ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Vũ Hoài Nam

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ

LÀM BẰNG VẬT LIỆU CÓ CƠ TÍNH BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn

Mã số: 62 44 01 07

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – 2014

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,

Đại học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đào Văn Dũng

Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Phản biện: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia

chấm luận án tiến sĩ họp tại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vào hồi giờ ngày tháng năm 20...

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

1

MỞ ĐẦU

Tính cấp thiết của đề tài

Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) là một loại composite thế hệ mới

với đặc tính chịu tải cơ và nhiệt rất tốt, khối lượng riêng nhẹ, siêu bền đã

được lựa chọn phổ biến cho các kết cấu có dạng thanh, tấm và vỏ chịu

tải phức tạp và môi trường nhiệt độ cao. Vì vậy nghiên cứu ổn định động

và dao động của các kết cấu này là những vấn đề được quan tâm hàng

đầu. Hơn nữa để tăng khả năng làm việc cho kết cấu ta thường gia cố

bằng gân gia cường. Tuy vậy, bài toán phi tuyến động lực của các kết

cấu FGM có gân gia cường (ES-FGM) vẫn là bài toán mở.

Với lý do nêu trên, luận án đã chọn đề tài: “Phân tích phi tuyến động

lực của vỏ làm bằng vật liệu có cơ tính biến thiên” có tính đến gân gia

cường lệch tâm làm nội dung nghiên cứu.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

i) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp giải tích để tìm

đáp ứng động lực và các đặc trưng của dao động hiển của vỏ thoải hai

độ cong ES-FGM, vỏ trụ, vỏ trống ES-FGM và vỏ cầu thoải FGM.

ii) Xây dựng các phương trình chủ đạo và phương pháp bán giải tích

để tìm tải tới hạn động cho các kết cấu đã nêu ở mục tiêu i) ở trên.

iii) Lập trình khảo sát bằng số ảnh hưởng của các tham số vật liệu,

hình học, các dạng lực đến đáp ứng động phi tuyến của vỏ.

Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu của luận án

Đối tượng nghiên cứu: panel trụ, vỏ thoải hai độ cong, vỏ trụ tròn, vỏ

trống và vỏ cầu thoải FGM có và không có gân gia cường.

Phạm vi nghiên cứu: dao động và ổn định động phi tuyến vỏ ES-FGM.

Phƣơng pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu bán giải tích dựa trên lý thuyết vỏ Donnell,

tính phi tuyến hình học von Kármán, phương pháp san đều tác dụng gân

của Lekhnitskii để thiết lập các phương trình chủ đạo. Áp dụng phương

pháp Galerkin, Runge-Kutta và tiêu chuẩn Budiansky-Roth để giải bài

toán phi tuyến động lực. Xác định các đặc trưng dao động hiển của vỏ.

Cấu trúc của luận án: Bao gồm mở đầu, 4 chương, kết luận, danh

mục các công trình khoa học của tác giả, tài liệu tham khảo và phụ lục.

2

Chƣơng 1: TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1.1. Vật liệu cơ tính biến thiên (Functionally graded material)

Loại FGM đang được quan tâm nhiều nhất là loại vật liệu hai thành

phần được tạo thành từ gốm (ceramic) và kim loại (metal) trong đó quy

luật hay được dùng để thể hiện cơ tính biến thiên là

2

12

; .

k

c c m m cz h

V V z V V z Vh

(1.1)

Tính chất hiệu dụng (ký hiệu effP ) của FGM với quy luật (1.1) giả

thiết được xác định theo quy tắc hỗn hợp

2

2.

k

eff eff c m mz h

P P z Pr Pr Prh

(1.2)

(a) Vật liệu phủ 2 mặt FGM

(b) Vật liệu phủ 1 mặt FGM

(c) FGM đối xứng

(d) FGM thông thường

Hình 1.2. Các cách kết hợp FGM trong kết cấu tấm, vỏ

Ngoài quy luật lũy thừa (1.1),

trong các nghiên cứu hiện nay còn

sử dụng quy luật mũ, quy luật đối

xứng, quy luật phủ mặt… như

trong hình 1.2.

Về mặt công nghệ chế tạo, FGM

có một số phương pháp: Công

nghệ luyện kim bột, lắng đọng hơi,

ly tâm và công nghệ in 3D.

Hình 1.1. Sự biến đổi tỷ phần thể

tích ceramic qua chiều dày thành

kết cấu

FGM được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau: Y học, quốc

phòng, quang điện tử, năng lượng và không gian vũ trụ.

3

1.2. Các nghiên cứu về dao động và ổn định phi tuyến của kết cấu FGM

1.2.1. Tấm và vỏ FGM không gia cƣờng

Nhóm tác giả do GS. Hui Shen Shen đứng đầu [49,69-73,94-96] đã

phân tích về ổn định của vỏ trụ FGM chịu tải cơ – nhiệt, dao động của

tấm FGM dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, tính phi tuyến hình

học von Kármán, phương pháp Galerkin và phương pháp nhiễu.

Huaiwei Huang và Qiang Han [42-48] phân tích ổn định vỏ trụ FGM.

Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán

chọn dạng nghiệm một hoặc ba số hạng và giải theo phương pháp năng

lượng. Bài toán đáng chú ý về ổn định động phi tuyến vỏ trụ FGM chịu

nén dọc trục [47], tuy vậy công trình này chỉ chọn nghiệm một số hạng.

Nhóm tác giả đứng đầu là GS. Abdullah H. Sofiyev [24,47,74-82]

nghiên cứu ổn định vỏ trụ và vỏ nón FGM sử dụng lý thuyết vỏ Donnell,

Donnell cải tiến, giải bằng phương pháp Galerkin và nguyên lý

Lagrange–Hamilton trong đó chỉ sử dụng dạng nghiệm một số hạng.

Gần đây, Sofiyev và Kuruoglu [82] nghiên cứu kết cấu phủ mặt FGM.

Alijani và Amabili [9-11] phân tích dao động phi tuyến tấm, vỏ thoải

hai độ cong FGM chịu tải cơ - nhiệt. Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell, lý

thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc cao và tính phi tuyến hình học

von Kármán, giả thiết của Volmir và phương pháp Galerkin, phương

pháp nhiễu, trong đó nghiệm được chọn dưới dạng chuỗi.

