÷l]#n,ü.=ù��K����ü.ül �Vo ÷Yp�÷ o ���K�K�� ��o ÷^q6÷Aö��i5�5�þ��� �r�>÷^]1÷*slü.�Lÿ �'A Q=ë B O�ñJìVð B ��òð B ê�F.�ít�#ìLîi! B gkN,Fi!.�.ëvulðrëtf�gTò � ö#�$���÷�%'&)(*��÷�ø 2�9�æw/\å�1�9 - 3 : 1�1 m=�÷^x�÷)]� �=úBùùý_�� ��]1÷^]6÷*?y�Lù�(.ÿ��$þK �z�|{ î a b î�î[Q·ê�ë�ñ}FIu�! B �HñJðJî B ð B ñ � ë A Q=ë BO�ñJìVð B �~O�ð���j~F_�Ïî�g�ëtf�F B g_dy��!AðdïiFif/ë B �cë { ð_ñ � O�ñJìVð B �_d���ë��HñJðdï#ë`d`��!�F#ñJð�î B ò6îML�Ïî-ñJðJî B��8� ül�÷�%�&4(l�÷�S�ùÿLÿ÷�]�+ /\å�1�9�9.3]å +Tô 1 ÷

ó ô)-HõXW9÷lø�ùú��.�c&=ü�ùt� � W9÷��.ù����-þ@ �,o ÷*ö6÷'%Ôü�5,ùr�� �e%Ô÷^�³÷�?�üR�` ��Lù� � �_��� ë5ê�î�ì B�a� B L�ëtf�g`�#��ñJð�î B LVì\îij�D8î B L"î�ì�j~Fif � B ïiF�ìcð F B �Vë�î�L�ñ � ë A Q=ë B O�!UQ�ë"ìcòVñJìVð B � � %'&)(*��÷S�ùÿLÿ÷tø å�9�9w/\å�1�9 - 3 - æ m=�÷^x�÷i]# ��úFùùý��� �X]6÷^]1÷�?y�Lù�(.ÿ��$þK � �yF#ìVñJðJñJðJî B u�! B ��ñJð�î B�� ë�QtìFëVò�ë B ñ}F#ñJð�î B Lî�ìñ � ë A Q=ë B O�!RQ=ë"ìcòVñJìVð B �rd���ëc��ñJð_ï�ë_�`�HñJðJî B8� D�F B �Vëtf�f�F#ñJð�î B îML_�Ïî4�ð�!.ò � B���B ð añJðrëVòIF B g_��ëìcð_ïGF-ñJðdï#ë~D8î�ìVìLëc��ñJð�î B ò6ñrî�ê�î�ì B�a � B L�ëtf�g b F��-ìMF B �#ð F B�� ö��$���÷l%'&)(*��÷ø,+ å#å0/\å�1�9�9.3#2�æ :.÷

ó ô 9 õ o ÷Y�>÷ o &) � %Ô÷Y�>÷8��üR��ù_�� �rW�÷��.ù����-þK � OtñJìcð B ��ò_F B g~� a �ìMF B ëVò { ðJñ � ê�îi! B g aF�ìVð�ë"ò � %�&4(l�÷�S�ùÿLÿ÷tø�ô 2�9�/\å�1�1�9.3 : 1 � &=ù�5V6rÿ�&�7 1�9�æ=å�2�æ.2 ÷ó ô 1 õ��>÷^Z�÷��(ùúc�Lÿ��� � O�!RQ=ë"ìcò[hij_j�ëñJìVð"�5ê�î�ì B�a � B Lë�f�g~LcìLîij ñ � ë0�X� a ê�ì�F B ë �Co �K���c�÷

� ��� �ÿ÷8p�úc�Hýt÷ å�1r/ 2�æ#æ.2.3 ô4: 2 : � &=ù�5V6rÿ�&�7 æ.2�æ ô 2�2 :.÷ó�: æ õ�ö1÷�ø�ùúFû#übý.þ/ÿ����� �\=�÷ o &��� ���� � � O�!RQ=ëìBò"ñJìcð B � �të"ì"ñÅë�¡ A Q=ëìMF#ñrî#ìBò²ð B F B¢�£*¤�¥v¦�¤ ¥ ê�F.�"í��#ìLîi! B g � ö��$���÷�%�&4(l�÷�ø,: 1#ç�/ 2�æ#æ=åU36å�9 : � &=ù�5�6rÿ�&87 æ#æ#æ.1Aå�ç�9 ÷ó�: å õ�ö1÷�ø�ùúFû#übý.þ$ÿ�� � D8î B L"î�ì�j~Fiflu�ðrëtf�g ��� ëFî�ì�h'Lî�ì9ñ � ë`O�!RQ=ëìBò"ñJìcð B ��ð B F � Fij�î B g a

� Fij�î B g§�,f�F B 멨wF�ï�ë ê�F.�"í��#ìLîi! B g �«ª �#W�% æ.2�æ ô / 2�æ#æ.2.3 æ +.- � &=ù�5�6ÿ�&87 æ.2�æ + 2 ô 9 ÷

ó�: 2 õXSl÷¬x�ü.�K�� ­�� �®W�÷��²þ/ÿLÿLù� � ��ëìVñÅëc¡ A Q=ë"ì�F#ñrî�ìcò#Lî�ì ¢�£*¤�¯ ê#F4�"ít�-ì\î�! B g { ð_ñ �� Fij�î B g a � Fij�î B g�u�f°!.¡ �8ª �#W�% 1�1Aå#åE/\å�1�1�1.39æ#æ + � &=ù�5V6rÿ�&87 1�1Aåæ.2�æ :.÷

