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Statistik: Zufallsgrößen
Mehrdimensionale Zufallszahlen
Randverteilungen =Projektionen auf Achsen
2-dim. PDF: f(x,y) (Scatter-Plot)
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Statistik: Zufallsgrößen
Mehrdimensionale Zufallszahlen (2)
Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten
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Statistik: Verteilungen
Binomialverteilung (1)
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Statistik: Verteilungen
Binomialverteilung (2)
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Statistik: Verteilungen
Poissonverteilung
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Statistik: Verteilungen
Anwendung: Bininhalt in einem Histogramm
Poissonverteilung
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Statistik: Verteilungen
Normalverteilung
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Statistik: Verteilungen
Normalverteilung
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Statistik: Verteilungen
Standardverteilungen
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Statistik: Zentraler Grenzwertsatz
Zentraler Grenzwertsatz
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Statistik: weitere Verteilungen
Beschreibt die Summe der quadratischen Abweichungen vom Erwartungswert einer n-dimensionalen Normalverteilung.
(=Quadrat der Radien von n-dimensionalen Vektoren. In hochdimensionalen Räumen steckt das Volumen einer Kugel fast vollständig nahe der ,,Oberfläche´´.)
Chi-Quadrat-Verteilung
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Statistik: weitere Verteilungen
Cauchy- (=Breit-Wigner-) Verteilung
Tritt bei allen Resonanzphänomenen auf, ist Fouriertransformierte (im Frequenz-=Energieraum) der Exponentialverteilung (in Zeit t). Unschärferelation: Resonanzbreite = h/Lebensdauer
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Kovarianzmatrix Erwartungswert von (Abweichung vom Erwartungswert in Variable x) * (Abweichung vom Erwartungswert in Variable y):
Diagonalwerte: Varianzen: Erwartungswert von (Abweichung vom Erwartungswert in Variable x)**2
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Korrelationsmatrix Normiere Kovarianzmatrix, so dass die Diagonalelemente alle 1 sind:
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Korrelation
Wenn x, y unabhängig, d.h. dann gilt
x und y ,,unkorreliert“
Achtung: Die umgekehrte Aussage gilt nicht immer
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Variablentransformation I
Eine Funktion a(x) einer Zufalls- Variablen x mit pdf f(x) ist wieder eine Zufallsvariable, mit pdf g(a)
Wahrscheinlichkeitsdichte für a
Intervall im x-Raum, für das a in [a,a+da]
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Variablentransformation II
Wenn Inverse nicht eindeutig, müssen alle Zweige berücksichtigt werden.
Beispiel:
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Fehlerfortpflanzung I
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Fehlerfortpflanzung II
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Fehlerfortpflanzung III
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Fehlerfortpflanzung IV
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Fehlerfortpflanzung V
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Monte Carlo
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Paarbildung
Bremsstrahlung
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Parameterschätzung -- Fitting
Maximum Likelihood
Kleinste Quadrate
Messung
Parameterschätzung
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Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten
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Lineare kleinste Quadrate
Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar
Überbestimmtes Gleichungssystem Ausgleichsrechnung, n-p Freiheitsgrade
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Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten
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Lösung des linearen Optimierungsproblems
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Abhängigkeit von der Messfehler-Verteilung
Geradenfit an 20 Datenpunkte (ndf=20-2=18)
Drei verschiedene Verteilungsfunktionen der Einzelmessungen, alle Mittelwert 0, Standardabweichung=0.5
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Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten 25000 Monte-Carlo-Tests: Alle Parameter-Verteilungen sind Gaussisch, die Breite kompatibel zur Erwartung aus Fehlerfortpflanzung (für beide Parameter)
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Parameterschätzung mit kleinsten Quadraten
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Robuste kleinste Quadrate
Ausreisser in den Daten (z.B. Eingabefehler, falsche Messpunkte auf Spur) können Fit wegen quadratischer Abhängigkeit sehr stark beeinflussen und zu völlig sinnlosen Lösungen führen.
Rezept zur Robustifizierung:
1. Normaler Kleinste Quadrate-Fit, liefert Residuen. 2. Modifiziere Daten durch Limitieren der Residuen auf c!. Eine gute Wahl ist c=1.5. 3. Wiederhole Fit mit Pseudo-Messungen statt Originalmessungen.
Es existieren auch andere Loss-Funktionen (z.B. Huber-Funktion), aber nicht mehr analytisch lösbar.
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Häufige Fehler bei " - Minimierung 2
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Häufige Fehler bei " – Minimierung (Forts.) 2
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Vorsicht bei kleinen Zahlen! 2
Demo
Soll-Resultat
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Vorsicht bei kleinen Zahlen! 2
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Nichtlineare kleinste Quadrate
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Kleinste Quadrate mit Nebenbedingungen
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Kleinste Quadrate mit Nebenbedingungen (2)