Các nhóm tác giả Việt Nam [14-18, 25-28, 30-34,91] đã nghiên cứu

dao động, ổn định tĩnh và động phi tuyến của tấm, panel trụ, vỏ thoải hai

độ cong, vỏ trụ, vỏ nón và vỏ cầu thoải FGM chịu tải cơ-nhiệt. Sử dụng

lý thuyết vỏ Donnell, Donnell cải tiến, biến dạng trượt, tính phi tuyến

hình học von Kármán, áp dụng phương pháp Galerkin, Runge-Kutta và

các tiêu chuẩn ổn định tĩnh, tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth.

1.2.2. Tấm và vỏ FGM có gia cƣờng (ES-FGM)

Công bố quốc tế năm 2009 của nhóm tác giả GS. Najafizadeh và các

cộng sự [59] với giả thiết gân gia cường làm bằng vật liệu FGM. Năm

2011, tác giả luận án đã tham gia nhóm nghiên cứu đứng đầu là GS. Đào

Huy Bích đề xuất gân gia cường được làm bằng vật liệu thuần nhất và

đẳng hướng cùng loại vật liệu với bề mặt gia cường cho kết cấu FGM.

4

Sử dụng tiếp cận này, nhóm tác giả Đào Văn Dũng và các cộng sự

[38], Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [27,29] đã nghiên cứu về ổn

định, dao động của vỏ nón, vỏ thoải hai độ cong và tấm ES-FGM. Một

số nghiên cứu trường hợp tổng quát hơn (theo Najafizadeh và các cộng

sự [59]) Đào Văn Dũng và các cộng sự [36,37,40] đã nghiên cứu về ổn

định tĩnh của vỏ trụ, vỏ nón cụt FGM có gân gia cường FGM.

Sử dụng các lý thuyết bậc nhất [19,35,39] và bậc cao cho các kết cấu

tấm, vỏ ES-FGM cũng là một hướng nghiên cứu có triển vọng.

1.3. Những kết quả đã đạt đƣợc trong nƣớc và quốc tế

1) Đã tiến hành phân tích ổn định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết

cấu FGM. Bước đầu nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu ES-FGM.

2) Đã khảo sát dao động tuyến tính và phi tuyến một số kết cấu FGM.

Bước đầu phân tích dao động phi tuyến kết cấu ES-FGM.

3) Đã nghiên cứu bài toán ổn định động phi tuyến của một số kết cấu

FGM. Chưa có các nghiên cứu ổn định động các kết cấu ES-FGM.

4) Về vật liệu, các tác giả đã nghiên cứu nhiều quy luật phân bố của

FGM, tuy vậy các nghiên cứu về FGM phủ mặt vẫn còn rất hạn chế.

5) Về kết cấu, chưa có các nghiên cứu về động lực với các kết cấu đặc

biệt như vỏ cầu thoải, vỏ trống FGM.

6) Các nghiên cứu về động lực vỏ trụ FGM với dạng nghiệm ba số

hạng kết hợp với điều kiện chu vi kín của vỏ trụ còn rất hạn chế.

1.4. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu

1) Phân tích động lực phi tuyến panel trụ, vỏ thoải hai độ cong ES-

FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài.

2) Phân tích động lực phi tuyến vỏ trụ tròn và vỏ trống ES-FGM có và

không có nền đàn hồi chịu lực dọc trục và áp lực ngoài.

3) Phân tích động lực phi tuyến vỏ cầu thoải FGM đối xứng trục chịu

áp lực ngoài với điều kiện biên ngàm có nền đàn hồi.

4) Về phương pháp tiếp cận, sử dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi

tuyến hình học von Kármán, kỹ thuật san đều tác dụng gân của

Lekhnitskii, phương pháp Galerkin và Runge-Kutta.

5) Về vật liệu, khảo sát với các cách kết hợp FGM khác nhau trong kết

cấu vỏ như FGM thường, FGM đối xứng, FGM phủ mặt.

5

Chƣơng 2: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ

THOẢI HAI ĐỘ CONG FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG LỆCH TÂM

Chương này nghiên cứu bằng tiếp cận bán giải tích hai bài toán mới:

+) Phân tích phi tuyến động lực của panel trụ ES-FGM.

+) Phân tích phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM.

Điểm khác biệt của luận án so với các kết quả đã có trước đây là các

kết cấu được gia cường bởi các gân gia cường lệch tâm

2.1. Đặt vấn đề.

Xét vỏ thoải hai độ cong FGM có hình chiếu bằng của vỏ là hình chữ

nhật hoặc hình vuông và độ nâng của vỏ nh là nhỏ so với chiều dài hai

cạnh avà b và thỏa mãn điều kiện [2] 5min( , ) na b h và 5min R h .

Vỏ thoải hai độ cong đặt trên bốn tựa đơn được gia cường bằng gân

thuần nhất đẳng hướng chịu lực nén dọc trục và áp lực ngoài. Khi gân

được gia cường về mặt ceramic thì gân được làm hoàn toàn bằng

ceramic và ngược lại khi gia cường tại mặt kim loại thì gân được làm

hoàn toàn bằng kim loại. Gân được giả thiết là mảnh, mau, đặt trực giao,

cách đều nhau, có mặt cắt ngang không đổi có thể bố trí ở mặt trên hoặc

dưới. Chi tiết kích thước của vỏ, gân và tải trọng như trong hình 2.1.

Mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng có thể được biểu diễn bởi

2

2

k

m m c c m mz h

E z z E E Eh

, , , , . (2.1)

Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số.

(a) Panel trụ (b) Panel cầu (c) Vỏ hình yên ngựa

Hình 2.1. Hệ trục tọa độ và các trường hợp của vỏ thoải hai độ cong

có gân gia cường lệch tâm

6

2.2. Các phƣơng trình cơ bản

Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học von Kármán

[20] kết hợp với lý thuyết vỏ thoải của Vlasov [2], thành phần biến dạng

tại một điểm cách mặt trung bình một khoảng z được viết

20

2

20

2

20 2

x

x

y y

xy

xy

wzx

wzy

wzx y

. (2.2)

Quan hệ biến dạng tại mặt trung bình và chuyển được biểu diễn bởi

20

0

20 0

0

0 0

1

2

1

2

xx

yy

xy

wu w w w

x R x x x

wv w w w

y R y y y

w wu v w w w w

y x x y y x x y

. (2.3)

Định luật Hooke áp dụng cho gân như sau

stx x x

sty yy

E

E

. (2.6)

Nội lực của vỏ ES-FGM được áp dụng kỹ thuật san đều tác dụng gân

của Lekhnitskii [54] trong đó có bỏ qua thành phần xoắn của gân do giả

thiết gân mảnh [20].