ó�:�+bõX�³÷.ø�ü�n�û#üHý��� �0S�÷*x�ü.�K�� ����� ìFëBë0N�ì�F�ïHðJñrî B ��j#Q8fÙðJñ"!�g�ë]ð B ê�ëìBí#î�ïHðJñ_ò a ��FML�F a¨5ðJñ�ñÅë B ��F�ìVð"F)�tf$ëVò � %'&)(*��÷�S�ùÿLÿ÷�ø,:�+.- / 2�æ#æ.2.36å :�: � &�ù�5V6rÿ�&87 æ.2�æ=åæ.2 -)mp�÷¬?�úBþ/ý#ù��þ � D8î#ìcìFëtf�F#ñJð�î B u�! B �HñJðJî B ò�ð B ê�ëìBí#î�ïHðJñ_òl±��,!.ìFë~OiQtð B î�ì<u�î#ì[j_!lf�F añJð�î B�� &=ù�5�6rÿ�&87 æ.2�æ : 2Aå -�÷

Page 51: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº

²�³�´Uµ"¶l·�³t¸<¹iºe»�¹i¼G½i·�¾ ½iº�µv¿C¶�½iº�µ"¾KÀ�½�µ"¾ ¹iºÁ¹MÂIµ�ÃV³<Ä�¶RÅV³t·[¸�µ"·�¾�º*Æ Ç�È4É

Ê�ËGÌiÍXÎ<ÏzÐPÑ�Ò�Ó�ÔRÕ*Ö�×�Ø�ÙPÚÁÏzÐPÑ�ÒcØ�Û�Ü�Ý�Ø�Ó*Þ�Ù�ßvÏzà�Ü�áVÑ�Ò�Ù�â�Ï�ã�Û*áVÓ�ÔRÕÁÜ�ä�ÝåÐ�Ï�ã�æ#Ö�Ñ�ç�Ü�ècÛ¬ÙÄ�¶RÅV³�·c¸tµ"·[¾�º)Æêé�Ãl³�¹�·[ë<¹�º<ì�í*î�ï�ð#î ï ½G¸`½�»�¹G¸�³�µ�Ä�¶RÅV³�·[ñ~½iº�¾ Â�¹iò�ó Ù*Î�á�è�ô ÏGõ'Û)Þ*Ø�ÏÐ,Ë�ö Ér÷ øiÈ�È�È4ù ö Ç Ù�ÛVÑ�úVû}×�Û�üiý�ý È4ÉiøiÈ�È Ï

Ê�Ë�ËRÍXÐ�ÏYþ�Ï�ÿ�Ü�ôKô@ÖKô�ÔVÙlú�ÒcÖ�ÕiÜi×�ÑIètÔ����Xá�ä�ÖKè�Üi×�ÖKÔ.ä�ÏÊ�Ë�öRÍXÎ<Ï�ÐPÑ�Ò�Ó�ÔRÕ*ÖK×�Ø�Ùzþ�Ï�ÿ�Ü��"ÜêÜ�ä�Ý��yÏ�� ÖK×�×�Ñ�ä�Ù »�¹iº�Â�¹i·�ñ�½�ò'¾ ³�ò�ó é�Ãl³�¹�·[ëw¹�Â��#óiÄ

�½.´���Æ�·�¹i¶lº8ó���¾"µ�Ã��y½iñ~¹iº8ó����,½iñ~¹iº8ó�'ò°¶�� Ù�4à���õ ý�ý È�� ÷MÇ ý�ý�ý ùIÈVÇ�� Ù�ÛVÑ�ú�û×�Û8üiý�ý È.øiÈ ý � Ï

Ê�Ë É Í��IÏ ��ÏRÚ�Ñ�×�Ø�ÜiÑ�Õ�Ü�ä�Ý�!<Ï !<ÏRßyØ�Ñ�Þ*×�ôKÖKä¬Ù éVë[ÅV³#"$"$ �Ä�¶RÅV³�·c¸tµ"·[¾�º)Æ%�`´Uµ"¾"¹iº�¾�ºvì�í*î�&�ðî & #½4´��tÆ.·M¹�¶*º�ó Ù8Î�á�è�ô Ï�õ�Û4ÞlØ�Ï�Ð,Ë ����÷MÇ ý�ý �.ù�Ç�È ý*Ù8ÛVÑ�ú�û}×�Û8üiý �iÈ Ë È.ø�� Ï

Ê�Ë � Í��IÏ � Ú�Ñ�×�Ø�ÜiÑ�Õ8Ù é�ë[ÅV³'"$"$ )(P·�³c³tº*��Ä8´�Ã+�'½i·�À Ä�¶RÅV³�·c¸tµ"·[¾�º)Æ«¾�º-,,ò�½iº�³/.w½i¼i³�,½iñ~¹iº�ó��0�y½iñ~¹iº8ó1 �½.´���Æ�·�¹i¶lº8ó Ù Î�á�è�ô Ïkõ'Û)ÞlØ�Ï®Ð,ö ø Ë ÷ øiÈ�È.ø.ù ÉGÈ Ù ÛVÑ�ú�û×�Û8ü ÈVÇ�Ç�øiÈ Ì�ÌVÏ

Page 52: users.ictp.itusers.ictp.it/~pub_off/lectures/lns013/Berkovits/Berkovits.pdf · ¨ª©4«N¬a}®i¯~¬ ° ±i²!³ ² ´ µ °·¶c° ¸ ¹ ²N³ º ² » ²N¼+º ½i¸ ²s¾i¿yº