Phương trình chuyển động của vỏ với giả thiết Volmir [93] u w và

v w, 2

1 20

u

t,

2

1 20

v

t, là

0,

xyxNN

x y

0,

xy yN N

x y

(2.10)

7

2 22 220

02 2 2 22

xy y yx xx

x y

M M NM N wwN q

x y R Rx y x x

2 22 2 20 0

1 12 2 22 2xy y

w ww w w wN N

x y x y ty y t

.

Hai phương trình đầu của (2.10) được thỏa mãn đồng nhất nếu đưa

vào hàm ứng suất φ thỏa mãn điều kiện 2 2 2

2 2, , .

x y xyN N N

x yy x (2.12)

Hệ phương trình chuyển động và tương thích của vỏ thoải ES-FGM

4 4 4 4

11 66 12 22 214 2 2 4 4

4 4 2 2

11 22 66 122 2 4 2 2

2 22 2 2 20

2 2

2 22 20 0

2 2 2 2

2

1 12

2

0

* * * * *

* * * *

,

y x

wA A A A Bx x y y x

w w w wB B B B

R Rx y y x y

ww w w w

x y x y x yx y

w ww w

x x y y

(2.13)

2 4 4

1 1 11 12 21 662 4 2 2

4 4 4 4

22 21 11 22 66 124 4 2 2 4

2 22 2 2 20 0

2 2 2

22 20

2 2 2

2 4

2

2

* * * *

* * * * * *

w w w wD D D D

tt x x y

wD B B B B B

y x x y y

w ww w

x y x y x yy x x

ww

x y y

2 2

02 2

1 1.

x y

qR Ry x

(2.14)

Phương trình (2.13) và (2.14) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ

đạo để khảo sát phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong ES-FGM với

hai ẩn hàm w và .

8

2.3. Điều kiện biên và phƣơng pháp giải

Xét vỏ thoải có các cạnh được đặt trên tựa đơn, chịu áp lực ngoài

phân bố đều 0q và lực nén phẳng theo phương x và y phân bố đều trên

hai mặt ngang 0r và 0p . Điều kiện biên tương ứng là

00 0 0, , , , x x xyw M N r h N tại 0; ,x a

00 0 0, , , , y y xyw M N p h N tại 0; .y b (2.15)

Ta lựa chọn dạng nghiệm như sau

0 0, , sin sin ,

m x n y

w w f fa b

(2.16)

trong đó 0f là biên độ không hoàn hảo hình dạng ban đầu, f f t là

biên độ võng thêm phụ thuộc vào thời gian và ,m n là số nửa song theo

hai phương x và y tương ứng. Ở đây luận án giả thiết độ không hoàn

hảo 0w có dạng tương tự độ võng w .

Thế dạng nghiệm (2.16) vào phương trình tương thích (2.13) và giải

phương trình nhận được để tìm hàm ứng suất như sau

1 2

2 2

3 0 0

2 2

2 2

m x n y

a b

y xm x n yr h p h

a b

cos cos

sin sin .

(2.17)

Thế các biểu thức (2.16) và (2.17) vào vế trái của phương trình chuyển

động (2.14) sau đó áp dụng phương pháp Galerkin cho phương trình

nhận được

22 2

1 2 02 2

41 2

0 0 0 0 06

2 42 2 2

0 0 0 0 1 22 6

82

3

42 2

40

x y

Bd f df mn BM M D f f f f

dt A Adt

a hHf f f Kf f f f f k r k p

mn

a h ar m p n f f q

mn

.

(2.20)

Phương trình vi phân cấp hai phi tuyến (2.20) là phương trình chủ đạo

để phân tích động lực của vỏ thoải hai độ cong FGM có gân gia cường

lệch tâm hoàn hảo và không hoàn hảo.

9

2.3.1. Phân tích dao động phi tuyến

Giả sử vỏ chịu áp lực ngoài biến đổi điều hòa 0 sin q Q t và các lực

nén 0 0,r p cho trước không đổi. Phương trình (2.20) trở thành

22 2

1 2 02 2

4

0 0 0 1 2 0 06

2 42 2 2

0 0 0 1 22 6

82

3

42 2

4sin .

x y

Bd f df mn BM M D f f f f

dt A Adt

a hHf f f Kf f f f f k r k p

mn

a h ar m p n f f Q t

mn

(2.22)

Bỏ qua các thành phần cản, không hoàn hảo, phi tuyến của f . Suy ra

biểu thức hiển của tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ hoàn hảo

21

.

mn

BD

M A (2.24)

Xét vỏ dao động cưỡng bức phi tuyến không lực nén trước, tìm

nghiệm ( ) sin f t t và áp dụng phương pháp tương tự Galerkin,

thu được quan hệ tần số và biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến.

Đưa vào hệ số không thứ nguyên , mn trở thành

2 21 22

8 341

3 4.

mn mn

H H F (2.28)

trong đó là biên độ của dao động cưỡng bức phi tuyến.

2.3.2. Phân tích ổn định động phi tuyến

2.3.2.1. Tiêu chuẩn ổn định động Budiansky-Roth

Tiêu chuẩn này được phát biểu: Dưới tác động của tải trọng động, độ

võng của kết cấu theo thời gian với biên độ tăng dần. Nếu biên độ tăng đột

ngột thì kết cấu mất ổn định. Thời điểm tương ứng với sự tăng đột ngột

này là thời điểm tới hạn dcrt t , tải tương ứng là tải tới hạn động. Về

phương diện hình học, đường cong độ võng - thời gian tăng độ dốc đột

ngột và đạt cực đại qua điểm đổi dốc đầu tiên. Luận án sử dụng đề xuất

của Huang và Han [47], lấy thời điểm mất ổn định 2 2 0.

dcrt t

d f dt

10

2.3.2.2. Ổn định động của vỏ thoải ES-FGM chịu áp lực ngoài và lực

nén trƣớc dọc trục

Trong phần này ta tiến hành khảo sát ổn định động lực của vỏ thoải

hai độ cong ES-FGM chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo thời gian

0 q ct và lực nén trước 0 r const , 0 p const . Ta có

22 2

1 2 02 2

4

0 0 0 1 2 0 06

2 42 2 2

0 0 0 1 22 6

82

3

42 2

4.

x y

Bd f df mn BM M D f f f f

dt A Adt

a hHf f f Kf f f f f k r k p

mn

a h ar m p n f f ct

mn

(2.31)

Giải phương trình (2.31) trong trường hợp tổng quát gặp khó khăn về

toán học. Do đó, ta giải bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn [7].

Thời gian tới hạn động lực dcrt nhận được bằng cách áp dụng tiêu

chuẩn Budiansky-Roth và tải trọng tới hạn động tương ứng dcr dcrq ct .

Tải trọng vồng tĩnh được xác định bằng cách bỏ qua thành phần quán

tính, cản và cho 0 0f và áp dụng tiêu chuẩn mất ổn định cực trị

6

4 21 2

322 2

2 2

108

2 3 9 2

uppermn

qa K

B BH K D H K D H

A A

,

(2.39)

và tải vồng cận dưới 6

4 21 2

322 2

2 2

108

2 3 9 2 .

lowermn

qa K

B BH K D H K D H

A A

(2.40)

Tải tới hạn tĩnh được xác định min ,scr upperq q , . m n

Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6].

11

2.3.2.3. Ổn định động của panel trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục

Xét panel trụ ES-FGM chỉ chịu lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo

thời gian 0 r ct , phương trình (2.20) trở thành

22 2

1 2 02 2

22

0 0 0 02

82

3

2 2 0.

Bd f df mn BM M D f f f f

dt A Adta h

Hf f f Kf f f f f m f f ct

(2.42)

Tương tự, giải phương trình (2.42) và áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-

Roth để xác định tải trọng tới hạn động. Tải vồng cận trên nhận được

22

2 2upper

Br D

Am a h

, (2.45)

và tải vồng cận dưới được xác định theo tiêu chuẩn mất ổn định cực trị,

22 2

2 2 4.

lower

B Hr D

A Km a h (2.46)

Tải tới hạn tĩnh được xác định min , , . scr upperr r m n

Kết quả này trùng với kết quả trong công trình [6].

2.4. Kết quả số và thảo luận

Trong chương này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do

tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động… và ảnh hưởng của vật liệu,

kích thước hình học, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của

panel trụ, vỏ thoải hai độ cong FGM. Một số kết quả tiêu biểu như sau:

Hình 2.3. Ảnh hưởng của biên độ

lực cưỡng bức Q tới đường cong

tần số - biên độ của panel cầu có

gân gia cường lệch tâm

( 5 , x yR R R m 1k ).

Hình 2.13. Ảnh hưởng của gân tới

đường cong thời gian - độ võng của

panel cầu không gân

(q0(t)=105sin100t, R=5m, k=1)

12

Như quan sát được trong hình 2.3, biên độ của lực cưỡng bức giảm thì

đường cong tần số - biên độ của dao động cưỡng bức tiến sát tới dao

động tự do phi tuyến. Đường cong thời gian – biên độ độ võng thể hiện

trong hình 2.13 khi tần số của lực cưỡng bức nhỏ hơn nhiều tần số dao

động tự do tuyến tính thì biên độ của đường cong thời gian – biên độ độ

võng vỏ có gân nhỏ hơn rất nhiều vỏ không gân.

Hình 2.23 thể hiện đường cong tải - độ võng của panel trụ FGM hoàn

hảo không gân chịu nén dọc trục. Như chỉ ra trong hình 2.25, đối với

panel trụ không hoàn hảo thì đoạn mất ổn định rất thoải. Trong trường

hợp này không thể sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth.

Hình 2.23. Ảnh hưởng của mode

vồng tới đường cong tải - độ võng

của panel trụ FGM không có gân

gia cường.

Hình 2.25. Ảnh hưởng của độ

không hoàn hảo tới đường cong tải

- độ võng của panel trụ FGM có

gân gia cường.

2.5. Kết luận chƣơng 2

Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:

1. Hiệu quả gia cường của gân là rõ ràng trong mọi kết quả khảo sát.

2. Hiện tượng phách điều hòa xuất hiện khi tần số dao động cưỡng

bức tiến sát với tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ.

3. Độ không hoàn hảo ảnh hưởng lớn với ổn định phi tuyến của panel

trụ chịu lực nén dọc trục khi làm độ dốc của đoạn mất ổn định giảm và

không thể áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth trong trường hợp này.

4. Đối với vỏ FGM không gia cường, tần số dao động tự do tuyến tính

phụ thuộc vào hai thông số: độ cong Gauss x yk k và x yk k . Tuy vậy

đối với vỏ FGM có gân gia cường thì lại có sự khác biệt.

5. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích, độ cong của vỏ tới ứng xử động

lực của vỏ cũng thể hiện một cách rõ rệt.

13

Chƣơng 3: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ TRỤ

TRÕN VÀ VỎ TRỐNG FGM CÓ GÂN GIA CƢỜNG LỆCH TÂM

Điểm mới của chương này là:

+) Đề xuất quy luật mở rộng quy luật phân bố Sigmoid của FGM.

+) Xây dựng các phương trình chủ đạo và trình bày phương pháp giải

bài toán phi tuyến động lực của vỏ trống ES-FGMC.

+) Mở rộng kết quả của Huang và Han [47] năm 2010, với kết cấu gia

cường. Độ võng được chọn là biểu thức một số hạng và ba số hạng.

+) Phân tích phi tuyến động lực của vỏ trụ FGM chịu nén dọc trục và

áp lực ngoài với một số loại gân gia cường hay gặp trong kỹ thuật.

3.1. Đặt vấn đề

Bài toán vỏ trống phủ mặt FGM có điều kiện biên tựa đơn tại hai đầu

vỏ và được gia cường bởi hệ thống gân đai và gân dọc thuần nhất.

Hình 3.1. Vỏ trống có gân gia cường lệch tâm

Độ cong dọc 1 a mang giá trị dương với vỏ trống lồi và giá trị âm đối

với vỏ trống lõm. Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternak. Chi tiết

14

kích thước và vật liệu được thể hiện trong hình 3.1 và 3.2.

(a) (b)

Hình 3.2. Các loại vật liệu phủ mặt FGM

Các tính chất hiệu dụng của vỏ Preff như mô đun đàn hồi E , và

mật độ thể tích có thể được xác định bởi

2

2 2

2

2 2

in

ou

effeffou inio

ineffeff

ou inin

effeffou ouio

ou

kz h h

h zh h

z h z hk

z h hz h

h h

Pr Pr , ,

Pr Pr , ,

Pr Pr , ,

(3.1)

ở đây ký hiệu chỉ số dưới ,ou in chỉ các đặc trưng của hai lớp FGM ở

phía ngoài và phía trong vỏ. Đây là quy luật tổng quát dành cho kết cấu

thuần nhất, FGM phủ mặt, FGM đối xứng và FGM theo quy luật lũy

thừa. Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số.

Phương trình tương thích biến dạng và phương trình chuyển động của

vỏ trống nhận được

4 4 4 4

11 66 12 22 214 2 2 4 4

4 4 2 2

11 22 66 122 2 4 2 2

2

1 12

* * * * *

* * * *

wA A A A Bx x y y x

w w w wB B B B

R ax y y x y

2

2 2 2

2 20,

w w w

x y x y

(3.6)

15

2 4 4

1 1 11 12 21 662 4 2 2

4 4 4 4

22 21 11 22 66 124 4 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

1 2 2 2

4

2

1 12

* * * *

* * * * * *

w w w wD D D D

tt x x y

wD B B B B B

y x x y y

w w w

R a x y x yx y y x x y

w wK w K

x y0 0.

q

(3.7)

Phương trình (3.6) và (3.7) là hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ

đạo để khảo sát đáp ứng phi tuyến động lực của vỏ thoải hai độ cong với

hai ẩn độc lập w và . Đây là hai phương trình tổng quát phân tích ứng

xử động lực của một số loại vỏ như vỏ trống lồi, vỏ trống lõm và vỏ trụ.

Khi độ cong 1 a mang giá trị dương và âm đối với vỏ trống lồi và vỏ

trống lõm, a đối với vỏ trụ tròn tương ứng.

3.2. Ổn định động phi tuyến vỏ trụ ES-FGM chịu lực nén dọc trục:

Độ võng chọn một số hạng

Vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi bao quanh được đặt trên tựa đơn và

chịu lực nén dọc trục 0 0r r h(N/m). Điều kiện biên trong mục này là

00 0 0 0, , , , ; . x x xyw M N r h N tai x L (3.8)

Độ võng và độ không hoàn hảo được lựa chọn như biểu thức 2.16. Áp

dụng phương pháp tương tự ta thu được phương trình chuyển động

24

1 0 0

2 2 20 0

2

2

4 2 2 2 2 21 2

2

0

d f BL D f Gf f f f f

A

L m hr f f

dt

L K f L m n K f

.

(3.13)

3.2.1. Ổn định tĩnh

Bỏ qua thành phần quán tính và độ không hoàn hảo, tải vồng tĩnh của

vỏ trụ hoàn hảo có thể xác định theo tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh

2

2 2 2 2 2 2

4 2 2 2 2 21 21

sbu

Br D

AL m h L m h

L K L m n K

. (3.16)

Tải tới hạn tĩnh được xác định minscr sbur r vs. ,m n .

16

3.2.2. Ổn định động phi tuyến

Phân tích ổn định động phi tuyến được khảo sát với hai loại tải trọng:

i) Lực nén dọc trục thay đổi tuyến tính theo thời gian 0r = ct .

ii) Vỏ chịu tải trọng bậc thang với bước thời gian vô hạn 0r = const, t .

Bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kutta và sử dụng tiêu chuẩn

Budiansky-Roth để xác định tải tới hạn động của vỏ.

3.3. Ổn định động phi tuyến vỏ trống ES-FGMC chịu tải dọc trục và

áp lực ngoài: Độ võng chọn ba số hạng

Xét trường hợp vỏ trống ES-FGMC với hình dạng gân khác nhau hoàn

hảo chịu tải kéo và nén dọc trục và áp lực ngoài. Nghiệm xấp xỉ của w thỏa mãn điều kiện biên (3.8) theo nghĩa trung bình có dạng

20 1 2sin sin sin ,

m x ny m xw f f f

L R L (3.17)

trong đó 0 0( )f f t là độ võng đều phụ thuộc vào thời gian của trạng

thái trước vồng, 1 1( )f f t là độ võng tuyến tính phụ thuộc vào thời gian

của trạng thái sau vồng, 2 2( )f f t là độ võng phi tuyến phụ thuộc vào

thời gian của trạng thái sau vồng.

Thực hiện các bước tương tự chương 2, áp dụng phương pháp

Galerkin và kết hợp với điều kiện chu vi kín [43]

2 2 20

0 0 0 0

10

2

R L R L

yv w wdxdy dxdyy R y

, (3.22)

ta thu được hệ 3 phương trình vi phân cấp hai chuyển động của vỏ.

3.3.1. Phân tích ổn định tĩnh

Tương tự chương 2, tải dọc trục vồng cận trên của vỏ trống ES-FGMC

được xác định theo tiêu chuẩn rẽ nhánh 1

3411 16 12

312upper

Hr H H H

H

, (3.28)

và áp lực ngoài vồng cận trên cũng nhận được theo tiêu chuẩn rẽ nhánh

11

12 3317

312

.

upper

Hq

H HH

H

(3.30)

17

3.3.2. Phân tích động phi tuyến

Sau khi biến đổi ta thu được

22 20 0

11 0 12 1 13 1 2 14 2 15 0 22

13 0 14 0 16 1 0 17 1 2 18 2 2

2

0,

d f dff f f f f r f

dtdt

q r K f K f K f

(3.34)

221 1

22 1 21 1 0 22 1 2 25 1 22

323 1 24 1 0 25 1 0 26 1 1 0 27 1 1 2

28 2 1 2 28 1 1 29 2 1

2

0,

d f dff f f f f f f

dtdt

f f q f r K f f K f f

K f f K f K f

(3.35)

22 22 2

31 1 32 1 2 33 22

34 0 2 35 1 2 0 36 2 2

2

30

4

d f dff f f f

dtdt

r f K f f K f

.

(3.36)

Đặt maxf W , trong đó lưu ý rằng 0 0f f t , 1 1f f t , 2 2f f t

và f f t , từ phương trình (3.17), độ võng lớn nhất nhận được

0 1 2, f f f f (3.37)

tại 2

iL

xm

, 2

j R

yn

trong đó ,i j là các số nguyên dương lẻ.

3.3.2.1. Ổn định động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC

i) Trƣờng hợp 1: Vỏ trống chỉ chịu áp lực ngoài tăng tuyến tính theo

thời gian 0 qq c t . Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và lực dọc trục.

ii) Trƣờng hợp 2: Vỏ trống chỉ chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo

thời gian 0 rr c t . Ta bỏ qua thành phần cản nhớt và áp lực ngoài.

iii) Trƣờng hợp 3: Vỏ trống chịu lực dọc trục tăng tuyến tính theo

thời gian 0 rr c t và áp lực ngoài tĩnh 0 q const hoặc ngược lại áp lực

ngoài tăng tuyến tính theo thời gian 0 qq c t và lực dọc tĩnh 0 r const .

Phương trình (3.34-3.36) là hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp

hai liên quan và phức tạp. Trong luận án này, hệ phương trình này được

giải bằng phương pháp Runge-Kutta. Tải tới hạn động được xác định

bằng tiêu chuẩn Budiansky-Roth với độ võng lớn nhất theo (3.37).

18

3.3.2.2. Dao động phi tuyến của vỏ trống ES-FGMC

Vỏ trống ES-FGMC chịu áp lực ngoài theo quy luật điều hòa, giải hệ

phương trình nhận được bằng phương pháp Runge-Kutta.

Bỏ qua thành phần độ võng đều và độ võng phi tuyến, tần số dao động

tự do tuyến tính không cản của vỏ trống ES-FGMC được xác định bởi

22 1 28 2 29mn K K . (3.49)

Tương tự chương 2 quan hệ biên độ - tần số nhận được

2 223 242 2

4 3 81

4 3.

mn mn mn

Q (3.51)

3.4. Kết quả số và thảo luận

Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do

tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động… và ảnh hưởng của vật liệu,

kích thước hình học, nền, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của

vỏ trụ tròn, vỏ trống FGM và FGMC. Một số kết quả tiêu biểu như sau:

Hình 3.5. Đường cong tải - độ

võng của vỏ không gân chịu tải

trọng bậc thang kéo dài vô hạn

Hình 3.10. Ảnh hưởng của tỷ số

đặc trưng tỷ phần thể tích k tới

đường cong tải - độ võng chịu tải

nén tăng tuyến tính theo thời gian

của vỏ trụ gân ngoài.

Hình 3.43. Ảnh hưởng của chỉ số k

tới đường cong tải - độ võng của vỏ

trống lồi phủ mặt FGM chịu kéo.

Hình 3.49. Ảnh hưởng của hệ số

nền 1K tới đường cong tải - độ

võng của vỏ trống lồi phủ mặt

FGM chịu nén dọc trục.

19

Như quan sát được trên hình 3.5, có một bước nhảy đột ngột của giá

trị độ võng trung bình khi giá trị tải trọng đạt tới giá trị tải tới hạn bậc

thang của vỏ.

Hình 3.10 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ số đặc trưng tỷ phần thể tích k tới

đường cong tải - độ võng của vỏ không gân và có gân chịu tải nén dọc

trục tăng tuyến tính theo thời gian. Cũng tương tự trường hợp panel trụ

chịu nén dọc trục khi độ dốc của khoảng mất ổn định của vỏ không hoàn

hảo rất nhỏ. Vì vậy rất khó để sử dụng tiêu chuẩn Budiansky-Roth để

xác định được tải tới hạn động.

Hình 3.43 chỉ ra ảnh hưởng của hệ số đặc trưng tỷ phần thể tích tới

đường cong tải - độ võng của vỏ trống không gân chịu kéo dọc trục. Có

thể nhận thấy đường cong tải - độ võng ở giai đoạn trước mất ổn định

gần như một đường thẳng nằm phía trên trục tọa độ.

Hình 3.49 cho thấy ảnh hưởng của 1K tới đường cong tải – biên độ độ

võng vỏ trống lồi chịu nén. Đường cong tải – biên độ độ võng của trạng

thái trước mất ổn định gần như đường thẳng nằm dưới trục hoành. Độ

dốc của đường cong trước mất ổn định thay đổi lớn khi 1K thay đổi.

3.5. Kết luận chƣơng 3

Một số nhận xét đáng chú ý rút ra từ các kết quả khảo sát như sau:

1. Hiệu quả gia cường của gân vẫn thể hiện một cách rõ ràng.

2. Đối với vỏ trụ và vỏ trống lõm, chỉ tồn tại tải tới hạn nén dọc trục,

ngược lại đối với vỏ trống lồi tồn tại cả tải tới hạn kéo và nén dọc trục.

3. Đối với dạng nghiệm độ võng một số hạng, đường cong tải - độ

võng của giai đoạn trước mất ổn định của vỏ trụ gần như là một đường

thẳng bám sát trục hoành, ngược lại với dạng nghiệm ba số hạng đường

cong này gần như một đường thẳng nằm phía trên hoặc dưới trục hoành.

4. Trong trường hợp vỏ trống chịu kéo, độ dốc của đường cong trước

mất ổn định của vỏ không thay đổi khi 1K và 2K thay đổi.

5. Đối với vỏ trụ chịu áp lực ngoài, gân dọc ảnh hưởng nhỏ còn gân

đai ảnh hưởng lớn tới tải tới hạn động, ngược lại với tải nén dọc trục.

6. Gân đai ảnh hưởng rất lớn và gân dọc ảnh hưởng nhỏ tới tải tới hạn

kéo dọc trục của vỏ trống, ngược lại, với vỏ trống chịu nén dọc trục.

20

Chƣơng 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ĐỘNG LỰC CỦA VỎ CẦU

THOẢI ĐỐI XỨNG TRỤC FGM

Mục tiêu chương này là nghiên cứu về dao động và ổn định động đàn

hồi phi tuyến của vỏ cầu thoải FGM và FGMC trong đó có xem xét tới

ảnh hưởng của nhiệt độ. Hàm ứng suất được xác định một cách chính

xác từ phương trình tương thích và sử dụng phương pháp Galerkin tính

trên toàn miền biên của vỏ.

4.1. Đặt vấn đề

Xét vỏ cầu thoải với bán kính cong R , bán kính đáy a , bề dày h như

thể hiện trên hình 4.1. Vỏ được đặt trên nền đàn hồi theo mô hình hai hệ

số Pasternak. Chu tuyến đáy bị ngàm cứng hoặc ngàm trượt, áp lực

ngoài phân bố đều 0q và nhiệt độ tăng đều trong toàn kết cấu.

Hình 4.1. Hình dạng và hệ trục tọa độ của vỏ cầu thoải

4.2. Phƣơng trình chủ đạo

Áp dụng lý thuyết vỏ Donnell và tính phi tuyến hình học của von

Kármán trong đó có xem xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ và độ không

hoàn hảo ta nhận được hệ phương trình tương thích và chuyển động

22 22 0 0

2 2 2

2

0 1 2 1 12

1 1 1

2 0,

s s

s

w ww wD

R r r r r rr r rw w

q K w K wtt

(4.12)

21

22 22 0 0

2 2 21

1 1 1 1ss

w w ww w w w

E R r r r r r rr r r

. (4.13)

Hai phương trình (4.12) và (4.13) là hệ phương trình chủ đạo vi phân

phi tuyến theo hai ẩn hàm w và .

4.3. Phân tích phi tuyến động lực

Xét vỏ cầu chịu ngàm trên biên và chịu áp lực ngoài phân bố đều trên

bề mặt ngoài và nhiệt độ tăng đều. Điều kiện biên được xác định

0r , w f , 0w

r

,

r a , 0w

wr

, 0r rN N ,

(4.14)

trong đó f f t là biên độ độ võng. Trong trường hợp ngàm trượt thì

0 0rN , trong khi nếu ngàm cứng 0rN là phản lực trên cạnh biên.

Nghiệm xấp xỉ được chọn để thoả mãn các điều kiện biên (4.14) là

22 2

0 0 4

a rw w f f

a

, , , (4.15)

trong đó độ không hoàn hảo 0w được giả thiết cùng dạng với độ võng.

Thay (4.15) vào (4.12) và lấy tích phân, xác định các hằng số tích

phân theo điều kiện về tính hữu hạn và điều kiện ràng buộc trên biên

5 2 3 7 2 54 31 01

4 8

1 0102

2 2

6 2 6 3

2

3 2r

E f f fE f r a r r a ra r

r a R a

E f f fE fr r N r

R a

,

(4.16)

trong đó 0 0rN đối với trường hợp cạnh biên của vỏ ngàm trượt.

Thay các phương trình (4.15), (4.16) vào (4.14) và áp dụng phương

pháp Galerkin, nhận được

2

1 2 0 3 02

4 0 0 5 0 0

00 1 22

2 2

2

3 42

5

r

r

d f dfM M H f H f f f H f f f

dtdtH f f f f f H f f N

Nq K f K f

R a

.

(4.17)

22

Xét vỏ cầu ngàm cứng chịu áp lực ngoài và nhiệt độ tăng đều. Điều

kiện ngàm cứng là 0u tại r a , được thỏa mãn theo nghĩa trung bình

2

0 0

0

aurdrdr

. (4.18)

Sau đó, thế kết quả vào phương trình (4.17), dẫn tới

21

1 1 22 2

5 0 1 5 3 0

22 0

4 2 5 0 0 0

23 42

5

12

2

2+ 2

1

m

m

Gd f dfM M H K K f

dt Rdt a

H f f G H H f f f

GH f f f

R

H G H f f f f f qR

.

(4.22)

Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ ngàm trượt và ngàm cứng

không cản tương ứng được xác định bởi

1 1 22

1 3 4+

5H K K

M a

, (4.25)

11 1 2 52

21 3 4+

5 1

mGH K K H

M Ra

. (4.26)

Xét vỏ cầu thoải chịu áp lực ngoài biến đổi theo thời gian có dạng

điều hòa 0q Q t sin . Thế dạng tải trọng này vào phương trình (4.17)

và (4.22) và sử dụng phương pháp Runge-Kutta để giải.

Đối với trường hợp ổn định động phi tuyến của vỏ chịu tải tăng tuyến

tính theo thời gian 0q ct , tương tự ta cũng thay dạng tải trọng này vào

phương trình (4.17) và (4.22), bỏ qua hệ số cản nhớt tuyến tính, sau đó

áp dụng phương pháp Runge-Kutta và cuối cùng sử dụng tiêu chuẩn ổn

định động Budiansky-Roth để xác định tải tới hạn động của kết cấu.

4.4. Kết quả số và thảo luận

Trong nội dung này luận án đã khảo sát chi tiết tần số dao động tự do

tuyến tính, tải tới hạn động, đáp ứng động và ảnh hưởng của vật liệu,

kích thước hình học, nền, độ không hoàn hảo và tải trọng tới ứng xử của

vỏ. Đơn cử một số kết quả tiêu biểu như sau:

23

Hình 4.8. Ảnh hưởng của loại vỏ

tới đường cong thời gian – biên độ

độ võng của vỏ cầu thoải ngàm

trượt (a=1m, R a=3,

0q =105sin(500t) N/m

2)

Hình 4.10. Ảnh hưởng của 2K tới

đường cong tải – biên độ độ võng

của vỏ cầu thoải phủ mặt FGM

ngàm trượt (a=1m, R a=3, c=109

N/m2s)

Ảnh hưởng của loại vỏ tới đường cong thời gian – biên độ độ võng

của vỏ cầu thoải được thể hiện trên hình 4.8. Rõ ràng rằng, biên độ đáp

ứng của của vỏ kim loại là lớn nhất tương ứng với vỏ có tỷ lệ ceramic

thấp nhất. Ảnh hưởng của hệ số nền 1K được khảo sát trong hình 4.10.

Trường hợp khảo sát này chỉ ra rằng độ dốc của khoảng mất ổn định

trong đường cong tải – biên độ độ võng của vỏ cầu thoải FGMC đều

giảm khi ta tăng hệ số nền, độ dốc này giảm nhanh khi tăng 1K .

4.5. Kết luận chƣơng 4

Một số nhận xét đáng chú ý như sau:

1. Ảnh hưởng của điều kiện biên ngàm cứng hay ngàm trượt ảnh

hưởng đặc biệt lớn tới ứng xử của vỏ cầu thoải FGM và phủ mặt FGM.

2. Ảnh hưởng của nhiệt độ tăng đều là nhỏ với vỏ cầu ngàm cứng.

3. Đối với vỏ cầu thoải không hoàn hảo, độ dốc của khoảng mất ổn

định không thay đổi nhiều so với trường hợp vỏ hoàn hảo.

4. Khi độ thoải của vỏ tăng lên, đường cong tải – biên độ độ võng trở

nên rất thoải ở khoảng mất ổn định.

5. Độ dốc của đường cong tải – biên độ độ võng ở khoảng mất ổn định

giảm nhanh khi 1K tăng lên nhưng giảm chậm khi tăng 2K .

6. Ảnh hưởng của các thông số hình học, vật liệu, thông số tải cũng

được xem xét chi tiết và cũng nhận thấy các hiện tượng tương tự với các

loại vỏ trong các chương trước và nghiên cứu của các tác giả khác.

24

KẾT LUẬN

Luận án đã thu được một số kết quả mới sau đây:

1. Đã góp phần đề xuất phương án gia cường gân thuần nhất và đề

xuất quy luật mở rộng của quy luật phân bố Sigmoid cho kết cấu FGM.

2. Dựa trên lý thuyết vỏ Donnell, tính phi tuyến hình học của von

Kármán và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitskii, đã thiết lập

các phương trình chủ đạo của bài toán ổn định động phi tuyến và dao

động phi tuyến của một số dạng kết cấu vỏ FGM có và không có gân gia

cường lệch tâm.

3. Bằng tiếp cận giải tích, sử dụng phương pháp Galerkin, phương

pháp Runge-Kutta đã phân tích bài toán ổn định động phi tuyến để nhận

được (hệ) phương trình chuyển động và áp dụng tiêu chuẩn Budiansky-

Roth để nhận được giá trị lực tới hạn động của vỏ. Đối với các kết cấu

vỏ trụ và vỏ trống FGM, đã trình bày hai dạng nghiệm của độ võng:

nghiệm một số hạng và nghiệm ba số hạng.

4. Bằng tiếp cận như trên, đã nhận được các (hệ) phương trình dao

động phi tuyến của các kết cấu, đã khảo sát bằng số đáp ứng thời gian –

biên độ độ võng và xác định các đặc trưng động lực dưới dạng hiển.

5. Luận án đã phân tích động lực của các kết cấu vỏ có hình dạng

phức tạp như: vỏ thoải hai độ cong, vỏ trống và vỏ cầu thoải. Trong đó,

các bài toán có tính phức tạp khi xem xét tới nhiều yếu tố như: gân gia

cường, nền đàn hồi, tính không hoàn hảo của kết cấu, các dạng FGM

khác nhau và các dạng tải trọng khác nhau.

6. Đã lập trình và khảo sát bằng số một cách chi tiết các ảnh hưởng

của gân, nền, độ không hoàn hảo, tính chất vật liệu, kích thước hình học,

các cách bố trí gân tới ứng xử động lực của vỏ. Từ đó rút ra các nhận xét

có ý nghĩa cho các nhà thiết kế xem xét sử dụng trong thực tế kỹ thuật.

Nội dung của chủ yếu của luận án được công bố và gửi đăng trong

14 công trình. Trong đó có 10 công trình đã xuất bản, bao gồm:

- 2 bài đăng trên các tạp chí quốc tế SCI

- 2 bài đăng trên các tạp chí quốc tế SCIE

- 3 bài đăng trên tạp chí Vietnam Journal of Mechanics

- 3 bài đăng trên tuyển tập công trình hội nghị quốc gia và quốc tế.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1. Bich D.H., Nam V.H., Phuong N.T. (2011), “Nonlinear postbuckling

of eccentrically stiffened functionally graded plates and shallow shells”,

Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 33(3), pp. 131-147. Cited 19

times (Google Scholar).

2. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2012), “Nonlinear dynamical

analysis of eccentrically stiffened functionally graded cylindrical

panels”, Composite Structures 94, pp. 2456 – 2473. SCIE Journal–Cited

18 times (Scopus), 24 times (Google Scholar).

3. Dung D.V., Nam V.H. (2012), “Nonlinear dynamic buckling of

eccentrically stiffened functionally graded cylindrical shells subjected to

axial compression”, Proceeding of the second international conference

on Engineering Mechanics and Automation, Hanoi, pp. 226-235.

4. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2013), “Nonlinear dynamical

analysis of eccentrically stiffened imperfect functionally graded doubly

curved thin shallow shells”, Composite Structures 96, pp. 384-395. SCIE

Journal–Cited 10 times (Scopus), 11 times (Google Scholar).

5. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H., Phuong N.T. (2013), “Nonlinear

static and dynamic buckling analysis of imperfect eccentrically stiffened

functionally graded circular cylindrical thin shells under axial

compression”, International Journal of Mechanical Sciences 74, pp. 190-

200. SCI Journal–Cited 3 times (Scopus), 5 times (Google Scholar).

6. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2013), “Nonlinear axisymmetric

dynamic buckling and vibration of functionally graded shallow spherical

shells under external pressure including temperature effects resting on

elastic foundation”, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến

dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, pp. 101-110.

7. Nam V.H., Phuong N.T., Bich D.H., Dung D.V. (2014), “Nonlinear

static and dynamic buckling of eccentrically stiffened functionally

graded cylindrical shells under axial compression surrounded by an

elastic foundation”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 36(1), pp.

27-47.

8. Dung D.V., Nam V.H. (2014), “Nonlinear dynamic analysis of

eccentrically stiffened functionally graded circular cylindrical thin shells

under external pressure and surrounded by an elastic medium”,

European Journal of Mechanics A/Solids 46, pp. 42-53. SCI Journal–

Cited 1 times (Google Scholar).

9. Bich D.H., Dung D.V., Nam V.H. (2014), “Nonlinear axisymmetric

dynamic analysis of shallow spherical shells with functionally graded

coatings under external pressure including temperature effects and

resting on elastic foundation”, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc. Kỷ

niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, pp. 25-30.

10. Dung D.V., Nam V.H. (2014), “An analytical approach to analyze

nonlinear dynamic response of eccentrically stiffened functionally

graded circular cylindrical shells subjected to time dependent axial

compression and external pressure. Part 1: Governing equations estab-

lishment”, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 36(3), pp. 201-214.

11. Dung D.V., Nam V.H., “An analytical approach to analyze nonlinear

dynamic response of eccentrically stiffened functionally graded circular

cylindrical shells subjected to time dependent axial compression and

external pressure. Part 2: Numerical results and discussion”, Accepted

for publication on Vietnam Journal of Mechanics.

12. Nam V.H., Dung D.V., “Nonlinear dynamic buckling of FGM

cylindrical shells reinforced by different eccentric stiffener forms and

under axial compression and external pressure”, Submitted to the thirst

international conference on Engineering Mechanics and Automation,

Hanoi.

13. Dung D.V., Bich D.H., Nam V.H., “Nonlinear buckling and

postbuckling analysis of axially loaded stiffened toroidal shells

segments with FGM coatings surrounded by an elastic medium”,

Submitted to European Journal of Mechanics A/Solids.

14. Dung D.V., Bich D.H., Nam V.H., “Nonlinear dynamic buckling

analysis of axially loaded stiffened toroidal shell segments with

FGM coatings surrounded by an elastic medium”, Submitted to

Engineering Structures.